Matematicas, marcelo

COPERSO

Curso: matemáticas

Prof: Víctor Muñoz

Trabajo:

Portafolio digital

Nombre: Marcelo López Yac

INDICE

Introducción……………………………………………………………………….………1

Justificación……………………………………………………………………….……….2

Multiplicación y división de polinomios………………………………………………….3

Productos notables……………………………………………………………………………………4

Ecuaciones enteras de primer grado con una incógnita……………………………..5

Problemas de aplicación de ecuaciones enteras de primer grado con una incógnita…………………………………………………………………………..……....6

Ecuaciones enteras de primer grado con dos incógnitas……………..……….…….7

Ecuaciones enteras de primer grado con tres incógnitas…………..……………….8

Ecuaciones cuadrática………………………………………………………………………………...9

Actividades de Autoaprendizaje…………………………………………………………..…………….10

Conclusiones…………………………………………………………………………….11

Propuestas……………………………………………………………………………….12

Referencias Bibliográficas……………………………………………………….……………………13

E grafía……………………………………………………………………………………14

INTRODUCCION

La matemáticas es la rama en donde encontramos multitudes de bases operacionales, el cual nos muestran formas en cómo podemos encontrar resultados, que nos pueden servir, y demostrar nuestras habilidades, en números y letras. Y desde luego con esto no quiere deducir que somos personas fuera de lo común al aprenderlo, pero es necesario al menos aprender los básico en matemáticas, por ejemplo, restas, sumas, multiplicación, y división, pues esto nos ayuda a nuestros temas a tratar, que son los polinomios y ecuaciones, el cual existen diversas y formas constantes para operarla en ecuaciones, hay con una, dos, tres y más incógnitas, y para ello tenemos que seguir los procedimientos que explican en cada operación.

JUSTIFICACIÓN

La intención de realizar esta tarea es comprender cada tema, claramente si tenemos la facilidad de entenderlas, pero muchas veces si es dificultoso, porque hay que tener muy en cuenta algunas reglas en las matemáticas, como también formulas, procedimiento, proceso, con ello se puede encontrar más facilidades de desenvolverse en las tareas matemáticas, para ser por si mismos cada detalle, que corregir , el que el profesor nos haya explicado porque es una dificultad que encontramos, es tiempo, es por ello uno de los motivos al realizar la investigación, y preparación en teoría de los polinomios y ecuaciones, sin en cambio se puede ver el interés de los alumnos, al ejecutar la tarea, por se nota la intención de hacerlo si solo es por puntos o solo en aprender. En eso podemos interpretar las dos cosas, pero según sea la persona quien la está realizando.

MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS

Multiplicación de un número por un polinomio

Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por el número.

3 · ( 2x3 − 3 x2 + 4x − 2) = 6x3 − 9x2 + 12x − 6

Multiplicación de un monomio por un polinomio

Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio.

3 x2 · (2x3 − 3x2 + 4x − 2) = 6x5 − 9x4 + 12x3 − 6x2

Multiplicación de polinomios

P(x) = 2x2 − 3    Q(x) = 2x3 − 3x2 + 4x

Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos segundo polinomio.

P(x) ·  Q(x) = (2x2 − 3) · (2x3 − 3x2 + 4x) =

= 4x5 − 6x4 + 8x3 − 6x3 + 9x2 − 12x =

Se suman los monomios del mismo grado.

= 4x5 − 6x4 + 2x3 + 9x2 − 12x

Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican.

También podemos multiplicar polinomios de siguiente modo:

División de polinomios

Resolver la división de polinomios:

P(x) = x5 + 2x3 − x − 8         Q(x) = x2 − 2x + 1

P(x) :  Q(x)

A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es completo dejamos huecos en los lugares que correspondan.

A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.

Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.

x5 : x2 = x3

Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y lo restamos del polinomio dividendo:

Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo.

2x4: x2 = 2 x2

Procedemos igual que antes.

5x3: x2 = 5 x

Volvemos a hacer las mismas operaciones.

8x2: x2 = 8

10x − 6 es el resto, porque su grado es menor que el del divisor y por tanto no se puede continuar dividiendo.

X3+2x2 +5x+8 es el cociente.

Productos Notables

El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, menos el doble de la primera cantidad multiplicada por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad.

Demostración:

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma a2 – 2ab + b2 debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (a – b)2

Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades (o producto de dos binomios conjugados)

(a + b) (a – b) = a2 – b2

El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, menos el cuadrado de la segunda

Demostración:

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma (a + b) (a – b) debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como a2 – b2

Ver: PSU: Matemática,

Pregunta 15_2010

Pregunta 19_2010

Pregunta 09_2006

Otros casos de productos notable (o especiales):

Producto de dos binomios con un término común, de la forma

x2 + (a + b)x + ab = (x + a) (x + b)

Demostración:

Veamos un ejemplo explicativo:

Tenemos la expresión algebraica

x2 + 9 x + 14

obtenida del producto entre (x + 2) (x + 7 )

¿Cómo llegamos a la expresión?

a) El cuadrado del término común es (x)(x) = x2

b) La suma de términos no comunes multiplicada por el término común es (2 + 7)x = 9x

c) El producto de los términos no comunes es (2)(7) = 14

Así, tenemos:

x2 + 9 x + 14 = (x + 2) (x + 7 )

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma x2 + (a + b)x + ab debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (x + a) (x + b)

Producto de dos binomios con un término común, de la forma

x2 + (a – b)x – ab = (x + a) (x – b)

Demostración:

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma x2 + (a – b)x – ab debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (x + a) (x – b).

Producto de dos binomios con un término común, de la forma

x2 – (a + b)x + ab = (x – a) (x – b)

Demostración:

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma x2 – (a + b)x + ab debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (x – a) (x – b).

Producto de dos binomios con un término común, de la forma

mnx2 + ab + (mb + na)x = (mx + a) (nx + b)

En este caso, vemos que el término común (x) tiene distinto coeficiente en cada binomio (mx y nx).

Demostración:

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma mnx2 + ab + (mb + na)x debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (mx + a) (nx + b).

Cubo de una suma

a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (a + b)3.

Cubo de una diferencia

a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 = (a – b)3

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (a – b)3.

A modo de resumen, se entrega el siguiente cuadro con Productos notables y la expresión algebraica que lo representa:

Producto notable Expresión algebraica Nombre

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Binomio al cuadrado(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 Binomio al cuboa2 b2 = (a + b) (a b) Diferencia de cuadrados

a3 b3 = (a b) (a2 + b2 + ab) Diferencia de cubosa3 + b3 = (a + b) (a2 + b2 ab) Suma de cubosa4 b4 = (a + b) (a b) (a2 + b2) Diferencia cuarta(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac +

2bcTrinomio al cuadrado

http://www.profesorenlinea.cl/matematica/AlgebraProductosnotables.htm

ECUACIONES ENTERAS DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITAIgualdad es la expresión de que dos cantidades o expresiones algebraicas tienen

el mismo valor.

Ejemplos                 a = b + c.                 3x2 = 4x + 15.

Ecuación  es una igualdad en la que hay una o varias cantidades desconocidas

llamadas incógnitas y que solo se verifica o es verdadera para determinados

valores de las incógnitas.

Las incógnitas se representan por las ultimas letras del alfabeto: x, y, z, u, v.

Así,                                            5x + 2 = 17

Es una ecuación, porque es una igualdad en la que hay una incógnita, la x, y esta

igualdad solo se verifica, o sea que solo es verdadera, para el valor  x = 3. En

efecto, si sustituimos la x por 3, tenemos:

                 5(3) + 2 = 17, o sea: 17 = 17.

Si damos a x un valor distinto de 3, la igualdad no se verifica o no es verdadera.

La igualdad  y2 – 5y = - 6 es una ecuación porque es una igualdad que solo se

verifica para  y = 2 e  y= 3. En efecto, sustituyendo la y por 2 tenemos:

                            22 – 5(2) = - 6

4        – 10 = - 6

-          6 = - 6

 Si hacemos  y = 3, tenemos: 32 – 5(3) = - 6

                                                9 – 15 = - 6

                 - 6 = - 6

Si damos a  y un valor distinto de 2 o 3, la igualdad no se verifica.

Identidad es una igualdad que se verifica para cualesquiera valores de las letras

que entran en ella.

Así,                                 (a – b)2  = (a – b) (a – b)                       

                                      a2  - m2  = (a + m) (a – m)

Son identidades porque se verifican para cualesquiera valores de las letras a y b

en el primer ejemplo y de las letras a y m del segundo ejemplo.

El signo de identidad es ≡, que se lee “idéntico a”.

Así, la identidad de (x + y)2  con  x2 + 2xy + y2 se escribe (x + y)2 ≡ x2 + 2xy + y2 y se

lee (x + y)2 idéntico a x2 +2xy + y2.

Miembros  se llama primer miembro de una ecuación o de una identidad a la

expresión que está a la izquierda del signo de igualdad o identidad, y segundo

miembro, a la expresión que está a la derecha. 

Así, en la ecuación              3x – 5 = 2x – 3

el primer miembro es 3x – 5 y el segundo miembro 2x – 3.

Términos son cada una de las cantidades que están conectadas con otras por el

signo + o -, o la cantidad que está sola en un miembro.

Así, en la ecuación             3x – 5 = 2x – 3

Los términos son 3x, - 5, 2x y – 3.

No deben confundirse los miembros de una ecuación con los términos de la

misma, error muy frecuente en los alumnos.

Miembro y término son equivalentes solo cuando en un miembro de una ecuación

hay una sola cantidad.

Así, en la ecuación            3x = 2x + 3

Tenemos que 3x es el primer miembro de la ecuación y también es un término de

la ecuación.

Despejar consiste en pasar las variables de un lado de la ecuación al otro

(preferiblemente el izquierdo) luego hacer la reducción de términos y resolver.

Reglas para despejar

     Cualquier término de la ecuación se puede pasar de un miembro a otro

cambiándole el signo (muy importante).

Sea la ecuación 5x = 2a – b

Sumando b a los dos miembros de esta ecuación, la igualdad subsiste y

tendremos:                    5x + b = 2a –b + b

Y como – b + b = 0, queda     5x + b = 2a

Donde vemos que – b, que estaba en el segundo miembro de la ecuación dada,

ha pasado al primer miembro con signo +.  

     Términos iguales con signos iguales en distinto miembro de una ecuación,

pueden suprimirse.

Así, en la ecuación         x + b = 2a + b

Tenemos el termino b con signo + en los dos miembros. Este término puede

suprimirse, quedando           x = 2a

porque equivale a restar b a los dos miembros.

Cambio de signos los signos de todos los términos de una ecuación se pueden

cambiar sin que la ecuación varíe, porque equivale a multiplicar los dos miembros

de la ecuación por – 1, con lo cual la igualdad no varía.

Así, en la ecuación              - 2x – 3 = x – 15

Multiplicamos ambos miembros por – 1, para lo cual hay que multiplicar por – 1

todos los términos de cada miembro, tendremos:

                                          2x + 3 = - x + 15,

que es la ecuación dada con los signos de todos sus términos cambiados.

Regla general

     Se efectúan las operaciones indicadas si las hay.

     Se hace la transposición de términos, reuniendo en un miembro todos los

términos que contengan la incógnita y en el otro miembro todas las cantidades

conocidas.

     Se reduce términos semejantes en cada miembro.

     Se despeja la incógnita dividiendo ambos miembros de la ecuación por el

coeficiente de la incógnita.

RESOLUCION DE ECUACIONES ENTERAS DE PRIMER GRADO CON UNA

INCOGNITA

Ejemplo

(1)  Resolver la ecuación x + 17 = 21

Se resta 17 a los dos miembros de la igualdad, porque es el numero que se

necesita eliminar para que la variable quede sola, y después se efectúan las

operaciones.

                               X + 17 – 17 = 21 – 17

                                        X + 0 = 4

                                              X = 4

Por lo tanto, la solución de la ecuación x + 17 = 21, es x = 4, porque es el valor

que hace verdadera la igualdad.

Verificación

 La verificación es la prueba de que el valor obtenido para la incógnita es correcto.

La verificación se realiza sustituyendo en los miembros de la ecuación dada la

incógnita por el valor obtenido, y si este es correcto, la ecuación dada se

convertirá en identidad.

Así, en el caso anterior, haciendo x = 4 en la ecuación dada tenemos:

                             4 + 17 = 21

                                   21 = 21

Problemas de la aplicación de ecuaciones enteras de primer grado con una incógnita

Descripción y ejemplos.

Se llaman ecuaciones a igualdades en las que aparecen número y letras (incógnitas) relacionados mediante operaciones matemáticas.

Por ejemplo: 3x - 2y = x2 + 1

Son ecuaciones con una incógnita cuando aparece una sóla letra (incógnita, normalmente la x).

Por ejemplo: x2 + 1 = x + 4

Se dice que son de primer grado cuando dicha letra no está elevada a ninguna potencia (por tanto a 1).

Ejemplos:

3x + 1 = x - 2

1 - 3x = 2x - 9.

x - 3 = 2 + x.

x/2 = 1 - x + 3x/2

Son estas últimas las ecuaciones que vamos a resolver en esta lección.

Solución numérica y gráfica.

Ejercicio 1.- Supongamos que queremos resolver la ecuación: 3x + 1 = x - 2.

Resolver una ecuación es encontrar un valor de x que, al ser sustituido en la ecuación y realizar las operaciones indicadas, se llegue a que la igualdad es cierta.

En el ejemplo podemos probar con valores:

x = 1, llegaríamos a 5 = -2, luego no es cierto,

x = -1 llegaríamos a -2 = -3, tampoco. Resolvámosla entonces para hallar el valor de x buscado:

Numéricamente, como seguramente sabrás, se resuelve "despejando" la x, o sea ir pasando términos de un miembro a otro hasta conseguir: x = ..número..Así:

3x - x = -1 - 2 ; 2x = - 3 ; x = -3/2 ó x = -1,5.

Efectivamente: 3(-1,5) + 1 = -1,5 -2 ; -4,5 + 1 = -3,5. ¡cierto!.

Decimos en este caso que la ecaución tiene solución. Pero:

¿qué significa gráficamente esta solución?

Observa la siguiente escena. La línea recta dibujada en rojo representa gráficamente a la ecuación.

El valor de x donde la recta corta al eje X será la solución de la ecuación (observa que es x = -1,5)

Cambia los valores de x en la escena adjunta, "arrastrando" el punto grueso rojo con el ratón.

Observa en esta escena que la ecuación está escrita en la parte inferior de la imagen, en rojo.

Para resolver una ecuación de primer grado se utilizan dos reglas fundamentales para conseguir dejar la "x" sola en el primer miembro. Veámoslas para el ejercicio anterior:

3x + 1 = x - 2.

- Sumar o restar a los dos miembros un mismo número. En este caso restar 1 a los dos miembros y restar x a los dos miembros:

3x +1 -1 - x = x - x - 2 -1 , que una vez operado queda: 2x = -3. Produce el mismo efecto lo que llamamos "pasar de un miembro a otro sumando lo que resta o restando lo que suma"

- Multiplicar o dividir los dos miembros por un mismo número. En este caso por 2:

2x/2 = -3/2, que una vez simplificado queda x = -3/2 como ya habíamos obtenido antes. Produce el mismo efecto lo que llamamos "pasar de un miembro a otro lo que está multiplicando dividiendo o lo que está dividiendo multiplicando".

Ejercicio 2.

Resuelve numéricamente en tu cuaderno de trabajo la ecuación: 1 - 3x = 2x - 9.

Comprueba el punto donde la recta corta al eje X. El valor de x debe coincidir con el obtenido numéricamente.

Escribe en la siguiente escena, en la línea donde ahora ves escrita la ecuación anterior, la ecuación de este ejercicio. Fíjate en la ecuación del ejercicio 1 la forma de escribir 3x: se escribe 3*x.

Ecuaciones sin solución.

Ejercicio 3.- Resuelve en el cuaderno de trabajo la siguiente ecuación:

x - 3 = 2 + x.

Rápidamente obtendrás la expresión 0 = 5 ¿qué significa? Desde luego esta igualdad no es cierta independientemente del valor que tome x.

Decimos que en este caso la ecuación no tiene solución.

En la escena siguiente, observarás que no se representa ninguna recta, luego la ecuación no representa a ninguna recta y por tanto no existe el punto de corte con el eje X, es decir, no existe la solución.

Ejercicio 4.-

Resuelve numéricamente, comprobando que no tiene solución, la ecuación:

3x - 2 + x = 5x + 1 - x

En la escena anterior cambia la ecuación actual por ésta, observando que no se representa ninguna recta, luego no existe la solución.

Ecuaciones con infinitas soluciones.

Ejercicio 5.- Resuelve en el cuaderno de trabajo la siguiente ecuación:

2x-1 = 3x + 3 - x - 4

Ahora habrás llegado a la expresión 0 = 0 ¿qué significa ahora?. La igualdad que has obtenido es cierta pero se te han eliminado la x. ¿Cuál es la solución?.

Si la igualdad es cierta seguro, ¡lo será para cualquier valor de x!. Compruébalo sustituyendo x por 0, 1, -3 u otro valor que desees.

En este caso se dice que la ecuación tiene infinitas soluciones (cualquier valor de x es solución).

Gráficamente no podemos hacer una interpretación similar a la de las escenas anteriores ya que el programa no interpreta de ninguna forma la igualdad 0 = 0.

Este tipo de ecuaciones se denominan IDENTIDADES

Ejercicio 6.- Comprueba en tu cuaderno de trabajo que las siguiente ecuación es una identidad.

3x -2 + x = 1 + 4x - 3

Problemas de aplicación.

Una de las aplicaciones más importantes de las ecuaciones es la de resolver problemas de la vida cotidiana. Por ejemplo:

Ejercicio 7.- El hermano mayor de una familia con tres hermanos tiene 4 años más que el segundo y este 3 más que el menor. Si entre todos tiene la edad del padre que tiene 40 años ¿qué edad tiene cada hermano?

Para resolver estos problemas debemos elegir algún valor desconocido para llamarle "x". En este caso llamemos:

x = edad del hermano menor.

A partir de ello expresar los datos del problema y plantear una igualdad (ecuación) con ellos: Será:

x + 3 : edad del hermano mediano

x+3 + 4 = x + 7 edad del hermano mayor

Ecuación: suma de las edades de los hermanos = 40 ; x + x+3 + x+7 = 40,

Resolviendo la ecuación se obtiene x = 10, luego la solución del problema es:

Edades de los tres hermanos: 10 , 13 y 17 años.

La solución de la ecuación se puede ver también en esta escena

Plantea y resuelve numéricamente, y gráficamente en esta escena, cambiando la ecuación, el siguiente problema:

Ejercicio 8.- En una caja hay el doble de caramelos de menta que de fresa y el triple de caramelos de naranja que de menta y fresa juntos. Si en total hay 144 caramelos, ¿cuántos hay de cada sabor ?. (Sol: 12, 24, 108).

Ejercicios finales.

Resuelve numéricamente en el cuaderno de trabajo y gráficamente en la escena que se te presenta a continuación los ejercicios y problemas siguientes:

Ejercicio 9.- Resolver las siguientes ecuaciones:

a) -5x = 12 - x

b) 2(x-7)-3(x+2)+4(x+1)-2 = 0 (¡Ojo con los signos delante de los paréntesis!)

c) 3x - 5 = x/2 (Observa que para eliminar el 2 basta multiplicar toda la ecuación por 2)

d) 3x + 4 - x = 7 + 2x

e) 2x - 1 = 3(x + 2) - x

Ejercicio 10.- Plantea y resuelve los siguientes problemas:

a) El perímetro de un jardín rectangular es de 58 m. Si el lado mayor mide 11 m. más que el lado menor. ¿Cuánto miden los lados del jardín? (Sol: 9 y 20 m)

b) Halla un número tal que su mitad más su cuarta parte más 1, sea igual al número pedido. (Sol: 4).

Ecuación de primer grado con dos incógnitas

Una ecuación de primer grado con dos incógnitas es aquella que se puede expresar de la forma:

Donde e son variables (incógnitas) y y constantes (números reales).

Ejemplo:

Soluciones de una ecuación de primer grado con dos incógnitas

Una ecuación de primer grado con dos incógnitas tiene infinitas soluciones.

Para cada valor que le asignemos a la variable , podemos encontrar un valor de la variable , despejándola en la ecuación:

Además, las parejas de soluciones (x,y) , representadas como puntos, en unos ejes de coordenadas, forman una recta.

maralboran.org/wikipedia/index.php/Ecuaciones_de_primer_grado_con_dos_incógnitas

ECUACIONES SIMULTÁNEAS DE PRIMER GRADO CON TRES O MAS INCOGNITAS

RESOLUCION DE UN SISTEMA DE TRES INCOGNITAS CON TRES INCOGNITAS

Para resolver un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas se procede de este método:

1) Se combinan dos de las ecuaciones dadas y se elimina una de las incógnitas (lo más sencillo es eliminarla por suma y resta) y con ellos se obtiene una ecuación con 2 incógnitas.

2) Se combina la tercera ecuación con cualquiera de las otras dos ecuaciones dadas y se elimina entre ellas la misma incógnita que se eliminó antes, obteniéndose otra ecuación con dos incógnitas.

3) Se vuelve el sistema formado por las ecuaciones con dos incógnitas que se han obtenido, hallando de este modo dos de las incógnitas.

4) Los valores de las incógnitas obtenidos se sustituyen en una de las ecuaciones dadas de tres incógnitas, con lo cual se halla la tercera incógnita.

EJEMPLO:

Resolver el sistema. x + 4y – z = 6 (1)

2x + 5y – 7z = -- 9 (2)

3x – 2y + z = 2 (3)

Combinamos las ecuaciones (1) y (2) y vamos a eliminar la x. Multiplicando la ecuación (1) por 2, se tiene:

2x + 8y – 2z = 12

-- 2x – 5y + 7z = 9

-----------------------

3y + 5z = 21 (4)

Combinamos la tercera ecuación (3) con cualquiera de las otras dos ecuaciones dadas. Vamos a combinarla con (1) para eliminar la x. Multiplicando (1) por 3 tenemos:

3x + 12y – 3z = 18

--3x + 2y – z = -- 2

--------------------------

14y – 4z = 16 (5) Dividiendo entre 2:

7y – 2z = 8

Ahora tomamos las dos ecuaciones con dos incógnitas que hemos obtenido (4) y (5), y formamos un sistema:

3y + 5z = 21 (4)

7y – 2z = 8 (5)

Resolvemos este sistema. Vamos a eliminar la z multiplicando (4) por 2 y (5) por 5

6y + 10z = 42

35y – 10z = 40

--------------------

41y = 82

y = 2

Sustituyendo y = 2 en (5) se tiene:

7(2) – 2z = 8

14 – 2z = 8

– 2z = -- 6

z = 3

Sustituyendo y = 2, z = 3 en cualquiera de las tres ecuaciones dadas, por ejemplo en (1), se tiene:

x + 4(2) – 3 = 6 x=1, y=2, z=3 R.

x + 8 – 3 = 6

x = 1

Resolver el sistema.

z – 4 + (6x – 19) / 5 = -- y

10 – (x – 2z) / 8 = 2y – 1

4z + 3y = 3x – y

Quitando denominadores:

5z – 20 + 6x – 19 = -- 5y

80 – x + 2z = 16y – 8

4z + 3y = 3x – y

Transponiendo y reduciendo:

6x + 5y + 5z = 39 (1)

– x – 16y + 2z = -- 88 (2)

– 3x + 4y + 4z = 0 (3)

Vamos a eliminar x. Combinamos (1) y (2) y multiplicamos (2) por 6:

6x + 5y + 5z = 39

–6x – 96y + 12z = -- 528

--------------------------------

– 91y + 17z = -- 489 (4)

Combinamos (2) y (3). Multiplicando (2) por 3 y cambiándole el sino:

3x + 48y – 6z = 264

– 3x + 4y + 4z = 0

--------------------------

52y – 2z = 264

Dividiendo por 2:

26y – z = 132 (5)

Combinemos (4) y (5):

– 91y + 17z = -- 489 (4)

26y – z = 132 (5)

Multiplicando (4) por 2 y (5) por 7:

– 182y + 34z = -- 978

182y – 7z = 924

--------------------------

27z = -- 54

z = -- 2

Sustituyendo z = --2 en (5):

26y – (-- 2) = 132

26y + 2 = 132

26y = 130

y = 5

Sustituyendo y = 5, z = -- 2 en (3):

– 3x + 4(5) + 4(-- 2) = 0

–3x + 20 – 8 = 0

– 3x = -- 12

x = 4

HALLAR EL VALOR DE UNA DETERMINANTE DE TERCER ORDEN

El modo más sencillo y que creemos al alcance de los alumnos, de hallar el valor de una determinante de tercer orden es aplicando la regla de Sarrus.

1) Resolver por la regla de Sarrus.

Debajo de la tercera fila horizontal se repiten las dos primeras filas horizontales y tenemos:

Ahora trazaremos tres diagonales de derecha a izquierda y tres de izquierda a derecha, como se indica a continuación:

Ahora se multiplican entre si los tres números por que pasa cada diagonal.

Los productos de los números que hay en las diagonales trazadas de izquierda a derecha se escriben con su propio signo y los productos de los números que hay en las diagonales trazadas de derecha a izquierda con el signo cambiado. Así, en este caso tenemos:

-- 6 –12 – 10 +30 +1 – 24 = -- 9

Valor de la determinante dada.

DETALLE DE LOS PRODUCTOS

De izquierda a derecha:

1 x 2 x 3 = 6 (-- 4) x (--1) x (--3) = -- 12 5 x (--2) x 1= -- 10

De derecha a izquierda:

(--3) x 2 x 5 = -- 30 cambiándole el signo +30

1 x (--1) x 1 = -- 1 cambiándole el signo +1

3 x (--2) x (--4) = 24 cambiándole el signo –24

Ecuación cuadrática

Esto es una ecuación cuadrática:

Ecuación cuadrática

(a, b, y c pueden tener cualquier valor, excepto que a no puede ser 0.)

La letra "x" es la variable o incógnita, y las letras a, b y c son los coeficientes (lee las Definiciones básicas de Álgebra)

Y el nombre cuadrática viene de "cuad" que quiere decir cuadrado, porque el exponente más grande es un cuadrado (en otras palabras x2).

Ejemplos de ecuaciones cuadráticas:

En esta a=2, b=5 y c=3

Aquí hay una un poco más complicada:

¿Dónde está a? En realidad a=1, porque normalmente no escribimos "1x2"

b=-3

¿Y dónde está c? Bueno, c=0, así que no se ve.

¡Ups! Esta no es una ecuación cuadrática, porque le falta el x2 (es decir a=0, y por eso no puede ser cuadrática)

¿Qué tienen de especial?

Las ecuaciones cuadráticas se pueden resolver usando una fórmula especial llamada fórmula cuadrática:

Fórmula cuadrática

El "±" quiere decir que tienes que hacer más Y menos, ¡así que normalmente hay dos soluciones!

La parte azul (b2 - 4ac) se llama discriminante, porque sirve para "discriminar" (decidir) entre los tipos posibles de respuesta:

Si es positivo, hay DOS soluciones

Si es cero sólo hay UNA solución,

Y si es negativo hay dos soluciones que incluyen números imaginarios.

Solución

Para resolverla, sólo pon los valores de a,b y c en la fórmula cuadrática y haz los cálculos.

Ejemplo: resuelve 5x² + 6x + 1 = 0

Fórmula cuadrática: x = [ -b ± √(b2-4ac) ] / 2a

Los coeficientes son: a = 5, b = 6, c = 1

Sustituye a,b,c: x = [ -6 ± √(62-4×5×1) ] / 2×5

Resuelve: x = [ -6 ± √(36-20) ]/10 = [ -6 ± √(16) ]/10 = ( -6 ± 4 )/10

Respuesta: x = -0.2 and -1

(Comprobación:

5×(-0.2)² + 6×(-0.2) + 1 = 5×(0.04) + 6×(-0.2) + 1 = 0.2 -1.2 + 1 = 0

5×(-1)² + 6×(-1) + 1 = 5×(1) + 6×(-1) + 1 = 5 - 6 + 1 = 0)

Ecuaciones cuadráticas disfrazadas

Algunas ecuaciones no parece que sean cuadráticas, pero con manipulaciones astutas se pueden transformar en una:

Disfrazadas Qué hacer En forma estándar a, b y c x2 = 3x -1 Mueve todos los términos a la izquierda x2 - 3x + 1 = 0 a=1, b=-3, c=1 2(x2 - 2x) = 5 Desarrolla paréntesis 2x2 - 4x - 5 = 0 a=2, b=-4, c=-5 x(x-1) = 3 Desarrolla paréntesis x2 - x - 3 = 0 a=1, b=-1, c=-3 5 + 1/x - 1/x2 = 0 Multiplica por x2 5x2 + x - 1 = 0 a=5, b=1, c=-1

ACTIVIDADES DE AUTOAPRENDIZAJE

CONCLUSIONES

1.- la matemáticas es lo fundamental para la superación academica en esta nueva era, porque con ella alcanzamos, éxitos soñados de ser un profesional

muy exitoso, lo concluido es que la matemáticas es una herramienta fundamental para superar obstáculos en la vida.

2.- concluimos que el álgebra es muy difícil pero beneficioso porque al enfrentarla y superarla se obtiene la facilidad de resolver y comprender

problemas con la matemáticas o en la vida.

3.- el arma fundamental, para lograr el éxito en ser un buen programador de tecnología en las matemáticas, en nuestra época actual se necesita mucho

de ella porque es la una de ciencias exactas.

Referencias bibliográficas

Ángel A. R. 1994 Álgebra elemental. Prentice Hall. México.

Lehmann, H. C. 2001. Álgebra. Limusa.

Martínez, M. A. 1996. Aritmética y álgebra. McGraw Hill.

RECOMENDACIONES

1.- si quieres ser un exitoso programador en tecnología, pues esta es la clave y tu herramienta fundamental para que vayas creando, tus propias ideas.

2.- tienes que concentrarte para aprender cada vez más en las matemáticas.

3.- Y si quieres ser un empresario lo más recomendable es que le pongas atención e interés, a las matemáticas.

EGRAFÍAS

http://www.disfrutalasmatematicas.com/algebra/ecuaciones-cuadraticas.html

http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Resolucion_geometrica_ecuaciones/ecuacion.htm

http://libiasilva.blogspot.com/p/ecuaciones-enteras-de-primer-grado-con.html

http://www.vhttp://es.wikipedia.org/itutor.net/1/0_13.html