matematica6_tomo2

TOMO II

bsico6Matemtica

Matemticabsico6TOMO II

El Centro Flix Klein de la UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE, ha revisado y validado la propuesta didctica de las pginas de resolucin de problemas basadas en el Mtodo Grfico Singapur propuestas en los textos de Matemtica del proyecto Casa del Saber de Editorial Santillana.

Qu pasos me permiten resolver de manera

ordenada un problema?

Direccin editorial

Prof. Rodolfo Hidalgo Caprile

Jefatura de rea

Mg. Cristian Gmera Valenzuela

Edicin

Mg. Patricio Loyola Martnez

Autora

Prof. Jaime vila HidalgoProf. Carlos Castro MaldonadoProf. Richard Merino LeytonProf. Paola Ramrez Gonzlez

Asesora pedaggica y de contenidos

Dra. Elizabeth Montoya DelgadilloProf. Marianela Lpez CerdaProf. Pedro Marchant Olea

Asesora en didctica

Dra. Lorena Espinoza SalfateDr. Joaquim Barb FarrMg. Enrique Gonzlez LaussubeProf. Dinko Mitrovich Garca

Primero, debes leer y comprender la situacin y la

pregunta asociada a ella.

Luego, debes seleccionar los datos que te permitan

responder la pregunta.

Una vez seleccionados los datos, encontrars la solucin del

problema utilizando una estrategia.

Finalmente, debes comprobarla solucin y responder

la pregunta del problema.

Pasos para

Resolver problemas

Resolucin de problemas

Problema

Pregunta: Se quiere saber el volumen de la figura mostrada.

Datos: Cada una de las aristas mide 2 cm.

La figura est formada por 8 cubos.

Estrategia: Se puede calcular el volumen de un cubo y luegomultiplicarlo por el total de cubos de la figura:

Volumen (2 2 2) cm3 = 8 cm3

Comprobacin y respuesta:

Volumen de la figura:

Volumen 8 8 cm3 = 64 cm3PASO

S PA

RA

RES

OLV

ER S

ITU

AC

ION

ES P

RO

BLEM

A

Comprensin de la situacin y la pregunta

Explica con tus palabras la situacin y la interrogante que debes responder.

Seleccin de los datos

Selecciona solo aquellos datos de la situacin que te permitan dar respuesta a la pregunta.

Utilizacin de una estrategia

En esta etapa, busca una estrategia para resolver la situacin problema.

Comprobacin y respuesta

Analiza la solucin encontrada y responde en forma completa la pregunta del problema.

EST

RA

TEG

IAS

PAR

A R

ESO

LVER

PR

OBL

EMA

S

Puedes seleccionar la estrategia que te facilite resolver el problema. Aqu, te presentamos algunas de ellas.

Hacer una representacin La imagen anterior se puede relacionar con el cubo que se muestra.

Utilizar una frmula matemtica (modelar)

Volumen del cubo x3

Luego como x = 4 cm se tiene que:

43 cm3 = 4 4 4 cm3

= 64 cm3

La figura presentada, se encuentra formada por cubos donde cada uno tiene 2 cm de aristas. Cul es el volumen de la figura?

El Tomo II del material didctico Matemtica 6 bsico, proyecto Casa del Saber, es una obra colectiva, creada y diseada por el Departamento de Investigaciones Educativas de Editorial Santillana.

Direccin editorial: Rodolfo Hidalgo CaprileSubdireccin de contenidos: Ana Mara Anwandter RodrguezSolucionario: Daniela Castro Salazar, Cristina Fuenzalida Guzmn,Aldo Ramrez MarchantCorreccin de estilo: Patricio Varetto Cabr Documentacin: Paulina Novoa Venturino, Cristian Bustos ChavarraGestin autorizaciones: Mara Cecilia Mery Ziga

Subdireccin de arte: Mara Vernica Romn SotoJefatura de arte: Ral Urbano CornejoDiseo y diagramacin: Ximena Moncada Lomea, Claudia Barraza Martnez Ilustraciones: Sergio Lantadilla MunizagaFotografas: Archivo SantillanaCubierta: Alfredo Galdames CidIlustracin de cubierta: Sandra Caloguerea AlarcnProduccin: Germn Urrutia Garn

x

4 cm

4 cm4 cm

La editorial ha hecho todo lo posible por conseguir los permisos correspondientes para las obras con copyright que aparecen en el presente texto.

Cualquier error u omisin ser rectificado en futuras impresiones a medida que la informacin est disponible.

Que dan rigurosamente prohibidas, sin la autorizacin escrita de los titulares del Copyright, bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproduccin total

o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidosla reprografa y el tratamiento informtico, y la distribucin en ejemplares

de ella mediante alquiler o prsta mo pblico.

2013, by Santillana del Pacfico S.A. de Ediciones. Dr. Anbal Arizta 1444, Providencia, Santiago (Chile).

PRINTED IN CHILE. Impreso en Chile por Quad/GraphicsISBN: 978-956-15-2195-7 Inscripcin N 221.829

www.santillana.cl [email protected] es una marca registrada de Grupo Santillana de Ediciones, S.L.

Todos los derechos reservados.

El texto escolar que tienes en tus manos es mucho ms que un buen texto:

Plataforma en lnea disponible 24 horas al da con recursos digitales innovadores para docentes, estudiantes y familias.

2.240 horas de investigacin y anlisis para la elaboracin de esta slida propuesta educativa.

Ms de 40 aos de experiencia al servicio de la educacin de calidad en Chile.

320 profesionales de primer nivel pensando da a da en cmo mejorar la educacin de nuestro pas.

Mltiples alianzas con organizaciones relacionadas con la educacin, la cultura y la vida saludable.

Ms de 600 seminarios y capacitaciones anuales para docentes a lo largo de todo el pas.

Comprometidos socialmente con el futuro de ms de 25.000 nios y nias chilenos, pertenecientes a nuestra red de responsabilidad social.

PresentacinEste libro forma parte del proyecto la Casa del Saber, que es un espacio

educativo donde podrs desarrollar las capacidades necesarias para

tu formacin personal y social. Qu encontrars en la Casa del Saber?

Es una casa donde todos tenemos cabida. Aqu encontrars

contenidos, textos, imgenes y actividades escritas de una

manera sencilla y amigable, para que descubras que aprender

es entretenido.

Es un espacio donde todos aprendemos a compartir y a convivir,

por medio de actividades que nos invitan a reflexionar sobre los

valores y a relacionarnos mejor con los dems.

Es una casa abierta al mundo, donde podrs aprender ms y de

manera interactiva gracias a la tecnologa.

Es una casa llena de desafos que te pondrn a prueba y que

junto con tus compaeras y compaeros, debern enfrentar para

encontrar soluciones, desarrollando habilidades matemticas y

aplicando diferentes estrategias de clculo y de resolucin de

problemas.

Nosotros avanzaremos con ustedes en todo momento,

solo necesitan curiosidad y ganas de aprender.

Casa del Saber 169

Cmo se organiza tu texto? El texto Matemtica 6 bsico Casa del Saber se organiza en 8 unidades y en cada unidad encontrars:

Qu sabes? Evaluacin inicialA partir de la imagen, responde.

1. Marca con un el ngulo que muestra una mayor abertura.

a. b. c.

2. Observa la siguiente representacin.

En el casillero se dibuj el ngulo AOB marcado en la imagen.

Dibuja en cada casillero el ngulo pedido segn la imagen.

a. b.

ngulo EFG ngulo COD

A

AA

B B B

O O O

A

BO

A

BO

G

E

F

O

D

C

AB

Peso

10

80

7060

5040 30 20

179

O

D

C

AB

Peso

10

80

7060

5040 30 20

Cuarto de crculo

Sextante

ngulos yconstruccin de ngulos

Unidad 5

En esta unidad aprenders a: Reconocer un ngulo y sus elementos. Construir distintos ngulos con instrumentos geomtricos o con un software geomtrico. Estimar y medir ngulos usando el transportador, y expresar sus medidas en grados. Clasificar ngulos segn sus medidas. Calcular el complemento y el suplemento de un ngulo. Reconocer ngulos en rectas paralelas intersectadas por una transversal. Utilizar la medicin de ngulos en la resolucin de problemas. Abordar de manera flexible y creativa la bsqueda de soluciones a problemas.

Desde la antigedad el hombre ha observado las estrellas y para ello ha construido una gran cantidad de instrumentos, como el sextante o el cuarto de crculo, utilizados por los astrnomos y navegantes. El primero serva generalmente para medir la altura a la que est una estrella sobre el horizonte y el segundo se usaba para orientarse en el ocano.

178

Pginas de inicio de unidad Nmero y ttulo de la unidad

Objetivos de aprendizaje

Evaluacin inicial

Observa y responde

Lee y responde

Analiza y responde

Aprende

Practica

Ponte a prueba

Practica

Clasificar ngulos segn sus medidas

1. Escribe el nombre de cada tipo de ngulo, segn su medida. Clasificar

a.

Clasificacin:

b.

Clasificacin:

c.

Clasificacin:

d.

Clasificacin:

2. Utiliza el transportador para medir cada ngulo. Luego, clasifcalo. Analizar

ngulo Medida Clasificacin

B ESD

B GLK

B YLS

B JYL

3. Identifica el error cometido en la siguiente afirmacin. Luego, corrgelo. Verificar

La suma entre las medidas de dos ngulos agudos es siempre menor que la de un ngulo recto.

Error:

Correccin:

Para nombrar los ngulos tambin se suelen identificar con letras griegas. Algunas son:

a Alfa

b Beta

c Gama

d Delta

m Lambda

Ojo con...

AC

BG

K

M

LY

J

X

ES

D

c

d

b

a

185Unidad 5 / Geometra y medicin

Segn las medidas que tengan los ngulos, se pueden clasificar en:

Aprende

Observa y responde

Clasificacin de ngulos

El tiro con arco es una disciplina olmpica que consiste en lanzar flechas que den en el centro de un objetivo llamado diana con la finalidad de lograr la mayor cantidad de puntos.

Considerando los segmentos marcados entre la flecha y la cuerda, encierra la opcin correcta.

Se forma un ngulo que mide entre 0 y 90.

Se forman dos ngulos que miden entre 0 y 90.

Se forman tres ngulos que miden entre 0 y 90.

Marca con un la afirmacin que seala lo que ocurre cuando se estira la cuerda al momento de lanzar la flecha, como se muestra en la imagen.

Se forma un ngulo que mide entre 0 y 90. Se forma un ngulo que mide entre 90 y 180.

Mdulo 1 / ngulos

Agudo: mide entre 0 y 90.

Ejemplo: el BEFG es un ngulo agudo, ya que m(BEFG) = 51.

Extendido o llano: mide 180.

Ejemplo: el BABC es un ngulo extendido, ya que m(BABC) = 180.

Completo: mide 360.

Ejemplo: el ngulo que se muestra mide 360, es decir, corresponde a un ngulo completo.

Recto: mide 90.

Ejemplo: el BUCH es un ngulo recto, ya que m(BUCH) = 90.

Obtuso: mide entre 90 y 180.

Ejemplo: el BAEI es un ngulo obtuso, ya que m(BAEI) = 152.

F E

G F

ABC

A

I

E

G

51

180

360

C U

H

90 152

184

Mdulos organizados por objetivos de aprendizaje

Educando en valores

Sabas que?

Conectad@s

Recuerda que...

Ojo con...

Secciones de cada unidad

Unidad 6 / Geometra

Observa y responde

ngulos en un cuadriltero

Para comprobar que la suma de los ngulos interiores de un cuadriltero siempre es igual a 360, Julio realiza lo siguiente.

Recorta un trozo de papel con forma de cuadriltero. Al trazar la diagonal AC , se forman dos tringulos,como se muestra.

Con respecto a los tringulos recortados, marca con un la afirmacin que sea correcta.

La suma de los ngulos interiores de un tringulo es siempre 180.


Cunto suman los ngulos interiores de un cuadriltero? Explica tu razonamiento.

Mdulo 1 / Polgonos

Aprende

Los cuadrilteros son polgonos, compuestos por cuatro lados correspondientes a segmentos de rectas. La medida de los ngulos interiores de cualquier cuadriltero siempre suman 360.

Ejemplo: en el cuadriltero, cul es la medida del BFED?

La suma de los ngulos interiores debe ser igual a 360. Luego:

75 + 110 + 70 + m(BFED) = 360

m(BFED) = 360 255

m(BFED) = 105

A A

C C

B

A

DD

C

B

DF

G

E

75110

70

?

Educando en valoresCuando realizas un trabajo con orden y claridad puedes comprender de mejor forma los contenidos estudiados.

218

Practica

1. Utiliza el transportador para medir cada ngulo. Aplicar

a.

m(BAOC) =

b.

m(BMCL) =

c.

m(BDEH) =

d.

m(BIMA) =

2. Lee la siguiente situacin y luego responde. Analizar

Andrea y Matas observan los ngulos que forman con sus corcheteras.

Quin est en lo correcto? Explica.

Utilizar el transportador para medir ngulos

Uno de los sistemas de medicin utilizados es el sistema sexagesimal, que divide una circunferencia en 360 partes iguales. Cada parte corresponde a un grado sexagesimal (1).

Ojo con...

Los dos ngulos representados por las aberturas de las corcheteras tienen

igual medida.

OA E D

H

L

CMM A

I

C

El ngulo representadopor la abertura de

esta corchetera tiene mayor medida.

183

Organizacin del texto

Matemticabsico6TOMO II

El Centro Flix Klein de la UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE, ha revisado y validado la propuesta didctica de las pginas de resolucin de problemas basadas en el Mtodo Grfi co Singapur propuestas en los textos de Matemtica del proyecto Casa del Saber de Editorial Santillana.

Qu pasos me permiten resolver de manera

ordenada un problema?

Direccin editorial

Prof. Rodolfo Hidalgo Caprile

Jefatura de rea

Mg. Cristian Gmera Valenzuela

Edicin

Mg. Patricio Loyola Martnez

Autora

Prof. Jaime vila HidalgoProf. Carlos Castro MaldonadoProf. Richard Merino LeytonProf. Paola Ramrez Gonzlez

Asesora pedaggica y de contenidos

Dra. Elizabeth Montoya DelgadilloProf. Marianela Lpez CerdaProf. Pedro Marchant Olea

Asesora en didctica

Dra. Lorena Espinoza SalfateDr. Joaquim Barb FarrMg. Enrique Gonzlez LaussubeProf. Dinko Mitrovich Garca

Primero, debes leer y comprender la situacin y la

pregunta asociada a ella.

Luego, debes seleccionar los datos que te permitan

responder la pregunta.

Una vez seleccionados los datos, encontrars la solucin del

problema utilizando una estrategia.

Finalmente, debes comprobarla solucin y responder

la pregunta del problema.

Pasos para

Resolver problemas

Pginas de apoyo

Desarrollo de la autonoma (Agenda)

Desplegable de habilidades


Problema

Pregunta: Se quiere saber el volumen de la figura mostrada.

Datos: Cada una de las aristas mide 2 cm.

La figura est formada por 8 cubos.

Estrategia: Se puede calcular el volumen de un cubo y luegomultiplicarlo por el total de cubos de la figura:

Volumen (2 2 2) cm3 = 8 cm3

Comprobacin y respuesta:

Volumen de la figura:

Volumen 8 8 cm3 = 64 cm3PASO

S PA

RA

RES

OLV

ER S

ITU

AC

ION

ES P

RO

BLEM

A

Comprensin de la situacin y la pregunta

Explica con tus palabras la situacin y la interrogante que debes responder.

Seleccin de los datos

Selecciona solo aquellos datos de la situacin que te permitan dar respuesta a la pregunta.

Utilizacin de una estrategia

En esta etapa, busca una estrategia para resolver la situacin problema.

Comprobacin y respuesta

Analiza la solucin encontrada y responde en forma completa la pregunta del problema.

EST

RA

TEG

IAS

PAR

A R

ESO

LVER

PR

OBL

EMA

S

Puedes seleccionar la estrategia que te facilite resolver el problema. Aqu, te presentamos algunas de ellas.

Hacer una representacin La imagen anterior se puede relacionar con el cubo que se muestra.

Utilizar una frmula matemtica (modelar)

Volumen del cubo x3

Luego como x = 4 cm se tiene que:

43 cm3 = 4 4 4 cm3

= 64 cm3

La figura presentada, se encuentra formada por cubos donde cada uno tiene 2 cm de aristas. Cul es el volumen de la figura?

El Tomo II del material didctico Matemtica 6 bsico, proyecto Casa del Saber, es una obra colectiva, creada y diseada por el Departamento de Investigaciones Educativas de Editorial Santillana.

Direccin editorial: Rodolfo Hidalgo CaprileSubdireccin de contenidos: Ana Mara Anwandter RodrguezSolucionario: Daniela Castro Salazar, Cristina Fuenzalida Guzmn,Aldo Ramrez MarchantCorreccin de estilo: Patricio Varetto Cabr Documentacin: Paulina Novoa Venturino, Cristian Bustos ChavarraGestin autorizaciones: Mara Cecilia Mery Ziga

Subdireccin de arte: Mara Vernica Romn SotoJefatura de arte: Ral Urbano CornejoDiseo y diagramacin: Ximena Moncada Lomea, Claudia Barraza Martnez Ilustraciones: Sergio Lantadilla MunizagaFotografas: Archivo SantillanaCubierta: Alfredo Galdames CidIlustracin de cubierta: Sandra Caloguerea AlarcnProduccin: Germn Urrutia Garn

x

4 cm

4 cm4 cm

La editorial ha hecho todo lo posible por conseguir los permisos correspondientes para las obras con copyright que aparecen en el presente texto.

Cualquier error u omisin ser rectificado en futuras impresiones a medida que la informacin est disponible.

Que dan rigurosamente prohibidas, sin la autorizacin escrita de los titulares del Copyright, bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproduccin total

o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidosla reprografa y el tratamiento informtico, y la distribucin en ejemplares

de ella mediante alquiler o prsta mo pblico.

2013, by Santillana del Pacfico S.A. de Ediciones. Dr. Anbal Arizta 1444, Providencia, Santiago (Chile).

PRINTED IN CHILE. Impreso en Chile por Quad/GraphicsISBN: 978-956-15-2195-7 Inscripcin N 221.829

www.santillana.cl [email protected] es una marca registrada de Grupo Santillana de Ediciones, S.L.

Todos los derechos reservados.

El texto escolar que tienes en tus manos es mucho ms que un buen texto:

Plataforma en lnea disponible 24 horas al da con recursos digitales innovadores para docentes, estudiantes y familias.

2.240 horas de investigacin y anlisis para la elaboracin de esta slida propuesta educativa.

Ms de 40 aos de experiencia al servicio de la educacin de calidad en Chile.

320 profesionales de primer nivel pensando da a da en cmo mejorar la educacin de nuestro pas.

Mltiples alianzas con organizaciones relacionadas con la educacin, la cultura y la vida saludable.

Ms de 600 seminarios y capacitaciones anuales para docentes a lo largo de todo el pas.

Comprometidos socialmente con el futuro de ms de 25.000 nios y nias chilenos, pertenecientes a nuestra red de responsabilidad social.

Pginas de evaluacinSexto bsico

4. Cul es la medida del ngulo a?

A. 33

B. 57

C. 137

D. 147

5. Con respecto a la figura presentada, cul es la medida del ngulo d?

A. 48

B. 62

C. 72

D. 82

6. Cul es la clasificacin del siguiente tringulo?

A. Rectngulo issceles.

B. Rectngulo equiltero.

C. Rectngulo escaleno.

D. Rectngulo acutngulo.

7. Cul es la medida del ngulo b?

A. 40

B. 65

C. 75

D. 105

33 a

120 132

L1

L1 // L2

L2

L3L4

d

b

c

5 cm

12 cm

65

40 b

13 cm

323

Completa tus datos.

Evaluacin integradora tipo SimceEvaluacin integradora tipo Simce MR Simce es marca registrada del Ministerio de Educacin.

Nombre:

Curso: Fecha:

Marca con una la alternativa correcta.

Con respecto al ngulo presentado, responde las preguntas 1 y 2.

1. Qu alternativa es falsa?

A. m(BMLP) = 143

B. Uno de sus rayos es LP.

C. El vrtice del ngulo es L.

D. El ngulo est formado por 2 rayos.

2. Cul es la clasificacin del ngulo?

A. Agudo.

B. Recto.

C. Obtuso.

D. Extendido.

3. Con respecto al ngulo presentado, qu alternativa es falsa?

A. m(BAOB) = 160

B. Si el ngulo aumenta en 20, corresponde a un ngulo recto.

C. El instrumento ocupado para medir el ngulo es el transportador.

D. La medida del ngulo se encuentra entre 90 y 180.

908070

6050

4030

2010

0

100 110 120 130 140 150160

170180

80 70 6050

40 30

2010

0

100110

120

130

140

150

160

170

180

B

O A

M

L P

143

322

Unidad 8

Evaluacin intermedia

Sexto A Sexto B

puntos

6

puntos

6

Diagrama de puntos

3. La informacin que se muestra corresponde a la altura, medida en centmetros, de diferentes estudiantes.

Sexto A: 158 - 152 - 160 - 165 - 154 - 154 - 152 - 160 - 165 - 158 - 160 - 154

Sexto B: 150 - 149 - 161 - 161 - 149 - 149 - 149 - 150 - 150 - 149 - 149 - 161

a. Construye un diagrama de puntos en el que representes las estaturas de los estudiantes de ambos cursos. Luego escribe una conclusin.

Diagrama de tallo y hojas

4. Lee la siguiente informacin y luego responde.

En un paradero se midi la frecuencia, en minutos, entre un bus y otro, tanto en la maana como en la tarde. Los tiempos cronometrados fueron los siguientes.

a. Construye un diagrama de tallo y hojas para ambas jornadas.

b. Escribe dos conclusiones con respecto a la comparacin de los diagramas de puntos.

Maana Tarde

23 - 5 - 2 - 5 - 10 - 9 - 3 - 20 - 15 - 6 - 8 - 9 - 9 - 10 - 3 - 21 - 7 - 12 - 15 - 10 - 9 - 15 - 10 - 9

12 - 10 - 15 - 10 - 9 - 8 - 7 - 10 - 11 - 12 - 9 - 15 - 8 - 27 - 26 - 15 - 9 - 10 - 10 - 15 - 10 - 9

Maana Tarde

297

Cmo vas?

puntos

6

puntos

6

Lectura e interpretacin de grficos de barras dobles

1. El grfico muestra la cantidad de estudiantes que tuvo correcta e incorrecta cada una de las 10 preguntas de cierta evaluacin.

a. Cuntos estudiantes rindieron la prueba?

b. Qu pregunta obtuvo una cantidad mayor de respuestas correctas?

c. En qu pregunta se present la mayor diferencia entre respuestas correctas e incorrectas?

Lectura e interpretacin de grficos circulares

2. Lee y luego responde.

Segn estadsticas publicadas por el INE el ao 2010, las diferentes bibliotecas pblicas hicieron compras de libros segn los tipos que se muestran en el grfico.

a. Qu tipo de libro es el que presenta mayor porcentaje?

b. Qu porcentaje corresponde a ficcin adulto?

c. Suponiendo que el total de libros correspondiera a 118, cmo interpretaras la cantidad que representa cada porcentaje en el grfico?

Resultados de una evaluacin

0

Preguntas

123456789

101112131415161718192021

P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P10

Nm

ero

de e

stud

iant

es

Correcta

Incorrecta

51,7%34,7%

13,6%

TIPO 1:Literatura infantil y juvenil

TIPO 2:Ficcin adulto

TIPO 3:No ficcin

Compras de libros

296

Qu aprendiste? Evaluacin final

Unidad 8

1. Observa el siguiente grfico y responde.

En el grfico de barras se muestra la cantidad de mujeres y hombres que hay en cada curso de una escuela.

a. En qu curso hay ms mujeres que hombres?

b. Cuntos estudiantes hay en la escuela?

c. Completa la tabla con la informacin del grfico.

Cantidad de estudiantes

1 2 3 4 5 6

Mujeres

Hombres

2. El grfico circular corresponde a las preferencias deportivas de 1.200 estudiantes de un colegio.

a. Escribe la mayor y la menor preferencia.

Mayor

Menor

b. Escribe la cantidad que representa cada preferencia.

Ftbol

Vleibol

puntos

3

puntos

2

Cantidad de estudiantes de 1 a 6

15

20

10 107 7

25

15

5

0

Curso

5

10

15

20

25

30

1 2 3 4 5 6

Mujeres

Hombres18

14 14

Can

tidad

de

estu

dian

tes

Preferencias deportivas

10% 20%

15% 30%

25% Ftbol

Bsquetbol

Vleibol

Atletismo

Natacin

CursoGnero

317

Estrategias para preparar el Simce MR Simce es marca registrada del Ministerio de Educacin.

316

Analiza cmo responder una pregunta de seleccin mltiple

Anlisis de las alternativas

1. El grfico corresponde a la distribucin de las reas dedicadas a distintas actividades, en un sector de la ciudad que tiene un total de 19.500 km2. Qu afirmacin es verdadera?

A. Los cultivos son menos de 7.600 km2 de la ciudad.

B. El rea urbana y la reserva forestal en conjunto tienen menor superficie que la superficie de los lagos y la ganadera.

C. El rea urbana corresponde a ms de 1.500 km2 de la ciudad.

D. El porcentaje de la distribucin del rea ganadera es mayor que 19%.

A. Se calcula el porcentaje que representan los cultivos, es decir, el 40% de 19.500 km2, lo que resulta:

19.500 10040

= 7.800.

Por lo tanto, la superficie de los cultivos corresponde a ms de 7.600 km2.

B. Al observarse la distribucin en el grfico circular, se relaciona cada rea con su correspondiente porcentaje, obtenindose:

C. Se calcula el rea urbana, que corresponde al 8% de 19.500 km2: 19.500 1008

= 1.560.

Por lo tanto, el rea urbana corresponde a ms de 1.500 km2.

D. El rea de la superficie ganadera es igual al 19% y no es mayor que este porcentaje.

1. A B DC Por lo tanto, la alternativa C es la correcta.

8% 8%

19% 40%

25%

Distribucin de reas de una ciudad

Cultivos

Lagos

Ganadera

Reserva forestal

rea urbana

rea urbana

8%

33% 27%>

Reserva forestal

25%

Lagos

8%

Ganadera

19%

316

Prepara la prueba 5 Sntesis Nombre: Curso:

Casa del Saber

Mdulo 1

Mdulo 2

Mdulo 3


Los ngulos se clasifican segn sus medidas.

Construccin de ngulos

ngulos entre rectas paralelas intersectadas por una transversal

En la imagen las rectas se intersectan. Se observa que para calcular la medida del ngulo b, se puede calcular el suplemento de 110:

b = 180 110 = 70

Se puede deducir que la medida de a, corresponde al mismo valor del suplemento de b, es decir, 110.

Construccin de ngulos ocupando instrumentos geomtricos y software


ngulos opuestos por el vrtice

ngulo entre rectas

Complemento y suplemento de un ngulo


Al construir un ngulo de 130, puedes considerar lo siguiente:

Ubicar dicha medida en el transportador, para luego construir el ngulo

ngulos ysus elementos

ngulos

Clasificacinde ngulos

Estimacin de la medida de ngulos

Medicin de ngulos

L1 // L2 y L3 transversal

m(BABC) = 125, correspondea un ngulo obtuso.

m(BDEF) = 65, correspondea un ngulo agudo.

125

B

C

A65

E D

F

130

130

Y Y

ZZ

X X

L1

L2110

L3

b

a

Pginas especiales

Reflexiona y comenta.

De qu regin chilena son los habitantes ms perjudicados por los incendios forestales?

Cul crees que es la principal razn por la que se producen los incendios forestales?

Cmo puedes ayudar a la prevencin de los incendios?

Nombra algunas campaas para la prevencin de este tipo de accidentes.

Competencia social y ciudadana

El grfico de barras dobles representa la informacin de la tabla.

Fuente: http://www.conaf.clRecuperado el 4 de octubre de 2012.

0

500

1.000

1.500

2.000

2.500

3.000Total ocurrencia incendios forestales

Cant

idad

de

ince

ndio

s

RegionesIII IV V RM VI VII VIII IX XIV X XI XII

Quinquenio 2010-2011

315

Competencias para la vidaLa informacin en grficos y tablas me ayudana comprender situaciones ecolgicas

Responde, segn la informacin entregada.

En total, cuntos incendios se produjeron en el perodo 2010/2011?

Marca con un la afirmacin correcta.

En el grfico se aprecia que la VIII Regin tiene mayor ocurrencia de incendios.

Segn el grfico, la Regin Metropolitana tiene la menor ocurrencia de incendios.

Competencia matemtica

Cada ao somos testigos de cmo se producen numerosos incendios forestales que afectan a gran parte de nuestra flora y fauna nativas, causando un dao natural irreparable. Generalmente estos ocurren en el perodo de verano y en la mayora de las ocasiones se deben a la irresponsabilidad de la gente.

La tabla muestra la ocurrencia de incendios forestales.

Total ocurrencia incendios forestales

Region Quinquenio 2006-2010 2010/2011

III 9 0

IV 31 48

V 789 824

RM 462 590

VI 214 221

VII 322 479

VIII 2.398 2.005

IX 944 580

XIV 100 69

X 231 97

XI 28 17

XII 20 22

314

Competencias para la vida


Estrategias para preparar el Simce MR

Prepara la prueba (Sntesis y repaso para que

pegues en tu cuaderno)

Qu sabes? Evaluacin inicial

Cmo vas? Evaluacin intermedia


Evaluacin integradora tipo Simce MR

ndice

Unidad Mdulo 1 Mdulo 2 Mdulo 3

ngulos y construccin de

ngulos

ngulos

ngulos y sus elementospg. 180

Medicin de ngulospg. 182

Clasificacin de ngulospg. 184

Estimacin de la medida de ngulospg. 186

Ponte a prueba pg. 187


Utilizacin de instrumentos y software geomtrico

pg. 188

Utilizacin de software geomtricopg. 191


ngulos entre rectas


pg. 194

ngulos opuestos por el vrticepg. 196


pg. 198

Educando en valores: cuidado de los animales

pg. 198


Polgonos y teselaciones

Polgonos

Polgonos regulares e irregularespg. 212

Tringulospg. 214

ngulos en un tringulopg. 216

ngulos en un cuadrilteropg. 218

Educando en valores: trabajo ordenado

pg. 218


Construccin de tringulos

Construccin de tringulos segn la medida de sus lados

pg. 220

Construccin de tringulos segn la medida de sus ngulos

pg. 222



Teselaciones

Transformaciones isomtricaspg. 228

Teselaciones regularespg. 232

Teselaciones semirregularese irregulares

pg. 234


5

pgs. 178 - 209

pgs. 210 - 245

6


ngulos y construccin de

ngulos

ngulos

ngulos y sus elementospg. 180

Medicin de ngulospg. 182

Clasificacin de ngulospg. 184

Estimacin de la medida de ngulospg. 186



Utilizacin de instrumentos y software geomtrico

pg. 188



ngulos entre rectas


pg. 194

ngulos opuestos por el vrticepg. 196


pg. 198

Educando en valores: cuidado de los animales

pg. 198


Polgonos y teselaciones

Polgonos

Polgonos regulares e irregularespg. 212

Tringulospg. 214

ngulos en un tringulopg. 216

ngulos en un cuadrilteropg. 218

Educando en valores: trabajo ordenado

pg. 218


Construccin de tringulos

Construccin de tringulos segn la medida de sus lados

pg. 220

Construccin de tringulos segn la medida de sus ngulos

pg. 222



Teselaciones

Transformaciones isomtricaspg. 228

Teselaciones regularespg. 232

Teselaciones semirregularese irregulares

pg. 234


Resolucin de problemas Competencias Simce MR Evaluaciones Sntesis y repaso

Estrategia

Utilizar una representacin para reconocer la medida de un ngulo

pg. 200

El estudio de la geometra me permite comprender distintas estructuras

Competencias:matemtica, conocimiento e interaccin con el mundo fsico

pg. 202

Anlisis de una pregunta de seleccin mltiple

pg. 204

Qu sabes?Evaluacin inicial

pg. 179

Cmo vas?Evaluacin intermedia

pg. 192

Qu aprendiste?Evaluacin final

pg. 205

Prepara la prueba 5

Estrategia

Establecer condiciones para la construccin de un tringulo

pg. 236

El estudio de teselaciones me ayuda a comprender obras de arte

Competencias:matemtica, cultural y artstica

pg. 238


pg. 240


pg. 211


pg. 226


pg. 241

Prepara la prueba 6

Matemtica 6 bsico - Tomo II

ndice


rea y volumen

Paraleleppedos y redesde construccin

Prismaspg. 248

Paraleleppedospg. 250

Redes de construccin de un paraleleppedo

pg. 252


Superficie de cubos y paraleleppedos

Unidades de superficiepg. 254

rea de un cubopg. 256

rea de un paraleleppedopg. 258

Ponte a pruebapg. 261

Volumen de cubos y paraleleppedos

Unidades de medida de volumenpg. 264

Volumen de cubos y paraleleppedospg. 266

Variacin de medidaspg. 270

Educando en valores: responsabilidad en tareas

pg. 269


Datos y probabilildades

Tratamiento de la informacin

Conceptos bsicospg. 284

Lectura e interpretacin de grfico de barras simples

pg. 286

Lectura e interpretacin de grfico de barras dobles

pg. 288


pg. 290

Diagrama de puntospg. 292

Diagrama de tallo y hojaspg. 294

Educando en valores: cuidado del entorno

pg. 288


Medidas de tendencia central

Media aritmticapg. 298

Modapg. 300

Medianapg. 302


Probabilidad

Experimentos aleatorios y determinsticos

pg. 304

Frecuencia relativa asociada a un suceso

pg. 306

Probabilidad de ocurrencia de un suceso

pg. 308

Uso de softwarepg. 310


pgs. 246 - 281

pgs. 282 - 321

7

8

Evaluacin integradora


rea y volumen

Paraleleppedos y redesde construccin

Prismaspg. 248

Paraleleppedospg. 250

Redes de construccin de un paraleleppedo

pg. 252


Superficie de cubos y paraleleppedos

Unidades de superficiepg. 254

rea de un cubopg. 256

rea de un paraleleppedopg. 258


Volumen de cubos y paraleleppedos

Unidades de medida de volumenpg. 264

Volumen de cubos y paraleleppedospg. 266

Variacin de medidaspg. 270

Educando en valores: responsabilidad en tareas

pg. 269


Datos y probabilildades

Tratamiento de la informacin

Conceptos bsicospg. 284

Lectura e interpretacin de grfico de barras simples

pg. 286

Lectura e interpretacin de grfico de barras dobles

pg. 288


pg. 290

Diagrama de puntospg. 292

Diagrama de tallo y hojaspg. 294

Educando en valores: cuidado del entorno

pg. 288


Medidas de tendencia central

Media aritmticapg. 298

Modapg. 300

Medianapg. 302


Probabilidad

Experimentos aleatorios y determinsticos

pg. 304

Frecuencia relativa asociada a un suceso

pg. 306

Probabilidad de ocurrencia de un suceso

pg. 308

Uso de softwarepg. 310


Resolucin de problemas Competencias Simce MR Evaluaciones Sntesis y repaso

Estrategia

Descomponer un cuerpo para reconocer su volumen

pg. 272

La geometra me ayuda a representar distintos elementos del entorno con cuerpos geomtricos

Competencias:matemtica, conocimiento e interaccin con el mundo fsico

pg. 274


pg. 276


pg. 247


pg. 262


pg. 277

Prepara la prueba 7

Estrategia

Interpretar la informacin de un grfico de barras dobles

pg. 312

La informacin en grficos y tablas me ayudan a comprender situaciones ecolgicas

Competencias:matemtica, social y ciudadana

pg. 314


pg. 316


pg. 283


pg. 296


pg. 317

Prepara la prueba 8

Evaluacin integradora pgs. 322 - 327

Matemtica 6 bsico - Tomo II

Desarrollo de la autonoma

Da

12345678910111213141516171819202122232425262728293031

1EV^S

Da

123456789101112131415161718192021222324252627282930

%FVMP

Da

12345678910111213141516171819202122232425262728293031

1E]S

Da

123456789101112131415161718192021222324252627282930

.YRMS

Da

12345678910111213141516171819202122232425262728293031

.YPMS

Prueba Traer materialesTarea para la casa

Da

12345678910111213141516171819202122232425262728293031

%KSWXS

Da

123456789101112131415161718192021222324252627282930

7ITXMIQFVI

Da

12345678910111213141516171819202122232425262728293031

3GXYFVI

Da

123456789101112131415161718192021222324252627282930

2SZMIQFVI

Da

12345678910111213141516171819202122232425262728293031

(MGMIQFVI

Prueba Traer materialesTarea para la casa

OD

C

AB

Peso

10

80

7060

5040 30 20

Cuarto de crculo

Sextante

ngulos yconstruccin de ngulos

Unidad 5

En esta unidad aprenders a: Reconocer un ngulo y sus elementos. Construir distintos ngulos con instrumentos geomtricos o con un software geomtrico. Estimar y medir ngulos usando el transportador, y expresar sus medidas en grados. Clasificar ngulos segn sus medidas. Calcular el complemento y el suplemento de un ngulo. Reconocer ngulos en rectas paralelas intersectadas por una transversal. Utilizar la medicin de ngulos en la resolucin de problemas. Abordar de manera flexible y creativa la bsqueda de soluciones a problemas.

Desde la antigedad el hombre ha observado las estrellas y para ello ha construido una gran cantidad de instrumentos, como el sextante o el cuarto de crculo, utilizados por losastrnomos y navegantes. El primero serva generalmente para medir la altura a la que est una estrella sobre el horizonte y el segundo se usaba para orientarse en el ocano.

178


1. Marca con un el ngulo que muestra una mayor abertura.

a. b. c.

2. Observa la siguiente representacin.

En el casillero se dibuj el ngulo AOB marcado en la imagen.

Dibuja en cada casillero el ngulo pedido segn la imagen.

a. b.

ngulo EFG ngulo COD

A

AA

B B B

O O O

A

BO

A

BO

G

E

F

O

D

C

AB

Peso

10

80

7060

5040 30 20

179

Mdulo

1

Unidad 5 / Geometra y medicin

ngulosngulos y sus elementos

El limpiaparabrisas de un automvil barre el vidrio movindose de un extremo a otro.

En la imagen, cada letra representa lo siguiente:

El punto fijo O del limpiaparabrisa.

El segmento que une el punto fijo O y el extremo del limpiaparabrisas en posicin normal A.

El segmento que une el punto fijo O y el extremo del limpiaparabrisas B, cuando se encuentra en movimiento.

Marca con un la figura que representa el dibujo respecto de los puntos AOB.

Segmento ngulo Lnea Recta

Observa y responde

Aprende

Un ngulo (B) es la abertura formada por dos rayos, que comparten un mismo origen llamado vrtice. Cada rayo se denomina lado del ngulo.

En general, un ngulo se nombra utilizando letras maysculas considerando el sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj (antihorario) y la letra central indica el vrtice del ngulo.

Ejemplos

ngulo ECD (BECD)

Lados CE y CDVrtice C

ngulo ABC (BABC)

Lados BA y BCVrtice B

C E

D A

B

C

AO

B

180

Practica

1. Identifica los elementos que componen cada ngulo. Identificar

a. ngulo PAL (BPAL). b. ngulo DIL (BDIL). c. ngulo FMP (BFMP).

Lados:

Vrtice:

Lados:

Vrtice:

Lados:

Vrtice:

2. Escribe el nombre de cada ngulo. Identificar

a. b. c.

3. Lee la situacin y luego responde. Analizar

Una puerta se abre y forma un ngulo. Los segmentos que corresponden a su posicin inicial y final, pueden dibujarse de la siguiente manera.

a. Qu letra representa el vrtice del ngulo dibujado?

b. Cmo se representan los lados del ngulo dibujado?

Reconocer ngulos y sus elementos

B A

C

A

P

LL

D

I

F

P

M

A

RP

M Q

JTC

B

181


Observa y responde

Medicin de ngulos

Matas y Valeria estn observando dos edificios desde su base hasta su cspide; ella mira el edificio de mayor altura y Matas, el ms bajo. Ambos estn a la misma distancia de los respectivos edificios.

Marca con un cada afirmacin verdadera.

Para mirar el edificio desde la base a su cspide, Matas debe elevar ms la mirada que Valeria.

Para mirar el edificio desde la base a su cspide, Valeria debe elevar ms la mirada que Matas.

Para mirar el edificio desde la base a su cspide, ambos elevan la mirada en la misma inclinacin.

Mdulo 1 / ngulos

Aprende

Para medir un ngulo, se puede utilizar un transportador.

Un ngulo se mide en el sentido contrario al de las manecillas del reloj, siguiendo este procedimiento:

Se hace coincidir el vrtice del ngulo con el centro de la base del transportador y ese mismo lado con 0.

Se identifica en el transportador la medida, en grados, que coincide con el otro lado del ngulo.

Ejemplo: para saber la medida del ngulo ABC o m(BABC), se tiene lo siguiente:

Por lo tanto, la medida del ngulo ABC es 70 o m(BABC) = 70.

D

F

E B

C

A

B BA A

C C

182

Practica

1. Utiliza el transportador para medir cada ngulo. Aplicar

a.

m(BAOC) =

b.

m(BMCL) =

c.

m(BDEH) =

d.

m(BIMA) =

2. Lee la siguiente situacin y luego responde. Analizar

Andrea y Matas observan los ngulos que forman con sus corcheteras.

Quin est en lo correcto? Explica.

Utilizar el transportador para medir ngulos

Uno de los sistemas de medicin utilizados es el sistema sexagesimal, que divide una circunferencia en 360 partes iguales. Cada parte corresponde a un grado sexagesimal (1).

Ojo con...

Los dos ngulos representados por las aberturas de las corcheteras tienen

igual medida.

OA E D

H

L

CMM A

I

C

El ngulo representadopor la abertura de

esta corchetera tiene mayor medida.

183


Segn las medidas que tengan los ngulos, se pueden clasificar en:

Aprende

Observa y responde


El tiro con arco es una disciplina olmpica que consiste en lanzar flechas que den en el centro de un objetivo llamado diana con la finalidad de lograr la mayor cantidad de puntos.

Considerando los segmentos marcados entre la flecha y la cuerda, encierra la opcin correcta.

Se forma un ngulo que mide entre 0 y 90.

Se forman dos ngulos que miden entre 0 y 90.

Se forman tres ngulos que miden entre 0 y 90.

Marca con un la afirmacin que seala lo que ocurre cuando se estira la cuerda al momento de lanzar la flecha, como se muestra en la imagen.

Se forma un ngulo que mide entre 0 y 90. Se forma un ngulo que mide entre 90 y 180.

Mdulo 1 / ngulos

Agudo: mide entre 0 y 90.

Ejemplo: el BEFG es un ngulo agudo, ya que m(BEFG) = 51.

Extendido o llano: mide 180.

Ejemplo: el BABC es un ngulo extendido, ya que m(BABC) = 180.

Completo: mide 360.

Ejemplo: el ngulo que se muestra mide 360, es decir, corresponde a un ngulo completo.

Recto: mide 90.

Ejemplo: el BUCH es un ngulo recto, ya que m(BUCH) = 90.

Obtuso: mide entre 90 y 180.

Ejemplo: el BAEI es un ngulo obtuso, ya que m(BAEI) = 152.

F E

G F

ABC

A

I

E

G

51

180

360

C U

H

90 152

184

Practica

Clasificar ngulos segn sus medidas

1. Escribe el nombre de cada tipo de ngulo, segn su medida. Clasificar

a.

Clasificacin:

b.

Clasificacin:

c.

Clasificacin:

d.

Clasificacin:

2. Utiliza el transportador para medir cada ngulo. Luego, clasifcalo. Analizar


B ESD

B GLK

B YLS

B JYL

3. Identifica el error cometido en la siguiente afirmacin. Luego, corrgelo. Verificar

La suma entre las medidas de dos ngulos agudos es siempre menor que la de un ngulo recto.

Error:

Correccin:

Para nombrar los ngulos tambin se suelen identificar con letras griegas. Algunas son:

a Alfa

b Beta

c Gama

d Delta

m Lambda

Ojo con...

AC

BG

K

M

LY

J

X

ES

D

c

d

b

a

185


Cuando no se conoce con exactitud la medida de un ngulo, es posible estimar su medida. Esta estimacin se puede hacer a partir de su forma o utilizando algn referente.

Aprende

Observa y responde

Mdulo 1 / ngulos

Ejemplos:

Segn su forma, se estima que el ngulo DRC mide entre 90 y 180, o aproximadamente 170. Adems, dada la forma que presenta, se puede inferir que corresponde a un ngulo obtuso.

Al relacionar parte de la interseccin de las lneas 2 y 5 del Metro de Santiago con rectas que se intersectan, se puede estimar que la medida de los ngulos que forman es de 90.

Lnea 5

Lnea 2

R D

C

Estimacin de la medida de ngulos

Las casas de una calle tienen techos en los cuales se pueden visualizar ngulos de diferentes medidas.

Marca con un la afirmacin que sea correcta.

La casa de color azul tiene un techo que forma un ngulo mayor que 90.

La casa de color rojo tiene un techo que forma un ngulo mayor que 90.

La casa de color amarillo tiene un techo que forma un ngulo menor que 90.

Remarca la opcin de la casa en cuyo techo se identifique un ngulo recto.

Casa de color rojo Casa de color azul Casa de color verde Casa de color amarillo

186

Gentileza: Metro de Santiago

Practica

Estimar medidas de ngulos

1. Clasifica sin medir los siguientes ngulos. Luego, estima las medidas aproximadas de cada ngulo. Observa el ejemplo. Reconocer

El BABC se clasifica como un ngulo agudo; adems, es posible estimar que su medida est entre 50 y 60. Por lo tanto, medira aproximadamente 55.

a. b. c.

Ponte a prueba Utilizando un

transportador, mide los ngulos que se encuentran encerrados de color rojo.

Encierra con color verde los ngulos obtusos que identifiques en el trayecto de la lnea 2.

Estima entre qu ngulos est el ngulo de color verde. Luego, aproxima su medida.

B A

C

G

H F

E

O

Y

LD

I

Clasificacin:

Medida estimada:

Clasificacin:

Medida estimada:

Clasificacin:

Medida estimada:

187

Mdulo


Para construir un ngulo dada su medida, se pueden utilizar distintos instrumentos geomtricos (un transportador, una regla o un comps). Por ejemplo, para construir el ngulo FEH tal que m(BFEH) = 70, se puede realizar lo siguiente:

Utilizacin de instrumentos y software geomtricos

Para confeccionar una maqueta, Claudio debe construir con precisin un ngulo de 43. Para ello, realizar lo siguiente:

Dibuja el rayo OA (OA) en un papel, como se muestra.

Ubica el transportador respecto al rayo OA, de modo que el punto O coincida con el centro del transportador. Luego, desde el centro del transportador dibuja el rayo OB que intersecte en los 43 sealados en el transportador.

Marca con un el dibujo que represente dicha situacin.

Explica en qu se diferencian los ngulos anteriores.

Construccin de ngulos2

Aprende

Observa y responde

A AO O

BB

1 Se dibuja el rayo EF.

2 Se ubica el transportador segn el rayo, de manera que el inicio de este

coincida con el centro del transportador.

3 Se marca con el transportador la medida del ngulo.

4 Utilizando una regla, se dibuja el otro lado del ngulo FEH.

FE

AO

FE

70

FE

H

70

FE

H

188

Practica

1. Construye cada ngulo segn lo descrito. Aplicar

a. BABC tal que m(BABC) = 35. b. BJKL tal que m(BJKL) = 114.

2. Realiza cada construccin segn lo pedido. Analizar

a. Construye un ngulo cuya medida sea igual a m(BYXS).

b. Construye un ngulo con la condicin que al sumar su medida con m(Ba), resulte unngulo extendido.

c. Construye un ngulo cuya medida, sumada con la medida del ngulo OPQ, resulte 90.

Construir ngulos utilizando instrumentos geomtricos

Conectad@sIngresa a:www.casadelsaber.cl/mat/604y encontrars una actividad para complementar este contenido.

YX

S

a

OP

Q

189


Para copiar el ngulo ABC (BABC) utilizando la regla y el comps,puedes guiarte por los siguientes pasos:

3. Analiza la siguiente informacin. Analizar

Copia el siguiente ngulo.

Mdulo 2 / Construccin de ngulos

1 Dibuja una recta L1 y marca, usando el comps,el segmento BA en ella. Llmalo BA.

2 Con centro en A, dibuja un arco de circunferencia cuyo radio sea la medida de AC. La interseccin de los puntos ser C.

3 Finalmente, utilizando una regla, traza el rayo BC. Entonces se obtiene el ngulo ABC.

A

C

B

A

C

B

A

C

B

A

C

B

B AL1

B AL1

B AL1

C

C

A

C

B

190

4. Utiliza el software geomtrico GeoGebra para realizar la siguiente actividad. Luego, responde. Analizar

Haz clic sobre el tringulo que aparece en el botn y se desplegar un men con varias opciones:

Utilizando el software geomtrico GeoGebra, construye un ngulo agudo, un ngulo recto, uno obtuso y uno extendido, utilizando las dos opciones presentadas.

Construir ngulos utilizando instrumentos y software geomtricos

Ponte a pruebaUtilizando el software geomtrico GeoGebra, se ha construido elsiguiente ngulo.

Cunto mide el ngulo ABC?

Construye en tu cuaderno el mismo ngulo utilizando instrumentos geomtricos y el software geomtrico GeoGebra.

Nota: la aplicacin GeoGebra (www.geogebra.org), creada por Markus Hohenwarter,fue incluida en este texto con fines de enseanza y a ttulo meramente ejemplar.

Con esta opcin puedes construir un ngulo de

cualquier medida. Para ello, ubica 3 puntos,

A, B y C, en el sentido contrario a las manecillas

del reloj; el punto B corresponder al vrtice del

ngulo en el plano. Luego, presionando sobre

el tringulo que aparece en el botn se

desplegar un men y haces clic sobre el

botn para remarcar desde el vrtice cada

extremo del ngulo.

Opcin 1 Opcin 2

Con esta opcin puedes construir un ngulo a partir de una medida dada. Para ello, ubicas 2 puntos, A y B, de izquierda a derecha y aparecer:

En el cuadro que aparecer escribes la medida

del ngulo, por ejemplo 60. Luego, presionando

sobre el tringulo que aparece en el botn

se despliega un men y haces clic sobre el

botn para remarcar desde el vrtice

hasta cada extremo

del ngulo.

ngulo ngulo dada su amplitud

191

Cmo vas?ngulos y sus elementos

1. Completa con los elementos pedidos en cada caso.

a. b. c.

Medicin de ngulos

2. Utiliza el transportador para medir cada ngulo.

a. b. c.


3. Clasifica los siguientes ngulos. Para ello, escribe agudo, obtuso o extendido, segn corresponda.

a. b. c.

puntos

3

puntos

3

puntos

3

Vrtice:

Lados:

Vrtice:

Lados:

Vrtice:

Lados:

Clasificacin: Clasificacin: Clasificacin:

m(BDEF) = m(BMPQ) = m(BLKJ) =

C

AB Q

P

R

F

D

E

P

Q

RQ

T

ZI

H

J

Q P

ML

K

J

T

U

W

192

Unidad 5

Evaluacin intermedia

Estimacin de ngulos

4. Analiza la figura y responde.

a. Escribe 5 ngulos obtusos.

b. Aproximadamente, cul es la medida del ngulo DGA?

c. Aproximadamente, cunto suman m(BNGF) y m(BAGN)?

Utilizacin de instrumentos y software geomtricos

5. Construye cada ngulo segn la medida correspondiente.

a. BBEA tal que m(BBEA) = 50. b. BFGH tal que m(BFGH) = 165.

6. Realiza la construccin segn lo solicitado.

ngulo cuya medida, sumada con m(BFSZ), resulte 180.

puntos

3

puntos

4

puntos

2

A B G

N

LKJ

H

F

M

C

ED

SZ

F

193

Mdulo


Dos ngulos son complementarios si la suma de sus medidas es igual a 90.

Ejemplo: si m(BMPQ) = 35 y BQPR es complementario al BMPQ, cul es la medida delBQPR?La suma de sus medidas es 90, entonces: m(BQPR) = 90 35 = 55.


En las lneas de ferrocarriles existen distintas estructuras que permiten modificar la posicin de las vas para asignar diferentes trayectos a los trenes que transitan por ellas. Esto puede representarse de la siguiente manera:

Marca con un si la afirmacin es correcta.

m(BDBA) = b + a El ngulo DBC es obtuso. El ngulo CBA es obtuso.

Suponiendo que b = 40, encierra el recuadro que corresponde a la medida de a.

ngulos entre rectas3

Observa y responde

Aprende

Dos ngulos son suplementarios si la suma de sus medidas es igual a 180.

Ejemplo: si BABC es extendido, cul es la medida de b?

La medida del ngulo b es 118, ya que:

b = 180 62 = 118

a = 40 a = 90 a = 140

P PM M

Q

QQ

RR

P

C B A

62b

C B A

6235

55

b

A AB BD D

C C

a b

194

Practica

1. Completa con la medida que se pide en cada caso. Aplicar

2. Resuelve los siguientes problemas. Analizar

a. La recta AB se intersecta con el rayo CD en el punto C. Cul es la medida de a?

Calcular el complemento y el suplemento de distintos ngulos

a. El complemento de 65.

b. El suplemento de 128.

Son ngulos adyacentes suplementarios los que tienen un lado con un vrtice en comn y los otros lados estn en una misma recta.

Ejemplo:

En este caso, BHGI y BFGH son adyacentes.

Sabas que...?

I G F

H

42138A C

D

B

73a

Q T S

WP

48

b

ab

D

M N

E

F

c. El complemento del complemento de 80.

d. El suplemento del complemento de 60.

b. Si m(BSTP) = 90, cul es la medida de b? c. En la recta MN, que contiene el punto D, se sabe que a = 40 y b = 25. Cul es la medida del ngulo EDF?

195


Dos ngulos son opuestos por el vrtice si las prolongaciones de sus lados corresponden a los lados del otro ngulo.

Cuando dos ngulos son opuestos por el vrtice tienen igual medida.

Los ngulos opuestos por el vrtice son:

BTPS y BQPR ; BSPQ y BRPT

Mdulo 3 / ngulos entre rectas

Observa y responde

ngulos opuestos por el vrtice

En una exposicin area se realizan diferentes acrobacias, como las que se muestran a continuacin.

Utilizando el transportador, completa con la medida de los siguientes ngulos.

BABC BCBD

BDBE BEBA

Marca con un la afirmacin que es correcta.

El BABC tiene la misma medida que el BCBD.

El BCBD tiene la misma medida que el BEBA.

El BDBE tiene la misma medida que el BABD.

Aprende

Ejemplo:

El BQPR es opuesto por el vrtice con el BTPS. Por lo tanto, m(BQPR) = 54. Adems, el BSPQ es suplementario al BTPS, es decir, m(BSPQ) = 126. Luego, el BRPT es opuesto por el vrtice con elBSPQ, es decir, m(BRPT) = 126.

TR

Q S

P

TR

Q S

54

DC

A

B

E

P

126

126

54

196

Practica

1. Escribe 3 pares de ngulos opuestos por el vrtice en cada figura. Interpretar

a. b.

2. Completa con las medidas de los ngulos pedidos. Aplicar

a. b.

3. Resuelve los siguientes problemas. Analizar

a. Las rectas NQ , UR y PT se intersectan en el punto S. Si m(BPSN) = m(BRSP), cules son las medidas de a y b?

b. Las rectas FB y EC se intersectan con la recta AD en los puntos G y H. Calcula:

Reconocer las medidas de ngulos opuestos por el vrtice

a =

b =

c =

a =

b =

m(BAGB) =

m(BDHE) =

m =

d =

a =

Para nombrar una recta, se puede considerar lo siguiente:

AB se lee recta AB.

L1 se lee ele uno.

Recuerda que...

39

C B

AD

G D

C

F E

AH

BE F

G

a

b

c

L1

L1L3

L2

L2

110

60

130

d

a

m

A B

L1

77N

UT

Q

S

RP

ab 95

110

A

H

D

F

EC

GB

197


Una recta transversal es aquella que intersecta a 2 o ms rectas. Si una recta transversal intersecta a un par de rectas paralelas se tiene lo siguiente:

Mdulo 3 / ngulos entre rectas

Aprende

Observa y responde


Un campesino disea una cerca para un corral de animales. Utiliza listones que distribuye en forma horizontal separados por la misma distancia, y en forma diagonal, como se muestra en la imagen:

Marca con un si la afirmacin es correcta.

Los listones puestos de forma horizontal son paralelos entre ellos.

Los listones puestos de forma horizontal son paralelos a los listones puestos de forma vertical.

Utilizando un transportador, completa con la medida del ngulo pedido en cada caso.

m(BCBA) = m(BBCD) = m(BFCB) = m(BEBC) =

Educando en valoresLos animales domsticos pueden ser de gran ayuda, por eso debemos cuidarlos y protegerlos.

E

D

B

C

A

F

ngulos correspondientes

Son aquellos que tienen igual medida y ocupan la misma posicin con respecto a la transversal.

Ejemplo:

Estos son:

Ba y Be Bb y Bf Bc y Bg Bd y Bh

ngulos alternos: internos y externos

Alternos internos: son aquellos que se encuentran al interior de las rectas paralelas con respecto a la transversal y tienen igual medida.

Alternos externos: son aquellos que se encuentran al exterior de las rectas paralelas con respecto a la transversal y tienen igual medida.

Ejemplo:

Los ngulos alternos internos son: Bd y Bf; Ba y Bg.

Los ngulos alternos externos son: Bb y Bh; Bc y Be.

L1 // L2L3 transversal

L1 // L2L3 transversal

a

e

b

f

c

g

d

h

L1

L2

L3

a eb fc gd h

L3

L1 L2

198

Practica

Reconocer la medida de ngulos entre paralelas

1. Escribe la medida de cada ngulo, segn corresponda. Aplicar

a. En la figura L1 // L2. b. En la figura L1 // L2 y L3 // L4.

2. Observa la siguiente figura. Luego, escribe V si la afirmacin es verdadera o F, si es falsa. Justifica en cada caso. Evaluar

Las rectas paralelas son aquellas que por ms que se prolonguen indefinidamente, nunca se intersectan. Se representan por //.

Recuerda que...

Ba = Bb =

Bc = Bd =

Ba = Bb =

Bc = Bd =

a. La medida del ngulo b se calcula como 90 56.

Justificacin:

b. La medida del ngulo a es 56.

Justificacin:

c. La suma de las medidas de los ngulos a y b es 180.

Justificacin:

Ponte a pruebaEn la figura, KJ // HI , m(BDCI) = 76 y m(BFBC) = 52.

Calcula a + b

L3L4 L3

L1

L2

L1

L2a

a

c

d b

128110

56

c d

b

a

b

L2

L3

L1

AK

H

G F

C

D I

J

E

Ba

b

L1 // L2

199


Observa la resolucin del siguiente problemaEn la figura, EP es paralela al segmento AB y el segmento CB es paralelo al segmento AD. Si m(BABC) corresponde al complemento de un ngulo de 38, cul es la medida del Ba?

PASO 1 Explica con tus palabras la pregunta del problema.

Se quiere saber cul es la medida del Ba, que corresponde a la medida del ngulo obtuso que se forma en la interseccin entre EP y el segmento AD.

PASO 2 Identifica los datos importantes.

Se tiene que: AB // EP , CB // AD y la m(BABC) corresponde al complemento de 38.

PASO 3 Calcula y escribe la solucin.

Como m(BABC) corresponde al complemento de 38, entonces m(BABC) = 90 38 = 52.

Considerando que CB // AD , entonces: m(BBAD) = m(BABC) = 52.

Utilizando ngulos correspondientes entre paralelas se cumple que m(BPED) = 52.

Por ltimo, el ngulo a corresponde al suplemento del BPED, es decir:

a = 180 52 = 128

PASO 4 Revisa la solucin.

En el dibujo se aprecia que: m(BABC) = 90 38 = 52, m(BBAD) = 52 y m(BPED) = 52.

Adems, se cumple que: a + m(BPED) = 180, a = 128 y m(BPED) = 52.

CB

P

D EA

a

CB

P

D EA

a

52

52 52

200

Unidad 5

Revisa la solucin.

Calcula y escribe la solucin.PASO 3

Identifica los datos importantes.PASO 2

Explica con tus palabras la pregunta del problema.PASO 1

PASO 4

Ahora hazlo tEl cuadriltero ABCD es un paralelgramo, es decir, todos sus lados opuestos son paralelos. Si JM // DB , cul es la medida delngulo DCE?

B

D

A

E

C

M

J

72

201

Competencias para la vida

Competencia matemtica

Responde, segn la informacin entregada.

El estudio de la geometra me permite comprender distintas estructurasUn avin es una aeronave provista de alas y un cuerpo de carga capaz de volar, propulsada siempre por uno o ms motores. Las principales partes de un avin son: alas, fuselaje, sistemas de control (estabilizadores horizontales y verticales), grupo motopropulsor, tren de aterrizaje e instrumentos de control.

Mide el ngulo de ataque que se presenta en la imagen y luego constryelo, utilizando regla y transportador.

Con respecto a la imagen de la cola del avin, explica cul de ellas se puede relacionar con rectas paralelas.

ala

tren de aterrizaje

estabilizador horizontal

estabilizador verticaly timn de direccin

motor

fuselaje

202

Reflexiona y comenta.

Qu propulsa al avin para que pueda volar?

Cules son las principales partes del avin que le permiten volar?

Determina en cules tipos de colas los estabilizadores podran ser perpendiculares entre s.

Competencia en el conocimiento e interaccin en el mundo fsico

En la cola del avin se ubican los estabilizadores verticales y horizontales. Hay diferentes tipos de colas de avin, por ejemplo:

estndar en forma de T en forma de cruz en forma de V

ngulo de ataque

Cuando el avin est en el aire, se conoce como ngulo de ataque el que forman el perfil del ala y la direccin del viento.

direccin del vientongulo de ataque

203

Estrategias para preparar el Simce MR Simce es marca registrada del Ministerio de Educacin.

204

Analiza cmo responder una pregunta de seleccin mltiple

Anlisis de las alternativas

1. El plano que se muestra representa el trayecto que sigue Juan al momento de dirigirse al colegio.Juan sabe que las calles Jos Donoso, Gabriela Mistral y Pablo Neruda son paralelas entre s; y sonintersectadas por la calle Nicanor Parra. Cul es la medida del ngulo a?

A. 80

B. 100

C. 190

D. 280

A. Se calcula la diferencia entre la medida de un ngulo completo (360) y la medida del ngulo que se muestra (280), obtenindose 80.

B. Se calcula la diferencia entre la medida de un ngulo completo (360) y los 280 representados en el plano, obteniendo 80. Luego, se calcula su suplemento 180 80 = 100, que corresponde al valor de la medida del ngulo a.

C. Para calcular la medida del ngulo a, se calcula la diferencia entre 280 y 90, ya que se relaciona en forma errnea con la medida del ngulo que falta a 280 para formar un ngulo de 360.

D. Existe una confusin respecto del ngulo del cual se desea calcular su medida y se piensa que corresponde al ngulo de giro que realiza Juan.

1. A C DB Por lo tanto, la alternativa B es la correcta. B

Jos Donoso

Colegio

Pablo Neruda

Gabriela Mistral

Bal

dom

ero

Lillo

Nic

anor

Par

ra

280

Juan

a

204


Unidad 5

puntos

3

puntos

6

puntos

2

1. Identifica 9 ngulos distintos en la figura. Luego escrbelos.

2. Utiliza el transportador y mide los ngulos pedidos. Luego, clasifcalos.


BUPQ

BVXQ

BRUP

BXZV

BPUZ

BQPX

3. Observa el siguiente dibujo y luego estima la medida de los ngulos a y b. Justifica tu respuesta.

Justificacin:

A

E

C

F

D

B

Y

P

Q

R

ST

UV

Z

W

X

b

a

205

Qu aprendiste?

206

puntos

4

puntos

4

puntos

4

4. Utiliza el transportador y la regla para construir los ngulos pedidos.

a. Dos ngulos, uno que mida 34 y el otro que sea el complementario de dicho ngulo.

b. Dos ngulos, uno que mida 125 y otro que sea el suplementario de este.

5. Escribe V si la afirmacin es verdadera o F, si es falsa. Justifica en cada caso.

a. El complemento de un ngulo es menor que 90.

Justificacin:

b. El suplemento de un ngulo agudo es menor que 90.

Justificacin:

c. La suma de las medidas de dos ngulos agudos siempre corresponde a la medida de un ngulo obtuso.

Justificacin:

d. El suplemento de un ngulo obtuso corresponde a la medida de un ngulo agudo.

Justificacin:

6. Calcula la medida de los ngulos en cada caso.

En la siguiente figura, las rectas L1, L2 y L3 se intersectan en un punto O. Calcula las medidas de los ngulos a, b, c y d.

40

60

O

ab

cd

L1

L2

L3

206

Unidad 5

puntos

4

Marca con una la alternativa correcta.

7. Respecto de la medida de un ngulo, cul de las siguientes afirmaciones es siempre verdadera?

A. Depende solo del largo de las rectas, segmentos o rayos que lo forman.

B. Depende de la abertura de los rayos que lo forman.

C. Depende tanto de la abertura como del largo de las rectas, segmentos o rayos que lo forman.

D. No depende ni del largo de las rectas, segmentos o rayos que lo forman ni de la abertura de estos.

8. En el siguiente dibujo, qu puntos representan los vrtices de un ngulo?

A. Los puntos R y Q.

B. Los puntos P y S.

C. Los puntos Q y P.

D. Los puntos P y R.

9. Cul es la medida estimada del ngulo a?

A. 5

B. 45

C. 90

D. 120

10. Utilizando tu transportador responde: qu ngulo tiene la misma medida que el BGHI?

A. B. C. D.

S Q

R

G

I

H

A

T

S

U

P

E

DF

R

QB

C

B

O A

C

T P

V U

a

207

Qu aprendiste?

208

puntos

4

11. Cul de las descripciones corresponde a la de un ngulo agudo?

A. Medida mayor que 90.

B. Medida igual que 180.

C. Medida mayor que 0 y menor que 90.

D. Medida mayor que 90 y menor que 180.

12. Cul de las siguientes situaciones se relaciona con un ngulo recto?

A. El ngulo que forma con la pared una puerta semiabierta.

B. El ngulo que se forma en cada esquina en un marco de forma cuadrada.

C. El ngulo que forma con respecto al piso una escalera apoyada en una pared.

D. El ngulo que se genera con respecto a la horizontal al mirar la cspide de un edificio.

13. Cul de los siguientes ngulos es obtuso?

A.

B.

C.

D.

14. Si las rectas L1, L2 y L3 se intersectan en un mismo punto, cul es la medida de a?

A. 35

B. 45

C. 65

D. 80

O

NM

I

H G K J

L

R PQ

11035

a

L1

L2

L3

208

Unidad 5

puntos

5

15. Con respecto a los ngulos suplementarios, cul de las siguientes afirmaciones es verdadera?

A. Dos ngulos son suplementarios si la suma de sus medidas es igual a 90.

B. Dos ngulos son suplementarios si la suma de sus medidas es igual a 180.

C. Dos ngulos son suplementarios si la suma de sus medidas es menor que 90.

D. Dos ngulos son suplementarios si la suma de sus medidas es mayor que 90 y menorque 180.

16. Cul es el suplemento del complemento de 37?

A. 53

B. 127

C. 143

D. 153

17. El complemento del suplemento de un ngulo a es 45. Cul es la medida del ngulo a?

A. 45

B. 90

C. 135

D. 145

18. Si en la figura AE es una lnea recta y OC es perpendicular a AE, cul de las siguientesafirmaciones es verdadera?

A. BAOB es suplementario de BBOC

B. BBOC es suplementario de BCOE

C. BAOD es suplementario de BDOE

D. BAOB es complementario de BBOD

19. Si a + b < 90, cul es el suplemento de a + b?

A. 90 (a + b)

B. (a + b) 90

C. 180 (a + b)

D. (a + b) 180

BuscaPrepara laprueba 5

E O A

B

C

D

209

Polgonos y teselacionesUnidad 6

En esta unidad aprenders a: Reconocer polgonos regulares e irregulares. Clasificar tringulos segn las medidas de sus lados y sus ngulos. Reconocer la medida de ngulos en tringulos y cuadrilteros. Construir tringulos segn las medidas de sus lados o ngulos utilizando instrumentos geomtricos. Aplicar transformaciones isomtricas a distintas figuras planas. Reconocer y construir teselaciones. Manifestar un estilo de trabajo ordenado y metdico.

El viaducto del Malleco en la regin de la Araucana, es un puente ferroviario que tiene 102 metros de altura y fue considerado el ms alto cuando se construy, a fines del siglo XIX.

Su estructura est formada por tringulos, nico polgono que no se deforma al aplicarse una fuerza sobre l.

210


1. Utilizando un transportador, calcula la medida de cada ngulo y luego clasifcalo.

a.

m(BEDC) =

Clasificacin:

b.

m(BKLJ) =

Clasificacin:

2. Escribe el nombre de la figura geomtrica representada en cada imagen.

a. b.

3. Lee la siguiente informacin. Luego, responde.

Un estudiante afirma que, adems de las figuras geomtricas relacionadas con el puente, existen muchas otras figuras geomtricas.

Dibuja al menos 2 figuras geomtricas diferentes a las presentadas en la pregunta anterior.

CJ K

L

D

E

211

Mdulo

1

Unidad 6 / Geometra

Un polgono es una figura geomtrica cerrada que tiene 3 o ms lados; adems, en sus vrtices nicamente se unen dos lados consecutivos. Generalmente, se identifica cada vrtice con una letra mayscula.Un polgono es regular si todos sus ngulos interiores y sus lados tienen igual medida (son congruentesentre s). Si no tiene estas caractersticas, el polgono es irregular.

Ejemplos: a continuacin se muestra un octgono regular y uno irregular.

Aprende

PolgonosPolgonos regulares e irregulares

Un grupo scout sale a acampar y dispone sus carpas en un terreno delimitando los rincones con estacas y lienzas. Mirado desde arriba se observa lo siguiente:

Remarca la afirmacin correcta.

Marca con un la afirmacin correcta. En caso contrario, marca con una .

La figura 1 tiene 6 ngulos interiores. La figura 3 tiene 4 ngulos interiores.

Observa y responde

En la figura 2 todos los lados tienen igual medida. En la figura 4 no todos los lados tienen igual medida.

ABCDEFGH, octgono regular. OPQRSTUV, octgono irregular.

Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4

A O

F T

B P

E S

DR

G U

C QHV

135 142139

135 130

140

137

135

135

135

141

119

135 132

135

135

212

Practica

Clasificar polgonos regulares e irregulares

1. Pinta con color rojo los polgonos regulares y con azul los polgonos irregulares. Clasificar

2. Escribe regular o irregular, segn las caractersticas de cada polgono. Analizar

a. b. c.

3. Escribe V si la afirmacin es verdadera o F, si es falsa. Justifica en cada caso. Evaluar

a. Los trapecios son polgonos regulares.

Justificacin:

b. Los trapezoides son polgonos irregulares.

Justificacin:

c. Todos los paralelgramos son polgonos regulares.

Justificacin:

Los cuadrilteros pueden ser:

Paralelgramo: sus lados opuestos son paralelos.

Trapecio: tiene dos lados opuestos paralelos.

Trapezoide: no tiene lados paralelos.

Recuerda que...

2,5 cm

2,5 cm

2 cm 4 cm

4 cm

4 cm

3 cm

3 cm

3 cm

3 cm

2 cm

13060

30

30

150 150

60 60130

115 115

115 115

2,5 cm

2,5 cm

213

Unidad 6 / Geometra

Observa y responde

Un tringulo es un polgono de 3 lados que tiene 3 vrtices y 3 ngulos interiores.

Segn las medidas de sus lados, los tringulos se clasifican en:

En todo tringulo se cumple la desigualdad triangular, es decir, para que exista un tringulo debe ocurrir que cada lado sea menor que la suma de los otros dos.

En el tringulo ABC, cada lado mide lo siguiente:

m(AB) = c, m(BC) = a, m(CA) = b

a + b > c b + c > a a + c > b

Aprende

Observa y responde

Tringulos

Un entrenador de vleibol ha dispuesto a sus jugadores en la cancha de la siguiente forma:

Al unir los puntos A, B y C, qu figura se forma?

Marca con un las afirmaciones que son verdaderas y conuna las que son falsas.

Con los puntos D, E y F se puede formar un tringulo.

La suma de las medidas de las longitudes DE y BD es mayor que la longitud entre B y E.

Se puede dibujar un tringulo que tenga dos lados con la misma medida.

Mdulo 1 / Polgonos

A

C

FE

D

B

Todos sus lados tienen igualesmedidas.m(EF) = m(FG) = m(GE)

Equiltero Issceles Escaleno

C

b a

cA B

GI N

M

LG HE F

Tiene 2 lados de iguales medidas.m(HI) = m(GH)

Todos sus lados tienen distintasmedidas.m(LM) ! m(MN) ! m(NL)

214

Practica

1. Clasifica los siguientes tringulos segn las medidas de sus lados. Clasificar

a.

b.

c.

d.

e.

f.

2. Explica si las medidas presentadas corresponden a los lados de un tringulo. Analizar

a. 4 cm, 6 cm y 10 cm b. 30 mm, 30 mm y 50 mm c. 2 dm, 2 dm y 6 dm


a. Los lados de un tringulo escaleno no cumplen la desigualdad triangular.

Justificacin:

b. Los lados de igual medida en un tringulo issceles miden menos que la longitud del tercer lado.

Justificacin:

c. En un tringulo equiltero, la suma de las medidas de dos de sus lados es el doble que la medida del tercero.

Justificacin:

d. Existe un tringulo escaleno cuyos lados miden 5 cm, 4 cm y 9 cm, respectivamente.

Justificacin:

Clasificar tringulos segn las medidas de sus lados

10 cm6 cm

8 cm

3 cm

3 cm 3 cm

4,8 mm

3,2 mm3,2 mm

6 m

6 m

1,5 m

5 cm 6 cm

5 cm8 cm

5 cm 5 cm

215

Unidad 6 / Geometra

Observa y responde

Los tringulos se pueden clasificar segn la medida de sus ngulos interiores, que suman 180.

Aprende

Observa y responde

ngulos en un tringulo

Anita le comenta a Cristin que sabe cmo deducir cul es la suma de los ngulos interiores de un tringulo.

Cunto mide un ngulo extendido o llano?

Utilizando un papel, recrtalo de manera que formes un tringulo. Luego, dobla cada uno de los vrtices de forma que coincida con el lado opuesto a ese vrtice.

Con qu clasificacin de ngulo relacionas el BCBA?

Cunto suman los ngulos interiores de un tringulo? Explica tu razonamiento.

Mdulo 1 / Polgonos

Tiene todos sus ngulos interiores agudos, es decir, menores que 90.

Tiene un ngulo interior recto, es decir, mide 90.

Tiene un ngulo interior obtuso, es decir, mayor que 90 y menor que 180.

Acutngulo Rectngulo ObtusnguloF

D

E

G H KL

MJ

C C

B

A AB ABC

216

Practica

1. Clasifica cada uno de los tringulos segn la medida de sus ngulos interiores. Clasificar

a. b. c.


a. Un tringulo rectngulo tiene un ngulo recto y uno de los otros ngulos puede ser obtuso.

Justificacin:

b. Todo tringulo equiltero siempre es acutngulo.

Justificacin:

c. Si un tringulo issceles tiene un ngulo obtuso, los otros dos son ngulos agudos.

Justificacin:

d. Un tringulo obtusngulo tiene tres ngulos obtusos.

Justificacin:

3. Calcula la medida de cada ngulo interior en los siguientes tringulos. Calcular

a. b.

Clasificar tringulos segn las medidas de sus ngulos

Los ngulos en la base de un tringulo issceles tienen igual medida.

a b=

Sabas que...?

X

W35 35

60

60

D E S O

RF

Z

V

W

X

Q

H I

J

P

130

40

30

a

b

ba

c

217

Unidad 6 / Geometra

Observa y responde

ngulos en un cuadriltero

Para comprobar que la suma de los ngulos interiores de un cuadriltero siempre es igual a 360, Julio realiza lo siguiente.

Recorta un trozo de papel con forma de cuadriltero. Al trazar la diagonal AC , se forman dos tringulos,como se muestra.

Con respecto a los tringulos recortados, marca con un la afirmacin que sea correcta.



Cunto suman los ngulos interiores de un cuadriltero? Explica tu razonamiento.

Mdulo 1 / Polgonos

Aprende

Los cuadrilteros son polgonos, compuestos por cuatro lados correspondientes a segmentos de rectas. La medida de los ngulos interiores de cualquier cuadriltero siempre suman 360.

Ejemplo: en el cuadriltero, cul es la medida del BFED?

La suma de los ngulos interiores debe ser igual a 360. Luego:

75 + 110 + 70 + m(BFED) = 360

m(BFED) = 360 255

m(BFED) = 105

A A

C C

B

A

DD

C

B

DF

G

E

75110

70

?

Educando en valoresCuando realizas un trabajo con orden y claridad puedes comprender de mejor forma los contenidos estudiados.

218

Practica

Reconocer la medida de los ngulos interiores en cuadrilteros

1. En los siguientes cuadrilteros, calcula la medida del ngulo pedido. Aplicar

a.

m(BGFE) =

b.

m(BONM) =

c.

m(BWZY) =

d.

m(BLPR) =


a. En un cuadrado, los ngulos interiores tiene medidas iguales.

Justificacin:

b. En un rectngulo, los ngulos interiores tienen medidas distintas.

Justificacin:

Ponte a pruebaEn el hexgono ABCDEF se han dibujado 2 trapecios.

Calcula.

m(BBAF) = m(BCBA) =

Cunto suman los ngulos interiores del hexgono ABCDEF? Explica.

H70 70

110

135

120 53

72 135

66 72

13545

G

FE

M O

G R

P

LR

N

X Y

ZW

A

120

120120

60

60

60

60B

C D

E

F

219

Mdulo

Unidad 6 / Geometra

Conociendo la longitud de todos los lados de un tringulo es posible construir un tringulo; para ello se pueden utilizar instrumentos geomtricos. Por ejemplo, dadas las longitudes a, b y c, para construir un tringulo se siguen estos pasos:

1 Se traza un segmento de longitud a.

2 Con la regla se considera la medida c y se traza un arco, haciendo centro en un extremo del segmento a.

3 Sobre una regla, se toma con el comps la medida b y se traza un arco con esa abertura desde el otro extremo del segmento a.

4 Se trazan segmentos desde el punto de interseccin de los arcos hasta los extremos del segmento inicial.

Aprende

Construccin de tringulos segn las medidas de sus lados

Los tringulos se pueden construir con regla y comps si se conocen las medidas de sus lados.

Los siguientes segmentos miden 3, 4 y 5 centmetros.

Se traza el segmento de mayor longitud con una regla. Luego, sobre cada extremo del segmento se traza un arco con el comps y se marca cada una de las otras medidas.

Con respecto a sus lados, escribe la clasificacin del tringulo construido.

Construccin de tringulos2

3 cm

3 cm

4 cm

4 cm

5 cm

5 cm

1 2 3 4

a

c b c

a

b

Observa y responde

220

Practica

Construir tringulos a partir de las medidas de sus lados

1. A partir de los siguientes segmentos, construye los respectivos tringulos. Luego, responde. Aplicar

a.

b.

c. Utilizando un transportador, mide los ngulos interiores de cada tringulo. Luego, compralos y escribe dos diferencias.

2. Utilizando instrumentos geomtricos, copia el siguiente tringulo construyendo sus lados y ngulos segn corresponda. Analizar

3 cm

3 cm

5 cm

4 cm

4 cm

4 cm

A B

C

221

Unidad 6 / Geometra

Observa y responde

Si se conocen las medidas de sus ngulos se pueden construir todos los tringulos que se quiera con igual forma, pero de distinto tamao. Si dos tringulos tienen sus ngulos interiores con iguales medidas, esto asegura solo que tienen igual forma, pero no asegura que tengan iguales tamaos.

Ejemplo: el tringulo CDE tiene las mismas medidas angulares que el tringulo FGH, pero las medidas de sus lados son distintas.

Aprende

Construccin de tringulos segn las medidas de sus ngulos

Para construir un tringulo cuyos ngulos interiores midan 60, 40 y 80, es posible realizar lo siguiente:

Teniendo el segmento CA de 5 cm, construye el ngulo ACB de 40. Luego, en el vrtice A construye el ngulo de 60, y el otro ngulo necesariamente medir 80.

Es posible afirmar que se puede construir otro tringulo con las mismas medidas angulares, pero con los lados de diferentes medidas. Explica.

Mdulo 2 / Construccin de tringulos

908070

6050

4030

2010

0

100 110 120 130 140 150160

170180

80 70 6050

40 30

2010

0

100110

120

130

140

150

160

170

180

908070

6050

4030

2010

0

100 110 120 130 140 150160

170180

80 70 6050

40 30

2010

0

100110

120

130

140

150

160

170

18040 60 60

80

40 40

C C CA A A

B B B

60

E

C D5 cm

5 cm5 cm

F G

H

60

60 6060 60

4 cm

4 cm4 cm

222

Practica

Construir tringulos a partir de las medidas de sus ngulos

1. Construye dos tringulos distintos con las siguientes medidas angulares. Aplicar

a. Tringulo ABC, con m(BCBA) = 40, m(BACB) = 70, m(BBAC) = 70.

b. Tringulo FGH, con m(BHGF) = 40, m(BFHG) = 110, m(BGFH) = 30.

matematica6_tomo2

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