Matematicas Avanzadas - Actividad 1

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MATEMÁTICAS AVANZADAS -

ACTIVIDADES CLASE No. 1

Luis Miguel Perez Pertuz, Hernando Jose de Avila Pereira

February 12, 2016

1 Contenido

Parte A : Ordinary Differential Equations (ODEs)

Chapter 1: First-Order ODEsSET 1.1. Basic Concepts. ModelingSET 1.2. Geometric Meaning of y= f  ’(x, y). Direction Fields, Euler’s MethodSET 1.3. Separable ODEs.

2 Actividades

Resolver los siguientes problemas de las sesiones indicadas:

1. SET 1.1: Problemas 14, 20.2. SET 1.2: Problemas 7, 10, 15, 19.3. SET 1.3: Problemas 6, 7, 14, 16.

Desarrollo y respuestas

a) Verificar que y es solución de la ODEb) Determinar que y es solución particular de IVP

c) Graficar la solución de IVP

14)

y’   tan  x   = 2y   - 8y   = c1   sin

2 x   + 4y (π2 ) = 0

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2.1 Desarrollo del problema 14 sección 1.1

y’   tan  x   = 2y   - 8

Se saca factor común en el lado derecho de la ecuación:

y’   tan  x   = 2(y   - 4)

Se realiza la separación de variables:

y’  = 2 cot  x   (y   - 4)

dydx

 = 2 cot  x   (y - 4)

dyy−4  = 2 cot  x   dx 

Se integra de ambos lados de la ecuación:    dyy−4   = 2

   cot x dx 

Se resuelve las integrales (integrales inmediatas):

ln (y  - 4) = 2 ln (sin  x ) +  c1

Se eleva con Euler en ambos lados de la ecuaci ó’n y se simplifica:

e ln(y−4) =  e 2ln(sinx )+c1

e ln(y−4) = e ln(sin2x )+c1

Por propiedad de Euler se tiene que:

e ln(y−4) =  e ln(sin2x ) e c1

Simplificando tenemos que:

y  - 4 = sin2 x   c1

Ordenando la ecuación tenemos como resultado:

y  = sin2 x   c1  + 4

Comprobado que y  es solución de ODE reemplazamos  y(π2 )=0 para tener una ecuaciónparticular:

sin2 x   c1  + 4 = 0

sin2   π2   c1  + 4 = 0

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Como sin2   π2  es igual a 1, tenemos que:

c1 = −4

Por lo cual la ecuación particular queda:

y (x ) = -4 sin2 x   + 4

Graficamos la solución particular:

Figure 1: Solución particular con  c1  = -4 y evaluado en  x   =  π2

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También se obtiene para distintos valores de  c1:

Figure 2: Solución particular con diferentes valores de  c1  y evaluado en  x   =  π2

2.2 Desarrollo de ejercicio 20 sección 1.1

Decrecimiento exponencial.   Vuelo subsónico. La eficiencia de los motores de lasaeronaves subsónicas depende de la presión del aire y normalmente es máximo cercanoa 35000 ft. Encontrar la presíon de aire a esta altura.   Informaci´ on Fı́sica . La tasa de

cambio es proporcional a la presión. En 18000 ft es la mitad de su valor de  y (0) = yo  alnivel del mar.   Insinuaci´ on . Recuerde del cálculo que si  y   =  ekx entonces y’   =  kekx sepuede ver sin cálculo que la respuesta debe estar cerca de   14   yo.

Tenemos que  y (0) =  yo  es la función evaluada a nivel del mar. Se evalúa y queda dela siguiente forma:

y(0)  =  ek(0) = 1

y’   =  yo  ekx

Evaluamos 18000 ft en la función exponencial:

y (18000) =  yo  ek∗18000

Tenemos que a 18000 ft se encuentra a mitad de vuelo por lo cual:

ek∗18000 =   12

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Ahora evaluamos la función a la altura máxima de cercana a los 35000 ft para este casose evaluara a 36000 ft ya que si se dice que 18000 ft es la mitad, se deduce que la alturamáxima seria a los 36000 ft.

y (36000) =  yo  ek∗18000

Sabiendo que ek∗18000 =   12  y se piensa calcular a la altura máxima entonces:

y (36000) =  yo   (12)

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Desarrollando tenemos entonces que:

y (36000) = (14)  yo

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2.3 Desarrollo de ejercicio 7 sección 1.2

Representar gráficamente un campo de dirección (por un CAS o con la mano). En elgráfico de campo de varias curvas solución a mano, sobre todo los que pasan por los

puntos dados (x, y).

y’ = ey

x

Campo direccional realizado con Maple 17:

Figure 3: Campo direccional de la ecuación y’ =  ey

x

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2.4 Desarrollo de ejercicio 10 sección 1.2

Los campos de dirección son muy útiles ya que le puede dar una impresión de todas lassoluciones sin resolver la EDO, que puede ser dif́ıcil o incluso imposible. Para tener unaidea de la precisión del método, representar gráficamente un campo, curvas solución de

croquis en ella, y compararlas con las soluciones exactas.

y’ = -5  y1

2

   dyy1

2

= -5 

 dx 

2√ y  = -5x +c1

√ y  =   −5x +c12

y   = (−52x + c1)2

√ y +  52x  =  c1

Figure 4: Campo de direcciones de la ecuación y’ = -5  y1

2   y gráfica de la solución  y   =(−52x + c1)

2

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2.5 Desarrollo del ejercicio 15 sección 1.2

Solución:   La siguiente ecuación de velocidad refleja la situación f́ısica del problema:

mv’  = mg - kv2

Con m = 1[kg] y k= 1[Ns2/kg], sustituyendo esto en la ecuacion diferencial tenemos que:

v’   = g -  v2

Si el paracaidista abre su paracaı́das a v = 10 m/s tenemos que:

v (0) = 10

Graficando el campo de direcciones y la solución siendo v (0) = 10:

Figure 5: Campo de dirección de la ecuacion v’  = g -  v2 contra la solución exacta cuandov (0) = 10

Considerando que la resistencia del aire es proporcional a v(t), tenemos entonces que:

v’   = g   -  v 

Se puede ver que el decrecimiento de la velocidad teniendo en cuenta la resistencia del

aire es mucho mas lento.

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Figure 6: Campo de dirección  v’   =  g   -  v  teniendo en cuenta la resistencia del aire

2.6 Desarrollo del ejercicio 19 sección 1.2

Solución:  aplicando el método de Euler a la siguiente ecuación

y’   = (y − x)2

teniendo como solucíon

y   =  x  - tanh (x)

En MATLAB tenemos la solución:

Figure 7: Solución exacta contra el Metodo de euler

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Figure 8: Algoritmo de la ecuacion solución y método de Euler

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2.7 Desarrollo del ejercicio 6 sección 1.3

Solución:

y’   =  e2x−1y2

Reorganizamos la ecuación:

dy y2

  =  e2x−1dx

Integramos ambos lados de la ecuación

   dy y2

  =  e2x−1dx

Hacemos sustitución:

u = 2x− 1du = 2dx

dx =  du/2

Tenemos entonces que:

−1y

  =   12  eudu

Resolviendo:

−1y

  =   12   eu + c1

Despejando y tenemos:

y  =   112eu+c1

2.8 Desarrollo del ejercicio 7 sección 1.3

Solución:

xy = y + 2x3sin2( yx

)

Hacemos  u =   yx

, por tanto  y  =  ux  ,  y = ux + u, sustituimos en la ecuación diferencial:

x(ux + u) = ux + 2x3sin2(u)

x2u = 2x3sin2(u)

u

sin2(u)  = 2x

Integramos en ambos lados: 

  dusin2(u)

 = 

 2xdx

Después de integrar tenemos que:

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− 1tan(u)   = x

2 + C 

tan(u) =   1C −x2

u = arctan  1C −x2

Realizando el cambio de variable tenemos que:

y  =  ux  =  x  arctan   1C −x2

2.9 Desarrollo del ejercicio 14 sección 1.3

Solución:

dr

dt  = −2tr

Agrupo las variables semejantes e integro:

   drr

  = −2  tdt

Resolviendo las integrales tenemos que:

ln(r) = −t2 + c1

Aplicamos Euler en cada lado de la ecuación:

eln(r) = e−t2+c1

Simplificando tenemos:

r =  e−t2+c1

Aplicando propiedad de Euler queda:

r =  c1e−t2

Resolviendo la ecuacion para la solución  r(0) = ro

r(0) = c1e−t2 = ro

Siendo e−(0)2

= 1, tenemos que:

c1 =  ro

De esta forma:

r(t) = roe−t2

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2.10 Desarrollo del ejercicio 16 sección 1.3

Solución:

y = (x + y−

2)2,  y(0) = 2, (Set u  =  x + y−

2)

y = (x + y − 2)2

u =  x + y − 2

y =  u − x + 2

y = u − 1

u − 1 = (u)2

u = (u)2 + 1

u

(u)2+1 = 1

   u

(u)2+1dx =

  dx

   1(u)2+1

du =  dx

arctan(u) = x + c

u =  tan(x + c)

x + y − 2 = tan(x + c)

y =  tan(x + c) − x + 2

Evaluando en la condición inicial:

y(0) = tan((0) + c) − (0) + 2 = 2

tan(c) = 0

c =  arctan(0)

c=0

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