MATEMATICAS B ASICAS - Facultad de Cienciasciencias.bogota.unal.edu.co/fileadmin/content/matematicas/document... · Universidad Nacional de Colombia Matem aticas B asicas Conjuntos

MATEMATICAS BASICAS

Autora: Jeanneth Galeano PenalozaEdicion: Oscar Guillermo Riano

Universidad Nacional de ColombiaDepartamento de Matematicas

Sede Bogota

Enero de 2015

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Conjuntos 1 / 1

Parte I

Conjuntos


Definicion intuitiva de conjunto

Definicion

Un conjunto es una coleccion de objetos.

Ejemplos

A = {Laura,Gabriela,Diana}B = {Cuadrado, rectangulo, rombo, trapecio}C = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, . . . }D = {x | x es un estudiante activo de la UN}



Definicion

Un conjunto es una coleccion de objetos.Ejemplos

A = {Laura,Gabriela,Diana}

B = {Cuadrado, rectangulo, rombo, trapecio}C = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, . . . }D = {x | x es un estudiante activo de la UN}



Definicion


A = {Laura,Gabriela,Diana}B = {Cuadrado, rectangulo, rombo, trapecio}

C = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, . . . }D = {x | x es un estudiante activo de la UN}



Definicion


A = {Laura,Gabriela,Diana}B = {Cuadrado, rectangulo, rombo, trapecio}C = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, . . . }

D = {x | x es un estudiante activo de la UN}



Definicion


A = {Laura,Gabriela,Diana}B = {Cuadrado, rectangulo, rombo, trapecio}C = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, . . . }D = {x | x es un estudiante activo de la UN}


Conjuntos determinados por extensiony por comprension

Extension y Comprension

Cuando un conjunto es descrito por una propiedad que comparten suselementos se dice que esta determinado por comprension.

Cuando damos una lista explıcita de los elementos del conjunto, decimosque esta determinado por extension.



Extension y Comprension

Cuando un conjunto es descrito por una propiedad que comparten suselementos se dice que esta determinado por comprension.

Cuando damos una lista explıcita de los elementos del conjunto, decimosque esta determinado por extension.



Ejemplo

A = {x | x es un numero impar positivo, menor que 30}

A = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29}



Ejemplo

A = {x | x es un numero impar positivo, menor que 30}A = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29}



Ejemplo

B = {x | x es un entero mayor que − 3}

B = {−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . . }

Ejemplo

C = {x | x es un entero mayor o igual que − 3}

C = {−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . . }



Ejemplo

B = {x | x es un entero mayor que − 3}B = {−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . . }

Ejemplo


C = {−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . . }



Ejemplo


Ejemplo


C = {−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . . }



Ejemplo


Ejemplo

C = {x | x es un entero mayor o igual que − 3}C = {−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . . }



Ejemplo

D = {x | x es un numero par y primo}

D = {2}

Ejemplo

E = {x | x es un numero impar y primo}

E = {3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, . . . }



Ejemplo

D = {x | x es un numero par y primo}D = {2}

Ejemplo


E = {3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, . . . }



Ejemplo


Ejemplo


E = {3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, . . . }



Ejemplo


Ejemplo

E = {x | x es un numero impar y primo}E = {3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, . . . }



Ejemplos

Consideremos el conjunto

G = {x | x es par, primo y mayor que 5}

El conjunto que no tiene elementos se conoce como el conjunto vacıo y seacostumbra a notar por ∅ o { }.

OJO {∅} NO es el conjunto vacıo, es un conjunto con un elemento.



Ejemplos







Ejemplos






Pertenencia

Definicion

Consideremos una relacion binaria denotada por ∈, definida entre unelemento a y un conjunto A.

Decimos que a pertenece a A si a es un elemento de A, lo cual denotamospor a ∈ A.En caso contrario, decimos que a no pertenece a A y lo escribimos a /∈ A.


Pertenencia

Definicion

Consideremos una relacion binaria denotada por ∈, definida entre unelemento a y un conjunto A.Decimos que a pertenece a A si a es un elemento de A, lo cual denotamospor a ∈ A.

En caso contrario, decimos que a no pertenece a A y lo escribimos a /∈ A.


Pertenencia

Definicion

Consideremos una relacion binaria denotada por ∈, definida entre unelemento a y un conjunto A.Decimos que a pertenece a A si a es un elemento de A, lo cual denotamospor a ∈ A.En caso contrario, decimos que a no pertenece a A y lo escribimos a /∈ A.


Conjunto de referencia o conjunto universal


A = {x | x es primo} ,

¿hay un conjunto de referencia?

¿letras?

¿colores?

¿reales?

¿naturales?

El conjunto referente donde se puede hablar de la propiedad del conjuntolo tomamos como el conjunto universal.






¿letras?

¿colores?

¿reales?

¿naturales?







¿letras?

¿colores?

¿reales?

¿naturales?







¿letras?

¿colores?

¿reales?

¿naturales?







¿letras?

¿colores?

¿reales?

¿naturales?







¿letras?

¿colores?

¿reales?

¿naturales?







¿letras?

¿colores?

¿reales?

¿naturales?




Ejemplos

Son ejemplos de conjuntos universales:

U : NU : ZU : RU : Estudiantes activos de la Universidad Nacional

U : Habitantes de Colombia



Ejemplos


U : N

U : ZU : RU : Estudiantes activos de la Universidad Nacional




Ejemplos


U : NU : Z

U : RU : Estudiantes activos de la Universidad Nacional




Ejemplos


U : NU : ZU : R

U : Estudiantes activos de la Universidad Nacional




Ejemplos






Ejemplos





Subconjuntos

Definicion

Consideremos dos conjuntos A y B. Decimos que A es un subconjunto deB si todo elemento de A es tambien elemento de B,

lo cual se nota porA ⊆ B y se lee A esta contenido en B.En otras palabras

(∀x)(x ∈ A −→ x ∈ B).

Para decir A 6⊆ B negamos la proposicion anterior, ası

∼ (∀x)(x ∈ A −→ x ∈ B)⇐⇒ (∃x)(x ∈ A ∧ x /∈ B)


Subconjuntos

Definicion

Consideremos dos conjuntos A y B. Decimos que A es un subconjunto deB si todo elemento de A es tambien elemento de B, lo cual se nota porA ⊆ B y se lee A esta contenido en B.

En otras palabras

(∀x)(x ∈ A −→ x ∈ B).


∼ (∀x)(x ∈ A −→ x ∈ B)⇐⇒ (∃x)(x ∈ A ∧ x /∈ B)


Subconjuntos

Definicion

Consideremos dos conjuntos A y B. Decimos que A es un subconjunto deB si todo elemento de A es tambien elemento de B, lo cual se nota porA ⊆ B y se lee A esta contenido en B.En otras palabras

(∀x)(x ∈ A −→ x ∈ B).


∼ (∀x)(x ∈ A −→ x ∈ B)⇐⇒ (∃x)(x ∈ A ∧ x /∈ B)


Subconjuntos

Definicion


(∀x)(x ∈ A −→ x ∈ B).

Para decir A 6⊆ B negamos la proposicion anterior,

ası

∼ (∀x)(x ∈ A −→ x ∈ B)⇐⇒ (∃x)(x ∈ A ∧ x /∈ B)


Subconjuntos

Definicion


(∀x)(x ∈ A −→ x ∈ B).


∼ (∀x)(x ∈ A −→ x ∈ B)⇐⇒ (∃x)(x ∈ A ∧ x /∈ B)


Diagramas de Venn

A

BU

Figura: A ⊆ B


Subconjuntos

Propiedades

Dado un conjunto A se tiene que ∅ ⊆ A.

Pues de no ser ası, existirıa x ∈ ∅ tal que x /∈ A, lo cual contradice elhecho de que vacıo no tiene elementos.


Subconjuntos

Propiedades

Dado un conjunto A se tiene que ∅ ⊆ A.Pues de no ser ası, existirıa x ∈ ∅ tal que x /∈ A,

lo cual contradice elhecho de que vacıo no tiene elementos.


Subconjuntos

Propiedades

Dado un conjunto A se tiene que ∅ ⊆ A.Pues de no ser ası, existirıa x ∈ ∅ tal que x /∈ A, lo cual contradice elhecho de que vacıo no tiene elementos.


Subconjuntos

Si A ⊆ B y B ⊆ C entonces A ⊆ C .

Veamos

{(∀x)(x ∈ A→ x ∈ B)(∀x)(x ∈ B → x ∈ C )

=⇒ (∀x)(x ∈ A→ x ∈ C )


Subconjuntos

Si A ⊆ B y B ⊆ C entonces A ⊆ C . Veamos{(∀x)(x ∈ A→ x ∈ B)(∀x)(x ∈ B → x ∈ C )

=⇒ (∀x)(x ∈ A→ x ∈ C )


Subconjuntos

Si A ⊆ B y B ⊆ C entonces A ⊆ C . Veamos{(∀x)(x ∈ A→ x ∈ B)(∀x)(x ∈ B → x ∈ C )

=⇒ (∀x)(x ∈ A→ x ∈ C )


Igualdad entre conjuntos


Dos conjuntos A y B son iguales si y solo si A ⊆ B y B ⊆ A.

En otras palabras

(∀x)(x ∈ A←→ x ∈ B)




Dos conjuntos A y B son iguales si y solo si A ⊆ B y B ⊆ A.En otras palabras

(∀x)(x ∈ A←→ x ∈ B)


Subconjuntos

Ejemplo

Sean A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, B = {2, 4, 6, 8}, C = {1, 3, 5, 7, 9}.

Tenemos que B ⊆ A, pero C 6⊆ A.


Subconjuntos

Ejemplo

Sean A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, B = {2, 4, 6, 8}, C = {1, 3, 5, 7, 9}.Tenemos que B ⊆ A, pero C 6⊆ A.


Conjunto Potencia o conjunto de Partes


Sea A un conjunto. Definimos la coleccion

P(A) := {X | X ⊆ A}

Se conoce como el conjunto de Partes de A, o el conjunto Potencia de A.




Sea A un conjunto. Definimos la coleccion

P(A) := {X | X ⊆ A}

Se conoce como el conjunto de Partes de A, o el conjunto Potencia de A.



Ejemplo

Sea A = {a}.

P(A) = {∅, {a}}.

Ejemplo

Sea A = {a, b}.

P(A) = {∅, {a} , {b} , {a, b}}.

Ejemplo

Sea A = {a, b, c}.

P(A) = {∅, {a} , {b} , {c} , {a, b} , {a, c} , {b, c} , {a, b, c}}.



Ejemplo

Sea A = {a}. P(A) = {∅, {a}}.

Ejemplo

Sea A = {a, b}.

P(A) = {∅, {a} , {b} , {a, b}}.

Ejemplo

Sea A = {a, b, c}.

P(A) = {∅, {a} , {b} , {c} , {a, b} , {a, c} , {b, c} , {a, b, c}}.



Ejemplo

Sea A = {a}. P(A) = {∅, {a}}.

Ejemplo

Sea A = {a, b}.

P(A) = {∅, {a} , {b} , {a, b}}.

Ejemplo

Sea A = {a, b, c}.

P(A) = {∅, {a} , {b} , {c} , {a, b} , {a, c} , {b, c} , {a, b, c}}.



Ejemplo

Sea A = {a}. P(A) = {∅, {a}}.

Ejemplo

Sea A = {a, b}. P(A) = {∅, {a} , {b} , {a, b}}.

Ejemplo

Sea A = {a, b, c}.

P(A) = {∅, {a} , {b} , {c} , {a, b} , {a, c} , {b, c} , {a, b, c}}.



Ejemplo

Sea A = {a}. P(A) = {∅, {a}}.

Ejemplo

Sea A = {a, b}. P(A) = {∅, {a} , {b} , {a, b}}.

Ejemplo

Sea A = {a, b, c}.

P(A) = {∅, {a} , {b} , {c} , {a, b} , {a, c} , {b, c} , {a, b, c}}.



Ejemplo

Sea A = {a}. P(A) = {∅, {a}}.

Ejemplo

Sea A = {a, b}. P(A) = {∅, {a} , {b} , {a, b}}.

Ejemplo

Sea A = {a, b, c}.P(A) = {∅, {a} , {b} , {c} , {a, b} , {a, c} , {b, c} , {a, b, c}}.



Propiedades

Si A ⊆ B entonces P(A) ⊆ P(B).

Si A es un conjunto finito con n elementos, entonces P(A) tiene 2n

elementos.



Propiedades

Si A ⊆ B entonces P(A) ⊆ P(B).

Si A es un conjunto finito con n elementos, entonces P(A) tiene 2n

elementos.


Operaciones entre conjuntos

Union

Sean A y B dos conjuntos, definimos la union de A y B como

A ∪ B := {x | x ∈ A ∨ x ∈ B} .


Union

UA B

Figura: A ∪ B


Interseccion

Interseccion

Sean A y B dos conjuntos, definimos la interseccion de A y B como

A ∩ B := {x | x ∈ A ∧ x ∈ B} .


Interseccion

UA B

Figura: A ∩ B


Union e Interseccion

Propiedades

A ∩ B = B ∩ A

A ∪ B = B ∪ A

A ∩ ∅ = ∅A ∪ ∅ = A

A ∪ A = A

A ∩ A = A



Propiedades

A ∩ B = B ∩ A

A ∪ B = B ∪ A

A ∩ ∅ = ∅A ∪ ∅ = A

A ∪ A = A

A ∩ A = A



Propiedades

A ∩ B = B ∩ A

A ∪ B = B ∪ A

A ∩ ∅ = ∅

A ∪ ∅ = A

A ∪ A = A

A ∩ A = A



Propiedades

A ∩ B = B ∩ A

A ∪ B = B ∪ A

A ∩ ∅ = ∅A ∪ ∅ = A

A ∪ A = A

A ∩ A = A



Propiedades

A ∩ B = B ∩ A

A ∪ B = B ∪ A

A ∩ ∅ = ∅A ∪ ∅ = A

A ∪ A = A

A ∩ A = A



Propiedades

A ∩ B = B ∩ A

A ∪ B = B ∪ A

A ∩ ∅ = ∅A ∪ ∅ = A

A ∪ A = A

A ∩ A = A



Propiedades

A ⊆ A ∪ B

A ∩ B ⊆ A

(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C )

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C )

A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C )

A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C )



Propiedades

A ⊆ A ∪ B

A ∩ B ⊆ A

(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C )

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C )

A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C )

A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C )



Propiedades

A ⊆ A ∪ B

A ∩ B ⊆ A

(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C )

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C )

A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C )

A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C )



Propiedades

A ⊆ A ∪ B

A ∩ B ⊆ A

(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C )

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C )

A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C )

A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C )



Propiedades

A ⊆ A ∪ B

A ∩ B ⊆ A

(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C )

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C )

A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C )

A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C )



Propiedades

A ⊆ A ∪ B

A ∩ B ⊆ A

(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C )

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C )

A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C )

A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C )


Complemento

Definicion

Sea A un conjunto considerado como subconjunto de un conjuntouniversal U. Definimos el complemento de A (con respecto a U) como

A′ := {a ∈ U| a /∈ A}

El complemento de A se nota por A′ o por AC .


Complemento

A

A′

U

Figura: A′


Complemento

Propiedades

A′′ = A

A ⊆ B si y solo si B ′ ⊆ A′

(A ∩ B)′ = A′ ∪ B ′

(A ∪ B)′ = A′ ∩ B ′


Complemento

Propiedades

A′′ = A


(A ∩ B)′ = A′ ∪ B ′

(A ∪ B)′ = A′ ∩ B ′


Complemento

Propiedades

A′′ = A


(A ∩ B)′ = A′ ∪ B ′

(A ∪ B)′ = A′ ∩ B ′


Complemento

Propiedades

A′′ = A


(A ∩ B)′ = A′ ∪ B ′

(A ∪ B)′ = A′ ∩ B ′


Diferencia

Definicion

Sean A y B dos conjuntos. Definimos la diferencia de A y B como

A− B := {x | x ∈ A ∧ x /∈ B}


Diferencia

A BU

Figura: A− B


Diferencia

Propiedades

A− B = A ∩ B ′

A− A = ∅A− ∅ = A

A− B = A si y solo si A ∩ B = ∅A− B = ∅ si y solo si A ⊆ B


Diferencia

Propiedades

A− B = A ∩ B ′

A− A = ∅

A− ∅ = A



Diferencia

Propiedades

A− B = A ∩ B ′

A− A = ∅A− ∅ = A



Diferencia

Propiedades

A− B = A ∩ B ′

A− A = ∅A− ∅ = A

A− B = A si y solo si A ∩ B = ∅

A− B = ∅ si y solo si A ⊆ B


Diferencia

Propiedades

A− B = A ∩ B ′

A− A = ∅A− ∅ = A



Diferencia

Ejercicio

Sean U = {a, b, c , d , e, f , g , h, i , j , k}, A = {a, b, d , f , h},B = {b, c , d , e, f } y C = {c , g , h, k}. Encuentre

A− B

B − A

(A− B) ∪ C ′


Diferencia Simetrica

Definicion

Sean A y B dos conjuntos. Definimos la diferencia simetrica de A y Bcomo

A4B = (A− B) ∪ (B − A)



A BU

Figura: A4B



Propiedades

A4B = B4A

A4∅ = A

A4A = ∅A ⊆ B entonces A4B = B − A



Propiedades

A4B = B4A

A4∅ = A




Propiedades

A4B = B4A

A4∅ = A

A4A = ∅

A ⊆ B entonces A4B = B − A



Propiedades

A4B = B4A

A4∅ = A



Producto cartesiano

Definicion

Dados dos conjuntos A y B definimos el producto cartesiano de A y B,notado A× B como

A× B := {(a, b)| a ∈ A ∧ b ∈ B}

Los elementos de A×B se llaman parejas ordenadas, y como su nombre loindica importa el orden en que aparece, esto es, (a, b) 6= (b, a). Ası

B × A = {(b, a)| b ∈ B ∧ a ∈ A}


Producto cartesiano

Definicion


A× B := {(a, b)| a ∈ A ∧ b ∈ B}

Los elementos de A×B se llaman parejas ordenadas, y como su nombre loindica importa el orden en que aparece,

esto es, (a, b) 6= (b, a). Ası

B × A = {(b, a)| b ∈ B ∧ a ∈ A}


Producto cartesiano

Definicion


A× B := {(a, b)| a ∈ A ∧ b ∈ B}

Los elementos de A×B se llaman parejas ordenadas, y como su nombre loindica importa el orden en que aparece, esto es, (a, b) 6= (b, a).

Ası

B × A = {(b, a)| b ∈ B ∧ a ∈ A}


Producto cartesiano

Definicion


A× B := {(a, b)| a ∈ A ∧ b ∈ B}

Los elementos de A×B se llaman parejas ordenadas, y como su nombre loindica importa el orden en que aparece, esto es, (a, b) 6= (b, a). Ası

B × A = {(b, a)| b ∈ B ∧ a ∈ A}


Producto cartesiano

Ejercicio

Sean A = {a, b, c} y B = {1, 2}. Encuentre

A× B

B × A


Producto cartesiano

Propiedades

¿ A× B es igual a B × A ?


Cardinal de un conjunto

Definicion

Si un conjunto A tiene k elementos, donde k es cualquier numero natural,decimos que el cardinal de A es k y se nota

n(A) = k .

Ejemplo

Si A = {a, b, c}

entonces n(A) = 3

Si B = {x | x es primo y x < 12}

entonces n(B) = 5



Definicion


n(A) = k .

Ejemplo

Si A = {a, b, c}

entonces n(A) = 3


entonces n(B) = 5



Definicion


n(A) = k .

Ejemplo

Si A = {a, b, c}

entonces n(A) = 3


entonces n(B) = 5



Definicion


n(A) = k .

Ejemplo

Si A = {a, b, c} entonces n(A) = 3


entonces n(B) = 5



Definicion


n(A) = k .

Ejemplo



entonces n(B) = 5



Definicion


n(A) = k .

Ejemplo


Si B = {x | x es primo y x < 12} entonces n(B) = 5


Producto Cartesiano

Numero cardinal de un producto

Si n(A) = a y n(B) = b, entonces

n(A× B) =

n(B × A) = n(A)× n(B) = n(B)× n(A) = ab.


Producto Cartesiano



n(A× B) = n(B × A) =

n(A)× n(B) = n(B)× n(A) = ab.


Producto Cartesiano



n(A× B) = n(B × A) = n(A)× n(B) =

n(B)× n(A) = ab.


Producto Cartesiano



n(A× B) = n(B × A) = n(A)× n(B) = n(B)× n(A) =

ab.


Producto Cartesiano



n(A× B) = n(B × A) = n(A)× n(B) = n(B)× n(A) = ab.


Producto Cartesiano

Ejercicios

Encuentre el numero cardinal en cada caso

Si n(A× B) = 36 y n(A) = 12, encuentre n(B)

Si n(A× B) = 100 y n(B) = 4, encuentre n(A)


Producto Cartesiano

Ejercicios

Encuentre el numero cardinal en cada caso

Si n(A× B) = 36 y n(A) = 12, encuentre n(B)

Si n(A× B) = 100 y n(B) = 4, encuentre n(A)


Resumen


Sean A y B dos conjuntos cualesquiera, donde U es el conjunto universal.

El complemento de A es A′ = {x ∈ U| x /∈ A}.La union de A y B es A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}.La interseccion de A y B es A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}.La diferencia de A y B es A− B = {x | x ∈ A ∧ x /∈ B}.La diferencia simetrica de A y B es

A4B = {x | (x ∈ A ∧ x /∈ B) ∨ (x /∈ A ∧ x ∈ B)}

.


Resumen



El complemento de A es A′ = {x ∈ U| x /∈ A}.

La union de A y B es A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}.La interseccion de A y B es A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}.La diferencia de A y B es A− B = {x | x ∈ A ∧ x /∈ B}.La diferencia simetrica de A y B es

A4B = {x | (x ∈ A ∧ x /∈ B) ∨ (x /∈ A ∧ x ∈ B)}

.


Resumen



El complemento de A es A′ = {x ∈ U| x /∈ A}.La union de A y B es A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}.

La interseccion de A y B es A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}.La diferencia de A y B es A− B = {x | x ∈ A ∧ x /∈ B}.La diferencia simetrica de A y B es

A4B = {x | (x ∈ A ∧ x /∈ B) ∨ (x /∈ A ∧ x ∈ B)}

.


Resumen



El complemento de A es A′ = {x ∈ U| x /∈ A}.La union de A y B es A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}.La interseccion de A y B es A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}.

La diferencia de A y B es A− B = {x | x ∈ A ∧ x /∈ B}.La diferencia simetrica de A y B es

A4B = {x | (x ∈ A ∧ x /∈ B) ∨ (x /∈ A ∧ x ∈ B)}

.


Resumen



El complemento de A es A′ = {x ∈ U| x /∈ A}.La union de A y B es A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}.La interseccion de A y B es A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}.La diferencia de A y B es A− B = {x | x ∈ A ∧ x /∈ B}.

La diferencia simetrica de A y B es

A4B = {x | (x ∈ A ∧ x /∈ B) ∨ (x /∈ A ∧ x ∈ B)}

.


Resumen



El complemento de A es A′ = {x ∈ U| x /∈ A}.La union de A y B es A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}.La interseccion de A y B es A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}.La diferencia de A y B es A− B = {x | x ∈ A ∧ x /∈ B}.La diferencia simetrica de A y B es

A4B = {x | (x ∈ A ∧ x /∈ B) ∨ (x /∈ A ∧ x ∈ B)}

.


Resumen

Leyes de De Morgan

Para dos conjuntos A y B

(A ∩ B)′ = A′ ∪ B ′

(A ∪ B)′ = A′ ∩ B ′


Resumen

Leyes de De Morgan

Para dos conjuntos A y B

(A ∩ B)′ = A′ ∪ B ′

(A ∪ B)′ = A′ ∩ B ′


Conjuntos

Ejercicio

Cierta empresa entrevisto a 160 personas en un centro comercial con el finde averiguar sus preferencias a la hora de las comunicaciones y obtuvo lossiguientes resultados:

115 tienen internet en casa,

96 tienen cable en casa,

91 tienen celular,

68 tienen internet y cable en casa,

60 tienen internet en casa y celular,

54 tienen cable y celular,

38 tienen los tres,

2 no tienen ni internet , ni cable, ni celular.

Realice un diagrama donde se puedan leer estos datos.


MATEMATICAS B ASICAS - Facultad de Cienciasciencias.bogota.unal.edu.co/fileadmin/content/matematicas/document... · Universidad Nacional de Colombia Matem aticas B asicas Conjuntos

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