Matemáticas para administración y economía Hausler

Matemticas para Administracin y Economa

Matemticas para Administracin y Economa- Segunda Edicin

Ernest F. Haeussler, Ir./ Richard S. Paul The Pennsylvania State University I

Traductor: Lic. Alfred0 Daz Mata Facultod de Cantadurio y Administracin

Mxico, D.F. Universidad Nacional Autnoma de Mxico (UNAM).

Revisores Tcnicos:

Ing. Francisco Paniagua Docanegra Universidad Nocionol Autonoma de Mexico (UNAM). Mxico, D.F.

Ing. Andrds Rojas Lobato

Puebla. Mexico. Universidod de las Americas (UDLA).

S.A. de C. I? -

G m p E d b k l ~ ~ Nebwka 199. Col. Npoles, 03810 Mhico, D.E %l. 523 O9 94 Far 543 11 73

Versin en espaol de la obra lntroducrory Muthemuticul Analysis Sixth Edition 1 x 1 1 - Ernest F. Haeusder, Jr. y Richard S. Paul. Edicin original en ingls publicada por Prentice-Hall, Inc.. Copyright 0 1990, en Estados Unidos de Amrica. ISBN 0-13-501438-7

D.R. @ I992 por Grupo Editorial Iberoamrica, S.A. de C.V. Ninguna parte de este libro puede ser reproducida, archivada o transmitida e11 forma alguna o mediante algn sistema, ya sea electrnico, mecanico, de fotorreproduccin, de almacenamiento en memoria o cualquier otro, \ i n el previo y expreso permiso por escrito de Grupo Editorial Iberoamrica.

ISBN 968-7270.97-7 Impreso en Mxico

Edrfor: Nicols Grepe P. Prohtctor: Enrique Fradera T. ( 'u~ ' ) iw/u; Suzanne Behnke i ocogmfiir de cubierfu: Slide Graphics of Ne\& England lnc

Grupo Editorial Iberoamrica S.A. de C.V. Nebraska 199, Col. Npoles, C.P. 03810 Mxico, D.F. Tel. 523-0994 Fax. 543-1173

Reg. CNIEM 1382 Apdo. 5-192, C.P. 06500

Prlogo

Esta nueva edicin de Maternticaspara Adrninistracicin J* Economa contina propor- cionando un fundamento matemtico apropiado para los estudiantes de Administra- cin, Economa, y Ciencias Sociales y Biolgicas. Comienza con los temas previos a la ciencia del Clculo, como ecuaciones, funciones, matemticas financieras, geometria analtica, lgebra matricial y programacin lineal. Luego presenta los aspectos del Clcu- lo en una y varias variables. Las demostraciones tcnicas, condiciones, etc., se describen en el grado suficiente, sin llegar a la sobreestimacin. Se proporcionan a veces razona- mientos intuitivos informales destinados a preservar la claridad.

En todo el libro se tiene abundancia y variedad de aplicaciones para los cursos a los que se dirige este texto; los estudiantes perciben continuamente cmo se utilizan las mte- mticas que estn aprendiendo. Tales aplicaciones son en reas tan diversas como las ciencias econmico-administrativas, las ciencias de la salud (biologa, medicina, psicolo- ga), ciencia de la Tierra, Ecologa, Arqueologa, etc. Al final de la obra figura un amplio indice de aplicaciones. Muchas de estas aplicaciones en el mundo real se han tomado de las publicaciones de esos campos y se documentan con referencias. En algunos casos se proporciona el contexto completo a fin de estimular el inters. Sin embargo, este libro es virtualmente autosuficiente en el sentido de que considera que no existe estudio previo de los conceptos sobre los cuales se basan las aplicaciones.

Deseminadas en toda la extensin de la obra se presentan al lector muchas indicaciones acerca de errores que se cometen por lo general, las cuales se especifican como Adverten- cias. Las definiciones se enuncian y presentan con claridad. Los conceptos clave, as como las reglas y las frmulas importantes, se destacan en recuadro para patentizar su importancia. Casi 800 ejemplos y problemas resueltos se analizan en detalle. As mis-

V

VI PRLOGO

mo, se incluye u n abundante nmero de ejercicios (ms de 4000). En cada conjunto de ejercicios hay grupos de problemas que se dan en orden creciente de dificultad; en tales grupos los problemas se gradan desde los de tipo bsico de resolucin mecnica directa, hasta los de carcter ms interesante que provoca el razonamiento profundo. Se incluyen muchos problemas de tipo prctico con datos reales. As mismo, se ha realiza- do un esfuerzo considerable para lograr un equilibrio adecuado entre los ejercicios de simple aplicacin y los problemas que requieren la integracin de los conceptos aprendi- dos. Cada captulo (excepto el 1 ) contiene una seccin final titulada Reposo y que est compuesta por las subsecciones Terminologa y smbolos, Resumen y Problemas de repaso.

Las Respuestas a los problemas de nmero irrlpar aparecen al final del libro. Para muchos de los problemas de diferenciacin de los Captulos 1 1 y 12, las respuestas se dan en las formas no simplificada y simplificada. Esto permite que los estudiantes verifi- quen fcilmente su trabajo.

En esta edicin se han efectuado varios cambios. En algunas secciones el material ha sido reescrito y reorganizado para lograr una mayor claridad. Algunos conjuntos de ejercicios se han revisado. Como temas nuevos se tienen las ecuaciones exponenciales y logaritmicas (Secc. 6.4), el teorema del valor extremo (Secc. 13.2) y el mtodo de New- ton para aproximacin de la raz (Secc. 14.2). Se presentan anticipadamente las nociones de intercepcin y simetra respecto a los ejes (Cap. 4) para exponer el trazo de grficas sin el auxilio de la derivada, Se ha ampliado el Cap. 6 (Funciones exponenciales y logartmicas); incluye ahora el inters compuesto, el decrecimiento radiactivo y una seccin sobre ecuaciones logaritmicas y exponenciales. Se han hecho cambios extensos al Cap. 10 (Lmites y continuidad). E n particular, la seccin sobre continuidad refleja el papel de los lmites. El captulo sobre diferenciacin se ha dividido en dos para tener ms flexibilidad. Como resultado, las derivadas de las funciones logaritmicas y exponenciales, junto con la diferenciacin implcita y las derivadas de orden superior, estn en un capitulo por separado. Ha sido reorganizado el Cap. 13 referente al trazo de grficas. En primer lugar se analiza la graficacin de funciones que carecen de asntotas y se concluye con la investigacin de stas. Adems, los valores y puntos extremos se tratan ahora en una seccin separada, En Cap. 15 (Integracin), los problemas de valor inicial se introducen en una nueva seccin.

Una novedad en esta edicin es la inclusin de una Aplicacin prctica al final de cada capitulo. Cada aplicacin es un caso interesante, y a veces novedoso, de utilizacin de los conceptos matemticos expuestos en el captulo respectivo. Muchas de las aplicaciones incluyen ejercicios.

Como todos los profesores establecen el plan de su curso de acuerdo con las condiciones de cada grupo y el plan de estudios establecido, no se intentar proponer esbozos de planes. Sin embargo, dependiendo de la preparacin de los estudiantes, algunos profesores opten por omitir el Cap. 1 (Repaso de lgebra) o el Cap. 2 (Ecuaciones). Otros podran excluir las materias de lgebra matricial y programacin lineal. Ciertamente que hay Otras secciones que pueden ser omitidas a discrecin del maestro. Como ayuda para planear un curso, quiz sean tiles algunos comentarios. La Secc. 3.1 introduce algunos trminos de administracin como ingreso total, costo fijo, costo variable y utilidades. La Secc. 5.2 introduce la nocin de las ecuaciones de oferta ( o abasto) y demanda, Y la Secc. 5.6 analiza el punto de equilibrio. Algunas secciones son optativas y no causarn problemas s i son omitidas. Tales son las 9.3, 9.5, 14.2, 16.1, 16.2, 17.4, 17.6, 17.9 Y 17.10. La Secc. 8.9 puede omitirse si no se trata la Secc. 8.10.

PROLOGO VI I

Los interesados pueden conseguir de la casa editorial el extenso Manual del Profesor, que contiene las respuestas a todos los problemas, y la resolucin detallada de un gran nmero de ellos. Como otras ayudas didcticas tambin estn disponibles un Banco de Exmenes Computadorizado, un Manual de Soluciones para el Estudiante, y la Edi- cin Anotada para Profesores, de este libro de Matemticas para Administracin y Economa.

Los problemas para resolver con ayuda de la calculadora electrnica se indican

Expresamos nuestro agradecimiento a los siguientes colegas que aportaron comentarios y sugerencias degran valor para laevolucin deeste libro: R. M. Alliston (Pennsylva- nia State University), R. A. Alo (University of Houston), M. N. de Arce (University of Puerto Rico), G. R. Bates (Western Illinois University), D. E. Bennett (Murray State University), C. Bernett (Harper College), A. Bishop (Western Illinois University), S. A. Book (California State University), A. Brink ((St. Cloud State University), R. Brown (York University), R. W. Brown (University ofAlaska), S. D. Bulman-Fleming (Wilfrid Laurier University), D. Calvetti (National College), K. S. Chung (Kapiolani Community College), D. N. Clark (University of Georgia), E. L. Cohen (University of Ottawa), J. Dawson (Pennsylvania State University), A. Dollings (Pennsylvania State University), G. A. Earles (St. Cloud State University), B. H. Edwards (University of Florida), J. R . Elliott ( WiIJrid Laurier University), J. Fitzpatrick (University of Texas at El Paso), M. J. Flynn (Rhode Island Junior College), G. J. Fuentes (University of Maine), G. Goff (Oklahoma State University), J. Goldman (DePaul University), L. Griff (Penn- sylvania State University), F. H. Hall (Pennsylvania State University), V. E. Hanks ( Wes- tern Kentucky University), J. N. Henry (California State University), W. U. Hodgson ( West Chester State College), B. C. Horne, Jr. (Virginia Polytechnic Institute and State University), J. Hradnanski (PennsylvaniaState University), C. Hurd (Pennsylvania Sta- te University), J. A. Jimenez (Pennsylvania State University), W. C. Jones (Western Kentucky University), R. M. King (Gettysburg College), M. M. Kostreva (University of Maine), G . A. Kraus (Cannon University), M. R. Latina (Rhode Island Junior Colle- ge), J. F. Longman (Villanova University), I. Marshak (Loyola University of Chicago), F. B. Mayer (Mt. San Antonio College), P. McDougle (University of Miami), F. Miles (CaliforniaState University), E. Mohnike (Mt. San Antonio College), C. Monk (Univer- sityof Richmond), J. G. Morris (University of Wisconsin-Madison), J.C. Moss (Padu- cah Community College), D. Mulling (Pennsylvania State University), E. Nelson (Pennsylvania State University), S. A. Nett (Western Illinois University), R. H. Oehmke (University oflowa), Y.Y. Oh (Pennsylvania State University), N. B. Patterson (Penn- sylvania State University), E. Pemberton ( Wirfrd Laurier University), M. Perkel (Wright State University), D. B. Priest (Harding College), J . R. Provencio (Universityof Texas), L. R. Pulsinelli (Western Kentucky University), M. Racine (University of Ottawa), N. M . Rice (Queen's University), A. Santiago (University of Puerto Rico), W. H . Seibold, Jr. (West Chester State College), J . R. Schaefer (University of Wisconsin-Milwaukee), S. Sehgal (Ohio State University), S. Singh (Pennsylvania State University), E. Smet (Huron Colcege), M. Stoll (University of South Carolina), B. Toole (University of Mai- ne), J. W. Toole (University of Maine), D. H. Trahan (Naval Postgraduate School), J. P. Tul1 (OhioState University), L. O. Vauhan, Jr. (UniversityofAlabamain Birming- ham), L. A. Vercoe (Pennsylvania State University), M. Vuilleumier (Ohio State Univer- sity), B. K. Waits (Ohio State University), A. Walton (Virginia Polytechnic Institute and State University), H. Walum (Ohio State University), A. J. Weidner (Pennsylvania

Vlll PRLOGO

Srute University), 1.. Weiss (Pennsylvania State UniversitJj), N. A. Weigmann (Califor- niu State University), C . R. B. Wright (University of Oregon), C . Wu (University of Wisconsin-Milwaukee).

Adems, agradecemos en especial a los colegas mencionados a continuacin, sus tiles comentarios y sugerencias para el mejoramiento de esta edicin: John T. Gresser ( B o w ling Green Stnte University), Raymond C. Heitmann (The University of Texasat Austin), Don Mason (Elmhurst College), Robert A. Moreland (Texus Tech University), Gordon Shilling (The University of Texas at Arlington), Laurence Small (Los Angeles Pierce College), Edward T. H. Wang ( Wilfrid Laurier Universiry), y Gloria Woods (Ohio Strrte University).

Por ltimo, vaya nuestro sincero reconocimiento a John Morgan, nuestro supervisor editorial, por su paciencia, ayuda experta y entusiasta colaboracin.

Ernest F. Haeussler, Jr . Richard S. Paul

1

m

Contenido

Prlogo v

C A P T U L O 1 Repaso de lgebta 1.1 Propsito 1 1.2 Conjuntos y nmeros reales 1 1.3 Algunas propiedades de los nmeros reales 3 1.4 Operaciones con nmeros reales 7 1.5 Exponentes y radicales 1 1 1.6 Operaciones con expresiones algebraicas 17 1.7 Factorizacin 23 1.8 Fracciones 26

C A P T u L o 2 Ecuaciones 2.1 Ecuaciones lineales 33 2.2 Ecuaciones que conducen a ecuaciones lineales 40 2.3 Ecuaciones cuadraticas 43 2.4 Complemento 49 2.5 Repaso 50

Aplicacin prctica: Crecimiento real de una inversin 52

33

IX

X CONTENIDO

CAP~TULO 3 Aplicaciones de las ecuaciones y desigualdades

3.1 Aplicaciones de las ecuaciones 55 3.2 Desigualdades lineales 62 3.3 Aplicaciones de las desigualdades 68 3.4 Valor absoluto 71 3.5 Repaso 76

Aplicacin prctica: Grabacin de calidad en videograbadoras 78

CAPTULO 4 Funciones y grficas 4.1 Funciones 81 4.2 Funciones especiales 88 4.3 Combinaciones de funciones 92 4.4 Grficas en coordenadas rectangulares 97 4.5 Simetra 107 4.6 Repaso 1 13

Aplicacin prctica: Una experiencia en el pago de impuesto! 1 17

CAP~TULO 5 Rectas, parbolas y sistemas 5.1 Rectas 121 5.2 Aplicaciones y funciones lineales 127 5.3 Funciones cuarticas 135 5.4 Sistemas de ecuaciones lineales 141 5.5 Sistemas no lineales 151 5.6 Aplicacin de los sistemas de ecuaciones 153 5.7 Repaso 163

Aplicacin prctica: Un juego de tenis? 167

CAPTULO 6 Funcisnes exponenciales y logastmica

6.1 Funciones exponenciales 172 6.2 Funciones logartmicas 18 1 6.3 Propiedades de los logartmos 188 6.4 Ecuaciones logaritmicas y exponenciales 195 6.5 Repaso 201

Aplicacin prctica: Dosificacin de medicamentos 205

55

01

121

172

CONTENIDO

CAPTULO 7 Matemticas financieras 7.1 Inters compuesto 208 7.2 Valor actual ( o presente) 212 7.3 Anualidades 21 7 7.4 Amortizacin de crditos 227 7.5 Repaso 232

Aplicacin prctica: La regla de los 78 235

XI

208

c n P i T u L o 8 Algebra de matrices 240 8.1 Matrices 240 8.2 Adicin de matrices y multiplicacin por un escalar 247 8.3 Multiplicacin de matrices 254 8.4 Mtodo de reduccin 264 8.5 Mtodo de reduccin (continuacin) 273 8.6 Inversas 279 8.7 Determinantes 287 8.9 Inversas utilizando la adjunta 299

8.10 Anlisis de insumo-produccin (o insumo-producto) 304 8.11 Repaso 309

Aplicacin practica: Los requisitos de administracin de insulina como un proceso lineal 31 2

CAP~TULO 9 Programacin lineal 9.1 Desigualdades lineales con dos variables 31 5 9.2 Programacin lineal 321 9.3 Soluciones ptimas mltiples 330 9.4 El mtodo simplex 332 9.5 Degeneracin, soluciones no acotadas, soluciones p ima \

mltiples 345 9.6 Variables artificiales 35 1 9.7 Minimizacin 363 9.8 El dual 368 9.9 Repaso 376

Aplicacin prctica: Terapias con frmacos y radiacin 379

31 5

CAPiTULO 10 lmites y continuidad 381 10.1 Lmites 1 381 10.2 Lmites (continuacin)/ 388 10.3 Inters compuesto en forma continua 398 10.4 Continuidad 401 10.5 Aplicacin de la continuidad a las desigualdades .408 10.6 Repaso 413

Aplicacicin prctica: Dficit de presupuesto 417

XI I CONTENIDO

CAPTULO 11 Diferenciacin (o derivacin) 11.1 La derivada 420 11.2 Reglas para la diferenciacicn 427 11.3 La derivada como tasa de variacin 435 11.4 Diferenciacin y continuidad 445 11.5 Reglas del producto y el cociente 147 11.6 La regla de la cadena y de la potencia . 455 11.7 Repaso 463

CAPTULO 12 Temas adicionales sobre diferenciacin

12.1 Derivadas de funciones logartmicas 468 12.2 Derivadas de funciones exponenciales ,- 473 12.3 Diferenciacin implcita 378 12.4 Diferenciacin logaritmlcd 483 12.5 Derivadas de orden superior (o sucesivas) 486 12.6 Repaso 490

CnpTuLo 13 Trazo de CUCVOS 13.1 Extremos relativos o locales 493 13.2 Valores extremos 504 13.3 Concavidad 505 13.4 Prueba de la segunda derivada 5 13 13.5 Asintotas 515 13.6 Repaso 525

420

468

493

CAPTULO 14 Aplicaciones de la diferenciacin 529 14.1 Aplicacin de mximos y mnimos 529 14.2 El mtodo de Newton 540 14.3 Diferenciales 545 14.4 Elasticidad de demanda 550 14.5 Repaso 555

CAPTULO 15 Integracin 15.1 La integral indefinida / 553 15.2 Integracin con condiciones iniciales 565 15.3 M& frmulas de integracin 563 15.4 Tcnicas de integracion I 578 15.5 Sumatoria 583 , 15.6 La integral definida,/ 586

558

CONTENIDO Xlll

15.7 El Teorema fundamental del Clculo Integral 595 15.8 rea 604 15.9 rea entre curvas 610

15.10 Excedentes de consumidores y fabricantes 617 15.1 1 Repaso 621

Aplicacin prctica: Precio de un articulo entregado 626

CAPTULO 16 Mbtodos y a@CaCiOneS de la integracin

16.1 Integracin por partes 629 16.2 Integracin por fracciones parciales 633 16.3 Integracin por medio de tablas 640 16.4 Valor promedio de una funcin 647 16.5 Integracin aproximada 649 16.6 Ecuaciones diferenciales 654 16.7 Ms aplicaciones de las ecuaciones diferenciables 663 16.8 Integrales impropias 671 16.9 Repaso 675

Aplicacin prctica: El rgimen dietario 680

CAPTULO 17 Clculo en varias variables 17.4 Funciones de varias variables 682 17.2 Derivadas parciales 689 17.3 Aplicaciones de las derivadas parciales 696 17.4 Diferenciacin parcial implcita 702 17.5 Derivadas parciales de orden superior 705 17.6 Regia de la cadena 708 17.7 Mximos y minimos paa funciones de dos variables 713 17.8 Multiplicadores de Lagrange 722 17.9 Lneas de regresin 729

17.10 U n comentario sobre las funciones homogneas 737 17. I 1 Integrales mltiples 738 17.12 Repaso 743

Aplicacin prctica: Anlisis de datos puru modelar el en.friarniento 748

APNDICE A Potencias, races y recprocos

APNDICE Valores de ex y e-x

APNDICE c logartmos naturales

629

682

751

754

156

XIV CONTENIDO

APNDICE D Inters compuesto

APNDICE E Integrales seleccionadas

APNDICE F reas bajo la curva normal estndar

Respuestas a problemas de nmero impar

lndice

lndice de aplicaciones

759

774

778

780

820

830

Matemticas para Administracin y Economa

CAPTULO 1 Repaso de lgebra

-1 .l Propsito Este captulo est diseado para ofrecer un breve repaso de algunos trminos y mtodos necesarios en la manipulacin matemtica. Sin duda, el lector ha estado expuesto a gran parte de este material en ocasiones anteriores. Sin embargo, debido a que estos temas son importantes para manejar las matemticas que vienen despus, es posible que una segunda exposicin resulte benfica. Se debe dedicar a estas secciones el tiempo necesario para repasarlas.

- 1.2 Conjunto. y nmeros reales En trminos simples, un conjunto es un grupo de objetos. Por ejemplo, se puede hablar del conjunto de los nmeros pares entre 5 y 11, que son el 6, el 8 y el 10. A un objeto que se encuentre en un conjunto se le denomina miembro o elemento de aqul.

Una forma de especificar un conjunto es listando sus miembros, en cualquier orden, dentro de llaves. Por ejemplo, el conjunto anterior es (64 8, lo}, el cual se puede denotar mediante una literal como A . Se dice que un conjunto A es un subconjunto de un conjunto B si, y slo si, todos los elementos de A son tambin elementos de B. Por ejemplo, si A = {6, 8, 10) y B = (6, 8, 10, 12}, entonces A. es un subconjunto de B.

Ciertos conjuntos de nmeros tienen nombres especiales. Los nmeros 1, 2, 3, etc., forman el conjunto de los enteros positivos (o nmeros naturales):

conjunto de los enteros positivos = (1, 2,' 3 . . . } ,

Los tres puntos significan que la lista de elementos no tiene fin, aun cuando se sabe cules son los elementos.

Los enteros positivos, junto con el cero y los enteros negativos - 1 , -2, -3, , . . forman el conjunto de los enteros:

conjunto de los enteros = {. . . , -3, -2, - 1 , O, 1, 2, 3, . . .}. 1

2 I REPASO DE ALGEBRA

El conjunto de los nmeros racionales consiste en nmeros como 4 y 3 , que se pueden escribir como una razn (cociente) de dos enteros. Es decir, un nmero racional es aquel que puede escribirse como p/q, donde p y q son enteros y q f O. (El smbolo

# se lee es diferente de.) No se puede dividir entre cero. Los nmeros - - 19 - 2 20 7

-6 2 - 2 1

y __ son racionales. El entero 2 es racional puesto que 2 = - . De hecho, todos los

enteros son racionales. Se debe sealar que - - - - 2 1 3 - 4 4 2 6 -8

y 0.5 representan todos el mis-

mo nmero racional. Todos los nmeros racionales se pueden representar mediante nmeros decimales

conmensurables (con un nmero definido de cifras), tales como 2 = 0.75 y 4 = 1.5, o mediante decimales inconmensurables peridicos (con un grupo de dgitos que se repi-

2 ten indefinidamente), tales como - = 0.666. . ., - = -0.3636. . . y & = 0.1333. . . 3 11

- 4

Los nmeros que se representan mediante decimales inconmensurables no peridicos se llaman nmeros irracionales. Un nmero irracional no se puede escribir como un entero dividido entre otro entero. Los nmeros a (pi) y 1/z son irracionales.

Juntos, los nmeros racionales y los nmeros irracionales forman el conjunto de los nmeros reales, Estos nmeros pueden representarse mediante puntos en una recta. esto se elige primero un punto de la recta para representar el cero. A este punto se le denomina origen (vase la Figura 1.1). Despus, se elige una unidad de medida de distancia, a la que se le denomina distancia unitaria y se marca en forma sucesiva tanto hacia la izquierda como a la derecha del origen. A cada punto sobre la recta se le asocia una distancia dirigida, o nmero con signo, que depende de la posicin del punto con respecto al origen. Las posiciones que se encuentran a la derecha del origen se las considera positivas ( + ), y a las que se estn a la izquierda se las considera negativas (-). Por ejemplo, al punto que se encuentra + unidad a la derecha del origen le corresponde el nmero con signo +, al que se le denomina la coordenada de ese punto. De manera similar, la coordenada del punto que se sita a 1.5 unidades a la izquierda del origen es -1.5. Se indican las coordenadas de algunos puntos en la Figura l . l . La pun- ta de flecha indica que la direccin hacia la derecha de la recta se considera positiva.

Recto de los nmeros feotes

-r -1.5 f & T - 1 - 1 - - I- - ,+ Direcci6n positiva 3 -2 -1 o 1 2 3

Origen

FIGURA I .I

A cada punto de la recta le corresponde un nmero real nico, y a cada nmero real le corresponde un punto nico en la recta. Por esta razn, se dice que existe una correspondencia de uno a uno entre los puntos de la recta y los nmeros reales. A dicha recta se la llama eje de coordenadas o recta de los nmeros reales. Se pueden considerar los nmeros reales como puntos en una recta numrica, y viceversa.

1.3 Algunas propiedades de los nmeros reales 3

EJERCICIOS 1.2

En los Problemas 1-12, clusiLfcar el planteamiento como verdadero o falso. Si es falso, diga cul es la razdn.

1. -7 es un entero. u'

3. -3 es un nmero natural. 7 p ' ~ * ~ L' R c , ~ r ' " ' " 4. O no es racional. . . , ' ' ' . 5. S es racional. G' 6. 5 es un nmero,racional. ; 7. 4 no es un entero positivo. i- .:, I . 9. 8 es racional. d

\~ ' 2. Q es racional. V

' , . . i <

, L , X , ' /f i*'. , , > ,

4 1 REPASO DE LGEDKA

4. Propiedades de los inversos a. Para cada nmero real a, existe un nmero real nico, denotado por -a,

tal que

a + (-a) = o.

El nmero -a se denomina inverso aditivo, o el negativo, de a.

Por ejemplo, puesto que 6 + (-6) = O, el inverso aditivo de 6 es -6. El inverso aditivo de un nmero no es necesariamente un nmero negativo. Por ejemplo, el inverso aditivo de -6 es 6, puesto que (-6) + (6) = O . Es decir, el negativo de -6 es 6.

b. Para todo nmero real a, exceptuando el O, existe un nmero real nico, denotado por a-' tal que

a . a-' = 1.

Al nlimero a-' se le denomina inverso multiplicativo de a.

As, todos los nmeros excepto el O tienen un inverso multiplicativo. Se debe recordar

que a-] se puede escribir como - y tambin se le denomina rec@roco de a. Por ejem-

plo, el inverso multiplicativo de 3 es 4, dado que 3(f) = 1. As, f es el recproco de 3. El recproco de f es 3, puesto que (4)(3) = 1. El reciproco de O no est definido.

1 a

5. Propiedades distributivas

a(b + c) = ab + ac y (b t c)a = ba + ca

Por ejemplo,

'713 + 4) 2(3) + 2(4) = 6 -t 8 = 14, (2 + 3)(4) == 2(4) + 3(4) = 8 + 12 = 20,

X(Z + 4) = x(z) + x(4) = xz + 4x. La propiedad distributiva se puede extender a la forma a(b + c + d ) = ab -t-

(IC + ad. De hecho, puede amp!iarse a sumas que implican cualquier nmero de trminos. La sustruccidn o resta se define formalmente mediante Ia propiedad del inverso

aditivo: a - b significa a + (-b), en donde -b es el inverso aditivo de b. As 6 - 8 significa 6 + (-8). Por ello, la sustraccin se define en trminos de la adicin.

1.3 Algunas propiedades de los nmeros reales 5

De manera similar se define la divisin en trminos de la multiplicacin. Si I, # a b

O, entonces a + 6, o -, se define como a - = a(b"). b

1 Puesto que b" = -

b' a - = a(b") = a(:) b

1 Puesto que b" = -

b' a - = a(b") = a(:) b

As 2 significa 3 tantos 4, en donde 4 es el inverso multiplicativo de 5. En ocasiones se llama a a + b o - razn de a a b. Es importante destacar que como el O no tiene inverso multiplicativo, la divisin entre O no est definida.

des anteriores:

a

b

Los siguientes ejemplos muestran algunas operaciones que implican las propieda-

EJEMPLO 1

a. x ( y - 32 + 2w) = ( y - 3: + 2w)x, por la propiedad conmutativa de la multiplicacin. b. Por la propiedad asociativa de la multiplicacin, 3(4 . 5) = (3 4)5. As, el resulta-

do de multiplicar 3 por el producto de 4 y 5 es igual al resultado de multiplicar el producto de 3 y 4 por 5. En uno u otro caso el resultado es 60.

c. Por la definicin de la resta, 2 - fl = 2 + (- fi). Sin embargo, mediante la propiedad conmutativa de la adicin, 2 + (- \e) = -t/z + 2. As, por la propiedad transitiva, 2 - t/z = -t/z + 2. En forma ms concisa, se puede escribir

2 - V 2 = 2 + ( - V 2 ) = - f i + 2 . d. (8 + x) - y = (8 + x) + ( - y ) (por la definicin de sustraccin)

= 8 + [x + ( - y ) ] (por la propiedad asociativa) = 8 + ( x - y ) (por la definicin de sustraccibn).

As, mediante la propiedad transitiva,

(8 + X) - y = 8 + (X - y). e. Mediante la definicin de divisin,

ab 1 " - (ab) * - para c # O . C C

Pero, por la propiedad asociativa,

(ab) - C 1 = a ( b -!), Sin embargo, mediante la definicin de divisin, b - - = - . En consecuencia, l b

c c

C

Tambin se puede demostrar C

6 1 REPASO DE ALGEBRA

EJEMPLO 2

a. Demostrar que 3(4x + 2y + 8) = 12x + 6y + 24. Mediante la propiedad distributiva,

3 ( 4 ~ + 2y + 8) = 3(4x) + 3(2y) + 3(8). Pero, mediante la propiedad asociativa de la multiplicacin,

3(4n) = ( 3 4)x = 12r de manera similar, 3(2y) = 6y.

Por tanto 3(4x + 2y + 8) = 12x + 6y + 24.

b. Demustrese que si c # O, entonces - = - + -_ a + b a b C c c

Mediante la definicin de divisin y la propiedad distributiva,

a + b 1 1 1 - (a + b)- = a - - + b . - . C C C C "

Sin embargo,

Por lo que

1 l a b a . - + b - - = - + - . C c c c

a + b a b -"+-- . c c c

Por ejemplo,

3 3 3 2 + 1 2 1

f - + - .

Para obtener el producto de varios nmeros se requiere considerar sus productos, de dos en dos. Por ejemplo, para evaluar el producto de x, y y z , se podra primero multiplicar x por y , y despus multiplicar ese producto por z; o en forma alternativa, podria multiplicarse x por el producto de y y z. La propiedad asociativa de la multiplicacin seala que ambos resultados son idnticos sin importar la forma en que se agru- pen los nmeros. Por ello no resulta ambiguo escribir xyz. Este concepto puede am- pliarse a ms de tres nmeros y se aplica de igual manera a la adicin.

Un comentario final antes de terminar esta secci6n. No slo se debe estar cons- ciente de los aspectos manipulativos de las propiedades de los nmeros reales, sino que tambin se debe conocer y estar familiarizado con la terminologa, implicada.

EJERCICIOS 1.3

En los Problemas 1-10, clasificar el planteamiento como verdadero O falso. 1. Todo nmero real tiene un recproco. ij 2. El recproco de $ es 9 . 'I ' 3. El inverso aditivo de 5 es 4. 4. 2(3 * 4) = (2 . 3)(2 . 4). '

1.4 Operociones con nmeros reales 7

5. "x + y = y - x. 1' 6. (x + 2)(4) = 4x + 8. J x + 2 x I

7 . - = - + l . ' 2 2

8 . 3 - = -. ($ '4" d 9. x + ( y + 5) = (x + y ) + (x + 5). 7 10. 8(9x) = 72x. \ /

En 10s Problemas 11-20, especificar qu propiedades de los nmeros reales se estn utilizando. 11. 2(x + y) = 2x + 5 . 9 .:, -I \'+ 1 . **I' 12. (x + 5) + y = y + (x + 5). (. e - " 1 ' I . I . 13. 2(3y) = (2 3)y. 6405 'e' '' *-/O 14. Q = 6 . 4. I A : ,. ,' , -: . .. '

', ' 15. 2(x - y ) = (x - y)(2) . c . ' * ~ , ~ ~ * ~ - ~ - ' ' O 16. X + (X + y ) = (X + X) + y. 61, .- 4 ' " " ' 17. 8 - y = 8 + ( - y ) . ?( ' "- '' 19. (7 + x ) ~ = 7 y + xy. ', 1 . ' . S ' En los Problemas 21-26, demostrar que los planteamientos son ciertos utilizando las propiedades de los nmeros reales. 21. 5a(x + 3) = S a x + 15a. b/ 22. (2 - x) + y = 2 + (y - x).

-i\

18. 5(4 + 7) = 5(7 + 4). ' 1 .- . . . r r '

20. (-1)[-3 + 41 = ( - l ) ( - 3 ) + (-1)(4). . . ,'

27. Probar que a(b + c + d ) = ab + ac + ad. [Sugerencia: b + c + d = (b + c) + d. ] I:

- 1.4 Operaciones con nmeros reales Enseguida se listan importantes propiedades de los nmeros reales que deben estudiar- se con cuidado. La capacidad de manipular nmeros reales es esencial para tener xito en matemticas. A cada propiedad le sigue un ejemplo numrico. Todos los denominadores son diferentes de cero. Se supone que se conoce la adicin y la sustraccih de nmeros reales.

PROPIEDAD

1. U - b = a + ( -b ) . 2. a - ( - b ) U + b. 3. -a = ( - l ) (a) .

4. a(b + c) = ab + ac. 5. a(b - c) = ab - U C . 6. - ( U + b) = -a - b. 7. -(a - b) = - a + 6. 8. -(--a) = a.

9. 4 0 ) = (-a)(O) = o. 10. ( - a)(b) = -(ab) U( - b).

EJEMPLO

2 - 7 = 2 + ( -7 ) = -5. 2 - ( -7) = 2 + 7 = 9. - 7 = (-1)(7).

6(7 + 2) = 6 . 7 + 6 . 2 = 54. 6 ( 7 - 2 ) = 6 * 7 - 6 * 2 = 3 0 .

"(7 + 2) = - 7 - 2 = -9. " ( 2 - 7) = - 2 + 7 = 5. - ( - 2 ) = 2.

2(0) = ( - 2)(0) = o. (-2)(7) = - ( 2 * 7) = 2(-7).

I REPASO DE ALGEBRA

11. ( - a ) ( - b ) = ab.

12. - = a. a 1

13. - = a(:) a b

a a -a 14 - = - - = - . * - b b b

15. - - - b b'

O a

-a a - _

16. - = O cuando a # O.

17. - = 1 cuando a # O. a a

19. a . - = 1 cuando a f o. 1 a

20. - . - = - a c ac b d bd'

21. @ c = e ) b = a(:).

22. - =

23. tf. = t)e) = - ac b bc cuando c f O .

( -2)(-7) = 2 7 = 14.

7 - 2 1 - = 7'1 = -2 . 2 7 = 2(+),

2 2 - 2 "

-7 7 7 - " _ - -

-2 2 -7 7' " - _

O - = o. 7

2 -5 - = 1, - = 1. 2 -5

1.4 Operaciones con nmeros reales 9

2 3 2 - 3 -1 "" "- 9 9 9 9 '

" 2 7 . - - - = - a b a - b c c C

28. - + - = a c ad + bc b d bd '

a c ad - bc b d bd .

29. - -- - =

- a

4 2 4.3 + 5.2 22 1 5'

5 + 3 = 5.3 - - -

4 2 4.3 - 5.2 2 5 3 - - " - - - -

5.3 15'

2 - 3 2 7 2 5 10 7 3 5 3 7 21' " _"" . . - - * - - - - - 5

2 3 3 5 - 3 3 3 ' 5

" - 2 + - = 2 . " 5 2 . 5 10 "

r

La Propiedad 23 es, en esencia, el principio fundamental de las fracciones, que establece que multiplicar o dividir tanto el numerador como el denominador de una fraccin por el mismo nmero, exceptuando el O da como resultado una fraccin que es equivalente a (es decir, tiene el mismo valor que) la fraccin original. Por consiguiente,

1. - 2 + (-4). (' 5. 7 - (-4).

9. 7(-9). ' .'

13. - ( - 6 + X ) " - ,." 17. - 2 + 6 . - "'5 21. 3[ -2(3) + 6(2)1. , . 25. 3(x - 4). -, -

33. - . 2 1 I 3 x

7 1 3" Y A

1 1 2 3

43. - - -. X Y 9 9

38. - . -. X Y

39. - + I . - . -. .. y X' ,

. ,

7 49. -. " O

O 50. -. 7

X '

47. 6 y

O 51. -. ! ' O

32. -2x' 3 +

36. -. - 1 5 ~ _ _ . - 3y

40. - + -. 5 3 -. 12 4

a/"-+- 3 1 1 2 4 6'

- -7 2 , 5

48. -.

8

52. O . O. '

- 1.5 Exponentes y radicales El producto x . x . x se abrevia como x3 . En general, para un entero positivo n, x" es la abreviatura de n veces x. Al smbolo n de x" se le denomina exponente y a x se le llama base. En trminos ms especficos, si n es un entero positivo se tiene que:

1 . X n = X . X - X - . . . ' X .

n factores 1 1 2, X - n = - =

x n X . X . X . . . : x ' I

n factores 1

3. = xn. X

4. xO = I si X # O. 0' no est definido.

1.5 Exponentes y radicales 11

EJEMPLO 1

1 16'

a.

1 1 1 35 3 . 3 . 3 . 3 . 3 243'

b. 3-5 = - = - "

1 C. - = 35 = 243.

3 -$

d. 2' = 1, vo = 1, (-5)' = 1

e. x' = x.

Si r" = x, en donde n es un entero positivo, entonces r es la raz n-sima de x. Por ejemplo, 32 = 9, y as 3 es la raz segunda (a la que usualmente se denomina raiz cuadrada) de 9. Puesto que (-3)2 = 9, -3 es tambin una raz cuadrada de 9. De manera similar, -2 es una raz cu'bica de -8, puesto que (-2)3 = -8.

Algunos nmeros no tienen raz n-sima que sea un nmero real. Por ejemplo, puesto que el cuadrado de cualquier nmero real es no negativo, no existe ningn nd- mero real que sea raz cuadrada de -4.

La raz n-sima principal de x es aquella raz n-sima de x que sea positiva, si x es positiva, y que sea negativa si x es negativa y n es impar. Se le denota por Vi . Por lo tanto,

-\cr,es { positiva si x es positiva, negativa si x es negativ'a y n es impar.

Por ejemplo,@ = 3, = -2 y = f . Se define que = O. A la expresin se le denomina radical. Aqu, n es el ndice, x es el radicando

y %"- es el signo de radical. Con las races cuadradas principales normalmente se omi- te el ndice y se escribe slo fi en vez de 6. Por tanto fi = 3.

Si x es positivo, la expresin xPiq, en donde p y q son enteros y q es positiva, se define como fh?. En consecuencia,

x314 @; 8213 = = = 4; 4-"2 = = 4 = 3.

Enseguida se presentan las leyes bsicas de los exponentes y los radicales.*

* Aunque algunas leyes implican restricciones, no son de importancla para este anlisis.


1 3. X-" = - X"'

1 X "

4. y = X".

Xrn 1 5 - = X m - " = - X" Y-"' Xrn

Xrn 6. - = 1 .

7. (x")" = xmn.

1 1 _. = 23 = 8; - = x5. 2-3 x - 5

24 24 - = 1.

9. k)" = 7. X" 10.

4-1/2 = 1 - - 1 1 = - 4112 2'

(m>8 = 7

EJEMPLO 2


b. Por la Ley 16,

C. ("a)"' = (g)4 = (-) m 4 $47 (Leyes 16y 14)

Racionalizar el denominador de una fraccin es un procedimiento en el que una fraccin que tiene un radical en su denominador se expresa como una fraccin equivalente sin el radical en su denominador. Se utiliza el principio fundamental de las fracciones.

EJEMPLO 3

Racionalizar los denominadores.

Los siguientes ejemplos ilustran diversas aplicaciones de las leyes de los exponentes y los radicales.

EJEMPLO 4

a. Eliminar los exponentes negativos en - z - 2 . X -)J

- 7 3

x -2y3 1 3z2 - x - 2 . ) ) 3 . - - z - 2

3 . z 2 =y- X x2 '

"

2-2 - ? ' Y

Comparando la respuesta con la expresi6n original, se puede bajar un factor del numerador al denominador, y viceversa, cambiando el signo del exponente.

b. Simplificar 7. x2y

x-Y

X2Y7 Y7- Y 2 3 5 - x 3 - 2 = - . X

-x Y "


(.x';;5615)5 e . Simplificar -

f . Simplificar 7 7 - x 3 , x6

Y Y S '

7 7 1 7 1 7,x-2 + (7x)" = 7 + "-7 = - + - x (74' x2 49x2'

d. Eliminar os exponentes negativos en (x" -


b. Reescribir 4- sin utilizar un signo de radical. VTT.5 = (2 + 5X)'l2.

+5 +% C. Racionalizar el denominador de - y simp-lificar.

m d. Simplificar -

" -8 v3 - = = = 2 . EJEMPLO 7

b. Simplificar /;.

c . Simplificar - m + 15t/z. ~ - . \ / s T i + 1 5 ~ = V ~ - ~ ~ + + 5 t / z

= 5m - 5 t / z + 1 5 q 3 = 5m + l o a .

d. Si x es un numero real, simplificar JXT.

x, si x es positiva, -x, si x es negativa,

O, si x = O .

Por tanto fl = 2 y = " ( - 3 ) = 3 .

""

9. (2x2y3)3

(x2)3(x3)2

(x3)4 14. -

27. ( g 4 .

213

28. (-2) .

32. fix.

33. m. 37. ( 9 Z 4 Y 2 .

radicales en la forma final. Por ejemplo, , y - G = A-. Y

42. $w. 43. 2xx-3. 44. x i- y - l . 48. (x-Zy2)Y2.

x3y - 41. -

z2 .

45. (3r)y2 .

49. v5 - v 5 .

46. (3 - 2)Y4. 47. m. X-2Y-622 50. - 1 . 51. 2 m . 52. ( W ) x - I y - 2 .

XY

1.6 Operaciones con expresiones olgebroicos 17

63. - 1 4 5 '

t4 67. -

fi 66. x.

En los Problemas69-90, simplificar. Expresar todas las respuestasen trminosde exponentes positivos. Raciona- lizar el denominador cuando sea necesario para evitar exponentes fraccionarios en el mismo.

75. q&2w 77. 3'(27) -4'3. 78. ( a)2'5. 79. ( 2 Y '$y. 3 80. - 81. GmG. 82. e. 83. ~ I z ) - 2

(xy2) - 4 , 84. m.

(XZ)'

x4

-. 2

85. - + [&] . 8s - 2 86. d( -6) ( -6) . 87. -- 2s3 . 89. (2x2y + 3y3z-2)2. 90. 1

__ 1.6 Operaciones con expresiones algebraicas Si se combinan nmeros, representados con smbolos, mediante operaciones de adicin, sustraccin, multiplicacin, divisin o extraccin de races, entonces se denomina al resultado una expresin algebraica.

EJEMPLO 1

,

es una expresin algebraica en la variable x. 10 - .r

5 h. IO - 3 f i + ___

7 + y- , es una expresin algebraica en la variable y . (x + y)' -

c . Y

+ 2 es una expresin algebraica en las variables x y y .

La expresin algebraica Sax3 - 2bx + 3 consta de 3 trminos: +5ax3, -2bx, y + 3. Algunos de los factores del primer trmino 5ax3 son 5 , a, x, x2, x3, 5ax, y ax2. Tambin, Sa es el coeficiente de x3 y 5 es el coeficiente numrico de ax3. Si a y b representan nmeros invariables en todo el anlisis, entonces a y b reciben el nombre de constantes.


A las expresiones algebraicas que constan exactamente de un trmino se les denomina monomios. A las que tienen exactamente dos trminos se les denomina binomios y a las que constan exactamente de tres trminos se les llama trinomios. A las expresiones algebraicas que tienen ms de un trmino se les denomina polinomios. As 2x - 5 es un binomio; el polinomio 3 f i + 5 - 4y2 es un trinomio.

Un polinomio en x es una expresin algebraica que tiene la siguiente forma*

c,x" + c,-Ixn-l + . ' . + CIY + co, en donde n es un entero no negativo y los coeficientes co, c, , . . ., c , son constantes; se tiene que c , # O . A n se le denomina grado del polinomio. Por ello, 4x3 - 5x2 + x - 2 es un polinomio en x de grado 3 y y 5 - 2 es un polinomio en y de grado 5. Una constante diferente de O es un polinomio de grado O; de modo que 5 es un polinomio de grado O. Se considera que la constante O es un polinomio; sin embargo no se le asig- na ningn grado.

EJEMPLO 2

Simplificar (3x2y - 2x + 1) + (4x2y + 6x - 3 ) . En primer lugar se eliminan los parntesis. Despus, utilizando la propiedad conmutativa de la adicin, se agrupan todos los trminos semejantes. Trminos semejantes son aqullos que slo difieren en sus coeficientes numricos. En este caso, 3x2y y 4x2y son semejantes, al igual que lo son -2x y 6x, y 1 y -3. As,

(~x'Y - 2x + I ) + ( 4 x 2 ~ + 6~ - 3 ) = 3x2y - 2~ + 1 + 4x'y + 6~ - 3 = 3x2y + 4x2y - 2x + 6~ + 1 - 3 .

Por la propiedad distributiva

3x5 + 4x2y = (3 + 4)2y = 7 2 y Y -2x + 6x ( - 2 + 6 ) ~ = 4 ~ .

De donde

(3x2y - 2x + 1) + (4x2y + 6x - 3) = 7x2y + 4x - 2.

EJEMPLO 3

Simplificar (3x2y - 2x + 1) - (4x2y + 6x - 3 ) . Aqu se aplica la definicin de sustraccin Y la propiedad distributiva:

(3x2y - 2x + 1) - (4x2y + 6~ - 3) = (3x'y - 2~ + 1) + ( - 1 ) ( 4 ~ ~ y + 6~ - 3 )

1.6 Operaciones con expresiones olgebroicas 19

= (3x2y - 2~ + 1) + (-4xy - 6~ + 3) = 3x2y - Zr + 1 - 4x2y - 6.u + 3 = 3x2y - 4x2y - 2x - 6~ + 1 + 3 = (3 - 4)x2y + ( - 2 - 6 ) ~ + 1 + 3 = -.y - 8x + 4.

EJEMPLO 4

Simp/ificar 3{k[2x + 31 + 5[4x2 - (3 - 4x)I). En primer lugar, se eliminan Ips smbolos de agrupamiento que se encuentran mas al interior (parntesis) utilizando la propiedad distributiva. Despus se repite este proceso hasta que se eliminan todos los smbolos de agrupacin, combinando trminos semejantes cuando sea posible.

3{2x[k + 31 + 5[4x2 - (3 - 4 ~ ) ] } = 3{2~[2x + 31 + 5[4x2 - 3 + 4x1) = 3{4x2 + 6~ + 20x2 - 15 + 2 0 ~ ) = 3{24x2 + 2 6 ~ - 15} = 72x2 + 7 8 ~ - 45.

La propiedad distributiva es la herramienta clave para multiplicar expresiones. Por ejemplo, para multiplicar ax + c por bx + d , se puede considerar que ax + c es un solo nmero y despus utilizar la propiedad distributiva.

(ax + c)(bx + d ) = (ax + c)bx + (ax + c)d. Utilizando de nuevo la propiedad distributiva,

(ax + c)bx + (ax + c)d = a h 2 + cbx + adx + cd = abx2 + (ad + cb)x + cd.

As (ax + c)(bx + d) = abxZ + (ad + cb)x 3- cd. En particular, si a = 2, b = 1, c = 3 y d = -2, entonces

( 2 ~ + 3 ) ( ~ - 2) = 2( 1)x2 + [2( - 2) + 3 ( 1 ) ] ~ + 3( - 2) = 2 U 2 - x - 6 .

Enseguida se presenta una lista de productos especiales que pueden obtenerse mediante la propiedad distributiva, y que sirven para multiplicar expresiones algebraicas.


Productos especiales (o notables)

1. x(?. + z ) = ,uy + x 2 (propiedad distributiva) 2. (x + a)(.r + h) I= -YZ + ( N + h)x + ab. 3. (ax + c.)(h.r + d ) = UhX2 + (ad + ch)s + c.d. 4. ( x + a)' = ,u1 + 2ax + a 7 (cuadrado de un binomio) 5. (x - a)' = x2 - 2u.u + u? (cuadrado de un binomio)

7. (x + a)' = x3 + 3ux2 + 3cr2s + u3 (cubo de un binomio) 8. (X - = - 3a.2 + 3d.u - a3 (cubo de un binomio)

6. (x + a)(x - u) = x' - u' (producto de una suma y una diferencia)

EJEMPLO 5

a. Por la Regla 2, (x + 2)(x - 5) = [x + 2][x + ( -5)] = xz + (2 - 5)x + 2( - 5) = x 2 - 3x - 10.

b. Por la Regla 3 , (32 + 5)(7z + 4) = 3 . 7 z 2 + (3 . 4 + 5 7)z + 5 . 4 = 21z2 + 472 + 20.

c. Mediante la Regla 5, (x - 4)2 = x' - 2(4)x + 4' = x- ' - 8x + 16.

d. Por la Regla 6 , ( g m + 3 ) ( V G - 3 ) = ( d j G - i ) 2 - 3'

= ( y 2 + l ) - 9 - - y2 - 8.

e . Mediante la Regla 7,

(3x + 2)3 = (3x)" + 3 ( 2 ) ( 3 ~ ) ~ + 3(2)2(3x) + (2)3 = 27x3 + 54,~' + 36x + 8.

EJEMPLO 6

Multiplicar: (2t - 3)(5 t2 + 3t - 1). Se considera a 2t - 3 como un solo nmero y se aplica dos veces la propiedad distributiva.

(2t - 3)(5t' + 31 - 1) = (2f - 3)5t' + (2t - 3)3r - ( L t - 311 = lot3 - 15r' + 6t' - 9t - 2t + 3 = lor' - 9r' - 11t + 3.

1.6 Operaciones con expresiones olgebrolcos 21

En el Ejemplo 2(b) de la Seccin 1.3, se mostr que - = - + - . De manera similar, - - - - - . Utilizando estos resultados, se puede dividir un polinomio

a + b a b

a - b u b c c c

c L c -

entre un monomio, dividiendo cada trmino del polinomio entre el monomio.

EJEMPLO 7

a. - + - = x 2 + 3 . x 3 + 3x x 3x X x x

b. 4z3 - 8z2 + 32 - 6 42 82 32 6 3 3 - - _ 2

+ - 2 z 4 z + - 22 22 22 22 2 z

Para dividir un polinomio entre otro, se utiliza lo que se denomina divisin no abreviada cuando el grado del divisor es menor que o igual al grado del dividendo, como se muestra en el siguiente ejemplo.

EJEMPLO 8

Dividir 2x3 - 14x - 5 entre x - 3.

Aqu, 2x3 - 14x - 5 es el dividendo y x - 3 es el divisor. Para evitar errores, lo mejor es escribir el dividendo como 2 x 3 + Ox2 - 14x - 5. Obsrvese que ]as potencias de x se ordenaron en orden decreciente.

2 u 2 + 6x + 4 +cociente X - 312~ + OX - 1 6 - 5

2 x 3 - 6x2 6x2 - 1 4 ~ 6x2 - 1 8 ~

4x - 5 4x - 12

7 +- residuo r. Aqu se dividi 2x3 (el primer trmir,o del dividendo) entre x (el primer trmino del divisor) y se obtuvo 2x2. Despus se multiplic 2x2 por x - 3 y se obtuvo 2x3 - 6x2. Despus de restar esta expresin de 2x3 + 6x2 se obtuvo 6x2 y despus se baj el trmino -14x. Se continu este proceso hasta llegar a 7 , el residuo. Siempre se detiene el procedimiento cuando el residuo es O o un polinomio cuyo grado es inferior al grado del divisor. La respuesta se puede escribir de la siguiente manera:

7 x - 3

2.x2 + 6~ + 4 + Esa es, la respuesta tiene la forma

coeficiente + __- residuo divisor Una forma de comprobar una divisin es verificar que

(cociente)(divisor\ + residuo = dividendo Se debe verificar el resultado del ejemplo utilizando esta frmula.


EJERCICIOS 1.6

Realizar las operaciones que se indican y simplificar.

1. ( 8 ~ - 4y +2) + (3x + 2y - 5). 3. (st2 - 6s) + (4s2 - 2t + 6). 5. (6 + fiy) + (vi + f i ) .

9. (v5 + f i y ) - (v5 + fi) . 7. (6x2 - lOay + d) - ( 2 ~ - XJ + 4).

11. 3 ( 3 ~ + 2y - 5) - 2 ( 8 ~ - 4y + 2) . 13. 3(x2 + y 2 ) - X(Y + 2 ~ ) + 2y(x + 3 ~ ) . 15. 2{3[3(x2 + 2) - 2e2 - 5)]}. 17. -3{4x(x + 2) - 2[x2 - (3 -- X)]}. 19. (x + 4)(.x + 5). 21. (x + 3)(x - 2). 23. (2x + 3)(5x + 2). 25. (x + 3) l . 27. (x - 5).

29. (fiy + 3)*. 31. (2s - 1 ) ( 2 ~ + 1). 33. (X2 - 3)(x + 4). 35. ( X 2 - 1)(2w2 + 2x - 3). 37. x { ~ ( x - I)(x - 2) + ~ [ x { x + 711). 39. (x + y + 2)(3x + 2~ - 4). 41. (x + 5)3. 43. (22. - 3)3.

45. -. z2 - 42

6.2 + 4x3 - 1 22.

Z

47.

49. (x2 + 3x - 1) f (x + 3) . 51. (3x - 2x + x - 3) + (x + 2) . 53. t + ( t - 8). 55. ( 3 2 - 4x + 3 ) t (3.u + 2).

2. ( 6 2 - 1 0 ~ ~ + 2 ) + ( 2 z - 17 + 4). 4. (vi + 2 6 ) + (V5 + 3 v 5 ) .

8. (4 + 2 6 ) - (6 + 3 6 ) . 6. (3.x +, 2y - 5) - (8.r - 4y + 2 ) .

/

10. 4 ( 2 ~ - W ) - 3(w 22).

12. (2s + t ) - 3 ( ~ - 6) + 4(1 - f ) . 14. 2 - [3 + 4 ( ~ - 3)]. 16. 4{3(t + 5) - t[l - ( t + l)]}. 18. - { -2[2a + 36 - I ] + 4[a - 201 - a[2(b - 3)]}. 20. (x + 3)(x + 2). 22. (t - 7 ) ( z - 3).

24. ( y - 4)(2y + 3). 26. (2x -

28. (6 - 1 ) ( 2 6 + 5 ) . 30. (y - 3 ) ( y + 3). 32. (z* - ~w)(z + 3 ~ ) . 34. (x + 1)(x + x + 3). 36. (k - 1)(3x3 + 7x2 - 5). 38. [ ( 2 ~ + 1)(22 - 1)](4z2 + 1). 40. (x2 + x + 1)2. 42. (x - 213.

44. (x + 2y). 2 x 3 - 7x + 4

46. X

48. ( 3 ~ - 4) - (X + 8)

4x

50. (X - 5x + 4) + (X - 4) . 52. (x4 + 2 ~ + 1) + (x - I ) . 54. (4.2 + 631 + 1) +- ( 2 ~ - 1). 56. (z + 2 + z ) + (z? - z + 1).

1.7 Foctorizocln 23

__ 1 .I Factorizacin Si se multiplican entre s dos o ms expresiones, entonces stas reciben el nombre de factores del producto. Por tanto, si c = ab, entonces a y b son factores del producto c. El proceso por el cual se escribe una expresin como producto de sus factores se denomina factorizacin.

A continuacin se enuncian las reglas de la factorizacin, la mayor parte de las cuales se obtiene a partir de los productos notables que se describieron en la Sec- cin 1.6. El segundo miembro de cada identidad es la forma factorizada del primer miembro.

Reglas de factorizacin

1. xy + xz = x b + z ) (factor comn). 2. x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b). 3. abx2 + (ad + &)x + cd = (ax + c)(bx + d ) . 4 . x + 2ax + a* = ( x + u) (trinomio cuadrado perfecto). S. x* - 2ax + a2 = (x - al2 (trinomio cuadrado perfecto). 6. x - a* = (x + a)(x - a ) (diferencia de dos cuadrados). 7 . x3 + a3 = (x + a>(x2 - ax + a2) (suma de dos cubos). 8. x 3 - a3 = (x - U ) ( X 2 t ax + a2) (diferencia de dos cubos).

, ,,S ,

Cuando se factoriza un polinomio, por lo general se eligen factores que sean tambin polinomios. Por ejemplo, x 2 - 4 = (x + 2)(x - 2). No se escribe x - 4 como (G + 2)(& - 2 ) .

Siempre se debe factorizar en forma completa. Por ejemplo,

2.~ - 8 = 2 ( x Z - 4) = 2 ( ~ + 2 ) ( ~ - 2 ) . EJEMPLO 1

Factorizar en forma completa las expresiones. a. 3k2x2 + 9k3x.

Dado que 3k2x2 = (3k2x)(x) y 9k3x = (3k2x)(3k), cada trmino de la expresin original contiene el factor comn 3k2x. De modo que por la Regla 1,

3k2x + 9k3x = 3k2k(x + 3 k ) . Obsrvese que aunque 3k2x2 + 9k3x = 3(k2x2 + 3k3x), no se dice que la expresin est completamente factorizada, pues todava puede factorizarse k 2 x 2 + 3k3x.

b. 8a5x2y3 - 6a2b3yz - 2a4bSxy2z7.

8a5x2y3 - 6a2b3yz - 2a4b4xy2z2

= 2ay(4a3x2y - 3b3z - a2b4xyz2).


C. 3x2 + 6x + 3. 3x + 6x + 3 = 3 ( x 2 + 2.w + 1)

= 3(x + 1) (Regla 4).

EJEMPLO 2

Factorizar completamente las expresiones.

a. X - x - 6.

Si se factoriza este trinomio en la siguiente forma x2 - x - 6 = (x + a)(x + b), que es el producto de dos binomios, entonces deben determinarse los valores de a y b. Puesto que (x + a)(x + 6) = x? + (a + b)x + ab, entonces

X + ( - 1 ) ~ + (-6) = X + (U + b ) ~ + ab. Igualando los coeficientes correspondientes, entonces

U + b = - 1 y ab = -6 . Si a = -3 y b = 2 , entonces se satisfacen ambas condiciones y,

X - X - 6 = (X - 3 ) ( ~ + 2) . b. X - 71 + 12.

X L - 7x + 12 = (.Y - 3)(x - 4).

as.

.

EJEMPLO 3

Enseguida se Iistan expresiones completamente factorizadas. Los nmeros en parntesis se refieren a las reglas que se utilizaron.

1.7 Foctorizocin 25

Obsrvese en el Ejemplo 3(f) que .x2 - 1 es factorizable, pero x2 + 1 no lo es. En el Ejemplo 3(h) se factoriz utilizando el agrupamiento.

EJERCICIOS 1 .I

Factorizar completamente las expresiones.

1. 6x + 4. 3. loxy + 5x2. 5. 8 ~ ' b ~ - 12~h'c.d + 4h4c'd2. 7'. x2 - 25. 9. y 2 + 4p + 3 .

11. 16x2 - 9.

13. z2 + 62 + 8. 15. X' + 6x + 9. 17. 2.x' + 12r + 16. 19. 3x2 - 3.

21. 6y2 + 13y + 2. 23. 12s3 + los2 - 8s. 25. xu31, - 4x83,3.

27. k3 + 2x2 - Ik. 29. (4x + 2)2. 31. x3y2 - 1 0 ~ ' ~ + 2Sx. 33. (x3 - 4 ~ ) + (8 - b2). 35. (y" + 8y6 + 16~') - (ys + 8y4 + 16). 37. x3 + 8. 39. x6 - I .

41. (X + 3 ) 3 ( . ~ - 1 ) + (X + 3)*(.~ - 1)'. 43. P( 1 + r ) + P( 1 + r)r. 45. x4 - 16.

47. y8 - I .

49. x4 + x2 - 2. 51. x' - 2 w 3 + X.

2. 6y' - 4~1.

4. 3x5 - 9x3y3.

8. xz + 3x - 4. 6. 6z2t' + 3 2 d - I2z2t3.

10. S' - 6s + 8. 12. x' + 5~ - 24. 14. 4t' - 9s'.

16. - 15y + SO. 18. 2 x z + 7x - 15. 20. 4.' - 8y + 3. 22. 4x2 - x - 3 .

24. 92' + 242 + 16. 26. 9~'"' - I .

28. . x y - 4xy + 4. 30. 3sL(3.y - 9s2)*.

32. (3x2 + x ) + (6x + 2). 34. ( x 2 - 1) + (x' - x - 2). 36. x3y - .xy + z'x' - 2'. 38. x' - 1.

40. 27 + Sx3. 42. (x + 5 ) " ~ + 1 ) 3 + (.r + S) j (x + 1 )'. 44. (X - 3 ) ( 2 ~ + 3) - ( 2 ~ + 3 ) ( ~ + S). 46. 8Ix4 - y4.

48. t4 - 4.

50. x' - SX' + 4. 52. 4x' -- 6x' - 4x.

26 I REPASO DE LGEBRA

- 1.8 Fracciones Utilizando el principio fundamental de las fracciones (Seccin 1.4) se pueden simplificar fracciones. Este principio permite multiplicar o dividir tanto el numerador como el denominador de una fraccin, entre la misma cantidad diferente de cero. La fraccin resultante equivale a la original. Se supone que las fracciones consideradas tienen denominadores diferentes de cero.

EJEMPLO 1

Simplificar.

x - x - ~ x2 - 7x + 12 a. En primer lugar, se factorizan completamente tanto el numerador como el denominador

x2 - X - 6 - (X - 3 ) ( ~ + 2) x2 - 7x + 12 (x - 3)(x - 4) -

Dividiendo tanto el numerador como el denominador entre el factor comn x - 3, se obtiene

(x - 3)(x + 2) l(x + 2) x + 2 (x - 3)(x - 4) l ( x - 4) x - 4

- - -

Normalmente, slo se escribe

x2 - X - 6 &)(x + 2) x + 2 -

x2 - 7x + 12 (%3)(x - 4) x - 4 - - o bien

X - X - 6 (X - 3 ) ( ~ + 2) X + 2 x2 - 7x + 12 (x - 3)(x - 4) x - 4 - - -

El proceso que acaba de utilizarse comnmente se denomina cancelacin

2 x 2 + 6~ - 8 b.

~.

8 - 4x - 4x2 2X2 + 6~ - 8 - 2(x2 + 3x - 4) 2 ( ~ - l ) ( ~ + 4) 8 - 4~ - 4x2 4(2 - X - 2) 4(1 - X)(2 + X) -

- -

2(x - l)(x + 4) 2(2)[( - l)(x - 1)](2 + x)

- -

x + 4 x + 4 - - - 2(2 + x) 2(x + 2)

-

Si se desea multiplicar - por - entonces a C

h d a c ac

h d hd _ . - = -

1.8 Fracciones 27

a b d

Para dividir - entre - , en donde c # O, se tiene que C

a a , c b a d b d c b c '

d

-

" - = - = - . - -

EJEMPLO 2

x x + 3 x(x + 3) x + 2 x - 5 (x + 2)(x - 5)' as- . -=

x' - 4x + 4 6 ~ ' - 6 [(x - 2l21[6(x + 1)(x - 1>1 b. - - x2 + 2x - 3 x2 + 2x - 8 [(x + 3)(x - I)][(x + 4)(,Y - 2)]

6 ( ~ - 2)(x + 1) - - (x + 3 ) ( x + 4) .

x . x + 3 x x - 5 x(x - 5) c . - : - - - x + 2 x - 5 x + 2 x + 3 ( , u + 2 ) ( x + 3 ) '

x - 5 x - 5 . x - 3 x - 3 x - 5 1 .Y - 5 "

d. - - --- 2x 2x x - 3 2x 2X(X - 3)' - ~- - 1

4x x2 - 1 4x x - 1 4x(x - 1)

e. - ". - 2 r 2 + 8x X' - 1 2x2 + 8~ [(X + I)(x - 1)][2x(x + 4)] - x - 1 2 - -

(x + ])(x + 4)'

En ocasiones, el denominador de una fraccin tiene dos trminos e implica races cuadradas, como 2 - fl o bien -t/5 + a. Se puede racionalizar el denominador multiplicando por una expresin que haga que el denominador se convierta en la diferencia de dos cuadrados. Por ejemplo,

4 - 4 *-v2 *+a-a+-t.fi-v2

28 I REPASO DE LGEBRA

EJEMPLO 3

Racionalizar los denominadores.

En el Ejemplo 2(c) de la Seccin 1.3, se mostr que - a b a + b c + c = c . Es decir,

si se suman dos fracciones que tienen denominador comn, entonces el resultado es una fraccin cuyo denominador es dicho denominador comn. El numerador es la suma

de los numeradores de las fracciones originales. De manera similar, - - - = -. a b a - b c c c

EJEMPLO 4

- 5 3p + 2 (p' - 5) + (3p + 2) p 2 + 3p - 3 p - 2 p - 2 P - 2 P - 2

a, p 2 + ____ - - - -

x = - 5x + 4 x 2 + 2x b' .x2 + 2.x - 3 x2 + 5x + 6 -

- (x - l )(x - 4) x(x + 2) - (x - l)(x + 3) (x + 2)(x + 3) -

x - 4 x (x - 4) - x 4 x + 3 x + 3 x + 3 x + 3'

- - "" - - - "

x * + x - 5 x 2 - 2 - 4 ~ + 8 C. _ _ _ _ + x - 7 X - 7 x 2 - 9 x + 14

x 2 + x - 5 x 2 - 2 -4(x - 2) - " - + x - 7 x - 7 (x - 2)(x - 7 )

- - (x2 + x - 5) - (x2 - 2) + (-4) x - 7

Para sumar (o restar) dos fracciones con denominadores diferentes, se debe utilizar el principio fundamental de las fracciones para expresarlas como fracciones equiva-

1.8 Frocciones 29

lentes con el mismo denominador. Despus, se procede a la adicin (o a la sustraccin), mediante el mtodo antes descrito.

Por ejemplo, para evaluar 2 3 +

x3(x - 3) x(x - 3)2

se puede convertir la primera fraccin en otra equivalente multiplicando el numerador y el denominador por x - 3:

2(x - 3) x3(x - 3)

Se puede transformar la segunda fraccin multiplicando su numerador y su denominador por x2:

3x

x3(x - 3).

2 3 2(x - 3 ) 3.u x3(x - 3) x(x - 3) x3(x - 3 y x(x - 3)

Estas fracciones tienen el mismo denominador. Por tanto,

+ - - + 3 ~ + 2~ - 6 - -

xx - 3)2 . Se pudieron haber convertido las fracciones originales en fracciones equivalentes

con cualquier denominador comn. Sin embargo, se decidi convertirlas en fracciones con el denominador x3(x - 3)2. Este es el mnimo comn denominador (M.C.D.) de las fracciones 2/[x3(x - 3)] y 3/[x(x - 3)2].

En general, para encontrar el M.C.D. de dos o ms fracciones, primero se factoriza cada denominador en forma completa. El M. C. D. es el producto de cada uno & los factores distintos que aparecen en los denominadores, cada uno de ellos elevado a la ms alta potencia que ocurra en cualquiera de los denominadores.

EJEMPLO 5 t 4

a. Restar: ___ - - 3 t + 2 t - 1

El M.C.D. es (3t + 2)(t - 1). t 4 t(t - 1) 4(3t + 2)

3t + 2 t - 1 (3r + 2)(t - 1) (31 + 2)(t - 1) - -

- t(f - 1) - 4(3t + 2) (3t + 2)(t - 1)

-

t - t - 12t - 8 t - 13t - 8 - - (3t + 2)(t - 1) (3t + 2)(t - 1)

- -

4 4 b. - + 3 = - + 3(q - 1)

q - 1 q - 1 q - 1


EJEMPLO 6

x - 2 x + 2

X* + 6x + 9 2(x2 - 9) -

x - 2 x + 2 - - (x + 3 y 2(x + 3)(x - 3) - [M.C.D. = 2(x + 3)(~ - 3)]

- (x - 2)(2)(x - 3) (x + 2)(x + 3) - (X + 3)*(2)(~ - 3) 2 ( ~ + 3 ) ( ~ - 3 ) ( ~ + 3) -

(x - 2)(2)(x - 3) - (x + 2)(x + 3) 2(x + 3>2(x - 3)

- -

2(x2 - 5~ + 6) - ( x 2 + 5~ + 6) - - 2(x + 3 y ( X - 3)

b - OX + 12 - X - 5~ - 6 - - 2(x + 3y (X - 3)

X - 1 5 ~ + 6 - - 2(x + 3)(x - 3)

EJEMPLO 7 1 1 -

Simplificar x + h x h .

Primero combinemos las fracciones en el numerador.

1 1 X x + h x - ( X + h ) x + h x .x(x + h) x(x + h) x(x + h) - -

h - -

h - -

h

- h

Tambin se puede simplificar la fraccibn original multiplicando el numerador y el denominador por el M.C.D. de las fracciones que se encuentran en el numerador (y en el denominador), es decir, x(x + h):

- - h x(x + h)h

x - (x + h) -h 1 - - - - - x(x + h)h X(X + h)h x(x + h) - -

1.8 Fracciones

EJERCICIOS 1.8

En los Problemas 1-6 simplificar

x2 - 4 1. - x2 - 5x - 6 2. 3. x2 - 9x + 20 3 ~ ' - 27x + 24 xL - 2x' xz + x - 2 0 '

2 x 2 + 3x - 2' 6. 6x2 - 17x + 12'

4. x2 - 2x - 3' 2 x 3 - 16x2 + 14x'

5. 6x2 + x - 2 12x2 - 19x + 4

11. 2 x - 2 , x 2 - 1

x 2 - 2 x - 8 - ' x 2 + 5 x + 4 '

X 2 - 4x 3 13. -.

6

.. . - 14. - 9x

4x - 17. - 3

2x'

18. - 4x 3 '

operaciones y simplificar cuanto sea posible.

12. x 2 + 2 x , x 2 - x - 6

3x2 - 18x + 24 - ' x ' - 4x + 4'

- 2x

x' + 6x + 9 21.

x - 5 22.

X

x* - 7x + 10' x + 3 ' x - 2

x * + 7x + 10 (x + 2)* 25.

X 2 - h - 8

x 2 + 6x + 5 ' 26. - 3x - 2 9x + 18' XL - 3x - 4

X 2 5x + 6 4 - 9x2

29. - +- 2 X x + 3 x + 3 .

30. - + - x + 2 x + 2 .

33. 1 - - P2 p 2 - 1'

34. - 4 s + 4 + s .

4 39. - -

x - I 3 +

- 3x 2

5 - 4x - x2'

41. (1 + x"')2. 42. ( x - ] + y")*.

2m

15. - n3 4m '

n2

- -

19. -, - 9x3

X - 3

- lox3 x 2 - 1

23. - 5x '

x + I -

- c + d 16.

c - d' 2c - - 9x3 -

20. - 3 ' X

x 2 - 4 x z + 2 x - 3

x 2 - 9

24. X' - x - 6 .

4x2 - 9 6x2y + 7 q , - 3y

- a - 3 ' .'y + 4x2y . 1 - x 2 x y - x + 4 y - 4

27. x 2 + 3x - 4

28. q - x + 5 y - 5

31. - + -. 1 2 t 32

32. 7 - -. 4 1 x x

38. Y 2 - 3y2 - 5y - 2 3y2 - 7y + 2 '

40. 2 x - 3 3x + 1 - I +-

2 x 2 + I I x - 6 3x2 + 16x - 12 3x - 2'


I I + -

45. - 3

t

.r + 3 46. -

Y ' .r - -

- r

Y

I .Y - I 1 J - -

47. 2Y .x2 + 5x + 6 .Y + 2 48.

Y x -t - 3 + - .r - 7

x + 2 3

L L 49. ___ - - \m \I5

En los Problemas 51-60 simplificar y expresar la respuesta en forma que no aparezcan radicales en el denominador

2 f l 55.

- v5

1 52. ___

1 - \a \/i v3-6 53.

S 54* \/?I + f l '

x - 3 4 58. ___ + ___ v 5 - I 6 - 1

Aun los estudiantes que se inician en muchas reas de estudio, S: ven enfrentados pron- to con la solucin de ecuaciones elementales. En este captulo, se desarrollan tcnicas para llevar a cabo tal tarea. Estos mtodos se aplicarn en el siguiente captulo a algunos casos de la prctica.

__ 2.1 Ecuaciones lineales Una ecuacin es un planteamiento que seala que dos expresiones son iguales. Las dos expresiones que conforman una ecuacin se denominan lados o miembros. Se separan por un signo de igualdad = .

EJEMPLO 1

Las siguientes son ecuaciones.

a . x + 2 = 3 . b. x + 3x + 2 = O.

c. - - Y - 7 . d. M: = 7 - Z. Y - 5

En el Ejemplo 1, cada ecuacin contiene cuando menos una variable. Una variable es un smbolo que puede ser reemplazado por cualquiera de un conjunto de nmeros diferentes. Los smbolos ms utilizados para las variables son letras de la parte final del alfabeto, tales como x, y, z, w y t. Se dice que las ecuaciones (a) y (c) son ecuaciones en las variables x y y, respectivamente. La ecuacin (d) se da en las variables w y z . En la ecuacin x + 2 = 3, a los nmeros 2 y 3 se les denomina constantes, y son nmeros fijos.

Nunca se permite que una variable tenga un valor para el cual cualquier expresin de la ecuacin resulte indefinida. Por lo tanto, en y/@ - 5) = 7, la y no puede ser 5 puesto que esto hara que el denominador fuera O.

33

34 2 ECUACIONES

Resolver una ecuacin significa encontrar todos los valores de sus variables para los cuales la ecuacin se verifica. A estos valores se les denomina soluciones de la ecuacin y se dice que la satisfacen. Cuando slo se maneja una variable, a una solucin tambin se le denomina raz. AI conjunto de todas las soluciones se le denomina conjunto solucin de la ecuacin. En ocasiones, a una letra que representa una cantidad desconocida en una ecuacin se le denomina simplemente incgnita. Enseguida se ilustran estos trminos.

EJEMPLO 2 a. En la ecuacin x + 2 = 3, la variable x es la incgnita. El nico factor de x que

satisface la ecuacin es 1. Por ello, 1 es una raz y el conjunto de soluciones es (1).

b. M' = 7 - z es una ecuacin con dos incgnitas. Una solucin es el par de valores w = 4 y z = 3. Sin embargo, existe una cantidad infinita de soluciones. Puede el lector pensar en otra?

c . -2 es raz de x* + 3x + 2 = O debido a que al sustituir x por -2 la ecuacin se verifica: (-2)2 -+ 3(-2) + 2 = O.

Al resolver una ecuacibn se desea que cualquier operacin que se haga sobre ella d como resultado otra ecuacin que tenga exactamente las mismas soluciones que la ecuacin dada. Cuando ocurre esto, se dice que las ecuaciones son equivalentes. Exis- ten tres operaciones que garantizan la equivalencia:

1. Sumar (o restar) el mismo polinomio* a (o de) ambos miembros de una ecuacin, cuando el polinomio tiene la misma variable de la ecuacin.

Por ejemplo, si 3x = 5 - 6x, entonces sumar 6x a ambos lados produce la ecuacin equivalente 3x + 6x = 5 - 6x + 6x, o bien 9x = 5.

2. Multiplicar (o dividir) ambos miembros de una ecuacin por la misma constante, exceptuando el cero.

Por ejemplo, si lox = 5, entonces dividir ambos lados entre 10 produce la ecuacin 10s 5 1 equivalente -- = -, o bien x = - 10 10 2'

3. Reemplazar cualquier miembro de una ecuacin por una expresin igual.

Por ejemplo, si x (x + 2) = 3, entonces el reemplazo del lado izquierdo por una expresin igual, x2 + 2x, produce la ecuacin equivalente x2 + 2x = 3.

* Vase la Secci6n 1.6 que contiene la definicin de polinomio.

2.1 Ecuaciones lineales 35

Repitiendo: La aplicacin de las operaciones 1 a 3 garantiza que la ecuacin resultante equivale a la dada. Sin embargo, en ocasiones, al resolver una ecuacin se desea utilizar operaciones diferentes a las consideradas en los cuadros 1 a 3. Estas operaciones pueden no necesariamente dar como resultado ecuaciones equivalentes. Dichas operaciones son:

4. Multiplicar ambos miembros de una ecuacin por una expresin que contiene a la variable;

5. Dividir ambos lados de una ecuacin entre una expresin que implica la variable;

6. Elevar ambos lados de una ecuacin a potencias de igual exponente.

Enseguida se ilustran estas tres ltimas operaciones. Por ejemplo, por inspeccih se observa qde la nica raz de x - 1 = O es 1. Multiplicando ambos lados por x (operacin 4) se tiene x2 - x = O, la cual se satisface si x es O o bien 1 (verifquese esto mediante sustitucin). Pero O no satisface la ecuacin original. Por ello, las ecuaciones no son equivalentes.

Se puede verificar que (x - 4)(x - 3) = O se satisface cuando x es 4 o bien 3. Divi- diendo ambos miembros entre x - 4 (operacin 5) se obtiene x - 3 = O, cuya nica raz es 3. De nueva cuenta, no se tiene equivalencia porque, como en este caso, se ha perdido una raz. Obsrvese que cuando x es 4, la divisicin entre x - 4 implica divisin entre O la cual es una operacin no vlida.

Para terminar, elevando al cuadrado ambos lados de la ecuacin x = 2 (operacin 6) se obtiene x2 = 4, la cual se verifica si x = 2 o bien -2. Pero -2 no es una raz de la ecuacin dada.

Del anlisis anterior resulta claro que cuando se llevan a cabo las operaciones 4 a 6, se debe tener cuidado acerca de las conclusiones que se plantean para las races de una ecuacin dada. Las operaciones 4 y 6 pueden producir una ecuacin con una mayor cantidad de races. Por ello, se debe verificar si cada una de las soluciones que se obtienen de estas operaciones satisfacen la ecuacin original o no. La operacin 5 puede producir una ecuacin con menor cantidad de races. En este caso es posible que nunca se determine alguna raz perdida. Por tanto, debe evitarse la operacin 5 cuando sea posible.

En resumen, se puede considerar una ecuacin como un conjunto de restricciones impuestas a cualquiera de las variables de la misma. Las operaciones 4 a 6 pueden aumen- tar o disminuir las restricciones, produciendo soluciones diferentes a las de la ecuacin original. Sin embargo, las operaciones 1 a 3 nunca afectan a las restricciones.

Ahora se mostrar en la solucin de una ecuacin lineal cmo utilizar los princi- pios que se han presentado hasta este punto.

DEFlNlClN

Una ecuacin lineal en la variable x es una ecuacin que puede escribirse en la forma a x + b = O ,

en donde a y b son constantes y a # O. (1)

36 2 ECUACIONES

A las ecuaciones lineales se les denomina tambin ecuaciones de primer grado o ecuaciones de grado I , puesto que la mayor potencia que ocurre en la variable de la ecuacin (1) es la primera.

Para resolver una ecuacion lineal, se llevan a cabo operaciones hasta que se llega a una ecuacin equivalente cuyas soluciones son evidentes. Esto significa una ecuacin en la cual la variable se encuentra sola en un miembro, como en los ejemplos que se presentan enseguida.

EJEMPLO 3

Resolver 5x - 6 = 3x.

Se comienza haciendo que los trminos que implican a x se encuentren en un lado y las constantes en el otro.

5~ - 6 3x, 5x - 6 + ( - 3x) = 3.x + ( - 3 ~ ) (sumando -3x a ambos miembros),

2 ~ - 6 = 0 (simplificando, es decir, operacin 3),

2 ~ - 6 + 6 = 0 + 6 (sumando 6 a ambos lados),

2 x = 6 (simplificando),

2x 6 2 2 - = - (dividiendo ambos lados entre 2),

x = 3

Resulta claro que 3 es la nica raz de la ltima ecuacin. Dado que cada ecuacin es equivalente a la que le antecede, se concluye que 3 debe ser la nica raz de 5x - 6 = 3x. Es decir, el conjunto solucin es (3). Se puede describir el primer paso de la solucin diciendo que se pasa un trmino de un miembro de la ecuacin al otro, al tiempo que se le cambia de signo; es comn que se denomine a esto transposicin. Obsrve- se que como la ecuacin original puede ponerse en la forma 2 x + (-6) = O, es as una ecuacin lineal.

EJEMPLO 4

Resolver 2 (p + 4) = 7 p + 2. En primer lugar se eliminan los parntesis.

2QJ + 4) = 7 p + 2, 2p + 8 = 7 p + 2 (propiedad distributiva),

2p = 7 p - 6 (se resta 8 de ambos lados),

- 5 p = -6 (se resta 7 p de ambos miembros),

- 6 P = T (se dividen ambos lados entre "9,

2.1 Ecuociones lineales 37

t P = J

EJEMPLO 5 7 x + 3 9 ~ - 8 Resolver ___ - ___ - - 6.

2 4 En primer lugar, se eliminan las fracciones multiplicando ambos lados por el mnimo comn denominador (M.C.D.)*, que es 4.

7x + 3 9x - 8 4." 2

4.- = 24 (propiedad distributiva), 4

2(7x + 3 ) - (9x - 8) = 24 (se simplifica), 14x + 6 - 9x + 8 = 24 (propiedad distributiva),

5x + 14 = 24 (se simplifica), 5x = 10 (se resta 14 de ambos lados),

x = 2. (se dividen ambos miembros entre 5).

Cada una de las ecuaciones de los Ejemplos 3 a 5 tiene una y slo una raz. Esto es caracterstico de todas las ecuaciones lineales en una variable.

Las ecuaciones en las que algunas de las constantes se representan por letras se denominan ecuaciones literales. Por ejemplo, en la ecuacin literal x + a = 4b se con- considera que a y b son constantes no especificadas. Las frmulas, como I = Prt, que expresan una relacin entre ciertas cantidades, pueden considerarse ecuaciones literales. Si se desea expresar una letra especfica de una frmula en trminos de las otras, a dicha letra se le considera la incgnita.

EJEMPLO 6

a. La ecuacin I = Prt es la frmula para el inters simple I que se obtiene sobre un capital P, a la tasa anual de inters r por un perodo de t aos. Expresar r en trminos de I, P y t.

Aqu se considera que res la incgnita. Para separar r se dividen ambos lados entre Pt. I = Prt,

I Prt Pt Pt ' _" -

* El mnimo comn denominador de dos o ms fracciones es el menor nmero que tiene a todos 10s denominadores como factores. Es decir, el M.C.D. es el mnimo comn rnltiplo (M.C.M.) de todos 10s denominadores.

38 2 ECUACIONES \ Cuando se dividen ambos miembros entre Pt, se supone que P t # o, Porque no se

puede dividir entre cero. En la resolucin de otras ecuaciones literales se hacen las mismas suposiciones. I

b. La ecuacin S = P + Prt es la frmula para el valor S de una inversin de un capital P a una tasa anual de inters simple r por un periodo de t aos. Despejar P.

S = P + Prt, S = P(l + rt) (se factoriza)

S - = p 1 + rt (se dividen ambos lados entre 1 + rt) .

c. Despejar x en (a + c)x + x2 = (x + a>2. En primer lugar se simplifica la ecuacin y despus se colocan en un mismo lado todos los trminos que implican a la x.

(a + c)x + 2 = ( x + a)2 , ax + cx + x2 = x2 + 2ax + u,

cx - ux = a , 2

x(c - a) = a?,

a2 c - a

x=----

EJERCICIOS 2.1

En 10s Problemas 1-6, determinar por sustitucin cul de los nmeros dados satisface la ecuacin dada, si es que alguno lo hace.

1. 9x - x* = o; 1, o. 2. 20 - 9x = -x2; 5, 4. 3. y + 20, - 3) = 4; y , 1. 4. 2x + x - 8 = O; 2, - 4 . 5. x(7 + x) - 2(x + 1) - 3x = -2; - 3 . 6. X(X + l)(x + 2) = O; O, - 1, 2.

2 x - 2 11. x2 - 2x = o; x - 2 = o. 12. - + x = S; 2 + n(x - 2) = x2(x - 2).

2.1 Ecuaciones lineales 39

14. x(x + 5 ) ( x + 9) = x(x + 1); (x + 5)(x + 9) = x + 1.

15. ___ - x(x + 1)

x - 5 - x(x + 9); X + 1 = (X t 9 ) ( ~ - 5). 16. 2 x 2 - 9 = X; X' - f s = 8.

EA los Problemas 17-46, resolver las ecuaciones.

17,. 4x = 10. 18, 0 . 2 ~ = 5. 19. 3y = O.

20. 2x - 4x = -5 . 21. - 5 ~ = 10 - 15. 22. 3 - 2x = 4.

23. 5x - 3 = 9. 24. ax + 3 = 8. 25. 7x + 7 = 2(x + 1). 26. 62 + 52 - 3 = 41. 27. 2@ - 1) - 3(p - 4) = 4p. 28. t = 2 - 2[2t - 3(1 - t ) ] .

29. - = 2x - 4. X

5

X 32. - - 4 = -.

3 5 X

.x 35. 3 x + - - 5 = - + S x

1 5 . 5

38. - + -p = -(p - 1). P 3 9 3 4 2

3 2

33. q = - q - 4.

31. 5 + - = - 4x x 9 2'

3 4 . - + - = 7 2 3

x x

37. - - 2 ~ - 3 6 y + 7 4 3 ' "

39. w + - " + " = 5 ~ 7 + 2(x + 1) 8x 40. = - 3 5 ' w w w 2 3 4

41. - - - = x - 2. 42. - + ___ = 7. x + 2 2 - X x 2(x - 4) 3 6 5 10

<

9 3 5 4

43. -(3 - x) = -(x - 3).

3 21 '

46. ( 3 ~ - 1)I - (SX - 3)' = - ( 4 ~ - 2)'

En los Problemas 41-54, expresar el smbolo que se indica en trminos de los simbolos restantes.

47. I = Prt; P. 48. ux + b = O; x. 49. p = 8q - 1; q. 50. p = -39 + 6; q. 51. S = P(l + rt); r. 2mI 52. r = ' m.

B(n + 1)' 53. S = !(a, + un); u, . R[(1 + i)" - 11 2 54. S = ; R . i 55. Si se compra un artculo para utilizarlo en un negocio, al elaborar la declaracin del impuesto sobre la renta se puede repartir su costo sobre toda su vida til. A esto se le denomina depreciacin. Un mtodo de evaluar esta cantidad es la depreciacin en lnea recta, en la cual se calcula la depreciacin anual dividiendo el costo del artculo, menos su valor estima- do de desecho, entre su vida til. Supngase que el costo es C, la vida til es N (aos) y no hay valor de desecho. Entonces, el valor V del artculo al final de n aos est dado por

Supngase que se adquieren $1 600 (dlares) de muebles nuevos para oficina, que tienen una vida til de 8 aos y que carecen de valor de desecho. Des- pus de cuntos aos valdrn $1 OOO?

56. Cuando se utiliza radar en una carretera para determinar la velocidad de un automvil, se enva un haz de ondas para que se refleje en el automvil que transita. La diferencia F (en ciclos por segundo) en la frecuencia entre el haz original emitido y el refle- jado est dada por

F = - vf 334.8'

40 2 ECUACIONES

en donde v es la velocidad del automvil en millas cia de pie frente a una mesa de 3 pies cuadrados en por hora (mi/h) y f es la frecuencia del haz radio- la cual se haban colocado discos uniformes de lija, elctrico original (en megaciclos por segundo). la presa. Durante un minuto, el depredador

Supngase que un conductor maneja en una carretera que tiene lmite de velocidad de 55 mi/h. Un polica dirige un haz de radar, cuya frecuencia es de 2 450 (megaciclos por segundo) al automvil, y observa que la diferencia en frecuencia es de 420 (ciclos por segundo) Puede suponer el polica que el conductor est rebasando el lmite de velocidad?

busc los discos tocrndo con un dedo. En los casos en los que enc0ntrat.a un disco, se eliminaba ste y la bsqueda cordir uaba. El experimento se repiti con diversas densidad, S (nmero de discos por 9 pies cuadrados). Si y es el nmero de discos encontrados en un minuto cuando se encontraban x objetos de stos en la mesa, se estima que

57. Para estudiar la relacin entre depredador y presa, se llev a cabo un experimento* en el cual un suje- en donde a y b son constantes. Despeje y de esta to con los ojos tapados, el depredador, permane- ecuacin.

? = a( l - b?)x,

- 2.2 Ecuaciones que conducen a ecuaciones lineales Algunas ecuaciones que no son lineales carecen de solucin. En este caso, se dice que el conjunto solucin es el conjunto vacio o conjunto nulo, el cual se denota mediante { } o 0. LOS siguientes ejemplos ilustran que resolver ecuaciones no lineales puede con- ducir a ecuaciones lineales.

EJEMPLO 1

Resuelva las siguientes ecuaciones. 5 6

x - 4 S . ? . a, -- = ___

A esta ecuaci6n se le denomina ecuacin fracciona[ debido a que la incgnita se encuentra en el denominador. Para resolverla, primero se le escribe en forma que no tenga fracciones. Multiplicando ambos lados por el M.C.D., (x - 4)(x - 3), se tiene

5(x - 3 ) = 6(.r - 4) [ecuacin lineal],

5x - 15 = 6~ - 24,

9 = x.

En el primer paso, se multiplic cada uno de los lados por una expresin que implicaba la variable x. Como se mencion en la Seccin 2.1, esto significa que no se garantiza que la ultima ecuacin equivale a la ecuacin original. Por consiguiente, debe verificarse si el nmero 9 satisface la ecuacin original. Si se sustituye x por 9 en esa ecuacion, el lado. izquierdo se convierte en

- = - = 1 5 5 9 - 4 5

* C.S. Holling, Some Characteristics of Simple Types of Predation and Parasitism, The Canadian Entomologist. >

2.2 Ecuaciones que conducen o ecuaciones lineoles

y el lado derecho es 6 6

9 - 3 6 = 1.

Dado que ambos miembros son iguales, 9 es una raz. 3 x + 4 3 x - S 12 x + 2 X - 4 x - 2 r - 8

b . - - - - -

Como x2 - 2x - 8 = (x + 2)(x - 4), el M.C.D es (x + 2)(x - 4). Multiplicando ambos lados por el M.C.D., se tiene

(X - 4)(3x + 4) - (X + 2 ) ( 3 ~ - 5) = 12, 3 ~ - 8x - 16 - ( 3 ~ + X - 10) = 12,

3 ~ - 8x - 16 - 3x2 - X + 10 = 12, - 9 ~ - 6 = 12,

x = - 2

Sin embargo, la ecuacin original no est definida para x = -2 (no se puede dividir entre O), y por ello, no existen races. El conjunto solucin es 0.

4 X - S

c . ___ - - o.

La nica forma en que una fraccin puede ser igual a cero es cuando el numerador es O y el denominador es diferente de O. Dado que el numerador, 4, nunca puede ser cero, el conjunto solucin es 0.

EJEMPLO 2

Resolver d m - x = 3.

A esta ecuacin se le denomina ecuacin radical, puesto que aparece una variable en el radicando. Para resolverla, se elevan ambos miembros a la misma potencia para eliminar el radical. Esta operacin no garantiza equivalencia y, por ello, se deben verificar cualesquiera soluciones resultantes. Se comienza aislando el radical en un lado.

x + 33 = (x + 3) (elevando al cuadrado ambos lados), x + 33 = x2 + 6x + 9,

24 = 6x,

4 = x

42 2 ECUACIONES

Es posible que en ocasiones sea necesario elevar ambos lados de una ecuacin radical a la misma potencia ms de una vez, como se muestra en el Ejemplo 3 .

5 1. - = 25 X

9 - 19. c_ - -. 3x

x - 3 x - 3

2. ~ - - 2. x - 1

4

3 5. - - 4 - -

8 - x 4

3 7 - x

3. - = o.

41, I L 8. - = 1 . 9*-- 7 - P p - 1 p - 2

A 3 12. - - -.

t - 3 t - 4 -

1 3 - 4 18. - - - - x - 3 x - 2 1 - 2 x -.

2.3 Ecuociones cuodrticos 43

31. %5 t- d m = 3. 32. - VZ = 1 . 33. VTT5 = 3 + 2.

34. /; - J 5nl 2 - 2 = o. En los Problemas 35-38 expresar la letra que se seala en trminos de las restantes.

35. r = -. d . 1 - dt

1 1 1 38. - + - = -I q. P Y J

37. r = . n . 2mI

B(n + 1)

39. En cierta reserva ecolgica, el nmero y de pre- sas que un depredador consume en cierto intervalo de tiempo est dado por

1 ox y = I + 0.1x

en donde x es la densidad depresas (nmero de pre- sas por unidad de rea). LQu densidad permitira a un depredador sobrevivir si necesita consumir 50 pre- sas en el periodo dado?

do por la clase de camino (como concreto, asfalto, grava o alquitrn); f depende tambin de si el camino est seco o mojado. En la tabla que aparece enseguida se proporcionan algunos valores del coeficiente f. LA 40 millas por hora, ms o menos en qu distancia derrapara un automvil en un camino seco de concreto? Proporcione la respuesta redondeando el valor en pies.

40. La polica ha utilizado la frmula S = VTOP para calcular la velocidad S (en millas por hora) de Mojado 0.4 0.5

Concreto Alquitrn

un automvil, si derrapa d pies cuando se detiene. Seco 0.8 1 .o La cantidad f es el coeficiente de friccin determina-

- 2.3 Ecuaciones cuadrticas Para aprender a resolver problemas ms complicados, se explicarn ahora mtodos para la resolucin de ecuaciones cuadrticas.

Una ecuacin cuadrtica en la variable x es una ecuacin que puede escribirse de la siguiente forma:

ax + b.u + c = O, en donde a, b y c son constantes y a f O.

A una ecuacin cuadrtica se le denomina tambin ecuacin de segundo grado o ecuacin de grado 2 , puesto que la ms alta potencia de la variable que aparece es la segunda. Mientras que las ecuaciones lineales tienen slo una raz, algunas ecuaciones cuadrticas tienen dos races distintas.

Un mtodo til para resolver ecuaciones cuadrticas se basa en la factorizacin de ax2 + bx + c, como se muestra en el siguiente ejemplo. EJEMPLO 1

Resuelva las siguientes ecuaciones cuadrticas. a. x + x - 1 2 = O.

44 2 ECUACIONES

Es fcil factorizar el primer miembro: (x - 3)(.x + 4) = o.

Considrese esto como dos cantidades, x - 3 y x + 4, cuyo producto es cero. Para que el producto de dos o ms cantidades sea cero, cuando menos una de ellas debe ser cero. Esto significa que o bien x - 3 = O o bien x + 4 = O. Resolviendo stas se obtiene x = 3 y x = -4. Las races son 3 y -4 y el conjunto solucin es (3 , -4}.

No se dividen ambos lados entre w (una variable) puesto que no est garantizada la equivalencia y se puede perder una raz. En cambio, se escribe la ecuacin de la siguiente manera

Factorizando queda

Igualando cada uno de los factores a O,

Por consiguiente, las races son w = O y w = i. Obsrvese que si se hubieran dividido ambos lados de 6w2 = 5w entre w, se habra obtenido 6w = 5, y la nica solucin sera w = 2 . Es decir, se habra perdido la raz w = O. Esto confirma la mencin que se hizo de la operacin 5 en la Seccin 2. l .

Algunas ecuaciones que no son cuadrticas pueden resolverse mediante factorizacin, como se muestra en el Ejemplo 2.

EJEMPLO 2

Resolver las siguientes ecuaciones.

a. 4x - 4x- = O. 3

A esta se le denomina ecuacin de tercer grado.

4x - 4.X3 = o, 4 ~ ( 1 - x) = O,

4x( 1 - x ) ( l + X) = O.

x = o, I . - 1, que se puede escribir como x = O, & l .

b. x(x + 2)x + 5) + x(x + 2)3 = 0

2.3 Ecuociones cuodrticos 45

Como el factor x(x + 2)2 es comn a ambos trminos del lado izquierdo, se tiene x(x + 2)2[(x + 5) + (x + 2)] = o,

x(x + 2)2(2x + 7 ) = o. Por ello, x = O, x + 2 = O , o bien 2x + 7 = O , de donde se concluye que x = O , -2, -5.

EJEMPLO 3

Resolver (3x - 4)(x + 1) = - 2. ADVERTENCIA Se deben abordar con precaucin los problemas de este tipo. Si el producto de dos cantidades es igual a -2, no es cierto que cuando menos una de las cantidades deba ser igual a -2. ,Por qu? No se debe igualar cada uno de los factores a -2; hacerlo no arroja soluciones para la ecuacin dada.

En primer lugar, se multiplican los factores del lado izquierdo: 3x - x - 4 = -2 .

Reescribiendo, de manera que aparezca el O en un lado, se tiene

3x2 - x - 2 = o. Factorizando queda

(3x + 2)(x - 1) = o. Por lo tanto

x = -2 ] 3 , .

EJEMPLO 4 y + I y + 5 7(2y + 1)

Resolver - + - y + 3 y - 2 y 2 + y - 6

Multiplicando ambos miembros por el M.C.D. O, + 3)O, - 2), resulta

Como se multiplic la Ecuacin (1) por una expresin que implicaba la variable y, se debe recordar (de la Seccin 2.1) que la Ecuacin ( 2 ) no necesariamente es equivalente a la (1). Despus de simplificar la Ecuacin (2) , se tiene que

2 y 2 - 7 y + 6 = O , (2y - 3)(y - 2) = o.

As, 3 y 2 son races posibles de la ecuacin dada. Pero 2 no puede ser raz de la Ecua- cin ( I ) , puesto que la sustitucin conduce a un denominador O . Sin embargo, se debe verificar que 3 satisface la ecuacin original. Por consiguiente, su nica raz es g.

46 2 ECUACIONES

EJEMPLO 5

Resolver x2 = 3.

Esta ecuacin es equivalente a

,Y2 - 3 = o. Factorizando, se obtiene

(x - *)(X + \/3) = o. Por 10 tanto, X - \'5 = O o bien x + dj = O. Las races son ?a. que antes, se puede demostrar que:

Una forma ms general de la ecuacin x 2 = 3 es u 2 = k . De la misma manera

Si u 2 = k, entonces u = I

Resolver ecuaciones cuadrticas mediante factorizacin puede resultar bastante difcil

Matemáticas para administración y economía Hausler

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