Introduccin
2006Espiral de Fibonacci (2006)La imagen representa el
desarrollo de la espiral de Fibonacci utilizando al tomo como
inicio y al Universo como la representacin del infinito. Esta
espiral pasa por los distintos estadios de la complejidad
universal: tomo, organismo multicelular, girasol, el hombre, el
planeta Tierra y el Universo.Ilustracin: Rogelio Chovet
Fascculo 1 Introduccin
2
Nuevamente ponemos en tus manos, amigo lector, joven estudiante,
respetado educador, un material de estudio cuidadosamente elaborado
que, estamos seguros, se convertir en una herramienta til para una
mejor comprensin y dominio de los conceptos y tcnicas propias de la
matemtica. Matemtica Maravillosa, como hemos titulado la coleccin
que hoy iniciamos, est particularmente dirigida a los estudiantes
de los ltimos aos del bachillerato, educacin tcnica y
preuniversitaria. En esta obra que presentaremos en 30 fascculos se
aborda la matemtica de las formas y las transformaciones a travs de
temas tales como: polgonos y poliedros, trigonometra, cnicas y
cuadrticas, matrices, fractales y para cerrar la coleccin
disfrutarn de unos fascculos finales que vinculan la matemtica con
las artes, la arquitectura y la ingeniera. Como en las colecciones
anteriores, Matemticas para todos y El mundo de la matemtica, donde
se expusieron los contenidos propios de la educacin bsica y media,
en esta obra sus autores, luego de un arduo trabajo, han volcado lo
mejor de sus talentos, formacin y experiencia y han puesto especial
cuidado en presentar los temas tratados de una manera sencilla,
atractiva y motivante, con profusin de imgenes y grficos que
ilustran los diversos conceptos desarrollados, relacionndolos
permanentemente con hechos de la vida cotidiana y estableciendo
numerosas conexiones entre esta importante disciplina y otras reas
del conocimiento tales como: fsica, qumica, geografa, economa,
entre otras, lo cual le imprime a estas colecciones un carcter
decididamente innovador. Empresas Polar, de la mano con su fundacin
y el decidido apoyo del diario ltimas Noticias, harn posible que
cada martes, mircoles y jueves, durante los prximos meses, llegue
gratuitamente Matemtica Maravillosa a cientos de miles de hogares
venezolanos trayendo luces para todos. Impulsados por nuestra fe en
el porvenir, desde Fundacin Polar seguiremos aportando soluciones.
Leonor Gimnez de Mendoza
Fascculo 1 Introduccin
3
Matemtica Maravillosa concluye la coleccin de tres volmenes
cuyos dos primeros se publicaron en los aos 2004 y 2005 y llevan
por ttulo, respectivamente, Matemtica para todos y El mundo de la
matemtica. Esta triloga constituye una unidad dentro de la
multiplicidad de temas presentados, abarcando desde el nivel de la
tercera etapa de la educacin bsica hasta el primer semestre
universitario y recorriendo el espectro de una variedad temtica
integrada por contenidos de aritmtica, lgebra, geometra, medidas,
trigonometra, grficos, curvas y superficies, estadstica y
probabilidades, llegando hasta temas ms recientes como los cdigos,
los fractales, los splines, los modelos matemticos, y ciertos
aspectos de estadstica utilizados actualmente como tallos, hojas y
cajas, los cuales impregnan el dinamismo de la matemtica y
suministran una caracterstica de su vitalidad. Esta tercera
coleccin de fascculos, Matemtica Maravillosa, se orienta bsicamente
hacia los alumnos y docentes de la educacin media, diversificada y
profesional, y los del primer semestre universitario. Asimismo,
para aquellos bachilleres en ciencias, profesionales y tcnicos que
cursaron algunas asignaturas de matemtica y quisieran revisar
ciertos contenidos de una manera actualizada y vinculada a diversas
disciplinas como la de ellos mismos. Ha sido un esfuerzo de trabajo
sostenido durante ms de cuatro aos de un equipo multidisciplinario
de profesionales (matemticos, docentes de matemtica de educacin
bsica y media diversificada, especialistas en educacin matemtica,
especialistas de lenguaje, fsicos, estadsticos y diseadores) que,
bajo el patrocinio de la Fundacin Polar y con el apoyo para su
publicacin del diario ltimas Noticias, han permitido alcanzar la
meta de produccin de esta obra que en su totalidad cubre ms de 600
pginas.
Fascculo 1 Introduccin
4
A travs de toda la obra los temas se presentan en una forma
sencilla, prestando atencin especial al uso de imgenes y grficas
que ilustran los diversos conceptos y temas desarrollados. Estos
temas cubren parte de la matemtica que figura en los programas
oficiales de los niveles educativos en referencia, pero son
expuestos de una forma ms atractiva a lo cotidiano del aula puesto
que incluyen diversas secciones, a saber: reseas histricas,
situaciones interesantes, retos, tengo que pensarlo, juegos, ayer y
hoy, ventana didctica y orientaciones metodolgicas, informacin
actualizada de libros y pginas web, y numerosas conexiones de la
matemtica con otras reas: arquitectura, ingeniera, artes, medicina,
geografa, bisbol, poblaciones, economa, qumica, fsica, entre otras,
que usualmente no se contemplan en esos programas de estudio. Tanto
el equipo de redaccin y diseo de los fascculos como los
patrocinantes: Empresas Polar, Fundacin Polar y ltimas Noticias,
aspiran que esta publicacin y la coleccin completa, contribuyan a
refrescar y aumentar el caudal cultural de los habitantes de
nuestro pas en cuanto a la ciencia matemtica y sus vinculaciones
con una vasta gama de otras disciplinas y, por otra parte,
favorezcan y mejoren el proceso de enseanzaaprendizaje. La coleccin
de los tres volmenes se propuso ser un canal de divulgacin de la
matemtica para un pblico amplio, escrito de una manera actualizada
y de fcil entendimiento. Esperamos haber alcanzado dicha meta, pues
ello incide positivamente en mejorar la percepcin que puedan tener
los ciudadanos de la matemtica y a acrecentar su importancia para
el desarrollo de la sociedad.
Fascculo 1 Introduccin
5
El mayor porcentaje de los temas desarrollados en estos
fascculos es de geometra o estn vinculados con esta rama de la
matemtica. Igualmente, incluye trigonometra la cual aborda aspectos
geomtricos sobre ngulos y lados de un tringulo. Asimismo, en los
contenidos sobre matrices se ha puesto especial atencin a las
transformaciones geomtricas en un plano y en el espacio, y en los
ltimos fascculos que relacionan la matemtica con las artes y la
arquitectura, adems de las vinculaciones geomtricas se ha
desarrollado el tema de construcciones con regla y comps y de
perspectiva. En este sentido podemos afirmar que, de manera
general, es una coleccin sobre La matemtica de las formas y sus
transformaciones. Los distintos temas se agrupan en los ttulos que
se describen a continuacin.
POLGONOS Y POLIEDROSIniciando por los polgonos regulares
convexos y estrellados, que habamos tratado brevemente en Matemtica
para todos, especialmente lo referido a los tringulos, ahora se
insiste en sus conexiones con las artes, la arquitectura, la
biologa y la qumica, abordando el tpico de teselaciones con
mosaicos regulares, mosaicos semirregulares, mosaicos de Escher y
teselaciones de Penrose. Esto ltimo sirve de introduccin a los
cuasicristales. De aqu pasamos a la dimensin tres, extendindonos
hasta la cuarta dimensin y utilizando tanto el lenguaje de
coordenadas como el de grados de libertad. Desarrollamos lo
referente a los poliedros regulares convexos y estrellados e,
igualmente, sus vinculaciones con las artes, la arquitectura y la
ingeniera, y con la qumica al abordar lo relativo a los fulerenos y
los nanotubos. En Matemtica para todos ya se haba iniciado el
tratamiento de este tema. Al pasar a la cuarta dimensin nos
referimos previamente al famoso libro de Edwin A. Abbot Flatland. A
Romance of Many Dimensions (Planilandia. Un romance de muchas
dimensiones, 1884) que nos sirve de introduccin al tema, en donde
se estudia especialmente el hipercubo mostrando algunas de sus
aplicaciones.
TRIGONOMETRALa trigonometra es una rama de la matemtica que
estudia las relaciones de ngulos con conceptos geomtricos. Adems de
las funciones definidas sobre los ngulos, se tienen las funciones
trigonomtricas definidas sobre conjuntos de nmeros reales, donde la
vinculacin entre ambas est dada por la medida de ngulos. La
trigonometra de ngulos tiene importancia especial en la astronoma,
la geodesia, la geografa, la navegacin, las construcciones civiles,
entre otras. Las funciones trigonomtricas de nmeros reales son
utilizadas en el clculo infinitesimal y en los fenmenos
oscilatorios y peridicos.
Fascculo 1 Introduccin
6
Los fascculos dedicados a trigonometra contemplan los siguientes
tpicos en cuanto a la trigonometra de ngulos: ngulos y medida de
ngulos; las funciones trigonomtricas de ngulos, la identidad
fundamental sen2 + cos2 = 1 y su equivalencia con el teorema de
Pitgoras; la ley de los senos y la ley del coseno, y, finalmente,
algunos aspectos de la geometra de la esfera y las coordenadas
geogrficas. Luego se estudian las funciones trigonomtricas con
dominio en un y sus grficas respectivas. Se aplican las funciones
subconjunto trigonomtricas a las artes (construccin de Durero) y a
la msica (con las aproximaciones de Fourier). Asimismo, para honrar
a un grupo de venezolanos que lleg hasta el Polo Norte, se
desarrolla una aplicacin referida a esta excursin.
CNICAS Y CUDRICASLa geometra del espacio ha sido un tema
descuidado en los programas instruccionales previos a la educacin
universitaria. La visualizacin de figuras en el espacio desde
diferentes ngulos, sus secciones con planos y sus propiedades y
caractersticas, es un tema que presenta dificultades de aprendizaje
para estudiantes tanto a nivel de la educacin secundaria como la
superior. Por ello se incluy el estudio de las cudricas como lo
anlogo de las cnicas en un plano, con el fin de explorar un tema
geomtrico en el espacio, adems de su importancia en varias reas de
la matemtica y de la arquitectura e ingeniera. Definimos las cnicas
como lugares geomtricos de puntos de un plano as como secciones
planas de una superficie cnica. Presentamos diversas aplicaciones
de las cnicas, desde las tradicionales de rbitas elpticas de los
planetas al moverse alrededor del Sol y los rayos de luz en una
linterna, y otras vinculantes con la arquitectura y la ingeniera.
Incluimos otras curvas como la catenaria y la cicloide. El espacio
lo iniciamos presentando las rectas y planos y sus posiciones
relativas. Luego, al pasar del plano al espacio mediante rotacin de
curvas planas en torno de ejes, se obtienen superficies cudricas de
revolucin: esferas, cilindros, elipsoides, paraboloides e
hiperboloides. Las cudricas son superficies muy utilizadas en la
arquitectura y la ingeniera, desde las clsicas como los conos, los
cilindros (que son cudricas regladas) y las cpulas esfricas, hasta
las otras cudricas regladas como los hiperboloides de una hoja y el
paraboloide hiperblico. De esto se muestran diversos ejemplos de
obras civiles.
MATRICES Y TRANSFORMACIONESLas matrices (cuadros rectangulares
de nmeros) constituyen una herramienta fundamental en el
tratamiento de los problemas lineales. De hecho, su estudio es
parte del lgebra Lineal. Mediante las mismas se pueden estudiar las
transformaciones geomtricas del plano y del espacio: rotaciones,
reflexiones, homotecias, lo cual las vincula con la geometra.
Asimismo, cabe destacar que los sistemas lineales de ecuaciones se
formulan y estudian en trminos matriciales.
Fascculo 1 Introduccin
7
El desarrollo del tema se inicia con algunas situaciones
conducentes a plantear matrices y sigue con sus operaciones (adicin
y sustraccin, producto por un nmero, multiplicacin) y algunas
matrices especiales. Se expresan diversas transformaciones
geomtricas del plano y del espacio con matrices y se estudian los
cuadrados mgicos y los cdigos como aplicaciones del lgebra
matricial.
FRACTALESEste es un tema novedoso para los estudiantes y
docentes, y en general para el pblico, puesto que no est incluido
en los programas de la educacin secundaria ni en el primer ao
universitario y, por lo tanto, gran parte de los lectores que habrn
escuchado tal nombre no lo conocen, pues no tuvieron oportunidad de
estudiarlo. Sin embargo, ya en El mundo de la matemtica se
motivaron las sucesiones con el fractal de Sierpinski y en el Tengo
que pensarlo correspondiente se propuso el fractal copo de nieve de
von Koch. La geometra fractal es la geometra de la naturaleza. Fue
creada por Benot Mandelbrot en 1975 y desde entonces se ha
desarrollado vastamente, pasando a ser una teora matemtica con
numerosas aplicaciones a otras ciencias e inclusive es utilizada en
las artes. Presentamos ejemplos diversos de fractales: fractal de
Sierpinski, fractal H, el polvo de Cantor, y se define la dimensin
fractal que es, junto con la autosemejanza, la caracterstica clave
de los fractales. Adems de los fractales en dos dimensiones, se
construyen algunos en tres dimensiones y se dan ejemplos de
fractales en obras de arte.
MATEMTICA, ARTE Y ARQUITECTURAA lo largo de todos los fascculos
que componen los tres volmenes de la coleccin de matemtica, se han
incluido, de manera sistemtica, conexiones de los temas tratados
con las artes (pintura, escultura y msica) y la arquitectura e
ingeniera. En el cierre de la coleccin presentamos una visin
unificadora en cuanto a esas conexiones y una comparacin entre la
evolucin de la matemtica y la de las artes (bsicamente pintura y
escultura), resaltndolas con pensamientos de artistas venezolanos
como Jess Soto, Mercedes Pardo y Manuel Quintana Castillo.
Asimismo, dedicamos un fascculo a construcciones geomtricas; entre
stas a los polgonos regulares y a la perspectiva, puesto que como
se observa a travs de la coleccin, ellas tiene incidencia en arte,
arquitectura e ingeniera. Este campo de relaciones fructferas
matemtica-arte-arquitectura se ha desarrollado a nivel
internacional con nfasis durante la segunda mitad del siglo XX, y
mayor mpetu a partir de los aos setenta, lo que se refleja en
congresos y seminarios internacionales, sociedades y revistas
creadas al respecto y publicacin de libros. Se espera que dicho
campo se convierta en un factor til para el proceso de
enseanza-aprendizaje de la matemtica, camino donde todava hay
bastante por realizar y profundizar.
Fascculo 1 Introduccin
8
Polgonos y poliedros
Fotografa del enrejado de la pirmide de Pei que es la cubierta
de la entrada del Museo del Louvre en Pars, Francia.
Si no puedo dibujarlo es que no lo comprendoAlbert Einstein
(Alemania, 1879-1955).
Tributo a Einstein Bruni Sabian. Artista brasilea.
2
Defiende tu derecho a pensar, porque incluso pensar en forma
errnea es mejor que no pensarHipatia de Alejandra (Egipto, 370-415
d.C.)
El mundo de las formas poligonales y polidricasLa geometra
euclidiana establece como elementos bsicos puntos, rectas, planos y
el espacio. Estudia las diferentes figuras que se pueden construir
con esos elementos, con parte de ellos y con otras figuras como
cnicas, cudricas, etc. As, con semirrectas y segmentos como partes
de rectas se comienzan a construir ngulos, polgonos y
poliedros.Punto. Dimensin 0: no tiene largo, ancho ni altura Recta.
Dimensin 1: tiene largo, no tiene ancho ni altura
El mundo de los polgonosLo anterior nos indica que los polgonos
(poli=muchos y gonos=ngulo) son figuras de muchos ngulos, pero es
necesario establecer que los polgonos se definen de tal forma que
el nmero de ngulos, de lados y vrtices son iguales. Una definicin
de polgono es: una figura plana, cerrada, formada por segmentos que
se unen slo en sus extremos y en donde dos segmentos adyacentes no
son colineales.Plano. Dimensin 2: tiene largo y ancho, no tiene
altura
Espacio. Dimensin 3: tiene largo, ancho y altura
Estos son polgonos
Estos no son polgonos
Lado
Un segmento, diferente a los lados, que une a dos vrtices, se
denomina diagonal del polgono. La unin de dos lados consecutivos
del polgono determina un ngulo del mismo llamado ngulo interior del
polgono. Un lado y la prolongacin del otro determinan un ngulo
exterior.
Vrtice
Dngulo interior
ia
go
na
l
ngulo exterior
Fascculo 2 Polgonos y poliedros
10
Clasificacin de polgonosUna clasificacin de los polgonos es:
Polgonos
ConvexosP
No convexos (cncavos)P P Q Q Q
P
Q
Se caracterizan porque si elegimos en el polgono dos puntos P y
Q cualesquiera, el segmento PQ tambin est en el polgono. Otra
caracterizacin de los polgonos convexos es que todos sus ngulos
internos miden menos de 180.
Se caracterizan porque se puede elegir dos puntos P y Q
cualesquiera en el polgono, pero el segmento PQ no est
completamente contenido en el polgono. Otra caracterizacin es que
al menos uno de sus ngulos internos mide ms de 180.
Regulares
No regulares
Equilteros (lados iguales)
No equilteros
Se caracterizan porque son polgonos equingulos (todos sus ngulos
son iguales) y equilteros (todos sus lados son iguales) A
Se obtienen al dividir una circunferencia en partes iguales y
luego al unir los puntos de divisin de dos en dos, de tres en tres,
puede resultar un poligono regular estrellado
Decide: cules de las siguientes figuras son polgonos? Cules son
convexos? Cules son equingulos? Cules son equilteros? Cules son
regulares? y cules son no regulares? Explica en cada caso el porqu
de tu decisin. Fascculo 2 Polgonos y poliedros
B
C
D
E
F
G
H
11
El mundo de los polgonos regularesLos polgonos regulares son
aquellos que tienen todos sus lados iguales y todos sus ngulos
iguales. Por ello un polgono regular es inscrito en una
circunferencia (todos sus vrtices son puntos de la circunferencia)
y es circunscrito en una circunferencia (todos sus lados son
tangentes a una circunferencia). Se denomina ngulo central de un
polgono regular el ngulo que tiene de vrtice el centro del polgono
y sus lados pasan por dos vrtices consecutivos. Cada ngulo central
de un tringulo equiltero mide 360=120. 3 Cada ngulo central del
pentgono regular mide 360 =72. 5 Cunto mide cada ngulo central de
un hexgono regular? El de un octgono regular? En general, cunto
mide cada ngulo central de un polgono regular de n lados? Se
denomina apotema de un polgono regular al segmento determinado por
el centro del polgono y el punto medio de un lado del polgono. La
medida de un ngulo interior de un polgono regular es igual a 180
menos la medida del ngulo central. Por qu? El ngulo interior de un
pentgono mide 108. Cunto mide el ngulo interior de un hexgono
regular y el de un octgono regular? En general, cunto mide cada
ngulo interior de un polgono regular de n lados? A partir de un
polgono regular de n lados se pueden construir polgonos estrellados
o formas estrelladas (que son no convexas) y se clasifican en dos
categoras: polgonos estrellados y polgonos falsos estrellados. Para
construir una forma estrellada partimos de un polgono regular de n
vrtices. Enumeramos todos los vrtices. Partimos de uno de stos, por
ejemplo del nmero 1, unindolos mediante segmentos de la siguiente
manera: El vrtice 1 lo unimos con el 3, luego el 3 con el 5, el 5
con el 7 y as sucesivamente de dos en dos (p=2). Podemos saltar de
tres en tres, 1 - 4 - 7 .... (p=3), etc. Si al final se han unido
todos los vrtices y se llega al vrtice inicial se obtiene una
figura estrellada (polgono estrellado).ngulo central 72Apotema
Hexgono regular
Octgono regular
ngulo interno 108
n=6 2 = 180- 360 = 6 180 (6-2) = 2 x180 6 3
360/n
1
5
2
4 Pentagrama 1 - 3 - 5 - 2 - 4 - 1 (p=2)
3
1 6
1 2
2
Cuando resulta ms de un polgono ste se llama polgono compuesto o
falso estrellado.
8
3
5 4
3
7
4
6
5
Fascculo 2 Polgonos y poliedros
12
Hexagrama Falso estrellado 1-3-5-1 2-4-6-2
Falso estrellado 1-3-5-7-1 2-4-6-8-2
Otro ejemplo de polgonos estrelladosA partir de un dodecgono
regular (n=12), el cual se puede construir por duplicacin de un
hexgono regular o, tambin, utilizando un transportador y marcando
sobre la circunferencia un ngulo central de 360/12 = 30. Tomar un
comps y con esta abertura trazar los vrtices del dodecgono.
Numeramos las marcas del 1 al 12.1 12 2360 =30 12
30
11
3 p=5
1-6-11-4-9-2-7-12-5-10-3-8-1 Resulta un dodecgono estrellado10
4
9
5
p=2 1-3-5-7-9-11-1 2-4-6-8-10-12-2 Resultan dos hexgonos por lo
que es un estrellado compuesto o falso estrellado1 12 2
8 7 1 12
6
p=3 1-4-7-10-1 2-5-8-11-2 3-6-9-12-32
Resultan tres cuadrados por lo que es un falso estrellado
11
3
11
3
10
4
10
4
9
5
9
5
8 7
6
8 7
6
Cuntos octgonos estrellados hay? Cuantos undecgonos estrellados
hay?Sugerencia: Determina los nmeros primos con 8 menores que 4 y
aquellos primos con 11 y menores a 5.
Fascculo 2 Polgonos y poliedros
13
El mundo de los cuadrilteros concclicosTodo tringulo es inscrito
en una circunferencia de centro el punto de corte de las
mediatrices de los lados del tringulo y es circunscrito en una
circunferencia de centro el punto de corte de las bisectrices de
los ngulos internos del tringulo. Adems, todos los polgonos
regulares satisfacen las mismas propiedades. En el caso especial de
los cuadrilteros, existen los que se pueden inscribir en una
circunferencia denominados concclicos o inscriptibles, como los
cuadrados (polgonos regulares de 4 lados) y los rectngulos. Adems
de los rectngulos, hay otros cuadrilteros no regulares que son
concclicos. Mostramos varios ejemplos de estos cuadrilteros.O
O
Una caracterizacin de los cuadrilteros concclicos es la
siguiente: Un cuadriltero es concclico s y solo s tiene dos ngulos
opuestos suplementarios. Veamos porqu si un cuadriltero es
concclico entonces tiene dos ngulos opuestos suplementarios. El
cuadriltero ABCD es concclico. Los ngulos ADC y ABC son ngulos
inscritos en la circunferencia por ello m ( ADC) es la mitad de la
medida del arco ABC (en fucsia) y m ( ABC) es la mitad del arco ADC
(en azul). Pero la medida del arco ABC ms la medida del arco ADC es
360, luego m( ADC) + m( ABC) = 180. Por tanto, los ngulos ADC y
ABC, opuestos en el cuadriltero concclico, son suplementarios. De
igual forma se demuestra que los ngulos BAD y BCD son
suplementarios. Observa en la figura los ngulos del cuadriltero y
los diferentes ngulos que se forman al trazar las diagonales del
cuadriltero. Se establece que si el cuadriltero es concclico
entonces se cumple cada una de las siguientes relaciones:i) m (
BAD) + m( BCD)=180 ii) m( ABC) + m( ADC)=180
D
C A O
B
D d w A x a b y B u c C O
iii) a = w iv) b = u v) c = d vi) x = y Y recprocamente, si
alguna de las relaciones es verdadera el cuadriltero es
concclico.Fascculo 2 Polgonos y poliedros
14
Los polgonos en el diseo, las artes y la arquitecturaDesde
tiempos remotos los polgonos se han utilizado en la pintura, en la
arquitectura y en la decoracin de monumentos, adems de su sentido
mstico-religioso. A los pitagricos, conocedores del dodecaedro que
representa El Universo, con sus doce caras pentagonales, les
fascinaba este poliedro por su relacin con el pentagrama o estrella
de cinco puntas que era el smbolo mstico y de identificacin de esa
hermandad, lo que a su vez est relacionado con el nmero de oro. ste
fue tambin el signo cabalstico con el que el Fausto del gran
escritor alemn Gethe (1749-1832) atrap a Mefistfeles. Diseo de un
teatro romano realizado por Vitruvio. Se observa una circunferencia
para representar el permetro interior y las filas de asientos. Se
inscriben cuatro tringulos equilteros que reproducen el polgono
estrellado compuesto de 12 lados (n=12 y p=4). Los astrlogos
utilizan desde tiempos inmemoriales una figura semejante a sta para
representar los 12 signos del zodaco. En el diseo de edificaciones
como templos, monumentos, edificios, tambin es comn encontrar
polgonos.
El gran genio del Renacimiento italiano, Leonardo Da Vinci
(1452-1519), en sus planos para construir iglesias utilizaba los
polgonos regulares como una parte esencial del diseo. All vemos una
planta octogonal en la que se agregan capillas a la iglesia sin que
se afecte la simetra del edificio principal.
En la circunferencia externa del borde del teatro se situaron
las columnas.
Fascculo 2 Polgonos y poliedros
15
Muchos logotipos de fbricas o marcas comerciales se hacen sobre
la base de polgonos, como mostramos a continuacin con Mitsubishi
Motors y Chrysler Corporation.
El eminente arquitecto italiano de origen suizo, Francesco
Castelli, conocido como Borromini (1599-1667), uno de los maestros
del barroco italiano, igualmente se vala de los polgonos.
Observemos, a la derecha, el esquema geomtrico de la planta de San
Ivo alla Sapienza, Roma (1650), que se refleja en su parte
superior. La decoracin, el diseo artstico, las artes en general,
tienen en los polgonos un gran aliado. Es innumerable la utilizacin
de los polgonos en estos campos, de los que suministramos unas
pocas muestras en estos fascculos.
Composicin de Vctor Vasarely (Hungra, 19081997). Observa los
cuadrados y los rombos, que al mantener fija la vista crean una
sensacin de movimiento.Vasarely es uno de los maestros del arte
cintico virtual. Mediante trucos perceptivos se observa un
movimiento debido a los ngulos de enfoque y al desplazamiento del
observador.
En la fotografa observamos el famoso Pentgono sede del
departamento de defensa de los Estados Unidos. ste es el edificio
ms grande del mundo con forma de pentgono, consistente de cinco
anillos consecutivos de cinco plantas cada uno.
Fascculo 2 Polgonos y poliedros
16
Polgonos y poliedros
Rojo central (1980).El cientfico se ocupa de demostrar hechos,
para comprobarlos, las mentes ms estrictas utilizan ecuaciones
matemticas, luego vienen otros hombres, que aplican estos
conocimientos y los traducen en objetos concretos con aplicabilidad
prctica. El artista por su parte demuestra la otra realidad del
universo, aquella que no es tangible, aquella que no se puede
demostrar a travs de esas frmulas matemticas: es la realidad
sensible, son dos formas de explorar, descubrir y explicar el
universo, los cuales normalmente marchan paralelas" Jess Rafael
Soto (Venezuela, 1923 -2005).
El mundo de los poliedrosPasamos del mundo de los polgonos
(figuras planas o bidimensionales) al mundo de los poliedros
(cuerpos en el espacio tridimensional). En el proceso de fabricacin
de piezas y en la construccin de edificios tiene especial
importancia la interpretacin del plano de la pieza o del edificio,
para luego construir el modelo, rplica de la pieza que se producir
posteriormente. As tambin construimos cuerpos a partir de sus
respectivas redes o planos, lo que nos permite proyectar edificios
y estructuras de uso en la construccin y el diseo. Las figuras
representadas son cuerpos geomtricos en el espacio, limitados por
un nmero finito de superficies planas. Estos cuerpos reciben el
nombre de poliedros. Las superficies planas en cuestin son polgonos
y se denominan caras del poliedro.
Vrtice Observa cualquiera de los poliedros que estn dibujados y
algunos de sus elementos caractersticos: a) Cmo definiras cada uno
de sus elementos? b) Cuntas caras, vrtices y aristas tiene? c)
Cuntas caras, como mnimo, habr que juntar en un vrtice? d) Cunto
pueden sumar, como mximo, los ngulos de las caras que concurren en
un mismo vrtice? Se denomina orden del vrtice al nmero de caras que
concurren a un mismo vrtice. Este poliedro tiene orden del vrtice
3.
Cara
Este es un poliedro que tiene 14 vrtices, 21 aristas y nueve
caras.
Este cuerpo geomtrico no es un poliedro.
Por qu el cuerpo de la derecha no es un poliedro?Fascculo 3
Polgonos y poliedros
18
Clasificacin de poliedrosUna clasificacin de los poliedros es la
siguiente:
Poliedros
Convexos
No convexos (cncavos)
Se caracterizan porque cada uno de ellos se puede apoyar en una
superficie plana sobre cada una de sus caras.
Se caracterizan porque cada uno de ellos no se puede apoyar en
una superficie plana sobre alguna de sus caras.
Regulares (slo hay 5)
No regulares
Regulares estrellados (hay 4)
No regulares
Se caracterizan porque todas sus caras son polgonos regulares
congruentes y en cada vrtice concurre el mismo nmero de caras.
Se caracterizan porque son poliedros con caras no congruentes y
en el caso de la segunda figura, aunque sus caras son congruentes
no tienen el mismo nmero de caras en cada vrtice.
Decide: cules de los siguientes cuerpos son poliedros? Cules son
convexos? Cules son cncavos? Cules son regulares? y cules son
irregulares? Explica en cada caso el porqu de tu decisin.
A
B
C
D
E
F
G
H
Fascculo 3 Polgonos y poliedros
19
El mundo de los poliedros regularesLos poliedros regulares
convexos son conocidos con el nombre de slidos platnicos en honor
al filosofo griego Platn (428-347 a.C.) que los cita en el Timeo,
pero lo cierto es que no se sabe en que poca llegaron a conocerse.
Algunos investigadores asignan el cubo, el tetraedro y el
dodecaedro a Pitgoras (siglo IV a.C.) y el octaedro e icosaedro a
Teeteto (415-369 a.C.). Para Platn los elementos ltimos de la
materia son los poliedros regulares, asignando el fuego al
tetraedro (el fuego tiene la forma del tetraedro, pues es el
elemento mas pequeo, ligero, mvil y agudo), la tierra al cubo (el
poliedro mas slido de los cinco), el aire al octaedro (para los
griegos el aire, de tamao, peso y fluidez, en cierto modo
intermedios, se compone de octaedros) y el agua al icosaedro (el
agua, el ms mvil y fluido de los elementos, debe tener como forma
propia o "semilla , el icosaedro, el slido ms cercano a la esfera
y, por tanto, el que con mayor facilidad puede rodar), mientras que
al dodecaedro le asign el Universo. Como los griegos ya tenan
asignados los cuatro elementos dejaban sin pareja al dodecaedro,
por lo que lo relacionaron con el Universo como conjuncin de los
otros cuatro. La forma del dodecaedro es la que los dioses emplean
para disponer las constelaciones en los cielos. Dios lo utiliz para
todo cuando dibuj el orden final. En cada uno de los poliedros
abajo representados cuenta el nmero de vrtices V, el nmero de
aristas A y el nmero de caras C. Calcula V-A+C. Qu nmero se
obtiene? La relacin resultante fue demostrada por Euler.Poliedro
regular Hexaedro regular o cubo Tetraedro regular Dodecaedro
regularPlatn (Grecia 428-347 a.C.)
Tetraedro (fuego)
Observa los cinco poliedros regulares, las caras idnticas que se
encuentran en cada vrtice y el elemento que representan.ro ed ta e)
Oc (air
Icos a (aguedro a)
o Cubra) (tier
Icosaedro regular
Modelo
Caras Vrtices Aristas Aristas por vrtice
6 cuadrados 8 12 3
4 tringulos equilteros 4 6 3
12 pentgonos regulares 20 30 3
20 tringulos equilteros 12 30 5
Fascculo 3 Polgonos y poliedros
20
Do (u de niv cae er dr so o )
Octaedro regular
8 tringulos equilteros 6 12 4
Euclides (Grecia, s. III a.C.) demostr, de forma algebraica,
porqu slo existen cinco tipos de poliedros regulares convexos.
Supongamos que se pueda construir un poliedro regular convexo cuyas
caras sean polgonos regulares de n lados. Luego, el ngulo de cada
vrtice del polgono mide (n-2) x 180. n Si el orden del vrtice de un
poliedro regular es p, entonces la suma de los ngulos de un vrtice
del poliedro es: p [ (n-2) x 180]. Pero esta suma tiene que ser
menor que 360, n porque si fuera igual a 360 las caras estaran en
un plano y no se tendra una figura slida. Luego: p[ (n-2) x 180]
< 360 n p[ (n-2) ] < 2 p(n-2) < 2n n pn -2p -2n < 0 pn
- 2p - 2n +4 < 4 p (n-2) - 2 (n-2) < 4 (p-2)(n-2) < 4 Como
cada cara de un poliedro regular debe tener ms de dos lados y ms de
dos caras deben concurrir en cada vrtice, vemos que p y n deben ser
mayores que 2. Las nicas soluciones (n,p) a esta desigualdad son
(3,3), (3,4), (3,5) (4,3) y (5,3). La tabla a la derecha justifica
lo anterior.
360/n
2 = 180- 360 = (n-2)180 n n
n 3 3 3 4 5
p 3 4 5 3 3
n-2 p-2 1 1 1 2 1 3 2 1 3 1
(n-2)(p-2) 1 2 3 2 3
Figura Tetraedro Octaedro Icosaedro Cubo Dodecaedro
O
Proyeccin de SchlegelA B F
Los slidos platnicos pueden adems ser proyectados sobre un
plano. Esta proyeccin se obtiene eligiendo una cara y proyectando
los lados del poliedro platnico desde un punto O por encima del
centro de esta cara. La figura que se obtiene se llama diagrama de
Schlegel. Tambin se pueden obtener si rompemos una cara y estiramos
las restantes caras sobre la pared, sin romper las aristas. Observa
el diagrama de Schlegel del cubo. Parte de las caractersticas del
poliedro (como la conexin entre vrtices y lados) se preserva en su
correspondiente diagrama de Schlegel. Esto facilita el estudio de
determinados problemas, tales como recorrido y coloracin. En el
caso de los slidos platnicos estos diagramas son nicos (no depende
de la cara desde la que se proyecte). Tambin se pueden hacer los
desarrollos planos tal como se ensean en Educacin Bsica (1 y 2
etapas) adems de los diagramas de Schlegel de los poliedros
platnicos. Estos desarrollos los presentamos en la pgina
siguiente.
E
A D C B
H E A
G
F B
D
C
H
G
Fascculo 3 Polgonos y poliedros
21E F
Vista Hexaedro regular o cubo
Desarrollo plano
Diagrama de Schlegel
Tetraedro
Dodecaedro
Icosaedro
Octaedro
Como hemos visto slo existen cinco poliedros regulares convexos.
Si eliminamos la condicin de ser convexo tenemos cuatro ms. stos
son conocidos como los poliedros de KeplerPoinsot o poliedros
regulares estrellados. Johannes Kepler (Holanda, 1571-1630), en
1619, se dio cuenta que existan dos maneras diferentes de pegar 12
pentagramas (pentgonos estrellados) a lo largo de sus aristas para
obtener un slido regular. Si 5 de ellos se unen en un slo vrtice,
obtendremos el pequeo dodecaedro estrellado que tiene doce vrtices.
Si son 3 pentagramas los que se encuentran en cada vrtice,
obtenemos el gran dodecaedro estrellado que tiene 20
vrtices.Fascculo 3 Polgonos y poliedros
22
Pequeo dodecaedro estrelladoPosteriormente, en 1809, Louis
Poinsot (Francia, 1777-1859) descubri los otros dos poliedros no
convexos regulares, el gran icosaedro y el pequeo dodecaedro.
Gran dodecaedro estrellado
Pequeo dodecaedro
Gran icosaedro
Universo Icosaedro 2, 1980.Material: acero inoxidable.
Icosaedro stellato, 1981.
Materiales: acero inoxidable y cemento.
Fascculo 3 Polgonos y poliedros
23
El escultor Attilio Pierelli (Italia, 1924- ) utiliz, en la
dcada de los 80, figuras como el dodecaedro, el icosaedro, el
hipercubo y otras para realizar sus obras.Fuente:
http://www.pierelli.it
Pero, existen otros tipos de poliedros?S, entre estos se
encuentran los poliedros semirregulares que son 17. Un poliedro
convexo es semirregular si sus caras son polgonos regulares de dos
o tres tipos. Entre estos slidos estn los arquimedianos, ya que se
creen fueron descubiertos por Arqumedes, aunque no se tiene ninguna
prueba documental que lo acredite. Existen 13 slidos arquimedianos.
Siete de ellos se obtienen por truncamiento de los slidos
platnicos, es decir, por cortes de esquinas, accin que se puede
ejecutar de varias maneras. As, los denominados con el nombre del
slido platnico de origen ms el trmino truncado, se obtienen al
dividir cada arista en tres partes y cortar por estas divisiones.
Si dividimos la arista a la mitad y truncamos, slo obtenemos dos
nuevos poliedros: el cuboctaedro y el icosidodecaedro. Sus nombres
se deben al hecho de que al realizar el proceso de truncamiento que
acabamos de describir, en el caso de un cubo y un octaedro
(respectivamente, icosaedro y dodecaedro) obtenemos el mismo
poliedro. El cubo chato y el dodecaedro chato se obtienen con otro
procedimiento.
Tetraedro truncado
Cuboctaedro
Cubo truncado
Octaedro truncado
Rombocuboctaedro Cuboctaedro truncado Cubo chato Dodecaedro
chato
Icosidodecaedro
Dodecaedro truncado
Icosaedro truncado
Romboicosidodecaedro
Fascculo 3 Polgonos y poliedros
24
Icosidodecaedro truncado
Polgonos y poliedros
La disposicin de los ptalos de las flores es, frecuentemente, en
forma poligonal. Aqu tenemos una fotografa de la malva (Malva
sylvestris) que tiene simetra pentagonal. Esta planta, cuyas flores
son de color rosado o violceo, se usa para infusiones calmantes y
laxantes.
La simetra, ya sea que se defina en un sentido amplio o
restringido, es una idea por medio de la cual el hombre de todas
las pocas ha tratado de comprender y crear belleza, el orden y la
perfeccin.H. Weyl, La Simetra, p. 5.
4
Los polgonos y los poliedros en las ciencias naturalesDesde la
antigedad se han estudiado los polgonos y los poliedros. Se ha
encontrado un dodecaedro en esteatita de civilizacin etrusca que
data de unos 500 aos a.C. Asimismo, hay un par de dados icosadricos
de la dinasta de los Ptolomeo que se conserva en el Museo Britnico
de Londres. Diversas formas matemticas aparecen en muchos fenmenos
naturales. Las formas poligonales y polidricas son frecuentes en la
naturaleza. Algunos esqueletos de radiolarios tienen forma
polidrica, como los aqu mostrados a la derecha; unos son un
octaedro, otros un dodecaedro y los hay con forma de icosaedro
regular. Los radiolarios son protozoos marinos que en su mayora
tienen un esqueleto formado por agujas muy finas o varillas silceas
sueltas o articuladas entre s. Miden una fraccin de milmetro de
dimetro.
Estrellas de mar: tienen sobre todo formas pentagonales
Los cristalesIgualmente encontramos los poliedros convexos en
una variedad de formas, como los cristales de sal en forma de
cubos, los diamantes naturales en forma octadrica y otras
estructuras cristalinas. A diferencia de un cristal, el vidrio es
una estructura amorfa, translcida y frgil a la temperatura
ambiente. Un cristal es la repeticin de un motivo bsico que est
compuesto de un mnimo de tomos (la malla elemental o clula
unitaria). As, el cristal est compuesto de un arreglo peridico de
bloques idnticos, que son las mallas elementales que definen la
estructura molecular interna del cristal. Pero no siempre es de
esta forma como encontramos los cristales a escala macroscpica. Por
ejemplo, los diamantes naturales se presentan como octaedros. Sin
embargo, en 1913, los cristalgrafos William H. Bragg y su hijo
Lawrence bombardearon los diamantes con rayos X y descubrieron que
la malla elemental es un cubo en donde los 8 vrtices y los centros
de las 6 caras estn ocupados por tomos de carbono y cada tomo de
carbono est ligado a sus cuatro vecinos ms prximos formando una
configuracin tetradrica. A partir de esta malla elemental se
construye todo el cristal mediante simple yuxtaposicin a s misma y
por traslacin paralela. La malla elemental tesela el espacio. La
imagen de la derecha nos muestra el ordenamiento de los iones para
formar la malla de un cristal de diamante.
Fascculo 4 Polgonos y poliedros
26
La forma externa refleja la estructura molecular interna de la
molcula de sal que es una red cbica, constituida por iones de sodio
(Na, esferas rojas) e iones de cloruro (Cl, esferas amarillas) que
se alternan en diferentes direcciones. Al intersectar planos
paralelos y observar la estructura bidimensional resulta la de un
mosaico regular con cuadrados. La forma del cristal del mineral de
hierro (pirita) al igual que la de la sal es de tipo cbica,
reflejando su estructura molecular interna. Las formas cristalinas
se estudiaron desde la poca de Kepler (s. XVII) y posteriormente, a
inicios del s. XX, se utilizaron los rayos X para su estudio
mediante diagramas de difraccin. Los mineralogistas clasificaron
esas formas en 7 sistemas (cbico, tetragonal, rmbico, triclnico,
hexagonal, rombodrico y monoclnico) y 32 grupos cristalogrficos o
clases de cristales (2D) de acuerdo con sus simetras macroscpicas.
Por ejemplo: todos los cristales poseen una simetra rotacional de
orden 4 (1/4 de vuelta o giro de 90 alrededor de un eje
privilegiado eje principal). El orden de la rotacin significa que
si la aplicamos cuatro veces consecutivas se obtiene la
transformacin identidad pues 4 90 = 360 y la figura que se rota
retoma su posicin inicial. En el cubo dibujado se han marcado ejes
de rotacin con 2-2, 3-3, 4-4, que indican, respectivamente,
rotaciones de rdenes 2, 3 y 4 (180 , 120, 90). Cada una de esas
rotaciones deja invariante el cubo (transforma el cubo en s mismo).
Se dice que son simetras rotacionales del cubo. Asimismo, el plano
que pasa por el centro del cubo y por los puntos medios de las
aristas AB y CD es un plano de simetra del cubo (simetra
especular). La simetra externa de los cristales se caracteriza
mediante planos de reflexin (simetras especulares) y ejes de
rotacin (simetras rotacionales), tal como los poliedros, pues las
formas cristalinas son formas polidricas. Los cristales son formas
muy bellas de teselacin del espacio.
Cristal de Sal
4E
F
D
C
H
G
A
B
4
Estructura molecular y cristal del cuarzo
Estructura molecular y cristal del grafito
Fascculo 14 Polgonos y poliedros
27
En las dcadas de los 80 y de los 90, se produjeron tres
descubrimientos importantes en el campo de la qumica y de la fsica,
uno de los cuales hizo cambiar la concepcin tradicional de lo que
es un cristal. Estos tres descubrimientos, en orden cronolgico,
fueron: los cuasicristales (1984), los fulerenos (1985) y los
nanotubos (1991), que han encontrado gran variedad de aplicaciones
en el mundo industrial y los mismos estn vinculados a los polgonos
y poliedros debido a sus configuraciones geomtricas.
Los cuasicristalesEn 1984, el qumico Daniel Shechtmann y sus
colaboradores Ilan Blech, John W. Cahn y Denis Gratias,
descubrieron una forma de hacer una aleacin de Aluminio (Al) con
Manganeso (Mn), la Al 6Mn, con el fin de lograr una aleacin
bastante fuerte. Cuando examinaron este cristal con rayos X, en el
diagrama de difraccin el material tena una ordenacin como la de un
cristal pero no encontraron simetras rotacionales de rdenes 3, 4 6
que son propias de los cristales. En cambio encontraron una simetra
rotacional pentagonal (de orden 5), lo que no es posible en los
cristales, pues stos nicamente pueden tener simetras rotacionales
de rdenes 2, 3, 4 6 (teorema de restriccin cristalogrfica). Cmo era
posible esto? Haba algn error? Cul era la naturaleza de este
cristal imposible? En el nterin, 1984, los fsicos Paul J.
Steinhardt y Don Levine, mediante simulacin en computador modelaron
ese cristal Al-Mn y le dieron el nombre de cuasicristal (cristal
cuasiperidico) y la aleacin respectiva se conoce como Shechtmanite.
Hoy hay cerca de cien de tales aleaciones. Algunas tienen simetras
rotacionales de orden 8, 10 12. Se tienen aleaciones como la del
V-Ni-Si (vanadio-nquel-silicio) o la del Cr-Ni-Si
(cromo-nquel-silicio). La estructura molecular interna de ese tipo
de cuasicristal produce una teselacin del plano (un embaldosado)
que tiene simetra pentagonal. Estas teselaciones (embaldosados) del
plano con simetra pentagonales haban sido descubiertas en 1973 por
el matemtico britnico Roger Penrose. Son teselaciones no peridicas
(son cuasiperidicas) como lo indicamos en la seccin de
teselaciones. Al nivel bidimensional, tal cuasicristal luce como el
embaldosado de Penrose presentado a la derecha.Patrn de difraccin
para un icosaedro cuasicristal (se muestran en blanco aquellos
puntos de mayor intensidad). Hemos marcado en rojo algunos
pentgonos de este patrn.Fuente: Levine, D. & Steinhardt, P.J.
(1984). Cuasicristales: una nueva clase de estructuras ordenadas en
Physical Review Letters, Vol 53, N 26.
Imagen de microscopio de un cuasicristal donde se puede observar
su forma pentagonal de ordenacin.
Fascculo 4 Polgonos y poliedros
28
Los fulerenosEl carbono C se encuentra en la naturaleza en dos
formas distintas: diamante y grafito. El diamante es el material ms
duro conocido, es transparente y aislante. El grafito es opaco,
conductor y se rompe fcilmente o se desmenuza. Lo utilizamos con
frecuencia en la minas de los lpices. Su estructura geomtrica es
mediante capas o planos paralelos de tomos de carbono y en cada
plano los tomos se ligan entre ellos por enlaces qumicos formando
una red con hexgonos regulares (imagen superior). El diamante
presenta un entretejido ms complejo que le da la dureza
caracterstica de ese material (imagen inferior). En 1985, los
qumicos R. F. Curl y R. E. Smalley (Universidad de Rice) y Harry
Kroto (Universidad de Sussex), vaporizaron el grafito y obtuvieron
una forma estable de la molcula de carbono conformada por 60 tomos
de carbono localizados en los vrtices de un icosaedro truncado
(poliedro arquimediano con 12 caras pentagonales y 20 caras
hexagonales), el C60 (carbono sesenta). Por esta razn se le dio el
nombre de buckminsterfulereno (la buckyball), en honor de
Buckminster Fuller, debido a su resemblanza con los domos o cpulas
geodsicas creados por Fuller. Posteriormente se ha encontrado toda
una familia de molculas, con tomos exclusivamente de carbono, que
los qumicos denominan los fulerenos pues su disposicin espacial es
parecida a las construcciones de Fuller: un fulereno es una molcula
en forma de jaula convexa con caras nicamente hexagonales y
pentagonales. Se cree que el C60 puede ser un elemento comn en el
polvo interestelar. La buckyball se sintetiza en forma slida y
tiene usos en lubricantes y procesos catalticos, entre otros. Los
investigadores han modificado la estructura arquitectnica del C60
para producir nuevas molculas ms estables y fuertes, como el C 70 y
la del carbono 168 denominada la buckygim. Los fulerenos tambin han
encontrado uso en la superconductividad y en la medicina. El
descubrimiento del carbono sesenta recompens a los tres cientficos
con el premio Nobel de qumica en 1996.Molcula de grafito
Molcula de diamante
El 13 y el 14 de octubre de 2003, en Manchester (Inglaterra), se
celebr el bicentenario de la publicacin de la Teora Atmica de John
Dalton. A este evento acudieron diversas celebridades entre quienes
destacaron Sir Harry Kroto (Premio Nobel) y Diego Forln (equipo de
ftbol Manchester United), los cuales presentaron la similitud de un
baln de ftbol y una molcula de C60.
Fascculo 4 Polgonos y poliedros
29
Los nanotubosEl prefijo nano indica 10-9 y hoy en da es muy comn
en las denominadas nanotecnologas. Los nanotubos fueron
descubiertos en 1991 por Sumio Iijima de la NEC Corporation (Japn).
Los nanotubos son gigantescos fulerenos rectilneos (la dimensin
rectilnea es muy grande en comparacin con su dimetro). Los
fulerenos son el ladrillo elemental de la construccin de los
nanotubos. En sus paredes, el nanotubo hereda de uno de sus
ancestros, el grafito, una caracterstica: el motivo hexagonal. Para
el qumico, el nanotubo es un polmero compuesto nicamente de tomos
de carbono que puede tener hasta un milln de tomos. Desde el punto
de vista fsico, es un cristal unidireccional donde se reproduce
peridicamente una misma clula de base. Es como un tubo cerrado en
sus dos extremos, de dimetro nanomtrico. Los nanotubos son
materiales ligeros y slidos y han encontrado utilidad en
electrnica. Hoy en da estudiamos el mundo tridimensional que nos
rodea y percibimos con nuestros sentidos. Adems, el macromundo,
esto es el Universo: los planetas, las estrellas, las galaxias, con
distancias dadas en aos luz. Y tambin tenemos el micromundo o
nanomundo y en ste hablamos de nanotecnologas y conceptos con el
prefijo nano: los nanotubos, las nanobacterias, los nanocircuitos,
las nanomquinas, son parte de esta terminologa.Fuente:
www.csc.com/features/2003/images/nanotube.jpg
Fuente: www.nanotech-now.com
En el Universo las medidas se hacen con millones de kilmetros y
con aos luz. En las nanotecnologas las medidas se hacen en
nanosegundos (10-9s), nanometros (10-9m), etc.
Fascculo 4 Polgonos y poliedros
30
Los poliedros en las artes, la arquitectura y la ingenieraAl
igual que los polgonos, los poliedros se han utilizado en las artes
y en la arquitectura desde siglos anteriores. Adems han sido objeto
de interpretaciones mstico-religiosas, como lo atestigua la
representacin del fuego, de la tierra, del aire, del agua y del
universo, mediante los cinco slidos platnicos, smbolos de perfeccin
y armona, y la representacin de estos poliedros, inscritos y
circunscritos a esferas, realizada por Kepler en su bsqueda de por
qu slo existan seis planetas (los nicos conocidos en su poca). Ya
el eminente artista, diseador, arquitecto e ingeniero del
Renacimiento italiano, Leonardo Da Vinci, utiliz los poliedros para
la decoracin del libro La Divina Proporcin (1509) del fraile
franciscano Luca Pacioli (1445-1514), quien fue su maestro en
matemtica. Leonardo dibuj los poliedros (llenos y vacos), de los
que presentamos el dodecaedro vaco. Antes de esta forma de
representar los poliedros, los mismos se ilustraban como slidos
opacos que ocultaban la parte trasera o con segmentos transparentes
en el cual el efecto producido no necesariamente permite distinguir
si una lnea es del frente o del trasero de la superficie. En la
representacin de Leonardo, con los poliedros huecos o vacos, se
observan las dos partes (frontal y trasera).
Fuente: Instituto y Museo de Historia de la Ciencia. Italia.
http://www.imss.fi.it
Asimismo, en el primer retrato que se conoce de un matemtico, el
de Luca Pacioli, podemos observar en la mesa un dodecaedro y en la
parte superior izquierda un poliedro semirregular (arquimediano)
transparente. Este retrato fue realizado por el pintor veneciano
Jacopo de Barbari, en el que Pacioli est haciendo una demostracin
geomtrica al joven Duque de Urbino. En el cuadro, el pintor coloca
una serie de valores asociados al estudio de las formas geomtricas:
orden, armona, pureza, rigor.
Fascculo 4 Polgonos y poliedros
31
Fuente: Instituto y Museo de Historia de la Ciencia. Italia.
http://www.imss.fi.it
Igualmente, el pintor y grabador holands Maurits Escher
(1898-1972), a quien se considera uno de los artistas del s. XX ms
vinculados a la matemtica por el uso que hizo de sta mediante
polgonos y teselaciones, espirales, geometra no euclidiana, el
infinito, mundos imposibles, entre otros, tambin utiliz los
poliedros en su arte. En el siguiente grabado en madera (1948)
observamos una de sus obras titulada Estrellas: hay en el medio
tres octaedros regulares huecos, representados por sus aristas, en
donde viven dos camaleones que se fijan a las aristas mediante sus
patas y cola. En el espacio podemos admirar otros poliedros, entre
los que sealamos: 1) En la parte superior un cubo y emergiendo de
ste un octaedro, un icosaedro, dos tetraedros que se cruzan, un
rombododecaedro; 2) En la parte inferior, dos tetraedros que se
cruzan, dos cubos penetrndose, tres octaedros que se cruzan y un
dodecaedro.
Fascculo 4 Polgonos y poliedros
32
Polgonos y poliedros
En el diseo de edificaciones, monumentos y pabellones
encontramos los poliedros. El Complejo Cultural Teresa Carreo, en
Caracas, tiene una forma tronco-piramidal resaltada por una
vertiente de estructuras salientes. En el mismo, a la entrada de la
Sala Ros Reyna, podemos admirar en el techo una obra de Jess Soto,
artista cintico venezolano (1923-2005).
5
Superficies esfricas y poliedros en arquitectura e ingenieraLas
superficies esfricas han sido utilizadas por los arquitectos e
ingenieros para hacer cpulas y domos esfricos, coronando los
templos cristianos, las mezquitas islmicas y en los capitolios de
muchas ciudades y naciones. En 1954, el ingeniero, inventor y
diseador Richard Buckminster Fuller (Estados Unidos, 1895-1983),
deposit una patente para sus domos o cpulas geodsicas, que son una
manera de construir domos, de forma esfrica, conteniendo un mximo
de volumen con un mnimo de material y bastante resistentes. Estos
domos no tienen necesidad de tener soporte interior y se realizan a
partir de tringulos que forman una grilla semiesfrica,
distribuyendo esfuerzos de manera pareja a los distintos miembros
de la estructura y logrando de esta forma un cociente alto en la
razn resistencia/peso. Esos tringulos conforman una red pentagonal
y hexagonal como en el baln de ftbol. Son muy slidos y luminosos.
Hoy en da se cuentan unos 300 000 domos construidos en el mundo.
Tres ejemplos notables de tal construccin son: el pabelln
norteamericano en la American Exchange Exhibition (1959) en Mosc,
la cpula geodsica del pabelln norteamericano en la Exposicin
Mundial (1967) de Montreal (Fotografa superior), y la cpula en la
ciudad de ciencia y tecnologa de La Villete, Pars-Francia
(Fotografa intermedia).
Fascculo 5 Polgonos y poliedros
34
En Caracas, se construy el Poliedro utilizando el concepto
estructural de las cpulas geodsicas de Fuller.
Durante el ao 2004, el Servicio Postal de los Estados Unidos
(USPS por sus siglas en ingls) emiti una estampilla conmemorativa
de los cincuenta aos en que Fuller patent su invencin.
Recientemente, el diseador y arquitecto Sanford Ponder dise unos
refugios utilizados para la recreacin y el trabajo, como las carpas
de los vacacionistas, denominados ICOSA por su forma icosadrica y
con un dimetro de 9 a 23 pies (2,74 7,01 metros) y un peso mximo de
500 libras ( 227 kg) el mayor de ellos. Son como icosaedros
cortados por la mitad y con ventanas triangulares.
Fascculo 5 Polgonos y poliedros
35
Los diseos del matemtico, como los del pintor o el poeta, han de
ser bellos; las ideas, como los colores o las palabras deben
relacionarse de manera armoniosa. La belleza es la primera prueba:
no hay lugar permanente en el mundo para las matemticas feas.
TeselacionesLos teselados son los diseos de figuras geomtricas
que por s mismas o en combinacin cubren una superficie plana sin
dejar huecos ni superponerse, o sea, el cubrimiento del plano con
figuras yuxtapuestas. Las civilizaciones antiguas utilizaban
teselados para la ornamentacin de casas y templos, cerca del ao
4000 a.C. Por ese tiempo los sumerios realizaban decoraciones con
mosaicos que formaban modelos geomtricos. El material utilizado era
arcilla cocida que coloreaban y esmaltaban. Posteriormente otros
grupos demostraron maestra en este tipo de trabajo, como los
persas, los moros y los musulmanes. Esos diseos con motivos
repetidos son muy corrientes en nuestra vida cotidiana. Podemos
pensar en las baldosas que recubren los pisos en forma de
rectngulos, de cuadrados, de hexgonos regulares y con otros
motivos, y tambin en los papeles decorativos de las paredes y los
papeles que envuelven regalos. He aqu dos de tales diseos con
motivos repetidos:
G. H. Hardy (matemtico britnico, 1877-1947).
El estudio de las teselaciones o embaldosados de un plano est
vinculado con las simetras de los mismos y stas, a su vez, se
refieren a las simetras rotacionales (rotaciones con centro en un
determinado punto), simetras axiales (reflexiones respecto de ejes)
y simetras de traslacin (traslacin segn algn vector) y sus
combinaciones (composicin de tales movimientos rgidos).
Fascculo 5 Polgonos y poliedros
36
90
Si tenemos un cuadrado podemos rotarlo con centro en O (centro
del cuadrado) y ngulo 90. El cuadrado rotado es el mismo que el
inicial y no se distingue uno del otro. Para distinguirlos
tendramos que etiquetar los vrtices y observar la accin de la
rotacin sobre stos. Se dice que el cuadrado es invariante por tal
rotacin de centro O y ngulo 90 o que tiene una simetra rotacional
de orden 4 (360/4 = 90). Tambin el cuadrado tiene simetra axial
pues es invariante, por ejemplo, cuando aplicamos una reflexin
respecto de la recta que une los puntos medios de dos lados AB y
CD.
O
A
B
D
A
O
O
D C C B Rotacin en sentido horario con centro en O y ngulo de
90.
Determinar todas las simetras rotacionales y axiales de: a) un
cuadrado, b) un tringulo equiltero, c) un rectngulo. Observa la
diferencia con el caso de un cuadrado.L
Si tenemos una teselacin del plano realizada nicamente con
cuadrados congruentes, observamos que ella queda invariante por
rotacin de centro O y ngulo 90. Esto se comprueba fcilmente si
dibujamos la misma teselacin en un papel transparente o en un
acetato el cual colocamos encima haciendo coincidir el punto O y
giramos 90. Asimismo, por traslacin segn el vector a y traslacin
segn el vector b, y por simetra axial respecto del eje L (el diseo
se repite continuamente al mover la vista verticalmente y
horizontalmente). Determina otras simetras de esta teselacin. Las
teselaciones de un plano (pavage en francs y tile en ingls) son de
diversos tipos. Aqu destacamos los llamados grupos de simetra del
plano y los denominados mosaicos de los que hay una gran variedad y
por cuestiones de espacio solamente damos algunos de ellos.El Jardn
Lumnico, ubicado en la autopista de Prados del Este de la ciudad de
Caracas, parte de la idea del collage como matriz y del pixelado
como resolucin visual de una intervencin que ser vista y percibida
a diferentes velocidades. Patricia Van Dalen utiliz un fondo azul
intenso, el cual est salpicado de una historia cromtica con 14
matices diferentes. A travs del pixelado logra transiciones entre
un color y otro, y nos sugiere la abstraccin de un paisaje
urbano.Fuente: www.patriciavandalen.com
90 O a b
Fascculo 5 Polgonos y poliedros
37
MosaicosCuando se recubre un plano con baldosas que no dejen
huecos y que no se superpongan (encajan bien), se produce un
mosaico. Existen diferentes tipos de mosaicos de los cuales podemos
diferenciar: los regulares (solamente existen 3), los
semirregulares (solamente existen 8), los de Escher y los de
Penrose (imagen a la derecha).
Mosaicos regularesLos mosaicos regulares se logran a partir de
la repeticin y traslacin de un mismo polgono regular. Existen
nicamente tres tipos de tales mosaicos que son familiares por el
embaldosado de los pisos y se forman con: tringulos equilteros,
cuadrados o hexgonos regulares.
90
120 a
O60 a b a
Ob
O
60 b
Tiene una simetra rotacional de orden 6 (360/6 = 60).
Tiene una simetra rotacional de orden 4 (360/4 = 90). Es un
mosaico que se observa con frecuencia en los pisos y en los papeles
cuadriculados y milimetrados.
Tiene una simetra rotacional de orden 3 (360/3 = 120) y de orden
6. Es un mosaico que se observa bastante en los pisos y en los
panales de abejas.
Fascculo 5 Polgonos y poliedros
38
Observa que en cada uno de ellos indicamos dos vectores
independientes, a y b, con el fin de sealar que mediante traslacin
del polgono en esas direcciones se obtiene el respectivo mosaico.
Se dice que tales mosaicos son peridicos. Estos mosaicos son
invariantes por traslaciones de vector pa + qb, siendo p y q nmeros
enteros cualesquiera.
Un plano no se puede teselar con pentgonos regulares pues no
encajan bien, por ello no existen mosaicos regulares pentagonales
(los pisos de las viviendas no se pueden embaldosar con pentgonos
regulares): 360/5 = 72
72 108
3 = 3 x 108 = 324 Con tres pentgonos regulares alrededor del
punto O no se cubren 360, ya queda un hueco. Hay algunos pentgonos,
no regulares, con los que se pueden teselar los planos.
En cambio con pentgonos regulares (azules) y rombos (amarillos)
s se puede embaldosar un plano, lo cual era conocido por A. Durero
(1471-1528).
Con cualquier tringulo o cualquier cuadriltero convexo del plano
se puede, por repeticin, teselar completamente el plano. Observa la
construccin, en el caso de un cuadriltero, donde es suficiente con
dibujar los simtricos respecto de los puntos medios de los lados.A
D C D C c B
A B
A B
D A c
C B
Observa una de las tcnicas que hay para hacer teselaciones de un
plano, partiendo de un paralelogramo ABCD (un paralelogramo
deformado). Paso 1: Dibuja una curva c que una A con B y su imagen
mediante la traslacin de vector AD. Paso 2: Dibuja otra curva c que
una A con D y su imagen mediante la traslacin de vector DC. Paso 3:
Repite el motivo utilizando esas dos traslaciones.
D
C
Fascculo 5 Polgonos y poliedros
39
Mosaicos semirregularesEn stos se combinan dos o ms polgonos
regulares bien acoplados y distribuidos, de tal modo que en todos
los vrtices aparecen los mismos polgonos. Existen solamente ocho
tipos de mosaicos semirregulares, de los que a continuacin
mostramos cuatro de ellos.
Fascculo 5 Polgonos y poliedros
40
Polgonos y poliedros
L2
A
B
L1
C
ngeles y Demonios (M. Escher). Con centro en A, B y C (puntos de
encuentro de 4 alas) y mediante rotacin de 90 se obtiene la misma
figura (simetra rotacional de orden 4). Las rectas (de color
amarillo) L1, L2, L3,... ubicadas en los ejes de los ngeles y los
demonios, son ejes de simetra axial (reflexiones). As, si doblamos
el plano por uno de ellos, se obtiene la misma figura.
Ln
6
Mosaicos de EscherEscher (Holanda, 1898-1972) visit Granada el
ao 1936 junto con su esposa y all estudi detenidamente la decoracin
de las paredes, techos y pisos islmicos de La Alhambra (el gran
palacio construido por los moros durante los s. XIII-XIV). Observ
los motivos islmicos en las paredes, todos ellos de tipo geomtrico,
donde por cuestiones religiosas no hay figuras humanas ni de
animales. All realiz sus dibujos y descubri las diecisiete
posibilidades de teselar el plano (los 17 grupos de simetra del
plano). Durante una labor de cerca de treinta aos, Escher cre ms de
cien teselaciones peridicas de un plano utilizando una gran
variedad de motivos. Para construir tales mosaicos a partir de
polgonos que teselan el plano, debe mantenerse el principio de
conservacin de reas, esto es, si quitamos una parte hay que
colocarla con igual rea en otra parte. Esto lo podemos observar en
un motivo islmico de La Alhambra de Granada como es la pajarita
donde se preserva el rea del tringulo equiltero de partida, y en el
paralelogramo deformado. Observa, abajo, la creacin de la figura de
un pato a partir del polgono ABCD.A A A A
D
B
D
B
D
B
D
B
C
C
C
C
Observa, abajo, la creacin de un pez volador (M.C. Escher) a
partir de un tringulo equiltero.A A
C
B
C
B
Observa cmo con pequeas variaciones en las curvas aparecer la
figura de un pjaro en vez de un pez volador. Recorta el modelo y
tesela el plano.A A
C
B
C
B
Fascculo 6 Polgonos y poliedros
42
Mosaicos de PenroseEntre 1972 y 1973, el matemtico britnico
Roger Penrose descubri un conjunto de teselas que recubren el plano
en forma no peridica; es decir, no se puede obtener la teselacin a
partir de un motivo y mediante dos traslaciones independientes.
Posteriormente los qumicos (1984) descubrieron una aleacin de
Aluminio (Al) y Manganeso (Al6Mn) que tena ciertas caractersticas
de un cristal, pero al mismo tiempo no poda serlo pues tena
simetras rotacionales pentagonales (ngulo de rotacin 360/5 = 72) lo
que es incompatible con la estructura de un cristal. Le dieron el
nombre de cuasicristal y su conformacin molecular bidimensional es
como un teselado de Penrose. Algunas teselaciones de Penrose, como
las del cometa y del dardo, utilizan para su construccin el nmero
de oro = (1 + 5 )/2 1,618. Transformando los dardos y los cometas
Penrose cre una teselacin no peridica llamadas las gallinas
aperidicas de Penrose. Como las teselaciones son explotadas
comercialmente y en rompecabezas, Penrose tard cierto tiempo en dar
a conocer sus embaldosados hasta que los patent en los Estados
Unidos, Japn y el Reino Unido.
El alicatado es un revestimiento plano conseguido colocando
pequeas piezas de diferentes formas geomtricas (Alceres). El
alicatado fue el primer revestimiento cermico utilizado en
Al-Andaluz (espacio geocultural y poltico hispano-rabe, s. VIII-XV)
para adornar los muros interiores de las edificaciones, ya que para
los exteriores y los pavimentos de las casas se conoca el uso de
losetas esmaltadas con estao. En Sevilla, los zcalos del alicatado
ms sobresaliente pueden admirarse en los Reales Alczares, en la
iglesia de San Gil y en la Casa Olea, as como pueden verse muestras
de alicatado en la portada del monasterio de San Isidoro del Campo
y en las ventanas y fachada lateral de la iglesia de Omnium
Sanctorum.
Un alicatado de la Alhambra (s. XIV). Fuente: Canal Cultural de
Barcelona, Espaa (213.27.152.28/ cron373_ceram1g.jpg).
Fascculo 6 Polgonos y poliedros
43
7032
Teselaciones en el espacioYa conociendo algo del mundo de las
teselaciones de un plano, caben ahora las siguientes preguntas: Y
qu hay de las teselaciones del espacio. Se podrn hacer con los
poliedros regulares o con otro tipo de poliedros ? Se pueden
teselar superficies en el espacio, por ejemplo, la esfera? Damos
algunas respuestas parciales pues un desarrollo del tema sera
bastante extenso. Con los tetraedros regulares no es posible
teselar el espacio, pues el ngulo diedro entre dos caras de un
tetraedro mide 70 32 que no es un submltiplo de 360 (recuerda el
caso de los pentgonos regulares). En cambio con cubos si es posible
teselar todo el espacio; el ngulo diedro entre dos caras mide 90
que es un submltiplo de 360. Tambin con los octaedros truncados
como se ve en la figura. Cuando hablamos de teselacin sobre una
esfera significa con polgonos situados sobre la misma (polgonos
curvos), cuyos lados son arcos de circunferencia mxima que son las
rectas sobre una esfera en la denominada geometra esfrica). Es
conocido que la esfera se puede teselar con tringulos. Observa los
diez tringulos ubicados en el centro A y los seis tringulos que
rodean el punto B, en que los ngulos son de 60. Utilizando doce
pentgonos regulares se puede teselar una esfera. Es imposible de
teselar la esfera nicamente con hexgonos regulares. Pero, una
combinacin de pentgonos y de hexgonos regulares da una teselacin de
la esfera, tal como se aprecia en las pelotas de ftbol.90
B 60
A
El pintor y matemtico Piero Della Francesca (1416-1492),
considerado actualmente como uno de los primeros artistas del
Renacimiento, se fascin por los poliedros y esto le condujo a
desarrollar propiedades de antiguos y nuevos poliedros. Uno de sus
libros, Libellus de quinque corpibus regularibus (1480) conservado
en la Biblioteca Vaticana, contiene la figura que conocemos del
icosaedro truncado, cuyas sesenta caras son pentgonos y hexgonos en
la misma distribucin que ahora se utiliza para construir balones de
ftbol.
Fascculo 6 Polgonos y poliedros
44
Dimensiones, coordenadas y grados de libertadAnterior al
Renacimiento (s. XV), la pintura que se haca en madera (trpticos),
lienzo y murales era muy esttica. Las figuras en cuestin carecan de
movimiento y sus proporciones a veces no eran las ms adecuadas.
Todo se reflejaba en un nico plano sin lograr una sensacin de
profundidad en el cuadro. Sin embargo, el mundo en que vivimos, el
de nuestra experiencia cotidiana, es tridimensional (3D) y para
entenderlo a cabalidad necesitamos comprender tanto lo
unidimensional (1D) como lo bidimensional (2D). En el Renacimiento
italiano se producir un cambio significativo en cuanto a las artes
y la arquitectura. De una parte con los colores venecianos
(Venecia) y por la otra con la perspectiva florentina desarrollada
en la ciudad de Florencia (Italia), lo cual permiti capturar el
realismo del mundo tridimensional y crear la ilusin de profundidad
en la pintura, la escultura y la arquitectura, dando lugar a la
representacin de la realidad tridimensional (largo, ancho y
profundidad) en una superficie bidimensional (la tela de un cuadro,
una pared o un papel) y creando as la imagen de profundidad.
Un mural egipcio (s. XIX a.C.). Las figuras estn pintadas en un
solo plano (son bidimensionales) sin ilusin de profundidad. Este
tipo de pintura es tpico de antes del Renacimento.
La alabanza de las abejas. Pintura del Medioevo. Biblioteca
Apostlica Vaticana, Roma. Fuente: www.library.nd.edu
La anunciacin. Filippo Lippi, pintor renacentista (Italia c.
1406-1469). Fuente: keptar.demasz.hu
Fascculo 6 Polgonos y poliedros
45
El Renacimiento se caracteriza por el estudio y dominio de la
perspectiva. Para lograrla se pueden utilizar los llamados puntos
de fuga, los cuales permiten darle profundidad a un cuadro o
ilustracin. En esta pgina presentamos varios ejemplos
correspondientes tanto al Renacimiento como a fechas posteriores a
l. El punto del horizonte donde convergen las lneas de una
perspectiva se denomina punto de fuga.
Utilizacin de dos puntos de fuga centrales para la ilustracin de
la plaza central de una edificacin.
En la ilustracin podemos observar como Filippo Brunelleschi
(Italia, 1377-1445) utiliz varios puntos de fuga para ilustrar el
Duomo en Italia, ya que la figura al no ser rectangular as lo
amerita. La perspectiva puede generar distorsiones que se
visualizan en la lmina renacentista de la derecha, donde las
proyecciones central y lateral de una esfera hacen verla como una
elipse. En el caso de la proyeccin central esta deformacin es
menor. En la parte inferior estn ilustradas tres imgenes del
Aristteles de Rafael (Rafaello Sanzio, Italia, 1483-1520)
utilizando un mismo punto de fuga. Se puede notar que mientras ms
alejado de l se encuentre el punto de fuga la imagen va
rotando.
Fascculo 6 Polgonos y poliedros
46
Muchos objetos de nuestra vida cotidiana son bidimensionales,
tales como las superficies de: pantallas de televisin, pantallas de
computadoras, pantallas cncavas de cine; as como las pginas de los
libros y de los cuadernos, los pisos y las paredes. De igual manera
dan idea de lo que es unidimensional los hilos de coser, los
alambres finos, una hebra, un filamento... La nocin de dimensin es
fundamental para la comprensin de la realidad. Con este concepto
estn aparejados los sistemas de coordenadas y los grados de
libertad que utilizan los Figura tridimensional generada por
computadora para ser fsicos e ingenieros en sus trabajos.
visualizada en un monitor bidimensional. Una lnea representa una
sola dimensin (1D). No necesariamente tiene que ser representada
rectilneamente: un tren o el Metro de alguna ciudad que se mueve en
una va frrea lo hace en una dimensin. Esta lnea frrea puede ser
recta o curva, y subir o bajar en una colina, pero el vagn del tren
tiene solamente una direccin de movimiento. Puede ir hacia adelante
o hacia atrs y son la misma direccin pero sentidos opuestos. La
lnea del tren est situada en nuestro mundo tridimensional, pero el
movimiento del tren es unidimensional. Si fijamos una estacin del
tren como origen O, su posicin en un instante de tiempo determinado
queda especificada por un nico nmero, se dice por un slo parmetro:
la distancia al origen medida a lo largo de la lnea (recta o
curva), lo cual se expresa con que ese movimiento tiene un grado de
libertad. Un barco navegando en el ocano tiene dos grados de
libertad para moverse, son dos direcciones independientes: en una
direccin, de popa a proa, puede ser en sentido hacia delante o en
sentido hacia atrs, y en la otra direccin, la transversal, de babor
a estribor, puede ser hacia la izquierda o hacia la derecha. As el
barco se mueve en dos dimensiones, que en este caso no es plano
sino curvo por ser la Tierra y, por lo tanto, su posicin en un
instante de tiempo determinado est dado por dos parmetros como son
la latitud y la longitud.
En las principales ciudades de muchos pases, los taxistas
conductores tienen un equipo denominado Global Position System
(GPS) que les permite localizar una direccin especfica as como las
vas (dos dimensiones) que debe utilizar para llegar a su
destino.
Fascculo 6 Polgonos y poliedros
47
Un avin se mueve en el espacio tridimensional y tiene tres
grados de libertad para moverse, son tres direcciones
independientes: en direccin de la cola a la punta lo hace hacia
delante o hacia atrs (despus de girar); en direccin transversal al
avin lo hace hacia la derecha o hacia la izquierda; y en la tercera
direccin puede ser hacia arriba o hacia abajo. Su posicin, en un
instante de tiempo, est dada por tres parmetros como son la
latitud, la longitud y la altura. Anlogamente, si se trata de un
submarino en lugar de un barco, se necesita la latitud, la longitud
y la profundidad a la que se encuentra el submarino. Si un automvil
viaja dentro de un tnel con slo dos canales de circulacin, est
obligado a permanecer en el canal de la derecha (si cambia de canal
comete infraccin lo que es altamente penalizado en muchos pases).
As, su trayectoria es unidimensional. Al salir del tnel, puede
girar hacia la izquierda, ha tomado otra direccin, y luego volver a
su canal, es decir puede moverse en 2D. En esos ejemplos los grados
de libertad y su respectivas dimensiones son coordenadas
geomtricas. Los parmetros son entes geomtricos, a lo mximo tres. No
necesariamente esto ocurre siempre. El vuelo del avin o la
navegacin del submarino, en funcin del tiempo, requiere otra
informacin: la velocidad con que se mueve. Luego se tienen cuatro
grados de libertad que se determinan, en cada instante de tiempo,
mediante cuatro parmetros: tres que son geomtricos (latitud,
longitud, altura o profundidad) y otro que es dinmico (velocidad).
Entonces estamos en un espacio de cuatro dimensiones o con cuatro
grados de libertad.
Centro del planeta
M
Longitud y latitud de la proyeccin M de P
P
M
Latitud y longitud de la proyeccin M de P
Dos posiciones del barco
Bitcora de Cristbal Coln donde se reflejaban los datos de
posicin (longitud y latitud), profundidad y tiempo de
travesa.Fuente: http://history.missouristate.edu
Fascculo 6 Polgonos y poliedros
48
Polgonos y poliedros
El sentido de la vista, an con un solo ojo, junto con las
sensaciones musculares relativas a los movimientos del globo
ocular, podra bastar para hacernos conocer el espacio de tres
dimensiones. Las imgenes de los objetos exteriores vienen a
pintarse sobre la retina, que es un cuadro de dos dimensiones: son
perspectivas (...). Y bien, lo mismo que se puede hacer sobre un
plano la perspectiva de una figura de tres dimensiones, se puede
hacer la de una figura de cuatro dimensiones sobre un cuadro de
tres (o de dos) dimensiones. Esto no es ms que un juego para el
gemetra.Henri Poincar en su libro La Ciencia y la hiptesis
(1902).Versin en espaol de Coleccin Austral, Espasa-Calpe, 3
edicin, 1963.
Cuarta Dimensin de la estudiante Jin Hua Dong del 4 ao en el
Shepherd College y vicepresidenta del Club Math que promueve
trabajos sobre matemtica y arte. Este trabajo se realiz utilizando
la tcnica de fractales.
7
Grados de libertad y coordenadasLos parmetros, como en el caso
del avin, son independientes entre s: es posible cambiar un
parmetro sin que esto altere los otros. As, podemos modificar la
latitud de un avin movindolo a lo largo de un meridiano de la
Tierra, y esto no modifica su longitud. Cada parmetro representa un
grado de libertad y por lo tanto una dimensin.
Dos posiciones del avin
Movimiento de un tren
1 1
Una direccin, dos sentidos: adelante-atrs
0
La distancia s=s(t) al origen como funcin del tiempo Movimiento
de un pndulo simple de longitud L Uno. El movimiento de la masa m
El ngulo como funcin del tiemes oscilatorio y en cada instante de
po t tiempo su distancia a O es fija L O L m A x P
Tambin se puede tomar como parmetro, en funcin del tiempo, la
longitud s del arco PA o la distancia horizontal x (elongacin)
Movimiento de un navo en un ocano
2
Dos direcciones y cada una con Latitud y longitud en funcin dos
sentidos: adelante-atrs, dere- del tiempo. navo cha-izquierda
Meridiano de Greenwich
Movimiento libre de una varilla en torno a un extremo fijo
(pndulo esfrico)
2
Dos: el extremo no fijo P se mueve Latitud y longitud O sobre
una esfera de radio la longitud L de la varillL
P
Movimiento de un avin (posicin) Movimiento de un avin (posicin y
velocidad)
3 4
Tres direcciones y cada una de Latitud, longitud y altura ellas
con dos sentidos Cuatro: las tres del ejemplo anterior Latitud,
longitud, altura y velocidad y la velocidad
Fascculo 7 Polgonos y poliedros
50
y
Los sistemas de coordenadas, creados durante el siglo XVII por
el matemtico francs Ren Descartes (Francia, 1596-1650) en uno de
los tres apndices de su obra conocida como El Discurso del Mtodo
(1637), permitieron tratar los problemas geomtricos mediante el
lgebra. Estos sistemas de coordenadas se denominan cartesianos o
rectilneos, y se construyen utilizando rectas, usualmente
perpendiculares.z
O
x
Sistema de coordenadas cartesianas en un plano.
OP=
P Eje
O y x
Sistema de coordenadas cartesianas en el espacio.
Sistema de coordenadas no cartesiano en un plano (se denominan
coordenadas generalizadas). Por ejemplo, las coordenadas polares
(,) del punto P.
En cada una de las situaciones siguientes determina cuntos
grados de libertad tiene el sistema descrito, es decir, de cuntos
parmetros depende el movimiento del sistema y cules son stos.O
a) El sistema masa-polea-resorte de la figura 1. Se trata del
movimiento de la masa m. b) El pndulo doble de la figura 2, donde
m1 y m2 son masas unidas por una varilla de longitud L2 y m1 est
sujeta a otra varilla de longitud L1 con un extremo fijo O. c) El
sistema formado por tres carros unidos con resortes de la figura 3.
d) La denominada mquina de Atwood: se trata del movimiento de las
masas m1 y m2 unidas a travs de una polea mediante una cuerda sin
rozamiento de longitud L (figura 4). e) Una partcula de masa m que
se mueve sobre una circunferencia de radio R. f) Piensa en otros
sistemas mecnicos con uno, dos o tres grados de libertad.
L1
Polea1
L2
Resorte2
Figura 1
Figura 2
Figura 3
Polea
Fascculo 7 Polgonos y poliedros
51
1
Figura 4
2
Anterior a Descartes la geometra era sinttica y luego, con la
utilizacin de las coordenadas, se cre la geometra analtica, esto es
la vinculacin de la geometra con el lgebra, etiquetando los puntos
con nmeros y los entes geomtricos mediante relaciones entre
variables. UNIDIMENSIONALSegmentos, curvas (en el plano o en el
espacio).La hlice de un tornillo
BIDIMENSIONALRegiones del plano encerradas por curvas, como los
polgonos.
TRIDIMENSIONALSlidos del espacio. La Tierra se considera como
esfera slida y no solamente la superficie terrestre.
Superficies en el espacio. Por ejemplo: la superficie de la
Tierra (la esfera terrestre). En una dimensin un punto se localiza
mediante una sola coordenada (un nmero). Para los objetos
unidimensionales se calculan longitudes. Hay sistemas fsicos que
tienen un grado de libertad.Elipsoide
En tres dimensiones un punto se localiza mediante tres
coordenadas (tres nmeros). Para los slidos del espacio, los que
estn encerradoso limitados por superficies, se calculan volmenes.z
(0,0,3)
En dos dimensiones un punto se localiza mediante dos coordenadas
(dos nmeros). Para las regiones del plano encerradas o limitadas
por curvas se calculan las reas.y y=x2
resorte
amortiguador masa
O
(0,1,0) y
x (3,0,0)
En el sistema masa-resorte-amortiguacin, la masa m se mueve
verticalmente. Se necesita solamente una coordenada x=x(t) para
definir la localizacin de la masa en un instante cualquiera t (x se
mide a partir de la posicin de equilibrio esttico).
O
x x
El rea de la regin comprendida entre los dos arcos de parbolas
dibujadas es igual a 1/3. Hay sistemas fsicos que tienen dos grados
de libertad.
El volumen del tetraedro limitado por los planos de coordenadas
y el plano dibujado es 3/2. Hay sistemas fsicos que tienen tres
grados de libertad.
Al inicio de la geometra analtica los matemticos restringan el
uso de las coordenadas a una y dos dimensiones. Ya Fermat, creador
de la geometra analtica junto con Descartes, estuvo consciente de
una geometra analtica con ms de dos dimensiones, pero no fue sino
en el s. XVIII que se entendi bien que el lgebra con una o dos
coordenadas poda ser extendida al espacio tridimensional y,
posteriormente, a espacios con mayor nmero de dimensiones.
Fascculo 7 Polgonos y poliedros
52
En 1884 sali publicado un libro del clrigo y educador ingls
Edwin Abbot Abbot titulado Flatland. A romance of many dimensions,
que era un stira social y una introduccin para entender lo que es
dimensin y dimensiones mayores que tres. Abbot promova la igualdad
de oportunidades en la educacin de los (las) jvenes de todas las
clases sociales, lo que no ocurra en la Inglaterra de la poca
Victoriana en donde haba muchos prejuicios sociales. Abbot describe
la vida de seres que viven en un mundo plano (Flatland; Flat=plano,
land=pas o tierra) y establece una interrelacin entre mundos de
distintas dimensiones. En la portada del libro, A Square
(Square=cuadrado) es el nombre que utiliza para el narrador. All se
observa una casa plana (en forma de pentgono regular), que nosotros
podemos ver en su totalidad, pero A Square viviendo en el mundo
plano solamente puede observar una parte de ella aunque puede
caminar en todo su alrededor. En Flatland se visita otra tierra,
unidimensional, Lineland, donde los habitantes se representan por
segmentos (los hombres) y puntos (las mujeres), y el rey es un
segmento ms grande. A Square intenta convencer, intilmente, al rey
de Lineland (Line=lnea) de la existencia de una segunda dimensin. A
su vez, Flatland es visitada por Una Esfera del espacio que intenta
convencer a A Square de la existencia de una tercera dimensin y
argumenta inicialmente que l puede ver toda la casa desde arriba
describiendo a todos los habitantes. La Esfera atraviesa el plano,
y A Square primero ve un punto, luego una parte de circunferencia
que se va agrandando hasta llegar a lo mximo, para luego
contraerse, reducirse a un punto y, por ltimo, desaparecer.
Finalmente A square se convence y pregunta para ver la cuarta
dimensin. La Esfera le niega esa posibilidad y lo enva a Flatland,
donde intenta convencer a los otros de la tercera dimensin, siendo
arrestado de por vida y escribe FLATLAND (Planilandia). En el siglo
XX se han escrito varios trabajos inspirados en Flatland, como el
Mundo esfrico (Sphereland) de Dionis Burger (1964) y Planiverse de
A.K. Downey, en 1984, conmemorando el centenario de Flatland.
Asimismo, el escritor britnico H.G. Wells (1866-1946), autor de
obras de ciencia ficcin como El hombre invisible (1897), La guerra
de los mundos (1898) y La mquina del tiempo (1895), en la que la
idea del tiempo como una dimensin est claramente explicada.Fascculo
7 Polgonos y poliedros
H.G. Wells y La guerra de los mundos. Fuente:forums.e
veofthewar.com/ photos/displayi mage.php
53
Cuntas dimensiones podemos considerar que tengan utilidad tanto
en matemtica como en otras disciplinas ?Hemos visto que el
movimiento de un avin o de un submarino depende de cuatro
parmetros: tres son de posicin (latitud, longitud y altura o
profundidad) y el cuarto es la velocidad. Por lo tanto
necesitaramos cuatro ejes de coordenadas para representar esas
variables en funcin del tiempo (cuatro dimensiones, 4D) y, si adems
queremos representar el tiempo, necesitaramos un quinto eje de
coordenadas (cinco dimensiones, 5D). Con nuestros ojos no es
posible ver ni imaginarnos ms de tres dimensiones. Aqu tenemos que
razonar y hacer analogas con lo que ocurre en 1D, 2D y 3D. An ms,
hay situaciones prcticas en las que se necesitan ms dimensiones.
Por ejemplo, en los procesos productivos intervienen muchos
parmetros: precios de materiales que se compran, precios de lo que
se vende, cantidad de personal que interviene en la produccin,
cantidad de material que se utilizar (materia prima), transporte,
tiempo de fabricacin, entre otros. Esto requiere trabajar con ms de
tres variables independientes y algunas dependientes de las
anteriores, y lo cual implica un cierto nmero de dimensiones que no
es posible representar grficamente pero s calcular con las mismas.
As, se hacen clculos con muchas variables utilizando computadoras,
y para esto ha sido necesario crear y estudiar los espacios
ndimensionales.
Simulacin de movimiento a travs de un tnel de viento, donde se
puede probar la aerodinamia de un vehculo. Esta imagen proviene de
una simulacin por computadora utilizado por una empresa taiwanesa.
Fuente: www.syzygia.com.tw
La geometra es a las artes plsticas lo que la gramtica es al
arte de escribir. Hoy los cientficos ya no se atienen a las tres
dimensiones de la geometra euclidiana. Los pintores han sido
llevados natural y, por as decirlo, intuitivamente, a preocuparse
por las nuevas medidas posibles del espacio que se indican
brevemente en su conjunto, en lenguaje figurativo de los modernos
con el trmino de cuarta dimensin. La cuarta dimensin aparece
generada por las tres dimensiones conocidas y representa la
inmensidad del espacio que se eterniza en todas las direcciones en
cualquier momento dado.Guillaume Apollinaire, francs nacido en Roma
(1880-1918), poeta, escritor y crtico de arte, precursor del
surrealismo. La cita es de Los pintores cubistas (1913) considerado
el manifiesto de ese movimiento. Fuente de la imagen:
french.chass.utoronto.ca/fcs195/apollinaire.html
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La cuarta dimensin y el hipercuboA mediados del s. XIX se crean
las denominadas geometras no euclidianas y uno de los principales
matemticos de este siglo, Bernhard Riemann (Alemania, 1826-1866),
haba pensado en espacios con muchas dimensiones. En 1908, otro
matemtico alemn, Hermann Minkowski (1864-1909), quien fue profesor
de Einstein, fusion las tres dimensiones espaciales y la dimensin
temporal en un continuo de 4D. La teora de la relatividad de
Einstein, inicios del s. XX, utiliza ese espacio de 4D con
coordenadas (x,y,z,t). Las 4D eran objeto de estudio por
matemticos, fsicos y filsofos y tambin fueron objeto de variadas
especulaciones en el perodo 1880-1910, en el cual Abbot public su
Flatland. Las geometras no euclidianas, las dimensiones mayores que
tres, y el estudio de las ilusiones pticas en las que intervinieron
el astrofsico Johann Zllner (1834-1882), el fsico Hermann von
Helmotz (1821-1894) y otros, crearon un ambiente cientfico (lo no
euclidiano, dimensiones mayor que tres e ilusin ptica) que tuvo
repercusin en las artes.El Sello Blanco (1965) de Ren Magritte
(Blgica, 1898-1967), obra surrealista, es una paradoja visual que
forma parte de sus pinturas imposibles. Magritte afirm: Cada cosa
que nosotros vemos esconde algo ms que queremos ver.
A CSegmento cortando a rectas paralelas que no se ven como
tales.
B D
Los segmentos AB y CD tienen igual longitud
Una de las primeras manifestaciones artsticas en tal sentido lo
testimonia el siguiente cuadro, de inspiracin cubista, del pintor
francs, nacionalizado norteamericano y precursor en Nueva York de
un movimiento denominado dadasmo, Marcel Duchamp (1887-1968),
titulado Desnudo bajando una escalera (1912), en el que se vincula
el anlisis cubista del espacio con la representacin del movimiento,
y de all las 4D. Fue una pintura futurista con insinuaciones
cubistas, Una expresin del tiempo y del espacio a travs de una
presentacin abstracta del movimiento, como lo escribi el mismo
Duchamp. En este cuadro, las secuencias de la figura movindose
hacia abajo de la escalera tiene lugar de manera simultnea y son
reveladas las distintas facetas de la figura.
Fascculo 7 Polgonos y poliedros
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De qu forma podemos representar e intentar imaginarnos la cuarta
dimensin y algunas de sus figuras, anlogamente cmo se representa la
tercera dimensin en un papel?Observemos primero cmo se van
generando las dimensiones por analoga e iniciando con la dimensin
cero. Dimensin 1: una recta Dimensin cero: un punto O Un segmento
construido a partir de un punto O, teniendo a ste como un extremo o
vrtice. O O A
Dimensin 2: una segunda recta perpendicular a la anterior indica
la segunda dimensin. Un cuadrado construido a partir de un segmento
perpendicular en O al segmento OA. C B