Matematicas tomas

MATEMÁTICAS PARA TOMA DE DECISIONES

M.A OSCAR GUZMAN ORTIZ

OBJETIVO GENERAL se aplicara las técnicas matemáticas como herramientas de tomas de decisiones de

planeación dentro del proceso administrativo, para la acertada toma de decisiones dentro de

una empresa u organización

UNIDAD I PROGRAMACIÓN LINEAL1.1 Las Herramientas matemáticas en la toma de decisiones1.2 Programación matemáticas

1.2.1 Modelos matemáticos de programación lineal1.2.2 Solución a los modelos matemáticos

1.2.2.1 Método gráfico1.2.2.2 Método Simplex primal1.2.2.1 Método Simplex dual

1.2.3 Análisis de Sensibilidad

UNIDAD II ASIGNACIÓN Y TRANSPORTE2.1 Modelo de transporte2.2 Solución al modelo de transporte

2.2.1 Costo mínimo2.2.2 Esquina noroeste2.2.3 Vogel

2.3 Prueba de optimidad2.4 Modelo de asignación 2.5 Solución al modelo de asignación por el método Húngaro

UNIDAD III PROGRAMACIÓN DE PROYECTOS CON PERT -CPM3.1 Representación con diagrama de flechas3.2 Cálculos de ruta critica

3.2.1 Determinación de ruta critica3.2.2 Determinación de las holguras

3.3 Construcción del diagrama de tiempo y nivelación de recursos3.4 Consideración de probabilidad en la programación de proyectos

UNIDAD IV PRONÓSTICOS4.1 Importancia de los pronósticos4.2 Tipos de pronósticos4.3 Componentes de la demanda4.4 Análisis de series de tiempo

4.4.1 promedio móvil simple4.4.2 Promedio móvil ponderado4.4.3 Suavización exponencial4.4.4 Error del pronóstico, fuentes de error, medición del error4.4.5 Análisis de regresión lineal4.4.6 Descomposición de una serie de tiempo

RESOLUCION DE EJERCICIOS DE APLICACIÓN DE CASOS 10%ANALISIS Y REVISION DE CUESTIONARIOS Y RESUMENES 10%INVESTIGACIÓN BIBLIOGRAFICA Y DE CAMPO 10%REPORTES DE LECTURA 10%EXPOSICION DE TEMAS 50%

50%

EXAMEN DE CONOCIMIENTOS 50%PRESENTACIÓN DE UN PROYECTO DONDE APLIQUE LAS MATEMATICAS PARA TOMA DE DECISIONES DENTRO DE UNA EMPRESA

• Proyecto• Seleccionar una empresa • Aplicar cada una de las herramientas vistas en

la toma de decisiones

• UNIDAD I PROGRAMACIÓN LINEAL• 1.1 Las Herramientas matemáticas en la

toma de decisiones

SOLUCION DE PROBLEMAS

ES EL PROCESO DE IDENTIFICAR UNA DIFERENCIA ENTRE EL ESTADO ACTUAL DE LAS

COSAS Y EL ESTADO DESEADO Y LUEGO EMPRENDER ACCIONES PARA REDUCIR O

ELIMINAR LA DIFERENCIA.

• Las herramientas para las decisiones tecnológicas tales como los modelos matemáticos han sido aplicados a una amplia gama de situaciones en la toma de decisiones dentro de diversas áreas de la gerencia. En la toma consciente de decisiones bajo incertidumbre, siempre realizamos pronósticos o predicciones. Podríamos pensar que no estamos pronosticando, pero nuestras opciones estarán dirigidas por la anticipación de resultados de nuestras acciones o inacciones

¿Cual es el proceso para solución de problemas?

¿Cual es el proceso para tomar decisiones?

Considere el ejemplo siguiente del proceso de toma de decisiones. Suponga que por el momento está desempleado y que le gustaría ocupar un puesto que le permita tener una carrera satisfactoria. Imagine que su búsqueda de empleo da como resultado ofertas de empresas en acayucan (Veracruz), Cancún (Quintana Roo), Monterrey (Nuevo león) y san pedro martir ( a 41 km de Querétaro). Por tanto, las alternativas para su problema de decisión pueden plantearse como sigue:

1. Aceptar el puesto en Veracruz.2. Aceptar el puesto en Cancún.3. Aceptar el puesto en Monterrey.4. Aceptar el puesto en Querétaro.

El paso siguiente del proceso de solución de problemas consiste en determinar los criterios que se utilizarán para evaluar las cuatro alternativas. Como es lógico, el sueldo inicial es un factor importante. Si el sueldo fuera el único criterio importante para usted, la alternativa seleccionada como “mejor” sería aquella con el sueldo inicial más alto.

Alternativa Sueldo inicial

Veracruz $48,500Cancún $40,000Monterrey $46,000Querétaro $47,000

El paso siguiente en este proceso es evaluar cada una de las alternativas con respecto a cada criterio. Por ejemplo, la evaluación de cada alternativa con respecto al criterio de sueldo inicial se realiza sencillamente al registrar el sueldo inicial para cada alternativa de trabajo. Sin embargo, es más difícil evaluar cada alternativa de trabajo con respecto a la posibilidad de crecimiento y la ubicación del trabajo, debido a que estas evaluaciones se basan principalmente en factores subjetivos que con frecuencia es difícil cuantificar. Suponga que decide medir la posibilidad de crecimiento y la ubicación del trabajo al calificar cada uno de estos criterios como malo, medio, bueno o excelente. Los datos que recolecta se muestran en la tabla

Imagine también que llega a la conclusión de que la posibilidad de crecimiento y la ubicación del trabajo son otros dos criterios importantes. Por tanto, los tres criterios en su problema de decisión son el sueldo inicial, la posibilidad de crecimiento y la ubicación.

Los problemas en los cuales el objetivo es encontrar la mejor solución con respecto a un criterio único se conocen como problemas de decisión con un solo criterio.

Los problemas que involucran más de un criterio se conocen como problemas de decisión con criterios múltiples.

Alternativa Sueldo inicial Posibilidad de crecimiento

Ubicación del trabajo

Veracruz $48,500 Media MediaCancún $40,000 Excelente BuenaMonterrey $46,000 Buena ExcelenteQuerétaro $47,000 Media Buena

Ahora está listo para elegir una de las alternativas disponibles. Lo que hace tan difícil esta fase de elección es que tal vez no todos los criterios tengan la misma importancia y que ninguna alternativa sea “mejor” que el resto de los criterios. Aun cuando se presentará más adelante un método para lidiar con situaciones como ésta, por ahora suponga que después de una evaluación detallada de los datos de la tabla, usted decide seleccionar la alternativa 3. Por tanto la alternativa 3 es la decisión. En este punto el proceso de toma de decisiones está completo. En resumen, este proceso implica cinco pasos:

RELACIÓN ENTRE LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y LA TOMA DE DECISIONES

El proceso de solución de problemas implica los pasos siguientes:

1. Identificar y definir el problema.2. Determinar el conjunto de soluciones alternas.3. Determinar el criterio o criterios que se

utilizarán para evaluar las alternativas.4. Evaluar las alternativas.5. Elegir una alternativa.6. Implementar la alternativa seleccionada.7. Evaluar los resultados para determinar si se ha

obtenido una solución satisfactoria.

La toma de decisiones esta muchas veces relacionada con los antecedentes, conocimientos, cultura y vivencias.

la realizamos por intuición, por experiencias, o por modelos matemáticos probados o experimentales (sin saberlo)

Como administradores nuestra función es la optimizar los recursos (maximizar las utilidades y minimizar los recursos)Recursos:

HumanosMaterialesFinancieros

Técnicos

Por lo tanto cuando construimos nuestra función objetivo ( es decir lo que queremos lograr) lo que

esperamos obtener es maximizar las utilidades o minimizar (disminuir ) el uso de los recursos o costos.

Para el uso de estos métodos es necesario contar con solo un objetivo, maximizar o minimizar,

La optimización está sujeta a diversas variables que afectan directamente al objetivo, por ejemplo si deseamos preparar un producto estaremos limitados por la cantidad de insumos (materia prima) con los que contemos o podamos obtener, también estaremos limitados por los costos de producción o ventas, ect.

A este grupo de variables que afectan directamente al logro del objetivo las llamaremos restricciones.

Las restricciones deberán ser:• iguales, mayores y/o menores a cierta cantidad

• no deberán ser negativas (no deseamos tener perdidas, o no es posible tener menos de cero productos o material)

Herramientas

Programación Lineal: La programación lineal es un método de solución de problemas que se ha desarrollado para situaciones que implican la maximización o la minimización de una función lineal sujeta a restricciones lineales que limitan la medida en la que se puede tender hacia la función objetivo.

Programación Lineal según enteros: Esta programación lineal es un método que se utiliza para problemas que pueden ser planteados como programas lineales, con el requisito adicional de que algunas o todas las decisiones recomendadas deben asumir valores enteros.

Modelos de redes: Una red es una representación gráfica de un problema que consiste en pequeños círculos, a los que se denomina nodos, interconectados por líneas a las que se denomina arcos. Existen procedimientos de solución especializados para este tipo de problemas que permiten resolver rápidamente muchos problemas gerenciales en áreas como diseño de sistemas de transporte, diseño de sistemas de información y programación de proyectos.

Administración de proyectos (PERT/CPM): En muchos casos los administradores asumen la responsabilidad de la planeación, la programación y el control de proyectos que constan de numerosas tareas o trabajos que son llevados a cabo por diversos departamentos, personas, etc. PERT y CPM son técnicas que ayudan a los administradores a cumplir con sus responsabilidades en la administración de proyectos.

Modelos de inventarios Estos modelos se utilizan para auxiliar a administradores que enfrentan los problemas duales de mantener suficientes inventarios para satisfacer la demanda de bienes y, al mismo tiempo, de incurrir en los menores costos posibles por el mantenimiento de esos inventarios.

Modelos de líneas de espera (colas): Se han desarrollado los modelos de líneas de espera (colas o filas) para ayudar a los administradores a comprender y a tomar mejores decisiones con respecto a la operación de sistemas que implican líneas de espera.

Programación de metas: Ésta es una técnica que se utiliza para resolver problemas de decisiones con criterios múltiples, por lo general dentro de una estructura de programación lineal.

Análisis de decisiones: El análisis de decisiones puede servir para determinar estrategias óptimas en situaciones en las que existen varias alternativas de decisión y un patrón de eventos incierto o lleno de riesgos.

Proceso analítico de jerarquización: Es una técnica de toma de decisiones con criterios múltiples que permite la inclusión de factores subjetivos para llegar a la decisión que se recomienda.

Pronóstico: Los métodos de pronóstico se pueden emplear para predecir aspectos futuros de una operación de negocios.

Simulación en computadora: Esta es una técnica que se utiliza para ensayar modelos de la operación de un sistema en el tiempo. Tal técnica emplea un programa computacional para modelar la operación y realizar cálculos sobre la simulación.

Modelos de procesos de Markov: Los modelos de procesos de Markov son útiles para estudiar la evolución de ciertos sistemas después de varias repeticiones. Por ejemplo, se han usado procesos de Markov para describir la probabilidad de que una máquina que está funcionando en un periodo continúe operando o se descomponga en otro periodo.

Programación dinámica: Esta programación es una técnica que permite descomponer un problema grande de manera que, una vez que se han resuelto los problemas más pequeños obtenidos en la descomposición, se tiene una solución óptima para el problema completo.

•PROGRAMACIÓN LINEAL• MÉTODO SIMPLEX, DUAL• TRANSPORTE Y ASIGNACIÓN•PROGRAMACIÓN DE PROYECTOS PERT/CPM•PRONÓSTICOS

Utilización de las Metodologías de la Ciencia de la Administración y de Investigación de Operaciones Frecuencia de uso (% de respuestas)

Nunca Moderada Frecuente

Estadística 1.6 38.7 59.7

Simulación en computadora 12.9 53.2 33.9

PERT/CPM 25.8 53.2 21.0

Programación lineal 25.8 59.7 14.5

Teoría de las colas 40.3 50.0 9.7

Programación no lineal 53.2 38.7 8.1

Programación dinámica 61.3 33.9 4.8

Teoría de los juegos 69.4 27.4 3.2

Modelos

2 X 3 X+ 5=

2 X 3 Y+ =2 X 3 Y+

X

a) 6X2

b) 5X2

c) 6Xd) 5X

Desarrollo de modelosLos modelos son representaciones de objetos o situaciones reales y pueden presentarse en varias formas.

modelos icónicos

Una segunda clasificación incluye modelos que tienen la misma forma física pero no la misma apariencia que el objeto modelado.

Modelos análogos

Una tercera clasificación de modelos, el tipo que estudiaremos principalmente, incluye representaciones de un problema mediante un sistema de símbolos y relaciones o expresiones matemáticas. Estos modelos se conocen como modelos matemáticos y son parte fundamental de cualquier método cuantitativo para la toma de decisiones

MAXIMIZAR Z = 800 X + 1000 Y

10 X + 20 Y ≤70020 X + 10 Y ≤ 500

X ,Y ≤ 0

modelos matemáticos

50 gr 250 ml

Que ingredientes se requieren para preparar una taza de chocolate de agua

50 gr 250 mlC A50 250

¿Cuanto producto de chocolate y cuanto de agua se requiere para preparar 500 tazas?

¿Cuánto? ¿Cuánto?

500600800Z

250 50 C A

Z

modelo matemático

Un modelo matemático consta al menos de tres conjuntos básicos de elementos:

Variables de decisión y parámetros

Restricciones

Las variables de decisión son incógnitas que deben ser determinadas a partir de la solución del modelo.

Los parámetros representan los valores conocidas del sistema o bien que se pueden controlar.

Las restricciones son relaciones entre las variables de decisión y magnitudes que dan sentido a la solución del problema y las acotan a valores factibles. Por ejemplo si una de las variables de decisión representa el número de empleados de un taller, es evidente que el valor de esa variable no puede ser negativa.La cantidad de productos no debe rebasar cierta cifra

La función objetivo es una relación matemática entre las variables de decisión, parámetros y una magnitud que representa el objetivo o producto del sistema.Por ejemplo si el objetivo del sistema es minimizar los costos de operación, la función objetivo debe expresar la relación entre el costo y las variables de decisión.Maximizar la producción de x producto

Función Objetivo

Función Objetivo MAXIMIZAR MINIMIZAR

Sujeto a restricciones

EnterosNo negatividad (Positivos)etc

A un empresa de transporte escolar, una escuela le ha solicitado transportar a 320 o mas alumnos a un congreso. La empresa cuenta con 10 autobuses de 20 asientos y 8 de 42 asientos. Dispone de 9 conductores. La utilidad por cada autobús es de 9000 el grande y de 4000 el chico

Como minimizar los autobuses de tal manera de obtener la mayor utilidad posible

variables

X1 X2



objetivo

$9,000 $4,000minimizar

Z $9,000 $4,000X1 X2



restricciones

40 20

X1 X2

LOS ALUMNOS QUE ENTREN EN CIERTO NUMERO DE AUTOBUSES GRANDES, MAS LOS QUE ENTREN EN AUTOBUSES

≥ 320

40 20 ≥ 320

Z= 9000X1 +4000 X2

objetivo



10

X1

X2

LA EMPRESA TRANSPORTISTA TIENE 10 AUTOBUSES DE 20 ASIENTOS Y 8 DE 42 ASIENTOS

88

10

≤≤≤≤

restricciones

X1 ≤ 8 X2 ≤ 10

Z= 9000X1 +4000 X2

40X1 +20 X2 ≥ 320

objetivo



restricciones

LA EMPRESA TRANSPORTISTA DISPONE DE 9 CONDUCTORES ( ES DECIR NO SE PUEDE ASIGNAR MAS DE 9 AUTOBUSSES EN TOTAL)

X1 X2

≤ 9≤ 9X1 ≤ 8

X2 ≤ 10

Z= 9000X1 +4000 X2

40X1 +20 X2 ≥ 320

X1 + X2 ≤ 9

objetivo



restricciones

LOS VALORES TIENEN QUE SER ENTEROS POSITIVOS (AUTOBUSES)

≥ 0

X1 ≤ 8 X2 ≤ 10

Z= 9000X1 +4000 X2

40X1 +20 X2 ≥ 320

X1 + X2 ≤ 9

objetivo

≥ 0X1 , X2 ≥ 0

restricciones

40X1 +20 X2 ≥ 320

objetivo

X1 , X2 ≥ 0

Z= 9000X1 +4000 X2

X1 ≤ 8 X2 ≤ 10

X1 + X2 ≤ 9

EL MODELO GENERAL DE PROGRAMACIÓN MATEMÁTICA

La Programación Matemática (PM) provee modelos matemáticos asociados con situaciones-problema que involucran decisiones de corto o mediano plazo, en que se intenta optimizar (maximizar o minimizar) un determinado objetivo, pudiendo existir restricciones a las decisiones posibles para lograrlo.

• Una aplicación típica de la PM corresponde a situaciones en que se debe asignar un conjunto de recursos limitados entre actividades que compiten por su utilización, existiendo la intención de realizar la asignación de recursos en una forma tal que se maximicen utilidades o se minimicen costos.

APLICACIONES DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL EN MARKETING

SELECCIÓN DE MEDIOS PUBLICITARIOS: La Programación Lineal se utiliza en el campo del marketing y la publicidad como una herramienta que nos permite determinar cuál es la combinación más efectiva de medios para anunciar nuestros productos. En muchas ocasiones partiremos de un presupuesto para publicidad fijo y nuestro objetivo será distribuirlo entre las distintas opciones que se nos ofrecen (televisión, radio, periódicos, revistas, etc.) de forma que nuestros productos tengan la mayor difusión posible. En otros casos, las restricciones no serán presupuestarias sino que vendrán dadas por la disponibilidad de cada medio y por las políticas publicitarias de nuestra propia empresa.

• Método grafico• Método simplex primal • Método simplex dual

– Análisis de sensibilidad• Método transporte• Método asignación

APLICACIONES DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL EN PRODUCCIÓN

COMBINACIÓN ÓPTIMA DE BIENES: A menudo las técnicas de PL permiten decidir sobre la cantidad más adecuada que una empresa debe producir de cada uno de sus productos a fin maximizar los beneficios sin dejar de cumplir con unos determinados requisitos (financieros, de demanda, contractuales, de disponibilidad de materias primas, etc.).

PLANIFICACIÓN DE LA PRODUCCIÓN: El establecer un plan de producción para un período de semanas o meses resulta ser una tarea difícil e importante en la mayoría de las plantas de producción. El director de operaciones debe considerar muchos factores: mano de obra, costes de inventario y almacenamiento, limitaciones de espacio, demanda, etc. Por lo general la mayoría de las plantas producen más de un bien, con lo que la tarea anterior se complica aún más. Como veremos en el siguiente ejemplo, el problema de la planificación se asemeja bastante al de la combinación óptima de bienes, pudiendo ser el objetivo maximizar beneficios o bien minimizar los costes de producción más almacenamiento.

APLICACIONES DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL A LA DISTRIBUCIÓN DE ÁREAS

ASIGNACIÓN DE TRABAJOS: El objetivo aquí será asignar de la forma más eficiente posible un trabajo a cada empleado o máquina. Ejemplos de este tipo de asignación serían la distribución de coches patrulla por las calles de una ciudad o la destino de cada jefe de ventas a una determinada zona geográfica. El objetivo puede ser bien minimizar los tiempos o costes de desplazamiento, o bien maximizar la efectividad de las asignaciones.Aparte de poder utilizar los algoritmos tradicionales (Simplex y Karmarkar), este tipo de problemas también puede resolverse usando técnicas especialmente diseñadas para sus características como el método húngaro, el cual necesita de menos iteraciones para dar con la solución.Una propiedad particular de los problemas de asignación es que tanto los coeficientes tecnológicos cómo los términos independientes (right-hand-side) siempre toman el valor 1. Además, todas las variables serán binarias, tomando el valor 1 si la asignación propuesta se lleva a cabo y 0 en caso contrario.

PLANIFICACIÓN DE HORARIOS: La planificación de horarios intenta dar una respuesta efectiva a las necesidades de personal durante un período concreto de tiempo. La aplicación de la PL a este tipo de problemas resulta especialmente útil cuando los directivos disponen de cierta flexibilidad a la hora de asignar tareas a empleados polifuncionales. Un sector típico donde se hace uso de la PL para tomar decisiones sobre planificación de horarios son las entidades bancarias.

APLICACIONES DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL A LAS FINANZAS

SELECCIÓN DE UNA CARTERA DE VALORES: Un problema al que se tienen que enfrentar de forma habitual los directivos de bancos, fondos de inversión, y compañías de seguros es la selección de una serie de inversiones concretas de entre la gran variedad de alternativas existentes en el mercado. Por norma general, el objetivo de estos directivos es maximizar los beneficios esperados de estas inversiones, las cuales se ven sometidas a un conjunto de restricciones, algunas legales y otras provenientes de la propia empresa (como puede ser el nivel de riesgo que se desea asumir o la cantidad máxima que se permite invertir).

APLICACIONES DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL A LA LOGÍSTICA

El PROBLEMA DEL TRANSPORTE: El llamado problema del transporte se refiere al proceso de determinar el número de bienes o mercancías que se han de transportar desde cada uno de los orígenes a cada uno de los destinos posibles. El objetivo suele ser minimizar costes de transporte, y las restricciones vienen dadas por las capacidades productivas de cada origen y las necesidades de cada destino. Este tipo de problema es un caso específico de PL, por lo que existen métodos y algoritmos especiales que facilitan su resolución (Regla de la Esquina NorOeste, Método de Vogel, Método de Paso Secuencial, y Método de distribución modificada o MODI).

APLICACIONES DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL A MEZCLAS

El PROBLEMA DE LA DIETA: Este problema representa una de las primeras aplicaciones de la PL, y comenzó a utilizarse en los hospitales para determinar la dieta más económica con la que alimentar a los pacientes a partir de unas especificaciones nutritivas mínimas. En la actualidad también se aplica con éxito en el ámbito agrícola con la misma idea de encontrar la combinación óptima de alimentos que, logrando un aporte nutritivo mínimo, suponga el menor coste posible.

Todos los problemas de PL (Programación Lineal) tiene cuatro propiedades en común:

1. Los problemas de PL buscan maximizar o minimizar una cantidad (generalmente beneficios o costos). Nos referimos a ello como la Función Objetivo de un PL. El principal objetivo de una empresa tipo es maximizar los beneficios a largo plazo. En el caso de un sistema de distribución, el objetivo puede ser minimizar los costos de transporte.

2. La presencia de restricciones limita el grado en que podemos perseguir el objetivo. Por ejemplo, decidir cuántas unidades se deben fabricar para una línea de productos de una empresa está restringido por la disponibilidad de horas de mano de obra y máquinas. Se quiere por tanto, maximizar o minimizar una cantidad (función objetivo) sujeta a las limitaciones de recursos (restricciones).

3. Deben existir diferentes alternativas donde poder elegir. Por ejemplo, si una empresa fabrica tres productos, los directivos pueden utilizar PL para decidir cómo asignar entre ellos sus recursos de producción limitados (trabajo, máquinas y demás). Si no existen alternativas evidentes que seleccionar, no necesitaremos la PL.

4. La función objetivo y las restricciones de un PL deben ser expresadas en términos de ecuaciones lineales o inecuaciones.

Una de las aplicaciones más comunes de la programación lineal es el problema del plan de producción. Do o más productos se fabrican con recursos limitados. La empresa desea saber cuántas unidades deben fabricarse de cada producto, maximizando los beneficios globales y teniendo en cuenta las limitaciones de recursos.

El método gráfico se emplea para resolver problemas que presentan sólo 2 variables de decisión. El procedimiento consiste en trazar las ecuaciones de las restricciones en un eje de coordenadas X1, X2 para tratar de identificar el área de soluciones factibles (soluciones que cumplen con todas las restricciones).

Método Gráfico

La solución óptima del problema se encuentra en uno de los vértices de esta área de soluciones creada, por lo que se buscará en estos datos el valor mínimo o máximo del problema.

Solución óptimaX1

X2Z

ZX1

X2

L2 L1

Área de soluciones factibles

1. graficar las soluciones factibles, o el espacio de soluciones (factible), que satisfagan todas las restricciones en forma simultánea.

2. Las restricciones de no negatividad Xi>= 0 confían todos los valores posibles.

3. El espacio encerrado por las restricciones restantes se determinan sustituyendo en primer término <= por (=) para cada restricción, con lo cual se produce la ecuación de una línea recta.

4. trazar cada línea recta en el plano y la región en cual se encuentra cada restricción cuando se considera la desigualdad lo indica la dirección de la flecha situada sobre la línea recta asociada.

5. Cada punto contenido o situado en la frontera del espacio de soluciones satisfacen todas las restricciones y por consiguiente, representa un punto factible.

6. Aunque hay un número infinito de puntos factibles en el espacio de soluciones, la solución óptima puede determinarse al observar la dirección en la cual aumenta la función objetivo.

7. Las líneas paralelas que representan la función objetivo se trazan mediante la asignación de valores arbitrarios a fin de determinar la pendiente y la dirección en la cual crece o decrece el valor de la función objetivo.

Siete pasos necesarios para realizar el método

El análisis de sensibilidad

“En forma genérica, el análisis de sensibilidad busca investigar los efectos producidos por los cambios del entorno sobre el sistema. El propósito general es identificar los parámetros relativamente sensibles (es decir, aquellos que no pueden cambiarse mucho sin cambiar la solución óptima), con el fin de estimarlos con mayor precisión y seleccionar entonces una solución que siga siendo buena sobre los intervalos de valores probables de los parámetros sensibles.

Desde el punto de vista de la programación lineal, el análisis de sensibilidad, llamado también análisis paramétrico, es un método que permite investigar los efectos producidos por los cambios en los valores de los diferentes parámetros sobre la solución óptima. Es necesario no perder de vista que los cambios en la solución del primal repercuten automáticamente en la solución de su modelo dual. Por lo tanto, puede elegirse qué modelo (primal o dual) se va a utilizar para investigar los efectos,

Mediante el análisis de sensibilidad, podemos responder preguntas como las siguientes:1. ¿Cómo afectará el cambio de un coeficiente de la función objetivo a la solución óptima?2. ¿Cómo afectará el cambio de un valor del lado derecho de una restricción a la solución óptima?

El análisis de sensibilidad es importante para los tomadores de decisiones debido a que los problemas reales ocurren en un entorno en constante cambio.

• Los precios de las materias primas,• La demanda de productos, • Las capacidades de producción, • Los precios de las acciones, • Etc,

todo ello cambia. Si un modelo de programación lineal se utiliza en un entorno como éste, podemos esperar que algunos de los coeficientes del modelo cambien con el tiempo y tal vez queramos determinar cómo afectan estos cambios a la solución óptima. El análisis de sensibilidad proporciona la información necesaria para responder a estos cambios sin requerir una solución radical de un programa lineal modificado.

CAMBIOS EN LOS PARÁMETROS DEL MODELO“El análisis de sensibilidad se lleva a cabo en:• Cambios en los niveles de recursos escasos.• Cambios en los coeficientes de la función objetivo (coeficientes de

variables básicas y coeficientes de variable no básicas).• Cambios en los coeficientes tecnológicos (variaciones en las aij para

variables básicas y no básicas).• Supresión y adición de restricciones.• Adición de nuevas variables.”

Conceptos básicos en Análisis de Sensibilidad El Análisis de Sensibilidad se utiliza para examinar los efectos de cambios en tres áreas diferenciadas del problema:

(1) Los coeficientes de la función objetivo

(2) Los coeficientes tecnológicos

(3) Los recursos disponibles.


(1) Los coeficientes de la función objetivo (coeficientes objetivo). Los cambios en los coeficientes objetivos NO afectan la forma de la región factible, por lo que no afectarán a la solución óptima (aunque sí al valor de la función objetivo).


(1) Los coeficientes de la función objetivo (coeficientes objetivo).

(2) Los coeficientes tecnológicos (aquellos coeficientes que afectan a las variables de las restricciones, situados a la izquierda de la desigualdad). Los cambios en estos coeficientes provocarán cambios sustanciales en la forma de la región factible. Gráficamente (en el caso de 2 variables) lo que varía es la pendiente de las rectas que representan las restricciones.


(1) Los coeficientes de la función objetivo (coeficientes objetivo).

(2) Los coeficientes tecnológicos (aquellos coeficientes que afectan a las variables de las restricciones, situados a la izquierda de la desigualdad)

(3) Los recursos disponibles (los términos independientes de cada restricción, situados a la derecha de la desigualdad). Intuitivamente (para 2 variables), los cambios en el RHS suponen desplazamientos paralelos de las rectas asociadas a las restricciones, lo cual hará variar la forma de la región factible y, con ello, a la solución óptima.

Variables de decisión:x1: cantidad de articulo a a producirx2: cantidad de articulo b a producirFunción objetivo:Max U = 150x1 + 200x2

Restricciones:Mano de obra: 8x1 + 8x2 ≤ 64 horasMatérias primas: 4x1 + 2x2 ≤ 24 unidadesDemanda: 2 ≤x 6 artículos

Su solución grafica se indica que la solución optima será 2 unidades del artículos a y 6 del b, obteniendo una utilidad de $1 500.

Optimal Decisions (x1, x2) : (2, 6): 8x1 + 8x2 64: 4x1 + 2x2 24: 0x1 + 1x2 6

Análisis del vector recursosComenzaremos a analizar que pasaría si cambia el vector de recursos. Hay que señalarque el análisis de sensibilidad se hace para cada una de las restricciones por separado,dejando todos los demás parámetros como estaban.

¿Que pasara si la mano de obra pasa de 64 a 65 horas, o a 66?, y si continua aumentando, ¿hasta cuanto vale la pena que lo haga?

se muestra como al incrementarse la

cantidad de horas hombre disponibles, la región factible se agranda , y el punto solución se desplaza

y aumenta la utilidad.

después de cierto valor, la forma de la región factible cambia, y la solución que inicialmente se encontraba en la intersección de las rectas correspondientes a las restricciones de mano de obra y demanda pasa a un nuevo vértice en el que los recursos que ahora determinan la máxima producción son la demanda y la disponibilidad de materias primas.

En las graficas se muestra como al incrementarse la cantidad de horas hombre disponibles, la región factible se agranda, y el punto solución se desplaza y aumenta la utilidad.

Pero después de cierto valor, la forma de la región factible cambia, y la solución que inicialmente se encontraba en la intersección de las rectas correspondientes a las restricciones de mano de obra y demanda pasa a un nuevo vértice en el que los recursos que ahora determinan la máxima producción son la demanda y la disponibilidad de materias primas.

En el cuadro se muestran los valores de las variables dedecision, las variables de holgura y de la utilidad total.

Valores de las variables para distintosvalores de la disponibilidad de mano de obra

d) Las holguras iguales a cero indican que se esta cumpliendo exactamente con esa restriccion. Inicialmente los recursos escasos o restricciones activas corresponden a la mano de obra y a la demanda. Si se aumenta la mano de obra por encima de 72 horas, el recurso que ahora limita el incremento de la utilidad es el de las materias primas. La solucion cambio de vertice y por lo tanto de variables basicas.

De las graficas y el cuadro se pueden obtener las siguientes conclusiones:a) Si se aumentan las horas de mano de obra disponibles, aumenta la utilidad.

b) Cuando se aumenta una hora, de 64 a 65, la utilidad aumenta en $18.75; si se aumentan dos horas, de 64 a 66, el incremento de la utilidad es de $37.50, que equivale a 37.50/2 = 18.75 $/hora.c) Este incremento por hora agregada o incremento marginal se mantiene hasta que se llega a las 72 horas de mano de obra. En las graficas se observa que la región factible aumenta exactamente hasta ese valor.

Valores de las variables para distintosvalores de la disponibilidad de mano de obra

d) Las holguras iguales a cero indican que se esta cumpliendo exactamente con esa restriccion. Inicialmente los recursos escasos o restricciones activas corresponden a la mano de obra y a la demanda. Si se aumenta la mano de obra por encima de 72 horas, el recurso que ahora limita el incremento de la utilidad es el de las materias primas. La solucion cambio de vertice y por lo tanto de variables basicas.

De las graficas y el cuadro se pueden obtener las siguientes conclusiones:a) Si se aumentan las horas de mano de obra disponibles, aumenta la utilidad.

b) Cuando se aumenta una hora, de 64 a 65, la utilidad aumenta en $18.75; si se aumentan dos horas, de 64 a 66, el incremento de la utilidad es de $37.50, que equivale a 37.50/2 = 18.75 $/hora.c) Este incremento por hora agregada o incremento marginal se mantiene hasta que se llega a las 72 horas de mano de obra. En las graficas se observa que la región factible aumenta exactamente hasta ese valor.

Una vez identificados los componentes del informe, su interpretación es casi inmediata: la solución óptima sería producir 200 televisores, 200 equipos Hi-Fi, y ningún altavoz. La columna de Coste (Gradiente) Reducido nos indica que no resultará rentable producir altavoces a menos que el beneficio que éstos generen aumente en 2,5 € (llegando a 37,5 €). Examinando los Rangos de los Coeficientes Objetivo, observamos que la solución actual no variaría si el beneficio generado por cada televisor se moviese en el rango 70-100 €, o si el generado por los equipos Hi-Fi lo hiciese en el rango 37,5-75 €, o si el de los altavoces no se incrementase en másde 2,5 €. Los Precios Duales determinan, junto con los Rangos del Right-Hand-Side, que estaríamos dispuestos a pagar hasta 12,5 € por cada unidad adicional de conos hasta un máximo de 100 conos, y hasta 25 € por cada unidad adicional de componentes electrónicos hasta un máximo de 50 componentes. Observar que, por el contrario, perderíamos 25 € por cada componente electrónico que “nos quitasen” de los 600 disponibles, hasta un máximo de 200 unidades (cifra a partir de la cual será necesario volver a programar).

Tarea . • Detectar al menos dos aplicaciones de modelos en la organización elegida• Construir los modelos matemáticos• Resolverlos• Identificar un problema de transporte y uno de asignación de tareas

1.8 PROBLEMA 1“Alagh le Cheve” vende cuatro tipos de licores (productos). Los recursos necesarios de cada uno y los precios de venta se presentan en la tabla. En la actualidad se dispone de 4600 unidades de materia prima y 5000 horas de mano de obra. Para cumplir con la demanda de los clientes, se tienen que producir exactamente un total de 750 botellas de licor. Los clientes demandan también que por lo menos se elaboren 550 unidades de licor de la botella 4. Determine una programación lineal con el cual se maximicen los ingresos por las ventas de Alagh le cheve.

Matematicas tomas

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