Matematicas Para Ingenieria; Introduccion Al Calculo

29/02/12 Matematicas Para Ingenieria; Introduccion Al Calculo

1/50ima.ucv.cl/librocalculo/

Ejercicios Propuestos

Límite de sucesionesLímite de funcionesDerivadaFunción InversaDerivada ImplícitaRegla de L'HopitalInterpretación geométricaInterpretación físicaProblema de Máximo y MínimoProblemas de Certamenes

Límite de sucesionesHallar los l\\mites de las sucesiones

1.

2.

3.

Demostrar el siguiente límite

Demostraci\on: Para ello primero veremos la desigualdad siguiente

Sea y siguiente n\umeros naturales tal que .

Así y

luego y Por lo tanto

lo anterior es valido para .



Así hemos demostrado

y por teorma de acotamiento tenemos

Dada la sucesi\on

Calcular el límite de la sucesi\onSoluci\on: Podemos notar que est\a sucesi\on esta definida por recurrencia por la siguiente

formula:

Usando esta informaci\on podemos demostrar que esta sucesi\on es creciente y acotada.

Primero veamos que es acotada, claramente , adem\as podemos demostrar por

inducci\on que , para ello vemos los siguientes:

i)

ii) es decir , Segundo veamos que la sucesi\on es estrctamente creciente

pero por la primera parte vimos que , es decir, , luego

y con ello entonces tenemos que .



Usando los dos resultados anteriores tenemos que la sucesi\on es convergente, así, sea

Por lo tanto .

Dada la sucesi\on

Calcular el límite de la sucesi\onDemostrar los siguientes l\\mites

1. .

2. .

3. , con .

4. .

5. .

6. , con .

Demostrar que los siguientes l\\mites no existe.

1. .

2. .

3. .

4. .

Calcular

Soluci\on:



Veamos primero para ello recordemos que , luego

y por lo tanto

adem\as por la propiedad del cero aniquila tenemos

por otro lado tenemos que

así

Calcular .Soluci\on: Para poder calcular este límite, necesitamos usar la propiedad de potencia.

Notemos que la propiedad fue usada para una exponencial de base constante.Calcular



Soluci\on: Sea

Recordemos las siguientes identidades trigonometricas

así entonces tenemos

por lo tanto

Por inducci\on podemos demostrar que:

Volvamos al ejercicio original



Calcular los siguientes l\\mites

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. con .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

15.



16.

17. .

18. .

19. .

20. .

21. .

22. .

23. .

24. .

25. .

26. .

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33. con

34.

35.

36.

37.

38.

39. .

Sea .



Resolver .

Sea una sucesi\on acotada.

Calcular .

Sea una sucesi\on convergente.

Calcular .

Gr\aficar las funciones

1.

2.

3.

4.

El t\ermino general de la sucesi\on , , , , tiene la forma , si n

es un n\umero impar, y , si n es un n\umero par.

Hallar

La sucesi\on tiene por límite .

Demostrar que . ?` Qu\e se puede decir sobre este límite si ? (Mostrar

ejemplos).

Soluci\on: Como tenemos y luego toda subsucesi\on es convergente al mismo

límite, es decir, y por lo tanto tenemos que

Si la sucesi\on converge a cero tenemos varias alternativas.

Ejemplo 1

Ejemplo 2 y en este caso tenemos



Ejemplo 3 con ,

Ejemplo 4 En este caso nos queda el siguiente límite

el primero de los cuales es convergente a 1 y el segundo no es convergente, por lo tanto ellímite total no existe.

Un segmento de longitud `` " esta dividido en `` '' partes iguales. Sobre cada una de ellastom\andola como base, se ha construido un tri\angulo is\osceles, cuyos \angulos en la base son

de . Demostrar, que el l\\mite del per\\metro de la l\\nea quebrada as\\ formada es diferente dela longitud original, a pesar que pasando al l\\mites la l\\nea se confunde geom\etricamente con elsegmento original.

El punto divide al segmento en dos partes iguales, el punto divide a su vez al

segmento en dos partes iguales; el hace lo propio con el segmento y as\\

sucesivamente. Determinar la posici\on l\\mite del punto .

Límite de funcionesCalcular

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.



10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.



36.

37.

38.

Sea

Calcular el valor de de modo que exista

Sea

Calcular

Sea

Determinar el valor de de modo que exista %%%%%%% \section*{Continuidad}

Sea

Determinar de modo que sea continua en .Sea



Determinar de modo que sea continua en .Sea

Determinar de modo que sea continua en .

Determinar, si existe, las constantes y de modo que la siguiente funci\on sea continua en todolos reales.

Considere la funci\on con dominio definida por.

Determine los valores de , en los reales de modo que la funci\on sea continua en los puntos

y .

Sean y una funci\on definida por



Determinar si las siguientes proposiciones son vertdaderas o falsas.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .


Determinar si las siguientes proposiciones son vertdaderas o falsas.

1. Si entonces es continua en .

2. .


1. Calcular

2. Definir en de modo que es continua en .

3. Existe .




1. Determine y indique su .

2. ?Ès continua en y .

DerivadaUsando la definici\on, determine la derivada de:

se\nalando su dominio.Usando \algebra de derivada calcular la derivada de las siguientes funciones.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

Las funciones de la columna A tienen su derivada en la columna B, de tal manera que puedeformar los pares



En qu\e puntos, existe la derivada de las siguientes funciones:



Demuestre que con satisface la ecuaci\on diferencial.

Sea donde y son derivables

a) Calcule

b) Calcule si Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. (Justifique)



1. Si entonces

2. La funci\on no es derivable en .


4. Si entonces .

5. Si , entonces

6. Si no es derivable en entonces no es continua en .

7. La ecuaci\on de la recta tangente a en el punto cuya abscisa es es

.

8. Sea .

Si entonces es derivable en .

9. La funci\on no es derivable en

10. La derivada de en es .

11. La funci\on es derivable en


Considere la funci\on donde . Determine si las siguientes

afirmaciones son verdaderas o falsas

1.

2.



3.

4.

5. Existen tal que es derivable em .

Sea .

?` Es continua en ? Calcule .

Sea .

?` Existe ? Calcule .

Dado . Encuentre .

Sea .

a) Es derivable en ?

b) Determine se\nalando su dominio.

c) ?` Existe ? Determine .

d) Determine si existe la ecuaci\on de la recta tangente a la curva en y en

. En caso de existir determinel(as).

Sea , .

a) Determine (si existe) .

b) Encuentre si existe la ecuaci\on de la recta tangente a en el punto .



Sea .

?` Es continua en ?

?` Es derivable en ?

Determine se\nalando su dominio

?` Existen las rectas tangente a la curva en los punto y en el punto ?

Sea .

Determine y de modo que sea derivable en .

Encuentre y de modo que exista

.

Función Inversa

Dada la funci\on .

Determinar , justifique.

Calcular si existe , donde ,justifique su respuesta.

Considere una funci\on continua tal que y .

Determinar en los reales tal que .

Derivada Implícita

Calcular la derivada de la funci\on definida implícitamente por



Soluci\on: Para ellos consideremos que es una funci\on derivable de .

notemos que la derivada obtenida en forma implícita, s\olo es v\alida para los punto en que laordenada es distinta de cero.



notemos que la derivada obtenida en forma implícita, s\olo es v\alida para los punto en

.





notemos que la derivada obtenida en forma implícita, s\olo es v\alida para los punto en

.

Determinar la derivada de la funci\on definida en forma implí cita por

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

Dada la funci\on definida implícita por

Calcular



Dada la funci\on definida en forma implícita es derivable en el punto .

Mostrar que la funci\on definida implicítamente por la ecuaci\on , satisface tambi\enla relaci\on.

Calcular los \angulos de la recta normal a la par\abola en cualquier punto que pertenezca a \estacon la recta del radio focal al punto y la recta del eje de la par\abola.

Soluci\on: Consideremos la par\abola (ya que una traslaci\on no cambia los

\angulos) y el punto , luego la ecuaci\on de la recta tangente es

y la ecuaci\on de la normal con es

La ecuaci\on del eje de la par\abola es , adem\as la ecuaci\on de la recta que

describe el radio focal, tiene que pasar por los puntos y , por lo tanto tenemos

Ahora calculemos los \angulos, para ellos recordemos

Determine tal que la funci\on satisfaga la ecuaci\on:



Regla de L'Hopital

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18. con

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.



Interpretación geométrica

Para qu\e valores de las gr\aficas de las curvas cuyas ecuaciones son y

tiene una recta com\un en el punto .

Determinar la ecuaci\on de la recta tangente a la curva en el punto .

En la par\abola se han marcado dos puntos cuyas abscisas son , . Por estospuntos pasa la secante . ?` En qu\e punto de la par\abola la tangente a \esta es paralela a lasecante trazada?

Escribir la ecuaci\on de la recta tangente y de la normal a la hip\erbola en el punto cuya

abscisa es .

Hallar el punto de la curva cuya ecuaci\on de la recta tangente es paralela al eje de la

abscisas.

Hallar la ecuaci\on de la recta normal a la curva que es paralela a la recta

.Mostrar que cualquier tangente a la curva

se cortan con el eje de ordenadas en un punto equisdistante entre el punto de contacto y el origende coordenadas.

Formar la ecuaci\on de la normal a la curva en el punto cuya abscisas es .

Sean y puntos de la par\abola . Si es la recta a la

par\abola en el punto y son las rectas normales en los puntos y . Calcular el \area del

tri\angulo determinado por las rectas y .

Calcule si la rectas es normal a la curva en Considere la ecuaci\on

Demuestre que la recta normal a la circunferencia en cualquier puntos de pasa por el origen.Considere la ecuaci\on

que define implícitamente a como funci\on de .

Determine (si existe) la ecuaci\on de la recta tangente a la curva en el punto .

Determine el (los) punto(s) donde la gr\afica de la relaci\on dada en forma implícita por;



tiene tangente(s) paralela de la recta

determine la ecuaci\on de la(s) recta(s) tangente(s) a la curva en

con .

Determine (si existe) de modo que la ecuaciones de la recta tangente a la curva en

pasa por el origen

Encontrar las ecuaciones de las rectas tangentes a la elipse las cuales pasan por el

puntos .

Dado verificar que

Dada la relaci\on

Hallar la ecuaci'on de la recta tangente a la curva en el punto

interpretación físicaEl radio de una esfera crece uniformemente con velocidad de 5cm/seg ?` A que velocidadcrecera el \area de la superficie de la esfera? y el volumen de la misma cuando el radio sea iguala 50cm.

Si el volumen de un cilindro aumenta a raz\on de 3 . Calcular la raz\on de cambio de la

superficie del cilindro en el instante cuando y sabiendo que .

El volumen de un cubo crece a la velocidad de en el instante en que la arista mide 20m.Calcule la velocidad con que varía la arista.

La tierra que vierte una escavadora al ritmo forma un cono cuyo radio es constantementeigual al doble de la altura. Hallase la velocidad a que varía esta \ultima en el instante en que laaltura es 18m.Un barco navega paralelamente a una costa recta a una velocidad de 12millas/hrs. y a unadistancia de 4 millas.?`Cu\al es la velocidad de aproximaci\on a un faro de la costa en el instante en que disten 5 millasal faro?



Un bote se acerca a un muelle mediante una cuerda de largo 6mts atada a su proa. La cuerdapasa por un anillo fijo al muelle, que esta 1/2 metros m\as alto que el extremo de la cuerda convelocidada de 2cm/seg.Hallar la velocidad con que el bote se acerca al muelle cuando se ha recogido 1 metros decuerda.La altura de un tri\angulo equilatero a raz\on de 3cm/seg.?`Cu\al es la velocidad de aumento del \area?El diametro y la altura de un cilindro circular recto son, en un cierto instante 10cm, 20cm,respectivamente.Si el diametro aumenta 1 m/min. Determine como varía la altura de modo que el volumen seaconstante.

Una vía de ferrocaril cruza una carretera bajo un \angulo de . Una locomotora distan 160metros del crucen y se alejan de \el a una velocidad de 100 Km/hrs. Un automovil distan del cruce160 metros y acerca a \el con una velocidad de 50Km/hrs.?` A que raz\on se altera la distancia entre los dos despues de media hora?Un bus se desplaza en linea recta paralela a la vereda con una rapides de 12 metros/ seg a 4metros de ella?` con que rapidez se aproxima a un disco pare ubicado al borde de la vereda en el instante enque disten 5 metros del disco PARE?Una escalera de 50 metros de largos se deslizan por una pared vertical de 15 metros de alto. Sila velocidad con que se desplaza el extremo superior es constante e igual a 2 mts/seg.?` Con que velocidad s desplaza el extremo inferior en el instante en que extremo superior esta en3 metros del suelo.

La altura de un tri\angulo equilatero aumenta a raz\on de 3 .Determinar la rapidez de crecimiento del \area.Un globo se halla a 60 mts de altura sobre una carretera recta y se esta elevando verticalmente

con un rapidez de . En ese instante pasa un auto que viaja a .?`Con qu\e rapidez aumenta la distancia entre el globo y el auto 5 segundos despues?Un farol se encuentra en lo alto de un poste de 16 pie de altura. Un ni\no de 5 pies de altura se

aleja del postea una velocidad de ?`Con qu\e rapidez se mueve el extremo de su sombra cuando \el se encuentra a 18 pie delposte?

Problema de Máximo y MínimoEn una parcela, se desea encerrar dos porciones de terreno de igual \area (como en la figura)con una malla de longitud L. Determinar las longitudes de modo que el \area encerrada sem\axima.

(Ayuda: Exprese el \area de las parcela en funci\on de .)\begin{picture}(10,5) \put(0,0){\line(0,1){3}} \put(0,0){\line(1,0){8} } \put(0,3){\line(1,0){8}} \put(2,3.1){$x$} \put(4,0){\line(0,1){3} } \put(6,3.1){$x$} \put(8,0){\line(0,1){3}} \put(8.1,1.5){$y$} \end{picture}

En la ribera de un r\\o de 3 km de ancho hay una planta el\ectrica, en la otra ribera 4 km corrientearriba hay una f\abrica. El costo de tender un cable por tierra (línea a\erea) es de $ 30 por metro yde $ 50 por metro, si se tiende bajo el agua (cable submarino). Determinar cuanto cable de sertendio en forma submarina de modo que el costo del tendido sea mínimo.(Ayuda: Determine la funci\on costo del tendido de cable de la planta el\ectrica a la f\abrica en

funci\on de , donde representa la longitud del cable tendido en forma submarina.)



Se desea construir una caja sin tapa con base rectangular a partir de una hoja rectangular decart\on de 16 cm de ancho y de 21 cm de largo, recortando un cuadrado en cada esquina ydoblando los lados hacia arriba. Encuentre las dimensiones que minimice la cantidad de material

necesario. (Ayuda: Expresar (volumen de la caja) como una funci\on de la variable , donde es la longitud del lado del cuadrado). Ver figura.

\begin{picture}(19,6) \put(0,0){\line(0,1){5}} \put(1,0){\line(0,1){5} } \put(6,0){\line(0,1){5}} \put(7,0){\line(0,1){5}} \put(0,0){\line(1,0){7} } \put(0,1){\line(1,0){7}} \put(0,4){\line(1,0){7}} \put(0,5){\line(1,0)

{7} } \put(7.1,0.3){$x$} \put(10,0){\line(0,1){1}} \put(15,0){\line(0,1){1} } \put(13,3){\line(0,1){1}}\put(18,3){\line(0,1){1}} \put(10,0){\line(1,0){5}} \put(10,1){\line(1,0){5}} \put(13,3){\line(1,0){4}}\put(13,4){\line(1,0){5}} \put(11,1){\line(1,1){2}} \put(10,1){\line(1,1){3}} \put(15,0){\line(1,1){3}}

\put(15,1){\line(1,1){3}} \put(18.1,3.3){$x$} \end{picture}

Se desea construir un dep\osito abierto de base cuadrada y paredes verticales con dematerial. Determinar la longitud de una arista de modo que el volumen sea m\aximo

(Ayuda: Determine la funci\on vol\umen en t\erminos de , donde indica la longitud de un lado dela base).

Determinar las dimensiones de un cilindro circular recto de radio y altura est\a inscrito en uncono de altura 12 y radio de la base 4 de modo que su volumen sea m\aximo.

(Ayuda: Exprese el vol\umen del cilindro como una funci\on de .)

Se desea construir un recipiente cilindrico de metal sin tapa que tenga una capacidad de .Encuentre las dimensiones que debe tener para que la cantidad de material sea mínima,suponiendo que no se desperdicia nada en la construcci\on.Una ventana tiene la forma de un rect\angulo coronado por un semicirculo. Halle las dimensionesde la ventana que permiten admitir m\as luz, suponiendo que el perimetro debe ser de 5m.

Se desea que la p\aginas de un libro tengan un \area de 900 con margenes de 2.5cm abajo ya los lados, y de 1.5cm arriba . Determinar las dimensiones de la p\agina que dar\an la mayor\area posible para el texto.Un hotel que cobra $80 (dolares) diarios por habitaci\on, da precios especiales a grupos quereserven entre 30 y 60 habitaciones. Si se ocupan m\as de 30 cuartos, el precio disminuye en $1por cada cuarto arriba de los 30. En estas condiciones ?`la ocupaci\on de cu\antas habitacionespor un grupo producen el ingreso neto m\aximo.?Calcule el volumen del cono circular recto m\as grande que se puede inscribir en una esfera de

radio .Dos postes verticales de 3 y 4 metros se hallan clavados en un suelo a nivel y sus bases distan 5metros. Calcule la longitud mínima de cable que se necesitan para tener dos tramos rectos desdela punta de uno de los postes hasta un punto en el suelo y de ahíhasta la punta del otro poste.La suma que se gasta en el combustibles para la caldera de un barco es proporcional al cubo dela velocidad. Es sabido que si el barco marcha a 10km por hora, se gast\an 30 dolares por horade combustibles. Los dem\as gastos que no dependen de la velocidad son de 480 dolares porhora.?` A qu\e velocidad del barco es mínima el gasto total por un kilometro?

Se desea construir un silo para almacenar grano con una capacidad de . El silo ha de tener laforma de un cilindro rematado por una boveda semiesferica. Si el costo de construcci\on pormetro cuadrado es el triple en la parte semiesferica que en la parte cilindrica. Calcule lasdimensiones del silo que hace mínimo el costo de construcci\on.

Se desea construir una caja de base cuadrada de volumen 252 .



Determinar las dimensiones de la caja para que el costo de fabricaci\on sea mínimo, si se sabeque:

El costo de las tapa es $ 2 por

El costo de la base es $ 5 por

El costo de los lados es $ 3 por .

Problemas de Certamenes

Capítulo 1I.- Determine cual de las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifique

1.

2.

3.

4.

5. Sean . Si entonces

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14. Sean . Si entonces

15.

16.

17.

18. Si tal que entonces



19.

20. El conjunto soluci\on de la inecuaci\on

es vacío

21.

22.

23. El infimo de es -5

24. El supremo del conjunto es .

25. El supremo del conjunto

26.

27. Si satisface la ecuaci\on entonces el valor de la

expresi\on es .

II Completaci\on:



3. La inecuaci\on



tiene como soluci\on el conjunto de los si .............


5. La inecuaci\on

tiene como soluci\on el conjunto de los si .......................





10. Sean el conjunto es el intervalo .................

11. Si ................., entonces se verifica

12. La proposici\on



es verdadera ssi ...............

13. Las soluciones del sistema

son ..........

14. Dos tuberias tardan 6 horas en llenar una piscina. Una s\ola la llenaría 5 horasm\as de prisa que la otra entonces cada tuberia tardaría individualmente en llenarla piscina ............... y ................ respectivamente

III.- Desarrollo

1. Si el radio del cilindro recto disminuye en un 10% mientras que su altura aumentaen un 12%.

en que tanto por ciento varía;

a) el volumen del cilindro

b) el \area lateral del cilindro.

2. Resolver


1. Si entonces se tiene que .


3. , la ecuaci\on anterior no tiene soluci\on

positiva



4. Si y entonces y

5.

6. Para todo se tiene .

7.

8.

9. La inecuaci\on

tiene como conjunto soluci\on todos los reales ssi

10.

11. Si f es inyectiva entonces f es creciente o bien decreciente

12. Sea , entonces el

13.

14.

15. Si f es biyectiva entonces f es creciente o bien decreciente

16. Sea , entonces el

17. El valor mínimo de la funci\on es

18. Sea

entonces el dominio m\aximo de es

19. Sean funciones entonces el dominio m\aximo de

la funci\on es .

20. Si es una funci\on inyectiva entonces es estrictamente decreciente

21. La soluci\on de la inecuaci\on es vacio.

22. Si y son funciones entonces y su

dominio es

23. Si y son funciones biyectivas entonces el producto es biyectiva

24. Si , la funci\on tiene mínimo absoluto.

II Completaci\on:

1. La recta no intersecta a la par\abola si .............



2. La par\abola , con centro en se abre hacia arriba

si y s\olo si .............

3. La ecuaci\on de la recta que pasa por el centro de la elipse

y es paralela a la recta es ..............

4. La relaci\on representa la c\onica ............. con v\ertice en..............

5. Sea ABCD el rect\angulo con lados paralelos a los ejes inscrito en la elipse

. Entonces la funci\on que representa el \area del rect\angulo enfunci\on de x es: .................

\begin{picture}(16,10)(-15,6) \bezier{350}(2,10)(10,20)(18,10) \bezier{350} (2,10)(10,0)(18,10) \put(1,10){\line(1,0){19}} \put(10,4){\line(0,1){12} } \put(5,13){\line(1,0){10}} \put(5,7){\line(1,0){10}} \put(5,7){\line(0,1){6}} \put(15,7){\line(0,1){6}}\put(10,11){--- x ---} \end{picture}

6. La relaci\on representa la c\onica ............... con centroen.............

7. Para ........y ............ la funci\on (par\abola) es decreciente

en

8. El dominio de la funci\on es .............

9. El dominio de la funci\on es ................

10. La soluci\on de la inecuaci\on

es ...............

11. Si la funci\on se define como

entonces el recorrido de la funci\on es .............

12. Sea entonces el dominio m\aximo de es ............

13. Sea y funciones, entonces el conjunto de todos los

tal que el dominio de es vacio es .................

14. Sea y , entonces el dominio m\aximo de es.........

15. El dominio de la funci\on



es ....................

16. Considere la funci\on entonces es inyectiva si y s\olo si

.............. y ...............

17. La relaci\on define una funci\on biyectiva en .................

18. Sea y entonces es ....................

19. El conjunto de los puntos tal que tiene un valor mínimo es

................

20. Sea entonces el recorrido es ...............

21. Sea una funci\on biyectiva entonces es igual a

................

22. la funci\on definida en tiene un m\aximo absoluto en ...........y un valor mínimo absoluto igual a ...........

23. La funci\on que representa el volumen (en funci\on de ) del cilindro circular recto

inscrito en un cono de de altura y de radio, es ............. y sudominio es .................

24. El dominio de la funci\on es el conjunto .............

y la gr\afica de este conjunto es ...........

25. Si .

a. es estrictamente creciente en ...............

b. es estrictamente decreciente en ...............

c. alcanza su valor m\aximo en ..............



d. El valor mínimo de es ...............

III.- Desarrollo

1. La orilla de una piscina forma un rect\angulo de 40 pies de largo y 20 pies deancho. Su profundidad aumenta uniformemente de 3 a 7 pies en un tramohorizontal de 24 pies y despu\es contin\ua al mismo nivel los restantes 15 pies,como se ilustra en la figura, la cual muestra una secci\on transversal. Si la piscina

se est\a vaciando, alcanzando un nivel en el lado m\as profundo. Determine el

volumen del agua en funci\on de la altura , especificando su dominio.

2. La compa\nia de arriendo de autos ``Jimenez", arrienda chevette a $ 10.500 pordía y 40 pesos por kil\ometro recorrido, mientras que la compa\nia `Àrancibia"arrienda el mismo tipo de auto a $ 8900 por día y a 60 pesos por kil\ometro.

a. Si x representa el n\umero de kilometros recorrido en un día, encuentre la

funci\on que representa el costo por arrendar un chevette en lacompa\nia `Àrancibia" en ese día.

b. Cuantos kilometros se debe recorrer en el día para que me convengaarrendar el auto de la compa\nia ``Jimenez".

3. Resolver la siguiente inecuaci\on

4. Determine el dominio de la funci\on


1. Si entonces existe.

2. Si es una sucesi\on decreciente entonces existe

3. La sucesi\on es convergente donde

4. La sucesi\on converge a

II Completaci\on:



1. El valor del límite

es .................

2. Sea entonces

ssi ...............

3. El valor del límite es

4. El límite

5. El valor del límite es ...................

6. El valor del límite es ...................

7. Sea , entonces el gr\afico de es ..........

8. El límite

9. El límite es ............

10. El límite es ............

11. Sea entonces

si y s\olo si .....................

12. El valor del límite siguiente



es ...............

III.- Desarrollo

1. Sea

a. Determine si es biyectiva ( si no lo es restringir de modo que lo sea) y

encuentre (especificando su dominio)

b. Determine la funci\on (especificando su dominio)

c. Calcule los siguientes límites (si existen)


1. Sea una funci\on continua en y , ade-m\as, sea

entonces se puede decir que

2. El valor de es .

3.

4. Sea y funciones. Si existe y no existe entonces

no existe.

5.



6. El límite existe.

7. El límite es 1

8. El límite es 1

9. El límite es 1

10. Para demostrar que ; dado positivo, basta tomar , asi se

tiene .

11. Sea

Determine el valor de verdad de la siguiente afirmaciones

a.

b.

c. es continua en todo

12. El valor del límite es

13. El límite no existe.

14. Sean y funciones.

Si existe y no exis-te en-ton-ces no existe.

15.

16. no existe.

17. y no existen, entonces no existe .

18. El valor del límite es .

19. Si límite de cuando existe y límite de cuando no existe, entonces

no existe.

20. Todas las funciones siguientes son continuas en

a. ;

b. ; .



c.

21. La funci\on es continua en .

II Completaci\on:

1. El valor del límite es ............

2. El límite es ............

3. El límite es ............

4. El valor del límite es .................

5. Los valores de y tal que la funci\on

resulta continua en todos los reales son ............. ........

6. Sea

Definida en un donimio apropiado, subconjunto de

a. El m\aximo dominio de continuidad de es .........

b. tiene discontinuidad reparables en los puntos .........

c. El conjunto de los puntos en que tiene discontinuidad irreparables es...............

7. Sea , con , entonces el valor del límite de cuando tiende a

es ............



8. Sea Entonces los valores de y que permiten que

la funci\on sea continua en son ........... y ............

9. Los valores de A , B que permiten que

sea continua en son ..............

10. Sea tal que

la funci\on es continua en ssi

11. Sean tal que

ser\a continua en ssi

III.- Desarrollo



1. donde son n\umeros reales fijos:

a. Calcule el límite lateral derecho de en 0.

b. Calcule el límite lateral izquierdo de en 0.

c. Calcule los límite laterales de en -1.

d. Encuentre los valores de y , para que sea continua en -1

e. Encuentre los valores de y , para que sea continua en 0


1. Si no es derivable en pero continua en y f es derivable en entonces el

producto no es derivable en .

2. Sean , la funci\on tiene s\olo un m\aximo en los reales.

3. La ecuación de la recta tangente a la curva definida implícitamente por

en el punto es .

4. La funci\on no tiene mínimo

5. La funci\on no tiene m\aximo y no tiene mínimo.

6. Si y entonces

7. Si la velocidad de crecimiento de la base de un tri\angulo es de 3 m/seg y la altura4 m/seg, entonces la velocidad de crecimiento de su \area en el instante que

cuando su base es de 12 metros y su altura de 20 metros es de 54 /seg

8. Toda funci\on acotada tiene extremos

9. La funci\on no tiene extremo.

II Completaci\on:

1. Dada las funciones y definidas por



a. El Recorrido de es ............

b. El Dominio de es ................

c.

d. La derivada de la funci\on en el punto 2 es ...........

2. Si

a. es continua en si y s\olo si .............. y ...............

b. es derivable en si y s\olo si .............. y ...............

3. El valor del límite

4.

5. Considere el valor del límite

6. Si , entonces ...............

7. Si



entonces ...............

8. La derivada de es ....................

9. Si

entonces ...............

10. La derivada de

es ..............

11. La derivada de

es ................

12. La derivada de

13. Sea entonces el dominio de la derivada de es ...............



14. Sea una funci\on con derivada y , entonces el

valor de es ....................

15. Sea , con una funci\on derivable en , entonces en

es ................

16. Sea , entonces es ...........

17. Sea entonces el valor que hace derivable la funci\on

en es ...............

18. Sea entonces

19. Sea para entonces es igual a...............

20. La derivada de con es ..........

21. Sea la funci\on definida por:

La funci\on es derivable en si los valores de y son .............

22. Sea

a. es continua en para los siguientes valores de ...............

b. es derivable en para los siguientes valores de ...............

23. Sea entonces la derivada de es .......................

24. Sea , entonces en un conjunto apropiado la derivada de con

respecto a es: .............



25. Dada la relaci\on ella define cerca del cero una

funci\on derivable , entonces la derivada de es..........

26. Sea , con para todo entonces la derivada

de es .............

27. Los lados de un tri\angulo de perímetro mínimo con \area fija , así como tambi\en

fija su base son ................

28. La ecuaci\on de la recta tangente a la gr\afica de la funci\on dadaparametricamente por

en el punto es ................

29. La funci\on es creciente en el siguiente conjuntos ................

30. La ecuaci\on de la recta tangente a la curva en es.................

31. La pendiente de la recta tangente a la gr\afica de en el punto es.............

32. La derivada de una funci\on es y

entonces ...............

33. Sea , con , entonces la derivada de la

funci\on inversa en el punto , es decir, es ................

34. sea entonces la derivada de la funci\on

inversa en el punto ,( ) es ..................

35. El límite

es ..................

36. El valor del límite es ..........

37. El valor del límite es ..............

38. Dada la curva en forma implícita. Cuantos puntos de la funci\on

tiene recta tangente paralela a eje x ...............

39. Un jardin es dise\nado con la forma de un sector circular de \angulo y radio

como en la figura. El jardinero cuenta con semillas sembrar A . Para determinarlas dimensiones del jardín de tal forma que se gaste lo menos posible en cercalo



entonces la funci\on a mínimizar en la variable es ...............

40. El rect\angulo ABCD de \area m\axima inscrito entre la gr\afica de , el eje

OX (un lado sobre este eje) y la recta tiene \area igual a ..............

41. El rect\angulo ABCD de \area m\axima inscrito entre la par\abola , el eje

OX (uno de los lados en este eje) y la recta tiene \area igual a ...............

42. Sea un polinomio con coeficientes y , entonces

tiene un m\aximo local en y un mínimo local en si sus coeficientes soniguales a ....................

43. Dos trenes se alejan de un cruce que forma un \angulo de a velocidades de

y . Cuando el primer tren esta a del cruce entonces lavelocidad con que se estan alejando los trenes es de ...............

44. Las asíntotas verticales de son (es) ................

45. Los puntos de inflexi\on de son .........

46. La gr\afica de tiene infinitas rectas tangentes (una por cada punto). Dos

de esta rectas tangente pasa por el punto , una de ella es la tangente a otropunto. El punto es ...........

47. La gr\afica de la funci\on tiene puntos de inflexi\on en .............

48. La gr\afica de es ....................

49. Sea entonces

a. es creciente en ...............

b. es concava (hacia arriba) en .............

c. tiene asíntota vertical en ............

d. tiene asíntota horizontal en .............

50. Las asíntotas de son ..........

51. La ecuaci\on de la recta tangente a la curva definida implicitamente por larelaci\on

en es ..........

52. La ecuaci\on de la recta tangente a la curva en es .................

53. La funci\on es estrictamente creciente en .................

54. La funci\on definida en tiene un m\aximo en .....................



55. La funci\on es estrictament decreciente s\olo en el intervalo .............

56. La velocidad de desvalorizaci\on de un equipo por el uso del mismo es

proporcional en cada momento a su costo real . La expresi\on que representa el

enunciado anterior donde es una constante positiva y t es el tiempo es .............

III.- Desarrollo

1. Derive

2. Calcular las derivada de

3. Utilice la ecuaci\on del Ovalo de Cassini.

a. Encuentre

b. ?` Se puede encontrar las ecuaciones de la recta tangente al ovalo de

Cassini en los puntos y ?

c. Encuentre la recta tangente an los puntos anteriores en los que se puedan.

4. Sean .

Determinar si la funci\on es soluci\on de la ecuaci\on diferencial

5. Se desea construir un tanque de acero con la forma de un cilindro circular recto ysemiesferas en los extremos (ver la figura) para almacenar gas propano. El costopor pie cuadrado de los extremos es el doble del de la parte cilíndrica, donde el

costo del metro cuadrado del cilindro es . ?`Qu\e dimensiones minimizan el

costo si la capacidad deseada es de ?

Ayuda:

6. Un campesino tiene dinero para comprar 1500 metros de alambre de puas, talcam-pe-sino desea cercar con 5 hebras de alambres un terreno rect\angular en supredio, en caso que x represente un lado del rect\angulo, determine la funci\on

\area del terreno cercado con este alambre en terminos de x. Mediante, la



gr\afica de la funci\on encuentre las dimensiones del terreno con m\axima\area

7. Se desea construir un estanque en forma c\onica (recto) con capacidad para

litros. si 1 litros de impermeabilizante cubre de superficie. ?`Cuales

deben ser las dimensiones del cono para que se use una cantidad mínima deimpermeabilizante ? ?`Cu\antos litros se deben comprar para pintar tal cono?

Ayuda: Superficie de un cono de radio y altura es y su volumen es

. Cuidado con las unidades

8. Dos f\abricas A y B que se encuentran a 4 millas una de la otra, emiten humo conpartículas que contaminan el aire de la regi\on . Suponga que el n\umero departículas proveniente de cada f\abrica es directamente proporcional a la cantidadde humo e inversamente proporcional al cubo de la distancia desde la f\abrica. ?`Qu\e punto entre A y B tendr\a la menor contaminaci\on si la f\abrica A emite eldoble de humo que la f\abrica B ?

9. Calcular las dimensiones del cono invertido (de modo que los ejes coinciden) de

volumen m\aximo que se puede inscribir en un cono de altura cm y radio cm.Cu\al es el volumen m\aximo.

10. Una escalera de pies de largo est apoyada contra una muralla. El pie de la

escalera es arrastrado, alej\andola de la muralla a raz\on de pies por segundo ?À qu\e velocidad se desliza hacia abajo el extremo superior de la escalera en el

instante que el pie de ella, est\a a pies de la muralla ?

11. Considere

a. Determine Dom

b. Calcule

c. Calcule

(Ayuda : Calcule

d. Calcule

e. ?` Qu\e puede decir de los límites (3) y (4) cuando ? (son iguales odistintos).

f. Grafique , considerando la informaci\on obtenida anteriormente y

sabiendo que las gr\aficas de y son

12. Sea f la funci\on continua ]-7,20] salvo en los puntos -3 y 10 y que satisface losiguiente

a.

b.

c.

d.

e.



f. la tabla

x -7 -5 -3 -1 0 1 3 5 10 20

f'(x) + + 8 0 0 0 - 3 + 0 - + 0

f(x) - - 3 5 0 5 3 6 20

Grafique f

13. Considere, para el análisis y la gráfica de la función

y .

Indicar en la tabla siguiente:

a. Determine el

b. Los valores de donde la gr\afica cambia de comportamiento.

c. Los sectores de crecimiento y decrecimiento

d. los sectores donde la gr\afica es concava hacia arriba y donde es concavahacia abajo.

Puntos Importante

Signo de

Signo de

Crecimiento y

Decrecimiento

Concava y convexa

e. Las asíntotas verticales son

f. Las asíntotas oblicuas son

g. Grafique

14. Considere, para el an\alisis y la gr\afica de la funci\on ,

y .

Indicar en la tabla siguiente:

a. Determine el

b. Los valores de donde la gr\afica cambia de comportamiento.

c. Los sectores de crecimiento y decrecimiento

d. los sectores donde la gr\afica es concava hacia arriba y donde es concavahacia abajo.

Puntos Importante

Signo de

Signo de

Crecimiento y

Decrecimiento



Concava y convexa

e. Las asíntotas verticales son

f. Las asíntotas oblicuas son

g. Grafique

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Matematicas Para Ingenieria; Introduccion Al Calculo

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