Matemáticas en la Enseñanza Secundaria

Cajondesastre MatematicoBadajoz, 22 de enero de 2018

Volumen 4

Sucesion de Fibonacci

c

Cajondesastre MatematicoVolumen 4

« Cajondesastre Matematico. 22 de enero de 2018

Indice general

1. Analisis y Geometrıa 11.1. Sucesiones y series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1. La sucesion de Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2. La proporcion aurea . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.3. La proporcion aurea y los Poliedros Platonicos . . 51.1.4. Productos infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.5. Ejercicios de sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2. Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.1. La funcion exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.2. La exponencial real y el logaritmo real . . . . . . . 141.2.3. Las funciones trigonometricas . . . . . . . . . . . . 151.2.4. La Funcion Zeta de Riemann . . . . . . . . . . . . 181.2.5. Funcion Zeta de Riemann y Numeros primos . . . 201.2.6. La funcion factorial . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.2.7. Ejercicios de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.3. El numero π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.3.1. Formulas para el calculo de π. . . . . . . . . . . . 27

1.4. Integracion en Matematicas y Fısica . . . . . . . . . . . . 331.4.1. Longitudes, Areas y volumenes . . . . . . . . . . . 331.4.2. Calculo de volumenes especiales . . . . . . . . . . . 351.4.3. Calculo de areas especiales . . . . . . . . . . . . . 371.4.4. Centros de masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381.4.5. Momentos de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . 431.4.6. Ejercicios de integrales . . . . . . . . . . . . . . . . 44

1.5. Problemas de Oposiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2. Problemas visuales y otros problemas 492.1. Problemas diversos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

i

ii INDICE GENERAL

3. Problemas Resueltos 79

Tema 1

Analisis y Geometrıa

1.1. Sucesiones y series

1.1.1. La sucesion de Fibonacci

Consideremos una poblacion de amebas con la siguiente propiedad.Desde su nacimiento pasan dos dias hasta que son adultas y desde esemomento todos los dıas tienen una hija.

Si aislamos en el momento de su nacimiento una ameba, ¿cuantasamebas habra el dıa n?, ¿cual es la proporcion xn, de amebas jovenes aadultas ese dıa?, a que tiende xn?.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Figura 1.1. Sucesion de Fibonacci

Hay tres tipos de amebas: las jovenes recien nacidas (en el dibujo grisclaro), las jovenes que tienen 1 dıa (gris oscuro) y las adultas (negras).Denotemos con an las amebas que hay el dıa n, entonces a1 = a2 = 1y el dıa n + 1 hay an+1 = an + (an+1 − an), de las cuales an+1 − anson gris claro (por tanto al dıa siguiente no tienen hijas) y el resto anson negras o gris oscuro y por tanto al dıa siguiente son negras y todastienen descendencia, por lo tanto el dıa n + 2 tendremos an negras, an

1

2 Tema 1. Analisis y Geometrıa

gris claro y an+1− an gris oscuro, es decir an adultas y an+1 jovenes, entotal

a1 = a2 = 1, an+2 = an+1 + an, o equivalentemente a0 = 0 y a1 = 1

esta es la llamada sucesion de Fibonacci , definida por recurrencia,

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, . . . .

Nota 1.1 La sucesion de Fibonacci aparece de forma natural en el mun-do de las abejas, cuando consideramos el numero an de ancestros degeneracion n–sima de un zangano, donde la generacion 1 es el (es decira1 = 1), la 2 es la de sus padres, la 3 la de sus abuelos, etc. Hay 3 ti-pos de abejas: La reina (hembra), las obreras (hembras) y los zanganos(machos). La reina en general es la unica hembra fertil y puede poner obien huevos sin fecundar, de los que salen los zanganos (que son fertiles),o huevos fecundados por un zangano, que es de donde salen las hembras(tanto las reinas que son fertiles, como las obreras, que en general no loson). Por tanto un zangano (Z) no tiene padre, solo tiene 1 madre quees reina (R), por tanto a2 = 1 = 1R, y esta ha tenido madre y padre,por lo que a3 = 2 = 1R + 1Z, a4 = 3 = 2R + 1Z, a5 = 5 = 3R + 2Z,a6 = 8 = 5R+ 3Z,. . .

Observemos que no solo tenemos que el numero de ancestros de ge-neracion n–sima de un zangano es an, sino que ademas esa generacionesta formada por an−1 reinas y an−2 zanganos.

Tambien esta presente en el mundo de las plantas, por ejemplo en laflor del girasol podemos contar dos colecciones de curvas unas destrogirasy otras levogiras. Estos dos numeros no son iguales y lo que es masinteresante, son dos numeros seguidos de la sucesion de Fibonacci.

Curvas levógiras en el girasol: 55

1

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

70

75

80

85

89

Curvas destrógiras en el girasol: 89

1

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

Figura 1.2. Curvas en el girasol

Veamos ahora algunas propiedades de esta sucesion:

1.1. Sucesiones y series 3

Proposicion 1.2 Para n ≥ 1 y a0 = 0

an+1an−1 − a2n = (−1)n.

Demostracion. Veamoslo por induccion en n. Para n = 1 es verdad,

a2a0 − a21 = −1,

ahora si es verdad para n veamos que tambien lo es para n+ 1

an+2an − a2n+1 = (an+1 + an)an − an+1(an + an−1)

= a2n − an+1an−1 = (−1)n+1.

Proposicion 1.3 Para n ≥ 1 y xn = an+1/an,

xn+1 − xn =(−1)n+1

anan+1.

Demostracion. Por la definicion y (1.2) se tiene

xn+1 − xn =an+2

an+1− an+1

an=an+2an − a2n+1

anan+1=

(−1)n+1

anan+1.

Proposicion 1.4 Para n ≥ 1

1 = x1 ≤ x2n−1 < x2n+1 < x2n+2 < x2n ≤ x2 = 2.

Demostracion. Por (1.3) se tiene que para k ≥ 2

xk+1 − xk−1 = xk+1 − xk + xk − xk−1 =(−1)k+1

akak+1+

(−1)k

ak−1ak

= (−1)k(

1

ak−1ak− 1

akak+1

)= (−1)k

(ak+1 − ak−1ak−1akak+1

)= (−1)k

1

ak−1ak+1,

y para k = 2n tendremos x2n+1− x2n−1 > 0 y para k = 2n+ 1, x2n+2−x2n < 0.


1.1.2. La proporcion aurea

Para todo n ≥ 1 se tiene

1 ≤ xn = 1 +1

xn−1=

2xn−2 + 1

xn−2 + 1≤ 2,

y por (1.4) la subsucesion de los terminos impares: x2n+1 es creciente yacotada superiormente por 2 y la de los pares x2n es decreciente y acotadainferiormente por 1, por tanto ambas tienen lımite x que satisface por loanterior

x =2x+ 1

x+ 1⇔ x2 − x− 1 = 0 ⇔ x =

1±√

5

2,

y como 1 ≤ x ≤ 2, solo hay una solucion x = φ = (1 +√

5)/2, que es laproporcion o seccion aurea.

Este numeroφ = (1 +

√5)/2 = 1, 615...,

tiene la siguiente propiedad: si construimos un rectangulo con proporcionde lados igual a φ y lo dividimos en un cuadrado y un rectangulo, estenuevo rectangulo tiene la misma proporcion φ.

1

1

1

ϕ

ϕ-1

Figura 1.3. Rectangulo aureo

El punto del cuadrado en la figura anterior, que esta en la base delrectangulo, se dice que divide al segmento base en media y extrema razon,entendiendo con ello que es la unica proporcion del segmento en la queel total (φ), es al mayor (1), como el mayor (1), es al menor (φ − 1),φ = 1/(φ− 1).

Ademas como φ = 1+1/φ =√

1 + φ, pues φ2 = φ+1, se demuestranfacilmente las siguientes igualdades

φ = 1 +1

1 + 11+···

=

√1 +

√1 +√

1 + · · ·,


entendiendo la primera como el lımite de ln definida por recurrencia ln =1 + 1/ln−1, para l1 = 1 y la segunda como el lımite de rn =

√1 + rn−1,

para r1 = 1.Los primeros valores de xn = an+1/an, ln y rn son:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10xn 1 2 1,5 1,6667 1,6 1,625 1,6154 1,619 1,6176 1,6182ln 1 1,5 1,4 1,4167 1,4138 1,4143 1,4142 1,4142 1,4142 1,4142rn 1 1,4142 1,5538 1,598 1,6118 1,6161 1,6174 1,6178 1,6179 1,6180

La otra solucion de x2−x−1 = 0 es χ = (1−√

5)/2 = 1−φ y ambassatisfacen xn+2 = xn+1 + xn. Del mismo modo para cualesquiera a, b,la sucesion fn = aφn + bχn satisface la formula de recurrencia inicial yla sucesion fn = an, es la nuestra si elegimos a y b que satisfagan lascondiciones iniciales a0 = 0 y a1 = 1 (o equivalentemente a1 = a2 = 1),es decir

a+ b = 0, aφ+ bχ = 1,

es decir a = 1/√

5 y b = −a, por tanto tenemos las formulas para elcalculo directo de la sucesion de Fibonacci

an =1√5

(φn − χn) =φn − χn

φ− χ.

Por otra parte como |χ| < 1, |χ|n < 1 por tanto |χ|n/√

5 < 1/2, dedonde −1/2 < ±χn/

√5 < 1/2 y para todo n ≥ 1,

φn√5− 1

2<φn√

5− χn√

5= an <

φn√5

+1

2por tanto an =

[φn√

5+

1

2

].

Ejercicio 1.1.1 Demostrar que φn = anφ+ an−1 y χn = anχ+ an−1

Ejercicio 1.1.2 Dado un rectangulo ABCD, consideramos un punto P en labase AB y otro Q en el lado AD. Demostrar que los triangulos rectangulosAPQ, PBC y QCD tienen igual area sii P divide en media y extrema razona AB y Q a AD.

1.1.3. La proporcion aurea y los Poliedros Platonicos

Figura 1.4. poliedros Platonicos


Definicion. Llamamos poliedros Platonicos a poliedros cuyas caras sonpolıgonos regulares iguales y tienen todos los angulos diedricos iguales.Solo hay 5, que son el tetraedro, formado por 4 triangulos equilateros; elhexaedro o cubo, formado por 6 cuadrados; el octaedro, formado por 8triangulos equilateros; el dodecaedro, formado por 12 pentagonos regu-lares y el icosaedro, formado por 20 triangulos equilateros.

La seccion aurea se haya presente en el dodecaedro y en el icosaedrode forma especial. En el dodecaedro porque en un pentagono la razon dedistancias entre cualquier diagonal y el lado es φ, para verlo consideremosla figura (1.5)).

αα

α

A B

C

D

EF

ϕ

Figura 1.5. Seccion aurea en el pentagono

Se tiene por simetrıa que el lado EC es paralelo al AB y por lo mismoAD es paralelo a BC, por tanto si F es la interseccion de AD y EC,tendremos que son iguales los cuatro lados AB = BC = CF = AF ,digamos que es 1 y sea x = AD. Como los triangulos ABD y EFA sonisosceles con igual angulo en el vertice α, tendremos que son semejantesy por tanto

x =AD

AB=AF

EF=

1

x− 1⇔ x2 = x+ 1 ⇔ x = φ.

Veremos a continuacion que los vertices del icosaedro son los de tresrectangulos aureos perpendiculares.

A

B C D

E

F

Figura 1.6. Existencia del Icosaedro


Teorema 1.5 El icosaedro existe.

Demostracion. Consideremos 3 rectangulos aureos (ver la Fig. (1.3,de lados 2 y 2φ, centrados en el origen y mutuamente perpendicula-res, tanto ellos como sus aristas grandes, y por tanto las pequenas, (verFig.1.6). Veamos que los 12 = 3 × 4 vertices de esta figura forman unicosaedro. Para ello basta demostrar que la distancia entre dos verticesde un mismo triedro (de los 8, ver Fig.1.6) es igual al lado pequeno delrectangulo BC = 2. Consideremos por ejemplo los vertices

A = (1, 0, φ), C = (φ, 1, 0),

cuya distancia es√

(φ− 1)2 + φ2 + 1 = 2. La envolvente convexa deestos vertices esta formada por triangulos equilateros y en cada verticehay 5. Que los angulos diedricos son iguales se sigue de las simetrıasde la figura formada por los rectangulos y de que lo son el formadopor dos triangulos con un lado comun tipo BC y el formado por dostriangulos con un lado comun tipo AC, pues son iguales las distanciasBF y AE = 2φ, ya que B = (φ,−1, 0) y F = (0, φ, 1), por tanto

BF 2 = φ2 + (φ+ 1)2 + 1 = 2φ2 + 2φ+ 2 = 4φ2.

Corolario 1.6 El dodecaedro existe.

Demostracion. Es consecuencia de la existencia del icosaedro, to-mando los puntos medios de sus caras.

1.1.4. Productos infinitos

Definicion. Dada una sucesion zn de numeros reales o complejos nonulos, sea pn = z1 · · · zn =

∏ni=1 zi. Si pn converge a un p no nulo diremos

que existe el producto infinito de los zn y lo denotaremos∏zi = p.

Teorema 1.7 Sean zn no nulos, entonces condicion necesaria y suficien-te para la existencia del producto infinito

∏zn es que para todo ε > 0

exista un N ∈ N tal que para n ≥ N y k ≥ 1, |zn+1 · · · zn+k − 1| ≤ ε, yen tal caso zn → 1.

Demostracion. ”⇒” Sea mın{|pn|} = M > 0, que existe pues pn →p y son no nulos. Ahora para todo ε > 0 existe un N ∈ N tal que paran ≥ N y k ≥ 1, |pn+k − pn| ≤ εM y dividiendo por |pn|, que es no nulo,

|zn+1 · · · zn+k − 1| ≤ εM

|pn|≤ ε


”⇐” Dado ε = 1/2, existe m tal que para n ≥ m y k ≥ 1,

|zn+1 · · · zn+k − 1| ≤ 1/2.

Consideremos la sucesion uk = zm+1 · · · zm+k y veamos que es conver-gente, para ello observemos que |uk−1| ≤ 1/2, por tanto uk ∈ (1/2, 3/2),de donde se sigue que de tener uk lımite u, es no nulo. Veamos que uk esde Cauchy, para ello sea ε > 0, entonces existe N , que podemos tomar≥ m, tal que para n ≥ N y k ≥ 1,

|zn+1 · · · zn+k − 1| ≤ ε,

por tanto

|un+k − un| = |un|∣∣∣∣un+kun

− 1

∣∣∣∣ = |un| |zm+n+1 · · · zm+n+k − 1| ≤ ε 3/2,

y el resultado se sigue pues pm+n = z1 · · · zm · un → z1 · · · zm · u.

Teorema 1.8 Sean an > 0, entonces la serie∑an es convergente sii

existe el producto infinito∏∞i=1(1 + an).

Demostracion. Consideremos las sucesiones crecientes sn =∑ni=1 ai

y pn =∏ni=1(1 + ai), entonces como 1 +x ≤ 1 +x+ x2

2 + · · · = ex, para1

x ≥ 0, tendremos que

sn ≤ pn ≤ esn ,

por tanto si una converge tambien la otra.

1.1.5. Ejercicios de sucesiones

Ejercicio 1.1.3 Recuerdese que llamamos lımites superior e inferior de unasucesion xn ∈ R, respectivamente a

lım supxn = lımxn = ınfn≥1

supm≥n

xm, lım inf xn = lımxn = supn≥1

ınfm≥n

xm.

Demostrar que: (a) lım supxn = − lım inf(−xn). (b) lım inf xn ≤ lım supxn.(c) xn converge a x sii lım inf xn = lım supxn = x ∈ R. (d) xn → ∞ siilım inf xn = lım supxn =∞. (e) xn → −∞ sii lım inf xn = lım supxn = −∞.

1Es cierto para todo ∈ R, pero aquı solo lo necesitamos para x ≥ 0


Ejercicio 1.1.4 Dadas dos sucesiones reales xn ≤ yn demostrar que

lım inf xn ≤ lım inf yn, lım supxn ≤ lım sup yn.

Ejercicio 1.1.5 Toda sucesion de numeros reales monotona (creciente o decre-ciente) es convergente sii esta acotada.

Ejercicio 1.1.6 Sean zn ∈ C. Demostrar que si la serie∑zn es absolutamente

convergente entonces es convergente.

Ejercicio 1.1.7 Sean zn ∈ C. Demostrar que si la serie∑zn es convergente

entonces zn → 0.

Ejercicio 1.1.8 (Criterio de comparacion). Sean an, bn ≥ 0. Demostrar que:(a) Si existen c,N > 0, tales que para n ≥ N , an ≤ cbn, la convergencia de∑bn implica la de

∑an. (b) Si an, bn > 0 y el lım an

bn= c 6= 0, entonces

∑bn

converge sii∑an converge. Si el lım an

bn= 0 y

∑bn converge entonces tambien∑

an.

Ejercicio 1.1.9 Demostrar que la serie geometrica,∑∞n=0 z

n para |z| < 1 esconvergente y vale 1/(1− z) y que si |z| ≥ 1, la serie es divergente.

Ejercicio 1.1.10 Demostrar el criterio del cociente, para zn ∈ C y

r = lım inf

∣∣∣∣zn+1

zn

∣∣∣∣ , R = lım sup

∣∣∣∣zn+1

zn

∣∣∣∣ .(a) Si R < 1 entonces

∑zn converge absolutamente. (b) Si r > 1 entonces∑

zn diverge.

Ejercicio 1.1.11 Demostrar el criterio de la raız, para zn ∈ C y ρ = lım sup n√|zn|:

(a) Si ρ < 1, entonces∑zn converge absolutamente. (b) Si ρ > 1, entonces∑

zn diverge.

Ejercicio 1.1.12 Sea an ∈ R una sucesion y sn = (1/n)∑ni=1 ai, demostrar

que

lım inf an ≤ lım inf sn ≤ lım sup sn ≤ lım sup an.

Ejercicio 1.1.13 Sean an > 0, demostrar que

lım infan+1

an≤ lım inf n

√an ≤ lım sup n

√an ≤ lım sup

an+1

an.


Ejercicio 1.1.14 Calcular los lımites

(1) lımn→∞

1 + 2 + 3 + · · ·+ n

n2

(2) lımn→∞

1 + x+ x2 + · · ·+ xn

xn(para x > 1).

(3) lımn→∞

(nm

)nm

(4) lımn→∞

n√n.

.

Ejercicio 1.1.15 Calcular el valor de la serie∑∞n=1 r

n, para 0 < r < 1 y daruna interpretacion geometrica para las series

(a)

∞∑n=1

1

2n, (b)

∞∑n=1

1

4n, (c)

∞∑n=1

1

8n.

Ejercicio 1.1.16 Calcular el lımite de la sucesion:

a1 =√

2, a2 =

√2 +√

2, a3 =

√2 +

√2 +√

2, · · ·

Ejercicio 1.1.17 ¿Cuanto puede sobresalir un libro en una pila de libros, po-niendo tantos como se quiera?.

Ejercicio 1.1.18 Sean ai, bi, i = 1, . . . , n, numeros no negativos. Probar que

n√a1 · · · an + n

√b1 · · · bn ≤ n

√(a1 + b1) · · · (an + bn).

Ejercicio 1.1.19 Demostrar que para n ≥ 3

nn+1 > (n+ 1)n.

Ejercicio 1.1.20 Demostrar que si n es par

cos2π

n+ · · ·+ cos(n− 1)

2π

n+ 1 = 0,

sin2π

n+ · · ·+ sin(n− 1)

2π

n= 0.

Ejercicio 1.1.21 Sean x1 ≤ x2 ≤ · · · ≤ xn e y1 ≤ y2 ≤ · · · ≤ yn numeros realesy sea σ una permutacion de los n primeros naturales. Demostrar que

n∑i=1

xn+1−iyi ≤n∑i=1

xσ(i)yi ≤n∑i=1

xiyi.

1.2. Funciones 11

Ejercicio 1.1.22 Demostrar que (ver el ejercicio (1.4.29))

(1 + 2 + · · ·+ n)2 = 1 + 23 + · · ·+ n3.

Ejercicio 1.1.23 Sean 0 < r1 < r2 < · · · < rm ∈ R y 0 < ni ∈ R, parai = 1, . . . ,m. Demostrar que (0, 0) y los m puntos (xi, yi) ∈ R2, siendo

xi =

∑ij=1 nj∑mj=1 nj

, yi =

∑ij=1 njrj∑mj=1 njrj

,

definen una poligonal convexa que une (0, 0) con (1, 1).

Ejercicio 1.1.24 Demostrar que a2, b2, c2 estan en progresion aritmetica sii loestan los inversos de b+ c, a+ c, a+ b.

Ejercicio 1.1.25 Demostrar que dos numeros complejos z1, z2, definen un trian-gulo isosceles con angulo α en 0 y lados iguales los definidos por ellos si y solosi

z21 + z22 = 2z1z2 cosα.

.

Ejercicio 1.1.26 Demostrar que tres numeros complejos z1, z2, z3 forman untriangulo equilatero si y solo si

z21 + z22 + z23 = z1z2 + z1z3 + z2z3.

.

Ejercicio 1.1.27 Demostrar que tres numeros complejos z1, z2, z3 forman untriangulo rectangulo e isosceles, con angulo recto en z3, si y solo si

(z1 − z3)2 + (z2 − z3)2 = 0.

.

1.2. Funciones

1.2.1. La funcion exponencial

Definicion. Definimos la funcion exponencial compleja exp: C→ C

exp(z) =

∞∑n=0

zn

n!.


Ejercicio 1.2.1 Demostrar que para todo x ∈ R, lım xn

n!= 0.

Ejercicio 1.2.2 Demostrar que n√n! =∞.

Ejercicio 1.2.3 Demostrar que para z ∈ C, la serie∑∞n=0

zn

n!es absolutamente

convergente y la convergencia es uniforme en todo acotado de C y que exp(0) =1.

Lema 1.9 (Teorema De Martens) Sean an, bn ∈ C y ci =∑ij=0 ajbi−j.

Si∑∞n=0 an es absolutamente convergente y

∑∞n=0 bn es convergente,

entonces la serie de cn es convergente y vale

∞∑n=0

cn =

∞∑n=0

n∑j=0

ajbn−j =

( ∞∑n=0

an

)( ∞∑n=0

bn

).

Demostracion. Sean An =∑ni=0 ai, Bn =

∑ni=0 bi, An → A y

Bn → B. Ahora considerando bk = 0, para k < 0,

Cn :=

n∑i=0

ci =

n∑i=0

i∑j=0

ajbi−j =

n∑i=0

n∑j=0

ajbi−j

=

n∑j=0

n∑i=0

ajbi−j =

n∑j=0

n∑i=j

ajbi−j =

n∑j=0

aj

n−j∑i=0

bi =

n∑j=0

ajBn−j

por tanto

|Cn −AB| ≤ |n∑j=0

ajBn−j −Bn∑j=0

aj |+ |Bn∑j=0

aj −AB|

≤n∑j=0

|aj ||Bn−j −B|+ |B||n∑j=0

aj −A|,

y como el segundo sumando converge a 0, basta demostrar que tambienel primero. Ahora bien |Bn − B| → 0, por tanto existe p ∈ R, tal quepara todo n, |Bn − B| ≤ p. Sea k =

∑|an| y dado ε > 0, sea N ∈ N,

tal que para m ≥ N , |Bm − B| ≤ ε/(2k) y∑∞N+1 |am| ≤ ε/2p, entonces

para n ≥ 2N ,

n∑j=0

|aj ||Bn−j −B| =N∑j=0

|aj ||Bn−j −B|+n∑

j=N+1

|aj ||Bn−j −B| ≤ ε.

1.2. Funciones 13

Corolario 1.10 Si las series son absolutamente convergentes( ∞∑n=0

a1,n

)· · ·

( ∞∑n=0

am,n

)=

=

∞∑n=0

n∑im−1=0

im−1∑im−2=0

· · ·i2∑i1=0

a1,i1a2,i2−i1 · · · am,n−im−1 .

Demostracion. Por induccion.

Teorema 1.11 Para a, b ∈ C se verifica que

exp(a+ b) = exp(a) · exp(b).

Demostracion. Se sigue del Teorema de Martens (1.9) que paraan = an/n!, bn = bn/n! y cn =

∑ni=0 aibn−i,

exp(a) exp(b) =

∞∑k=0

ak

∞∑m=0

bm =

∞∑n=0

cn

=

∞∑n=0

n∑i=0

ai

i!

bn−i

(n− i)!=

∞∑n=0

(a+ b)n

n!= exp(a+ b).

Definicion. Definimos el numero

e = exp(1) =

∞∑n=0

1

n!= 2, 71828...

Se demuestra que (ver los ejercicios 1.2.6 y 1.2.7)

lımn→∞

(1 +

1

n

)n= lımn→∞

(1− 1

n

)−n= lım

nn√n!

= e

y si llamamos sn a la suma parcial n–sima de la definicion de e, y ln,rn, tn a las sucesiones anteriores damos a continuacion los 10 primerosvalores de las cuatro

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

sn 2. 2,5 2,6667 2,7083 2,7167 2,7181 2,7182 2,7183 2,7183 2,7183ln 2. 2,25 2,3704 2,4414 2,4883 2,5216 2,5465 2,5658 2,5812 2,5937rn 4. 3,375 3,1605 3,0518 2,9860 2,9419 2,9103 2,8865 2,8680tn 1. 1,4142 1,6510 1,8072 1,9193 2,0041 2,071 2,1252 2,1702 2,2081

Proposicion 1.12 Para cada z ∈ C, exp(z) 6= 0 y exp′(z) = exp(z).


Demostracion. Lo primero porque exp(z) exp(−z) = exp(0) = 1.Para ver la derivada observemos que

exp(h)− 1

h=

∞∑n=1

hn−1

n!

y esta serie converge (por el criterio del cociente) absoluta y uniforme-mente en los compactos, por tanto define una funcion continua que enh = 0 vale 1. Por tanto

exp′(z) = lımh→0

exp(z + h)− exp(z)

h= exp(z) lım

h→0

exp(h)− 1

h= exp(z).

1.2.2. La exponencial real y el logaritmo real

Proposicion 1.13 Para x ∈ R, exp(x) > 0 y define una funcion crecientetal que exp′(x) = exp(x) y

lımx→∞

exp(x) =∞, lımx→−∞

exp(x) = 0,

por tanto exp: R→ (0,∞) es una biyeccion.

Demostracion. Como exp(x) exp(−x) = 1, basta demostrar que escreciente para x ≥ 0, y de la definicion se tiene que en esos puntos escreciente por serlo para cada n, xn; ahora como 1 = exp(0) < exp(1) = e,exp(n) = en →∞ y se tiene el primer lımite. El segundo se sigue de queexp(x) = 1/ exp(−x).

Definicion. Definimos la funcion logaritmo neperiano

ln : (0,∞)→ R,

como la inversa de la exponencial real, que tambien es biyectiva por tanto

x = exp(lnx) = ln(exp(x)),

y su derivada se obtiene de la formula anterior por la regla de la cadena

1 = exp(lnx) ln′(x) = x ln′(x) ⇒ ln′(x) =1

x.

El logaritmo es creciente y tiene las siguientes propiedades que heredade la exponencial:

1.2. Funciones 15

(i) ln(1) = 0, ln(e) = 1, lımx→0+ ln(x) = −∞, lımx→∞ ln(x) =∞.(ii) Para 0 < a, b

ln(a b) = ln(exp(ln(a)) exp(ln(b)) = ln(exp(ln(a)+ln(b))) = ln(a)+ln(b).

(iii) Para a > 0 y b = 1/a

0 = ln(a a−1) = ln(a) + ln(a−1) ⇒ ln(a−1) = − ln(a).

(iv) Para a > 0 y n ∈ Z, ln(an) = n ln(a) y para b = an, ln(b) =n ln(b1/n), de donde que para q = m/n ∈ Q

ln(aq) = ln(amn ) =

m

nln(a) = q ln(a) ⇔ aq = exp (q ln a) ,

lo cual nos sugiere la siguiente definicion.

Definicion. Dado a > 0 y x ∈ R definimos

ax = exp (x ln(a)) .

En particular tendremos que para x ∈ R

ex = exp (x ln(e)) = exp(x).

Definicion. Denotaremos para z ∈ C, ez = exp(z)

Por la definicion ez = ez, por tanto para x ∈ R,

1 = eix−ix = eix eix = | eix |2,

de donde | eix | = 1.

1.2.3. Las funciones trigonometricas

Definicion. Para x ∈ R, definimos las funciones seno y coseno,

senx = Im eix, cosx = Re eix .

por tanto se tiene sen2 x+ cos2 x = 1 y la Identidad de Euler

eix = cosx+ i senx.

y derivando en esta igualdad respecto de x, tendremos

i(cosx+ i senx) = i eix = (eix)′ = cos′(x) + i sen′(x).


por tanto

cos′(x) = − sen(x), sen′(x) = cos(x).

Ademas separando parte real e imaginaria

cosx+ i senx = eix =

∞∑n=0

inxn

n!=

∞∑n=0

i2nx2n

(2n)!+

∞∑n=1

i2n−1x2n−1

(2n− 1)!,

se tienen las igualdades

cosx =

∞∑n=0

(−1)nx2n

(2n)!, senx =

∞∑n=1

(−1)n+1x2n−1

(2n− 1)!,

para las que cos 0 = 1 y sen 0 = 0. Ahora consideremos x = 2, entonces

cos 2 = 1− 22

2!+

24

4!− 26

6!+

28

8!+ · · · ,

y los terminos de la serie a partir del tercero en modulo decrecen y tienensignos alternados, por tanto su suma es negativa de donde

cos 2 < 1− 22

2!+

24

4!= −1

3< 0,

y como cos 0 = 1, existe un mınimo t0 > 0 en el que cos t0 = 0. Definimos

π = 2t0.

y como cosx > 0, en [0, t0), tendremos que sen′(x) = cos(x) > 0 enestos puntos, por tanto sen t0 > 0 y como sen2(t0) = 1, tendremos quesen(t0) = 1 y se tiene

eπi2 = cos(t0) + i sen(t0) = i, eπi = −1, e2πi = 1.

1.2. Funciones 17

Ademas tambien se tiene que

ei(x+2π) = cos(x+ 2π) + i sen(x+ 2π) = eix = cos(x) + i sen(x) ⇒cos(x+ 2π) = cos(x), sen(x+ 2π) = sen(x),

eix = cos(x)− i sen(x) = e−ix = cos(−x) + i sen(−x) ⇒cos(−x) = cos(x), sen(−x) = − sen(x),

ei(a+b) = cos(a+ b) + i sen(a+ b) = eia eib

= (cos(a) + i sen(a))(cos(b) + i sen(b)) ⇒cos(a+ b) = cos(a) cos(b)− sen(a) sen(b),

sen(a+ b) = sen(a) cos(b) + cos(a) sen(b) ⇒0 = cos(π/2) = cos(π/4 + π/4) = cos2(π/4)− sen2(π/4) ⇒

cos(π/4) = sen(π/4),

pues ambos son positivos.Definimos la funcion tangente en (−π/2, π/2) = (−t0, t0)

tan: (−π/2, π/2)→ R, tan(x) =sen(x)

cos(x)

para la que tan(π/4) = 1 y es estrictamente creciente pues

tan′(x) =cos2(x) + sen2(x)

cos2(x)= 1 + tan2(x) ≥ 1,

ademas lımx→π/2 tan(x) =∞ y lımx→−π/2 tan(x) = −∞, por tanto tieneinversa que llamamos arco tangente,

arctan: R→ (−π/2, π/2),

para la que arctan(0) = 0 y arctan(1) = π/4, ademas x = tan[arctan(x)]y derivando

1 = tan′[arctan(x)] arctan′[x] = (1+x2) arctan′[x] ⇒ arctan′[x] =1

1 + x2,

por lo tanto

(1.1)

∫ 1

0

dx

1 + x2=π

4.


Ejercicio 1.2.4 Demostrar que la probabilidad de las permutaciones de {1, 2, . . . , n},que no tienen ningun numero en su sitio es

n∑i=0

(−1)i

i!,

y por tanto cuando n→∞ converge a 1/e.

Ejercicio 1.2.5 Demostrar que la primera sucesion es creciente y la segundadecreciente y ambas acotadas(

1 +1

n

)n,

(1− 1

n

)−n.

Ejercicio 1.2.6 Demostrar que

lımn→∞

(1 +

1

n

)n= lımn→∞

(1− 1

n

)−n= lım|an|→∞

(1 +

1

an

)an= e .

Ejercicio 1.2.7 Demostrar que

lımnn√n!

= e.

Ejercicio 1.2.8 Demostrar que e es irracional.

1.2.4. La Funcion Zeta de Riemann

Teorema 1.14 (Criterio de la integral) Sea f : [1,∞) → (0,∞) decre-ciente y continua y sean para n ∈ N,

an = f(n), tn =

∫ n

1

f(x) dx,

entonces la serie∑an converge (diverge) sii la sucesion tn converge

(diverge).

Demostracion. Ambas sucesiones sn =∑ni=1 ai y tn son crecientes,

por tanto convergentes sii estan acotadas. Ahora bien para cada i yx ∈ [i − 1, i) tendremos que ai = f(i) ≤ f(x) ≤ f(i − 1) = ai−1, portanto integrando en ese intervalo y sumando

sn − a1 =

n∑i=2

ai ≤n∑i=2

∫ i

i−1f(x) dx = tn ≤

n∑i=2

ai−1 = sn−1,

y el resultado se sigue.

1.2. Funciones 19

Definicion. Definimos la funcion zeta de Riemann en los s ∈ (1,∞)como

ζ(s) =

∞∑n=1

1

ns.

Para ello habra que ver que la serie es convergente, lo cual se sigue delcriterio de la integral (1.14), pues f(x) = x−s es decreciente y continuay para s > 1

tn =

∫ n

1

x−s dx =

∫ n

1

(x1−s)′

1− sdx =

1− n1−s

s− 1,

es convergente.Observemos que para s = 1 la serie que define ζ(1) es la llamada

serie armonica∞∑n=1

1

n,

que es divergente por el mismo criterio y la misma funcion f(x) = 1/x,pues en este caso

tn =

∫ n

1

x−1 dx = log n,

es divergente. Sin embargo se tiene que

lıms→1+

(s− 1)ζ(s) = 1,

pues

1

s− 1=

∫ ∞1

dx

xs≤∞∑n=1

1

ns< 1 +

∫ ∞1

dx

xs= 1 +

1

s− 1.

Esta serie es convergente en el plano complejo para Re(z) > 1, pues|niy| = 1 y la funcion que define se puede extender, de forma unicaanalıtica, al plano complejo sin el 1, C\{1}. Paradojicamente esta funcionen −1 vale ζ(−1) = −1/12, lo cual no puede calcularse mediante la seriepues esta darıa la suma de los naturales, que obviamente es ∞. Por otraparte esta funcion analıtica se anula en los pares negativos y la famosaHipotesis de Riemann asegura que el resto de ceros estan en la rectaRe(z) = 1/2. Veremos en la pag. 32, que para s = 2 se tiene que

ζ(2) =

∞∑n=1

1

n2=π2

6.


1.2.5. Funcion Zeta de Riemann y Numeros primos

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Figura 1.7. Los primos son los unicos en los que se cortan solo dos curvas

Denotemos con P = {qn} ⊂ N el conjunto ordenado de los numerosprimos. Recordemos el resultado fundamental siguiente.

Teorema 1.15 Todo natural n > 1 se expresa de modo unico como pro-ducto de primos k1 · · · km, con ki ≤ ki+1, para 1 ≤ i ≤ m− 1.

Demostracion. Por induccion en n. Para n = 2 es obvio. Si n esprimo es obvio y si no lo es, es un producto n = ab, con a y b menoresque n, y por induccion producto de primos, en definitiva n es productode primos. Veamos que la descomposicion es unica si esta ordenada.Supongamos que tenemos dos descomposiciones en producto de primosordenados

n = k1 · · · km = r1 · · · rk,

entonces k1 divide a n por tanto es alguno de los ri y debe ser r1 porquepor la misma razon r1 es uno de los ki, por tanto dividiendo por el,k2 · · · km = r2 · · · rk y repitiendo el razonamiento se tiene que m = k yri = ki.

Se tiene la siguiente expresion, debida a Euler, de la funcion Zeta deRiemann en terminos de los numeros primos.

Teorema 1.16 Para cada s ∈ (1,∞), se tiene (ver 1.2.4)

ζ(s) =

∞∑n=1

1

ns=

∞∏n=1

1

1− q−sn.

1.2. Funciones 21

Demostracion. Consideremos la sucesion de productos finitos, quedesarrollamos utilizando (1.10), denotando ai = q−si < 1,

pm =1

1− q−s1

· · · 1

1− q−sm=

( ∞∑n=0

an1

)· · ·

( ∞∑n=0

anm

)

=

∞∑n=0

n∑im−1=0

im−1∑im−2=0

· · ·i2∑i1=0

ai11 ai2−i12 · · · an−im−1

m

=

∞∑n=0

n∑im−1=0

im−1∑im−2=0

· · ·i2∑i1=0

1(qi11 q

i2−i12 · · · qn−im−1

m

)s=∑k∈Nm

1

ks,

donde Nm es el conjunto de los naturales k, cuyos factores primos sonmenores o iguales que qm, ahora tenemos que

0 ≤ ζ(s)− pm =

∞∑n=1

1

ns−∑n∈Nm

1

ns=

∑n∈N\Nm

1

ns≤∑n>qm

1

ns,

pues N\Nm son los naturales que tienen algun factor primo mayor queqm y lo ultimo converge a 0, cuando m→∞, pues la serie es convergente.

1.2.6. La funcion factorial

Definicion. Definimos la funcion factorial2

Π: (−1,∞)→ R, Π(t) =

∫(0,∞)

e−xxt dm.

Teorema 1.17 La funcion factorial es de clase infinito y verifica: Π(0) =1, Π(−1/2) =

√π y que Π(t) = t · Π(t − 1) para t > −1; por tanto

Π(n) = n!, para n ∈ N.

2Parece ser (ver Ivorra, pag.283) que el descubridor de esta funcion fue Euler,siendo de Gauss la notacion Π para ella y que es de Legendre la funcion Gamma,Γ(t) = Π(t− 1),

Γ: (0,∞)→ (0,∞), Γ(t) =

∫(0,∞)

e−xxt−1 dm,

que es mas habitual.


Demostracion. Como el comportamiento del integrando es distintoen (0, 1) que en (1,∞) consideramos f(t, x) = e−xxt y las funciones

Π1(t) =

∫(0,1)

f(t, x) dm, Π2(t) =

∫(1,∞)

f(t, x) dm,

por tanto como Π = Π1 + Π2, basta ver que las Πi son de clase infinitoen cada intervalo (a, b) con −1 < a, para lo cual tenemos que probar quepara k ≥ 0 las ∂kf/∂tk = e−xxt(log x)k estan acotadas por una funcionintegrable para todo t ∈ (a, b).

Para 0 < x < 1, log x < 0 y xr = er log x es decreciente en r y sit ∈ (a, b), xb < xt < xa, por tanto como | log x| = − log x = log x−1,tendremos que para todo t ∈ (a, b)

|e−xxt(log x)k| ≤ xa(log x−1

)k,

y la funcion de la derecha es integrable, por lo tanto π1 es de claseinfinito.

Para 1 < x, log x > 0 y xr = er log x es creciente, por tanto si t ∈ (a, b),xa < xt < xb. Ademas como 0 < log x < x,

e−x xt logn x ≤ e−x xb logn x ≤ e−x xb+n

siendo la ultima funcion integrable.Por ultimo derivando e−x xt, respecto de x (para t > 0), e integrando

se tiene que

0 = e−x xt]∞0

= −∫(0,∞)

e−x xt + t

∫(0,∞)

e−x xt−1 = −Π(t) + tΠ(t− 1),

ahora bien Π(0) = 1, por tanto Π(n) = n! y haciendo el cambio y2 = x,se puede demostrar que Γ(1/2) = Π(−1/2) =

√π.

1.2.7. Ejercicios de funciones

Ejercicio 1.2.9 Estudiar la funcion x1/x. ¿Cual es mayor eπ o πe?.

Ejercicio 1.2.10 Demostrar que existe un unico y > 0, tal que para todo x > 0,xy < yx.

Ejercicio 1.2.11 Dada la funcion definida en (0,∞), f(x) =(1 + 1

x

)x: (a)

Calcular lımx→0+ f(x). (b) Demostrar que f ′(x) > 0 para todo x. (c) Calcularlımx→∞ f(x) y (d) calcular lımx→0+ f

′(x).

1.2. Funciones 23

Ejercicio 1.2.12 Sean f , g y h tres funciones reales tales que f ′ = g, g′ = h yh′ = f . Demostrar que f3 + g3 + h3 − 3fgh es constante.

Ejercicio 1.2.13 Sea f : [0, 1] → R una funcion continua tal que f(0) = f(1).a) Probar que existe x ∈ [0, 1/2], tal que f(x) = f(x + 1/2). b) Probar quepara todo numero natural n, existe x ∈ [0, 1−1/n], tal que f(x) = f(x+1/n).c) Demostrar que si se recorren 20 Km. en 4 horas, hay un intervalo de tiempode una hora durante el cual se recorren exactamente 5 Km.

Ejercicio 1.2.14 Dar una demostracion geometrica y una analıtica de lımx→0sen xx

=1 y calcular el

lımx→0

1− cosx

x.

Ejercicio 1.2.15 Demostrar que si h ∈ C∞(R), y h(0) = 0, entonces existe unaunica funcion f ∈ C∞(R), tal que h(x) = f(x)x.

Ejercicio 1.2.16 Demostrar que h ∈ C∞(R), para la funcion

h(x) =senx

x,

para x 6= 0 y h(0) = 1.

Ejercicio 1.2.17 Sea f una funcion tal que f ′(x) = f(x)/x. Calcular cuantovale sabiendo que f(2) = 1

Ejercicio 1.2.18 Dados los puntos A = (0, a) y B = (c, b), con a > 0 y b < 0,encontrar el punto (x, 0), para el que el tiempo que se tarda de A a B pasandopor (x, 0) es mınimo, sabiendo que las velocidades v1 en y > 0 y v2 en y < 0,son constantes.

Ejercicio 1.2.19 Calcular en forma binomica

(1− i)m+2n

(1 + i)m= a+ bi

en funcion de n y m.

Ejercicio 1.2.20 Demostrar que para cualesquiera x, y ∈ R,

| senx− sen y| ≤ |x− y|.


Ejercicio 1.2.21 Consideremos la funcion f(x) = x+k−c senx, para c ∈ (0, 1)y k ∈ R. Demostrar que f tiene una unica raız, que los puntos de inflexionde su grafica (i.e en los que f ′ 6= 0 y f ′′ = 0) estan alineados e igualmenteespaciados, que la sucesion xn+1 = xn − f(xn) con x0 arbitrario, tiene lımitey darlo y que la serie

∑f(xn) es convergente y dar su valor.

Ejercicio 1.2.22 (i) Sea c > 0. Calcular el lımite de la sucesion definida porinduccion:

a1 =√c, an+1 =

√c+ an.

(ii) ¿Es continua en 0 la funcion definida en [0,∞)

f(x) =

√x+

√x+√x+ · · · ?

Ejercicio 1.2.23 Queremos hacer una caja con un carton cuadrado de 1 metrode lado, para ello cortamos las esquinas en forma de cuadrado y levantamoslas 4 solapas que quedan para formar las caras de la caja. ¿Que longitud debetener el lado del cuadrado para que la caja tenga maximo volumen?

Ejercicio 1.2.24 Existen polinomios unicos, con coeficientes enteros pn(x) ∈Z[x], para n ∈ Z para los que

xn +1

xn= pn(x+

1

x).

Ademas pn ◦ pm = pnm.

Ejercicio 1.2.25 Sea f : R→ R una aplicacion tal que para cualesquiera x, y ∈R, |f(x)− f(y)| ≤ |x− y| y f [f [f(0)]] = 0. Demostrar que f(0) = 0.

Ejercicio 1.2.26 Sean a, x ∈ (0, 1). Demostrar que 1−ax1−a > x.

Ejercicio 1.2.27 Dada una funcion derivable en 0, f : R→ R, tal que f(x/2) =f(x)/2. Probar que f(x) = xf(1).

Ejercicio 1.2.28 Dada una funcion continua f : [0, 1]→ R, derivable en (0, 1),tal que f(0) = 0 y f(1) = 1, demostrar que para cada n ∈ N, existen x1 <. . . < xn ∈ (0, 1) tales que ∑

f ′(xi) = n.

Ejercicio 1.2.29 Sea f : R → [0, 1] de clase 2. Probar que existe un x ∈ R talque f ′′(x) = 0.

1.2. Funciones 25

Ejercicio 1.2.30 Demostrar que toda funcion convexa en un intervalo abiertode R es continua.

Ejercicio 1.2.31 Demostrar que la proyeccion estereografica desde el polo dela esfera al plano del ecuador conserva angulos y transforma circunferenciasen circunferencias o rectas.

Ejercicio 1.2.32 Demostrar que la aplicacion τ = πQ ◦ π−1P : R2 → R2, com-

posicion de la inversa de la proyeccion estereografica desde un polo P , con laproyeccion estereografica desde el otro polo Q, es la inversion respecto de lacircunferencia del ecuador.

P

Q

A

B

O A'

Figura 1.8.

Ejercicio 1.2.33 Demostrar que la inversion respecto de una circunferenciaconserva angulos y lleva circunferencias que no pasan por el centro en circun-ferencias y las que pasan por el centro en rectas.

Ejercicio 1.2.34 Demostrar que la ecuacion

(x− 1) ex = (x+ 1) e−x,

tiene solo dos raıces reales y son simetricas respecto del origen.

Ejercicio 1.2.35 Dado un polinomio P (z), en C, con raıces α1, . . . , αn, deno-tamos con c1(P ) el centro de masa de sus n raıces, con c2(P ) el de los

(n2

)productos αiαj , de cada dos de sus raıces y en general con ck(P ) el de sus

(nk

)productos de k de sus raıces. Demostrar que para su derivada P ′(z)

c1(P ) = c1(P ′), . . . , cn−1(P ) = cn−1(P ′).

Ejercicio 1.2.36 Dado un polinomio p(x) =∑mix

i con coeficientes enteros,se considera cualquier entero m y su imagen n = p(m); y en el plano de lagrafica se construye la maya cuadrada, de lado n, definida por el segmento deextremos el punto elegido y su imagen, es decir en coordenadas por (m, 0) y(m,n). Probar que todas las rectas verticales de la maya cortan la grafica delpolinomio en nodos de la maya.


Ejercicio 1.2.37 Demostrar que no existe un polinomio p(x) =∑mix

i concoeficientes enteros, cuya imagen sea el conjunto de los primos.

Ejercicio 1.2.38 (Analisis) Dado un polinomio complejo P (z), demostrar quelas raıces de P ′ estan en la envolvente convexa de las raıces de P .

(Geometrıa) Demostrar que si para cada punto z consideramos la inversionz′i de los zi respecto de una circunferencia centrada en z, entonces z es raız deP ′ sii es el baricentro de los z′i.

(Fısica) Y si consideremos la funcion armonica en el plano que dependede ρ, u = log ρ y la fuerza correspondiente gravitatoria plana con una masaatractora en el origen

F = − gradu = −ux∂x − uy∂y = − x

ρ2∂x −

y

ρ2∂y,

y consideramos las fuerzas de este tipo Fi debidas a varias masas iguales fijasen los puntos zi, tendremos que z es una raız de P ′ sii

∑Fi = 0 en z.

Ejercicio 1.2.39 Un planeta de radio 2r del mismo material que la Tierra,tiene un hueco esferico, concentrico, de radio r. El planeta tiene un agujero,que lo atraviesa diametralmente, por el que dejamos caer una piedra. ¿Cuantotiempo tarda en recorrer el diametro del hueco?. ¿Cuanto tarda en recorrer eldiametro total del planeta?. Se supone que el radio de la tierra es R = 6371km y que la aceleracion de la gravedad en la tierra es g = 9, 78 m/seg2.

1.3. El numero π

Recordemos algunas de las propiedades fundamentales del numero π:(i) π es la razon de la longitud de la circunferencia a su diametro.

d

Figura 1.9.

(ii) π es la razon del area del circulo al del cuadrado de lado su radio.

Figura 1.10.

1.3. El numero π 27

(iii) π es la razon del area de una esfera al del cuadrado de lado sudiametro.

Figura 1.11.

iv) π es la razon del volumen de una esfera a 4/3 del volumen delcubo de lado su radio.

Figura 1.12.

1.3.1. Formulas para el calculo de π.

(1) Considerese una parabola y = x2 + cx+ d

Figura 1.13.

demosle la vuelta y coloquemosla entre los puntos a < b que queramosdel eje x

y = (x− a)(b− x),

a b

Figura 1.14.

consideremos la raız de la funcion que define entre esos puntos en los quees positiva. Obtenemos una semicircunferencia de diametro b− a = 2r ycentro c = (a+ b)/2

y =√

(x− a)(b− x) ⇒ y2+x2 = (a+b)x−ab ⇔ (x−c)2+y2 = r2.


a b

Figura 1.15.

consideremos la inversa de esta, la cual se va a∞ en los extremos de esediametro.

a b

Figura 1.16.

El area subyacente a esta curva es constante e igual a π, pues paray = r sen θ.∫ b

a

1√(x− a)(b− x)

dx =

∫ b

a

1√r2 − (x− c)2

dx =

∫ r

−r

1√r2 − y2

dy

=

∫ π/2

−π/2

r cos θ√r2 − r2 sen2 θ

dθ = π.

(2)

(1.2) 2

∫ 1

−1

√1− x2 dx = π,

pues para I = [−π/2, π/2],

0 =

∫I

(sen t cos t)′ dt =

∫I

cos2 t dt−∫I

sen2 t dt

y haciendo el cambio x = sen t

2

∫ 1

−1

√1− x2 dx =

∫I

cos2 t dt+

∫I

sen2 t dt = π.

(3) Formula de Leibniz–Gregory. Sea

sn =

n∑m=0

(−1)mx2m = 1− x2 + x4 + · · ·+ (−1)nx2n,


entonces

(x2 + 1)sn = x2sn + sn = 1 + (−1)nx2(n+1),

por tanto para todo a > 0∫ a

0

sn dx =

∫ a

0

dx

1 + x2+ (−1)n

∫ a

0

x2(n+1)

x2 + 1dx

n∑m=0

(−1)ma2m+1

2m+ 1= arctan(a) + (−1)n

∫ a

0

x2(n+1)

x2 + 1dx,

(ver la pag. 17); y como∣∣∣∣∫ a

0

x2(n+1)

x2 + 1dx

∣∣∣∣ ≤ ∫ a

0

x2n+2 dx =a2n+3

2n+ 3,

y para a ≤ 1, tomando lımites tendremos

∞∑m=0

(−1)ma2m+1

2m+ 1= arctan(a).

en particular para a = 1, tendremos la Formula de Leibniz–Gregory

∞∑m=0

(−1)m

2m+ 1=π

4,

es decir

(1.3) 1− 1

3+

1

5− 1

7+

1

9− 1

11+ · · · = π

4.

-1/31

-1/7

-1/11

+1/5

+1/9

/4π1

Figura 1.17.


(4) La serie (1.3) aunque elegante, es muy lenta, sin embargo utili-zando los mismos argumentos, tenemos otra forma de calcular π a travesde una serie mas rapida que la anterior considerando la igualdad

arctan(1) = arctan(1/2) + arctan(1/3),

abc

d

Figura 1.18.

lo cual es obvio observando la figura (1.18), pues a = b+d y d = c, dadoque tan(c) = 1/3 = tan(d). Por lo tanto

π

4= a = b+ c = arctan(1/2) + arctan(1/3)

=

∞∑m=0

(−1)m

22m+1(2m+ 1)+

∞∑m=0

(−1)m

32m+1(2m− 1)

=

∞∑m=0

(−1)m(

1

22m+1(2m− 1)+

1

32m+1(2m− 1)

).

Si llamamos tn a la suma parcial de esta serie, los 8 primeros valoresde ambas sumas parciales son

1 2 3 4 5 6 7 84sn 4 2,66 3,466 2,895 3,3396 2,9760 3,2837 3,01714tn 3,3333 3,11 3,145 3,140 3,1417 3,1415 3,1416 3,14159

(5) Calculo de π mediante Series de Fourier.

Teorema 1.18 El conjunto de funciones de [−π, π], para n = 1, 2, . . .

φ0(x) =1√2, φn(x) = cosnx, ϕn(x) = sennx,

es ortonormal, con el producto interior

< f, g >=1

π

∫ π

−πf(x)g(x)dx.


Demostracion. Por una parte < φn, ϕm >= 0, porque φnϕm es unafuncion impar y por otra si denotamos con un cualquiera de las funcionesφn o ϕn, entonces se tiene que

u′′n = −n2un, un(π) = un(−π), u′n(π) = u′n(−π),

y para n 6= m se sigue que

(m2 − n2)

∫ π

−πunum =

∫ π

−πu′′num − u′′mun

=

∫ π

−π(u′num − u′mun)′ = [u′num − u′mun]π−π = 0.

Por otro lado tienen norma 1 pues

(sen(nx) cos(nx))′ = n cos2(nx)− n sen2(nx),

e integrando tenemos que∫ π−π cos2 nx =

∫ π−π sen2 nx, por tanto

1 =1

2π

∫ π

−π(cos2 nx+ sen2 nx) =

1

π

∫ π

−πcos2 nx.

Ademas estas funciones son base del espacio de Hilbert L2[−π, π], es-pacio cociente de L2[−π, π] (funciones Borel medibles de cuadrado inte-grable) con la relacion de equivalencia dada por la igualdad de funcionessalvo en un conjunto de medida nula. Es decir que el menor subespaciocerrado que las contiene es el total.

Toda u de esta clase tiene una serie de Fourier

u =

∞∑n=0

anφn +

∞∑n=1

bnϕn,

donde la serie se entiende como el lımite de las sumas parciales con lanorma que induce el producto interior y los coeficientes de Fourier an ybn de u, vienen dados por

a0 =< u, φ0 >=1

π√

2

∫ π

−πu(x)dx,

an =< u, φn >=1

π

∫ π

−πu(x) cosnx dx,

bn =< u,ϕn >=1

π

∫ π

−πu(x) sennxdx,


ademas se tiene la igualdad de Parseval, que no es otra cosa que elteorema de Pitagoras infinito dimensional

‖u‖2 =< u, u >=1

π

∫ π

−πu2(x)dx =

∞∑n=0

a2n +

∞∑n=1

b2n.

En el caso particular de que u, sea impar, es decir u(−x) = −u(x),se tendra que los an = 0 y por tanto

‖u‖2 =

∞∑n=1

b2n.

Por ejemplo si consideramos la funcion u(x) = x en [−π, π], que esimpar tendremos que

‖u‖2 =2

π

∫ π

0

x2 dx =2π2

3

bn =2

π

∫ π

0

x sennxdx =2

π

[ sennx

n2− x cosnx

n

]π0

=2(−1)n+1

n,

y en definitiva tendremos que b2n = 4/n2 y podemos calcular

(1.4) ζ(2) =∞∑n=1

1

n2=

1

4

∞∑n=1

b2n =1

4‖u‖2 =

π2

6,

lo cual a su vez nos da otra vıa para el calculo de π.

1 1/4 1/9 1/16 1/25

Figura 1.19.

(6) Si un polinomio p(x) tiene raıces ai y p(0) = 1, entonces p(x) =∏(1− x

ai). Si las funciones tuviesen esa propiedad, entonces

sin(x)

x=(

1− x

π

)(1 +

x

π

)(1− x

2π

)(1 +

x

2π

)· · · =

=

(1− x2

π2

)(1− x2

4π2

)(1− x2

9π2

)· · ·

1.4. Integracion en Matematicas y Fısica 33

y el coeficiente en x2 serıa

−(

1

π2+

1

4π2+

1

9π2+ · · ·

)= − 1

π2

∞∑n=1

1

n2.

y derivando directamente la funcion tendrıamos

∞∑n=1

1

n2=π2

6.

1.4. Integracion en Matematicas y Fısica

1.4.1. Longitudes, Areas y volumenes

Teorema 1.19 Sea F = (fi) : U ⊂ Rk → Rn una inmersion inyectiva declase 1 y S = F (U), entonces A ∈ B(U) sii F (A) ∈ B(Rn) y para lafuncion continua positiva x → J(DFx) =

√detAtA, para A = DFx =

(fixj )

Hk[F (A)] =

∫A

J(DFx) dHk,

y para cada funcion Borel medible g en S no negativa o Hk–integrable,∫Sg dHk =

∫V

g[F (x)] · J(DFx) dHk.

Si multiplicamos por γk ambos miembros de la igualdad anteriortendremos que

(1.5) γkHk[F (A)] =

∫A

J [DFx] dm,

para m la medida de Lebesgue k–dimensional en Rk.Esta formula cuya demostracion puede verse en los Apuntes de

Teorıa de la Medida, se da en los cursos de geometrıa diferencial,pero con una apariencia distinta. Los que hayan seguido estos cursos(ver Apuntes de Ecuaciones diferenciales), recordaran que nuestrasubvariedad S hereda la estructura Riemanniana de Rn, con la que esuna variedad Riemanniana y que si en Rk consideramos un sistema decoordenadas xi —correspondientes a una base ortonormal— y en Rnotro yj —tambien correspondiente a otra base ortonormal—, entonces

http://matematicas.unex.es/~ricarfr/librotmed.pdf

http://matematicas.unex.es/~ricarfr/librotmed.pdf

http://matematicas.unex.es/~ricarfr/LibroEDLat.pdf


en S podemos considerar el sistema de coordenadas ui, para el que xi =ui ◦ F , respecto del que la metrica Riemanniana de S se expresa en lascoordenadas (ui) por

gij =∂

∂ui· ∂

∂uj= F∗

∂

∂xi· F∗

∂

∂xj

=

(∑k

∂fk∂xi

(x)∂

∂yk

)(∑k

∂fk∂xj

(x)∂

∂yk

)=∑k

∂fk∂xi

(x)∂fk∂xj

(x),

por tanto

√det(gij) =

√√√√det

[(∂fi∂xj

(x)

)t(∂fi∂xj

(x)

)]=√

det[(DFx)t(DFx)] = J [DFx],

es decir que

γkHk[F (A)] =

∫A

√det(gij) dm.

Ejercicio 1.4.1 Calcular el area y el volumen de la elipse y elipsoide respecti-vamente

x2

a2+y2

b2= 1,

x2

a2+y2

b2+z2

c2= 1.

Ejercicio 1.4.2 Sea σ : R→ Rn una curva de clase 1, demostrar que para todo[a, b] ⊂ R, si σ(t) = (xi(t))

H1(σ[a, b]) =

∫ b

a

‖σ′(t)‖ dt =

∫ b

a

√√√√ n∑i=1

x′i(t)2 dt.

Ejercicio 1.4.3 Sea f ∈ C1(R2) y consideremos su grafica F : R2 → R3, F (x, y) =(x, y, f(x, y)), demostrar que para todo A ∈ B(R2),

γ2H2[F (A)] =

∫A

√1 + f2

x + f2y dxdy.

Ejercicio 1.4.4 Demostrar que: (1) el area de la esfera de radio r es 4πr2. (2)El area del casquete esferico de radio r y altura h es 2πrh.


Ejercicio 1.4.5 Una bicicleta de longitud L hace un recorrido en el que nuncagira a la derecha. Si el angulo total girado es ϕ, demostrar que el area quebarre es3 ϕL2/2.

Ejercicio 1.4.6 Curva de Agnesi4: Dada una circunferencia de radio a/2tangente al eje x y centro en el eje y y dada la tangente paralela al eje x enel punto (0, a), se considera el lugar geometrico de los puntos del plano (x, y),obtenidos de la siguiente forma: Se traza la recta que une el origen con elpunto de la tangente de abscisa x, es decir (x, a) y se considera la ordenaday del punto de corte de esta recta con la circunferencia. Demostrar que elarea subyacente a la curva es 4 veces el area del cırculo de la construccion.Que la curva tiene dos puntos simetricos en los que pasa de ser convexa aconcava. Que las verticales en esos puntos dividen el area subyacente en tresregiones de igual area y que los pies de esas verticales en el eje x definen con elpunto maximo (0, a) de la curva un triangulo equilatero. Encontrar el centrode gravedad de la region entre la curva y el eje x. Demostrar que el volumenque genera al girarla respecto del eje x es 2 veces el del toro que genera elcırculo.

1.4.2. Calculo de volumenes especiales

1. La bola unidad. Calculemos el volumen de Bn = {(xi) ∈ Rn :∑x2i ≤ 1}, la bola unidad n–dimensional. Haciendo el cambio z = senx,

Vn = mn(Bn) =

∫[−1,1]

mn−1(Bn,z)dm1

=

∫[−1,1]

mn−1

(√1− z2Bn−1

)dm1 =

3En particular si la bicicleta vuelve al punto de partida, el area que barre esconstante e igual a la del cırculo de radio L.

4Maria Cayetana Agnesi (1718–1799 ) fue una matematica italiana cele-bre por su talento matematico. En su libro de calculo diferencial e integral

Agnesi, M.C..: “Institutioni Analitiche ad uso della gioventu italiana ”. Milan, 1748.

estudio esta curva que la Academia de las Ciencias de Paris considero como supe-rior a cuantos se habıan escrito sobre esa materia. La curva habıa sido estudiadaanteriormente por Fermat en 1666 y por Guido Grandi en 1701, que la llamo curvaversoria, termino nautico latino que significa pie de la vela, cuerda con que se ata sucabo, o con que se lleva de un borde a otro. En italiano Agnesi la llamo la versieray segun parece, John Colson, profesor de la Universidad de Cambridge, con pococonocimiento del italiano confundio versiera con avversiera, que tradujo como witch,es decir bruja, dando lugar al desafortunado nombre por el que tambien es conocidaesta curva.


= Vn−1

∫[−1,1]

(1− z2)n−12 dm1

= Vn−1

∫[−π2 ,

π2 ]

cosn x dm1 = Vn−1In,

donde denotamos In la integral. Ahora integrando

(cosn x·senx)′ = −n cosn−1 x sen2 x+cosn+1 x = (n+1) cosn+1 x−n cosn−1 x,

se tiene que (n+1)In+1 = nIn−1, ademas I1 = 2 = V1 e I2 = π/2 = V2/2,por tanto es constante en n

(n+ 1)In+1In = nInIn−1 = 2I2I1 = 2π, de donde InIn−1 =2π

n,

y por tanto como Vn = In · · · I1 tendremos que

V2k−1 = (I2k−1I2k−2) · · · (I3I2)I1 =2π

2k − 1· · · 2π

3I1

=πk−1 Π(−1/2)

2k−12

2k−32 · · · 32

12 Π(−1/2)

=πk−1+1/2

Π( 2k−12 )

V2k = (I2kI2k−1) · · · (I2I1) =2kπk

(2k)(2k − 2) · · · 2=πk

k!,

y en cualquier caso

Vn =πn/2

Π(n/2).

Observemos que

1 +

∞∑n=1

V2n =∑ πn

n!= eπ.

2. El toro. El toro es la figura que se obtiene al girar un cırculo deradio r alrededor de una recta de su plano, de la que su centro dista R.

Rr

T

Figura 1.20. El volumen del Toro es (2πR)(πr2).


Denotemos T el toro, considerando que el circulo esta en el plano yzcon centro en el eje y y que el eje z sea el eje de giro. Entonces Tz = ∅,salvo para z entre −r y r, en cuyo caso Tz es una corona de area

π([R+√r2 − z2]2 − [R−

√r2 − z2]2) = 4πR

√r2 − z2,

por tanto por el teorema de la medida producto y (1.2)

m3[T ] =

∫ r

−rm2[Tz] dz = 4πR

∫ r

−r

√r2 − z2 dz

= 4πRr2∫ 1

−1

√1− x2 dx = (2πR)(πr2).

Nota 1.20 Observemos que el resultado dice que el volumen del toro esel producto del area del cırculo, πr2, por la longitud de la circunferenciaque describe su centro, 2πR. Este resultado es un caso particular delllamado Teorema de Pappus, que veremos en 1.4.4 pero para enunciarlodebemos generalizar el concepto de centro de un cırculo.

1.4.3. Calculo de areas especiales

Dada una funcion f : V ⊂ Rn → R, vamos a calcular el area n–dimensional de su grafica S = {(x, f(x)) ∈ Rn+1 : x ∈ V }, .

Para ello consideremos F : V ⊂ Rn → Rn+1, F (x) = (x, f(x)), quees inmersion inyectiva por tanto

σn(S) = γnHn[S] =

∫V

J [DFx] dmn =

∫V

√1 +

∑f2xi dmn,

pues para vi = fxi y vt = (v1, . . . , vn),

J [DFx]2 = det[I + vvt] = 1 +∑

v2i = 1 +∑

f2xi ,

ya que las columnas de la matriz C = vvt son multiplos de v, por tan-to dependientes y el rango de C es 0 si v = 0 o 1 en caso contrario,en cualquier caso tiene n − 1 autovalores nulos y el correspondienteal autovector v, pues C v = (vvt) v = (vtv)v, que es

∑v2i ; y todos

los ortogonales a v, vtb = 0, son autovectores de autovalor nulo puesC b = (vvt)b = v(vtb) = 0 = 0 b. En definitiva C tiene autovalores

λ1 = vtv =∑

v2i , λ2 = · · · = λn = 0,


por tanto los autovalores de I+C son µi = 1+λi, es decir µ1 = 1+∑v2i

y los demas µi = 1; y el determinante de I +C es su producto 1 +∑v2i .

Ejemplo 1.21 Calcular el area n–dimensional An = γnHn(Sn) = σn(Sn)de la esfera unidad Sn de Rn+1.

Consideremos la particion de Sn = {∑x2i = 1} ⊂ Rn+1,

Sn = S+n ∪ S−n ∪ En,

donde S+n es el casquete superior, S−n el casquete inferior de la esfera,

para los que Hn(S−n ) = Hn(S+n ) pues ambos casquetes son isometricos

por la reflexion respecto de xn+1 = 0; y En = {x ∈ Sn : xn+1 = 0} =Sn−1 × {0} es el ecuador.

Ahora por el ejercicio anterior, para V la bola unidad abierta de Rny f(x) =

√1−

∑x2i , F (V ) = S+

n , ai = fxi = −xi/√

1−∑x2i , tenemos

aplicando Fubini que para n ≥ 2

σn[S+n ] =

∫V

1√1−

∑ni=1 x

2i

dmn

=

∫∑ni=2 x

2i≤1

∫ √1−∑ni=2 x

2i

−√

1−∑ni=2 x

2i

1√(1−

∑ni=2 x

2i )− x21

dx1dx2 · · · dxn =

= πmn−1(B[0, 1]) = πVn−1,

un calculo similar da para n = 1, σ1[S+1 ] = π.

Ahora por induccion se tiene que Hn(En) = 0, pues para n = 1,H1(E1) = H1({−1, 1}) = 0 y si Hn(En) = 0, entonces Hn(Sn) =2Hn(S+

n ) < ∞ y como En+1 = Sn × {0}, se sigue que Hn+1(En+1) =Hn+1(Sn) = 0. Por lo tanto

A1 = 2π, An = 2σn(S+n ) = 2πVn−1 = 2

πn+12

Π(n−12

) = (n+ 1)Vn+1.

1.4.4. Centros de masa

A Pappus de Alejandria se le atribuyen los dos siguientes ejemplos(para un arco de circunferencia) en los que usamos el concepto de centrode masa de un boreliano B del espacio Rn.

Definicion. Para ello lo primero que necesitamos es conocer su dimen-sion de Hausdorff dimH(B) = p, en cuyo caso si su densidad de masa


viene dada por la funcion medible no negativa ρ, definimos su centro demasa C(B) como el punto del espacio de coordenada i–esima

xi[C(B)] =

∫Bxiρ dHp∫Bρ dHp

,

el cual en el caso particular de ser ρ constante es∫Bxi dHp

Hp(B).

Ejemplo 1.22 (Pappus) Si una curva plana cerrada gira alrededor de uneje del plano que no la corta, el volumen que genera es igual al arealimitada por ella multiplicada por la distancia que recorre el centro demasa del area (ver fig. 1.21 izqda.).

Figura 1.21. Volumen y Area de una superficie de revolucion.

Solucion. Consideremos la superficie C que encierra la curva en elplano xz y z el eje de giro, entonces nuestro volumen es B = F (C ×[0, 2π]), para

F : R3 → R3, F (x, z, θ) = (x cos θ, x sen θ, z),

entonces como J [DF(x,z,θ)] = x, tendremos

m(B) =

∫C×[0,2π]

x dm =

∫[0,2π]

(∫C

x dm2

)dm1

= 2π

∫C

x dm2 = 2πr ·m2[C],

siendo r =∫Cx dm2/m2(C) la abscisa del centro de masa de C, es decir

la distancia al eje de giro.


Ejemplo 1.23 (Pappus) Si una curva plana, cerrada o no, gira alrededorde un eje del plano que no la corta, el area de la superficie que genera esigual a la longitud de la curva multiplicada por la distancia que recorreel centro de masa de la curva (ver fig. 1.21 dcha.)

Solucion. Si la curva es σ(t) = (x(t), z(t)), para σ : [0, 1] → R2, lasuperficie S es la imagen de

F : U = [0, 1]× [0, 2π]→ R3, F (t, θ) = (x(t) cos θ, x(t) sen θ, z(t)),

para la que J [DF(t,θ)] = x(t)√x′(t)2 + z′(t)2, siendo ası que la medida

de longitud en la curva es H1(σ[A]) =∫A

√x′(t)2 + z′(t)2 dH1, por tanto

el area es para C = σ[0, 1]

γ2H2(S) =

∫[0,1]×[0,2π]

x(t)√x′(t)2 + z′(t)2 dtdθ = 2π

∫C

x dH1 = 2πrH1(C).

siendo las coordenadas del centro de gravedad de la curva en el planox, z,

(r, z) =

(∫Cx dH1

H1(C),

∫Cz dH1

H1(C)

),

y por tanto r es la distancia al eje z.

Ejemplo 1.4.1 Encontrar el centroide del trozo de cilindro horizontal deradio r, limitado por dos planos, uno vertical perpendicular al eje delcilindro y otro oblicuo tangente a la circunferencia del corte en su puntomas alto (ver Fig.1.23).

z

r

b

2ah

Figura 1.22. Cilindro cortado.

Denotemos con T el cilindro de radio r y longitud b con eje y ydenotemos el trozo del enunciado con B, entonces por simetrıa m3(B) =m3(T )/2 = πr2 b/2.

Tambien por simetrıa x[C(B)] = 0 y para las otras dos coordenadas,por un lado tenemos que para cada z ∈ [0, 2r], Bz es un rectangulo delados 2a y h siendo a2 + (r − z)2 = r2 y h/(2r − z) = b/2r, por tanto

m2[Bz] = 2ah =√r2 − (r − z)2(2r − z)b/r = (b/r)(2r − z)

√2rz − z2,


de donde haciendo el cambio z = r(1 + sen t) para t ∈ [−π/2, π/2] (verel calculo de In en la pag.35)

z[C(B)] =

∫Bz dm3

m3[B]=

∫[0,2r]

z m2[Bz] dm1

m3(B)=b∫ 2r

0

√(2rz − z2)3 dz

rm3(B)

=2

r3 π

∫ π/2

−π/2r4 cos4 tdt =

2r

πI4 =

3

4r.

Ahora para la coordenada y observemos que para cada z ∈ [0, 2r], yesta entre 0 y h = b − bz/2r y x entre −a y a =

√r2 − (r − z)2, por

tanto haciendo el cambio de antes z = r(1 + sen t)

∫B

y dm3 =

∫ 2r

0

∫ h(z)

0

y 2a(z) dydz =

∫ 2r

0

h(z)2 a(z) dz

=

∫ 2r

0

(b− bz

2r

)2 √r2 − (r − z)2 dz

=b2

4r2

∫ 2r

0

(2r − z)2√r2 − (r − z)2 dz

=b2

4r2

∫ π/2

−π/2(r − r sen t)2

√r2 − r2 sen2 t r cos t dt

=b2r2

4

∫ π/2

−π/2(1− sen t)2 cos2 t dt

=b2r2

4

∫ π/2

−π/2(1− 2 sen t+ sen2 t) cos2 t dt

=b2r2

4

∫ π/2

−π/2(1 + sen2 t) cos2 t dt

=b2r2

4

∫ π/2

−π/2(2− cos2 t) cos2 t dt =

b2r2

4(2I2 − I4) = b2r2π

5

32,

pues sen t es impar; y en definitiva tenemos que

y[C(B)] =

∫By dm3

m3[B]=

5

16b.


(5/16)b

(3/4)r

2r

b

Figura 1.23. Proyeccion en yz del centro de masa.

Ejercicio 1.4.7 Demostrar que para una rotacion o una traslacion T : Rn →Rn, el centro de masas C(B) de un boreliano B satisface C[T (B)] = T [C(B)].(Sol.)

Ejercicio 1.4.8 Demostrar que si T : Rn → Rn es un isomorfismo, el centrode masas C(B) de un boreliano B, con 0 < m(B) < ∞, satisface C[T (B)] =T [C(B)]. (Sol.)

Ejercicio 1.4.9 Demostrar que si B,Bi ∈ B(Rn), tienen dimension Hausdorffp, con 0 < Hp(B), Hp(Bi) < ∞ y Bi es una particion numerable disjunta deB = ∪Bn, entonces

C[B] =∑ Hp(Bi)

Hp(B)C(Bi).

Ejercicio 1.4.10 Dado en el plano un triangulo T2 de vertices ABC, conside-remos los tres conjuntos: T2 (la envolvente convexa de los vertices), T1 = ∂T2

formado por los tres lados y T0 = {A,B,C} formado por los tres vertices.Calcular el centro de masas de cada uno. ¿coinciden?

α α

α

sen α

1

1 segmento circular

sector circular

Figura 1.24. Arco, segmento y sector de la circunferencia.

Ejercicio 1.4.11 Calcular el centro de masa de un arco de circunferencia.

Ejercicio 1.4.12 Calcular los centros de masa de (a) un segmento y (b) de unsector circular.

Ejercicio 1.4.13 Calcular el centro de masa de la superficie de un casqueteesferico.


Ejercicio 1.4.14 Calcular el centro de masa del volumen de (a) un segmentoesferico (b) un sector esferico.

1.4.5. Momentos de inercia

Dado un sistema de masas mi, cada una en un punto xi del espacio,se define su momento de inercia respecto de un eje r, como∑

mid2i ,

para di = d(xi, r) la distancia de xi a la recta r.De forma general dado un Boreliano B en el espacio, con dimH(B) =

p, y una funcion medible (su densidad de masa) 0 ≤ ρ < ∞ tal que0 < M(B) =

∫Bρ dHp < ∞ definimos su momento de inercia respecto

de un eje r del espacio como∫B

ρ(x)d(x, r)2 dHp.

Teorema 1.24 (Teorema de Steiner) El momento de inercia ml(B) deB respecto de una recta l paralela a una recta r pasando por el centroidede B es mr(B) +M(B)R2, siendo R = d(l, r), la distancia entre ambasrectas.

Demostracion. Consideremos el origen en C(B) y para cada x con-sideremos el plano πx que lo contiene y es perpendicular a las rectas.Sean a(x) ∈ r∩πx y b(x) ∈ l∩πx, entonces a(x)− b(x) = u es constantey su modulo es R

d(x, l)2 = (x− b(x)) · (x− b(x)) = (x− a(x) + u)) · (x− a(x) + u)

= d(x, r)2 + 2(x− a(x)) · u+ u · u = d(x, r)2 + 2x · u+R2

pues a(x) · u = 0, de donde se sigue, al ser 0 =∫BxiρdHp, que

ml(B) =

∫B

ρ(x)d(x, l)2 dHp =

∫B

ρ(x)(d(x, r)2 + 2(

∑xiui) +R2

)dHp

= mr(B) +M(B)R2.

Ejercicio 1.4.15 Calcular los momentos de inercia de la esfera, un cilindro yun cono.


1.4.6. Ejercicios de integrales

Ejercicio 1.4.16 Calcular las integrales∫amx dx,

∫1

2xdx,

∫xn

a+ bxn+1dx (para n ≥ 1).

Ejercicio 1.4.17 Calcular el area que hay entre el eje x y la curva senx entredos puntos consecutivos en los que se anula esta.

Ejercicio 1.4.18 Calcular el area que encierran las curvas y = senx e y = cosx,entre dos puntos consecutivos de corte.

Figura 1.25.

Ejercicio 1.4.19 Calcular las integrales∫1

1 + x2dx,

∫a

b2 + c2x2dx.

Ejercicio 1.4.20 Calcular la integral∫1

sen2 xdx.

Ejercicio 1.4.21 Sea In =∫[−π

2,π2]cosn x dx. Demostrar que para todo n ∈ N,

InIn−1 = 2π/n. Dar los valores de In para todo n.

Ejercicio 1.4.22 Calcular las integrales para cada natural n > 1

Jn =

∫x2

(1 + x2)ndx, Hn =

∫x

(1 + x2)ndx, In =

∫1

(1 + x2)ndx.

Ejercicio 1.4.23 Calcular para cada entero n 6= 1, la integral∫xn log x dx.


Ejercicio 1.4.24 Calcular la siguiente integral∫x2

(x cosx− senx)2dx.

Ejercicio 1.4.25 Calcular la integral para a 6= b∫1√

x+ a+√x+ b

dx.

Ejercicio 1.4.26 Calcular el volumen del casquete de altura h, de la esfera deradio R.

Ejercicio 1.4.27 Demostrar que cada recta que pasa por el origen, de pendienteλ > 0, corta a la curva y = xn en un punto A = (x1, y1), con proyeccionB = (x1, 0) en el eje x, tal que el interior del triangulo rectangulo 0AB esdividido por la curva en dos trozos cuya proporcion de areas no depende de λ.¿Para que valor de n son iguales estas areas?

Ejercicio 1.4.28 Sea f : [0, π] → R diferenciable tal que f(0) = f(π) = 0.Entonces ∫ π

0

f ′2(x) dx ≥∫ π

0

f2(x) dx,

dandose la igualdad sii f(x) = senx (y sus multiplos).

Ejercicio 1.4.29 Demostrar que en R, tanto para µ la medida de Lebesguecomo µ la medida de contar en los naturales, se tiene para todo a > 0(∫ a

0

x dµ

)2

=

∫ a

0

x3dµ.

Ejercicio 1.4.30 Calcular el volumen maximo de un tetrabrik formado con dosrectangulos iguales de area 1.

Ejercicio 1.4.31 Sea f : [0,∞) → [0,∞) medible, tal que f(x) y xf(x) seanintegrables. Demostrar que para t ∈ [0,∞]

x(t) =

∫ t0f(x) dm∫∞

0f(x) dm

≥ y(t) =

∫ t0xf(x) dm∫∞

0xf(x) dm

.

y que la curva5 del plano σ(t) = (x(t), y(t)) es continua y convexa.

5Las funciones x e y tienen interpretacion practica. Por ejemplo en economıa si

µ[a, b] =∫ ba f(x) dm es el numero de personas de una poblacion con renta entre a y


1.5. Problemas de Oposiciones

Ejercicio 1.5.1 Sumergimos una esfera de acero de radio r en un vaso llenode agua con forma de semielipsoide de revolucion de semiejes b < a. ¿Paraque valor de r es maxima la cantidad del agua desalojada?. ¿A que altura cqueda el centro de la esfera?, ¿a que altura t se apoya la esfera en el vaso?.

Ejercicio 1.5.2 Hallar, para N = n2 y n ∈ N, la parte entera de

x =1√1

+1√2

+1√3

+ · · ·+ 1√N.

Ejercicio 1.5.3 Demostrar que una recta que divida un triangulo en dos regio-nes con igual perımetro y area, pasa por su incentro.

Ejercicio 1.5.4 Para x > 0 definimos f(x) =∫ π/20

senx θ dθ. Demostrar:

(i) (x + 2) · f(x + 2) = (x + 1) · f(x) y h(x) = (x + 1)f(x)f(x + 1), tieneperıodo 1. (ii) f(x) es decreciente. (iii) Dado 0 ≤ p ≤ x ≤ p+ 1

p+ 1

p+ 2h(0) ≤ h(x) ≤ p+ 2

p+ 1h(0).

y como consecuencia h es constante. (ix) lımx→∞f(x+1)f(x)

= 1. (v) Calcular

f(n), para n = 0, 1, 2, · · · .

Ejercicio 1.5.5 Encontrar la funcion impar f : R→ R, tal que f(1) = 1 y paratodo a > 0 verifica ∫ a

−a(a2 − x2)f ′′′(x) dx = a3.

Ejercicio 1.5.6 Resolver la ecuacion de variable compleja sen z = 4.

Ejercicio 1.5.7 Calcular el lımite de la sucesion xn+3 =xn+xn+1

2, en funcion

de los tres primeros, x0, x1 y x2.

b, entonces∫∞0 f(x) dm es el numero de personas de esa poblacion,

∫ t0 xf(x) dm es la

renta total que tienen las personas con renta menor o igual que t y∫∞0 xf(x) dm es la

renta total de la poblacion, por tanto x(t) representa el porcentaje de la poblacion conrenta menor o igual que t, e y(t) representa el porcentaje de la renta total que tienenlos que tienen renta menor o igual que t respecto de la renta de toda la poblacion.Con esta interpretacion es obvio que y(t) ≤ x(t), pues si hay n individuos con rentasri ≤ t y m con rentas rn+j ≥ t, entonces

∑ni=1 ri/n ≤ t ≤

∑mj=1 rn+j/m, lo cual

implica que m∑ni=1 ri ≤ n

∑mj=1 rn+j , es decir que (n + m)

∑ni=1 ri ≤ n

∑n+mi=1 ri

y esto equivale a que y(t) = (∑ni=1 ri)/(

∑n+mi=1 ri) ≤ n/(n+m) = x(t).

1.5. Problemas de Oposiciones 47

Ejercicio 1.5.8 Se dividen los tres lados a, b y c de un triangulo en el mismonumero de n trozos iguales. Demostrar que la suma de los cuadrados de lossegmentos obtenidos al unir cada uno de los puntos construidos sobre cadalado, con el vertice opuesto, es

(5n− 1)(n− 1)

6n(a2 + b2 + c2).

Ejercicio 1.5.9 Dado un punto p en el plano complejo se consideran q y r susdos raıces cuadradas. ¿Que curva describe p? si: (i) p, q, r forman un trianguloisosceles (discutir los casos). (ii) p, q, r forman un triangulo rectangulo (discutirlos casos).

Ejercicio 1.5.10 Sean g, h : R→ R continuas y f = g · IQ + h · IQc . Demostrarque f es continua en x sii g(x) = h(x).

Ejercicio 1.5.11 En un parlamento hay 1300 diputados. En una sesion, el12, 12 % de los asistentes son aficionados al ajedrez y el 23, 423 % no han desa-yunado. ¿Cuantos diputados no han asistido a la sesion?.

Ejercicio 1.5.12 Calcular el valor de la serie

1

1 · 2 · 3 +1

2 · 3 · 4 +1

3 · 4 · 5 + · · ·+ 1

n · (n+ 1) · (n+ 2)+ · · · .

Ejercicio 1.5.13 Calcular el valor de p para que las cuatro raıces del polinomio

z4 + 6z3 + qz2 − 36z + p = 0,

formen una proporcion.

Ejercicio 1.5.14 Sea f(x) = lnx − x + 2. Demostrar que f tiene unicamentedos raices a, b y a < 1 < b y dado x1 ∈ (1, b), calcular el lımite de la sucesionxn+1 = 2 + lnxn.


Tema 2

Problemas visuales yotros problemas

B

D

E

P

F

A

C

b

a

Una cónica es la curva obtenida al seccionar un cono con un plano.Si a es el ángulo de la pendiente del plano y b el de la pendiente delas generatrices del cono, la cónica se llama: Elipse, si a<b; Parábola, si a=b; e Hipérbola si a>b.

Teorema: En el plano de una elipse hay dos puntos A y B, llamadosfocos y dos rectas llamadas directrices, tales que para todo puntoP de la elipse, PA+PB es constante y la razón de distancias de P a unfoco y a una directriz es constante.

Demostración.

EFP = aEDP = b,PA=PC, PB=PD PA+PB=PC+PD=CD

PB

PF=

PBPE

PEPF =

sen asen b

49

50 Tema 2. Problemas visuales y otros problemas

?

Dpto. de Matemáticas Uex

Problema 1

A B C D


Problema 2

x

x

A1

¿Para qué valor de x

el área A es máxima?


Problema 3

51

R R

r

Demostrar que R=4r


Problema 4

a

a

a b

b

b

c c c

El cociente entre las áreas del

triángulo grande y el pequeño es 7


Problema 5

1

¿Laxfiguraxverdextienexmayor,x

igualxoxmenorxáreaxquexlaxmarrón?

Dpto.xdexMatemáticasxUex

Problema 6

1


(i)

(ii)

Falacias Matematicas


Problema 7

(iii)

Falacias Matematicas 2:

bisectrizmediatriz

a

a

b1

b2

cd

d

e1

e2


Problema 8

Todo triángulo es isosceles

Rellenar la tabla con números del 1 al 7,siguiendo las instrucciones


Problema 9

53

Un rio, de orillas paralelas, separa dos pueblos. ¿Donde debe hacerse un puente

perpendicular a la orilla, para que la distancia entre los pueblos sea mínima?

?


Problema 10

A1

1

1

ColocamosDn2DcírculosDenDunDcuadradoDdeDladoD1,D

comoDmuestraDlaDfiguraDparaDn=1,2DyD3.D

SiDsuDáreaDtotalDesDAn,D¿cuálDesDelDlimDAn?

Dpto.DdeDMatemáticasDUex

Problema 11

A2 A3

1

1

Calcular la longitud

de la curva cerrada

formada por las 4

semicircunferencias


Problema 12


Tres circunferencias de igual radio r, pasan por un mismo punto O. Demostrar que la circunferencia que pasa

por los otros 3 puntos de corte, tiene igual radio r.


Problema 13

O

AB

C

Si 5 lados de dos

triángulos, con vértices

en un círculo,

son tangentes a

otro círculo en su

interior, el sexto lado

también.


Problema 14


Problema 15

55

¿Cuales, de estos dos suelos, se pueden

enlosar con losas de 2x1, sin partir ninguna ?


Problema 16

¿Podemos entrar y salir de la casa, atravesando todas las puertas interiores una única vez?


Problema 17

¿Cuanto puede sobresalir un libro en una pila de

libros iguales, sin que se caigan,

poniendo tantos como se quiera?

¿d máxima?

d


Problema 18


Dpto.fdefMatemáticasfUex

Problema 19

AreaArea13f13=169.

8f21=168.

¿Dondefestáfelfcuadraditofqueffalta?

5

5

5

5

8

8

8 8

13

13

r

a

bc

Si a,b y c son naturales, r también


Problema 20

En un triángulo equiláteroel área total marron

siempre es igual a la verde


Problema 21

57

A BC


Problema 22

¿Cuál es la relación entre las áreas de los dos triángulos

equiláteros?

¿Y entre las longitudes de segmentos ?

Dada una esfera ¿Qué unidad de longitud u, definida por la esfera, tiene la propiedad de que el área de la esfera medida en u² coincide con el volumen de la

esfera medida en u³?. y ¿para qué unidad v la longitud del ecuador medido en v es igual al área medida en v²?


Problema 23


Problema 24

Si r son los radios de las circunferencias y d las distancias de sus centros al eje, entonces los cocientes d/r son los números pares a la izquierda y los impares a la derecha,

Si r son los radios de las circunferencias y d las distancias de sus centros al eje, entonces los cocientes d/r son los números pares a la izquierda y los impares a la derecha,

d/r=2

d/r=4d/r=6

d/r=1

d/r=3d/r=5

d/r=7


¿Cual es la trayectoria mas corta que une dos puntosdel interior de un triedro y toca las tres caras?


Problema 25

AB

C

Demostrar que A,B y C están alineados


Problema 26

1. Encontrar el número más pequeño que termina en 2, a = , tal que si quitamos el 2 del final y lo

ponemos al principio, , el número se duplica.

2. Observemos que:

Si denotamos con [n] el número de n cifras todas iguales a 1, por ejemplo [5]=11111, demostrar que para todo n

b = 2 a

2b = 2

]][

[

.


Problema 27

59

1.- Tenemos 3 cajas y en cada caja 2 bolas. En una dos blancas, en otra dos negras y en otra una de cada. En cada caja hay un letrero con elcontenido, pero los tres son falsos. Nos permiten

extraer una bola de la caja que elijamos. ¿Cual elegimos para saber el contenido de las tres?

2.- Tenemos 10 vasos alineados. Los 5 primeros vaciosy los 5 siguientes con agua. ¿Cuantos vasos es necesario mover para que tengamos de forma

alterna vasos con agua y vacios?


Problema 28

Calcular A/T, siendo A el área de la corona entre las circunferencias y T el área del triángulo


Problema 29

Si dos cuadrados ABCD y AEFG, con centros J y K, tienen un vértice común A, entonces JHKI es un cuadrado,

siendo H e I los puntos medios de DG y BE.


Problema 30


x x

x

x

x

¿Cuanto vale x?, ¿qué tiene que ver este problema con "dos años"?


Problema 31


Problema 32

A

B

CLas áreas A, B y C, de lostriángulos verdes,verifican A C=B2.

R

r

¿R/r?


Problema 33

61


Problema 34

a

b

d

c

ab=cd

Tres planos ortogonales y un cuarto transversal definen un tetraedro recto con caras perpendiculares de áreas A, B y C.

Si el área de la transversal es D, demostrar que

A2 + B2 + C2 = D2.


Problema 35

A

B

C

DD

¿Se pueden situar los 12 vértices de un icosaedroen las 4 caras de un tetraedro?¿Donde?


Problema 36


A+B=C


Problema 37

.A

B

C

Un excursionista sale a las 8 de la mañana del pueblo y sube a lo alto de la montaña, donde hace noche.

A la mañana siguiente sale a las 8 de lo alto de lo mantaña y baja al pueblo por el mismo camino.

¿Hay con seguridad algun punto del camino de bajada por el que pasa a la misma hora que a la subida?


Problema 38

Las curvas exterior e interior del borde de la figura verde, tienen igual longitud y es la de la circunferencia exterior


Problema 39

63


Problema 40

1

1

2 π

Area amarilla=Area verde

B

A=2B

α


Problema 41

αα

A


Problema 42

αα

A

B

C

A+B=C



Problema 43

a b

a

a

b

b

A

A

AB


Problema 44

abc

a=b+c


Problema 45

a2a


Problema 45

65


Problema 46

A=CA

C


Problema 47

= +


Problema 48Dpto. de Matemáticas Uex

Problema 48

1

1

1

x?

x-1

x



Problema 49

Las 3 alturas de un triángulopasan por un mismo punto O,

llamado Ortocentro

O


Problema 50

Las 3 medianas de un triángulopasan por un mismo punto B,

llamado Baricentro

Ba a

b

bc

c


Problema 51

Las 3 mediatrices de un triángulo pasan por un mismo punto C,llamado Circuncentro, que es centro de la circunferencia

que pasa por los vértices del triángulo.

C

a a

b

bc

c

67


Problema 52

Las 3 bisectrices de un triángulo, pasan por un mismo punto I,llamado Incentro, que es el centro de la circunferencia

tangente a los lados del triángulo.

γα

β

γ

β

α I


Problema 53

OBC

El Circuncentro, el Baricentro y el Ortocentrode un triángulo están alineados (en la llamada recta de Euler).


Problema 54



Problema 55

punto medio de B y C

punto medio de D y E

punto medio de A y F

El triángulo de los puntos medios también es equilátero.


Problema 56Dpto. de Matemáticas Uex

Problema 56

?

CE es tangente en C a la circunferencia de área A y CE=CD,¿qué área barre CE?

C

D

E

A


Problema 57

?

r

69


Problema 58

rrr

?α


Problema 59

A B

Cr

r


Problema 60

DA B

C

K

J

Si AD=BC y KJ es paralela a BC,entonces AK=KB



Problema 61

r?

1


Problema 62

11

1 11

1

1

?

Los tres rectángulos son de área =1


Problema 63

1

1

perimetro=área

área ?

a a

71


Problema 65

a b

a=b


Problema 66

Recortar las 8 figuras, con ellas puede formarse tanto untriángulo equilatero como un exágono



Problema 67

Recortar las 10 figuras, con ellas puede formarse tanto untriángulo equilatero como un pentágono


Problema 68

Recortar las 4 figuras, con ellas puede formarse tanto untriángulo rectángulo con ángulos 30-60-90, como un cuadrado

Dpto.?de?Matemáticas?Uex

Problema 69¿Qué?dimensiones?puede?tener?una?habitación?enlosada,

con?losas?cuadradas,?que?tiene?igual?perímetro?que?área,?

en?las?correspondientes?unidades?de?las?losas?

2.1. Problemas diversos 73

2.1. Problemas diversos

Ejercicio 2.1.1 Una cuerda rodea de forma ajustada la Tierra, que se suponeperfectamente esferica, por un cırculo maximo. Si aumentamos la longitud dela cuerda en un metro y levantamos la cuerda por todas partes la misma altura¿Se puede pasar por debajo de ella?.

Ejercicio 2.1.2 Tres planos ortogonales y un cuarto transversal definen un te-traedro recto con caras perpendiculares de areas A, B y C. Si el area de latransversal es D, demostrar que A2 +B2 + C2 = D2.

Ejercicio 2.1.3 El area de un polıgono con vertices en una malla entera esc + b/2 − 1, siendo b el numero de puntos de la malla que hay en el polıgonoy c el numero de puntos que hay en el interior.

Ejercicio 2.1.4 Tres excursionistas deciden unirse para comer varios dias. Elprimero aporta 5 latas, el segundo 3 latas y el tercero da 8 piezas igualesesfericas de un metal desconocido, para que se repartan los dos primeros. Sitodas las latas son del mismo valor y los 3 van a comer por igual, ¿como sedeben repartir las 8 esferas entre los dos, para que el reparto sea equitativoentre los 3?.

Ejercicio 2.1.5 Dado un numero de tres cifras, en base 10, abc (con a > c),le restamos “su opuesto”, cba y al resultado abc − cba = efg le sumamos suopuesto gfe. Demostrar que el resultado siempre es el mismo.

Ejercicio 2.1.6 Un padre deja en herencia 17 camellos a sus tres hijos. Almayor le deja 1/2 de los camellos, al mediano 1/3 y al menor 1/9. Como nosabıan que hacer con el reparto consultaron al sabio del pueblo, el cual les dijo,no os preocupeis, os dejare un camello mıo para que podais hacer el reparto.Con 18 camellos se repartieron la herencia, tocandole al primero 9 camellos,al segundo 6 y al tercero 2, y como la suma era 17, devolvieron agradecidos elcamello al sabio. ¿Puedes explicarlo?.

Ejercicio 2.1.7 Un matrimonio invita a n matrimonios a su casa. Logicamen-te, uno de los dos conoce a uno de los dos conyuges invitados. Al llegar, cadapersona estrecha la mano de todos aquellos a quienes no conoce. El anfitrionpregunta entonces a cada una de las demas personas cuantas manos ha estre-chado, y cada una le dice un numero diferente. ¿Cuantos invitados conocıana la anfitriona? ¿Cuantos invitados conocıan al anfitrion?, ¿Cuantos invitadosconocıan a ambos?, ¿Cuantos a ninguno de los dos?.


Ejercicio 2.1.8 En una isla vive un pueblo de gente muy inteligente. Todosconocen el color de ojos de sus vecinos que es azul o marron, pero ignoran elsuyo y procuran por todos los medios no saberlo, porque es un deshonor quehacen publico a los doce de la noche del dıa en que conocieran con certezasu color de ojos. Entre ellos existe un acuerdo tacito para no revelar el colorde los demas. Ası, sus vidas transcurren dichosas hasta que un nefasto dıa,llega un visitante a la isla y comenta ante todos: ”Hasta hoy no habıa visto anadie con los ojos azules”. Tras un certero razonamiento, todos los habitantesdeducen que todos estan condenados. ¿Por que?, y si habıa varios con los ojosazules, todos sabıan esta informacion ¿por que es crucial?.

Ejercicio 2.1.9 Tenemos una tira de papel de 1km de largo que enrollamoshaciendo con ella un cilindro compacto. Supongamos que 100 folios de esepapel tienen un espesor de 1cm. ¿Que radio aproximado tendra el cilindro?.

Ejercicio 2.1.10 Un monitor de juegos esta con n personas jugando a saludarsecon la cabeza todos al mismo tiempo, cada uno elige con igual probabilidad aquien saluda. ¿Cual es la probabilidad de que el monitor y alguien se saludenmutuamente?. ¿Cual es la probabilidad de que al menos haya dos personassaludandose mutuamente?, ¿a que tiende esta probabilidad cuando n tiende a∞?.

Ejercicio 2.1.11 Dispongo de 9 bolas y 4 cajas. ¿Como puedo disponer lasbolas de manera que en cada caja haya un numero impar de bolas, en cadacaja haya un numero distinto de bolas, y ninguna caja este vacıa?.

Ejercicio 2.1.12 Tengo dos relojes de arena, que miden 4 y 7 minutos, respec-tivamente. ¿Como puedo medir 9 minutos?.

Ejercicio 2.1.13 Encontrar el numero mas pequeno que termina en 2 y si qui-tamos el 2 del final y lo ponemos al principio el numero se duplica.

Ejercicio 2.1.14 ¿Cuantas letras tiene la respuesta de esta pregunta?.

Ejercicio 2.1.15 ¿Se pueden enlosar los suelos de los dibujos siguientes, conlosas 2× 1, sin cortar ninguna?.


Figura 2.1.

Ejercicio 2.1.16 ¿Podemos construir un cubo macizo de lado 6, con ladrillosde 1× 2× 4 sin cortar ninguno?.

Ejercicio 2.1.17 Dos amigos se encuentran y uno plantea la siguiente adivi-nanza —Tengo tres hijos ¡a ver si adivinas sus edades con las siguientes pistas!:El producto de las tres es 36 y la suma precisamente es el numero de ese portal.El amigo hizo unos calculos y al final le dijo —¡me faltan datos!—. A lo queel otro contesto —es verdad, el mayor toca el piano—.

Ejercicio 2.1.18 Una mujer vende las manzanas que tiene en una cesta. Alprimer comprador le vende la mitad de las que tiene en la cesta mas mediamanzana. Al segundo le vende la mitad de las que le quedan en la cesta masmedia manzana, esto mismo lo repite hasta que al septimo le vende tambienla mitad de las que tiene en la cesta mas media manzana y la cesta se quedavacıa. ¿Cuantas manzanas habıa inicialmente en la cesta?.

Ejercicio 2.1.19 Dos hermanos vendieron un rebano de cabras recibiendo porcada cabra el numero de cabras que tenıan, en euros. El dinero se lo dieronen billetes de 10 euros y el resto, que no llegaba a 10 euros, se lo dieron enmonedas de euro. Cuando hicieron el reparto uno tenıa un billete mas que elotro y aunque este se quedo las monedas el reparto era injusto ¿cuanto le dioel primero de su dinero para que el reparto fuera equitativo?.

Ejercicio 2.1.20 Tenemos dos bolas esfericas de radio distinto y las taladramosatravesandolas por su centro, de modo que nos quedan dos anillos con lasparedes interiores superficies cilındricas con eje pasando por sus centros. Si lasalturas de los anillos resultantes (por tanto de los cilindros) son iguales, ¿comoson los volumenes de los anillos?.

Ejercicio 2.1.21 En una mesa redonda hay un grupo de personas que siempremienten o siempre dicen la verdad. Cada uno dice que su vecino de la izquierdaes mentiroso. Sin saber cuantos hay preguntamos a uno de ellos cuantos hayen la mesa y nos dice que 37, preguntado otro nos dice que el anterior es unmentiroso y que habıa 40. ¿cuantos habıa?.


Ejercicio 2.1.22 Dado un triangulo, en cada lado se considera el punto quelo divide en dos segmentos uno doble del otro (en los tres en la misma direc-cion, fijada una orientacion en el triangulo). Se trazan los tres segmentos queunen cada vertice con el punto construido en el lado opuesto y se considerael triangulo interior que definen. Si este tiene area E y el del original es T ,demostrar que T = 7E.

Ejercicio 2.1.23 En cada lado de un triangulo se considera el punto que lodivide en dos segmentos en proporcion q (en orden, fijada una orientacion enel triangulo). Se trazan los tres segmentos que unen cada vertice con el puntoconstruido en el lado opuesto y se considera el triangulo interior que definen.Si este tiene area E y el del original es T :

(a) ¿para que valores de q, T/E es entero?. ¿Cuales de estos q son racio-nales?

(b) Los tres triangulos de las esquinas que definen esos tres segmentostienen siempre igual area A. ¿Para que q, A = E?

(c) Los tres trapezoides que definen los segmentos tienen igual area G.¿Para q = φ, cuanto es G/A?.

Ejercicio 2.1.24 (a) Demostrar que un numero natural an . . . a0, en base de-cimal, es multiplo de 3 sii

∑ai lo es. (b) Multiplo de 7 sii

∑ai3

i lo es; (c)Multiplo de 9 sii

∑ai lo es. (d) Multiplo de 11 sii

∑(−1)iai lo es. (e) Multiplo

de 13 sii∑ai3

i lo es.

Ejercicio 2.1.25 Cuales son el mınimo y maximo numero de n cifras que esuna potencia n–sima.

Ejercicio 2.1.26 Dados tres puntos A,B,C en el plano, los giramos 60◦, ob-teniendo A′, B′, C′. Demostrar que los puntos medios de A′B,B′C y C′A,forman un triangulo equilatero.

Ejercicio 2.1.27 Dados dos puntos A,B en el plano, los giramos 90◦ y −90◦

respectivamente, obteniendo A′ y B′. Demostrar que los puntos medios deAA′, A′B′, B′B y BA, forman un cuadrado.

Ejercicio 2.1.28 De un prisma recto de base cuadrada, con lado de longitud L,y altura h, extraemos un tronco de piramide, no necesariamente recto, de basescuadradas, con lados de longitud L (para la inferior) y l (para la superior),y misma altura h. Si el volumen del tronco de piramide es 2/3 del total delvolumen del prisma, ¿cual es el valor de L/l?.

Ejercicio 2.1.29 Encontrar la unica terna Pitagorica (i.e. a2 + b2 = c2, cona, b, c ∈ N), tal que a+ b+ c = 1000.


Ejercicio 2.1.30 Un caracol esta en el fondo de un pozo a 9 metros de pro-fundidad. El primer dıa sube 4 metros y por la noche resbala bajando 2 y elresto de dıas sube el 90 % de lo que subio el dıa anterior y baja 2 metros.¿Lograra salir del pozo? y si es ası ¿que dıa?, ¿o volvera a llegar al fondo? y sies ası ¿que dıa?.

Ejercicio 2.1.31 Un pastor tiene entre 100 y 200 ovejas. Si las agrupa de 3 en3 o de 7 en 7 le sobran 2 y si lo hace de 5 en 5, 3. ¿Cuantas tiene?.

Ejercicio 2.1.32 Un agricultor quiere trasladar en un burro 90 sacos de granouna distancia de 30 km. El burro puede cargar como maximo 30 sacos y solosi lleva carga consume un saco por cada km que hace. ¿Cuantos sacos puedenllegar al destino?.

Ejercicio 2.1.33 En un arbol hay una bandada de pajaros posados y no haydos ramas con el mismo numero de pajaros, ademas el numero de ramas conpajaros es el mismo que el de pajaros en la rama mas poblada. Si hay 1953pajaros, ¿cuantas ramas con pajaros hay?.

Ejercicio 2.1.34 Demostrar que la sucesion definida por recurrencia

xn+1 =6 + xn6− xn

, x0 = 0,

tiene lımite, y calcularlo.

Ejercicio 2.1.35 Demostrar que el volumen del tronco de un cilindro recto debase un Boreliano plano B ⊂ {z = 0}, con 0 < m2(B) < ∞, limitado por elplano xy y un plano inclinado es m2(B)h para h la altura desde el centro demasa de B hasta el plano inclinado. .


Tema 3

Problemas Resueltos

Ejercicio 1.1.2.- Dado un rectangulo ABCD, consideramos un punto P en labase AB y otro Q en el lado AD. Demostrar que los triangulos rectangulosAPQ, PBC y QCD tienen igual area sii P divide en media y extrema razona AB y Q a AD.

Indicacion.- Si llamamos x = AB/AP e y = AD/AQ, tendremos que las areasson iguales sii AP · AQ = PB · AD = QD · AB, lo cual equivale a que AP · AQ =PB · y · AQ y AP · AQ = QD · x · AP lo cual equivale a AP = (AB − AP ) · y yAQ = (AD −AQ) · x y esto a su vez a que 1 = (x− 1)y y 1 = (y − 1)x y esto a quex = y y 1 = x2 − x, lo cual equivale a que x = y = φ.

Ejercicio 1.1.3.- Recuerdese que llamamos lımites superior e inferior de unasucesion xn ∈ R, respectivamente a

lım supxn = lımxn = ınfn≥1

supm≥n

xm, lım inf xn = lımxn = supn≥1

ınfm≥n

xm.

Demostrar que: (a) lım supxn = − lım inf(−xn). (b) lım inf xn ≤ lım supxn.(c) xn converge a x sii lım inf xn = lım supxn = x ∈ R. (d) xn → ∞ siilım inf xn = lım supxn =∞. (e) xn → −∞ sii lım inf xn = lım supxn = −∞.

Indicacion.- (a) Por ser − ınf an = sup(−an).

Ejercicio 1.1.4.- Dadas dos sucesiones reales xn ≤ yn demostrar que

lım inf xn ≤ lım inf yn, lım supxn ≤ lım sup yn.

Indicacion.- Por ser ınfn≥m xn ≤ ınfn≥m yn y supn≥m xn ≤ supn≥m yn.

Ejercicio 1.1.5.- Toda sucesion de numeros reales monotona (creciente o de-creciente) es convergente sii esta acotada.

Indicacion.- Si xn es creciente x1 ≤ xn ↑ sup(xn) y si es decreciente x1 ≥ xn ↓ınf(xn).

79

80 Tema 3. Problemas Resueltos

Ejercicio 1.1.6.- Sean zn ∈ C. Demostrar que si la serie∑zn es absolutamente

convergente entonces es convergente.

Indicacion.- Sea sn =∑n

1 zi, entonces |sn+m − sn| ≤∑mn+1 |zi|.

Ejercicio 1.1.7.- Sean zn ∈ C. Demostrar que si la serie∑zn es convergente

entonces zn → 0.

Indicacion.- Si la serie es convergente, sn =∑n

1 zi es de Cauchy.

Ejercicio 1.1.8.- (Criterio de comparacion). Sean an, bn ≥ 0. Demostrar que:(a) Si existen c,N > 0, tales que para n ≥ N , an ≤ cbn, la convergencia de∑bn implica la de

∑an. (b) Si an, bn > 0 y el lım an

bn= c 6= 0, entonces

∑bn

converge sii∑an converge. Si el lım an

bn= 0 y

∑bn converge entonces tambien∑

an.

Indicacion.- (a) Las sumas parciales de bn estan acotadas, por tanto las de an.(b) Dados 0 < a < c < b, existe N ∈ N a partir del cual a < an/bn < b y se

aplica (a). Si c = 0, dado ε > 0 existe N a partir del cual an < εbn.

Ejercicio 1.1.9.- Demostrar que la serie geometrica,∑∞n=0 z

n para |z| < 1 esconvergente y vale 1/(1− z) y que si |z| ≥ 1, la serie es divergente.

Indicacion.- Para sn =∑ni=0 z

i, sn − zsn = 1− zn+1 y para |z| < 1, zn → 0,pues |z|n ↓ 0, por tanto

sn =1− zn+1

1− z→

1

1− z.

para |z| ≥ 1, zn no converge a 0, (si |z| = 1, |zn| = 1 y si |z| > 1, |zn| → ∞).

Ejercicio 1.1.10.- Demostrar el criterio del cociente para zn ∈ C y

r = lım inf

∣∣∣∣zn+1

zn

∣∣∣∣ , R = lım sup

∣∣∣∣zn+1

zn

∣∣∣∣ .(a) Si R < 1 entonces

∑zn converge absolutamente. (b) Si r > 1 entonces∑

zn diverge.

Indicacion.-(a) Sea R < s < 1, entonces existe un N ∈ N tal que para n ≥ N ,∣∣∣∣ zn+1

zn

∣∣∣∣ ≤ s,y se aplica el criterio de comparacion, pues para todo n ≥ 1

|zn+N | ≤ |zn+N−1|s ≤ · · · ≤ |zN |sn.

(b) Si r > s > 1 existe N tal que para n ≥ N , 1 < s ≤ |zn+1|/|zn|, y en cualquiercaso no se puede dar |zn| → 0, por lo que la serie no converge.

Ejercicio 1.1.11.- Demostrar el criterio de la raız, para zn ∈ C y ρ = lım sup n√|zn|:

(a) Si ρ < 1, entonces∑zn converge absolutamente. (b) Si ρ > 1, entonces∑

zn diverge.

Indicacion.- (a) Sea ρ < s < 1, entonces existe un N ∈ N tal que para n ≥ N ,n√|zn| ≤ s, y se aplica el criterio de comparacion, pues para todo n ≥ 1, |zn+N | ≤

sn+N .

81

(b) Si r > s > 1 existe N tal que para n ≥ N , 1 < s ≤ |zn+1|/|zn|, (1 < s ≤n√|zn|) y no se puede dar que |zn| → 0, por lo que la serie no converge.

Ejercicio 1.1.12.- Sea an ∈ R una sucesion y sn = (1/n)∑ni=1 ai, demostrar

que

lım inf an ≤ lım inf sn ≤ lım sup sn ≤ lım sup an.

Indicacion.- Basta demostrar la ultima desigualdad, pues la segunda es obvia yla primera sale de la ultima cambiando de signo. Dado cualquier r > a = lım sup an =ınfm supn≥m an existe un m ∈ N tal que para n ≥ m, an ≤ r, por tanto para n > m

sn =1

n

m∑i=1

ai +1

n

n∑i=m+1

ai ≤1

n

m∑i=1

ai +n−mn

r = tn,

y s = lım sup sn ≤ lım sup tn = r, por tanto s ≤ a.

Ejercicio 1.1.13.- Sean an > 0, demostrar que

lım infan+1

an≤ lım inf n

√an ≤ lım sup n

√an ≤ lım sup

an+1

an.

Indicacion.- La segunda es obvia. Veamos la tercera (la primera es similar). Sear > lım sup an+1/an, entonces existe un N ∈ N, tal que para k ≥ N ,

ak+1

ak< r, por tanto aN+m < rmaN = rm+N aN

rN,

para m ≥ 1 y poniendo n = N +m,

n√an ≤ r

(aNrN

)1/n,

y el lım sup n√an ≤ r.

Ejercicio 1.1.14.- Calcular los lımites

(1) lımn→∞

1 + 2 + 3 + · · ·+ n

n2

(2) lımn→∞

1 + x+ x2 + · · ·+ xn

xn(para x > 1).

(3) lımn→∞

(nm

)nm

(4) lımn→∞

n√n

Indicacion.- (1) 1/2. (2) x/(x− 1). (3) 1/m!. (4) Tomando logaritmos es obviopor LHopital. an = logn y bn = n,

lımn→∞

an − an−1

bn − bn−1= lımn→∞

logn

n− 1= log 1 = 0,


y esto implica

lımn→∞

log n√n = lım

n→∞

logn

n= lımn→∞

an

bn= 0 ⇒ lım

n→∞n√n = 1.

Otra forma de hacerlo sin utilizar este criterio es la siguiente: Se tiene que n√n >

1, por tanto n√n = 1 + bn, con bn > 0 y basta demostrar que lımn→∞ bn = 0. Ahora

bien por la definicion de bn y el ejercicio (??)

(3.1) n = (1 + bn)n ≥ 1 + nbn +n(n− 1)

2b2n,

lo cual implica que bn esta entre las dos raıces de la ecuacion

n(n− 1)

2x2 + nx+ 1− n = 0,

que son

x =−n±

√n2 + 2n(n− 1)2

n(n− 1)=

1

1− n±

√1

(n− 1)2+

2

n,

es decir 0 < bn ≤ 11−n +

√1

(n−1)2+ 2n

y el lımite de la derecha es 0.

Tambien se puede dividir la desigualdad (3.1) por n(n− 1)

b2n2

+bn

n− 1≤

1

n

y como bn tiene lımite b, pues bn > 0 y es decreciente, ya que por el ejercicio (??)an es decreciente, tendremos tomando lımites en esta desigualdad que b2/2 ≤ 0, portanto b = 0.

Ejercicio 1.1.15.- Calcular el valor de la serie∑∞n=1 r

n, para 0 < r < 1 y daruna interpretacion geometrica para las series

(a)∞∑n=1

1

2n, (b)

∞∑n=1

1

4n, (c)

∞∑n=1

1

8n

Indicacion.- (a) rsn − sn = rn+1 − r, por tanto∑rn = r/(1 − r). (b) 1,

(interpretacion en el segmento [0, 1]). (c) 1/3, (interpretacion en el triangulo equilaterode lado 1). (d) 1/7, (interpretacion en el tetraedro de lado 1.)

Ejercicio 1.1.16.- Calcular el lımite de la sucesion:

a1 =√

2, a2 =

√2 +√

2, a3 =

√2 +

√2 +√

2, · · ·

Indicacion.- La sucesion es creciente por induccion, pues a2n+1−a2n = an−an−1

y 1 < an < 2, por tanto tiene lımite x tal que x2 = 2 + x, que es x = 2.

Ejercicio 1.1.17.- ¿Cuanto puede sobresalir un libro en una pila de libros,poniendo tantos como se quiera?.

83

Indicacion.- El valor de d puede ser tan grande como se quiera, poniendo su-ficientes libros. Para verlo supondremos que tienen longitud 2 y los numeramos em-pezando por el que esta encima que colocamos entre las rectas x = 0 y x = 2.Ahora llamamos xn a la abscisa del centro de masa del n–simo, por tanto x1 = 1 ydn = xn+1 − 1, es la distancia del lateral izquierdo del n+ 1 al eje y.

Ahora para que se mantengan en equilibrio bastara con que cada uno tenga sobreel el centro de gravedad de los anteriores, es decir

dn =1

n

n∑i=1

xi.

Veamos por induccion que para todo n ≥ 1,

dn − dn−1 =1

n,

(siendo d0 = 0). Para n = 1 es obvio, pues tenemos que d1 = x1 = 1/2. Ahora si escierto para n, veamoslo para n+ 1

dn+1 − dn =1

n+ 1

n+1∑i=1

xi −1

n

n∑i=1

xi =nxn+1 −

∑ni=1 xi

n(n+ 1)

=xn+1 − dnn+ 1

=1

(n+ 1).

por lo tanto

dn =1

n+ dn−1 =

n∑i=1

1

i.

y esta serie es divergente.

Ejercicio 1.1.18.- Sean ai, bi, i = 1, . . . , n, numeros no negativos. Probar que

n√a1 · · · an + n

√b1 · · · bn ≤ n

√(a1 + b1) · · · (an + bn).

Indicacion.- Si alguno es nulo es obvio. En caso contrario dividiendo por laexpresion de la derecha, basta demostrar que para xi ∈ (0, 1) e yi = 1− xi

n√x1 · · ·xn + n

√y1 · · · yn ≤ 1,

lo cual es obvio por la desigualdad (que se tiene por la concavidad del logaritmo)

n√x1 · · ·xn ≤

1

n

∑xi.

Ejercicio 1.1.19.- Demostrar que para n ≥ 3

nn+1 > (n+ 1)n.

Indicacion.- Para n = 3 es cierto 34 = 81 > 64 = 43. Veamos que si es ciertopara n− 1, lo es para n, para lo cual basta demostrar que

(n+ 1)n

nn+1<

nn−1

(n− 1)n, lo cual es obvio.


Ejercicio 1.1.20.- Demostrar que si n es par

cos2π

n+ · · ·+ cos(n− 1)

2π

n+ 1 = 0.

y que

sin2π

n+ · · ·+ sin(n− 1)

2π

n= 0.

Indicacion.- Para n = 2m, y j = 1, . . . ,m eij

2m2π = − ei

j+m2m

2π .

Ejercicio 1.1.21.- Sean x1 ≤ x2 ≤ · · · ≤ xn e y1 ≤ y2 ≤ · · · ≤ yn numerosreales y sea σ una permutacion de los n primeros naturales. Demostrar que

n∑i=1

xn+1−iyi ≤n∑i=1

xσ(i)yi ≤n∑i=1

xiyi.

Indicacion.- La primera desigualdad se sigue de la segunda, considerando t1 =−xn ≤ · · · ≤ tn = −x1.

Veamos la segunda, para ello consideremos cualquier permutacion y veamos quela expresion podemos hacerla crecer cambiandola de modo que en un numero finitode pasos lleguemos a la de la derecha. Sea σ(i) = j, el primer valor en el que σno es la identidad, por tanto σ(k) = k, para todo k < i y j = σ(i) > i = σ(r).Consideremos entonces la nueva permutacion τ , tal que τ(k) = σ(k) para todo k 6= i, ry τ(i) = i = σ(r), τ(r) = σ(i), entonces

n∑k=1

xσ(k)yk ≤n∑i=k

xτ(k)yk,

pues todos los sumandos son iguales salvo el i y el r, siendo

xσ(i)yi + xσ(r)yr = xjyi + xiyr ≤ xiyi + xjyr = xτ(i)yi + xτ(r)yr,

pues (xj − xi)(yr − yi) ≥ 0, ya que j > i y r > i. Ahora τ(k) = k para todo k ≤ i yel mismo procedimiento permite mejorar esta permutacion con otra y en un numerofinito de pasos llegamos a la permutacion identidad.

Ejercicio 1.1.22.- Demostrar que

(1 + 2 + · · ·+ n)2 = 1 + 23 + · · ·+ n3.

Indicacion.- Por induccion, pues para bn la expresion de la derecha y sn =1 + · · ·+ n = n(n+ 1)/2, zn = s2n la de la izquierda

zn+1 − zn = s2n+1 − s2n = (n+ 1)(n(n+ 1) + n+ 1) = (n+ 1)3 = bn+1 − bn,

siendo b1 = z1 y si bn = zn, entonces bn+1 = zn+1.

85

Ejercicio 1.1.23.- Sean 0 < r1 < r2 < · · · < rm ∈ R y 0 < ni ∈ R, parai = 1, . . . ,m. Demostrar que el punto (0, 0) y los m puntos (xi, yi) ∈ R2,siendo

xi =

∑ij=1 nj∑mj=1 nj

, yi =

∑ij=1 njrj∑mj=1 njrj

,

definen una poligonal convexa que une (0, 0) con (1, 1).

Indicacion.- Denotando (x0, y0) = (0, 0), basta ver que para todo i = 1, . . . ,m,las pendientes de los segmentos son crecientes, es decir

yi − yi−1

xi − xi−1≤yi+1 − yixi+1 − xi

,

lo cual equivale a queniri

ni≤ni+1ri+1

ni+1,

y esto es obvio, ademas la desigualdad es estricta.

Ejercicio 1.1.24.- Demostrar que a2, b2, c2 estan en progresion aritmetica sii loestan los inversos de b+ c, a+ c, a+ b.

Indicacion.- Se demuestra facilmente

2b2 = a2 + c2 ⇔2

a+ c=

1

b+ c+

1

a+ b.

Ejercicio 1.1.25.- Demostrar que dos numeros complejos z1, z2, definen untriangulo isosceles con angulo α en 0 y lados iguales los definidos por ellos siy solo si

z21 + z22 = 2z1z2 cosα.

Demostracion.- z1 y z2 forman un triangulo isosceles en las condiciones delenunciado si y solo si z1 es z2 girada α o −α, es decir

0 = (z1 − eiα z2)(z1 − e−iα z2) ⇔ z21 + z22 = 2z1z2 cosα.

Ejercicio 1.1.26.- Demostrar que tres numeros complejos z1, z2, z3 forman untriangulo equilatero si y solo si

z21 + z22 + z23 = z1z2 + z1z3 + z2z3.

Demostracion.- Sean α = z2 − z1 y β = z3 − z1, entonces z1, z2, z3 forman untriangulo equilatero si y solo si β es α girada π/3 o −π/3, es decir

0 = (α− eiπ3 β)(α− e−i

π3 β) ⇔ α2 + β2 = αβ

⇔ (z2 − z1)2 + (z3 − z1)2 = (z2 − z1)(z3 − z1) ⇔

⇔ z21 + z22 + z23 = z1z2 + z1z3 + z2z3.

Ejercicio 1.1.27.- Demostrar que tres numeros complejos z1, z2, z3 forman untriangulo rectangulo e isosceles, con angulo recto en z3, si y solo si

(z1 − z3)2 + (z2 − z3)2 = 0.


.

Demostracion.- z1, z2, z3 estan en esas condiciones si y solo si z = z2 − z3 esz′ = z1 − z3 girada π/2 o −π/2, es decir

0 = (z − iz′)(z + iz′) ⇔ z2 + z′2 = 0.

Ejercicio 1.2.1.- Demostrar que para todo x ∈ R, lım xn

n!= 0.

Indicacion.- Sea |x| < m ∈ N arbitrario. Entonces r = |x|/m < 1 y para n > m

|x|n

n!=|x|m

m!

|x|n−m

(m+ 1) · · ·n<|x|m

m!rn−m =

mm

m!rn → 0.

Ejercicio 1.2.2.- Demostrar que n√n! =∞.

Indicacion.- La sucesion es creciente, pues

(n+ 1)n > n! ⇒ ((n+ 1)!)n = (n+ 1)n(n!)n > (n!)n+1.

y no esta acotada, pues sin√n! < k, serıa

n! < kn ⇒ 1 <kn

n!,

lo cual es absurdo por el ejercicio (1.2.1).

Ejercicio 1.2.3.- Demostrar que para z ∈ C, la serie∑∞n=0

zn

n!es absolutamente

convergente y la convergencia es uniforme en todo acotado de C y que exp(0) =1.

Indicacion.- Por el criterio del cociente o por el criterio de la raız aplicando losejercicios anteriores.

Ejercicio 1.2.4.- Demostrar que la probabilidad de las permutaciones de {1, 2, . . . , n},que no tienen ningun numero en su sitio es

n∑i=0

(−1)i

i!,

y por tanto cuando n→∞ converge a 1/e.

Indicacion.- Denotemos con pn la probabilidad pedida y con qn = 1 − pn, laprobabilidad de su complementario, es decir de las permutaciones que dejan algunnumero en su sitio. Pongamos este conjunto como union disjunta de los n siguientesconjuntos:

El primero es el de las permutaciones que solo tienen un numero en su sitio, quepuede ser cualquiera de los n y la probabilidad de cualquiera de ellos es pn−1/n. Laprobabilidad de este conjunto es(n

1

) 1

npn−1 = pn−1,

el segundo es el conjunto de las permutaciones que solo tienen 2 numeros en su sitio,que pueden ser 12, 13,· · · , (n− 1)n, que son n(n− 1)/2 posibilidades y cualquiera de

87

ellas con la misma probabilidad que es pn−2/n(n − 1), en definitiva la probabilidades (n

2

) 1

n(n− 1)pn−2 =

1

2pn−2,

y en general el i–esimo conjunto tiene probabilidad(ni

) 1

n(n− 1) · · · (n− i+ 1)pn−i =

1

i!pn−i,

valido tambien para i = n si definimos p0 = 1.En definitiva tenemos que

1− pn = qn =

n∑i=1

1

i!pn−i es decir 1 =

n∑i=0

1

i!pn−i,

y por tanto para x ∈ (0, 1),

xn =

n∑i=0

xi

i!xn−ipn−i,

y sumando tendremos aplicando el Teorema de Martens (1.9), pag. 12 y definiendof(x) =

∑xnpn, g(x) = e−x y h(x) = (1− x)−1

h(x) =

∞∑n=0

xn =

∞∑n=0

n∑i=0

xi

i!xn−ipn−i =

( ∞∑n=0

xn

n!

)( ∞∑n=0

xnpn

)=

= ex ·f(x) ⇒ f(x) = g(x)h(x),

y como g(n(0) = (−1)n y h(n(0) = n!, tendremos que

pn =1

n!f (n(0) =

1

n!

n∑i=0

(ni

)g(i(0)h(n−i(0) =

n∑i=0

(−1)i

i!siendo

∞∑i=0

(−1)i

i!= e−1 .

Ejercicio 1.2.5.- Demostrar que la primera sucesion es creciente y la segundadecreciente y ambas acotadas(

1 +1

n

)n,

(1− 1

n

)−n.

Indicacion.- Lo veremos para la primera, la segunda es similar. Como(1 +

1

n

)n<

(1 +

1

n+ 1

)n+1

⇔(n+ 1)n

(n+ 2)n+1<

nn

(n+ 1)n+1,

estudiamos la funcion

f(x) =xn

(x+ 1)n+1,

para la cual f ′ = 0 en x = n y f ′ < 0 en x > n, por tanto es decreciente en x > n.Veamos que es acotada(

1 +1

n

)n=

n∑i=0

n!

i!(n− i)!ni= 1 +

n∑i=1

n(n− 1) · · · (n− i+ 1)

ni1

i!

< 1 +n∑i=1

1

i!< 1 +

n−1∑i=0

1

2i< 1 +

∞∑i=0

1

2i= 3.



lımn→∞

(1 +

1

n

)n= lımn→∞

(1− 1

n

)−n= lım|an|→∞

(1 +

1

an

)an= e .

Indicacion.- Los dos primeros son casos particulares del ultimo. Se tiene queε = 1/an → 0 y tomando logaritmos

an ln

(1 +

1

an

)=

ln(1 + ε)− ln(1)

ε→ ln′(1) = 1.


lımnn√n!

= e.

Indicacion.- Aplicando el ejercicio (1.1.13) a an = nn/n!, pues

an+1

an=

(n+ 1)n+1 n!

(n+ 1)!nn=

(n+ 1)n

nn=

(1 +

1

n

)n→ e.

Ejercicio 1.2.8.- Demostrar que e es irracional.

Indicacion.- Veamos que lo es e−1 =∑

(−1)n/n!.

s2m−1 =

2m−1∑n=0

(−1)n

n!< e−1 <

2m∑n=0

(−1)n

n!= s2m,

de donde se sigue que

0 < (2m− 1)!(e−1 − s2m−1) <1

2m<

1

2,

y como (2m−1)!s2m−1 es entero, si e−1 fuese racional tomandom adecuado tendrıamosdos enteros con diferencia entre 0 y 1/2, lo cual es absurdo.

Ejercicio 1.2.9.- Estudiar la funcion x1/x. ¿Cual es mayor eπ o πe?.

Indicacion.- f(x) = x1/x = elog xx , esta definida para x > 0, y

f ′(x) = elog xx

1− log x

x2,

por tanto f ′(x) = 0 sii log x = 1, es decir x = e y f ′(x) > 0 sii log x < 1, por tantof es creciente en (0, e) y f ′(x) < 0 sii log x > 1, por tanto f es decreciente en (e,∞).De modo que

x1/x < e1/e (para todo x 6= e) ⇔ xe < ex .

En particular tendremos para x = π que πe < eπ .

89

Figura 3.1. Curva y = x1/x

Ejercicio 1.2.11.- Dada la funcion definida en (0,∞), f(x) =(1 + 1

x

)x: (a)

Calcular lımx→0+ f(x). (b) Demostrar que f ′(x) > 0 para todo x. (c) Calcularlımx→∞ f(x) y (d) calcular lımx→0+ f

′(x).

Indicacion.- (a) Por una parte lımx→0+ x log(x+ 1) = 0 y por L’Hopital

lımx→0+

x log(x) = − lımx→0+

x log(x−1) = − lımy→∞

log(y)

y= 0,

por tanto

lımx→0+

f(x) = lımx→0+

exp(x log(x+ 1))

exp(x log(x))= 1.

(b) f ′(x) = f(x)g′(x) > 0, pues para

g(x) = x log(x+ 1)− x log(x), g′(x) = log(x+ 1

x) +

x

x+ 1− 1,

y basta demostrar que para y = (x+ 1)/x > 1, h(y) = log(y) + (1/y)− 1 > 0, lo cuales obvio pues

h(1) = 0, y h′(y) =1

y−

1

y2=y − 1

y2> 0.

(c) Ahora como f es creciente tendremos que

lımx→∞

f(x) = lımn→∞

f(n) = e.

(d) lımx→0+ f′(x) = lımx→0+ g

′(x) =∞.

Ejercicio 1.2.12.- Sean f , g y h tres funciones reales tales que f ′ = g, g′ = hy h′ = f . Demostrar que f3 + g3 + h3 − 3fgh es constante.

Indicacion.- La derivada de la funcion f3 + g3 + h3 − 3fgh es

3f2f ′ + 3g2g′ + 3h2h′ − 3f ′gh− 3fg′h− 3fgh′ =

= 3(f2g + g2h+ h2f − g2h− fh2 − f2g) = 0,

por tanto es constante.

Ejercicio 1.2.13.- Sea f : [0, 1]→ R una funcion continua tal que f(0) = f(1).a) Probar que existe x ∈ [0, 1/2], tal que f(x) = f(x + 1/2). b) Probar quepara todo numero natural n, existe x ∈ [0, 1−1/n], tal que f(x) = f(x+1/n).c) Demostrar que si se recorren 20 Km. en 4 horas, hay un intervalo de tiempode una hora durante el cual se recorren exactamente 5 Km.

Indicacion.- Demostracion. (a) Por el Teorema de Bolzano, pues las curvasen [0, 1/2], f y g(x) = f(x + 1/2) se cortan, ya que toman valores contrarios en los


extremos, es decir (f(0) − g(0))(f(1/2) − g(1/2)) < 0, dado que g(0) = f(1/2) yg(1/2) = f(0). (b) Para n, basta observar que si g(x) = f(x+ 1/n), tendremos que

g(0) = f(1/n), g(1/n) = f(2/n), . . . , g(1− 1/n) = f(0),

por tanto la suma de f(0) − g(0), f(1/n) − g(1/n), . . ., f(1 − 1/n) − g(1 − 1/n) esnula por lo que tiene que haber dos de estos valores seguidos contrarios en signo y enel intervalo correspondiente f y g coinciden en algun punto. (c) Sea h(t) la funcionque da la distancia recorrida en funcion del tiempo, entonces h(0) = 0 y h(4) = 20.Ahora bien los 4 valores ai = h(i)−h(i−1), no pueden ser mayores que 5, ni menoresque 5, por tanto tiene que haber dos seguidos distintos, es decir ai < 5 < ai+1 (o alreves). En cuyo caso la funcion continua f(t) = h(i + t) − h(i − 1 + t) − 5 en 0 y 1toma valores contrarios en signo, por lo que se anula en algun t ∈ (0, 1).

Otra forma muy visual es ver la curva cerrada en un cilindro con base la cir-cunferencia de longitud 1 (pues f(0) = f(1)) y considerar segmentos con extremosopuestos en la curva (es decir que la proyeccion del segmento pase por el centro de lacircunferencia), cuando giramos el segmento a la fuerza hay uno horizontal, pues nopuede ser siempre creciente o siempre decreciente, pues no cerrarıa la curva al dar lavuelta (de hecho al dar media vuelta cambia de direccion). Los otros casos son simi-lares, para n = 3 se consideran tres segmentos con extremos en la curva y proyeccionun triangulo equilatero, no pueden ser los tres crecientes o los tres decrecientes, puesno serıa cerrada la curva, por tanto hay dos seguidos contrarios y por continuidad(girando el triangulo) uno horizontal.

Ejercicio 1.2.14.- Dar una demostracion geometrica y una analıtica de lımx→0sen xx

=1 y calcular el

lımx→0

1− cosx

x.

Figura 3.2.

Indicacion.- Para 0 < x < π/2, tenemos que:

area OAB =senx

2< area sector OAB

=x

2< area OAC =

tanx

2,

es decir senx < x < senx/ cosx, o cosx < senx/x < 1 y el resultado se siguetomando lımites pues lımx→0 cosx = cos 0 = 1.

lımx→0

1− cosx

x= lımx→0

1− cos2 x

x(1 + cosx)= lımx→0

sen2 x

x(1 + cosx)= lımx→0

x

1 + cosx= 0.

91

Ejercicio 1.2.15.- Demostrar que si h ∈ C∞(R), y h(0) = 0, entonces existeuna unica funcion f ∈ C∞(R), tal que h(x) = f(x)x.

Indicacion.- Sea g(t) = h(tx), entonces h(x) = g(1) =∫ 10 g′(t) dt = x

∫ 10 h′(tx)dt,

por tanto basta demostrar que f(x) =∫ 10 h′(tx)dt es de clase ∞, lo cual se sigue del

Teorema de derivar bajo el signo integral, pues para f(t, x) = h′(tx), se tiene que∣∣∣∣∂nf∂xn(t, x)

∣∣∣∣ = |h(n+1(tx)tn|,

esta acotado en cualquier entorno acotado de x y t ∈ [0, 1].

Ejercicio 1.2.16.- Demostrar que h ∈ C∞(R), para la funcion

h(x) =senx

x,

para x 6= 0 y h(0) = 1.

Indicacion.- Es consecuencia de que lımx→0 senx/x = 1 y una simple aplicaciondel ejercicio (1.2.15) .

Ejercicio 1.2.17.- Sea f una funcion diferenciable tal que f ′(x) = f(x)/x.Calcular cuanto vale sabiendo que f(2) = 1.

Indicacion.- f ′′(x) = (f ′(x)x− f(x))/x2 = 0. Por tanto f ′(x) = a es constantey f(x)/x = a, es decir f(x) = ax y como f(2) = 1, es f(x) = x/2.

Ejercicio 1.2.18.- Dados los puntos A = (0, a) y B = (c, b), con a > 0 y b < 0,encontrar el punto (x, 0), para el que el tiempo que se tarda de A a B pasandopor (x, 0) es mınimo, sabiendo que las velocidades v1 en y > 0 y v2 en y < 0,son constantes.

Indicacion.- El tiempo que se tarda de A a B pasando por (x, 0) es

t(x) =

√a2 + x2

v1+

√b2 + (x− c)2

v2,

t′(x) =x

v1√a2 + x2

+x− c√

b2 + (x− c)2= 0 ⇔

cosα

cosβ=v1

v2,

t′′(x) =a2

v1(√a2 + x2)3

+b2

v2(√b2 + (x− c)2)3

> 0.

Ejercicio 1.2.19.- Calcular en forma binomica

(1− i)m+2n

(1 + i)m= a+ bi

en funcion de n y m.

Indicacion.- 1−i =√

2 e−iπ4 , 1+i =

√2 ei

π4 , por tanto a+bi = 2n, 2ni,−2n,−2ni

segun sea m+ n multiplo de 4 (4), 4 + 1, 4 + 2, o 4 + 3.


Ejercicio 1.2.20.- Demostrar que para cualesquiera x, y ∈ R,

| senx− sen y| ≤ |x− y|.

Indicacion.- Para x = y obvio y para x 6= y es consecuencia del teorema delvalor medio

f(x)− f(y) = (x− y)f ′(z),

para z entre x e y.

Ejercicio 1.2.21.- Consideremos la funcion f(x) = x+k−c senx, para c ∈ (0, 1)y k ∈ R. Demostrar que f tiene una unica raız, que los puntos de inflexionde su grafica (i.e en los que f ′ 6= 0 y f ′′ = 0) estan alineados e igualmenteespaciados, que la sucesion xn+1 = xn − f(xn) con x0 arbitrario, tiene lımitey darlo y que la serie

∑f(xn) es convergente y dar su valor.

Indicacion.- f es creciente, pues c cos < 1 y f ′ = 1− c cosx > 0, por tanto tieneuna unica raız pues f(x) → ±∞ cuando x → ±∞. Ademas f ′′ = 0 sii senx = 0 esdecir x = kπ y en ellos f(x) = x+k. La sucesion es xn+1 = xn−f(xn) = c senxn−k,por tanto por el ejercicio (1.2.20)

|xn+1 − xn| ≤ c| senxn − senxn−1| ≤ c|xn − xn−1| ≤ cn|x1 − x0|,

de donde se sigue que la sucesion es de Cauchy, pues

|xn+m − xn| ≤ |x1 − x0|n+m−1∑i=n

ci,

y la serie∑cn es convergente. Por tanto tiene lımite xn → r y por ser f continua

r = r − f(r), por tanto f(r) = 0 y el lımite es la raız. Por ultimo∑ni=0 f(xi) =

x0 − xn+1 → x0 − r.

Ejercicio 1.2.22.- (i) Sea c > 0. Calcular el lımite de la sucesion definida porinduccion:

a1 =√c, an+1 =

√c+ an.

(ii) ¿Es continua en 0 la funcion definida en [0,∞)

f(x) =

√x+

√x+√x+ · · · ?

Indicacion.- (i) Por induccion se demuestra que es creciente pues a2 ≥ a1 ya2n+1 = c+ an y a2n = c+ an−1, por tanto a2n+1− a2n = an− an−1 ≥ 0 y an+1 ≥ an.

Ahora si tiene lımite finito es la solucion de x2 = c+ x, es decir a = (1 +√

1 + 4c)/2y lo tiene porque por induccion an ≤ a ya que a1 ≤ a, pues a21 = c ≤ a2 = c+ a y sies valido para n tambien para n+ 1 pues a2n+1 = c+ an ≤ c+ a = a2.

(ii) No. Para x > 0, f(x) = 1+√1+4x2

y lımx→0 f(x) = 1, y f(0) = 0.

Ejercicio 1.2.23.- Queremos hacer una caja con un carton cuadrado de 1 metrode lado, para ello cortamos las esquinas en forma de cuadrado y levantamos

93

las 4 solapas que quedan para formar las caras de la caja. ¿Que longitud debetener el lado del cuadrado para que la caja tenga maximo volumen?.

Figura 3.3.

Indicacion.- Si x ∈ [0, 1/2] es el lado del cuadrado que cortamos tendremos quela caja tiene volumen

f(x) = (1− 2x)(1− 2x)x = 4x3 − 4x2 + x,

por tanto f ′(x) = 12x2− 8x+ 1 y f ′(x) = 0 para x = 1/2 y x = 1/6, es positiva parax < 1/6 y x > 1/2 (aunque ni en estos ni en los x < 0 esta definida nuestra funcionque lo esta en [0, 1/2]) y es negativa para x ∈ (1/6, 1/2). Por tanto f es creciente en[0, 1/6] y decreciente en [1/6, 1/2], por tanto alcanza el maximo en 1/6.

Ejercicio 1.2.24.- Existen polinomios unicos con coeficientes enteros pn(x) ∈Z[x], para n ∈ Z para los que

xn +1

xn= pn(x+

1

x).

Ademas pn ◦ pm = pnm.

Indicacion.- Para n = 0, tenemos que p0 = 2 y para n = 1, p1 = x, y conocidoslos polinomios hasta n, conocemos el siguiente, pues(

xn +1

xn

)(x+

1

x

)= xn+1 +

1

xn+1+ xn−1 +

1

xn−1.

por tanto xpn = pn+1 + pn−1 y pn+1 = xpn − pn−1.En particular tenemos los primeros valores

p0 = 2, p1 = x, p2 = x2 − 2, p3 = x3 − 3x, p4 = x4 − 4x2 + 2,

p5 = x5 − 5x3 + 5x, p6 = x6 − 6x4 + 9x2 − 2, . . . , p2n = p2(pn) = p2n − 2,

Salen de forma natural estos polinomios si queremos encontrar las raıces de unpolinomio capicua”

q2n(x) = anx2n+an−1x

2n−1 + · · ·+a1xn+1 +a0xn+a1x

n−1 + · · ·+an−1x+an = 0,

pues dividiendo por xn,

q2n(x)

xn=

n∑i=1

aipi

(x+

1

x

)+ a0,

y tendremos que x es raız de q2n sii y = x+ 1/x es raız de∑aipi(y) + a0 = 0.


Ejercicio 1.2.25.- Sea f : R → R una aplicacion tal que para cualesquierax, y ∈ R, |f(x)− f(y)| ≤ |x− y| y f [f [f(0)]] = 0. Demostrar que f(0) = 0.

Indicacion.- |f [f(0)]− f(0)| ≤ |f(0)| = |f [f [f(0)]]− f(0)| ≤

≤ |f [f(0)]| = |f [f [f(0)]]− f [f(0)]]| ≤ |f [f(0)]− f(0)|,

por tanto todos son iguales y f(0) = ±f [f(0)]. Se sigue que f(0) = 0.

Ejercicio 1.2.26.- Sean a, x ∈ (0, 1). Demostrar que 1−ax1−a > x.

Indicacion.- Para g(x) = 1 + ax y f(x) = x + ax, hay que probar que g > f ,ahora bien f(0) = g(0) = 1 y f(1) = g(1) = 1 + a, ademas g es lineal y f es convexa,pues f ′ = 1 + ax log a y f ′′(x) = ax(log a)2 > 0. .

Ejercicio 1.2.27.- Dada una funcion derivable en 0, f : R→ R, tal que f(x/2) =f(x)/2. Probar que f(x) = xf(1).

Indicacion.- f(0) = f(0)/2, por tanto f(0) = 0. Ademas para cada x es cons-tante la sucesion 2nf(x/2n) = f(x) y el resultado se sigue, pues

f ′(0) = lımf(x/2n)− f(0)

x/2n=f(x)

x= f(1).

Ejercicio 1.2.28.- Dada una funcion continua f : [0, 1]→ R, derivable en (0, 1),tal que f(0) = 0 y f(1) = 1, demostrar que para cada n ∈ N, existen x1 <. . . < xn ∈ (0, 1) tales que ∑

f ′(xi) = n.

Indicacion.- Aplicando el teorema del valor medio en los intervalos I1 = [0, 1/n],I2 = [1/n, 2/n],...Existen xj ∈ Ij , tales que

f ′(xj) = n(f(j/n)− f((j − 1)/n)).

Ejercicio 1.2.29.- Sea f : R→ [0, 1] de clase 2. Probar que existe un x ∈ R talque f ′′(x) = 0.

Indicacion.- En caso contrario la derivada segunda serıa positiva en todo puntoo negativa, es decir convexa o concava pero estas no tienen imagen acotada.

Ejercicio 1.2.30.- Demostrar que toda funcion convexa en un intervalo abiertode R es continua.

Indicacion.- Por la convexidad la curva esta entre dos rectas que pasan por cadapunto de la curva, por tanto es localmente Lipchiciana y por tanto continua.

Ejercicio 1.2.31.- Demostrar que la proyeccion estereografica desde el polo dela esfera al plano del ecuador conserva angulos y transforma circunferenciasen circunferencias o rectas.

Indicacion.- La proyeccion estereografica es una aplicacion de la esfera unidaden el plano de su ecuador que lleva cada punto A = (x, y, z) distinto del polo P ,

95

desde el que proyectamos, en el punto A′ = ( x1−z ,

y1−z ) del plano tal que P,A,A′

estan alineados.

A

P

A'

Figura 3.4. Proyeccion estereografica.

Vamos a demostrar visualmente que la proyeccion estereografica conserva angulosy transforma circunferencias en circunferencias o rectas.

(i) Dados a y b dos vectores tangentes en un punto Q de la esfera y otros dos cy d en otro punto P , de modo que b, d, PQ sean coplanarios y a, c, PQ tambien,entonces por simetrıa el angulo que forman a y b es el mismo que forman c y d (verfig.3.5).

P Qa

b

c

d

Figura 3.5. Angulo ab = angulo cd

(ii) Sean a y b un par de vectores tangentes en un punto A de la esfera, entoncesse sigue de (i) que tienen el mismo angulo que a′′ y b′′, los cuales por paralelismotienen el mismo que a′ y b′, que son la proyeccion de a y b (ver fig.3.6).

P

A'

A

b''

a''

a b

a'b'

Figura 3.6. La proy. ester. conserva angulos.

iii) La proyeccion estereografica lleva cada circunferencia pasando por P en larecta interseccion del plano del ecuador y el plano de la circunferencia (ver fig.3.7).

P

AB

A' B'

Figura 3.7. La proy. ester. lleva circunferencias pasando por P en rectas.


iv) Por ultimo la proyeccion de cualquier circunferencia que no pase por P es engeneral una elipse (pues es una conica cerrada), con la siguiente propiedad, dadosdos puntos suyos A′ y B′, el corte con la recta A′B′, define en esos puntos angulosiguales (ver fig.3.8).

P

A

BC

D

A'

B'

C'

D'

Figura 3.8. La proy. ester. lleva circunferencias en circunferencias.

Esto es consecuencia de que sobre la esfera dos circunferencias PAB y ABCDse cortan en A y B bajo angulos iguales y la proyeccion conserva angulos; y la cir-cunferencia es la unica elipse con esa propiedad, basta considerar la recta que une losextremos de sus semiejes.

Ejercicio 1.2.32.- Demostrar que la aplicacion τ = πQ ◦ π−1P : R2 → R2, com-

posicion de la inversa de la proyeccion estereografica desde un polo P , con laproyeccion estereografica desde el otro polo Q, es la inversion respecto de lacircunferencia del ecuador.

P

Q

A

B

O A'

Figura 3.9.

Indicacion.- Es consecuencia de que para πP (B) = A y πQ(B) = A′, los triangu-los rectangulos (ver dibujo) POA, PBQ y QOA′ son semejantes pues tienen dosangulos comunes, por tanto

OA′

OQ=OP

OA⇒ OA ·OA′ = OP 2.

Ejercicio 1.2.33.- Demostrar que la inversion respecto de una circunferenciaconserva angulos y lleva circunferencias que no pasan por el centro en circun-ferencias y las que pasan por el centro en rectas.

Indicacion.- .

Ejercicio 1.2.35.- Dado un polinomio P (z), en C, con raıces α1, . . . , αn, de-notamos con c1(P ) el centro de masa de sus n raıces, con c2(P ) el de los

(n2

)

97

productos αiαj , de cada dos de sus raıces y en general con ck(P ) el de sus(nk

)productos de k de sus raıces. Demostrar que para su derivada P ′(z)

c1(P ) = c1(P ′), . . . , cn−1(P ) = cn−1(P ′).

.

Indicacion.- Sin perdida de generalidad podemos suponer que P es monico, portanto si denotamos con β1, . . . , βn−1 las raıces de P ′, tendremos que

P (z) = (z − α1) · · · (z − αn) = zn − (∑

αi)zn−1+

+ (∑i1<i2

αi1αi2 )zn−2 + · · ·+ (−1)nα1 · · ·αn

P ′(z) = nzn−1 − (n− 1)(∑

αi)zn−2 + (n− 2)(

∑i1<i2

αi1αi2 )zn−3 + · · ·+

+ (−1)n−1∑

i1<···<in−1

αi1 · · ·αin−1 = n(z − β1) · · · (z − βn−1)

= nzn−1 − n(∑

βi)zn−2 + n(

∑i1<i2

βi1βi2 )zn−3+

+ · · ·+ n(−1)n−1β1 · · ·βn−1,

y el resultado se sigue pues (n−1k

)(nk

) =n− kn

.

Ejercicio 1.2.34.- Demostrar que la ecuacion

(x− 1) ex = (x+ 1) e−x,

tiene solo dos raıces reales y son simetricas respecto del origen.

Indicacion.- Obviamente si x es solucion −x tambien y la ecuacion es f(x) =g(x), para

f(x) = e2x g(x) = 1 +2

x− 1,

ahora bien f es creciente y g es decreciente en I = (−∞, 1) y en J = (1,∞), por tantotienen un unico punto en comun en I, pues f(−∞) = 0 < g(−∞) = 1 y f(1) = e2 >g(1−) = −∞ y otro en J , pues f(1) = e2 < g(1+) = ∞ y f(∞) = ∞ > g(∞) = 1.

Ejercicio 1.2.36.- Dado un polinomio p(x) =∑mix

i con coeficientes enteros,se considera cualquier entero m y su imagen n = p(m); y en el plano de lagrafica se construye la maya cuadrada, de lado n, definida por el segmento deextremos el punto elegido y su imagen, es decir en coordenadas por (m, 0) y(m,n). Probar que todas las rectas verticales de la maya cortan la grafica delpolinomio en nodos de la maya.


Indicacion.- Las rectas verticales de la maya son x = m + kn, para k ∈ Z y setiene por el binomio de Newton, que

p(m+ kn) =∑

ai(m+ kn)i =∑

ai(mi + n) =

∑aim

i + n = n+ n = n.

Ejercicio 1.2.37.- Demostrar que no existe un polinomio p(x) =∑mix

i concoeficientes enteros, cuya imagen sea el conjunto de los primos.

Indicacion.- Si existiera tal polinomio, p(0) = n es primo y tambien lo serıapara todo k, p(kn), pero por el resultado anterior, p(kn) = n · q(n, k), siendo q unpolinomio en k, de grado menor o igual que el de p, que tiene que ser constante (0o 1), pero un polinomio de grado s a lo sumo tiene s raıces, por lo que llegamos acontradiccion.

Ejercicio 1.2.38.- Dado un polinomio complejo P (z), demostrar que las raıcesde P ′ estan en la envolvente convexa de las raıces de P .

(Geometrıa) Demostrar que si para cada punto z consideramos la inversionz′i de los zi respecto de una circunferencia centrada en z, entonces z es raız deP ′ sii es el baricentro de los z′i.

(Fısica) Y si consideremos la funcion armonica en el plano que dependede ρ, u = log ρ y la fuerza correspondiente gravitatoria plana con una masaatractora en el origen

F = − gradu = −ux∂x − uy∂y = − x

ρ2∂x −

y

ρ2∂y,

y consideramos las fuerzas de este tipo Fi debidas a varias masas iguales fijasen los puntos zi, tendremos que z es una raız de P ′ sii

∑Fi = 0 en z.

Indicacion.- Sea P (z) =∏ni=1(z − zi), entonces para z ∈ C, tal que P (z) 6= 0,

P ′(z)

P (z)=

n∑i=1

1

z − zi=

n∑i=1

z − zi|z − zi|2

y si β 6= zi es raız de P ′, tendremos que para λi = 1/|β − zi|2

0 =

n∑i=1

β − zi|β − zi|2

=

n∑i=1

λi(β − zi) ⇔ β =∑

µizi,

para µi = λi/(∑λi) ≥ 0, con

∑µi = 1.

Ejercicio 1.2.39.- Un planeta de radio 2r del mismo material que la Tierra,tiene un hueco esferico, concentrico, de radio r. El planeta tiene un agujero,que lo atraviesa diametralmente, por el que dejamos caer una piedra. ¿Cuantotiempo tarda en recorrer el diametro del hueco?. ¿Cuanto tarda en recorrer eldiametro total del planeta?. Se supone que el radio de la tierra es R = 6371km y que la aceleracion de la gravedad en la tierra es g = 9, 78 m/seg2.

Indicacion.- En primer lugar la masa de un planeta de radio s, con la mismadensidad ρ que la tierra es

Ms = ρ

(4

3πs3)

=g

G ·Rs3,

99

para R el radio de la Tierra y g la aceleracion de la gravedad en la Tierra que es

g =G

R2

(4

3πR3 ρ

)=

(4

3π ρ

)G R.

Pongamos un sistema de coordenadas en el centro del planeta, con el agujero enel eje x entre −2r y 2r, de modo que la parte hueca esta entre −r y r. Denotemoscon x(t) la posicion de la piedra en el instante t, siendo x(0) = 2r y x′(0) = 0. Laaceleracion de la piedra en el agujero, antes de llegar a la parte hueca, es decir parar < x < 2r, es para c = R/g

x′′ = −G(Mx −Mr)

x2=r3 − x3

c x2

siendo la funcion de la derecha −u′, para u el potencial

1

c

(r3

x+x2

2

)por tanto es constante la energıa total h, cinetica mas potencial (por unidad de masa),

h(t) =x′2

2+

1

c

(r3

x+x2

2

)= h(0) =

1

c

(r3

2r+

(2r)2

2

)=

5r2

2c,

(para comprobarlo derıvese respecto del tiempo y es h′ = 0). Por tanto

x′ =

√1

c

(5r2 −

−2r3

x− x2

).

Ahora la aceleracion en el interior hueco es nula, por tanto la velocidad es cons-tante y es la que tiene cuando llegue al hueco (instante que llamaremos T1, en el quex(T1) = r), es decir

x′(T1) =

√1

c

(5r2 −

2r3

r− r2

)= r

√2

c.

y el tiempo T2 que tarda en recorrer el hueco, de longitud 2r, a esa velocidad esindependiente de r

T2 =2r

x′(T1)=√

2 c =

√2

6,371,000

9, 78seg ' 19′.

Ahora como conocemos la velocidad dx/dt = x′ = v(x), tendremos que dt = v(x)−1dxe integrando

T1 = t(2r)− t(r) =

∫ 2r

r

√c

5r2 − 2r3

x− x2

dx =

∫ 2

1

√c

5− 2x− x2

dx ' 15′30′′.

tambien es independiente de r. Por tanto el tiempo que tarda en salir por el otro ladoes unos 50′.

Ejercicio 1.4.1.- Calcular el area y el volumen de la elipse y elipsoide respectivamente

x2

a2+y2

b2= 1,

x2

a2+y2

b2+z2

c2= 1.


Ind. Consideremos la aplicacion lineal

T : R2 → R2, (x, y)→(a 00 b

)(xy

)=

(axby

),

que para E = {(x, y) ∈ R2 : x2

a2+ y2

b2≤ 1}, y B = {(x, y) : x2 + y2 ≤ 1}, T (B) = E,

por tantom[E] = m[T (B)] = |detT |m[B] = abπ.

Ejercicio 1.4.4.- (a) Demostrar que el area de la esfera de radio r es 4πr2.(b) Demostrar que el area del casquete esferico de radio r y altura h es 2πrh.

Ind. Basta demostrar (b). La proyeccion del casquete es el cırculo de radio k =√2rh− h2, pues k2 + (r − h)2 = r2, y su area es para z(x, y) =

√r2 − x2 − y2 y

U = {x2 + y2 ≤ k2}∫U

√1 + z2x + z2y dx dy = r

∫U

dx dy√r2 − x2 − y2

,

y por el teorema de cambio de variable para F = (f1, f2) : V = (0, k)× (0, 2π)→ R2,F (ρ, θ) = (ρ cos θ, ρ sin θ), como F (V ) = U = {x2 + y2 ≤ k2} y J(DF(ρ,θ)) =|f1ρf2θ − f1θf2ρ| = ρ,

r

∫F (V )

dx dy√r2 − x2 − y2

= r

∫V

ρ dρ dθ√r2 − ρ2

= −2π r[√

r2 − ρ2]k0

= 2π r h.

Ejercicio 1.4.5.- Una bicicleta de longitud L hace un recorrido en el que nuncagira a la derecha. Si el angulo total girado es ϕ, demostrar que el area que barre es1

ϕL2/2.

Demostracion. Consideremos un sistema de coordenadas cartesiano, con el ori-gen en el punto del que parte y siendo el semieje x positivo la direccion en la quesale. Parametricemos la curva trayectoria (x(t), y(t)), por el tiempo t ∈ [0, T ] y talque x(0) = y(0) = y′(0) = 0 y sea θ : [0, T ] → [0, ϕ] el angulo de la pendiente a lacurva en cada punto (x(t), y(t)), por tanto tal que x′ sen θ − y′ cos θ = 0, el cual escreciente por la hipotesis.

La region barrida es

B = F [[0, T ]× [0, L]], F (t, r) = (x(t) + r cos θ(t), y(t) + r sen θ(t)),

siendo |DF | = rθ′, por tanto

m[B] =

∫ T

0

∫ L

0rθ′(t) drdt = L2ϕ/2.

Ejercicio 1.4.6.- Curva de Agnesi: Dada una circunferencia de radio a/2 tangenteal eje x y centro en el eje y y dada la tangente paralela al eje x en el punto (0, a), seconsidera el lugar geometrico de los puntos del plano (x, y), obtenidos de la siguienteforma: Se traza la recta que une el origen con el punto de la tangente de abscisa x,es decir (x, a) y se considera la ordenada y del punto de corte de esta recta con lacircunferencia.

1En particular si la bicicleta vuelve al punto de partida, el area que barre esconstante e igual a la del cırculo de radio L.

101

Demostrar que el area subyacente a la curva es 4 veces el area del cırculo de laconstruccion. Que la curva tiene dos puntos simetricos en los que pasa de ser convexaa concava y las verticales en esos puntos dividen el area subyacente en tres regionesde igual area y que los pies de esas verticales en el eje x definen con el punto maximo(0, a) de la curva un triangulo equilatero. Encontrar el centro de gravedad de la regionentre la curva y el eje x.

Demostrar que el volumen que genera al girarla respecto del eje x es 2 veces eldel toro que genera el cırculo.

Demostracion. Se tiene por calculo inmediato que

y =a3

x2 + a2.

El area es para tan θ = t = x/a, para la que (1 + t2)dθ = dt = dx/a∫ ∞−∞

a3

x2 + a2dx = a2

∫ ∞−∞

1

t2 + 1dt = a2

∫ π/2

−π/2dθ = a2π.

mientras que el volumen encerrado por la superficie de revolucion es por el teorema dela medida producto y teniendo en cuenta por el cambio anterior que cos2 θ = 1/(1+t2)∫ ∞

−∞πy2(x) dx = π

∫ ∞−∞

a2

(1 + t2)2dx = πa3

∫ π/2

−π/2cos2 θ dθ =

π2a3

2,

siendo el volumen del toro por el Teorema de Pappus el producto del area del cırcu-lo πa2/4 por la longitud, πa, de la curva que genera el centro de gravedad de lacircunferencia (0, a/2).

Ahora por el Teorema de Pappus podemos calcular el volumen de la figura comoel producto del area de la region entre la curva y el eje x, que lo hemos calculadoantes y vale a2π, multiplicado por la longitud 2πr de la curva que genera el centrode gravedad (0, r) de la region, por tanto 2π2a2r = π2a3/2 y r = a/4.

Ejercicio 1.4.7.- Demostrar que para una rotacion o una traslacion2 T : Rn → Rn,el centro de masas C(B) de un boreliano B satisface T [C(B)] = C[T (B)].

Ind. Una traslacion o una rotacion T , conserva las medidas de Hausdorff, (T∗(Hk) =Hk), por tanto

xi[C(T (B))] =

∫T (B) xi dHk

Hk[T (B)]=

∫B xi ◦ T dHkHk(B)

,

y si T (x) = x + a es una traslacion, xi ◦ T = xi + ai y xi[C(T (B))] = xi[C(B)] +ai = xi[T (C(B))]; y si T (p) = (

∑aijpj) es una rotacion, xi ◦ T =

∑aijxj y

xi[C(T (B))] =∑aijxj [C(B)], por tanto C[T (B)] = T [C(B)].

Ejercicio 1.4.8.- Demostrar que si T : Rn → Rn es un isomorfismo, el centro demasas C(B) de un boreliano B, con 0 < m(B) <∞, satisface C[T (B)] = T [C(B)].

Ind. Es similar al ejercicio (1.4.7), teniendo en cuenta quem[T (B)] = |detT |m[B]y por tanto T∗m = | detT |−1m, por tanto

xi[C(T (B))] =

∫T (B) xi dm

m[T (B)]=

∫T (B) xi d(T∗m)

m[B]=

∫B xi ◦ T dmm(B)

.

2Debemos observar que este resultado no es cierto para isomorfismos en gene-ral, salvo que dimH(B) = n (ver el ej. (1.4.8), pues solo sabemos que Hk[T (B)] =J(T )Hk[B], para T : Rk → Rn.


Ejercicio 1.4.10.- Dado en el plano un triangulo T2 de vertices ABC, consideremoslos tres conjuntos: T2 (la envolvente convexa de los vertices), T1 = ∂T2 formado porlos tres lados y T0 = {A,B,C} formado por los tres vertices. Calcular el centro demasas de cada uno. ¿coinciden?

Ind. Por el ejercicio (1.4.7), pag.42, podemos suponer que nuestro triangulo tienecoordenadas A = (0, 0), B = (b1, b2) y C = (0, c). En tal caso (si b1 > 0) la abscisadel centro de masa de T2 es

∫T2xdH2

H2(T2)=

∫T2xdm2

m2(T2)=

∫ b10

∫ c+x b2−cb1

xb2b1

x dxdy

b1c/2

=

∫ b10 (c− x c

b1)x dx

b1c/2= b1 − 2b1/3 = b1/3 = x(

A+B + C

3)

un calculo similar para la ordenada (o dado que hay rotaciones que nos intercambianlas coordenadas) se tiene que el centro de masa de T2 es el baricentro del triangulo

A+B + C

3.

Calculemos ahora el centro de masa de un segmento PQ de extremos P = (p1, p2)y Q = (q1, q2), para x1 y x2 las coordenadas, σ(t) = tQ+ (1− t)P y |σ′(t)| = |Q−P |∫

PQ xi dH1

H1(PQ)=

∫ 10 (tqi + (1− t)pi)|Q− P | dH1

H1(PQ)=

∫ 10 (tqi + (1− t)pi)|Q− P | dt

m1(PQ)

=

∫ 1

0(tqi + (1− t)pi) dt =

pi + qi

2,

es decir que el centro de masa de PQ es (P +Q)/2.Veamos ahora el centro de masa de T1 el cual es union de los segmentos AB, BC

y CA, con H1(A) = H1(B) = H1(C) = 0, por tanto se sigue del ejercicio (1.4.9),pag.42, que para |A− C| = c, |A−B| = d y |B − C| = e

C(T1) =c

c+ d+ e

A+ C

2+

d

c+ d+ e

A+B

2+

e

c+ d+ e

B + C

2.

el cual es el incentro del triangulo formado por los puntos medios de los lados denuestro triangulo.

Por ultimo el de T0 tambien es el baricentro, pues∫T0xidH0

H0(T0)=xi(A) + xi(B) + xi(C)

3= xi

(A+B + C

3

).

En definitiva C(T2) = C(T0) = (A+B + C)/3 y C(T1) es distinto.

Ejercicio 1.4.11.- Calcular el centro de masa de un arco de circunferencia.

Indicacion.- Consideremos F : θ ∈ I = (−α, α)→ F (θ) = (cos θ, sen θ) y el arcoA = F (I) (ver fig.1.24), entonces si C(A) = (a, b) es su centro de masa, tendremosque

a =

∫A x dH1

H1(A)=

∫ α−α cos θ dθ

2α=

senα

α, b =

∫A y dH1

H1(A)= 0.

103

Ejercicio 1.4.12.- Calcular los centros de masa de (a) un segmento y (b) de unsector circular.

Indicacion.- Denotemos con C el segmento de circunferencia entre −α y α (verfig.1.24) y con A = C∪T el sector circular entre −α y α, para T el triangulo isoscelescorrespondiente de angulo 2α, entonces se tiene (haciendo el cambio y = cos t yconsiderando (sen cos)′ = cos2− sen2 = 1− 2 sen2)

m2[T ] = senα cosα,

m2[C] = 2

∫ 1

cosα

√1− y2 dy = 2

∫ α

0sen2 t dt = α− senα cosα,∫

Cydm2 = 2

∫ 1

cosαy√

1− y2 dy = −2

3(1− y2)3/2

]1cosα

=2

3sen3 α∫

Tydm2 = 2

∫ cosα

0y2 tanαdy =

2

3tanα cos3 α =

2

3senα cos2 α,

(a) El centro de masa del segmento esta a distancia del centro de la circunferencia∫C ydm2

m2[C]=

2

3

sen3 α

α− senα cosα

(b) El centro de masa del sector esta a distancia del centro de la circunferencia∫A ydm2

m2[A]=

∫C ydm2 +

∫T ydm2

m2[C] +m2[T ]

=23

sen3 α+ 23

senα cos2 α

α− senα cosα+ senα cosα=

2

3

senα

α.

.

Ejercicio 1.4.13.- Calcular el centro de masa de la superficie de un casqueteesferico.

Indicacion.- Consideremos el casquete F [B] de altura h en la esfera de radio 1,parametrizado por F : (x, y) ∈ B = B[0, r]→ (x, y, z(x, y)) ∈ R3 (ver fig.3.10), siendo

h

r

1

1

Figura 3.10. Casquete esferico.

(1− h)2 + r2 = 1, r2 = (2− h)h y z(x, y) =√

1− x2 − y2

entonces si C(F [B]) = (a, b, c) es su centro de masa, tendremos que derivando x2 +


y2 + z2 = 1, x+ zzx = 0 e y + zzy = 0, por tanto z2 + z2z2x + z2z2y = 1 y

a =

∫F (B) x dH2

H2(F (B))= 0,

b =

∫F (B) y dH2

H2(F (B))= 0,

c =

∫F (B) z dH2

H2(F (B))=

∫B z ◦ F

√1 + z2x + z2y dH2

H2(F (B))

=

∫B

√z2 + z2z2x + z2z2y dH2

H2(F (B))=

H2(B)

H2(F (B))

=m2(B)

γ2H2(F (B))=πr2

2πh= 1−

h

2.

donde el area 2πRh del casquete de la esfera de radio R y altura h, se vio en elejercicio (1.4.4).

Ejercicio 1.4.14.- Calcular el centro de masa del volumen de (a) un segmentoesferico (b) un sector esferico.

1

A

B1-h

h

z

Figura 3.11. Sector esferico.

Indicacion.- (a) Consideremos el segmento esferico A, definido por un casquetede altura h en la esfera de radio 1 y cuyo paralelo es horizontal, entonces su centrode masa tiene distancia al centro de la esfera

∫A z dm3

m3[A]=π∫ 11−h z(1− z

2) dz

π∫ 11−h(1− z2) dz

=

z2

2− z4

4

]11−h

z − z3

3

]11−h

=12− 1

4− (1−h)2

2+

(1−h)44

1− 13− (1− h) +

(1−h)33

=12− 1

4− 1−2h+h2

2+ 1−4h+6h2−4h3+h4

4

− 13

+ h+ 1−3h+3h2−h3

3

=3

4

−2h2 + 6h2 − 4h3 + h4

3h2 − h3=

3

4

(2− h)2

3− h

105

1

A z

1-h

h

Figura 3.12. Segmento esferico.(b) Veamos ahora la distancia del centro de masa del sector E (definido por

un casquete de altura h) al centro de la esfera, para E = A ∪ B, siendo B el conocorrespondiente, de altura a = 1− h∫

E z dm3

m3[E]=

∫A z dm3 +

∫B z dm3

m3[A] +m3[B]

=π∫ 1a z(1− z

2) dz + π∫ a0 z

1−a2a2

z2 dz

π∫ 1a (1− z2) dz + π

∫ a0

1−a2a2

z2 dz

=

z2

2− z4

4

]1a

+ 1−a2a2

z4

4

]a0

z − z3

3

]1a

+ 1−a2a2

z3

3

]a0

=12− 1

4− a2

2+ a4

4+ (1− a2)a

2

4

1− 13− a+ a3

3+ (1− a2)a

3

=14− a2

4

1− 13− a+ a

3

=3

4·

1− a2

2− 2a=

3

4·

1 + a

2=

3

4

(1−

h

2

)Ejercicio 1.4.16.- Calcular las integrales∫

amx dx,

∫1

2xdx,

∫xn

a+ bxn+1dx (para n ≥ 1).

Indicacion.-

(amx)′ = (emx log a)′ = amxm log a ⇒∫amx dx =

amx

m log a+ cte,∫

1

2xdx =

1

2log |x|+ cte = log

√|x|+ cte,∫

xn

a+ bxn+1dx =

log |a+ bxn+1|(n+ 1)b

+ cte.

Ejercicio 1.4.17.- Calcular el area que hay entre el eje x y la curva senx entredos puntos consecutivos en los que se anula esta.

Indicacion.- Los puntos de corte son nπ, para n ∈ Z y el area entre dos seguidoses la misma y vale∫ π

0senx dx = −[cosx]π0 = − cosπ + cos 0 = 2.

Ejercicio 1.4.18.- Calcular el area que encierran las curvas y = senx e y =cosx, entre dos puntos consecutivos de corte.


Indicacion.- Los puntos de la circunferencia de radio 1 son (cos θ, sen θ), paracada θ ∈ [0, 2π] y los que satisfacen cos θ = sen θ, son los que tienen la abscisa y laordenada iguales, que se corresponden con los angulos θ = π/4 y θ = π/4 + π. Sesigue que los puntos de corte de las curvas del enunciado son π/4 +nπ, para n ∈ Z yel area entre dos seguidos es la misma y vale 2

√2, pues como cosx = sen(x + π/2),

por simetrıa vale el doble de∫ π/2

π/4(senx− cosx) dx+

∫ π

π/2senx dx = −[cosx]ππ/4 − [senx]

π/2π/4

= 1 +

√2

2− 1 +

√2

2=√

2.

Ejercicio 1.4.19.- Calcular las integrales∫1

1 + x2dx,

∫a

b2 + c2x2dx.

Indicacion.- Sea z(x) = arctanx, entonces tan z = x y derivando respecto de x,

1 = tan′(z) z′ =( sen

cos

)′(z) z′ =

z′

cos2 z,

y z′ = cos2 z = 1/(1 + x2), por tanto∫1

1 + x2dx = arctanx+ cte.∫

a

b2 + c2x2dx =

a

bcarctan

c

bx+ cte.

Ejercicio 1.4.20.- Calcular la integral∫1

sen2 xdx.

Indicacion.- como( cosx

senx

)′=− sen2 x− cos2 x

sen2 x= −

1

sen2 x,

se tiene que ∫1

sen2 xdx = − cotx+ cte.

Ejercicio 1.4.21.- Sea In =∫[−π

2,π2]cosn x dx. Demostrar que para todo n ∈ N,

InIn−1 = 2π/n. Dar los valores de In para todo n.

Indicacion.- Integrando

(cosn x · senx)′ = −n cosn−1 x sen2 x+ cosn+1 x = (n+ 1) cosn+1 x− n cosn−1 x,

se tiene que (n+ 1)In+1 = nIn−1, ademas I1 = 2 = V1 e I2 = π/2 = V2/2, por tantoes constante en n

(n+ 1)In+1In = nInIn−1 = 2I2I1 = 2π, de donde InIn−1 =2π

n.

107

Ejercicio 1.4.22.- Calcular las integrales para cada natural n > 1

Jn =

∫x2

(1 + x2)ndx, Hn =

∫x

(1 + x2)ndx, In =

∫1

(1 + x2)ndx.

Indicacion.- Para k 6= −1, [(1 + x2)k+1]′ = (k + 1)(1 + x2)k2x, por tantoconsiderando k = −n

Hn =

∫x

(1 + x2)ndx = −

1

2(n− 1)(1 + x2)n−1+ cte.

Para resolver Jn lo hacemos por partes para u = x y v′ = x/(1 + x2)n,

Jn =

∫x2

(1 + x2)ndx =

∫uv′ = uv −

∫u′v

= −x

2(n− 1)(1 + x2)n−1+

1

2(n− 1)

∫1

(1 + x2)n−1dx

= −x

2(n− 1)(1 + x2)n−1+

1

2(n− 1)In−1.

Por ultimo veamos una formula de recurrencia para el calculo de In (recordemos queI1 lo hemos calculado en el Ejercicio anterior)

In =

∫1 + x2

(1 + x2)ndx−

∫x2

(1 + x2)ndx

= In−1 − Jn =2n− 3

2n− 2In−1 +

x

2(n− 1)(1 + x2)n−1.

Ejercicio 1.4.23.- Calcular para cada entero n 6= 1, la integral∫xn log x dx.

Indicacion.- Sea In la integral del enunciado. Como (xn+1 log x)′ = (n+1)xn log x+xn, tendremos integrando

xn+1 log x+ cte = (n+ 1)In +xn+1

n+ 1,

y por tanto

In =xn+1 log x

n+ 1−

xn+1

(n+ 1)2+ cte.

Ejercicio 1.4.24.- Calcular la siguiente integral∫x2

(x cosx− senx)2dx.


Indicacion.- Como (senx−x cosx)′ = cosx−cosx+x senx = x senx, podemoshacerla por partes para u = −x/ senx y v = 1/(senx − x cosx), por tanto v′ =−x senx/(x cosx− senx)2 y como u′ = (− senx+ x cosx)/ sen2 x tendremos∫

uv′ = uv −∫u′v = −

x

senx(senx− x cosx)+

∫1

sen2 xdx

= −x

senx(senx− x cosx)− cotx+ cte.

.

Ejercicio 1.4.25.- Calcular la integral para a 6= b∫1√

x+ a+√x+ b

dx.

Indicacion.- ((x+ a)3/2)′ = (3/2)(x+ a)1/2, por tanto∫1

√x+ a+

√x+ b

dx =

∫(√x+ a−

√x+ b)

(x+ a)− (x+ b)dx

=2

3(a− b)[(x+ a)3/2 − (x+ b)3/2] + cte.

.

Ejercicio 1.4.26.- Calcular el volumen del casquete de altura h, de la esfera deradio R.

Indicacion.- Una forma es aplicando el teorema de la medida producto, consi-derando la esfera x2 +y2 +(z−R)2 = R2 e integrar entre 0 y h el area de los cırculosseccion, es decir

π

∫ h

0r(z)2dz = π

∫ h

0z(2R− z)dz = π

(Rh2 −

h3

3

).

y otra es considerando t = R − h, r =√R2 − t2, r = R senα, t = R cosα, ρ =√

x2 + y2, entonces el volumen es (con el cambio ρ = R cos θ)

V =

∫B[0,r]

(√R2 − ρ2 − t

)dm2 = 2π

(∫ r

0

√R2 − ρ2ρ dρ

)− πr2t

= 2πR3

(∫ α

0cos2 θ sen θ dθ

)− πr2t = −2πR3

[cos3 θ

3

]α0

− πr2t =

=2π

3(R3 − t3)− π(R2 − t2)t =

2πR3

3+πt3

3− πR2t

=2πR3

3+π(R− h)3

3− πR2(R− h)

=π

3(−3R2h+ 3Rh2 − h3) + πR2h = πRh2 −

πh3

3.

Ejercicio 1.4.27.- Demostrar que cada recta que pasa por el origen, de pen-diente λ > 0, corta a la curva y = xn en un punto A = (x1, y1), con proyeccion

109

B = (x1, 0) en el eje x, tal que el interior del triangulo rectangulo 0AB esdividido por la curva en dos trozos cuya proporcion de areas no depende de λ.¿Para que valor de n son iguales estas areas? .

��

��

�

�

��

�

��

��

�

�

Figura 3.13.

Indicacion.- Como y1 = xn1 = λx1, el area del triangulo es y1x1/2 = λx21/2 yel del trozo bajo la curva ∫ x1

0xn dx =

xn+11

n+ 1=

λx21n+ 1

,

por tanto el otro trozo tiene area

λx212−

λx21n+ 1

=λx21(n− 1)

2(n+ 1),

y la proporcion entre ambas es (n− 1)/2. Para n = 3 la proporcion es 1.

Ejercicio 1.4.28.- Sea f : [0, π] → R diferenciable tal que f(0) = f(π) = 0.Entonces ∫ π

0

f ′2(x) dx ≥∫ π

0

f2(x) dx,

dandose la igualdad sii f(x) = λ senx.

Indicacion.- En primer lugar existe g diferenciable tal que f = gh, para h(x) =sen(x), pues en (0, π) es g = f/h y esta se extiende con continuidad al 0, en el quevale g(0) = f ′(0). Sus derivadas tambien se extienden continuamente a los extremos,pues para 0 (para π es similar)

g(x) =f(x)

senx=f(x)− f(0)

x

x

senx→ f ′(0),

g′(x) =f ′(x) senx− f(x) cosx

sen2 x=

(f ′(x) senx− f(x) cosx)/x2

sen2 x/x2→

→ lımf ′(x) senx− f(x) cosx

x2=f ′′(0)

2,


por L’Hopital y ser f(0) = 0. Entonces

2hh′ = 2 sen(x) cos(x) = sen(2x) = h(2x),

h′2 − h2 = cos2(x)− sen2(x) = cos(2x) = h′(2x),

f ′ = g′h+ gh′, f ′2 = g′2h2 + g2h′2 + 2gg′hh′,

f ′2 − f2 = g′2h2 + g2h′2 + 2gg′hh′ − g2h2 =

= g′2h2 + g2h′(2x) + gg′h(2x),∫ π

0(f ′2 − f2) dx =

∫ π

0g′2h2 dx+

∫ π

0

(g2h′(2x) + gg′h(2x)

)dx,

Ahora bien

0 =

∫ π

0(g2h(2x))′ =

∫ π

02gg′h(2x) + 2

∫ π

0g2h′(2x)

Por tanto ∫ π

0(f ′2 − f2) dx =

∫ π

0g′2h2 dx.

Ejercicio 1.4.29.- Demostrar que en R, tanto para µ la medida de Lebesguecomo µ la medida de contar en los naturales, se tiene para todo a > 0(∫ a

0

x dµ

)2

=

∫ a

0

x3dµ.

Indicacion.- Para µ la medida de Lebesgue es∫ a0 x = a2/2 y

∫ a0 x

3 = a4/4.Para la medida de contar es consecuencia del ejercicio (1.1.22) para n = [a].

Ejercicio 1.4.30.- Calcular el volumen maximo de un tetrabrik formado condos rectangulos iguales de area 1.

Indicacion.- Si el ancho es 2x, el volumen es

v(x, y) = (1− 2x)

(1

y− 2x

)2x = 8x3 − 4x2

(y +

1

y

)+ 2x,

y se tiene que

vx = 2− (y +1

y)8x+ 24x2, vy = 4x2(

1

y2− 1),

vxx = 48x− 8(y +1

y), vxy = −8x(1−

1

y2), vyy = 4x2(−2)y−3,

por tanto las derivadas se anulan en y = 1, x = 1/6 o x = 1/2 (en este v = 0), y en(1/6, 1) las derivadas segundas valen

vxx < 0, vxxvyy − v2xy > 0,

por tanto tiene un maximo que es v = 22/33.

111

Ejercicio 1.4.31.- Sea f : [0,∞) → [0,∞) medible, tal que f(x) y xf(x) seanintegrables. Demostrar que para t ∈ [0,∞]

x(t) =

∫ t0f(x) dm∫∞

0f(x) dm

≥ y(t) =

∫ t0xf(x) dm∫∞

0xf(x) dm

.

y que la curva3 del plano σ(t) = (x(t), y(t)) es continua y convexa.

Indicacion.- La continuidad (uniforme) de x(t) e y(t) se sigue del ejercicio (??).La curva esta en el cuadrado unidad, pues x(t), y(t) ∈ [0, 1] y σ(0) = (0, 0), σ(1) =(1, 1), por tanto basta demostrar que es convexa, pues en tal caso estara por debajodel segmento que une esos dos puntos y por tanto se verificara la desigualdad pedida.

Sean x(a) < x(b) < x(c), como x es monotona creciente eso implica que a < b < c,entonces x(b) = λx(a) + (1− λ)x(c), obviamente para

λ =x(c)− x(b)

x(c)− x(a)=

∫ cb f(x) dm∫ ca f(x) dm

y basta ver que y(b) ≤ λy(a) + (1 − λ)y(c), es decir λ(y(c) − y(a)) ≤ y(c) − y(b) oequivalentemente ∫ c

bf(r)

∫ c

asf(s) ≤

∫ c

af(s)

∫ c

brf(r) ⇔∫ c

bf(r)

(∫ b

asf(s) +

∫ c

bsf(s)

)≤(∫ b

af(s) +

∫ c

bf(s)

)∫ c

brf(r) ⇔∫ c

bf(r)

∫ b

asf(s) ≤

∫ b

af(s)

∫ c

brf(r) ⇔∫

[b,c]×[a,b]f(r)sf(s) ≤

∫[b,c]×[a,b]

f(s)rf(r)

y esta ultima es obvia, pues s ∈ [a, b] y r ∈ [b, c], por tanto s ≤ r.

Ejercicio 1.5.1.- Sumergimos una esfera de acero de radio r en un vaso llenode agua con forma de semielipsoide de revolucion de semiejes a < b. ¿Paraque valor de r es maxima la cantidad del agua desalojada?. ¿A que altura cqueda el centro de la esfera?, ¿a que altura t se apoya la esfera en el vaso?.

3Las funciones x e y tienen interpretacion practica. Por ejemplo en economıa si

µ[a, b] =∫ ba f(x) dm es el numero de personas de una poblacion con renta entre a y

b, entonces∫∞0 f(x) dm es el numero de personas de esa poblacion,

∫ t0 xf(x) dm es la

renta total que tienen las personas con renta menor o igual que t y∫∞0 xf(x) dm es la

renta total de la poblacion, por tanto x(t) representa el porcentaje de la poblacion conrenta menor o igual que t, e y(t) representa el porcentaje de la renta total que tienenlos que tienen renta menor o igual que t respecto de la renta de toda la poblacion.Con esta interpretacion es obvio que y(t) ≤ x(t), pues si hay n individuos con rentasri ≤ t y m con rentas rn+j ≥ t, entonces

∑ni=1 ri/n ≤ t ≤

∑mj=1 rn+j/m, lo cual

implica que m∑ni=1 ri ≤ n

∑mj=1 rn+j , es decir que (n + m)

∑ni=1 ri ≤ n

∑n+mi=1 ri

y esto equivale a que y(t) = (∑ni=1 ri)/(

∑n+mi=1 ri) ≤ n/(n+m) = x(t).


Figura 3.14.

Indicacion.- La ecuacion de la elipse del vaso es

x2

a2+y2

b2= 1.

Sea t la altura de la circunferencia de contacto de la esfera y el vaso (desde la superficiedel agua) y sea s su radio, por tanto

s2

a2+t2

b2= 1.

La esfera tiene el centro en el punto (0,−c) del eje mayor por el que pasa la normala la elipse en (s,−t), que tiene direccion (s/a2,−t/b2), por tanto

(0,−c) = (s,−t)− r

(sa2,− t

b2

)√(

sa2

)2+(tb2

)2 ,de donde se sigue que el radio r de la esfera y la altura c de su centro son, parak = a2/b2

r = a2

√( s

a2

)2+

(t

b2

)2

=√s2 + k2t2 =

√a2 − kt2 + k2t2,

c = tb2 − a2

b2= t(1− k).

Ahora como el volumen de la parte sumergida de la esfera es la diferencia de suvolumen y el del casquete exterior, de altura h = r − c, tendremos por el ejercicio(1.4.26) que es

V (t) =4

3πr3 − πrh2 +

πh3

3,

y nos interesa encontrar el maximo de V (t), por tanto consideramos V ′(t) = 0 lo cualequivale a

0 = 4r2r′ − r′h2 − 2rhh′ + h2h′ = r′(4r2 − h2) + h′h(h− 2r) =

= r′(2r − h)(2r + h) + h′h(h− 2r),

113

que tiene dos soluciones: 2r = h, que corresponde al volumen V (t) = 0, (por tanto esmınimo) y r′(2r + h) = h′h, es decir

(r2)′ = 2rr′ = h(h′ − r′) = (c− r)c′ ⇔

⇔ (a2 − kt2 + k2t2)′ = (t(1− k)−√a2 − kt2 + k2t2)(1− k)

⇔ 2t(k2 − k) = t(k − 1)2 + (k − 1)√a2 − kt2 + k2t2

⇔ 2tk = t(k − 1) +√a2 − kt2 + k2t2

⇒ t2(k + 1)2 = a2 − kt2 + k2t2 = r2 ⇒ 3kt2 + t2 = a2

⇒ t =a

√3k + 1

, r = (1 + k)t =(1 + k)a√

3k + 1, c = (1− k)t =

(1− k)a√

3k + 1.

Ejercicio 1.5.2.- Hallar, para N = n2 y n ∈ N, la parte entera de

x =1√1

+1√2

+1√3

+ · · ·+ 1√N.

Indicacion.- Como la funcion f = 1/√x es decreciente, pues f ′ < 0, tendremos

que las sumas de Riemann superior (s) e inferior (i) de la particion de [1, N ] sobrelos naturales, satisfacen,

i =

N∑n=2

1√n

= x− 1 <

∫ N

1

dx√x

= 2√x]N1 = 2

√N − 2

< s =

N−1∑n=1

1√n

= x−1√N

⇒

2√N − 2 +

1√N

< x < 2√N − 1 ⇒ (para N = n2)

2n− 2 +1

n< x < 2n− 1 ⇒ E[x] = 2n− 2.

Ejercicio 1.5.3.- Demostrar que una recta que divida un triangulo en dos re-giones con igual perımetro y area, pasa por su incentro.

Indicacion.- Sea el triangulo ABC y la recta DE con D en AB y E en AC.Sea F el corte de la recta con la bisectriz por A y sean G, H e I los pies de lasperpendiculares desde F a AB, AC y BC respectivamente. Por tanto FG = FH porestar F en la bisectriz. Ahora por la hipotesis se tienen las igualdades

AD+AE = EC+CB+DB, AD ·FG+AE ·FH = EC ·FH+DB ·FG+BC ·FI,

y multiplicando la primera por FG = FH se tiene que FG = FH = FI.

Ejercicio 1.5.4.- Para x > 0 definimos f(x) =∫ π/20

senx θ dθ. Demostrar:(i) (x + 2) · f(x + 2) = (x + 1) · f(x) y h(x) = (x + 1)f(x)f(x + 1), tiene

perıodo 1. (ii) f(x) es decreciente. (iii) Dado 0 ≤ p ≤ x ≤ p+ 1

p+ 1

p+ 2h(0) ≤ h(x) ≤ p+ 2

p+ 1h(0).


y como consecuencia h es constante. (ix) lımx→∞f(x+1)f(x)

= 1. (v) Calcular

f(n), para n = 0, 1, 2, · · · .Indicacion.- (i) Integrando (senx+1 cos)′ tenemos∫

senx+2 = (x+ 1)

∫senx cos2 = (x+ 1)(

∫senx−

∫senx+2).

de donde h(x) = h(x+ 1). (ii)

f(x)− f(x+ y) =

∫senx(1− seny) > 0.

(iii) f(p+ 2) ≤ f(x+ 1) ≤ f(p+ 1) ≤ f(x) ≤ f(p) y

p+ 1

p+ 2h(0) =

p+ 1

p+ 2h(p+ 1) = (p+ 1)f(p+ 1)f(p+ 2) ≤

≤ (x+ 1)f(x)f(x+ 1) = h(x) ≤ (p+ 2)f(p)f(p+ 1) =p+ 2

p+ 1h(0).

(iv) 0 < f(x+2) ≤ f(x+1) ≤ f(x), por tanto 0 < f(x+2)/f(x) ≤ f(x+1)/f(x) ≤ 1y el resultado se sigue de (i). (v) f(0) = π/2, f(1) =

∫sen = −

∫(cos)′ = 1 y

f(2n) =2n− 1

2nf(2n− 2) = · · · =

(2n− 1)(2n− 3) · · · 1(2n)(2n− 2) · · · 2

·π

2,

f(2n− 1) =2(n− 1)

2n− 1f(2n− 3) = · · · =

(2n− 2) · (2n− 4) · · · 2(2n− 1)(2n− 3) · · · 1

.

Ejercicio 1.5.5.- Encontrar la funcion impar f : R → R, tal que f(1) = 1 ypara todo a > 0 verifica∫ a

−a(a2 − x2)f ′′′(x) dx = a3.

.

Indicacion.- Por ser impar f(−x) = −f(x), por tanto f ′ es par y f ′′ impar,f ′(−x) = f ′(x), f ′′(−x) = −f ′′(x).

a3 =

∫ a

−a(a2 − x2)f ′′′(x) dx =

∫ a

−a[(a2 − x2)f ′′(x)]′ dx+ 2

∫ a

−axf ′′(x) dx

= 2

∫ a

−a(xf ′(x))′ dx− 2

∫ a

−af ′(x) dx = 4af ′(a)− 4f(a)

y tenemos que resolver la ecuacion 4xy′ − 4y = x3, con y(1) = 1. Para ello conside-ramos y(x) = r(x)p(x) tales que xr′ = r, por ejemplo r = x y

4x(r′p+ rp′) = 4xy′ = 4pr + x3 ⇒ 4xrp′ = x3 ⇒

⇒ p′ =x

4⇒ p =

x2

8+ c ⇒ y =

x3 + 7x

8,

pues como y(1) = 1, c = 7/8.

Ejercicio 1.5.6.- Resolver la ecuacion de variable compleja sen z = 4.

115

Indicacion.- Por definicion

sen z =eiz − e−iz

2i,

por tanto eiz − e−iz − 8i = 0 es decir para x = eiz

x2 − 8ix− 1 = 0 ⇒ x =8i±

√−64 + 4

2= i(4±

√15),

y para z = a+ bi tendremos

i(4±√

15) = x = eiz = e−b+ai = e−b(cos a+ i sen a),

lo cual implica cos a = 0, es decir a = nπ + π/2 y e−bn (−1)n = 4 ±√

15 ≥ 0, portanto n = 2k es par y las soluciones son

zk = 2kπ + π/2− i log(4±√

15).

Ejercicio 1.5.7.- Calcular el lımite de la sucesion xn+3 =xn+xn+1

2, en funcion

de los tres primeros, x0, x1 y x2.

Indicacion.- De la definicion se tiene

2xn+4 + 2xn+3 = xn+2 + 2xn+1 + xn ⇒

⇒ 2xn+4 + 2xn+3 + xn+2 = 2xn+2 + 2xn+1 + xn

Y esta sucesion es constante pues

2x2n+4 + 2x2n+3 + x2n+2 = 2x2n+2 + 2x2n+1 + x2n

= 2x2 + 2x1 + x0 = a,

2x2n+5 + 2x2n+4 + x2n+3 = 2x2n+3 + 2x2n+2 + x2n+1

= 2x3 + 2x2 + x1 = x0 + x1 + 2x2 + x1 = a,

ademas la sucesion esta acotada, pues si los tres primeros estan en (b, c)), por induc-cion todos los elementos estan en ese intervalo. Ahora si la sucesion tiene lımite esa/5. Veamos que lo tiene.

xn+5 − xn+4 =xn+3 + xn+2

2−xn+2 + xn+1

2=

xn+1+xn2

− xn+1

2=xn − xn+1

4,

Por tanto se tiene por induccion que

|x4n+1 − x4n| =|x1 − x0|

4n, |x4n+2 − x4n+1| =

|x2 − x1|4n

,

|x4n+3 − x4n+2| =|x3 − x2|

4n, |x4n+4 − x4n+3| =

|x4 − x3|4n

,

y por tanto existe 0 < k, tal que para todo 4n ≤ m < 4n+ 4,

|xm+1 − xm| ≤k

4n,

y la sucesion es de Cauchy pues si 4(n+m) ≤ p < 4(n+m) + 4 y 4n ≤ q < 4n+ 4,

|xp+1 − xq | ≤ kn+m∑i=n

1

4i<

k

3 · 4n−1.


.

Ejercicio 1.5.8.- Se dividen los tres lados a, b y c de un triangulo en el mismonumero de n trozos iguales. Demostrar que la suma de los cuadrados de lossegmentos obtenidos al unir cada uno de los puntos construidos sobre cadalado, con el vertice opuesto, es

(5n− 1)(n− 1)

6n(a2 + b2 + c2).

Indicacion.- Consideremos tres vectores a, b y c = a+b y hagamos las divisionesdel enunciado considerando los puntos para i = 1, . . . , n− 1 y λi = i/n

ai = λia, bi = a+ λib, ci = λic,

ahora los segmentos del enunciado son ai − c, bi y ci − a, siendo sus cuadrados

(ai − c)(ai − c) = λ2i aa− 2λica+ cc, bibi = λ2i bb+ 2λiab+ aa,

(ci − a)(ci − a) = λ2i cc− 2λica+ aa,

y su suma es

S =

n−1∑i=1

λ2i (aa+ bb+ cc) + (n− 1)(2aa+ cc) + 2

n−1∑i=1

λi(ab− 2ca)

=

n−1∑i=1

λ2i (aa+ bb+ cc) + (n− 1)(2aa+ cc+ ab− 2ca)

=

n−1∑i=1

λ2i (aa+ bb+ cc) + (n− 1)(2aa+ (a+ b)(a+ b) + ab− 2(a+ b)a)

=

n−1∑i=1

λ2i (aa+ bb+ cc) + (n− 1)(aa+ bb+ ab)

=

(∑n−1i=1 i

2

n2+n− 1

2

)(aa+ bb+ cc)

pues aa+ bb+ cc = aa+ bb+ (a+ b)(a+ b) = 2aa+ 2bb+ 2ab. Ahora basta demostrarque

n−1∑i=1

i2 = n2

((5n− 1)(n− 1)

6n−n− 1

2

)

=n(n− 1)

2

(5n− 1

3− n

)=n(n− 1)

2

2n− 1

3lo cual se tiene por induccion, para n = 2 es obvio y si se tiene para n − 1, se tienepara n pues

n2 + n(n− 1)2n− 1

6= n

(n+

(n− 1)(2n− 1)

6

)= n

(6n+ 2n2 − 3n+ 1

6

)= n

2n2 + 3n+ 1

6= n(n+ 1)

2n+ 1

6

117

Ejercicio 1.5.9.- Dado un punto p en el plano complejo se consideran q y r susdos raıces cuadradas. ¿Que curva describe p? si: (i) p, q, r forman un trianguloisosceles (discutir los casos). (ii) p, q, r forman un triangulo rectangulo (discutirlos casos).

Indicacion.- Sean los tres puntos del plano A ≡ p = ρeiθ, B ≡ q =√ρeiθ/2

y C ≡ r =√ρei(π+θ/2). (i) Que sea isosceles es porque AB = AC, AB = BC

o AC = BC. La primera equivale a (p− q)(p− q) = (p− r)(p− r) y la segunda a que(p− q)(p− q) = (q − r)(q − r) (la tercera es similar a esta). Analicemos la primera

ρ2 − pq − qp+ ρ = ρ2 − pr − rp+ ρ ⇔ q2q + qq2 = r2r + rr2 ⇒

⇒ Re q = Re r ⇒θ

2=π

2+ kπ

por tanto θ = π y p describe el semieje negativo de la x.

Ejercicio 1.5.10.- Sean g, h : R→ R continuas y f = g · IQ +h · IQc . Demostrarque f es continua en x sii g(x) = h(x).

Indicacion.- “⇒”. Si x ∈ Q, tomamos y ∈ I en

|g(x)− h(x)| = |f(x)− h(x)| ≤ |f(x)− f(y)|+ |h(y)− h(x)|,

y se sigue por continuidad de f en x y de h. Analogamente si x ∈ I, tomamos y ∈ Qen

|g(x)− h(x)| = |g(x)− f(x)| ≤ |g(x)− g(y)|+ |f(y)− f(x)|.“⇐” Como f(x) = g(x) = h(x) se tienen las dos igualdades

|f(y)− f(x)| = |f(y)− g(x)| = |g(y)− g(x)||f(y)− f(x)| = |h(y)− f(x)| = |h(y)− h(x)|,

segun y ∈ Q o no.

Ejercicio 1.5.11.- En un parlamento hay 1300 diputados. En una sesion, el12, 12 % de los asistentes son aficionados al ajedrez y el 23, 423 % no han desa-yunado. ¿Cuantos diputados no han asistido a la sesion?.

Indicacion.- Sean 12, 12 = x, 23, 423 = y. Entonces

x = (x− 12)100, (y − 23)1,000 = 400 + y ⇒

x =1,200

99=

4

3 · 11· 100, y =

23,400

999=

2 · 13

3 · 37· 100.

por tanto si los asistentes fueron 1 ≤ n ≤ 1300, tendremos que

4 · n3 · 11

,2 · 13 · n

3 · 37

son numeros enteros, por tanto n es multiplo de 3, 11 y 37, por tanto multiplo de suproducto que es 1221, y como es el unico menor que 1300, tendremos que n = 1221y no asistieron 79.

Ejercicio 1.5.12.- Calcular el valor de la serie

1

1 · 2 · 3 +1

2 · 3 · 4 +1

3 · 4 · 5 + · · ·+ 1

n · (n+ 1) · (n+ 2)+ · · · .


Indicacion.- Busquemos A,B,C sencillos tales que

1

n · (n+ 1) · (n+ 2)=A

n+

B

n+ 1+

C

n+ 2,

por tanto A(n + 1)(n + 2) + Cn(n + 1) = 1 − Bn(n + 2). Veamos la solucion conB = −1 y A = C, la cual es A = C = 1/2. Por tanto la suma parcial de la serie es

Sn =

n∑i=1

(1

2i−

1

i+ 1+

1

2(i+ 2)

)

=1

4−

1

2

(1

n+ 1+

1

n+ 2

)→

1

4.

Ejercicio 1.5.13.- Calcular el valor de p para que las cuatro raıces del polinomio

z4 + 6z3 + qz2 − 36z + p = 0,

formen una proporcion.

Indicacion.- Si las raıces son α, λα, λ2α, λ3α, entonces igualando

z4 + 6z3 + qz2 − 36z + p = (z − α)(z − λα)(z − λ2α)(z − λ3α),

tendremos que p = λ6α4 = (λ3α2)2, siendo

6 = (−α)(1 + λ+ λ2 + λ3), 36 = α3(λ6 + λ5 + λ4 + λ3)

y dividiendo, λ3α2 = −6, por tanto p = 36.

Ejercicio 1.5.14.- Sea f(x) = lnx− x+ 2. Demostrar que f tiene unicamentedos raıces a, b y a < 1 < b y dado x1 ∈ (1, b), calcular el lımite de la sucesionxn+1 = 2 + lnxn.

Indicacion.- f ′ = −1 + 1/x y f ′′ = −1/x2 < 0, por tanto f es concava y tieneun maximo en f ′ = 0, es decir en 1 (observemos que f ′ > 0 en x < 1 y f ′ < 0 enx > 1, por lo que es creciente hasta 1 y decreciente a partir de 1). La concavidadexige que tenga dos unicas raıces a < 1 < b y que f > 0 en (a, b), por tanto x1 < x2 =f(x1) + x1 < b y por induccion xn < xn+1 = f(xn) + xn = lnxn + 2 < ln b+ 2 = b,por tanto xn tiene lımite 1 < x ≤ b, tal que x = 2 + lnx, por tanto x = b.

Ejercicio 2.1.1.- Una cuerda rodea de forma ajustada la Tierra, que se suponeperfectamente esferica, por un cırculo maximo. Si aumentamos la longitud dela cuerda en un metro y levantamos la cuerda por todas partes la misma altura¿Se puede pasar por debajo de ella?.

Indicacion.- Sea R el radio de la tierra. La longitud de la cuerda aumentadaes 1 + 2πR, que corresponde a una circunferencia de radio R + 1/2π y la distanciaal suelo es 1/2π que es independiente de R y es el radio de una circunferencia delongitud 1. Aproximadamente 16 cm.

Ejercicio 2.1.2.- Tres planos ortogonales y un cuarto transversal definen untetraedro recto con caras perpendiculares de areas A, B y C. Si el area de latransversal es D, demostrar que A2 +B2 + C2 = D2.

119

Indicacion.- Si los vertices son el origen y v1 = (a, 0, 0), v2 = (0, b, 0) y v3 =(0, 0, c), entonces el area de la cara transversal es la mitad del modulo de (v2 − v1)×(v3− v1) = (bc, ac, ab), mientras que las areas de las 3 caras ortogonales son la mitadrespectivamente de los modulos de ab, ac y bc.

Ejercicio 2.1.3.- El area de un polıgono con vertices en una malla entera esc + b/2 − 1, siendo b el numero de puntos de la malla que hay en el polıgonoy c el numero de puntos que hay en el interior.

Indicacion.- Por induccion en el numero de lados: Veamoslo que es cierto para untriangulo, para ello observemos que lo es para un rectangulo de lados n y m, con ladosparalelos a los ejes. Esto es obvio pues A = nm, B = 2(n+m) y C = (n− 1)(m− 1).De esto se sigue para el triangulo de catetos n y m paralelos a la maya y de este paraun triangulo con un lado paralelo a la maya y de este para cualquier triangulo. Ahorasi es cierto para un polıgono de n lados y consideramos uno de n + 1, cortando unpico pasamos a uno de n lados...

Ejercicio 2.1.4.- Tres excursionistas deciden unirse para comer varios dias. Elprimero aporta 5 latas, el segundo 3 latas y el tercero da 8 piezas igualesesfericas de un metal desconocido, para que se repartan los dos primeros. Sitodas las latas son del mismo valor y los 3 van a comer por igual, ¿como sedeben repartir las 8 esferas entre los dos, para que el reparto sea equitativoentre los 3?.

Indicacion.- Sean A las bolas que recibe el primero y B las que recibe el segundo.Por tanto A + B = p. Si L es el numero de esferas que vale una lata (por ahoradesconocido) y los tres deben aportar lo mismo, es decir lo que da el tercero, que sonp esferas, tendremos que el primero da mL−A = p esferas y el segundo nL−B = p,por tanto

(m+ n)L = 3p ⇒ L =3p

m+ n⇒ A =

2m− nm+ n

p, B =2n−mm+ n

p.

En el caso particular de m = 5, n = 3 y p = 8, se tiene que A = 7 y B = 1.Observese la paradoja de que si m = 2n, el primero se lo lleva todo, independien-

temente del valor de p, pues A = p y B = 0.

Ejercicio 2.1.5.- Dado un numero de tres cifras, en base 10, abc (con a > c),le restamos “su opuesto”, cba y al resultado abc − cba = efg le sumamos suopuesto gfe. Demostrar que el resultado siempre es el mismo.

Indicacion.- Sea a = c+ k, entonces

efg = abc− cba = (a− c) · 100 + c− a = (k − 1) · 100 + 100− k= (k − 1) · 100 + 9 · 10 + 10− k,

Por tanto e = k − 1, f = 9 y g = 10− k, de donde

efg + gfe = (e+ g)101 + f · 20 = 9 · 101 + 9 · 20 = (3 · 11)2 = 1089.

Ejercicio 2.1.6.- Un padre deja en herencia 17 camellos a sus tres hijos. Almayor le deja 1/2 de los camellos, al mediano 1/3 y al menor 1/9. Como nosabıan que hacer con el reparto consultaron al sabio del pueblo, el cual les dijo,


no os preocupeis, os dejare un camello mıo para que podais hacer el reparto.Con 18 camellos se repartieron la herencia, tocandole al primero 9 camellos,al segundo 6 y al tercero 2, y como la suma era 17, devolvieron agradecidos elcamello al sabio. ¿Puedes explicarlo?. .

Indicacion.- 1/2 + 1/3 + 1/9 6= 1.

Ejercicio 2.1.7.- Un matrimonio invita a n matrimonios a su casa. Logicamen-te, uno de los dos conoce a uno de los dos conyuges invitados. Al llegar, cadapersona estrecha la mano de todos aquellos a quienes no conoce. El anfitrionpregunta entonces a cada una de las demas personas cuantas manos ha estre-chado, y cada una le dice un numero diferente. ¿Cuantos invitados conocıana la anfitriona? ¿Cuantos invitados conocıan al anfitrion?, ¿Cuantos invitadosconocıan a ambos?, ¿Cuantos a ninguno de los dos?.

Indicacion.- Por induccion en n. Las cuatro respuestas son n.

Ejercicio 2.1.8.- En una isla vive un pueblo de gente muy inteligente. Todosconocen el color de ojos de sus vecinos que es azul o marron, pero ignoran elsuyo y procuran por todos los medios no saberlo, porque es un deshonor quehacen publico a los doce de la noche del dıa en que conocieran con certezasu color de ojos. Entre ellos existe un acuerdo tacito para no revelar el colorde los demas. Ası, sus vidas transcurren dichosas hasta que un nefasto dıa,llega un visitante a la isla y comenta ante todos: ”Hasta hoy no habıa visto anadie con los ojos azules”. Tras un certero razonamiento, todos los habitantesdeducen que todos estan condenados. ¿Por que?, y si habıa varios con los ojosazules, todos sabıan esta informacion ¿por que es crucial?.

Indicacion.- Por induccion todos lo saben.

Ejercicio 2.1.9.- Tenemos una tira de papel de 1km de largo que enrollamoshaciendo con ella un cilindro compacto. Supongamos que 100 folios de ese papeltienen un espesor de 1cm. ¿Que radio aproximadamente tendra el cilindro? .

Indicacion.- En cada vuelta el radio aumenta en k = 10−2cm, por tanto en nvueltas el radio es kn y el papel total utilizado es 2π

∑ni=1 ki = πk n(n + 1), que

es 105 cm, por tanto n2 + n − 107/π = 0, y despejando n el cilindro tiene radio10−2n ≈ 17, 8cm.

Ejercicio 2.1.10.- Un monitor de juegos esta con n personas jugando a saludar-se con la cabeza todos al mismo tiempo, cada uno elige con igual probabilidada quien saluda. ¿Cual es la probabilidad de que el monitor y alguien se saludenmutuamente?. ¿Cual es la probabilidad de que al menos haya dos personas sa-ludandose mutuamente?, ¿a que tiende esta probabilidad cuando n tiende a∞?.

Indicacion.- Casos posibles nn+1 y casos faborables n · nn−1, por tanto la pro-babilidad es 1/n. La probabilidad de que el profesor (o cualquiera) no sea saludadopor a quien salude es 1 − 1/n y la probabilidad de que haya dos que se saluden es(numerandolos) que el primero se salude mutuamente con alguno de los n, mas que

121

el primero no lo haga pero el segundo si (con alguno de los n − 1), mas que ni elprimero ni el segundo lo hagan el tercero si,...

1

n+

1

n− 1(1−

1

n)+

1

n(1−

1

n)2+· · ·+

1

n(1−

1

n)n−1 = 1−(1−

1

n)n → 1−e−1 ∼ 0, 6.

Ejercicio 2.1.11.- Dispongo de 9 bolas y 4 cajas. ¿Como puedo disponer lasbolas de manera que en cada caja haya un numero impar de bolas, en cadacaja haya un numero distinto de bolas, y ninguna caja este vacıa?.

Indicacion.- Unas cajas dentro de otras, en la interior 3 bolas y en cada una delas otras 2.

Ejercicio 2.1.12.- Tengo dos relojes de arena, que miden 4 y 7 minutos, res-pectivamente. ¿Como puedo medir 9 minutos?.

Indicacion.-

(7, 4)→ (3, 0) = (3, 4)→ (0, 1) = (7, 1)→ (6, 0) = (6, 4)

→ (2, 0) = (2, 4)→ (0, 2) + (7, 0).

Ejercicio 2.1.13.- Encontrar el numero mas pequeno que termina en 2 y siquitamos el 2 del final y lo ponemos al principio el numero se duplica.

Indicacion.- 105,263,157,894,736,842. Este numero se conoce en ingles como 2–parasitic number (el 2 hace alusion a multiplicar por 2). De este numero sabemos quela ultima cifra es . . . 2 por tanto su doble termina por . . . 4, pero entonces el numerotermina por . . . 42, por tanto su doble por . . . 84 y el numero por . . . 842 y su doblepor . . . 684 (y nos llevamos 1 pues 2 × 8 = 16) y el numero por . . . 6842 y su doblepor . . . 3684 (y nos volvemos a llevar 1) y este proceso constructivo nos da el uniconumero que tiene la propiedad (si existe). Escribimos el numero y su doble debajo

105263157894736842

210526315789473684

realmente no hace falta escribir debajo el doble pues las cifras van apareciendo a laizquierda de la ultima.

Observemos que en el numero el 0 y el 9 aparece una vez y dos veces todos losdemas (del 1 al 8), que corresponden debajo a su suma o a su suma mas 1, por ejemploel 6 aparece dos veces una en la que debajo (o a su izquierda) esta el 2 y otra en laque esta el 3. Esto tiene como consecuencia que si cortamos el numero

105263157894736842

por el 6 que tiene a su izquierda el 2

10526− 3157894736842

y ponemos la parte de la derecha a la izquierda

315789473684210526

obtenemos un numero que acaba en 6 y tiene la misma propiedad que el primero peroterminando en 6.


Por otra parte observemos que el numero tiene 18 cifras y si lo escribimos de laforma n · 10 + 2, para n = 10526315789473684, entonces

2(n · 10 + 2) = 2 · 1018 + n ⇒ 19 · n = 2 · 1018 − 4 ⇒

n =1999999999999999996

19⇒

n · 10 + 2 =19999999999999999960 + 2 · 19

19=

19999999999999999998

19.

Por ultimo el mismo proceso sirve para encontrar numeros n–parasiticos que terminenen el que queramos o para demostrar que no existen. Por ejemplo es facil demostrarque no existen 4–parasiticos que terminen por 1, 2 o 3, pues se llega a una situacioncıclica, aunque sı en el resto de cifras

. . . 1025641, . . . 2051282, . . . 3076923

102564, 128205, 153846, 179487, 205128, 230769

La suma de estos es 999999 y la diferencia entre dos seguidos es siempre 25641.¿Puedes explicarlo?

Ejercicio 2.1.14.- ¿Cuantas letras tiene la respuesta de esta pregunta?.

Indicacion.- Cinco.

Ejercicio 2.1.15.- ¿Se pueden enlosar los suelos de los dibujos siguientes, conlosas 2× 1, sin cortar ninguna?.

Indicacion.- Si pintamos los suelos como si fuera un tablero de ajedrez cadalosa doble taparıa una blanca y una negra, por tanto losas sin partir tapan el mismonumero de blancas que de negras, pero las columnas del suelo de la izquierda estansobre colores iguales, por lo cual no se puede enlosar. La de la derecha si, porqueestan sobre colores distintos.

Figura 3.15.

Ejercicio 2.1.16.- ¿Podemos construir un cubo macizo de lado 6, con ladrillosde 1× 2× 4 sin cortar ninguno?.

Indicacion.- Supongamos que existe tal construccion y dividamos virtualmenteel cubo en 27 cubos de 2 × 2 × 2 que pintamos de blanco y negro de forma alterna,es decir esquinas y centros de cara de un color (14) y centros de aristas y centro delcubo del otro (13). Cada uno de los ladrillos originales, esten donde esten, tienenigual de un color que del otro. Como hay mas cubos de un color que del otro no sepuede construir.

123

Ejercicio 2.1.17.- Dos amigos se encuentran y uno plantea la siguiente adivi-nanza —Tengo tres hijos ¡a ver si adivinas sus edades con las siguientes pistas!:El producto de las tres es 36 y la suma precisamente es el numero de ese portal.El amigo hizo unos calculos y al final le dijo —¡me faltan datos!—. A lo queel otro contesto —es verdad, el mayor toca el piano—.

Indicacion.- x · y · z = 36 tiene las siguientes soluciones

1 · 1 · 36, 1 · 2 · 18, 1 · 3 · 12, 1 · 4 · 9, 1 · 6 · 6, 2 · 2 · 9, 2 · 3 · 6, 3 · 3 · 4,

que tienen respectivamente sumas, 38, 21, 16, 14, 13, 13, 11, 10 y solo hay duda con lasdos que suman 13, de las cuales solo puede ser 2, 2, 9.

Ejercicio 2.1.18.- Una mujer vende las manzanas que tiene en una cesta. Alprimer comprador le vende la mitad de las que tiene en la cesta mas mediamanzana. Al segundo le vende la mitad de las que le quedan en la cesta masmedia manzana, esto mismo lo repite hasta que al septimo le vende tambienla mitad de las que tiene en la cesta mas media manzana y la cesta se quedavacıa. ¿Cuantas manzanas habıa inicialmente en la cesta?.

Indicacion.- Llamemos cn al numero de manzanas que hay en la cesta antes devender al n–simo cliente, por tanto

cn =cn

2+

1

2+ cn+1 ⇒ cn = 1 + 2cn+1,

ahora como c8 = 0, entonces

c7 = 1 = 21 − 1, c6 = 3 = 22 − 1, c5 = 1 + 2(22 − 1) = 23 − 1 = 7,

c4 = 24 − 1 = 15, c3 = 25 − 1 = 31,

c2 = 26 − 1 = 61, c1 = 27 − 1 = 123.

Ejercicio 2.1.19.- Dos hermanos vendieron un rebano de cabras recibiendo porcada cabra el numero de cabras que tenıan, en euros. El dinero se lo dieronen billetes de 10 euros y el resto, que no llegaba a 10 euros, se lo dieron enmonedas de euro. Cuando hicieron el reparto uno tenıa un billete mas que elotro y aunque este se quedo las monedas el reparto era injusto ¿cuanto le dioel primero de su dinero para que el reparto fuera equitativo?.

Indicacion.- Si tenıan n cabras, recibieron n2 euros por ellas y como les dieron unnumero impar de billetes de 10, tendremos que n2 = (2k+1)10+m donde 1 ≤ m ≤ 9es el numero de monedas sueltas que les dieron. Ahora m es la terminacion de n2,que sea como sea n = a10 + b, n2 = a2100 + 2ab10 + b2 y la terminacion de n2 es lade b2, es decir del tipo: 02 = 0, 12 = 1, 22 = 4, 32 = 9, 42 = 16, 52 = 25, 62 = 36,72 = 49, 82 = 64 o 92 = 81, por lo tanto m es uno de los numeros

m ∈ {1, 4, 5, 6, 9},

y si n es par 2r, entonces n2 = 4r2 = k20+(10+m) es multiplo de 4 y 11 ≤ 10+m ≤ 19tambien es multiplo de 4, por lo que 10 +m es 12 o 16, y m es 2 o 6 y por lo anteriores m = 6. Ahora bien si n = 2r+1, tendrıamos que n2 = 4r2+4r+1 = k20+(10+m)y como antes 10 +m− 1 serıa multiplo de 4, por lo que m− 1 serıa 2 o 6 y m serıa 3


o 7 que no es. Por lo tanto n es par y m = 6 y como un hermano tiene 4 euros masque el otro, debe darle al otro 2 euros para que ambos reciban el mismo dinero.

Ejercicio 2.1.20.- Tenemos dos bolas esfericas de radio distinto y las taladramosatravesandolas por su centro, de modo que nos quedan dos anillos con lasparedes interiores superficies cilındricas con eje pasando por sus centros. Si lasalturas de los anillos resultantes (por tanto de los cilindros) son iguales, ¿comoson los volumenes de los anillos?.

Indicacion.- Son iguales lo cual se demuestra sabiendo que el volumen de losanillos de altura 2h y radio r es: el de la esfera, menos el del cilindro y menos el delos dos casquetes de altura r − h, es decir

4

3πr3 − 2hπ(r2 − h2)−

2

3π(r − h)2(2r + h) =

4

3πh3

Tambien puede verse del siguiente modo: si cortamos el anillo perpendicularmentesobre la mesa y tangencialmente por el interior obtenemos un casquete esferico sien-do el borde una circunferencia de diametro la altura del anillo. Ahora cortemos cadaanillo en rebanadas finas del modo indicado anteriormente pero solo hasta la mitad,es decir hasta llegar a la generatriz del cilindro interior y unamos estos trozos apre-tando hacia el centro todos los trozos. Cuanto mas finas sean las rebanadas, mas separecera la figura resultante a una esfera de diametro la altura, independientementedel anillo.

Ejercicio 2.1.21.- En una mesa redonda hay un grupo de personas que siempremienten o siempre dicen la verdad. Cada uno dice que su vecino de la izquierdaes mentiroso. Sin saber cuantos hay preguntamos a uno de ellos cuantos hayen la mesa y nos dice que 37, preguntado otro nos dice que el anterior es unmentiroso y que habıa 40. ¿cuantos habıa?.

Indicacion.- Como cada uno dice que el de su izquierda miente estan alternadoslos de los dos tipos, por tanto es par el numero y como el primero miente el segundodice la verdad.

Ejercicio 2.1.23.- En cada lado de un triangulo se considera el punto que lodivide en dos segmentos en proporcion q (en orden, fijada una orientacion enel triangulo). Se trazan los tres segmentos que unen cada vertice con el puntoconstruido en el lado opuesto y se considera el triangulo interior que definen.Si este tiene area E y el del original es T :

(a) ¿para que valores de q, T/E es entero?. ¿Cuales de estos q son racio-nales?

(b) Los tres triangulos de las esquinas que definen esos tres segmentostienen siempre igual area A. ¿Para que q, A = E?

(c) Los tres trapezoides que definen los segmentos tienen igual area G.¿Para q = φ, cuanto es G/A?.

Indicacion.- Ver el dibujo. (a) T/E = m sii q es solucion de (m− 1)q2 − (2m+1)q +m− 1 = 0. Veamos para que valores de m, es racional q = (n+ r)/n, con n, r

125

primos entre sı. Tendremos que

(m− 1)(q +1

q) = 2m+ 1 ⇔

n+ r

n+

n

n+ r=

2m+ 1

m− 1

⇔ 1 +r

n+ 1−

r

n+ r= 2 +

3

m− 1⇔ r

(1

n−

1

n+ r

)=

3

m− 1

⇔r2

n(n+ r)=

3

m− 1⇔ r2(m− 1) = 3n(n+ r)

por tanto r divide a 3n2 y como r y n2 son primos entre si, r divide a 3, por lo quer = 1 o r = 3 y esto ultimo no puede ser por la igualdad obtenida. Por lo tantom = 1 + 3n(n+ 1), para cada n y qm = (n+ 1)/n. Observemos que para n = 1, q = 2y T/E = m = 7. (b) El numero aureo x = φ. (c) 2φ.

Si el triangulo original es isosceles, de base 1 y lados iguales φ, hay varias pro-porciones aureas en los segmentos anteriores.

Ejercicio 2.1.24.- (a) Demostrar que un numero natural an . . . a0, en basedecimal, es multiplo de 3 sii

∑ai lo es. (b) Multiplo de 7 sii

∑ai3

i lo es; (c)Multiplo de 9 sii

∑ai lo es. (d) Multiplo de 11 sii

∑(−1)iai lo es. (e) Multiplo

de 13 sii∑ai3

i lo es.

Indicacion.- (a) y (c) an . . . a0 =∑nm=0 am10m =

∑nm=0 am(10m − 1) +∑n

m=0 am, siendo 10m−1 un numero formado por m nueves y por tanto multiplo de9, lo cual se prueba por induccion teniendo en cuenta que 10m+1−1 = 10(10m−1)+9.

(b) y (e).∑am10m =

∑am(7 + 3)m =

∑am(13− 3)m = 7 +

∑am3m = 13−

∑am3m.

(d) Por induccion se demuestra que 102n−1+1 es multiplo de 11, pues para n = 1es 11 y

102n+1 + 1 = 100(102n−1 + 1)− 99.

Del mismo modo se demuestra que 102n − 1 es multiplo de 11, pues para n = 1 es99 = 11 · 9 y

102(n+1) − 1 = 100(102n − 1) + 99.

Ejercicio 2.1.25.- Cuales son el mınimo y maximo numero de n cifras que esuna potencia n–sima.

Indicacion.- El mınimo es 1 y el maximo 921 = 1093418.9892131.5121359.209.

Ejercicio 2.1.26.- Dados tres puntos A,B,C en el plano, los giramos 60◦,obteniendo A′, B′, C′. Demostrar que los puntos medios de A′B,B′C y C′A,forman un triangulo equilatero.

Indicacion.- Sea z = eiπ/3 ∈ C, por tanto

z3 = −1, z2 + 1 = z, A′ = zA, B′ = zB, C′ = zC,

Consideremos P = (zA+ B)/2, Q = (zB + C)/2 y R = (zC + A)/2 y demostremosque los segmentos PQ, QR y RP , son iguales y sus angulos son iguales a π/3. Lo


veremos para los dos primeros

z(Q− P ) = R− P ⇔ zQ = R+ (z − 1)P ⇔

zzB + C

2=zC +A

2+ (z − 1)

zA+B

2⇔

z2B + zC = zC +A+ (z − 1)(zA+B) ⇔

z2B = (z2 − z + 1)A+ (z − 1)B.

.

Ejercicio 2.1.27.- Dados dos puntos A,B en el plano, los giramos 90◦ y −90◦

respectivamente, obteniendo A′ y B′. Demostrar que los puntos medios deAA′, A′B′, B′B y BA, forman un cuadrado.

Indicacion.- Sean P = (A + A′)/2, Q = (A′ + B′)/2, R = (B′ + B)/2 yS = (A+B)/2, y demostremos que los segmentos PQ, QR, RP y SP , son iguales ysus angulos son iguales a π/2. Lo veremos para los dos primeros

i(Q− P ) = S − P ⇔ iQ = S + (i− 1)P ⇔

iiA− iB

2=A+B

2+ (i− 1)

(i+ 1)A

2⇔

−A+B = A+B − 2A.

Ejercicio 2.1.29.- Encontrar la unica terna Pitagorica (i.e. a2 + b2 = c2, cona, b, c ∈ N), tal que a+ b+ c = 1000.

Indicacion.-

a+ b = 103 − c ⇒ a2 + b2 + 2ab = 106 − 2c103 + c2 ⇒

2ab = 106 − 2c103 = 106 − 2(103 − a− b)103 = −106 + 2(a+ b)103 ⇒

2(103 − a)(103 − b) = 106 ⇒ (103 − a)(103 − b) = 25 56

y basta encontrar 1 ≤ A,B ≤ 103, con AB = 25 56 y A+B > 103. Ahora la solucionse obtiene por tanteo porque hay muy pocas posibilidades, dado que las posiblespotencias de 2 y las de 5, para formar A y B son

2, 4, 8, 16, 32 y 5, 25, 125, 625,

y la unica solucion es A = 25 52 = 800 y B = 54 = 625, por tanto

a = 1000− 800 = 200, b = 1000− 625 = 375, c = 425.

Ejercicio 2.1.30.- Un caracol esta en el fondo de un pozo a 9 metros de pro-fundidad. El primer dıa sube 4 metros y por la noche resbala bajando 2 y elresto de dıas sube el 90 % de lo que subio el dıa anterior y baja 2 metros.¿Lograra salir del pozo? y si es ası ¿que dıa?, ¿o volvera a llegar al fondo? y sies ası ¿que dıa?.

127

Indicacion.- El primer dıa esta a 4− 2 = 2. El 2o a 2 + 4(9/10)− 2 = 4(9/10) =3, 6, el tercero a 4(9/10) + 4(9/10)2 − 2 = 4, 84 y el n–simo, para r = 9/10, a

4

n−1∑i=0

ri − 2n = 41− rn

1− r− 2n = 40

(1−

9n

10n

)− 2n,

y el maximo se alcanza el septimo dıa en el que vale 6, 86812 a partir de entoncesdecrece y se hace negativa en el dıa 17.

Ejercicio 2.1.31.- Un pastor tiene entre 100 y 200 ovejas. Si las agrupa de 3en 3 o de 7 en 7 le sobran 2 y si lo hace de 5 en 5, 3. ¿Cuantas tiene?.

Indicacion.- Si tiene x = 3a+ 2 = 5b+ 3 = 7c+ 2, entonces 3a = 7c, por tantoa = 7 y 3a = 7c = 21d, por tanto 5b + 1 = 21d = 20d + d y d = 5e + 1, por tantox = 21d+ 2 = 105e+ 23 y la unica solucion es x = 128.

Ejercicio 2.1.32.- Un agricultor quiere trasladar en un burro 90 sacos de granouna distancia de 30 km. El burro puede cargar como maximo 30 sacos y solosi lleva carga consume un saco por cada km que hace. ¿Cuantos sacos puedenllegar al destino?.

Indicacion.- Lleva 30 sacos 10 km y como consume 10 sacos deja allı 20. Regresay hace dos veces lo mismo, con lo cual a 20 km del destino tiene 60 sacos. Trasladaa continuacion 30 sacos 15 km, lugar en el que deja 15 sacos y regresa haciendo lomismo, con lo cual a 5 km del destino tiene 30 sacos y completa el viaje consumiendo5 sacos y por tanto llegando con 25.

Ejercicio 2.1.33.- En un arbol hay una bandada de pajaros posados y no haydos ramas con el mismo numero de pajaros, ademas el numero de ramas conpajaros es el mismo que el de pajaros en la rama mas poblada. Si hay 1953pajaros, ¿cuantas ramas con pajaros hay?.

Indicacion.- Si hay n ramas

n(n+ 1) = 2 · 1953 = 3906⇔ n = 62.

Ejercicio 2.1.34.- Demostrar que la sucesion definida por recurrencia

xn+1 =6 + xn6− xn

, x0 = 0,

tiene lımite, y calcularlo.

Indicacion.- Observemos que si xn < 2, entonces xn+1 < 2, pues 6 + xn < 8y 6 − xn > 4, ademas la sucesion es creciente, pues xn(6 − xn) < 6 + xn, es decirx2n − 5xn + 6 > 0, ya que las raıces de x2 − 5x + 6 = 0 son 2 y 3. Por ultimo comotiene lımite x ≤ 2, y tomando lımites en la formula satisface x = (6 + x)/(6 − x),llegamos al mismo polinomio y x = 2.

Ejercicio 2.1.35.- Demostrar que el volumen del tronco de un cilindro recto debase un Boreliano plano B ⊂ {z = 0}, con 0 < m2(B) < ∞, limitado por elplano xy y un plano inclinado es m2(B)h para h la altura desde el centro demasa de B hasta el plano inclinado. .


Indicacion.- El centro de masa es p = (1/m2(B))(∫B x dm2,

∫B y dm2) y si el

plano es z = ax+ by + c, el volumen es∫Bzdm2 = a

∫Bx dm2 + b

∫By dm2 + cm2(B) = m2(B)z(p).

.

Bp

Figura 3.16.

Indice alfabetico

π, definicion, 16e, definicion, 13

Agnesi, M.C.(1718–1799), 35

centro de masa, 39coeficientes

de Fourier, 31criterio

de la integral, 18de Martens, 12

curvade Agnesi, 35, 100

funcionarco tangente, 17exponencial, 11factorial, 21Gamma, 21logaritmo, 14seno y coseno, 15tangente, 17zeta de Riemann, 19

Hipotesis de Riemann, 19

igualdad de Parseval, 32

limite superior, 8, 79

media y extrema razon, 4medida

de Hausdorffde subvariedades, 33

proporcion aurea, 4

seccion aurea, 4

seriearmonica, 19de Fourier, 31

sucesionde Fibonacci, 2

129

Matemáticas en la Enseñanza Secundaria

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