- 1. 0 conjuntodosnmerosnaturais:N ............. 0
conjuntodosnmerosinleiros:2............... 0
conjuntodosnrnerosacionais:O............ 0
conjuntodosnneosirrcionas:|............ 0
conjuntodosnmerosreis:lR...................
funodefindapornaisdeumasenlena... Z4
bac0s..................,,...,-.................................../5
14dLlodeLmnLmero................... .. r6 fr ro mooLld /8
TLroco-pol" /8 Funescompostascorna nodula..............79 tqra
e'modL"r-s.. ...... .... .. I
Inequaesm0duares....................................82
Po1nciadeexpoententura..........................86
Polnciadeexpoenleinleironegatvo...........87
Raizn-sima(ensirn)aitm1c................88 Polnca
deexpoenleracional........................90
Funoexponencja1.........................................90
$4;!1$ri:r,i siiiiii i:ji,rr,rL,i, : 0unlca. . 94
Equaesexponenciais............................95
Inequaesexp0nencais................................98 :)-.""
10gari1mos............................"........................103
Sjslemsde ogai1mos....................................104
Propriedadesopertris. . 106 Matmtic outrascincies:0unic..108
[4udnadebase..............................................109
Cssiicodasflrnes 110
Funoinvesa..-...............................................112
Funologatmica........... .. . ... .. ......115 Mtemticae
outrascincis:Geologia....120
Equacesexponencis...................................121
Equeslogar1mcas.....................................t2?
nequaesexp0nenc1ais................................124
nequeslogatrnics..................................125 Mtmticae
outrscincisFisica.......126 9 10 11 13 14 18 2A 22 23 ?6 27 30 38
38 4L 4? 44 45 t
Deini0...........................................................54
Grfico...................................................... 55
ZeroseFauc"odo20gr................... 56 Ioordenadasdovrticedaprboa
..............59 lmgen............. 6l
ConsvLrodparb01a...................................62
Si'al...............-...-...-................................. 6,
Inequaes..........-.............................................65
4atemticse oiitrsein;s:Economia....69
Funodefindapornaisdeumasenlena
2. Seqnciasnurircas.... Progressesaritrntics. Pogressesgeomtrcas
Sre geofitricconvergente....-........-......,.,..
Semelhana...-...-.............. Tringulossemelhantes..
Casosdesemehanadetfingulos..-............
Relaesmticasnotringuloretngulo..... Matemtice outrascincis:
ASrcn0mr4......................,. Angulossuplementaes...
Leidossenosouteoremadossenos........-....
Leldoscossenosouteoremdoscossenos... Tbelde
rezestrigonomtrice9............ Senodeumnguo
(oudeumarco)..........-...220 Cossrooelf ngulooudeLmd .o ....../24
Reesentfesenose c0ssen0s.,,,...,,...,......227 ldngen'edeL.n1guo
oLdeumrcol.. ...228 0ulrasrzestrigonom1ricsna
crcLnternrd...,.,,.........................,. 2'lt
Relaesfundarnentais......................-............236
Rdesoeco-erre........................ ........218
A"dem.svoLrsrociclolrigoromr1o......24:
Funesperidicas...........................................244
Funescircuares...........................................244
Frmulsdeadioe subtrao.-...................258
FrmLrlasdemultipllcao-.-.'.........-.........261
Frmulasdetransormaoemproduto...-...263 132 133 139 151 158 162 165
174 t?7 174 t7? 180 t
Razestrigonom1ricas...................................185
Reloundamental.. ..............-..................188
0utrrazotrigonomtric4..............................189
Relaoundamental1 ....................................190
ngulosovei5...................................i9' 269 276 2?? 199
199 202 208 209 214 247 288 289 289 292 293 293 294 298 2S9
Representaode!ma matriz..,....-........-.,.,..,
[4atrizesespeciais........... lguedededematrizes...,, Adioe
subtrao.......... N4atriztransposl,...,,....,.. latizsimtrica
l.4atrizanti-simtic........................................
Mullipicaodematrizes Iilatfizldentidade..............
I4atrizinvers,..,............... ArcosenBUlos................ 0
ciclogonomtrico...... 3. Deinioe
regras.........-....-..............................303
Coat0r.,..,.........-.....................,....,...,,..,,..,,,.,,,,...305
eoremdeLaplace.-.......,...,,...,...,,...,,.,,,..,,,.,..305
Pfopieddesdosdeterrinntes...................302 Princrpo u
,od-e'tadaconrge-PTC).. 1,0 fdlo-iadeLm'Je-orurl.,..,,.,,,,.,,.J/5
AgJpmenlos.................................... . J16
Permutaes-...................................-...-.........
Corb'aoes..............................................380
Permutaescomlementosrepetidos...-....384
Equaoliner............-.....
SouodeLrmaequaoline......................
Sistemaiinef................... Sistemasesclonados,...,
Sisternasequivelentese esclonamento...... Sistemashomogneos....
RegradeCra'ner......-........ DiscussodeLtmsistema
Areedoretnguo............. Areadoqudrdo.............
readoparaeogramo..... readotringulo.-............
eadotrapzio..-............ readolosango..........-.....
redopolgonoregua . readocrculoe desuaspartes........-............
Areasdeiguressemelhn1es,.,.,................-... Metemtica
outrscincias:Naturez. Noesprimilivase
p0stu1ad0s...................... Determinoderetase p
anos........-...''..-'' Posesreltivs.-.......-...
Perpendiculaidade......-.... Projeesotogonaissobeumplno............
Distnciasgeorntrics.. 4n9ut0s..........._.......,,..,-.,-
Experimentoaletrio...-.. Espaomoslr1...............
Even10....,...,,..,,,..................
Pfobabilidadesemespaosemostris
eqipr0vveis..........................._...._............394 Mtemtic
outrescincies:Loreis...399
Probebiidadedauniodedoseventos.........400
ProbbiLiddec0nd1ci0ne1................................401
Probablidadededoiseventossirnultneos (ot sL
essivos)................ . . 403 Experimeno(braomri5
.................................405 Mtenticae outras
cincie9:Loterias...407
Coeicientesbinomiis.....................................413
1gLlodeosc14dgla .. .. .. .. ......... 414
Somatrio.......................................................
Desenvovinentode(a+ b)'...........................4I? Terro
geraldoolromio... . . a?0
0spoliedos.....................................................-
RelodeEue................................................424
PoiedrosdePat0...........................................426
Poliedrosregulres...........................................427
Matmticae outrscincies:Filosofia.. 428 315 315 316 318 320 325 326
329 335 33s 336 338 342 342 343 344 347 348 391 391 392 355 355 358
363 365 366 4. mffiWffi, :lii.-,-{r,,iiirir',,',,
Concelto...........-..................................................430
Elementos.,,...,,.....-.......-..........,.,..,,,..,,...,,....,....430
Cassifica0.........-.:.-....................................-...431
reas..................-....-...................................-....-..433
Volume..-..................-..............................-...........435
Conceito..............................................................442
emenlos..........................................................442
Classicaoe nmeodeaces.........l|........442
Prmideregular..........-..............................-....-.443
reas
......-...........................-....-...-.......................444
VoLIme:y............................................................444
Tetraedroregula.......-..............,.,.,,,..,,...,,...,,....446
roncodepimide...................................-.......449
ffiffiffi'ffi{i'i,lliiri.ili1l,,r'r,r''" 0
pnocar1esian0..................................-.........484
Distnciaentredoispontos..-..........................485
Pontomdiodeumsegmento........................487
Condiodealinhementodetrspontos......488
Aequogerldaeta....................................493
AeqLoeduTioo-eta.............:............495 qetasqLeps
conjuntodosnmerosnaturaisnonulos: N*={r,2,3,a,...,n,...}ou N*=N-{0}
conjuntodosnmerosnaturaispares: Np={0,2,4,5,8,...,2n,...},emquen N
conjuntodosnmerosnaturismpares: Nr={1,3,5,Z9,...,2n+ 1,...},emquen
N conjuntodosnmerosnatursprimos: N = {0,1,2,3,4,5,...} ,_/,. r __-
,-'' '/ |------- + 112345 P=12,3,5,Z1,1,13,...) dentesaosnmeros2,
dadedemedida: OperaesemN Noconj!ntodosnmerosnaturaissodefinidas
duasoperes:aadioeamLrltiplica0.0usquer quesjamosnatuiso e b,suasoma
+ b e se! produtoa bsonmefosnaturais. Jo
mesmonoocorrecomesubtrao.EmN spossvelrealizarsubtraoa bquandoa>
b. Assim,porexemplo,opera7- 3 resultaemum numerontu',,msroexister
umeronaturlvtal quex = 3- Z Paquesejasemprepossvelrelizar subtres,
necessriompliaro conjunoN, for' mandoo conjuntodosnmerosnteiros. !
7. Dizemos,portanto,queomdulo(ouvlorabso- luto)de3 3
(distnciaenrre3 e 0) e indicamos 3i=3. Pelmesmareflex0,temosqueo
mdulo (ouvalorabsoluto)de 3 3 (distncientre-3 e0)eindicamos-3 |= 3.
PararepresentargometricmnteoconjuntoZ Deul
modogeral,chmamosmdulo,ouvalor
naTetnumerad,vmosutilizoselementosdeN,
absoluto,deumnmerointeiroxdistncjaentrea
crscentandoospontoscorrespondentes sus origemeopontoqLJerepTesento
nmerox, 0p0st0s. ilconjuntodosnmeros interos:Z Esseconjunto
formadoportodososelemen- losdeN eseusopostos(ousimicos).
Assim,vejamos: z =...,-4,3,-2,-r,0,!,2,3,4,...1 Nomos,portr'to,que
um subconjunro deZ: NCZ z=1.., 4,_3,-2,1,A,1,2,3,4,...1 ,,/r/,2/ /
l'.//,/,///// + 4 -:3 1-1 0 1 2 3 4
0coniuntodos.mrosnteirostarbempossui lgunssubconjuntosnotveis: >
conjurtodosnirrerosintiroqnaonulos: z*
=1...,4,_3,_?,1,1,2,3,4,...)ou z*=z_{o} >
conjuntodosnmerosinteirosnonegativos: z_=10,1,2,3,4,... Zn o
prprioconjuntodosnmerosnaturaisl z.=N >
conjuntodosnmerosinteirospositivos: z={r,2,3,4,...} >
conjuntodosnmerosinteirosnopositivos: z_={_,_s,4,_3,_2,1,0 >
conjuntodosnumeosinteirosnegativos: Za={...,s,-4,-3,z,-r}
Mdulodeumnmerointeiro vamostomarcomoexemploo nmero3 e seu oposto-3.
!-------.7-------vJ 3 unidades 3 unidads
0bservamosqueadistnciaentre3e03uni- dades.
Poroutrolado,adstnc'eentre-3e0tambem 3 unidades. exerciosM@ t.
Determine A B e U B, sendo A= {xe N lx< 7l eB= ix N I I
amufirprcao:;q=;a NoconjuntoQ* definidaaoperaodedivisol p.r_P.s_ps
o-. o |. qr . p r _^ | ^prquarsque -, < lL!com< - u.
Nmerosracionaisnaforma decimaI 0seementosdeQ presentam-senormalmen-
11 ) rEte como"aces1f,, ,g . . etc.l:.nashoura
formadefepresentarosnmerosconis,chama- dformadecim1. 3 27 ^ I1
-^-"veemosslracoes ; . ; e ;. rep'Pse-te- dasneformadeciml: 1 27 .
'',. -ll= o.zzs4U Nmeroscomoesses,quecontmnarepresen-
teodecimalmissimplesumnmerofinkodeal-
garismos,sochamadosdecimeisexatos. .1 Parapassa',oorexemplo,a i'aco
I paraafor-'4 medecimal,bastadlvidiro numerador3 pelodno- minador4:
, a=[+pz,qezes+of 0useja, r {-r= t0,11,1 +r rl +--' - 2',- 30 20 0
lt 0,75 0peraesemGI NoconjuntoQ sodefr^dastresopercos: ,. - P r
PS+rq - p r Ds-Tq Podemosconvertero froprocedendossim:
decimexao0,75em -tnn4 1l 9. Agumasvezes,noentanto,aodividirmoso nu-
meradorpelodenominadordeumfra0,noobte-
mosrestozeToemnenhumetepdadivis0.Nes-
sescasos,oquocienteddivisopresentumare-
petioinflnitadealgarismospse vrgula.Esse
tipodequocientechamadodzmaperidica. Afo mdec'rldt Lao11.
poreenpro,e,6 umadzimaperidic.Vejamos: t IT 50 2A 20 20 2 1,8333...
- riononb(eptlirr'o) Notamosqueoalgafismo3serepeteindefinida- 11
Tenr.Por!.0,+ 1,83?3...- ,83,quee una dzimaperidic,nqLtao
algarismo3 chmdo Pefiodo,que representadopor3.
Vejamosesteoutroexempodedzimaperidica: 82 15 a2 7A 100 100 100 10
_82 perodo;6 Emcadacaso,efroquedorigemdzim charnadafraogetriz.
Inversamente,a partirdeumadzimaperidica,
possvelcalcularasuegeratriz-Vamosverifcaros exemp0sasegurt
x=3,225.10x=32.25(Ae 1000x- 327s.7so Aoeieuemos6)-(2. teremos,
1000x-10x=3275,75-32,75 990x= 3243 = 5,4666...= 5,46 12A,? oon
Asslm,i#e a 3,275. il exerclctCIsrc 4, Quaisdasproposioes ")+a b)+
1e{) 5. Escrcvanaformadecimalcadaumadasraoes: "): d)+ . 375 -' 200
abaixosoverdadeiras? d) 0,333... Q r,tz o+ L')+ -,7 .' 30 50|@
5,4666... f]x = ?,???... 'J.l: 10. 6 .
Encontreafraogeratrizdecdadzimapen- .t1l .L" at-1 | 41 4 - 41 4
Peloexpostonotamosqueomdulodeumn'
meroqLralquersemprepositivoounulo. .D u Dadoum 1-merocioralr, cor r
r 0. o cn"ne-9eInves0dele0nume0 p . co0 0bserv- mospetosexemptos. ,
. 0 inversode 11 . i4. u Inverso0e-; e-,{. ^, _ I . u Invesode5e:.
5 Lpos-ivelver'icarqueop'ooutode- nunero oelosu_versoserpreigudld
1.VejTos: * *e*junrtr:dm*s:n"'r*r*s lfei$!'i5:ll Vimosqueeliste'
infrrros,ume'o5cio nais,quepodemserescrtosnformaderaes
comn!meradore denominadorinteiros.Aoserre-
prsentdonaformadecirnal,umnmeroracionl podeseru dec'mlei(too- ura
dizimperid- Existem,enletanto,nmeroscujarepresent-
odecimlinfinita,masnoperldica Vejarnosagunsxemplos: . 0
nmero0,123456...(emqueascasasdecimais soos
nmerosnaturesIustepostos)no dzimaperidca,poisosnnitosagrismosdi'
reitadavirgulnoserepetemperiodicamente. .
0snmeros=1,4f+213S...,lE=l,ZSZOSOe..., e=
2,7782818...eE=3,141592...nosodzimas peridicas. Desgalorm,um
nmerocLja-ep'eseraco decmalinnitano peridica chmadonmero
iconl.lndicemosoconjuntodosnmerosircio- naisporL 13 dica: a) 0,- .)
l,S b) 2,666... d) 7,2 e) 1,324 f) s,r245 -DlL Se o - , ' |
.endopeqnumero'inieiro - 7ni positivosprimosentresi,cacuep + q. 8.
Apresentena forma decimao resutadode / - i 4.13,2+0,2-J. 9.
Determinena forma de fraoo resutadode 1,3:2,5.
0posto,mduloeinversode umnmeroracional Ddoonumerorecional!
,chara-seopostooee q onmero !. q Vejamososexemplosaseg!r:
.0ooostode l . '11 rt .ooDostode Ie1. '44
Umnmerorecioneleseuopostopodemserre-
presentadosporpontosdaretaqueesto mesm
distnciado0,comomostraoexernplobaixo. r0 Dadoo
nmeforaconlg.seumdulo dis- .q tncdo pontoqueo representto ponto0.
Indica-se,lll. tql Exempliicndo,temos: .lLl=/ "l tl=( 111| 11 - |
111 11 I #='(+)(+)='' =' _11 11. **r'r;r,.*nt*Smsn*;fier*s ,ilS:lK
Esseconjuntoformadoplosnmerosracronrs
epelosnmerosrrecionaiserepresentdoporlR. assm,lemos: R=Qu0
Poroutrolado,seumnmerofeal rcional,ele noirraciona;
eseumnmerorealirrcional,ele noraciona.Assirn: QN[=O R Jvimosque C /
c @.Er co^0} conluntodosnmerosreaispositivos: R={xRlx>0}
conluntodosnmerosreisnopositivosl l{ =(xe R x ..2023 c) C: --'""" -
rt. toenlrEquecaoaum oo0 9. (U.E.Londdna-PR)seja(n) unafunodenida
paratodo '1 iteiro talque: If(2)=2 [ (P+ q) = f(P) f(q) emquep e4
sointeiros.o valordef(0): ) f(2)< s(2) a) -l b)0 610 I E c)l e)2
d) tr 1498 10. {ur PtlNungo*ouairoesrorepresentdosossr fico,dr.
lncoreJi'.derdridel,cJ. /e s.
DecorrentedanLisedfigura,corretoafirmarque: a) f(x) s() >
0paratodo2 < x < 4. b) f(x) > s(x)paratodox < 3. c)
f(x).g(x)< 0prtodox>3. d) f(r) +g(x)< 0paratodox 3. 11.
tMact""zl" sP) considereassentenasa scsur, relaivas tunoy = f(x),
.lefiDidno inrevio f . ttl | , ;;"*r.*."", tiF,ren'/er rgurd
Nasltjma: ciflcaOlnqa.las, esseaumento ocorreu devido ao
crescinento da participao de: d h.mer, e nJ ,e-e..ndme.rJ
o-nporcjo. b) homens,pois de mulheresvem dininindo a cadaOLimpada.
c) honens, pois a de muheespraticamenteno seaterou. dl muh.es, po a
de honens vem dimnuindo a cndaOlinpada. e) mulhees,posa de
homenspraticamenteno 13 . 1r,ru.*"';.-sr1 s"* neoseaisaesorarsque J
tun.J",, =-: ^.1- re doTn:oR .te f (l) = -2, eDtaoa. b igula: --r-.
lrmens -^- muhs 5 4 -t + o)+ .)i
r9601964196819721973193019341933i9921996 2000 34 32. 14. ([nem
MEC)os srficosaseguinostram, em mi thes de reais,o total do vao
dsvendsque uma empresarealzouem cacams,nos anosde 2004e 2005,
respectivanente. quandopedoninvaapopaomra,as u- lheresthhan em
mdiatrslezesmenoslhos a dimuio relatmda populaoural coin- cide con
o aumento do nmero de filhos por b) c) Como mostrao prjneiro
grfico,duranteo aDode 2004,houve,em cadams,crescimentodasvends cn
rcldroJorc.rn eno. Adireoriadevet ro-e .r.po en.
cor'ideounurolenloo riro de. re i entonqeeano.Po
isso,estabeeceuconrometa mensp.ra o ano de2005o crescimento
dasvendas em rtno maisaceleradoqueo de2004.PelaanLise do
segundogrfico,concui-sequea metapaa200s foi athgida en1: a)
janeno,fevereioe outubro. b) fveriro,n1arocjunho. c)
mo,maroengosio. d) bril, ngostoenovembro. e) jdho, setenbroe
dezembro. 15. (Encn1-MEC)Ao ongo do sculoxx, ascara.te ticas
dapopuaobrsieiamudaran muito.Os gcostnostram as alteresn distibuio
da populaodcidadeedo campoenat.(adefecun didade(nmero de fihospo
muhef) no perodo etre 940 c 2000. J FMAMJ J ASOND J FMAMJ J SOND
1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 d) quntomaisaumentao
nmerodepessoasmo rndo em cidades,maior passaa sera taa de l'. und
drde. e) com intensificaaodo processode urbaniza o,o nmerode
fihospor muheriendea ser lb. L'c n VFC) cpo.r iseliode 'ehid.'r
c"^1.J.. o metabolismo do cool e sua presenano sy'ngre
dependemdefatorescono pesocorpor1,codies e tempo apsa 'ngeo. O
gr1comostra vriao d concentao de l- coono sdrsuede individuosde
mesno pesoque bebenm trslatasde cer.ejacadaum, en dierees
condies:elnjejum eapso jantar. Et 160 5o E 4s t 0,s 0,8 0,7 0,6 4,2
! 100 60 40 123456 lempoapsngsto(h) Fonre:Fsqusfrpesp n.5/,
ser.z!ou. Tendoen vist queaconcentraolirima delcoo no
sanguepermitida pelalgislaobasileiapa motoistas 0,6g/1,o indiduo
quebebeuapso :,-r"I e ^ ouel,ebeuem,erJn taNetuo li,ig, apa,. )
umahoa c un1rhora c meia,respectvamnte. b)
trshorasemeiahora,respectivamente. . trp,horr equ,toho .. emero.re
pe,rnr .F-re. d) seishorase trshoras,respectivamnte. e)
seishoras,gualmente. (Enen MEC) O excessode pesopodeprejudi.ar o
desempenhode um ideta proflssionalenr corridas de longa
distnciacomo a maraona(42,2km), a meia maratona(2,1 km) ou uma
prorlade 10kn. Parasaberuma aprorimaodo jntervalodetempo a
maisperdido paracompetarunracorridadeyido o ecessode peso, muiros
tetasutilizam os dados apresentadosnn tbcaeno grfico a seguir.
Comparandoseosdadosdosgficos,podescon ) o aun1et1toreltivo d popuio
ura acom panhadopelarecluo.ltaxde fecundidde. Populourbanae ruralno
Blasil(%) rLrbana rural axa d fecundidadeno Brasi 1940 1950 1960
1970 1940 1990 2000 r5 L7. 33. (rodeowimre Bnke) r33 067 432 r
pesoctma do dal(ks) Usndoessasinormacs,um atlcta de ossatu
grnde,pesando63 kg c co turaigual 1,59m, quetenhacorrido uma
mcia-mtona,pode esti n que,em condiesdc pcsoideI,teri. melho rado
seuiempo na provacm: a) 0,32mirrro b) 0,67minuto c) 1,60minLrto d)
2,68mhutos e) 1,35mi11tos 18. tPtC RrAfuDcoiirr= !- l, 2+' 6 aJ
sempreposiriv. b) podeassumnquaquervalo.reI. c) po 0). '
Afunodo19grauf(x)- ax r b decres- centequandoo coficientdex
negetivo L :r,11,rr;:2r':1 25 : i3,'r,;ts:r,, { d) v=+* .2xl 3.
seja/ uma fnao f(x) = ar 3.Se-2 vaordef(3)? rea definida pela lei
raiz da tuno,qual o 4, sejar aretarepresenttivado grfico dafuno y =
2x- 2 eA e B ospontosemqueIintercepta o co. e/. rep0,oLtsej,se
m>2. Vamosestudarosinaldafunog= 2x 1
Essaunopolinomlado19graLtapresenta a-2 'Oe t/ ^- I
Aruncooec.escenee a I' retacortoeixo0xnooonroL I zL ',Yto
,rlrlirl:1.iiiiii q>o = ">4 Vmosestudarosinaldefunog=-2x + 5
Essaunodo199uapresentaa= 2 { 0 erizx=:. Afunodecrescenteefetacort
^5o ex0 ux no p0n0 . I ='.+ s1$i,j,.: i i i,.' itfl#.ffitr I
r.r..rIq.e.r.r.rL,rLld.lt r..,i...9| rl.,.tn crescenrcou oecresce!:
i),=3x-2 bl ,v= +.i -r ..- 5 2r e) v=(r+3)r (x+ )r l'.r . que"lnr'.
r.ri. l, ,,,.r rj.,r^Jct'nid ' a) l(l =lL 2 crcscete? b) g(x) = (m
+ 3)x + I decresceDre? cl h(x)=( m L 2)x crescente? :
;.1!drosinldeumafunoqualquerg= f(x)
.Jeterminarosvaloresdexpraosquaisg positi- !,0.oLrgzero,oug
negativo. !, 2 -.+ ",+ .i.: 42.
1::i,1,:l-l::(1.,,=i#mffi,:".'ii'li'i,"ii":ii"tl:,ffiffi* Em
cadacaso,estudeo sin1da funocpre- scntadto grfico: de cadautra ds
lnes se- Vamosresolver inequo: 4(x+1) 5< 2(x+3) Essa
LIminequaodo19guquepode .er re.olvidaqen o e 1
0bservemosque,aodividirambososmem
bosporumnmeronegativo,devemosinverter osentidodadesiguldade.
vamosresorver!z_lzx+.J< x+ 5 2x+30,devemosplicarostudo
dosinaldaunoafim. FaamoSgt = 4 3xeestudemososinlde . 4- -9.
lernosA=J 0 eraizx=. Ento: z .-. .:i:., ,e.dif..."a entreo dobro de
um nmeo e sua neiade menor que 6. Quais os inteiros posit1'osque
sosoucsdesseprobema? .i,:i, Como p.esented. aniversrio,Maurqo rece
beu RS 190,00de sua v. A partir do ms seguinte,ele passoLLa etira!
mensamente, R( .28.00d. Ine,ada.tLerecehediscu, p. i.. r fim
defornur um p de-meia. a) Conroseexpressao valor (r) queMauricro
terguardadopassadosr |esesd datxde scuani1.rsrio? b) Qulo
tempomtuimo necessrioparaquc ovaloracumuadopor elcsupereR$500,00?
;..lr Em uma cidade,h:tduasempresasde taxr:a c B.A empresa
cobraR$j4,00pelabandejradae utt adicionalde65 centar-ospor km
rodado;a empesaB corraR$ 3,20a bandeiradae um dicionade
70centavospor kr rodado. .) Qual opomaiseconmcaparaquem
fizeruntaviagemd6 km?E 30km? b q p. t. deqr.'r'ro. 0?". ResDos:1 0
d) e) i-*+*-x> 1 d) 3x ,, x+10eraizx=+ I 3 2 Vamostesolvere
inequoquocente negativo,dependendodovalordex),nosbe-
remosseosinaldadesigualdadedeverserman-
!roooLinverr:do.Poisso.Jili7'eososegun te procedimento: tl n 1+2x
Egoraplicamo.a me-maIec^cdv la exemplo12. a) -Il!= 0 b)++-l 2x 1 ,
4r+l - ^D) -< -l c) - ; r, A pa do gifco seguinteresovaas ine-
quaoes. a) f(x) g(x)> 0 ul -!9f R(x)(x < a00)- L(x) < 0 *
prejulzo; . regioII: C(x)< R(x)(x > 400)-* L(x)> 0 *
lucro. Imaginermmsemquesejarnprotuzidosevendidos00brigadeiros: . o
custototamensaemreaisC = 360+ 0,3 600= 540; .
areceitamensalobtidaemreaisR = 1,2 600= 720; . o luqo
mensalcorrespondenteemreais720- 540= 180 (oul= 0,9.600-360= 540
360= 180). Por outro lado,seem um determi1adomsa doaraopeacom um
prejuzode R$90,00,podemosdeiermiara quantidadede
brigade;roscomerciizadosda seguinte ComoL(x)= 0,9x 360,fzemos: -90
= 0,9x- 360+ 0,9x= 270+ x = 300 Foramcomerciaizados300brigadeiros.
1. ) 0,15 c) 30,27 bl 20,12 d) 3i,40 #ilffiR*ffi*{iffide
vestibularesffim (U|-ES)O bancoMltreta& Cambaachocobruma
tarfaparmdlutenodeconta(TMC)da seguinte form: ua txade R$
10,00mensaise masuma taxadeR$0,s por cliequeemitido.O bancoDakah
Tor Mlah .ob .le TMC uDrataxad R$ 20,00 mer'J..en.i. r'J JddeRr
0.l2po rh.q ". ri tido. O s.Z Doular correnstrdosdoisbancos
emite,menslmente,20chequcsdecadabanco. A
somadasTMCS,enreais,pigasmcnstlncntepo i:,;.1 e) s0,27 48. , t
nrcdp-Pl q tunJodefinidano conjunlodo reai.representdapelografco
nafigurdabdixo.e: b) Y=t'+x+ I c) y=3x d) Y=x+ z e) v =2x+2 3 .
(puc ttlc) pu.u," to'nar rentvel,umagrarja deve enarparo bter.
frangospor dia,demodoqe sejstisfeitadesiguadadel,5x + 80< 2,5x-
20. Nessscondioes,pode-seafirmaqueomenoralor 7. (UE
PA)NasfeirasdeartesanatodeBelmdoPar, e.omum.nopenodonaraLro.a ren
dearvo-e. de natafetscom raiz de ptchoui.Um arteso
paraen-e,oleuincremoLar'uap"oduaoirres- tindo R$300,00naconpr
dematri-prmapara coneccionlasaopreodecustodeR$10,00uni-
dade.Comaintenodercndercadarore aopre- o de R$
25,00,quantasdevervendepaa obte ) Maisde8 emenosde12tuvores. b)
Maisde12emenosde15vores.. c) Maisdels emenosd18rvores. d)
Maisde18ernenosde20rvoes. e) Msde20lores. V. '
vune.p-SPrCarlo'abalhacomodnr iortevrDI ' e cobrama taxafixa deR$
100,00,nais R$20,00 por hora,paraanimarumafesta.Daniel,namesm
tuno,cobrum taxafixa de R$ 55,00,mais
R$35,00porhora.Otempomximodeduraiode umafesta,paaquea
contataodeDanielnofi quemaiscaraqueadeCaros,: b) s horas 9.
(udfo-CE)A soma t c) 300 d) 400 4. {tp-SP,tm
Iqcq.umdjndu.srfab'cou4000unj- dadesdeum determinadopoduto.A
cadaano,po- Im,resentaduzentasecinqentaunidadssua poduo.Seesseritmo
deGescimentofor manhdo, aproduaodaindt ranum anorqudlquer5eri: d)
4000 2sot e) 4000t+ 250 5.{ruc-nD} a"o- "ii-*. *'""a* "} eq',r " $
a"r* -*-. ",r-er". r"ailre a opoqueapre- sentaessenmero. Il -- ^
-xque.rri5fzemd 'enlenlr " u '-)t ,r-r : a) 100 b) 200 a) 2s0t b)
4000t c) 4000+ 250t d) 3horas detodososnmerosirteiros a). 0 b)r '33
o o'+ ")+ ) 13 b) 12 c) rr ) R$120,00 b) R$107,00 c) R$98,00 12anos
l7 anos 20anos d) 10 e.) e d) 25 aos e) 30 aos
b.(UF-AM)Atuno/.definiddporfxr'-J.,,,. estrpresentadaabao: LU.
Unirio-Rl)o. comercidnte'do GrupoCoposuco compramcadaganaade600ml
desucopoto ao preodeR$1,20erevendemseuquidousadoco-
posde290mLcobrandoR$1100cadacopodesuco. Sabendoque,em um
certodia,elesvendeim100 garafasdescoprontoequesomenteforamvend-
doscoposcompletamentecheios,acueoucodos comeciantesnessedia. d)
R$9o,oo e) R$86,00 II. lbme.-RJ)Pduioelo;o.loinro{:ornplodr idde
deIoaoigualaoquntuplodaidadedePauo.sabe seque,h 10anos,a
somadaidadedeloo como dobroddePauoeraigrala14anos.Daqus:os, o
maisvelhodosdoisirmoster: ) I {/-r Ento,o elor de+: (ul a) -l c)I
b)0 JI 49. r1 12. ,UF AN4' O dom,no d" tun.,oi , /j eo v75,
(ucls-N,s)o grficoasesuirapesentaapodu- o de cmjsetas de um
mi.roempesa, em milh- esdeunidades,de 1992at2003. 2003
Portanto,podemosafirmarqueaproduode1997 oi de: al 60000 b) 45000 c)
30000 d) rs0oo e) 10000 I. 'U. F. Londri-d PRI t m cdmpon'ddcu,-e
-m moinho aopeo deR$860,00.Com opssardo tm po, ocorre um
depreciatroLinearno preo desse equipamento.Consideeqe,em 6
anos,opreodo moinho sede R$ 500,00.Com basenessasinfor- maes,coreto
afirmar: a) Em trs mos, o moio vaersOo/odo preo de bl Em noveanos,o
preodo noinho serum ml tipo de nove. . t ne.F.rio un Inerine tn
mdior que R$450,00paacomparesseequipamentoaps d) Seorecessriosl0
anosparaqueo valordesse equipamento sejnerior a R$ 200,00. e) o
noinho ter valo de venda ainda que rena decorrido13nos. I. /Ut--4Ct
m e.JdJLepiJreioutalerumdvidgem de frias e reservou uma certa
quantia em dineiro para o pasamertodedrias.Eletem duasopesde
hospedagern:aPousd,comdi,riadeR$25,00,e a PousadaB,com dia de R$
30,00.Seescolhera Pousda]1emvezdaPousadaB,elepoderficarrrs dias
maisdefris. Nessecaso,coeto alrmar que,para o pgamenio
dedirias,esseestudantereservo: a) R$100,00 b) R$600,00 c) R$350,00
d) R$450,00 19, (ur er) o "u"to-""sa tot1dfabricaodeum certopoduto
igu somade um valor fixo de R$700,00como cstodeproduodeR$0,60por
unidadefabcadano ms.Cadaunidadevendda porR$1,00. Ded ordo,o J.
inrormrde'dddr,aoatirc(fi- matvasabaixo. a) Ocustodeproduodelso
unidadsR$90,00. b) EInl]m msenquefoamfabicadas200unida- des,o
custototalmensalfoideR$820,00. a) l-, 7l c) t ,7l b) t-,7l d)
ls,+-t e) l-1,+-t 13. (Enen1-MEC)Leiaestecassificado: t Na
seleoparasvgasdesseanncio,feitapo teeono
coreioeletrnico,propunha-seos cndidatosuma questoa seesovdana hora.
D*eriam cacuaseusariono primeiroms,s vendessems00m
deiecidocomargurade,40m, e no segundoms,sevendessemo dobo.form
bn{ucedidos osjovensqueresponderdn,respec a) R$300,00eRSs00,00. b)
R$550,00eR$8s0,00. c) R$6s0,00e R$I 000,00. d) R$s0,00eR$1300,00.
e) R$9s0,00eR$ 900,00. I+. U.t. ondrird-PRO gerenredeumddgnciddc
turismo promovepasseiosdebote pala desceca
choeiras.Elepercebeuquequandoo preopedido paraessepasseioeR$2s,00,o
nmeromdode psageirosporsenanaerades00.Quandoo peo
ereduzidoparaR$20,00,o nneromdiodere
guesesporsemanasofriaumacscimode100pas-
saseos.Consdeandoqueessadenandasejainear, seo preofor
reduzidoparaR$ 18,00,o nmeo mdiodepassaseirossperadoporsemaser: a)
360 d) 700 b) s40 e) 1360 c) 640 15. pt c-rp8 ho"i,ae(errodid.umr
que.cJja capacidde de2000litros,estavacheiodegua; entetDto,um turo
oabasedessetanquefez con quea guapo eeescoasseaumamzaoconstante.
Ses14horasdessemesmodiao tanqueestvcom Jpero( 760 ilro'.enldoa igur
en sr in e-iore reduziunetader: ) 21horasdomesmodia. b)
23horasdomesmodia. c) 4horasdo disesuinte. d) 8horsdo diaseguint.
e) t horasdodiasegunte. 5 50. cl O grficoda tuno reais,em funodo
custo mensatotal, em nnero r de unidades d) mu1nlsen
qeforanfabdcadar2000uni dade's,o ucrofoideR$I s0'00. e) Emrumt
paanoharPeiuzo,de'emser veDdidas,nomnimo,I 7s0unidades 20.
(lvhckenzleSP)Nfiga,temososesboosdossr ficosdsfunes/e g. 21.
(ESPM-SP)Docentodeumacidadeato aeropor to so40 kn po uma grandeve]1
a.Os tas qle saemdo aeropoocobramR$ 3,60peabandeinda e R$ 0,80 por
quilmeiro rodado os que saen do ceno cobram l$ 2,00pelabandeirdae
RS0,60 po qimetrorodado.Doisamigosseencontrtm 1umresturantequefic
nessaavenida,sendoque umtomou o ti quesaido aeroportoe o outro to-
mou o qucpartedo centroe,pafasuryresxdosdois' os scusgastosforan
exatanentiguais.r distcir do rcurn1teaoaeroPortode: al 0(m c) 4on
e) r8m b) 12km d) 6kfl 2 2 . (U.r.kos-Mc) sej, c3 ospontosdeie-
seodosgrlcosdasfunesfG) = a + 2 e g(x) = ;x+ 2 como
eixodos4especti',menie. Sbendo-sequeC o pontodeinterseodessesg-
cos,a redo tringuloABC iguaa: ser(x)= {,ovalor aeae: ")++ u)+
")+b)2 t ) I I a) 4 b) 12 c) 10 d) 16 e) r8 1.
Duranteasfrias,umalocadoradeautomveis1aDopasegunteprohoopataadiiadoaiuguedeun
cao:"Paradistnciasdeatr20km cobadaumaiaa fixaenaisp espor
quilmetroodado'Qua quequimetroercedentete descoode20%sobrePi
sabe"oquedoiscl;entesrodramemum dia,resPectivamente'80km e r80km
equeo primeiro pcgou R$57,20amenosqueo segundo,delermine: a)
oraordep; b) o vodatnxafi{a. 2. (UF-ES,adaptado)A
tabeaabal{oapresentaapoPu.o 'undial eo consumomundidesua,emmr,
porhabitanie,nosanosde1940e 1990: 1990 5,3x loe 800mr dmita
queoconsumo mundial
degua(emm3)tenncrescidoinearmentenessescinqentaanos Quntos metros
cbicos de euaforam cosumidos no mundo' em 1950? Y,.t 51.
Umtrnedefuteboifemininornontouumcempo
de100mdecomprimentopor70mdelargurae,pof
medidadesegurana,decidiucerc-lo,deixandoen-
re0campoeacrcaumapistacorn3 m delargura.
oualareadoterrenolimitadopelacerc? Aredaregiocercada: (100+ 2.3)
(70+ 2.3) = m6 Z6=g 0s6m, 5ea largufadapistafossede4 m,areadare-
giocercadaseria: (roa+2.a)(?o+z.4)= ro.?B=I4?4nz A(x)= (100+ zx)
(20+ 2x) A(x)= 7000+200x+140x+4x'z A(x)=4x2+340x+7000 Esse
umcasoparticulafdefunopolinomial do29grauoufunoqladfrica. Definio
Cham.seunoqudrtica,oufunopolino- miado29grau,qualquerfuno/deR emR
dad porumaleidaformaf(x)= ax2+ bx+c,emqued,be csonmerosrise + 0.
Vejamosalgunsexemplosde unesqua- dfticas: . (x)= 2x'z+3x+5,sendoa=
2,b= 3 ec= 5 . f(x)= 3x'z-4x+l,sendoa= 3,b=-4e c = 1 .
f(x)=x'z-l,sendoa= 1,b= 0 ec=-1 54 52. . f(x)=
x2+2x,sendoa=1,b=2ec=0 . f(x)= -4x2,sendoa= 4,b=0ec=0 Srifi*m 0
grfcodeurnafunopolinomido29grau, ! = ax2+ bx+ c,coma + 0,
umacurvchamda paraDora. Vamosconstruirogrficodefunodadapor
Prmeroalribumosex al8unsvalores,de_
poiscalculamosovalorcorrespondentedegpra
cadavalorde.xe,emseguida,ligamosospontos ssirnobtidos.
Vamosconstruirogrficodafunog=-12a 1, Repetindoo
procedimentousadonoexmplo 1,obtemosogrficoseguinte: 1,,.., "fl'"":
O. grarrco.da' u coe' .eguinle5do oarc- boas.Classifrquecomo C
parboaquetem concavidadevotadapara cimae -Ba parbola que tem
concavidadevoltadaparabaixo: a) y=3n'? 5x+I b) Y=2-x'+:x cJ I=-x2
2x+l .{) Y=+*' c) Y= 4x+ 3xr f) y=(x,lF-(2n 1)' T5 '',' ll I ri:
Aoconst_urrogrfcooe,maunoquad.tica U= x2+ bx+ c,notamossempreque: ,
sea > 0,aparbolatemaconcvidadevol_ tadaparacrmai ,'. sea<
0,apboLatemaconcviddevol tadaparabeixo. 53. Esboceo grfcode
unesreais: b) v=zt' cadaumadasseguintes d) Y= 2,.'
Vamoscalculrasrazesdafuno: (x)= 4x'z 4x+ 1 emosa=4,b=-4ec=1
Construao grficode cadauma dasseguintes tunes: a) Y=x2-zx b) Y=-*'
+:x c) Y= x2-zx+ 4 :tqi,: .': ,ir'r,riiiFr,t,i t:.ie*;;;iii;l,1ii
Zeroseequo doZ9grau Chmam-seze-osouraizesdafunopolinomia do29gru(I)
- ax' r bx- c,a - 0,osnne'osreais xtaisquef(x)= 0.
Enoasr.zesdafunotr'x)- x' bl c sao assoluesdaquaodo29grauaxz+ bx+ c
= 0, as quaisso dadasplachamdafrmulade Bhaskral -ut'rruz-+ac 2a -n
t lG'?- aac- 2e esrazesso Vamosclcularoszerosduno f(x)=2tz*3**o
Temosa=2,b=3ec=4. Ento: * -r t rfz +ac- : t.,G :z 2a . _J_ZJ -^ 4
-" Portanto,essfunonotemzerosreais. , ,,, . ,r ,1,-iiii;,
Detemineasrazes(zeros)reaisdc caoaurna dsfunessguintesi a) y= 2xl
3n+ I b) Y=4x-x2 c) y= xr+2x+5 ,l) y=9x,-t e) Y=-x']+or-s
Reso1'aasseguintesquces: ) (3x 1)r+ (r 2),= 25 b) (r-1) (x+3)=s c)
11! = 3 d) (-x:+).(x2 3x+2)=0 e) (x- 1).(r-2)= (x- 1).(2+3) f)
(x+5),=(2x 3), Ento: 41'16 16 I 1^1 ASSlm,tem0Sl
f(x)=0=ax2+bx+c=0+x= Vmosobtefoszerosdfuno f(x)= Yz- 5" * 5
Temosa=1,b=5ec= 6. Ento: .. otrG:-qac 5+.Ds- 24 ^= za-= ? (+1 X= ':
=x=3ex=2 esrazesso2e3. f) r) f., 54. f,i,
Resovaasequaoesbiquadradas: 1.rt:i$ri I * i iji ': a) I 5xu+4=0 c)
xr 6x']-27=0 b) xa+8x2-5=o ,i. (PUC-RI) Dada a funo f(x) = (x + 1)
'(r2-x+ 1),deteminer a) f( 1) e f(0); b) ernR, assouesdaeqaof(x) =
v. i*- A funaoseguirtemostro desempenhode1n euiante
nossimuladosreaizadosno cursiro pr vestibularao longodo ano: r)=L
2-23 t+59 36 2 r) sendof(t) a nota obtid pelo estudateno s1
muadorealizdono mst (t = 2, 3,...,11). ) Qul a nota obtida peo
estudantenos sinruladoseaizadosemfevereiro(primei ro) e em
nor-enbro (ltimo), respectiv b) Em quels o estudanteobtevenota 2,0?
'i, Parao casmentodeVere Edu,um grupo de
amigosescoheuumpresentecleR$300,00,va- or a serdividido
entreees.Pom,depoisda compra,trsdelesdecidiramdar prcsentesse-
pardos,Dessafoma,a despesatevequesedi-
vjdjdaentreosdemais,resutndoemum gasto
adicionadeR$5,00paracadaum.Quantaspes- soasem inicimente? rl; 'ttl
P' Derer.rrreC R ral que (x2 r0or)'z (xz 101x+100)']=0. ir., Um
rctnguotem asdimenses(em cm) e-.( presssPorx+3e3x-. a)
Encontreaer'?ressoquedeflnesuareaem tunodet b) Paque valor de a
reado rctnguo 77 cmt?
:t;:1.(Fuvest-SP)Paraafabricaodebicicletas,uma empresaconprou
unidadesdo poduto , pa- gndo R$ 96,00,e unidades do p(oduto B,
pJgindoR$84.00.Sabendoqueo rolJ deun. dadescomprdasfoi de26equeo
peunit- rio do produto A excedeem R$ 2,00o preo unitrio do
produtoB,determineo nnero de undadesde compradas. A quantidadede
razeseaisdeumafuno quadrticadependedovalorobtidoperorad- cando ^ =
b2-4c,chamadodlscriminnte: .."quando ^ positivo,hduasrazesreeise
distintas; ' qunoo^7ero.Lsdunardizel(ouLre raizdupla); ii. quando ^
negativo,nohraizreal. Vejamosquissoscondiessobrem na unog - 3x7 2x-
(m- 1)afin deoue: J naoex,stamra7esre;5: b) hja.umaraizdupl; c)
exismdusrizeseersedi.lints. Clcule.doodiscn'ninenrelAr.te-ros:
A-{-2' 4 3 (m It-4 l2n+12 LE 12 0evemoster a) ^0-a 16-tZm-'0-+m 0,
parbolatemconcavidadevol- tadaparaclmae um ponlode mnimoV;quando a
.- 0, prbolaemconcvidadevoltadp-b- xoeumpontodemximoY. ouando>0
!," ouandoa 0 1_. lazes:zy., 5x+ z = u-r= oLty= z Vmosconstruiro
grficod funo ! =x'- 2x+1. Caracterstisl .
concavldadevoltdaparacima,polsa= 1> 0 rzes:x2-2x+ 1= 0 -x= t
(raizdupa) vrrice,v=(- *, - {; =(1,o) nterseocomoexog:(0,c)= (0,t)
a :12,1) Notequelm={g Rjg>0}. 5 jl1f 3! ,1 r,111:.1.1Ni...- '. I
Vosconstrui-o g a'ico oa u'o Caractersticas: .
concvidadevoltadprabaixo,poisa=-1< 0 . zeTos:-x2x
3=0=Txreal,pois^0,Vx !xratqueg?x'+1
Vamospessartodosostermosdinequao parum dosmembros,porexemploparao
19mernbro: x2+x 2x2 1>0 _x2+x !2A . tsudodesrnaldev = x'+ x
emos: a = -1 + perbolaconconcavidadevoltad parbaixo A o -4ac l-4
-l-nohzerosreaic Concluindo,g0 4x2+4x+1>D . Estudodosinelde! =
4x2+ 4x+1 1 a=4 > 0,^= 0,riz: ; _1 2
Ar^equaopergJlla:Parquevalore5de temosV > 0?".
Resposta:Parqualquerxreal:S= R. Re.ohr.enrR.a. ireqr;c. ,cBUi,.,e..
a) x'z lln 42) cJ x'+4x+5>0 d). 4xr + l2x 90 b) xr-8x+15ts d)
x']+ 2x< 35 e) xr-4r.-3 0 c) (x+2).(xr a)>0 d) (3xr+ s).
(-2x+ 4) 0,ogrficode/ devesero epresentedo lj, ..-t-:! 4,
Pafquelssoocorra,devenostera : 0 e ^o a) [2,+-l b) l-, 2 c) tr,2l
7, (Fap'sP)Umaindstiaproduz,pordia,unidn- desde rm
deterniDadoproduto,e podevender tudo o queproduzira um preodeR$
100,00 uridade.Se:runidadessaoproduzidasacadadia, o custotota,e
rcais,dapfoduodiriaiguala xr + 20x+ 700.Portanto,paraquea
indsfuinte nha un lucrodiriodeR$ 900,00,o nmerode
unidadesproduzidas(evendidas)pordia,deveser 12. lpuc uc) o
ntervlono quaa funo f(x) = xr-6x + 5 crescente: iguala: a) a0 b) s0
c) 60 8. (U.l: iuzdelora MG) os locsde quesatisfa- .enrl in.ouicJo:
0 o(rlercenJ: , a) [ ,2) u t3,-) b) ( r,2lu (3, -) c) [r,31 d) t
3,2) e) | l, 2lu (2,-) 9. ruIR'R) A somad" doisnlmeros6,easomade
seusqudados 68.O nduodadierenadess.s 13. (p"t " Sp)Na
fisurabaixotem-seum trechodo grfcode urnfunodevariverealdadapor
f(x)=a2+b+c. Usandosifomaesdo grfico,poss'edeter
minoscoecentcsd,,r. Ovalorde : a souo do sisteDr d) I 2,01 e) [0,t]
b) 13 d)3 I 10 , (U. L Viosa MG) u enpresaproduz evendeum
deterninado proc{uto.A quantjdade que ela conse guevendervdia em
funodo preosegundo re aoa un peo r econseguevencler/ unidades do
pfoduto,de a.odo com a equaoy = r00 - 2x. Sabedo que a receita
obtida (quDtdade vendida vezeso preodevend)foi deR$
1250,00,aquanti- 14. (u.;ro. cn) se e/ sonmerosreaistaisque t, y
ll.ot.'o-rrimod.z=rr tv:, d) r7,l e) r8,3 5, (p-p sp) u-".o-pnia
estimaquepodeven de nensalmente4 nihres de unidades de seu produto
aopreo dep reaispo unidade.A receira nensal dasvendasigualopoduto
do preopeta quntidade vendida. Supondo p = 0,5q + 10, qantos
milharesde unidadesdevevender men- salmentepara que a receitasejaa
mxima pos- cll r0 )2 b)1 dde vcndda isul a: a) 30 b) 40 c) 20 bl -2
11. (puc r,c)u''" p"araatiradaparacimaesuaal tum
,emnetros,dadnpeanoh(t) = alr + 12t, em quet medidoenl
scgundos.Seapedraatigiu n arramximno inante t = 2, pode-seafirmr
16. (r,npI,.a"ptuao)un agricutortemr40metros de
cercaparconstruidoscurrais:um dees,qua drado, eo outro, retangu,mm
comprimento iguai Jo rriDlodd lrrsur..F r .omado areo dn...urraj'
deveserameror possve1,qul tueado curl qua- d) 240m' e) 245m' !,1
69. 17. llcv sr; o .u"ton'dio,c-, deprcduodet um-
ddesdeumartigo,obridodiidin.loseocusroC peLaquantirladea,ou l C- =!
-q Sendo C = 2q'z 3q + 20 o cusro,em mihes de reais,para a produode
4 milharesde unna- des de grrafasplstics,considees seguturs I. A
funo custo mdio sef dada po C.-=2c-3+f9. q II. O custo iota par a
produo de 5000 ga.faas plsticas R$55000,00. IIL Quao
10000gafsplsticassoproctuzi das,o custopor unidde Rg 19,00.
Asociandoyou / d.ddJ.ninu,Jo..on.orrr.ej.l verdadeiraou
falsa,tem-se: ) L(q)= -2q':+ sooq 3sooo b) L(q)= -2d + l oooq-3sooo
c) L(q)= -2q':+I 2ooq-3sooo d) t1q1= 269n1 35666 e) L(q)= 200q-ls
000 30 llsa'seumasentenaououtradependendodoin.
tervaloemqueovalordexseenquadr.ljmafuno
dessetipochmadafunodefinldaporrniscleum senten.
ConsideregoraLrmexemploemlinguagmma rema!tca.
oualserovordcontadeguede dnciacujoconsumoem determinado
20m3?Eseforodobro? . Por20m3ousuriopagar,emreais: uTnaresr- msfo 20
0,9= 18 i, f+ 72. ffi #;i{#fl'f[ffiti$ffiffi t ,.,. ^ 2 r"" tat:
N.- L{detuud.rpor t(xl = l ' t-l''e'2 ;t. sejf: R- R deinidapeaei:
. 2x+l,re>0 l4x'r+5.sexO xi= x,sex
omduodeumnmeroreanonegativoigual aoprprionmero; > o
mdulodeumnmerorealfegatvo iglalao 0p0sodessenumer0i > o
mdulodeumnmerorealqualquer sempre maoroutguazerol lxl>o,vx
Comessdefini0,escrevemos,demodogerl: r[z= *. Dessemodo: r, I
x.ouandooositivo ri'=l I i x,quandox negalv0 10,- 0,3 +'l f) gl hl
r) t j) -'r+l 15, Cacdeovaordaserpressoes: a) =h?-[]l b) B= ln-31
c) C= 3 t d) D=l-+ 11tl e) E=16 A+h[o 6l .
Se:umnmeroreaimaiorquezero,deteruri- neovaodaexpresso: - :x +lxl
$.. sejaxe R.Atdbuaverdadeiro(v)ou faso(F)
safilnaesseguintes,justificandoasfasas: a) lxP= x'? b) lx+3
=x+3,Vxe R c) l2x- 1l= 2x I,sex>0 d) l'l-xl=1 4'5gx>4 e)
xr+1=x':+1,VnR i.S. p*" t e R,x > 2,calculeo valordecadex-
pssosegunte: . lx 2l ,. - lx-21 D' J+:_: ffi ffixmrffir[ffiM [4.
Calcule: ) -71 ,, 5 ola .r -!., 2 d) 0l e) -!z 12.(3)l lo,3- o,r ?7
.x1x2l!, -= ---------- 75. I I '' tc Chma-sefunornodularfuno/ deR
emR 004pelale lY.l= x . LJ.ilandoo conLeirode''od.lodu .rero 'eal,
fundonod-ia pod5e' a5s ctcte- nzada: . lN,sex>0 lxl = 1 I
X,SeY< U 0ulseroresulladonlsetomrmosumxeal e a
eleepllcarmossucesslvamentea eide/ ea ei deg? Teremos: **, g
-(x+2)3 Grico Praconstruiro gricodfunomoduletpro. cedemosassiml
19Con5t. rr osog icodar._cot^ z. na-,o conslderamosapateemquex >
0 (fig-1),que bissetrizdo19quadanle. 29)Construmoso
grficodafunof(x) soconsrderamosa parteemquex < quea
bissetrizdo29quadrante. 39.)Reunlmososdoisgrflcosnterlores igura2 0
resultadofinlquex levadoa(x+ 2)3.Essa
funohdeRemRqueevaxat(x+2)3charna- dd .o' po,ld d" Lon L rnd ca-s q
gos "9bol"),talqueh(x)=(g " r)G)=e(r(")). Sef(x)= 2xe g(x)= 3x
sofunesdeR R,ento compostadegcom/dadapela h(x)=g(r(x))=g(zx)=-3
(2x)=,5x eLr Se(x)= :1s g1t1- tz .ofunesdeR ern R,entoacompostadeg
com/ dadpellei: h(x)= g(f(x))= g(3x)= (3x),= ex, ecompostade/ con9
ddepellei: p(x)=(g(x))=3. g(x)=3x'z Ponanro,e(f(x))+ f(e(x)). Se/
eg sounesdeR emR taisque g(x)=2x-5sg"(x)=4x-1,quala leiqle define/?
s(f(x))=2 f(x) s=ax 1 Entao.f(x)=!I:]la =Zx+Z. / em ler: 0 (fc.2),
(c.3). rmagem 0 conjuntolmagemdeunomodulrR,, isto ;.d .-o! - )
|suneso-rntevo erteai-no negativos. : VamospensarnafLrno/ deR emR
definida pealerl/l ". 2.En1ao/lev.ad)'ealon."o y.+2.
Emsegude,pensemosnafunog deR emR
denidpelaeig(x)=x:l536"rorcueglevcdax relaonmerox3. 76. ffi
tr;{#"fi[,t[#$ffim 1.,Sejam/e g tunoesdedomniorealdefinidas porf-4r
Jegr-r Ll)elermineo vaorde: u) f(e(:)) b) s(f(:)) iJ*,s.;,- r, R -
R ec : R* R definidasperas Ieis:f(x)= x2-5x- 3eg(x)=-2x+ 4.Qual o
valorde: a) f(g(z)) b) fo s( 2) l)"i1,,Selam/egtunoesdenidasdeR
emR,tladas porf(x) = :r - z eS(x)= -4x + 1.Determnea eiquedefine:
a) f(s(x)) b) g(f(x)) il,-,,1.s.;u-y.gfr."0." definidasdeR
emR,dadas porf(x)= 3x+ k eg(x)=-2x + s,sendofrum constanteal.
DetermineovalordeI demodo quefog(x)=so(r). ilil,
Sendofegtunoesde6nidasdeR en R,dadas porf(x)= 4x- 4eg(x)= -2xr + x-
l, resovaas seguntescquaes: a). f(g(r)) = 8 b) f(x) = s(:) ijlt.
Seja- /e g funesde R em R tais que {x)= lgt*2 e fog(x)= 30x 48.Qual
aleiq9edefineg(x)? '1i'"ss;rt 1" 3 iunoe'Je R 2(fg.1).
2P)Construmosogrficodaf!no! = x2+ 4, ms s consideramosa parteem que
2 0,ouseje,x > 2. Supondox> -2, temos: fzx-: r-z-+x- t
zx+3l=x+2+.] ou ' 12"*3=-"-2=x=-5 t3 Comox = -1 > -2, -1 solLro.
Comox= - > -2, -; esotuo. s={r,*}t rl x =k=x-k ou X= k iRLi;
ii",: ,r'r,'t::''j:',:+i:ii'ru 3x-11=2 jtr Resor,a,em a) xl =6
b)'.=+ R, asecrraes: d) xlz=s e) 2 x =4 Re' rd. e r R. d, equdoc'
.cguinter: a) l3x- 2l = I b) lx+6 =a c) lxr- zx s =: d) ru 4 =5 e)
2x'sn+21=0 ',.r. Resova,emR,asequaesseguintes: JJ I Zx+51=x b)
llx-11=x+2 c) lax-5|=-3x d) l:x +l=x'] e) x 2l=x 1
-llll,ttesoluu,.-Z, u".quaesseguintes: a) x'z-: lxl-to=o b)
lx'zl-t0 lx +24=0 I lxl3=+.lxl d) lzx-:'? s.l2x 3 +4=O ,:. ,2
'-1::-I rl - l' 11 1 1 3 Vamosreqolve-equaco2r^ L - x 3. l/' I
x'rrx-+ z" tl=,x+ 1,edavemx x+1. s qu-: lr 2x-1,sex--j Q) lr
2r+1,sex r'i2 e) 3.r 76 b) x 2x+3 47. Obtenhao domnio de cdauma
dasfunes seguintes: I lxt / b) s(x)=Elr c) (x)={s-lxl d)
i(x)={lr-xi a) lx+31>7 b) l2x 1l< 3 c) -x+ 11>i d) l5x-310
44. nesova,err R,asdesigualdades: a) lx' x al 6 c) lxz-xl>2 45,
Noanopassado,Netoparticipoudeumcurso
deInglsemque,todoms,foisubmeticloauma avaliao.ComoNeto fanticopor
Matem- tica,propsumleipararepresentl,msms,
seudesempenhonessasProvas, ^ lx 6 ".Nd eprero lr - J - ll
retreerrll not obtid por Neto no exame rcalizado no t . atum mimo
de20ingressos,o preouitr1o devendaseraRSr8,00j . nis de 20 uidades,
cd gressoqueexcedesse os20 serivendidopor R$ 15,00. Ncssas.ondies,
a epesso que permite cc, .n e.' ' " gJ ." de u nr pesor queLomprr r
in- . 50tc+r),04 d) lxl>2e-2 3. 3. (PUCRS)Enumafbrica,o
nmeoiotadepe! produzidasnsprimeirasrhorasdiiasdetrabalho o
nmerodepeasproduzidasduranteaquintahora detrabho: 5..U ll .e,r 4
-R:-'2eN -R: ' 5 4 0.e" - 4 e.bL N.enLioo rdio' vodoprodutoa.b: n;
81. 8. (uF-M)sejntunotdefinidapor: lx.!ex!.! (xr={ r l-='sex!J L"
Nessscondies,f( 1)+ f(+ 1): a) -+ b) D+ I c) - 9. (UFGo)A
fno,denidaparatodonmeroreal ! cujogco : a) f. (0)= -2 b) f. (-2) =
2 c) f(2)+ f(4)= (0) 11. 1uu.t"u" sr,)u-a empresadetelefoniafaz,jun
to a seusl:[entes,a seguinlepromoo:a cadadois mnutos deconversao,o
minuto seguinte,na mes m hgao,gratuito.Seo cuo decdasegundode ligio
R$ 0,01,o vaoacm reais,de uma ligao de I6 nnutos, duranteapronoo,:
l 6,40 c) s,80 e) 6,00 b) 7,20 d) 6,60 12, u. . 1ro.,t,"ai, Mc.A.md
dd otune, Fri daequaol, + 3 + 2l- l6x= 0,isuara: d) f(rT) e) 2.11+r
d) f(4)+ f(-4) > f(o) e) f(2) f( 2) > 0 c)3 13.
(rCv-sp)It"tt;pli.undoosvloresinteirosdeque
stisazemsimultaneamenteas desigualdades lx 2 5,obt'mos: 14,
(pucpn)seja-rG)=x, 2xeg(x)=x-16ou, fnesdcridasem R. Qua
dosgrcosmeLhor IJ. rI r(. SP 5r rrn i nde, / e {. de R cn R.
defnidas, respectvanente,po flr) = 2 - x e g(x) = 'z- 1.Con relao
tunog " { definid por (g " f)(x) = s(f(x)), verdadeque: a) a
somados quadradosde suasaes sual a 6. b) o eixo de snnetria de
seugfico y = 2. c) o seuvalormnimo -1. d) o seu conjunto imagem est
contido em [0'+-[' e) (sf)(x)< 0se,esomentese,0< x < 3.
n)3 a) 2 b) 0 d) tem aseguintelei defonnao: a.- l+a,n) > (a b)n=
an bn > (am)n=m'n . (;)"=grr,+or '(+)'i) -(-3f , (+)- ' . 2l s)
-(-s)* a exercciosltn 1, Calcue: ) 7' b) (-s)r c) ( a)'? t 84. 2,
Calculeo vaordecadaumadaserpressesse gumtes: ,t l.l .i I +l -l-l
4/tt b) -(-2),-2.f+ +/ (-rl+s ( 2)r ( 1) 16.l+' -r'l;J+1"c} 1 lJ
crr /. 3 {*l :( z)z L, (2r)r. 2- . 2r "' (rI- l:-, t1ct:. 6 " (315
d) + (x y+0) . (x. v)6 (xr)r'v' ^.el - lx Y=ul r'n- 4, Escrevaem
uma nicapotnci: a) a metadede250 b) o tripo de 345 c) o qudruplo de
2ro d) a misimpartede 0rr e) o quadradode530 f) a terapatede81s
Vejamoslgunsxemplos: 181 16 16 81 h 1 25 Definio
oadosumnmerorelo,nnulo,eumnmero n nturel,chama-sepotncidebseo e
expoente Donmerod n,queoinversodeo". calculemosovalordeg = [3 1-
(-3) 1f!. Temos: r r l-r r tl 'L3 r 13 3l ,2rr r 3 J ?i 2 2 3
Propriedades Comessadefnioparapotnciadeexpoent
inlironegetivo,todases cincopropriedadesenun'
ciadashepoucocontrrumvlidcpaquisquer expoentesm
e'nnteiros(positvosounegativos). Supondoa + 0eb + 0,vamossmplficera
expressoL-(-')'r (b') +Z{ab)'. Temos: L=e+02-2(o)'- r- :--- -L , b
ra r2ab ra br' a'b' ab ' ." t7 Potsr#iadeexpr*mr*tm
rrutm:"erregeqiv# 11 24 16 | 24 I 3 ) z L-.L"?24 85. ffi
h3.H*,*r"#HfJt#ffi 1"cul."' a) 4' b) 3' - .2I $1.Calculeo
seguintes: valor de cadauma a) 3.23+2 3: o),.(+)'.,.(-a)' ,
l(-+f.(;)'l' , +.(+)'(-+i' L Sendoa. b * O,simpifiqueasexpresses:
i1"1Uf ua; qul ovalornum codereresso 35j .40 10, 5 roo,--
rt.la::r.5'25l *. Simpifique: , / I _', cr 3J h) 0,13 i) 0,008 ,
das expresses m*;* ^ *;*^rg{d" 1}-:t I t( /," I
eneSlft'elArr:rs?t{C Defnio Dadosurnnmeorealnonegatvoo e urn
nmeronaturlt, n > 1,chama-seraizenesrma aritmticdeo o nmeroreale
nonegtivob tal quebn= a. 0 srnoolo a,cha.rdordic1,i,oic rt7
ensimaritmticaded.Nele,ochamdordicn- do,er, ndice. V=ucb>ob"=a
Vejamosalgunsexemposl . ifu6=+,poisq,=ts. . ffi= 3,p61s3:=27 . ffi=
3,p6;56s=6 . ir15=2,poisZa=16 Propriedades
Sendooetrreaisnonegtvos.minteiroen ep
raturisnonulos,vaemesseguintespropriectdes: > VF= VanrP (f")'=.'
> b=V; t f; r[ .d= ro*o (+r (+f ('+i' t 5 / 12 z, -Tl " ' ' "7 ,
3/ c) i.[. sabendoquesz'= a,a> 0,clcue,emtuno dea,o valorde: a)
25n b) s' -, (ab)3.(a'?)2 " bt- ,. (a 3)3 (b5) 'zu/ G t .lE:t top+2
_ t0l r c) 625r d) 0,2{ 'fe - ,fig :. _ !, .t r1 z vt.J,
=21i2+3!2=51i2 ! x V32U"x,comxeg reaispositivos 86. I ) ) ") 1[8 b)
1Gt c) !s+ 13. Ef"to", a) rEz+lso u) rE-:rDj+ rrz c) '{16+ X54 V2
d) 1[loo, zlqs+ 31D7 4. tf"to", , Gt Etu5 ,, VG*E+,, T l3* ,r --
-'r+!l-!s rn exercciosffi I . co1.o1", a) r|ls b)'1G12 .lE ?,
Simpifiqueosradicaisseguintes: a) ''[aa d) {o2s e) o,rx f) rooooo
") iD4o 0 ./o,oor5 .) ("Df d)(vt), 5.1t"t".' a) 16.rD+ b) 1T.. rF
c) !+e ' it d) tD.i/t . 16.127 ,t -T 6.
Desenvolvaosseguintesprcdutos notveis: a) (5+ 1t t) (3 D)' c) (./5+
|-'z d) ({lr +.f. (1t11.f2) e) (: + r), f) (2+ 1fr3 lF" r.r"t".' a)
tr!6-tr2.1trb+V2 b) 18+!1s.18-1ls c) 112+2 112 2 dl 12.tr!ro-./2
11ro+ v2 8. Racionalizeo denominadorde cadaumadas seguintesftaes: !
d) r2+l n ./T '' 'll-t 19.er.t"., 15- 16+l8 'l - 15 t- . r , : ,
r.to, ,2 'uo ., ,: .J/ .,F , .tt 12+l ^12 2 20" Racionalizeo
denominadorde cadauma das seguintesies: -, I .12 ,. 25 1,
Mo'rreque! l4 r4ll0 V14-4V10-4. E* 87. *"xp{]4inlffiF*t*rua r***m*{
## Definio Dadosumnmeroreeo (positivo),umnmero nteirop e
umnmeronaturalq (q > 1),chama-se
potnciadebaseoeexpoentelaraizqsmaarit q mticadedP. t Definiospecil
sendol> o,define-se0=o.q Vejamosalgunsexemplos: !- . 3r =13
Propriedades Ascincopropredades ciasdeexpoentenatural
exp0entsracronrs. .(+)r=.,Gr= P5" luuc sg uaaptaao)o
tempodecirculFodo sangue(emsegrLndos)deum mamifero (otempo mdio que
todo o sanguelevaparacircular uma vezeotar
ao.orao)proporcionaraizquata do "peso"do corpo do mamfero,isto : !
r(M) = k M1 Paraum eefantecujo "peso" 5tB4 quilos,o tempoloi
estimadoem 150segundos. ) Determineo valordek.. b) Determineo tenpo
aproximadopara um mamifrode 16 quilos e para outro de 64 quios.
Chama-sefunoexponenciaquelquerfunoj deR en R daclaporumale
dfor-na'xJ a , em queo umnmerorealddo,a > 0 ea + 1. 2. .
2.='lz'z I . 15 enunciadsparpotn- continuamvlidaspa ?3
Vmosclcularovlodeg 27' 164. Podemosresolverdecluasto-ma.: .
Escrevemosspotnciasnformaderazes. q- x27- Vl6'- V/29- V1096 , o-a-
r . Jsamosaspropedoesdasporencias. 23 9 t3) t?^Y- J'-7' I B-1 f,*n*
r"]cp*ntrrc*$ Definio ffi exercci0sru 22. Calculeo vaorde: b) 256,
c) 32' L d) 0,36, ?3, Calculeo valor 1,entooraproxima-sedezeroqundo
x assumevl0resnegattvoscadavezmenores. Se0 { a < 1,entoor
proxm-sede zero quandox assumevlorespositivoscadavez
maiores.Tudoissopodeserresumidodizendo- sequeo
conjuntoimagemdafunoexponen, cialg=3" 6 lm={gC R g>0}=R. t ffi
4r,,4i,."{.t}fi ffi #, Construaos gr1cos a) n) = a" b) f(x) HP.Nu
fig".o esrrepresentadoo gr:ifico 0e + 1).lssoquerdizefqueo
gricodfuno! =a'cortaoexodosgnopon- todeordenda1. Sea > 1,entoa
funof(x)= 3'f 6pg56sn1g- Portanto,dadososeaisx1ex2,temosi .
sinasiguais xrr - er /,lrr'- c/ . ir2 r'- ,6 - +x=12=S={12} ) b) c)
VamosresoverasseguintosequesemR: 2"=16 ?' r-r, ,.1 ."-,1 -( .t,{
l+l =81 z"- t. 93. VamosresolverasseguintesequaesemIR:
3x-+x,3h_xz+x=6=, =x_+x tr=u=x= J oux= z h ?2!+1.,a1+1 o 1 22' +1 .
t)ztN+ | _ t2tN I 22t +l, )6,r2 - ) 3 2s**3=23'3=Bx+3=3x 3+ t :-c I
1l 5 t )l VamosresolverasseguintesequaesemR: a) 3'.1 3' 3' r = 45
No possvelescrevero 19membrocomo umanicapotnciade3.Podemosazer: J
Colocando3' emevidncia,vem: 3"13 1 ll=45 3Y+=45 =3x= 27=3r-x=3
=S={3} J ffi #x8rtrie*sffi 5b,Re,oha. em R. J 5cguinre,e!Lrroe5cpo-
nenciais: a) 3=81 e) 5x+r=125 b) 2= 256 0 orx= tooooo /r l ,)7 7
s)ll' 5/ Qs / r . d) l+l =: hr l:l =2 z/ rz .zl J. Re'ld. em Lrt. "
5cguinle, equJoe5epo- nenciais: /1z 3r J) 8' h er l^l )2" / b)
27*-9 f) ll}tr 5.+,=1 c) 9^=+- cJ 49.'r ='tr7 t/ ' d) 0,r - |no,,
hr r:5r Ll- rr: / S" Im rmaerperien,id.umrni.rlilrrdtrd 'oL, ele to
de uma determinaddroga srbmetrclo examesdirios decontrole.A lei
n(t) = -l . 2r 200 - inlornr.ra quantdaderr' I r, ddubrnrid.(m
grams,encontradaem 00 m? de sangue,o exame reaizado no dia t,
contdo a patr do ncio da experincia. a) Quafoi o
acrscimonaquantidadedadro gaencontradano sanguedo animaldo in- cio
dexpeinciato 59dia? b) Por quantosdiasdeveseradministnda drogaa m
dequea quantiddeencontra da (por 100m desangue)seja10,24g? 5Y.Fm
umr r(f,iaulilrnede.lao .er(l.n trudosedifciosresidenciais.Um
bilogopre vque a quantdadedepssarosde certaesp- cieir diminuir
segundoa lei: ! n(0 = n(o) 4 3 cn queno c J
qu,inrdadee"tinrrdrdepa"r- ros antesdo inico dasconstuese n(t) a
quatidade existentet anosdepois. Qua o tempo necessrioparaque a
popula ode pssarosdessaespciesereduza: a) metadeda popuaono ncio
dascons trues? b) oitavapate da populaono incio das construesi c) a
1,56250/0dapopulaono inciodascons- trues? L b) 4*-2x = 12 4x-2t=
L2- (22),?= 1222'-2"= 12 Lnamanooz oeg,vem: !2 U=12+g'zg 12=0-
=g-4oug--3 L0m0V=l,vem 2'-a-2 -Zt'-x 2l ou f -rs {zl 2'- -3 =7 x )
16 94. 40, Re,ol'a,:''eguinte. equroeserpunenci;: a) 24{+r.8{+r = L
c) a) Sabendoque a populao atual do municpio de 0 000
habitantes,determine: a) o valor de fr; b) a popuaodo municpiodquia
3 nos: 45. nesova,em R, asequaesseguintes: a) 25"-23 5"=50 b)
100x-1= 9. (10{+ 1) c) 4.*' 33.2.+8=0 d) 9r--5.3x+3r+'=27 4b.
Vune'p 5PJ ( on.idere iunco ddda por f(x)=::"*t*t '.*ta7 Quandom -
-4. derermireosralorerdex pala osquaisf(x) = 0. b)
Determinetodososvaloresreaisde m para os quaisa equaof(x) =m+
1notem souorear.. 4/. Ul RN' No programad( radioHorJ Ndcio na, o
locutor informa: 'Ateno, senhores ouvintes.cabamosde receberuma
notica o da DefesaCivi do Pasaertandopala a .hegadadeum
tura.aodegrandespropore' nas prxmas 24 hors.Pedeseque mante- nham a
calma,uma vezque os rgosdo go- verno j estotomando
todasasProvidncias cabveis'l Paratenderssoicitaesqueseguem,supo-
nhaqueo nmerodepessoasquetena cesso a
essainformao,quandotranscorridasrho- rasaps
divugaodanotlcia,sejadadopela expressol ','' P l+9 12rl sendot >
0 eP apopulodoPas. a) Calculeo percentualdapopuaoqueto- mou
corecimentoda nociano instante desuadirrugao. b)
Cacueemquantashoras90olodapopula otemacessonotcia,cosidemndoque, em
I hora apsa notcia,500/0dapopula- odoparsjconheciddinformao. (0,
5.- '27 0,0 (+r (+r ({1)' 1000 t 4tr "Resolvaossistemasseguintes:
l+t =8 , lt.,Ft'=+s' * l2Y.=1024 . iroo" rtor = 10c, l Lo,l'
o,o1r:0,01 42" Resovaasseguintesequaes: a) 2x+) 3.2x r=20 b) 5x
r-5x+, .5x=89 c) 4x+r+4{+2-4x L 4x 2=315 ,lr )*+ )'+r + )-+z r )rr
r =-!! ) 43. Asleisseguintesrepresentamasestimativsde valores (em
milhares de reais) de dois aprta- mentoseB
(adquiridosnamesmadata),pas sadosfanos dadtdecompm:
apartamento:v=2+ L+ 120 partamentoB: v=6.2t 2+248 a) Po
quaisvaloresforam adquiidos osapar tamentosA e B, respectivamente?
b) Passadosquatroanosdacompra,quadeles estarvlendo mais? c) Qual o
temponecessrio(apati dadata deaquiso)paraqueambostenham iguais
valores? 44. N"lein,rr- ls 000. r .sendouma..'n- 2/ tante
(eal,estrepresentada populao (D(t)) que um pequenomunicpio te daqui
anos, contado$a par dehoje. g7 95. !n*rrg:::tese *Hp*ft*rxfffiiB
Umainequaoexponencilaquelaquepre- sentaa
incgnitanoexpoenledepelomenosuma potncia.
Saoexponenciis.poreenplo.esi.equaoe- 4-< 8,1+l >81e9"
3"5+5'>51+x>1 S={x Rlx< 2oux>1} R, f em a)
Vamosresolveras seguintesinequees R: 2,>64
2'>64.>2x>26+x>6 S={xR x>6} l1' , 1 T/ - 22 l1( l l'
,l,l l+l 3} (2)--1 mabase.Praenfrentaresse outrospoblems,
vamosestudaragoraoslogaritmos. Definio Sendodeb
nunerobreaiseposivos,coma -L1. chama-selogritmodeb nbaseoo
expoentex a0 qulsedeveelevarabseo demodoquepotncia o*sejaigualab.
logab=x o abasedologaritmo; > b ologritmndo; > x ologaritmo.
Vjmosalgunsexemplosdelogaritmos, . l0g2d - J! potsz-=d . togrv=
z,potsJ- =Y ' bgr+=-z'Po"rz-'=f, . togs5= 1,pois51=5
.loga1=0,pois40=1 !- .log3tr3=j,pois3'z=tr3 /-3 .loqj 8= 3,poisl+!l
=8 . logo,s0,25=2,pos(0,5)'z=0,25 ..tl 101. (ifs),=:= (/F)=: -
iE=:+ b) log$0,25 Ioe 0.25= u 16. 0.25-rr2',q | --:?o -Z ---> 4
-4u=-2-u= -a I "'. .......,., ', Asrestriesparao (0 < a * 1) e
parab ft , lo 0). cotocdd.n de'rnico.gd-dnre i . ^ :1e..ie a -
iciddeoetop-o. . ..',:::,-':| Conseqncas Decorrerndadefniode
ogaritmoasseguintes pr0prleoades: - 0 logailmode 1 emquaquerbaseo
igual a0- --...--l I lop.1= 0 l,pois"= 1 ts
0logefitmodabase,qulquerquesejela,g!al a1. Lgq'e=11'Poisa'=a A
potnciadebesed e expoentelogb igual ab poiso logritmodeb nabsed
justamenteo expoentequesedevedar baseo parque ponciafiqueigualab.
Varnosclcularovalordex talque: logs(2x+ 1)= logs(x+ 3)
Devemoster2x+ 1=x+ 3,edax=2. Comoparax = 2 exsremtogs(2x+ 1) e
logs(x+3),aresposrax= 2. '!^'".'a.-"'---r/.1-.'...'.. t { l
a3,,&qr*s. l,rx.r; /tttd b
0conjuntoormdoportodososlogaritmosdos nmerosreispositivosemumabaseo
(0{ a * 1) chamdoslstemade logaritmosde baseo. Por er plo.o
co-trntofo. edoporlooosos Iog- r tmosdebase2
dosnmerosreaispositivos ci sistemdelogaritmosdebase2.
F.iserdo.ssiqterd.oe ogritmo-qup'o 05
Vamosagoraclcular,etravsdadeno: a) log:-3 log3!e3= x
Vamoscalcularovalorde8ocrs. temos: 8r"c,s= (2) "c?s= (2"n,s)3= 53=
125 > Sedoislogrit-rosen u-rdTesmbsesao
iguais,entooslogaritrnndostembmsoiguais. logab=iogac+b=c d
poislog.b= log.c - loe".= b - c = b rnas utilizadosemlaterntica:
> 0 sislernade logritmosdeclmis,que o de
bse10.Essesistemafodesenvolvldopelo
matemticoinglsHenrgBriggs(1561-1630),o
primeiroadestacrasvantgensdoslogaritmos
dbasel0como^-trL,nenoa,x,iardosclc--
l0snumricos.Briggsfoitambmquempubtcolr
aprimeirtbudoslogartmosde1a1000,to ocorridoem1612 > 0
sistemadelogaritmosneperianos,que o de
basee-0norne"nepriano"derivadeJohnNapier
l50-1617).TaLemacoescoces.-ordopr:met-
rotrbalhopublicadosobreateoriadoslogrtmos.
Indicremoscomlogrox,ousmplesmertelogx, o logartmodecimaldex, e
representaremoso logaritmoneperianodexcomlog"x,ou{nx. J.i..:: 102.
ffi exercrer$s*kwffi 1 . Usando a deniao,calculeo valor dos seguin
teslogartnos: ) logr6 b) logr16 f) log,r64 c) 1og,81 g) og,32 d)
ogo125 h) ogo2lr 2. Useadeniaopan calcular: I a) rogr - b) log.11-
e) og100000 e) logl G f) log0,01 J" Calc1e: l d) o logrrrlmo cle4
na lrJse 8 b) o ogaritmoderE na base27 c) o ogarihodc0,125nabase)
d) o logaritno naturade er e) o nmerocujoogarihnoenrbse3 valc-2 " a
o,'. ra qr rl o lo"Jrlrnod< Jl. -l 4. Qua o valor 0,...,b">
0, ento: loga(b1.b2.....bJ= lo&b1+logb2+...+ logbn
Veja-rosalgunsxemplos: . log26= log,(2 3)=logz2+log23=1+log23 .
loga30= loga(2.3 5)=loga2+loga3+loga5 . logz330= logz(2 . 3 5 11)=
log72 + logz3 + + logi5+logz11 Logaritmodoquocente EmquaJquerbase,o
logaritmodoquoctentede doisnmerosreaise positivos gual dierena
entreo logaritmododividendoeo logaritmododivi- sor,isto,se00 e r
R,ento: logbr=r. logb e logabr=g,temos: Vejamosalgunsexemplos: .
logs23= 3 logs2 . logrol2 =loe,2, =:. loq,n2 z --- 1^ . logz! =
log23, = 3 logr3 AspropriedadesdosloBaritmosapresentds
acrma,quesovlidaspara0 < a + 1,b > 0 e c >
0,permitem-nosobtero logaritmodeumpro-
duto,deumquocienteoudeumapotncasendo conhecidosapenasos
logaritmosdostermosdo produto,oudostermosdoquocinte,oudabseda
potncia. Expressesqueenvolvemapenasoperaesde multiplca0,divisoe
potenciosochamads expresseslogrtmicagpoispodemsercalculads
util;zandologritmos. :l ;f-a.==r e-z=x-s l = (ax)r=aft+ g = rx
Deto,fazendologb= x lo.b=x-a'=b t..-, log"b'=g=av=U,J t |=r=".",c)
e loguA= 2, :iilfi 104. VmosclcLrlarovalordelogo$, sabendo rg
q-elogbx-2e og"V-3. utilzndosproprieddesoperetias,vem: og" *' -
tog" "' - tog"Vg- nv =z.iogo"-*.rogov= -2 ( ?) a 3- -4-1- s
SelogE=1+log+2 logb logc,vmos determnrE,ernfunodeo,b ec: emos:
logL=log10-loga+logbr- logc logE= log(10ab'z) -logc rosE=roe(-4e)
.^,^^ ., 10ab2 J--"--i-**:- SendoloB-e lop3- b.vmoscalcular toPz e
toq1 lu emuno0ed eo. Temos: lop8--loe2 -a, )3 los2 a==lop2- ? e ffi
exercrcrosru*ffi "0. Sejam:re1 positivose0 < b * l sabendoque
ogbx= 2 eogLy =J, calculeo valordosse guinteslogaritmos: a) rosL(r.
y)' b) loc"lll--v.r c) lo96(xr .yr) "tr. Sabendo,1uelog: - a
funodeder: a) rogb b) log l,s c) og5 d) og30 el rog? 12, !m
cadacaso,admitindo a existncide todos
oslogadtmosmencionados,eripressex emirn odea,i, e.: a) logx=1oga
+1ogb +logc b) logx=oga logb c) 1og.x : 3 og. a + 2 logzc + I iogrb
d) 2logx = log ar + log ba og9c'z .ll, ) t.rog=roga+;rogb 13. quao
valorde: a) logrs3+ logr55? b) log! 18 1og!6? c) 1og372 o$ 12 o$ 2?
,l d iS.8 2 og 2 og 5 og(qooo? .4. Sabendoquelogz = 0,3eog3 =
0,48,cLcule a) tog72 I Dr tog tS c) ogDt dr ,ogfiaa e) og0,06 f)
oga8 g) tog125 d) 1ogr,{i ) .)'.*,(+i t f) losbl-fx.tl e log 3 = b,
cacue.clr ) log72 g) og0,3 h) ogr,s ) og0,024 j) log0,75 .I
rtogztog3't-1 {log2-2.loe3)- if+.'")-? -1.:,;j 105. x:. I I l U nd
I'e'... c.... rJ'J do ogarito dcim.lde 450,Daso txh caculadora.Em
ubusca alrternet,cncon- trou a tabeaabai-roe, atral'sdcla,pde cal
clrcortanenleo quc peclsa!a, 2 0,30 3 0,48 7 0,85 t1 ,04 Deternineo
?o e[contrado. :o lJJ q re l',u" _ - ( r0 "' - .,..t( tp b)
Deternine o valor de x R que satisfaza / Lr equ(ao lil =(IP),. 1i,4
SupondoquelogS= p eog9= q,obtenha,en tunodep c q: al rog b) log0,72
c) ogirr': d) og6,75 e) oe'r162 1jlij.s. r. r
sonmerosreaispositivostnis que; + l = l, verdadequeog(x + y) = =
1og + ogy?{plique. :l* 5n6"tr6oqueogr2 = m, calcule,em funo a)
logr6 b) log,l- iJll.Sabendoquea+ b = 9 ea, b2= 27,gualo
valordeog.(a- b)? .l 1oS,l; 1Z 1r'"n".p Sl,)Sejano ep
constanrcsreiis,con (r> 0ep> 0,taisqueogL0o=0,5elogI p=0,7.
a) Calculeog0dP,ondcindico produto de(reJ. a) 1ogl7s b) logla c)
og' 25 d) lo$ (25.3']0) ffi L ffi "{-",l .) .{."' .:. , i'i -, .
.", i;"1':rri!.in-3;; O pll uma escalausdnenl Qumicnparaexpressaro
graude acidezou basicidadede unasolloaquos.Os vaorsdo pH varimde0 a
14. Parao ccuodo pH usa-sea expesso: I pu roetHli sendo[H+]
concerlrdodeonshidrognioem mo/{. F Quanclo0 < pH < 7,a souo
cid.. > QundopH = 7,a souo neutra. F Qundo7< pH <
l4,asoluobsica. Vejo pII d agrrrssoiues: . sucodeimo:2,3 . vidlo
tinto: 3,fl . vinagre:2,4a 3,,1 . eite:6,4 6,8 . iiguddestiladx:7 .
sangr.e:7,3 . bicarboatodesdio:8,4 . eitede n"gnsi.:10,5 .
nonaco:2,0 : E : ! : agua sangue 106. Como sabemos,o estmagohumano
apreseniaum meio muito cido,devido presen ae aodo cidoclordrico.O
sucogstico,produzido no estmago, responsvepela digestode alimentose
seupH osciaenlre 1,0e 3,0. Dessemodo,podemosencontrarosimitespraa
cocentraodeonsH+: . pH=l=-loglH+l =+oglHfl = 1=10-1=[H+] .
pH=3+-loglH+l =3+oglHfl = 3+0r=[H*J Assim,a concentrao,em mo/{, de
onsridrognioencontmdano sucogstico aria de0,001r 0,L Do mesro modo,
sea concentraohidrcgeninica em uma soluo de sco dstnco 4. lcrr
mols/{, o pH da souo: pH=-toslHl= tos(4 10'z)= [os4+]ogl0,l =
[2log2 2) Comolog2:0.3.lemor: pH = (2 .0,3 2) = 1,4
PIasbermaissobeesseassunto,vocpodepesquisrem:
cdcc.sc.usp.br/ciencia/artigos/art1s/chuvaacida.html
ciencioje.uo.com.br/contoPne/raleia/vied2467 f
Paraeplicermosespropriedadesopealrias,os
logaritmosdevemestartodosnamesmbse.Se-
n0,precisoquealgunslogaritmosrnudemdebase.
Ascalculadorascientfcasfornecem,emgeral,
penaosvaloresdoslogaritmosdecimais(base10) e
neperianosbasee).Sequisermo.determindro
valordeumlogaritmoemlgumao-trabds,se-
necessrioexpress-loembse10oubsee,corno verem0sa0tanIe.
Frmulaperamudanadebase Pratrnsformarum logartmodebaseo pera
basec,usaremosarelao: Substituindo@e@ em@,vem' (cz)x=cc.+zx=u+x= 1
Vejamosagunsexemplos: rn"-r=!8:1I !lZZ! = rsq " logjn2 0,3010 ,
o'n? I 0,84sr:. ,.,"61000' m Mudanadebase to^D rqc"D=;a
Avel|dadedessapropriedadedadaaseguir. Faamos: . os.+=]!4=-- tog."I
' 1.3863-"." 1,0986 lr4 flo&b=x=a=bO llo&b=g=ca=b(a
Uog.e=z+cz=a (3) Aplicaoimportante Dadosdeb
reaispositvosediferentesde1,qul arelaoentrelo&belogba?
Vamosexprssalogabnabaseb: ofb looD - I ou loq"blop^a 1 rogh 0na i-*
107. Vejamosalgunsexemplos: .log32 log23=1 29. (uEnN) os
habrantesdemcerropasso apreciadoresdoslogaritmosembasespotn ciasde
dois.Nessepas,o BancoZig oferece emprstimos com a taxa (mensal) de
juros T = o& 225,enquantoo BancoZagtrabalh com a txa(mensa)S=
og, 15. Com basenessasinfoimaes: a) estabeleauma relaoentrc Ie S;
b) determineem quadosbancosum cidado dessepas,buscandoa
menortaxadeju.os, deverfazeremprstimo.Justifique. tlassifiensl*;s
fun**s Vmosobservarastrsunesaseguir > AL^o / deA
{-1.0,'.>}ernB-{1,2,5}, dendapelaleif(x)= x'z+1.
Partodoelementog deB existeurnelementox detlqLreg = x2+ 1
ParatodoelernentodeB convergepelomenosumaflecha. AB Afuno/deRemR',
deindapelalei(x)=x'z. Paratodoelementog deR*existeumelemento x deR
talqueg = x2,bastandotomarx = 1t[.
PatodoelemeftodeR*,aparalelaaoeixodas ebscissasinterceptaogrficode
I logrL/ = logzlI Vamoscalcularovalordelogroo72,sabendo quelog2=a e
log3= b. Utlizemosafrmuladamudanadebse: log72 _ log(2r.32) 'v100'!
log100 - 2 _ log23+log32_ 3.log2+2.log3 3a+2b I a) ogr2 b) ogs3 a)
1og.y b) og,:y'? c) lo$ 4 d) {n3 c) og,s d) og.100 l d) og,rx 24.
s.jo- x el reaispositivos,diferentesdem.Se logtix = 2,cacule: ?5.
Sabendoqueog,,s = a,calcule,emfunode a,o
valordosseguinteslogaritmos: a) logs12 b) logrs12 26. calcueo
vaorde: a) y=og.r3 o854 1(]g65 Dr )'= logTJ logr/ logr|5 logill ,!
4. D.doqueJ 4,ronreque4 12. 2 8. Nafiguraaolado,a- b * 1 ea+b+
1-Mostreque: 1 rogx![c logr_rc c) ogs60 d) og, I n 4#
exercrcros4ffi 2 2. Escrevaembase2 osseguinteslogadtmos:
Funessobrejetoras a) og' 3 Z3.Subendoquelog 2 = 0,3,log 3 = 0,48e
log5 = 0,7,cacueo vaorde: .; i.l 108. Afuno/deR*
emR*,denidapelaleif(x)= 1. Prtodoelementog deLR*existeumelemerio r
deR'tal queu - a. bastardotomar " - 1.
ParatodoelementogdelR*,aparalelaaoeixodas
abscssesintecepteogrficode Essstsfunssoexemplosdefunes
s00reJeI0ras. Umefunof: A- Bsobrejetorquen- do,peratodog
pertencentea 8,existeumx Pertencentetalquef(x)=I. 0undof : A - B
sobrejtora,ocorre lm(f)= B. Funesinjetoras
Vamosobservarstrsfunesaseguir > Aunao/deA {0,1.2.3}emB
{r.3.5.29}, defnidapeleleif(x)= 2x+ 1.
Dorselemenosdtsintosde,4tmcomoima- gemdoiselemntosdistintosdL
Noxstm duasflechasconvergindoperaummesmoel' mentodeB. AB >
Afuno/ deR emR,deinidapelaleif(x)= 3x. Ouaisquerquesejmx1ex2deR,
sex1* x2 temos3xr+ 3x2,ouseja,f(x) + f(x). Prtodoeleertog deIR,a
paralelaaoeixo dasoscisssnrerceptaogrcodelumau"i- cavez. !-
AfunofdeR*emR,defnidapelaleif(x)=1. ouasquerquesejamxt e
x2deR*,sext + x2 1s.n6,! a 1, qusqia,f(x,)+ f(x,). xr Xz
PartodoelementogdeR,aparalelaaoeixodes
bscsssInterceptaogrcode/Jmunicvez ounenhumvez,
Essstrsfunessoexemplosdefuns InJt0rs. umfunof : A- Bjnjetorequndo,
partodosx1e x2pertencentesa r4,se xs* x,,ento(x) * (xr). t 131 109.
Funesbijetorasou inversveis Umauno:A- B bijetoraquandof I -
sobrjetor.einjetor. _ _ | Soexemplosdefunesbijetoras: . f : R '
Rtalque(x)= 2x. . f:R-Rtalquef(x)=x3. _1 . f {".- tt{.ralquef(x)=i.
l";rr,:;:* ;--:itllrea'* Vamosobservarafuno/ deA={1,2,3,4}em B=
{1,3,5,7},definidpealeif(x)= 2x 1. Notemosque bijetora,pos
injetoraetm- brnsobrejetor. Setambmaconteceque cadavalortibudo ag
estssociadoumnicovalordex,dzemosque
xtambmfunodeg.Essafunorecebeonome defunoinversade/e repesentadapo/
1. ttll(s) | Nessecso,afuno/inversve. Praaconstruodegrficos
importanteno tarmosquese/ inversveleumpar(a,b)estn tebelde entoo
pr(b,a)estnarabeladel 1. Conseqentemente,cadaponto(b,a)dogrficode /
1 sirntricodeumponto(a,b) clogrficode emrelao bissetrizdo 19 e do39
quadrantes doplanocartesiano.E,portanto,o grficodel 1 simtrlcodo
grficode/ em relo mesma bissetriz. lnversasdealgumasfunes !
ComotodoelernenlodBocorrspondentede --r j
coelenenode.podemosrocatosconjLn- tosdeposioessociarcdelementodeI
oseu correspondentede . Teremos,dessaforma,
consr,idoumfunaodnomrndeLnoInver.
de/erepresentadcomosmbolo/1.Nesseexem- . .,,. r+l plo,J lelq. e
de'lne VerSel rrl- r-. Notemosque/rl tambmbijetora,D(f-1)= Be lm(
1)=A 0undoxegsovariveisqueseinter-relactonam
demodoq!eacadvalortribudox estassociado lrn
nicovordeg,dizemosquegfuno/dex. Vejamosgoracomoconstatarquea funo
f:R- R dadepelafrmulaU=3x+4inversvel, conod1erm:1rainvesadel
ecomoconstr!i osgrficosdembsasfunes. Serdof umfLnoafim,o seug.ficoe
umari: Podemosnotarnessegrcoque, vaiordeg, exsteemcorrespondncia
valordex (/ injto);almdisso, (/ sobrejtora).Assim,inversvel.
paracada umuntco lm(f)= R 11r 110. Varnosconstruirogricode/-1
Essegrficosimtricoaogricode/, em
relobisstrizdo19edo39qudrantes.0es' sorma,o grficodel a
retaP'0:P'=(4,0) e0'=10,+). Agoravamosdeterminrafrm!aquedefine /
r.Apaftidafrmulag= 3x+ 4,quedefine varnosexpresserxemfunodeg:
u=3x+4=lx q 4-x=+ 3 Emgeral,quandosevairepresentarnopla-
nocartesinoo grfjcodumafun0,avar_ vellndependente indicadno
eixodasabs- cissase a dependente,noeixodasordenadas.
Asslm,vamospermutrasvaiveisxegner mulaobtida. Temosu=l:4.
queclefine-. '3 Acdag correspondeumnicovaof dex. Almdlsso,o
conjuntoimagemconcidcomo contradomnio;portanto,f inversvel.Vamos
egoaobterafrmulaquedefinefr: g=x3+ 1+x3=g 1+x= ifi
e,perrnutandoxcomI, resulta: v=ifil 0
diagfamaabixomostraosgrficosdas dusfunes(simtricosemrelao bissetfiz
dosquadrantesmpares). il I Vejamoscomoconstatarque a funo f: R * R
dadapeafrmulag=x3+ 1inversvel, corooeen ,nainve-sddelecoaroconsr-i
osgrcosdeambasasfLrnes. Afunog =x3+ 1 umafunocrscente emR e
seugrficocontm,porexemplo,os p0nt0s: i"1 111. observao
Vamosverificarseafuno: R* Rdadapela leig=x2inversv|.
Essaunonoinversv|,pois,praU> 0, decorrex -= f,$
ouseja.precadag> 0exis- temdoisvalorescorrespondentesdex.Vja.
m0s: etc. E,poroutroldo,paraU< 0 no correspondentex=ltflg. 37.
Veriflque,em caducaso,seafunoreprescn- tadapelo g.flco
sobrejetora.Em casoafrr- mativo,rifique seelatambmbijetora. a) f:
R- R+ d) f: R- R- b) f:R*R e) f:R+.. c) f:R+*R+ f) t:R-R. ffi
exercrclosrunt Classifiqueoserercciosde30 a 35 co-o: S,sea funofor
somentesobrejetora;, seafunofor so- menteinietoraj3, sea funofo
bijetora; O, sea funonofor irjetoranemsobrejetora. 30.r, {-2,-r, 0,
r,2} * {0,1,4},definidapor f(x) = "2. 31. r ' 10,r, 2,31 - 1s,3,l,
7, definidapor f(x)=2x+I 3?. r, {-r,o,r,z}*
{0,r,2,3,4,s},definidapor f(r) = x.' 1. 33.r,{-2,-r,o,r,z}*
I-t,-t,0,r,2,3,4Lde, nidapor f(x) = x'j- 1. 34. r, N -
N,d"nia"porf(x)= 3x+ 5. 35.t,Z-Z,d"^d^por f(x)= x- 5. 36.E-
cadacaso,sejaf: R - R.Dosgficosa 5eguir,quai(osquerepresenlamfunoes
I 38, Verique,emcadacaso,sef: A-. Binvesve,
justificndosuarespost.Forne,quandoexis- tir,aeiquedefinef (x): a)
A= {0,1,2,3ieB= {3,5,7,9;f(x)=zx+: b) A = {-1,0,1leB = {0,1};f(x)=
1, 39. S.juf, m--.rn a"noidaporf(x) = -2x + 1 a) Qualalei
quedefine/ ? b) Repesente,no mesmopanocartesiano,os grfrcosde/e /-.
1 .' n=l r.{.+,-l leB-11,2,r,4t;fLx;- l | 2 t 4J I f 1 d) A =
{-1,0,1,2}eB=l+,2,4,ll;(x)=2. tz ) e) A=
{4;10,28}eB={1,3,2};(x)=log3(x 1) f) A = {-2,-r,0, l,2ie e =
Z;f(x)= Ixl inietorsi 1,4 112. 40. s";"t, m*- pr aenidaporf(x)=x'].
a) Quaaleiquedefinefr? b) Represente,nomesmoplanocaesiano,os
grficosde/e fr. 41, S"juf, m - R o-" funode1egu daoapem eif(x) =
2x+ a,sendoaumaconstanterea.Qal ovaordef(3),sabendo-sequefr (9)= 7?
42.tn.ontt...-,ada caso.a leiquedenea in- a :|t(+1,{eIlx)= '-!- b)
f:R-Ref(x)=xj c l:L{-i-Jl-L il'erLxr - ---------i 43. No
grficos.guinteestorepresentadsasfun- es/e / ,definidasdeR emR. Qua
a funes? Vamoschamardec ovalofinicaldepositadopor
Cssio.oualserosaldonapoupenanomdo19ms daaplicao? Serc +
1%dec,ouseja: c+ac=c+0.01c=1.01c 100
oualserosaldoemcontanofnaldo29msde
aplicao?Bem,no29msorndimentode1%ser
calculadosooeosldoemcontnoimdo19,ouseja, sobre1,01c. 0,x
1>0ex-1+1 3 x>0+x0+x>1@ x-1* 1+x* 2 @
Fazendoainterseodosconjuntos@, @ e O,resulta1 0.
lnicialmente,construmosumatabeladndo
valoresaV,paradepoisclcularmosx. -? .::.-.:::-.'-,'....-.'..'_ i
r::',;,:'i.1:i-,r-;. ::l 0 .- r'-::;:.'.:::i;!- :; :, : -r.--
r,-5-,1i:::-. z.- ,::,. ...;:: , i -..._-1: ' : :_-:. ",r1 ; 0 1 2
3 45678 0utromododeconstruiressegrficocon- ..toe-ro.e.e Ll_ log y
-to. _ 2rr.l4+logo,t9 1,entoosnmerospositivosmenores que1 tm
logartmosnegtivosnabseo e 0s nmerosmaioresque1tmlogaritmosPositivos
nabaseo. Defto,sea > 1,temos: 0 < x< 1+ logax 1+
lo&x> log"1+logx > 0 Vejemosalgunsexemplos: .1otu0,80 .
log2E>0 Se0 < a < 1,entoosnmerosPositivosme_
noresque1trlogaritmosPosiivosnbaseo
eosnmerosmaiorsque1mlogaritmosne- gltvosnabaseo, Deto,se0< <
l,temos: 0< x< 1= log"x> log1+ logx> 0 x> 1+
lo&x< loC"1+ logx< 0 Vejamosalgunsexemplos:
.logo,20,5>0 . logo,30,81> 0 log?17< 0 logrtr5 ogL+ g)
log,3 0 54. 1ur-ue) ,t nguraabaixoepresentao grfrco /1
datunof(x)=o& -:J. Mostre qre o valor da ea sombread -c .
(log"2c'?)e expliquepor queessevaor um nmeropositivo. 119 117. {fi
B,S C3 q! (5 f,-.} aTs LJ rn' - 5--- .{-r cs Osterremotosea
escalaR.ichte.r Em 26 de dezembro de 2004 um terremoto de 9 graus
na escalaRichter foi registrado na cosladailhadeSumaa.naIndoneia..8
h dr manha.O rerremoro0. Comoauxliodeumacalculadoa,vemosre-
solversseguintesequees: a) 3"=s 3*=5=+x=log35 x=loe,s- l"-;1= uls=u
=1,d65 '- l0gJ u,4((r b) 24x !=7 .4^ Za, r=2.,+L=?=24'=14=
+16x=14+x=10g1614 . _, loq14_ 1.1461-^x roer614-ffi-: i'iffi =0es2
RetomandoaqustoproPostanoinciodes' te captulosobreemqnotmpoo
valordo caminhosergualaR$20000,00,temosque
resolveraequaoexponenclat: (0'e)-=0'2 Considerandolog2 = 0,3e log3
= 0,48, 1em0s: .2 '"5 10 lsto ,asondasdo terrcmoto que causoua
devastaona sia so10000vezesais amplas que asdo terremoto em Ioo
Cmara t x=roeo,qo,z=.19991= q -" 10 lop2- los10 = g r:tog 10 =
Da,vem: n?n_t n7n x=:=:--+= :':: = 145 u,gb- I -u,u4 ou sej,o
camnhovaler20 mlreisaps 17anosemeio. ,ffi#ruexercio$ffiiffiffi 5 5.
Sabendoquelogz = 0,3elog3 = 0,48,resolva
a.e8uinle'eqLraoe'ePonen'idi.comu{ lio dacalculadora: S5.
nconomistasafirmam que a divid extrnade um determinado pais
crescersegundoa le y = 40 1,2",sendo/ o vaorda dvida(embi lhes de
dlarcs) e io nmero de anos trans corridos aps a di.Llgao
dessapreviso.Em quanto tempo a dvid estarestimad em 90 bilhes de
dlares?(Dados:og 2 = 0,3 e log 3 = 0,48.) log2 log10 2log3-log10 a)
3.=10 e) 2.=5 b) 4x=3 a 3a=2 / j +l tt 2.=21 c) i;l =i d) 10"=6 h)
2"=3 T?L 119. 57. FeipeapicouR$ 500,00em um tundo de n-
vestimentoque ende I o/oao ms.Conforme aprenderenosem Matemtica
Financera,o nortate (valorinicial+ juros recebidos)des-
saapicao,daquia r meses,podeserexpresso por M(n) = 500 (1101)n, r
Oudl e o montJntede,a apli.aaoaprj n1eioaro? b) Quaotempomnimo
necessrioqueFeipe devemantero dinheroaplicadoaim deres
gtarR$800,00?EparresgatarR$1000,00? (Uselog2= 0,3elog 1,01= 0,004.)
58. Dentro dei dcadas,contadasa partir dehoje, o vaor (emreais)deum
imvesedadopor v = 80000. 0,9'. a) Qual o valor tualdesseimve? b)
Qual a perda (em reais)no valor desse imvelduratea primeia dcada?
c) Qul o tempo necessrio,em anos,par que o valor do imvel sejaR$
60000,00? (Useog2= 0,30e log3 = 0,48.) 59,A
expressaoseguinterecionao valor v, em reais,que um obl'etode ate te
| anosapsa suaqu$lco: v(t) = 500 2r (k ' uma constantepositiva) a)
Sabendoque o valor do objeto,apstrs anosdesuaaquisio, deR$2
000,00,de- termineo valor deft. b). Por qual valor esseobjeto de
arte foj adquirido? c) Qua o tempo necesstiopara que o vaor do
objeio seja de R$ 5 000,00? (Use1og2=0,3.) 60. populaao
Equasredutves umaigualdadeentredois logantm0sdemesmbese logf(x)=
log8(x) A s0luopode ser obtida mpondo-se f(x)=g(x)>0.
Vamosresolveraequao: lo&(3-x) =log3(3x+7) Temos: 3-x=Jx+7>0
3 x=3x+7+4x=-4+x=-1 Subsituindqxpo 1ncondio3x- 7 > 0, vem3( 1)+
7=-3 + Z) 0,queverdadeira. Fnro.S-{.t}. r LV_.2 120. >
Equesredutveisa umigulddeentreum logritnoeumnmeroel log"f(x)= r
Asouopodeserobtdampondo-sef(x)= a'.
Vmosresolveraequaolog2(x'z+x4)=3. Temos: log.(x'z+x-4) =
3=+x2+x-4=23 -+ +x2 +x- 12= 0=+x=-4 oux = 3 ,._...5.111.11:1_1l
ffiffiexerelcl0sffi 63. Resova,emR,asseguintesequaes: ) ogs(x + 4)
= log57 b) og,(4x+ s) = og,(2x+ l) c) og3(5x'?-6x+ 16)= 1og3({d +
4x 5) d) log*(2x 3)=loC"( 4x+8) e) 1og1"r,1(x, 2x)=tog(,+r3 54,
Resolva,emR,asseguintesequaes: a) loga(x+3)=2 b) 1og,(2x'z 3x+ 2) =
0 c) ogi'3x+1=-t d) og,(logrx)= I e) ogG[3+ 2. lo$ (x- 1)]=2 6 5 .
Resolva,emR, asseguintesequaes: a) (og,x)2- 15= 21og,x
(Sugesto:Faaog2x = y.) b) 21og'zx+logx1=0 c) (1o96,5x)3 3.
(tog,.'x)'? 18. og0,5x = 0 66. rvune"p-rPrNumaplanraaode.errae.pe-
ciede rvore,smedidasaproximadasda a- turaedodiinetrodotronco,desdeo
insranre emqueasrvoressoplantadastcorpeta- rem
10anos,sodadasrespectivamentepes unes: H(t)= 1+ (0,8).oc,(t+ )
D(t)= (0,r) 2; .omH(r)eD(l)emmelroser emano:. Determine asmedidas
aproximadas da al tula, em metrcs,e do dimetodo trcnco, em
cendmetros,dasrvoesno momento em que sopantadas. altura deuma rvore
3,4m. Deiermine o dimetro aproximado do tronco dessa rvore, em
cetmetros, t> Equaesqueenvolvemutilizaoclepropried-
desoudemudndebase Vamosresolvera equo: 2 logx= log(2x- 3)+ log(x+
2) Aequeopropostequivalea: logx'z= log[(2x- 3)(x+ 2)] eda,vem;
logxT- log(2x2-x-6) -x'- 2x2- x 6 =+x2+X 6=0+x=-3oUX=2 . x = -3
nopodesereceito,poisnoexstem nesscasologx,log(2x 3)eog(x+2). . x =
2 soluo,possatisfazscondis dexistncidoslogaritmos. Ent0,S={2}.
Vmosresolveraequaologax+ log,4= 2. Fazendolog4x= g,temos: -^ t0g4x
u Assim,equaoddaficsendo: qr'- 2 >u/ 1=2u-u'-2u.I-0-
+U=1+logax=1+x=4 . x-4 esojuo,poissatisfalscondioes
dexistciadoslogaritmos. Ento,S={4} a) b) t "3 121. i#
exercrcrosffiffi b. R'o1va, 0 ey > 0,cacueo vlordet, ondeI = .
71 -r r. KeFoLajm {j .l eqrLoe: a) og, r = log, 5 b) losae7x= og,7
c) 2o& (3x+,13)- log::(x+ 1)= 1+ ogu(x- 3) d) los, (x- l) +
log, (x 2)=og,x 72.Au-.rrtu,rdo u- nrero r ile I unidaales,scu
ogaritmoembase4 aumniademiaunidade. Qua o vordex? 23. (U. F.
UbertndiaMG) A financeia Crdiro Nlort emprestadinhero a
serscLjenlescorn a condiode que a dvida sejapagaen urna nica v2,de
cordo com segui1teregra: pia um montante de I( reaisenprestados,o
cliente, ao final de r meses,deverpagar a quanti de K . og0(t + 2)
reis.Os conp dfe. n.ncio l b.+logar> logab Iogb(sea> 1) a>
b log25+x > log25 32r+s< 7 32**s< 7=+log332,*s< log3z =
=2x+5< togs7+x Inequaesred!tveisumadesguldadeentre
logartmosdemesmabase logf(x)< log"B(x) Aquihdoiscsosconsideran .
A base miorque1.Nessecaso, elo dedesigualdadeentref(x)e g(x)temo
mes- mosentidoqueadesigualddeentreosloge- ritmos.Paraexistiremos
logaltmos,deve- mosmportarbernque'x)egxseampo sitvos.Enl0,
soluopodeserobtdaim- pondo-seque: log"f(x)< loe"g(x)+ 0 < (")
< g(") . A baseestentre0 e 1,Nessecaso,a ea
odedesigualdadeentre(x)eg(x)temsen-
tidocontrroaodadesiguldadeentreos
logaritmos.Paraexistiremoslogitmos,de vemosimportambmque(x)e
g(x)sejam positivos-Ento,a soluopodeserobtida impondo-seque:
loe"f(x)< loe"e(x)+ f(x)> g(x)> 0 Vamosresolveainquao:
log,(2x 5)< log.x Condies:0+ (1) / 2x-50+x> 2 O
x2>x+2=x2-x-2)0..+x Inequaesedutiveisaumadesiguadadeentre
umlogarilmoeunnmeorel log"f(x)> r ou log,f(x)< r
Pareresolveruminequaodessetpo,beste sLtbstjtuirI
porlogaar;ssimjrecamosnuma inequodo19tipo. log"f(x)< |
equivlealog"(x)< og,a' og"f(x)> equivalealog"f(x)> og"a'
nequaolog,(2x 1)< 4. log2(2x- 1)< logr2a+ * . Vamosresolverai
emos: logzl.zx- t) 0? t(+)' (' "F .fiJ g 1*- J .4- 0s sonse a
aud.i.hnrnana Umapessoacomaudiooormalcapazdeour
umagrandefaixadesonsdeintensidades ben rlcrentcr.
Osompodeserclassficadocomofracoou
fortequantoasuaintensdade,Querepresenta- dapor I No
SI,SistemaInternaciona,I expressaemWm2 (watts/metroquadrado).
L{isteumvaormnimodeintensidadedesom,abairodo qualimpossvelour
algo.A essaintensidadedamosonome de lnnardc
audblidade,quevale,emmdia,10 ']w/m'z.
Combasenosvaloresdeintensidadedesom,podemosdefinir o dvel
de.intelsidde(p) rnedidoemdecibels(dB): de
refernciatomadocomolimiar de audio: I * ! ffi##exe!'flct0s ffi ?8.
Resolva,emR,asseguintesinequaes: a) log,(x- l) < 1og23 b) log,x
< log,2 c) og.(2x- 7) > log35 d) logo,.x
0,cadatermomaiorqueoanterio[ dizemos,ent0,queaPA.qrescenle(verexem-
plosemquer= 3 e r=4). F- 0uando 0,cadatemo'renorqueonrer'on
dlzemos,ento,quea PA. decrescente(ver exemlosemquer= -ier=-21.'Jt -
Ouandor = 0,todosostermosdPA.soigLais; dzemos,ent0,queela
sonstane(verexem' ploemquer= 0).
Podemosobsevaraindaq!e,considerandotrs
termosconsecuvosdseq-ncia(1,5,9, 13,17,
21,...),otermocenlaldadopelamdiiitntica entre0soulrosdorsterm0s:
(a1,a2,a); 0 (1,s,9) - I +q -2 (ar,a.,ao); (a3,aa,a5) 00 (s,9,13)
(e,13,17) Temos: (4,7,10,13,16,...),temosr = 3.
fo,1,-3,-r,,".0.,=1rJtr (-5,-1,3,Z11,...),temosr=4.
(2,7,Z,7,...),temosr=0. (1s,13,11,9,7,...),temosr=-2. .^ 9+17 --?
i:"3 131. "i'*1r,"lil i;lt:lilI r.:...rir,r",
vamosag0renc0ntrarumaexpressoq!e nos permitaobter!m
termoquaquerdPA.,conhecen. doapenaso l9termoea raz0. lsso
possvelgraes obedlncidosterrnos deumPA.a umaregraespecialdeormao.
Sej(a1,a2,aj,...,an)umaPA.derezor.Temos: Determinemosx demodoque
seqncE (x+ 5,4x- 1,x,- 1)sejaumapA.
Uili/enoodpoprieodeoemdi-itmeiic
(trstermosconsecutivos),podemosescrever: 'a) ,=T3 ar=.+i . 3 a2=r+
a3=2+ r+ . e4 Al=r=4=3+T+ Demodoger1,otermoon,queocupaa n-sima
posionaseqncia, ddopor , a"=a,+(n-1) r l
Essaexpresso,conhecidcomoiliir tl-'il,i lefi L,al,.: r?a'l ,
permte-nosconhecerqltaquer termodPA.emfunode01er.AssTn,porexern-
plo,podemosescrever: z=41+6r rz=ar+11r aj2=t+31r Vamoscalcularo
209termodaPA.(26,31, 36,41,...). Sabemosquea,= 26 e r=31 26=5.
UtiJizandoaexpressodotermogeral,pode- mosescreven a2a=ar+ tgt.)
azl=26+ 19 5+20=121 Vamosdeterminra PA.quepossuiasse-
gurntescarctersticas:o 109termovale16e a somado59como99termoigula2.
Deacordocorno enuncido,tenos: la,"=16 i +9r=16 la5+q= Z l(a. +
4r)+(a,+Br)=2 f, + 9r= 16 I2ar+2t=2 Resolvendoosistem,seguer= 5ea1=
29. Assim,aPA.pdid( 29,-24,-19, 14,...). 8x- 2=x2+x+4+x2- 7x+6 = 0
,Asrazesdessaequaosox = 1oux = 6. Podemosverificarque,parax = 1,a
PA. (6,3,0)e,parax = 6,aPA.(11,23,35).
Vamosinterpolaroitomeiosaritmticosen- rc2e47. r, ,,,,.,
ouinseriroitomeiosartmt,cus entre2 e 47
sgnificadeterminaroitonmeros rarsdemodoquesetenhunaPA.emque ar= 2 e
an = 4? e osoitonmerossjma2, 43,*, a9,C0momostr0SqUemAbaixol
(x+s)+(x'z1) 2 r-.1L:.1!i-?|r Da: oto lfmos 109lermo afi = ar+ 9(.+
4?= 2+ 9r=+9r=45= r= 5 Assim,aseqnciprocda(?,?,12,17, 22,27,32,
37,42,4?). Vamosdescobrirquantosmltiplosd3exis, tementre100e 500.
Aseqncidosmlriplosde3(0,3,6,9,...)
eJmPA,de.a7o3,masoquenosinte.essae estudaressaseqnciaentre100e 500.
Parsso,temos: . 0 primeiromltiplode 3 maiorque100 al= 102 ':, :l
132. . 0 ltimomltiplode 3 pertencenteaointer"
vloddo498,quendicaremospordn,pors noconhecemossJposrceonaseqenci
Assm,an= 498 flelon1do.queenosdeterTnt0numPr0
determos(n)deseqncia(102,105,...,498). PeotermogerldaPA.,temosl
h=41+(n- 1) r 498=102+(n-1) 3+n=133 Portanto,h 133mhiposde 3
entre100 e 500. aiffi l::',,i,:i i..1,,..1.,:;:; ififfi&.Xffi4,
" Quaisasseqnciasquerepresentamprogres- sesalitmticas? a)
(21,25,29,33,37,...) b) (0,-7,7,-14,r4,...) c) (
8,0,8,16,24,32,...) ,, /t I , a 5 ,- 3'l ' l'l'- / e) (-30,-36, 41,
45,...) t) (fe z.fe:, +rZ...t Dclcrminedrdlode..rdau
rraJ.r'prugrc"or. itmticssegujntes,classificandoasenl crcs
cente,clecrescenteou constante: a) 138,35,32,29,26,...) b) ( 40,
34, 28, 22, 16,...) , /r r-' 7',7',7'7',-l d) (90,80,70,60,s0,...)
f I | (li 2,./5,1,1f3,5+r,...) .
I-nr(laaodP.A..5'.44.tr,.28.....dercrrrine: a) seul8ltemo b) ale+
a- l!.-t.i.Em uma P.,o 7r teno vale-49 e o 1! tern'o vale-73. a)
Qua a mzodessdP.? b) Qualo seu16!termo? c) Qualo seu19termo
positivo? i, ", iscrevaa expressoilo termo geraldasseguin-
tesprcgressesaritmticas: a) (0,5, 10,15,20,...) b) (-4,2,
8,14,20,...) .l (83,79,75,71,67,...) ' on'iderea 'equerciade
numero.Inleiroe positivosque somtiposde3. a) Qual o termo
geraldessaseqrcia? b) Qua o 60etermo dessaseqncia? Escrevaa PA.
ernqr.reo 49termo vae24 e o 99 , Em un] PA. a3+ s= 14 e a; = 2ro+
88. Dtenine: ) a razod PA. b) u, Esctevaosquatropimeirostermos
asmeddasangularesapuradasentreumafigu- re outrsoinvariveis. Aindaa
respeitodasfigurasapresentadas,po_ demosdizerquea
pdmerafiguracomportaquatro
vezesasegunda.0ualquersuperfcieencontradana fgura2
"cabe"exatamentequatrovezesnasuper_
fciecorrespondentedafigura1;veie,porexemplo, osqudriLterosB'LRX
eBLRX,queformsuperpos- tosnafigura3. igura3
0emodogeral,quandocomparamosfigurese
observamososftospresentados,dizemosqueelas sosemelhantes.
Nocasodasigus1e 2,definimosa razode semelhanak como2
(daprimeiraparaasegund) 9u! 1665squndapdr plne raJ.A.emdrsso. 2"
seldok 2,ara7odeserelhenaentleasea dasfiguras k2= 4.
Vemosestudaremdetalheasemelhanaentre tringulos,devido
suaimporlnciaemlvltm_ tice. lF;F r t.'^."F - "l'* -u )! lel
l6'J{Lc"} ;"",''E'. "' Definio Doistringulossosemelhentesquandopos'
suemosnguloscorrespondentesconguenteseos
ladoshornlogosproporconais. Lembre-sedequeadoshomlogossoldosque
ocupama mesmaposonasfig!ras. !yg: 'mesmo'"lugal
Asflaesexpressasnoexemplol conrmm a oefinoi-rcra: pdq.e do5 t
ingulos5em semelhantes,necessrioqueosng!osdeumse'
jamcongruentesaosngulosdooutroe queos a_
doshomlogossejampoporcionis.
Noentanto,veremosop0rtunamenteque,seuma
dessascondiessatisfeita,aoutratmbmseve_
'iciousej,sedoislringu'ospo--uemo' ^gu_ b :.v1" 169. 16
CclsoAA:"Doistringuos sosemelhantes
quandopossuemdoisngulosrespectiva- menteconguentes." o'F ]* oor,-
oo", =l =': Cosolll: "Sedoistringulospossuemoslados
proporcioneis,elessosemelhantes." c' A o ' ", *F=#= F*oABc-aA'B'c
j"? '+ 172. B" Observea frgura a seguir.Co$iderandoquc ^MNR - ^PNQ,
o quesepodeatuarsobrea posio reltiva entre osdosPQ e MR? lusti
fique. 0, Determinea medida Hringulosetangulosqueaptesentaruman.
gu0 agudode300(conseqenternente,o outro
nguloagudomede600).Procurremoscalcular
osvaloresdsrazestrigonomtricasde300e
600.Pratanto,construiremosumtringuloeqi- lteroABCdeladoI,
rranoosuahuraAH.d medid/. Temos: I BH=CH=1 2 BH=cH=30.
PeloteoremadePitgoras,aplicadonoAAHC,ob- tem0s:
Podmos,assirn,determinarasrazespocuradas: ( . sen10"=1+
sen30o=cos600=! (7 . 6653[" = ]+cos 30"= + cos30o=sen60= ? iE .
rs600=I= L=rs60"=16 -((' zz tr ,nz=7' 1( 12.-n-l'[5 2/ 2 /./E L- (
" -f; -ta 13 ril - J 1H-!- 22 1*t . 1g300= tg60" 189.
llmconseqncilrnportnte: "SeumtringLrloretngulopossulum de30',a
hipotenusamedeo dobrodo oposloaessengu0." 0bserve,porexemplo,o vor
desen45.Nessa ./. lbelapa.e'eovalot " !, er1ente oT.es0. .- z mero
qLe.oost n ldbela' ornple'a5e1 450 = 0,?4711). A aitfreqnclcomqueos
nguos notves aperen usfc aoresentdaodatbe a ' ro
Comela,osccuosficamfciitados. 0bsefvndoafigurbaixo,podemoscalcu-
iarsmedidasdossegmentosBDeCD. ngulo catet0 *
Htringulosretngulosqueapresentmosdois ng.lor led
ndo.crdun.4,0.VejTosoti^ gulorrnguloi- SejaotringuloABC,cutngulo,
relativaaoJadoA 1" 2 Assm: cos(180" x)=cost:S"=-lE rtne ennc rr
teoremdssssnCIs Emtodotrngulo,osladossoproporcio-
naisaossenosdosngulosopostosaeles. t-ei .," 2. (180"-x)= sen(180'
45o)= sen135= :*s r', i_, c, .,.,' t | ' --: i Parao
casoparticularde sn90o= 1ecos900=0. x = 900.temos 5en e CHa hura
197. ^cAH. sen=![ =+cg=osen ] .q t- ACBH.senB= fl1= CU= asenB ] +
bsen= asen+ --!- = !-- senA senB Procedendodemodoan5lono. !- = -9--
- senB senC Podemosescfver,ento: senA senB senC Sejao
tringuloABC,obtusnguloem,e CHa alturrelatvaaoldofB. c
SejaotringuloABC,retngulo.Temos: c senB=!- a= !-l a senBI b . cnR
sencsenL=:= a =-----:- senc l Poroutrolado,temos:sen = sen900= 1 e
eb_ebc T- *"8 -- *"4 =sen= *"c
Comopudemospercebefnostrscasos,emqual- quertringuloABCtemos: abc
senA senB senC NotringuloABCdafiguraabaixo,vamosde-
terminarasmedidasdeACeE. e=reo.-1:s"*+og=ros" I
sene=sen1050=sen75o=0,96593 Pelaleidossenos,podemosescreve: AC BC
AB sen400 sen35o sen105o AC BC 10 _^ n;;zq = n .o - .------:n o;or
- 10352 l---"-'"-"""'"'-"" At= 10,3520,64279=6,65cme
BC=10,3520,57358= 5,94cm ACAH:sen(180"0 = f,= '"n + 6ggH..unf,=Ita
6H=6sgrg a =bsen=asen=+ 9-= sena Procedendodemodoa-aloso:--i- = c -
snA senC Podemosescrever,ento: "^= b-= "-senA senB senC b senB fifi
198. I I i AsmeddasdosldosABe BCdo1rineulo
abixopodemsrexpressasemfunodame- diddoterceiroledo. bABBC sen600
sen459 sen75o ----l::. 49 , sen4!l r 6 -. gg= 1!9lZlr.6 senbu",,
senbu"' 1,115 3. Dttermine a medida.rem cad.rcaso. a) 4.
Det.-rminer medjdacloangutox. t c 0,816 tffiexerctctosmffi l.. Nur
rrilnguoABC.JodddoB -o0o.C-45o e AB _I Lm.Determineo .omprimenlode
A(-. 5, No ttiarrg.,toenC dafigura,dteinineasme- didasdeABe BC. 6.
Encontreosnguos.e deumtringdoABC, emqueA 5",'enB- l e'ent - r.lnr
seguida,determinea medidadeAB, sendo AC=5cm. 2 . Bmcailacaso,
SejaotringuloABC,acutngulo,eCH= h a me- didadaakurrelativaaoladoAB.
BCHIa2= h2+ (c m)'z AACH:h2= b2 m2 I +a2=b2-m2+c2-2cm+m2+
=+a2=b2+c2-2cm Masm=bcos. ssim,a2= b2+ c2 2bccos.
Anelogamente,podemosescrever: b2= a2+ c2- 2accos e c2= a2+ b2
2abcosi' SejaotrnguloABC,obtusnBuloem,eCH=h a
medidadakurarelativaoladoAB. 8CH:a'?=h2+ (c+ m)'zI ACH:h2= b2 m2 )
=a2=b2 m2+c2+2cm+m2+ =a2 = b2+c2+2cm Masm= bcos(1800-)= b(-cos)=
ocos. Assim,a2= b2+ c2 2bccos. { t 200.
Analogamente,podemosescreven b2= a2+ c2- 2accos e c?=a2+b2 Zabcos
> NocasodeotringuoABCserretngulo(em, porxemplo),comocos900=
0,verica-se igualdadea2=b2+c22bccosg0o,quesereduz
expressodoteoremadePitgoras.Paracada
umdosdoisngulosagudosdotringulo(be6) cberiaumadernonstraoanloga
pimer. Comopudemospercebernostrscasos,emqual-
quertringuloABCternos: Umtringulopossuiumngulode600com-
prndidoentreladosde5cmeI cm. Podemosdeterminar medidado ladoAC
usandoa leidoscossenos: b2=52+82 2.5.g.cos60o b?-25 t64.2.5.8 I
-49-b-/ ? Assim,oterceiroladodolringulomede7cm.
Valerelembrrduasimpo(antespropriedades acercadoslringulos: t
Emtodotringulo,asomadasmedidasdedois ladossupera
rneddadooutrolado(desgual- ddetriangular). BC< AB+AC AC, t't
rDIli .) rf,2+ 2b'- Sendod a nedida da hipotenusr, e c smedidas
doscatetos,dinciaentrePeQguala: d) lE lF O [t+ 3F Utze s ifomnes
dadas para anaisar as ak- maesseguntes. a) AB = lGcm b) O senodeum
dosnguosagudosno trinsulo 113 ABDjsuala-. c) BC=3rEcm d) O penetodo
qadriteroABCD isuala (o16+ +rI- cm. e) AC= 113+ {6cm 11.
(Unifo-CE)Nguraabaxoten-seumoctgono eguarinscritoem una
circunfernciade raio 2 cm. rguala: a) 16r[ b) 32 c) 321r-12 d) l6!2
- 2 el 1614- r2 octiono,em centimetros, 1?. LlarecsPr Lm um
pdr4rc.oqrdmnABr D. )5han. ABe qD medenr.re.pc:riv!1lenre.' 2!m
er(m e e o nguloagudoforndo por essesados.Seadj gonal mor mede 2x
cr, entoo ngo 0 ta quel . - vt4 r cosv= 4 .5 b) sene=; .^5cl cosu
=-- .^l or senu =-' e) tge =.,q 13. tur prl Num triguoetnguloum
doscatetos medeacmebissetizdonsuloretomedecn.
Classifiquecomoverdadeira(v) ou flsa(F) cada umndassentenasabixo:
^.fma) Amedrd.rdahp"ttru bl medidadooutroctdoA cm.'a c) O
tringuoisscetes. d .omad,' meddJ'do.cdrero.e . 8.
(MackenzeSP)Trsihas,A,3c C,aparecemum
apaenesc141:10000,comonafiguraabao: B t A 12cm C Dasalternativas,a
que meho apronn a distncia entreasilhs e.8: d) i,9 km c) 2,1knib)
,4km c) 2,3l(m 9. (IEI-SP)EnumtinguloABCosladosopostosaos JrtsJu. A
e s .ro.rt'.pc.r.umenle.,c b.rdnqrrr a= 2b. A "{ JbPcd" que o Jn6 u
mede u' e cnF .fa sen60"=+1, assinalealternativacorret: 10. (Uf-sE)
No quadriteroABCD da figura abaxo, . nguloBD reto; . BD =:l cm e CD
= 6 ct; . BDC = 60"; . a tangentede eln t o dobro da tangentede
ABD, ) =os"e=s" d) =4s"e=75" bl =30.e=eo" c) =75'"=a5' c)
=eo.ei=30. :r16 204. 14. 1c"r"t-ucyNn retnguloem a) :[ ,, 3.i' ,2
6guraabaixo,o trinsuLoBC eM ebnsenizdoJnguJo,4. . !!l -'5 ,. S+F "l
,' menino, fartado 6m d parederral,mirando em A, v o ponro B n
abbada. F --To _ Consdeando-seosolhos do menino a 1m do chao
edesprezando-sea espessuradasparedesparao c - ctrlo, ltura do ponto
B ao cho : f eA( rJeAr4 r2,JmrdidJdr,ripotelL.dBCe: .. 2I ,i ) ).
n' IJ. rU. h lz de Iora Mrr,lmd re.q,ri po$r!iLrJ abbada semi
esfricade a m de aio, cujo ceto dista7m do choe5 m
dspredeslaterais.Agrua abaio representaum cote em perfil, em {rue
ux ul tt;f. e) sm t.rll ^ ---'---'l I a ...- ^, ,. I r.. (lMt RJ)
Um quadrto convexoABCD estinscritoen um semcjrculode dimetrod.
Sabe_seqe j AB=BC=4AD=deCD=b,cond,rednonuos.Demonsrrequedr=bd+2a,.
l ;r 205. l 2 3 5 6 8 I t0 11 17 13 l5 t6 17 18 19 20 21 22 23 24
25 26 27' 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 39 40 42 43 45 Sh 0,41745
0,03490 0,05234 0,06976 0,08716 0,10453 0,12147 o,13917 0,15643
0,17365 0,19047 0,20791 o,22495 o,24192 o,25AA2 o,27564 0,29237
0,30902 0,34202 0,35837 4,37461 0,39073 4,40674 0,42262 0,43837
0,45399 0,46947 0,48461 0,50000 0,51504 0,5