ESTUDO DAS FUNÇÕES 1.(UFPA) Dada as funções f: A B onde A = { 1; 2; 3 } e f( x) = x - 1 , o conjunto imagem de f é: a. { 1; 2; 3 } b. { 0; 1; 2 } X c. { 0; 1 } d. { 0 } e. nda 2.( UFRS ) Sejam V = { P, Q / P e Q } são vértices distintos de um hexágono regular e f uma função que associa a cada par ( P, Q ) de V a distância de P a Q. O número de elementos do conjunto imagem de f é: a. 3 b. 4 c. 5 X d. 15 e. 30 3.( UFPE ) Dados os conjuntos A ={ a, b, c, d } e B ={ 1, 2, 3, 4, 5 }, assinale a única alternativa que define uma função de A em B . a. { (a, 1 ), ( b , 3 ) , ( c, 2 ) } b. { (a, 3 ) , ( b, 1 ) , ( c, 5 ) , ( a, 1 )} c. { (a, 1 ) , ( b, 1 ) , ( c, 1 ) , ( d, 1 )} X d. { (a, 1 ) , ( a, 2 ) , ( a, 3 ) , ( a, 4 ) , ( a, 5 ) } e. { (1, a ) , ( 2, b ) , ( 3, c ) , ( 4, d ) , ( 5, a ) } 4.Sendo uma função f: R R definida por f( x ) = 2 - x, assinale a alternativa correta: a. f(-2)=0 b. f(-1)=-3
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2.( UFRS ) Sejam V = { P, Q / P e Q } são vértices distintos de um hexágonoregular e f uma função que associa a cada par ( P, Q ) de V a distância de P aQ. O número de elementos do conjunto imagem de f é:
a. 3b. 4c. 5 Xd. 15
e. 30
3.( UFPE ) Dados os conjuntos A ={ a, b, c, d } e B ={ 1, 2, 3, 4, 5 }, assinalea única alternativa que define uma função de A em B .
a. { (a, 1 ), ( b , 3 ) , ( c, 2 ) }b. { (a, 3 ) , ( b, 1 ) , ( c, 5 ) , ( a, 1 )}c. { (a, 1 ) , ( b, 1 ) , ( c, 1 ) , ( d, 1 )} Xd. { (a, 1 ) , ( a, 2 ) , ( a, 3 ) , ( a, 4 ) , ( a, 5 )}e. { (1, a ) , ( 2, b ) , ( 3, c ) , ( 4, d ) , ( 5, a )}
4.Sendo uma função f: R R definida por f( x ) = 2 - x, assinale a alternativacorreta:
13. ( UFPA ) Sejam os conjuntos A = { 1, 2 } e B = { 0, 1 , 2 }. Qual dasafirmativas abaixo é verdadeira ?
a. f(x)= 2x é uma função de A em Bb. f(x)= x+1 é uma função de A em Bc. f(x)= x2-3x+2 é uma função de A em B Xd. f(x)= x2-x e uma função de B em Ae. f(x)= x-1 é uma função de B em A
14. ( UEL-PR ) Seja a função f(x)= ax3+b. Se f(-1)=2 e f(1)=4, então a e bvalem, respectivamente:
a. -1 e -3b. -1 e 3c. 1 e 3 X
d. 3 e -1e. 3 e 1
15. ( PUC- MG ) Suponha que o número f(x) de funcionários necessários paradistribuir, em um dia , contas de luz entre x por cento de moradores, numa
determinada cidade, seja dado pela função f(x) = . Se o número defuncionários para distribuir, em um dia, as contas de luz foi 75, a porcentagemde moradores que a receberam é:
1.(UFU-MG) No gráfico a seguir estão representadas as funções (I) e (II)definidas por y=3-x e y= kx+t, respectivamente. Os valores de k e t são,respectivamente:
6. ( UEL - PR ) Dados os conjuntos A = { 0; 1; 2 } , B { 1; 2; 3; 4 } e C ={ 0; 1; 2; 3; 4 } sejam as funções f: A B e g: B C definidas por f ( x ) = x+ 1 e g ( x ) = 4 - x. Nestas condições , a função gof é igual a:
11. ( ITA - SP ) Sabendo-se que as soluções da equação |x|2 - |x| - 6 = 0 sãoraízes da equação x2 - ax + b = 0 podemos afirmar que:
a. a = 1 e b = 6b. a = 0 e b = -6c. a = 1 e b = -6d. a = 0 e b = - 9 Xe. não existem a e b tais que x 2 - ax + b = 0 contenha todas as raízes da
equação dada.
12. ( ITA - SP ) Considere a equação |x| = x - 6. Com respeito à solução realdesta equação, podemos afirmar que:
a. a solução pertence ao intervalo [1, 2 ]b. a solução pertence ao intervalo { -2, -1 ]c. a solução pertence ao intervalo ( -1, 1 )d. a solução pertence ao complementar da união dos intervalos anteriorese. a equação não tem solução. X
EQUAÇÕES EXPONENCIAIS
1. ( CESGRANRIO - RJ ) Se 8x = 32, então x é igual a:
a. 5/2b. 5/3 Xc. 3/5d. 2/5e. 4
2. ( UEPG - PR ) Se 8x-9 = 16x/2, então é igual a:
a. 1b. 2c. 4d. 5e. nda X
3. ( PUC - SP ) O valor de x que satisfaz a equação 33x-1 . 92x+3 = 273-x é:
11. O número de termos que devemos tomar na PA ( -7, -3, ...) a fim de que asoma valha 3150 é:
a. 38b. 39c. 40d. 41e. 42 X
12. ( PUC - RS ) Um teatro têm 18 poltronas na primeira fila, 24 na segunda, 30 na terceira e assimna mesma seqüência , até a vigésima fila que é a última .O número de poltronas desse teatro é :
a. 92
b. 150
c. 1500 Xd. 132
e. 1320
13. ( FATEC ) A soma de todos os números naturais, não nulos, não maiores que 600 e não
múltiplos de 5,é:
a. 180300
b. 141770
c. 144000 Xd. 136415
e. 147125
14. ( FGV - SP ) Sabendo que a soma do segundo e do quarto termos de uma progressão aritmética
é 40 e que a razão é ¾ do primeiro termo , a soma dos dez primeiros temos será:
a. 350 X b. 270
c. 400d. 215
e. 530
15. ( MACK - SP) Se soma dos 10 primeiros termos de uma progressão aritmética é 50 e a soma
dos 20 primeiros termos é 50, então a soma dos 30 primeiros termos é:
a. 1/8 e 16b. 1/16 e 8 Xc. 1/4 e 4d. 1/16 e 2e. 1/16 e 1/8
9. ( UFRS ) O primeiro termo de uma progressão geométrica em que a3 = 1 ea5 = 9 é:
a. 1/27b. 1/9 Xc. 1/3d. 1e. 0
10. ( PUC - SP ) Numa PG de termos positivos, o primeiro termo é igual arazão e o segundo termo é 3. O oitavo termo da progressão é:
a. 81 Xb. 37
c. 27
d.
e. 333
11. ( PUC - RS ) Na 2ª feira, foram colocados 3 grãos de feijão num vidro
vazio. Na 3ª feira, o vidro recebeu 9 grãos, na 4ª feira, 27 e assim por diante.No dia em que recebeu 2187 grãos, o vidro ficou completamente cheio, issoocorreu:
a. num sábadob. num domingo Xc. numa 2ª feirad. no 10º diae. no 30º dia
12. Numa PG oscilante, a2 = 4 e a6 = 1024, então a1+q vale:
13. ( CESGRANRIO ) Os três primeiros termos de uma PG são: ( , ,). O quarto termo é:
a. 1/b. 1 X
c.
d.
e. 1/2
14. ( UFRN ) Se numa progressão geométrica a soma do terceiro com o quintovale 90 e a soma do quarto com o sexto vale 270, então a razão é igual a:
a. 1b. 2c. 3 Xd. 5e. 7
15. ( FATEC - SP ) Seja a seqüência ( a1, a
2, a
3,...a
n...) cujo termo geral é
dado por an = n + 2 ( n + 2 ). Esta seqüência:
a. é de termos decrescentesb. uma PA de razão 4c. uma PG de razão 3d. tem como 1º termo um número pare. tem como 4º termo um número natural quadrado perfeito. X
16. ( FESP - SP ) A soma do segundo, quarto e sétimo termo de uma PG é
370; a soma do terceiro, quinto e oitavo termos é 740. Podemos afirmar que oprimeiro termo e a razão da PG são:
4. ( CESCRANRIO ) Se x e y são positivos e x, xy e 3x estão, nessa ordem, emprogressão geométrica, então o valor de y é:
a.
b. 2
c. Xd. 3e. 9
5. ( UFPA ) Numa PG de número ímpar de termos, cujo termo central é "a", o
produto do primeiro pelo último termo é:
a. a /2b. 2ac. ad. a2 /2e. a2 X
6. ( CESGRANRIO ) As medidas dos ângulos internos de um triângulo estão
em PG de razão 2. Então, a soma desses ângulos é:
a. 72ºb. 90ºc. 180ºd. 270ºe. 360º X
7. ( FUVEST - SP ) Numa progressão geométrica crescente de 4 termospositivos, a soma dos dois primeiros vale 1 e a soma dos dois últimos vale 9. Arazão da progressão é:
24. ( FGV - SP ) Quando n cresce, a fração tende a:
a. 3b. 4/3 Xc.
d. zeroe. nda
25. Seja p/q, onde p e q são primos entre si, sendo a geratriz da dizima0,1252525.... O valor de p + q é:
a. 48b. 557 Xc. 128d. 64e. 96
26. ( PUC - MG ) O número de bactérias em um meio se duplica de hora emhora. Se, inicialmente existem 8 bactérias no meio, ao fim de 10 horas onúmero de bactérias será:
a. 24 b. 27 c. 210 d. 213 Xe. 215
27. ( MACK - SP ) A soma dos termos da progressão 3-1, 3-2, 3-3, ... é:
28. Numa PG conhecemos S8 = 1530 e q = 2. Então a1 e a5 valemrespectivamente:
a. 11 e 81b. 4 e 94c. 2 e 92d. 6 e 96 Xe. 5 e 95
29. O valor do limite do produto P = 3. . . ...quando o número defatores tende a0 infinito, é:
a. 9 Xb. 10c. 11d. 12
e.
30. Dado um quadrado de lado 2, una ao pontos médios dos lados, obtendoum novo quadrado. Una os pontos médios deste novo quadrado, obtendo umoutro quadrado, e assim sucessivamente. Então a soma das áreas de todos osquadrados vale:
a. 4b. 5c. 6d. 7e. 8 X
31. Se S3 = 21 e S4 = 45 são respectivamente, as somas dos tres e quatroprimeiros termos de uma PG, cujo termo inicial é 3, então a soma dos 5primeiros termos da progressão é:
a. 66b. 69c. 93 Xd. 96e. 105
MATRIZ
FORMAÇÃO E IGUALDADE
1. Seja X = (xij) uma matriz quadrada de ordem 2, onde i + j para i = j ;1 - jpara i > j e 1 se i < j . A soma dos seus elementos é igual a:
7. Considere a matriz A = (aij) 3x4, na qual i - j se i j e i . j se i > j . Oelemento que pertence à 3ª linha e à 2ª coluna da matriz At , transposta de A,é:
a. 4b. 2c. 1d. -1 Xe. -2
8. Se uma matriz quadrada A é tal que At = - A, ela é chamada matriz anti-
simétrica. Sabe-se que M é anti-simétrica e: . Ostermos a12 , a13 e a23 de M valem respectivamente:
a. -4, -2 e 4b. 4, 2 e -4 Xc. 4, -2 e -4d. 2, -4 e 2e. nda
9. Uma matriz quadrada A diz-se simétrica se A = At. Assim, se a matriz
é simétrica, então
x + y + z é igual a:
a. -2b. -1c. 1d. 3e. 5 X
10. Se as matrizes A = ( a ij ) e B = ( bij ) estão assim definidas: aij = 1 se i = j, aij = 0 se i j, bij = 1 se i + j = 4 e b ij = 0 se i + j 4, onde 1 i , j 3,
5. ( FGV - SP ) Resolvendo o sistema de equações , temos que
a. x = 1 e y = 0b. é impossível Xc. é indeterminadod. x = 3 e y = -1
e. é indeterminado
6. ( PUC - SP ) Estudando-se o seguinte sistema obtém-se:
a. sistema é possível, determinado e admite uma única solução x = 1, y =0 e z = 0
b. sistema é impossívelc. sistema é possível, porem indeterminado com uma incógnita arbitrária Xd. sistema é possível, porem indeterminado com duas incógnita arbitráriae. sistema é indeterminado com uma incógnita arbitrária, sendo ( 0, 1, 3 )
uma solução
7. ( CESGRANRIO ) O número de soluções do sistema é:a. maior do que 3b. 3c. 2d. 1e. 0 X
8. ( UFScar - SP ) O sistema linear admite uma infinidade desoluções. Seja z = ( 0 ) um valor arbitrário. Então, a solução ( x,y,z ) dosistema acima é:
22. ( FGV - SP ) Para que o sistema onde k é um número real, umadas afirmações seguintes é correta:
a. se k = 0, o sistema é indeterminadob. se k = 1 ou k = 15, o sistema é impossívelc. se k 0, o sistema é indeterminadod. se k 0, sistema é impossívele. se k = 1 ou k = 15, o sistema é determinado X
23. ( UNESP - SP ) Para que os valores reais de p e q o sistema não admite
solução ?
a. p = -2 e q = 5 Xb. p > -2 e q 4
c. p = q = 1d. p = -2 e q 5e. p = 2 e q = 5
24. ( UNIUBE ) O sistema linear de equações incógnitas x e y nãoadmite solução se:
25. ( CEFET – PR ) O sistema de incógnitas x e y é:
a. impossível, para todo k real diferente de –21
b. possível e indeterminado, para todo k real diferente de –63c. possível e determinado, para todo k diferente e –21 Xd. possível e indeterminado, para todo k real diferente de –3e. possível e determinado, para todo k real diferente de –1 e –63
26. ( UEPG – PR ) Dado o sistema linear Ele é dito possível e
indeterminado:
a. Somente para a = 2b. Somente para a = -1c. Somente para a = 0d. Para a reale. Somente para a = 1 X
SISTEMAS LINEARES
HOMOGÊNEOS
1. O sistema é:
a. Determinadob. Determinado apresentando alem da solução trivial a solução ( 1, 2, 4 )
c. Indeterminado com uma variável livred. Indeterminado com duas variáveis livres Xe. Impossível
a. Determinado Xb. Indeterminado com uma variável livrec. Indeterminado com os pares ordenados sendo dois números simétricosd. Indeterminado como os pares ordenados sendo dois números recíprocose. Impossível
3. ( UEL – PR ) O sistema nas variáveis x e y admite apenas a
solução trivial se, e somente se:
a. k 0 e k –1b. k – 1/2 e k 1/2 Xc. k 0 e k = -1d. k = 1/2e. k = - 1/2
4. ( UC – MG ) O valor de m para que o sistema seja indeterminadoé:
a. 0b. 1c. 2d. 3e. 4 X
5. ( FGV – SP ) O sistema linear admitirá apenas a soluçãotrivial se :
9. ( UFSCar – SP ) Dado o sistema linear assinale a alternativacorreta:
a. sistema admite uma infinidade de soluções para qualquer a real. Xb. sistema não admite solução se a = 1c. sistema admite uma única solução se a = 3d. sistema admite somente a solução triviale. sistema admite uma única solução se a = 1
10. ( PUC – SP ) Qualquer solução ( x, y, z ) do sistema linear éproporcional a:
a. Existe uma solução de I que não é solução de IIb. Existe uma solução de II que não é solução de Ic. Não tem solução comumd. ( a, b, c ) é solução dos dois para a, b, c reais.e. São equivalentes X
13. ( UEPG – PR ) O sistema linear é:
a. possível e determinado somente para a = 1b. impossível para qualquer valor de a ( a IR )
c. possível e indeterminado somente para a = 1 Xd. possível e indeterminado para qualquer valor de a ( a IR).e. impossível somente para a = 1
POLIEDROS
Poliedros Chamamos de poliedro o sólido limitado por quatro ou mais polígonos planos,pertencentes a planos diferentes e que têm dois a dois somente uma aresta em comum.
Os polígonos são as faces do poliedro; os lados e os vértices dos polígonos são asarestas e os vértices do poliedro. Poliedros convexos e côncavos Observando os poliedros acima, podemos notar que, considerando qualquer uma desuas faces, os poliedros encontram-se inteiramente no mesmo semi-espaço que essaface determina. Assim, esses poliedros são denominados convexos.
Isso não acontece no último poliedro, pois, em relação a duas de suas faces, ele nãoestá contido apenas em um semi-espaço. Portanto, ele é denominado côncavo. Classificação
Os poliedros convexos possuem nomes especiais de acordo com o número de faces,como por exemplo:
• tetraedro: quatro faces • pentaedro: cinco faces • hexaedro: seis faces • heptaedro: sete faces • octaedro: oito faces
• icosaedro: vinte faces • Poliedros regulares• Um poliedro convexo é chamado de regular se suas faces são polígonos
regulares, cada um com o mesmo número de lados e, para todo vértice, convergeum mesmo número de arestas.
• • Poliedros platônicos• Diz-se que um poliedro é platônico se, e somente se:• a) for convexo;• b) em todo vértice concorrer o mesmo número de arestas;• c) toda face tiver o mesmo número de arestas;• d) for válida a relação de Euler.• Assim, nas figuras acima, o primeiro poliedro é platônico e o segundo, não-
platônico.•
1. ( CEFET - PR ) Um poliedro convexo possui duas faces triangulares, duasquadrangulares e quatro pentagonais. Logo, a soma dos ângulos internos detodas as faces será:
a. 3240º Xb. 3640ºc. 3840ºd. 4000ºe. 4060º
2. ( CEFET - PR ) O número de vértices de um poliedro convexo de 10 facesquadrangulares é:
a. 32
b. 12 Xc. 20d. 15e. 18
3. ( PUC - SP ) Um poliedro convexo tem 3 faces pentagonais e algumas facestriangulares. Qual o número de faces desse poliedro, sabendo-se que o númerode arestas é o quadruplo do número de faces triangulares ?
4. ( ITA - SP ) Um poliedro convexo tem 13 faces. De um dos seus vérticespartem 6 arestas; de 6 outros vértices partem, de cada um, 4 arestas, efinalmente, de cada um dos vértices restantes partem 3 arestas. O número dearestas desse poliedro é:
a. 13b. 17c. 21d. 24 Xe. 27
5. ( PUC - PR ) O número de vértices de um poliedro de 8 faces triangulares ede 4 faces quadrangulares é igual a :
a. 10 Xb. 12c. 40d. 20e. 8
6. ( PUC - PR ) Se a soma dos ângulos das faces de um poliedro regular é1440º, então o número de arestas desse poliedro é:
a. 12 Xb. 8c. 6d. 20e. 4
7. O número de vértices de um poliedro convexo constituído por doze facestriangulares é:
a. 4b. 12c. 10d. 6e. 8 X
8. ( CESGRANRIO - RJ ) Um poliedro convexo é formado por d 4 facestriangulares, 2 faces quadrangulares e 1 face hexagonal. O número d evértices desse poliedro é :
9. ( CESGRANRIO - RJ ) Considere o poliedro regular de faces triangulares quenão possui diagonais. A soma dos ângulos das faces desse poliedro vale, emgraus:
a. 180b. 360c. 540d. 720 Xe. 900
10. ( PUC - SP ) Quantas arestas tem um poliedro convexo de faces
triangulares em que o número de vértices é 3/5 do número de faces?
a. 60b. 30 Xc. 25d. 20e. 15
11. ( PUC - SP ) O número de vértices de um poliedro convexo que tem 8 facestriangulares e 4 faces quadrangulares é igual a:
a. 10 Xb. 12c. 40d. 20e. 8
12. ( PUC - CAMP ) Se um poliedro convexo possui 16 faces triangulares, o seunúmero de vértices é:
a. 24b. 20c. 16d. 12e. 10 X
13. ( PUC - SP ) Um poliedro convexo de 33 arestas possui faces triangulares ehexagonais. Sendo 6840 a soma dos ângulos internos das faces, o número defaces triangulares e hexagonais é, respectivamente:
ParalelepípedoTodo prisma cujas bases são paralelogramos recebe o nome de
paralelepípedo.Assim, podemos ter:
a) paralelepípedo oblíquo
b) paralelepípedo reto
Se o paralelepípedo reto tem bases retangulares, ele é chamado de paralelepípedoreto-retângulo,ortoedro ou paralelepípedo retângulo.
Paralelepípedo retângulo
Seja o paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c da figura:
Temos quatro arestas de medida a, quatro arestas de medida b e quatro arestas demedida c; as arestas indicadas pela mesma letra são paralelas. Diagonais da base e do paralelepípedo
Planificando o paralelepípedo, verificamos que a área total é a soma das áreas decada par de faces opostas:
AT= 2( ab + ac + bc)
Volume Por definição, unidade de volume é um cubo de aresta 1. Assim, considerando umparalelepípedo de dimensões 4, 2 e 2, podemos decompô-lo em 4 . 2 . 2 cubos de aresta1:
Então, o volume de um paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c é dado por:V = abc
Como o produto de duas dimensões resulta sempre na área de uma face e comoqualquer face pode ser considerada como base, podemos dizer que o volume doparalelepípedo retângulo é o produto da área da base AB pela medida da altura h:
Cubo Um paralelepípedo retângulo com todas as arestas congruentes ( a= b = c) recebe onome de cubo. Dessa forma, as seis faces são quadrados.
Área total A área total AT é dada pela área dos seis quadrados de lado a:
AT=6a2
Volume De forma semelhante ao paralelepípedo retângulo, o volume de um cubo de aresta a é dado por:
V= a . a . a = a3
1. ( PUCCAMP - SP ) Usando uma folha de latão, deseja-se construir um cubocom volume de 8 dm3. A área da folha utilizada para isso será, no mínimo:
a. 20 cm2
b. 40 cm2
c. 240 cm2
d. 2000 cm2
e. 2400 cm2 X
2. ( PUC - PR ) As três dimensões de um paralelepípedo reto retângulo devolume 405 m3, são proporcionais aos números 1, 3 e 5. A soma docomprimento de todas as suas arestas é:
3. ( ACAFE - SC ) Num paralelepípedo reto, as arestas da base medem 8 dm e6 dm e a altura mede 4 dm. Calcule a área da figura determinada peladiagonal do paralelepípedo, com a diagonal da base e a aresta lateral :
a. 20 dm2 Xb. 24dm2
c. 32 dm2
d. 40 dm2
e. 48 dm2
4. ( UDESCO - SC ) Aumentando-se de 1 metro a aresta de um cubo, sua árealateral aumenta de 164 metros quadrados. Então, o volume do cubo originalem metros cúbicos era:
a. 1000b. 8000 Xc. 27000
d. 3375e. 9261
5. ( PUC - SP ) Uma caixa d'água em forma de prisma reto tem aresta lateraligual a 6 dm e por base um losango cujas diagonais medem 7 m e 10 m. Ovolume dessa caixa, em litros é:
a. 42 000b. 70 000c. 200 000d. 210 000 X
e. 420 000
6. ( PUC - PR ) Se a razão entre os volumes de dois cubos é 1/3 a medida daaresta maior é igual a medida da menor, multiplicada por:
a. 1/3
b. X
c.
d.
e. 3
7. ( PUC - SP ) Sabe-se que as arestas de um paralelepípedo estão emprogressão geométrica, que seu volume é 64 cm3 e a soma de suas dimensõesé igual a 21 cm. Então, a área total do paralelepípedo é igual á:
13. As dimensões de um paralelepípedo retângulo são proporcionais aos
números 2, 3 e 5 . Se a diagonal do paralelepípedo mede 10 cm, o seuvolume, em cm3, é:
a. 100b. 300c. 1 000d. 3 000e. 30 000 X
14. O volume do paralelepípedo retângulo cuja diagonal mede 7 cm e duas desuas dimensões medem, respectivamente, 2 cm e 3 cm é:
a. 36 cm3 Xb. 6 cm3
c. 49 cm3
d. cm3
e. 7 cm3
15. ( MACK - SP ) Dispondo-se de uma folha de cartolina medindo 50 cm decomprimento por 30 cm de largura, pode-se construir uma caixa aberta,cortando-se um quadrado de 8 cm de lado em cada canto da folha. O volumedessa caixa, em cm3, será:
a. 1 244b. 1 828c. 2 324d. 3 808 Xe. 12 000
16. ( UFOP - MG ) Uma caixa d'água, em forma de paralelepípedo retângulo,tem dimensões de 1,8 m, 15 dm e 80 cm. Sua capacidade é:
a. 2,16 Lb. 21,6 L
c. 216 Ld. 1 080 Le. 2 160 L X
17. ( MACK - SP ) Uma paralelepípedo retângulo tem 142 cm2 de área total e asoma dos comprimentos de suas arestas vale 60 cm. Sabendo que os seuslados estão em PA eles valem ( em cm ):
a. 2, 5, 8b. 1, 5, 9c. 12, 20, 28d. 4, 6, 8e. 3, 5, 7 X
18. ( FUVEST - SP ) Um tanque em forma de paralelepípedo tem por base umretângulo horizontal de lados 0,8 m e 1,2 m. Um indivíduo, ao mergulharcompletamente no tanque, faz o nível da água subir 0,075 m. Então, o volumedo indivíduo, em m3, é:
a. 0.066b. 0,072 Xc. 0,096d. 0,600e. 1,000
19. ( UNIFOR - CE ) A soma dos comprimentos de todas as arestas de um cuboé igual a 60 m. A diagonal, em m, mede:
a.
b. 3
c. 5 X
d. 7
e. 9
20. ( PUC - SP ) Um cubo tem área total igual a 72 m2, sua diagonal vale:
a. 2 m
b. m
c. m
d. 2 me. 6 m X
21. ( FGV - SP ) Um cubo tem 96 m2 de área total. De quanto deve ser
aumentada a sua aresta para que seu volume se torne igual a 216 m3
22. ( UFSM-RS ) Quantos cubinhos de madeira de 1 cm de aresta podem sercolocados numa caixa cubica com tampa. na qual foram gastos 294 cm2 dematerial para confeccioná-la ?
a. 76b. 147c. 294d. 343 Xe. 6 859
23. ( Unesp - SP ) Se um tijolo ( paralelepípedo retângulo ), dos usados emconstrução, pesa 4 Kg., então um tijolinho de brinquedo feito do mesmomaterial, e cujas dimensões sejam 4 vezes menores, pesará:
a. 62,5 g Xb. 250 gc. 400 g
d. 500 ge. 1 000 g
24. ( UFAL ) As dimensões de um paralelepípedo retângulo são diretamenteproporcionais aos números 2, 3 e 5 . Se o volume desse paralelepípedo é 1920cm3, sua área total , em cm2 é:
a. 992 Xb. 496c. 320d. 216
e. 160
PRISMAS
TRIANGULARES E HEXAGONAIS
Prismas
Na figura abaixo, temos dois planos paralelos e distintos, , um polígono
convexo R contido em e uma reta r que intercepta , mas não R:
Observação: As faces de um prisma regular são retângulos congruentes.Secção Um plano que intercepte todas as arestas de um prisma determina nele uma regiãochamada secção do prisma.
Secção transversal é uma região determinada pela intersecção do prisma com umplano paralelo aos planos das bases ( figura 1). Todas as secções transversais sãocongruentes ( figura 2).
Áreas
Num prisma, distinguimos dois tipos de superfície:as faces e as bases. Assim, temosde considerar as seguintes áreas:a) área de uma face (AF ):área de um dos paralelogramos que constituem as faces;b) área lateral ( AL ):soma das áreas dos paralelogramos que formam as faces do prisma.
No prisma regular, temos: AL = n . AF (n = número de lados do polígono da base)
c) área da base (AB): área de um dos polígonos das bases;d) área total ( AT): soma da área lateral com a área das bases
AT = AL + 2AB
Vejamos um exemplo.Dado um prisma hexagonal regular de aresta da base a e aresta lateral h, temos:
3. Um prisma reto tem por base triângulos equiláteros de lado b. Calcule seuvolume, sabendo-se que a ara de cada face lateral é o dobro de uma dasbases.
a. b3
b.
c.
d.
e. X.
4. ( PUC - PR ) O volume de um prisma hexagonal regular de altura 4 m é72 m3 . Calcule a área total do prisma em m2.
a. 36
b. 36
c. 48
d. 60 Xe. 72
5. ( UFPA ) Num prisma retangular de base hexagonal, a área lateral mede 36m2 e a altura é 3 m. A aresta da base é:
a. 2 m Xb. 4 mc. 6 md. 8 me. 10 m
6. ( CESCEA - SP ) O volume do prisma hexagonal regular, de altura cm e
7. ( ITA - SP ) Dado um prisma hexagonal regular, sabe-se que sua alturamede 3 cm e que sua área lateral é o dobro da área de sua base. O volumedeste prisma, em cm3, é:
a. 27
b. 13c. 12
d. 54 X
e. 17
8. ( MACK - SP ) A área total de um prisma triangular regular cujas arestas
são todas congruentes entre si e cujo volume é 54 vale:
a. 108 + 18 X
b. 18 + 108
c. 108 - 18
d. 16 + 54
e. 12 + 36
9. ( PUC - SP ) Tem-se um prisma reto de base hexagonal cuja altura é h =
e cujo raio do circulo que circunscreve a base é R = 2. A área total desteprisma é:
a.
b. 24 Xc. 30
d. 10e. 8
10. O apótema da base de um prisma triangular regular tem cm e a árealateral é 72 cm2. A altura do prisma mede:
• arestas laterais: os segmentos• faces laterais: os triângulos VAB, VBC, VCD, VDE, VEA • altura: distância h do ponto V ao plano
Classificação Uma pirâmide é reta quando a projeção ortogonal do vértice coincide com o centro dopolígono da base.
Toda pirâmide reta, cujo polígono da base é regular, recebe o nome de pirâmideregular. Ela pode ser triangular, quadrangular, pentagonal etc., conforme sua base seja,respectivamente, um triângulo, um quadrilátero, um pentágono etc.
Veja:
Observações:1ª) Toda pirâmide triangular recebe o nome do tetraedro. Quando o tetraedro possui comofaces triângulos eqüiláteros, ele é denominado regular ( todas as faces e todas as arestassão congruentes).
2ª) A reunião, base com base, de duas pirâmides regulares de bases quadradas resultanum octaedro. Quando as faces das pirâmides são triângulos eqüiláteros, o octaedro éregular.
Secção paralela à base de uma pirâmideUm plano paralelo à base que intercepte todas as arestas laterais determina uma
secção poligonal de modo que:• as arestas laterais e a altura sejam divididas na mesma razão; • a secção obtida e a base sejam polígonos semelhantes; • as áreas desses polígonos estejam entre si assim como os quadrados de suas
• A face lateral da pirâmide é um triângulo isósceles.
• Os triângulos VOB e VOM são retângulos.
ÁreasNuma pirâmide, temos as seguintes áreas:a) área lateral ( AL): reunião das áreas das faces lateraisb) área da base ( AB): área do polígono convexo ( base da pirâmide)
c) área total (AT): união da área lateral com a área da base AT = AL +AB
Volume O princípio de Cavalieri assegura que um cone e uma pirâmide equivalentespossuem volumes iguais:
TroncosSe um plano interceptar todas as arestas de uma pirâmide ou de um cone,
paralelamente às suas bases, o plano dividirá cada um desses sólidos em dois outros:uma nova pirâmide e um tronco de pirâmide; e um novo cone e um tronco de cone.
Vamos estudar os troncos.Tronco da pirâmide Dado o tronco de pirâmide regular a seguir, temos:
• as bases são polígonos regulares paralelos e semelhantes; • as faces laterais são trapézios isósceles congruentes.
• Áreas• Temos as seguintes áreas:• a) área lateral (AL): soma das áreas dos trapézios isósceles congruentes que
formam as faces laterais• b) área total (AT): soma da área lateral com a soma das áreas da base menor (Ab)
3. Uma pirâmide quadrangular regular possui a base circunscrita a um circulode 10 m2 de área e a altura é igual ao apótema da base. A área lateral dosolido vale:
a. 400 X
b. 400c. 50
d. 50e. nenhuma das alternativas acima é correta
4. ( CEFET - PR ) Qual a altura de uma pirâmide hexagonal regular de volume
unitário e raio da base ?
a. X
b.
c.
d.
e.
5. Uma pirâmide quadrangular regular tem todas as arestas iguais e a área dabase igual a 16 cm2. Qual é a sua altura ?
a. 4 cm
b. cm
c. 2 cm X
d. 3 cme. nda
6. ( UF OURO PRETO ) O volume de uma pirâmide cuja base é um triânguloequilátero de lado 2 dm e cuja altura mede 3 dm, em dm3, é igual a:
Chamamos de cilindro, ou cilindro circular, o conjunto de todos os segmentoscongruentes e paralelos a r . Elementos do cilindro Dado o cilindro a seguir, consideramos os seguintes elementos:
• bases: os círculos de centro O e O'e raios r
• altura: a distância h entre os planos
• geratriz: qualquer segmento de extremidades nos pontos das circunferências dasbases ( por exemplo, ) e paralelo à reta r
Classificação do CilindroUm cilindro pode ser:• circular oblíquo: quando as geratrizes são oblíquas às bases; • circular reto: quando as geratrizes são perpendiculares às bases. Veja:
O cilindro circular reto é também chamado de cilindro de revolução, por ser geradopela rotação completa de um retângulo por um de seus lados. Assim, a rotação do
retângulo ABCD pelo lado gera o cilindro a seguir:
A reta contém os centros das bases e é o eixo do cilindro. Secção Secção transversal é a região determinada pela intersecção do cilindro com um planoparalelo às bases. Todas as secções transversais são congruentes.
Assim, a área lateral do cilindro reto cuja altura é h e cujos raios dos círculos das
bases são r é um retângulo de dimensões :
b) área da base ( AB):área do círculo de raio r
c) área total ( AT): soma da área lateral com as áreas das bases
Volume Para obter o volume do cilindro, vamos usar novamente o princípio de Cavalieri.
Dados dois sólidos com mesma altura e um plano , se todo plano , paralelo aoplano , intercepta os sólidos e determina secções de mesma área, os sólidos têmvolumes iguais:
Se 1 é um paralelepípedo retângulo, então V2 = ABh.Assim, o volume de todo paralelepípedo retângulo e de todo cilindro é o produto da
área da base pela medida de sua altura:
Vcilindro = ABh
No caso do cilindro circular reto, a área da base é a área do círculo de raio r
6. ( UDESC - SC ) Um cubo de lado h é inscrito num cilindro de mesma altura.A área lateral desse cilindro é :
a. h2 /4
b. h2 /4
c. h2 /2
d. h2 Xe. 2 h2.
7. ( UFRS ) Um cubo de lado a é inscrito em um cilindro. A área lateral docilindro é:
a.
b.
c.
d. a
2
Xe. 2 a2.
8. Um cilindro de revolução está inscrito em um paralelepípedo reto retângulo.Se representarmos por V1 o volume do cilindro e por V2 o volume doparalelepípedo, podemos escrever que:
a. V2 = 4 V1 Xb. 4 V2 = V1
c. V1 = V2
d. V1 = V2
e. V2 = 2 V1.
9. ( ITA - SP ) Num cilindro circular reto sabe-se que a altura h e o raio dabase r são tais que os números x, h, r formam, nesta ordem, uma progressãoaritmética de soma 6 . O valor da área total desse cilindro é:
10. ( FATEC - SP ) Um cilindro reto tem volume igual a 64 de3 e área lateralde 400 cm2. O raio da base mede :
a. 16 dmb. 24 dmc. 32 dm Xd. 48 dme. 64 dm
11. ( MACK - SP ) A área total de um cilindro vale 48 m2 e a soma dasmedidas do raio da base e da altura é igual a 8 m. Então, em m3, o volume dosolido é:
a. 75
b. 50c. 45 Xd. 25e. 15
12. ( MACK - SP ) Um cilindro de revolução tem 16 m2 de área total.Sabendo que o raio é a Terça parte da altura, a área lateral mede em m2 :
a. 2
b. 10
c. 3d. 12 X
e. 5
13. ( UFRN ) Se um cilindro equilátero mede 12 m de altura, então o seuvolume em m3 vale:
a. 144b. 200c. 432 Xd. 480e. 600
14. Um cilindro circular reto tem raio igual a 2 cm e altura 3 cm. Sua superfícielateral mede em cm2:
15. ( UFPA ) O reservatório "tubinho de tinta" de uma caneta esferográfica tem4 mm de diâmetro e 10 cm de comprimento. Se você gasta 5 mm3 de tintapor dia, a tinta de sua esferográfica durará:
a. 20 diasb. 40 diasc. 50 diasd. 80 dias Xe. 100 dias
CONE
Cone circular Dado um círculo C, contido num plano , e um ponto V ( vértice) fora de ,
chamamos de cone circular o conjunto de todos os segmentos .
Elementos do cone circular Dado o cone a seguir, consideramos os seguintes elementos:
• altura: distância h do vértice V ao plano• geratriz (g):segmento com uma extremidade no ponto V e outra num ponto da
• eixo de rotação:reta determinada pelo centro do círculo e pelo vértice do cone
Cone reto Todo cone cujo eixo de rotação é perpendicular à base é chamado cone reto, tambémdenominado cone de revolução. Ele pode ser gerado pela rotação completa de um
triângulo retângulo em torno de um de seus catetos.
Da figura, e pelo Teorema de Pitágoras, temos a seguinte relação:
g2 = h2 + R2
Secção meridiana A secção determinada, num cone de revolução, por um plano que contém o eixo derotação é chamada secção meridiana.
Se o triângulo AVB for eqüilátero, o cone também será eqüilátero:
4. ( UEMA ) O volume de um cone equilátero, que tem como área da base S =12 m2, é:
a. 72 m3
b. 24 m3 Xc. 36 m3
d. 28 m3
e. 40 m3
5. Dois cones retos tem a mesma base, e a altura de um é o triplo da altura dooutro. Então, a relação entre os volumes do menor e maior é:
a. 1/2
b.
c. 1/3 Xd. 1/4e. nda
6. ( FEMPAR - PR ) Se a base de um cone de revolução de raio igual a 2 cm forequivalente a secção meridiana, a sua altura medirá, em cm:
a. 2 Xb. 3c. 4d. 5e. nda
7. ( CEFET - PR ) A altura de um cone circular reto é igual ao diâmetro de sua
base. Se a geratriz mede 15 cm, o seu volume é, em cm2, igual a :
a. 270
b. 27
c. 540
d. 90 Xe. nda
8. ( PUC - PR ) Um triângulo retângulo isósceles, de hipotenusa 3 cm, giraem torno de um de seus catetos. Qual é o volume do solido de revoluçãogerado ?
14. ( UFOP - MG ) Um cone circular reto tem por base uma circunferência decomprimento igual a 6 cm e sua altura é 2/3 do diâmetro da base. Posto isto,sua área lateral é em cm2:
a. 5b. 9c. 12d. 15 Xe. 36
15. ( UFPA ) Qual é o volume de um cone circular reto de diâmetro da base a 6cm e de geratriz 5 cm ?
a. 12 Xb. 24c. 36d. 48e. 96
ESFERA
Esfera
Chamamos de esfera de centro O e raio R o conjunto de pontos do espaço cujadistância ao centro é menor ou igual ao raio R.Considerando a rotação completa de um semicírculo em torno de um eixo e, a esfera é
o sólido gerado por essa rotação. Assim, ela é limitada por uma superfície esférica eformada por todos os pontos pertencentes a essa superfície e ao seu interior.
O volume da cunha pode ser obtido por uma regra de três simples:
1. ( SANTA CASA ) A razão entre o volume e a área de uma mesma esfera éigual a 3. Pode-se dizer, então, que esta esfera:
a. tem o volume duas vezes maior que a áreab. tem o volume igual a 2916c. tem área de 324d. tem o circulo máximo com área de 81 Xe. tem raio de 3
2. (UFP) Considere os dois sólidos:
I. Uma esfera de diâmetro 10 dm]II. Um cilindro de diâmetro 10 dm e altura 8 dm.
A respeito deles, é correto afirmar que:
a. possuem a mesma capacidade volumétrica em litrosb. o volume da esfera é maior que o volume do cilindroc. a área da superfície esférica é igual a área lateral do cilindrod. o volume da esfera é menor que o volume do cilindro Xe. possuem a mesma superfície externa
3. ( UFRGS ) Uma panela cilíndrica de 20 cm de diâmetro esta completamentecheia de massa para doce, sem exceder a sua altura, que é de 16 cm. Onúmero de doces em formato de bolinhas de 2 cm de raio que se pode obtercom toda essa massa é:
a. 300b. 250c. 200d. 150 Xe. 100
4. ( UEL - PR ) Uma esfera tem centro O Uma plano , contendo O interceptaa esfera. A intersecção é um circulo de área 16 centímetros quadrados. Ovolume da esfera, em centímetros cúbicos, é igual a:
a. X
b.
c.d. 64e. 32
5. ( FUVEST - SP ) Uma superfície esférica de raio 13 cm é cortada por umplano situado a uma distancia de 12 cm do centro da superfície esférica,determinando uma circunferência. O raio dessa circunferência em cm é de:
a. 1b. 2c. 3d. 4e. 5 X
6. ( UFMG ) A regia delimitada por uma esfera é interceptada por uma plano a3 cm do centro dessa esfera. Se a área dessa intersecção é de 9 cm2 , ovolume da região delimitada pela esfera, em cm3 é:
7. ( CEFET - PR ) Se aumentarmos em 3 cm o raio de uma esfera, seu volumeaumentará 252 cm3. O raio da esfera original mede, em cm:
a. 3 Xb. 2c. 4d. 6e. 7
8. Um cilindro circular reto e uma esfera são equivalentes. Se o raio da esferae o raio da base do cilindro tem medida 1, a área lateral desse cilindro é:
a.
b.
c.
d. X
e.
9. Um cilindro equilátero de altura 2 m esta inscrito numa esfera. O volumedessa esfera é
a. Xb. 32c. 20d. 5e. nda
10. ( UEPG - PR ) Duas bolas de chumbo, com diâmetro de 3 cm e 6 cm, sãofundidas e moldadas em forma de um cilindro circular reto de 3,24 cm dealtura. O raio desse cilindro mede:
11. Parte de uma esfera limitada por uma calota esférica e por sua base é:
a. cunha esférica
b. anel esféricoc. setor esféricod. segmento esférico de duas esferase. segmento esférico de uma base X
12. ( CEFET - PR ) Um cone e um cilindro equilátero circunscrevem a mesmaesfera. Se a área total do cilindro medir 150 cm2 , o volume do cone medirá,em cm3 :
a. 130b. 375 X
c. 225d. 185e. 310
ANÁLISE COMBINATÓRIA
PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO
1. ( FGV - SP ) Um restaurante oferece no cardápio 2 saladas distintas, 4 tiposde pratos de carne, 5 variedades de bebidas e 3 sobremesas diferentes. Umapessoa deseja uma salada, um prato de carne, uma bebida e uma sobremesa.De quantas maneiras a pessoa poderá fazer seu pedido ?
a. 90b. 100c. 110d. 130e. 120 X
2. ( ITA - SP ) Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formarempregando os caracteres 1, 3, 5, 6, 8 e 9 ?
3. Do quantos modos pode vestir-se um homem que tem 2 pares de sapatos, 4paletós e 6 calças diferentes, usando sempre uma calca, uma paletó e um parde sapatos ?
a. 52b. 86c. 24d. 32e. 48 X
4. ( UFGO ) No sistema de emplacamento de veículos que seria implantado em1984, as placas deveriam ser iniciadas por 3 letras do nosso alfabeto. Caso osistema fosse implantado, o número máximo possível de prefixos, usando-sesomente vogais, seria:
a. 20b. 60
c. 120d. 125 Xe. 243
5. ( CEFET - PR ) Os números dos telefones da Região Metropolitana deCuritiba tem 7 algarismos cujo primeiro digito é 2. O número máximo detelefones que podem ser instalados é:
a. 1 000 000 Xb. 2 000 000c. 3 000 000
d. 6 000 000e. 7 000 000
6. ( FATEC - SP ) Quantos números distintos entre si e menores de 30 000 temexatamente 5 algarismos não repetidos e pertencentes ao conjunto { 1, 2, 3,4, 5, 6 } ?
a. 90b. 120c. 180d. 240 Xe. 300
7. ( FUVEST - SP ) Quantos são os números inteiros positivos de 5 algarismosque não tem algarismos adjacentes iguais ?
8. ( GAMA FILHO - RJ ) Quantos são os inteiros positivos, menores que 1 000que tem seus dígitos pertencentes ao conjunto { 1, 2, 3 } ?
a. 15b. 23c. 28d. 39 Xe. 42
9. ( UECE ) A quantidade de números inteiros compreendidos entre osnúmeros 1 000 e 4 500 que podemos formar utilizando os algarismos 1. 3. 4. 5e 7 de modo que não figurem algarismos repetidos é:
a. 48b. 54
c. 60 Xd. 72e. 144
10. ( UEPG - PR ) Quantos números de pares, distintos, de quatro algarismos,podemos formar com os algarismos 0, 1, 2, 3 e 4 sem os repetir ?
a. 156b. 60 Xc. 6d. 12
e. 216
11. ( FUVEST - SP ) Sendo A = { 2, 3, 5, 6, 9, 13 }e B = { a b / a A, b A, ab }, o número de elementos de b que são pares é:
4. As finalista do concurso Miss Universo, são Miss Brasil, Miss Japão, MissVenezuela, Miss Itália e Miss França. De quantas formas os juizes poderãoescolher o primeiro, o segundo e terceiro lugar neste concurso ?
a. 60 Xb. 45c. 125d. 81e. 120
5. ( PUC - SP ) A quantidade de números de quatro algarismos distintos que,podem se pode formar com os algarismos 1, 2, 4, 7, 8 e 9 é:
a. 300b. 340c. 360 Xd. 380e. 400
6. A quantidades de números impares de 4 algarismos distintos, que se podemformar com os algarismos 1, 2, 4, 7, 8 e 9 é :
a. 150
b. 360c. 170d. 200e. 180 X
7. ( PUC - SP ) Numa sala há 5 lugares e 7 pessoas. De quantos modosdiferentes essas [pessoas podem ser colocadas, ficando 5 sentadas e 2 empé ?
a. 5040b. 21c. 120d. 2520 Xe. 125
8. ( UEL - PR ) Num pequeno pais, as chapas dos automóveis tem duas letrasdistintas seguidas de 3 algarismos sem repetição. Considerando-se o alfabetocom 26 letras, o número de chapas possíveis de se firmar é:
9. ( PUC - PR ) O número de placas de veículos que poderão ser fabricadasutilizando-se das 26 letras do alfabeto latino e dos 10 algarismos arábicos,cada placa contendo três letras e quatro algarismos, não podendo haverrepetição de letras e algarismos é:
10. ( PUC - SP ) A placa de um automóvel é formada por duas letras seguidas
de 4 algarismos. Com letras A e R e aos algarismos impares, quantas placasdiferentes podem ser constituídas, de modo que a placa não tenha nenhumalgarismo repetido, e nenhuma letra repetida :
a. 480b. 360c. 120d. 240 Xe. 200
11. ( UF - CE ) A quantidade de número inteiros compreendidos entre 30 000 e
65 000 que podemos formar utilizando-se somente os algarismos 2, 3, 4, 6 e 7de modo que não fiquem algarismos repetidos é:
a. 48b. 66 Xc. 96d. 120e. 72
12. ( CEFET - PR ) A quantidade de números formados por 4 algarismosdistintos, escolhidos entre 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 que contem 1 e 2 e não contem o7, é:
6. ( CEFET - PR ) O número de anagramas de 6 letras que podemos formarcom as letras da palavra PEDRAS, começando e terminando com uma letra querepresente consoante, é:
a. 72b. 480c. 192d. 432e. 288 X
7. ( FGV - SP ) Sobre uma mesa são colocadas em linha 6 moedas. O númerototal de modos possíveis pelos quais podemos obter 2 caras e 4 coroasvoltadas para coma é:
a. 360b. 48c. 30
d. 120e. 15 X
8. ( FGV - SP ) Quantos anagramas da palavra SUCESSO começam por S eterminam com O ?
a. 7 !b. 5 !c. 30d. 60 Xe. 90
9. ( MACK - SP ) O número de maneiras diferentes de colocar em uma linha deum tabuleiro de xadrez ( 8 posições ) as pesas brancas ( 2 torres, 2 cavalos, 2bispos, a rainha e o rei ) é:
a. 8 !b. 504c. 5040 Xd. 8e. 4
10. ( FGV - SP ) Uma palavra é formada por N vogais e N consoantes. Dequantos modos distintos podem-se permutar as letras desta palavra, de modoque não apareçam juntas duas vogais ou duas consoantes ?
11. ( PUC - PR ) Oito políticos foram convidados a participar de uma mesa emuma convenção. Os lugares eram contíguos e dispostos em linha, de ummesmo lado da mesa. Sabendo que o político A não suporta o político B, nãopodendo sentar juntos, de quantas maneiras a mesa poderá ser composta ?
a. 56b. 5040c. 30240 Xd. 35280e. 40320
12. ( UEPG - PR ) Com uma letra R, uma letra A e um certo número de letrasM, podemos formar 20 permutações. O número de letras M é:
a. 6b. 12c. 4
d. 3 Xe. 8
13. ( PUC - SP ) O número de anagramas da palavra ALUNO que tem as vogaisem ordem alfabética é:
a. 20 Xb. 30c. 60d. 80e. 100
ANÁLISE COMBINATÓRIA
COMBINAÇÕES
1. ( AMAN - RJ ) As diretorias de 4 membros que podemos formar com 10sócios de uma empresa são:
a. 5040b. 40c. 2d. 210 Xe. 5400
2. ( U. VIÇOSA - MG ) Com um conjunto de 10 peças distintas, o número degrupos diferentes, de três peças, que podem ser formadas, é:
3. ( CESGRANRIO ) Seja M um conjunto de 20 elementos. O número desubconjuntos de M que contém exatamente 18 elementos, é:
a. 360b. 190 Xc. 180d. 120e. 18
4. ( UEPG - PR ) Em uma circunferência são marcados 7 pontos distintos: A, B,C, D, E, F e G. Com estes pontos, quantas cordas podem ser traçadas ?
a. 42b. 14c. 21 Xd. 7e. 28
5. ( ACAFE - SC ) Diagonal de um polígono convexo é o segmento de reta queune dois vértices não consecutivos do polígono. Se um polígono convexo tem 9lados, qual é o seu número total de diagonais ?
a. 72b. 63c. 36d. 27 Xe. 18
6. ( FCMSC - SP ) Num hospital há 3 vagas para trabalhar no berçário, 5 nobanco de sangue e 2 na radioterapia. Se 6 funcionários se candidatam para oberçário, 8 para o banco de sangue e 5 para a radioterapia, de quantas formardistintas essas vagas podem ser preenchidas ?
a. 30b. 240c. 1120d. 11200 Xe. 16128000
7. ( CEFET - PR ) Sendo A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }, o número de subconjuntos deA que tem menos de 3 elementos é:
8. ( MACK - SP ) O numero de triângulos determinados por 7 pontos distintos,4 sobre uma reta e 3 sobre uma paralela á primeira, é:
a. 60b. 30 Xc. 20d. 10e. 5
9. ( CEFET - PR ) Qual é o valor de n para que ?
a. 4b. 1c. 6 Xd. 2e. 8
10. ( CESCEA - SP ) De quantas maneiras distintas um grupo de 10 pessoaspode ser dividido em 3 grupos, de 5, 3 e 2 pessoas ?
a. 2340b. 2480c. 3640d. 2520 Xe. 3200
11. ( CEFET - PR ) De Uma comissão técnica formada por engenheiros eeconomistas, deve Ter 5 elementos, dos quais 0elo menos 2 devem serengenheiros. Se são disponíveis 4 engenheiros e 5 economistas, o númeropossível de comissões distintas é:
a. 18b. 23c. 35d. 105 Xe. 240
12. ( UFSM - RS ) Uma enfermidade que tem sete sintomas conhecido édetectada pelo médico, se o paciente apresentar 4 ou mais desse sintomas.
Para que seja feito um diagnóstico seguro, o número de combinações possíveisde sintomas diferentes é:
a. 1b. 7c. 21d. 35e. 64 X
PROBABILIDADE
1. Uma urna contem três bolas numeradas com 1, 2 e 3. Retirando-sesucessivamente duas bolas dessa urna, obtém-se um par ordenado. O númerode pares ordenados possíveis, fazendo-se extrações com reposição, é:
a. 9 Xb. 6c. 5d. 8e. 3
2. Uma urna contem três bolas numeradas com 1, 2 e 3. Retirando-sesucessivamente duas bolas dessa urna, obtém-se um par ordenado. O númerode pares ordenados possíveis, fazendo-se extrações sem reposição, é:
a. 5
b. 3c. 8d. 9e. 6 X
3. Uma urna contem três bolas numeradas com 1, 2 e 3. Retirando-sesimultaneamente duas bolas dessa urna, obtém-se um conjunto. O número deconjuntos possíveis é:
a. 8b. 5c. 6d. 3 Xe. 9
4. Lançando-se uma moeda usual 5 vezes, seus resultados formam umaseqüência. O número de seqüências possíveis é:
5. Considere o seguinte experimento aleatório: "lançar dois dados e observaros números obtidos nas faces superiores". O número de elementos do espaçoamostral desse experimento é:
a. 6b. 12c. 2d. 64e. 36 X
6. Uma moeda é lançada três vezes. Vamos representar por n ( E ) o númerode resultados possíveis e representar por n( A ) o número de resultados queapresentam apenas duas caras. Então:
a. n ( E ) = 6 e n ( A ) = 3b. n ( E ) = 6 e n ( A ) = 4c. n ( E ) = 8 e n ( A ) = 4d. n ( E ) = 8 e n ( A ) = 6e. n ( E ) = 8 e n ( A ) = 3 X
7. Lançando-se um dado honesto duas vezes, o número de resultados queapresentam soma 7, é:
a. 4
b. 5c. 6 Xd. 7e. 3
8. Uma urna tem 20 bolas numeradas com 1, 2, 3...20. Sorteia-se uma boladessa urna. Considere os seguintes eventos:
Evento A : Ocorrência de um número primo
Evento B : Ocorrência de um divisor de 30
Nesse experimento, o número de elementos do evento A B é:
9. Dois jogadores disputam um jogo onde é lançado, uma única vez um par dedados. O jogador A ganha se a soma dos resultados for 6 e B, se a soma for10. Nessas condições, pode-se afirmar corretamente que:
a. B tem mais chance de ganhar que Ab. A não tem chance de ganharc. A tem mais chance de ganhar que B Xd. B não tem chance de ganhare. Ambos tem as mesmas chances
10. Denomina-se espaço amostral ao conjunto formado por todos os resultadospossíveis de um experimento aleatório. Se um experimento consistem em seescolherem duas pessoas, ao acaso, de uma sala contendo dez pessoas, entãoo número de elementos do espaço amostral é:
a. 20b. 19
c. 90d. 45 Xe. 32
11. Num jogo, cada jogador lança um dado uma única vez. O jogador A ganhase tirar, no seu lança, um número de pontos maior ou igual ao lance do
jogador B. O número de resultados favoráveis a A é:
a. 36b. 18c. 15
d. 20e. 21 X
12. O número de possibilidades de escolha de 3 números naturais distintos de1 a 10, de modo que sua soma seja sempre par, é:
a. 120b. 220c. 150d. 290e. 160 X
13. O número da chapa do carro é par. A probabilidade de o algarismo dasunidades ser zero é:
14. Qual a probabilidade de se obter um número divisível por 5, na escolha aoacaso de uma das permutações dos algarismos 1; 2; 3; 4 e 5 ?
a. 5b. 1/5 Xc. 1d. 4e. 1/4
15. Uma urna tem 10 bolas idênticas, numeradas de 1 a 10. Se retirarmosuma bola da urna, a probabilidade de não obter a bola número 7 é igual a:
a. 2/9b. 1/10c. 1/5d. 9/10 Xe. 9/11
16. A probabilidade de se ter duas vezes o número 5, em duas jogadas dedado, é:
a. 1/48b. 1/36 Xc. 1/24d. 1/12e. 1/6
17. A probabilidade de uma bola branca aparecer, ao se retirar uma única bola
de uma urna contendo 4 bolas brancas, 3 vermelhas e 5 azuis, é:
a. 1/3 Xb. 1/2c. 1/4d. 1/12e. 1/6
18. Um jogado recebeu uma cartela com 15 números distintos entre osnúmeros 0 e 89, De uma urna contendo 90 bolas numeradas de 0 a 89, ésorteada uma bola. A probabilidade do número dessa bola estar na cartela do
19. Jogando-se uma moeda 3 vezes, a probabilidade de se obter cara, pelomenos uma vez é:
a. 1/8b. 3/8c. 7/8 Xd. 5/8e. 1/3
20. No lançamento simultâneo de dois dados distintos e não viciados, qual aprobabilidade de se obter a soma dos pontos igual a 7 ?
a. 1/6 Xb. 5/36c. 1/12d. 1/18e. 1/36
21. O senhor O . Timista enviou 150 cartas para um concurso, no qual seriasorteada uma só carta de um total de 5500 cartas. A probabilidade dele umadas cartas do senhor O .Timista ser sorteada é:
a. 3/55b. 3/110 Xc. 1/5350d. 1/5499e. 1/5500
22. Se um certo casal tem 3 filhos, então a probabilidade de os 3 filhos seremdo mesmo sexo, dado que o primeiro filho é homem, vale:
a. 1/3b. 1/2c. 1/5d. 1/4 Xe. 1/6
23. Escolhido, ao acaso, um elemento do conjunto dos divisores de 60, aprobabilidade de que ele seja primo é:
a. 1/2b. 1/3c. 1/4 Xd. 1/5e. 1/6
24. Com os dígitos 1, 4, 7, 8 e9, são formados números de 3 algarismosdistintos. Um deles é escolhido ao acaso. Qual a probabilidade de ser ímpar ?
25. Com os algarismos de 1 a 9, forma-se um número de 4 algarismosdistintos. A probabilidade de qe o número formado seja menor que 6000 é:
a. 1/9b. 1/3c. 4/9d. 5/9 Xe. 2/3
26. Escolhem-se ao acaso dois números distintos, de 1 a 20. Qual aprobabilidade de que o produto dos números escolhidos seja ímpar ?
a. 9/38 Xb. 1/2c. 9/20d. 1/4e. 8/25
27. Uma urna tem 100 cartões numerados de 101 a 200. A probabilidade de sesortear um cartão dessa urna e o número nele marcado ter os três algarismosdistintos entre si é:
a. 17/25b. 71/100c. 14/25 Xd. 73/100e. 37/50
28. Retirando-se uma carta de um baralho comum e sabendo-se que saiu umadama, qual a probabilidade de que a carta seja de ouros ?
a. 1/3b. 1/4 Xc. 4/13d. 1/13e. 1/52
29. Num grupo de 60 pessoas, 10 são torcedores do São Paulo, 5 sãotorcedores do Palmeiras e as demais do Coríntians. Escolhido ao acaso umelemento do grupo, a probabilidade de ele ser torcedor do São Paulo ou doPalmeiras é:
30. Uma urna contem 2 bolas brancas, 3 verdes e 4 azuis. Retirando-se umabola da urna, qual a probabilidade de que seja branca ou verde ?
a. 4/7b. 3/8c. 5/9 Xd. 2/15e. 3/7
31. Uma urna contem 4 bolas brancas e 6 pretas. Retirando-se,sucessivamente e sem reposição, 2 bolas, a probabilidade de sair bola preta e
bola branca, nesta ordem, é de:
a. 6/25b. 1/5c. 1/50d. 4/15 Xe. 7/30
32. Um número é extraído ao acaso entre os 20 inteiros, de 1 a 20. Aprobabilidade de o número escolhido ser primo ou quadrado perfeito é:
a. 1/5b. 2/25c. 4/25d. 2/5e. 3/5 X
33. Sorteando um número de 1 a 30, a probabilidade de que ele seja par oumúltiplo de 3 é:
a. 3/4b. 2/3 Xc. 1/6d. 5/33e. 1/3
34. Um juiz possui três cartões no bolso. Um é todo amarelo, outro é todovermelho e o terceiro é vermelho de um lado e amarelo de outro. Numdeterminado lance, o juiz retira, ao acaso, um cartão do bolso e mostra a um
jogador. A probabilidade de que a face que o juiz vê ser vermelha a de a outraface, mostrada ao jogador, ser amarela é:
35. Uma roleta esta dividida em 8 partes iguais numeradas de 1 a 8. Ela égirada 3 vezes. Qual é a probabilidade de, nos três giros, ela parar emnúmeros iguais?
a. 1/512b. 1/8c. 1/3d. 1/64 Xe. 1/72
36. Três pessoas, A, B e C, vão participar de um concurso num programa de
televisão. O apresentador faz um sorteio entre A e B e ,em seguida, faz umsorteio entre C e o vencedor do primeiro sorteio, para decidir quem iniciará oconcurso. Se cada sorteio as duas pessoas tem a mesma chance de ganhar,qual a probabilidade de A iniciar o concurso ?
a. 125%b. 75%c. 50%d. 25% Xe. 90%
37. Numa urna foram, colocadas 30 bolas: 10 bolas azuis numeradas de 1 a10, 15 bolas brancas numeradas de 1 a 15 e 5 bolas cinzas numeradas de 1 a5. Ao retirar-se aleatoriamente uma bola, a probabilidade de obter-se umabola par ou branca é:
a. 29/30b. 7/15c. 1/2d. 11/15 Xe. 13/15
38. Um par de dados honestos é lançado. Se os dois números que aparecemsão diferentes, a probabilidade de que ocorram, os números 2 ou 3 é:
39. Dois dados não viciados distintos são lançados , e o números observados .Pode-se afirmar que:
a. A probabilidade de se obterem números iguais é 1/2b. A probabilidade de obter soma dos números iguais a 10 '2 1/10c. Os números observados nunca somarão 12d. A probabilidade de se obter 15 como soma é maior que zero;e. A probabilidade de se obterem números iguais é 1/6 X
40. Uma urna contem apenas cartões marcados com números distintosescolhidos de 1 a 9. Se, nessa urna, não há cartões com números repetidos, aprobabilidade de ser sorteado um cartão com um número menor que 500 é:
a. 3/4b. 1/2c. 8/21d. 4/9 X
e. 1/3
41. Uma doença congênita afeta 1 em cada 700 homens. Numa população deum milhão de homens, a probabilidade de que um homem, tomado ao acaso,não seja afetado é:
a. Superior a 0,99 Xb. Igual a 0,99c. Menor que 0,98d. Igual a 1/700e. 1/2 ou 50%
42. Jogando-se simultaneamente dois dados ( um dado é um cubo com asfaces numeradas de 1 a 6 ), a probabilidade da soma dos números obtidos serpar é:
a. 1/2 Xb. 1/3c. 1/8d. 1/16e. 1/32
43. Você faz parte de um grupo de 10 pessoas, para três das quais serãodistribuídos prêmios iguais. A probabilidade de que você seja um dospremiados é:
8. ( PUC - PR ) Um colecionador possui determinado número de selos raros ediferentes entre si. Agrupando-os 4 a 4, obteve o mesmo número de gruposque se os juntasse 6 a 6. quantos, pois são os selos raros que o colecionadorpossuía ?
a. 10 X b. 16c. 36d. 20e. 45
9. ( MACK - SP ) Os números binomiais e são complementares, kN e k > 3. Então k vale:
a. 6 X b. 15c. 8d. 5e. 10
10. ( CEFET - PR ) é o mesmo que :
a. nb. n2 + n - 1c. 2nd. 2 n + 1 X e. 2n + 2
11. ( MED. STA. CASA - SP ) A equação
a. não admite soluçãob. admite uma solução entre 1 e 5c. admite uma solução entre 5 e 12 Xd. admite uma solução entre 12 e 20e. admite uma solução maior que 20
7. O ponto distinto da origem pertencente a reta suporte das bissetrizes dosquadrantes impares que forma com os pontos ( 0, 4 ) e ( 3, 0) um triânguloretângulo, tem a soma das coordenadas igual a:
a. 0b. 7 Xc. 7/2d. 14e. 5
8. O perímetro do triângulo ABC dados A ( -1, 1 ), B ( 4, 13 ) e C ( -1, 13 ) é:
a. 30 X
b. 15c. 17d. 25e. 22
9. O valor real de x para que o triângulo formado pelos pontos A ( -1, 1 ), B( 2, 5 ) e C ( x, 2) seja retângulo em B é:
a. 3
b. 4 Xc. 5d. 6e. -4
10. ( CESCEA - SP ) O ponto do eixo Ox eqüidistante dos pontos ( 0, -1 ) e ( 4,3 ) é:
a. ( -1, 0 )
b. ( 1, 0 )c. ( 2, 0 )d. ( 3, 0 ) Xe. ( 8, 0 )
11. ( PUC - SP ) Sendo A ( 3, 1 ) B ( 4, -4 ) e C ( -2, 2 ) vértices de umtriângulo, então esse triângulo é:
10. Uma equação de reta que passa pelos pontos ( 3, 4 ) e ( 3, 7 ) é:
a. x = 3 Xb. y = 3c. y - x = 3d. y = - 3xe. y = 3x
11. Dados os ponto A ( 1, 1 ) , B ( 3, 0 ) e C ( -1, 2 ) podemos afirmar que :
a. Os pontos estão alinhados X
b. os pontos formam um triângulo retânguloc. os pontos formam um triângulo de área igual a 6d. os pontos pertencem a uma reta de coeficientes angular -2e. os pontos formam um triângulo isósceles.
12. A equação da reta que é paralela à reta suporte das bissetrizes dosquadrantes impares e passa pelo ponto ( 2, 3 ) é:
a. x + y + 1 = 0
b. x - y -1 = 0c. x + y - 1 = 0d. x - y + 1 = 0 Xe. x - y - 2 = 0
13. Sejam as retas r: y = 6 e s: a reta que passa pela origem do sistemacartesiano e pelo ponto ( 3, 9 ). A área do triângulo formado por essas retas epelo eixo das ordenadas é:
23. ( UFPR ) O ponto P ( -4, 3 ) é o ponto médio do segmento da reta AB,cujas extremidades estão sobre os eixos coordenados. Qual será a equação dareta AB ?
a. x + y + 1 = 0b. x - y + 7 = 0c. 3 x - 4 y + 24 = 0 Xd. 2 x + 3 y - 1 = 0e. 3 x + 2 y + 6 = 0
24. O ponto de intersecção das retas ( r ) x+y-5=0 e (s) 2x - y - 7 = 0 é:
a. ( 1, 4 )
b. ( 4, 1 ) Xc. ( 12, 7 )d. ( -4, 9 )e. ( -1, 6 )
25. A equação da reta que passa pela intersecção das retas x + y - 3 = 0 e 2x- y + 5 = 0 e tem coeficiente angular igual a 3/4 é:
3. Dado um sistema de coordenadas cartesianas no plano, considere os pontosA (2, 2), B (4, -1) e C (m, 0) . Para que AC + CB seja mínimo, o valor de mdeve ser:
a. 7/3b. 8/9c. 10/3 Xd. 3,5e. 11/3
4. ( UFPR ) Em um sistema de cartesiano ortogonal, qual é a área do triângulodeterminado pelas retas de equações x - y - 1 = 0 , x = 5 e pelo eixo dasabscissas ?
a. 8 Xb. 12c. 16d. 6e. 10
5. A área do triângulo formado pela reta que passa pelos pontos A ( 1, -2 ) e B( 3, 2 ), pelos eixos coordenados, é:
a. 8b. 4 Xc. 16d. 5e. 10
DISTÂNCIA DE UM PONTO A UMA RETA
1. ( CEFET ) A distância da reta x + y - 4 = 0 à origem do sistemacartesiano é :
a. x2 + y2 = 5b. ( x - 1 ) 2 + ( y - 4 )2 = 5 Xc. ( x - 1 ) 2 + ( y - 4 )2 = 3d. ( x + 1 ) 2 + ( y - 4 )2 = 5e. ( x - 1 ) 2 + ( y + 4 )2 = 3
2. Uma equação da circunferência de raio 1, localizada no 2º quadrante etangente aos eixos coordenados é:
a. ( x + 1 ) 2 + ( y - 1 )2 = 1 Xb. ( x - 1 ) 2 + ( y - 1 )2 = 1c. ( x + 1 ) 2 + ( y + 1 )2 = 1d. ( x - 1 ) 2 + ( y + 1 )2 = 1e. ( x + 1 ) 2 + ( y - 1 )2 = 4
3. A soma das coordenadas do centro de uma circunferência de raio 5, e quepassa pelo ponto P ( 1, 0 ) e tem esse centro na reta suporte da bissetriz dosquadrantes impares é:
a. 8 ou 6b. 8 ou -6 Xc. -8 ou 6d. 4 ou -3e. 10 ou - 12
4. Uma equação reduzida da circunferência que passa pelos pontos ( 0, 0 ),( 0, 2 ) e ( 2, 0 ) é:
a. ( x - 1 ) 2 + ( y + 1 )2 = 2b. ( x - 1 ) 2 + ( y - 1 )2 = 2 Xc. ( x - 1 ) 2 + ( y - 1 )2 = 1d. ( x - 1 ) 2 + ( y + 1 )2 = 1e. ( x + 1 ) 2 + ( y + 1 )2 = 1
5. O raio da circunferência de centro ( 2, 1 ) , e tangente à reta 5x + 12 y + 4= 0 é:
6. (UEPG-PR) A reta t: 4x + 3y + 1 = 0 tangência a circunferência x2 + y2 - 6x- 8y + k = 0 (k R ). O raio dessa circunferência mede:
a. 5 Xb. 7/10c. 7d. é impossível de calcular
e.
7. ( UEL - PR ) Seja P um ponto do eixo das ordenadas pertencentes à reta deequação 2x - 3y - 6 = 0 . A equação da circunferência de centro em P etangente ao eixo das abscissas é:
18. ( FUVEST-SP ) Uma circunferência de raio 2, localizada no primeiroquadrante, tangência o eixo x e a reta de equação 4x - 3y = 0. Então, aabscissa do centro dessa circunferência é:
a. 1b. 2c. 3d. 4 Xe. 5
19. ( UFSE ) Considere as circunferências 1 : x2 + y2 = 1 e 2 : x2 + y2 - 4x -4y + 4 = 0 . A distância entre os seus centros é:
a. 3
b. 2 X
c.
d. /2e. 2
POSIÇÕES ENTRE PONTO E CIRCUNFERÊNCIA
1. Para que o ponto P ( 2, k ) seja externo a circunferência ( x + 1 ) 2 + ( y-1)2 = 25, devemos ter
a. k < -3 ou k > 5 Xb. -3 < k < 5c. k = -3d. k > -3
e. k > 4
2. O número de retas tangentes a circunferência x2 + y2 = 12, passando peloponto P ( 2, -3 ), é:
8. ( UNAERP - SP ) As circunferências de equações x2 + y2 = 90 e x2 + y2 - 10x - 10 y + 46 = 0 .
a. interceptam-se num único ponto, localizado no primeiro quadrante.b. interceptam-se num único ponto, localizado no quarto quadrantec. não tem pontos em comum X
d. interceptam-se em dois pontos, localizados no primeiro quadrantee. interceptam-se em dois pontos, ,localizados no quarto quadrante
POSIÇÕES ENTRE RETA E CIRCUNFERÊNCIA
1. O valor positivo de K, para que a reta 3x + 4y + k = 0 seja tangente acircunferência x2 + y2 - 2x - 4y - 4 = 0 é:
a. 26b. 6c. 3d. 4 Xe. 2
2. O raio da circunferência de centro C ( 0, 3 ) tangente a 5x - 12y + 10 = 0 é:
a. 1b. 2 X
c. 3d. 4e. 3/2
3. A distância da reta 3x + 4y+ 2 = 0 até a circunferência x2 + y2 - 6x - 2y + 6= 0 é:
7. (PUC-PR) Considere a circunferência de equação x2 + y2 + 2x + 2y - 7 = 0 eas retas y - x + k = 0 . Uma dessas retas é tangente à circunferência se ovalor de k for igual a:
a. 3 Xb. 3c. -3
d. -2
e. -4
8. ( UFRGS ) O eixo das abscissas determina na circunferência x2 + y2 - 6x +4y - 7 = 0 uma corda de comprimento:
9. ( PUC - PR ) A equação da circunferência concêntrica com a circunferência x 2
+ y2 - 8x + 12 y = 0 e tangente a reta r: 5x + 12y = 0 é:
a. ( x - 4 ) 2 + ( y + 6 )2 = 9b. ( x - 4 ) 2 + ( y + 6 )2 = 16 Xc. ( x + 4 ) 2 + ( y - 6 )2 = 16d. ( x + 4 ) 2 + ( y - 6 )2 = 9e. 2x2 + y2 - 8x + 6y - 12 = 0
10. O tamanho da corda determinada pela intersecção de r: 3x + 4y + 15 = 0com a circunferência x2 + y2 = 25 é:
a. 4b. 6c. 8 Xd. 10
e. 12
11. ( CEFET - PR ) Em um sistema de coordenadas retangulares considere-se acircunferência de centro sobre a reta x - y + 3 = 0 e que passa pelo pontos A (-2, 4 ) e B ( 1, 7 ) . O comprimento da corda que a bissetriz dos quadrantesimpares determina e, em u.c. igual a:
12. (ITA) Seja m um número retal tal que x - 3y - m = 0 determinada nacircunferência ( x - 1 )2 + ( y+3)2 = 25, uma corda de comprimento 6. O valorde m é:
a. 10+4 X
b. 2 +
c. 5 -
d. 6 +e. 3
13 . ( PUC - MG ) Um valor de b para que a reta y = 2x + b seja tangente àcircunferência x2 + y2 = 1 é igual a:
a. 1 b.
c.
d. X
e.
14. A equação da reta tangente à circunferência x2 + y2 - 6y = 0 que passa
pela origem do sistema cartesiano é":
a. 3x + y = 0b. y = 0 Xc. x = 0d. x - 3y = 0e. x - y = 3
15. ( PUC - SP ) A equação da circunferência de centro C ( -2, k ) e tangenteao eixo das ordenadas é:
2. A equação do lugar geométrico dos pontos do plano, tal que a distância aoponto A ( 2, 3 ) seja o dobro da distância até a origem do sistema cartesianoortogonal é:
3. ( FUVEST - SP ) Num plano são dados os pontos A (-1, 0 ) e B ( 1, 0 ). Qualé o lugar geométrico dos pontos P ( x, y ) deste plano, tais que (AP)2 - (BP)2 =4 ?
c. É uma circunferênciad. É uma reta de equação x = 1 Xe. são duas retas paralelas ao eixo y
4. ( UFGO ) Sejam A ( 1, 0 ) e B ( 0, 1 ) dois pontos do plano cartesiano . Aequação do lugar geométrico dos pontos P ( x, y ) do plano, tais que oquociente entre a distância de P a A e a distância de P a B é igual a 2, é:
a. A = 2; B = 1 e C = -3b. A = 2; B = -6 e C = 4 Xc. A = 2; B = 0 e C = -2d. A = 2; B = 1; C qualquere. Não existem valores reais de A, B e C
10. (UFPR) – Se os polinômios P(x) = 4x4 – (r + 2)x3 – 5 e Q(x) = sx4 + 5x3 –5 são idênticos, então r3 – s3 é:
a. 279b. -343c. -407 Xd. -64
e. -279
11. (PUC – BA) – Dado o polinômio P(x) = x3 – 2x2 + mx – 1, onde m IR eseja P(a) o valor de P para x = a.
Se P(2) = 3.P(0),então P(m) é igual a:
a. -5b. -3 X
c. -1d. 1e. 14
12. (UEL – PR) – Sejam os polinômios f = 2x3 – 3x2 + 3; g = x2 + 3 e h = x3 –2x2. Os números reais a e b, tais que f = a.g + b.h, são, respectivamente:
a. -2 e –1b. -2 e 1
c. -1 e –2d. 1 e –2e. 1 e 2 X
13.(PUCC – SP) – Dado o polinômio P(x) = xn + xn-1 +...+ x2 + x + 3,se n forímpar, então P(-1) vale:
n – 20)x + (p – 8)! – 2 éidenticamente nulo, se mnp é:
a. 10b. 20c. 50d. 80
e. 100 X
16.(FUVEST–SP) Um polinômio P(x) = x3 + ax2 + bx + c satisfaz as seguintescondições:P(1) = 0;P(-x) + P(x) = 0, qualquer que seja x real. Qual o valor deP(2) ?
a. 2b. 3c. 4
d. 5e. 6 X
17. (UFV – MG) – Para que o polinômio segundo grau P(x) = ax2 – bx + c sejao quadrado do polinômio
17. (UFPA) – Sejam P e Q dois polinômios de grau n e m respectivamente.Então, se r é o grau de R , resto da divisão de P por Q , temos:
a. r = n/mb. r = n – mc. r md. r < m Xe. r < n – m
18. (EESCUSP) – Seja Q o quociente e R o resto da divisão de um polinômio Apor um polinômio B . Então, quando A é dividido por 2B :
a. quociente é 2Q e o resto 2Rb. quociente é Q/2 e o resto R/2c. quociente é Q/2 e o resto é R Xd. quociente é 2Q e o resto Re. quociente é 2Q e o resto R/2
19. (PUC-PR) O resto da divisão de P(x) = 3x3+4x2 -2x+1 por x+1 é :
a. 2b. 4 X c. –1d. 0e. 5
20. (PUC-SP) O resto da divisão do polinômio P(x)= x4
35. (UFPE) Seja p(x) um polinômio com coeficientes reais. Assinale aalternativa certa para o resto da divisão de p(x) por x2-5x+6, sabendo-se quep(2)= 2 e p(3)= 3:
a. 2x+1b. x+1c. x-3d. x-2e. x X
36. (PUC-SP)- O resto da divisão do polinômio p(x)= (x-1). (x-2).(...).(x-n)+bpelo polinômio g(x)= x é:
a. bb. (-1)n bc. n! + bd. (-1)n n!e. (-1)n n! + b X
EQUAÇÕES ALGÉBRICAS
TEOREMA DA DECOMPOSIÇÃO
TEOREMA DE D' ALEMBERT
1. (FGV - SP) O valor de m , de modo que –1 seja raiz da equação x ³ +(m+2)x² + (1-m)x - 2 = 0, é igual a:
a. 0b. -1c. 1 Xd. –2e. 2
2. ( UFRN ) Seja P(x) = x³ + 6x – x – 30. Se P(2) = 0, então o conjuntosolução de P(x) = 0 é :
8. ( UEL - SP ) A equação 2x³ - 5x² + x + 2 = 0 tem três raízes reais. Umadelas é 1. As outras duas são tais que:
a. ambas são números inteirosb. ambas são números negativosc. estão compreendidas entre –1 e 1d. uma é o oposto do inverso da outra Xe. uma é a Terça parte da outra
9. ( PUC - BA ) É verdade que a equação (x – 4x).(x² + 2x + 1) = 0 , noinverso IR:
a. tem quatro soluções distintas X
b. tem uma solução que é número irracionalc. tem cinco soluções distintasd. não tem soluçõese. tem apenas duas soluções distintas
10. ( PUC - SP ) O polinômio P(x) = x³ + x² - 26x + 24 é divisível por x – 4.Os zeros deste polinômio são:
a. –6, -4, 1b. –6, 1, 4 Xc. –4, -1, 6
d. –1, 4, 6e. 1, 4, 6
11. ( UFSE ) Sabe-se que –1 é raiz de multiplicidade 2 da equação 2x³ + x² -4x – 3 = 0. A outra raiz dessa equação é um número:
a. racional e não inteiro Xb. inteiroc. irracional e negativod. irracional positivoe. complexo e não real
12. ( UFRN ) Se 2 é raiz de multiplicidade 3 da equação x4 – 9x³ + 30x² - 44x+ 24 = 0, então, seu conjunto solução é:
1. (UFMG) – Sabe-se que a equação x4 – 6x3 +15x 2 – 18x + 10 = 0 admite asraízes complexas 1 – i e 2 + i. Quais as demais raízes dessa equação?
a. -1 – i e –2 + ib. 1 + i e 2 + ic. -1 + i e –2 – id. 1 – i e 2 – ie. 1 + i e 2 – i X
2. (PUC – SP) – Qual dos números abaixo é raiz da equação 15x3 + 7x2 – 7x +1 = 0 ?
a. 7/15b. 1/2c. 2/3
d. 3/5e. 1/3 X
3. (VUNESP) – Uma das raízes da equação 2x3 + x2 – 7x – 6 = 0 é x = 2.pode-se afirmar que :
a. As outras raízes são imaginárias;b. As outras raízes são 17 e – 19;c. As outras raízes são iguais;d. As outras raízes estão entre – 2 e 0; Xe. Só uma das outras raízes é real.
4. (UFRN) – A equação (x + 1) (x2 + 4) = 0 tem :
a. Duas raízes reais e uma imaginária;b. Uma raiz real e uma imaginária;c. Duas raízes reais e duas imaginárias;d. Uma raiz real e duas imaginárias; Xe. Apenas raízes reais.
5. (PUC - SP) – As raízes da equação 3x3 – 13x2 + 13x – 3 = 0 são :
a. 7; 6 e 1/7b. 6; 5 e 1/6c. 1; 3 e 1/3 Xd. 2; 4 e 1/2e. 5; 7 e 1/5
6. (PUC – RJ) – Sobre as raízes da equação x3 – x2 + 3x – 3 = 0, podemosafirmar que :
a. Nenhuma raiz é real;b. Há uma raiz real e duas imaginárias; Xc. Há três raízes reais, cuja soma é 3;d. Há três raízes reais, cuja soma é 1;e. Há três raízes reais, cuja soma é – 3;
7. (ITA – SP) – A equação (1 – x) (1 – x).x = 1 – x2 tem :
a. Três raízes reais;b. Uma raiz dupla igual a 1;c. Não tem raízes complexas;d. S = {1; i ; - i}; Xe. Nda.
8. (CEFET – PR) – Os valores de p e q para que i seja raiz da equação 2x3 +px2 + qx + 2= 0, são respectivamente :
a. 2 e 2 Xb. -1 e 0c. 1 e –1d. 1/2 e 2e. 1/2 e 0
9. (UEPG – PR) – O polinômio P(x) = x3 – x2 + x + a é divisível por x – 1.Suasraízes são:
a. 1, i e – i Xb. -1, - i e i
c. 0, 1 e id. 1, - 1 e – ie. Nda
10. (PUC – SP) - O grau mínimo que um polinômio de coeficientes reaisadmite, sabendo-se que 1 + i e – 1 + i são raízes, é :
11. (ITA – SP) – A equação 4x3 – 3x2 – 4x – 3 = 0 admite uma raiz igual a i (unidade imaginária).Deduzimos que :
a. Tal equação não admite raiz real menor que 2;b. Tal equação admite como raiz um número racional; Xc. Tal equação não admite como raiz um número positivo;d. Tal equação não possui raiz da forma bi, com b < 1;
a. 4. ( cos 300º + i sen 300º ) Xb. 4. ( cos 60º + i sen 60º )c. 16. ( sen 330º + i cos 330 º )d. 2. ( sen 300º + i cos 300º )e. cos ( -60º) + i sen ( -60º )
6. ( USP ) O argumento do número complexo z = -2 + 2i é:
a. 120ºb. 150º Xc. 210ºd. 300ºe. 330º
7. ( PUC - RS ) O número complexo escrito na forma a +bi é:
a. 2 + i
b. - + i
c. - -i
d. - i X
e. 2 - i
8. ( MACK - SP ) A forma trigonométrica do número complexo i - é:
15. ( UFPA ) A forma trigonométrica do número complexo é:
a.
b.
c. X
d.
e.
NÚMEROS COMPLEXOS
MULTIPLICAÇÃO, DIVISÃO E POTENCIAÇÃO NA FORMATRIGONOMÉTRICA
1. Sejam Z1 e Z2 os números complexos z1 = 3 . ( cos 30º + i sem 30º ) e z2 = 5 . ( cos 45º + i sen 45º ). O produto de z1 por z2 é o número complexo:
a. 15 . ( cos 1350º + i sen 1350º )b. 8 . ( cos 75º + i sen 75º )c. 8 . ( cos 1350º + i sen 1350º )d. 15 . ( cos 15º + i sen 15º )e. 15 . ( cos 75º + i sen 75º ) X
2. ( UEMT ) Sejam os complexos z1 = 4. ( cos 60º + i sen 60º ) e z2 = ( cos90º + i sen 90º ). A forma algébrica do complexo z = z1 . z2 é:
3. Dados z1 = 10 . ( cos 90º + i sen 90º ) e z2 = 2 . ( cos 30º + i sen 30º ), onúmero complexo z1 : z2 é representado por:
a. 20 . ( cos 120º + i sen 120º )b. 5 . ( cos 120º + i sen 120º )c. 20 . ( cos 60º + i . sen 60º )d. 5 . ( cos 60º + i . sen 60º ) Xe. 100 . ( cos 120º + i sen 120º )
4. ( UCMG ) O produto dos três números complexos z1 = 2 . ( cos 40º + i sen40º ) ; z2 = 3 . ( cos 135º + i sen 135º ) e z3 = ( cos 125º + i sen 125º ) é:
a. 3 - i
b. 3 - 3 i X
c. 2 + 2 i
d. 6 + ie. ndai
5. ( CESGRANRIO - RJ ) O módulo do número complexo ( 1 + 3i )4 é:
a. 256
b. 100 Xc. 81d. 64e. 16
6. ( USP ) Dado o número complexo z = cos /6 + i sen /6 , o valor de z12 é:
a. X
b.c. - + i
d. -1 + i
e. - + i
7. ( UFPR ) Quando z1 = 2. ( cos /4 + i sen /4 )e z2 = 2 . ( cos 3 /4 + isen 3 /4 ), tem - se que z1 + z2 e z1 . z2 valem, respectivamente:
8. ( OSEC - SP ) Se um número complexo z tem módulo igual a eargumento igual a /4 então z7 tem parte real e parte imaginaria dadas,respectivamente, por:
a. 8 e -8 Xb. -8 e 8
c. 8 e -8
d. -8 e 8
e. 8 e 8
9. ( FISS - RJ ) O valor de ( 1 + i ) 4 é :
a. -4 Xb. 4c. 4id. -4ie. 4 + 4i
10. ( UEL - PR ) Um número complexo z é tal que o seu módulo é 2 e se
argumento principal é 15º. A forma algébrica de z3 é: