Matemáticas - santillana.es · Local 11. 1.º. 07009 Palma Tel.: 971 76 08 82 Fax: 971 75 56 77 CANARIAS Las Palmas ... Santillana pone a tu disposición e-vocación, para poder

913861

• En todas y cada una de las páginas y epígrafes de cada unidad se ofrecen recordatorios dddde los contenidos de unidades y cursos anteriores.• Cerca de dos mil actividades por libro y curso.• Programa «Lo Esencial», con resumen de contenidos, procedimientos y evaluación inicial.

MatemáticasMatemáticas Matemáticas ESO

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ANDALUCÍA ORIENTALMálagaC/ Paquiros, 32 Polígono Industrial San Luis 29006 MálagaTels.: 95 224 45 87 / 95 224 45 88Fax: 95 224 43 92

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JaénTels.: 953 28 11 14 / 953 28 08 70Fax: 953 28 13 77

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ASTURIAS-CANTABRIAAsturiasPolígono de AsipoTravesía 3. Parcela 50 Nave 1033428 Cayés (Llanera)Tel.: 985 20 75 13Fax: 985 20 58 23

CantabriaTel.: 942 22 32 95Fax: 942 22 24 09

ILLES BALEARSC/ Gremi de Teixidors, 26 Local 11. 1.º. 07009 Palma Tel.: 971 76 08 82Fax: 971 75 56 77

CANARIASLas PalmasC/ El procesador, 7Urbanización Industrial AjimarJinámar35220 Telde (Las Palmas)Tel.: 928 70 90 55Fax: 928 71 43 73

TenerifePolígono El MayorazgoParcela 14 A, N 2, 17 B(Frente a UNELCO)38010 Santa Cruz de TenerifeTel.: 922 21 05 83Fax: 922 21 04 30

FuerteventuraTel.: 615 03 60 25

CASTILLA Y LEÓNLeónC/ Maestro Nicolás, 4124005 LeónTel.: 987 87 60 17 Fax: 987 22 53 77

BurgosTels.: 947 21 00 69 / 947 21 21 31

SalamancaTel.: 923 19 36 51

ValladolidTel.: 983 34 57 20Fax: 983 34 45 62

CASTILLA–LA MANCHA Ciudad RealPasaje San Vicente Ferrer, 113004 Ciudad RealTel.: 926 22 89 87Fax: 926 22 89 40

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GipuzkoaTels.: 943 26 11 84 / 943 26 07 99

NavarraTel.: 948 13 23 11 Fax: 948 12 50 42

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AlmeríaTel.: 950 30 64 60Fax: 950 30 61 93

COMUNIDAD VALENCIANAValenciaC/ Valencia, 4446210 Picanya (Valencia)Tels.: 96 159 43 90 / 96 159 43 91Fax: 96 159 25 17

AlicanteProlongación Rosa de los Vientos, 62Polígono Industrial Llano del Espartal03007 AlicanteTel.: 96 510 15 90Fax: 96 510 15 92

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El año ceroEl pequeño monje corría por los pasillos del palacio papal, y su cara denotaba una satisfacción que difícilmente lograba reprimir.

Cuando por �n llegó a la sala donde se encontraba el Papa, se arrodilló, besó su anillo y, con falsa modestia, dijo:

–Lo encontré, Su Santidad: el Año de la Salvación, cuando Nuestro Señor vino al mundo.

El Papa leyó con avidez el documento que Dionisio el Exiguo le había entregado, en el que databa el nacimiento de Cristo en el año 753 de la fundación de Roma. Al mismo tiempo, el monje repetía:

–El año 754 de la fundación de Roma es nuestro primer año: primus anno Domini, el año primero de la Era del Señor.

Pero lo que estos dos personajes no podían imaginar era que, al contar los años de forma ordinal: año primero, año segundo, año tercero…, eliminaban el año cero. Este hecho provocó una enorme polémica hace algunos años; así, mientras unas personas mantenían que el siglo XXI comenzaba el 1 de enero de 2000, los hechos demostraban que este siglo comenzó el 1 de enero de 2001.

1Números enteros

1. Dionisio el Exiguo fue un monje que nació a �nales del siglo V. Busca información sobre su vida y sobre sus aportaciones a la creación del calendario cristiano.

2. Investiga sobre el encargo que el papa Juan I hizo a Dionisio el Exiguo. ¿Fueron correctos los cálculos del monje?

3. ¿Cuál fue la polémica que se creó en los últimos años de la década de los noventa sobre el inicio del siglo XXI? ¿A qué se debió esa polémica?

DESCUBRE LA HISTORIA...

Antes de empezar la unidad...

En esta unidad aprenderás a…

• Sumar, restar, multiplicar y dividir números enteros.

• Operar con potencias de números enteros.

• Aplicar las relaciones de divisibilidad entre números enteros.

• Hallar el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de dos o más números enteros.

PLAN DE TRABAJO

NÚMEROS NATURALES

Los números naturales surgieron debido a la necesidad que siente el ser humano de contar lo que le rodea.

El conjunto de números naturales es ilimitado, es decir, no tiene �n, porque dado un número cualquiera, siempre es posible obtener el siguiente sumándole una unidad a ese número.

Representación de números naturales

• Fijamos el 1, y a su derecha, el 2. Tomamos la distancia entre estos dos puntos como unidad.

• Desplazamos dicha unidad hacia la derecha del 2 para representar el resto de números.

12345

Operaciones con números naturales

• Suma y resta

Se resuelven las operaciones de izquierda a derecha.

7 + 5 - 4 - 6 + 2 = 12 - 4 - 6 + 2 = 8 - 6 + 2 = 2 + 2 = 4

• Suma, resta, multiplicación y división

Se calculan primero las multiplicaciones y divisiones, de izquierda a derecha, y después las sumas y las restas, de izquierda a derecha.

6 + 5 ? 4 - 6 : 2 = 6 + 20 - 6 : 2 = 6 + 20 - 3 = 26 - 3 = 23

FF

F

FF

Al resolver operaciones combinadas siempre hay

que tener en cuenta la jerarquía de las operaciones.

EVALUACIÓN INICIAL

1 Representa estos números naturales en la recta numérica.

5 3 1 7 8 4

2 Realiza estas operaciones de suma y resta.

a) 8 + 8 - 4 - 3 + 5b) 12 - 5 + 7 - 2 + 11 - 3c) 9 + 3 - 5 - 1 + 2 - 7d) 15 - 4 - 2 + 6 + 12

3 Calcula el resultado de estas operaciones.

a) 16 + 3 - 15 : 3 + 5b) 12 ? 3 + 7 - 8 : 2 - 1c) 4 + 9 : 3 - 2 - 1 + 7d) 11 - 3 ? 2 + 6 ? 4

7

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Según el Instituto de Evaluación del Ministerio de Educación, los alumnos considerados como ACNEE (Alumnos con

Necesidades Educativas Especiales) siguen aumentando.

Nuestra preocupación principal es la de aportar el máximo de herramientas que ayuden a los profesores en su trabajo diario.

Hemos elaborado un nuevo material más completo para la adaptación curricular. Partiendo de los contenidos del libro base

y siguiendo el mismo diseño, programación, formato, etc., ofrecemos un libro adaptado para los alumnos con dificultades

de aprendizaje.

Hemos huido de lo habitual, es decir, un «vaciado» cuantitativo de los contenidos del libro base añadiendo más actividades,

para conseguir un nuevo libro con los contenidos fundamentales a los que añadimos contenidos de cursos anteriores

y más actividades creadas expresamente para el proyecto.

Adaptaciones curriculares Matemáticas 1.º, 2.º, 3.º y 4.º de ESO

Adaptaciones curriculares Esquema de una unidad

Una lectura inicial que muestra la impor-tancia de lo que se va a estudiar a través de episodios relacionados con la historia de las Matemáticas.Se proponen actividades que invitan a investigar sobre el personaje de la lectura y la importancia de sus aportaciones.

Al comenzar la unidad…

• Información actualizada de nuevos productos y recursos.

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Selección de los contenidos esenciales de cada unidad. Concreción del nivel de desarrollo de los contenidos seleccionados. Redacción y presentación de contenidos pensada y ejecutada para alumnos con necesidades educativas especiales.es un mero recorte de párrafos.es una redacción telegráfica de los mismos contenidos.

QUÉCUÁNTO

CÓMO

NO NO

Ejemplo de libro adaptado

Ejemplo de libro estándar

En resumen...

1.2 Valor absoluto de un número entero

El valor absoluto de un número entero se escribe entre barras, ; ;, y es igual al número sin su signo:

;+a; = a ;-a; = a

EJEMPLO

2 Calcula el valor absoluto de -4 y +3.

Valor absoluto de -4 " ;-4; = 4 Valor absoluto de +3 " ;+3; = 3

1.3 Opuesto de un número entero

El opuesto de un número entero es otro número entero con el mismo valor absoluto pero de signo contrario.

Op (+a) = -a Op (-a) = +a

EJEMPLO

3 Calcula el opuesto de -5 y de +5. Represéntalos en la recta numérica.

Op (-5) = +5 Op (+5) = -5

1.4 Comparación de números enteros

Un número entero es mayor que otro cuando está situado más a la de-recha en la recta numérica.

• Un número entero positivo es mayor que cualquier número negativo.• El 0 es mayor que cualquier número negativo y menor que cualquiera

positivo.

EJEMPLOS

4 Compara estos números enteros.

b) -2 y -5 -2 > -5 c) +5 y -3 +5 > -3

-5-4-3-2-1+1 0 -3+1+5 0

1Ordena, de menor a mayor, estos números enteros.+4 -3 -5 +6

-5 < -3 < +4 < +6-5-3 -4-2-1+1+2+3+4+5+6 0

7 Representa y ordena, de menor a mayor:+8 -2 +3 +11 0 -7 -9

LO QUE DEBES SABER RESOLVER

2 Halla el valor absoluto y el opuesto de:-4 +5 -13 +27 -1 +18

> Mayor que 5 > 2

< Menor que 2 < 5

SE ESCRIBE ASÍ

Números enteros

ANTES, DEBES SABER…

Para qué se utilizan los números enteros

Hay expresiones cotidianas que no se pueden indicar con números naturales. Necesitamos utilizar los números negativos:

• Cuando hablamos de temperaturas bajo cero.Así, 3 grados bajo cero se expresa como -3 °C.

• Al considerar deudas económicas.Si debemos 50 €, decimos que nuestro saldo es de -50 €.

• Al referirse a las plantas de un edi�cio.El garaje está en la planta -2.

El conjunto de los números enteros se representa con la letra Z y está formado por:

• Números enteros positivos: +1, +2, +3, +4, +5, +6, …• El número cero: 0.• Números enteros negativos: -1, -2, -3, -4, -5, -6, …

1.1 Representación de números enteros

Los números enteros se representan ordenados en la recta numérica.

• El cero, 0, divide a la recta en dos partes iguales.• Los números enteros positivos se sitúan a la derecha del cero.• Los números enteros negativos se sitúan a la izquierda del cero.

Números enteros negativosNúmeros enteros positivos

0 -8 …-7-6-5-4-3-2-112345678…F F

EJEMPLO

1 Representa en la recta numérica los siguientes números enteros:-3 +6 -1 -4 0 +5

-3-2-1 -4 -57 6 5 4 3 2 1 0

1

3 Escribe situaciones que correspondan a estos números.a) +57 € b) -100 m c) -6 °C d) +2

1 Representa en la recta numérica estos números enteros.

+7 -5 -2 +4 0 -8


1 Expresa con números enteros.

a) El avión vuela a una altura de tres mil metros.

b) El termómetro marca tres grados bajo cero.

c) Le debo cinco euros a mi hermano.

d) El almacén está en el tercer sótano.

e) Hay cinco grados bajo cero en la sierra.

Los números enteros positivos se escriben

habitualmente sin el signo + que les precede.

+6 = 6 +15 = 15

Para escribir números negativos con la calculadora utilizamos la tecla +/- .– 4 " 4 +/-

CALCULADORA

;0; = 0;5; = ;+5; = ;-5; = 5

NO OLVIDES

9 8

Lo esencial: Esta doble página es de resumen y autoevaluación.COMPRENDE ESTAS PALABRAS. Es el vocabulario matemático trabajado en esa unidad. HAZLO DE ESTA MANERA. Son los pro-cedimientos básicos de la unidad. Cada procedimiento se introduce mediante la resolución de una actividad en la que se muestra, paso a paso, un método general de resolución.Y AHORA… PRACTICA. Son actividades que permitirán comprobar si se dominan los contenidos esenciales de esa unidad.

Y para terminar...Ejercicios y problemas organizados por contenidos. Todos los enunciados van precedidos por un icono que indica su grado de dificultad.HAZLO ASÍ. Son ejercicios resueltos para afianzar procedimientos trabajados en la unidad.

En las páginas de contenido y actividades… Los contenidos y procedimientos básicos apoyados en gran cantidad de ejemplos resueltos.En la sección ANTES, DEBES SABER… se repasan contenidos o procedimientos que se deben conocer al enfrentarte a los nuevos contenidos. Esta sección también se refuerza con ejemplos resueltos.Al final de cada página se proponen ejercicios que hay que saber resolver a partir de los contenidos aprendidos.

ActividadesNÚMEROS ENTEROS

46. ● Expresa con un número entero.

a) Luis ganó 6 000 € en la lotería.b) El termómetro marcó 7 °C bajo cero.c) Marta vive en el cuarto piso.d) La tienda está en el segundo sótano.

47. ● Copia y completa esta recta numérica:

1 -3 44444

48. ● Representa estos números enteros en una recta numérica: -5, 7, -9, 0, -3 y 2.

49. ● ¿Cuántos números enteros hay entre -4 y 4?

50. ● Copia y completa con el signo < o >.

a) -9 4 -12 b) 3 4 -2c) -1 4 -4d) -7 4 -5

53. ● Escribe dos números enteros.

a) Menores que +3 y mayores que -1.b) Menores que -3.c) Mayores que -6.d) Mayores que -2 y menores que +1.

54. ● Ordena, de menor a mayor, los siguientes números: -4, 6, -7, 11, -9, -6, 0, 2 y -1.

OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS

60. ● Calcula las siguientes sumas y restas.

a) (+12) + (+25) e) (+19) - (+5)b) (-9) + (+13) f) (-21) - (+33)c) (-3) + (-11) g) (-7) - (-11)d) (+17) + (-8) h) (+22) - (-15)

61. ● Copia y completa esta tabla:

aba - bb - aa + bb + a

-7

-12

+11

+23

+9

-5

-18

+17

62. ● Realiza las siguientes sumas.

a) (+10) + (-5) + (+7) + (-9)b) (-29) + (-12) + (-9) + (+17)c) (-20) + (+33) + (+21) + (-23)d) (-23) + (-41) + (-16) + (+50)

63. ● Calcula estas restas.

64. ● Realiza estas sumas y restas combinadas.

a) (-21) + (-12) - (+9)b) (+17) - (+23) + (+34)c) (-32) + (-19) - (-11)d) (-54) - (+22) + (-10)

65. ● Calcula.

a) 8 - 7 + 4 - 3 - 2b) -7 - 5 + 3 - 9 - 1 + 11c) -4 - 2 + 5 - 1 - 4 + 1d) 6 - 3 + 3 - 10 - 4 + 13e) -9 - 14 + 4 - 56 - 16 + 1

HAZLO ASÍ

¿CÓMO SE RESUELVEN OPERACIONES DE SUMAS ?

66. Calcula: -3 + (-8 + 9) - (3 - 6)

PRIMERO. Se resuelven los paréntesis.-3 + (-8 + 9) - (3 - 6) = -3 + (+1) - (-3) =

SEGUNDO. Se eliminan los paréntesis.• Si están precedidos por el signo +, se

mantienen los signos de los números.• Si están precedidos por el signo -, se cambian

los signos de los números.

= -3 + (+1) - (-3) = -3 + 1 + 3 =

TERCERO. Se realizan las sumas y las restas,

= -3 + 1 + 3 = -2 + 3 = 1

F

F

67. ●● Realiza estas operaciones.

a) 6 + (-4 + 2) - (-3 - 1)b) 7 - (4 - 3) + (-1 - 2)c) 3 + (2 - 3) - (1 - 5 - 7)d) -8 + (1 + 4) + (-7 - 9)

68. ●● Copia y completa los huecos para que las igualdades sean ciertas.

a) (-11) + 4 = +4 b) (+13) + 4 = +12 c) 4 + (-20) = -12 d) (+3) - 4 = -7e) (-15) - 4 = +9f) 4 - (+8) = +7

69. ● Calcula los siguientes productos.

a) (+12) ? (+4) c) (+5) ? (-35)b) (-42) ? (-3) d) (-14) ? (+5)


a) (+21) ? (+3) ? (+4) c) (+13) ? (-5) ? (-6)b) (+19) ? (-2) ? (+3) d) (-20) ? (-9) ? (-3)

72. ●● Copia y completa estos productos.

a) (-5) ? 4 = -30 b) 4 ? (+3) = 45 c) (-9) ? 4 = 27d) 4 ? (-8) = -48

76. ●● Realiza estas divisiones.

a) (+35) : (-7) : (-5) c) (+32) : (-8) : (-2)b) (-21) : (-7) : (-1) d) (-4) : (+4) : (-1)

77. ●● Opera.

a) (+21) ? (+2) : (-14) b) (+5) : (-5) ? (-4) c) (+2) ? (+9) : (-3) d) [(-2) ? (+7)] : (-14) ? (+3)e) (+36) : [(-9) : (+3)] ? (+5)f) (+36) : (-9) : (+2) ? (+5)

78. ●● Copia y completa las siguientes divisiones.

a) (-36) : 4 = -4 b) (-54) : 4 = +9 c) 4 : (-6) = -42 d) (+48) : 4 = -6e) (-63) : 4 = -7f) 4 : (+8) = +2

POTENCIAS DE NÚMEROS ENTEROS

79. ● Escribe en forma de potencia, e indica la base y el exponente.

a) 7 ? 7 ? 7 ? 7b) (-2) ? (-2) ? (-2)c) (-5) ? (-5) ? (-5) ? (-5) ? (-5)

80. ● Escribe en forma de potencia y en forma de producto.

a) Base 11 y exponente 4.b) Base -2 y exponente 3.

81. ●● Calcula las siguientes potencias.

a) 45 c) 14

2 e) 7

3 g) 5

4

b) (-2)6 d) (-4)

4 f) (-9)

2 h) (-6)

4

83. ● Calcula las siguientes potencias.

a) 50 b) 23

1 c) (-3)

0 d) (-57)

1

84. ● Expresa como una sola potencia.

a) 53 ? 5

4 c) (-3)

5 ? (-3)

3

b) 116 ? 11

4 d) (-8)

4 ? (-8)


a) 43 ? 4

3 ? 4

b) 95 ? 9

2 ? 9

4

c) (-2)6 ? (-2)

4 ? (-2)

d) (-7)3 ? (-7) ? (-7)

6


a) 75 : 7

3 c) (-9)

6 : (-9)

3

b) 128 : 12

5 d) (-6)

7 : (-6)

88. ●● Expresa como una sola potencia.

a) (28 : 2

3) ? 2

3

b) 35 : (3

7 : 3

4)

c) [(-4)6: (-4)] : (-4)

2

d) (-5)3 : [(-5)

4 : (-5)]


a) (54)

3 c) [(-3)

4]

3

b) (75)

2 d) [(-9)

3]

3


a) (25)

2 ? (2

2)

4

b) (103)

3 ? (10

2)

4

c) [(-3)5]

3 ? [(-3)

4]

3

d) [(-10)2]

2 ? [(-10)

3]

3

23 22

Lo esencialCOMPRENDE ESTAS PALABRAS

Números enteros

• Números enteros positivos:+1, +2, +3, +4, …

• El número 0.

• Números enteros negativos:-1, -2, -3, -4, …

Potencia an = a ? a ? a ? … ? a1442443

n veces

Divisibilidad

8 : 2 es una división exacta

F

F

8 es divisible por 2

F F

FF

8 es múltiplo de 2 2 es divisor de 8

HAZLO DE ESTA MANERA

1. MULTIPLICAR Y DIVIDIR NÚMEROS ENTEROS

Calcula. a) (-4) ? (+-25) : (-5)

PRIMERO. Multiplicamos o dividimos

a) ;-4; ? ;+3; = 4 ? 3 = 12b) ;-25; ? ;-5; = 25 : 5 = 5

SEGUNDO. Al resultado le añadimos un signo + si ambos tienen el mismo signo,

- si son de signo distinto.a) (-4) ? (+3) = -12 b) (-25) ? (-5) = +5

Distinto signo

F

Mismo signo

F

2. CALCULAR UN PRODUCTO O DIVISIÓN DE POTENCIAS

Expresa, si se puede, con una sola potencia.a) 6

7 ? 6

3 e) (-6)

5 ? 2

3

b) 67 : 6

3 f) (-6)

5 : 2

3

PRIMERO. Estudiamos si las bases son iguales.a) y b) 6

7 y 6

3 " La base de las dos

potencias es la misma, 6.e) y f) (-6)

5 y 2

3 " No son iguales las bases.

SEGUNDO. Si las bases son iguales, sumamos o restamos los exponentes. Si no lo son,

a) 67 ? 6

3 = 6

7+3 = 6

10 b) 6

7 : 6

3 = 6

7-3 = 6

4

e) y f) No podemos operar.1. CALCULAR LA POTENCIA

DE UN NÚMERO ENTERO

Calcula el valor de las siguientes potencias.a) 6

5 b) (-6)

5 c) (-6)

4

PRIMERO. Tomamos el valor absoluto de la base y calculamos su potencia.

65 = 6 ? 6 ? 6 ? 6 ? 6 = 7 776

64 = 6 ? 6 ? 6 ? 6 = 1 296

SEGUNDO. Si la base es negativa y el exponente es un número impar, añadimos el signo - al resultado.a) 6

5 = 7 776 c) (-6)

4 = 1 296

b) (-6)5 = -7 776

3. RESOLVER OPERACIONES COMBINADAS

Resuelve.(-3) ? [6 : (-2)] - (-2) =

= (-3) ? [-3] - (-2) =

= +9 - (-2) == +9 + 2 = +11

PRIMERO. Resolvemos los paréntesis.

SEGUNDO. Resolvemos las multiplicaciones

TERCERO. Resolvemos las sumas y restas.

F

F

Comprende estas palabras

1. Escribe, si se puede, estas expresiones

a) 7 ? 7 ? 7 ? 7 b) 7 ? 6 ? 5 ? 4 c) 7 ? 7

Multiplicar y dividir números enteros

1. Calcula. a) (-5) ? (-7) b) (+24) : (-3)

Calcular la potencia de un número entero

3. Determina el valor de estas potencias.a) 5

4 b) (-5)

4 c) 5

3 d) (-5)

3

Calcular un producto o división de potencias

4. Expresa como una potencia. a) 33 ? 3

5

Resolver operaciones combinadas

5. Calcula:

(-3)3 + (-5) ? [(-6) : (-3)] + (-7)

2

Descomponer un número en factores primos

6. Descompón en factores primos los números.

a) 88 c) 32 e) 91

b) 84 d) 154 f) 252

Calcular el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de varios números

7. Calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de estos números.

Y AHORA… PRACTICA

5. CALCULAR EL MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE VARIOS NÚMEROS

Calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de 12, 24 y 84.

PRIMERO. Descomponemos el valor absoluto de los números enteros en factores primos.

SEGUNDO.

• Para calcular el máximo común divisor tomamos los factores comunes elevados al menor de los exponentes.

• Para calcular el mínimo común múltiplo tomamos los factores comunes y no comunes elevados al mayor de los exponentes.

Factores comunes " 2 y 3 Comunes con menor exponente " 22 y 3

Factores no comunes " 7 Comunes con mayor exponente " 23 y 3

m.c.d. (12, 24, 84) = 22 ? 3 = 12

m.c.m. (12, 24, 84) = 23 ? 3 ? 7 = 168

24 212 2 6 2 24 = 2

3 ? 3

3 3 1

12 2 6 2 3 3 12 = 2

2 ? 3

1

84 242 221 3 84 = 2

2 ? 3 ? 7

7 7 1

4. DESCOMPONER UN NÚMERO EN FACTORES PRIMOS

Descompón 68 en factores primos.

PRIMERO. Dividimos el valor absoluto del número entre los sucesivos números primos:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17… tantas veces como sea necesario hasta obtener la unidad.

SEGUNDO. Expresamos el número como el producto de todos los factores primos de la columna de la derecha utilizando potencias, siempre que se pueda.

68 = 2 ? 22

2

? 17 = 22 ? 17

FACTORES PRIMOS

68 268 : 2 " 34 234 : 2 " 17 1717 : 17 " 1

21 20

En la sección «Plan de trabajo» están los contenidos previos necesarios para com-prender lo que se va a estudiar.La «evaluación inicial» permite afianzar los contenidos.

Múltiplosde un número

Un número b es múltiplo de otro número a si la división de b entre a es exacta.

EJEMPLO

4 ¿Es 28 múltiplo de 4? ¿Y de 5?

28 4 La división 28 : 4 es exacta " 28 es múltiplo de 4.

10 7

28 5 La división 28 : 5 no es exacta " 28 no es múltiplo de 5.

13 5

Los múltiplos de un número se obtienen multiplicando dicho número por los sucesivos números naturales.

Múltiplos de a " a ? 1, a ? 2, a ? 3, a ? 4, a ? 5, a ? 6, a ? 7…

Esto lo escribimos así:

a• = {a ? 1, a ? 2, a ? 3, a ? 4, a ? 5, a ? 6, a ? 7…}

Es decir, el número de múltiplos de a es ilimitado. Además, cualquier número es múltiplo de sí mismo y de la unidad: a ? 1 = a

EJEMPLOS

5 Calcula los múltiplos de 3.

Múltiplos de 3 " 3 ? 1, 3 ? 2, 3 ? 3, 3 ? 4, 3 ? 5, 3 ? 6, 3 ? 7…

3•

= {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21…}

Los múltiplos de 3 son un conjunto ilimitado de números.

6 Comprueba que 3 es múltiplo de sí mismo y de la unidad.


0 1


0 3

3

EJERCICIOSPRACTICA

10 ¿Es 35 múltiplo de 5? Razona la respuesta.


12 Completa los diez primeros múltiplos de 8.

8, 16, 4, 32, 4, 4, 4, 4, 4, 80

APLICA

13 Si 18 es múltiplo de 9, ¿18 ? 4 es múltiplo de 9? ¿Es 18 múltiplo de 9 ? 4? Compruébalo.

REFLEXIONA

14 Halla un número entre 273 y 339 que sea múltiplo de 34.

SE ESCRIBE ASÍ

a• " Representa el conjunto de todos los múltiplos del número a.

3•

" Todos los múltiplos de 3.

12•

" Todos los múltiplosde 12.

12 divisible por 3

12 múltiplo de 3

F

34

APLICA

17 Di si es cierto o no.

a) 12 es divisor de 3. b) 12 es múltiplo de 3.

REFLEXIONA

18 Si 45 es múltiplo de 9, ¿es cierto lo siguiente?

a) 45 es divisor de 9. c) 9 es divisor de 45.b) 45 es divisible por 9. d) 9 es múltiplo de 45.

EJERCICIOSPRACTICA

15 ¿Cuáles son divisores de 36?

2 7 12 36 1520 1 4 40 9

16 Calcula todos los divisores de:

a) 30 d) 55 g) 90b) 27 e) 100 h) 79c) 45 f) 89 i) 110

Divisores de un número

Un número a es divisor de otro número b si la división de b entre a es exacta.

EJEMPLO

7 Comprueba si 8 y 9 son divisores de 48.

48 8 La división 48 : 8 es exacta "

8 es divisor de 48.

0 6

48 9 La división 48 : 9 no es exacta "

9 no es divisor de 48.

3 5

Los divisores de un número se obtienen dividiendo dicho número entre los sucesivos números naturales, hasta que el cociente de la división sea menor que el divisor.

Es decir, el número de divisores de a es limitado. Además, cualquier número tiene como divisores a él mismo y la unidad.

EJEMPLOS

8 Comprueba que 12 y 1 son divisores de 12.


12 es divisor de 12.

0 1


1 es divisor de 12.

0 12

9 Calcula todos los divisores de 8.

8 1 8 2 8 30 8 0 4 2 2 "

El cociente, 2, es menor que el divisor, 3. Por tanto, no seguimos dividiendo.

De cada división exacta extraemos dos divisores: el divisor y el cociente.

8 : 2 = 4 " Es una división exacta " 2 y 4 son divisores de 8.

Los divisores de 8 son 1, 2, 4 y 8. Se escribe así: Div (8) = {1, 2, 4, 8}.

4

SE ESCRIBE ASÍ

Div (a) " Representa el conjunto de todos los divisores del número a.

Div (8) " Todos los divisores de 8.


24 divisible por 3

3 divisor de 24

24 múltiplo de 3

F

F

F

F

F

F

35



Cuándo una división es exacta

• Unadivisión es exacta si su resto es cero. 54 6Si una división es exacta se cumple que: 0 9

Dividendo = Divisor ? Cociente

• Una división no es exacta cuando su resto 56 6es distinto de cero. En este caso se cumple que: 2 9

Dividendo = Divisor ? Cociente + Resto


EJEMPLO



10 7


13 5


EJEMPLOS


Múltiplos de 3 " 3 ? 1, 3 ? 2, 3 ? 3, 3 ? 4, 3 ? 5, 3 ? 6, 3 ? 7…

3•

= {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21…}


1 Halla los seis primeros múltiplos de 12.

Múltiplos de 12 " 12 ? 1, 12 ? 2, 12 ? 3, 12 ? 4, 12 ? 5, 12 ? 6Los seis primeros múltiplos de 12 son: 12, 24, 36, 48, 60 y 72.

3




1 Calcula los diez primeros múltiplos de 8.

2 Halla los diez primeros múltiplos de 16.

SE ESCRIBE ASÍ

3•


12•


Dividendo (D) divisor (d ) resto (r) cociente (c)

26


a) 30 c) 45 e) 100 g) 90b) 27 d) 55 f) 89 h) 79





a) 8 es divisor de 56. b) 12 es divisor de 95.


2 7 12 36 15 20 1 4 40 9



EJEMPLO



8 es divisor de 48.

0 6



3 5


EJEMPLOS


8 1 8 2 8 30 8 0 4 2 2 "







10 1 10 2 10 3 10 4 0 10 0 5 1 3 2 2 "


Extraemos el divisor y el cociente de cada división exacta:

10 : 1 = 10 " Es una división exacta " 1 y 10 son divisores de 10.10 : 2 = 5 " Es una división exacta " 2 y 5 son divisores de 10.

Los divisores de 10 son 1, 2, 5 y 10 " Div (10) = {1, 2, 5, 10}

4

SE ESCRIBE ASÍ



8 es divisor de 48.

48 es múltiplo de 8.

F

F

27

913861





CádizTel.: 956 56 96 24

CórdobaTel.: 957 43 60 62 Fax: 957 44 05 97



JaénTels.: 953 28 11 14 / 953 28 08 70Fax: 953 28 13 77









BurgosTels.: 947 21 00 69 / 947 21 21 31




AlbaceteTels.: 967 24 90 74 / 967 21 07 85


GironaTel.: 972 40 17 33Fax: 972 40 17 33

LleidaTel.: 973 21 27 50Fax: 973 20 50 34



GipuzkoaTels.: 943 26 11 84 / 943 26 07 99

NavarraTel.: 948 13 23 11 Fax: 948 12 50 42


BadajozTel.: 924 24 77 24Fax: 924 26 08 50


LugoTel.: 982 21 91 20

OurenseTel.: 988 22 74 73Fax: 988 22 93 97

VigoTel.: 986 41 48 22Fax: 986 41 35 73



AlmeríaTel.: 950 30 64 60Fax: 950 30 61 93










1Números enteros











PLAN DE TRABAJO

NÚMEROS NATURALES






12345


• Suma y resta


7 + 5 - 4 - 6 + 2 = 12 - 4 - 6 + 2 = 8 - 6 + 2 = 2 + 2 = 4



6 + 5 ? 4 - 6 : 2 = 6 + 20 - 6 : 2 = 6 + 20 - 3 = 26 - 3 = 23

FF

F

FF



EVALUACIÓN INICIAL


5 3 1 7 8 4


a) 8 + 8 - 4 - 3 + 5b) 12 - 5 + 7 - 2 + 11 - 3c) 9 + 3 - 5 - 1 + 2 - 7d) 15 - 4 - 2 + 6 + 12


a) 16 + 3 - 15 : 3 + 5b) 12 ? 3 + 7 - 8 : 2 - 1c) 4 + 9 : 3 - 2 - 1 + 7d) 11 - 3 ? 2 + 6 ? 4

7
















de aprendizaje.











Servicios on-line


QUÉCUÁNTO

CÓMO

NO NO



En resumen...



;+a; = a ;-a; = a

EJEMPLO





Op (+a) = -a Op (-a) = +a

EJEMPLO


Op (-5) = +5 Op (+5) = -5




positivo.

EJEMPLOS


b) -2 y -5 -2 > -5 c) +5 y -3 +5 > -3

-5-4-3-2-1+1 0 -3+1+5 0


-5 < -3 < +4 < +6-5-3 -4-2-1+1+2+3+4+5+6 0




> Mayor que 5 > 2

< Menor que 2 < 5

SE ESCRIBE ASÍ

Números enteros













0 -8 …-7-6-5-4-3-2-112345678…F F

EJEMPLO


-3-2-1 -4 -57 6 5 4 3 2 1 0

1



+7 -5 -2 +4 0 -8










+6 = 6 +15 = 15


CALCULADORA

;0; = 0;5; = ;+5; = ;-5; = 5

NO OLVIDES

9 8








1 -3 44444




a) -9 4 -12 b) 3 4 -2c) -1 4 -4d) -7 4 -5






a) (+12) + (+25) e) (+19) - (+5)b) (-9) + (+13) f) (-21) - (+33)c) (-3) + (-11) g) (-7) - (-11)d) (+17) + (-8) h) (+22) - (-15)



-7

-12

+11

+23

+9

-5

-18

+17


a) (+10) + (-5) + (+7) + (-9)b) (-29) + (-12) + (-9) + (+17)c) (-20) + (+33) + (+21) + (-23)d) (-23) + (-41) + (-16) + (+50)



a) (-21) + (-12) - (+9)b) (+17) - (+23) + (+34)c) (-32) + (-19) - (-11)d) (-54) - (+22) + (-10)

65. ● Calcula.

a) 8 - 7 + 4 - 3 - 2b) -7 - 5 + 3 - 9 - 1 + 11c) -4 - 2 + 5 - 1 - 4 + 1d) 6 - 3 + 3 - 10 - 4 + 13e) -9 - 14 + 4 - 56 - 16 + 1

HAZLO ASÍ


66. Calcula: -3 + (-8 + 9) - (3 - 6)





= -3 + (+1) - (-3) = -3 + 1 + 3 =


= -3 + 1 + 3 = -2 + 3 = 1

F

F


a) 6 + (-4 + 2) - (-3 - 1)b) 7 - (4 - 3) + (-1 - 2)c) 3 + (2 - 3) - (1 - 5 - 7)d) -8 + (1 + 4) + (-7 - 9)


a) (-11) + 4 = +4 b) (+13) + 4 = +12 c) 4 + (-20) = -12 d) (+3) - 4 = -7e) (-15) - 4 = +9f) 4 - (+8) = +7


a) (+12) ? (+4) c) (+5) ? (-35)b) (-42) ? (-3) d) (-14) ? (+5)


a) (+21) ? (+3) ? (+4) c) (+13) ? (-5) ? (-6)b) (+19) ? (-2) ? (+3) d) (-20) ? (-9) ? (-3)


a) (-5) ? 4 = -30 b) 4 ? (+3) = 45 c) (-9) ? 4 = 27d) 4 ? (-8) = -48


a) (+35) : (-7) : (-5) c) (+32) : (-8) : (-2)b) (-21) : (-7) : (-1) d) (-4) : (+4) : (-1)

77. ●● Opera.

a) (+21) ? (+2) : (-14) b) (+5) : (-5) ? (-4) c) (+2) ? (+9) : (-3) d) [(-2) ? (+7)] : (-14) ? (+3)e) (+36) : [(-9) : (+3)] ? (+5)f) (+36) : (-9) : (+2) ? (+5)


a) (-36) : 4 = -4 b) (-54) : 4 = +9 c) 4 : (-6) = -42 d) (+48) : 4 = -6e) (-63) : 4 = -7f) 4 : (+8) = +2



a) 7 ? 7 ? 7 ? 7b) (-2) ? (-2) ? (-2)c) (-5) ? (-5) ? (-5) ? (-5) ? (-5)




a) 45 c) 14

2 e) 7

3 g) 5

4

b) (-2)6 d) (-4)

4 f) (-9)

2 h) (-6)

4


a) 50 b) 23

1 c) (-3)

0 d) (-57)

1


a) 53 ? 5

4 c) (-3)

5 ? (-3)

3

b) 116 ? 11

4 d) (-8)

4 ? (-8)


a) 43 ? 4

3 ? 4

b) 95 ? 9

2 ? 9

4

c) (-2)6 ? (-2)

4 ? (-2)

d) (-7)3 ? (-7) ? (-7)

6


a) 75 : 7

3 c) (-9)

6 : (-9)

3

b) 128 : 12

5 d) (-6)

7 : (-6)


a) (28 : 2

3) ? 2

3

b) 35 : (3

7 : 3

4)

c) [(-4)6: (-4)] : (-4)

2

d) (-5)3 : [(-5)

4 : (-5)]


a) (54)

3 c) [(-3)

4]

3

b) (75)

2 d) [(-9)

3]

3


a) (25)

2 ? (2

2)

4

b) (103)

3 ? (10

2)

4

c) [(-3)5]

3 ? [(-3)

4]

3

d) [(-10)2]

2 ? [(-10)

3]

3

23 22


Números enteros


• El número 0.


Potencia an = a ? a ? a ? … ? a1442443

n veces

Divisibilidad


F

F


F F

FF




Calcula. a) (-4) ? (+-25) : (-5)


a) ;-4; ? ;+3; = 4 ? 3 = 12b) ;-25; ? ;-5; = 25 : 5 = 5



Distinto signo

F

Mismo signo

F



7 ? 6

3 e) (-6)

5 ? 2

3

b) 67 : 6

3 f) (-6)

5 : 2

3


7 y 6



5 y 2



a) 67 ? 6

3 = 6

7+3 = 6

10 b) 6

7 : 6

3 = 6

7-3 = 6

4




5 b) (-6)

5 c) (-6)

4


65 = 6 ? 6 ? 6 ? 6 ? 6 = 7 776

64 = 6 ? 6 ? 6 ? 6 = 1 296


5 = 7 776 c) (-6)

4 = 1 296

b) (-6)5 = -7 776


Resuelve.(-3) ? [6 : (-2)] - (-2) =

= (-3) ? [-3] - (-2) =

= +9 - (-2) == +9 + 2 = +11




F

F



a) 7 ? 7 ? 7 ? 7 b) 7 ? 6 ? 5 ? 4 c) 7 ? 7


1. Calcula. a) (-5) ? (-7) b) (+24) : (-3)



4 b) (-5)

4 c) 5

3 d) (-5)

3



5


5. Calcula:

(-3)3 + (-5) ? [(-6) : (-3)] + (-7)

2



a) 88 c) 32 e) 91

b) 84 d) 154 f) 252



Y AHORA… PRACTICA




SEGUNDO.





m.c.d. (12, 24, 84) = 22 ? 3 = 12

m.c.m. (12, 24, 84) = 23 ? 3 ? 7 = 168

24 212 2 6 2 24 = 2

3 ? 3

3 3 1

12 2 6 2 3 3 12 = 2

2 ? 3

1

84 242 221 3 84 = 2

2 ? 3 ? 7

7 7 1






68 = 2 ? 22

2

? 17 = 22 ? 17

FACTORES PRIMOS

68 268 : 2 " 34 234 : 2 " 17 1717 : 17 " 1

21 20




EJEMPLO



10 7


13 5




a• = {a ? 1, a ? 2, a ? 3, a ? 4, a ? 5, a ? 6, a ? 7…}


EJEMPLOS


Múltiplos de 3 " 3 ? 1, 3 ? 2, 3 ? 3, 3 ? 4, 3 ? 5, 3 ? 6, 3 ? 7…

3•

= {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21…}




0 1


0 3

3

EJERCICIOSPRACTICA




8, 16, 4, 32, 4, 4, 4, 4, 4, 80

APLICA


REFLEXIONA


SE ESCRIBE ASÍ


3•


12•


12 divisible por 3

12 múltiplo de 3

F

34

APLICA



REFLEXIONA



EJERCICIOSPRACTICA


2 7 12 36 1520 1 4 40 9


a) 30 d) 55 g) 90b) 27 e) 100 h) 79c) 45 f) 89 i) 110



EJEMPLO



8 es divisor de 48.

0 6



3 5



EJEMPLOS




0 1


1 es divisor de 12.

0 12


8 1 8 2 8 30 8 0 4 2 2 "





4

SE ESCRIBE ASÍ




24 divisible por 3

3 divisor de 24

24 múltiplo de 3

F

F

F

F

F

F

35









EJEMPLO



10 7


13 5


EJEMPLOS


Múltiplos de 3 " 3 ? 1, 3 ? 2, 3 ? 3, 3 ? 4, 3 ? 5, 3 ? 6, 3 ? 7…

3•

= {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21…}




3






SE ESCRIBE ASÍ

3•


12•



26


a) 30 c) 45 e) 100 g) 90b) 27 d) 55 f) 89 h) 79







2 7 12 36 15 20 1 4 40 9



EJEMPLO



8 es divisor de 48.

0 6



3 5


EJEMPLOS


8 1 8 2 8 30 8 0 4 2 2 "







10 1 10 2 10 3 10 4 0 10 0 5 1 3 2 2 "





4

SE ESCRIBE ASÍ



8 es divisor de 48.


F

F

27

913861





CádizTel.: 956 56 96 24

CórdobaTel.: 957 43 60 62 Fax: 957 44 05 97



JaénTels.: 953 28 11 14 / 953 28 08 70Fax: 953 28 13 77









BurgosTels.: 947 21 00 69 / 947 21 21 31




AlbaceteTels.: 967 24 90 74 / 967 21 07 85


GironaTel.: 972 40 17 33Fax: 972 40 17 33

LleidaTel.: 973 21 27 50Fax: 973 20 50 34



GipuzkoaTels.: 943 26 11 84 / 943 26 07 99

NavarraTel.: 948 13 23 11 Fax: 948 12 50 42


BadajozTel.: 924 24 77 24Fax: 924 26 08 50


LugoTel.: 982 21 91 20

OurenseTel.: 988 22 74 73Fax: 988 22 93 97

VigoTel.: 986 41 48 22Fax: 986 41 35 73



AlmeríaTel.: 950 30 64 60Fax: 950 30 61 93










1Números enteros











PLAN DE TRABAJO

NÚMEROS NATURALES






1 2 3 4 5


• Suma y resta


7 + 5 - 4 - 6 + 2 = 12 - 4 - 6 + 2 = 8 - 6 + 2 = 2 + 2 = 4



6 + 5 ? 4 - 6 : 2 = 6 + 20 - 6 : 2 = 6 + 20 - 3 = 26 - 3 = 23

F F

F

F F



EVALUACIÓN INICIAL


5 3 1 7 8 4


a) 8 + 8 - 4 - 3 + 5b) 12 - 5 + 7 - 2 + 11 - 3c) 9 + 3 - 5 - 1 + 2 - 7d) 15 - 4 - 2 + 6 + 12


a) 16 + 3 - 15 : 3 + 5b) 12 ? 3 + 7 - 8 : 2 - 1c) 4 + 9 : 3 - 2 - 1 + 7d) 11 - 3 ? 2 + 6 ? 4

7
















de aprendizaje.











Servicios on-line


QUÉCUÁNTO

CÓMO

NO NO



En resumen...



;+a; = a ;-a; = a

EJEMPLO





Op (+a) = -a Op (-a) = +a

EJEMPLO


Op (-5) = +5 Op (+5) = -5




positivo.

EJEMPLOS


b) -2 y -5 -2 > -5 c) +5 y -3 +5 > -3

-5 -4 -3 -2 -1 +10 -3 +1 +50

1 Ordena, de menor a mayor, estos números enteros.+4 -3 -5 +6

-5 < -3 < +4 < +6 -5 -3-4 -2-1 +1 +2 +3 +4 +5 +60




> Mayor que 5 > 2

< Menor que 2 < 5

SE ESCRIBE ASÍ

Números enteros












Números enteros negativos Números enteros positivos

0-8… -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 …FF

EJEMPLO


-3 -2 -1-4-5 76543210

1



+7 -5 -2 +4 0 -8










+6 = 6 +15 = 15


CALCULADORA

;0; = 0;5; = ;+5; = ;-5; = 5

NO OLVIDES

98








1-34 4 4 4 4




a) -9 4 -12 b) 3 4 -2c) -1 4 -4d) -7 4 -5






a) (+12) + (+25) e) (+19) - (+5)b) (-9) + (+13) f) (-21) - (+33)c) (-3) + (-11) g) (-7) - (-11)d) (+17) + (-8) h) (+22) - (-15)


a b a - b b - a a + b b + a

-7

-12

+11

+23

+9

-5

-18

+17


a) (+10) + (-5) + (+7) + (-9)b) (-29) + (-12) + (-9) + (+17)c) (-20) + (+33) + (+21) + (-23)d) (-23) + (-41) + (-16) + (+50)



a) (-21) + (-12) - (+9)b) (+17) - (+23) + (+34)c) (-32) + (-19) - (-11)d) (-54) - (+22) + (-10)

65. ● Calcula.

a) 8 - 7 + 4 - 3 - 2b) -7 - 5 + 3 - 9 - 1 + 11c) -4 - 2 + 5 - 1 - 4 + 1d) 6 - 3 + 3 - 10 - 4 + 13e) -9 - 14 + 4 - 56 - 16 + 1

HAZLO ASÍ


66. Calcula: -3 + (-8 + 9) - (3 - 6)





= -3 + (+1) - (-3) = -3 + 1 + 3 =


= -3 + 1 + 3 = -2 + 3 = 1

F

F


a) 6 + (-4 + 2) - (-3 - 1)b) 7 - (4 - 3) + (-1 - 2)c) 3 + (2 - 3) - (1 - 5 - 7)d) -8 + (1 + 4) + (-7 - 9)


a) (-11) + 4 = +4 b) (+13) + 4 = +12 c) 4 + (-20) = -12 d) (+3) - 4 = -7e) (-15) - 4 = +9f) 4 - (+8) = +7


a) (+12) ? (+4) c) (+5) ? (-35)b) (-42) ? (-3) d) (-14) ? (+5)


a) (+21) ? (+3) ? (+4) c) (+13) ? (-5) ? (-6)b) (+19) ? (-2) ? (+3) d) (-20) ? (-9) ? (-3)


a) (-5) ? 4 = -30 b) 4 ? (+3) = 45 c) (-9) ? 4 = 27d) 4 ? (-8) = -48


a) (+35) : (-7) : (-5) c) (+32) : (-8) : (-2)b) (-21) : (-7) : (-1) d) (-4) : (+4) : (-1)

77. ●● Opera.

a) (+21) ? (+2) : (-14) b) (+5) : (-5) ? (-4) c) (+2) ? (+9) : (-3) d) [(-2) ? (+7)] : (-14) ? (+3)e) (+36) : [(-9) : (+3)] ? (+5)f) (+36) : (-9) : (+2) ? (+5)


a) (-36) : 4 = -4 b) (-54) : 4 = +9 c) 4 : (-6) = -42 d) (+48) : 4 = -6e) (-63) : 4 = -7f) 4 : (+8) = +2



a) 7 ? 7 ? 7 ? 7b) (-2) ? (-2) ? (-2)c) (-5) ? (-5) ? (-5) ? (-5) ? (-5)




a) 45 c) 142 e) 73 g) 54

b) (-2)6 d) (-4)4 f) (-9)2 h) (-6)4


a) 50 b) 231 c) (-3)0 d) (-57)1


a) 53 ? 54 c) (-3)5 ? (-3)3

b) 116 ? 114 d) (-8)4 ? (-8)


a) 43 ? 43 ? 4 b) 95 ? 92 ? 94 c) (-2)6 ? (-2)4 ? (-2)d) (-7)3 ? (-7) ? (-7)6


a) 75 : 73 c) (-9)6 : (-9)3

b) 128 : 125 d) (-6)7 : (-6)


a) (28 : 23) ? 23

b) 35 : (37 : 34)c) [(-4)6: (-4)] : (-4)2

d) (-5)3 : [(-5)4 : (-5)]


a) (54)3 c) [(-3)4]3

b) (75)2 d) [(-9)3]3


a) (25)2 ? (22)4

b) (103)3 ? (102)4

c) [(-3)5]3 ? [(-3)4]3

d) [(-10)2]2 ? [(-10)3]3

2322


Números enteros


• El número 0.


Potencia an = a ? a ? a ? … ? a1442443

n veces

Divisibilidad


F

F


FF

F F




Calcula. a) (-4) ? (+ -25) : (-5)


a) ;-4; ? ;+3; = 4 ? 3 = 12b) ;-25; ? ;-5; = 25 : 5 = 5



Distinto signo

F

Mismo signo

F


Expresa, si se puede, con una sola potencia.a) 67 ? 63 e) (-6)5 ? 23

b) 67 : 63 f) (-6)5 : 23

PRIMERO. Estudiamos si las bases son iguales.a) y b) 67 y 63 " La base de las dos

potencias es la misma, 6.e) y f) (-6)5 y 23 " No son iguales las bases.


a) 67 ? 63 = 67+3 = 610 b) 67 : 63 = 67-3 = 64



Calcula el valor de las siguientes potencias.a) 65 b) (-6)5 c) (-6)4


65 = 6 ? 6 ? 6 ? 6 ? 6 = 7 77664 = 6 ? 6 ? 6 ? 6 = 1 296

SEGUNDO. Si la base es negativa y el exponente es un número impar, añadimos el signo - al resultado.a) 65 = 7 776 c) (-6)4 = 1 296b) (-6)5 = -7 776


Resuelve.(-3) ? [6 : (-2)] - (-2) =

= (-3) ? [-3] - (-2) =

= +9 - (-2) == +9 + 2 = +11




F

F



a) 7 ? 7 ? 7 ? 7 b) 7 ? 6 ? 5 ? 4 c) 7 ? 7


1. Calcula. a) (-5) ? (-7) b) (+24) : (-3)


3. Determina el valor de estas potencias.a) 54 b) (-5)4 c) 53 d) (-5)3




5. Calcula:

(-3)3 + (-5) ? [(-6) : (-3)] + (-7)2



a) 88 c) 32 e) 91

b) 84 d) 154 f) 252



Y AHORA… PRACTICA




SEGUNDO.



Factores comunes " 2 y 3 Comunes con menor exponente " 22 y 3Factores no comunes " 7 Comunes con mayor exponente " 23 y 3

m.c.d. (12, 24, 84) = 22 ? 3 = 12m.c.m. (12, 24, 84) = 23 ? 3 ? 7 = 168

24 212 2 6 2 24 = 23 ? 3 3 3 1

12 2 6 2 3 3 12 = 22 ? 3 1

84 242 221 3 84 = 22 ? 3 ? 7 7 7 1






68 = 2 ? 222

? 17 = 22 ? 17

FACTORES PRIMOS

68 268 : 2 " 34 234 : 2 " 17 1717 : 17 " 1

2120




EJEMPLO



10 7


13 5




a• = {a ? 1, a ? 2, a ? 3, a ? 4, a ? 5, a ? 6, a ? 7…}


EJEMPLOS


Múltiplos de 3 " 3 ? 1, 3 ? 2, 3 ? 3, 3 ? 4, 3 ? 5, 3 ? 6, 3 ? 7…

3•

= {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21…}




0 1


0 3

3

EJERCICIOSPRACTICA




8, 16, 4, 32, 4, 4, 4, 4, 4, 80

APLICA


REFLEXIONA


SE ESCRIBE ASÍ


3•


12•


12 divisible por 3

12 múltiplo de 3

F

34

APLICA



REFLEXIONA



EJERCICIOSPRACTICA


2 7 12 36 1520 1 4 40 9


a) 30 d) 55 g) 90b) 27 e) 100 h) 79c) 45 f) 89 i) 110



EJEMPLO



8 es divisor de 48. 0 6


9 no es divisor de 48. 3 5



EJEMPLOS







8 1 8 2 8 30 8 0 4 2 2 " El cociente, 2, es menor que el divisor, 3.

Por tanto, no seguimos dividiendo.




4

SE ESCRIBE ASÍ




24 divisible por 3

3 divisor de 24

24 múltiplo de 3

F

F

F

F

F

F

35




• Una división es exacta si su resto es cero. 54 6Si una división es exacta se cumple que: 0 9





EJEMPLO



10 7


13 5


EJEMPLOS


Múltiplos de 3 " 3 ? 1, 3 ? 2, 3 ? 3, 3 ? 4, 3 ? 5, 3 ? 6, 3 ? 7…

3•

= {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21…}




3






SE ESCRIBE ASÍ

3•


12•


Dividendo ( D) divisor ( d ) resto ( r ) cociente ( c)

26


a) 30 c) 45 e) 100 g) 90b) 27 d) 55 f) 89 h) 79







2 7 12 36 15 20 1 4 40 9



EJEMPLO







EJEMPLOS









10 1 10 2 10 3 10 4 0 10 0 5 1 3 2 2 " El cociente, 2, es menor que el divisor, 4.





4

SE ESCRIBE ASÍ



8 es divisor de 48.


F

F

27

913861





CádizTel.: 956 56 96 24

CórdobaTel.: 957 43 60 62 Fax: 957 44 05 97



JaénTels.: 953 28 11 14 / 953 28 08 70Fax: 953 28 13 77









BurgosTels.: 947 21 00 69 / 947 21 21 31




AlbaceteTels.: 967 24 90 74 / 967 21 07 85


GironaTel.: 972 40 17 33Fax: 972 40 17 33

LleidaTel.: 973 21 27 50Fax: 973 20 50 34



GipuzkoaTels.: 943 26 11 84 / 943 26 07 99

NavarraTel.: 948 13 23 11 Fax: 948 12 50 42


BadajozTel.: 924 24 77 24Fax: 924 26 08 50


LugoTel.: 982 21 91 20

OurenseTel.: 988 22 74 73Fax: 988 22 93 97

VigoTel.: 986 41 48 22Fax: 986 41 35 73



AlmeríaTel.: 950 30 64 60Fax: 950 30 61 93










1Números enteros











PLAN DE TRABAJO

NÚMEROS NATURALES






1 2 3 4 5


• Suma y resta


7 + 5 - 4 - 6 + 2 = 12 - 4 - 6 + 2 = 8 - 6 + 2 = 2 + 2 = 4



6 + 5 ? 4 - 6 : 2 = 6 + 20 - 6 : 2 = 6 + 20 - 3 = 26 - 3 = 23

F F

F

F F



EVALUACIÓN INICIAL


5 3 1 7 8 4


a) 8 + 8 - 4 - 3 + 5b) 12 - 5 + 7 - 2 + 11 - 3c) 9 + 3 - 5 - 1 + 2 - 7d) 15 - 4 - 2 + 6 + 12


a) 16 + 3 - 15 : 3 + 5b) 12 ? 3 + 7 - 8 : 2 - 1c) 4 + 9 : 3 - 2 - 1 + 7d) 11 - 3 ? 2 + 6 ? 4

7
















de aprendizaje.











Servicios on-line


QUÉCUÁNTO

CÓMO

NO NO



En resumen...



;+a; = a ;-a; = a

EJEMPLO





Op (+a) = -a Op (-a) = +a

EJEMPLO


Op (-5) = +5 Op (+5) = -5




positivo.

EJEMPLOS


b) -2 y -5 -2 > -5 c) +5 y -3 +5 > -3

-5 -4 -3 -2 -1 +10 -3 +1 +50

1 Ordena, de menor a mayor, estos números enteros.+4 -3 -5 +6

-5 < -3 < +4 < +6 -5 -3-4 -2-1 +1 +2 +3 +4 +5 +60




> Mayor que 5 > 2

< Menor que 2 < 5

SE ESCRIBE ASÍ

Números enteros












Números enteros negativos Números enteros positivos

0-8… -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 …FF

EJEMPLO


-3 -2 -1-4-5 76543210

1



+7 -5 -2 +4 0 -8










+6 = 6 +15 = 15


CALCULADORA

;0; = 0;5; = ;+5; = ;-5; = 5

NO OLVIDES

98








1-34 4 4 4 4




a) -9 4 -12 b) 3 4 -2c) -1 4 -4d) -7 4 -5






a) (+12) + (+25) e) (+19) - (+5)b) (-9) + (+13) f) (-21) - (+33)c) (-3) + (-11) g) (-7) - (-11)d) (+17) + (-8) h) (+22) - (-15)


a b a - b b - a a + b b + a

-7

-12

+11

+23

+9

-5

-18

+17


a) (+10) + (-5) + (+7) + (-9)b) (-29) + (-12) + (-9) + (+17)c) (-20) + (+33) + (+21) + (-23)d) (-23) + (-41) + (-16) + (+50)



a) (-21) + (-12) - (+9)b) (+17) - (+23) + (+34)c) (-32) + (-19) - (-11)d) (-54) - (+22) + (-10)

65. ● Calcula.

a) 8 - 7 + 4 - 3 - 2b) -7 - 5 + 3 - 9 - 1 + 11c) -4 - 2 + 5 - 1 - 4 + 1d) 6 - 3 + 3 - 10 - 4 + 13e) -9 - 14 + 4 - 56 - 16 + 1

HAZLO ASÍ


66. Calcula: -3 + (-8 + 9) - (3 - 6)





= -3 + (+1) - (-3) = -3 + 1 + 3 =


= -3 + 1 + 3 = -2 + 3 = 1

F

F


a) 6 + (-4 + 2) - (-3 - 1)b) 7 - (4 - 3) + (-1 - 2)c) 3 + (2 - 3) - (1 - 5 - 7)d) -8 + (1 + 4) + (-7 - 9)


a) (-11) + 4 = +4 b) (+13) + 4 = +12 c) 4 + (-20) = -12 d) (+3) - 4 = -7e) (-15) - 4 = +9f) 4 - (+8) = +7


a) (+12) ? (+4) c) (+5) ? (-35)b) (-42) ? (-3) d) (-14) ? (+5)


a) (+21) ? (+3) ? (+4) c) (+13) ? (-5) ? (-6)b) (+19) ? (-2) ? (+3) d) (-20) ? (-9) ? (-3)


a) (-5) ? 4 = -30 b) 4 ? (+3) = 45 c) (-9) ? 4 = 27d) 4 ? (-8) = -48


a) (+35) : (-7) : (-5) c) (+32) : (-8) : (-2)b) (-21) : (-7) : (-1) d) (-4) : (+4) : (-1)

77. ●● Opera.

a) (+21) ? (+2) : (-14) b) (+5) : (-5) ? (-4) c) (+2) ? (+9) : (-3) d) [(-2) ? (+7)] : (-14) ? (+3)e) (+36) : [(-9) : (+3)] ? (+5)f) (+36) : (-9) : (+2) ? (+5)


a) (-36) : 4 = -4 b) (-54) : 4 = +9 c) 4 : (-6) = -42 d) (+48) : 4 = -6e) (-63) : 4 = -7f) 4 : (+8) = +2



a) 7 ? 7 ? 7 ? 7b) (-2) ? (-2) ? (-2)c) (-5) ? (-5) ? (-5) ? (-5) ? (-5)




a) 45 c) 142 e) 73 g) 54

b) (-2)6 d) (-4)4 f) (-9)2 h) (-6)4


a) 50 b) 231 c) (-3)0 d) (-57)1


a) 53 ? 54 c) (-3)5 ? (-3)3

b) 116 ? 114 d) (-8)4 ? (-8)


a) 43 ? 43 ? 4 b) 95 ? 92 ? 94 c) (-2)6 ? (-2)4 ? (-2)d) (-7)3 ? (-7) ? (-7)6


a) 75 : 73 c) (-9)6 : (-9)3

b) 128 : 125 d) (-6)7 : (-6)


a) (28 : 23) ? 23

b) 35 : (37 : 34)c) [(-4)6: (-4)] : (-4)2

d) (-5)3 : [(-5)4 : (-5)]


a) (54)3 c) [(-3)4]3

b) (75)2 d) [(-9)3]3


a) (25)2 ? (22)4

b) (103)3 ? (102)4

c) [(-3)5]3 ? [(-3)4]3

d) [(-10)2]2 ? [(-10)3]3

2322


Números enteros


• El número 0.


Potencia an = a ? a ? a ? … ? a1442443

n veces

Divisibilidad


F

F


FF

F F




Calcula. a) (-4) ? (+ -25) : (-5)


a) ;-4; ? ;+3; = 4 ? 3 = 12b) ;-25; ? ;-5; = 25 : 5 = 5



Distinto signo

F

Mismo signo

F


Expresa, si se puede, con una sola potencia.a) 67 ? 63 e) (-6)5 ? 23

b) 67 : 63 f) (-6)5 : 23

PRIMERO. Estudiamos si las bases son iguales.a) y b) 67 y 63 " La base de las dos

potencias es la misma, 6.e) y f) (-6)5 y 23 " No son iguales las bases.


a) 67 ? 63 = 67+3 = 610 b) 67 : 63 = 67-3 = 64



Calcula el valor de las siguientes potencias.a) 65 b) (-6)5 c) (-6)4


65 = 6 ? 6 ? 6 ? 6 ? 6 = 7 77664 = 6 ? 6 ? 6 ? 6 = 1 296

SEGUNDO. Si la base es negativa y el exponente es un número impar, añadimos el signo - al resultado.a) 65 = 7 776 c) (-6)4 = 1 296b) (-6)5 = -7 776


Resuelve.(-3) ? [6 : (-2)] - (-2) =

= (-3) ? [-3] - (-2) =

= +9 - (-2) == +9 + 2 = +11




F

F



a) 7 ? 7 ? 7 ? 7 b) 7 ? 6 ? 5 ? 4 c) 7 ? 7


1. Calcula. a) (-5) ? (-7) b) (+24) : (-3)


3. Determina el valor de estas potencias.a) 54 b) (-5)4 c) 53 d) (-5)3




5. Calcula:

(-3)3 + (-5) ? [(-6) : (-3)] + (-7)2



a) 88 c) 32 e) 91

b) 84 d) 154 f) 252



Y AHORA… PRACTICA




SEGUNDO.



Factores comunes " 2 y 3 Comunes con menor exponente " 22 y 3Factores no comunes " 7 Comunes con mayor exponente " 23 y 3

m.c.d. (12, 24, 84) = 22 ? 3 = 12m.c.m. (12, 24, 84) = 23 ? 3 ? 7 = 168

24 212 2 6 2 24 = 23 ? 3 3 3 1

12 2 6 2 3 3 12 = 22 ? 3 1

84 242 221 3 84 = 22 ? 3 ? 7 7 7 1






68 = 2 ? 222

? 17 = 22 ? 17

FACTORES PRIMOS

68 268 : 2 " 34 234 : 2 " 17 1717 : 17 " 1

2120




EJEMPLO



10 7


13 5




a• = {a ? 1, a ? 2, a ? 3, a ? 4, a ? 5, a ? 6, a ? 7…}


EJEMPLOS


Múltiplos de 3 " 3 ? 1, 3 ? 2, 3 ? 3, 3 ? 4, 3 ? 5, 3 ? 6, 3 ? 7…

3•

= {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21…}




0 1


0 3

3

EJERCICIOSPRACTICA




8, 16, 4, 32, 4, 4, 4, 4, 4, 80

APLICA


REFLEXIONA


SE ESCRIBE ASÍ


3•


12•


12 divisible por 3

12 múltiplo de 3

F

34

APLICA



REFLEXIONA



EJERCICIOSPRACTICA


2 7 12 36 1520 1 4 40 9


a) 30 d) 55 g) 90b) 27 e) 100 h) 79c) 45 f) 89 i) 110



EJEMPLO








EJEMPLOS












4

SE ESCRIBE ASÍ




24 divisible por 3

3 divisor de 24

24 múltiplo de 3

F

F

F

F

F

F

35




• Una división es exacta si su resto es cero. 54 6Si una división es exacta se cumple que: 0 9





EJEMPLO



10 7


13 5


EJEMPLOS


Múltiplos de 3 " 3 ? 1, 3 ? 2, 3 ? 3, 3 ? 4, 3 ? 5, 3 ? 6, 3 ? 7…

3•

= {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21…}




3






SE ESCRIBE ASÍ

3•


12•


Dividendo ( D) divisor ( d ) resto ( r ) cociente ( c)

26


a) 30 c) 45 e) 100 g) 90b) 27 d) 55 f) 89 h) 79







2 7 12 36 15 20 1 4 40 9



EJEMPLO







EJEMPLOS









10 1 10 2 10 3 10 4 0 10 0 5 1 3 2 2 " El cociente, 2, es menor que el divisor, 4.





4

SE ESCRIBE ASÍ



8 es divisor de 48.


F

F

27

913861





CádizTel.: 956 56 96 24

CórdobaTel.: 957 43 60 62 Fax: 957 44 05 97



JaénTels.: 953 28 11 14 / 953 28 08 70Fax: 953 28 13 77









BurgosTels.: 947 21 00 69 / 947 21 21 31




AlbaceteTels.: 967 24 90 74 / 967 21 07 85


GironaTel.: 972 40 17 33Fax: 972 40 17 33

LleidaTel.: 973 21 27 50Fax: 973 20 50 34



GipuzkoaTels.: 943 26 11 84 / 943 26 07 99

NavarraTel.: 948 13 23 11 Fax: 948 12 50 42


BadajozTel.: 924 24 77 24Fax: 924 26 08 50


LugoTel.: 982 21 91 20

OurenseTel.: 988 22 74 73Fax: 988 22 93 97

VigoTel.: 986 41 48 22Fax: 986 41 35 73



AlmeríaTel.: 950 30 64 60Fax: 950 30 61 93










1Números enteros











PLAN DE TRABAJO

NÚMEROS NATURALES






12345


• Suma y resta


7 + 5 - 4 - 6 + 2 = 12 - 4 - 6 + 2 = 8 - 6 + 2 = 2 + 2 = 4



6 + 5 ? 4 - 6 : 2 = 6 + 20 - 6 : 2 = 6 + 20 - 3 = 26 - 3 = 23

FF

F

FF



EVALUACIÓN INICIAL


5 3 1 7 8 4


a) 8 + 8 - 4 - 3 + 5b) 12 - 5 + 7 - 2 + 11 - 3c) 9 + 3 - 5 - 1 + 2 - 7d) 15 - 4 - 2 + 6 + 12


a) 16 + 3 - 15 : 3 + 5b) 12 ? 3 + 7 - 8 : 2 - 1c) 4 + 9 : 3 - 2 - 1 + 7d) 11 - 3 ? 2 + 6 ? 4

7
















de aprendizaje.











Servicios on-line


QUÉCUÁNTO

CÓMO

NO NO



En resumen...



;+a; = a ;-a; = a

EJEMPLO





Op (+a) = -a Op (-a) = +a

EJEMPLO


Op (-5) = +5 Op (+5) = -5




positivo.

EJEMPLOS


b) -2 y -5 -2 > -5 c) +5 y -3 +5 > -3

-5-4-3-2-1+1 0 -3+1+5 0


-5 < -3 < +4 < +6-5-3 -4-2-1+1+2+3+4+5+6 0




> Mayor que 5 > 2

< Menor que 2 < 5

SE ESCRIBE ASÍ

Números enteros













0 -8 …-7-6-5-4-3-2-112345678…F F

EJEMPLO


-3-2-1 -4 -57 6 5 4 3 2 1 0

1



+7 -5 -2 +4 0 -8










+6 = 6 +15 = 15


CALCULADORA

;0; = 0;5; = ;+5; = ;-5; = 5

NO OLVIDES

9 8








1 -3 44444




a) -9 4 -12 b) 3 4 -2c) -1 4 -4d) -7 4 -5






a) (+12) + (+25) e) (+19) - (+5)b) (-9) + (+13) f) (-21) - (+33)c) (-3) + (-11) g) (-7) - (-11)d) (+17) + (-8) h) (+22) - (-15)



-7

-12

+11

+23

+9

-5

-18

+17


a) (+10) + (-5) + (+7) + (-9)b) (-29) + (-12) + (-9) + (+17)c) (-20) + (+33) + (+21) + (-23)d) (-23) + (-41) + (-16) + (+50)



a) (-21) + (-12) - (+9)b) (+17) - (+23) + (+34)c) (-32) + (-19) - (-11)d) (-54) - (+22) + (-10)

65. ● Calcula.

a) 8 - 7 + 4 - 3 - 2b) -7 - 5 + 3 - 9 - 1 + 11c) -4 - 2 + 5 - 1 - 4 + 1d) 6 - 3 + 3 - 10 - 4 + 13e) -9 - 14 + 4 - 56 - 16 + 1

HAZLO ASÍ


66. Calcula: -3 + (-8 + 9) - (3 - 6)





= -3 + (+1) - (-3) = -3 + 1 + 3 =


= -3 + 1 + 3 = -2 + 3 = 1

F

F


a) 6 + (-4 + 2) - (-3 - 1)b) 7 - (4 - 3) + (-1 - 2)c) 3 + (2 - 3) - (1 - 5 - 7)d) -8 + (1 + 4) + (-7 - 9)


a) (-11) + 4 = +4 b) (+13) + 4 = +12 c) 4 + (-20) = -12 d) (+3) - 4 = -7e) (-15) - 4 = +9f) 4 - (+8) = +7


a) (+12) ? (+4) c) (+5) ? (-35)b) (-42) ? (-3) d) (-14) ? (+5)


a) (+21) ? (+3) ? (+4) c) (+13) ? (-5) ? (-6)b) (+19) ? (-2) ? (+3) d) (-20) ? (-9) ? (-3)


a) (-5) ? 4 = -30 b) 4 ? (+3) = 45 c) (-9) ? 4 = 27d) 4 ? (-8) = -48


a) (+35) : (-7) : (-5) c) (+32) : (-8) : (-2)b) (-21) : (-7) : (-1) d) (-4) : (+4) : (-1)

77. ●● Opera.

a) (+21) ? (+2) : (-14) b) (+5) : (-5) ? (-4) c) (+2) ? (+9) : (-3) d) [(-2) ? (+7)] : (-14) ? (+3)e) (+36) : [(-9) : (+3)] ? (+5)f) (+36) : (-9) : (+2) ? (+5)


a) (-36) : 4 = -4 b) (-54) : 4 = +9 c) 4 : (-6) = -42 d) (+48) : 4 = -6e) (-63) : 4 = -7f) 4 : (+8) = +2



a) 7 ? 7 ? 7 ? 7b) (-2) ? (-2) ? (-2)c) (-5) ? (-5) ? (-5) ? (-5) ? (-5)




a) 45 c) 14

2 e) 7

3 g) 5

4

b) (-2)6 d) (-4)

4 f) (-9)

2 h) (-6)

4


a) 50 b) 23

1 c) (-3)

0 d) (-57)

1


a) 53 ? 5

4 c) (-3)

5 ? (-3)

3

b) 116 ? 11

4 d) (-8)

4 ? (-8)


a) 43 ? 4

3 ? 4

b) 95 ? 9

2 ? 9

4

c) (-2)6 ? (-2)

4 ? (-2)

d) (-7)3 ? (-7) ? (-7)

6


a) 75 : 7

3 c) (-9)

6 : (-9)

3

b) 128 : 12

5 d) (-6)

7 : (-6)


a) (28 : 2

3) ? 2

3

b) 35 : (3

7 : 3

4)

c) [(-4)6: (-4)] : (-4)

2

d) (-5)3 : [(-5)

4 : (-5)]


a) (54)

3 c) [(-3)

4]

3

b) (75)

2 d) [(-9)

3]

3


a) (25)

2 ? (2

2)

4

b) (103)

3 ? (10

2)

4

c) [(-3)5]

3 ? [(-3)

4]

3

d) [(-10)2]

2 ? [(-10)

3]

3

23 22


Números enteros


• El número 0.


Potencia an = a ? a ? a ? … ? a1442443

n veces

Divisibilidad


F

F


F F

FF




Calcula. a) (-4) ? (+-25) : (-5)


a) ;-4; ? ;+3; = 4 ? 3 = 12b) ;-25; ? ;-5; = 25 : 5 = 5



Distinto signo

F

Mismo signo

F



7 ? 6

3 e) (-6)

5 ? 2

3

b) 67 : 6

3 f) (-6)

5 : 2

3


7 y 6



5 y 2



a) 67 ? 6

3 = 6

7+3 = 6

10 b) 6

7 : 6

3 = 6

7-3 = 6

4




5 b) (-6)

5 c) (-6)

4


65 = 6 ? 6 ? 6 ? 6 ? 6 = 7 776

64 = 6 ? 6 ? 6 ? 6 = 1 296


5 = 7 776 c) (-6)

4 = 1 296

b) (-6)5 = -7 776


Resuelve.(-3) ? [6 : (-2)] - (-2) =

= (-3) ? [-3] - (-2) =

= +9 - (-2) == +9 + 2 = +11




F

F



a) 7 ? 7 ? 7 ? 7 b) 7 ? 6 ? 5 ? 4 c) 7 ? 7


1. Calcula. a) (-5) ? (-7) b) (+24) : (-3)



4 b) (-5)

4 c) 5

3 d) (-5)

3



5


5. Calcula:

(-3)3 + (-5) ? [(-6) : (-3)] + (-7)

2



a) 88 c) 32 e) 91

b) 84 d) 154 f) 252



Y AHORA… PRACTICA




SEGUNDO.





m.c.d. (12, 24, 84) = 22 ? 3 = 12

m.c.m. (12, 24, 84) = 23 ? 3 ? 7 = 168

24 212 2 6 2 24 = 2

3 ? 3

3 3 1

12 2 6 2 3 3 12 = 2

2 ? 3

1

84 242 221 3 84 = 2

2 ? 3 ? 7

7 7 1






68 = 2 ? 22

2

? 17 = 22 ? 17

FACTORES PRIMOS

68 268 : 2 " 34 234 : 2 " 17 1717 : 17 " 1

21 20




EJEMPLO



10 7


13 5




a• = {a ? 1, a ? 2, a ? 3, a ? 4, a ? 5, a ? 6, a ? 7…}


EJEMPLOS


Múltiplos de 3 " 3 ? 1, 3 ? 2, 3 ? 3, 3 ? 4, 3 ? 5, 3 ? 6, 3 ? 7…

3•

= {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21…}




0 1


0 3

3

EJERCICIOSPRACTICA




8, 16, 4, 32, 4, 4, 4, 4, 4, 80

APLICA


REFLEXIONA


SE ESCRIBE ASÍ


3•


12•


12 divisible por 3

12 múltiplo de 3

F

34

APLICA



REFLEXIONA



EJERCICIOSPRACTICA


2 7 12 36 1520 1 4 40 9


a) 30 d) 55 g) 90b) 27 e) 100 h) 79c) 45 f) 89 i) 110



EJEMPLO



8 es divisor de 48.

0 6



3 5



EJEMPLOS




0 1


1 es divisor de 12.

0 12


8 1 8 2 8 30 8 0 4 2 2 "





4

SE ESCRIBE ASÍ




24 divisible por 3

3 divisor de 24

24 múltiplo de 3

F

F

F

F

F

F

35









EJEMPLO



10 7


13 5


EJEMPLOS


Múltiplos de 3 " 3 ? 1, 3 ? 2, 3 ? 3, 3 ? 4, 3 ? 5, 3 ? 6, 3 ? 7…

3•

= {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21…}




3






SE ESCRIBE ASÍ

3•


12•



26


a) 30 c) 45 e) 100 g) 90b) 27 d) 55 f) 89 h) 79







2 7 12 36 15 20 1 4 40 9



EJEMPLO



8 es divisor de 48.

0 6



3 5


EJEMPLOS


8 1 8 2 8 30 8 0 4 2 2 "







10 1 10 2 10 3 10 4 0 10 0 5 1 3 2 2 "





4

SE ESCRIBE ASÍ



8 es divisor de 48.


F

F

27

N Números naturales

Z Números enteros

Q Números racionales

R Números reales

I Números irracionales

ba

Fracción

a/b

3,4 Decimal periódico puro

3,74 Decimal periódico mixto

!a +a y -a

3 Infinito

an Potencia

a Raíz cuadrada

an Raíz n-ésima

logb a Logaritmo

n! Factorial

nmc m Número combinatorio

;a; Valor absoluto

Op (a) Opuesto

= Igual

! Distinto

c Aproximadamente

< Menor que

# Menor o igual que

# No es menor que

> Mayor que

$ Mayor o igual que

$ No es mayor que

[a, b] Intervalo cerrado

(a, b) Intervalo abierto

[a, b) Intervalo semicerrado

(a, b] Intervalo semiabierto

!!

(x, y)

(x1, y2)(x, f (x))

Coordenadas de un punto

f (x)

y = f (x) Función

f (a) Valor de f (x) de x = a Dom f Dominio de una función

lm f Recorrido de una función

R - {a} Todos los números reales menos el punto a

R - [a, b) Todos los números reales menos el intervalo [a, b)

E Espacio muestral Suceso seguro

Q Suceso imposible

A Suceso contrario al suceso A A , B Unión de sucesos

A + B Intersección de sucesos

P (A) Probabilidad del suceso A

ao Múltiplo de a

Div (a) Divisores de a

m.c.m. (a, b) Mínimo común múltiplo de a y b

m.c.d. (a, b) Máximo común divisor de a y b

A (a, b) Coordenadas de un punto

AB

v Vector

( , )( , )

AB v vv v v

1 2

1 2

==

Coordenadas de un vector

AB

v; ;; ;

Módulo de un vector

v w# Vectores paralelos

v w= Vectores perpendiculares

r s# Rectas paralelas

r s= Rectas perpendiculares

AB Longitud de A a B

AB Arco de una circunferencia

A

CAB

W Ángulo A

ABC& Triángulo ABC

sen a Seno del ángulo a

cos a Coseno del ángulo a

tg a Tangente del ángulo a

$

Números y aritmética Funciones

xi Valor de un dato

fi Frecuencia absoluta de xi

hi Frecuencia relativa de xi

Fi Frecuencia absoluta acumulada de xi

Hi Frecuencia relativa acumulada de xi

N Número total de datos

x Media

Me Mediana

Mo Moda

R Recorrido

DM Desviación media

v Desviación típica

v2 Varianza

Estadística

Probabilidad

P (x) Polinomio de variable x

P (a) Valor numérico del polinomio P (x) para x = a

P (x, y) Polinomio de variable x e y

P (a, b) Valor numérico del polinomio P (x, y) para x = a e y =b

Álgebra

Geometría

Símbolos Matemáticos

Matemáticas - santillana.es · Local 11. 1.º. 07009 Palma Tel.: 971 76 08 82 Fax: 971 75 56 77 CANARIAS Las Palmas ... Santillana pone a tu disposición e-vocación, para poder

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