Mg. Halyn Álvarez Vásquez Página 1 Universidad César Vallejo Ley 25350 FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA DE INGENIERÍA CIVIL MÓDULO DE CIENCIAS BÁSICAS SEGUNDA TITULACIÓN Presentado por: Escuela de Ingeniería Civil Facultad de Ingeniería – UCV Decano de la Facultad de Ingeniería MG. Jorge salas Ruiz Director de Escuela de Ingeniería Civil Ing. Ricardo Delgado Arana Docente del Curso Mg. Halyn Álvarez Vásquez PROGRAMA DE DESARROLLO PROFESIONAL FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL
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La Geometría Analítica tiene por objeto la resolución de problemas geométricos utilizando métodos algebraicos. El
sistema que se emplea para representar gráficas fue ideado por el filósofo y matemático francés Descartes (1.596 -1.650),
quien usó su nombre latinizado, Renatus Cartesius, y por esta razón se conoce con el nombre de ejes cartesianos.
En un plano traza dos rectas orientadas perpendiculares entre sí (ejes) que por convenio se trazan de manera que una de
ellas sea horizontal y la otra vertical, y cada punto del plano queda unívocamente determinado por las distancias de dicho
punto a cada uno de los ejes, siempre y cuando se dé también un criterio para determinar sobre qué semiplano determinado por cada una de las rectas hay que tomar esa distancia, criterio que viene dado por un signo. Ese par de
números, las coordenadas, quedará representado por un par ordenado (x,y), siendo x la distancia a uno de los ejes (por
convenio será la distancia al eje vertical) e y la distancia al otro eje (al horizontal).
En la coordenada x, el signo positivo (que suele omitirse) significa que la distancia se toma hacia la derecha del eje horizontal (eje de las abscisas), y el signo negativo (nunca se omite) indica que la distancia se toma hacia la izquierda.
Para la coordenada y, el signo positivo (también se suele omitir) indica que la distancia se toma hacia arriba del eje
vertical (eje de ordenadas), tomándose hacia abajo si el signo es negativo (tampoco se omite nunca en este caso).
A la coordenada x se la suele denominar abscisa del punto, mientras que a la y se la denomina ordenada del punto.
Los puntos del eje de abscisas tienen por lo tanto ordenada igual a 0, así que serán de la forma (x,0), mientras que los del
eje de ordenadas tendrán abscisa igual a 0, por lo que serán de la forma (0,y).
El punto donde ambos ejes se cruzan tendrá por lo tanto distancia 0 a cada uno de los ejes, luego su abscisa será 0 y su
ordenada también será 0. A este punto el (0,0) se le denomina origen de coordenadas.
a) Dos puntos: La ecuación de la recta que pasa por los puntos P(x1,y1) y Q(x2,y2) es:
b) 1xx
1x2x
1y2y
1yy .
c) Punto-pendiente: La ecuación de la recta que pasa por el punto P(x1,y1) y cuya pendiente es m es: y-y1 = m(x-x1)
d) General: Una ecuación lineal, con variables x, y, es de la forma Ax + By + C=0, donde A, B, C son
constantes arbitrarias. De esta manera la pendiente es m=-A/B , B 0.
Nota Si las rectas L1 y L2 tienen pendientes m1 y m2 respectivamente, entonces: 2. L1//L2 m1 = m2 3. L1 L2 m1.m2 = -1�
Ejemplo 3. Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1,4) y es paralela a la recta que pasa por los puntos (-3,2) y (2,6). Solución. Ejemplo 4. Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto (-1,2) y es perpendicular a la recta 3x-4y+1=0.
Definición 1 La Circunferencia La circunferencia es el lugar geométrico de todos los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro.
.3 LA CIRCUNFERENCIA Teorema 1 1. FORMAS ORDINARIAS DE LA CIRCUNFERNCIA a) FORMA ORDINARIA. Sea el centro C(h,k) y radio r, entonces la ecuación de la circunferencia es:
(x-h)2+(y-k)2 = r2 b) FORMA GENERAL. Toda circunferencia se puede expresar por medio de la ecuación:
x2+y2+Dx+Ey+F = 0, que completando a un trinomio cuadrado perfecto da:
4
4F2E
2D
2
2
Ey
2
2
Dx
así el centro es 2
E,
2
DC y el radio r= 4F
2E
2D
2
1.
Si D2+E2-4F>0, la circunferencia es real. Si D2+E2-4F<0, la circunferencia es imaginaria.
Si D2+E2-4F=0, la ecuación representa al punto 2
E,
2
D
Ejemplo 1. Encuentre la ecuación de la circunferencia cuyo centro está en el punto (1,5) y cuyo radio es igual a 5. Solución. Ejemplo 2. Encuentre la ecuación de la circunferencia cuyo centro está en el origen y que pasa por el punto P(-2,-6). Solución. Ejemplo 3. Determine que representa la ecuación x2+y2-2x-6y+2=0 Solución. Ejemplo 4. Determine la ecuación de la circunferencia con centro en (1,3) y que es tangente a la recta y-5x-5=0.
Solución. Ejemplo 5. Determine la ecuación de la circunferencia con radio 4, que es tangente a la recta x=4, y=2, y que se localiza arriba y derecha de dichas rectas. Solución.
a) Forma General. Toda elipse se puede expresar por medio de la ecuación Ax2 +Cy2 +Dx + Ey + F = 0, siempre y cuando A y C sean del mismo signo.
Completando cuadrados , el resultado es:
F
4C
2E
4A
2D
2
2C
EyC
2
2A
DxA , siendo el centro
2C
E,
2A
D
Si F
4C
2E
4A
2D
> 0, la elipse es real.
Si F
4C
2E
4A
2D
< 0, la elipse es imaginaria.
Si F
4C
2E
4A
2D
= 0, la ecuación representa al punto 2C
E,
2A
D
Teorema 2 ( TANGENTE A UNA ELIPSE )
La ecuación de la recta tangente a la elipse 12b
2y
2a
2x
, en cualquier punto P(xo,yo) de la elipse, es:
b2xox + a2yoy = a2b2 Teorema 3 ( TANGENTE A UNA ELIPSE )
La ecuación de las recta tangentes a la elipse 12b
2y
2a
2x
, de pendiente “m”, es:
y = mx 2b
2m2a
Ejemplo 1. Determine la ecuación de la elipse si se sabe que LR = 3, b = 3, C(0,0). Y el eje mayor es paralelo al eje y. Solución. Ejemplo 2. Determine la ecuación de la elipse que pasa por los puntos (0,1), (1,-1), (2,2) y (4,0), cuyos ejes son paralelos a los ejes coordenados. Solución. Ejemplo 3. Determine las ecuaciones de las rectas que pasan por (3,4) y son tangentes a x2+4y2=16.
Definición 2 Forma general de una parábola: a) Parábola con eje de simetría horizontal: y2 +Ax +By +C = 0
b) Parábola con eje de simetría vertical: x2 +Ax +By +C = 0 Teorema 2 La ecuación general de segundo grado con dos variables es de la forma:
Ax2 +Bxy +Cy2 +Dx +Ey + F =0 En este trinomio se le llama discriminante a la expresión =B2–4AC y sirve para identificar la clase de cónica a la que corresponde dicha ecuación de acuerdo con las siguientes reglas: a) si <0, puede ser una elipse. b) Si <0, A = C, B = 0, puede ser una circunferencia. c) Si = 0, puede ser una parábola. d) Si >0, puede ser una hipérbola. Ejemplo 1. Determine el vértice, el eje de simetría, el foco y la directriz de la parábola x2+8y-2x=7. Solución. Ejemplo 2. Encuentre las ecuaciones de la parábola cuyo lado recto es el segmento entre (2,-2) y (2,6). Solución. Ejemplo 3. Sea la ecuación de la parábola x2=4py. Encuentre las coordenadas de todos los puntos P(x,y) que interceptan a la parábola con la recta que pasa por (0,0) y tiene pendiente m>0. Solución Ejemplo 4. Halle una ecuación que relacione todos los puntos que equidistan del punto (3,4) y la recta y = 8. Solución. Ejemplo 5. Halle la ecuación de la parábola de eje paralelo al eje X y que pase por los puntos P(-2,1); Q(1,2) y R(-1,3).
Teorema 1 ( FORMAS DE LA ECUACIÓN DE LA HIPÉRBOLA )
a) Forma General. Toda hipérbola se puede expresar por medio de la ecuación Ax2 +Cy2 +Dx + Ey + F = 0, siempre y cuando A y C sean de distinto signo. Completando cuadrados , el resultado es:
F
4C
2E
4A
2D
2
2C
EyC
2
2A
DxA , siendo el centro
2C
E,
2A
D
Si F
4C
2E
4A
2D
0, representa una hipérbola.
Si F
4C
2E
4A
2D
=0, la ecuación representa dos rectas que se interceptan.
Ejemplo 1. Determine la ecuación de la hipérbola si se sabe que su centro es C(2,5), a=6, c=8 y eje focal paralelo al eje Y. Solución. Para definir la ecuación es necesario tener el centro y los valores a y b. Como c2 = a2+b2 64=36 +b2 b2=28 Reemplazando en la ecuación ordinaria de la hipérbola vertical
Ejemplo 2. Estudiar la gráfica de la ecuación: 9x2-4y2=1 Solución. Ejemplo 3. Estudiar la gráfica de la ecuación: 9x2-4y2-54x-16y+29=0 Solución. Teorema 2 ( TANGENTE A UNA HIPÉRBOLA )
La ecuación de la recta tangente a la hipérbola: 12b
2
2a
2x y
en cualquier punto P(x1,y1) de la hipérbola es:
b2x1x-a2y1y=a2b2 Ejemplo 7. Hallar la ecuación de la recta tangente a la hipérbola 2x2-5y2=3, en el punto P(-2,1). Solución. Escribiendo en la forma estándar:
1
3/5
2y
3/2
2x
Entonces la ecuación de la recta tangente a la hipérbola en el punto dado es:
LA RECTA 1. Trace la recta que pase por los puntos P y Q y
determine su pendiente: a) P(1,1) y Q(4,6) b) P(2,3) y Q(-3,-2)
2. Trace la ecuación de la recta que pasa por el punto P, y tiene pendiente m. a) P(-1,3) y m=1/3 b) P(7,-3) y m=4
3. Trace la gráfica de las ecuaciones siguientes: a) 3x-5y+1=0 b) 3x+2y=4 c) 5x+7y+12=0
LA CIRCUNFERENCIA 1. Encuentre una ecuación para la circunferencia que
satisface las condiciones dadas: a) Centro C(2,6) , radio r= 4. b) Centro C(-3,4), y pasa por P(4,6). c) Los extremos de uno de sus
diámetros son A(1,4) y B(6,6).
2. Determine el centro y el radio de la circunferencia que satisface la ecuación dada:
a) x2+y2+4x-2y+2=0 b) x2+y2-8x+2y+1=0 c) 2x2+2y2-x+y-3=0
3. Hallar la ecuación de un círculo que pasa por los
puntos A(2,-2) y B(3,4) y su centro está en la recta x+y=2
4. Hallar la ecuación de la circunferencia de radio 4 y
que sea tangente a la recta: 4x-y+12=0, en el punto P(-1,8).
LA ELIPSE 1. Grafique cada elipse. Hallar las coordenadas del
centro, los vértices y los focos.
a) 11
2y
4
2x
b) 125
2y
9
2x
c) 19
2y
16
2x
d) 116
22)(y
5
21)-(x
e) 1
16
22)(y
9
23)-(x
f) 1
9
23)(y
4
22)(x
Escriba en forma estándar, la ecuación de elipse que tiene las propiedades citadas: 2. Centro (0,0); eje mayor horizontal de longitud 10,
eje menor de longitud 6. 3. Centro (2,3); focos (-2,3) y (6,3); eje menor de
longitud 8. 4. Extremos de los ejes menor y mayor en (-8,0),
(8,0), (0,-4) y (0,4). Escriba cada ecuación en su forma estándar. Determine las coordenadas del centro, de los vértices y de los focos. 5. 25x2+y2-12y=-11 6. x2+4x+9y2=5 7. 4x2+24x+13y2-26y=3 LA HIPERBOLA Encuentre la ecuación de la hipérbola que cumpla las siguientes condiciones: 1. A(5,0), A/(0,-3), F(-5,0), F/(-8,0). 2. F(0,4), F/(0,-4), e= 5/3.
3. C(2,-1), LR=2
9,A(6,-1)
4. Los focos de una hipérbola coinciden con los
focos de la elipse 1
9
2y
25
2x
. Hallar la
ecuación de la hipérbola, si su excentricidad es 4.
LA PARABOLA Encuentre el vértices, foco y la directriz de cada parábola y trace su gráfica. 1. 2y2=-3x 2. y2-12=12x 3. y= 8x2+16x+10 4. y2-20y+100=6x Encuentre una ecuación para la parábola que satisface las
condiciones dadas.
5. Foco(2,0), directriz x=-2
6. Foco (0,-4), directriz y=4
7. Vértice V(-3,5), eje paralelo al eje X y pasa por el
punto A(5,9).
8. Vértice en el origen, simétrica con respecto al eje
Sean A y B dos subconjuntos de R = <- , +> y “F una relación binaria de A en B”, es decir F A x B
Notación F es una función para cada x A existe un único y B, tal que y = f(x) Donde las siguientes notaciones son equivalentes:
y = f(x) (x,y) f Se lee: “y es función de x” o “y es la imagen de x por f”
F(-2) = 3 (-2, 3) F.
II) Definición Simbólica: “f” es una función de A en B si [(x1 , y) f (x1 , z) f] y = z
III) Definición Geométrica: “f” es una función cualquier recta vertical perpendicular al eje “x” corta al gráfico de “f” en un solo punto.
Es decir: graf (f) L = {1 punto} Ejemplos: 01.
P
es función
02.
P
P
No es función
03.
P
o
Si es función
Propiedad Importante: Toda función es una relación, pero toda relación no necesariamente es una función.
DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN
Sea la función f : A B
Conjunto Conjunto de Partida de llegada Dominio de F : Es el conjunto de las 1ras componentes de los pares ( x , f (x)) Rango de F : Es el conjunto de las segundas componentes de los pares ( x1 f (x) )
Nota Una forma muy sencilla de reconocer que un conjunto de pares ordenados es una función, es observando que todas
La función f: ℝ ℝ, es llamada constante si para cada elemento de su dominio su
imagen es la misma constante real. Se denota por f(x)= k.
Sus elementos son:
Dominio: ℝ; Imagen:{k}; Gráfica: Es una recta paralela al eje de abscisas
Ejemplo 3: Existen casos concretos, donde se utiliza la función constante por tramos por ejemplo para representar la temperatura durante las 24 horas del día, como se
muestra en el siguiente cuadro.
Hora [1,5> [5,9> [9,13> [13,17> [17,21> [21,24]
temperatura 9 12 18 12 9 6
Dominio: [1,24]
Imagen: {6,9,12,18}
Gráfica: ☞
FFUUNNCCIIOONN LLIINNEEAALL
La función f: ℝ ℝ, es llamada lineal si la definimos como f(x)=ax+b; a 0
Sus elementos son:
Dominio: ℝ ; Imagen: ℝ ;
Gráfica: Es una recta que interseca a los ejes coordenados del sistema
cartesiano.
Ejemplo 4: Sea f: ℝ ℝ, definida por f(x)=2x-8.
Definición 3. FFUUNNCCIIOONN CCUUAADDRRAATTIICCAA
La función f: ℝ ℝ, es llamada cuadrática si la definimos como f(x)=ax2+bx+c; a 0.
Sus elementos son: Dominio: ℝ ;
Gráfica: Es una línea parabólica cuyo eje focal es paralelo al eje de las
ordenadas.
Ejemplo 5: Sea f: ℝ ℝ, definida por 842
2)( xxxf .
Ejemplo 10: Cada punto Q entre los extremos del segmento OT determina un rectángulo PQRS, como se ve en la figura. Si OP=x, escriba el área de
este rectángulo como A(x). Determine las coordenadas de Q que producen el
A los valores f(x0) y f(x1) se les llama mínimo y máximo absolutos de la función f(x) en el intervalo I, respectivamente. Estos constituyen los extremos absolutos de la función en el intervalo I.
I I
Máximo absoluto en x1 Mínimo absoluto en x0 Fig.9
Definición 2 (Punto Crítico)
Sea f:I ℝ ℝ una función definida en el intervalo I de ℝ. Se dice que x0 I es un punto crítico de f, si f ’(x0)= 0 o f(x0)
no existe. La siguiente figura muestra algunos puntos críticos de una función:
x1 , x2 y x3 son puntos críticos x4 y x5 son puntos críticos
Teorema 1
Sea f: [a,b] una función continua en [a,b]. Los extremos absolutos de la función ocurren en los extremos del intervalo [a,b] o dentro del intervalo en puntos críticos de ella.
Ejemplo 1: Determine los extremos absolutos de f(x)=2
1x2 (x2-2) en el intervalo [-2,3].
Solución
Derivamos la función f(x): f’(x)= x(x2-2)+2
1x2(2x) = 2x3 – 2x = 2x(x2–1) = 2x(x-1)(x+1)
Resolviendo la ecuación f’(x)= 0, obtenemos los puntos críticos: x1= 0, x2= 1, x3=-1
Evaluando la función f en los extremos del intervalo [-2,3] y en los puntos críticos, obtenemos las imágenes:
f(-2)= 4, f(3)= 2
63, f(-1)=
2
1, f(0)= 0, f(1)= -
2
1
Entonces el máximo absoluto de f en [-2,3] es f(3)=2
En los puntos a, c, e hay máximos relativos. En los puntos b, d, r hay mínimos relativos
Teorema 3. CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA PARA LA DETERMINACION DE EXTREMOS LOCALES
Sea x0 un punto crítico de y=f(x). 1. Si f’(x) cambia de signo + a signo – en <x0- ,x0+ >, entonces f(x) tiene un máximo local en x0. 2. Si f’(x) cambia de signo - a signo + en <x0- ,x0+ >, entonces f(x) tiene un mínimo local en x0. 3. Si f’(x) no cambia de signo en <x0- ,x0+ >, entonces f(x) no tiene extremo local en x0.
f/(x)>0 f/(x)<0 f/(x)<0 f/(x)>0
Fig. 14 Criterio de la primera derivada para hallar extremos locales
Ejemplo 3 Determine los extremos locales de f(x)= 2x2 + 8x + 5.
Solución
Hallamos primero f’(x)= 4x+8
Resolver f’(x)= 0 = 4x + 8 x = -2
Analizamos el signo de la derivada alrededor del punto crítico: x=-2:
- + -2
Entonces f(x) tiene un mínimo local en x = -2 y es f(-2)=-3. (Fig. 15)
Fig. 15
Ejemplo 4 Determine los extremos locales de f(x)= x2ex.