. PRUEBA DE SUFICIENCIA ACADEMICA GESTION 2013 CARRERA ACTUALIZACION: Dr. Jhemis Teddy Molina Gutierrez Ing. Joacir Colombo Quezada
.
PRUEBA DE SUFICIENCIA
ACADEMICA
G E S T I O N 2 0 1 3
CARRERA
ACTUALIZACION: Dr. Jhemis Teddy Molina Gutierrez
Ing. Joacir Colombo Quezada
PRUEBA DE SUFICIENCIA ACADEMICA GESTION 2013
MATEMATICAS
FACULTAD DE MEDICINA, ENFERMERIA, NUTRICION Y TECNOLOGIA MÉDICA 2
CONTENIDO
TEMA1 CONJUNTOS ........................................................................................................ 3
TEMA 2SISTEMAS NUMÉRICOS ................................................................................. 12
TEMA 3 NOTACIÓN CIENTÍFICA ................................................................................. 16
TEMA 4 ÁLGEBRA .......................................................................................................... 20
TEMA 5 PRODUCTOS Y COCIENTES NOTABLES ................................................. 31
1.1. CUBO DE UN BINOMIO ............................................................................. 37
PRODUCTO DE DOS BINOMIOS DE LA FORMA (x + a)(x + b) .................................. 38
TEMA 6 FACTORIZACIÓN ............................................................................................. 46
TEMA 7 EXPONENTES, RADICALES Y FRACCIONES ALGEBRAÍCAS ........... 56
TEMA 8 ECUACIONES ................................................................................................... 59
TEMA 9 LOGARITMOS ................................................................................................... 69
TEMA 10 INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA ....................................................... 79
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TEMA 1 CONJUNTOS
En la teoría de conjuntos, definimos a un conjunto como la colección de objetos o
elementos que tienen una característica especial que permite que los mismos
estén agrupados. Estos objetos o elementos pueden ser: Personas, animales,
plantas, números, figuras, etc.
De esta definición podemos identificar los siguientes componentes de un conjunto:
Elementos: Un elemento es un objeto que pertenece a un conjunto.
Ejemplo: José pertenece al Curso Preuniversitario de la Carrera de
Medicina.
Los elementos de un conjunto se representan por letras minúsculas del
alfabeto, números o símbolos que nos ayuden a identificarlos:
,...,,.....,3,2,1....,, cba
Notación: Para poder denotar un conjunto usualmente se utilizan letras
mayúsculas del alfabeto, tales como:
A, B, C, …, X, Y, Z
Un Conjunto se escribe de la siguiente manera:
Nombre del conjunto = {elementos}
Ejemplo: A = {a, e, i, o, u}
REPRESENTACIÓN DE UN CONJUNTO
Los conjuntos se pueden representar:
Por Extensión: Es la forma de expresar un conjunto nombrando a cada uno de sus
elementos que lo componen siempre y cuando se pueda.
Ejemplo: A = {a, e, i, o, u}
B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Por Comprensión: Es la forma de expresar un conjunto enunciando una propiedad
particular de todos sus elementos, la misma que debe satisfacer a cada uno de los
mismos.
Ejemplo: Usando los conjuntos anteriores
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alfabeto del vocalesx/x A
90,/ xZxxB
Gráficamente
Se puede representar a un conjunto a través de los Diagramas de Venn, que son
Curvas Cerradas, indicando a todos sus Elementos dentro de la Curva.
Ejemplo: Usando el conjunto anterior
A = {a, e, i, o, u}
A
Para poder mencionar que un determinado elemento pertenece o no pertenece a
un conjunto determinado se hace uso de los símbolos y , respectivamente.
En el ejemplo anterior podemos decir que:
a A
b A
CONJUNTOS ESPECIALES
Conjunto Unitario
Un conjunto que tiene un solo elemento.
Ejemplo: C = {x/ x , x2=4} = {2}
Conjunto Finito
Un conjunto finito es aquel del cual se conoce tanto el primer como el último de
sus elementos, en otras palabras podemos contar el total de sus elementos.
Ejemplo: A= {3, 5, 7, 8} El conjunto A tiene 4 elementos
B= {x/x = 2k, k=0, 1, …, 4 } = {0, 2, 4, 6, 8} El conjunto B tiene 5 elementos
.a .u
.e
.i
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Conjunto Infinito
Se dice que un conjunto es infinito cuando los elementos del conjunto no se
pueden terminar de contar.
Ejemplo: A= {x/x = 2k, k=0, 1, 2, 3, 4 … } = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12…}
Conjunto Universo
Es el conjunto formado por todos los elementos de un cierto tipo y se denota por
Ejemplo: A = {x/x }
Como el conjunto A hace referencia al Conjunto de Números Enteros, entonces
concluimos que
Conjunto Vacío
También conocido como conjunto nulo, es el conjunto que no contiene ningún
elemento y es denotado por la letra griega Ø ó { }.
Ejemplo: A = {Números pares cuya última cifra sea impar} = { } = Ø
𝕌
A
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}/{ BxAxxBA
}/{ BxAxxBA
RELACIONES ENTRE CONJUNTOS
Inclusión
Sean A y B dos conjuntos, se dice que el conjunto A es parte del conjunto B, si
todos los elementos de A pertenecen al conjunto B. Esta relación se la denota de
la siguiente forma:
Igualdad
Sean A y B dos conjuntos, se dice que el conjunto A y B son iguales, si todos los
elementos de A pertenecen al conjunto B y todos los elementos de B pertenecen
al conjunto A. Esta relación se la denota de la siguiente forma:
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
Unión de dos Conjuntos
La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por elementos de A o de
B o de ambos conjuntos y se denota por:
B
.a .o
.e
.
.a .o
.e
.
A B
=
B
A
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}/{ BxAxxBA
}/{ BxAxxBA
Lo cual se lee: “A” unión “B”, es el conjunto formado por elementos x, tal que x
pertenece a “A” ó x pertenece a “B”.
Ejemplo: Si A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {-2, -1, 0, 1, 2}
Entonces, AB= {-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}
Intersección de dos Conjuntos ( )
La intersección de dos conjuntos A y B, es el conjunto formado por los elementos
que pertenecen a “A” y a “B” y se denota por:
Que se lee, “A” intersección “B” es el conjunto formado por los elementos x, tal
que x pertenece a “A” y x pertenece a “B”.
Ejemplo: Si A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {-2, -1, 0, 1, 2}
Entonces, A B= {1, 2}
Diferencia de Conjuntos (–)
La diferencia de dos conjuntos “A” y ”B” es el conjunto formado por elementos de
“A” que no pertenecen a “B” y se denota por:
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}/{ AxUxxAC
Ejemplo: Si A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {-2, -1, 0, 1, 2}
Entonces, A B= {3, 4, 5}
Diferencia Simétrica ( )
La diferencia Simétrica de dos conjuntos “A” y ”B” es el conjunto formado por
elementos de “A” o de ”B” pero no de ambos, denotado por:
Ejemplo: Si A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {-2, -1, 0, 1, 2}
Entonces, A B= {3, 4, 5, -2, -1, 0}
Complemento de un Conjunto (C)
Dado el conjunto universo y A . El complemento de un conjunto “A” es el
conjunto formado por elementos de que no pertenecen al conjunto “A” y se
denota por: Ac
}/{ BxAxxBA
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Ejemplo: Si = {xN/x < 10} y A = {1, 3, 5, 7}, entonces: AC = {2, 4, 6, 8, 9}
EJERCICIOS PROPUESTOS
Expresar por comprensión los siguientes conjuntos:
1. A= { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,…….}
2. B= { Lunes, Martes, Miércoles, Jueves, Viernes, Sábado, Domingo}
3. C= { 5, 10, 15, 20, 25, 30,…}
De los siguientes conjuntos A={ h, o, l, a}, B={ s, a, l, u, d, o} y C={ y, i, n} hallar:
4. A B = { h, o, l, a} { s, a, l, u, d, o}={ h, o, l, a, s, u, d}
5. A B C={ h, o, l, a} { s, a, l, u, d, o} { y, i, n}={ }
6. (A C )C = ({ h, o, l, a} { y, i, n} ) C = { h, o, l, a, y, i, n } C = { s, u, d}
7. Indicar como se obtiene el área seleccionada
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De un grupo de estudiantes: 10 estudian Medicina, 12 estudian Enfermería y 4
estudian ambas materias.
8. Indicar el número total de estudiantes
9. Indicar el número de estudiantes que estudian una de las carreras, son 14
De los siguientes conjuntos:
Realizar las siguientes operaciones:
10. AUB={2, 6, 4, 8, 9, 7, 5, 3}
11. A B={2}
12. B- A={7, 5, 3}
De un total de 110 estudiantes del curso prefacultativo de medicina, se registran
los siguientes datos: 5 alumnos reprobaron matemáticas, química y biología; 9
aprobaron matemáticas y química; 20 aprobaron química y biología; 11 aprobaron
matemáticas y biología; 36 aprobaron biología; 44 aprobaron química; 45
aprobaron matemáticas.
Se pide calcular:
13. ¿Cuántos alumnos no aprobaron ninguna de las tres materias?
14. ¿Cuántos aprobaron (matemáticas y biología) o (matemáticas y química)?
15. ¿Cuántos aprobaron química y biología?
16. ¿Cuántos aprobaron sólo biología?
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Una mesera tomó la orden de 57 hamburguesas: 22 con cebolla, 29 con mostaza
y 25 con salsa de tomate. De éstas, 10 tenían sólo cebolla y 15 sólo mostaza; 7 de
las hamburguesas tenía sólo cebolla y mostaza, y 3 los tres ingredientes. Realice
un diagrama de Venn y determine:
17. ¿Cuántas hamburguesas llevaban salsa y mostaza solamente?
18. ¿Cuántas sólo llevaban salsa?
19. ¿Cuántas hamburguesas llevaban cebolla o mostaza, pero no salsa?¿Cuál
es el porcentaje de las granjas que producen trigo?
Se hizo una encuesta a 885 amas de casa y se encontró la siguiente información
acerca de ciertos programas de televisión:
a. 600 veían noticieros b. 400 veían series policíacas
c. 620 veían programas deportivos d. 195 veían noticieros y series policíacas
e. 190 veían series policíacas y deportivos f. 400 veían noticieros y deportivos
Y todas ven al menos uno de estos tres programas.
20. Determinar: ¿Cuántas de las entrevistadas ven los tres tipos de programas
mencionadas?
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TEMA 2
SISTEMAS NUMÉRICOS
NÚMEROS NATURALES
Los números naturales son los que se emplean para contar. Los números
naturales son la sucesión de los enteros positivos cuyo conjunto se simboliza
por N.
N = {1, 2, 3,…}
Los números naturales son cerrados, o cumplen con las propiedades de
clausura, respecto de las operaciones de adición y multiplicación:
Si a ε N y b ε N entonces (a + b) ε N (clausura para la adición)
Si a ε N y b ε N entonces (a × b) ε N (clausura para la multiplicación)
Ejemplo. 2 ε N y 3 ε N
2 + 3 = 5 ε N (clausura para la adición)
2 × 3 = 6 ε N (clausura para la multiplicación)
NÚMERO ENTEROS
Los enteros constan de los números naturales, el cero y los negativos de los
números naturales, cuyo conjunto se designa por Z.
El conjunto de los enteros, de manera concisa, se escribe
Z = { x | x N ó x = 0 ó x = –n para algún n en N }
Se escribe también
Z = { … , –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, … }
El conjunto de los enteros Z incluye al conjunto de los números naturales
N. El conjunto de los enteros Z es cerrado respecto de las operaciones de la
adición, de la multiplicación y también de la sustracción; es decir, que la suma,
producto y diferencia de dos enteros es, a su vez, un entero.
Observación. El conjunto de los enteros Z no es cerrado respecto de la
operación de división. Por ejemplo, el cociente de los enteros 5 y 9 no es
necesariamente un entero.
Todos los enteros positivos, con excepción del número uno, se pueden
clasificar ya sea como números compuestos o como primos.
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Un entero positivo se llama compuesto si es distinto de uno y puede ser
expresado como el producto de dos o más enteros positivos, los cuales son
sus factores. En ciertos casos, algunos de estos factores se pueden repetir.
Por ejemplo, 6 y 24 son números compuestos porque 6 = 2 × 3 y
24= 6 × 4.
Un número entero positivo se llama primo si es distinto de uno y no es
compuesto; en otras palabras, la única forma en que podemos expresar un
número primo p como el producto de dos enteros positivos es:
p = p × 1 ó p = 1 × p.
Ej. 2, 3, 5, 7, 11, … son números primos, mientras que 4, 6, 8, 9, … no son
números primos. Todo entero compuesto se puede descomponer en un producto
de números primos, puesto que cada factor compuesto puede, a su vez,
descomponerse en factores menores hasta que, en último término, todos los
factores sean primos.
NÚMEROS RACIONALES
Un número racional es el que puede expresarse como el cociente de un
entero p por un entero q diferente de cero. El conjunto de los números
racionales se designa por Q, y brevemente se escribe
Q = { x | x = p/q donde p Z, q Z, q ≠ 0 }
El conjunto Q de los números racionales es cerrado respecto de las operaciones
de adición, multiplicación, sustracción y división (excepto por cero); es decir, que
la suma, producto, diferencia y cociente (excepto por cero) de dos números
racionales es también un número racional.
Llevando a cabo la operación de la división, todo número racional se puede
representar como un decimal. Algunas representaciones "terminan" después
de un número finito de cifras, esto es, las últimas cifras son cero. Por ejemplo:
a) 22
4 b) 75,0
4
3
80
60
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En cambio, otras expresiones decimales nunca terminan, tales como:
c) ....3333,03
1 d) .....571428571428,1
7
8
En estas últimas expresiones decimales, se puede observar que en
cada período, los dígitos, después de un cierto momento, se repiten con
el anterior, formando un grupo como “3” y “142857”. Esto es siempre
verdad para todos los números racionales. Por tanto, la condición
necesaria y suficiente para que un número sea racional, es que en su
expresión decimal con cifras infinitas éstas presenten periodicidad.
NÚMEROS IRRACIONALES
El conjunto de los números irracionales es el complemento del conjunto de
los números racionales. Es decir, los números irracionales son aquellos que
no se pueden expresar como el cociente de dos enteros.
El desarrollo decimal de un número irracional es infinito y no periódico, por
ejemplo:
√2 = 1.414213562 …
π = 3.14159265 …
El conjunto de los números irracionales se simboliza por Q’.
NÚMEROS REALES
El conjunto de los números reales es el conjunto de todos los números
que son racionales o irracionales, y está constituido por números positivos,
negativos y el cero.
Los números reales se pueden representar por puntos de una línea recta. Se
elige un punto llamado origen para representar el cero.
Los números a la derecha del cero, son los llamados números positivos, y los
números a la izquierda del cero son los llamados números negativos.
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El cero mismo no es ni positivo ni negativo.
Los conjuntos de números, que en forma gráfica se puede observar a
continuación, se relacionan de la manera siguiente:
N Z Q (Q Q’) R
TM1. Conjuntos de Números en forma gráfica
EJERCICIOS PROPUESTOS
Hallar la Suma, Resta, Multiplicación y División de los Números: 1. 7 ; 3
2. 4 ; -9
3. -5 ; 8
4. -2 ; -3
Simplificar:
5. 7 – {6 – [4 – (-3)]}
6. 9 – {1 – [3 – (- 8)]}
7. 1 – {1 – [1 – (-1)]}
8. 3 – [2 – (-1)] + [3 – (-1)]
9. – {1 + [1 – (-1)]}
10. – {2 – [3 – (-5)] + [5 – (-3)]}
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TEMA 3
NOTACIÓN CIENTÍFICA
INTRODUCCIÓN
La notación científica es la forma abreviada para expresar cantidades numéricas
suficientemente grandes o al contrario cantidades suficientemente pequeñas. Para
lograr este cometido se usan potencias de base diez (10) con lo cual se permite
que las expresiones, en las mediciones científicas, puedan ser más explicitas,
más compactas y más sencillas de utilizar, para lo cual se utiliza la siguiente nota
notación:
a 10 n
Donde:
a R y puede ser un número comprendido en el rango 1 a 10
n Z ya sea positivo (+) o negativo (-).
La base de la potencia es 10.
La notación científica básicamente consiste en representar una cantidad como
producto de un número por una potencia de 10. Si se quiere escribir un número
ordinario en notación científica o el proceso inverso se procede de la siguiente
manera:
Para números mayores a 1:
Por ejemplo para la cantidad 950 000 (novecientos cincuenta mil), se pone un
punto decimal y se recorre 5 lugares de derecha a izquierda y, de esta forma,
se obtiene: 9.5x105.
Si se quiere realizar la operación inversa, es decir convertir un número escrito en
notación científica a decimal, se recorre el punto decimal hacia la derecha y en los
espacios en blanco se rellena con ceros. Por ejemplo si se tiene la siguiente
cantidad 1.5x106 se escribiría 1 500 000 (un millón quinientos mil).
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Para los números menores a 1:
Por ejemplo sea la cantidad 0.00000025 para escribir en notación científica se
recorre el punto hacia la derecha 7 lugares obteniéndose 2.5x10-7. Para realizar
la operación inversa: sea la cantidad 3.8x10-8 se recorre el punto 8 lugares
hacia la izquierda y se obtiene: 0.000000038.
En los siguientes ejemplos se muestra como se puede expresar algunas
cantidades en notación científica:
a) 312.546 = 3.12546 x102 e) 0.000 000 0637 = 6.37 x10-8
b) 1 452.25 = 1.45225 x10 3 f) 17 000 000 = 1.7 x 10 7
c) 0.089752 = 8.9752 x10-2 g) 5 830 000 = 5.83 x 10 6
d) 0.00005 = 5 x10-5 h) 0.000 000 000 007 = 7 x 10-12
OPERACIONES CON NOTACIÓN CIENTÍFICA.-
Para realizar operaciones como se trabaja con potencias de base diez se usan las
mismas reglas de potenciación.
ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN.-
Para poder efectuar estas operaciones con notación científica, primeramente se
debe asegurar que todas las potencias de 10 sean semejantes, caso contrario
hay que procurar que lo sean.
Ejemplos:
a) 4.28x 10 6 +1.254 x10
6 = 5.534 x 10 6
b) 3.141 x 10 3 – 2.912 x 10 2 = 3.141 x 10 3 – 0.2912 x 10 3 = 2.8498 x 10 3
c) 2.60x108+3.55x107+8.23x106= 2.60x108+0.355x108+0.0823x108 = 3.0373x108
d) 5.6 x 10 3 + 6.56 x 10 3 = 12.16 x 10 3
e) -3 x 10 11 + 9 x 10 11 = 6 x 10 11
f) 2 x10 6 + 4 x10 5 = 2 x10 6 + 0.4 x10 6 = 2.4 x10
6
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MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN CON NOTACIÓN CIENTÍFICA.-
Para realizar las multiplicación simplemente se multiplican los valores decimales
y se suman las potencias de 10, con lo cual se obtienen resultados que (en
algunos casos) se debe volver a expresar en notación científica. De igual
manera se procede en la división, con la única diferencia que se deben restar
las potencias de 10 del numerador menos la potencia de 10 del denominador.
Ejemplos:
a) a3 .
a5
= a3+5
= a8
b) ( 1.589 . 102)x( 4.346
. 103) = ( 1.589
. 4.346) x102-3 = 6.905794 x 10-1
c)
= a
5-3= a
2
EJERCICIOS PROPUESTOS
Escribir en notación científica las siguientes cantidades:
1. 125.265
2. 2 256.879
3. 875223.56
4. 0.000154789
5. 0.123654
6. 0.123654
Sumar y restar los siguientes números decimales:
7. 1.28 x10 4 +3.464 x10 2 + 2.4689x106
8. 2.568x103 +0.24x106 +1.3
9. 2.912x106 +6.145x104 -2.9145x102
10. 1.23x103 -2.945x104
11. 9.124x103 -2.945x102
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MATEMATICAS
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12. 1.25x103 -1.25x101
Multiplicar y dividir los siguientes números decimales:
13. (2.256 x104)(3.56 x10-3)
14. (1.025 x1010 )(0.256 x 105 )(1.658 x103)
15. (5.45 x103)(1,28 x104 )
16. (7.89 x106)(2.56 x104)
17. (3.65 x1010)/(2.13 x102)
18. (1.36 x10-5)/(0.234 x104)
19. (4.21 x108)/(8.45 x10-4)
20. (2.34 x103)(4.56 x102)/(0.89 x107)
21. (2.5 x103)(4.66 x104)/(1.66 x102)
22. (1.728)(17.28)/(1.728 x10-4)
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TEMA 4
ÁLGEBRA
DEFINICIÓN
El Algebra es la rama de las matemáticas que estudia las operaciones, como las
sumas, restas, multiplicación y división de conjuntos de números. Estos números
se representan por símbolos o variables.
De igual forma se puede decir que es una extensión de la aritmética cuyo objetivo
es simplificar y generalizar todo lo referente a los números, empleando para ello
letras, números, guarismos, etc.
EXPRESIÓN ALGEBRAICA
Es un conjunto de letras, números y signos que indican una serie de operaciones
a realizarse, es decir, son todas aquellas que tienen una parte numérica y una
parte literal.
Por ejemplo, la expresión 8a3b2c es una expresión algebraica, en este caso un
monomio, el cual tiene como parte numérica al número 8 y como parte literal
a3b2c.
Nótese que los exponentes se consideran parte literal.
Una expresión algebraica esta conformada por dos o más términos.
Por ejemplo los siguientes términos son expresiones algebraicas:
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MATEMATICAS
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TÉRMINO ALGEBRAICO
Es la parte de una expresión conformada por letras y números, el cual, esta
separado de otro término a través de un signo (positivo o negativo).
ELEMENTOS DE UN TÉRMINO.-
Un término está compuesto por un signo, un coeficiente, parte literal y exponente. Por ejemplo:
Variable.- Es toda magnitud que cambia de valor y puede ser expresada por las
últimas letras del abecedario.
Constante.- Es toda magnitud que tiene un valor y no cambia.
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TÉRMINOS SEMEJANTES
Son todos los términos que tienen la misma parte literal y están elevados a un
mismo exponente. En cuanto al coeficiente y signo, estos pueden ser distintos o
no.
CLASIFICACIÓN DE EXPRESIONES.
Profundizando un poco más en lo mencionado anteriormente, existen
básicamente los siguientes tipos de expresiones algebraicas:
a) Monomios: Es una sola expresión algebraica.
Ejemplos de monomios son:
4x4y2 como se puede ver es un solo término con parte numérica y parte
literal
8a3b2c en este caso la letra c no tiene exponente, cuando esto suceda se asume que dicho exponente es 1, así: 8a3b2c1
m2n3 en este caso aparentemente no hay una parte numérica, cuando
esto suceda sabremos que hay un 1, así: 1 m2n3
b) Polinomios: Son dos o más expresiones algebraicas (con diferente parte
literal) que se están sumando o restando.
Ejemplos de polinomios son:
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Este es un polinomio de dos términos o binomio. Aunque las 3x2y +5x3y2 sus
partes literales aparentemente son iguales, estas son diferentes, pues los
exponentes no son iguales.
3x4 +xyz -2y2z Ahora tenemos un polinomio de tres términos o trinomio.
a3 -a2b +2ab2 -5b3 Otro ejemplo de polinomio.
GRADO DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS.
GRADO DE UN MONOMIO.-
El grado absoluto de un monomio esta dado por la suma de todos los exponentes
de todas las variables que componen dicho monomio
Por ejemplo: El grado de 12x6 y4z es 6+4+1=11
GRADO DE UN POLINOMIO.-
Esta dado por la suma de todos los exponentes de todas las variables que
componen el término de mayor grado.
Por ejemplo: 5x3yz5 + 7x4y6z5 – 4x2y3z5, el grado del polinomio respecto a x es 4
OPERACIONES ALGEBRAICAS.-
Para realizar las operaciones de suma, resta, multiplicación y división de términos
se respeta los signos de agrupación.
Por ejemplo:
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SUMA DE POLINOMIOS
Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del mismo
grado.
P(x) = 2x3 + 5x − 3 Q(x) = 4x − 3x2 + 2x3
1. Ordenamos los polinomios, si no lo están.
Q(x) = 2x3 − 3x2 + 4x
P(x) + Q(x) = (2x3 + 5x − 3) + (2x3 − 3x2 + 4x)
2. Agrupamos los monomios del mismo grado.
P(x) + Q(x) = 2x3 + 2x3 − 3 x2 + 5x + 4x − 3
3. Sumamos los monomios semejantes.
P(x) + Q(x) = 4x3− 3x2 + 9x − 3
RESTA DE POLINOMIOS
La resta de polinomios consiste en sumar el opuesto del sustraendo.
P(x) − Q(x) = (2x3 + 5x − 3) − (2x3 − 3x2 + 4x)
P(x) − Q(x) = 2x3 + 5x − 3 − 2x3 + 3x2 − 4x
P(x) − Q(x) = 2x3 − 2x3 + 3x2 + 5x− 4x − 3
P(x) − Q(x) = 3x2 + x − 3
MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS
Multiplicación de un número por un polinomio
Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como coeficientes
el producto de los coeficientes del polinomio por el número.
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Por ejemplo: Sea la siguiente expresión
3 ( 2x3 − 3 x2 + 4x − 2) = 6x3 − 9x2 + 12x − 6
Multiplicación de un monomio por un polinomio
Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio.
3 x2 · (2x3 − 3x2 + 4x − 2) = 6x5 − 9x4 + 12x3 − 6x2
Multiplicación de polinomios
P(x) = 2x2 − 3 Q(x) = 2x3 − 3x2 + 4x
Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos segundo
polinomio.
P(x) · Q(x) = (2x2 − 3) · (2x3 − 3x2 + 4x) =
= 4x5 − 6x4 + 8x3 − 6x3 + 9x2 − 12x
Se suman los monomios del mismo grado.
= 4x5 − 6x4 + 2x3 + 9x2 − 12x
Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios
que se multiplican.
También podemos multiplicar polinomios de siguiente modo:
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DIVISIÓN ALGEBRAICA.
DIVISIÓN DE DOS MONOMIOS.
La división de dos monomios (dividendo y divisor) se efectúa hallando el cociente
de los coeficientes y el de los factores literales, multiplicando luego dichos
cocientes.
Ejemplo.
Efectuar la división de:
( ) ( )
DIVISIÓN DE UN POLINOMIO ENTRE UN MONOMIO.
Para dividir un polinomio entre un monomio se divide cada término del polinomio
entre el monomio y luego se suman los cocientes obtenidos.
Ejemplo: Dividir las siguientes expresiones:
( ) ( )
DIVISIÓN DE POLINOMIOS.
Resolver la división de polinomios:
P(x) = 2x5 + 2x3 − x − 8 Q(x) = 3x2 −2x + 1
P(x) : Q(x)
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A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es completo dejamos
huecos en los lugares que correspondan.
A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.
Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.
x5 : x2 = x3
Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y lo
restamos del polinomio dividendo:
Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del
divisor. Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo.
2x4 : x2 = 2 x2
Procedemos igual que antes.
5x3 : x2 = 5 x
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Volvemos a hacer las mismas operaciones.
8x2 : x2 = 8
10x − 6 es el resto, porque su grado es menor que el del divisor y por tanto no se
puede continuar dividiendo.
x3+2x2 +5x+8 es el cociente.
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EJERCICIOS PROPUESTOS
Simplificar:
1. A = 4x2 – {3x2 – 2[y – 3 (x2 – y)] + 4}
2. B = - [x + { - (x + y) – [ - x + (y – z) – (- x + y)] – y}]
Reducir la expresión:
3. C = (a2 – a – 7) – (a + 1)(a – 2)(a + 3)(a – 4) + (a + 2)(a – 3)(a + 4)(a – 5)
4. Si a = 2-1, calcular el valor numérico de: (aa – a-a)2 + (aa + a-a)2 – 2a-2a
Determinar el grado absoluto de los polinomios:
5. 7x7y2 + 4x3z10 – 30z9x11
6. 3a2b4 + 5ab4 – 2a7
Dados los polinomios:
P(x) = 4x2 − 1
Q(x) = x3 − 3x2 + 6x − 2
R(x) = 6x2 + x + 1
S(x) = 1/2x2 + 4
T(x) = 3/2x2 +5
U(x) = x2 + 2
Calcular:
3. P(x) + Q (x)
4. P(x) − U (x)
5. P(x) + R (x)
6. 2P(x) − R (x)
7. S(x) + T(x) + U(x)
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8. S(x) − T (x) + U(x)
Dados los polinomios:
P(x) = x4 − 2x2 − 6x − 1
Q(x) = x3 − 6x2 + 4
R(x) = 2x4 −2 x − 2
Calcular:
9. P(x) + Q(x) − R(x)
10. P(x) + 2 Q(x) − R(x)
11. Q(x)+ R(x) − P(x)
Resolver :
12. (x4 −2x2 +2 ) · (x2 −2x +3) =
13. (3x2 − 5x) · (2x3 + 4x2 − x +2) =
14. (2x2 − 5x + 6) · (3x4 − 5 x3 − 6 x2 + 4x − 3)
15. (x4 − 2x3 −11x2+ 30x −20) ÷ (x2 + 3x −2)
16. (x 6+ 5x4 + 3x2 − 2x) : (x2 − x + 3)
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TEMA 5
PRODUCTOS Y COCIENTES NOTABLES
LOS PRODUCTOS NOTABLES
Los productos notables son ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo
resultado puede escribirse por simple inspección, es decir, sin verificar la
multiplicación.
Las letras representan números reales, razón por la cual se pueden aplicar las
propiedades operatorias de los números reales para verificar la validez de cada
fórmula.
Los símbolos que aparecen en las fórmulas, por ejemplo x ó a representan
números reales, las cuales pueden sustituirse por expresiones algebraicas en
general.
CUADRADO DE LA SUMA DE DOS CANTIDADES
Elevar al cuadrado a + b equivale a multiplicar este binomio por sí mismo:
(a + b)2 = (a + b )(a + b)
Al desarrollar este producto tenemos:
a + b
ba
a2 + ab
bab 2
a2 + 2ab + b2
O sea (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
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Por tanto, el cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la
primera cantidad más el duplo de la primera por la segunda más el cuadrado de la
segunda cantidad.
Ejemplos:
1) Desarrollar (x + 4)2
Cuadrado del primero ………………….................x 2
Doble del primero por el segundo …….. 2x × 4 = 8x
Cuadrado del segundo …………………………….16
Por tanto:
(x + 4)2 = x 2 + 8x + 16
Realiza estas operaciones mentalmente y escribe el producto de manera directa.
Cuadrado de un monomio. Se eleva su coeficiente al cuadrado y se multiplica el
exponente de cada letra por 2.
Siendo el monomio 4ab2 decimos que:
(4ab 2)2 = 42a 1 × 2b 2 × 2 = 16a 2b 4
En efecto:
(4ab 2)2 = 4ab 2 × 4ab 2 = 16a 2b 4
Del mismo modo:
(5x 3y 4z 5)2 = 25x 6y 8z 10
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2) Desarrollar (4a + 5b 2)2
Cuadrado del primero
(4a)2 = 16a 2
Doble del primero por el segundo
2 × 4a × 5b 2 = 40ab 2
Cuadrado del segundo
(5b 2)2 = 25b 4
Luego
(4a + 5b 2)2 = 16a 2 + 40ab 2 + 25b 4
Las operaciones detalladas para mayor facilidad, no deben escribirse sino
verificarse mentalmente.
3) Desarrollar (3a 2 + 5x 3)2
(3a 2 + 5x3)2 = 9a 4 + 30a 2x 3 + 25x 6
4) Efectuar (7ax4 + 9y5)(7ax 4 + 9y5)
(7ax4 + 9y5) + (7ax4 + 9y5) = (7ax4 + 9y5)2 =
49a2x8 + 126ax4y5 + 81y10
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CUADRADO DE LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES
Elevar (a – b) al cuadrado equivale a multiplicar esta diferencia por sí misma:
Al desarrollar este producto tendremos:
a – b
a - b
a2 -ab
-ab – b2
a2 – 2ab + b2
O sea: (a – b)2 = a2 – 2ab + b2
Por tanto, el cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al
cuadrado de la primera menos el duplo de la primera por la segunda
más el cuadrado de la segunda cantidad.
Ejemplos:
1) Desarrollar (x -5)2
(x – 5)2 = x2 – 10x + 25
2) Efectuar (4a2 – 3b3)2
(4a2 -3b3)2 = 16a4 -24a2b3 + 9b6
PRODUCTO DE LA SUMA POR LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES
Siendo el producto (a + b)(a – b)
Al desarrollar esta multiplicación tenemos:
(a -b )2 = (a -b )(a -b )
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22
2
2
ba
bab
aba
ba
ba
O sea (a + b)(a – b) = a 2 – b 2
Por tanto la suma de dos cantidades multiplicada por su diferencia es igual al
cuadrado del minuendo (en la diferencia) menos el cuadrado del sustraendo.
Ejemplos:
1) Efectuar (a + x)(a – x)
2) Efectuar (2a + 3b)(2a – 3b)
3) Efectuar (5a n + 1 + 3a m)(3a m – 5a n + 1)
Dado que el orden de los sumandos no altera la suma, 5a n + 1 + 3a m es lo mismo
que 3a m + 5a n + 1 pero debe considerarse que 3a m – 5a n + 1 no es lo mismo que
5a n + 1 + 3a m. Por eso hay que fijarse en la diferencia y escribir el cuadrado del
minuendo menos el cuadrado del sustraendo:
(a + x)(a – x) = a 2 – x 2
(2a + 3b)(2a - 3b) = (2a)2 - (3b)2 = 4a 2 – 9b 2
(5a n + 1 + 3a m)(3a m - 5a n + 1) = (3a m)2 - (5a n + 1)2 = 9a 2m - 25a 2n + 2
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RESULTADO DE LA SUMA POR LA DIFERENCIA
1) Efectuar (a + b + c)(a + b – c)
Este producto puede convertirse en la suma de dos cantidades multiplicada por su
diferencia:
(a + b + c)(a + b – c) = [(a + b) + c][(a + b) – c]
= (a + b)2 – c 2
= a 2 + 2ab + b 2 – c 2
Donde desarrollamos (a + b)2 según la regla del primer caso.
2) Efectuar (a + b + c)(a – b – c)
Si introducimos los dos últimos términos del primer trinomio en un paréntesis
precedido del signo +, lo cual no hace variar los signos, y los dos últimos términos
del segundo trinomio en un paréntesis precedido del signo -, donde sí cambian los
signos, tendremos:
(a + b + c)(a – b – c) = [a + (b + c)][a – (b + c)]
= a 2 – (b + c)2
= a 2 – (b 2 + 2bc + c 2)
= a 2 – b 2 – 2bc – c 2
3) Efectuar (2x + 3y – 4z)(2x – 3y + 4z)
(2x + 3y – 4z)(2x – 3y + 4z) = [2x + (3y – 4z)][2x – (3y – 4z)]
= (2x)2 – (3y – 4z)2
= 4x 2 – (9y 2 – 24y z + 16z 2)
= 4x 2 – 9y 2 + 24y z – 16z 2
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1.1. CUBO DE UN BINOMIO
1) Si elevamos a + b al cubo tendremos:
(a + b)3 = (a + b)(a + b)(a + b)
= (a + b)2(a + b)
= (a 2 + 2ab + b 2)(a + b)
Al desarrollar esta multiplicación queda:
a2 + 2ab + b2
ba
a3 + 2a2b + ab2
a2b + 2ab2 + b3
babbaa 2233
O sea (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Esto significa que el cubo de la suma de dos cantidades es igual al cubo de la
primera cantidad más el triple del cuadrado de la primera por la segunda, más el
triple de la primera por el cuadrado de la segunda, más el cubo de la segunda
cantidad.
2) Si elevamos a – b al cubo tendremos:
(a – b)3 = (a – b)2(a – b)
= (a2 – 2ab + b2)(a – b)
Y al desarrollar esta multiplicación:
a2 – 2ab + b2
a b
a3 – 2a2b + ab2
a2b + 2ab2 - b3
a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
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O sea (a – b)2 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
Esto significa que el cubo de la diferencia de dos cantidades es igual al cubo de
la primera cantidad, menos el triple del cuadrado de la primera por la segunda,
más el triple de la primera por el cuadrado de la segunda, menos el cubo de la
segunda cantidad.
Ejemplos:
1) Desarrollar (a + 1)3
(a + 1)3 = a 3 + 3a2(1) + 3a (12) + 13 = a3 + 3a2 + 3a + 1
2) Desarrollar (x – 2)3
(x – 2)3 = x 3 – 3x 2(2) + 3x (22) – 23 = x3 – 6x2 + 12x – 8
3) Desarrollar (4x + 5)3
(4x + 5)3 = (4x)3 + 3(4x)2(5) + 3(4x)(52) + 53 = 64x3 + 240x2 + 300x + 125
4) Desarrollar (x2 – 3y)3
(x2 – 3y)3 = (x2)3 - 3(x2)2(3y)+ 3x2(3y)2 - (3y)3 = x6 - 9x4y + 27x2y2 - 27y3
PRODUCTO DE DOS BINOMIOS DE LA FORMA (x + a)(x + b)
La multiplicación nos da:
x + 2 x – 3 x – 2 x + 6 x + 3 x – 4 x + 5 x - 4 x2 + 2x x2 - 3x x2 - 2x x2 + 6x 3x + 6 - 4x + 12 + 5x – 10 - 4x - 24 x2 + 5x + 6 x2 – 7x + 12 x2 + 3x - 10 x2 + 2x – 24
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En los cuatro ejemplos expuestos se cumplen las siguientes reglas:
1) El primer término del producto es el producto de los primeros términos de los
binomios.
2) El coeficiente del segundo término del producto es la suma algebraica de los
segundos términos de los binomios y en este término la x está elevada a un
exponente, que es la mitad del que tiene esta letra en el primer término del
producto.
3) El tercer término del producto es el producto de los segundos términos de los
binomios.
PRODUCTO DE DOS BINOMIOS DE LA FORMA (mx + a)(nx + b)
En esta forma los términos en x tienen distintos coeficientes, y el producto de dos
binomios puede hallarse fácilmente siguiendo los pasos de este esquema:
Para hallar el producto de (3x + 5)(4x + 6):
30
12x2
(3x + 5) (4x + 6) = 12x2 + 20x + 18x + 30
20x
18x
Al reducir los términos semejantes tenemos: 12x2 + 38x + 30
Ejemplos
1) Multiplicar (x + 7)(x - 2)
Coeficiente del segundo término................................................... 7 - 2 = 5 Tercer término ......................................................................7 × (- 2) = - 14 Luego ……………………………………………. (x + 7)( x - 2) = x2 + 5x - 14
2) Efectuar (x - 7)( x - 6)
Coeficiente del segundo término .....................................(- 7) + (- 6) = - 13
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Tercer término .................................................................(- 7) × (- 6) = + 42
Luego …………………………………………... (x + 7)(x - 6) = x 2 + 13x + 42
Suprime los pasos intermedios y escribe el producto directamente.
3) Al efectuar (a - 11)(a + 9), tenemos (a - 11)(a + 9) = a2 - 2a - 99
4) Al efectuar (x2 + 7)(x2 + 3), tenemos (x2 + 7)(x2 + 3) = x4 + 10x2 + 21
Obsérvese que, como el exponente de x en el primer término del producto es 4, el
exponente de x en el segundo término es la mitad de 4, o sea x2.
5) Al efectuar (x3 – 12)(x3 – 3), tenemos (x3 – 12)(x3 – 3) = x6 – 15x3 + 36
COCIENTES NOTABLES Son divisiones entre expresiones algebraicas que pueden calcularse de manera
directa sin necesidad de realizar la operación, sino mediante una regla conocida.
También se les clasifica según características particulares.
Los cocientes notables más importantes se pueden desarrollar a partir de algunos
de los productos notables vistos anteriormente.
COCIENTE DE LA DIFERENCIA DE LOS CUADRADOS DE DOS CANTIDADES ENTRE LA SUMA DE LAS CANTIDADES
baba
ba
22
Ejemplos:
1)
( )( )
2) Resolver
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( )( )
( )
3) Resolver
( )( )
COCIENTE DE LA DIFERENCIA DE LOS CUADRADOS DE DOS CANTIDADES
ENTRE LA DIFERENCIA DE LAS CANTIDADES
baba
ba
22
Ejemplos:
1) Resolver
( )( )
2) Resolver
( )( )
3) Resolver
( )( )
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COCIENTE DE LA SUMA ENTRE LA SUMA DE LOS CUBOS DE DOS
CANTIDADES ENTRE LA SUMA DE LAS CANTIDADES
2233
bababa
ba
Ejemplos:
1) Resolver
( ) ( )
2) Resolver
( ) ( ) ( )
COCIENTE DE LA DIFERENCIA DE LOS CUBOS DE DOS CANTIDADES ENTRE LA DIFERENCIA DE LAS CANTIDADES
2233
bababa
ba
Ejemplos:
1) Resolver
2) Resolver
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COCIENTE DE LA SUMA O DIFERENCIA DE POTENCIAS IGUALES DE DOS CANTIDADES ENTRE LA SUMA O DIFERENCIA DE LAS CANTIDADES PRIMER CASO
a) 3223
44
babbaaba
ba
b) 432234
55
babbabaaba
ba
SEGUNDO CASO
322344
babbaaba
ba
TERCER CASO
43223455
babbabaaba
ba
CUARTO CASO
a)
ba
ba 44
b)
ba
ba 44
En general:
COCIENTE DE LA FORMA ba
ba nn
122321
nnnnnnn
bab...babaaba
ba
“ESTE COCIENTE ES POSIBLE PARA UN EXPONENTE N PAR O IMPAR”
Para calcular un cociente de esta forma, se tiene en cuenta:
El cociente tiene tantos términos como lo indique n
Todos los signos del cociente son positivos
El primer término del cociente es a n-1
El último término del cociente es b n-1
Los exponentes de a disminuyen de 1 en 1, mientras los de b aumentan de
1 en 1
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COCIENTE DE LA FORMA ba
ba nn
122321
nnnnnnn
bab...babaaba
ba
“ESTE COCIENTE SOLAMENTE ES POSIBLE SI EL EXPONENTE N ES PAR”
COCIENTE DE LA FORMA ba
ba nn
122321 ...
nnnnnnn
babbabaaba
ba
“ESTE COCIENTE SOLAMENTE ES POSIBLE PARA UN EXPONENTE IMPAR”
EJERCICIOS PROPUESTOS
Por Productos notables resolver:
1. M = ( a + b ) ( a2 + b2 ) ( a3 – b3 ) (a2 – ab + b2) (a4 – a2 b2 + b4) + b12
2. 2
33
42
)()(b
a
babaK
3. (ax + 1)2 (ax – 1)2 (a2x + 1)2
4. (a + 2)( a – 2) (a2 – 2 a + 4) (a2 + 2 a + 4)
5. (x2 – x + 1) (x2 + x + 1) ( x4 – x2 + 1) (x4 – 1)
6. 1m2m1m2m 22
7. 333 ba
8. 22 yxy3x9yx3
9. 33333 816424
10. q4p3q16pq12p9 22
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Por Cocientes notables resolver:
11. 12
18 3
a
a
12. bax
bxa
333
13. 22
66
ba
ba
14. 2m
16m4
15. zx4
zx16
2
24
16.
3
q
2
p27
q
8
p 33
17. nm2
nm8
2
36
18. 2x
4x2
19. n4m
n64m 33
20. qp3
qp27 33
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TEMA 6
FACTORIZACIÓN
FACTORES Y DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES.-
o Factorización, es la operación que tiene por finalidad transformar una
expresión algebraica racional o entera en otra equivalente que sea
igual al producto de sus factores primos o enteros.
o Factorizar significa convertir una suma algebraica en producto de sus
factores.
MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN.-
CASOI. FACTOR COMÚN
El factor común de dos o más expresiones algebraicas es la parte
numérica y/o literal que esté repetida en dichas expresiones. Puede
presentarse de tres formas:
a) Factor común monomio
Se llama así, cuando el factor común a todos los
términos del polinomio es un monomio.
Por ejemplo:
1) ax + ay + az = a(x + y + z)
2) 26x6 – 2x4 + 14x2 = 2x2(13x4 – x2 +7)
3) 100a2b3c – 150ab2c2 + 50ab3c3 – 200abc2 = 50abc(2ab2 – 3bc +
3bc + b2c2 - 4c)
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b) Factor común polinomio
Se llama así cuando el factor común que aparece en la
expresión es un polinomio. Por ejemplo:
1) a(x + y) – b(x + y) = (x + y)(a - b)
2) 9(u + v + w)2 – 18(u + v + w)3 = 9(u + v + w)2 [1-2(u + v +
w)]
= 9(u + v + w)2 (1 – 2u – 2v -
2w)
3) 4m(a2 + x -1) + 3n(x-1+a2) = 4m(x -1 + a2) + 3n(x-1+a2)
= (x -1 + a2)(4m + 3n)
c) Factor común por agrupación
Ejemplo:
1) ax – bx + ay – by = (ax + ay) – (bx + by)
= a(x + y) – b(x+y)
= (x + y)(a - b)
2) 2a2x – 5a2y + 15by – 6bx = (2a2x – 6bx) – (5a2y – 15by)
= 2x(a2 – 3b) – 5y(a2 – 3b)
= (a2 – 3b) (2x – 5y)
3) 2x2y + 2xz2 + y2z2 + xy3 = (2x2y + xy3) + (2xz2 + y2z2 )
= xy(2x + y2) + z2(2x + z2 )
= (2x + y2) + (xy + z2 )
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CASO II. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
Este caso de factorización es de la forma:
a2 + 2ab +b2 = (a + b)2
a2 - 2ab +b2 = (a - b)2
Este trinomio se caracteriza por:
a) Tener dos términos que son cuadrados perfectos y siempre con signo
positivo.
b) El otro término es el doble producto de las raíces cuadradas de
los cuadrados perfectos. Ejemplo:
1) 4x2 – 12xy + y2 = (2x - 3y)2
2) 4(1 + a)2 – 4(1 + a)(b - 1) + (b - 1)2 = [2(1 + a) + (b - 1)]2
= [2 + 2a + b - 1)]2
= [2a + b + 1)]2
3) 9(x - y)2 + 12(x - y)(x + y) + 4(x + y)2 = [3(x - y) + 2(x + y)]2
= [3x - 3y + 2x + 2y)]2
= [5x - y)]2
CASO III. DIFERENCIA DE CUADRADOS
Este caso de factorización es de la forma:
a2 – b2 = (a + b)(a - b)
Para factorizar esta diferencia de cuadrados, se extrae la raíz cuadrada
de “a” y de “b” y se forma un producto de la diferencia de las raíces
multiplicada por la suma de llas.
Ejemplo:
1) 4x6 – 81y2 = (2x3)2 – (9y)2
2) 16x2y2 – 81a2b2c2 = (4xy)2 – (9abc)2
= (4xy + 9abc) (4xy - 9abc)
3) a2nb4n – 25n4 = (anb2n)2 – (5n2)2
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= (anb2n +5n2) (anb2n - 5n2)
CASO IV. TRINOMIO DE LA FORMA: x2 + bx + c
Ejemplo:
1) x2 + 5x + 6 = (x+3)(x+2)
2) y2 + 50y + 336 = (y + 42)(y+8)
3) x2 -2x – 528 = (x - 24)(x + 22)
CASO V. TRINOMIO DE LA FORMA: ax2 + bx + c
Ejemplo:
1) 2x2 + 29x + 90
Primera Forma de Solución:
2x2 + 29x + 90
// Multiplicando y Dividiendo entre dos
=((2x)2 + 29(2x) + 180)/2
Factorizando caso IV
= [(2x + 20)(2x + 9)]/2
Simplificando:
= (x + 10)(2x + 9)
Segunda Forma de Solución: Por la Regla de la Aspa
ax2 + bx + c = (mx + p)(nx+q)
m p
n q
Se cumple: 1) mn = a
2) pq = c
3) mq + np = b
El Problema consiste en hallar dos pares de números: m, n, p y q tales
que: mn=a, pq=c y la suma del producto cruzado sea b, es decir: mq +
np = b, estos números se obtienen por ensayos.
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Aplicando la Regla de la Aspa al ejemplo:
2x2 + 29x + 90 = (x + 10)(2x+9)
1 10
2 9
Se cumple: 1) mn = 2
2) pq = 90
3) mq + np = 9 + 20 = 29
2) 20a2 - 7a - 40
Primera Forma de Solución:
20a2 - 7a - 40
// Multiplicando y Dividiendo entre veinte
=((20a)2 - 7(20a) - 80)/20
Factorizando caso IV
= [(20a - 32)(20a + 25)]/20
Simplificando:
= (5a - 8)(4a + 5)
Segunda Forma de Solución:
Aplicando la Regla de la Aspa al ejemplo:
20a2 - 7a - 40 = (5a - 8)(4a + 5)
5a -8
4a 5
Se cumple: 1) mn = 20a2
2) pq = -40
3) mq + np = 25a – 32a = -7ª
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3) 4n2 + n - 33
Primera Forma de Solución:
4n2 + n - 33
// Multiplicando y Dividiendo entre cuatro
=((4n)2 + (4n) - 132)/4
Factorizando caso IV
= [(4n - 12)(4n -11 25)]/4
Simplificando:
= (n + 3)(4n - 11)
Segunda Forma de Solución:
Aplicando la Regla de la Aspa al ejemplo:
4n2 + n - 33 = (n + 3)(4n - 11)
1 3
4 -11
Se cumple: 1) mn = 4
2) pq = -33
3) mq + np = -11 + 12 = 1
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (mcm).-
El mcm de dos o más polinomios es el polinomio de menor grado y menor
coeficiente que es el múltiplo común de cada uno de ellos. Para hallar el mcm
de dos o más polinomios se sigue el siguiente procedimiento:
Paso 1: Se determina si se puede factorizar las expresiones.
Paso 2: Se descompone cada polinomio en el producto de sus factores primos.
Paso 3: El mcm es igual al producto de todos los factores comunes y no
comunes, para lo cual se toma a los factores con mayor exponente.
Ejm.: Hallar el mcm de los siguientes polinomios: 3x+3,6x−6
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Factorizamos cada polinomio:
3(x+1),6(x−1)
Una vez factorizados los polinomios procedemos a sacar los factores primos de
los coeficientes numéricos 3 y 6.
3 3 6
2 1 3
3 1
Tomamos los factores comunes y no comunes con mayor exponente con los
cuales obtenemos su producto. De los coeficientes numéricos sería x3=6 y
de la parte literal sería (x+1)(x–1), con lo cual concluimos que el mcm es
igual a:
mcm=6(x+1)(x– 1)
MÁXIMO COMÚN DIVISOR.-
El MCD de dos o más polinomios es el polinomio de mayor grado y mayor
coeficiente que sea divisor de los polinomios dados.
Para hallar el MCD se debe proceder a:
Paso 1: Se factoriza si se puede las expresiones que se estudia.
Paso 2: Se descompone cada polinomio en el producto de sus factores primos.
Paso 3: El MCD es igual al producto de todos los factores comunes,
tomando cada factor con el menor exponente.
Ejm.: Hallar el MCD de los siguientes polinomios: 48r3t4,54r2t6,60r4t2
Primero determinamos si se puede factorizar o no los polinomios.
Posteriormente se obtiene el producto de los factores primos.
482
242
122 62 33 1
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54 2 27 3 93 33 1 60 2 30 2 15 3 55 1
Para hallar el MCD solo tomamos el producto de los factores comunes con su
menor exponente, así: MCD=2x3r2t2=6r2t2
EJERCICIOS.-
Factorizar cada uno de las siguientes expresiones algebraicas, aplicando según
corresponda los casos estudiados:
EJERCICIOS RESUELTOS:
[1] a20 – a16 + a12 – a8 + a4 – a2 = a2 (a18 – a14 + a10 – a6 + a2 – 1)
[2] x(2a + b + c) – 2ª – b – c = x(2a + b + c) – (2a + b + c)
= (2a + b + c)(x - 1)
[3] 4a3x – 4a2b + 3bm – 3amx = (4a3x – 3amx) + ( 3bm – 4a2b)
= ax (4a2 – 3m) - b(4a2 – 3m)
= (4a2 – 3m)(ax - b)
[4] m2 – 8m – 1008 = (m - 36)(m - 28)
[5] (a - 1)2 + 3( a - 1) – 108 = [(a - 1) + 12][ (a - 1) - 9]
= (a + 11)(a - 10)
EJERCICIOS PROPUESTOS:
[6] x8y8 - 15 x4y4 – 100a2 Resp. (x4y4 – 20a)( x4y4 + 5a)
[7] (2a - c)2 - (a + c)2 Resp. 3a(a – 2c)
[8] Hallar el mcm y MCD de los siguientes polinomios y factorizar su
resultado
a) 9a2bx,12ab2x2,18a3b3x
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b) 6y2z4,24y3z2
Resp.
a) mcm: 36a3b3x2; MCD: 3abx
b) mcm: 24y3z4; MCD: 6y2z2
[9] 6x4 + 5x2 - 6 Resp.(3x2 – 2) (2x2 + 3)
[10] up+q + vp+q + (uv)p + (uv)q Resp.(uq + vp) (up + vq)
EJERCICIOS CON RESPUESTAS DE SELECCIÓN MULTIPLE
[11] x16 – y16
Resp. Elegir la respuesta correcta:
a) (x - y)(x + y)(x2 + y2) (x4 + y4) (x6 + y6)
b) (x - y)(x + y)(x2 + y2) (x4 + y4) (x8 + y8)
c) (x - y)(x + y)(x2 + y2) (x4 + y4) (x10 + y10)
[12] 64a4b8 – 64a2b4c4d6 + 16c8d12
Resp. Elegir la respuesta correcta:
a) (8a2b4 – 4c4d6) (8a2b4 + 4c4d6)
b) (8a2b4 – 4c4d6)
c) (8a2b4 – 4c4d6)2
[13] a8 + b8 + 2a2b2(a4 + b4) + 3a4b4
Resp. Elegir la respuesta correcta:
a) a4b4 – a2b2 + b4
b) (a4b4 – a2b2 + b4)2
c) a4b4 – a2b2 + b4 + 1
[14] u8 – 14u4 + 25
Resp. Elegir la respuesta correcta:
a) (U4 – 2u2 – 5)2
b) (U4 – 2u2 – 5) (U4 + 2u2 – 5)
c) (U4 – 2u2 – 5)
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[15] 12(x – y)2 + 7(x - y)- 12
Resp. Elegir la respuesta correcta:
a) (4x – 4y + 3)(3x – 3y - 4)
b) (4x – 4y - 3)(3x – 3y + 4)
c) (4x – 4y - 3)(3x – 3y - 4)
EJERCICIOS CON RESPUESTAS
01. (
)
02.
(
)
03. ( )
04. ( ) ( )( ) ( )
05.
06.
07. ( ) ( )
08.
09.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
PRUEBA DE SUFICIENCIA ACADEMICA GESTION 2013
MATEMATICAS
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TEMA 7
EXPONENTES, RADICALES Y FRACCIONES ALGEBRAÍCAS
EXPONENTES
Exponente natural
Se define:
An=A.A.A…….A n
“n”veces
LEYES DE EXPONENTES
Es el conjunto de teoremas y definiciones que estudian a las diferentes relaciones,
operaciones y transformaciones que se puedan realizar con los exponentes.
En esta sección se hace un resumen delas propiedades de la ley de los exponentes que son
válidos para cualquier número ncon “a” y “b”, considerados como expresiones
algebraicas
Producto de dos potencias de la misma base:
aman amn
Potencia de una potencia:
(am)n amn
Potencia del producto de dos factores
(ab)n anbn
Cociente de dos potencias de la misma base:
am / an
am-n
,mn,a0
Exponente Cero:
a0 1
LEYES DE SIGNOS
+ * + = + - * - = + + * - = - - * + = -
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Producto de dos potencias de la misma base:
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a 3a4 = a3+4 = a7
2. Cociente de dos potencias de la misma base:
a6 a6 - 2 = a4
a2
3. Potencia de una potencia:
(a2)6 = a2*6 = a
4. Potencia del producto de dos factores:
(a * b)6 = a6 * b6
RADICALES
Llamaremos radical simple a la expresiónn a , cumpliéndose que:
Las cantidades “a” y “b” serán positivas siempre que “n” sea un número par.
LEY DE RADICALES
La ley de los radicales se basa en las leyes de los exponentes, pues:
√
EJERCICIOS CON RESPUESTAS
01.
(
)
02. (
)
03. (
)
04.
05. (
√ √ ) ( )
06.
07. ( √
√ ) (
√
√ )
08.
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MATEMATICAS
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√
√
√
09. √( √
)( √
)( )
10.
( )( )
11.
√ √
12. √
√
13. √ √ √
14. ( √
√
√
) ([√ ]
√
[√ ] √
√ √
)
15. √
16.
17. ( ) ( )
( ) ( )
18.
19. (
) (
) (
)
20. (
)
PRUEBA DE SUFICIENCIA ACADEMICA GESTION 2013
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TEMA 8
ECUACIONES
DEFINICIÓN
Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, y se
denominan miembros de la ecuación. Una ecuación es una igualdad y el
resolver implica el encontrar el valor de las variables que están en la expresión
algebraica, en las que aparecen valores conocidos (datos), y desconocidos
(incógnitas), relacionados mediante operaciones matemáticas. Los valores
conocidos pueden ser números, coeficientes o constantes; y también variables
cuya magnitud se haya establecido como resultado de otras operaciones. Las
incógnitas, representadas generalmente por letras, constituyen los valores que
se pretende hallar.
Las ecuaciones que analizaremos en este curso son:
i) Ecuaciones lineales con una incógnita.
ii) Ecuaciones lineales con dos incógnitas.(sistema de dos ecuaciones)
iii) Ecuaciones de segundo grado con una incógnita (ecuación de segundo
grado)
ECUACIONES LINEALES CON UNA INCÓGNITA.
Son aquellas donde hay una sola variable en la ecuación y el resolverla implica
encontrar el valor de la variable.
Ejemplo 1: Si la altura de una persona (cm) madura es, dos veces la longitud de
su brazo (cm) mas 15 cm. Determinar la altura de una persona en metros, si la
longitud de su brazo es 75 cm.
Ecuación que relaciona la altura (y) y la longitud del brazo (x) en centímetros:
2 15y x= +
Reemplazamos en la ecuación:
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ECUACIONES LINEALES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS.
Son aquellas que conforman un sistema de dos ecuaciones y el resolver implica
encontrar los valores de las dos incógnitas, para resolver esta ecuación existen
cuatro métodos, que son:
i) Método por igualación.
ii) Método por sustitución
iii) Método por reducción
iv) Método por determinantes
i) Método por igualación.
El método de igualación para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos
incógnitas consiste en despejar una de las dos incógnitas en las dos ecuaciones.
Sea cual sea el valor de esta incógnita, ha de ser el mismo en las dos ecuaciones,
por tanto podemos igualar las dos expresiones obteniendo una ecuación con una
incógnita, que podemos resolver con facilidad. Una vez conocido el valor de una
de las dos incógnitas lo sustituimos en una de las ecuaciones iniciales y
calculamos la segunda.
Ejemplo 2: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
( )
( )
De ambas ecuaciones (1) y (2) despejaremos la incógnita x
De (1):
De (2):
Como:
2 75 15
165
y
y cm
= × +
=1
100
m
cm× 1,65m=
1 2x y= -
1 3x y= - +
x x=
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Entonces:
Despejar y:
Reemplazar en (1):
Solución:
ii) Método por sustitución.
El método de sustitución consiste en despejar una de las incógnitas en una de las
ecuaciones y sustituirlo en la otra, dando lugar así a una ecuación con una
incógnita. Una vez resuelta sustituimos su valor en la ecuación despejada y
calculamos la segunda incógnita.
Ejemplo 3: Resolver la siguiente ecuación.
( )
( )
De (2) despejar y:
Reemplazar en (1)
Despejar x:
1 2 1 3y y- = - +
3 2 1 1
5 2
2
5
y y
y
y
+ = +
=
=
21 2
5
41
5
1
5
x
x
x
= - ×
= -
=
8y x= +
( )3 2 8 4x x- + =
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Reemplazar en (2):
Solución:
iii) Método por reducción.
El método de reducción consiste en multiplicar cada una de las ecuaciones por los
valores necesarios, de forma que los coeficientes de una de las incógnitas sean
los mismos cambiados de signo. Conseguido esto, se suman las dos ecuaciones y
la incógnita que tiene los coeficientes opuestos se elimina, dando lugar a una
ecuación con una incógnita, que se resuelve haciendo las operaciones necesarias.
Conocida una de las incógnitas se sustituye su valor en una de las ecuaciones
originales y calculamos la segunda.
Ejemplo 4: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones.
( )
( )
Conseguir que los coeficientes de una de las incógnitas sean los mismos pero
cambiados de signo:
3 2 16 4
4 16
20
x x
x
x
- - =
= +
=
20 8
28
y
y
= +
=
( )20; 28 20,28x y o= =
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Reemplazamos en (2):
Solución:
iv) Método por determinantes.
Se resuelve por la regla de Cramer, es un método de álgebra lineal para resolver
sistemas de ecuaciones. Su base teórica no es tan sencilla como los métodos
vistos hasta ahora y emplea el cálculo de determinantes, y da lugar a una forma
operativa sencilla y fácil de recordar, especialmente en el caso de dos ecuaciones
con dos incógnitas.
Ejemplo 5: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones.
Para determinar la variable x, sus coeficientes son reemplazados por el resultado
de cada ecuación. Se multiplica en diagonal, la diagonal es positiva y la
diagonal es negativa
53 8
8
53 8
8
69
3 8
23 7 2
8 8
y
y
y
y o y
- + =
= +
=×
= =
( ) ( )
7 2
7 3 2 88 3
1 2 1 3 5 2
5 3
21 16 5
3 10 7
5
7
x
x
x
-
- × - --= =
× - ×
- + -= =
- -
=
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Para determinar la variable y:
Solución:
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCÓGNITA.
Son aquellas ecuaciones que tienen la forma general:
Donde a, b, c son constantes y a es diferente de cero, para resolver se puede
utilizar la ecuación general o el método de factorización del aspa.
Ejemplo 6: Resolver la siguiente ecuación cuadrática por a) fórmula y b)
factorización.
a) Fórmula; donde a = 1; b = – 3;c = – 10. Reemplazando en la ecuación
cuadrática:
( ) ( )
1 7
8 1 5 75 8
7 7
8 35 27
7 7
27 6 3
7 7
y
x
x o x
-
- × - --= =
- -
- += =
- -
= - = -
2 0ax bx c+ + =
2 3 10 0x x- - =
2 4
2
b b acx
a
- ± -=
( ) ( ) ( )2
3 3 4 1 10
2 1
3 9 40
2
3 7
2
x
x
x
- - ± - - × ×-=
×
± +=
±=
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Hallando los dos valores:
b) Por factorización.
Despejando cada factor:
EJERCICIOS PROPUESTOS.-
Ecuaciones lineales:
1) El tamaño del cuerpo de un pez es 2 veces el tamaño de su cabeza.
Determinar la longitud de la cabeza de un pez que tiene una longitud de 54
cm
a) 27 cm b) 18 cm c) 6 cm d) 35 cm e) ninguno
2) Hallar x: ba
x
ba
x
a
1
a) a-b b) (a+b)(a-b) c) (a+b)(a-b)/(2a) d) (a+b)(a-b)/(2b) e) ninguno
3) Hallar el valor de x: bc
cx
ac
bx
ab
ax
a) cba
a2
b)
cba
c2
c)
cba
ba 22
d)
cba
a2
e)
cba
b2
Sistema de ecuaciones: Resolver por cualquier método.
1 1 1
2 2 2
3 7 10; ; 5
2 2
3 7 4; ; 2
2 2
x x x
x x x
+= = =
- -= = = -
( )( )
2 3 10 0
5 2 0
x x
x x
- - =
- + =
1 1
2 2
5 0; 5
2 0; 2
x x
x x
- = =
+ = = -
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4)
5)
6)
Ecuaciones cuadráticas. Resolver por cualquier método.
7)
a) b) c) d) e) ninguno
8)
a) b) c) d) e) ninguno
Miscelánea.
9) A nivel del mar un globo tiene un radio de 12 cm, si este sube a 120
m.s.n.m. su volumen se incrementa en un 75 %, ¿Cuál es el radio del globo
a 120 m.s.n.m.? (considerar que 3r3
4v )
a) 1,717 cm3 b) 67,12 cm
3 c) 14,46 cm
3 d) 965,5 cm
3 e) 0,904 cm
3
26 7 5 0x x- - =
5 1;
3 2-
5 1;
3 2-
5 1;
3 2- -
5 1;
3 2
( )2 5 4 4 2x x x x+ + = -
5;4
3
33;
2-
1;4
3
1 1;
3 2- -
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10) Cierto doctor (mejor mantener el anonimato) fue beneficiado en su salario
con un incremento del 15 % y un bono fijo de 250 Bs. Adquiere de ese
modo un sueldo fijo de 6000 Bs. ¿Cuánto era su sueldo inicialmente?
a) 5000 Bs b) 5500 Bs c) 4500 Bs d) 4800 Bs e) ninguno
11) Cierto granjero tiene conejos y gallinas, este cuenta 50 cabezas y 140
patas. Determinar cuánto tiene de cada especie. (considerar que sus
animales son normales – nada de animales con 3 cabezas ni cinco patas)
a) 30 conejos, 20 gallinas b) 25 conejos, 25 gallinas c) 20 conejos, 30 gallinas d) ninguno
12) En un cultivo bacteriano se observó que una bacteria X “llena” toda la caja
Petri en 6 días y que una bacteria Y lo “llena” en 3días. Si se sembrara
ambas bacterias en la caja Petri, ¿en que tiempo lo “llenarían”?
a) 9 días b) 6 días c) 3 días d) 1 día e) ninguno
EJERCICIOS CON RESPUESTAS
01.
02. ( )
03.
04.
05.
06.
07.
( )
08.
09.
10.
√
11.
√
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MATEMATICAS
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12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
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TEMA 9
LOGARITMOS
DEFINICIÓN DE LOGARITMOS
Logaritmo sólo es otra forma de expresar la potenciación
Aquí están los nombres que reciben cada uno de los elementos:
Representación gráfica de logaritmos
en varias bases:
el rojo representa el logaritmo en base
e,
el verde corresponde a la base 10,
y el púrpura al de la base 1,7.
Los logaritmos de todas las bases
pasan por el punto (1, 0), esto es
debido a que cualquier número elevado a la cero es igual a uno, y también los
puntos (b, 1) para la base b, debido a que cualquier número elevado a la unidad
es igual a sí mismo.
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El logaritmo de un número, en una base dada, es el exponente al cual se
debe elevar la base para obtener el número. Siendo a la base, “x” el número
e y el logaritmo. con a>0 y a≠1
Logaritmos decimales: Son los que tienen base 10. Se representan por log (x).
Logaritmos neperianos: Son los que tienen base e. Se representan por ln (x) o
L(x).
Por ejemplo:
De la definición de logaritmo podemos deducir:
No existe el logaritmo de un número con base negativa.
No existe el logaritmo de un número negativo.
No existe el logaritmo de cero.
El logaritmo de 1 es cero.
El logaritmo en base a de a es uno.
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El logaritmo en base a de una potencia en base a es igual al exponente.
Propiedades de los logaritmos:
1. El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores:
2. El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el
logaritmo del divisor:
3. El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo
de la base:
4. El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el logaritmo del radicando y el
índice de la raíz:
5. Cambio de base:
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Ecuaciones logarítmicas
1.
2.
3.
4.
5.
Logaritmo natural o neperiano
El logaritmo con base e se denomina logaritmo natural y se denota ln x, esto
quiere decir, que ln x es la inversa de la función exponencial definida por f(x) =
ex.
El logaritmo natural es un logaritmo que tiene como base el número
2,718281828…
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e
n
LnA n
Log A n
A e
2,718281828 eLog Log LnA A A
eLog A LnA
Debido a que es muy incómodo trabajar con un número que tiene muchos
decimales, se le ha asignado la letra “e”:
e = 2,718281828…
El logaritmo natural de x (ln x) es la potencia a la que se debe elevar e para
obtener x.
El nombre de logaritmo neperiano proviene del escocés John Neper, inventor de
los primeros logaritmos y su uso es fundamentalmente en el cálculo diferencial.
Algunas propiedades básicas de los logaritmos naturales son las siguientes:
ln 1 = 0
ln e = 1
ln ex = x
eln x = x
ln (x * y) = ln x + ln y
ln(x/b) = ln x – ln y
ln (x)r = rln x
Así que cuando se aplica la definición de logaritmos a un ejercicio cualquiera
debemos tomar en cuenta este cambio de notación. Por ejemplo:
Otro ejemplo
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Ejercicios Propuestos
1) Hallar el logaritmo de:
a) log2 4 =
b) log3 27 =
c) log2 16 =
d) log5 125 =
e) log3 243 =
f) log2 0,5 =
g) log2 0,25 =
h) log2 0,125 =
i) log6 216 =
j) log 100000 =
Respuesta.: a) 2, b) 3, c) 4, d) 3 e) 5, f) – 1, g) – 2,
h) – 3, i) 3, j) 5
2) Resolver aplicando las propiedades de logaritmos.
a) log (5 . 3) = ? b) log (23 . 3) = ? c) log (7 : 3) = ? d) log (2 . 3 : 4)5 =?
e)
Respuesta.: a) log 5 + log 3, b) 3. log 2 + log 3, c) log 7 – log 3,
d) 5. (log 2 + log 3 – log 4), e) ½ (log 3 + log 5) – log 2.
3) Cambio de base:
a) log2 5 = ? c) log3 7 = ?
b) log32 = ? d) log5 24 = ?
Respuesta: a) log 5 / log 2, b) log 2 / log 3, c) log 7 / log 3, d) log 24 / log 5.
4) Ecuaciones:
Respuesta: a) 2 ; b) – 4 y 4; c) 2; d) 2,3 y – 1,3; e) 2.
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5) Para determinar la edad de una roca la ciencia actualmente ha podido
desarrollar una técnica basada en la concentración de material radiactivo en su
interior. Cuanto más joven es la roca mayor concentración de material radiactivo
encontraremos. C(x) = k. 3 – t es la fórmula que se utiliza, donde C (x) representa la
concentración del material radiactivo, t el tiempo transcurrido medido en cientos de
años y "k" la concentración del elemento en el momento de formarse la roca. Si k
= 4500 a)¿Cuánto tiempo debe haber pasado para que hallemos una
concentración de 1500?; b) ¿Qué concentración tendríamos al cabo de dos
siglos?; c)¿En qué tiempo se acabaría este material?.
Respuesta: a) como t = 1, pasaron cien años. b) 1,7 .10 – 92 c) La ecuación no
tiene como resultado el número cero, por lo que teóricamente siempre quedaría un
mínimo resto de material radiactivo.
Aplicaciones de Logaritmos en pH.
El pH es una medida de la acidez o basicidad de una solución. El pH es la
concentración de iones o cationes hidrógeno [H+] presentes en determinada
sustancia. La sigla significa "potencial de hidrógeno" (pondusHydrogenii o
potentiaHydrogenii; del latín pondus, n. = peso; potentia, f. = potencia;
hydrogenium, n. = hidrógeno).
Este término fue acuñado por el químico danés Sørensen, quien lo definió como el
logaritmo negativo de base 10 de la actividad de los iones hidrógeno. Esto es:
Algunos valores comunes del pH
Sustancia/Disolución pH
Disolución de HCl1 M 0,0
Jugo gástrico 1,5
Jugo de limón 2,4
Refresco de cola 2,5
Vinagre 2,9
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Desde entonces, el término "pH" se ha
utilizado universalmente por lo práctico que
resulta para evitar el manejo de cifras largas
y complejas. En disoluciones diluidas, en
lugar de utilizar la actividad del ion
hidrógeno, se le puede aproximar empleando
la concentración molar del ion hidrógeno.
Por ejemplo, una concentración de [H+] = 1
× 10–7 M (0,0000001) es simplemente un pH
de 7 ya que: pH = –log[10–7] = 7
El pH típicamente va de 0 a 14 en disolución
acuosa, siendo ácidas las disoluciones con
pH menores a 7, y básicas las que tienen pH
mayores a 7. El pH = 7 indica la neutralidad
de la disolución (donde el disolvente es
agua).
Se considera que p es un operador logarítmico sobre la concentración de una
solución: p = –log[...] , también se define el pOH, que mide la concentración de
iones OH-.
Puesto que el agua está disociada en una pequeña extensión en iones OH– y H+,
tenemos que:
Kw = [H+][OH–]=10–14 en donde [H+] es la concentración de iones de hidrógeno,
[OH-] la de iones hidróxido, y Kw es una constante conocida como producto iónico
del agua.
Por lo tanto,
Jugo de naranja o manzana 3,0
Cerveza 4,5
Café 5,0
Té 5,5
Lluvia ácida < 5,6
Saliva (pacientes con cáncer) 4,5 a 5,7
Orina 5,5-6,5
Leche 6,5
Agua pura 7,0
Saliva humana 6,5 a 7,4
Sangre 7,35 a 7,45
Agua de mar 8,0
Jabón de manos 9,0 a 10,0
Amoníaco 11,5
Hipoclorito de sodio 12,5
Hidróxido sódico 13,5 a 14
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log Kw = log [H+] + log [OH–]
–14 = log [H+] + log [OH–]
14 = –log [H+] – log [OH–]
pH + pOH = 14
Por lo que se puede relacionar directamente el valor del pH con el del pOH.
En disoluciones no acuosas, o fuera de condiciones normales de presión y
temperatura, un pH de 7 puede no ser el neutro. El pH al cual la disolución es
neutra estará relacionado con la constante de disociación del disolvente en el que
se trabaje. El valor del pH se puede medir de forma precisa mediante un
potenciómetro, también conocido como pH-metro, un instrumento que mide la
diferencia de potencial entre dos electrodos: un electrodo de referencia
(generalmente de plata/cloruro de plata) y un electrodo de vidrio que es sensible al
ión hidrógeno. También se puede medir de forma aproximada el pH de una
disolución empleando indicadores, ácidos o bases débiles que presentan diferente
color según el pH. Generalmente se emplea papel indicador, que se trata de papel
impregnado de una mezcla de indicadores. Algunos compuestos orgánicos que
cambian de color en función del grado de acidez del medio en que se encuentren
se utilizan como indicadores cualitativos para la determinación del pH. El papel de
litmus o papel tornasol es el indicador mejor conocido. Otros indicadores usuales
son la fenolftaleína y el naranja de metilo.
A pesar de que muchos potenciómetros tienen escalas con valores que van desde
1 hasta 14, los valores de pH pueden ser menores que 1 y mayores que 14. Por
ejemplo el ácido de batería de automóviles tiene valores cercanos de pH menores
que cero, mientras que el hidróxido de sodio varía de 13,5 a 14.
Un pH igual a 7 es neutro, menor que 7 es ácido y mayor que 7 es básico a 25 ºC.
A distintas temperaturas, el valor de pH neutro puede variar debido a la constante
de equilibrio del agua (Kw).
La determinación del pH es uno de los procedimientos analíticos más importantes
y más usados en ciencias tales como química, bioquímica y la química de suelos.
El pH determina muchas características notables de la estructura y actividad de
las biomacromoléculas y, por tanto, del comportamiento de células y organismos
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EJERCICIOS CON RESPUESTAS
01. ( ) ( )
02.
03. ( ) ( )
04. ( )
05.
06.
√
07.
08. √
09.
10.
11.
{ [ ]}
12.
13. (√
)
14. (
√ )
√
15. (√ )
( )
16. (
)
17. √
18.
19. { [ ( )]}
20. ( ) ( )
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MATEMATICAS
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TEMA 10 INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA
La estadística es una ciencia que nos proporciona un conjunto de métodos que
se utiliza para recolectar, resumir y clasificar el comportamiento de los datos con
respecto a una característica que es materia de estudio o investigación.
Una vez analizada la información o los datos, la estadística entra en otros temas
como ser tomar decisiones y predecir respecto a la fuente de datos.
Concepto de Estadística.
1. Es un conjunto de métodos que permiten la recolección, agrupación,
presentación de los datos mediante graficas o formulas, con los cuales se
pueden tomar decisiones.
2. La Estadística es una disciplina que utiliza recursos matemáticos para
organizar y resumir una gran cantidad de datos obtenidos de la realidad, e
inferir conclusiones respecto de ellos.
Tipos de Estadística.
a) Estadística Descriptiva. El objetivo de la estadística descriptiva es
describir un conjunto de datos, organizar los datos de forma tal que se
puedan ver las tendencias y normas, se pueda dibujar gráficos, calcular
estadísticos y redactar informes se llama estadística descriptiva, para esto
se realizan los siguientes pasos:
Ordenar los datos
Recopilarlos en tablas estadísticas: distribuciones de frecuencias.
Gráficos de la distribución de frecuencias.
Cálculo de estadísticos: resumen de datos.
Interpretar resultados: presentación informe.
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b) Estadística Inferencial. Es el conjunto de métodos o técnicas que
posibilitan la generalización o toma de decisiones en base a una
información parcial obtenida mediante técnicas descriptivas, es la
exposición de predicciones y toma de decisiones. El objetivo de la
Inferencia Estadística es hacer afirmaciones sobre la población basadas en
la información disponible en la muestra.
Predicción ó Probabilidad
Estimación de parámetros.
Toma de decisiones.
Variables y sus clasificaciones.
Los datos estadísticos son números que representan objetos concretos,
cantidades o medidas, como ser peso de una persona, número de alumnos,
etcétera, los cuales permiten contarlos y medirlos.Las unidades estadísticas son
todos los elementos componentes de la población que son objeto de estudio, por
ejemplo en el Censo de población la unidad estadística que es objeto de estudio
es la persona.
Las variables se pueden representar con letras como ser X,Y,, ..,Z; por ejemplo se
quiero representar la edad de varias personas se realiza de la siguiente forma.
X: edad de la persona
x1 = 20, x2 = 10, x3 = 19, x4 = 15, ………, xn=21
a) Variables Cualitativas. Son aquellas que no son medibles, que
representan las cualidades de lo que se está estudiando, como ser sexo,
religión, estado civil, nivel de instrucción.
Cualitativas Nominal. Los elementos solo pueden ser clasificados en
categorías, pero no se da un orden o jerarquía, pueden ser color de los
ojos, barrio de residencia, etcétera.
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Cualitativas Ordinal. Son elementos que pueden ser clasificados en
categorías que tienen un orden o jerarquía, la diferencia entre valores no
se pueden realizar o no son significativas, por ejemplo grado de estudio,
cargo en una empresa, etcétera.
b) Variables Cuantitativas. Son aquellas que son medibles o numeradas y se
caracterizan por que pueden ser cuantificables y a su vez pueden ser:
Ejemplo: Edad – Precio de un producto – ingreso mensual – estatura – peso, etc. X = Edad del Individuo
Cuantitativas Discretas. Los discretos son datos puntuales que a simple
pregunta se obtiene una respuesta, pueden ser la edad, números de hijos,
etcétera.
Cuantitativas Continuas. Son datos que se encuentran dentro de un intervalo
para reducir la cantidad de inversiones como ser ingreso, estatura, etcétera.
Población y Muestra.
a) Población (N). Para la estadística población es algo mas general que solo la
agrupación de individuos, es el conjunto de cosas, animales, etc. que poseen
algunas características en común y que conforman la totalidad de lo que se
estudia.
b) Muestra (n). Es un subconjunto de la población total la cual debe ser
representativa, la cual sirve para estudiar a toda la población que es representada
por ella, por lo tanto la muestra siempre es menor que la población.
Construcción de tablas de Frecuencias. Después de realizar una encuesta, el primer paso que se debe dar es ordenar, clasificar
a los datos de una forma simple, obtener conclusiones útiles ya sea directamente o por
cálculos posteriores con la finalidad de hacer un análisis más confiable de los mismos
para lo cual se realizan los siguientes pasos:
1. Revisión y corrección de los datos encuestados
2. Construcción de tablas de frecuencia
3. Representación tabular, cuadros estadísticos o gráficos
4. Interpretación de datos
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Datos No Agrupados
Son aquellos datos que normalmente son escasos, para la cual solo se los ordena de
manera creciente anotando las veces que aparece cada datos observado.
Ejemplo. Se obtuvieron 10 notas de estudiantes de su primer parcial sobre 25 puntos de
la materia de estadística y se quiere construir la tabla de frecuencias de las siguientes
notas:
16 18 11 19 16 24 23 16 11 18 Obteniendo datos iniciales:
Número de datos(n)= 10 ni= Notas de primer parcial
Por ser escasos los datos la tabla de frecuencias será: Primero se ordenan los datos de manera ascendente
11 11 16 16 16 18 18 19 23 24 Se puede observar que los datos se pueden agrupar de acuerdo a la cantidad de
repeticiones.
Datos Agrupados
Son aquellos datos para los cuales se construye una tabla de frecuencias obteniendo el
rango, número de intervalos, ancho de clase y frecuencias.
ni
16
18
11
19
16
24
23
16
11
18
Notas ni
11 2
16 3
18 2
19 1
23 1
24 1
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a) Rango o Recorrido(R). Permite averiguar el rango o diferencia que existen entre
los datos encuestados para lo cual se halla el dato máximo y mínimo de los
observados.
R = máximo xi– minino xi
b) Número de Intervalos (K). Él número de intervalos proporciona la cantidad de
subconjuntos que agrupa a los datos o cantidad de filas que tendrá la tabla de
frecuencias.
n= número de datos observados
√
c) Ancho de Clase (C). Indica cuantos valores se tomaron en cada clase los cuales
deben redondearse a un número entero en caso que el resultado sea real.
d) Frecuencia Absoluta (ni). Se llama frecuencia absoluta a los valores que se
obtienen en la encuesta los cuales están agrupados en cada intervalo.
Ejemplo. Se obtuvieron las notas de 50 estudiantes del anterior semestre de la materia
de estadística y se quiere construir la tabla de frecuencias de acuerdo a los siguientes
datos:
8 81 74 5 40 36 82 31 30 17
59 46 97 41 47 90 38 75 30 36
16 36 66 95 82 10 77 23 78 92
14 19 1 28 49 62 99 28 29 6
100 96 78 84 37 22 84 100 92 22
Obteniendo datos iniciales:
Número de datos(n)= 50 Número Máximo= 100 Número Mínimo= 1 Rango= 99 Numero de Intervalos= 7,071≈ 7
Ancho de Clase= 14,14≈ 14
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Trazar la tabla de frecuencias colocando el Límite Inferior (Li) y Limite Superior (Ls), el
número de filas que tendrá la tabla está determinado por el valor obtenido en el Número
de Intervalos = 7, por lo cual tendrá 7 filas
Li - Ls ni
El límite inferior se debe comenzar con el dato mínimo y a este valor se le suma el ancho
de clase para obtener el límite superior y posteriormente se llena la columna de la
frecuencia absoluta (ni) contando el número de notas que existe en cada intervalo
Para Límites Reales
Li - Ls ni 1 - 15 6
15 - 29 8 29 - 43 11 43 - 57 3 57 - 71 3 71 - 85 10
85 - 100 9 Para Límites Aparentes
Li - Ls ni 1 - 15 6
16 - 30 11 31 - 45 8 46 - 60 4 61 - 75 4 76 - 90 9 91 - 105 8
e) Frecuencia Absoluta Acumulada (Ni). Esta frecuencia nos permite acumular la
frecuencia Absoluta, lo cual implica ir sumando de la siguiente forma:
N1=n1
N2=n1+n2
N3=n1+n2+n3
Intervalo 1
Intervalo 2
Intervalo 3
Intervalo 4
Intervalo 5
Intervalo 6
Intervalo 7
Ancho de clase=14
1+14=15
15+14=29
…..
Ancho de clase=14
1+14=15
16+14=30
…..
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.......
Nk =n1+n2+.……+nk= n
f) Frecuencia Relativa (fi). Se llama frecuencia relativa al valor de porcentaje y
proporción que ocupa en la muestra un determinado intervalo de datos.
Cuya ∑ será igual a 1
Cuya ∑ será igual a 100
g) Frecuencia Relativa Acumulada (Fi). Esta frecuencia nos permite acumular la frecuencia relativa.F1= f1
F2= f1 + f2
F3 = f1 + f2+ f3
.......
Fk = f1 + f2 +.……+ fk= 1 ó 100
h) Punto Medio ó Marca De Clase (Xi). Se lo obtiene para el cálculo de algunas fórmulas y obtiene el punto medio de cada intervalo.
Ejemplo. Del ejemplo anterior hallar la frecuencia relativa y absoluta, sus respectivas
frecuencias acumuladas y punto medio
Li - Ls ni Ni fi Fi fi% Fi% Xi 1 - 15 6 6 0,12 0,12 12 12 8
16 - 30 11 17 0,22 0,34 22 34 23 31 - 45 8 25 0,16 0,50 16 50 38 46 - 60 4 29 0,08 0,58 8 58 53 61 - 75 4 33 0,08 0,66 8 66 68 76 - 90 9 42 0,18 0,84 18 84 83 91 - 105 8 50 0,16 1 16 100 98
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Gráficos Estadísticos Para representar la información de manera grafica se pueden utilizar varios tipos de
gráficos estadísticos:
a) Histograma. Es una serie de rectángulos proporcionales a la frecuencia
absoluta, para lo cual se usa en el eje horizontal se usa la clase (Limite Inferior y
Superior) y en el eje vertical la frecuencia absoluta (ni).
b) Polígono de Frecuencia. Un polígono es un gráfico de línea trazada sobre los
puntos medios de los techos de los rectángulos del Histograma o directamente
graficando en el eje horizontal se usa el punto medio o marca de clase (xi) y en el
eje vertical la frecuencia absoluta (ni).
0
10
20
0 8 23 38 53 68 83 98 105
Fre
cue
nci
a A
bso
luta
(n
i)
Punto Medio o Marca de Clase (Xi)
POLIGONO
ni
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c) Ojivas. Para graficar en el eje horizontal se usa la clase (Limite Superior) y en el
eje vertical una frecuencia acumulada (Ni, Fi, Fi%), por lo cual el grafico se mostrara
la frecuencia de manera creciente.
Para realizar la ojiva decreciente se usa una frecuencia acumulada (Ni, Fi, Fi%) pero
ordenada al revés para lo cual se coloca al nombre de la frecuencia un apostrofe (Fi%’,
Ni’, Fi’)
0
20
40
60
1 15 30 45 60 75 90 105
Fre
cue
nci
a A
bso
luta
A
cum
ula
da
(Ni)
Limite Superior (Ls)
OJIVA
Ni
0
0,5
1
1,5
Ls 1 15 30 45 60 75 90
Fre
cue
nci
a R
ela
tiva
A
cum
ula
da
(Fi)
Limite Superior (Ls)
OJIVA
Fi
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Li - Ls ni Ni Ni’ fi Fi Fi’ fi% Fi% Fi% 1 - 15 6 6 50 0,12 0,12 1 12 12 100
16 - 30 11 17 42 0,22 0,34 0,84 22 34 84 31 - 45 8 25 33 0,16 0,50 0,66 16 50 66 46 - 60 4 29 29 0,08 0,58 0,58 8 58 58 61 - 75 4 33 25 0,08 0,66 0,50 8 66 50 76 - 90 9 42 17 0,18 0,84 0,34 18 84 34 91 - 105 8 50 6 0,16 1 0,12 16 100 12
d) Barras. Para graficar en el eje horizontal se usa la clase (Limite Superior) y en el
eje vertical la frecuencia absoluta (ni).La característica de este grafico es igual a la
des histograma pero las barras separadas una de la otra.
0
100
200
1 15 30 45 60 75 90 105
Fre
cue
nci
a R
ela
tiva
A
cum
ula
da
en
P
orc
en
taje
(Fi
%')
Limite Superior (Ls)
OJIVA DECRECIENTE
Fi%'
0
50
100
1 15 30 45 60 75 90 105
Fre
cue
nci
a A
bso
luta
A
cum
ula
da
(Ni%
')
Limite Superior (Ls)
OJIVA DECRECIENTE
Ni’
0
5
10
15
15 30 45 60 75 90 105
Fre
cue
nci
a A
bso
luta
(n
i)
Limite Superior (Ls)
BARRAS
ni
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e) Torta. Para graficar la torta se debe calcular primero el espacio que ocupa cada
clase, para lo cual en la tabla de frecuencias se aumenta una nueva columna para
calcular el espacio de cada área, cuya suma de todas las áreas es igual a 360.De
manera opcional a los gráficos se puede incluir el porcentaje de ocupa que es
simplemente el valor de la frecuencia relativa en porcentaje (fi%).
Li - Ls ni fi% Ai 1 - 15 6 12 43,2
16 - 30 11 22 79,2 31 - 45 8 16 57,6 46 - 60 4 8 28,8 61 - 75 4 8 28,8 76 - 90 9 18 64,8 91 - 105 8 16 57,6
Medidas de Tendencia Central Frecuentemente se necesita tener una sola medida de la información esta medida tiene
que ser representativa de todas las observaciones que indique la tendencia de los datos.
La sumatoria se denota ∑ que implica la agrupación de varios datos del mismo tipo
mediante la suma de los mismos de la siguiente forma.
xi= Variable que representa a los datos
x1, x2, x3, x4,...xn
La suma de los datos
12%
22%
16% 8% 8%
18%
16%
TORTA
15
30
45
60
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x1 + x2+ x3+ x4+ ... + xn
La suma de los datos utilizando una sumatoria
∑( )
a) Media Aritmética o Promedio ( ). Los promedios son una medida de posición
que dan una descripción compacta de cómo están centrados los datos y una
visualización más clara del nivel que alcanza la variable, pueden servir de base
para medir o evaluar valores extremos o raros y brinda mayor facilidad para
efectuar comparaciones.
Para datos no agrupados
x1 + x2+ x3+ x4+ ... + xn = --------------------------------
n
Para datos agrupados
b) Mediana (Me). Es el valor de la observación que ocupa la posición central de un
conjunto de datos ordenados según su magnitud. Es el valor medio o la media
aritmética de los valores medios. Geométricamente la mediana es el valor de la
variable que corresponde a la vertical que divide al histograma en dos áreas
iguales.
Cuando determinados valores de un conjunto de observaciones son muy grandes
o pequeños con respecto a los demás, entonces la media aritmética se puede
distorsionar y perder su carácter representativo, en esos casos es conveniente
utilizar la mediana como medida de tendencia central.
Para datos no agrupados
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Para calcular la mediana se debe ordenar los datos en forma ascendente.
i) Cuando n es impar. La mediana será el número que se encuentre en el centro
de todos los números.
ii) Cuando n es par. La mediana será el promedio de los dos números que se
encuentren en el centro
Para datos agrupados
Donde: Li = Límite inferior Ni – 1 = Frecuencia Acumulada anterior Ci ó Xi= Ancho de clase ni = Frecuencia de intervalo mediana
c) Moda (Mo). Es el valor de un conjunto de datos que ocurre más frecuentemente,
se considera como el valor más típico de una serie de datos. Para datos
agrupados se define como Clase Modal el intervalo que tiene más frecuencia.
La moda puede no existir o no ser única, las distribuciones que presentan dos o
más máximos relativos se designan de modo general como bimodales o
multimodales.
Para datos no agrupados Es el número o números que más veces se repite Para datos agrupados
Donde: Li = Límite inferior Ci ó Xi = Ancho de clase
= ni menos ni-1
= ni menos ni +1
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Ejercicios Propuestos
1. En una encuesta se tomo como referencia las ventas de ropas por semana de las diferentes agencias de una tienda. Y se formo la siguiente tabla:
Li - Ls ni Ni fi Fi fi% Fi% Xi ni * xi
2 - 16 7 7 0,14 0,14 14 14 9 63 16 - 30 7 14 0,14 0,28 14 28 23 161
30 - 44 12 26 0,24 0,52 24 52 37 444 44 - 58 9 35 0,18 0,7 18 70 51 459
58 - 72 4 39 0,08 0,78 8 78 65 260
72 - 86 4 43 0,08 0,86 8 86 79 316
86 - 100 7 50 0,14 1 14 100 93 651
50 1 100 2354
a) Hallar el promedio
b) Hallar la mediana
Ci =Ls –Li = 58-44=14
=44 + (25-26) 1,56 = 44 + (-1) 1,56 = 44 - 1,56 = 42,44 ≈ 42
c) Hallar la moda
= ni- ni-1= 12-7= 5
= ni- ni +1=12-9= 3 Ci =Ls –Li = 44-30 =14
2354 = -----------=47,08≈47 50
Intervalo de
lamoda Intervalo de
lamediana
50 14 = 44 + ----- - 26 ---- = 2 9
5 = 30 + ------- 14 = 5 + 3
5 5 35 = 30 + ------- 14 =30 + -------- 7 = 30 + ------ = 30 + 8,75 = 38,75 ≈ 39 8 4 4
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2. Se tomó una muestra a 12 personas a las cuales se les pregunto cuantas veces se
resfriaron en este invierno:
6 8 5 5 0 6 2 3 8 4 3 8
a) Construir su tabla de frecuencias
ni
6
8
5
5
0
6
2
3
8
4
3
8
b) Graficar las barras
c) Calcular las medidas de tendencia central Promedio
Mediana
0
2
4
6
8
10
6 8 5 5 0 6 2 3 8 4 3 8
Número de Veces de resfrios
ni
6+8+5+5+0+6+2+3+8+4+3+8 58 = ------------------------------------------ = -------- = 4,83 ≈ 5 12 12
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Se ordenan los datos de manera ascendente, y como la cantidad de datos es par (12) se debe obtener el promedio de los dos números del centro.
xi
0
2
3
3
4
5
5
6
6
8
8
8 Moda
xi
0
2
3
3
4
5
5
6
6
8
8
8
3. Calcular el promedio de la siguiente tabla
Li - Ls ni
0 - 14 6
14 - 28 6
28 - 42 11
42 - 56 4
56 - 70 3
70 - 84 10
84 - 98 10
5+5
Me = --------- = 5
2
Mo = 8
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Completando la tabla
Li - Ls ni xi xi * ni
0 - 14 6 7 42
14 - 28 6 21 126
28 - 42 11 35 385
42 - 56 4 49 196
56 - 70 3 63 189
70 - 84 10 77 770
84 - 98 10 91 910 50 2618
4. Indicar cuál es el intervalo de la mediana y de la moda indicando el porque
Li - Ls ni
El intervalo de la mediana será el intervalo 4 ya que se encuentra al centro de
todos los intervalos.
Para la moda se debe conocer el valor de la frecuencia absoluta y el intervalo(s)
será el que tiene la frecuencia mayor.
5. De la siguiente tabla graficar la torta
Li - Ls ni 0 - 14 6 14 - 28 8 28 - 42 6 42 - 56 8 56 -70 4 70 - 84 7 84 - 98 5
2618 = -----------=52,36≈52 50
Intervalo 1
Intervalo 2
Intervalo 3
Intervalo 4
Intervalo 5
Intervalo 6
Intervalo 7
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Completando los datos
Li - Ls ni Ai 0 - 14 6 49 14 - 28 8 65 28 - 42 6 49 42 - 56 8 65 56 -70 4 33 70 - 84 7 57 84 - 98 5 41
44 360
6. Se realizó una encuesta a 80 personas que están escritas en una materia de la
universidad de decimo semestre, a los cuales se les pregunto la edad que tienen:
30 31 31 24 36 37 30 40 35 35 32 23 40 35 38 30 23 37 26 23 24 25 26 33 38 33 29 23 32 29
34 40 29 28 35 37 33 28 36 37 30 25 34 39 27 27 23 24 26 23 25 32 27 32 28 36 40 26 29 40 36 26 31 40 34 31 31 28 40 34 26 33 25 33 26 33 28 36 40 31
a) Construir su tabla de frecuencias b) Graficar las barras y torta c) Calcular las medidas de tendencia central d) Interpretar los resultados
7. Un grupo de fábricas de constructoras invierten en miles de dólares en una
determinada ciudad a objeto de ampliar su mercado en el rubro de construcción.
27 22 26 14 0 38 8 35 12 9 0 40 1 14 28 37 3 6 26 26 15 2 12 13 36 5 23 22 27 5 8 7 38 5 18 7 8 12 17 16 27 19 30 9 37 22 26 40 20 14 10 0 17 10 25 27 20 8 25 15
0 - 14
14 - 28
28 - 42
42 - 56
56 - 70
70 - 84
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a) Construir su tabla de frecuencias b) Calcular las frecuencias relativas y absolutas c) Calcular las frecuencias absolutas y relativas acumuladas d) Indicar cuál es el valor más significativo y menos significativo e) Graficar las barras, ojivas y torta f) Calcular las medidas de tendencia central g) Interpretar los resultados
8. A partir de los siguientes datos:
a) Calcular las frecuencia relativa b) Calcular las frecuencias acumuladas c) Indicar cuál es el valor más significativo y menos significativo d) Graficar las barras, ojivas y torta e) Calcular las medidas de tendencia central f) Interpretar los resultados
9. Completar los datos de la siguiente tabla
Li - Ls ni Ni fi Fi 3 - 5 8 8
6 - 10 23 11 – 17 0,225 18 – 24 0,200 25 – 31 70 0,875
32 - 40 80
10. Clasifica las siguientes variables en cualitativas o cuantitativas
VARIABLE CUALITATIVA CUANTITATIVA
NOMINAL ORDINAL CONTINUA DISCRETA
Edad de personas
Forma de pago al realizar una compra
Estado civil
Número de habitaciones por casa
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MATEMATICAS
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Salario mensual percibido por los empleados
Marcas de Automóviles
Grado de estudio de las personas
Número de acciones vendidas
Censos anuales del estudiantes
Longitud de cerrojos producidos en una fábrica
Peso de una persona al nacer
Predicción de las ganancias por acción
11. De los siguientes datos calcular el promedio
1327 1601 1254 874 1636 1427 1661 893 984
a) 1296 b) 1295,22 c) 1290 d) 1294 e) 1293,22
12. De la siguiente tabla indicar cuándo es el valor correspondiente a la frecuencia absoluta 5 (n5)
Li - Ls ni Ni
0 - 13 4 13 - 26 5 9 26 – 39 7 39 – 52 12 28 52 – 65 36 65 - 78 7 43 78 - 91 50
a) 7 b) 8 c) 4 d) 6 e) 5
13. Se tomo una muestra de estudiantes a los cuales se les pregunto cuántos hijos desean tener en el futuro, y de los datos se obtuvolas modas de un total de:
4 3 6 1 4 0 0 6 2 3 5 3 4 2 4 4
a) No Hay moda b) Una moda c) Bimodal d) Multimodal e) Trimodal
14. De los siguientes datos calcular la mediana
11 13 9 10 13 14 13
a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13
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MATEMATICAS
FACULTAD DE MEDICINA, ENFERMERIA, NUTRICION Y TECNOLOGIA MÉDICA 99
15. De los siguientes notas se quiere construir su tabla de frecuencias y se para lo
cual se quiere averiguar cuánto es el Ancho de Clase
a) 12 b) 10 c) 14 d) 13 e) 13,5
EJERCICIOS CON RESPUESTAS
01. ¿Qué Es La Estadística?
02. ¿Cuáles Son Los Tipos De Estadística?
03. ¿Cuál es el objetivo que persigue la estadística descriptiva?
04. ¿ Qué es la estadística inferencial?
05. ¿ Qué son las variables cualitativas?
06. ¿ Qué son las variables cuantitativas?
07. ¿Cuál es la diferencia entre población y muestra?
08. ¿Cuáles son los pasos para la contrucción de las tablas de frecuencia?
09. ¿Qué son los datos no agrupados?
10. ¿Cuál es objetivo del rango o recorrido?
11. ¿Cuál es objetivo del número de intervalos?
12. ¿Cuál es objetivo del ancho de clase?
13. ¿Cuál es la diferencia entre frecuencia absoluta y relativa?
14. ¿Cuál es la diferencia entre histograma y polígono de frecuencias?
15. ¿Qué es la media aritmética?
16. ¿Qué es la mediana?
17. ¿Qué es la moda?
18. Resolver el siguiente problema.
Según Ministerio de Salud, las pautas culturales han determinado que la delgadez sea sinónimo de éxito social. Muchos jóvenes luchan para conseguir el “físico ideal” motivados por modelos, artistas o por la publicidad comercial. Durante el mes de marzo del año 2013, en el colegio “ColeSur” de la ciudad de La Paz, después de las vacaciones de fin de año se observó con precaución a 27 alumnos con síntomas de anorexia, registrándose los siguientes signos visibles: Dieta Severa, Miedo a Engordar, Hiperactividad Uso de Ropa Holgada, Dieta Severa, Uso de Laxantes Miedo a Engordar, Dieta Severa, Uso de Ropa Holgada Dieta Severa, Uso de Ropa Holgada, Dieta Severa Dieta Severa, Dieta Severa, Uso de Ropa Holgada
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Hiperactividad, Uso de Laxantes, Miedo a Engordar Uso de Laxantes, Dieta Severa, Uso de Ropa Holgada Uso de Laxantes, Hiperactividad, Uso de Laxantes Uso de Ropa Holgada, Hiperactividad, Dieta Severa
Resuma la información anterior en una tabla de distribución de frecuencias.
19. Resolver el siguiente problema.
En una empresa se pagan los siguientes salarios (en Bs.):
Sueldos No. de empleados
1,200 5 1,300 3 1,400 10
1,500 9
1,600 8
1,700 5
1,800 4
Calcular el salario “promedio”.
20. Resolver el siguiente problema.
Los niveles del pH sanguíneo de 32 individuos son los siguientes:
7:33 7:31 7:26 7:33 7:37 7:27 7:30 7:33
7:33 7:32 7:35 7:39 7:33 7:38 7:33 7:31
7:37 7:35 7:34 7:32 7:29 7:35 7:38 7:32
7:32 7:33 7:32 7:40 7:33 7:32 7:34 7:33
a) Agrupar los datos en 5 intervalos y confeccionar la tabla de frecuencias.
b) Calcular la media aritmética.
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BIBLIOGRAFÍA MATEMÁTICAS
“ÁLGEBRA BÁSICA”. VÍCTOR CHUNGARA CASTRO. Editorial Leonardo.
Bolivia. 2011.
“ÁLGEBRA”. AURELIO BALDOR. Publicaciones Cultural Códice América,
S.A. México. 1997.
“ÁLGEBRA CON TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA”.
SEBASTIÁN LAZO. SOIPA Ltda. Bolivia. 1999.