Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 1/50 Matemáticas Discretas TC1003 Módulo I: Argumentos Válidos Departamento de Matemáticas ITESM
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Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 1/50
Matemáticas DiscretasTC1003
Módulo I: Argumentos VálidosDepartamento de Matemáticas
ITESM
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 2/50
Introducción
En matemáticas y en lógica un argumento no esuna disputa. Más bien, es una secuenciaestructurada de afirmaciones que terminan en unaconclusión. En esta sección veremos cómodeterminar si un argumento es válido; es decir,cuándo la conclusión se deduce de los hechosque la preceden.
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
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Argumento
Definici onUn argumento es una secuencia de afirmaciones.
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 3/50
Argumento
Definici onUn argumento es una secuencia de afirmaciones.Todas las afirmaciones excepto la última sellamarán premisas, o suposiciones o hipótesis.
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 3/50
Argumento
Definici onUn argumento es una secuencia de afirmaciones.Todas las afirmaciones excepto la última sellamarán premisas, o suposiciones o hipótesis. Ladeclaración final se llamará conclusión.
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 4/50
Ejemplo
Lo siguiente representa a un argumento:1. Si Juan estudia adecuadamente, entonces Juan
pasa el curso de Discretas.2. Juan está estudiando adecuadamente.3. Juan pasará el curso de Discretas.
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Argumentos Válidos e Inválidos
Definici onDiremos que un argumento es argumento válido si
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 5/50
Argumentos Válidos e Inválidos
Definici onDiremos que un argumento es argumento válido sipara cualquier valor de las variablesproposicionales involucradas en las fórmulas quehacen verdaderas las premisas,
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 5/50
Argumentos Válidos e Inválidos
Definici onDiremos que un argumento es argumento válido sipara cualquier valor de las variablesproposicionales involucradas en las fórmulas quehacen verdaderas las premisas, también laconclusión es verdadera.
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 6/50
De la propia definición de argumento válido sepuede deducir una metodología para verificar lavalidez de un argumento:
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 6/50
De la propia definición de argumento válido sepuede deducir una metodología para verificar lavalidez de un argumento:1. Identificar las premisas y la conclusión
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 6/50
De la propia definición de argumento válido sepuede deducir una metodología para verificar lavalidez de un argumento:1. Identificar las premisas y la conclusión2. Construir una tabla de verdad que incluya las
premisas y la conclusión
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 6/50
De la propia definición de argumento válido sepuede deducir una metodología para verificar lavalidez de un argumento:1. Identificar las premisas y la conclusión2. Construir una tabla de verdad que incluya las
premisas y la conclusión3. Señalar de la tabla sólo aquellos renglones que
hacen que todas las premisas sean verdaderas.
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 6/50
De la propia definición de argumento válido sepuede deducir una metodología para verificar lavalidez de un argumento:1. Identificar las premisas y la conclusión2. Construir una tabla de verdad que incluya las
premisas y la conclusión3. Señalar de la tabla sólo aquellos renglones que
hacen que todas las premisas sean verdaderas.Estos se llamarán renglones críticos
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 6/50
De la propia definición de argumento válido sepuede deducir una metodología para verificar lavalidez de un argumento:1. Identificar las premisas y la conclusión2. Construir una tabla de verdad que incluya las
premisas y la conclusión3. Señalar de la tabla sólo aquellos renglones que
hacen que todas las premisas sean verdaderas.Estos se llamarán renglones críticos
4. Verificar que para los renglones críticos, laconclusión es verdadera.
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 6/50
De la propia definición de argumento válido sepuede deducir una metodología para verificar lavalidez de un argumento:1. Identificar las premisas y la conclusión2. Construir una tabla de verdad que incluya las
premisas y la conclusión3. Señalar de la tabla sólo aquellos renglones que
hacen que todas las premisas sean verdaderas.Estos se llamarán renglones críticos
4. Verificar que para los renglones críticos, laconclusión es verdadera. En tal caso se tieneun Argumento válido
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 6/50
De la propia definición de argumento válido sepuede deducir una metodología para verificar lavalidez de un argumento:1. Identificar las premisas y la conclusión2. Construir una tabla de verdad que incluya las
premisas y la conclusión3. Señalar de la tabla sólo aquellos renglones que
hacen que todas las premisas sean verdaderas.Estos se llamarán renglones críticos
4. Verificar que para los renglones críticos, laconclusión es verdadera. En tal caso se tieneun Argumento válido ó
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 6/50
De la propia definición de argumento válido sepuede deducir una metodología para verificar lavalidez de un argumento:1. Identificar las premisas y la conclusión2. Construir una tabla de verdad que incluya las
premisas y la conclusión3. Señalar de la tabla sólo aquellos renglones que
hacen que todas las premisas sean verdaderas.Estos se llamarán renglones críticos
4. Verificar que para los renglones críticos, laconclusión es verdadera. En tal caso se tieneun Argumento válido ó
5. Detectar si existe un renglón crítico conconclusión falsa.
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 6/50
De la propia definición de argumento válido sepuede deducir una metodología para verificar lavalidez de un argumento:1. Identificar las premisas y la conclusión2. Construir una tabla de verdad que incluya las
premisas y la conclusión3. Señalar de la tabla sólo aquellos renglones que
hacen que todas las premisas sean verdaderas.Estos se llamarán renglones críticos
4. Verificar que para los renglones críticos, laconclusión es verdadera. En tal caso se tieneun Argumento válido ó
5. Detectar si existe un renglón crítico conconclusión falsa. En cuyo caso se diráArgumento inválido
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
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Ejemplos de validez
Veamos ahora cómo se aplica el método descritopara probar la validez o invalidez de un argumento.
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 8/50
Ejemplo
Determine si el siguiente argumento es válido:1. p → q
2. q → p
3. p ∨ q
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 8/50
Ejemplo
Determine si el siguiente argumento es válido:1. p → q
2. q → p
3. p ∨ q
Soluci onRealizando la tabla de verdad obtenemos:
p q p → q q → p p ∨ q
F F T T F
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T T T T T
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 9/50
De la cual los renglones críticos son:
p q p → q q → p p ∨ q
F F T T F
F T T F T
T F F T T
T T T T T
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 9/50
De la cual los renglones críticos son:
p q p → q q → p p ∨ q
F F T T F
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T F F T T
T T T T TDe donde observamos que de los dos renglonescríticos (renglón que corresponde a unacombinación de las variables proposicionales quehacen verdaderas todas las hipótesis) uno de ellostiene la conclusión falsa:
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 9/50
De la cual los renglones críticos son:
p q p → q q → p p ∨ q
F F T T F
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T F F T T
T T T T TDe donde observamos que de los dos renglonescríticos (renglón que corresponde a unacombinación de las variables proposicionales quehacen verdaderas todas las hipótesis) uno de ellostiene la conclusión falsa: concluimos que elargumento es inválido.
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 10/50
Ejemplo
Determine si el siguiente argumento es válido.1. p → q, 2. p → r, 3. p → q ∧ r
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 10/50
Ejemplo
Determine si el siguiente argumento es válido.1. p → q, 2. p → r, 3. p → q ∧ r
Soluci onRealizando la tabla de verdad obtenemos:
p q r p → q p → r q ∧ r p → q ∧ r
F F F T T F T
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IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 11/50
De la cual los renglones críticos son:
p q r p → q p → r q ∧ r p → q ∧ r
F F F T T F T
F F T T T F T
F T F T T F T
T F F F F F F
F T T T T T T
T F T F T F F
T T F T F F F
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IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 11/50
De la cual los renglones críticos son:
p q r p → q p → r q ∧ r p → q ∧ r
F F F T T F T
F F T T T F T
F T F T T F T
T F F F F F F
F T T T T T T
T F T F T F F
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T T T T T T TDe donde observamos que el argumento es válido.
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 12/50
Ejemplo
Determine si el siguiente argumento es válido.1. p ∧ ¬q → r, 2. p ∨ q, 3. q → p, 4. r
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 12/50
Ejemplo
Determine si el siguiente argumento es válido.1. p ∧ ¬q → r, 2. p ∨ q, 3. q → p, 4. r
Soluci onRealizando la tabla de verdad obtenemos:
p q r ¬q p ∧ ¬q p ∧ ¬q → r p ∨ q q → p
F F F T F T F T
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IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 13/50
De la cual los renglones críticos son:
p q r ¬q p ∧ ¬q p ∧ ¬q → r p ∨ q q → p
F F F T F T F T
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F T F F F T T F
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IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 13/50
De la cual los renglones críticos son:
p q r ¬q p ∧ ¬q p ∧ ¬q → r p ∨ q q → p
F F F T F T F T
F F T T F T F T
F T F F F T T F
T F F T T F T T
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T T T F F T T TDe donde observamos que el argumento esinválido.
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 14/50
Deducción Natural
El método de verificación de la validez de unargumento recien visto aunque correcto es unopoco humano y que no se puede llevar a cabocuando el total de hipótesis a usar no estádelimitado. El método de deducción naturalconsiste en construir un argumento para unconjunto de premisas y una conclusión. Estemétodo se basa en el uso de reglas de inferenciaque permiten ir obteniendo fórmulas verdaderas apartir de la suposición de que sean verdaderas unnúmero reducido de fórmulas. Una regla deinferencia es a su vez un argumento y su validezserá probada utilizando el método recien visto.
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 15/50
Reglas Inferencia
Verifiquemos la validez de las reglas de inferenciaque utilizaremos en el método de deducciónnatural.■ Modus Pones■ Modus Tollens■ Silogismo Disjuntivo■ Adición Disjuntiva■ Simplificación Conjuntiva■ Silogismo Hipotético■ Adición Conjuntiva■ Regla de Contradicción
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 16/50
Ejemplo
Verifique la validez de la regla de inferencia modusponens:1. p → q
2. p
3. q
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 16/50
Ejemplo
Verifique la validez de la regla de inferencia modusponens:1. p → q
2. p
3. q
Soluci onRealizando la tabla de verdad obtenemos:
p q p → q p q
F F T F F
F T T F T
T F F T F
T T T T T
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 17/50
De la cual los renglones críticos son:
p q p → q p q
F F T F F
F T T F T
T F F T F
T T T T T
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 17/50
De la cual los renglones críticos son:
p q p → q p q
F F T F F
F T T F T
T F F T F
T T T T TDe donde concluimos que el argumento es válido.
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 18/50
Ejemplo
Verifique la validez de la regla de inferencia modustollens:1. p → q
2. ¬q
3. ¬p
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 18/50
Ejemplo
Verifique la validez de la regla de inferencia modustollens:1. p → q
2. ¬q
3. ¬p
Soluci onRealizando la tabla de verdad obtenemos:
p q p → q ¬q ¬p
F F T T T
F T T F T
T F F T F
T T T F F
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 19/50
De la cual los renglones críticos son:
p q p → q ¬q ¬p
F F T T T
F T T F F
T F F T T
T T T F F
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 19/50
De la cual los renglones críticos son:
p q p → q ¬q ¬p
F F T T T
F T T F F
T F F T T
T T T F FDe donde concluimos que el argumento es válido.
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 20/50
Ejemplo
Verifique la validez de la regla de inferenciasilogismo disjuntivo:1. p ∨ q
2. ¬p
3. q
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 20/50
Ejemplo
Verifique la validez de la regla de inferenciasilogismo disjuntivo:1. p ∨ q
2. ¬p
3. q
Soluci onRealizando la tabla de verdad obtenemos:
p q p ∨ q ¬p q
F F F T F
F T T T T
T F T F F
T T T F T
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 21/50
De la cual los renglones críticos son:
p q p ∨ q ¬p q
F F F T F
F T T T T
T F T F F
T T T F T
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 21/50
De la cual los renglones críticos son:
p q p ∨ q ¬p q
F F F T F
F T T T T
T F T F F
T T T F TDe donde concluimos que el argumento es válido.
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 22/50
Ejemplo
Verifique la validez de la regla de inferenciaadición disjuntiva:1. p
2. p ∨ q
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 22/50
Ejemplo
Verifique la validez de la regla de inferenciaadición disjuntiva:1. p
2. p ∨ q
Soluci onRealizando la tabla de verdad obtenemos:
p q p ∨ q
F F F
F T T
T F T
T T T
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 23/50
De la cual los renglones críticos son:
p q p ∨ q
F F F
F T T
T F T
T T T
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 23/50
De la cual los renglones críticos son:
p q p ∨ q
F F F
F T T
T F T
T T TDe donde concluimos que el argumento es válido.
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 24/50
Ejemplo
Verifique la validez de la regla de inferenciasimplificación conjuntiva:1. p ∧ q
2. p
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 24/50
Ejemplo
Verifique la validez de la regla de inferenciasimplificación conjuntiva:1. p ∧ q
2. p
Soluci onRealizando la tabla de verdad obtenemos:
p q p ∧ q
F F F
F T F
T F F
T T T
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 25/50
De la cual los renglones críticos son:
p q p ∧ q
F F F
F T F
T F F
T T T
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 25/50
De la cual los renglones críticos son:
p q p ∧ q
F F F
F T F
T F F
T T TDe donde concluimos que el argumento es válido.
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 26/50
Ejemplo
Verifique la validez de la regla de inferenciasilogismo hipotético:
1. p → q, 2. q → r, 3. p → r
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 26/50
Ejemplo
Verifique la validez de la regla de inferenciasilogismo hipotético:
1. p → q, 2. q → r, 3. p → r
Soluci onRealizando la tabla de verdad obtenemos:
p q r p → q q → r p → r
F F F T T T
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F T T T T T
T F F F T F
T F T F T T
T T F T F F
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IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 27/50
De la cual los renglones críticos son:
p q r r → q q → r p → r
F F F T T T
F F T T T T
F T F T F T
F T T T T T
T F F F T F
T F T F T T
T T F T F F
T T T T T T
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 27/50
De la cual los renglones críticos son:
p q r r → q q → r p → r
F F F T T T
F F T T T T
F T F T F T
F T T T T T
T F F F T F
T F T F T T
T T F T F F
T T T T T TDe donde observamos que el argumento es válido.
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 28/50
Ejemplo
Verifique la validez de la regla de inferenciaadición conjuntiva:1. p
2. q
3. p ∧ q
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 28/50
Ejemplo
Verifique la validez de la regla de inferenciaadición conjuntiva:1. p
2. q
3. p ∧ q
Soluci onRealizando la tabla de verdad obtenemos:
p q p ∧ q
F F F
F T F
T F F
T T T
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 29/50
De la cual los renglones críticos son:
p q p ∧ q
F F F
F T F
T F F
T T T
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 29/50
De la cual los renglones críticos son:
p q p ∧ q
F F F
F T F
T F F
T T TDe donde concluimos que el argumento es válido.
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 30/50
Ejemplo
Verifique la validez de la regla de inferencia de laregla de contradicción:1. ¬p → F2. p
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 30/50
Ejemplo
Verifique la validez de la regla de inferencia de laregla de contradicción:1. ¬p → F2. p
Soluci onRealizando la tabla de verdad obtenemos:
p F ¬p ¬p → F
F F T F
T F F T
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 31/50
De la cual los renglones críticos son:
p F ¬p ¬p → F
F F T F
T F F T
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 31/50
De la cual los renglones críticos son:
p F ¬p ¬p → F
F F T F
T F F TDe donde concluimos que el argumento es válido.
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 32/50
Conceptos
Una demostración para una proposición es unargumento válido construido para ella. La palabrademostrar una proposición consiste en construirun argumento válido para ella. Una proposición sedice teorema, si es posible demostrarla. Unaproposición se dice lema, si es un teorema yposteriormente se planea usarla como una reglade inferencia. Una proposición se dice corolario aun teorema si es posible construir unademostración corta donde el teorema se use comouna regla de inferencia. Una proposición se diceconjetura cuando no ha sido posible construir unademostración para ella pero en sustituciones se haevaluado en verdadero.
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 33/50
Ejemplos de deducción natural
Veamos ahora unos ejemplos del uso dededucción natural. En lo siguiente demostrarconsiste en construir un argumento válido. Esdecir, ir colocando hipótesis o creando FBFs enuna lista que será el argumento. Asimismo, sedeberá justificar porqué cada FBB en elargumento es verdadera. El argumento partirá delsupuesto que las hipótesis son verdaderas ydeberá llegar a la conclusión deseada.
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 34/50
Ejemplo :Demuestre que la conclusión se deduce de lashipótesis:
H1: p
H2: p → ¬q
H3: ¬q → ¬r
C: ¬r
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 34/50
Ejemplo :Demuestre que la conclusión se deduce de lashipótesis:
H1: p
H2: p → ¬q
H3: ¬q → ¬r
C: ¬r
Soluci on
FBF Justificación1. p . . . . . . . . . . .
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 34/50
Ejemplo :Demuestre que la conclusión se deduce de lashipótesis:
H1: p
H2: p → ¬q
H3: ¬q → ¬r
C: ¬r
Soluci on
FBF Justificación1. p . . . . . . . . . . . Hipótesis 12.
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 34/50
Ejemplo :Demuestre que la conclusión se deduce de lashipótesis:
H1: p
H2: p → ¬q
H3: ¬q → ¬r
C: ¬r
Soluci on
FBF Justificación1. p . . . . . . . . . . . Hipótesis 12. p → ¬q . . . . .
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 34/50
Ejemplo :Demuestre que la conclusión se deduce de lashipótesis:
H1: p
H2: p → ¬q
H3: ¬q → ¬r
C: ¬r
Soluci on
FBF Justificación1. p . . . . . . . . . . . Hipótesis 12. p → ¬q . . . . . Hipótesis 23.
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 34/50
Ejemplo :Demuestre que la conclusión se deduce de lashipótesis:
H1: p
H2: p → ¬q
H3: ¬q → ¬r
C: ¬r
Soluci on
FBF Justificación1. p . . . . . . . . . . . Hipótesis 12. p → ¬q . . . . . Hipótesis 23. ¬q . . . . . . . . . .
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 34/50
Ejemplo :Demuestre que la conclusión se deduce de lashipótesis:
H1: p
H2: p → ¬q
H3: ¬q → ¬r
C: ¬r
Soluci on
FBF Justificación1. p . . . . . . . . . . . Hipótesis 12. p → ¬q . . . . . Hipótesis 23. ¬q . . . . . . . . . . Modus ponens con 2. y 1.4.
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 34/50
Ejemplo :Demuestre que la conclusión se deduce de lashipótesis:
H1: p
H2: p → ¬q
H3: ¬q → ¬r
C: ¬r
Soluci on
FBF Justificación1. p . . . . . . . . . . . Hipótesis 12. p → ¬q . . . . . Hipótesis 23. ¬q . . . . . . . . . . Modus ponens con 2. y 1.4. ¬q → ¬r . . . .
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 34/50
Ejemplo :Demuestre que la conclusión se deduce de lashipótesis:
H1: p
H2: p → ¬q
H3: ¬q → ¬r
C: ¬r
Soluci on
FBF Justificación1. p . . . . . . . . . . . Hipótesis 12. p → ¬q . . . . . Hipótesis 23. ¬q . . . . . . . . . . Modus ponens con 2. y 1.4. ¬q → ¬r . . . . Hipótesis 3.5.
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 34/50
Ejemplo :Demuestre que la conclusión se deduce de lashipótesis:
H1: p
H2: p → ¬q
H3: ¬q → ¬r
C: ¬r
Soluci on
FBF Justificación1. p . . . . . . . . . . . Hipótesis 12. p → ¬q . . . . . Hipótesis 23. ¬q . . . . . . . . . . Modus ponens con 2. y 1.4. ¬q → ¬r . . . . Hipótesis 3.5. ¬r . . . . . . . . . .
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 34/50
Ejemplo :Demuestre que la conclusión se deduce de lashipótesis:
H1: p
H2: p → ¬q
H3: ¬q → ¬r
C: ¬r
Soluci on
FBF Justificación1. p . . . . . . . . . . . Hipótesis 12. p → ¬q . . . . . Hipótesis 23. ¬q . . . . . . . . . . Modus ponens con 2. y 1.4. ¬q → ¬r . . . . Hipótesis 3.5. ¬r . . . . . . . . . . Modus ponens con 4. y 5.
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 35/50
Ejemplo : Demuestre que la conclusión se deducede las hipótesis:H1: p → r H2: r → s H3: t ∨ ¬s
H4: ¬t ∨ u H5: ¬u C: ¬p
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 35/50
Ejemplo : Demuestre que la conclusión se deducede las hipótesis:H1: p → r H2: r → s H3: t ∨ ¬s
H4: ¬t ∨ u H5: ¬u C: ¬p
Soluci on
1. ¬u . . . . . . . . . . . . . .
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 35/50
Ejemplo : Demuestre que la conclusión se deducede las hipótesis:H1: p → r H2: r → s H3: t ∨ ¬s
H4: ¬t ∨ u H5: ¬u C: ¬p
Soluci on
1. ¬u . . . . . . . . . . . . . . Hipótesis 5
2.
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 35/50
Ejemplo : Demuestre que la conclusión se deducede las hipótesis:H1: p → r H2: r → s H3: t ∨ ¬s
H4: ¬t ∨ u H5: ¬u C: ¬p
Soluci on
1. ¬u . . . . . . . . . . . . . . Hipótesis 5
2. ¬t ∨ u . . . . . . . . . . .
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 35/50
Ejemplo : Demuestre que la conclusión se deducede las hipótesis:H1: p → r H2: r → s H3: t ∨ ¬s
H4: ¬t ∨ u H5: ¬u C: ¬p
Soluci on
1. ¬u . . . . . . . . . . . . . . Hipótesis 5
2. ¬t ∨ u . . . . . . . . . . . Hipótesis 4
3.
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 35/50
Ejemplo : Demuestre que la conclusión se deducede las hipótesis:H1: p → r H2: r → s H3: t ∨ ¬s
H4: ¬t ∨ u H5: ¬u C: ¬p
Soluci on
1. ¬u . . . . . . . . . . . . . . Hipótesis 5
2. ¬t ∨ u . . . . . . . . . . . Hipótesis 4
3. ¬t . . . . . . . . . . . . . . .
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 35/50
Ejemplo : Demuestre que la conclusión se deducede las hipótesis:H1: p → r H2: r → s H3: t ∨ ¬s
H4: ¬t ∨ u H5: ¬u C: ¬p
Soluci on
1. ¬u . . . . . . . . . . . . . . Hipótesis 5
2. ¬t ∨ u . . . . . . . . . . . Hipótesis 4
3. ¬t . . . . . . . . . . . . . . . Silogismo disjuntivo con 2. y 1.
4.
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 35/50
Ejemplo : Demuestre que la conclusión se deducede las hipótesis:H1: p → r H2: r → s H3: t ∨ ¬s
H4: ¬t ∨ u H5: ¬u C: ¬p
Soluci on
1. ¬u . . . . . . . . . . . . . . Hipótesis 5
2. ¬t ∨ u . . . . . . . . . . . Hipótesis 4
3. ¬t . . . . . . . . . . . . . . . Silogismo disjuntivo con 2. y 1.
4. t ∨ ¬s . . . . . . . . . . .
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 35/50
Ejemplo : Demuestre que la conclusión se deducede las hipótesis:H1: p → r H2: r → s H3: t ∨ ¬s
H4: ¬t ∨ u H5: ¬u C: ¬p
Soluci on
1. ¬u . . . . . . . . . . . . . . Hipótesis 5
2. ¬t ∨ u . . . . . . . . . . . Hipótesis 4
3. ¬t . . . . . . . . . . . . . . . Silogismo disjuntivo con 2. y 1.
4. t ∨ ¬s . . . . . . . . . . . Hipótesis 3.
5.
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 35/50
Ejemplo : Demuestre que la conclusión se deducede las hipótesis:H1: p → r H2: r → s H3: t ∨ ¬s
H4: ¬t ∨ u H5: ¬u C: ¬p
Soluci on
1. ¬u . . . . . . . . . . . . . . Hipótesis 5
2. ¬t ∨ u . . . . . . . . . . . Hipótesis 4
3. ¬t . . . . . . . . . . . . . . . Silogismo disjuntivo con 2. y 1.
4. t ∨ ¬s . . . . . . . . . . . Hipótesis 3.
5. ¬s . . . . . . . . . . . . . .
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 35/50
Ejemplo : Demuestre que la conclusión se deducede las hipótesis:H1: p → r H2: r → s H3: t ∨ ¬s
H4: ¬t ∨ u H5: ¬u C: ¬p
Soluci on
1. ¬u . . . . . . . . . . . . . . Hipótesis 5
2. ¬t ∨ u . . . . . . . . . . . Hipótesis 4
3. ¬t . . . . . . . . . . . . . . . Silogismo disjuntivo con 2. y 1.
4. t ∨ ¬s . . . . . . . . . . . Hipótesis 3.
5. ¬s . . . . . . . . . . . . . . Silogismo disjuntivo con 4. y 3.
6.
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 35/50
Ejemplo : Demuestre que la conclusión se deducede las hipótesis:H1: p → r H2: r → s H3: t ∨ ¬s
H4: ¬t ∨ u H5: ¬u C: ¬p
Soluci on
1. ¬u . . . . . . . . . . . . . . Hipótesis 5
2. ¬t ∨ u . . . . . . . . . . . Hipótesis 4
3. ¬t . . . . . . . . . . . . . . . Silogismo disjuntivo con 2. y 1.
4. t ∨ ¬s . . . . . . . . . . . Hipótesis 3.
5. ¬s . . . . . . . . . . . . . . Silogismo disjuntivo con 4. y 3.
6. r → s . . . . . . . . . . .
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 35/50
Ejemplo : Demuestre que la conclusión se deducede las hipótesis:H1: p → r H2: r → s H3: t ∨ ¬s
H4: ¬t ∨ u H5: ¬u C: ¬p
Soluci on
1. ¬u . . . . . . . . . . . . . . Hipótesis 5
2. ¬t ∨ u . . . . . . . . . . . Hipótesis 4
3. ¬t . . . . . . . . . . . . . . . Silogismo disjuntivo con 2. y 1.
4. t ∨ ¬s . . . . . . . . . . . Hipótesis 3.
5. ¬s . . . . . . . . . . . . . . Silogismo disjuntivo con 4. y 3.
6. r → s . . . . . . . . . . . Hipótesis 2.
7.
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 35/50
Ejemplo : Demuestre que la conclusión se deducede las hipótesis:H1: p → r H2: r → s H3: t ∨ ¬s
H4: ¬t ∨ u H5: ¬u C: ¬p
Soluci on
1. ¬u . . . . . . . . . . . . . . Hipótesis 5
2. ¬t ∨ u . . . . . . . . . . . Hipótesis 4
3. ¬t . . . . . . . . . . . . . . . Silogismo disjuntivo con 2. y 1.
4. t ∨ ¬s . . . . . . . . . . . Hipótesis 3.
5. ¬s . . . . . . . . . . . . . . Silogismo disjuntivo con 4. y 3.
6. r → s . . . . . . . . . . . Hipótesis 2.
7. ¬r . . . . . . . . . . . . . .
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 35/50
Ejemplo : Demuestre que la conclusión se deducede las hipótesis:H1: p → r H2: r → s H3: t ∨ ¬s
H4: ¬t ∨ u H5: ¬u C: ¬p
Soluci on
1. ¬u . . . . . . . . . . . . . . Hipótesis 5
2. ¬t ∨ u . . . . . . . . . . . Hipótesis 4
3. ¬t . . . . . . . . . . . . . . . Silogismo disjuntivo con 2. y 1.
4. t ∨ ¬s . . . . . . . . . . . Hipótesis 3.
5. ¬s . . . . . . . . . . . . . . Silogismo disjuntivo con 4. y 3.
6. r → s . . . . . . . . . . . Hipótesis 2.
7. ¬r . . . . . . . . . . . . . . Modus tollens con 6. y 5.
8.
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 35/50
Ejemplo : Demuestre que la conclusión se deducede las hipótesis:H1: p → r H2: r → s H3: t ∨ ¬s
H4: ¬t ∨ u H5: ¬u C: ¬p
Soluci on
1. ¬u . . . . . . . . . . . . . . Hipótesis 5
2. ¬t ∨ u . . . . . . . . . . . Hipótesis 4
3. ¬t . . . . . . . . . . . . . . . Silogismo disjuntivo con 2. y 1.
4. t ∨ ¬s . . . . . . . . . . . Hipótesis 3.
5. ¬s . . . . . . . . . . . . . . Silogismo disjuntivo con 4. y 3.
6. r → s . . . . . . . . . . . Hipótesis 2.
7. ¬r . . . . . . . . . . . . . . Modus tollens con 6. y 5.
8. p → r . . . . . . . . . . .
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 35/50
Ejemplo : Demuestre que la conclusión se deducede las hipótesis:H1: p → r H2: r → s H3: t ∨ ¬s
H4: ¬t ∨ u H5: ¬u C: ¬p
Soluci on
1. ¬u . . . . . . . . . . . . . . Hipótesis 5
2. ¬t ∨ u . . . . . . . . . . . Hipótesis 4
3. ¬t . . . . . . . . . . . . . . . Silogismo disjuntivo con 2. y 1.
4. t ∨ ¬s . . . . . . . . . . . Hipótesis 3.
5. ¬s . . . . . . . . . . . . . . Silogismo disjuntivo con 4. y 3.
6. r → s . . . . . . . . . . . Hipótesis 2.
7. ¬r . . . . . . . . . . . . . . Modus tollens con 6. y 5.
8. p → r . . . . . . . . . . . Hipótesis 1.
9.
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 35/50
Ejemplo : Demuestre que la conclusión se deducede las hipótesis:H1: p → r H2: r → s H3: t ∨ ¬s
H4: ¬t ∨ u H5: ¬u C: ¬p
Soluci on
1. ¬u . . . . . . . . . . . . . . Hipótesis 5
2. ¬t ∨ u . . . . . . . . . . . Hipótesis 4
3. ¬t . . . . . . . . . . . . . . . Silogismo disjuntivo con 2. y 1.
4. t ∨ ¬s . . . . . . . . . . . Hipótesis 3.
5. ¬s . . . . . . . . . . . . . . Silogismo disjuntivo con 4. y 3.
6. r → s . . . . . . . . . . . Hipótesis 2.
7. ¬r . . . . . . . . . . . . . . Modus tollens con 6. y 5.
8. p → r . . . . . . . . . . . Hipótesis 1.
9. ¬p . . . . . . . . . . . . . .
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 35/50
Ejemplo : Demuestre que la conclusión se deducede las hipótesis:H1: p → r H2: r → s H3: t ∨ ¬s
H4: ¬t ∨ u H5: ¬u C: ¬p
Soluci on
1. ¬u . . . . . . . . . . . . . . Hipótesis 5
2. ¬t ∨ u . . . . . . . . . . . Hipótesis 4
3. ¬t . . . . . . . . . . . . . . . Silogismo disjuntivo con 2. y 1.
4. t ∨ ¬s . . . . . . . . . . . Hipótesis 3.
5. ¬s . . . . . . . . . . . . . . Silogismo disjuntivo con 4. y 3.
6. r → s . . . . . . . . . . . Hipótesis 2.
7. ¬r . . . . . . . . . . . . . . Modus tollens con 6. y 5.
8. p → r . . . . . . . . . . . Hipótesis 1.
9. ¬p . . . . . . . . . . . . . . Modus tollens con 8. y 7.
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 36/50
Ejemplo (Lema 1):Demuestre que la conclusión sededuce de las hipótesis:
H1: p ∨ q
H2: ¬p ∨ r
C: q ∨ r
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 36/50
Ejemplo (Lema 1):Demuestre que la conclusión sededuce de las hipótesis:
H1: p ∨ q
H2: ¬p ∨ r
C: q ∨ r
Soluci on
1. p ∨ q . . . . . .
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 36/50
Ejemplo (Lema 1):Demuestre que la conclusión sededuce de las hipótesis:
H1: p ∨ q
H2: ¬p ∨ r
C: q ∨ r
Soluci on
1. p ∨ q . . . . . . Hipótesis 1.2.
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 36/50
Ejemplo (Lema 1):Demuestre que la conclusión sededuce de las hipótesis:
H1: p ∨ q
H2: ¬p ∨ r
C: q ∨ r
Soluci on
1. p ∨ q . . . . . . Hipótesis 1.2. ¬p → q . . . .
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 36/50
Ejemplo (Lema 1):Demuestre que la conclusión sededuce de las hipótesis:
H1: p ∨ q
H2: ¬p ∨ r
C: q ∨ r
Soluci on
1. p ∨ q . . . . . . Hipótesis 1.2. ¬p → q . . . . Equiv. implicación en 1.3.
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 36/50
Ejemplo (Lema 1):Demuestre que la conclusión sededuce de las hipótesis:
H1: p ∨ q
H2: ¬p ∨ r
C: q ∨ r
Soluci on
1. p ∨ q . . . . . . Hipótesis 1.2. ¬p → q . . . . Equiv. implicación en 1.3. ¬p ∨ r . . . . .
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 36/50
Ejemplo (Lema 1):Demuestre que la conclusión sededuce de las hipótesis:
H1: p ∨ q
H2: ¬p ∨ r
C: q ∨ r
Soluci on
1. p ∨ q . . . . . . Hipótesis 1.2. ¬p → q . . . . Equiv. implicación en 1.3. ¬p ∨ r . . . . . Hipótesis 2.4.
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 36/50
Ejemplo (Lema 1):Demuestre que la conclusión sededuce de las hipótesis:
H1: p ∨ q
H2: ¬p ∨ r
C: q ∨ r
Soluci on
1. p ∨ q . . . . . . Hipótesis 1.2. ¬p → q . . . . Equiv. implicación en 1.3. ¬p ∨ r . . . . . Hipótesis 2.4. r ∨ ¬p . . . . .
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 36/50
Ejemplo (Lema 1):Demuestre que la conclusión sededuce de las hipótesis:
H1: p ∨ q
H2: ¬p ∨ r
C: q ∨ r
Soluci on
1. p ∨ q . . . . . . Hipótesis 1.2. ¬p → q . . . . Equiv. implicación en 1.3. ¬p ∨ r . . . . . Hipótesis 2.4. r ∨ ¬p . . . . . Conmutatividad en 3.5.
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 36/50
Ejemplo (Lema 1):Demuestre que la conclusión sededuce de las hipótesis:
H1: p ∨ q
H2: ¬p ∨ r
C: q ∨ r
Soluci on
1. p ∨ q . . . . . . Hipótesis 1.2. ¬p → q . . . . Equiv. implicación en 1.3. ¬p ∨ r . . . . . Hipótesis 2.4. r ∨ ¬p . . . . . Conmutatividad en 3.5. ¬r → ¬p . .
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 36/50
Ejemplo (Lema 1):Demuestre que la conclusión sededuce de las hipótesis:
H1: p ∨ q
H2: ¬p ∨ r
C: q ∨ r
Soluci on
1. p ∨ q . . . . . . Hipótesis 1.2. ¬p → q . . . . Equiv. implicación en 1.3. ¬p ∨ r . . . . . Hipótesis 2.4. r ∨ ¬p . . . . . Conmutatividad en 3.5. ¬r → ¬p . . Equiv. implicación en 4.6.
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 36/50
Ejemplo (Lema 1):Demuestre que la conclusión sededuce de las hipótesis:
H1: p ∨ q
H2: ¬p ∨ r
C: q ∨ r
Soluci on
1. p ∨ q . . . . . . Hipótesis 1.2. ¬p → q . . . . Equiv. implicación en 1.3. ¬p ∨ r . . . . . Hipótesis 2.4. r ∨ ¬p . . . . . Conmutatividad en 3.5. ¬r → ¬p . . Equiv. implicación en 4.6. ¬r → q . . . .
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 36/50
Ejemplo (Lema 1):Demuestre que la conclusión sededuce de las hipótesis:
H1: p ∨ q
H2: ¬p ∨ r
C: q ∨ r
Soluci on
1. p ∨ q . . . . . . Hipótesis 1.2. ¬p → q . . . . Equiv. implicación en 1.3. ¬p ∨ r . . . . . Hipótesis 2.4. r ∨ ¬p . . . . . Conmutatividad en 3.5. ¬r → ¬p . . Equiv. implicación en 4.6. ¬r → q . . . . Silog. hipotético con 5. y 2..7.
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 36/50
Ejemplo (Lema 1):Demuestre que la conclusión sededuce de las hipótesis:
H1: p ∨ q
H2: ¬p ∨ r
C: q ∨ r
Soluci on
1. p ∨ q . . . . . . Hipótesis 1.2. ¬p → q . . . . Equiv. implicación en 1.3. ¬p ∨ r . . . . . Hipótesis 2.4. r ∨ ¬p . . . . . Conmutatividad en 3.5. ¬r → ¬p . . Equiv. implicación en 4.6. ¬r → q . . . . Silog. hipotético con 5. y 2..7. ¬(¬r) ∨ q . .
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 36/50
Ejemplo (Lema 1):Demuestre que la conclusión sededuce de las hipótesis:
H1: p ∨ q
H2: ¬p ∨ r
C: q ∨ r
Soluci on
1. p ∨ q . . . . . . Hipótesis 1.2. ¬p → q . . . . Equiv. implicación en 1.3. ¬p ∨ r . . . . . Hipótesis 2.4. r ∨ ¬p . . . . . Conmutatividad en 3.5. ¬r → ¬p . . Equiv. implicación en 4.6. ¬r → q . . . . Silog. hipotético con 5. y 2..7. ¬(¬r) ∨ q . . Equiv. implicación en 6.8.
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 36/50
Ejemplo (Lema 1):Demuestre que la conclusión sededuce de las hipótesis:
H1: p ∨ q
H2: ¬p ∨ r
C: q ∨ r
Soluci on
1. p ∨ q . . . . . . Hipótesis 1.2. ¬p → q . . . . Equiv. implicación en 1.3. ¬p ∨ r . . . . . Hipótesis 2.4. r ∨ ¬p . . . . . Conmutatividad en 3.5. ¬r → ¬p . . Equiv. implicación en 4.6. ¬r → q . . . . Silog. hipotético con 5. y 2..7. ¬(¬r) ∨ q . . Equiv. implicación en 6.8. q ∨ r . . . . . . .
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 36/50
Ejemplo (Lema 1):Demuestre que la conclusión sededuce de las hipótesis:
H1: p ∨ q
H2: ¬p ∨ r
C: q ∨ r
Soluci on
1. p ∨ q . . . . . . Hipótesis 1.2. ¬p → q . . . . Equiv. implicación en 1.3. ¬p ∨ r . . . . . Hipótesis 2.4. r ∨ ¬p . . . . . Conmutatividad en 3.5. ¬r → ¬p . . Equiv. implicación en 4.6. ¬r → q . . . . Silog. hipotético con 5. y 2..7. ¬(¬r) ∨ q . . Equiv. implicación en 6.8. q ∨ r . . . . . . . Doble negación y conmutatividad en 7.
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 37/50
Ejemplo (Lema 2)
Demuestre que la
conclusión se deduce
de las hipótesis:
H1 : p → q ∨ r
H2 : p → ¬q
C : p → r
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 37/50
Ejemplo (Lema 2)
Demuestre que la
conclusión se deduce
de las hipótesis:
H1 : p → q ∨ r
H2 : p → ¬q
C : p → r
Soluci on
1. p → q ∨ r . . . . . . .
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 37/50
Ejemplo (Lema 2)
Demuestre que la
conclusión se deduce
de las hipótesis:
H1 : p → q ∨ r
H2 : p → ¬q
C : p → r
Soluci on
1. p → q ∨ r . . . . . . . Hipótesis 1.
2.
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 37/50
Ejemplo (Lema 2)
Demuestre que la
conclusión se deduce
de las hipótesis:
H1 : p → q ∨ r
H2 : p → ¬q
C : p → r
Soluci on
1. p → q ∨ r . . . . . . . Hipótesis 1.
2. ¬p ∨ (q ∨ r) . . . . .
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 37/50
Ejemplo (Lema 2)
Demuestre que la
conclusión se deduce
de las hipótesis:
H1 : p → q ∨ r
H2 : p → ¬q
C : p → r
Soluci on
1. p → q ∨ r . . . . . . . Hipótesis 1.
2. ¬p ∨ (q ∨ r) . . . . . Equiv. implicación en 1.
3.
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 37/50
Ejemplo (Lema 2)
Demuestre que la
conclusión se deduce
de las hipótesis:
H1 : p → q ∨ r
H2 : p → ¬q
C : p → r
Soluci on
1. p → q ∨ r . . . . . . . Hipótesis 1.
2. ¬p ∨ (q ∨ r) . . . . . Equiv. implicación en 1.
3. q ∨ (¬p ∨ r) . . . . .
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 37/50
Ejemplo (Lema 2)
Demuestre que la
conclusión se deduce
de las hipótesis:
H1 : p → q ∨ r
H2 : p → ¬q
C : p → r
Soluci on
1. p → q ∨ r . . . . . . . Hipótesis 1.
2. ¬p ∨ (q ∨ r) . . . . . Equiv. implicación en 1.
3. q ∨ (¬p ∨ r) . . . . . Prop. asociativas y conmutativas en 2.
4.
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 37/50
Ejemplo (Lema 2)
Demuestre que la
conclusión se deduce
de las hipótesis:
H1 : p → q ∨ r
H2 : p → ¬q
C : p → r
Soluci on
1. p → q ∨ r . . . . . . . Hipótesis 1.
2. ¬p ∨ (q ∨ r) . . . . . Equiv. implicación en 1.
3. q ∨ (¬p ∨ r) . . . . . Prop. asociativas y conmutativas en 2.
4. p → ¬q . . . . . . . . . .
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 37/50
Ejemplo (Lema 2)
Demuestre que la
conclusión se deduce
de las hipótesis:
H1 : p → q ∨ r
H2 : p → ¬q
C : p → r
Soluci on
1. p → q ∨ r . . . . . . . Hipótesis 1.
2. ¬p ∨ (q ∨ r) . . . . . Equiv. implicación en 1.
3. q ∨ (¬p ∨ r) . . . . . Prop. asociativas y conmutativas en 2.
4. p → ¬q . . . . . . . . . . Hipótesis 2.
5.
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 37/50
Ejemplo (Lema 2)
Demuestre que la
conclusión se deduce
de las hipótesis:
H1 : p → q ∨ r
H2 : p → ¬q
C : p → r
Soluci on
1. p → q ∨ r . . . . . . . Hipótesis 1.
2. ¬p ∨ (q ∨ r) . . . . . Equiv. implicación en 1.
3. q ∨ (¬p ∨ r) . . . . . Prop. asociativas y conmutativas en 2.
4. p → ¬q . . . . . . . . . . Hipótesis 2.
5. ¬p ∨ ¬q . . . . . . . . .
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 37/50
Ejemplo (Lema 2)
Demuestre que la
conclusión se deduce
de las hipótesis:
H1 : p → q ∨ r
H2 : p → ¬q
C : p → r
Soluci on
1. p → q ∨ r . . . . . . . Hipótesis 1.
2. ¬p ∨ (q ∨ r) . . . . . Equiv. implicación en 1.
3. q ∨ (¬p ∨ r) . . . . . Prop. asociativas y conmutativas en 2.
4. p → ¬q . . . . . . . . . . Hipótesis 2.
5. ¬p ∨ ¬q . . . . . . . . . Equiv. implicación en 4.
6.
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 37/50
Ejemplo (Lema 2)
Demuestre que la
conclusión se deduce
de las hipótesis:
H1 : p → q ∨ r
H2 : p → ¬q
C : p → r
Soluci on
1. p → q ∨ r . . . . . . . Hipótesis 1.
2. ¬p ∨ (q ∨ r) . . . . . Equiv. implicación en 1.
3. q ∨ (¬p ∨ r) . . . . . Prop. asociativas y conmutativas en 2.
4. p → ¬q . . . . . . . . . . Hipótesis 2.
5. ¬p ∨ ¬q . . . . . . . . . Equiv. implicación en 4.
6. ¬q ∨ ¬p . . . . . . . . .
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 37/50
Ejemplo (Lema 2)
Demuestre que la
conclusión se deduce
de las hipótesis:
H1 : p → q ∨ r
H2 : p → ¬q
C : p → r
Soluci on
1. p → q ∨ r . . . . . . . Hipótesis 1.
2. ¬p ∨ (q ∨ r) . . . . . Equiv. implicación en 1.
3. q ∨ (¬p ∨ r) . . . . . Prop. asociativas y conmutativas en 2.
4. p → ¬q . . . . . . . . . . Hipótesis 2.
5. ¬p ∨ ¬q . . . . . . . . . Equiv. implicación en 4.
6. ¬q ∨ ¬p . . . . . . . . . Prop. conmutativa en 5.
7.
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 37/50
Ejemplo (Lema 2)
Demuestre que la
conclusión se deduce
de las hipótesis:
H1 : p → q ∨ r
H2 : p → ¬q
C : p → r
Soluci on
1. p → q ∨ r . . . . . . . Hipótesis 1.
2. ¬p ∨ (q ∨ r) . . . . . Equiv. implicación en 1.
3. q ∨ (¬p ∨ r) . . . . . Prop. asociativas y conmutativas en 2.
4. p → ¬q . . . . . . . . . . Hipótesis 2.
5. ¬p ∨ ¬q . . . . . . . . . Equiv. implicación en 4.
6. ¬q ∨ ¬p . . . . . . . . . Prop. conmutativa en 5.
7. (¬p ∨ r) ∨ ¬p . . . .
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 37/50
Ejemplo (Lema 2)
Demuestre que la
conclusión se deduce
de las hipótesis:
H1 : p → q ∨ r
H2 : p → ¬q
C : p → r
Soluci on
1. p → q ∨ r . . . . . . . Hipótesis 1.
2. ¬p ∨ (q ∨ r) . . . . . Equiv. implicación en 1.
3. q ∨ (¬p ∨ r) . . . . . Prop. asociativas y conmutativas en 2.
4. p → ¬q . . . . . . . . . . Hipótesis 2.
5. ¬p ∨ ¬q . . . . . . . . . Equiv. implicación en 4.
6. ¬q ∨ ¬p . . . . . . . . . Prop. conmutativa en 5.
7. (¬p ∨ r) ∨ ¬p . . . . Lema 1 con 5. y 6.
8.
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 37/50
Ejemplo (Lema 2)
Demuestre que la
conclusión se deduce
de las hipótesis:
H1 : p → q ∨ r
H2 : p → ¬q
C : p → r
Soluci on
1. p → q ∨ r . . . . . . . Hipótesis 1.
2. ¬p ∨ (q ∨ r) . . . . . Equiv. implicación en 1.
3. q ∨ (¬p ∨ r) . . . . . Prop. asociativas y conmutativas en 2.
4. p → ¬q . . . . . . . . . . Hipótesis 2.
5. ¬p ∨ ¬q . . . . . . . . . Equiv. implicación en 4.
6. ¬q ∨ ¬p . . . . . . . . . Prop. conmutativa en 5.
7. (¬p ∨ r) ∨ ¬p . . . . Lema 1 con 5. y 6.
8. (¬p ∨ ¬p) ∨ r . . . .
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 37/50
Ejemplo (Lema 2)
Demuestre que la
conclusión se deduce
de las hipótesis:
H1 : p → q ∨ r
H2 : p → ¬q
C : p → r
Soluci on
1. p → q ∨ r . . . . . . . Hipótesis 1.
2. ¬p ∨ (q ∨ r) . . . . . Equiv. implicación en 1.
3. q ∨ (¬p ∨ r) . . . . . Prop. asociativas y conmutativas en 2.
4. p → ¬q . . . . . . . . . . Hipótesis 2.
5. ¬p ∨ ¬q . . . . . . . . . Equiv. implicación en 4.
6. ¬q ∨ ¬p . . . . . . . . . Prop. conmutativa en 5.
7. (¬p ∨ r) ∨ ¬p . . . . Lema 1 con 5. y 6.
8. (¬p ∨ ¬p) ∨ r . . . . Prop. asociativas y conmutativas en 7.
9.
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 37/50
Ejemplo (Lema 2)
Demuestre que la
conclusión se deduce
de las hipótesis:
H1 : p → q ∨ r
H2 : p → ¬q
C : p → r
Soluci on
1. p → q ∨ r . . . . . . . Hipótesis 1.
2. ¬p ∨ (q ∨ r) . . . . . Equiv. implicación en 1.
3. q ∨ (¬p ∨ r) . . . . . Prop. asociativas y conmutativas en 2.
4. p → ¬q . . . . . . . . . . Hipótesis 2.
5. ¬p ∨ ¬q . . . . . . . . . Equiv. implicación en 4.
6. ¬q ∨ ¬p . . . . . . . . . Prop. conmutativa en 5.
7. (¬p ∨ r) ∨ ¬p . . . . Lema 1 con 5. y 6.
8. (¬p ∨ ¬p) ∨ r . . . . Prop. asociativas y conmutativas en 7.
9. ¬p ∨ r . . . . . . . . . . .
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 37/50
Ejemplo (Lema 2)
Demuestre que la
conclusión se deduce
de las hipótesis:
H1 : p → q ∨ r
H2 : p → ¬q
C : p → r
Soluci on
1. p → q ∨ r . . . . . . . Hipótesis 1.
2. ¬p ∨ (q ∨ r) . . . . . Equiv. implicación en 1.
3. q ∨ (¬p ∨ r) . . . . . Prop. asociativas y conmutativas en 2.
4. p → ¬q . . . . . . . . . . Hipótesis 2.
5. ¬p ∨ ¬q . . . . . . . . . Equiv. implicación en 4.
6. ¬q ∨ ¬p . . . . . . . . . Prop. conmutativa en 5.
7. (¬p ∨ r) ∨ ¬p . . . . Lema 1 con 5. y 6.
8. (¬p ∨ ¬p) ∨ r . . . . Prop. asociativas y conmutativas en 7.
9. ¬p ∨ r . . . . . . . . . . . Ley idempotencia en 8.
10.
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 37/50
Ejemplo (Lema 2)
Demuestre que la
conclusión se deduce
de las hipótesis:
H1 : p → q ∨ r
H2 : p → ¬q
C : p → r
Soluci on
1. p → q ∨ r . . . . . . . Hipótesis 1.
2. ¬p ∨ (q ∨ r) . . . . . Equiv. implicación en 1.
3. q ∨ (¬p ∨ r) . . . . . Prop. asociativas y conmutativas en 2.
4. p → ¬q . . . . . . . . . . Hipótesis 2.
5. ¬p ∨ ¬q . . . . . . . . . Equiv. implicación en 4.
6. ¬q ∨ ¬p . . . . . . . . . Prop. conmutativa en 5.
7. (¬p ∨ r) ∨ ¬p . . . . Lema 1 con 5. y 6.
8. (¬p ∨ ¬p) ∨ r . . . . Prop. asociativas y conmutativas en 7.
9. ¬p ∨ r . . . . . . . . . . . Ley idempotencia en 8.
10. p → r . . . . . . . . . . .
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 37/50
Ejemplo (Lema 2)
Demuestre que la
conclusión se deduce
de las hipótesis:
H1 : p → q ∨ r
H2 : p → ¬q
C : p → r
Soluci on
1. p → q ∨ r . . . . . . . Hipótesis 1.
2. ¬p ∨ (q ∨ r) . . . . . Equiv. implicación en 1.
3. q ∨ (¬p ∨ r) . . . . . Prop. asociativas y conmutativas en 2.
4. p → ¬q . . . . . . . . . . Hipótesis 2.
5. ¬p ∨ ¬q . . . . . . . . . Equiv. implicación en 4.
6. ¬q ∨ ¬p . . . . . . . . . Prop. conmutativa en 5.
7. (¬p ∨ r) ∨ ¬p . . . . Lema 1 con 5. y 6.
8. (¬p ∨ ¬p) ∨ r . . . . Prop. asociativas y conmutativas en 7.
9. ¬p ∨ r . . . . . . . . . . . Ley idempotencia en 8.
10. p → r . . . . . . . . . . . Equiv. implicación en 9.
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 38/50
Ejemplo (Lema 3)
Demuestre que la
conclusión se deduce
de las hipótesis:
H1: p → q ∨ r
H2: q → r
C: p → r
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 38/50
Ejemplo (Lema 3)
Demuestre que la
conclusión se deduce
de las hipótesis:
H1: p → q ∨ r
H2: q → r
C: p → r
Soluci on
1. p → q ∨ r . . . . . . .
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 38/50
Ejemplo (Lema 3)
Demuestre que la
conclusión se deduce
de las hipótesis:
H1: p → q ∨ r
H2: q → r
C: p → r
Soluci on
1. p → q ∨ r . . . . . . . Hipótesis 1.
2.
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 38/50
Ejemplo (Lema 3)
Demuestre que la
conclusión se deduce
de las hipótesis:
H1: p → q ∨ r
H2: q → r
C: p → r
Soluci on
1. p → q ∨ r . . . . . . . Hipótesis 1.
2. ¬p ∨ (q ∨ r) . . . . .
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 38/50
Ejemplo (Lema 3)
Demuestre que la
conclusión se deduce
de las hipótesis:
H1: p → q ∨ r
H2: q → r
C: p → r
Soluci on
1. p → q ∨ r . . . . . . . Hipótesis 1.
2. ¬p ∨ (q ∨ r) . . . . . Equiv. implicación en 1.
3.
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 38/50
Ejemplo (Lema 3)
Demuestre que la
conclusión se deduce
de las hipótesis:
H1: p → q ∨ r
H2: q → r
C: p → r
Soluci on
1. p → q ∨ r . . . . . . . Hipótesis 1.
2. ¬p ∨ (q ∨ r) . . . . . Equiv. implicación en 1.
3. q ∨ (¬p ∨ r) . . . . .
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Ejemplo (Lema 3)
Demuestre que la
conclusión se deduce
de las hipótesis:
H1: p → q ∨ r
H2: q → r
C: p → r
Soluci on
1. p → q ∨ r . . . . . . . Hipótesis 1.
2. ¬p ∨ (q ∨ r) . . . . . Equiv. implicación en 1.
3. q ∨ (¬p ∨ r) . . . . . Prop. asociativas y conmutativas en 2.
4.
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 38/50
Ejemplo (Lema 3)
Demuestre que la
conclusión se deduce
de las hipótesis:
H1: p → q ∨ r
H2: q → r
C: p → r
Soluci on
1. p → q ∨ r . . . . . . . Hipótesis 1.
2. ¬p ∨ (q ∨ r) . . . . . Equiv. implicación en 1.
3. q ∨ (¬p ∨ r) . . . . . Prop. asociativas y conmutativas en 2.
4. q → r . . . . . . . . . . .
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Ejemplo (Lema 3)
Demuestre que la
conclusión se deduce
de las hipótesis:
H1: p → q ∨ r
H2: q → r
C: p → r
Soluci on
1. p → q ∨ r . . . . . . . Hipótesis 1.
2. ¬p ∨ (q ∨ r) . . . . . Equiv. implicación en 1.
3. q ∨ (¬p ∨ r) . . . . . Prop. asociativas y conmutativas en 2.
4. q → r . . . . . . . . . . . Hipótesis 2.
5.
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 38/50
Ejemplo (Lema 3)
Demuestre que la
conclusión se deduce
de las hipótesis:
H1: p → q ∨ r
H2: q → r
C: p → r
Soluci on
1. p → q ∨ r . . . . . . . Hipótesis 1.
2. ¬p ∨ (q ∨ r) . . . . . Equiv. implicación en 1.
3. q ∨ (¬p ∨ r) . . . . . Prop. asociativas y conmutativas en 2.
4. q → r . . . . . . . . . . . Hipótesis 2.
5. ¬q ∨ r . . . . . . . . . . .
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Ejemplo (Lema 3)
Demuestre que la
conclusión se deduce
de las hipótesis:
H1: p → q ∨ r
H2: q → r
C: p → r
Soluci on
1. p → q ∨ r . . . . . . . Hipótesis 1.
2. ¬p ∨ (q ∨ r) . . . . . Equiv. implicación en 1.
3. q ∨ (¬p ∨ r) . . . . . Prop. asociativas y conmutativas en 2.
4. q → r . . . . . . . . . . . Hipótesis 2.
5. ¬q ∨ r . . . . . . . . . . . Equiv. implicación en 4.
6.
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Ejemplo (Lema 3)
Demuestre que la
conclusión se deduce
de las hipótesis:
H1: p → q ∨ r
H2: q → r
C: p → r
Soluci on
1. p → q ∨ r . . . . . . . Hipótesis 1.
2. ¬p ∨ (q ∨ r) . . . . . Equiv. implicación en 1.
3. q ∨ (¬p ∨ r) . . . . . Prop. asociativas y conmutativas en 2.
4. q → r . . . . . . . . . . . Hipótesis 2.
5. ¬q ∨ r . . . . . . . . . . . Equiv. implicación en 4.
6. (¬p ∨ r) ∨ r . . . . .
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Ejemplo (Lema 3)
Demuestre que la
conclusión se deduce
de las hipótesis:
H1: p → q ∨ r
H2: q → r
C: p → r
Soluci on
1. p → q ∨ r . . . . . . . Hipótesis 1.
2. ¬p ∨ (q ∨ r) . . . . . Equiv. implicación en 1.
3. q ∨ (¬p ∨ r) . . . . . Prop. asociativas y conmutativas en 2.
4. q → r . . . . . . . . . . . Hipótesis 2.
5. ¬q ∨ r . . . . . . . . . . . Equiv. implicación en 4.
6. (¬p ∨ r) ∨ r . . . . . Lema 1 con 3. y 5.
7.
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Ejemplo (Lema 3)
Demuestre que la
conclusión se deduce
de las hipótesis:
H1: p → q ∨ r
H2: q → r
C: p → r
Soluci on
1. p → q ∨ r . . . . . . . Hipótesis 1.
2. ¬p ∨ (q ∨ r) . . . . . Equiv. implicación en 1.
3. q ∨ (¬p ∨ r) . . . . . Prop. asociativas y conmutativas en 2.
4. q → r . . . . . . . . . . . Hipótesis 2.
5. ¬q ∨ r . . . . . . . . . . . Equiv. implicación en 4.
6. (¬p ∨ r) ∨ r . . . . . Lema 1 con 3. y 5.
7. ¬p ∨ (r ∨ r) . . . . .
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Ejemplo (Lema 3)
Demuestre que la
conclusión se deduce
de las hipótesis:
H1: p → q ∨ r
H2: q → r
C: p → r
Soluci on
1. p → q ∨ r . . . . . . . Hipótesis 1.
2. ¬p ∨ (q ∨ r) . . . . . Equiv. implicación en 1.
3. q ∨ (¬p ∨ r) . . . . . Prop. asociativas y conmutativas en 2.
4. q → r . . . . . . . . . . . Hipótesis 2.
5. ¬q ∨ r . . . . . . . . . . . Equiv. implicación en 4.
6. (¬p ∨ r) ∨ r . . . . . Lema 1 con 3. y 5.
7. ¬p ∨ (r ∨ r) . . . . . Prop. asociativa en 6.
8.
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 38/50
Ejemplo (Lema 3)
Demuestre que la
conclusión se deduce
de las hipótesis:
H1: p → q ∨ r
H2: q → r
C: p → r
Soluci on
1. p → q ∨ r . . . . . . . Hipótesis 1.
2. ¬p ∨ (q ∨ r) . . . . . Equiv. implicación en 1.
3. q ∨ (¬p ∨ r) . . . . . Prop. asociativas y conmutativas en 2.
4. q → r . . . . . . . . . . . Hipótesis 2.
5. ¬q ∨ r . . . . . . . . . . . Equiv. implicación en 4.
6. (¬p ∨ r) ∨ r . . . . . Lema 1 con 3. y 5.
7. ¬p ∨ (r ∨ r) . . . . . Prop. asociativa en 6.
8. ¬p ∨ r . . . . . . . . . . .
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 38/50
Ejemplo (Lema 3)
Demuestre que la
conclusión se deduce
de las hipótesis:
H1: p → q ∨ r
H2: q → r
C: p → r
Soluci on
1. p → q ∨ r . . . . . . . Hipótesis 1.
2. ¬p ∨ (q ∨ r) . . . . . Equiv. implicación en 1.
3. q ∨ (¬p ∨ r) . . . . . Prop. asociativas y conmutativas en 2.
4. q → r . . . . . . . . . . . Hipótesis 2.
5. ¬q ∨ r . . . . . . . . . . . Equiv. implicación en 4.
6. (¬p ∨ r) ∨ r . . . . . Lema 1 con 3. y 5.
7. ¬p ∨ (r ∨ r) . . . . . Prop. asociativa en 6.
8. ¬p ∨ r . . . . . . . . . . . Ley idempotencia en 7.
9.
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 38/50
Ejemplo (Lema 3)
Demuestre que la
conclusión se deduce
de las hipótesis:
H1: p → q ∨ r
H2: q → r
C: p → r
Soluci on
1. p → q ∨ r . . . . . . . Hipótesis 1.
2. ¬p ∨ (q ∨ r) . . . . . Equiv. implicación en 1.
3. q ∨ (¬p ∨ r) . . . . . Prop. asociativas y conmutativas en 2.
4. q → r . . . . . . . . . . . Hipótesis 2.
5. ¬q ∨ r . . . . . . . . . . . Equiv. implicación en 4.
6. (¬p ∨ r) ∨ r . . . . . Lema 1 con 3. y 5.
7. ¬p ∨ (r ∨ r) . . . . . Prop. asociativa en 6.
8. ¬p ∨ r . . . . . . . . . . . Ley idempotencia en 7.
9. p → r . . . . . . . . . . .
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 38/50
Ejemplo (Lema 3)
Demuestre que la
conclusión se deduce
de las hipótesis:
H1: p → q ∨ r
H2: q → r
C: p → r
Soluci on
1. p → q ∨ r . . . . . . . Hipótesis 1.
2. ¬p ∨ (q ∨ r) . . . . . Equiv. implicación en 1.
3. q ∨ (¬p ∨ r) . . . . . Prop. asociativas y conmutativas en 2.
4. q → r . . . . . . . . . . . Hipótesis 2.
5. ¬q ∨ r . . . . . . . . . . . Equiv. implicación en 4.
6. (¬p ∨ r) ∨ r . . . . . Lema 1 con 3. y 5.
7. ¬p ∨ (r ∨ r) . . . . . Prop. asociativa en 6.
8. ¬p ∨ r . . . . . . . . . . . Ley idempotencia en 7.
9. p → r . . . . . . . . . . . Equiv. implicación en 8.
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 39/50
Comentarios
¿Qué ocurre cuando después de un argumento noobtenemos algo correcto? Hay dos alternativasimportantes:■ Cuando el argumento es v alido : en éste a su vez
tenemos dos alternativas importantes:◆ Cuando se partió de alguna hipótesis falsa.◆ Cuando durante la demostración se añadieron
involuntariamente hipótesis adicionales.■ Cuando el argumento es inv alido : este caso ocurre
cuando alguna regla de inferencia ha sido malinterpretada o se ha usado una proposicionalcomo regla de inferencia cuando es unacontingencia. En este caso se dice que elargumento es una falacia.
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 40/50
Introducción
En esta lectura veremos algunos ejemplosinteresantes que se presentaron en la realizaciónde la tarea.
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 41/50
El problema de los mentirosos y los honestos
Supongamos que estás en el pueblo donde laspersonas son siempre mentirosas o siemprehonestas. Digamos que te encuentras a dospersonas; llamémosles A y B. Sólo A habla y dice:ambos somos mentirosos. Indique la opción quedeclara cómo son A y B.
A A es honesto es pero B mentiroso
B A es mentiroso pero B es honesto
C A y B son honestos
D A y B son mentirosos
E No es posible concluir
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 42/50
La metodología que seguiremos para resolver elproblema será la revisión exhaustiva de los casosposibles. Para cada uno de ellos elaboraremos unargumento lógico y veremos si nos lleva a unacontradicción lógica. Aquellos casos queconduzcan a una contradicción se descartarán.Los casos posibles son■ Caso I: A es honesto y B son honesto■ Caso II: A es honesto y B es mentiroso■ Caso III: A es mentiroso y B es honesto■ Caso IV: A es mentiroso y B es mentirosoEn el desarrollo de los casos, si x es honestoentoces lo que dice x se toma como cierto. Si x esmentiroso, lo contrario de lo que dice x es cierto.
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 43/50
Caso ITomemos p: A es honesto y q: B es honesto. Así loque dice A es ¬p ∧ ¬q. Siendo A honesto lo quedice se toma como cierto. Así el razonamientoqueda:
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 43/50
Caso ITomemos p: A es honesto y q: B es honesto. Así loque dice A es ¬p ∧ ¬q. Siendo A honesto lo quedice se toma como cierto. Así el razonamientoqueda:
1. p . . . . . . . . . . . . . . . .
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 43/50
Caso ITomemos p: A es honesto y q: B es honesto. Así loque dice A es ¬p ∧ ¬q. Siendo A honesto lo quedice se toma como cierto. Así el razonamientoqueda:
1. p . . . . . . . . . . . . . . . . Condición del caso I
2.
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 43/50
Caso ITomemos p: A es honesto y q: B es honesto. Así loque dice A es ¬p ∧ ¬q. Siendo A honesto lo quedice se toma como cierto. Así el razonamientoqueda:
1. p . . . . . . . . . . . . . . . . Condición del caso I
2. q . . . . . . . . . . . . . . . .
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 43/50
Caso ITomemos p: A es honesto y q: B es honesto. Así loque dice A es ¬p ∧ ¬q. Siendo A honesto lo quedice se toma como cierto. Así el razonamientoqueda:
1. p . . . . . . . . . . . . . . . . Condición del caso I
2. q . . . . . . . . . . . . . . . . Condición del caso I
3.
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 43/50
Caso ITomemos p: A es honesto y q: B es honesto. Así loque dice A es ¬p ∧ ¬q. Siendo A honesto lo quedice se toma como cierto. Así el razonamientoqueda:
1. p . . . . . . . . . . . . . . . . Condición del caso I
2. q . . . . . . . . . . . . . . . . Condición del caso I
3. ¬p ∧ ¬q . . . . . . . . .
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 43/50
Caso ITomemos p: A es honesto y q: B es honesto. Así loque dice A es ¬p ∧ ¬q. Siendo A honesto lo quedice se toma como cierto. Así el razonamientoqueda:
1. p . . . . . . . . . . . . . . . . Condición del caso I
2. q . . . . . . . . . . . . . . . . Condición del caso I
3. ¬p ∧ ¬q . . . . . . . . . Lo que dice A
4.
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 43/50
Caso ITomemos p: A es honesto y q: B es honesto. Así loque dice A es ¬p ∧ ¬q. Siendo A honesto lo quedice se toma como cierto. Así el razonamientoqueda:
1. p . . . . . . . . . . . . . . . . Condición del caso I
2. q . . . . . . . . . . . . . . . . Condición del caso I
3. ¬p ∧ ¬q . . . . . . . . . Lo que dice A
4. ¬p . . . . . . . . . . . . . .
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 43/50
Caso ITomemos p: A es honesto y q: B es honesto. Así loque dice A es ¬p ∧ ¬q. Siendo A honesto lo quedice se toma como cierto. Así el razonamientoqueda:
1. p . . . . . . . . . . . . . . . . Condición del caso I
2. q . . . . . . . . . . . . . . . . Condición del caso I
3. ¬p ∧ ¬q . . . . . . . . . Lo que dice A
4. ¬p . . . . . . . . . . . . . . Simplificación conjuntiva en 3.
5.
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 43/50
Caso ITomemos p: A es honesto y q: B es honesto. Así loque dice A es ¬p ∧ ¬q. Siendo A honesto lo quedice se toma como cierto. Así el razonamientoqueda:
1. p . . . . . . . . . . . . . . . . Condición del caso I
2. q . . . . . . . . . . . . . . . . Condición del caso I
3. ¬p ∧ ¬q . . . . . . . . . Lo que dice A
4. ¬p . . . . . . . . . . . . . . Simplificación conjuntiva en 3.
5. p ∧ ¬p . . . . . . . . . . .
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 43/50
Caso ITomemos p: A es honesto y q: B es honesto. Así loque dice A es ¬p ∧ ¬q. Siendo A honesto lo quedice se toma como cierto. Así el razonamientoqueda:
1. p . . . . . . . . . . . . . . . . Condición del caso I
2. q . . . . . . . . . . . . . . . . Condición del caso I
3. ¬p ∧ ¬q . . . . . . . . . Lo que dice A
4. ¬p . . . . . . . . . . . . . . Simplificación conjuntiva en 3.
5. p ∧ ¬p . . . . . . . . . . . Adición conjuntiva con 1. y 4.
6.
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 43/50
Caso ITomemos p: A es honesto y q: B es honesto. Así loque dice A es ¬p ∧ ¬q. Siendo A honesto lo quedice se toma como cierto. Así el razonamientoqueda:
1. p . . . . . . . . . . . . . . . . Condición del caso I
2. q . . . . . . . . . . . . . . . . Condición del caso I
3. ¬p ∧ ¬q . . . . . . . . . Lo que dice A
4. ¬p . . . . . . . . . . . . . . Simplificación conjuntiva en 3.
5. p ∧ ¬p . . . . . . . . . . . Adición conjuntiva con 1. y 4.
6. F . . . . . . . . . . . . . . . .
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 43/50
Caso ITomemos p: A es honesto y q: B es honesto. Así loque dice A es ¬p ∧ ¬q. Siendo A honesto lo quedice se toma como cierto. Así el razonamientoqueda:
1. p . . . . . . . . . . . . . . . . Condición del caso I
2. q . . . . . . . . . . . . . . . . Condición del caso I
3. ¬p ∧ ¬q . . . . . . . . . Lo que dice A
4. ¬p . . . . . . . . . . . . . . Simplificación conjuntiva en 3.
5. p ∧ ¬p . . . . . . . . . . . Adición conjuntiva con 1. y 4.
6. F . . . . . . . . . . . . . . . . Ley de inversas en 5.
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 43/50
Caso ITomemos p: A es honesto y q: B es honesto. Así loque dice A es ¬p ∧ ¬q. Siendo A honesto lo quedice se toma como cierto. Así el razonamientoqueda:
1. p . . . . . . . . . . . . . . . . Condición del caso I
2. q . . . . . . . . . . . . . . . . Condición del caso I
3. ¬p ∧ ¬q . . . . . . . . . Lo que dice A
4. ¬p . . . . . . . . . . . . . . Simplificación conjuntiva en 3.
5. p ∧ ¬p . . . . . . . . . . . Adición conjuntiva con 1. y 4.
6. F . . . . . . . . . . . . . . . . Ley de inversas en 5.
Por tanto, el caso I no puede ocurrir.
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 44/50
Caso IITomemos p: A es honesto y q: B es mentiroso. Asílo que dice A es ¬p ∧ q. Siendo A honesto lo quedice se toma como cierto. Así el razonamientoqueda:
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 44/50
Caso IITomemos p: A es honesto y q: B es mentiroso. Asílo que dice A es ¬p ∧ q. Siendo A honesto lo quedice se toma como cierto. Así el razonamientoqueda:
1. p . . . . . . . . . . . . . . . .
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 44/50
Caso IITomemos p: A es honesto y q: B es mentiroso. Asílo que dice A es ¬p ∧ q. Siendo A honesto lo quedice se toma como cierto. Así el razonamientoqueda:
1. p . . . . . . . . . . . . . . . . Condición del caso I
2.
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 44/50
Caso IITomemos p: A es honesto y q: B es mentiroso. Asílo que dice A es ¬p ∧ q. Siendo A honesto lo quedice se toma como cierto. Así el razonamientoqueda:
1. p . . . . . . . . . . . . . . . . Condición del caso I
2. q . . . . . . . . . . . . . . . .
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 44/50
Caso IITomemos p: A es honesto y q: B es mentiroso. Asílo que dice A es ¬p ∧ q. Siendo A honesto lo quedice se toma como cierto. Así el razonamientoqueda:
1. p . . . . . . . . . . . . . . . . Condición del caso I
2. q . . . . . . . . . . . . . . . . Condición del caso I
3.
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 44/50
Caso IITomemos p: A es honesto y q: B es mentiroso. Asílo que dice A es ¬p ∧ q. Siendo A honesto lo quedice se toma como cierto. Así el razonamientoqueda:
1. p . . . . . . . . . . . . . . . . Condición del caso I
2. q . . . . . . . . . . . . . . . . Condición del caso I
3. ¬p ∧ q . . . . . . . . . . .
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 44/50
Caso IITomemos p: A es honesto y q: B es mentiroso. Asílo que dice A es ¬p ∧ q. Siendo A honesto lo quedice se toma como cierto. Así el razonamientoqueda:
1. p . . . . . . . . . . . . . . . . Condición del caso I
2. q . . . . . . . . . . . . . . . . Condición del caso I
3. ¬p ∧ q . . . . . . . . . . . Lo que dice A
4.
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 44/50
Caso IITomemos p: A es honesto y q: B es mentiroso. Asílo que dice A es ¬p ∧ q. Siendo A honesto lo quedice se toma como cierto. Así el razonamientoqueda:
1. p . . . . . . . . . . . . . . . . Condición del caso I
2. q . . . . . . . . . . . . . . . . Condición del caso I
3. ¬p ∧ q . . . . . . . . . . . Lo que dice A
4. ¬p . . . . . . . . . . . . . .
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 44/50
Caso IITomemos p: A es honesto y q: B es mentiroso. Asílo que dice A es ¬p ∧ q. Siendo A honesto lo quedice se toma como cierto. Así el razonamientoqueda:
1. p . . . . . . . . . . . . . . . . Condición del caso I
2. q . . . . . . . . . . . . . . . . Condición del caso I
3. ¬p ∧ q . . . . . . . . . . . Lo que dice A
4. ¬p . . . . . . . . . . . . . . Simplificación conjuntiva en 3.
5.
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 44/50
Caso IITomemos p: A es honesto y q: B es mentiroso. Asílo que dice A es ¬p ∧ q. Siendo A honesto lo quedice se toma como cierto. Así el razonamientoqueda:
1. p . . . . . . . . . . . . . . . . Condición del caso I
2. q . . . . . . . . . . . . . . . . Condición del caso I
3. ¬p ∧ q . . . . . . . . . . . Lo que dice A
4. ¬p . . . . . . . . . . . . . . Simplificación conjuntiva en 3.
5. p ∧ ¬p . . . . . . . . . . .
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 44/50
Caso IITomemos p: A es honesto y q: B es mentiroso. Asílo que dice A es ¬p ∧ q. Siendo A honesto lo quedice se toma como cierto. Así el razonamientoqueda:
1. p . . . . . . . . . . . . . . . . Condición del caso I
2. q . . . . . . . . . . . . . . . . Condición del caso I
3. ¬p ∧ q . . . . . . . . . . . Lo que dice A
4. ¬p . . . . . . . . . . . . . . Simplificación conjuntiva en 3.
5. p ∧ ¬p . . . . . . . . . . . Adición conjuntiva con 1. y 4.
6.
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 44/50
Caso IITomemos p: A es honesto y q: B es mentiroso. Asílo que dice A es ¬p ∧ q. Siendo A honesto lo quedice se toma como cierto. Así el razonamientoqueda:
1. p . . . . . . . . . . . . . . . . Condición del caso I
2. q . . . . . . . . . . . . . . . . Condición del caso I
3. ¬p ∧ q . . . . . . . . . . . Lo que dice A
4. ¬p . . . . . . . . . . . . . . Simplificación conjuntiva en 3.
5. p ∧ ¬p . . . . . . . . . . . Adición conjuntiva con 1. y 4.
6. F . . . . . . . . . . . . . . . .
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 44/50
Caso IITomemos p: A es honesto y q: B es mentiroso. Asílo que dice A es ¬p ∧ q. Siendo A honesto lo quedice se toma como cierto. Así el razonamientoqueda:
1. p . . . . . . . . . . . . . . . . Condición del caso I
2. q . . . . . . . . . . . . . . . . Condición del caso I
3. ¬p ∧ q . . . . . . . . . . . Lo que dice A
4. ¬p . . . . . . . . . . . . . . Simplificación conjuntiva en 3.
5. p ∧ ¬p . . . . . . . . . . . Adición conjuntiva con 1. y 4.
6. F . . . . . . . . . . . . . . . . Ley de inversas en 5.
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 44/50
Caso IITomemos p: A es honesto y q: B es mentiroso. Asílo que dice A es ¬p ∧ q. Siendo A honesto lo quedice se toma como cierto. Así el razonamientoqueda:
1. p . . . . . . . . . . . . . . . . Condición del caso I
2. q . . . . . . . . . . . . . . . . Condición del caso I
3. ¬p ∧ q . . . . . . . . . . . Lo que dice A
4. ¬p . . . . . . . . . . . . . . Simplificación conjuntiva en 3.
5. p ∧ ¬p . . . . . . . . . . . Adición conjuntiva con 1. y 4.
6. F . . . . . . . . . . . . . . . . Ley de inversas en 5.
Por tanto, el caso II no puede ocurrir.
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 45/50
Caso IIITomemos p: A es mentiroso y q: B es honesto. Asílo que dice A es p ∧ ¬q. Siendo A mentiroso lo quedice se toma como falso. Por tanto, lo contrario a loque dice A se toma como verdadero. Así elrazonamiento queda:
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 45/50
Caso IIITomemos p: A es mentiroso y q: B es honesto. Asílo que dice A es p ∧ ¬q. Siendo A mentiroso lo quedice se toma como falso. Por tanto, lo contrario a loque dice A se toma como verdadero. Así elrazonamiento queda:
1. p . . . . . . . . . . . . . . . .
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 45/50
Caso IIITomemos p: A es mentiroso y q: B es honesto. Asílo que dice A es p ∧ ¬q. Siendo A mentiroso lo quedice se toma como falso. Por tanto, lo contrario a loque dice A se toma como verdadero. Así elrazonamiento queda:
1. p . . . . . . . . . . . . . . . . Condición del caso I
2.
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 45/50
Caso IIITomemos p: A es mentiroso y q: B es honesto. Asílo que dice A es p ∧ ¬q. Siendo A mentiroso lo quedice se toma como falso. Por tanto, lo contrario a loque dice A se toma como verdadero. Así elrazonamiento queda:
1. p . . . . . . . . . . . . . . . . Condición del caso I
2. q . . . . . . . . . . . . . . . .
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 45/50
Caso IIITomemos p: A es mentiroso y q: B es honesto. Asílo que dice A es p ∧ ¬q. Siendo A mentiroso lo quedice se toma como falso. Por tanto, lo contrario a loque dice A se toma como verdadero. Así elrazonamiento queda:
1. p . . . . . . . . . . . . . . . . Condición del caso I
2. q . . . . . . . . . . . . . . . . Condición del caso I
3.
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 45/50
Caso IIITomemos p: A es mentiroso y q: B es honesto. Asílo que dice A es p ∧ ¬q. Siendo A mentiroso lo quedice se toma como falso. Por tanto, lo contrario a loque dice A se toma como verdadero. Así elrazonamiento queda:
1. p . . . . . . . . . . . . . . . . Condición del caso I
2. q . . . . . . . . . . . . . . . . Condición del caso I
3. ¬(p ∧ ¬q) . . . . . . .
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 45/50
Caso IIITomemos p: A es mentiroso y q: B es honesto. Asílo que dice A es p ∧ ¬q. Siendo A mentiroso lo quedice se toma como falso. Por tanto, lo contrario a loque dice A se toma como verdadero. Así elrazonamiento queda:
1. p . . . . . . . . . . . . . . . . Condición del caso I
2. q . . . . . . . . . . . . . . . . Condición del caso I
3. ¬(p ∧ ¬q) . . . . . . . Lo contrario de lo que dice A
4.
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 45/50
Caso IIITomemos p: A es mentiroso y q: B es honesto. Asílo que dice A es p ∧ ¬q. Siendo A mentiroso lo quedice se toma como falso. Por tanto, lo contrario a loque dice A se toma como verdadero. Así elrazonamiento queda:
1. p . . . . . . . . . . . . . . . . Condición del caso I
2. q . . . . . . . . . . . . . . . . Condición del caso I
3. ¬(p ∧ ¬q) . . . . . . . Lo contrario de lo que dice A
4. ¬p ∨ q . . . . . . . . . . .
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 45/50
Caso IIITomemos p: A es mentiroso y q: B es honesto. Asílo que dice A es p ∧ ¬q. Siendo A mentiroso lo quedice se toma como falso. Por tanto, lo contrario a loque dice A se toma como verdadero. Así elrazonamiento queda:
1. p . . . . . . . . . . . . . . . . Condición del caso I
2. q . . . . . . . . . . . . . . . . Condición del caso I
3. ¬(p ∧ ¬q) . . . . . . . Lo contrario de lo que dice A
4. ¬p ∨ q . . . . . . . . . . . De Morgan y doble negación en 3.
5.
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 45/50
Caso IIITomemos p: A es mentiroso y q: B es honesto. Asílo que dice A es p ∧ ¬q. Siendo A mentiroso lo quedice se toma como falso. Por tanto, lo contrario a loque dice A se toma como verdadero. Así elrazonamiento queda:
1. p . . . . . . . . . . . . . . . . Condición del caso I
2. q . . . . . . . . . . . . . . . . Condición del caso I
3. ¬(p ∧ ¬q) . . . . . . . Lo contrario de lo que dice A
4. ¬p ∨ q . . . . . . . . . . . De Morgan y doble negación en 3.
5. q . . . . . . . . . . . . . . . .
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 45/50
Caso IIITomemos p: A es mentiroso y q: B es honesto. Asílo que dice A es p ∧ ¬q. Siendo A mentiroso lo quedice se toma como falso. Por tanto, lo contrario a loque dice A se toma como verdadero. Así elrazonamiento queda:
1. p . . . . . . . . . . . . . . . . Condición del caso I
2. q . . . . . . . . . . . . . . . . Condición del caso I
3. ¬(p ∧ ¬q) . . . . . . . Lo contrario de lo que dice A
4. ¬p ∨ q . . . . . . . . . . . De Morgan y doble negación en 3.
5. q . . . . . . . . . . . . . . . . Silogismo disjuntivo con 4. y 1.
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 45/50
Caso IIITomemos p: A es mentiroso y q: B es honesto. Asílo que dice A es p ∧ ¬q. Siendo A mentiroso lo quedice se toma como falso. Por tanto, lo contrario a loque dice A se toma como verdadero. Así elrazonamiento queda:
1. p . . . . . . . . . . . . . . . . Condición del caso I
2. q . . . . . . . . . . . . . . . . Condición del caso I
3. ¬(p ∧ ¬q) . . . . . . . Lo contrario de lo que dice A
4. ¬p ∨ q . . . . . . . . . . . De Morgan y doble negación en 3.
5. q . . . . . . . . . . . . . . . . Silogismo disjuntivo con 4. y 1.
Así, no hay forma de avanzar y llegar a unacontradicción. Por tanto, el caso III puede ocurrir.
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 46/50
Caso IVTomemos p: A es mentiroso y q: B es mentiroso.Así lo que dice A es p ∧ q. Siendo A mentiroso loque dice se toma como falso. Así el razonamientoqueda:
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 46/50
Caso IVTomemos p: A es mentiroso y q: B es mentiroso.Así lo que dice A es p ∧ q. Siendo A mentiroso loque dice se toma como falso. Así el razonamientoqueda:
1. p . . . . . . . . . . . . . . . .
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 46/50
Caso IVTomemos p: A es mentiroso y q: B es mentiroso.Así lo que dice A es p ∧ q. Siendo A mentiroso loque dice se toma como falso. Así el razonamientoqueda:
1. p . . . . . . . . . . . . . . . . Condición del caso I
2.
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 46/50
Caso IVTomemos p: A es mentiroso y q: B es mentiroso.Así lo que dice A es p ∧ q. Siendo A mentiroso loque dice se toma como falso. Así el razonamientoqueda:
1. p . . . . . . . . . . . . . . . . Condición del caso I
2. q . . . . . . . . . . . . . . . .
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 46/50
Caso IVTomemos p: A es mentiroso y q: B es mentiroso.Así lo que dice A es p ∧ q. Siendo A mentiroso loque dice se toma como falso. Así el razonamientoqueda:
1. p . . . . . . . . . . . . . . . . Condición del caso I
2. q . . . . . . . . . . . . . . . . Condición del caso I
3.
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 46/50
Caso IVTomemos p: A es mentiroso y q: B es mentiroso.Así lo que dice A es p ∧ q. Siendo A mentiroso loque dice se toma como falso. Así el razonamientoqueda:
1. p . . . . . . . . . . . . . . . . Condición del caso I
2. q . . . . . . . . . . . . . . . . Condición del caso I
3. ¬(p ∧ q) . . . . . . . . .
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 46/50
Caso IVTomemos p: A es mentiroso y q: B es mentiroso.Así lo que dice A es p ∧ q. Siendo A mentiroso loque dice se toma como falso. Así el razonamientoqueda:
1. p . . . . . . . . . . . . . . . . Condición del caso I
2. q . . . . . . . . . . . . . . . . Condición del caso I
3. ¬(p ∧ q) . . . . . . . . . Lo contrario de lo que dice A
4.
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 46/50
Caso IVTomemos p: A es mentiroso y q: B es mentiroso.Así lo que dice A es p ∧ q. Siendo A mentiroso loque dice se toma como falso. Así el razonamientoqueda:
1. p . . . . . . . . . . . . . . . . Condición del caso I
2. q . . . . . . . . . . . . . . . . Condición del caso I
3. ¬(p ∧ q) . . . . . . . . . Lo contrario de lo que dice A
4. ¬p ∨ ¬q . . . . . . . . .
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 46/50
Caso IVTomemos p: A es mentiroso y q: B es mentiroso.Así lo que dice A es p ∧ q. Siendo A mentiroso loque dice se toma como falso. Así el razonamientoqueda:
1. p . . . . . . . . . . . . . . . . Condición del caso I
2. q . . . . . . . . . . . . . . . . Condición del caso I
3. ¬(p ∧ q) . . . . . . . . . Lo contrario de lo que dice A
4. ¬p ∨ ¬q . . . . . . . . . De Morgan en 3.
5.
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 46/50
Caso IVTomemos p: A es mentiroso y q: B es mentiroso.Así lo que dice A es p ∧ q. Siendo A mentiroso loque dice se toma como falso. Así el razonamientoqueda:
1. p . . . . . . . . . . . . . . . . Condición del caso I
2. q . . . . . . . . . . . . . . . . Condición del caso I
3. ¬(p ∧ q) . . . . . . . . . Lo contrario de lo que dice A
4. ¬p ∨ ¬q . . . . . . . . . De Morgan en 3.
5. ¬q . . . . . . . . . . . . . .
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 46/50
Caso IVTomemos p: A es mentiroso y q: B es mentiroso.Así lo que dice A es p ∧ q. Siendo A mentiroso loque dice se toma como falso. Así el razonamientoqueda:
1. p . . . . . . . . . . . . . . . . Condición del caso I
2. q . . . . . . . . . . . . . . . . Condición del caso I
3. ¬(p ∧ q) . . . . . . . . . Lo contrario de lo que dice A
4. ¬p ∨ ¬q . . . . . . . . . De Morgan en 3.
5. ¬q . . . . . . . . . . . . . . Silogismo disjuntivo con 1. y 4.
6.
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 46/50
Caso IVTomemos p: A es mentiroso y q: B es mentiroso.Así lo que dice A es p ∧ q. Siendo A mentiroso loque dice se toma como falso. Así el razonamientoqueda:
1. p . . . . . . . . . . . . . . . . Condición del caso I
2. q . . . . . . . . . . . . . . . . Condición del caso I
3. ¬(p ∧ q) . . . . . . . . . Lo contrario de lo que dice A
4. ¬p ∨ ¬q . . . . . . . . . De Morgan en 3.
5. ¬q . . . . . . . . . . . . . . Silogismo disjuntivo con 1. y 4.
6. q ∧ ¬q . . . . . . . . . . .
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 46/50
Caso IVTomemos p: A es mentiroso y q: B es mentiroso.Así lo que dice A es p ∧ q. Siendo A mentiroso loque dice se toma como falso. Así el razonamientoqueda:
1. p . . . . . . . . . . . . . . . . Condición del caso I
2. q . . . . . . . . . . . . . . . . Condición del caso I
3. ¬(p ∧ q) . . . . . . . . . Lo contrario de lo que dice A
4. ¬p ∨ ¬q . . . . . . . . . De Morgan en 3.
5. ¬q . . . . . . . . . . . . . . Silogismo disjuntivo con 1. y 4.
6. q ∧ ¬q . . . . . . . . . . . Adición conjuntiva con 2. y 5.
7.
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 46/50
Caso IVTomemos p: A es mentiroso y q: B es mentiroso.Así lo que dice A es p ∧ q. Siendo A mentiroso loque dice se toma como falso. Así el razonamientoqueda:
1. p . . . . . . . . . . . . . . . . Condición del caso I
2. q . . . . . . . . . . . . . . . . Condición del caso I
3. ¬(p ∧ q) . . . . . . . . . Lo contrario de lo que dice A
4. ¬p ∨ ¬q . . . . . . . . . De Morgan en 3.
5. ¬q . . . . . . . . . . . . . . Silogismo disjuntivo con 1. y 4.
6. q ∧ ¬q . . . . . . . . . . . Adición conjuntiva con 2. y 5.
7. F . . . . . . . . . . . . . . . .
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 46/50
Caso IVTomemos p: A es mentiroso y q: B es mentiroso.Así lo que dice A es p ∧ q. Siendo A mentiroso loque dice se toma como falso. Así el razonamientoqueda:
1. p . . . . . . . . . . . . . . . . Condición del caso I
2. q . . . . . . . . . . . . . . . . Condición del caso I
3. ¬(p ∧ q) . . . . . . . . . Lo contrario de lo que dice A
4. ¬p ∨ ¬q . . . . . . . . . De Morgan en 3.
5. ¬q . . . . . . . . . . . . . . Silogismo disjuntivo con 1. y 4.
6. q ∧ ¬q . . . . . . . . . . . Adición conjuntiva con 2. y 5.
7. F . . . . . . . . . . . . . . . . Ley de inversas en 6.
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 46/50
Caso IVTomemos p: A es mentiroso y q: B es mentiroso.Así lo que dice A es p ∧ q. Siendo A mentiroso loque dice se toma como falso. Así el razonamientoqueda:
1. p . . . . . . . . . . . . . . . . Condición del caso I
2. q . . . . . . . . . . . . . . . . Condición del caso I
3. ¬(p ∧ q) . . . . . . . . . Lo contrario de lo que dice A
4. ¬p ∨ ¬q . . . . . . . . . De Morgan en 3.
5. ¬q . . . . . . . . . . . . . . Silogismo disjuntivo con 1. y 4.
6. q ∧ ¬q . . . . . . . . . . . Adición conjuntiva con 2. y 5.
7. F . . . . . . . . . . . . . . . . Ley de inversas en 6.
Por tanto, el caso IV no puede ocurrir.
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 47/50
Por consiguiente el único caso posible es el casoIII: A es mentiroso y B es honesto:
A A es honesto es pero B mentiroso
B A es mentiroso pero B es honesto
C A y B son honestos
D A y B son mentirosos
E No es posible concluir
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 48/50
El problema del grupo
Supón el mismo pueblo y supón que te encuentrasun grupo de 6 nativos: U, V, W, X, Y y Z. Y hablande la siguiente forma:■ U dice: ninguno de nosotros es honesto.■ V dice: Al menos 3 de nosotros son honestos.■ W dice: A lo más 3 de nosotros son honestos.■ X dice: Exactamente 5 de nosotros son honestos.■ Y dice: Exactamente 2 de nosotros son honestos.■ Z dice: Exactamente 1 de nosotros es honesto.¿Quiénes son honestos y quénes son mentirosos?
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 49/50
La clave de este problema está en el número dehonestos:
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 49/50
La clave de este problema está en el número dehonestos:■ 0 y estaría diciendo la verdad U. Imposible.■ 1 y estarían diciendo la verdad W y Z. Imposible.■ 2 y estarían diciendo la verdad W y Y. No hay
contradicción.■ 3 y sólo U y V estarían diciendo la verdad.
Imposible.■ 4 y sólo estaría diciendo la verdad V. Imposible.■ 5 y sólo estarían diciendo la verdad V y X.
Imposible.■ 6 y sólo estaría diciendo la verdad V. Imposible.
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 49/50
La clave de este problema está en el número dehonestos:■ 0 y estaría diciendo la verdad U. Imposible.■ 1 y estarían diciendo la verdad W y Z. Imposible.■ 2 y estarían diciendo la verdad W y Y. No hay
contradicción.■ 3 y sólo U y V estarían diciendo la verdad.
Imposible.■ 4 y sólo estaría diciendo la verdad V. Imposible.■ 5 y sólo estarían diciendo la verdad V y X.
Imposible.■ 6 y sólo estaría diciendo la verdad V. Imposible.Por tanto, sólo hay dos honestos y son W y Y.
IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario
Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 50/50
Temas Vistos
■ Concepto de argumento■ Argumento válido y argumento inválido■ Renglón crítico■ Método de verificación de válidez de argumento
por tablas de verdad■ Regla de Inferencia■ Método de Deducción Natural
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