Matemática I

INDICE

01) Plano Cartesiano y Funciones

02) Operaciones con Expresiones algebraicas, monomios y polinomios

03) Multiplicación y División de Monomios y Polinomios

04) Ecuaciones Cuadráticas de 1ª Grado, sistemas de ecuaciones suma y resta

05) Resolución de sistemas 3x3, productos naturales

06) Binomios conjugados, Factorizar, Raíz Cuadrada, completar el trinomio al cuadrado perfecto

07) Factorización de una diferencia de cuadrados, Factorización de un trinomio

08) Solución de ecuaciones completas de segundo grado, completar el trinomio al cuadrado

perfecto con 3 términos

09) Formula General para la solución de ecuaciones de 2 grado

10) Geometría, triángulos_ Equilátero, Isósceles, Escaleno, Teorema de semejanza.

11) Teorema de Pitágoras y aplicación del teorema

12) Cuadriláteros_ paralelogramo, trapecios, trapezoides, propiedad de paralelogramos Teoremas

13) Circulo_ radio, diámetro, tangente, secante, cuerda, flecha, arco_ ángulo=central, inscrito,

exterior

14) Repaso

15) Trigonometría, funciones trigonométricas Tangente y cotangente, obtener funciones

trigonométricas

16) Funciones reciprocas, encontrar demás funciones, seno natural resolución de problemas

usando función

17) Ley de senos, estadística y probabilidad

18) Resuelve por sustitución y ejercicios

19) Representación de números en notación exponencial, múltiplo, divisor y resta

20) Simetría Axial y bilateral, triángulos, cuadriláteros, polígonos regulares e irregulares, aplicación

21) Números Reales

22) Lista de elementos del conjunto, propiedades de números reales, ejercicios

23) Desigualdad, intervalos, notación de conjuntos e intervalos, ejercicios

24) Valor absoluto, propiedades de desigualdad

25) Resolución de desigualdades ejercicios

26) Operación con fracciones algebraicas_ suma, resta, con fracciones, suma y resta combinadas

27) Conversión a fracciones, decimal periódico a fracción común_ suma, resta, multiplicar, dividir

28) Multiplicación de polinomios con exponentes literales, multiplicación con fracciones, división

de polinomios

29) Radicales, introducción al factor radical, resta y suma de radicales, multiplicación de radicales

30) Multiplicación de radicales compuestos, racionalización del denominador

31) Racionalización de denominadores (binomio), expresar con exponente positivo

32) Simplificar y expresar sin exponentes_ ni ceros_ 2do examen

33) Productos notables, producto de binomios conjugados, el cubo de productos notables,

producto de binomios

34) Factorización factor común monomio, a) factor común polinomio b) factor común polinomio

35) Examen bimestral enero – febrero

36) Fracciones algebraicas, resta, multiplicación, división

37) Ecuaciones de primer grado, problemas

38) Despeje de fórmulas, ecuaciones fraccionarias de primer grado

39) Gráfica de una función lineal, examen bimestral

40) Sistema de Ecuaciones

41) Método de Igualación

42) método de sustitución, método de reducción ( + y - )

43) Determinantes

44) Resolución de un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas

45) Ecuación de segundo grado

“PLANO CARTESIANO”

Cualquier # se puede representar en 1 recta numérica.

Para representar cualquier punto en 1 plano necesitamos una abcisa (eje de las x)y una ordenad (eje de las y)a este plano se le llama plano cartesiano Estás dos rectas numéricas se cruzan perpendicularmente y se subdividen en espacios equidistantes de tal forma que a cada extremo se le asignan 1 número (positivo hacia la . y y negativo hacia y hacia ) El punto donde se unen las 2 lineas se le llama origen y se le asigna el # 0 cero; de tal forma que forman 4 cuadrantes. Cualquiera. queda determinado inequivocamente x 2 distancias, pero si solo se tiene una sola distancia ésta en el mismo ambas medidas reciben el nombre de coordenadas.

Nota : siempre se ponen primero las abcisas y despues las ordenadas para expresar 1coordenada ( 1,-2 ) FUNCIONES Y es función de X cuando por cada valor de X corresponde 1 valor Y como a X se le pueden dar valores advitrarios se le llama variable independiente, como y depende de X se le llama variable dependiente la forma general de las funciones de 1er grado es.

y=ax+b

Cuando B es igual a 0 la función es y.=ax Teorema 1 La representación gráfica de 1 función de la forma y=ax es 1 linea recta que pasa por el origen. La representación gráfica de 1 función de la forma y=xb es 1 línea paralela a la línea yax que corta al eje de la y en el punto o,b

Teorema 2 La graficación de las funciones de la forma x

yfx x1

,2 ==

cbxy ax ++= 2 son siempre curvas

532

2............3

=+≤=+≤

y

xxy

“OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS” Monomio :es 1 expresión algebraica que no contiene signos de +o – ejem.

( )3

22

5220

53....................

p

xabab−

• coeficiente - números • literal –letras

2 monomios son similares cuando varios monomios lo unico que diferencia es el coeficiente.

ejem. ba 2....3 ba 2......21

Polimonios. estan formados X monomios que se suman o restan . ejem.

baba 22

213 +

Se llama grado de 1 monomio en relación con 1 de sus letras al exponente de esa letra. un polinomio que tiene exponentes se ordena de mayor a menor o viseversa el grado de 1 litoral , siguiendo esta fórmula.

Cuando son dos o más polinomios se ordena uno entre sí y luego se suman . ejem.

[ ] [ ]

21523

215223

521323

38425.6

384........2621

438..2126

yyxyx

yyxyxx

xyyxyx

++++

++−++−

−+−+

“MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS ”

El multiplicando y el multiplicador se llaman factores. Ley conmutativa .- el orden de los factores no altera el producto.

abc = cba= bca= cab = bac Ley asosiativa .- los factores de la multiplicación pueden agruparse de cualquier modo.

abc = ab C = bc a Ley de signo .- el signo producto de dos factores es más si los signos son iguales y menos si son distintos. Cuando multiplicamos más de dos factores el número de signos – es non el resultado será – si es par, es igual a más. Ley de exponentes.

mnmn aaa +=• Ley de coeficientes .-el coeficiente del producto de dos factores es igual al producto de los coeficientes.

aaa 933 =•

Ley de Signos.-

(+)(-)=- (-)(+)=-

(+)(+)=+ (-)(-)=+

“MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS ”

-Se multiplican los coeficientes -Se acomodan las letras por orden alfabético poniendo a cada letra el exponente que le corresponde.

“MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS ”

Se hace la multiplicación de cada monomio y el producto se suma.

“PRODUCTO CONTINUADO DE POLINOMIOS”

“DIVISIÓN DE MONOMIOS”

-Ley de signos. -Ley de exponentes.

35

3

5

3

5

1+

−

−

==

=

a

a

a

a

a

aa

a mnm

n

“DIVISIÓN POLINOMIOS”

ECUACIONES CUADRISTICAS 1er GRADO

El cuadrado del primero más doble del segundo multiplicado por el segundo más el cuadrado del segundo. Así se reduce las elevadas al cuadrado a ecuaciones del 1er grado, y la ecuación cuadrática se resuelve como una de 1er grado. Sin embargo quedan por terminos cuadrativos, pero de ambos lados de igual distribución, que son eliminadas, por tener valor equittivo.

SISTEMA DE ECUACIONES

La edad de P es el triple de la de Juán y ambos suman 40.

SUMA Y RESTA

RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE 3x3

PRODUCTOS NATURALES

Para complicarse, puede sacar cada una de las áreas y sumarlas, o dos figuras más las otras dos, etc.

TIPS: El primero al cuadrado, el Segundo al cuadrado , el primero por el segundo por dos. Al multiplicarse, los exponentes se suman. Al dividirse se restan.

“BINOMIOS CONJUGADOS”

22))(( bababa −=−+ El primero por el segundo y se multiplican los signos. Se llaman binomios conjugados porque a pesar de tener la misma literal, un signo es diferente. x+i Se suman : el cuadrado del termino común, el producto de esté termino x+n + nx +ni por la suma de los términos comunes y el producto de los x2+ix dos últimos . x2+ ( n+i )x +ni

FACTORIZAR

Es descomponer un número en sus factores primos Para factorizar un monomio:

a) Se busca la raíz cuadrada del numero b) A los exponentes se dividen entre dos

( )24386 3............9 baba

PARA FACTORIZAR UN POLINOMIO a) Se busca el factor común ( M.C.D.) de los números b)Se toman las literales con los exponentes más chicos c) Se divide cada monomio entre a) y b). Ejem.

)4(............4 223223 babababa ++ Para factorizar un trimonio al cuadrado perfecto

2

2

)3(

96

+

++

y

yy Es como productos notables pero en retroceso.

La raíz cuadrada del primer término más la de tercero al cuadrado

RAÍZ CUADRADA

242 3......9 abba Raíz cuadrada de los números y los exponentes de los literales se dividen entre dos.

COMPLETAR EL TRINOMIO AL CUADRADO PERFECTO

( ) 243

2496

91596

2

6915

2

66

156

2

2

2

222

2

=+

=+++=++

+=

++

=+

x

xx

xx

xx

xx

El termino con número y literal al número se divide entre dos y luego al cuadrado. este resultado se suma en

ambos lados del igual . Para encontrar el trinomio al cuadrado perfecto para quitarle el “cuadrado” se le saca raíz

cuadrada y tan tan. se saca siempre y se comprueba.

FACTORIZACIÓN DE UNA DIFERENCIA DE CUADRADOS

( )( )

))((

...............22

22

axax

ax

conjugadobinomioaxaxax

−+−

−=−+

Con el resultado, buscamos el binomio conjugado. Tips. A los términos se le saca raíz cuadrada y los resultados se multiplican entre sí una vez con – y otra con +. Si no se puede sacar exacto se deja señalada

FACTORIZACIÓN DE UN TRINOMIO DE LA FORMA

Tips. Ver productos de dos binomios de término común dos puntos atrás. Buscamos los números que multiplicados den el último termino y sumados den el segundo. Para factorizar siempre buscamos el número es más grande. Si el último término es una de ellas es negativo si el segundo término es positivo, el número mayor es el más y el menor el negativo y viceversa. Si el último término es positivo y el segundo negativo los dos números son negativos.

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

RESOLVER CUANDO FALTA EL TÉRMINO LINEAL

La raíz cuadrada del final, puede retener ambos signos, + o –, x que, x ejem.

366366 22 =+=−

TIP. En el segundo valor de X, es el aditivo a la inversa. ( +5 - 5 )

SOLUCIÓN DE ECUACIONES COMPLETAS DE SEGUNDO GRADO

Primer método factorización

TIPS. Para los términos no comunes, se buscan los números que multiplicados den el término independiente (–4) y sumados den el termino lineal (3x). En los dos valores, se sacan por el aditiva a la inversa de los términos no comunes. Otra manera de obtener los términos no comunes es factorizando los términos independientes y el lineal.

Si el término independiente es negativa, el primero de los términos no comunes será negativo. Si el término lineal es positivo, el negativo será el término no común mas chico Si el término independiente es primo, generalmente no se usa factorización.

COMPLETAR EL TRINOMIO AL CUADRADO PERFECTO CON LOS TRES TÉRMINOS

FORMULA GENERAL PARA LA SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

( )

a

acbbx

a

acbabx

a

acbabx

a

acbabx

a

b

a

c

a

bx

a

b

a

c

a

bx

a

bx

acxa

bx

a

cx

a

bx

a

cbxax

cbxax

2

4

2

42/

2

42

4

42

42

42

0

0

0

2

2

2

2

22

2

22

2

222

2

2

2

2

−±−=

−±−=

−±=+

−=+

+−=

+

+−=

++

−=+

=++

=++=++

todo se divide entre a el término independiente pasa al otro lado se factoriza lado izquierdo comúndenominador de a y

24a como en fracciones, la suma o de diferentes denominadores el cuadrado de la izquierda pasa como raíz cuadrada al lado derecho Nota:se saca raíz al denominador el término lineal pasa al otro lado

GEOMETRÍA TRIANGULOS

Es un polígono de tres lados y su suma de los ángulos interiores es de 180° Se clasifican por: a)Tamaño de sus lados Equilátero: todos los lados iguales Isósceles: dos lados iguales y uno desigual Escaleno :todos los lados desiguales a)Por sus ángulos : Equiángulo: todos los ángulos iguales (cada uno 60° ) Acutángulos: tres ángulos agudos Rectángulo: un ángulo de 90° Octusángulo: dos ángulos agudos y un obtuso TEOREMA 1 La suma de los ángulos interiores es 180° c TEOREMA 2 El ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los ángulos no interiores adyacentes de él.

Teorema 1

B + E + F = 180°

TIPS: A = F C = E F = 180° - G G = - F D = 180° - E E = 180° - D

Teorema 2

B + F = D G = B + E

TIPS: A = 180° - ( B + C) B = 180° - ( A + C) C = 180° - ( B + A)

Dos triángulos son congruentes entre sí, si sus tres lados son iguales (LLL). Dos triángulos son congruentes entre sí, si tienen un congruente, y los lados que lo forman son iguales (LAL ). Dos triángulos son iguales si tienen un lado adyacente a 2 iguales. (ALA ).

“SEMEJANZA”

Dos figuras semejantes si existe entre ellas una relación a escala, donde la escala es la razón de proporcionalidad entre ellas. TEOREMA DE SEMEJANZA Si se traza una paralela a la base de un triángulo, el triángulo que se forma es semejante al triángulo original.

TEOREMA DE PITÁGORAS

Lados adyacentes al ángulo recto, son los catetos, (a y b ) El lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa ( c )

La suma de los cuadrados de los catetos es igual a el cuadrado de la hipotenusa.

22

22

22

222

acb

bca

bac

cba

−=

−=

+=

=+

APLICACIÓN DEL TEOREMA PITÁGORAS

a = x b =2x – 4

hipotenusa = 12

Encontrar los valores.

( )

( )

7.3

9.6

)5(2

)128)(5(41616

128

16

5

0128165

014416164

14416164

14442

2

1

2

2

22

22

22

−==

−−−±−=

−=−=

=

=−−=−+−+

=+−+=−+

x

x

x

c

b

a

xx

xxx

xxx

xx

Se elevan al cuadrado los valores.

Se hace el cuadrado del segundo término. El 144 pasa al otro lado y se iguala a cero. Los valores semejantes se suman. El valor de a es el término cuadrático. El de b será el del lineal. y de c el independiente. Con los valores de se sustituyen la ecuación de segundo grado, en su fórmula general. Se resuelve.

CUADRILATEROS Son las figuras de cuatro lados. CLASIFICACIÓN DE CUADRILATEROS 3.- PARALELOGRAMOS.- Lados opuestos, iguales y paralelos

2.- TRAPECIO.- 2 lados paralelos.

3.- TRAPEZOIDES.- Ningún lado paralelo.

PROPIEDAD DE PARALELOGRAMOS

a) Los diagonales se interceptan en su punto medio

b)Los lados opuestos de un paralelogramo son congruentes.

c) Los ángulos opuestos son congruentes.

d) La suma de los ángulos internos es de 360° e) Los ángulos contiguos de un paralelogramo, son suplementarios f) Los diagonales de un rombo, son bisectrices de sus ángulos internos

g)Las diagonales de un rombo forman 4 ángulos de 90°

TEOREMA 1 La sumatoria de los ángulos interiores son igual 360° TEOREMA 2 En todo paralelogramo los lados opuestos y los ángulos internos son iguales. TEOREMA 3

En todo paralelogramo las diagonales se cortan en el punto medio.

CÍRCULO Es el área plana e interior de una circunferencia y tiene área exclusiva. Es una curva cerrada plana cuyos puntos mantienen una distancia constante llamada radio, un punto fijo llamado centro circunferencia y sólo tiene longitud . RADIO.- Segmento que parte del centro de cualquier circunferencia a un punto de la misma. DIÁMETRO.- Es la línea que cruza la circunferencia sin cortarla y pasando por el centro. TANGENTE.- Es un segmento que toca a la circunferencia en un punto llamado de tangencia por fuera de ella. SECANTE.- Es un segmento que corta a la circunferencia en dos punto sin pasar por el centro. CUERDA.- Es el segmento que toca a la circunferencia en dos puntos sin cortarla y sin pasar por el centro. FLECHA. - Segmento que queda limitada entre la cuerda y la circunferencia. ARCO.- Línea curva limitada por dos puntos de la circunferencia.

ÁNGULO CENTRAL.- Es aquel formado entre 2 radios y medido desde el centro de la circunferencia.

ÁNGULO INSCRITO.- Es el que está formado por dos cuerdas que no pasan por el centro de la circunferencia, y su vértice se encuentra en un punto de la misma .

ÁNGULO EXTERIOR.- Formado por dos rectas secantes que se cortan fuera de de la circunferencia.

ÁNGULO EXCÉNTRICO.- ángulo interno formado por el cruce de dos cuerdas que no se cruzan en el centro de la circunferencia.

REPASO REV. MARZO 27

Resuelve Factorización

( )

21

0

0)2(

02

2

02

02

31.........0

03

03

3

03

3

2

2

2

2

2

2

=

==−

=−

=−

=−

−==

=+

=+

=+

−=

x

x

xxx

xx

xx

xx

aa

aaa

aa

aa

aa

3

0

0)3(

03

32

2

==

=+−+=−

=

m

m

mm

mm

mm

)2)(1(

0914

914

)2)(2(

044

)2)(6(

0128

2

2

2

2

−−=−+

=+

++=++

++=++

cc

cc

cc

xx

xx

aa

aa

( )

2

52

32

72

34

492

34

91023

49104

93

2

310

2

33

103

0103

2

1

2

2

222

2

2

−==

+±=−

==

=−

=+−

+=

+−

=−

=−−

y

y

y

y

y

yy

yy

yy

yy

5

3

41)4(

14

434

2

43

2

4

34

034

2

2

222

2

2

=−=

−±=−±=

+−=−

+−=

−

−=−=+−

x

x

x

xx

x

x

xx

xx

435

435

354

35)4(

35168

2

819

2

88

198

0198

2

1

2

2

222

2

2

−±=

−±=

±=+

=+=++

+=

+

+=+=−+

x

x

x

x

xx

xx

xx

xx

1

64

10144

10014

)2(2

)24(419614

)12)(2(419614

2

4

.................

012142

2

1

2

2

==

±=

±=

−±=

−±=

−±−=

=+−

x

x

x

x

x

x

a

acbbx

cba

xx

121

321

12

1)2(

4344

2

1

2

2

=+−==+=

±=−=−

+−=+−

x

x

x

x

xx

19.12

38.2

19.42

38.82

38.532

293

2

2093

2

)5(493

)1(2

)5)(1(493

............

053

............

53

1

1

2

2

=+=

−=−=

+−=

±=

+±=

−−±=

−−±−=

=+−

−=

x

x

x

x

x

x

x

acb

mm

acb

mm

2

82

1062

64366

2

)16(4366

(/)2

)16)(1(4366

.............

0166

166

2

1

2

2

−==

±=

+±=

−−±=

−−±=

=−−=−

x

x

x

x

x

x

cba

xx

xx

8.12

164

10064

22

==

+=

+=

c

c

c

bac

TRIGONOMETRÍA

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

TIPS. Seno, siempre es igual a

Coseno, siempre es igual a

El seno del A es igual al coseno de B El Coseno del A es igual al seno del B

TANGENTE Y COTANGENTE

OBTENER FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

sen A 4.104 ==

cos A 8.108 ==

tan A 5.84 ==

cot A 2.48 ==

sec A 25.1810 ==

csc A 5.2410 ==

FUNCIONES RECIPROCAS

Son las que al multiplicarse da uno 2/1 y ½ son reciprocas por que : 2/1 x ½ = 2/2 = 1

a

bA

b

cA

a

cA

b

aA

c

bA

c

aAsen

=

=

=

=

=

=

cot

sec

csc

tan

cos

1(tan)(cot)

1(cos)(sec)

1)(csc)(

===•=

===•=

===•=

ab

ab

ba

ab

a

b

b

abc

bc

cb

bc

b

c

c

bac

ac

ca

ac

a

c

c

asen

c

asenA

senAAc

aB

c

bA

AAsenc

bsenB

ABBA

=

=−=

=

=−=

−==+

)90cos(...........cos

cos

cos)90(...........

90.........90

AA

AA

AAa

bA

AAa

bB

sec)90csc(

csc)90sec(

tan)90cot(

cot

cot)90tan(..........tan

=−=−=−

=

=−=

FUNCIONES RECIPROCAS Sen A = 2/3 sen A = .52 csc A = 3/2 ? cos B = .52 cot A = 5/8 tan A = 3/7 tan A = 8/5 ? cot B = 3/7

ENCONTRAR DEMAS FUNCIONES

“ SENO NATURAL “

COPIA DE TABLA

Para buscar el valor del seno natural, por el eje de 40°, como en el plano cartesiano buscamos el punto donde se unan la línea de 40° con 0 minutos. El resultado será: Buscar sen de :

SEN 27° 32° .4622 Tip : Las cós se restan y las demás se suman.

“ RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS USANDO FUNCIONES”

Resolución de triángulo.

NOTA: No se usa ni la secante, ni la cosecante.

Datos conocidos 85 m de altura 40° 30’

Problema. Es saberlo plantear usando el método de arriba. Desde una embarcación se ve un faro con ángulo de elevación de 10°15’. Se sabe que el faro tiene 45 metros de altura sobre el nivel del mar. Calcular la distancia que hay entre la embarcación, y el faro.

“ LEY DE LOS SENOS “

En todo triángulo los lados son directamente proporcionales a los senos de los ángulos opuestos.

TIPS. A los triángulos acutángulos, se dividen a la 1/2 para resolverlos como triángulos rectángulos. Alos triángulos obtusángulos se les toma en cuanta la altura.

Para sacar la altura usamos 2 de las fórmulas de la ley de los senos que tengan los datos que conocemos.

“ ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD “

1.- Rango: Lo obtenemos restando la cifra más baja a la mayor.

2.-Para saber cuántas estaturas hay entre 2 cifras determino la amplitud como yo quiera, en éste caso la amplitud es 3.

1.73 3.-Después obtenemos el punto medio que hay en la amplitud 4.-

5 moda = el dato que mas se repite 1.62 6 mediana = el dato de en medio de todos los datos 1.65 5 media = promedio aritmético 1.64

Media Se multiplica el punto medio por la frecuencia se suman los resultados, se divide la suma entre el número de datos Para la amplitud que es de 3 se hace contando

RESUELVE POR SUTITUCIÓN

317

22

36

1325)

63

=

−=

−=

=−=+

x

y

yx

yxa

yx

1722

2217

5301317

13215

13215305

132)36(5

−=

−=−−−=−

=−−=−−−

=−−

y

y

y

yy

yyx

yyx

45

71

2443)

175

=−−−=

−=+−−=+

x

yx

yxb

yx

( )

31201

)5(245

20213

2445

213

2445

713

−−=

−=++

−=++

−=+−−−−

y

yy

yy

yy

3

48

7798)

834

xx

yxc

xy

−=

−=+=+

5

3295

356

3231

6477350

773

183264

7793

3264

7793

488

=

−=−

=

−−=−

−=−−

−=−−

−=−

−

y

y

yy

yx

yy

271533

2761

58

2587)

85

=−=

+=

=+−=−

x

y

yx

yxd

yx

2761

562527

25835

2583556

258)58(7

2557

−=

+=−=+−

=++−=++−

=+−

y

y

yy

yy

yy

yx

5

0414235593

04)7(2)1()7(5)3(3222

2

==+−−−−++−

=++−+−++−

x

xxxxxx

xxxxxx

138

813

2012301698

25830121216912

)52)(46()34)(43(22

=

=++−=+−−+

+−−=+−−−=−−

x

x

xxxx

xxxxxx

xxxx

112

12

1212

51283825

5123825252

5)4)(32()52)(1(22

=

−=

−=+−−=++++

+−+−=++++−+=++

x

x

xxxx

xxxxxx

xxxx

01

0

01

391015146535

639105143

)213(3)2(514)3(1552

2

=−=

=−++−−=+−+−

−+−+−−=−+−+−−=+−

x

x

xxxx

xxxx

xxxxxx

Novecientos ochenta billones. 980 000 000 000 000 000 Ejercicio.

Valor absoluto y relativo 3480 3 3 000 6932 9 900 72 7 70 8 000 000 8 8 000 000 5 5 5

REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS EN NOTACIÓN EXPONENCIAL

Ejemplo: 586680500)10(6)10(8)10(5586

586680500)1(6)10(8)100(5586012 =++=++=

=++=++=

Se pone el exponente correspondiente de acuerdo al número de números que esten al lado derecho del número. Cualquier número elevado a la cero potencia es uno. Cualquier número elevado a la un0 potencia es el mismo número. Ejercicio. Resuelve en la forma desarrollada y exponencial

)10(3)10(3)10(4)10(5)10(3)10(2)10(24332000235000

433...235000..2000)1(3)10(3)100(4

)1000000(5)100000000(3)100000000(2)0001000000000(2433...000.2000235

4251)10(1)10(5)10(2)10(44251

4251)1(1)10(5)100(2)1000(44251

100032)10(2)10(3)10(11000032

1000032)1(2)10(3)1000000(21000032

895)10(5)10(9)10(8895

895)1(5)10(9)100(8895

353)310()10(5)10(3353

253)1(3)10(5)100(3353

253...4000)10(3)10(5)10(2)10(4253....4000

253..4000)1(3)10(5)100(2)1000000(4253....4000

01267812

0123

016

012

012

0126

++++++==+++

+++==+++=

=+++==++=

=++==++=

=++==++=

=++==+++=

=+++=

MÚLTIPLO

Es el resultado de multiplicar un número, por otro número natural. Ejem. 20 X 2 = 40 Múltiplos 4 X 2 = 8 El primer múltiplo de cualquier número siempre es cero

Ejem. 20 X 0 =0 Múltiplos 4 X 0 =0

El número de multiplos de un número es infinito

“DIVISOR” Es el número que divide exactamente al número en cuestión Ejem.

números en cuestión

10220

224

=÷

=÷ cocientes exactos

divisor Los números primos nunca tienen un divisor.

“ RESTA “

Es la operación que tiene por objeto encontrar la diferencia entre dos cantidades. signo de menos - 10 minuendo 5 sustraendo 5 resta o diferencia Comprobación: Se suma el sustraendo y la resta o diferencia y el resultado debe de ser igual al minuendo.

SIMETRÍA AXIAL Y BILATERAL

INTRODUCCIÓN: En éste tema estudiaremos las características que poseen las figuras como las reflejadas en un espejo con respecto a las originales.

SIMETRÍA AXIAL Y BILATERAL

Las figuras reflejadas en un espejo son simétricas con respecto a la línea donde se apoya el espejo en el papel ; a está línea también se le llama eje de simetría

Propiedades de la simetría con figuras respecto al eje de simetría: a)Simetría de puntos. El simétrico del punto P con respecto al eje de simetría es llamado P´ (se lee como P prisma ) y si éstos dos puntos son simétricos respecto a esta línea: 1.- P y P’ están a la misma distancia del eje de simetría . 2.- El segmento PP’ es perpendicular a dicha recta.

b)Simetría de figuras.

Si dos figuras son simétricas cualquier punto cualquiera punto de una de las figuras es simétrico a su punto primo ( de la otra figura ) respecto al eje de simetría.

c)Simetría de Figuras entre sí. También una sola figura puede ser simétrica y tener uno ó más ejes de simetría .

¿ Cuantos ejes de simetría puede tener una figura ? Triángulos:

CUADRILÁTEROS:

POLÍGONOS REGULARES; Tienen el mismo número de ejes que de los lados que tiene.

POLÍGONOS IRREGULARES Pueden o no tener ejes de simétria.

APLICACIÓN DE LA SIMETRÍA AXIAL

Sirve para: A. Trazo de puntos simétricos. 1.- Se baja una perpendicular desde el punto P hasta el eje de Simetría. 2.- Se prolonga la perpendicular hasta tener en el lado opuesto la misma distancia que hay entre P y el eje de simetría.

A éste punto le llamaremos P’ . B). Trazo de segmentos simétricos. 1.-Localizamos los puntos primos de A y B como en el procedimiento anterio. 2.- Unimos A’ y B’ para obtener el segmento A’B’ como simétrico de AB.

C) Trazo de polígonos 1.-Se localizan los puntos primos como en el primer procedimiento. 2.-Se unen los puntos A’ y B’, B’ y C’ C’ y D’ y D’ con A’.

COMENTARIO PERSONAL

En realidad el tema de Simetría Axial y Bilateral, no está tan deficil como había oído. Lo único que si no puede comprender fue la diferencia entre la Simetría Axial y la Bilateral, así como su diferencia de la Simetría común que nos habían enseñado en la primaria.¿Es lo mismo o no?. Agradecería que explicara mi duda en clase.

BIBLIOGRAFÍA Trate de buscarlo en mí enciclpedia pero n o venía nada. Así que únicamente lo pude sacar del libro que manejamos en la clase pero me parecío que trae una información muy completa, no tanto como lo traería uan enciclopedia, pero esta entendible el concepto. TITULO: Matemáticas 1 EDITORIAL: Limusa LUGAR: México FECHA:1993 EDICIÓN: primera AUTORES: Guadalupe Alamaguer,Leticia Rodríguez, Juan Manuel Balzadua. ILUSTRACIONES: Dolores Cortés, Edmundo Santamaría, Francisco Cantú

“NÚMEROS REALES”

El conjunto de número más fundamental con el que empezaremos, es el conjunto de los naturales

N = 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6, 7, 8, 9,.................

Esté es un ejemplo de conjunto infinito, porque no existe el último número del conjunto. Los miembros de un conjunto finito se puede incluir en una lista y contar, por ejemplo el conjunto de los números naturales menores que 5.

A = 1, 2, 3, 4. Otro conjunto es del de los números naturales aumentados, que es el conjunto de los números naturales incluyendo el cero.

W = O, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,..........

Sí tomamos la recta numérica que abarca los enteros positivos, negativos, y el que formamos el conjunto de los números enteros

E = -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, -0, 1, 2, 3, 4, .............

El conjunto vacío carece de elementos y se simboliza así:

Ó

Aunque no hay número natural entre 5 y 6 existe infinidad de números en medio de ellos como 5.2 43/8, etc. Esté tipo de números que se puede escribir como el cociente de dos enteros ( a / b con b diferente a 0), es el conjunto de números racionales o fracciones . Todo entero es un número racional porque se puede escribir como el cociente de dos enteros ( 5/1, -10/1 ) Pero no todos los racionales son enteros .

NOTA Cuando se dice el conjunto de números naturales <3 . el número, en este caso el 3 no se incluye.

E = 1, 2,

Cuando es un conjunto de número natural mayores a 8, el número, en este caso el 8, no se incluye y el conjunto es infinito.

E = 9, 10,..

En los conjuntos de número natural negativos los > -5 serían los menores

E = - 4, -3, -2, -1, y viceversa.

Cuando un conjunto es de número natural entre 8 y 12, estos dos números no se incluyen.

E = 9, 10, 11,

EJEMPLO

1. conjunto, de número natural <3 E = 1 ,2 2. conjunto, de número natural <8 D = 1,......7 3. conjunto, de número natural >10 X = 2......9 4. conjunto, de número natural entre 1 y 10 U = 11, 12 , 13 ........ 5. conjunto, de número natural entre -3 y 4 Y = -2, -1 , 0 , 1 , 2 , 3 6. conjunto, de número natural -> -5 A = - 4, -3 , -2 , -1 7. conjunto, de número natural <2 R = 1 ,2 4. conjunto, de número natural entre 5 y 6 D =

Los números racionales pueden ser decimales exactos o decimales periódicos

Algunos decimales no son exactos ni periódicos, porque no pueden expresarse como el cociente de A/ B, éste es el conjunto de los números irracionales, como el número π , raíz de 2, raíz de 5, etc. Cuando se combina el conjunto de los números racionales con los irracionales se obtiene, el conjunto de los números reales.

Nat. 1 N . E – FRAC U RAÍCES NR = TODO Nat. AV 0,1 N . R – FRAC NR = RAÍCES Con el siguiente conjunto de elementos:

π,23,62.4,18,6

19,5,3,8.1,

5

3,0,4 −−−

LISTA LOS ELEMENTOS DEL CONJUNTO QUE SON:

a) Número Natural 18, b) Números Naturales Aumentados 18,0 c) Números Enteros 18,0,- 4, - 23

d) Números Racionales 23,4,18,462,18,619,5

3 −−

e) Números Irracionales ,5.3, −π

f)Números Reales 619,5,3,8.1,5

3,0,4− π,23,62.4,18 −

4,109,23.1,3,7,3

15,2

1,4,6 −−−

a) Número Natural 4 b) Número Natural Aumentado 4 c) Número Entero 4, - 6, - 4

d) Número Racional - 1.23, 109

,21

,315

e) Números Irracionales ,3,7

f) Números Reales 4,109,23.1,3,7,3

15,2

1,4,6 −−−

PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES

Para números reales a, b, c Adición Mult iplicación

Propiedad Conmutativa a + b = b + a ab = ba

Propiedad Asociativa ( a + b ) + c = a + ( b + c ) ( ab ) c = a ( bc )

Propiedad de Elemento Neutro a + 0 = a

0 cero Elemento neutro

a – 1 = a

1 Elemento neutro

Propiedad de los Inversos a + 0 ( -a ) = 0 11 ==− aa

aa

es para que el resultado sea el elemento neutro

Propiedad distributiva a ( b + c ) = ab + ca

Propiedad Multiplicativa del cero ( a ) a X 0 = 0

Propiedad de la doble negación - ( -a ) = a

Ejercicio: Nombrar propiedades por cada expresión: .

ciónMultiplicaInversos

AdiciónInversos

vaDistributiyxyx

AdiciónInversos

AdiciónNeutroExx

ciónMultiplicaNeutroE

vaDistributixx

AdicióndeaConmutativxx

AdicióndeAsociativaopiedadxx

xx

.........123

32)10

.........0)3(3)9

......77)(7)8

.......0)4(4)7

.........0)6

.......414)5

.....6

)2(33)2(3)4

...............33)3

......Pr).........32(3)2)(2

66)1

=×

=+−+=+

=−+=+

=•

+=+

+=+++=++

•=•

Completa enunciados usando la propiedad indicada.

( )( ) zyxzyx

yxyx

yy

xyyx

xx

xxyyyx

xx

yxyx

xx

xx

xx

xx

3333)187

37

3)17

88)(8)16

)359(9)35)(15

2,2)142

1,12)13

12,12)12

4)4()11

1313)10

52,2

5)9

1515)8

)35(2)32(5)7

)()6

1233)4(3)5

156)52(3)4

0)3

)32(3)2)(2

33)1

−+=−+

−+

+=++++=+++

++

+−=−−

=−•−

=•

++=++=−−

++=+++=+

=++=++

+=+

“DESIGUALDAD”

Resolver una desigualdad es encontrar el conjunto de los números reales que la hacen verdadera en contraste con una ecuación, cuyo conjunto solución consta de un solo número el conjunto solución de una desigualdad consta de un intervalo completo de números o en algunos casos la unión de algunos casos la unión de varios intervalos.

323

233

1763

6173

=

=+==−

x

x

x

x

6.73

23

233

6173

617......3

<

<

<+<

<

x

x

x

x

x

Intervalos La doble desigualdad describe un intervalo abierto ( a< x < b ) que consiste en todos los números comprendidos entre a y b sin incluir los extremos a y b la designaremos mediante el símbolo:

La desigualdad a x b describe a un intervalo cerrado que si incluye los extremos a y b y se denota así:

Nota : Observar forma de paréntesis ([ siextremocerrado

noextremoabierto

....

....

==≤=•===<==

TIPS

Los paréntesis redondos ( ), no entran extremos Con los paréntesis cuadrados [ ], sí entran los extremos La flecha indica infinito Notación de conjuntos Notación de intervalos Gráfica x: a < x a (a , )

R (- , )

Ejercicio: Dibujar cada uno de los siguientes intervalos en la recta numérica. Notación de conjuntos a) (-4 , 1)

b) [0 , 6)

c) [7 , )

d) [-7 , 2]

e) [-3 , 5)

f) (- , -2]

Escribe en notación de conjuntos e intervalos Notación conjunto Notación intervalo s

(2, 7)

[-3 , 4)

(- , -2)

(-4 , )

[-1 , 3 ]

Encontrar valor absoluto de Escribir > ó < = entre los dos valores para

que sea positivo |-4|=4 |5/3|=5/3 |-8|=8 |0|=0

a) |-3| = |3| b) |-3| < |-4| c) |6| < |8| d) -|4| < |-3| e) -|-6| < |-5| f) |6| = |-6| g) |9| > |3| h) |-16| > |-5| i) |-9| < |3|

j) –4 = -|4|

“ VALOR ABSOLUTO “

El valor absoluto de un número es la distancia que hay entre el cero y ese número sobre la recta numérica. El símbolo se utiliza para indicar el valor absoluto

El valor absoluto de cualquier número diferente a 0, siempre es positivo. El valor absoluto de cero, es cero. Si a representa cualquier número real entonces: a si a ≥ 0 ( positivos ) -a si a < 0 (negativos ) Ejercicio. Ordenar de mayor a menor a) 6, 2, - 1, I 3 I, I 5 I b) 4, -2, 8, l – 6 l, - l 3 l c) l 9 l, l 4 l, l –12 l, l 3 l, l –5 l d) – l 5 l, - l 6 l,- l 7 l, l –8 l, l –9 l

6, 5, 3, 2, - 1, 8, 6, 4, -2, 12, 9, 5, 4, 3 9, 8, -5, -6, -7

NOTA. En el ejercicio siguiente se deben resolver por orden así: 1.- [ ] 2.- ( ) 3.- valor absoluto 1.- Potencias y Raíces 2.- Multiplicaciones y divisiones 3.- Suma y Resta

TIP. Resolver de adentro hacia fuera Ejercicio

[ ][ ][ ]

1461442

122

)3(42

)25(4)24).(1

2

2

2

=++

+

−+÷

39126

9)6(2)2(3

9242643

3242643).3 2

=+−+−

+−−−−

+−−−−

( )23

1

23

12

203

222

)4(53

2532

37526).2

==−

+=÷−

+÷−+−+÷

07

0

92

44

9)1(2

3124

9)54(2

3124).4

==+−

−=+−÷−

+−÷−−

( )

( )( ) ( )( )

105

9

37

153

614

153

614

1513

32

26

151

15

1093

25

33

3122

163

25

33

3122

16

32

533

).5

−=−

−

−

−

−

−=−=−=

−

−

−−

−−

¿ Que propiedad se aplicó ?

1) dos entre dos reflexiva 2) sí x = a 5, entonces 5x simétrica 3) sí x + 2 – 8 entonces 3 = x+2 simétrica 4) sí x = 3 y 3=y entonces x=y transitiva 5) sí x= 4 entonces x+3 = 4+3 reflexiva transitiva 6) sí 2x = 4 entonces 3 ( 2x ) = 3 ( 4 ) reflexiva

PROPIEDADES DE LA DESIGUALDAD

Para todos los números reales a, b, c a = a Propiedad Reflexiva sí a = b, entonces b = a Propiedad Simétrica sí a = b y b = c entonces a = c

Propiedad Transitiva

.

Ejemplos. Propiedad Reflexiva.

3=3 x + 5 = x + 5

3232 22 −+=−+ xxxx Propiedad Simétrica sí x = 3 entonces 3 = x sí y x + 4 entonces x + 4y sí y = 2x + 2x –3 entonces 2x + 2x – 3 = y Propiedad Transitiva sí x = a y a = 4y entonces x = 4y sí a +b = c y c = 4r entonces a + b - 4r sí 4k +3r = 2m y 2m = 5w + 3 entonces 4k + 3r = 5w + 3

“ DESIGUALDADES “

Los símbolos de la desigualdad son:

> mayor que ≥ mayor ó igual que < menor que ≤ menor ó igual que

Una expresión matemática que contiene uno o mas de los símbolos anteriores se llama desigualdad. La dirección del símbolo de desigualdad es en ocasiones llamado sentido de la desigualdad . Algunos ejemplos de desigualdad con una variable son: 2x + 3 5≤ 4x < 3x –5 -3 5+−≤ x 032 ≥+x Para resolver una desigualdad se debe despejar la variable en un lado del símbolo de desigualdad. Para despejarla se usan las mismas técnicas empleadas en la solución de ecuaciones.

PROPIEDADES

1) sí a > b, entonces a + c > b + c 2) sí a > b, entonces a-c > b - c 3) sí a > b y c > o, entonces ac > bc 4) sí a > b y c > o, entonces a/c > b/c 5) sí a > b y c < o, entonces ac < bc 6) sí a > b y c < o, entonces a/c < b/c

Las dos primeras propiedades, establecen que el mismo número puede sumarse o restarse en ambos lados de la desigualdad. la tres y cuatro indican que ambos lados de la desigualdad pueden multiplicarse o dividirse por cualquier número real positivo. En la quinta y sexta indican que cuando ambos lados de la desigualdad se multiplican o dividen por un número negativo cambia el sentido de la desigualdad.

Ejemplo.

7 > 2 12>8 7 ( - 1 ) 2 ( -1 ) 12 < 4 8 < 4 -7 < - 2 - 3 < - 2

El conjunto solución de 1 desigualdad con una variable puede graficarse en la recta numérica o escribirse en la notación de intervalos SOLUCION DE LA DESIGUALDAD

SOLUCION INDICADA EN LA RECTA NUMERICA

SOLUCION REPRESENTADA EN NOTACIÓN DE

INTERVALOS

x > a

(a , )

x a

[a , )

x < a

(- , a)

x a

(- , a]

a < x < b

(a , b)

a x b

[a , b[

a < x b

(a , b]

a x < b [a , b)

El circulo sombreado indica que el final es parte de la solución El circulo sin sombrear indica que el final no es parte de la solución En la notación de intervalos, los corchetes se utilizan para indicar que los intervalos finales son parte de la solución y los paréntesis, para indicar que los intervalos finales no son parte de la solución. El símbolo infinito indica que el conjunto solución continua indefinidamente y siempre se usa el paréntesis

Ejercicio:

SOLUCIÓN DESIGUALDAD RECTA NÚMERICA SOLUCIÓN EN NOT. INTERVALOS

x 5

[5 , )

x < 3

( , 3)

2 < x 6

(2 , 6]

-6 x -1

[-6 , -1]

-4 x <2

[-4 , 2)

“RESOLUCIÓN DE DESIGUALDADES”

32

6

62

6122

1262

<

<

<−<

<+

x

x

x

x

x

(- , 3)

72

14

142

8653

8563

85)2(3

−≤−≤

≤−+≤−+≤−

+≤−

x

x

x

xx

xx

xx

Al multiplicar o dividir no cambia el signo La desigualdad cambia cuando el número es negativo

(- , -7]

multiplicamos por el mínimo común múltiplo de los denominadores

(- , 3.7]

EJERCICIO:

( ) ( )

7.3726

.........1452

5214

163668

366816

3623244

34

2324

12

34

2324

=≤−

−≤

−≥−−−≥−−

−≥−−≥−

−≥−

−≥−

y

ddesigualdalacambiaojoy

y

yy

yy

yy

yy

yy

Un pequeño aeroplano puede transportar un peso máximo de 1500 cuando el tanque de gasolina esta lleno. El piloto debe transportar cajas de 80 a)Escribir una desigualdad que pueda utilizarse para determinar el número máximo de cajas que pueda transportar el piloto si él, pesa 125 b)calcular el número de cajas que se puede transportar en el viaje 1500 - 125 1375

cajas

cajas

x

x

x

x

..17

....1875.17

1875.1780

1375

137580

125150080

≤

≤

≤−≤

18.7500 - 1.5625 17.1875

La tarifa de un taxi es de 1.75 por la primera media milla, y 1.10 por cada media milla adicional. a)Escribir una desigualdad que pueda utilizarse para determinar la distancia máxima que una persona puede viajar con 12.35 pesos b) Resolver

10.100.10

60.1010.1

75.135.1210.1

≤

≤−≤

x

x

x

12.35 - 1.75 10.00 9+1=10 medias millas 5. millas

Tarea:

12

6

66

3924

9234)1

<

<

<−+<+

+−<+

x

x

x

xx

xx

(- , 1)

00

8844

8484

84)2(4)2

≤+−≤−

−≤−−≤−

xx

xx

xx

NO HAY SOLUCIÓN

234

68

6834

1850259

2550189

)510(5)63(3

3

510

5

6315

3

510

5

63)3

≥

≥

≥+≥+

−≥−−≥−

−≥−

−≥−

x

x

x

xx

xx

xx

xx

xx

[2 , )

Un conserje debe llevar una remesa grande de libros del primer al quinto piso. En el ascensor hay un letrero que indica “peso máximo 900 ”.Si cada caja de libros pesa 75 . Calcular el número de cajas que se pueden meter en el elevador.

1275

900

90075

≤

≤

≤

x

x

x

Si el conserje del ejercicio anterior pesa 170 . Debe subir con las cajas, determina el número de cajas.

9

.....75

730

73075

17090075

≤=

≤

≤−≤

x

cajasdenúmerox

x

x

x

Un avión bimotor debe despegar con una carga máxima de 1800 . Si el peso total de los pasajeros es de 725 . Señalar peso máximo de equipaje y carga.

x

x

≥−+≥

7251800

7251800

1.075

Un estacionamiento cobra 75 por la primera hora de servicio y 50 por cada hora adicional. ¿Cuánto tiempo puede estar un auto si el dueño no quiere más de pagar 3.75?

7 horas

42

8

82

41235

43125

>

>

>−+>−

−>−

x

x

x

xx

xx

ientoestacionamhorasx

x

x

x

x

..

7

650.

350

75.350

≤≤≤

≤

≤

(4 , )

34

12

124

14273

27143

−≥−≥

≤−+−≤−−≤−

x

x

x

xx

xx

[-3 , )

( )

75

35

355

35306

3056

1033523

>

>

>++>−

+>−

+>−

x

x

x

xx

xx

xx

(6 , )

( )

83

24

243

8161012

8101612

2254434

225443

≤

+≤

+≤++≤−+

+≤+−

+≤+−

+≥+−

x

x

x

xxx

xxx

xxx

xxx

[8 , )

21

84

48

48

22026452

20452226

)5)(4(26)1)(2(22

>−

−>

−<−−<−

++−<−−+−+++<−+−+

++<+−+

x

x

x

x

xxxx

xxxxxx

xxxxx

12

2

22

46763

4726263

)4)(12()3(2)2(322

≥

≥

≥−+≥−+

−+≥++−+−≥++−

x

x

x

xxx

xxxxx

xxxxx

[1 , )

77

49

497

686315124

63158124666

6315)81246(66

)215(3)23)(42()9(6

22

22

2

−>−>

<−−−+<−+−

+<++−−+

+<−−+−++<+−−+

x

x

x

xxx

xxxxx

xxxxx

xxxx

(-7 , )

1.16

7

76

25137

513627

6

)13(52)23(1223

52

13

12

22

≤−

−≤

−≥−−−≥−+

−+≥++

−+≥++++≥

−+

x

x

x

xx

xxxx

xxxxx

x

x

x

(- , 1.1]

( )

613

78

7813

4236103

3610342

635276

>−

−>

−<−−−<−−

−<−

−<−

x

x

x

xx

xx

xx

5.722

15

2

2

2

4

1524

7877273

8723

<≤

<≤

<≤+<+−≤+−

<−≤−

x

x

x

x

x

[2 , 7.5)

123

575552

752

<≤+<+−≤+−

<−≤−

x

x

x

[3 , 12)

“OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS”

OPERACIONES ALGEBRAICAS Sumas

Resta De 1969 23 −+− xxx restar 32 6432111 xxx +−+

Con fracciones

TIP: Se hace la suma de cada uno, como en cualquier fracción

Suma y resta combinada Restar 53 24 +− aa de la suma de 13;19;819145 24523 −+−−++−+ aaaaaaa

Multiplicación -Ley de los signos -Multiplicar coeficientes -Copiar literales en orden alfabético -Sumar exponentes de letras iguales ( )( )2222 423652 yxyxyxyx −++−

22

2

423

652

yxyx

yxyx

−++−

“DESIGUALDADES CONTINUAS”

151 ≤+< X

Debemos dejar sola la x en ½

424

.....5.............575551

−≤<−−≤−+<−

x

todoenrestamosesoparax

(-4 , 5]

( ) ( )

126.43

36

3

3

3

14

3643414

440344410

403410

5855

34)5(2

85

342

−<<−

<−<−−

−<−<−−<−−−<−−

<−<−

<

−<−

<−<−

x

x

x

x

x

x

x

(- , -12) (4.6 , )

Tarea:

55.32

10222

7

1027

3733234

7324)1

<≤

<≤

<≤+<+−≤+

<−≤

x

x

x

x

x

[3.5 . 5)

( )

666.11.16

46

66

7

467

81288681

12861

643212

64321)2

<<−

<<−<<−

−<−+<−<+<

<+<

<+<

x

x

x

x

x

x

x

(1.11 , .66)

5.675.24

244

44

11

27411

32433438

24348

122

3442

122

344)3

≤<

≤<

≤<+≤−+<+

≤−<

≤−<

≤−<

x

x

x

x

x

x

x

(2.75 , 6.5]

012

02

22

2

022

4444242

4422

312

3

)42(33

6

12)42(36)4

<≤

<≤

<≤+−<+−≤+−

−<−≤−−<

−−−≤−

<−−≤

x

x

x

x

x

x

x

(- , 0) [1 , )

1333.6

66

66

2

662

41064442

10642

)2(5)2(2

64)2(1

52

641)5

−<<+−<−

−<−

<<−−<−−<−

<−<

<−<

<−<

x

x

x

x

x

x

x

(.333 , ) (- , -1)

RADICALES Radical es toda raíz indicada de una cantidad. Si una raíz es exacta es una cantidad racional, y si no es irracional. Para simplificar un radical, se reduce a su más simple expresión. Un radical está reducido a su más simple expresión, cuando la cantidad subradical es entera y del menor grado posible. Se simplifica un radical descomponiendo el coeficiente en sus factores primos, y dividiendo los exponentes entre el índice de la raíz. Caso 1. Cuando la cantidad subradical contiene factores cuyo exponente es divisible entre el índice de la raíz.

3 83250 4 ba

/1

55

525

5125

2250

3 22

3 83

3 83

202

2

2

8 3 1

0

3 3

2 02

2 4 )5(

bab

ba

ba

Lo descomponemos en factores primos

Agrupamos en grupos de números iguales. El número de miembros lo determina la raíz, en este caso 3 (cúbica)

El número que sobra 2 se queda adentro. El número igual queda afuera y multiplica

Los exponentes de cada letra se dividen entre la raíz

El cociente queda afuera y el residuo adentro

TIP Si los exponentes no son divisibles se queda adentro Si el número es primo, se queda adentro.

/1

33

39

218

2318 =

/1

33

26

212

224

248

483

321

48)3(4

3

3

22

21/2(4)

/1

22

24

28

216

232

264

2128

1282/1

=

1

22

510

550

25

505 2

ba

ba

INTRODUCCION AL FACTOR RADICAL

Para introducir factores en un radical se eleva dicho coeficiente a la potencia que indique el índice del radical.

1)1)(1( a)-(1

)1(a)(1

a-1

a1 a-1

27)(27 )()3( 3a

4 2 2

22

3 83 263 2323 22

22

aaaa

babaabaaba

aaa

−=+−=+−⇒

+

==⇒

=→

2

2

4

Se multiplican

232)1( 1-x

2-x71)-(

1-x

2-x 1)-(x

22)2(1 1)(x

21)(x

1

2x 1)(x

b)(a

)(ba

b)(a

b)(a

ba

a ba

128)8(32 8)2( 82a

168)2(64 2)4( 24m

)( )( a

2/14/2)4/1(2 )2/1(2 21/2

25 )5( 5a

45 )5(9 5 3

2

22

2222

4 354 344 334 3

433 33 2

342222222

2

22

+−=−−=⇒

+=+=+

+=+

+

+=+

+=+

+=+

+

===

===

===

====

==

==

xxxxx

xxxxx

x

baaa

baabaabaab

mmmmmm

babababaabbab

aab

RESTA Y SUMA DE RADICALES Se simplifican los radicales dados, se reducen los radicales semejantes y se escriben los radicales no semejantes con su mismo signo.

9834871294502 −−+

/1

55

525

375

3225

2450

/1

33

26

212

/1

33

26

212

224

248

/1

77

749

298

31029

328221

318230

221 328 318 230

2)7(33)4(73)2(92)15(2

−

+−

++

−−+

−−+

Todas deben tener indice igual para hacer el paso

El primer paso es simplificar cada raíz

TIP Los términos semejantes son los que están dentro de la raíz, osea los que hacen al número de adentro en común.

Resultado

180

9

163

6

180

4

1 −−

/1

55

210

220

240

280

/1

33

39

763

/1

55

210

330

390

2180

72

15

3

1

53

27

2

151

51

6

9

17

1

3

6

15

1

4

4

1

−

−−

−

−

MULTIPLICACIÓN DE RADICALES

Se multiplican los coeficientes entre sí y las cantidades subradicales entre sí, colocando este último producto bajo el signo radical comúny se simplifica el resultado.

630

1506

)103)(152(

6

6)217/2)(142/1(

23

18)6)(3(

=

=

10

10a

ax

10a

x

10)5/1)(2( 2

x

a

aa

xaaax =

Resultado

TIP Con fracciones las operaciones y el procedimiento es igual

Se simplifica

TIP. Se multiplica lo de afuera con lo de afuera y lo de adentro con lo de adentro

No se puede simplificar

“MULTIPLICACIÓN DE RADICALES COMPUESTOS”

El producto de un radical compuesto por uno simple se encuentra como el producto de un polinomio, y el producto de dos radicales compuesto s como el producto de dos polinomios.

Tip Cada termino del primer paréntesis se multiplica con cada termino del segunda paréntesis. Luego los resultados de cada multiplicación se simplifican y si hay términos semejantes se suman.

“RACIONALIZACIÓN DEL DENOMINADOR”

Convertir una expresión radical con un radicando f raccionario en una forma la cual no aparezcan radicales en el denominador, se llama rac ionalización del denominador. Para racionalizar el denominador se multiplica el n umerador y denominador por la expresión con las potencias, que hagan exacto al de nominador para poderlo extraer de la raíz Lo que hay que hacer es sacar el denominador afuera , por que adentro no puede estar.

Tip Lo que hay que hacer es descomponer al número de de nominador para que quede en forma de potencia. Luego agregar (si es necesario) ese mismo número para que el exponente del número sea múltiplo del radical, (raí z cuadrada, cúbica)

3

27

27

27

27

27

27

1

27

122

+=−

+=

++

−=

−

22523

2656

25

2656

25

2656

25

25

25

6

25

622

+=+=−+=

−

+=

++

−=

−

( ) ( ) 510510

55105

510

55105

510

510

510

5

510

522

−=−−=

−

−=

−−

+=

+

( ) ( )72132

6

7121312

713

7121312

713

7121312

713

713

713

6

713

1222

+=

+=−+=

−

+=

++

−=

−

( ) ( )

2

3153252

35

9153252

35

9153252

35

35

35

32

35

3222

+++=

−+++=

−

+++=

++

−+=

−+

2

1015253

2

1015253

53

25215253

53

53

53

521

53

521

+−+−=

−−+−=

−−+−=

−−

++=

++

7631

4363

32

624296

32

32

32

223 −−=−

++=−

+++=

++=

−+

“RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES (BINOMIO)”

Se multiplica el número y denominador por el conju nto del denominador

xa

axxa

xa

xaxaxa

xa

xa

xa

xa

xa

xa

−+−=

−−+−=

−−

++=

++

4

2

)()2(

22

2

2

22 22

22

“EXPRESAR CON EXPONENTE POSITIVO”

271

313 3

3 ==−

Se pasan Se resuelve abajo

( )64

1

2

122

2555

5

5

5

243

1

7

1

7

7

7

7

3

1

3

3

3

3

3

3

16

1

2

1

22

122

11

11

11

6632

21

3

3

1

46

2

2

6

22

1

1

2

43131

77

===

===

===

===

==×

=×

===

−−

−

−

−

−

−

−

−−

se multiplican los exponentes

( )( )

( )

9

3

9

33

3

1

4

2

2

42

1

2

2

2

22221

221121

331

333

16

9

2

3

3

2

3

2

25

9

25

3

5

35353

9

2

3

23232

2733

aaa==

===

====

===

==

−

−

−

−

−

−

−

−−−

−−−

−−

Escribir s/denominador, usando exponentes -, si es necesario

231

423

431

253131233

310

4321

21132124

32

6246322632

2

333

3

323

2

232

3

5

32

3

313

23

232

3

333

ba

a

cba

cbacbcba

cba

cba

bcababac

ba

cbacbbaacba

ba

bab

a

bab

a

bab

a

−

−−

−

−−−−−

−

−−

−−−

−

−−−−−

−−

−

−−

−

−−

=

−

−=

==

=

=

=

SIMPLIFICAR Y EXPRESAR S/EXPONENTES ; NI CEROS

2

27

2

27

221

27

221

43

1402

321

181921321323 u

wy

u

wy

u

wy

u

wwvy

wyu

wyuz =••

===−−

−−

3

35

3

33

3

33

412

3323

324

0312

2

27

16

216

16

1216

4

16

36

4

f

hg

f

hg

f

hg

ff

hgfg

hgf

hgf ====− −−

−−

696

93

2

3

dcd

c

d

c ==

−

−−

66

2

6

6

22

3

0

1

2

1

1z

z

zz

w ===

+−

−−

3

123

22

110103 253535 55 ====

4

134

38

1774 84242 3939 =====

9

1

81

1

81

181 11121121

21

21-

21

===== +

1640963 6435364 464322

32

=====

2515625312531252

32

===

9)3)(3()9)(273(927 27

9 31

31

===−

501250003)1000)(125(3 =+=−−

+

++

yx

yxyxy 222 2008xa)

aaaaaaaa

aaa

5754552

80520aa)2 23

=++

++

x

xxx

xxxb

12

589

2516293) 222

−+−+

( )( )

( )( )

79135111

81635111175

)7(8835111)5(35

4988355535562535

785571157

96)6(162566

32382324

3

+−

+−

+−

+−−

−−

== xxxx

xxx

ciónMultiplica

( )( )

151355

45151310

)3(151510153)5(2

9151510153252

3352355

+

++

+++

+++

++

( )( )

xaxa

xaxaxa

xaxa

253

263

3222

−−

−−+

+−

2do examen

3

9

4

43

64

125

4

5)

x

y

yx

yxa =

1)0

=

b

( )( )

( ) 56234

11123

3

232)

yxyx

yxyxc =

−−−

4 343

44) xxd =

3 2223 57435

37

2 333) bccbacbacbae ==

21

) aaf =

35

32

31

3 52 55) cbacabg =

mnmnh 531255

3) 36 =

3443 13124 235) yyxyxi =

242 7535) yxyxj =

23)1)(2()1(

)1)(2(

)1(

)2()1)( 2

2

+−=−−=−

−−=−−− xxxx

x

xx

x

xxk

nmmnmnmnnmnm

mnmnnmnml

−=−+−

−+−=

22432

41692) 2222

( )( )

)(5666

)(6)(56

)(6)(4)(96

3223)72

xaaxaa

xaxaaa

xaxaaxaaa

xaaxaam

++−−

+−++

+−+−++

+++−

axaaxx

x

x

ax

xa

xaxn == 2

22

4)

32

23

σ

xyx

yyx

xx

yx

xx

xyx

x

yxo 3

3

575

3

1

3

75

33

325

3

25)

253

242

53

3

52

3

52

===•

•=

zxx

zy

zyxxx

zyx

xx

xzy

x

zyp

234

1012233

333

10122

322

221012

3

1012

22

1282

1

2

128

.2.2

232

2

32) ===

( )( )

( )( ) ( ) ( )

1)1(21

1)1(2

)1(

1)1(2

)1(

)1()1()1(

1

1

1

1)

72

22

++=−

−+−=

+−−−+−

+−

+−+−+−=

+−+−=

+++−

aaaa

aa

aaaa

aa

aaaaaaa

aa

aa

aa

aaq

Examen bimestral enero – febrero

Productos notables 1. 22 )68( xyx + 2324 369664 xyxyx ++=

2. )65)(65( 22 +++− xxxx 366025 24 −+−= xxx

3. )35)(53( 22 xyyx mm +− ma yx 22 259 −=

4. 322 )3/22/1( yx + 642246 27/83/22/18/1 yyxyxx +++=

5. )8)(6( 3333 +− yxyx 482 3366 −+= yxyx Factorización 6. )48362412 4534232 nmnmnmnm +−+

)4321(12 33222 nmnmmnnm +−+ 7. )2(2)2(3 −−− xyxx )23)(2( yxx −− 8. nmmnm 8463 2 −+− )23)(2( +− mnm

9. 3/36/2525/1 24 xx −+ 36/253/25/1 42 xx +− 10. 22 )(4))((12)(9 yxyxyxyx +++−+−

)5( 2yx −

11. 1242 225196 zyx −

)15z14()15z-14( 6262 +xyxy 12. 22 49)(4 yax −+ )722()722( yxayxa −+++ 13. abbxyayx 10251249 222 −−−−+ )235()235( yxbayxba −+−−−++ 14. 1281 48 ++ mm )149()149( 2424 +−++ mmmm

15. 60172 −− xx )3()20( +− xx

FRACCIONES ALGEBRÁICAS Todo es simplificar usando los casos anteriores.

65

6

6

2

4

1222 +−

++−−

−+−−

aa

a

aa

a

a

a

)2)(3(

6

)2)(3(

2

)2)(2(

1

−−++

+−−+

−+−

aa

a

aa

a

aa

a

)3)(2)(2(

)6)(2()2()1)(3( 2

−−++++−+−−

aaa

aaaaa

)3)(2)(2(

1284434 222

−−+++++−++−

aaa

aaaaaa

)3)(4(

1932

2

−−+

aa

a

)1)(1(6

6 33x 2 2

)1)(1(6

6)1(3)1(2

)1)(1(

1

)1(2

1

)1(3

1

1

1

22

1

33

12

−+

−++++−

−++

−+

+

−+

−+

+

xx

x

xx

xx

xxxx

xxx

TIP En suma y resta no se factoriza el numerador

x # ? Resultado = ? d# : - término

común

)49(

4

)23)(23(

23

)23)(23(23

1

4923

1

22

22

yx

yx

yxyx

yxyx

yxyx

yx

yx

yx

yx

yx

−+=

+−−++

+−−+

−

−−+

−

)(

2

)(

)(

)()()(

)()(

22222

22

xaax

a

xaax

axax

xaax

aaxaxaxx

xax

a

ax

xa

xaa

xxax

a

ax

xa

axa

x

−=

−+−+−

+−++−

+++−

−+++

−

2222

2222

22

22

22

22

9

2

9

332

)3)(3(

3))(3(

)3)(3(

3

3

9

3

3

ax

ax

ax

xaaaxx

axax

xaaxax

axax

xa

ax

ax

ax

xa

ax

ax

−−=

−−+−−

+−−++−

+−−+

++

−−+

++

)2)(2(2

86

)2)(2(2

162263

)(

2)8()2)(1()2(3

)2)(2(

8

)2(2

1

)2(2

34

8

42

1

42

3

2

2

2

+−++=

+−++−++−

−+++−+−

−+++

−−+

+

−++

−−+

+

xx

xx

xx

xxxx

xaax

xxxx

xx

x

x

x

x

x

x

x

x

x

)(

22

)(

2222

))((

)(2)(2

)(

2

)(

2

22

22

22

22

22

22

baab

ba

baab

ababab

babaab

baabab

babbaa

bababa

−+=

−−++

−+−++

++

−

++

−

)5)(4(

50123

)5)(3)(4(

961682510

)5)(3)(4(

)3)(3()4)(4()5)(5(

)5)(4(

3

)3)(5(

4

)3)(4(

5209

3

152

4

12

5

2

222

222

++++=

+−++−++++++

+−+−−++++++++

−+−+

++−+

+++

−+−+

++−+

+

xx

xx

xxx

xxxxxx

xxx

xxxxxx

xx

x

xx

x

xx

xxx

x

xx

x

xx

x

Cambiamos los signos

22

2

22

22

222

22

9

3

9

)3(

)9(

33

)3)(3(

)3()3(

3)3(

39

ba

a

ba

abaab

ba

abababa

baba

baabaab

ba

a

ba

abba

a

ba

ab

−=

−−+

−−++

+−−++=

++

−

++

−

Resta

)1(8

7

)1)(1(8

23242

)1)(1(8

)23()12(2

)1(8

2

)1(4

1

88

2

44

1

2

2

22

22

−−

−+−−−+−

−+++−+−

−+−

+−

−+−

+−

x

xx

xx

xxx

xx

xxxx

x

x

x

x

x

x

x

x

)1(8

22

)1)(1(8

6427844

)1)(1(8

)3))(1(2(7)1(4)(2(

)1(4

443

)1)(1(8

1(8

88

7

)1(2(

222

2

2

22

2

2

−−+=

−+++−−−+

−+−+−−−+

−−−+

+−−−

−

++

+

a

aa

aa

aaaaa

aa

aaaaa

a

aa

aa

a

a

a

a

aa

)1(24

73113

)1)(1(24

73113

)1)(1)(1(24

2233336666

)1()1)(1(24

)1)(1(2)1)(1(3)1)(1(6

)1(12

1

)1(8

1

)1(4

1

1212

1

88

1

44

1

4

2

22

23

2

22323

2

22

2

2

−−+−=

+−−+−

+−++−−−−−−+−

+−+−+−++−+−

++

−−

+

++

−−

+

a

aaa

aa

aaa

aaa

aaaaaaa

aaa

aaaaaa

aaa

aaa

Factorizar

Si hay paréntesis iguales arriba y abajo se eliminan resultados Resultado

)2)(1()32(

47)2)(1()32(

96142

)2)(1()32(

)32(3)1()2(2

)2)(2(

2

3

)32)(2(

62

1

)1)(32(

352

2222

−+++

−++++−−−=

−+++++−−

+−−−

+

+−−−

−

++++

xxx

x

xxx

xxx

xxx

xxx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

Multiplicación Se factorizan numerador y denominador. Se simplifica suprimiendo los factores comunes en numeradores y denominadores. se multiplican entre sí las expresiones que queden.

)1)(3(

)13(*

)1)(43(

)2)(3(*

)2(

)1)(1(

34

43

62

6

2

122

2

2

2

−−+

+++−

+−+

+−++

−−−−−

+−

aa

a

aa

aa

aa

aa

aa

a

xx

aa

aa

a

a

1

2

2

22

2

2

)(

)2(

))((*

)(

)2(

2

2*

2

x

yxy

yxx

yxyx

yxx

yxy

xyx

yxyx

xyx

yxy

+=−

+++−

−++

+−

122

2

)(2

)1)(3(

)3(*

2

)1(2

32

3*

2

22

2

2

2

2

2

2

2

2

===

+−−+−−

−+

xx

x

xx

xx

xx

x

xx

xx

xx

x

xx

TIP Los productos notables se dejan igual.

Eliminamos los de arriba con los de abajo

Factorizamos

)1(2

1

)(6

)(3

)(6

3*

)1)(1(

)1()1(

)(6

3*

)1)(1(

)()(

66

3*

122

22

2

+=

−−=

−+++−+

−+++−+

−++−+−

aabaa

ba

baaaa

abaa

baaaa

babaa

abaaa

baaba

)1(

)(

))(1(

)(

)(

1*

)1)(1(

)(

)(

1*

1

)(

2

3

2

3

2

3

2

2

3

3

−−=

−−−

−++

++−+=

−++

−−

x

yx

yxx

yx

yx

xx

xxx

yx

yx

xx

x

yx

xx

x

a

x

xx

aa

a

x

a

x

xx

aa

a

x ==−+

+−=

−+

+− 222

2

2

*)1(

)1(*

1

1**

1

1

=+

−++−

+−+

+−−=

+++

+−+

−+

4

1*

)1(

)4)(2(*

)4(

)2(

4

1*

)1(

)4)(2(*

)4)(4(

)2(

44

4*

82*

16

2

2

22

2

23

2

2

2

xx

xx

x

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

x

xx

División Se hace lo mismo que en la multiplicación; pero antes del segundo término se invierten el numerador y el denominador.

xx −3

)3)(8(

)5)(7(

)8)(7(

)1)(5(

245

352

5615

562

2

2

2

+−−+÷

−−−−

⇒−−−+÷

+−+−

aa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

)5)(7(

)3)(8(*

)8)(7(

)1)(5(

−++−

−−−−

aa

aa

aa

aa

No eliminar directo

El numerador del segundo lo pasamos abajo y viceversa

49

32

)7)(7(

)3)(1(2

2

−−+=

+−+−

a

aa

aa

aa

32

2

22

3

22

2

5

)3(*

)3(

3

3

5

96

3

a

baab

ba

a

abba

a

baba

a ++

=+

÷++

102

7

2)5(

)7(

2

)6)(7(*

)6(

1

42

2

30

122 +

+=++=−+

−=

−+÷

−− a

a

a

aaa

aaaaa

xx

x

x

x

xx

xx

x

x

xx

xx

3

2

15

10

)32(2

1*

)1(15

)32(10

1

64

1515

30202232

2

==−

++−=

+−÷

+−

)7)(7(

)3)(1(

)5)(7(

)3)(8(*

)8)(7(

))(5(

245

352

5615

562

2

2

2

−+++=

−++−

−−+−=

−−−+÷

+++−

aa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

=49

322

2

−−+

a

aa

34

13

)13)(52(

)13)(13(*

)34)(34(

)34)(52(

16

5136

916

152682

2

2

2

−+=

−+−+

−+++=

−−+÷

−++

x

x

xx

xx

xx

xx

x

xx

x

xx

3

)3)(1(3

)1)(3(

)3(3

)1(

)1)(1(

93

341222

2

2

22

23

4

23

4

++−=

+++÷

−+−=

+++÷

−−

a

aa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

a

xx

xx

xxx

xx

xx

xxx

xx

xxx

x

x

)8(

)7)(5(

)255(

)7)(8(

)8)(8(

)255)(5(

56

255

64

1252

2

2

23

2

3

−−+=

+−−+÷

−++−+=

−++−÷

−+

3

1

)9)(6(

)9(

)3(

)6)((

9

543

3

622

2

23

2

+=

+−+÷

+−=

+−+÷

+−

aaa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

ECUACIONES DE PRIMER GRADO

3

22-

223x -

13954128

51341298

−=

−=−−=+−−

−−=−+xxxx

xxxx

2 x 32

64- x

6432x

485216325

216483255

)72(3)32(16)1(5

−=

=

−=−+−=+−+−−=++−

−−=++−

xxxx

xxxx

xxxx

6 x 3

18 x

183x

414738

1497348

=

=

=+=−−+++=+−

xxxx

xxxx

3 x 5

15- x

41413595

04142135593

04)7(2)0()7(5)3(3222

2

−=

=

−++−==+−−−−++−

=++−+−++−

x

xxxx

xxxxx

7 x 2

14 x

142x

5163117

3115716

=

=

=+−−=+−+

−−=+−+xxxx

xxxx

13

8 x

12203825

203812122512

)52)(46()34)(43(22

=

−=+−+−=+−

−−=−−

xx

xxxx

xxxx

1 x 11

11 x

1111x

3210615

3261015

)3()2(6)1015(

=

=

=+−=++−+−−−=−

+−++−=−

xxxx

xxxx

xxxx

3x

62x

51251212252

5)4)(32()52)(1(22

−=−=

+−+=+−+−+=++

xxxx

xxxx

1x 6

6-x

66x -

935853

958353

958)35(3

)95(8))3(5(3

=−

=

−=−=+−−−−−=−−−

−−=−−−+−−+=+−−+

xxxxx

xxxxx

xxxxx

xxxxx

3 x 2

6 x

1942x

16944

1)69(44

1)3()2(

22

22

22

=

=

++−==−+−+−

=+−−+−=−−−

xxxx

xxxx

xx

3

2

12

8 x

812x

52197859

095782159

09)5782(159

09))57(82()15(9

==

=++=++−−

=+−+−−−−=++−+−−−

=+−−+−+−

xxxxx

xxxxx

xxxxx

xxxxxx

5

1 x

20

4- x

420x -

2910131256

02359124105169

0235)9124(105169

0)1)(25()32()2(5)13(

222

222

22

=

−=

−=−+−−=+−−−

=++−−−−+−+−

=++−++−+−+−=−+−+−−−−

xxxx

xxxxxxx

xxxxxxx

xxxxx

Problemas

La suma de años de A y B es de 84. B tiene 8 años menos que A.

76-

8

84−

16

762

38

38

46

==

B

A

La edad de A es el doble de la B. Las 2 suman 36.

12a

a

3a

aa

=

=

==+

3

36

36

362

363

12

12

24

==

B

A

La suma de tres numeros consecutivos es 204, cuales son.

69,68,7

3/201

12204

20421

6R

x

3x

xxx

==

−−==++++

1 coche, 1 caballo y arreos, x$350. El coche es el 3 de los arreos, y el caballo el doble del coche.

35

350

35063

===++

x

10x

xxx

En un hotel de 2 pisos hay 48 habitaciones. Si las del segundo piso son la mitad del primero.

32y x

x

xx

16

3/48

482

===+

Arreos = 35 Coche = 105 Caballo = 210

Reparte 300 entre A, B y C. La de B sea el 2 de A y la de C el 3 de A.

50,100,150 x

x

6x

xxx

====++

50

300

30032

La edad de Enrique es la mitad de Pedro, la de Juan es 3 de la de Enrique y la de Eugenio es el doble de la de Juan. Todas suman 132. Enrique = x Pedro = 2x

11

12/132

132632

===+++

x

x

xxxx

Un hacendado compró el doble de vacas que de caballos. Por cada vaca pagó $70 y por cada caballo $85. El total fue de $2,700 ¿Cuántas vacas y caballos? Un padre pone 16 problemas a su hijo con la condición de que por cada problema que resuelva le dara $12 y por cada que no resuelva perderá $5. recibió $73.

7

x

9

73

1821216

−=

Un hombre al morir deja $16,500. Los reparte entre 3 hijos y 2 hijas. Cada hija $2,000 más que cada hijo. _ 16,500 3 hijos = 2,500 4,000 2 hijas = 4,500 12,500

Enrique = 11 Pedro = 22 Juan = 33 Eugenio = 66

Resueltos No resueltos

DESPEJE DE FÓRMULAS

a

et

22 = )2(2 −= NRs aev 2=

R H B

rA

r A

=

=

π

π 2

nbB

A

bBA

=+

+=

)(

2

2

bBn

bnA

bBn

A

bBnA

+=−

+=

+=

2

2

)(2

Vo a b

VoatV

atVoV

=−+=

at

VoV =−

22

222

222

cab

bca

cba

−=

=−

+=

a R P V

ar

U

raU

n

n

=

=

−

−

1

1

ra

Un

ra

U n

=−

= −

1

1

DVPV

PD

=

=

D

PV =

a R

nr

raU

rnraU

arnU

rnaU

=+−−=−

=−−−+=

)1(

)1(

r

n

aU

rnaU

=−−

−=−

)1(

)1(

Mínimo común multiplode 8 y

ECUACIONES FRACCIONARIAS DE PRIMER GRADO

−−=

−+

− )5)(2(

7

2

5

5

1

xxxx )5)(2( −− xx

7/36

7)5(5)2(2

=

=−+−

x

xx

3

412255

)13(42415

2

133

8

158

=

+=++=++

+=++

x

xx

xx

xx

-4x

3x

3x

xx

xxxxxx

=−=

−−==+++

++

++=

++

+

12

952

2592

)92)(5()92)(5(

2

92

1

5

1

x4

x44

xx

xx

xx

xx

==

−=−+−=+−

−=+−

−=+−

11

9206545

5204569

)14(545)23(3

3

143

5

2315

1t

4141t

3567043015

6470303515

5

3273

2

7310

==

−+=−++=−++

=

+=−++

ttt

ttt

tt

t

Dividimos los de afuera (lo de afuera es el común) entre un denominador y lo multiplicamos por el numerador

Resolvemos normal

TIP. Cuando tienen 2 términos los cruzamos multiplicando x/y = z/w xw = yz

GRÁFICA DE UNA FUNCION LINEAL Una función lineal se representa:

yxf

baxxf

=+=

)(

)(

3

62

0652

652)(

−−=

=++

++=

xy

yx

yxxf

a y b = Números reales GRAFICA = Linea recta

Primero igualamos a 0

Despejamos “y”

Damos diferentes valores a x, que los sustituimos en la y despejada y obtenemos otros valores de y.

EXAMEN BIMESTRAL Marzo – Abril

.I

)5)(3)(4(

50123

)5)(4(

3

)3)(5(

4

)3)(4(

5

209

3

152

4

12

5

2

222

+−+++=

++−+

−+++

−++

=++

−+−+

++−+

+

xxx

xx

xx

x

xx

x

xx

x

xx

x

xx

x

xx

x

244

9

)6(4

)9(

)11(2

)5(*

)9(2

)6(2*

)6)(6(

)11(*

)5(2

)9)(9(

222

5*

182

122*

36

11*

102

81

22

23

22

2

+−=

+−=

++

+−

−++

+−+

=+

++−

−+

+−

a

aa

a

aa

a

aa

a

a

aa

a

aa

aa

a

aa

a

a

a

a

aa

a

.II

2/38/12 x

09)57(82)15(9

===+−−+−+− xxxxx

3 x

1)3()2( 22

==−−− xx

110

57)15( =−−−− x

xx

5/1

10)57(1050110

571510

−=

=−−+−→

=−−+−

x

xxxx

xx

I .II Si un señor compró 96 aves y lo quepagó en total fueron $6,930. ¿Cuántas gallinas y palomas compró.

Palomas = $65 46 gallinas Gallinas = $90 50 palomas

a

ve

2

2

= aev 2= 3

2rhv

π= 2

3

r

vh

π=

SISTEMAS DE ECUACIONES

Gráfica Si una recta pasa por un punto, las coordenadas de este punto satisfacen la ecuación de la recta. Para saber, pasa por (2,3)

254y3x

183y(2,4)2x

1919

19154

15)3(5)(2

1952

=+=+

==+=+

=+

a

yx

Este sistema consiste en hallar el punto de intersección de las dos rectas. Si no tienen resolución, quiere decir que las rectas son paralelas; las ecuaciones incompatibles y tampoco hay solución si se trata de una misma linea recta.

Sustituimos coordenadas en ecuaciones

Si las coordenadas satisfacen, quiere decir que dichas coordenadas pertenecen a la recta

Sustituimos en ambas ecuaciones con 0 en x y y.

TIP. Podemos notificar que son una misma recta desde antes si una es multiplo de la otra

MÉTODO DE IGUALACIÓN

37

13)2(4

2- y

5

192

7

134

5

192

7

134

1425

1347

=+−−=

=

+==+−

+=+−=

=−=+

x

yx

y

yx

yx

yx

yx

Para sacar el valor de x, sustituimos el valor de y en cualquiera de la dos o x despejadas

Despejar y

Los igualamos

Despejar la misma variable en las 2 (x o y)

Nota. Haz la comprobación

3 x

4y

36/9y

45y180

4239189

3942189

39)627(7

7

39

1

627

937

726y

====

+=−+=−+=−

+=−=

=−=+

yy

yy

yy

yyx

yx

x

41/6y

12/28y

822y1

4260614

60642147

102

3

2

7102

263

7)5(2

2)2(3

===

+=−+=−

+=−=+

=+=+=+

yy

yy

yby

xy

yx

xy

yx

4 x

9y

18

46

3

6/463

66/823

6)6/41(2

==

=

−

−

-2y

4x

6/71-y

167y

2487y

62484

424

1

82

45295

302830

)45(295

302)8(30

==

=−=

−=+=+

+−=++−=−+=+−−−=−+=−−

yy

yy

yxx

yx

yxx

yx

5-y

34/170y

17034y

241802410

2418010105

860

3

22

6085

223

=−=−=

−−=+−−=+−

−−=+−

−=+−=−

yyy

yy

yy

yx

yx

4

3/123

1023

)5(22

−=−=

−−=

−+=

x

x

x

x

135/57x

8124 45180

24180 8145 9

65

36

95

9

66

36

927y

036297

686)(

0)18(297

6)86()(

−=−=−

+−=+−

+−=+−

+−=++−=

=+−−−=−−−

=−−−−=+−−

xx

xx

xx

xxxx

yxx

yyyx

yxx

yxyx

3y

22/66y

170522y

125 70-0y2 5

525

1

144

1

144 x-

1444x-3x

014443

0)12()1(5

0)72(243

==

++−=+−−=

−+=−−

−−=

−==+−−

=−−−=−−−

y

yxy

y

y

xyx

yx

xyx

2 x

1/2 x

2x -

14124x-x3

0144x-4(3)-x3

5

125 x

01255

=−−=

−=−=

=+

−++=

=+−−y

yx

x = 9 / 5 y = - 1 / 3

x - 6x + 6 = 9y 9

y

y

y

y

yxyxxy

yxxy

xyyx

===+

−=−

=−

+−=

−=−−−

=+−−−=−−−

12/5

918/45

45 108810

10845y -810 15

54

2

314

1432

54)9()6(

14)3()2(

172

34-

36/55/70- 2

/56314-

2

12/5)(314-

15-54/ x

54 15x-

5496

=−

+−+

−+

===−−− xxyxxy

x = 17 y = 12 / 5

METODO DE SUSTITUCION

2/1

546-30/2 y

1932

2458

2

245

1938

2452

=

−==

=−

−−−−=

=−−=+

x

yyy

x

yx

yx

3

340 x

3

841/12 x

3

8)41/3(4 x

3/41y

123 39

9627 192-231

23127y -8)-24(-4y

779y -8/3)-8(-4y 3

84 x

7798

843

−=

−−=

−−=

==

+=−=−=

−−=

=−=+

y

yy

y

yx

yx

36/43 x

180/152 x

180 215

20200 35-250

35200x-50220

354x)-50(520

74x)-10(54x

5

45 x

7104

554

===

−==+

=+=+

−=

=+=+

x

x

x

x

yx

yx

Despejamos x en una ecuación

Sustituimos en la otra

Resolvemos

y el valor de y lo sustituimos ahi

Resolver

Finalmente hacemos la comprobación en una original

x = -4 y = 5

x = 3/4 y = 2/5

5

2y

25y

5-7 510

7 1055

710y 4

20y-20

710y 4

5y-54

4

55 x

7104

554

=

==−

=+−

=

=+

−=

=+=+

yy

yy

y

yx

yx

4

34

15/54

10/5-25/54

10/5-5 x

4

)5/2(55 x

=

=

=

=

−=

x

x

x

MÉTODO DE REDUCCIÓN ( + y - )

2x

2613x

206y5x

-466y5x

-23)3y-(4x2

2334

2065

−=

−==+=+

=

−=−=+

yx

yx

5y =

multiplicamos para que una variable elimine al -

sumamos con la otra

despejamos

Sustituimos el valor de x en un original y resolvemos

1 x

8338

651520

-2715y-8x1

1334

956

==

=+=

=+−=−

x

yx

yx

yx

3y

15/5

515

956

=

==

−=−

y

y

y

Cuando hay denominadores en cualquiera, hay que sacarlos primero.

DETERMINANTES

115)20(351 72 4

5 5

46)81(35 7 27

3 5

23)12()35( 7 4

3 5

2774

535

=−=∆

−=−=∆

=−=∆

=+=+

y

x

g

yx

yx

523

115

9

223

46

9

==∆∆=

−=−=∆∆=

yy

xx

717

119

517

85

119)104()15( 5 8

13 3

85)20(-(-65) 5 5

4- 13

17)32()15( 5 8

4 3

558

1343

−=−=

−=−=

−=−−=−

=∆

−==−−

=∆

=−−−=−−

=∆

−=−=−

y

x

y

x

g

yx

yx

Primero sacamos los determinantes general, de las x y de las y

X’s Y’s

X’s

Con las determinantes sacamos el valor de x y y

Valor de la ecuación


Y’s

RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE 3 ECUACIONES CON

3 INCOGNITAS a) Determinantes

13

1426

132

=−+−=−−

=++

zyx

zyx

zyx

1 2 6

1 3 2

1 1 3

1 2 6

1 3 2

−−

−−

=∆g

27261)26(1)6218()964( =+=−−=−−−−−+=∆g

1 2 14

1 3 1

1 1 1

1 2 14

1 3 1

−−−

−−−−

=∆x

Las demás determinantes se sacan de la misma forma: poniendo el valor de la ecuación en el lugar de la letra de la determinante.

Sacamos determinantes g,x y y.

Repetimos los 2 primeros renglones

Multiplicamos en diagonal. (la suma ) – (la suma )

Repetimos las 2 primeras


Y Z

Multiplicamos y hacemos lo mismo

∆x = -54

-108z 81 =∆=∆x

Sacamos los valores dividiendo cada determinante entre la general.

427

108

327

81

227

54

−=−=∆∆=

==∆∆=

−=−=∆∆=

g

zx

g

yy

gx

x

334679

)30824()8980(

2 4 3

3 2 4

5 1- 2

2 4 3

3 2 4

352

1243

8324

=−+−−+−

=∆

=+−−=++

=++

g

zyx

zyx

zyx

_(Suma productos ) (Suma productos ) Valor de la ∆

233

66 z

668620

)18464()42448(

1 4 3

8 2 4

3 1 2

1 4 3

8 2 4

333

99y

9913839

)138(39

)120246()322720(

2 1 3

3 8 4

5 3 2

2 1 3

3 8 4

533

165 x

16510175

)2636(175

)101636()123160(

2 4 1

3 4 8

5 1 3

2 4 1

3 2 8

−=−=−=−

++−−−

−

−−

=∆

−=−=−=−

−++−−++−

−

−=∆

===+−−

−−−++

−

−−

=∆

z

y

x

360198162

)18180()9072(

30 12

18 3 3

0 2- 1

30 12

18 3 3

24096144

)6036()5430(

3 30 2

2 18 3

1 0 1

3 30 2

2 18 3

12018102

)10890()12018(

3 130-

2 3 18

1 2- 0

3 130-

2 3 18

20222

)2186()983(

3 1 2

2 3 3

1 2- 1

3 1 2

2 3 3

1820/360z 02 06/3/6/

1220--240/y 3032 12/6/3/

620/120 x 18233 33/2/2/

−=−−−−−−

−

−=∆

−=−−+−−−

−−−

−−−

=∆

−=−−−−−−

−−

−−

=∆−=−

−+−−+

−−

−−

=∆

=−−==+−→=+−==−=−+→−=−+=−−==−+→=−+

zy

xg

zyxzyx

zyxzyx

zyxzyx

b) Suma y resta

352 .3

1243 .2

8324 .1

=+−−=++

=++

zyx

zyx

zyx

4 2810 −=− zy 274 =− zy 5

5 x

-2z

-3y

66-198/y

1986

=

=

===− y

2z 3y 1 x

777

523

132

237

24462

132

523

12232

132

===

−=+−−=−−−=−+

==+

=++−−=−+

−=−−−=−−

−=−+

zy

zyx

zyx

zy

zyx

zyx

zyx

zyx

zyx

Tomo las 2 primeras ecuaciones y elimino x, el resultado va a ser la ecuación 4.

Hago lo mismo con la 1 y 3, determino x.

Hago todo el mismo procedimiento con la 4 y 5.

En la eciación 5 sustituimos el valor de y para obtener z y resolvemos.

Para obtener x sustituimos en 1 de las originales y resolvemos

1231433

11112327

12236

213510

3749

12236

=+=+−=++

=++=+−=++

zx

zyx

zyx

zyx

zyx

zyx

4y

3/12y

306123y

126330

12)3(23(5)6

5 x

33/165

1234233

123)3(1433

−=−=

−+==−+=−++

===−

=−+

y

y

x

x

x

3 z

6391530-

60101530

)3(213510

)5(12236

−=−=−−

=++−=++

=++

zyx

zyx

zyx

zyx

Problemas

6 kg de café y 5 kg de azúcar = $22.70 5 kg de café y 4 kg de azúcar = $18.80

6-18.80)4y5x(

5)70.2256(

=+=+ yx

20.3 x

6/20.19 x

20.19x6

70.2250.3x6

===

=+

70.y

80.11224x30

50.11325x30

==−−

=+y

y

4 vacas y 7 caballos = 514 8 vacas y 9 caballos = 818

)1889y8x(

2)51474(

=+−=+ yx

42y

5/210y-

210y5 -

818 9y x8

102814x8

=−=−=

=+−=−− y

55 x

4/220 x

2204x

2945144x

514294x4

514)42(7x4

===

+==+

=+

10 boletos adulto y 9 de niño = $51.20 15 boletos adulto y 17 de niño = $83.10

-0)21.38y715x1(

3)20.51910(

=+=+ yx

80.1y

7/60.12y

60.127

20.16034x30

60.15327x30

=−=−=−=−

=+

y

y

y

5.3 x

3510x

20.5120.16x10

===+

Azúcar = $.70 Café = $3.20

Caballos = $55 Vacas = $42

Niño = $1.80 Adulto = $3.5

ECUACION DE SEGUNDO GRADO Es toda ecuacion en la cual, una vez simplificada, el mayor exponente de la incógnita es 2.

01573 2 =+− xx

Completas Incompletas )0( 2 =++ cbxax )0ax 0( 22 =+=+ cbxax 1.Factorizando (ver caso VII)

3/1 x

13x 2x

01-3x 02-x

01)-(3x 2)-(x

1

)13(

3

)63(

06)3(79x

)0273(3

0273

2

1

2

2

2

===

==

=

−−=+−

=+−

=+−

xx

x

xx

xx

)3(2

)2)(3(4)7()7(

2

4

2

2

−−±−−=

−±−=

x

a

acbbx

3/16

2

6

57

26

16

6

57

6

257

6

257

6

24497

==−

==+±=±=−±=x

8

35293

8

)88(493

)4(2

)22)(4(4)3()3(

022342

2

+±−=

−−±−=

−−±−=

=−+

x

x

x

xx

8

1938

3613

±=

±−=

x

x

2

8/21

2

1

=−=

x

x

Se toma cada paréntesis como una ecuación 0

a = Coeficiente término al cuadrado b = Coeficiente término en primer exponente c = Término independiente

2. Fórmula

1.

128

287

10

28

4028

346

28

11566

28

1120366

28

)280(4366

)14(2

)20)(14(4366

020614

01552430923

1524953023

)583(353023

)1)(53(31

53251588

3)1)(53(

3)53(15)1(8

31

15

53

8

2

1

2

22

22

22

22

==

−=−=

±−=±−=

+±−=−−±−

=−−±−

=

=−+

=−−−+−++=−+

++=−+

++=−−+++

=++

−+−++

=+++

+

x

x

x

xx

xxxx

xxxx

xxxx

xxxxxxx

xx

xxxx

x

x

x

x

2.

18

0

2

0182

027979

27799

2

22

22

−===

=−=−+−

+=+

c

b

a

x

xx

xx

3-

34

12

4

144

)2(2

)18)(2(40===

−−= xx

3.

04425

4245

)2(245

2

2

2

=−+−

+=++=+

xx

xx

xx

0

4-

10

22

10

42

)5(2

)0)(5(4)2()2( 2

=±=±=−−±−−

= xx

4.

01444

013594

01359664

0135)32)(32(

2

2

2

=−=−−

=−−−+=−+−

x

x

xxx

xx

6

6-

8

48

8

2304

8

)576(40

)4(2

)144)(4(40

±=±=−−±

=

−−±=

x

x

5.

03

0632

6233322

)3)(2()1)(32(

)1)(3(.1

2

3

32

2

22

22

=−=−+−

+−−=+−−−−=−+

−−

−−=

−−

x

xx

xxxxxx

xxxx

xxx

x

x

x

1.7-

1.7

2

4.3

2

12

)1(2

)3)(1(4)0()0( 2

=±=

−−±−=

x

x

6.

0182

0992

992

6.2

3

6

9

3

2

2

2

2

=−−=−−−−

=−−

=

−−

xx

xx

xx

xx

0

1/2

4

1451

4

)36(411

)2(2

)18)(2(4)1()1( 2

±=−−±

=

−−−±−−=

x

x

INDICE

01) cálculo, funciones, diagrama de Venn, desigualdades, propiedades de las desigualdades,

intervalos

02) valor absoluto, ejercicios, producto cartesiano, funciones, relaciones pruebas de la vertical

03) clasificación de funciones, gráfica de una función, funciones de uso frecuente

04) operaciones con funciones, ejercicios de función, estudios límites

05) limites, ejercicios

06) teoremas para el cálculo de límites, ejercicios

07) racionalización, ejercicios, límites trigonométricos, identidades trigonométricas

08) ejercicios, límites laterales

09) continuidad, tipos de continuidad

10) derivada de una función, cálculo de derivadas, demostración de teoremas

11) derivada de una composición de funciones, derivadas de funciones trascendentes (directa)

12) funciones trigonométricas inversas, ejercicios, teoremas

13) derivadas de funciones logarítmicas y exponenciales, propiedades de los logaritmos, gráfica de

una función

14) derivadas sucesivas de una función, derivada implícita, ejercicios

15) aplicaciones de la derivada, ejemplos

MATEMATICAS IV BIBLIOGRAFÍA: Elementos de Cálculo Diferencial

Juan Laredo Santín Jorge Rojas González

Cálculo Diferencial e Integral Taylor y Wade

Introducción al Cálculo Diferencial e Integral Javier Barras Sierra

Cálculo Diferencial e Integral Serie Shaum’s

PROGRAMA: I. Funciones

II. Límites III. Continuidad IV. Derivada de Funciones Algebráicas V. Derivada de Funciones Trascendentes VI. Derivadas Sucesivas de una Función VII. Derivadas de Funciones Implícitas VIII. Aplicación de la Derivada

EVALUACIÓN: Si la calificación de > 6.0 las tarea tiene un valor extra de un

punto. Si la calificación es < 6.0 las tareas no tienen valor. * Estudiar Factorización con Productos Notables.

CALCULO CALCULO: Es una rama de las Matemáticas que se encarga del estudio, del

análisis y de la variación de las FUNCIONES. APLICACIONES:

Obtención de Ecuaciones de Rectas Tangentes a una curva. Velocidades y Aceleraciones Problemas de Optimización

FUNCIONES SISTEMAS NUMERICOS:

- Números Naturales (ΙΝ) + 1, 2, 3, 4, 5, 6… + Operaciones: Suma 2 + 3 = 5 ε IN

Multiplicación 2 x 3 = 6 ε IN + IN = 1, 2, 3,...

-Números Enteros (IE) + …-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,… + Operaciones: Resta 2 – 3 = -1 ε IE + IE = x x = b – a, b ϖ ε IN IE= …-3, -2, –1, 0, 1, 2, 3, + Operaciones: Suma

Multiplicación Resta

-Números Racionales (Q) + Q = x x = b/a, a ϖ b ε IE a ≠ 0) Q = x x tiene parte decimal periódica + Operaciones: Suma

Producto Resta División

-Números Irracionales (II) + II = x x tiene parte decimal NO periódica] + Ejem:

71.2

1416.3

4142135.12

==∏

ΙΙ∈=

e

-Números Reales (IR) + IR = Q U II -Diagrama de Venn

DESIGUALDADES

Es una expresión que indica que una cantidad es mayor o menor que otra, mediante los símbolos <, <, >, > Ejem: 3x + 2 = 5 (x + 1) Ecuación 3x + 2 > 5 (x + 1) Desigualdad

LEYES DE LAS DESIGUALDADES I.- LEY DE TRICOTOMÍA V a ϖ ε IR se cumple únicamente una de las siguientes expresiones:

a < b, a = b, a > b. Ejem: 5 > 3 II.- LEY DE TRANSITIVIDAD V a ϖ ε IR si a < b ϖ b < c ⇒ a < c Ejem: 4, 7, 15 4 < 7 ϖ 7 < 15 ⇒ 4 < 15

5

IE

Q II

IR

IN

PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES 1.- Si a los dos miembros de una Desigualdad se le suma ó resta la misma cantidad, ya sea positiva o negativa el sentido de la Desigualdad no se altera. Ejem: 4 < 15 4 + 8 < 15 + 8 12 < 23 2.- Si a los dos miembros de una Desigualdad se les multiplica ó divide por la misma cantidad positiva, el sentido de la Desigualdad no se invierte. Ejem: -4 < 10 9 > -6 -4(2) < 10(2) 9/3 > -6/3 -8 < 20 3 > -2 3.- Si a los dos miembros de una Desigualdad se les multiplica ó divide por la misma cantidad negativa, el sentido de la Desigualdad se invierte. Ejem: -2 < 11 -2(-4) < 10(2) -8 < -44 INTERVALOS: Es un conjunto de números IR que cumple con ciertas desigualdades. Existen los siguientes tipos: 1. Intervalos Finitos._ son aquellos intervalos que tienen como extremos a 2

números IR y pueden ser: a) Intervalo Cerrado ._ es aquel intervalo que incluye a sus extremos.

Si a x b ε IR donde a < b son los extremos del intervalo. [ a: b] a ≤ x ≤ b

b) Intervalo Abierto ._ es aquel intervalo que no incluye a los extremos

c) Intervalo semiabierto o semicerrado

[a ; b) a ≤ x a [a; +oo) x ≥ a (-00; +oo) x ε IR

Ejem: Obtener las otras dos formas de representación de los siguientes intervalos: [-3 ; 0) - 3 ≤ x < 0 (- 4 ; + oo) x > -4 [- 6 ; - 1] - 6 ≤ x ≤ -1

Ejem. Resolver las siguientes desigualdades:

5 x –3 < x + 5 Incógnitas constantes 5 x –3 +3 < x + 5 + 3 5 x < x + 8 5 x – x < + 8 4 x < 8 Comprobación 9/4 x < 8/4 Si x –1 Sust: 5 x –3 < x + 5 x < 2 5 – 3 < 1 + 5

Si se cumple 2 < 6 4x – 2 ≥ x + 3 (2x –1)

4x –x ≥ 6 x –3 +2 3x 6x ≥ -1

* Imp. -3 x ≥ -1 -4 –2 ≤ 1 +3(-2 –1) x ≤ 1/3 Comprobación Sust. 2 ≤ 1 –6 -1 Si x > -1 +4 x –2 ≥ x+3(2x-1) 6 ≤ 4 -4x-2≤ x +3 (-2x –1) -4 –1 ≤1 –6 –3 -4 5 ≤

- 9 ≤

x < 2

x ≤ 1/3

xaa x

aa

xxx

xx0 x

x

x-3-4 0

-6 -10

x2 0

x1 0

NO

4x –2 ≥ x + 3 (2x –1) 4x –2 ≥ x +6 x –3

4x –3x –3 +2 -3x ≥ -1 x ≥ 1/3

Comprobación Si x = -1 4 (-1) –2 ≥ -1 +3 (2(-1)-1) -7 ≥ -1 –6 –3 -7 ≥ -10

DESIGUALDADES CUADRÁTICAS Tienen como forma general: Ax2 +bx +c 0 Para obtener su solución se sigue el siguiente procedimiento: 1. Se considera primera la Ecuación y se resuelve esta, obteniéndose 2 valores:

x, ^ x2 2. Se suponen las posibles soluciones de la Desigualdad que son:

x > x1, x> x4, z > x2 ^ x < x2 3. Se obtiene la solución de la desigualdad sustituyendo las 4 desigualdades

anteriores en la desigualdad original. Ejem: Resolver las siguientes desigualdades: x2 –2x –8 < 0 1.- x2 –2x –8 = 0 2.-Posibles Sol. Sust. (x – 4) (x+2) < 0 (x – 4) (x + 2) = 0 x > 4 x = 5 (1) (7) <0 = 7<0 No x –4=0 x+2=0 x < 4 x = 3 (-1) (5) <0 = 5<0 Si x1 =4 x2= -2 x > 2 x = -1 (-5) (1) <0 = -5<0 Si x < -2 x= -3 (-7) (-1) <0 =7 <0No -2 < x < 4 x2 –5x +6 > 0 Posibles Sol. Sust. x2 –5x +6 = 0 x < 3 x = 2.5 (x –3) (x –2) = 6 x > 3 x = 4 x –3=0 x –2 = 0 x > 2 x = 2.5

x = 3 x = 2 x < 2 x = 1

(x –3) (x –2) > 0 (= -5) (.5) > = 2 >0 No ( 1) (2) > 0 = 2 > 0 Si

<2

> ≤ ≥

x

10

-2 -1 0 1 2 3 4

0 1 2 3

x > 3 ^ x < 2 (-.5) (.5) > 0 ) = (-) > 0 No (-2) (1) > 0 = 2 > 0 Si (-oo;2) ∩ (2; +oo)

2x2 –6x +3 <0 Posibles Sol. Sust. x > 2.35 x = 3 x < 2.35 x = 2 x > 0.63 x = 1 x < 0.63 x = 0

x < 2.35 ^ x > 0.63 (x – 2.35) (x-0.63) < 0 ( .65) (2.37) < 0 (+) < 0 No 0.63 < x < 2.35 (-.35) (1.37) < 0 (-) < 0 Si (1.35 ( .37) < 0 (+) < 0 No

4

126

4

24366

2

4

03622

2

±=

−±=

−±−=

=+−

x

x

o

acbbx

xx

63.04

126

35.24

126

2

2

1

1

=

=

=

−−

x

x

x

x

0 1 2 3

x

VALOR ABSOLUTO SI a ε IR ó el valor absoluto de a que se denota por: a. Se define de la siguiente manera.

o

a

0

-a

Si a > 0

Si a = 0

Si a < 0

Ejem: 4= 4 0 = 0

3 = - (-3) = 3

Ejem.

Resolver las siguientes ecuaciones con valor absoluto.

3x - 4 = 8

La sol. Son: 3 x – 4 = 8

3 x = 8 + 4

3 x = 12

x1 = 4

3 x – 4 = - 8

3 x = - 8 + 4

3 x = - 4

x 2 = - 4/3

Comprobación: Si x = 4

|3 x – 4| = 8

|3 (4) – 4| = 8

|12 – 4| = 8

|8| = 8

8 = 8

Si x = - 4/3

|3 x – 4| = 8

|3 (-4/3) – 4| = 8

|- 4 – 4| = 8

|- 8| = 8

8= 8

|3 x2 – 1| = 3

x2 – 1 = 3

x2 = 3 + 1

x2 – 1 = - 3

x2 = - 3 + 1

41 ±=x

22 −±=x

Comprobación

Propiedades del valor absoluto

1.-

2.-

3.-

4.-

Ejem.

Resolver la siguiente desigualdades:

x b

14x –2| ≤ 6

Utilizando la propiedad # 1

( )

33

3|3|

3|14|

3|14|

31|

42

==

=−=−

==

x

x

x Si

( )

33

3|3|

3|12|

3|12|

31|

2 Si2

==−

−−−=−−

=−−=

x

x

x

||||||

||||||

||

||

yxyx

yxxy

bxbxbx

bxbbx

+=+

=

≥∧−≤⇔≥

≤≤−⇔≤

21

844

6246

246

≤≤−≤≤−

≤−≤−≤−≤−

≤≤−⇔=

x

x

x

bx

bxbb|x|

232

632

42342

2432

|

propiedad 1a. la Utilizando

2|43|

≤≤

≤≤+≤≤+−

≤−≤−≤≤−⇔≤

=−

x

x

x

x

bxbb|x

x

412

82

2

532532

352352

|

propiedad 2a. la Utilizando

3|52|

>∧<

>∧<

+>∧+−<>−∧<−>−<⇔>

>−

xx

xx

xx

xx

bxbxb|x

x

η

-1 0 1 2

x

PRODUCTO CARTESIANO

Dados 2 conjuntos a ∧b en este orden el Producto Cartesiano de a b que se

denota A x B = es un nuevo conjunto formado por partes ordenadas cuyos

primeros elementos pertenecen al 1er. Conjunto y los segundos elementos al

segundo conjunto, es decir, Ax B = a un conjunto de pares ordenados (x,y)| x

εA ∧ y εB

RELACIÓN → Es un subconjunto del Producto Cartesiano

FUNCIÓN → Es un subconjunto del P.L cuyos primeros elementos son diferentes.

Ejem.

Dados los conjuntos A= 1, 2, 3 ∧ B 1, 2, 3, 4,5, Obtener.

a) A x B

b) Una Relación

c) Una Función

d) Un Conjunto D = (x, y)| y = x

e) Un Conjunto E = (x, y)| y = 2 x

f) Un Conjunto F = (x, y)| y < x

21

213

672672

26726

267||

2a.Prop.7|26|

−≤≥

−≥−−−≤−

≥−∧−≤−≥−∧−≤⇔≥

≥−

xx

xx

bxx

bxxbx

x

5

3265

2535

2635

positivo.

siempre es absoluto valor el

porquehacer puede se No

4|2|

−=+=+=

+=

−≤+

-x

x x -

x x -

|x|x-|

x

0 1 2 0 1 2 3 4

-1 0 1 2 3 4 5 6 7

g) Un Conjunto G = (x, y)| y > x

h) Un Conjunto H = (x, y)| y = x + 1

Respuestas:

a) A X B =(1,1), (1,2), (1, 3), (1, 4), (1, 5),

(2,1), (2,2), (2, 3), (2, 4), (2, 5),

(3,1), (3,2), (3, 3), (3, 4), (3, 5)

b) R = (1,1), (2,4), (3,5), (3,4)

c) F= (1,1), (2,1), (3,1)

d) (1,1), (1,2), (1, 3), (1, 4), (1, 5),Es una función y Relación

e) E = (1,2), (2,4) Función

f) F = (3,2), (3,1), (2,1) Relación

g) G = (-1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (2,3) (2,4) (2,5) (3,4) (3,5) Relación

h) H = 1,2) (2,3) (3,4) Función

PRUEBAS DE LA VERTICAL

y

x

FUNCION

*

*

*

*

y

x

FUNCION

**

**

y

x

FUNCION

***

*

***

*

NOTAS DE FUNCIONES

Una función se denota por: “F, G, H” y su regla de correspondencia la vamos a

denotar “y = g (x)”, “y = h(x)”

A la variable “x” se le llama variable INDEPENDIENTE

A la variable “g” se le denomina variable DEPENDIENTE

Al conjunto de valores que puede tomar la variable independiente, se le llama:

DOMINIO.

Al conjunto de valores que toma la variable dependiente, se le llama: RANGO ó

CONTRADOMINIO.

VALOR DE UNA FUNCIÓN

Si a la variable independiente “x” se le asigna un valor “a” a Є IR, el par ordenado

(a,b) pertenece a la función. Si solo si ⇔ b, f(a), donde a “b” se le llama VALOR

DE LA FUNCIÓN y=f (x) en x = a

Ejemplo:

Obtener el valor de las siguientes funciones.

1) y = x –3

en x = 4, 0, -5

y = f(x)

f(x) =x-3

f (4) = 4–3 = 1 (4,1)

f (0) = 0–3 = -3 (0,-3)

f (-5) = -5 –3 = -8 (-3, -8)

2) f (x) = x3 + 3x2 –5

en x=2 –1, a, h

f(2) =(2)3+ 3(2)2 –5

=8 +12-5

= 15 (2.15)

f(-1) = (-1)3 +3 (-1)-5

= -1 +3 –5

=-3 (-1, -3)

f (a) = a3+ 3a2 –5 (a, a3+3a2 –5)

f (h) = h3 + 3h2 – 5 (h, h3 + 3h2 –5)

3) f (x) = x3 –3x +2

en x=1, h, x+h

f(1) = (1)3 – 3(1) +2

1 – 3-+ 2 = 0

f(h) = h3 – 3h + 2

f(x + h) = (x + h)3 – 3 (x+h)+2

x3 + 3x2h + 3xh2+h3 –3x-3h+2

4)Dada La función f(x) = x2 2x-1

obtener el cociente f (x+h) –f (x) h

f(x+h) = (x+h)2 –2(x+h) –1

x2 +2x h+h2 –2x –2h –1

f(x+h) – fx) (x2+2xh+h2-2x-2h –1)-(x2-2x-1) h h

= x2 + 2xh+h2-2x-2h-1-x2-+2x+1 h

= 2xh + h2 – 2h h

= h (2x + h-2) h

= 2x + h - 2

CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES:

Polinomial

No polinomial

P (x) a (x)

1er. Grado – Lineal

2do. Grado – Cuadrática

3er. Grado – Cúbica

FUNCIÓN

Explícitas

ó

Implícitas

Algebraica

Racional

P (x) a (x)

Iracional

Trascendental

Logarítmica Exponencial Trigonométrica Otras

Directa

Inversa

FUNCIÓN EXPLÍCITA: Es aquella función cuya Regla de correspondencia parece

despejada de una variante.

Ejemplo:

y = 3x2 + 2x – 1

FUNCIÓN IMPLICITA: Es aquella función en cuya Regla de correspondencia no

aparece despejada ninguna variable.

Ejemplo:

4x + 3y = 5

Ejemplo:

1) F=(x,y) | 2x + 5y – 8

Implícita, algebraica, racional, polinominal, lineal.

2) G=(x,y) | y = se x + tan x

Explícita, trascendente, trigonométrica, directa.

3)

Explícita, algebraica, irracional.

x

( ) xyyxH −== 1|,

GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN

La gráfica de una función está formada por todo el conjunto de parejas

coordenadas (x,y); que cumplen o satisfacen la regla de correspondencia.

Ejemplo.

1) F=(x,y) | y = x2 –3x +2 Para –3 ≤ x < 2

x y= x2 –3x +2 (x,y)

-3 -2 -1 0 1

1.5 1.9

2

9 + 9 + 2 = 20 4 + 6 + 2 = 12 1 + 3 + 2 = 6 (0) + 0 + 2 = 2 1 – 3 + 2 = 0 – 4.5 + 2 = -.25 3.61+ 5.7 + 2 = -.09 4 - 6 + 2 = 0

(-3, 20) (-2, 12) (-2, 6) (0, 2) (1, 0)

(1.5, -.25) (19, -.09)

(2, 0)

DOMINIO RANGO -3 ≤ x < 2 -.25 ≤ y ≤ 20 x ε IR x [-3, 2) y ε IR ^ [-.25, 20]

2) F = (x,y)|y = x2 – 2 Si x > 2

x y= x2 –2; x > 2 (x,y)

2 3 4 5

( 2 )2 - 2 = 2 ( 3 )2 - 2 = 7 ( 4 )2 - 2 = 17 ( 5 )2 - 2 = 23

(2,2) (3,7)

(4,14 ) (5,(23)

Dominio: Rango: x > 2 y > 2 3)

X y= x2 –3x +2 (x,y)

-3 -2 -1 0 1

3/-3-2 = -3/5 3/-2-2 = -3/4 3/-1-2 = -1 3/0-2 = -3/2 3/1-2 = -3

(-3, -3/5) (-2, -3/4) (-1, -1) (0, -3/2) (1, -3)

( )

−==

2

3]|,

xyxyF

-3-2-1 1 2 3

20

15

10

5

........

.

2 3 4 5 6

3/2 –2 = E 3/3-2 = 3/2 3 /4-2 = 3/2 3/5 –2 = 1 3/6 –2 =3/4

E (3, 3)

(4, 3/2) (5, 3) (6,3/4)

Dominio: Rango: (x < 2) ∩ (x > 2) (y < 0) ∩ (y > 0)

FUNCIONES DE USO FRECUENTE

1) FUNCIÓN CONSTANTE _

F =(x,y)|y = k , k = CTE.

x y - 4

-.3

0

3

4

4

4

Dominio: Rango: x ε IR y -4

2) FUNCIÓN IDENTICA _

F =(x,y)|y = k , k = CTE.

x y - 4

-.3 0 3

4 4 4

Dominio: Rango: x ε IR y ε IR

y = K

y = x

3) FUNCIÓN CUADRÁTICA _

F =(x,y)|y = x2

x Y = x2

-3 -2 -1 0 1 2 3

9 4 1 0 1 4 9

Dominio: Rango: x ε IR y ≥ 0 4) FUNCIÓN CÚBICA _

F =(x,y)|y = x3

x y = x3

-3 -2 -1 0 1 2 3

-27 -8 -1 0 1 8

27

Dominio: Rango: x ε IR y ε IR

5) FUNCIÓN DE RAÍZ CUADRADA _

x

-2 -1 0 1 2 3 4

( ) xyyxF == |,

xy =

24

3

4142.12

1

0

2

=

=

=

=∉−

1-

y = xparábola

y = xparábolacúbica

Dominio: Rango: x ε IR ≠ 0 y ε IR y ≠ 0 6) FUNCION RECIPROCA _

x y = 1/x

-3 -2 -1 -.5 -.2 .1 .2 2 3

-1/3 -1/2

-1 -2 -5 10 5

1 /2 1/3

Dominio: Rango: x ε IR x≠ 0 y ε IR y ≠ 0 7) FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO _

F =(x,y)| = |x|

x y = |x|

-3 -2 -1 0 1 2 3

3 2 1 0 1 2 3

Dominio: Rango: x ε IR y ≥ 0 8) FUNCIÓN MÁXIMO ENTERO.-

Máximo Entero:

Si x ε IR, el máximo entero de x que se denota [^] se define para:

∩ ≤ (x < ∩ + 1, ∩ ε E

⇒ [ x ] = ∩

0),( 1 ≠== xyyxF x

F = (x,y) | y = [x]

Ejem.

[-2. 4 = -3 [-0.83] = -1 [3.14] = 3 [5] = 5

∩ y= [x] [x]

∩=-4 ∩=-3 ∩=-2 ∩=-1

∩= 0 ∩=-1 ∩=-2 ∩=-3

-4 ≤ x < - 3 -3 ≤ x < - 2 -2 ≤ x < - 1 -1 ≤ x < 0 0 ≤ x < 1 1 ≤ x < 2 2 ≤ x < 3 3 ≤ x < 4

[x]= -4 [x]= -3 [x]= -2 [x]= -1 [x]= 0 [x]= 1 [x]= 2 [x]= 3

Dominio: Rango: x ε IR y ε IE

FunciónEscalonaday = [x]

OPERACIONES CON FUNCIONES

Dadas las funciones F ^ G, con regla de correspondencia y = f (x) ∩ y = g (x)

respectivamente y Dominio Df y Dg, se definen las siguientes operaciones:

1) SUMA DE FUNCIONES

F + G = (x,y) | y = f(x) + g(x)

Df + g = Df ∩ Dg

2) RESTA DE FUNCIONES

F + G = (x,y) | y = f(x) – g (x)

= Df - g = Df ∩ Dg

3) PRODUCTO DE FUNCIONES

F - G = (x,y) | y = f(x) – g (x)

- Df - g = Df ∩ Dg

4) DIVISION DE FUNCIONES

F/G = (x,y) | y = f(x)/g(x) g (x) ≠0

- Df/g = Df ∩ Dg

Ejemplo:

Dadas las funciones F-(1,3) (2,4) (3,5) (4,7) (5,9) (6,11) ^ G = (10,3) (2,2) (3,5) (5,3)

(7,2) (8,4) obtener las cuatro operaciones.

F + G = ( x,y ) | y = f (x) + g+(x)

= (2,6) (3,10) (5,12)

F - G = ( x,y ) | y = f (x) – g (x)

= (2,2) (3,0) (5,6)

F - G = ( x,y ) | y = f (x) g (x)

= (2,8) (3,25) (5,27)

F/G = ( x,y ) | y = f (x)/g(x), g(x) ≠0

= (2,2) (3,1) (5,3)

Las funciones: F = (x,y) | y =x2 + 2x –1

G = (x,y) | y = 2x –3

DF = x ε IR DF ∩ DG = x ε IR

F + G = (x,y) | y = (x2 + 2x –1) + (2x – 3)

= (x,y) | y = x2 + 4x –4

F - G = (x,y) | y = (x2 + 2x –1) + (2x – 3)

= (x,y) | y = x2 + 4x +2

F - G = (x,y) | y = (x2 + 2x –1) = (2x – 3)

= (x,y) | y =2x3 + 4x2 x-3x2 – 6x +3

= (x,y) | y = 2x3 + x2 –8x + 3

F/G = (x,y) | y = (x2 + 2x –1)/(2x – 3, x ≠ 3/2 porque 2x-3 = 0 x = 3/2

F = ( x,y ) | y = x2 Para 3 ≤ x ≤ 5

G = (y,y ) | t = x Para x ≥ 0

DF = x ε IR [-3, 5] DG = x ε IR [0, oo] DF ∩ DG = x ε IR [0, 5]

F + G = (x,y) | y = f (x) + g (x)

= (x,y) | y = x2 + x

F - G = (x,y) | y = f (x) - g (x)

= (x,y) | y = x2 - x

F + G = (x,y) | y = f (x) + g (x)

= (x,y) | y = x3 + x

F/G = (x,y) | y = x2/x, x ≠ 0

= (x,y) | y = x X ≠ 0

5) COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

Dadas dos funciones F ^ G, con regla de correspondencias y = f (x)

∩ y = g (x) y Dominios Df ∩ Dg respectivamente.

La composición de “F” con “G” que se denota “F ο G” ó y = f(g(x)) es una nueva

función definida de la siguiente manera:

F ο G = [ (x,y) | y = f (g(x))

∴∴∴∴ DF ο G = x| x ε DG, g(x) = DF

Ejemplo:

Dadas las siguientes funciones F = (1,2) (3,4) (4,7) (5,10) (6,0)

^ G = (2,1) (4,4) (5,6) (8,3) (9,11) (12,11) obtener F ο G

F ο G = (2,2) (4,7) (5,0) (8,4) DG = 2, 4, 5, 8, 9, 12

X=2 g(2) = 1 ε Df ⇒ g = f(g(x)) = f(1) =2

X=4 g(4) = 4 ε Df ⇒ g = f (4) = 7

X=5 g(5) = 6 ε Df ⇒ g = f(6) =0

X=8 g(8) = 3 ε DF ⇒ g = f(3) = 4

X=9 g(9) = 11 ε DF

X=12 g(12) = 11 ε DF

F=(1,9 (2,3) (5,7) (10,3) (11,7) G=(0,0) (4,2) (7,2) (8,10) (15,11)

F ο G = (4,3) 7,3) (8,3) (15,7) Dadas las funciones

Obtener F ο G ^ G ο F

( ) ( ) 1

23

−==

−==

xyyxG

xygxF

|,

|,

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 213

1

−−==

−==

==

xyyx

xfyyx

xgfyyxGF

|,

|,

|, ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 33

23

−==

−====

xyyx

xgyyx

xfgyyxFG

|,

|,

|,

F ο G ≠ G ο F

Ejemplo (2)

F=(x,y| y =x2-3x+4 F ο G , G ο F , G ο G

G=(x,y)|y=x-1

F ο G = (x,y)| y = f (g(x)) G ο F =(x,y)| y= g (f (x))

= (x,y)| y = f (x-1) =(x,y)| y= h (x2-3x +4)

= (x,y)| y = (x-1)2 –3(x-1) +4 =(x,y)| y= x2 –3x +3

= (x,y)| y = x2 –2x +| -3x + 3+4

= (x,y)| y= x2 +5x+8 G ο G =(x,y)| y = g(g(x))

= (x,y)|y = g(x-1)

= (x,y) | y= x-2

6) FUNCIÓN INVERSA: F-1, F*

Si se intercambian los elementos de los pares ordenados de una función se

obtiene una nueva relación ó función llamada “Relación ó función Inversa “ y se

denota F*.

Obtener la inversa de las siguientes funciones:

F=(1,2) (3,5) (5,9) (7,10) (8,4) Función Inyectiva

F*= (2,1) (5,3) (9,5) (10,7) (4,8) Función Inversa (Inyectiva)

G=(3,2) (4,5) (6,2) (7,6) (8,8) Función Suprayectiva.

G*= (2,3) (5,4) (2,6) (6,7) (8,8) Inversa (inyectiva).

Para que la inversa de una función sea también función ésta debe ser

INYECTIVA.

Ejercicio:

F=x,y)| y=3x –1

- La Regla de correspondencia de F es:

Y = 3x –1

- La Regla de correspondencia de F* es:

X= 3y –1 x + 1 =3y

Y = x+1/3

Ejercicio (2):

Ejercicio (3):

x (x,y)

Dominio: Rango: y ≥ 5 y ≥ 0

( ) 31+==∗ xyyxF |,

( )

( ) 55

5

55

5

55

2

2

2

≥+==

+=

−=→−=−

−=−

≥−==

yyyxG

xy

yyx

xy

xxyyxG

x

x

|,*

|,

( ) 55 ≥−== yxyyxG si|,

5−= xy

9

8

7

6

5

2

3

2

1

0 ( )( )( )( )( )29

38

27

16

05

,

,

,

,

,

( ) ( ) 55

55

2 ≥+==

≥−==

xsiyyx

xsixyyxG

x|,

|,* 55 −=−= yxxy 5522 +−= yx y

05 ≥≥ xy

Estudios Límites.

x Y=x2+5 (x,y)

0 1 2 3 4 5

5 6 9 14 21 30

(10,5) (1,6) (2,9) (3,14) (4,21) (5,30)

Dominio: X ≥ 0 Rango: y ≥ 5

F=(x,y)|y=3x2

G=(x,y)|y=2x-1

(G*)* =(x,y)|y=2x-1 y=2x-1 x=2y-1 2y=x+1 y=x+1/2

=(x,y)|y=x+1/2 y=x+1/2 x=y+1/2 2x=y+1 y=2x-1

=(x,y)|y=2x-1

F º F* =(x,y)|y=f(f*(x)) f*=y]=3x2 x=3y2 y2=x/3 y=

= (x,y) | f

= (x,y) | y=3

(x,y) | y=x

F** = x

( )3x

3x

( )3x

F º F** = x

LIMITES

NOTACIÓN.-

x a se lee “x tienda a a” y significa que los valores que se le asignen a la

variable independiente “x” serán sucesivamente cada vez más cercanas “a” pero

sin llegar a tomar el valor de “a”.

x 2

-1, 0, 1.5, 1.9, 1.99, 1.999, 1.9 → ← 5,4,3,2.5,2.1,2.0001

Dada una función con regla de correspondencia y=f(x) cuando x →a, la función

tiene a un valor fijo llamado “LIMITE” , lo cual se denota:

LIMITE.- Se dice que “L” es el límite de la función f (x) cuando x tiende a un valor

fija “a”, si existe una Є > 0 lo suficientemente pequeña para que:

Cuando

Donde “δ” es un valor positivo que depende del valor de Є

*Lim 3 x – 2 = 5 a) Comprobarlo utilizando la def.

x → 4 b) Comprobarlo numéricamente.

Lim f (x) = L

x → a

Concepto

Intuitivo

| f (x) – L | < Є 0 < ° x-a ° < δ

2

Ejemplo:

Calcular numéricamente el “Lim x + 1” cuando X → 2 y comprobar el resultado

utilizando la definición.

x |f(x) – l| |f(x)) – l| 1 x-a | x f(x) – x + 1

-1

0

1

1.9

1.99

1.999

1.9999

1.9

-1.5

2.7

0

1

2

2.9

2.99

2.999

2.9999

2.9

2.5

2.7

3

2

1

-1

.01

.001 →*

.0001

1000---1

.5

.3

3

.001

5

4

3

2.5

2.2

2.1

2.01

2.001

2.0001

2.00001

6

5

4

3.5

3.2

3.1

3.01

3.001

3.0001

3.00001

Cuando: x → 2 ∴∴∴∴

Para cada Є > 0

| f(x) – L | > Є cuando 0 < |x-a| < | δ

| δ x + 1 – 3 | < Є | x – 2 | < δ

| x – 2 | < Є

⇒ Existe una δ > = δ – Є que

| f(x) – L | > Є cuando 0 < |x-a| < δ

Lim 3 x –2 = 5

x 4

a) Comprobarlo utilizando la def.

b) Comprobarlo numéricamente

c) Comprobarlo nuevamente utilizando la def.

Lim x + 1 = 3

^ → 2

Є = 0.002

δ = 0.002

Lim f (x) = L

x → a

10)(

4

3

63/92

→⇒

→

→=−−

xf

x

cuando

x

xx

Lim

δ

ε

<−

<−

→=−

ax

Lxf

x

x

Lim

)(

4

1023

a) Si para cada Є > 0, existe una δ > 0 lo suficientemente pequeña para que cumpla:

| f (x) – L | < Є cuando 0 < | x-a | < δ

| 3 x –2 –5 | < Є | x –4| = δ

| 3 x - 7| < Є No existe ninguna δ que cumpla | 3 (x-7/3)| < Є

∴∴∴∴ Lim 3x – 2 = 5 3 | (x-7/3) < Є x → 4 | x – 7/3 | < Є/3 b)

x F(x) = 3x-2 | f (x)-L |x-a| x F(x)- 3x –2 | f (x) –| |x-a| 0 1 2 3 3.5 3.7 3.9 3.99 3.999

-2 1 4 7 8.5 9.1 9.7 9.97 9.997

12 9 6 3 1.5 0.9 0.3 0.03 0.003

4 3 2 1 .5 .3 .1 .01 0.001

4.0001 4.001 4.01 4.1 4.2 4.5 4.7 5 6 7

10.0003 10.003 10.03 10.3 10.6 11.5 12.1 13 16 19

0.0003 0.003 .03 .3 .6 1.5 2.1 3 6 9

0.0001 0.001 .01 .1 .6 .5 .7 1 2 3

34

43

123

)(

εε

ε

ε

<−

<−

<−

<−

x

x

x

Lxf

δ

δ

>−

>−<

4

0

x

ax

cuando

ε<−− 10)23( x

Si para cada ε > 0 existe δ > 0 que cumpla:

Existe una δ > 0 cuya δ = ε/3 Tal que: cuando

Ejem:

Existe una δ > 0 cuya δ = ε/2 Tal que: cuando

δ<−< 40 x

4

1023

→=−

∴

x

x

Lim

3

932

→=+

x

x

Lim

23

62

)(

ε

ε

ε

<−

<−

<−

x

x

Lxfδ

δ

<−

<−<

3

30

x

x

cuando

ε>−+ 9)32( x δ<−< 30 x

Ejem:

2410

8

1

4149

166

6523

12

3

2

223

2

2

2

2

−+−=

−+=++=

−−++=+−∧

−xx

xLim

x

xLim

x

xxxLim

xx

xxLim

xxLim

1→x 2−→x 0→x 1−→x 2→x

TEOREMAS PARA EL CALCULO DE LIMITES

Si:

ax

kk

Lim

→=−.1

ax

ax

Lim

→=−.2

ax

kakx

Lim

→=

−.3

ax

ax

Limnn

→=

−.4

21 )()( LxLimgLxLimf =∧=ax → ax →

( ) 21)()()()(.5 LLxLimgxLimfxgxfLim +=+=+−ax → ax → ax →

( ) 21)()()()(.6 LLxLimgxLimfxgxfLim −=−=−−

ax → ax → ax →

( ) 21)()()()(.7 LLxLimgxLimfxgxfLim ⋅=⋅=⋅−

ax → ax → ax →

2

1

)(

)(

)(

)(.8

L

L

ax

xLimg

ax

xLimf

xg

xfLim =

→

→=− 0)( ≠xg

Ejem: Calcular los siguientes limites:

1.3

55.1

Tx

Lim

→=−

2.2

2.2

Tx

Limx

→=−

3.3

62.3

Tx

xLim

−→−=−

4.1

1.4 3

Tx

Limx

→=−

1.0

10)10(.5

Tx

Lim

→−=−−

24

2616

2)2(3)2(42

234234.62

22

=++=

++=→

++=++−

x

LimxLimxLimxxLim

03

662727623.7 23

=→−+−=−+−−

x

xxLimx

[ ]

1

)1)(1(

)21(3)1(41

)2)(34()2)(34(.82

22

==

+−−−=−→

+−=+−−

x

LimxxLimxxLim

25

13

3

17

3

17.9

→

=+−=

+−−

xLimx

xLim

x

xLim

24

11

4

1616

2

134.10

→

=+−=+−−

xx

xxLim

NOTA Cuando al elevar un limite utilizando el teorema 8 resulta una cte. entre 0 entonces el limite no existe -(k/0=∃)

NOTA Cuando al elevar un Lim. Utilizando el T.8 resulta %, El Limite si existe y se obtiene simplificando la Función *

1

04

0

31

0

3

1.11

2

−→

==+

=++−

xx

xLim

0

01

0

12.12

→

=−

=−

−

xx

xLim

40

5

4

1.13

→

∃==−+−

xx

xLim

2

00

0

624

0

6

2.14*

2

→

==−+

=−+

−−

xxx

xLim

2

5

1

3

1

)3)(2(

2

6

2.14

2

→

=+

=+−

−=−+

−−

x

xxx

xLim

xx

xLim

3

6333)3(

)3)(3(

3

9.15

2

→

=+=+=−

+−=−−−

x

xx

xx

x

xLim

EJERCICIO

7

6

14

12

122

444

)2)(12(

)44)(2(

2410

8 2

2

3

==+

++=−+

++−=−+

−xx

xxxLim

xx

xLim

2→x 2→x

3

9

2

27

6

999

33

)93)(3(

)3)(3(

27

923

2

−→

−=−=++

−−=+−−

−+=+−

x

xxx

xx

x

xLim

2

22202)2(

)2)(20(

2

40192

→

=+=−

−+=−

−+

x

x

xx

x

xxLim

0

3

1

3

1

)3(32

→

=+

=+

=+

x

xxx

x

xx

xLim

RACIONALIZACION

Es el proceso por medio del cual una expresión deja de tener radicales en el denominador. Ejemplo: Racionalizar las siguientes expresiones:

EJERCICIO

2

2

)2(

2

2

2

2

1

2

1).1

2==⋅=−

3

34

)3(

34

3

3

3

4

3

4).2

2==⋅=−

y

yx

y

yx

y

y

y

x

y

x ==⋅=−2)(

).3

x

xxx

x

xxx

x

x

x

x

x

x

−+=

−=

++⋅

−=

−−

9

3

9

)3(

)3(

3

33.1

yx

yyyxxyxx

yx

yxyx

yx

yx

yx

yx

yx

yx

−−−+

=−

−+=

−−

⋅++=

++−

233)(333.2

5

106

5

)1010(3

)2(5

)105)(2(3

105

)105(63

)105)(105(

)105(63

105

63.3

=+=

−+−=

−+−=

+−+−=

−−−

x

xx

x

xx

xx

xx

x

xLim

LIMITES TRIGONOMETRICOS

Son limites en los cuales aparecen funciones trigonométricas, los principales teoremas son:

Ejem:

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS

0

.3

0

.2

0

.1

→−

→−

→−

x

Lim

x

Lim

x

Lim

1sen

0sen

1cos

=

=

=

x

x

x

x

0)(

1)(

)(sen

0)(

0)(sen

0)(

1)(cos

→

=

→=

→=

xf

xf

xfLim

xf

xfLim

xf

xfLim

00

00

:

→−⇒→→⇒→kxx

kxx

NOTA

xx

xxtan

xx

x

xx

x

xtanx

xtanx

xx

xx

22

22

22

csccot18

sec17

1cossen6

sen

coscot5

cos

sen4

1cot3

1seccos2

1cscsen1

≡+→

≡+→

≡+→

≡→

≡→

≡→

≡→

≡→

xx

sen

1csc ≡

EJERCICIO

LIMITES LATERALES

TEOREMA El limite de una funcion f(x) existe, si y solo si sus limites laterales existen y son iguales. Se llama limite lateral al valor al cual tiende la funcion, cuando los valores asignados a la variable independiente “x” son mayores o menores que el valor hacia el cual tiende “x”. Notacion: Cuando se le asigna a la variable independiente “x”, valores ligeramente menores al valor hacia el cual tiende; se le llama:

0

5

6)1(

5

6

)2(5

)2(sen6

)2(5

)2sen3(2

5

2sen3

→

====

x

LimLimx

xLim

x

xLim

x

xLim

02 →x 02 →x 02 →x 02 →x

0

3)1(3cos3

→==

x

xLim

0)1)(0(4)(sen4)(sen)(sen4sen4

1232

LimLimxLimx

xLim

x

xLim

TT

====

0→x 0→x 0→x 0→x 0→x

0

0)1(4

0

4

)1(4

4

4cos4

4sec→

====

x

LimLimx

Limxx

Limx

xLim

Limite lateral por la izquierda y se denota:

1.999

Cuando se le asigna a la variable independiente “x”, valores ligeramente mayores al valor hacia el cual tiende; se le llama: Limite lateral por la derecha y se denota:

2.001

Ejem: Calcule los siguientes limites:

El Lim. por la izq. El Lim. por la der.

Como:


−→ ax

xLimf )(−→ 2x 0 1 2 3 4 5

+→ ax

xLimf )(+→ 2x 0 1 2 3 4 5

2

14

→+

x

xLim

999.1

2

914

=→

=+−

x

x

xLim

001.2

2

914

=→

=++

x

x

xLim

91414 =+=+ xLimxLim−→ 2x +→ 2x

2

914

→=+⇒

x

xLim

099.2

01.03

299.33

===→

=−−

x

x

LimxLim

∃/==−=→

−=−+

0001.3

001.03

001.333

x

x

LimxLim

3

3

→∃/=−

x

xLim


0

3

→−

x

xLim

3001.0

001.30

)001.0(33

=−=

=→

−−=−−

x

x

xLim

3001.0

999.20

0001.33

==

=→

=−+

x

x

xLim

0

33

→=−∴

x

xLim

CONTINUIDAD

Una Función Real de Variable Real con regla de correspondencia y=f(x) es continua en el punto de abscisa “a” (x-a) si y solo si cumple con las 3 condiciones siguientes: 1.- f(a) Exista 2.-Lim f(x) Exista

3.-f(a) sea igual a Lim f(x) ⇒ f(a) = Lim f(x)

TIPOS DE DISCONTINUIDAD: DISCONTINUIDAD EVITABLE DISCONTINUIDAD INFINITA

ax →

ax → ax →

Y

Xa

Y=f(x)

Y

Xa

DISCONTINUIDAD DE SALTO

Ejem: Analizar la continuidad de las siguientes funciones en el punto indicado y trazar la gráfica:

∴La función es continua

Y

Xa

44)()(

4)(

4)2()(

)(

2

2

=→=→

∈=→−∈=→−

=

xLimfaf

ax

IRLimxexistaxLimf

IRfexistaaf

xxf

2→x

ax →

∴Es discontinua. Es un tipo infinita

∴La función es discontinua de salto. PUNTOS DE DISCONTINUIDAD.- Una función racional de la forma p/q donde p Λ q son polinomios en discontinua en los puntos obtenidos al resolver la ecuación: “Q=0” Ejem: Obtener los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones :

∃/⇒=→

∃/==−=−

∃/==−

=−

=

)()(

20

32

2

3

2

30

3

22

3

22

3

xLimfaf

xx

Lim

enxx

y

)()(

)()(

1

123

1

2313

2313

11

13)(

2

2

xLimfaf

ax

xLimfxLimf

x

LimxLimx

x

LimLimx

xy

enxparaxx

paraxxxf

≠→

∃/=≠∴→

−≠−=−→

−=−=−−=−=−−

−

>≤−

−

−

1→x

+→1x

+→ ax

ax →

2

020

23)(

−

=−⇒=

−=

x

xQQ

Pxxf

∴La función es discontinua x=2

∴La función es discontinua en: x=14 x=1

02080

1415

5)(

23

2

2

=−−→=

+−−=

xxxQQ

Pxx

xxf

14

014

0)1)(14(

==−

=−−

x

x

xx

1

01

==−

x

x

DERIVADA DE UNA FUNCION

INCREMENTO DE UNA VARIABLE.- Si a la variable independiente “x” se le asigna un valor inicial “a” y un valor final “b”, el incremento de la variable que se denota “∆x” se define:

∆x=b-a ⇒ b=a+ ∆x

Ejem: Calcule el incremento de la variable cuando esta varia de –3 a 5

a=-3 ∆x=5-(-3) b=5 ∆x=8 INCREMENTO DE UNA FUNCION. Si a la variable “x” se le asignaran los valores inicial y final de “a” y “b” respectivamente, entonces la función adquiere los valores “f(a)” Λ “f(b)”, y el incremento de la función que se denota:

∆f(x) =f(b)-f(a) =f(a+∆x)-f(a) En forma general si a=x ∆f(x)=f(x+∆x)-F(x) Grafica:

Y

X

∆=f(x)

y=f(x)

x+∆x

∆f(x)

f(x+∆x)

f(x)

∆x

Ejem: Obtener el incremento de la función

DERIVADA DE UNA FUNCION.- Se define como el limite del incremento de la función entre el incremento de la variable cuando este tiende a cero.

NOTACION: La derivada de una función con regla de correspondencia y=f(x) se denota de la siguiente manera:

Derivada de “y” con respecto a “x”.

2

222

22

2

)(2

44)(2

)4(4)(

)()()(

4)(

xxx

xxxxx

xxx

xfxxfxf

xxf

∆+∆=

+−−∆+∆+=−−−∆+=

−∆+=∆−=

324)(

)324(

3)(24

532533)(242

532533))(2(2

532(5)(3)(2

)()()(

532)()(

2

222

222

22

2

−∆−=∆

∆∆

−∆+∆=

∆∆−∆+∆=

∆++−−∆−−∆+∆+

=

∆++−−∆−−∆+∆+

=

∆−−−−∆+−∆+

=

∆−∆+=

∆∆

−−=∆

∆

xxx

xfx

xxxx

xxxx

x

xxxxxxxx

x

xxxxxxxx

x

xxxxxx

x

xfxxf

x

xf

xxxparafx

xf

x

xfLimDxfx

∆∆

=)(

0→∆x

yóDdd

y xx

y,1

Derivada de ”f(x)” con respecto a “x”. Derivada de “y” con respecto a “x”. INTERPRETACION GEOMETRICA.- Dada una función real de variable real con regla de correspondencia y=f(x) y su grafica.

Si por los P Λ Q se traza una recta secante, su pendiente es:

Si ∆x → 0 y obtenemos el límite: ⇒ la recta secante se transforma en RECTA TANGENTE, cuya pendiente

)()(),(1 xfóDdxxdfxf x

dx

dy

Y

Xx

y=f(x)

x+∆x

f(x+∆x)

f(x)

∆x

Q

P

Secante

x

xfm

x

xfxxfm

xxx

xfxxfm

xx

yym

∆∆=⇒

∆−∆+=

−∆+=∆+

=

−−

=

)()()(

)()(

5

12

12

0

)()(

→∆

=∆∆=

x

xDxfxxfLimmf

Ejem: Obtener la derivada de las siguientes funciones:

32)(

32)(

)32()(

3)(2)(

43433)(2)(

)43(4)(3)()(

)(4)()(

43)(

2

222

2

2

+=

+∆+=

∆+∆+∆

=

∆∆+∆+∆=

∆+−−−∆++∆+∆+=

∆−+−−∆++∆+=

∆−∆+=

−+=

xLimxfD

xxLimxfD

x

xxxLimxfD

x

xxxxLimxfD

x

xxxxxxxxLimxfD

x

xxxxxxLimxfD

x

xxxfLimxfD

xxxf

x

x

x

x

x

x

x

1)(

)(

)(

)()()(

)(

=

=

=+=

−+=

=

xfDh

hLimxfD

h

xhxLimxfD

h

xfhxfLimxfD

xxf

x

x

x

x

0→∆x

0→∆x

0→∆x

0→∆x

0→∆x

0→∆x

0→∆x

0→h

0→h

0→h

hxNOTA =∆:

2

22

22

33223

33

3

2)(

22)(

)22()(

22)(

)()(

)(

xxfD

hxhxLimxfD

h

hxhxhLimxfD

h

xhxhhxxLimxfD

h

xhxLimxfD

xxf

x

x

x

x

x

=

++=

++=

−+++=

−+=

=

TEOREMAS PARA EL CALCULO DE DERIVADAS

DEMOSTRACION DE LOS TEOREMAS:

0→h

0→h

0→h

0→h[ ]

[ ]

[ ]

[ ]2

1

)(

)()()()(

)(

)(.8

)()()()()()(.7

)()()()(.6

)()()()(.5

.4

.3

1.2

0.1

xg

xgDxfxfDxg

xg

xfD

xfDxgxgDxfxgxfD

xgDxfDxgxfD

xgDxfDxgxfD

nxxD

kkD

xD

kD

xxx

xxx

xxx

xxx

nnx

xx

x

X

⋅−⋅=−

⋅+⋅=⋅−

−=−−

+=+−

=−

=−

=−

=−

−

kkxDh

khLimkxD

h

kxkhkxLimkhD

h

kxhxkLimkxD

kkxD

Teorema

x

x

x

x

x

=

=

−+=

−+=

=)(

3

0→h

0→h

0→h

[ ] [ ]

[ ]

[ ][ ] )()()()(

)()()()()()(

)()()()()()(

)()()()()()(

5

xgDxfDxgxfDh

xghxg

h

xfhxfLimxgxfD

h

xghxgxfhxfLimxgxfD

h

xgxfhxghxfLimxgxfD

Teorema

xxx

x

x

x

+=+

−++

−+=+

−++−+=+

+−+++=+0→h

0→h

0→h

Ejem: Calcular la Derivada de las siguientes funciones utilizando los teoremas:

EJERCICIO

xxxxfxxf

xxxxfxxxxf

xxfxxxf

xxxfxxxf

xxfxxxf

xxfxxf

xxfxxf

xfxf

xfxxf

xfxxf

21

21

21)()(.10

185640)(674)(.9

514)(457)(.8

1810)(462)(.7

34)(23)(.6

6)(3)(.5

3)()(.4

0)(15)(.3

4)(4)(.2

1)()(.1

21

21 11

27913810

12

24135

314

12

213

1

1

1

===→=−

+−=→+−=−

−=→+−=−

−=→+−=−

−=→+−=−

=→=−

=→=−

=→=−

−=→−=−

=→=−

−−

3 21

1

1

11

3

31)(

31)(

31)(

31)(

)(

32

32

31

31

xxf

xxf

xxf

xxf

xxxf

=

=

=

=

→=

−

−

4 33 24

1

4

1

41

3433

4

3

3

212)(

4

3

3

212)(

4

13

3

712)(

324324

)(

43

32

43

32

41

31

xxxxf

xxxxf

xxxxf

xxxxxx

xf

−+−=

−+−=

−+−=

−+→−+=

−−

−

)3)(3())(73()(

)3)(73()(

211 xxxf

xxxf

x−+−−=

−−=

2

2132

3

2

)1)(134()312)(()(

134)(

zzxx

xxxxxxh

xx

xxxh

x

++

+−+−−−+=

++−=

[ ]

[ ]23 23

121431143 23

1

23 23

121441143 23

1

23 23

3 2314143 23

1

3 23

14

)(

)3)(12)(34()316)(12()2)(34()()(

)(

)3)(12)(34()34()12()12()34()()(

)(

()12)(34()12)(34()()(

)(

)12)(34()(

322

3 1222

22

2

xx

xxxxxxxxxxxf

xx

xxxxxxDxxxDxxxxxxf

xx

xxDxxxxxxxDxxxxf

xx

xxxxf

xxxx

xxxx

xx

x

−

−−+−−−−+++−−=

−

−−+−−−−++−+−−=

−

−−+−−−+−−=

−

−+−=

DERIVADA DE UNA COMPOSICION DE FUNCIONES Considérese a “y” como una función de “u” ⇒ y=f(u) y a “u” como una función de “x” ⇒u=g(x) y=f(u) ⇒y=f[g(x) que es una función compuesta Teorema # 9

Regla de la cadena ⇒Para el caso particular en el cual

Ejem: Calcular la derivada de las siguientes funciones:

uyDDyD xux =

[ ] [ ][ ] [ ] [ ])()()(.10

)(

)(.9

1

1

1

xfDxfnxfD

uDnuxfDuDyD

nuyd

xfuuy

xnn

x

xnn

xn

xx

nu

n

−

−

−

=−

===⇒

=⇒

=∧=−

)3412()5324(6

)5324()5324(6

)5324(

2523

23523

623

+−++−=

++−++−=++−=

xxxxxyD

xxxDxxxyD

xxxy

x

xx

1232

26

)123(2

26

)26()123(

)123()123(

)123(123)(

22

22

1

222

1

22 2

21

21

21

21

−+

+⇒

−++=

+−+=

−+−+=

−+⇒−+

−

−

xx

x

xx

xyD

xxxyD

xxDxxyD

xxxxxf

x

x

xx

234

234

123

23

343)(

343)(

32321

)(

yyyyfD

yyyyfD

yyyyyy

yf

y

y

−+−=

−+=

+−⇒+−=

−−−

−−−

DERIVADAS DE FUNCIONES TRASCENDENTES FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DIRECTAS ⇒Teoremas Si “u” es f(x)

⇒Demostraciones

33

8

33

4

34

3 4

72)(

)2(72)(

)72()72()(

)72()72()(

31

34

−=

−=

−−=

−⇒−=

yyfD

yyfD

yDyyfD

yyyf

y

y

dy

UUUD

UtanUUD

UUD

UtanUD

UUD

UUD

x

x

x

x

x

x

cotcsccsc.16

secsec.15

csccot.14

sec.13

sencos.12

cossen.11

2

2

−=−=−

−=−

=−

−=−=−

UDx

UDx

UDx

UDx

UDx

UDx

x

xxh

xLim

h

xLim

h

xxLim

h

xxxLim

hh

xhxLim

h

xfhxfLimxD

xxDxD

x

xc

cos

cos)1()0(sen

cossenh)1(coshsen

cossenh)1(coshsen

sencossenhcoshsen

0

sen)sen(

)()(sen

)1(cossen.11

⇒=+=

+−

=

+−=

−+=

→

−+=

−+=

=−

xxD

xxLimh

x

h

xLim

h

xxxLim

hh

xhxLim

h

xfhxfLimxD

xxD

x

x

x

sencos

)1(sen)0(cos

senhsen)1(coshcos

cossenhsencoshcos

0

cos)cos(

)()(cos

sencos.12

−=−=

=−

=

−−=

→

−+=

−+=⇒

−=−

Ejem: Calcular la derivada de las siguientes funciones:

xtanxD

x

x

xx

x

xxxxx

xxDxxDtanxD

DtanxD

xtanxD

x

xxx

xx

xx

x

2

2

2

22

2

2

cossen

2

sec

cos

1cos

sencos

cos

sensencoscoscos

cossensencos

sec.13

=

=

+=

+=

−=

=⇒

=−

)38)(134cos()(

)134cos()(

)134sen()(

2

2

2

−+−=

+−=+−=

xxxxfD

xxxf

xxxf

x

)13(cotcsc)(

)(cotcsc)(

cotcsc)(

csc)(

2

2

1331

3331

1

3

3

21

−−−−=

−−−−=

−=

−=

−xxxxxxf

xxDxxxxxf

uuDuxf

xxxf

xx

x

x

222

22

222

222

2

sencos2)(

sen)2(cos)(

)1(sencos)(

sensen)(

sen)(

xxxxfD

xxxxxfD

xxDxxxfD

xDxxxDxfD

xxxf

x

x

xx

xxx

+=

+=

+=

+==

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS ⇒FUNCION SENO.- La función trigonométrica directa seno se define de la siguiente manera:

NOTA: 1°=0.0175 rad 1rad=57.3°

y su gráfica es: F F F*

grados Rad y=sen x (x , y) (x ,y) 0° 0 0 (0 , 0) (0 , 0) 30° π/6 0.5 (π/6 , 0.5) (0.5 , π/6) 60° π/3 0.8660 (π/3 , 0.8660) (0.8660 , π/3) 90° π/2 1 (π/2 , 1) (1 , π/2) 120° 2π/3 0.8660 (2π/3 , 0.8660) (0.8660 , 2π/3) 150° 5π/6 0.5 (5π/6 , 0.5) (0.5 , 5π/6) 180° π 0 (π , 0) (0 , π) 210° 7π/6 -0.5 (7π/6 , -0.5) (-0.5 , 7π/6) 240° 4π/3 -0.8660 (4π/3 , -0.8660) (-0.8660 , 4π/3) 270° 3π/2 -1 (3π/2 , -1) (-1 , 3π/2) 300° 5π/2 -0.8660 (5π/2 , -0..8660) (-0.8660 , 5π/2) 330° 11π/6 -0.5 (11π/6 , -0.5) (-0.5 , 11π/6) 360° 2π 0 (2π , 0) (0 , 2π)

[ ]xyyxf sen),( ==

Y

X

10.8660

0.5

0

-0.5

-0.8660-1

π/6π/3

π/22π/3

5π/6π

7π/64π/3

3π/25π/2

11π/62π

y = sen x

[ ]1,1−==∈

R

IRD

La función trigonométrica Seno Inverso: F = y = sen x F* = x = sen y

Como se ve, la gráfica anterior corresponde a una “RELACION” por la cual la función seno inversa se obtiene al restringir el D de la función seno o el intervalo de:

[ ]x senang yyx* F ==⇒ ),(

[ ]IR y R

1 ,1- D

∈==

ang sen x2π

3π/2

π

π/2

-1-0.866

-0.50.866

0.5 1

RELACION

.

.

.

.

.

[ ]2;2ππ−

-1 1

π/2

−π/2 [ ][ ]22

ππ ,R

1 ,1-D

−==

TEOREMAS: Si u = f(x)

DEMOSTRACION: Considere la función:

Derivando con respecto a “x”

Utilizando la identidad:

Sustituyendo:

1

1

1

1

1

1

2

2

2

2

2

2

−=

−=

+=

+=

−=

−=

uu

u Du csc arc D -22).

uu

u Du secarc D -21).

u

u Du cot arc D -20).

u

u Du tan arc D -19).

u

u Du cos arc D -18).

u

u Du senarc D -17).

xx

xx

xx

xx

xx

xx

u sen* y senu

u senarc u senarc y

===⇒

===ϑ

ϑ

y Dy cos u D

y senD u D

xc

xx

==

2

2

22

u-1 y cos

* xsen-1 y cos

1 cos x sen

=

=

≡+⇒

u senarc D u-1 uD x2

x =⇒

2

xx

u-1

u D u senarc D =*

Ejem: Calcular las siguientes derivadas de las funciones:

( ) ( )

( ) ( )

( )( )( )( )22

22

2

2

2

11

12

11

1

1

1

++−

+=

++−

++=

−=

++=

xx

x

xx

xxDx

u

DxuDxxDxf

xxarcxf sen ( ) ( )

( )

( )( )

( )23

2

23

3

2

32

321

23

321

32

1

321

+−+

−=

+−+

+−=

+=

+−=++=

xx

x

xx

xxDx

u

DxuxDxf

xxtanarcxfxxu

( )( )

( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( )( )

( )xxtan

xxxxxtanarcxx

xDxxxtan

xxtan

xxtanDxxxtanarcxxtanarcDxxxtanxf

xxuxxtan

xxtanarcxf

x

−

−−−−−+−>

−=

−

−−−−−=

−=−

−=

32

23233

3

3

22

3333

1

33

3

131

sec

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

1xx

X4xx4

1xx

XDxxx4

1xx

xDxx4

1xx

xDxxf

xuxarcxf

4844

3443

24444

4443

24444

443

24444

44

4444

−=

−=

−=

−=

==

sensen

cossen

sensen

cossen

sensen

sensen

sensen

sen

sensensec

DERIVADAS DE FUNCIÓN LOGARITMICA Y EXPONENCIAL FUNCIÓN EXPONENCIAL.- Es aquella función en la cual aparece cuando menos una variable como exponente en la regla de correspondencia, SU FORMA GENERAL es: a = cte a > 0 a ≠ |

Ejemplo:

F = (x,y) | y = 5x F = (x,y)| y = 2sen x2

F = (x,y) | y = 4x2-3x+2

F = (x,y) | y = ex

Gráfica: Trazar la gráfica de la función

x y = 2x -3 -2 -1 0 1 2 3

2-3 21/3 = ⅛ 2-2= ½2)=1/4 2-1 = ½ = ½ 20 = 1 21 = 2 22 = 4 23 = 8

D = x Є IR R = y > 0

Determinar el valor de “e” numéricamente. FUNCIÓN LOGARÍTMICA.- Es Aquella función en la cual aparece cuando menos un logaritmo en la regla de correspondencia, su FORMA GENERAL es: LOGARITMO: El logaritmo base “b” de un número “N”, es el exponente “L” al que hay que elevar la base para obtener dicho número, es decir:

⇒

F = (x,y) | y = ax]

T = (x,y) | y = logb x]

Logb N = L bL = N

-3 3 x

y

x2 y =

x2 y =

Ejem:

Log2 32 = 5 2L = 32 Log3 81 = 4 3L = 81 Log4 64 = 3 4L = 64 Log10 10000 = 4 10L = 10000 Log5 25 = 2 5L = 25 Log7 7 = 1

En General Logb b = 1 b1 = b Existen 2 tipos de logaritmos que se usan frecuentemente y son: a) LOGARITMOS DE BASE 10 (- DECIMALES - COMUNES – BRIGGS -) y se

denotan de la siguiente manera.

10N

b) LOGARITMOS DE BASE “e”. ( - NATURALES – NEPERIANOS - ) y se

denotan de la siguiente manera.

Qn

Donde e = Lim (1 + x)1/x x → o PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS: 1) Logb AB = Logb A + Logb B 2) Logb A/B = Logb A = Logb B 3) Logb An = n Logb A 4) Logb

n√A = logb A1/n = 1/n logb A = log

ba/n

Log N = L

In N

c = 2.718281828

GRAFICA DE UNA FUNCIÓN LOGARITMICA y = log2 x - Obtener su inversa F : y = Log2 x ó 24 = x F* : 2x = y

X=2y Y ⅛ ¼ ½ 1 2 4 8

-3 -2 -1 0 1 2 3

D = x > 0 R = y Є IR Nota: Las funciones logarítmica y exponencial son inversas. 5) Logb A = Teoremas para calcular derivadas de F. Log y Exp. u = f(x) 23) Dx loga u = 1/u loga e Dx u 24) Dx In u = 1/u Dx u 25) Dx a

u = au |n a Dx u 26) Dx e

u = eu Dx u PROPIEDADES DE LOGARITMOS 1) Logb AB = Logb A + Logb B 2) Logb A/B = Logb A = Logb B 3) Logb A

n = n Logb A 4) Logb

n√A = logb A1/n = 1/n logb A =

5) Logb A = Teoremas para calcular derivadas de F. Log y Exp. u = f(x) 23) Dx loga u = 1/u loga e Dx u 24) Dx In u = 1/u Dx u 25) Dx a

u = au |n a Dx u

Logb

AFlog

Logb

Alogn

Ablog

x

y

x2 log y =

26) Dx eu = eu Dx u

Demostración: 1) Dx loga u = 1/u loga e Dx u

Dx loga x

( )

( )

( )

0hx

x

h

xhxLim

0hh

xhxaLogLim

0hh

fxhxfLim

a

aa

→

−+

=

→

−+=

→

−+=

log

log

( )

( ) c1

a

c1

a

hx

a

hx

a

aax

c1Limx1

0C0C0hSi

c1x1Lim

x

hcSi

0h

x

h1x

1Lim

0h

x

hxx

1Lim

0h

x

hx

h

x

x

1LimxD

+=

→→⇒→

+==

→

+=

→

+=

→

+=

log

log

log

log

loglog

C → 0 =1/x loga e

Aplicando la regla de la cadena: Dx loga u = 1/u loga e Dx u Demostración del T. 25: Dx au = au |n a Dx u Y = au Obteniendo el In en ambos miembros In y = in au In y = u in a Derivando 1/y Dx y = Dx u ln = a Dx y = y In a Dx u

Ejemplos: Calcular la Derivada de las siguientes funciones: → y = log3 (x

2-2) y1 = 1/(x2-2) log3 e Dx (x

2-2) = 1/(x2-2) log3 e 2x y = 7tan(x3-x) y1 = 7tan(x3-x) In 7 Dx tan (x3-x) =7tan(x3-x) In 7 sec2 (x3-x) Dx (x

3-x) =7tan (x3-x) In 7 sec2 (x3-x) (3x2-1) 5) DERIVACIÓN LOGARITMICA: Es un método utilizado para obtener la Derivada de FUNCIONES COMPLEJAS como por ejemplo cuando se tiene una función elevada a otra función, consiste en la siguiente:

Dx au = au a Dx u

( )

( ) ( )xxe

eI

xDe

xDxceI

Dxexf

ceangxf

x2x

x

x2x

x1

xx

cossen

sen

cot

sen

sen

++

−=

=++

−=

+=

1) Se obtiene el In en ambos miembros de la ecuación y se simplifica utilizando las propiedades de Log.

2) Se obtiene la derivada en ambos miembros de la ec. 3) Se simplifica la ecuación (es decir se despeja y1) Ejemplo: Calcular la derivada de la función y = (tan 2x)(3x2-x)

|n y = (tan 2x)(3x2-x)

|n y = (3x2 –x) |n tan 2x Dx |n y = Dx (3x2-x) |n tan 2x 1/y y1 = (3x2-x) Dx |n (tan 2x) + |n (tan 2x) Dx (3x2-x) __1__ y1 = y[(3x2-x) tan 2x sec2 2x Dx(2x) + (6x-1)] y1=(tan 2x)(3x2-x) [(3x2-x) cat 2x sec2 2x (2) + |n –8tan 2x) (6x-1)]

TEOREMA: 27) Dx Uv = Uv- v DxU + Uv Dxv In U Demostración: En forma general si “U” ∧ “V” son 2 funciones tales que y = UV, derivada es: Y = Uv In y = In Uv

In y = v In u Derivando Ty y1 = v Dx In u + In u Dx v Y1 = y [u 1/u Dx u + In u (v1)] Dx uv = u1 [v u-1 + v1 In u] Dx uv = uv-1 v u1 + uvv1 In u

( )xx3 2

x2tany−

=

y = (4x3 – 2x)sen 3x

u = 4x3 – 2x u1 = 12x2 –2

V= sen 3x V1 = cos 3x Dx 3x V1 = cos 3x (3)

y1 = (4x3 – 2x)(sen3x)-1 sen 3x (12x2-2) + (4x3 – 2x)sen 3x (3) cos 3x In 4x3-2x Y = (arc tan x2)In x2

U = arc tan x2 U1 = Dx x

2 1+(x2)2

u = 2x_ 1+x4

U = In x2 V1 = 1/x2 DxX

2 V1 = 1/x2 2x V1 = 2x/x2

Y1 = (arc tanx2)(im x2)-1 Inx2( 2x ) + )arc tan x2)In x2 (2x/x2) In (In x2) (1+x4) T⇒y= uv1 vu1 + uu v1 |n u y=(c3x-1)sec2x3 u=c3x-1 v= sec2 x3 u1=c3x-1 Dx (3x-1) v1 = 2 sec x3 Dx (sec x3) ⇒u1 = 3e3x-1 v1 = 2sec x3 sec x3 tan x3 Dx x

3 T. y1 = uv-1 v DxU + Uv Dxv |n u ⇒v1 = 6x2 sec2 x3 tan x3

∴∴∴∴ y1 = (e3x-1)sec2 x3-1 sec2 x3 (3e3x-1) + (e3x-1)sec2 x3 (6x2 sec2 x3 tan x3) |n e3x-1

y = x4x2-2x+3 u = x v = 4x2 -2x +3 u1 = 1 ⇒v1 = 8x-2

∴∴∴∴ y1 = x4x2-2x+2 (4x2 -2x + 3) + x4x2-2x+3 (8x-2) |n x

DERIVADAS SUCESIVAS DE UNA FUNCIÓN La derivada de una función real de variable real es también una función, que se llama DERIVADA ORDINARIA ó 1ª DERIVADA DE LA FUNCIÓN. La derivada de la derivada de una función es también una función y se llama SEGUNDA DERIVADA La derivada de la 2ª derivada de una función es también una función que se llama: TERCERA DERIVADA, y así sucesivamente hasta obtener la "ENESIMA DERIVADA" +n - enésima. Notación: → Función → y, f(x) → 1ª Derivada → y1, Dxy, dy, f1(x), Dx f(x), df(x) dx dx → 2ª Derivada → yII, D2 xy, d2y , fll (x), D2x f(x), d2f(x) dx2 dx2 →3ª. Derivada → ylll, D3x y, d3y , flll(x), D3xf(x), d2f(x) dx3 dx2 A las derivadas detenidas a partir de la 2ª derivada también se les llama DERIVADAS SUCESIVAS de la función: Ejemplos: Calcula la 3ª derivada de las siguientes funciones: 1) f(x) - x6 -3x2 +4x +1

f'(x) = 6x5 - 6x +4 f''(x) = 30x4 -6 f'''(x) = 120 x3

2) y = sen 2x y' = cos 2x Dx 2x y' = 2 cos 2x = 2 (-sen 2x Dx 2x) y'' = -4 sen 2x =-4 (cos 2x Dx 2x) y''' = -8 cos 2x

3) f(x) = x4 + 2x3 -3x2 + 4x -10

f'(x) = 4x3 +6x2 -6x + 4 f''(x) = 12x2 + 12x + 6 f'''(x) = 24x + 12 f''''(x) = 24 f'''''(x) = 0

4) 4-f(x) = sec x f'(x) = sec x tan x = sec x Dx tan x + tan x Dx sec x f''(x) = sec3 x + tan2 x sec x

DERIVACIÓN IMPLICITA Una función implícita es aquella función en la cual no se encuentra despejada ninguna variable en su regla de correspondencia. Ejem.

F - (x,y) | 3x2 + y4 = xy + 3

Para obtener la derivada de una función implícita se sigue el siguiente procedimiento: 1) Se deriva con respecto a alguna variable la función. 2) Se simplifica la ecuación. 3) Se despeja la derivada de la variable que se desea obtener. Ejem. Obtener la Dxy para las siguientes funciones:

xy

xyy

xyyy

yxyyy6x

x"" a respecto con Derivando

yyD xyyxyxF

2

x

−−

=

−=

+=+→

=+=+=

3

21

213

113

142

4

6

64

4

33),(

123

122

122)123(

12223

22312

424

2

21

221

21112

11122

33

−−−−

=

−=−−−−=−−−

++=−−+=−

xy

xyy

xyxyy

xyyxyyy

yyxyyyx

yxyyx

xy cos xx

2x 8xy - x cos xy cos yy

2x8xy- cos xy cosy xy) cos xxy

x cosxy cosy xy cos xyxxyy4x

x cos y)(xyxy cos xxyy4x

x senxy xyx

1

1

2

12

−++=

++=−

++=−+++=−+

+=−

2

2

11

1

22

4

4(

28

28

sen4

APLICACIONES DE LA DERIVADA

I → Es la recta Tangente a la función f(x) continua y su gráfica: T → Es la recta Tangente a la función f(x) en el punto “P” y cuya pendiente es:

En: Y su ecuación es: Sustituimos:

A una recta que es Perpendicular a la Recta Tan y que pase por punto de Tangencia se le llama Recta Normal (N) y su pendiente está dada por:

⇒

x

y

xPu

nto

deTa

ngen

cia

Qp

m Tanm

f(a) f(x)

y=f(x)

)(1 xfmT =

ax =

)(1 afm T =⇒

)( 11 xxmyy −=−

))(()( 1 axafafy −=−

Nota: cond de perpendi. M1m2 = -1

TN m

1m −=

( )af

1mN '

−=

y su ecuación es: Ejemplos: Obtner la Ec. De la Recta Tan y Normal a la curva: y = x3 -3x +2 en x-2 La Ec. De la Recta Tan: y-f(a) = f' (a) (x-a) La ordenada del Punto de Tangencia F(a) = f(2) = x3-3x +2 = 8 - 6 +2 = 4 El punto de Tangencia es: (2, 4) La Pendiente de las rectas tan a la curva es MT = f' (x) en x-2 = 3x2-3 f'(a) = f'(2) = 3x2 - 3 = 12 - 3 = 9 ⇒ La Ec. De la recta tan: Ax + By + C = 0 Y - 4 = 9x - 18 -9x + 18 + y 4 = 0 -9x + y + 14 = 0 (-1) Forma General de la Ec. Recta Tan La Ec. De la Recta Normal es:

( ) ( ) axaf

1afy −−=−

'

Y - 4 = 9 -(x - 2)

⇒ 9x - y - 14 = 0

( ) ( ) ( )axaf

1afy −=−

''

( )2x9

14y −−=−

Halle las Ec. De las Rectas Tan y Normal, a la curva: Y = ex en x=3 F(a) =f(3) = y = ex =e3 El punto de tangencia: (3, e3) La pendiente MT = f'(x) en x = 3 f'(a) = cx Dxx = f'(a) = ex (1) La ecuación de la Recta Tan es: = e3 La Ec. De la Recta normal es: Y=x3 - 6x2 + 9x -1 que se tiene MT = 24 (2 soluciones) MT = f'(x) f'(a) = 24 = f'(a) f'(x) = 3x2 - 12z + 9 3x2 - 12x + 9 = 24 3x2 - 12x - 15 = 0 ÷÷÷÷ 3 x2 - 4x - 5 = 0 (x-5) (x+1) = 0 x - 5 = 0 x + 1 = 0 x1 = 5 x2 = 1 Para x = 5 f(5) = 125 - 150 + 45 - 1 = 19 ⇒ Punto de tan (5,19) ⇒ La Ec. De la Recta Tan: y - 10 = 24 (5-5)

Para x - 1 F(1) = 1 - 6 + 9 - x = 3 ⇒ Punto Tan (5,3) ⇒ La Ec. De la recta Tan: y - 3 = 24 (x - 5)

G'' (x) =

Y - e3 = e3 (x - 3)

Y - e3 = e3x - 3e3

( ) ( ) ( )axaf

1afy −−==

'

( )3xe

1ey

33 −−=−

( )( )

( )( )

( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )( )( ) ( )( )

( )

( )423

2

2223

423

2x

31

2223

2223

32

2xx

223

22

32

2

2x

32

2

3121

23

2x39

2x33

1x722x318

2x39

2x3D2x3323x62x318

2x33

x33xD6x6D2x33xg

2x33

x6

x62x331

2x3D2x33

1

2x3g

2x3xg

+

+−+

=

+

++−+=

+

+−+=

+=

+=

++=

+=

+=

−

−

−

''

INDICE

01) conjuntos, subconjuntos, operaciones con conjuntos

02) correspondencia biunívoca, conjuntos equivalentes, cardinalidad de un conjunto A, leyes de

Morgan

03) notación científica, logaritmos, ecuaciones exponenciales y logaritmos, operaciones con

monomios

04) regla general para suprimir signos de agrupación, multiplicación de expresiones algebraicas

05) sistemas de ejes cartesianos, sistemas de numeración, sistemas posicionales, otros sistemas de

numeros

06) operaciones con números reales, criterios de divisibilidad, teorema fundamental de la

aritmética

07) números racionales, reglas de redondeo, números irracionales, operaciones con radicales

08) diagramas de Venn, intervalos en la recta numérica

09) graficas, relaciones

CONJUNTOS. Es una colección de objetos bien definidos notación A,B,C Elementos a,b,c, B= b,a,c Pertenencia de elemento a conjunto b∉B a ∉B j∉B Formas de definir un conjunto

A) Método por extensión o tabular B) Método constructivo o por comprensión

A) A = a,b,c, B) A= x/x es una de las primeras letras del alfabeto

Conjunto Vació ∅∅∅∅= es subconjunto de todo conjunto, es aquel que no tiene

elementos. Conjunto Universal ∪∪∪∪ = Ω representa la totalidad de elementos para un

problema dado.

Subconjunto ⊂⊂⊂⊂ El conjunto A es el subconjunto de B (A ⊂ B) si todo elemento que pertenece a A

también pertenece a B. Ejemplo: A= 1,2,3 B= 1,2,3,4 A⊂ B (subconjunto) B ⊃ A (superconjunto) Todo conjunto es subconjunto de sí mismo A⊆A

Subconjunto propio A es subconjunto propio de B, si todo elemento de A pertenece a

B y además B tiene otros elementos. A⊂B , A⊆A Conjuntos iguales = A es igual que B si todo elemento que pertenece a A también pertenece a B, y si todo elemento que pertenece a B también pertenece a A. A=B< = > A⊂B y B⊂A Ejemplo: A= 2,4,5 => A=B B= 2,4,2,5

Familias de Conjuntos Son conjuntos cuyos elementos son a su vez conjuntos. A = e, A,B A ⊄ A

Conjunto Potencia (es una familia de conjuntos) Es el conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto dado. Se denota generalmente como 2 nombre del conjunto. Ejemplo: A=2,3 B=2 C=3 D=2,3 ∅ 2ª=B,C,D,∅ 2ª=2, 3, 2,3,∅

Obtener el conjunto potencial del siguiente conjunto, y decir si las siguientes afirmaciones son F o V y XO.

B=0,1,2, C=0,1, D=0,2 2B=C,D,E,F,G,H,I,J E=1,2 F=∅ G=0,1,2 H=0 I=1 J=2 1) 0 ⊄ B V 2) 0,1⊂ B V 3) 1⊄ B F 4) ∅ ⊂ B V 5) 1,2,0⊂ B V 6) 1⊂ B F 7) 0,1,2⊄ 2B F

Conjuntos Disjuntos o Ajenos Los conjuntos A y B son disjuntos si no tienen elementos en común. Ejemplo: A=a,b,c B=f,j,k

A y B son ajenos

Conjuntos Comparables Dos conjuntos A y B son comparables sí A ⊂ B o B ⊂ A Conjuntos No Comparables Dos conjuntos A y B son no comparables A ⊄ B y B ⊄ A Ejemplos: Decir de los siguientes conjuntos cuales son comparables y cuales no. A= 3,5,6,7 A ⊄ B son no comparables B= 5,6,7,8 B ⊄ A C= 1,2,3,5,6,7 D=3,4,5,6,7,8 A ⊂ C son comparables E=1,2,9,10 C ⊄ A A ⊂ D son comparables D ⊄ A A ⊄ E son no comparables, E ⊄ A y disjuntos OPERACIONES CON CONJUNTOS. Unión ∪∪∪∪ La unión de dos o más conjuntos A y B es un nuevo conjunto tal que sus elementos pertenecen a A o a B o a los dos. A∪B = x/x ∉ A o x ∉ B Intersección ∩∩∩∩ La intersección de los conjuntos A y B es un nuevo conjunto cuyos elementos son aquellos que pertenecen al mismo a los dos conjuntos. A∩B=x/x ∉ A y x ∉ B

Diferencia o Resta – La diferencia de A-B es un nuevo conjunto cuyos elementos pertenecen al conjunto minuendo no al sustraendo. A-B= x/x ∉ A y x ∉ B =>∉A Complemento ‘ C Para hablar de complemento, lo primero que hay que definir es el universo. El complemento de un conjunto es el conjunto formado por todos los elementos que no pertenezcan a A. Ac=A’= x/x ∉ A = x/x ∉∪ y x∉A ∪-A=A’ Ejercicios: 1.- ¿ Cuál de los siguientes es un conjunto vació?

a)x/x es la letra anterior a la “a” en el alfabeto b)x/x ≠ x c)/x+8=8

a= ∅ , b= ∅ 2.- ¿Cuáles de los siguientes conjuntos son iguales?

a)A= 1,2,3 A⊂B y B⊂A=>A=B B=3,2,1,1, A⊂C y C⊂A=>A=C C=1,2,1,3 B⊂C y C⊂B=> B=C

b)A=x/x es una letra de la palabra “TOCATA” A⊂C y B⊂A=>A=B B =x/x es una letra de la palabra “TACTO”

c)A=x/x-3=4 B=1 x-3=4 C=7 x=4+3 X=7 A=C 3.- Formar los conjuntos de conjunto A.

A= 0,1 B=0, C=1, D=0,1,, E=∅

4.-Si E=2,4,5,4

a)2E b)decir de las siguientes cuales es falsa y cual verdadera. 1.- 5∉E F 2.-5∉E F 3.-5⊂E F 4.-4,5∉E V 5.-4,5⊂E F 6.-2∉E V 7.-∅∉E F 8.-∅⊂E V F=2 J=2,4

G=4,5, K=4,4,5 H=4 L=∅ I=2,4,5 M=2,4,5,4 2E=F,G,H,I,J,K,L,M

5.- Dados conjuntos efectuar las siguientes operaciones. ∪=1,2,3,4,8,9 A=1,2,3,4 B=2,4,9 C=3,4,8,9

a)A’=8,9 b)B’=1,3,8 c)C’=1,2 d)A∪B=1,2,3,4,9 e)B∩C=4,9 f)A-B=1,3 g)B-C=2 h)A∩C=3,4 i)(A∩C)’=3,4’=1,2,8,9 j)(B-C)’=2’=1,3,4,8,9 k)(A-B) C=1,3 ∩ 3,4,8,9 =3 6.- ∪=0,1,2,3,4,5 A=0,2,3,5 B=1,4,5 C=0,3,4,5

a) B’-C=0,2,3-0,3,4,5=2 b) A∩C’=0,2,3,5∩1,2=2 c) B∪(A∩C)=1,4,5 ∪0,3,5=0,1,3,4,5 d) A-C’=0,2,3,5-1,2=0,3,5 e) ∅‘=0,1,2,3,4,5 f) ∪‘=∅

Correspondencia Biunívoca . Dos conjuntos A y B están en correspondencia biunivoca si a cada elemento del conjunto A le corresponde un único elemento del conjunto B y a cada elemento del conjunto B le corresponde un único elemento de A. A=0,1,2,3 B=a,b,c,d Conjuntos Equivalentes ∼∼∼∼ Dos conjuntos equivalentes (A y B) si se pueden poner en correspondencia biunívoca. A=1,2,4 B=5,6,2 A∼B Cardinalidad de un conjunto A Es el símbolo que se utiliza para respetar al conjunto de conjuntos que se puede poner en correspondencia biunívoca con A. Se denota la cardinalidad del conjunto A como n(A) Propiedades de los conjuntos . A∪∅=A A∩∅=∅ A∪U=U A∩∅=A

∅‘=U U‘=∅ (A’)’=A A’=x/x∉A Conmutativa.- Unión A∪B=B∪A Intersección A∩B=B∩A Asociatriva.- Unión (A∪B)∪C=A∪(B∪C) Intersección (A∩B)∩C=A∩(B∩C)

Leyes de Morgan . Union (A∪B)’=A’∩B’

Intersección(A∩B)’=A’∪B’ Distributiva.

Union A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) Intersección A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) Conjuntos de Números U=IR Los números reales son aquellos que expresados en forma decimal constan de un numero finito o infinito de decimales. Ejemplos: -1,1.5,2.93,√7,3.3, # racionales Q # reales # irracionales Q’ Los números racionales Q son aquellos que expresados en forma decimal son finitos o infinitos periódicos.

Los números racionales siempre se pueden expresar como cociente de dos enteros (Z’) Q=x/x=p/q si P∉Z’,q∉Z’ y q≠0 Los números irracionales Q’ son aquellos que expresados en forma decimal constan de un numero infinito de decimales no periódicos. Los números irracionales no se pueden expresar como cociente de dos enteros. Q’=x/x≠ p/q q≠0 Dentro de los racionales se distinguen los siguientes conjuntos enteros positivos o naturales Z+ o N. N=1,2,3,.... enteros negativos Z-=...,-4,-3,-2,-1 enteros no negativos Z ∪0= 0,1,2,3,...

Los enteros no negativos también se conocen como el conjunto fr los números plenos. No=0,1,2,3,.... Enteros No Positivos Z’-∪0=....,-4,-3,-2,-1,0 El conjunto de los números reales mas sus propiedades forman el sistema de los # reales. Propiedades de los # reales.

• Tricotomia.- dados dos números reales a y 13 solo pueden pasar tres cosas: a<b, a=b o a>b

Si ab entonces a-b>0 y a esta a la derecha de b en la recta numérica.

• Completez.- A cada punto de la recta numérica le corresponde un numero real y a

cada numero le corresponde un punto de la recta. • Densidad.- Dados dos números reales a y b tales que a<b siempre existe otro real

c que cumple a<c<b. Clasificar los siguientes números según el conjunto mas pequeño al que pertenezcan.

1) 0 ∉ No 2) –3 ∉ Z- 3) 8/2=4 ∉ N 4) √16=4 ∉ N 5) –1/5 ∉ N 6) 4.42 ∉ Q+ 7) ∏ ∉ Q’ 8) √15 ∉ Q’ 9) 25½=5 ∉ N 10) –2²=4 ∉ N 11) –3°=-1 ∉ Z- 12) (-3)º=1 ∉ Z 13) 9½=3 ∉ N 14) –8=4 ∉ Z-

Gráfica de Conjuntos de números en la recta numéric a. Las desigualdades ab y b>c se pueden escribir como a>b>c. Operaciones con Intervalos. Sea f la familia de intervalos de la recta, se incluyen en el conjunto vacío ( ] [ )y los puntos [a,a]. Se cumple entonces que:

Si A∉f y B∉f =>(A∩B) ∉f La intersección de dos intervalos es un nuevo intervalo.

Si A∉f y B∉f y A∩B≠∅=>(A∪B) ∉f Si se unen dos intervalos no disjuntos se obtiene un nuevo intervalo. Si A∉f,B∉f,A∉B,B∉A=>(A-B) ∉f (B-A) ∉f La resta de dos intervalos no comparables es un solo intervalo. PRODUCTO CARTESIANO DE DOS CONJUNTOS. Se llama producto cartesiano de dos conjuntos, al conjunto de parejas ordenadas formado de manera que el primer elemento de la pareja viene del primer conjunto y el segundo elemento de la pareja del segundo conjunto. Se denota como AXB. AXB=(a,b) a∈A y b∈B

NOTACION CIENTIFICA. Un numero escrito en la notación científica si se expresa como un numero real entre uno y diez multiplicado por una potencia entera de diez. Número bx102 1≦b<10 Regla para expresarlo en la notación científica. Si se coloca el punto decimal después del primer dígito diferente de cero y se determina la potencia del diez contando él numero de lugares que se desplazo el punto decimal. Si se mueve hacia la derecha la potencia es negativa, si se mueve a la izquierda es positiva. Ejemplo: 0.000321 3.21 x 10-4

3450000000000 3.45 x 1012

LOGARITMOS. Si b es un número positivo diferente de uno y N es un numero positivo, existe x (numero real) tal que. bx = N Se dice que x es el logaritmo del numero N en base b y se denota como: log bN=x. Ejemplo: 32=9 log39=2 (4/3)-1=3/4 log4/33/4=-1 Propiedades de los Logaritmos . log a1=0 => a0=1

log a=1 => a1=a logaan=n => an = an

a logan = n El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores. log a (M*N) = log a M+log a N M=ax N=ay log a (ax ay)= log ax+y=x+y

x=loga M y= loga N log a (ax ay)= loga ax+y = x+y= loga M + loga N

El logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de la base. loga Mx= x loga M M=ay loga (ay)x = loga axy= xy y=loga M loga (ay)x= loga ayx= yx=xy=xloga M El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor. loga (M/N)= loga M – loga N M=ax N=ay loga (ax/ay) = loga ax-y = x-y

pero x = loga M y= loga N loga (ax ay) = loga ax-y= x-y = loga <m – loga N El logaritmo de un radical es igual al logaritmo del radicando entre el índice de la raíz. Loga (m√M)=1/m loga M= loga M/m Demostración. Si M=ax

loga m√ax= loga ax/m= x/m pero x = loga M => m√ax= loga ax/m=x/m=logaM/m Relación entre logaritmos de diferentes Bases. log2 37=y 5<y<6

2y=37 log 2y= log 37

y log 2 = log 37

y= log 37/log2 = 1.568/0.3010= 5.209 =>25.209=37

Ecuaciones exponenciales y Logaritmos. 7x-3= (6/24)x log 7x-3= log (6/24)x (x-3) log 7 = x log 6/24 (x-3) (0.84)= x (0.3979) x (0.84) – 3(0.84) = x (0.3979) 0.84x – 2.52 = 0.3979x 0.84 x – 2.52 – 0.3979 x = 0 0.4421x – 2.52 = 0 x=(2.52/0.4421)

x=5.70 7(5.70-3)= (6/2.4)5.70 7(2.7)=(2.5)5.70 1 91.32=185.46

Ecuaciones Logarítmicas . Log4 (6x-7)=3 43=6x-7 Comprobación 64=6x-7 Log4(6(11.873)-7)=3 64+7=6x Log4(71-7)=3 6x=71 Log4 64=3 x=71/6 Log 64/ log 4= 3 x=11.83 3=3 OPERACIONES CON MONOMIOS Y POLINOMIOS.

Expresión Algebraica.- es una representación con un símbolo algebraico o la representación de una o varias operaciones algebraicas.

Termino algebraico.- es una expresión donde los símbolos no pueden aparecer

separados por signos + o -, a no ser que estos a su vez estén agrupados con algún símbolo de agrupación.

Partes de un termino signo (+ o -) coeficiente parte literal

Los términos tienen grados: Grado absoluto.- suma de los exponentes de las literales que forman el termino. Grado relativo.- es con respecto a una literal (el mayor exponente).

Clases de términos: Enteros.- no aparecen literales en el denominador. Fraccionarios.- aparecen literales en el denominador. Radicales.- las literales no aparecen debajo del signo radical. Irracionales.- las literales aparecen debajo del signo radical.

Homogéneos.- el grado absoluto de los términos es igual. Heterogéneo.- no es homogéneo.

Monomios .- son expresiones algebraicas que constan de un termino. Polinomios .- son expresiones algebraicas compuestas por mas de un termino. Valor Numérico de un monomio .- es él numero que se obtiene al sustituir los literales por un numérico, después de efectuar operaciones indicadas. Términos Semejantes .- son aquellos que tienen la parte literal igual. Dos o más términos son semejantes cuando tienen la misma parte literal, es decir, las mismas letras elevadas a los mismos exponentes. Suma de Expresiones algebraicas.

- Regla general para sumar dos o más expresiones algebraicas. Se escriben unas a continuación de otras, y se reducen los términos semejantes si los hay.

Suma de Monomios . Efectuar la suma: -11m,8m,7x,4n+4m -11m+8m+7x+4n+2m=-9m+8m+7x+4n =-m+7x+4n Efectuar la suma: -1/2 xy, -1/2 xy -1/2 xy – 1/2xy = -xy Efectuar la suma: 1/2x, 2/3y, -3/4 x 1/2x-3/4x+2/3y = x(1/2-3/4)+2/3y = x(2-3/4)+2/3y = x-1/4 + 2/3y Suma de Polinomios. Encontrar la suma de los siguientes polinomios 3a-2b-c, 2a+3b+c 3a+2b-c 2a+3b+c 5a+5b

Resta Algebraica. Regla general para resta.- se escribe el minuendo y a continuación el sustraendo con los signos cambiados, y se reducen los términos semejantes. Resta de Monomios. (-6x2y) – (-x2y) -6x2y+x2y = -5x2y (-11/12 a2b2) – (5/6 a2b2) = 21/12 a2b2

Resta de Polinomios. (x3-x2+6) – (5x2-4x+6) x3-x2+6-5x2+4x-6 =x3-6x2+4x (5/9x2-3/8y2)-(5/7xy + 1/10 y2 – 3/11) 5/9x2-3/8y2-5/7xy-1/10y2+3/11 5/9x2-19/40y2-5/7xy+3/11 Suma y Resta combinadas .

a) De la suma de x2+5 con 2x-6, restar la suma de x-4 con –x+6 [(x2+5)+(2x-6)] –[ (x-4)+(-x+6)] (x2+5+2x-6)-(2) (x2+2x-1)-2 x2+2x-3

Regla General para suprimir signos de agrupación.

- Para suprimir signos de agrupación precedidos del signo mas, se deja el mismo signo que tengan a cada uno de las cantidades que se hallan dentro del.

- Para suprimir signos de agrupación precedidos del signo menos, se cambian

todos los signos que tengan a cada una de las cantidades que se hallan dentro del.

- Simplificar, suprimiendo los signos de agrupación y reduciendo términos

semejantes. a) 3x-[ x+y-(2x+y)]=3x-[x+y-2x-y] = 3x-x-y+2x+y

=4x Regla General para introducir unidades en signos de agrupación .

- Para introducir cantidades dentro de un signo de agrupación precedido del signo mas, se deja a cada uno de las cantidades con el mismo signo que tengan. - Para introducir cantidades dentro de un signo de agrupación precedido del

signo menos, se cambian a cada uno de las cantidades el signo que tengan. Introducir todos los términos menos el primero de las expresiones siguientes en un paréntesis precedido del signo menos.

a) x+2y+(-xy-y)=x-(2y-(-xy-y)) Multiplicación de Expresiones algebraicas .

• Ley de los signos: signos iguales dan mas, signos diferentes da menos. • Ley de los exponentes: an am = am+n • Ley de los coeficientes: el coeficiente de un producto, es el producto de los

coeficientes. I.- Caso de Multiplicación (multiplicación de monomios).

Regla General: para multiplicar monomios, se multiplican los coeficientes y a continuación de este producto se escriben las letras de los factores en orden alfabético poniéndole a cada letra un exponente igual a la suma de los exponentes que tengan los factores.

(-8m2n3)(-9 a2m x4)=72 a2 m3

n3 x4

(-3 an+4 bn+1)(-4an+2 bn+3) = 12 a2n+6 b2n+4

II.- Multiplicación de Monomios por Polinomios.

Regla General.- para multiplicar un monomio por un polinomio se aplica la propiedad distributiva. (a3-5 a2b-8ab2)-4 a4m2= -4 a7 m2 +20 a6 bm2+32 a5 b2 m2

(2/3 x4y2-3/5x2y4+5/6 y6) –2/9 a2 x3 y2 -4/27 a2 x7 y4+6/45 a2 x5 y6 – 10/54 a2 x3 y8 III.- Multiplicación de Polinomios por Polinomios. Regla General.- para multiplicar dps polinomios se multiplican todos los términos del multiplicando por cada uno de los términos del multiplicador y se reducen los términos semejantes. (m4-3m2+4)(3m3-2m+1) m4-3m2+4 3m3-2m+1 3m7 -9m5 +12m3 -2m5 +6m3 -8m m4 -3m2 +4

3m7-11m5+m4+18m3-3m2-8m+4 DIVISIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS .

• Ley de los signos • Ley de los exponentes an/am=an-m • Ley de los coeficientes

I.- División de Monomios. Regla General.- se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor y a continuación se escriben en orden alfabético las letras, poniéndole a cada letra un exponente igual a la diferencia entre el exponente que tiene en el dividendo y exponente que tiene el divisor. -20mx2y3/4xy3=-5mx 54x2y2z3/-6xy2z4

II.- División de Polinomios por Monomios. Regla General.- para dividir un polinomio por un monomio, se divide cada uno de los términos del polinomio por el monomio separando los cocientes parciales con sus propios signos. (8m9n2-10m7n4-20 m5n6+12 m3n8)/ 2 m2 4 m7n2 – 5 m5 n4 – 10 m3n6 + 6 m n8 1/2x2-2/3x/2/3 x

3/4z –1 III.- División de Polinomios entre Polinomio. 3x3+4x2+15x+25 x-2 3x4-2x3+7x2-5x+2 -3x4+6x3

4x3+7x2-5x+2 -4x3+8x2

15x2-5x+2 -15x2+30x

25x+2

-25x+50

52 Cociente = 3x3+4x2+15x+25 Residuo= 52 NOTACIÓN DE FUNCION. F:D R F - característica de la función D - dominio R – Rango Y=f(x) y = variable dependiente x= variable independiente Ejemplo: En las relaciones R1,R2,R3 establece el dominio y el rango. R1 D= 1,2,3,4,5 R = 2,3,4,5,6 R2 D = 1,-1,2,-2 R = 1,4 R3 D = 7,2,5,-7 R = 3,1,9

SISTEMAS DE EJES CARTESIANOS . Abscisa .- es él numero que mide en magnitud y signo la distancia del origen a la proyección del punto sobre el eje x. Ordenada .- es él numero que mide en magnitud y signo la distancia del origen a la proyección del punto sobre el eje y. A cada punto del plano le debe corresponder una pareja ordenada de numero reales y a cada pareja ordenada de números le corresponde un punto. y Abscisas X Ordenadas y (x,y) (x,y) y x SISTEMAS DE NUMERACION .

• Numeración.- Parte de aritmética que nos dice como leer y escribir los números.

• Generación de números.- Se generan por adición.

• Cifra o Guarismo.- Símbolo que se utiliza para representar los números. • Dígito.- es un numero de una sola cifra. • Sistema de Numeración.- Son todas las leyes o reglas para escribir los

números. • Base.- Numero de unidades de un orden que forman una unidad del orden

superior.

Posicional.- La cifra tiene un valor por la posición que ocupa. Tipos de Sistemas

Yuxtaposicional.- La repetición de cifras dan el valor del numero.

Chino base10 Posicionales Maya base 20 Indoarabigo base 10

SISTEMAS POSICIONALES . Propiedades. 1.- Un numero de unidades igual a la base forma una unidad de orden superior y de la misma manera cada unidad esta formada por un numero de unidades del orden inferior igual a la base. 2.- Con él numero de cifras igual a la base incluyendo el cero, se puede escribir cualquier numero. 3.- Cada numero colocado a la izquierda de otro es tantas unidades mayor que el de la derecha como unidades tengan la base. SISTEMA DECIMAL POSICIONAL. La base es 10. Al ser posicional cumple las propiedades anteriores. Ordenes. El uno es la unidad de primer orden, si aumentamos unidades hasta completar un numero igual a la base, tenemos una unidad de segundo orden, y así sucesivamente. Subórdenes. El uno esta formado por 10 decimos, que forman el primer suborden. Numero Potencia Orden Nombre 1 10° * Primer Unidades 10 10¹ * Segundo Decenas 100 10² * Tercer Centenas 1000 10³** Cuarto Unidades de Millar 10000 104** Quinto Decenas de Millar 100000 105** Sexto Centena de Millar 1,000,000 106* Séptimo Unidad de Millón 10,000,000 107* Octavo Decena de Millón 100,000,000 108* Noveno Centena de Millón 1000,000,000 109*** Décimo Unidad de Millar de

Millón 10,000,000,000 1010*** Onceavo Decena de Millar de

Millón 100,000,000,000 1011*** Doceavo Centena de Millar de

Millón 1,000,000,000,000 1012*/ Treceavo Unidad de Billón

Clases. *Unidades 100 ** Millares 103 */ Billones 101 104

102 105

*Millones 106 ***Millares de Millón 109

107 1010

108 1011

Periodos. *Unidades * Millones Unidades Millones **Millares ***Millares de Millón */Billones Billones Lectura y Escritura de números en el sistema decima l. Numero Potencia Suborden Nombre .1 10-1 Primer Décima .01 10-2 Segundo Centésima .001 10-3 Tercer Milésima .0001 10-4 Cuarto Diez Milésima .00001 10-5 Quinto Cien Milésima .000001 10-6 Sexto Mil Milésima .0000001 10-7 Séptimo Diez Millonésima .00000001 10-8 Octavo Cien Millonésima .000000001 10-9 Noveno Mil Millonésima .0000000001 10-10 Décimo Diez Mil Millonésimo .00000000001 10-11 Onceavo Cien Mil Millonésimo .000000000001 10-12 Doceavo Billonésimo

Otros Sistemas de Numeración . Base Nombre 2 Binario 3 Ternario 4 Cuaternario 5 Quinario 6 Senario 7 Septenario 8 Octonario 9 Nonario 10 Decimal Potencia Valor 21 2 22 4 23 8 24 16 25 32 26 64 27 128 28 256 29 512 210 1024 211 2048 212 4096 213 6192 Conversión de números en base decimal a otras bases . Ejemplo: 2427 1101111101001 2 Conversiones. De sistema decimal a otras bases se divide él numero y los cocientes sucesivos entre la base hasta que el cociente sea menor que esta. De otro sistema a decimal. Se encuentra el valor relativo de las cifras que compone él numero y se suman. Ejemplo: 1462 7 =1x73+4x72+6x71+2x70=343+196+42+2=583 1462 7 =583

Para convertir entre dos bases diferentes a base diez, se convierte primero a base diez y de esta a la otra base. 4320 5 3

4x53+3x52+2x51+0x50=500+75+10+0=585 4320 5 585 585 210200 3

OPERACIONES CON NUMEROS REALES . Las operaciones más importantes son suma, resta, multiplicación y división, estas operaciones se conocen como binarias por que están definidas entre dos cantidades. Propiedades.

Cerradura.- un conjunto se dice que es cerrado respecto a alguna operación, si al efectuar esa operación con elementos del conjunto el resultado que se obtiene siempre pertenece al conjunto. Suma: Si a∈ R, b∈R=>(a+b)∈R Multiplicación: Si a∈R,b∈R=>(a*b)∈R Conmutativa.- el orden de los factores no altera el producto. Suma: Si a∈R,b∈R entonces a+b=b+a Multiplicación: Si a∈R,b∈R=>a*b=b*a Asociativa.- se puede asociar en diferente forma Suma: Si a,b,c∈R=>a+(b+c)=(a+b)+c Multiplicacion: Si a,b,c, ∈R=>a(b*c)=(a*b)c Elementos Neutros.- son los que no afectan la operación. Suma: Si a∈R existe 0∈R tal que a+0=a Multiplicación: Si a∈R existe 1∈R tal que a*1=a Elementos Inversos.- se le llama inverso aditivo o simétrico al numero que sumado da cero. Suma: Si a∈R existe -a∈R=>a+(-a)=0 Multiplicación: Si a∈R y a≠0 existe 1/a tal que a(1/a)=1 Se le llama inverso multiplicativo o recíproco.

Propiedad del cero en la multiplicación . Si a∈ R,a(0)=0 Propiedad del Producto Nulo. Si a*b=0=>a=0 o b=0 o a=0 y b=0

Propiedades de los Inversos. -(-a)=a -(a+b)=-a+(-b)

-(ab)=(-a)b=a(-b) Propiedad Distributiva Si a,b,c ∈R entonces a(b+c)=ab+ac (b+c)a=ba+ca Propiedad de la Resta

Si a,b,c ∈R=> a-b= a+(-b) Propiedad de La División Si a,b∈R y b≠0 => a/b =a(1/b) Definición de la Resta a/b=c <=> c(b)=a Propiedad de Sustitución Si a,b, ∈R y a=b=> a puede ser sustituida por b en cualquier expresión. Números Primos .- Son aquellos que solo son divisibles entre sí mismos y la unidad. Números Compuestos .- son aquellos que no son primos. Factor o Divisor .- Un numero B es factor o divisor de un numero A sí y solo si existe un numero C tal que a=Bc, entonces a/b=c a=dividendo

B=divisor A/b o c=cociente

Criterios de Divisibilidad.

Numero Criterio 2 Si terminan en 0,2,4,6,8 3 Si la suma de sus dígitos es divisible entre

tres. 4 Si el número formado por sus últimos

dígitos es divisible entre cuatro. Si termina en 0 o en 5.

6 Si es divisible entre dos y entre tres. 7 Se agrupan sus cifras a partir de la derecha

en grupos de tres dígitos y se les asignan signos mas y menos a cada grupo; se efectúa la suma si es divisible entre 7 él numero también.

8 Si él numero formado por las tres ultimas cifras es divisible entre 8.

9 Si la suma de sus cifras es divisible entre 9. 11 Se marcan a partir de la derecha con los

signos mas y menos alternativamente, si la suma es divisible entre 11 el numero también.

12 Si es divisible entre 2,3,4,6 13 Igual que el 7. Teorema Fundamental de la Aritmética . Un numero se puede expresar como un producto único de factores primos sin importar su orden. MCM.- es el producto de todos los factores primos diferentes elevados al mayor exponente. MCD.- Es el producto de todos los factores comunes elevados al menor exponente. Ejemplo: MCM(60,72,84) 60,72,84 2 30 36 42 2 15 18 21 2 MCM=(2³)(3²)(5)(7) 5 9 7 3 1 3 1 3

1 5 7

MCD(60,72,84) 60,72,84 2 30 36 42 2 15 18 21 3 MCD=(2²)(3) 5 6 7

NUMEROS RACIONALES En ocasiones la división entre dos enteros no es exacta, por lo tanto se amplia el conjunto para que comprenda a fracciones como: 7/4,3/2,1/13, etc. Se definen los racionales como: Q=x/x=p/q,p,q∈ Z q≠0 Propiedades. Si p/q y r/s pertenecen a los racionales y p/q=r/s => ps=rq Si p/q ∈Q y K∈ Z => p/q= pk/qk La fracción p/q se dice que esta en términos menores o simplificada, la fracción pk/qk esta en términos mayores. Si p/q y r/s ∈Q y p/q=r/s => p±q/q=r±s/s Si p/q y r/s ∈ Q y p/q=r/s => p/q±p=r/s±r Si p/q ∈Q => -p/q= -p/q= p/-q Fracciones. Propias p<q Impropias p>q las impropias se pueden expresar como números mixtos con parte entera más una fracción propia. Fracciones Decimales.- son aquellas cuyo denominador es 10 o un múltiplo de 10. Fracciones Comunes.- son las que no son decimales. Las fracciones se pueden expresar en forma decimal dividiendo numerador entre denominador. Ejemplos: 4/5=.8 = 8/10 3/2=1.5 = 1+1/2= 15/10 Fracción Generatriz.- fracción común simplificada equivalente a la fracción decimal (numero decimal periódico).

• Suma y Resta: p/q, r/s Q p/q+r/s=ps+qr/qs c

• Multiplicación: p/q, r/s Q

p/q x r/s = pr/qs

• División: es lo mismo que multiplicar por el recíproco p/q, r/s Q p/q x r/s = pr/qs

• Potencia de Fracciones p/q, m∈ Q

(p/q)m=pm/qm / (p/q)-m=(q/p)m=qm/pm

• Raíz de una fracción p/q, m ∈Q

m√p/q = m√p/m√q REGLAS DE REDONDEO .

1) Si el primer dígito de la parte que se va a descartar es mayor que 5 se aumenta en una unidad el dígito anterior. Ejemplo: Redondear a dos cifras decimales 38.736 38.74

2) Si el primer dígito de la parte que se va a descartar es menor que 5 se deja el

dígito anterior. Ejemplo: Redondear a dos cifras decimales 44.724 44.72 3) Si el primer dígito de la parte que se va a descartar es 5 y los siguientes dígitos

no son todos cero, se incrementa el ultimo dígito en una unidad. Ejemplo: Redondear a dos cifras decimales 245.345103 245.35

4) Si el primer dígito de la parte que se va a descartar es 5 y los siguientes son

cero entonces:

-“ Si el ultimo dígito es par se deja como esta”. Ejemplo: Redondear a dos cifras: 4.765 4.76 - “Si el ultimo dígito es impar se le suma una unidad”. Ejemplo: Redondear a dos cifras 5.735 5.74

NUMEROS IRRACIONALES . Los números irracionales expresados en forma decimal tienen un numero infinito de decimales no periódicos. Ejemplo: √7,√3,3√4, etc.

Leyes de los Radicales. El símbolo n √a se lee raíz enésima de a y significa él numero x que elevado a la n da como resultado a. n√a=x si nx=a √25=5 52=25 3√8=2 23=8 Definición n√a Si a>0, n√a es el numero positivo Si a=0, n√a = 0 Si a<0, si n es impar n√a es el numero negativo que elevado a la n da a. Si n es par n√a no esta definida en los reales. √ signo radical n√a a radicando o subradical n índice de la raíz Leyes n√a n√b = n√ab n√a / n√b = n√a/b m√n√a = nm√a mk√amk = h√am Operaciones con Radicales.

• Simplificación de Radicales.

a) Sacar factores o divisores de un radical b) Simplificar los exponentes del radicando y el índice de la raíz cuando se pueda c) Racionalización de denominadores a) Para sacar un factor o divisor de un radical este tiene que estar elevado al

mismo índice de la raíz o a un múltiplo del.

½ 5 √256 a10 b15 = ½ 5√25 23 a10 b15 = 2 a2 b3/2 5√ 23 = a2 b3 5 √23

¾ 3√8 a6 b7/8 c8 = 3√b/c2 = 3a2 b2/4c2 = 3√b/c2

b) 6√343 a9 x12 = 6√73 a9 x12 = √7 a3 x4

c) Racionalizar un denominador es expresar una fracción como otra fracción equivalente que no tenga raíces en el denominador. Es decir, es expresar una fracción irracional como una equivalente racional.

Potencias. Sea b∈ R y n un numero entero positivo, entonces bn = b*b*b*b.....(n .veces) Si b∈ R y n=0 bn =1 (y b≠0) 00= no esta definido Si b∈ R y b≠0 y n es entero negativo bn = 1/b-n Leyes de los Exponentes. am*an=am+n am/an=am-n (amb)n=amn bn (an/bm)p = anp/bmp a-m/b-n = bn/am (a/b)-n = (b/a)n

Multiplicación y División de Radicales. Para multiplicar o dividir radicales estos deben tener el mismo índice. m√a m√b = m√ab m√ab = m√a m√b m√a/m√b = m√a/b b≠0 Si el índice es diferente hay que buscar el MCM de los índices, dividir este entre cada uno de los índices y elevar los radicándolos a los cocientes, obtenidos en cada caso. Después ya se puede multiplicar o dividir. 3√abc2 : 4√ab2 c3 = 12√(abc2)4 : 12√(ab2 c3) = Introducir Factores o Divisores en un Radical. Para introducir factores o divisores en un radical se elevan al índice de la raíz y se multiplican o dividen por el radicando según sea el caso.

2x2y/z 4√3x3y/2 = 4√3x3y (2x2y)4/2z4 = 4√3x3y24x8y4/2z4 = √24x11y5/z4

Suma o Resta de Radicales. Para sumar o restar radicales estos deben de tener el mismo índice y el mismo radicando.

3/4√176 – 2/3 √45 + 1/8 √ 320 + 1/5 √275 3/4√24-11 – 2/3 √32-5 + 1/8 √26*5 + 1/5 √52*11 12/4√11-6/3√5+8/8√5+5/5√11

3√11-2√5+1√5+1√11 4√11-√5 Potencia de un Radical . (n√am)p = n√amp Productos de Binomios con Radicales. (√3x-√2x)( √5-√x)= √15x-√3x2- √10x + √2x2 = √15x-x√3-√10x+x√2 Racionalización de Denominadores Binomios . Para racionalizar fracciones con denominador, la fracción se multiplica por el conjugado del denominador. √2+√3/√5-√3=(√2+√3)/ √5-√3)*( √5+√3)/( √5+√3)= √10+√6+√15+3/2

AB A⊂B

Subconjunto

A B

A BIntersección

A∩B

A BUnión

A∪B

A BResta

A-B

DIAGRAMAS DE VENN

Ejercicios

Coloca cada una de las afirmaciones siguientes debajo delDibujo que le corresponda.1) A⊂B2) A⊃B3) A=B4) A∩B=∅5) A y B son no comparables

A

B

2)

A B

3)

BA

AB

4) 5) 1)

En los sigientes diagramas rayar o iluminar lo que se indique.

A B

A B

A B

A B

A B

A B

A B

A B

1) 2) 3)

4) 5) 8)

6) 7)

A∪B // A∩B // (A∪B)’ //

B-A // (A-B)’ // A∩(B∪C) //

A∩B∩C // B-(A∩C) //

A B

(A∩B)∪(A ∩ C)

9)

C

C C C

A B

A∪(B∩C)

C

Hacer un diagrama de Venn con tres conjuntos no vacios A,B y C de modo que tengan las siguientes caracteristicas:

1.- A⊂B,C⊂B y A∩C=∅

A CB

2.- A⊂B, C⊄B, A∩C=∅

A

C B

3.- A⊂C, A≠C, B∩C =∅

C

B A

4.- A⊂(B∩C), B⊂C, C≠B Y A≠C

AC B

Problemas.

1.- De 274 niñas se encontro que 81 leian Excelsior, 62 leian Reforma y 160 no leian ninguno. Ilustra esto en un diagrama de Venn y deduce cuantas niñasLeian los dos.

A B

52 33A exelcior 81B reforma 62(A∪B)’ no 160A∩B los dos

2.- En el “ILV” 57 alumnos estudian Matematica, 65 estudian Fisica, 12 toman solo Matematicas y Fisica, y 6 toman solo Fisica y Quimica ¿Cuántos alumnos toman las 3 materias? ¿Cuántos toman solo Matematicas y Quimica?, ¿Cuántos toman soloQuimica?

MF

Q

31242

0

2

5

6

57 Matematicas65 Fisica50 Quimica

¿Cuántos toman las 3 materias? 42¿Cuántos toman solo Mate. Y Quimica? 0¿Cuántos toman solo Quimica? 2

INTERVALOS EN LA RECTA NUMERICA.

Intervalo abierto.- se llama intervalo abierto determinado por los # ay b tales que a<b, al conjuntode # reales mayores que hay menores queb (a<x<b).Se denota como a,b

a,b =xa<x<b

Los esxtremos del intervalo a y b no estan incluidos dentro del intervalo.Lanotacion grafica del intervalo es:

a b

R

Intervalo Cerrado.- se llama intervalo cerrado determinado porlos # a y b tales que a<b, al conjunto de numeros relaes (x) mayores o iguales quea y menores o iguales que b (a≤x ≤ b).Se denota como [a,b].Los extremos del intervalo a y b si estan incluidos dentro del intervalo.La notaciongrafica del intervalo es:

a b

R

Los numeros tambien se pueden representarCon un intervalo.

a=x/x=a=[a,a]

a

R

Intervalos semiabiertos y semicerrados.

Notacion de conjuntos *a≤x<b,a<x ≤ bNotacion de intervalos *[a,b[,]a,b]

*a b

R

*a b

Intervalo Infinitos.- son aquellos que no tienen principio o notienen fin. Siempre es abierto.*(x>a)=a<x<∞,(x<a)=- ∞ <x<aSe denota *]a, ∞ [ , ] - ∞,a [

a

R*+

* + R

a

a

R+

+ R

a

x≥a=a≤x<∞

x≤a=-∞<x≤a

[a,∞[

]a, ∞]

GRAFICAS.

Si una relacion esta dada por un conjunto de parejas ordenadas,su graficasera el conjunto de puntos cuyas coordenadas son las parejas dadas.

A=(0,2),(-1,3),(2,4)

Si una relacion esta dada por una ecuacion su grafica es el conjunto de puntosCuyas coordenadas satisfacen la ecuacion.

y=2x-3 x 2x-3

12340-1

2(1)-3=-12(2)-3=12(3)-3=32(4)-3=52(0)-3=-32(-1)-3=-5

(1,-1)(2,1)(3,3)(4,5)(0,-3)(-1,-5)

Chino

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

674

EVOLUCION

1 2 3

RELACIONES

a 1

Uno a unoDe dos a dos m masDe dos o mas a uno

Funcion.- A cada elemento del primer conjunto se le asigna unoY solo uno del segundo conjunto.

y x

Dominio Rango

Regla de Asociación

* Toda funcion es una relacion, pero no todas las relaciones sonfunciones.* Para tener una funcion se necesitan dos conjuntos, uno de dominio y otro de rango con una regla de asociación.

y x

3

2

1

0

3

2

1

0

Asi surgio el sistema de ejes coordenados

Rango –y(variación depend.)

x- Dominio (variable independiente)

y=5x-4

x

123

5x-4 y Puntos

5(1)-45(2)-45(3)-4

1611

(1,1)(2,6)(3,11)

y

x

20

15

10

5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

INDICE

01) triángulo de pascal y tartaglia

02) combinaciones que sirven como coeficientes en el desarrollo binomial

03) Fórmula del T-k esimo término de la (a+b) a la n

04) solución de ecuaciones de grado N

05) teorema del residuo

06) división sintética

07) signos de descartes

08) ejercicios y ejemplos

09) newton y raphson

10) lógica proposicional clases de proposiciones, compuertas AND y OR, negación

11) tablas de verdad, disyunción, conjunción, implicación o condicional, doble implicación o

bicondicion

12) circuitos lógicos

13) desigualdades e inecuaciones

14) ejercicios de sistemas de inecuaciones

15) ejercicios de sistemas de inecuaciones II

16) problema

17) problema II

18) solución analítica de las desigualdades

19) ecuaciones de valor absoluto, conjunción, intersección, disyunción o unión

20) series progresiones o sucesiones, razón o diferencia

21) ejercicios de series, progresiones o sucesiones

22) máximos y mínimos

23) criterio de la primera derivada

24) criterio de la segunda derivada

25) puntos críticos, puntos de inflexión y problemas

26) problema de puntos críticos y de inflexión

27) apuntes de cálculo y derivada de una raíz cuadrada

28) derivada de una radical

29) derivada de la raíz cuadrada del cociente de dos conjugados

30) derivada del logaritmo decimal de U y derivada del logaritmo natural de U, tareas

31) exponenciales

32) números complejos

33) nomenclatura de números complejos y operaciones con complejos

34) transformación de forma polar a cartesiana y viceversa, ejemplos

35) matrices, tamaño de una matriz, identificación de sus elementos, nomenclatura,

determinantes, matriz

36) operaciones con matrices, suma y resta, producto de matrices

37) determinantes menores y cofactores

38) matriz inversa

39) formulario

“TRIANGULO DE PASCAL Y

TARTAGLIA”

PASCAL TARTAGLIA

(a + b)0 1 1

(a + b)1 1 1 1 1

(a + b)2 1 2 1 1 2 1

(a + b)3 1 3 3 1 1 3 3 1

(a + b)4 1 4 6 4 1 1 4 6 4 1

(a + b)5 1 5 10 10 5 1 1 5 10 10 5 1

(a + b)6 1 6 15 20 15 6 1 1 6 15 20 15 6

1

La diferencia entre el triángulo de Pascal y el de Tartaglia es que el de Pascal

forma un triángulo isoceles mientras que el de Tartaglia forma un triángulo

rectángulo. Originalmente el triángulo lo inventó Trataglia pero Pascal lo

remodeló para que fuera más práctico.

En este triángulo podemos observar que los binomios que tienen potencia par

tienen un término en medio, los que no tienen potencia par, no.

Combinaciones que sirven como coeficientes en el desarrollo

binomial: Una combinación es una expresión de tipo nCr = Crn = nPr y quiere decir que

es el número de combinaciones de n objetos tomados de r en R

Ejemplo:

1E 2E 3E 4E 5E

Tengo 5 libros y quiero que siempre me queden juntos el 1E y el 5E. No

importa si me quedan al principio, final, primero uno o luego el otro etc...

Como quiero que estén juntos se convierten en un solo elemento. Aunque

tengo 5 elementos, los estoy tomando como si fueran 4

1E 5E 2E 4E 3E

3E 2E 5E 1E 4E

La fórmula es:

nCr = Crn = nPr = n! = n

r! (n-r)! r

n! Representa todos los factores menores que n hasta la unidad y me permite

obtener los coeficientes

n (n-1) (n-2) (n-3) ....... 1

0! = 1

(a + b) 3= Pascal 1 3 3 1

n 3 3 3 3

r 0 1 2 3

3 = 3! = 3! = 3x2x1 = 1

0 0! (3-0)! 0! 3! 1x3x2x1

3 = 3! = 3! = 3x2x1 = 3

1 1! (3-1)! 1! 2! 1x2x1

3 = 3! = 3! = 3x2x1 = 3

2 2! (3-2)! 2! 1! 2x1x1

3 = 3! = 3! = 3x2x1 = 1

3 3! (3-3)! 3! 0! 3x2x1x1

Para no tener que hacer todas las operaciones de factorial, se para el orden

decreciente en el numerador en el factorial mayor que tenga el denominador:

3 = 3! = 3! = 1

3 3! (3-3)! 3! 0!

Se eliminan el 3! Del numerador con el del denominador.

Formula del T-k esimo término de (a+b)n

n= grado del binomio

k= número del término buscado r= k –1

T-kesimo= n an-r br = n! an-r br

r r! (n-r)!

T-kesimo= n an- (k-1) b(k-1) = n! an- (k-1) b(k-1)

r r! (n-r)!

T-kesimo= n an +1 -k b(k-1) = n! an +1 -k b(k-1)

r r! (n-r)!

La formula del T-k esimo termino se puede aplicar siempre y cuando n pertenezca a los enteros positivos (naturales)

Encontrar el 4° término de: (a + b)4

n=4

k=4 r=k-1 =3

T4= 4! a4-3 b3= 4! ab3= 4x3!= 4 ab3

3! (4-3)! 3! 1! 3! 1!

Si lo resolviera todo me quedaría: a4 +4 a3b +6 a2b2 +4 ab3+ b4

Encontrar T47 de:

(3x2y –2xy-2)79

n=49

k=47

r=47-1=46

T47= 79! (3x2y)33 (-2xy-2)46= 79! (3x2y)33 (-2xy-2)46=

46! (79-46)! 46! 33!

79x78x77x76x75x74x73x72x71x70x69!= 46! 33!

5.227941748 x 1018 69!=

46! 33!

46! 23!=

46! 33!

23!= 2.585201674 x 1022 = 2.977205012 x 10-15

33! 8.683317619 x 1036

= 2.977205012 x 10-15 (3x2y)33 (-2xy-2)46

Esto lo hago porque mi calculadora solo tiene hasta el 69! y sería muy largo

hacer todos los factoriales uno por uno aunque sí se puede y se te eliminan muchos números.

Encuentra el T11 de:

(-2x4y –3my2)15=

T11= 15! (-2x4y)5 (-3my2)10= 15! (-2x4y)5 (-3my2)10

10! (15-10)! 10! 5!

T11= 15x14x13x12x11x10!= 10! 5!

360360= 3003

120

3003 (-2x4y)5 (-3my2)10 = 3003 (-32x20y5) (59049 m10y20)=

-5674372704 x20 y25 m10

Cuando te piden el resultado con cifras significativas, (ejemplo 4 cifras significativas), la cuarta cifra del numero sube a su valor inmediato superior si la quinta es mayor o igual a 5, si la quinta es menor que 5, la cuarta cifra se

queda igual. En este resultado: -5674372704 x20 y25 m10 el resultado con cuatro cifras significativas es -5674 x20 y25 m10 porque después del 4, había un 3

“SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE GRADO “N””

3x2 –5x –4 =0 es una ecuación porque está igualada a una constante que se

pretende que se cumpla

3x2 –5x –4 es una expresión 3x2 –5x –4 =y es una función que te da una parábola. Tiene variable

dependiente (3x2 –5x) independiente (y). Cada valor que yo le de a “x” es el

valor transformado en la función que va a tener “y”

Ecuación

Expresión ALGEBRAICA

Función

y=logx función logaritmica

y=senx función trigonométrica TRASCENDENTES

y=ex función exponencial X=-3 X= 4 son las raices que satisfacen a una ecuación de segundo grado. Como tiene

dos raices, sabes que era un trinomio cuadrado así que para saber que

trinomio era, les cambias el signo y los multiplicas por x

(x + 3) =0 (x – 4) =0

Luego los multiplicas entre sí y los igualas a 0

(x+3) (x-4) =0

x2 –x –12 =0

x2 –5x –24 =0 Factorizas

(x-8) (x+3) =0

Uno de los 2 términos tiene que ser 0 para que esto se cumpla, por lo tanto

igualas los dos a cero:

(x-8)=0 (x+3)=0

y despejando te queda que

x=8 x=-3

Estos son los puntos en donde se intersecta con el eje x

x=-3 x=8

Las coordenadas son (-3,0) y (8,0)

Si tabulamos obtenemos los siguientes valores

x Y

-4 12

-3 0 -2 -10

-1 -18

........ .....

6 18

7 -10

8 0 9 12

Cuando en f(x)=y no te queda ningún cero, significa que la raíz de esa

ecuación esta entre los números en los que cambias de signo

x2-3x –5=0

x Y

-3 13

-2 5

-1 -1

0 -5

1 -7

2 -7

3 -5

4 -1

5 5

6 13

Una de las raices está entre –2 y –1 y la otra entre 4 y 5 La respuesta exacta

solo la puedo saber con la formula del chicharronero

Teorema del residuo: El residuo de dividir un polinomio entero y racional en “x” por un binomio de la

forma x-a se obtiene sustituyendo en el polinomio dado a “x” por “a”

Sea el polinomio en x

P(x) = Axm +Bxm-1 +Cmm-2 + ..... +Mx +N

En nuestro caso P(x) = x2-5x –24

Si dividimos el polinomio por x-a continuaremos la operación hasta que el

residuo R sea independiente de x (que ya no pueda continuar con la división

(división inexacta)) Se que tengo decimales en álgebra cuando la potencia es

negativa.

P(x) = x2 –5x- 24 = Q

x-a x-3

Sea Q el cociente de esta división. Como en toda división inexacta el

producto del cociente por el binomio de la forma (x-a) mas el residuo (R) es

igual al polinomio en (x)

Q(x-a) +R = P(x)

(x-8) (x+3) +0 = x2-5x –24

2

3 7

1

2 (3) +1 =7

Q

(x-a) P(x)

R(x)

x-8

x+3 x2-5x –24

-x2 –3x

-8x -24

+8x +24

0

Se cambia de signo cuando vas de arriba para abajo porque sería (x) (x) = x2

para x2 =-x2

Se deben ordenar el dividendo y el divisor en forma ascendente.

Si dividiera x2-5x –24 entre otro binomio de la forma x-a

x-7

x+2 x2-5x –24

-x2 –2x

-7x –24

+7x +14

-10

Cuando hago la división es como estar tabulando:

x y

-3 0

-2 -10

Cuando el residuo me da 0, el cociente es una de mis raíces solución y el

divisor la otra. Cuando no me da 0, no es solución.

División Sintética: Por este método los pasos a seguir son: Averiguar si la ecuación o el polinomio en “x” tiene en el término de mayor grado coeficiente diferente de la unidad ya que de ser así implicaría una

manera diferente de poder saber cuales serían las posibles raíces solución de la ecuación dada. Es decir:

a) Término de mayor grado con coeficiente unitario: x2-5x –24 Para poder saber cuales serían mis posibles raíces divido el término independiente entre los posibles divisores del coeficiente del término de mayor grado.

Posibles raices de 24: ±1 ±2 ±3 ±4 ±6 ±8 ±12 ±24

Dentro de estas está la solución o entre 2 de estas está la solución. Se que son dos raíces solución porque la ecuación es de 2° grado. Divido cada una entre el coeficiente del término de mayor grado que es uno, entonces me quedan igual. b) Coeficiente del término de mayor grado es diferente de la unidad

entonces a cada uno de los divisores del término independiente, lo dividiremos entre todos los divisores del coeficiente del término de mayor grado:

6x2 –5x +8

Divisores de 8: ±1 ±2 ±4 ±8 Divisores de 6: ±1 ±2 ±3 ±6 Tendría 32 posibles raíces solución que son: ±1 ±½ ±1/3 ±1/6 ±2 ±2/4 ±2/3 ±2/6 ±1 ±4 ±4/2 ±4/3 ±4/6

±8 ±8/2 ±8/3 ±8/6

Signos de Descartes: Nos permiten saber de que tipo serán las respuestas de una ecuación, es decir, pueden ser positivas, negativas o complejas: N Positivas Negativas Complejas 2 2 0 0 2 1 1 0

2 0 0 2 2 1 0 1 2 1 2 0 Todo esto esta en función del grado de la ecuación (n) Para el 1er renglón: Analizo la ecuación original y veo cuantos cambio de signo hay:

+x2 – 5x + 24 = 0

más a menos, menos a mas, mas a mas, por lo tanto hay 2 cambios de signo, lo que me indica 2 raíces positivas y como solo puedo tener 2 raíces en total pongo 0 negativas y cero complejas

Para el 2nd renglón:

Analizo las raíces negativas sustituyendo –x en todas las x de la ecuación original (NO EN LA VARIABLE)

+(-x)2 – 5(-x) + 24 = 0

+x2 – 5x + 24 = 0

Hubo un cambio en total (-5x y 5x) entonces pongo que hay una raiz negativa y como ya sabía que tenía 2 posibles positivas ahora solo tengo 1 y cero complejas porque el total es 2

Para el renglón 3°, 4° y 5°:

Podría tener también las dos raíces complejas o una compleja y una positiva pero no lo puedo poner así porque en el análisis de negativas me salió que una tiene que ser negativa a fuerza. Tampoco puedo poner las dos negativas (5° renglón) porque solo hubo un cambio, por lo tanto mi respuesta mas confiable (aunque no al 100%) es el segundo renglón.

Encontrar el numero de raíces positivas, negativas y complejas de la siguiente ecuación:

4x5 –6x2 +x +1=0

Positivas: 2 cambios

Análisis de negativas:

4(-x)5 –6(-x)2 +(-x) +1=0

4x5 –6x2 +x +1=0

2 cambios

n Positivas Negativas Complejas

5 2 0 3

5 2 2 1

5 0 2 3

5 1 2 2

Para el primer renglón:

Tomo únicamente el análisis de positivas (2 cambios), como si no hubiera negativas (porque todavía no hago el análisis) y tomo las demás como complejas

Para el segundo renglón:

Ya hice el análisis de negativas y me salió que eran 2 (2 cambios) y como ya tenía 2 positivas solo me queda una compleja.

Para el tercer renglón:

Lo tomo como si tuviera 0 positivas y como se que tengo 2 negativas me quedan 3 complejas

Para el cuarto renglón:

Lo tomo como si tuviera 1 positiva, sabía que tenía 2 negativas, por lo tanto tengo 2 complejas.

EL MAS CONFIABLE ES EL SEGUNDO RENGLÓ PORQUE HICE UN ANÁLISIS APROXIMADO DE POSITIVAS Y NEGATIVAS.

El método de los signos de descartes es muy subjetivo porque aunque tienes un resultado que aparenta ser el más confiable, solo puedes saber la respuesta correcta cuando lo resuelves.

Teorema del factor: Q (x-a) P(x) R(x)

Método del Factor:

Q(x-a) +R = P(x)

En DIVISIÓN SINTÉTICA:

El dividendo es el coeficiente del polinomio en x

El divisor es la posible raíz solución

*Se colocan ceros en donde no existe variable (x5 +2x3 +3 los coeficientes serían +1 +0 +2 +0 +3)

x2-5x –24 Posibles raíces de 24: ±1 ±2 ±3 ±4 ±6 ±8 ±12 ±24

Escojo una y la divido:

1 -5 -24 -3

-3 24

1 -8 0

El primer coeficiente pasa igual para abajo y se multiplica por la posible raíz solución. El resultado se pone abajo del segundo coeficiente y se hace la operación (1 (–3) = -3 –5 =-8) El resultado de esa operación (-8) se vuelve a multiplicar por la raíz solución, se escribe el resultado debajo del tercer coeficiente y se hace la operación (-8 (-3)= 24 –24 =0) Este procedimiento se sigue hasta que ya no se pueda seguir. Si me da 0 es que la raíz solución que propuse es correcta y en forma de factor se expresa:

x= -3 raíz solución x+3 =0 forma de factor

Cuando encuentro una raíz solución, el grado de la ecuación original se reduce en uno:

x –8 =0 x=8 y así encuentro la otra raíz solución.

x=8 x=-3

Si hiciera la división sintética con una raíz falsa:

1 5 -24 6

6 6

1 1 -18

Como el residuo me quedo 18, no es solución

x y -4 12 -3 0

-2 -10 -1 -18 ........ ..... 6 18

7 -10 8 0 9 12

También hacer una división sintética es como estar tabulando.

Ejercicio:

Obtener las raíces solución de :

6x4 – 3x2 –12x –10 =0

N + - C

4 1

4 1

4 2

Posibles raíces:

Q ±10 ±5 ±2 ±1

P ±6 ±3 ±2 ±1

Q/P ordenados de menor a mayor

-10, -5, -10/3, -5/2, -2, -5/3, -1, -5/6, -2/6, -1/2, -1/3, -1/6, +1/6, +1/3, +1/2, +2/6, +5/6, +1, +5/3, +2, +5/2, +10/3, +5, +10

6 0 -3 -12 -10 -1/2

-3 3/2 3/4 45/8

6 -3 -3/2 -45/4 -35/5

6 0 -3 -12 -10 -1

-6 6 -3 15

6 -6 3 -15 5

Como en estas 2 posibles raíces solución hubo cambio de signo, asumo que el resultado está entre:

.......-1, -5/6, -2/6, -1/2.....

6 0 -3 -12 -10 -5/6

-5 25/6 -35/36 2335/216

6 -5 7/6 -467/36 175/216

-5/6 =-.8333

175/216 =.8101

6 0 -3 -12 -10 -2/3

-4 8/3 2/9 212/27

6 -4 -1/3 -106/9 -58/27

-5/6 = -.66

-58/27= -2.1481

Hubo cambio de signo por lo tanto la respuesta está entre –5/6 y –2/3

Lo tenemos que sacar por tanteo:

Utilizo –3/4=.75 como posible raíz solución

6 0 -3 -12 -10 -3/4

-9/2 27/8 -9/32 1323/128

6 -9/2 3/8 -441/32 43/128

Sería muy tardado estar haciendo la división sintética hasta encontrar el valor que necesitamos por lo tanto tomamos dos puntos

A (-.833, -.8101)

B (-.66, -2.14)

Y los graficamos:

A= -.833 B= -.066

Por triángulos semejantes las líneas se cruzan en .7809 Ese punto lo llamaremos “C”

La distancia del punto A al punto C es 1/6-x porque la distancia del punto A al punto B es de 1/6. Por lo tanto, la distancia del punto C al punto B es x

Con la fórmula

Y1 = 1/6 -x

Y2 x

Despejamos:

x Y1 = Y2 (1/6 –x)

x Y1 = 1/6 Y2 - x Y2

x Y1 + x Y2 = Y2/6

Sustituyendo (sin signos porque estamos sacando una distancia):

.8101x +2.14x = 2.14 /6

x =.1209

Si a .66 le agrego .1209 obtengo la raíz solución:

.66 + .1209 =.7809

Otra manera MAS FÁCIL es tomar las coordenadas de los dos puntos y hacerlo por determinantes:

A (-0.833, .81)

B (-0.66, 2.14)

X Y

A -0.833 0.81

B -0.66 -2.14

X Y

Se cambia el signo de subida

Se respeta el signo de bajada

El resultado es:

.81x +1.78 -.66y +2.14x +0.53 +0.833y =

2.95x +2.31 +.17y =0

quito el .17y porque yo ya se que mi coordenada en y va a ser 0

2.95x +2.31 =0

2.95x =-2.31

x=.78

En los 2 métodos me quedó igual.

Para comprobar hago la división sintética con -.78

6 0 -3 -12 -10 -.78

-4.68 3.65 -.50 9.75

6 -4.68 .65 -12.50 -.2442

-.2442 está muy cerca del cero, por lo tanto está bien. Mi orden de error es del 20%

Era una ecuación de 4° grado con una raíz positiva, una negativa y 2 complejas. Ya encontré una negativa, ahora me falta encontrar una positiva y dos complejas.

Para encontrar la raíz positiva hago divisiones sintéticas con las posibles raíces solución y obtengo que la raíz solución se encuentra entre:

6 0 -3 -12 -10 1

6 6 3 -9

6 6 3 -9 -19

6 0 -3 -12 -10 1.57

9.42 14.78 18.5 10.21

6 9.42 11.78 6.5 0.22

Hubo cambio de signo y por eso la raíz positiva está entre:

A (1, -19)

B (1.57, .22)

Para sacarla utilizo el método de determinantes:

x y

A 1 -19

B 1.57 .22

x y

-19x +.22 +1.567y -.022x +29.83 –y=

x= 30.05 /19.22 = 1.56

Con este valor hago la división sintética:

6 0 -3 -12 -10 1.567

9.40 14.73 18.38 10.0060

6 9.40 11.73 6.38 .0060

Mi segunda raíz solución es 1.567

Ahora me falta sacar las dos raíces complejas. Para sacarlas tengo que reducir el grado de la ecuación y para esto hago primero la división sintética con la primera raíz que saque:

X1= -.783

6 0 -3 -12 -10 -.78

-4.68 3.65 -.50 9.75

6 -4.68 .65 -12.50 -.2442

Así reduje mi ecuación a un grado menor:

6x3 –4.68x2 +.65x –12.50 =0

Y con esta ecuación y mi segunda raíz, vuelvo a hacer la división sintética:

X2= 1.567

6 –4.68 +.65 –12.50 1.567

9.40 7.399 12.61

6 4.722 8.04 .1133

Ahora tengo una ecuación de segundo grado:

6x2 +4.722x +8.04 =0

y para sacar mis otras dos raíces utilizo la fórmula del chicharronero:

-b ±±±±√√√√b2 –4ac

2a

-4.722 ± √ (4.722)2 –4 (6) (8.04)

2 (6)

-4.722 ± √ 22.29 –192.96

12

-4.722 ± √-170.67

12

X3=-.3935 + 1.088 i

X4=-.3935 – 1.088 i

En total me quedaron 2 raíces complejas, una positiva y una negativa. (signos de descartes)

Newton-Raphson:

X i+1 = Xi – f (Xi)

f ’ (Xi)

Obtener por Newton Raphson las raíces de:

f(x) = 3x3 –2x +7

Posibles raíces:

-7, -7/3, -1, -1/3, 1, 7/3, 7

Hago las divisiones sintéticas y descubro que mi raíz solución está mas o menos

en -1.2

3 0 -2 7 -1.2

-3.6 4.2 -2.7

3 -3.6 2.32 4.3

Aplico la fórmula de Newton-Raphson:

X i+1 = Xi – f (Xi)

f ’ (Xi)

X i+1 = -1.2 – f (-1.2)

f ’ (-1.2)

X i+1 = -1.2 – 4.21

10.96

X i+1 = -1.2 –0.384

X i+1 = -1.584

A este resultado vuelvo a aplicarle Newton Raphson para acercarme mas al

cero:

X i+1 = -1.584 – f (-1.584)

f ’ (-1.584)

X i+1 = -1.584 – (-1.75)

20.58

X i+1 = -1.584 +0.085

X i+1 = -1.49

Hago la división sintética con este resultado para ver que tanto me acerco al

cero:

3 0 -2 7 -1.49

-4.47 46.66 -6.94

3 -4.47 4.66 0.056

Mi residuo ya es muy cercano al cero y por eso ya la dejo así. Pero con esta

división sintética saco la nueva ecuación reducida en uno

3x2 –4.47x +4.66 =0

y aplico la fórmula del chicharronero:

-b ±±±±√√√√b2 –4ac

2a

-4.47 ± √ (4.47)2 –4 (3) (4.66)

2 (3)

-4.47 ± √ 19.98–55.92

6

-4.47± √-35.94

6

X2=-0.745 + .99916 i

X3=-0.745 – .99916 i

Con los signos de descartes me podría haber dado cuenta desde el principio

que me quedaban 1 positiva compleja y 2 negativas de las cuales una era

compleja.

“LÓGICA PROPOSICIONAL” Proposiciones Falsas: Está haciendo calor; Tengo ganados $ 2 x 106

Proposiciones verdaderas: Está haciendo frío; El carro que uso es prestado

Para que una proposición sea falsa se le agrega un no:

No, el carro que uso es prestado

El carro que uso no es prestado

Si agregamos dos veces “no”, la proposición seguiría siendo verdadera:

No, el carro que uso no es prestado

Es como las leyes de los signos:

+ + = +

+ - = -

- + = -

- - = +

Clases de Proposiciones:

Falsas: Está nevando

Verdaderas: Ya salió el sol

Cerradas: 3+4=7 (solo hay una respuesta o dos pero no mas)

Abiertas: 3+4<7 (tiene muchas respuestas)

Simple: El Lunes es día festivo (un sujeto, un verbo, un complemento)

Compuesta: El Lunes y el Martes no hubo clases (mas de un sujeto, o mas

de un verbo, o mas de un complemento)

Las proposiciones compuestas emplean para su formación conectivos que

permiten hacer la conexión entre dos proposiciones simples las cuales

emplean letras P, Q de la siguiente manera:

Conectivo Símbolo Se Lee Ejemplo Conjuntos Aritmética Álgebra

Boleana

Circuitos lógicos

Disyunción ∨ o P ∨ Q ∪ + Or-o Compuerta or

Conjunción ∧ y P ∧ Q ∩ x And-y Compuerta and

Implicación o

Condicional

⇒ si,

entonces

P ⇒ Q

Doble

Implicación o

Bicondicional

⇔ si y solo

si,

entonces

P ⇔ Q

La compuerta or es el sumador 7404 y la compuerta and es el multiplicador

7500

El modificador es “not” que se expresa con los símbolos ¬, ∼

Compuerta OR: puede haber, en un espacio del tamaño de la cabeza de un

alfiler miles de compuertas OR

P P ∪ Q

Q

Compuerta AND:

P P ∩ Q

Q

Si aplico el modificador NOT, la compuerta se vuelve NOR o NAND

P= María tiene libros

¬P= María no tiene libros

“TABLAS DE VERDAD” DISYUNCIÓN: (∩,o, or, +) para que una disyunción sea verdadera basta y

sobra que una de las dos proposiciones sea verdadera (OR)

P Q P ∩∩∩∩ Q

V V V

V F V

F V V

F F F

En álgebra Boleana:

P Q P + Q

1 1 1

1 0 1

0 1 1

0 0 0

CONJUNCIÓN: (∪, y, and, x) una conjunción es verdadera si ambas son

verdaderas.

P Q P ∪∪∪∪Q

V V F

V F F

F V F

F F V

En algebra Boleana:

P Q P x Q

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 0

IMPLICACIÓN O CONDICIONAL: (⇒, si..entonces) una implicación es

verdadera si el antecedente es falso y el consecuente es verdadero o ambos

son verdaderos o ambos son falsos.

P Q P ⇒⇒⇒⇒ Q

V V V

V F F

F V V

F F V

DOBLE IMPLICACIÓN O BICONDICIONAL: (⇔, si y solo si) es

verdadera solo si ambas son verdaderas o si ambas son falsas.

P Q P ⇔⇔⇔⇔ Q

V V V

V F F

F V F

F F V

Una tautología es cuando todas son verdaderas.

Ejercicio:

P Q ¬¬¬¬ (p∪∪∪∪Q)

⇒⇒⇒⇒ (¬¬¬¬P∩∩∩∩Q)

¬¬¬¬(¬¬¬¬P⇔⇔⇔⇔Q)⇔⇔⇔⇔

(¬¬¬¬P⇔⇔⇔⇔¬¬¬¬Q)

P⇒⇒⇒⇒(Q∪∪∪∪¬¬¬¬Q)

V V vF⇒ F = F fV ⇔ V =V V ⇒ V = V

V F vF⇒ F = F vF ⇔ V =F V ⇒ V = V

F V vF⇒ V = V vF ⇔ F=V F ⇒ V = V

F F FV⇒ F = F fV ⇔ V =V F ⇒ V = V

¬¬¬¬Q ∪∪∪∪(¬¬¬¬P⇒⇒⇒⇒ ¬¬¬¬Q) ¬¬¬¬P∪∪∪∪Q ¬¬¬¬P⇒⇒⇒⇒(¬¬¬¬P∩∩∩∩Q)

V ∪ V = V V F ⇒ F =V

V ∪ V = V F F ⇒ F =V

V ∪ F = F V V ⇒ V =V

V ∪ V = V V V ⇒ F =F

“CIRCUITOS LÓGICOS”

+

corriente alterna

-

+

pila (2 o mas pilas= batería)

-

Foco

Foco encendido

Serie

P Q

Paralelo P

Q

DISYUNCIÓN:

P Q P ∩∩∩∩ Q

V V V

V F V

F V V

F F F

P Q

En este tipo de proposiciones se utiliza este tipo de diagrama para

ejemplifcarlas porque la corriente debe pasar por P “OR” por Q para que se

prenda el foco, por lo tanto basta con que una de las dos sea verdadera.

CONJUNCIÓN:

P Q P ∪∪∪∪Q

V V F

V F F

F V F

F F V

Para este tipo de proposición se usa este tipo de representación porque la

corriente debe de pasar por P “AND” por Q. Tiene que pasar por ambas para

que sea verdadera.

IMPLICACIÓN O CONDICIONAL:

P Q P ⇒⇒⇒⇒ Q

V V V

V F F

F V V

F F V

Para que sea mas fácil de representar, se hace una nueva tabla equivalente que

da los mismos resultados negando P:

¬¬¬¬P Q ¬¬¬¬P ∪∪∪∪ Q

F V V

F F F

V V V

V F V

¬¬¬¬ P Q

Negando el antecedente nos queda una tabla equivalente a la de la disyunción.

DOBLE IMPLICACIÓN O BICONDICIONAL:

P Q P ⇔⇔⇔⇔ Q

V V V

V F F

F V F

F F V

Para hacer el equivalente de esta tabla se necesitan hacer dos tablas. Una

negando P y otra negando Q y a partir de esas dos tablas hacer una conjunción:

¬¬¬¬P Q ¬¬¬¬P ∪∪∪∪ Q

F V V

F F F

V V V

V F V

P ¬¬¬¬Q P ∪∪∪∪ ¬¬¬¬Q

V F V

V V V

F F F

F V V

¬¬¬¬P ∪∪∪∪ Q P ∪∪∪∪ ¬¬¬¬Q (¬¬¬¬P ∪∪∪∪ Q)

∩∩∩∩ (¬¬¬¬P ∪∪∪∪

Q)

V F V

F V F

V F F

V V V

Esto se representa así:

En donde el primer paralelo representa en la parte superior (No P) y en la

parte inferior (Q) y el segundo paralelo representa en la parte superior (P) y

en la parte inferior (no Q)

“DESIGUALDADES-

INECUACIONES”

Desigualdades:

Una desigualdad es una expresión que emplea los símbolos de desigualdad

Mayor > que

Menor < que

De tal manera que convierte a la expresión donde se emplean en una

proposición abierta o semicerrada

Ejemplo:

x>2

es una proposición abierta

0 2 ∞

(proposición semicerrada)

0 2 ∞

)2,(

2x

∞>>∞

( ]2,

2x

2x

∞≥>∞

≥

en donde x pertenece a los enteros naturales

se cumple con (7,6,5,4,3)

0 2 7

Inecuaciones:

Una inecuación es una expresión algebraica en la cual empleamos un signo de

desigualdad el cual impide para sistemas de inecuaciones el tener una solución

única ya que tendremos varias soluciones que satisfacen el problema.

Ejemplo:

y=2x+3

y>2x+3

x7

2x

2x7

≥>

>≥

( ]7,2

y≥2x+3

En la ecuación y>2x+3 la línea va punteada porque como solo es mayor, no se

incluyen los que están sobre la recta.

En la ecuación y≥2x+3 la recta si está incluida en la región solución y por lo

tanto se representa con una línea continua.

Sistemas de Inecuaciones:

Hallar la solución de:

Para los sistemas de inecuaciones solo hay solución gráfica

Los pasos a seguir son:

1.- Despejar ‘y’ de ambas ecuaciones

El signo se invierte cuando multiplicas por –1

2.- Tabular para ambas ecuaciones

x y1 y2

0 -1 -1

1 1/2 3

3.- Graficar de acuerdo con los datos obtenidos

12y4x-

1082y-3x

<++≥+

2

x32y

x32y2

)x32y2(1

x3810y2

+−≤

+−≤−≥−−

−−≥− 1x4y −<

La región solución es

Porque es la región que incluye las respuestas posibles para las dos

ecuaciones


x y1 y2

0 2 5/2

1 2/3 8/3

La región solución es:

Esto se comprueba tomando un valor en la región solución que sirva para

ambas ecuaciones.

5x5-3y2x

063y-4x-

≤+>+


La región solución es:

Cuando la pendiente es positiva, es una recta de demandas y cuando la

pendiente es negativa es de ofertas. Esto sirve para las grandes empresas

cuando tienen que hacer cálculos para ver lo que les conviene hacer.

0155yx-

0x

09-3y2x

0y

≥++≥

<+≥

0x

0y

35

xy

5

15xy

3x3

2y

3

9x2y

≥

≥

−≥

−≥

+−<

+−<

Problemas: El dueño de una refaccionaria vende un número determinado de llantas

radiales y de llantas tornel. Las radiales tienen un costo de $25USD cada una y las tornel de $20USD cada una. El señor solo tiene espacio para 40 llantas y él ha vendido 15

radiales y 10 tornel y el máximo que puede comprar es $900USD Encuentra el número de cada tipo de llanta que debería de vender para obtener el más grande beneficio si él espera beneficiarse en $6USD por cada radial y $8USD de cada tornel

Costo Maximo (USD) Caben maximo Vende

Radial $25 900 40 15

tornel $20 10

La región solución es: En este triangulo hay 3 puntos posibles en los cuales se obtendría una mayor ganancia. Para saber cual es el que me conviene más sustituyo en la ecuación: g=6r+8t

t8r6g

10t

15r

r40t

40tr4

r5180t

180t4r5

90t20r25

+=≥≥

−≤≤+

−≤

≤+≤+

1

2 3

1 (15,25) 2 (15,10) 3 (27,10) Y descubro que: 1.- 6(15)+8(25)=290 2.-6(15)+8(10)=170 3.-6(27)+8(10)=248

Por lo tanto me conviene vender con la opción 1 y =3x

Grafica las siguientes ecuaciones:

x 0 1 2 3 -1 -2

y 0 3 6 9 -3 -6

x -3 -2 -1 0 1 2 3

y -1.5 -1 -.5 0 .5 1 1.5

x -3 -2 -1 0 1 2 3

y 1 2 3 4 3 2 1

y=0

x=0

1

2

3

2

xy =

4xy =+

1.-

2.-

3.-

Un rectángulo tiene una longitud de a cm y un ancho de b cm con un máximo

de área de 30 cm2.- Si su perímetro es 22 cm encuentra a partir de la

grafica los posibles valores de a y b

2

xy

0x

x3y

44y

≥

≥≥

<+

2

xy

4xy

x3y

>

<+≤

0y

x3y2

xy

4xy

≥<

≤

≤+

b11a2

b222a

b

30a

22b2a2

30ab

−≤

−≤

≤

≤+≤

Mi región solución se limita a la zona donde se cruzan las líneas verdes con las

rosas en la parte positiva (porque es una distancia)

Puede ser que el cuadrado este en

(2,2)

(3,3)

(5,5)

(4,8)

(2,7) etc.. depende de lo que yo quiera

10

7x

7x10

916x4x6

x416x69

)x4(4)x23(33

x4

4

x23

−>

<−−<−−

+<−+<−

+<−

Solución Analítica de las Desigualdades:

Como tengo una variable en el denominador tengo que multiplicar por el binomio al cuadrado. Esto implica que no se alteren los signos. No se puede resolver de la siguiente manera:

Porque estoy quitando al 1 como posible solución (y si lo cumple) y estoy solo tomando valores a partir del doble del que me manda al infinito

Se debe hacer así: x=4 estos son los valores en donde la curva corta al eje de las “x”, no para x=2 análisis

42x

x2 <−

4x4x

8x4x2)2x(4x2

><

−<−<

[ ] 0)2x)(4x(0)8x6x(

)08x6x(1

)016x12x2(21

016x16x4x4x2

16x16x4x4x2

)2x(4)2x(x2

)2x(4)2x(2x

x2

2

2

2

22

22

2

22

<−−−<+−−

<−+−−

<−+−

<−+−−

+−<−

−<−

−<−−

x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y -35 -24 -15 -8 -3 0 1 0 No toco ni al 2 ni al 4 en mi región solución P(3,0) 0>-32-6(0)-8 0>1 no se cumple, por lo tanto la región solución es afuera si estuviera al reves: y< x2-6x+8 P(3,0) 0<-1 3,0 no lo cumple por lo tanto no puedo tomar lo que queda dentro de las parabolas. Si cambio la ecuación de signo encuentro pequeñas zonas en las que la desigualdad no se cumple. SIEMPRE QUE HAY UNA DESIGUALDAD CON DENOMINADOR QUE TIENE VARIABLE (ME CONDUCE AL INFINITO), LO MULTIPLICO POR SU CUADRADO Y ASÍ LA RESUELVO. Esto me resuelve el problema

(3,2) si se cumple (3,0) no se cumple

8x6xy 2 −−−>

[ ]

2x4x4x

0)2x)(4x(0)2x)(4x(0)2x)(4x(

<>

<−<−+−<−−−<−−−

No es recomendable invertir la función en ecuaciones de segundo grado porque se altera la concavidad. Si le cambio el signo se me complica porque me salen muchas raíces solución.

Ecuaciones de valor absoluto: Donde b es un número positivo resolvemos la disyunción

/A/=b A=b o A=-b

/x+3/=5 x+3=5

x=2

x+3=-5 x=-8

/5x+3/=-17 Para resolver una ecuación de este tipo sabemos que el valor absoluto de un número es positivo o es cero, por lo tanto no hay solución para esta ecuación,

el conjunto solución es vacío. /17/ /-17/ siempre llegas a 17, nunca a –17

Conjunción e intersecciones: una afirmación x>5 y x<=12 es una conjunción

debido al elemento conectivo “y”

5 12

Disyunción o unión: x<-3 ó x>=6

-3 6

o tomo uno o tomo el otro

Resolver:

(x+2)<7 ó (x-1)>-4

x<5 ó x>-3

-3 5 Lo que tengo es una disyunción a partir de valores menores que –3 y mayores

que 5. Los que están en medio no son solución.

La longitud de un dinosaurio triceratopus adulto es de 20 a 25 ft. Tomando L como longitud escriba una afirmación compusta para cada situación.

L>=20 and L<=25

20 25 El mercurio no líquido está debajo de los 39°C o arriba de los 357°C

T<-39 orT>357

-39 357

“SERIES, PROGRESIONES

O SUCESIONES” Progresión: considera las siguientes sucesiones de números 3,6,9,12,15,.................(1) aritmética Aquí cada número es igual al que le precede en tres, en cambio en la siguiente sucesión, cada número es igual al que le precede multiplicado por 3 3,9,27,81,243,...................(2) geométrica Las sucesiones de números así obtenidos se llaman progresiones. Las progresiones pueden ser aritméticas y geométricas. De tal suerte que la número (1) es aritmética y la número (2) es geométrica. Cuando me ponen ÷ es aritmética Cuando me ponen :: es geométrica Una progresión aritmética es una sucesión de términos donde cada uno de los cuales es igual al que le precede, más un número llamado razón o diferencia común. Ejemplo: 2,7,12,17,22...... Razón o diferencia: 7-2=5 12-7=5 17-12=5 22-17=5

La razón o diferencia nos sirve para ver si es aritmética, o sea si en la serie estoy sumando, para saber como sigue la serie lo que hago es aumentar un número. En este caso es el 5.

Es una razón porque el 3 está en proporción con el 7 y el 7 está en proporción con el 3. Razón o diferencia: una progresión aritmética puede ser creciente o decreciente. Si la progresión es creciente la razón es positiva y negativa si es decreciente. NOTACIÓN PARA LA PROGRESIÓN: n 2 7 12 17 22 a r=d r=d l diferencia entre cada uno a=3 n=5 r=3 l=? Para saber cual es mi último número haría lo siguiente:

‘a’ es mi primer termino (n-1) porque tengo el primer término

73

r)1n(a(l −+=

Suma de los términos de una progresión aritmética a=3 r=3 n=5 3 6 9 12 15 a a+r a+2r a+3r S=sumatoria S= 45=na+10r S=(5)(3)+10(3)=45

4 7 10 13 n=4 r=3 a=4

Para sacar la fórmula verdadera:

Como un ejemplo usamos la primera:

34S4 =

4217

4298

)4(2

)3)(14(44

n2

r)1n(aaS

=

+=

−++=

−++=

n)2la(S +=

45)5(9

52126

)5(2

)3)(15(33

n2

r)1n(aaS

==

+=

−++=

−++=

Ejercicios: 1.- Cuál es el término número 12 y la suma de los 12 primeros términos de la serie: 8 5 2 (es una progresión decreciente) l=? s=? n=12 a=8 r=-3 l=a+(n-1)r l=8+(12-1)-3 l=-25

2.- ¿Cuál es el vigésimo término y cual es la sumatoria de los 16 primeros? 8 5 2 l=? s=? n=20 a=8 r=-3 l=a+(n-1)r l=8+(20-1)-3 l=-49

102s

12)217(s

12)2258(s

n)2la(s

−=

−=

−=

+=

l=? s=? n=16 a=8 r=-3 l=a+(n-1)r l=8+(16-1)-3 l=-75

3.- Calcular s y r si: a=-5 n=19 l=-95

4.- Hallar n y a si: l=6 r=5/6 s=24

232s

)16(2758s

−=

−=

5119595r

950s

)19(2955s

−=−−−=

−=

−−=

Escojo 9 porque es entero a=-.666 n=9 LAS FÓRMULAS PARA ESTO SON:

6n48a

l)ns(2a

)ns(2la

ns

2la

−=

−=

=+

=+

4.6n9n

:erochicharron

48n671n

650

)65)(1n()6

n48(l

2

==

+−=

−+−=

dns2a

n))1n(2ra(s

)n(2las

r)n(al

−=

−+=

+=

−+=

“APUNTES DE CÁLCULO ” Laura Ramos- (3rd periodo)

Máximos y Mínimos: Función creciente y función decreciente: Una función f(x) es creciente cuando su pendiente es positiva, es decir f’(x)>0 y será decreciente si su derivada es menor que cero f’(x)<0 f(x)<0 negativa f(x)>0 positiva f(x)=0 La pendientes negativas estaran en el segundo y tercer cuadrante mientras que las positivas estarán en el primero y el cuarto cuadrantes. En donde halla una pendiente=0 f’(x)=0 el ángulo de inclinación es cero ya que es una linea paralela al eje de las “x”. Habrá un máximo en una función cuando la función de ser creciente cambie a decreciente y será un mínimo cuando la función cambie de decreciente a creciente. Por lo tanto tenemos:

Criterio de la primera derivada: Ejemplo:

Hallar los máximos y mínimos de : f(x)=12x3-30x2-247x+12 Como es una ecuación de tercer grado va a tener 2 máximos y/o mínimos. El número de máximos y mínimos que tiene una ecuación está dado por el término de mayor grado menos uno. Pasos para aplicar el criterio de la primera derivada: 1.-Derivar f(x) f’(x)=36x2-60x-24 2.-Igualar la derivada con cero (para que m=0 y ahí se cumpla un máximo o un mínimo) 36x2-60x-24=0 3.-Hallar los valores críticos de la ecuación (no son raices solución porque anteriormente derivé la ecuación)

4.-Los pongo en forma de factor (igualar cada uno a cero) x-2=0 x+0.333=0 5.-Análisis de los valores críticos: Para x=2 voy a tomar un instante antes de 2 y uno después de 2 antes=1.9 después=2.1 1.9-2 (-)

(-) 1.9+.33 (+) mínimo

333.0x

2x)36(2

)24)(36)(4(360060

2

1

−==

=−−±

2.1-2 (+) (+)

2.1+.33 (+) - + - + - + Para x=-.33 voy a tomar un instante antes y uno después antes=-.34 después=-.32 -.34-2 (-) (+) -.34+.33 (-) máximo -.32-2 (-) (-) -.32+.33 (+)

Criterio de la segunda derivada: Por este método después de obtener los valores críticos, obtenemos la segunda derivada f’(x)= 36x2-60x-24 x=2 x=-.33 f’’(x)=72x-60 y se sustituye cada uno de los valores críticos en f’’(x) de tal suerte que si:

f’’(x)>0 mínimo f’’(x)<0 máximo x=2 f’’(2)>0 min x=-.33 f’’(-.33)<0 max

Puntos críticos: Un punto crítico es el lugar exacto donde la pendiente de la curva vale cero. Se sustituyen los valores críticos en f(x) que es la ecuación original. f(2)=12(2)3-30(2)2-24(2)+12 f(2)=96-120-48+12 f(2)=-60 mínimo relativo P(2,-60) PUNTO CRÍTICO MÍNIMO f(-.33)=12(-.33)3-30(-.33)2-24(-.33)+12 f(-.33)=16.22 máximo relativo P(-.33,16.22) PUNTO CRÍTICO MÁXIMO

Puntos de Inflexión: Un punto de inflexión es el lugar donde la curva cambia de concavidad. La curva pudo haberse seguido hasta formar una circunferencia, el punto de inflexión es el punto en el que la curva decide cambiar de concavidad. Dada la función f(x) se obtiene la segunda derivada de dicha función, se iguala con cero y se resuelve la ecuación que queda. De esa ecuación obtendremos las coordenadas en “x”, las cuales al ser sustituidas en la ecuación original me

permite encontrar el punto de inflexión. f(x)=12x3-30x2-247x+12 el exponente de mayor grado me da las raices solución f’(x)= 36x2-60x-24 el exponente de mayor grado me da las jorobas f’’(x)=72x-60 el exponente de mayor grado me da los puntos de inflexión 72x-60=0 x=5/6 y=-21.88

PUNTO DE INFLEXIÓN=(5/6,-21.88)

2.- Hallar las dimensiones de una caja cuadrada abierta de 6400 cm3 para que resulte lo más económica teniendo en cuenta que el precio de costo de la base es de 75c. y el de las superficies laterales es de 25c. por cm2 a)considerando que no tiene tapa b)con tapa a)sin tapa 25c base 75 lateral 25 75c V=Abase x h V=(x) (x) (y) 6400=x2y ---------------------(2)

C=xy+.75x2 -----------------------(1) Despejando y de (2)

Sustituyendo “y” en (1)

Estoy obteniendo las dimensiones del empaque, no el costo. Derivo e igualo a cero para obtener los valores críticos -6400x-2+1.5x=0 factorizo 1.5x(-4266.66x-3+1)=0 x=0

)75(.xxyC

)75(.x)25(.xy4C

xxy4A

x)xy(4A

AAA

2t

2t

2t

2t

baselatt

+=

+=

+=

+=

+=

2x6400

y =

22 x75.)

x6400

(xC +=

21.16x

66.4566x

01x

66.4266

3

3

±==

=+−

tomo el signo positivo porque quiero el mínimo Saco la segunda derivada: c´´(x)=12800x-3+1.5

c´´(16.21)>0 mínimo (este voy a usar) c´´(-16.21)<0 máximo

6400=x2y Las medidas que tengo que usar son x=16.21 y=24.35 para que el costo sea el mínimo El costo va a ser de: C=(16.21)(24.35)+.75(16.21)2

b)con tapa sustituyendo

derivo C’=25600x-1+1.5x2

C’=-25600x-2+3x C’=3x(-8533.333x-3+1) x=0 v.c. x3=6400 x=18.56 v.c. Ahora solo sustituyes en C’’ para ver cual es el mínimo:

∞=

+=

)0(''c

5.1x

12800)x(''c 3

cm35.24)21.16(

6400y

x6400

y

2

2

==

=

2

2

2t

x5.1xyC

)75(.x2)25(.xy4C

x2xy4A

+=

+=

+=

2

2

x5.1x

29600C

x6400

y

+=

=

Con 18.56 me da positivo, por lo tanto ese es el mínimo

Los valores para que el costo sea mínimo son: x=18.56 y=18.56

3x

51200''C 3 +=

“APUNTES DE CÁLCULO” 3er Periodo-Laura Ramos

x21

'y

)1(x21

'y

)1(x21

'y

(x) y'

xy

2/1

2/1

1/2

=

=

=

=

=

−

5

4

5

x52

x25'y

x5y

=

=

5/2

5/3

5/2

x73

2

x35

6

'y

x73

y

−

−

=

−=

−

( )

72

382

72

382

72

)7x6x3(

)3x3()7x6x3(7'y

)7x6x3(2

)6x6()7x6x3(7'y

7x6x3y

−−

−−−

−−

−−−

−−

−++−−+−=

−++−−+−=

−+=

1- Derivada de una raíz cuadrada:

u2du

'y

uy

=

=

23

3/2

3/1

3

)x5(35

'y

)5(x531

'y

)x5('y

x5y

=

=

=

=

4 153

443

34 53

443

4 53

)5x6x2(2

)3x3()5x6x2(5'y

))5x6x2((4

)6x6()5x6x2(5'y

)5x6x2(y

−++−−+=

−++−−+=

−+=

−

−−

−

−−

−

7 6

7/6

7/1

7

)x5(7

5'y

)5()x5(71

'y

)x5('y

x5y

=

=

=

=

−

2- Derivada de un radical:

1nn

n

un

du'y

uy

−=

=

1x)1x(

1'y

1x1x)1x(1

'y

)1x()1x)(1x(1

'y

)1x()1x()1x(

1'y

)1x(1x1x

1'y

)1x(1x1x

2

2'y

1x1x

2

)2x(2

'y

1x1x

2

)2x(1x1x

'y

1x1x

2

)2x()1)(1x()1)(1x(

'y

1x1x

y

2

2/12/1

2/1

2/12

2

2

2

2

2

+−−=

+−−−=

+−−−=

−+−

−=

−−+

−=

−−+−=

−+

−−

=

−+

−−−−

=

−+

−+−−

=

−+=

64x36)8x6(

x240'y

8x68x6

y

105

4

5

5

−+=

+−=

3- Derivada de la raíz cuadrada del cociente de dos conjugados:

En este caso se utiliza el signo del denominador

Derivadas Trascendentales: (logaritmos, exponenciales,

series, trigonométricas) Existen 2 tipos de logaritmos: logaritmo decimal (su contrario es 10x) logaritmo natural (loge=ln) (su contrario es ex)

conjugadordenominado)k(dtv

'y

ktvktv

y

=

−+=

4- Derivada del logaritmo decimal de u:

5- Derivada del logaritmo natural de u:

elogudu

'y

ulogy

=

=

)6x7x3()7x6(5

'y

elog)6x7x3(

)7x6()6x7x3(5'y

)6x7x3log(y

2

52

42

52

+−−=

+−−+−=

+−=

udu

'y

ulny

=

=

)6x7x3()7x6(5

'y

)6x7x3()7x6()6x7x3(5

'y

)6x7x3ln(y

2

42

42

52

+−−=

+−−+−=

+−=

6

2

62

424

64

6

4

66

4

363

34

3

3

63

4

3

3

x6449x168

'y

)x6449(x168

'y

)x64x49(x168

'y

)64x49(x168

'y

64x49x168

'y

64x4964x49

x168'y

8x764x49)8x7(

8x7x168'y

8x7

8x764x49)8x7(

x168

'y

8x78x7

lny

−=

−=

−=

−=

−=

−−=

+−−−=

−+

−−=

−+=

−

−

−

−

−

−−

−

−−−

−−

−

−

−−

−

−

−

tarea #15

tarea #22

[ ]

42

22

4

2

6

22

6

223

2

62

22232

22

32

2

32

)1x2x()2x2)(x3x(3)3x2)(1x2x(

'y

A)2x2)(x3x(3)3x2(A

'y

A)2x2)(x3x(3)3x2(AA

'y

AA)2x2)(x3x(3A)3x2(

'y

1x2xA

:usando)1x2x(

)1x2x)(2x2)(x3x(3)3x2()1x2x('y

)2x2()1x2x((3dv

3x2du

)1x2x(v

x3xu

:donde)1x2x(

x3xy

++++−+++=

++−+=

++−+=

++−+=

++=

++++++−+++=

+++=

+=++=

+=

+++=

8

3263

2

326

6

3

2

3326

6

3

2

326

3

7

)x1()1x2x3()x1(

7)'x(f

))x1(

)1x2x3((

)x1()x1(

7)'x(f

))x1(

)x1x3x3((

)x1()x1(

7)'x(f

))x1(

)1)(x1()x3)(x1(()

x1x1

(7)'x(f

)x1x1

()x(f

−++−−=

−++−

−−=

−−++−

−−=

−−−−−−

−−=

−−=

tarea #25

tarea #24

xx2x2

11

'y

xxy

+=

+=

4 154

443

4 274

384

4 394

384

4 544 94

)x1(

)x1(x'y

)x1(

x)x1('y

))x1(()4)(9(

)x4()x1)(9)(1('y

)x1(51

)x1(91

y

++=

++=

++=

+−+=

6- Exponenciales:

Lo contrario de au es logu Esta formula se utiliza cuando a es constante y pertenece a los reales (a=cte.)

alndua'y

ayu

u

=

=

ππ−=

π=−

−

ln)7x5(15'y

y3

3

)7x5(2

)7x5(

2

53

3

x6

x6

x12x6

x6

x6

x6

8/15

)5x2(

8/49

)5x2(8

8 49

)5x2(8

8 87

88 7

n 1nn

uu

)5x2(

2

x6

x63)7x5(3

53

3)5x2(

)denom()c)(dtv)(2(

'y

)ctvctv

(y

udu

uln

:utilizando

)7x27x2

ln(v

7e7e

elog49e)7e(

e42

'w

elogu

duulog

:utilizando7e7e

logw

)5x2(4e7

'u

)5x2(4e)5x2(7

'u

)5x2(4

e)5x2(7'u

))5x2((8

)2()5x2(7)5x2(

un

duu

duee

:utilizando

eu

wdzzdwdV

vduudvdUV

UdVVdU'y

)w)(z()v)(u(

VU

y

:donde7e7e

log)9)92

(x2ln(

)7x27x2

ln(ey

8 7

8 7

8 7

8 7

2

8 7

=

−+=

=

+−=

+−

−+=

=

+−=

−−=

−−−=

−−−=

−−−=−

=

=

=

+=+=

−=

==

+−−+

+−

=

−

−

−

−−

−

−−

−−

−−

−

−

−−

−

−

−

−

−

−

A partir de aquí solo se tiene que sustituir en la fórmula:

Tomando en cuenta que:

Y utilizando la regla de la cadena.

(ver siguiente página)

))92

ln()92

(x10(x6()9)92

(x2(3'z

)9)92

(x2ln(z

49x4x420

'v

)7x2)(7x2(x420

'v

)7x27x2

()7x2(

x420'v

)7x27x2

(

))7x2(

x84(5

'v

)7x27x2

(

))7x2(

x84()

7x27x2

(5'v

)7x5(42)7x5(3

3)7x5(3

6

2

33

2

3

323

2

3

3

23

2

53

3

23

25

3

3

22

2

−−−−

−−

+−−+=

−+=

−=

−+=

+−+

=

+−+=

+−

++−

=

2vUdvvdU

'y−=

wdzzdwdV

vduudvdU

+=+=

No hay constantes en griego excepto π porque es una constante conocida. Generalmente las variables son las últimas letras del alfabeto (rstuvwxyz) Las constantes son las primeras letras (abcdefghij)

θ−θ−+θ=

θ−θ−+θ−θ=

θ−θ−θ+θ−=

θ−θ−θ+θ−=

θ−θ+θ−

θ−=

θθ−+θ−

−θ=

θ−θ=

5a2

)25a4(3'r

5a2

)20a45(3'r

5a2

)60a1215'r

5a2

)5a(1215'r

5a)6()5a2

15('r

)6(5a)5a2

5(3'r

5a3r

4

4

4

4

4

242

4

42

4

4

2

4

4

2

42

)277721.4ln()277721.4(elog7x5

10)7t8()t7t4((8's

)277721.4ln()277721.4(elog)7x5(

)5()7x5(2()7t8()t7t4((8's

alnealogudu

a

elogudu

Ulog

alnduaa

:usando

)277721.4()t7t4(s

2

2

2

)7x5log(72

)7x5log(2

372

uulog

uu

)7x5log(82

−

−

−

−

−−

−

−

−−−−=

−−−+−−=

=

=

=

+−=

Laura Ramos Area 1-6Y

“NÚMEROS COMPLEJOS” Para completar el conjunto de los números reales se necesita de otro conjunto

de números el cual tiene como unidad que la raíz de –1 es igual a i . =i

Y a este conjunto de números se le denomina números imaginarios pero cuando al resolver una ecuación del tipo: x2+2x+4=0 da como resultado:

que no son números reales ya que está formado por lo que sería una parte real y una parte imaginaria. A esta combinación se le da el nombre de complejo en donde:

real imaginario complejo Los números complejos se representan en el plano cartesiano donde el eje de las “y” marca la parte imaginaria y el eje delas “x” la parte real. De tal suerte que: A(3,2i) A=(3+2i) Yi (imaginario) X (real)

i31x

i31x

31x2

±−=

±−=

−±−=

i31x ±−=

Nomenclatura de números complejos: Forma Cartesiano Binómica: z = a+bi Forma Vectorial: z = (a,b) Forma Polar: z = r(cosθ,+i senθ) Forma Cis: z = Cis θ Forma Euler: z = reθi En la forma Cis: C = coseno I = imaginario S = seno Y en la forma Euler: θ=radianes e= 2.7071

Operaciones con Complejos: Z=a+bi M=c+di Suma y Resta:

Ejemplo: Z=3+4i para pasarlo a forma polar:

Yi r Yi θ X

22

1 1

CisrMdicM

Cisr Z biaZ

θ=⇒+=θ=⇒+=

1tan11

tan

1Tan45

:Ejemploxy

tan

yxy

1-

1-

1

22

=θ

=θ

=°

∑

∑=θ

+=

−

∑∑

Para sumar: Paralelogramo

Se puede sumar, restar, multiplicar y dividir en forma cartesiana pero solo se puede multiplicar y dividir en forma polar.

445

290

180

2360

radianes2832.6rad2360

π=°

π=°

π=°π=°

=π=°

4i)(1Z-M

8i)(7MZ

(4,6)M

2i)(3Z

d)i(bc)(aMZ

di)(cbi)(a MZ

+=

+=+

=

+=

+++=++++=+

Transformación de forma Polar a Cartesiana y viceversa: Polar:

Cartesiana:

De forma polar a cartesiana Vectores x=a=/Z/cosθ y=b=/Z/senθ De forma cartesiana a polar:

Ejemplo: De forma polar a cartesiana (me pueden dar cualquiera de los tres):

A(a,bi) a=10cos30° a=10(.8660) a=8.66 b=10sen30°

rade/Z/Z

//Z/Z

Cis/Z/Z

θ=

θ=

θ=

)b,a(Z

)bi,a(Z

)bia(Z +=

xy

tan

ab

tan

)y()x(/Z/

)bi(a/Z/

1

1

22

22

∑

∑=θ

=θ

∑+∑=

+=

−

−

6e10A

30Cis10A

30/10A

π

=

°=°=

b=10(.5) b=5 A(8.66,5) De forma cartesiana a polar A(8.66+5i)

Ejemplo: Dadas las coordenadas A(2+3i) B=(-3,-i) C=4i D=-2+6i Hacer:

A+B=(2+3i)+(-3-i) A+B=-1+2i C(D)=(4i)(-2+6i) C(D)=-8i-24 C(D)=-24-8i

10A

100A

2575A

)5()66.8(/A/ 22

==

+=

+=

°=°=θ

=θ

=θ

=θ

∑

∑=θ

−

−

−

−

30/10A

30

57.tan66.85

tan

ab

tan

xy

tan

1

1

1

1

)D(CBA

R+=

Estos resultados salen porque: i2=1 i3=-i=(i2)(i) i4=-1=(i2)(i2) i5=+i=(i2)(i2)(i) i6=-1=(i2)(i2)(i2) Para quitar el imaginario del denominador lo multiplico por su conjugado:

Tengo un complejo (parte real y parte imaginaria), por lo tanto los puedo separar:

A forma polar:

Por lo tanto esto se cumple para el cuarto cuadrante en donde “x” es positiva y “y” es negativa. Si me dan un número en forma polar:

En algebra: A=x3 B=3x-7

i824i21

R−−

+−=

640i568

i64576i16i48i824

)i824i824

(i824

i21R 2

2 −=−

+−−=+−+−

−−+−=

80i7

801

640i56

6408

640i568 −=−=−

7

801

807

tan

)80

i7()

801

(/R/

1

22

−=

−

=θ

+=

−

BAR

ABRAB

R

BA

R

170/10B

30/10A

==

=

=

°−=°=

AB=3x-4 porque se sumaban los exponentes

Porque se restaban los exponentes Aquí el coeficiente equivale a los modulos y el exponente al argumento Según yo el siguiente ejercicio está mal porque erad en rad tiene que tener máximo 2 pero el procedimento está bien: A=10e30° B=10e-170°

AB=(10e30°)(10e-170°) AB=100e-140

AB=BA conmutativa Ejercicio:

A a=10cos(-150)=-8.66 b=10sen(-150)=-5 A=(-8.66,-5)

3x

x3x

BA 10

7

3

== −

°−= 140/100AB

°−°

°−

°°−

°

==

==

20030

170

200170

30

ee10e10

AB

ee10e10

BA

A)DC()BA(

Z

e10D

75Cis4C

)i23(B

150/10A

2

25.1

−+=

=

°=−=

°−=

69.33/6.3B

69.3332

tg

6.323B

1

22

−=

−=−=+=

−

C= a=4cos(75)=1.035 b=4sen(75)=3.86 C(1.035,3.56i)

A+B=(-8.66,-5)+(3-2i)=-5.66-7i (A+B)2= (-5.66-7i)2=32.03-49+79.24i=-16.96+79.24i DC= es más fácil en forma polar

Para dividir también es mas fácil la forma polar: (A+B)2= -16.96+79.24i=81.03/102 (DC)-A=(28.66-29.61)=41.20/ .

)071.7,071.7(D

071.7)225sen(10b

071.7)225cos(a

225/10D

−−=−==

−===

)61.2966.28()i566.8()64.34,20(ADC

)64.34,20(

300/40

)225/10(75Cis4

−=−−−−=−−=

°=°°

Operaciones con matrices: Suma y Resta: La adición de las matrices a+b se define como la matriz c tal que (Cij)=( Aij + Bij) para toda i,j Por lo tanto el orden de las matrices que se sumen o se resten debe ser el mismo: /A/nxm+/B/nxm=/C/nxm A= 2 3

6 0 B= -5 4

8 -7 C= 9 5

2 4 3 9

A+B= 2 3 -5 4 2-5 3+4 -3 7

6 0 8 -7 = 6+8 0-7 = 14 -7 B+C= -5 4 9 5 8 -7 2 4 3 9 No se puede porque no son del mismo orden. C-A tampoco se puede A+B= 2 3 -5 4 2+5 3-4 7 -1

6 0 8 -7 = 6-8 0+7 = -2 7 Producto de matrices: Un producto de matrices se podrá efectuar si es que estas son confomables respecto a la multiplicación (no tienen que ser forzosamente del mismo nombre) Ai,j x Bi,j=Cai,bj En donde ai representa el renglón y bj la columna Aj=bi A= 2 6 9 -5 3 7 8 0 A=2x4 B= 2 7

-7 5 B=4x1 A2x4 x B4x1=C 4=4, por lo tanto si se puede efectuar (i=j) En matrices el orden de los factores si altera el producto A= 2 6 9 -5 3 7 8 0 B= 2 7 -7 5 Se giran los elementos y se multiplican AxB= C= 2x2+6x7+9x(-7)+(-5)x5

3x2+7x7+8(-7)+0(5) C= -42 -1 Es de 2x1 porque A=2x4 y B=1x4 Z= 2 8 3 1 4 7 2 5 Z=2x4 M= 4 7 8 2 7 42 1 0 0 -1 0 2 M=4x4 -2 -3 -4 1 ZxM= 62 24 20 11 55 25 19 17 ZxM=2x4 R= 3 7 6 4 -5 8 2 -1 -3 -9 9 4 9 -2 -7 5 3 0 -8 -6

T= 9 5 -4 7 2 -2 7 -2 3 4 8 -8 7 0 2 -9 1 0 5 7 RxT= 82 25 68 -112 42 32 -77 24 95 73 25 -48 -11 19 -45 59

Determinantes: Un determinante es una matriz cuadrada que se resuelve por el método de Sarrus o a traves de la expansión de un determinante cuando este resulte ser de orden 4x4 o mayor. Empleando para ello el método de los menores y cofactores Un determinante es el módulo asociado de una matriz y se puede utilizar Sarrus en matrices de 1x1,2x2, y 3x3 pero al encontrar una matriz de 4x4 o mayor se debe utilizar el método de menores y cofactores. M= 2 -3 cambio signo –(-15) 5 9 respeto signo 18 y los sumo /M/= 33 Para matrices de 3x3, se utiliza Sarrus o se expande el determinante: S= 3 0 -1 9 1 1 -2 4 5 3 0 -1 9 1 1 Se repiten los 2 primeros renglones y se resuelve igual que una de 2x2 Por Sarrus es exactamente lo mismo pero sin repetir los renglones. Se le da la “vuelta” S= 3 0 -1 9 1 1 -2 4 5 /S/=-35 Menores y Cofactores: El menor correspondiente de una matriz de orden nxn es el elemento que resulta al suprimir tanto loe elementos del renglón como de la columna a que pertenece ese elemento. El cual se representa Mai,j

A= 3 -1 7 2 0 9 5 8 6 Renglón a2,1

2 -1 7 0 3 7 9 3 -1 8 6 5 6 5 8 Columna a2,1 2 -1 7 3 0 9 5 -1 7 8 6 8 6 0 9

cofactor: se llama cofactor de una matriz cuadrada cuyo símbolo es cofactor de ai,j C ai,j a la expresión (-1)i+j(M ai,j) Renglón a2,1

2 -1 7 0 3 7 9 3 -1 (-1)2+1 8 6 (-1)2+2 5 6 (-1)2+3 5 8 Columna a2,1 2 -1 7 3 0 9 5 -1 7 (-1)2+1 8 6 (-1)1+1 8 6 (-1)3+1 0 9 Por lo tanto: Renglón a2,1

-2 -1 7 +0 3 7 +9 3 -1 8 6 5 6 5 8 Columna a2,1 -2 -1 7 +3 0 9 +5 -1 7 8 6 8 6 0 9 -2(-6-56)+0-9(24+5)=124-261=-137 -2(-6-56)+3(0-72)+5(-9-7)=124-216-45=-137 Cuando tengo una de 5x5, saco 5 matrices de 4x4 Una manera más fácil para saber los signos es alternar empezando de izquierda a derecha y por signo positivo y en zigzag hasta recorrer todos los renglones A= +3 --1 +7 -2 +0 -9 +5 -8 +6 Si la matriz cuadrada es par, la diagonal secundaria es negativa, si es non, es positiva Ejemplo: B= 3 6 5 5 9 2 7 -1 6 8 1 8 2 7 7 4 -3 3 8 6 -1 1 4 9 5 B= -2 6 5 5 9 8 2 7 7

3 3 8 6 1 4 9 5 7 3 6 5 9 1 8 2 7 4 -3 3 6 -1 1 4 5 +1 3 6 5 9 1 8 7 7 4 -3 8 6 -1 1 9 5 6 3 6 5 9 1 8 2 7 4 -3 3 6 -1 1 4 5 8 3 6 5 5 1 8 2 7 4 -3 3 8 -1 1 4 9 B= -2 -1 5 5 9 2 7 7 3 8 6 4 6 5 9 8 7 7 -3 8 6 -9 6 5 9 8 2 7 -3 3 6 +5 6 5 5 8 2 7 -3 3 8

7 1 6 5 9

8 2 7 -3 3 6 1 3 5 9 1 2 7 4 3 6 -4 3 6 9 1 8 7 4 -3 6 5 3 6 5 1 8 2 4 -3 3

1 1 6 5 9 8 7 7 -3 8 6

1 3 5 9 1 7 7 4 8 6 -9 3 6 9 1 8 7 4 -3 6 5 3 6 5 1 8 7 4 -3 8 6 -1 6 5 9 8 2 7 -3 3 6 1 3 5 9 1 2 7 4 3 6 -4 3 6 9 1 8 7

4 -3 6 5 3 6 5 1 8 2 4 -3 3 8 -1 6 5 5 8 2 7 -3 3 8 1 3 5 5 1 2 7 4 3 8 -4 3 6 5 1 8 7 4 -3 8 9 3 6 5 1 8 2 4 -3 3 /B/=4536

Matriz inversa: Una matriz cuyo símbolo es AI o A-1 queda definida por la siguiente expresión

En donde Au= matriz uniscidad (identidad) A= 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Diagonal principal son 1 y otros elementos son cero Si una matriz no tiene inversa se dice que es singular pero si tiene inversa es no singular. Solo las matrices cuadradas tienen inversa. La matriz inversa es:

AT= matriz traspuesta αAT=matriz de cofactores de la traspuesta /A/= valor del determinante Hallar la inversa de la siguiente matriz: A= 1 2 -1 2 4 0 3 1 -2 Aquí solo me importan los cofactores. Ni siquiera multiplico el signo del menor por el cofactor, solo el cofactor /A/=10 Matriz adjunta: αA= + 4 0 - 2 0 + 2 4 1 -2 3 -2 3 4 - 2 -1 + 1 -1 - 1 2 1 -2 3 -2 3 1 + 2 -1 - 1 -1 + 1 2 4 0 2 0 2 4 αA= -8 4 -10 3 1 5

AuAXAxAAA 1I ==⇔ −

/A/A

AT

1 α=−

4 -2 0 αAT= -8 3 4 4 1 -2 -10 5 0 A-1= -8 3 4 1 2 -1 4 1 -2 2 4 0 -10 5 0 3 1 -2 10 10 0 0 1 0 0 0 10 0 0 1 0 0 0 10= 0 0 1 10

y=uvw

y’=duvw+uvdw+uwdv

u2du

'y

uy

=

=

1nn

n

un

du'y

uy

−=

=

conjugadordenominado)k(dtv

'y

ktvktv

y

=

−+=

elogudu

'y

ulogy

=

=

udu

'y

ulny

=

=

alndua'y

ayu

u

=

=

2)denom()c)(dtv)(2(

'y

)ctvctv

(y

=

−+=

INDICE

01) conjuntos, subconjuntos, propiedades y operaciones de conjuntos

02) conjunto de números y números naturales

03) intervalos y tipos de intervalos

04) relaciones y formas de establecer relaciones

05) funciones y elementos que componen una función

06) formas de expresar una relación y determinación del dominio y rango de una función

07) funciones implícitas, explícitas e iguales

08) algunas funciones importantes y sus gráficas correspondientes

09) clasificación de funciones y función inversa

10) tipos de funciones

11) leyes de los exponentes, y radicales

12) logaritmos y sus leyes

13) álgebra de funciones y algunos problemas

14) trigonometría, conversión de ángulos a radianes y ángulos cuadrantes

15) funciones recíprocas y signo de las funciones trigonométricas en los distintos cuadrantes

16) ángulos notables y sus funciones trigonométricas

17) funciones trigonométricas de ángulos negativos y suplementarios

18) gráficas de funciones trigonométricas y cambio de periodo

19) funciones trigonométricas de la suma y resta de dos ángulos, del ángulo doble, del ángulo

mitad

20) identidades trigonométricas y funciones trigonométricas inversas

21) ecuaciones trigonométricas y leyes de senos y cosenos

22) geometría analítica

23) inclinación y pendiente de una recta

24) condición de paralelismo de dos rectas y perpendiculares

25) ecuacion general de la recta

26) ecuación de la recta en la forma normal

27) lugares geométricos

28) rectas y puntos notables del triángulo

29) forma general de la ecuación de la circunferencia

30) elipse

31) hipérbola e hipérbolas equiláteras

32) parábola

33) ecuación general de 2° grado con 2 incógnitas

34) casos de hipérbola, parábola y elipse

35) recursos para trazar gráficas y asíntotas horizontales

Conjunto de Números Conjunto colección bien definida de elementos Notación: Gráfica a través de los diagramas de Venn A, B Métodos para definir un conjunto a) Extensión enumerar los elementos A= 1,2,3,4,5 b) Comprensión dar una propiedad a los elementos A= x|1< X<3, X E N Conjuntos y Subconjuntos Conjunto vacío: (sin elementos) Conjunto universal: todos los elementos del conjunto o problema dado ∪. Símbolo de elemento: relaciona con un conjunto ∈ su contrario ∉ significa que no pertenece. Subconjunto a es un subconjunto de b si todos los elementos a se encuentran en b. Subconjunto propio: a es un subconjunto propio de b si no tiene los mismos elementos c “TODO CONJUNTO ES UN SUBCONJUNTO DE SÍ MISMO” A ⊂ A A = A A ⊂ B = B ⊃ A

1 2 1 A es subconjunto de B B es súper conjunto de A Conjuntos iguales: A=B ⇔ A ⊂ B y B ⊂ A A=1,2,3 B=1,2,1,3 Correspondencia biunívoca: cuando entre dos conjuntos correspondan cada elemento de A con B y viceversa.

1 2 3

a b c

a ⇔1 b ⇔2 c ⇔3

Conjuntos equivalentes: A es equivalente a B si se puede establecer una correspondencia biunívoca entre sus elementos. A~B Conjuntos numerables: son numerables cuando a cada uno de sus elementos se le puede establecer un número N Numerable es infinito Finito es contable Contable es N Concepto de número: cardinalidad del símbolo que se anota como número. Familia de conjuntos: Ω=A,0,1, B Conjunto potencia: Familia de todos los subconjuntos de un conjunto dado. A=1,2,3 23=2A=1,2,3,1,2,1,3,2,3,1,2,3,∅ Operaciones con conjuntos Unión A ⊂ B=x | x ∈ A ó x ∈ B Intersección A ∩ B=x | x ∈ A y x ∈ B Resta A - B=x | x ∈ A y x ∉ B Complemento A’=Ac=U-A=x | x ∉ A= x | x ∈ U y x ∉ A A – B=x | x ∈ A y x ∉ B= A ∩ B’ A ∩ B=x | x ∈ A y x ∈ B= A - B’

a b c

N1,2,3,4,5… (1,a) (2,b) (3,c)

Propiedades Reflexiva A=A Simétrica Si A=B ⇒ B=A Transitiva Si A=B y B=C ⇒ A=C Conmutativa A ∪ B = B ∪ A A ∩B = B ∩ A Asociativa A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C A ∩ (B ∩C) = (A ∩ B) ∩C Distributiva A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) Leyes de Morgan (A ∪ B)’= A’ ∩ B’ El complemento de la unión es la intersección de los complementos. (A ∩ B)’= A’ ∪ B’ El complemento de la intersección es la unión de los complementos. (A’)’=A ∅’ = U U’ = ∅ A ∪ ∅ = A A ∩ ∅ = ∅ A ∪ U = U A ∩ U = A Ejercicios 1) Escribir en forma tabular los siguientes conjuntos a) x|x2=4 x=2,-2

b) x|x2=9, x-4=-1 x=3 c) x|x2+7x+12=0

2

17

2

17

2

48497x

±−=±−=−±−=

x=3,-4

d) x| x es par, x ∈∈∈∈N x=2,4,6,8,… ∝ 2) Tomando en consideración el conjunto E=0,1, determine cuál de las siguientes

afirmaciones es verdadera y cual es falsa. a) 0∈∈∈∈E F b) 0,1∈∈∈∈2E V c) ∅∅∅∅∈∈∈∈E F d) ∅∅∅∅ ⊂⊂⊂⊂ 2E V e) 1∈∈∈∈E V f) ∅∅∅∅ ⊂⊂⊂⊂ 2E V

g) ∅∅∅∅ ⊂⊂⊂⊂ E V h) 0,1⊂⊂⊂⊂ E V i) 0,1 ⊂⊂⊂⊂ 2E V

3) Sacar el conjunto potencia de A=0,1,3 23=2A=0,1,3,0,1,1,3,0,3,0,1,3, ∅

4) Sean A=2,3,4] B=x2=4, x es positivo B=2 C=x|x-6x+8=0 C=2,4] D=x|x es par] D=2,4,6,...

Completar las siguientes afirmaciones insertando ⊂⊂⊂⊂ ó ⊃⊃⊃⊃

a) A ⊃ B b) A ⊃ C c) B ⊂ C d) B ⊂ D e) C ⊂ D

Operaciones de Conjuntos U=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 A=1,2,4,7,19] B=2,4,5,6,8,9,10 C=5,7,9,10 A-B=1,7 A ∪∪∪∪ (B ∩∩∩∩C)’ B ∩∩∩∩C=5,9,10 (B ∩∩∩∩C)’=0,1,2,3,4,6,7,8 A ∪∪∪∪ (B ∩∩∩∩C)’=0,1,2,3,4,6,7,8,10 B ∩∩∩∩ (A ∪∪∪∪C)’ A ∪∪∪∪C=1,2,4,5,7,9,10 (A ∪∪∪∪C)’=0,3,6,8 B ∩∩∩∩ (A ∪∪∪∪C)’=6,8

Conjunto de Números

ℜℜℜℜ todos los números que se pueden expresar en los decimales Propiedades

Cerradura Suma: Si a ∈ ℜ y b ∈ ℜ ⇒ a+b ∈ ℜ Multiplicación: Si a ∈ ℜ y b ∈ ℜ ⇒ a*b ∈ ℜ

Conmutativa

Suma: a,b ∈ ℜ ⇒ a+b = b+a Multiplicación: a,b ∈ ℜ ⇒ a*b = b*a

Asociativa Suma: a,b,c ∈ ℜ ⇒ a+(b+c) = (a+b)+c Multiplicación: a,b,c ∈ ℜ ⇒ a*(b*c) = (a*b)*c

Distributiva Si a,b,c ∈ ℜ ⇒ a*(b+c) = a*b + a*c (izquierda) (b+c)*a = b*a + c*a (derecha)

Elemento Neutro Suma: Existe 0 ∈ ℜ ⇒ a + 0 = 0 + a = a Multiplicación: Existe 1 ∈ ℜ ⇒ a * 1 = 1 * a = a

Elemento Inverso Suma: Existe -a ⇒ a + (-a) = 0

Multiplicación: Si a ≠ 0 existe a

1⇒ a *

a

1 = 1

Orden Aditiva o suma: Si a,b, c ∈ ℜ y a b*c Densidad: Si a,b ∈ ℜ y a < b existe c ∈ ℜ tal que a < c < b Completez: A cada punto de la recta numérica le corresponde un número real y

a cada número real un punto de la recta.

Números Naturales

N=1,2,3,4,5,... Plenos: Ν ∪ 0= N0=0,1,2,3,4,5,...

Enteros: E = E ∪ 0 ∪ E+ = ...,-3,-2,-1,0,1,2,3,... E- ∪ 0 = no positivos E+ ∪ 0 = no negativos Racionales ϑϑϑϑ: los decimales infinitos periódicos o decimales finitos

8.45

24 = 142857.0

...00000010

0000050

000040

00060

0020

030

103

Irracionales ϑϑϑϑ’: todos los que no son racionales, decimales infinitos no periódicos

Números Reales

Racionales

Irracionales

Enteros

Positivos

Negativos

Cero

Intervalos Sea el intervalo determinado por los números reales a y b (extremos), tales que a < b. Se llama intervalo abierto al conjunto de números reales x tales que a < x < b. No incluye a los extremos a y b. (a,b)=]a,b[=x | a < x < b Se llama intervalo cerrado al conjunto de números reales x tales que a ≤ x ≤ b . Si incluye a los extremos a y b. (a,b)=[a,b]=x | a < x < b

Tipos de intervalos [a,b]=x | a ≤ x ≤ b (a,b)= x | a < x < b (a,b]= x | a < x ≤ b [a,b)= x | a ≤ x < b (∞,∞)=ℜ (-∞,a]=x | -∞ < x ≤ a (-∞,a)=x | -∞ < x < a [a,∞)=x | a ≤ x < ∞ (a,∞)=x | a < x < ∞ (a,b)=]a,b[= x | a < x < b a b a b Sea ℑℑℑℑ la familia de intervalos de la recta numérica. En la familia se incluyen el conjunto vacío y los puntos [a,a]. Entonces la intersección de dos intervalos siempre es un

intervalo. Si A ∈ A , B ∈ A , A ∩ B ≠ ∅ ⇒ (A ∪ B) ∈ A La resta de dos intervalos no comparables es un solo intervalo.

Si A ∈ A , B ∈ A , A ⊄ B ⊄ A ⇒ (A-B) A

Ejercicios de Intervalos ¡) Efectuar las siguientes operaciones con los intervalos: A= ]-∞,6] B=[0,8) C=]-10,1] (Dar el resultado con notación de intervalos y de conjuntos) a) A’ = x | 6< x < ∞, (6, ∞) b) A-B = x | -∞ < x < 0, (-∞,0) c) A∪∪∪∪B= x | -∞ < x < 8, (-∞,8) d) A∩∩∩∩B= x | 0 ≤ x ≤ 6, [0,6] e) C-B= x | -10 < x < 0, (-10,0) f) B∩∩∩∩C= x | 0 ≤ x ≤ 1, [0,1] g) (A∪∪∪∪B) ∩∩∩∩ (A∪∪∪∪C)

(A∪B) = x | -∞ < x < 8, (-∞,8) (A∪C) = x | -∞ < x ≤ 1, (-∞,1] (A∪B) ∩ (A∪C) = x | -∞ < x ≤ 1, (-∞,1]

h) A∩∩∩∩ (B∪∪∪∪C) (B∪C) = x | -10 < x < 8, (-10,8) A∩ (B∪C) = x | -10 < x ≤ 6, (-10,6]

Relaciones y Funciones

Relación: correspondencia entre los elementos de dos conjuntos, de manera que a cada elemento del primer conjunto le asocia algún elemento del segundo conjunto.

A=a,b,c B=1,2,3 (a,1), (b,1), (c,1) (a,2), (b,2), (c,2) (a,3), (b,3), (c,3)

La relación puede ser una correspondencia entre los elementos de un conjunto.

También se puede definir como un conjunto de parejas ordenadas.

Formas de Establecer relaciones Caso 1 Un elemento de un conjunto con un elemento del otro Multiplicado por 3

.

.

.

.

.

.

1 2 3

3 6 9

Caso 2 Dos elementos del primer conjunto con un elemento del segundo Elevado al cuadrado

.

.

.

. .

-1 1 -2 2

1 2

Caso 3 Dos elementos del segundo conjunto con un elemento del primero

Sacar la raíz cuadrada

.

.

.

. .

-3 3 -4 4

9 6

Funciones: son una correspondencia entre los elementos de dos conjuntos de modo que a cada elemento del primer conjunto le corresponde un único elemento del segundo conjunto. Cuando se establecen las parejas se puede expresar de varias formas (gráfico,...) Las funciones se pueden definir como el conjunto de parejas ordenadas donde no existen dos parejas distintas con el mismo elemento.

Ejercicios de Funciones

Determinar si es función o no. 1) F= (3,4), (1,4),(2,6) Sí 2) G= (-3,6), (6,-3),(5,-3) Sí 3) H=(1,2), (2,3),(1,-2) No 4) I=(0,4), (1,5),(1,3) No 5) Todas las rectas paralelas a x son funciones

-3 1

4 6

-3 5

6 -

1 2

-2 2

0 1

3 4 5

x

y

6) Todas las rectas paralelas a y NO son funciones 7) Sí es, cualquier curva que cruce más de una vez rectas paralelas a y es una función (a cada valor de x corresponde un valor único valor) 8) NO es, porque a cada valor de x corresponden dos diferentes valores de y 9) x | x=2 x ∈∈∈∈1,2,3 No 10) x | y=6x+1 x ∈∈∈∈ ϕϕϕϕ Sí 11) x | y=±±±± x x ∈∈∈∈ ℜℜℜℜ+ Sí

12) x | y= x

1 x ≠≠≠≠0 Sí

x

y

x

y

x

y

Elementos que componen una función

1) Un conjunto de salida conocido como DOMINIO de la función 2) Una fórmula o regla de correspondencia conocida como CARACTERÍSTICA DE A

FUNCIÓN 3) Un conjunto conocido como CONTRADOMINIO o codominio de la función. f: A → B (función definida del conjunto A al B) La función f se aplica a A para llegar a B y=f(x) H=(x,y) | y =f(x) H=x, f(x) x → f(x)

Conj. Salida

(Dominio)

Conj. Entrada (Contradomini

o)

Fórmula

f

B y

A x

f

Ejercicios de Funciones

1) Dar una fórmula para definir las siguientes funciones: A cada número real asignarle por f1 su cubo

f1(x)=x3 x ∈ ℜ

A cada número real asignarle por f2 el número 5 f1(x)=5 x ∈ ℜ

Hacer corresponder a todo número positivo por f3 su cuadrado y a los números reales por f3 el número 4.

x2 si x > 0, x ∈ ℜ+

f(x)= 4 si x ≤ 0, x ∈ ℜ ∪ 0

Hacer corresponder a todo número real por f su cuadrado más 3. f(x)=x2+3

A cada número real asignarle por g el número más el valor absoluto del número. g(x)=x + |x|

A todo número mayor o igual de tres atribuirle por h el número al

cubo y a cada número menor que 3 atribuirle por h el número 4. h(x)=x3, h(x)=4 x3, x ≥ 3 h(x) 4, x < 3

2) Sea la función f: ℜ → ℜ definida por f(x)=x2-4x+3 Hallar:

f(4)= 16-16+3=3 (4,3) f(0)=0-0+3=3 (0,3) f(-1)=1+4+3=8 (-1,8) f(z+1)=(z+1)2-4(z+1)+3 = z2+2z+1-4z-4+3 = z2-2z = 2(z+2)

3) Sea T=-3,5[ y sea la función f:T →→→→ ℜℜℜℜ definida por f(x)=2x2-7. Obtener: f(2) = 2(2)2-7 = 8 –7 = 1 (2,1) f(5) = No está definido f(0) = 2(0)2-7 = 0 –7 = -7 (0,-7) f(±±±±2) = 2(± 2)2-7 = 2(± 4) –7

=8-7=1 =-8-7=-15

Formas de expresar una relación

1) Mediante un conjunto de parejas ordenadas (cuando es posible) 2) Cuando el número de parejas ordenadas es muy grande hay que definir la relación

mediante una fórmula o regla de correspondencia y aclarar sobre que conjunto se va a aplicar la regla

3) Por medio de una gráfica cuyos puntos representan el conjunto de parejas ordenadas que forman la relación

Rango: dominio de imágenes o recorrido de la función. Conjunto de imágenes de x Rf=f(x) En algunos casos el rango es igual al diominio. Funciones reales de variables reales: Aquellas cuyo dominio y contradominio son siempre subconjuntos de los números reales

Determinación del dominio y rango de una función.

Caso1 Parejas ordenadas: F:(1,1), (0, -7), (4, 3) Df:0, 1,4 Rf:-7, 1, 3

Caso 2 Fórmula:

x

xf1

)( = el dominio de la función son los números reales

Df = ℜ - 0 g(x)=- x El dominio siempre estará formado por los reales que te lleven a una imagen real. Dg=ℜ ∪ 0 Dg=ℜ- ℜ-

El rango se puede obtener despejando en términos de x, y

xx

y1

,1 == . Se excluye el 0.

Rg=ℜ- Los elementos del dominio nos llevan a una imagen real.

Caso 3: Gráfica

. . . Función . No es función

Ejercicios de Funciones reales y variables reales

1) De las siguientes funciones indicar cuales son funciones reales de variables reales

f(x)=5x – 7 Si Df = ℜf = ℜ

F=(-2,3), (0,4), (1,0), (4,-8), (40 ,1)

Df =-2,0,1,4, 40 R f = 3,4,0,-8,1

F(x)=7 Df: ]-3, 10[ Rf = 7

h(x)= x2

1−− -1-x2 ≥ 0, -x ≥ 1, x2

≤ 1− , |x| ≤ 1 Dominio y

rango vacíos

w(t) = 2, Dw= ℜ Rw=2

g(x) = 4

32 −x

, Dg=ℜ-2,-2

f(x)= +4

9362

x−,

4x9-36 2

≥0, 36-9x2 ≥ 0(4), 36-9x2 ≥ 0 Dy=[-2,2]

g(x)=4

32 −x

x2y-4y=3 x2y=4y+3

x2=y

y43+

x = ± 0,43 ≠+

yy

y

y

y43+ ≥0

3+4y=0 y=-4

3

3+4y y /

(-∞,-4

3]

- - +

[4

3,0)

+ - -

(0,∞) + + +

Rg(-∞,4

3]∪(0,∞)

f(x)=+4

936 2x−

404

936 2

⟩

− x

2||

4

4

9

369

0936

2

2

2

2

⟨

⟨

⟨

−⟩−

⟩−

x

x

x

x

x

xy-2x+3y-1=0

xy+3y=2x+1 y(x+3)=2x+1

3

12

++=

x

xy Dy=ℜ--3

xy-2x=-3y+1 x(y-2)=-3y+1

2

13

−+−=

y

yx Dy=ℜ-2

Funciones Implícitas y Explícitas

Si una función está dada por una fórmula se dice que aparece en forma explícita si la variable dependiente está despejada.

Ejemplo: y=f(x)

De lo contrario es implícita Ejemplo: f(x,y)=0

Funciones Iguales

Dos funciones son iguales cuando tiene el mismo dominio y la misma regla de correspondencia.

Ejercicios de funciones iguales Dadas las siguientes funciones determine cuales son iguales:

1. f(x)=x+2

1 Df:ℜℜℜℜ+∪∪∪∪0

g(x)=2

12 +x Dg:[0, ∞∞∞∞)

g(x)=2

1

2

2 +x= 2x+1 Son iguales

2. l(x)=x2+3 Dl:ℜℜℜℜ+

m(x)=- x2-3 Dm:ℜℜℜℜ- NO son iguales

3. f(x)=x

4 Df:ℜℜℜℜ-0 Son iguales

h(x)=x

4

4. g(x)=3x x ∈∈∈∈ ℜℜℜℜ ]∞∞∞∞,2[ ∪∪∪∪ ]2,∞∞∞∞[ 5. h(z)=3z Dh: ℜℜℜℜ-2 Son iguales

Funciones Importantes y sus Gráficas

Si una función está dada por un conjunto de parejas ordenadas, su gráfica es el conjunto de puntos cuyas coordenadas son las parejas dadas. Si una función está dada por una ecuación su gráfica es el conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfacen la ecuación. Algunas funciones importantes y sus gráficas.

1. Función constante f(x)=k

2. Función idéntica f(x)=x

3. Función simétrica f(x)= -x

y=k

k

x

y

Df: x ∈ ℜ Rf:k

y=x

x

y

Df: ℜ Rf: ℜ

x F(x) 0 0 1 1 3 3

y=-x

x

y

Df: ℜ Rf: ℜ

4. Función lineal f(x)=mx + b

5. Función cuadrática f(x)=ax2+bx+c Si a > 0 se abre hacia arriba Si a < 0 se abre hacia abajo

f(x)=a

+ xa

bx2 +c

f(x)=a ( )

−+++

abc

a

bx

a

bx 42

222

f(x)=aa

bca

bx

42

22

−+

+

f(x)=aa

baca

bx

44

2

22

−+

+

−−a

bac

a

bv

4

4,

2

2

Df:ℜ

Rf:y ≥a

bac

4

4 2−

y=ax2+bx+c Dy:x ∈ ℜ ax+bx+c-y=0

a

ayacbb

a

ycabbx

2

44

2

)(4 22 +−±−=

−−±−=

b2- 4ac + 4ay ≥ 0

4ay ≥ 4ac – b2

y=mx+b m positiva

x

y

∝

Df: ℜ Rf: ℜ M = tan ∝ ∝: ángulo de inclinación 0≤ ∝ ≤ 180° b: ordenada al origen

x

y

abac

y4

4 2−≥

6. Función valor absoluto f(x) = |x|

x si x ≥≥≥≥ 0 Df:ℜℜℜℜ Rf: y ≥≥≥≥ 0

Definición |x|= Rf: ℜℜℜℜ+ ∪∪∪∪ 0 -x si x < 0

7. Función Raíz cuadrada f(x)= x

x si x ≥ 0 Df: ℜ+ ∪ 0

x x2 =|x| -x si x < 0 Rf: ℜ

8. Función mayor entero f(x)=[|x|] Asocia a cada x el mayor entero menor o igual que él mismo.

x

y

x Y

-3 3 -2 2 -1 1 0 0 1 1 2 2 3 3

-1 ≤ x < 0 -1 0 ≤ x < 1 0 1 ≤ x < 2 1 2 ≤ x < 3 2

x

y

9. Función signo f(x)=sgn(x) Asocia a todos los números positivos con el 1, al 0 con el 0 y a los negativos con el –1. 1 si x > 0 sgn(x) 0 si x = 0 -1 si x ≤≤≤≤ 0

x

y

1

-1

Clasificación de Funciones

1. Inyectiva

Si a cada elemento del dominio le asocia un único elemento del rango y a cada elemento del rango le corresponde un único elemento del dominio (biunívoca)

2. Suprayectiva o sobreyactiva Cuando el rango y el contradominio son iguales

3. Biyectiva Son inyectivas y suprayectivas a la vez.

Ejercicios de clasificación de funciones 1. Dar un ejemplo de función inyectiva, suprayectiva y biyectiva. Inyectiva f(x) =10x+7 Df:ℜ

Rf:ℜ

Suprayectiva f(x): x3 Df:ℜ Rf:ℜ

Biyectiva f(x): 6x Df:ℜ Rf:ℜ

Función Inversa Sea la función inyectiva f cuyo dominio es A y cuyo rango es B. Si ahora definimos una nueva función f* cuyo dominio sea B y rango sea A esta nueva función se conoce

como la función inversa de f y se denota como f-1, que No significa f

1

x y x y 2 4 4 2 -2 4 4 -2 3 9 9 3 -3 9 9 -3

Ejemplo: y=3x + 2 x ∈∈∈∈ [-2,4]

f f *

Dy: [-2, 4] Dy-1: [-4, 14] Ry: [-4, 14] Ry-1: [-2, 4] y=3x + 2 x=3y + 2

3

2−= xy

f-1(x) = 3

2−x

f(x)=3x+2

f-1=

3

2−x f(x)=3x + 2

x y x y -3 -1.6 -3 -7 -2 -1.3 -2 -4 -1 -1 -1 -1 0 0.6 0 2 1 0.3 1 5 2 0 2 8 3 -0.3 3 11

Tarea Obtener cuando se pueda, la ecuación de la función inversa y dar dominio y

rango, y trazar la gráfica.

a) f(x) = x2 x∈ [ 0 ,∞ ] si es inyectiva

X Y 0 0 1 1 2 4 3 9

F´ Df [ 0 ,∞∞∞∞ )

Rf [ 0 ,∞∞∞∞ )

Df –1 [ 0 ,∞∞∞∞ ) Rf -1 [ 0 ,∞∞∞∞ )

Y= x2 ⇒⇒⇒⇒ x= y2 ⇒⇒⇒⇒ y= x 1/2

0

2

4

6

8

10

1 2 3 4

Series1 Series2

b) F(X) = 2x X Y 1 0 2 1

0.5 -1 4 2

Df: R Rf: R+

Df –1 : R + U 0

Rf -1 : R Y= 2x ⇒⇒⇒⇒ X =2y

⇒⇒⇒⇒ Y =log2x

-2-1012345

1 2 3 4

Series1 Series2

Tipos de Funciones 1) ALGEBRAICAS Si una función se puede obtener como resultado de sumas, multiplicadores divisiones y potenciaciones de las funciones constante e idéntica. Constante ⇒⇒⇒⇒ y=K idéntica ⇒⇒⇒⇒ f (x) = x 2) TRASCENDENTE Si no son del tipo algebraico ej: y = sen x ⇒⇒⇒⇒ y = log a x FUNCIONES TRASCENDENTES

♣ Funciones exponenciales y logarítmicas. Una función y= ax donde a > 0 y a ≠ 1 y “y” es cualquier número real. Se conoce como exponencial

2y −= ⇒ y = (-2)1/2

Funciones exponenciales y=ax a > 0 a ≠ 1 Si a > 0 la función es creciente

Si 0< a <1 la función decreciente

Las funciones y = ax pasen por el punto (0,1) El dominio es R y el rango es R+ U 0

Leyes de los Exponentes

♣ 0X = 0 Si X >0

♣ ax >0 si a > 0

♣ 00 = ∞ ♣ a0 = 1

♣ a-1 = 1/a si a ≠0

♣ a-x = 1/ ax si a ≠ 0

♣ (ab)x = ax bx si b ≠0 ♣ (a/b)x = ax/bx si a,b ≠0

♣ n ma = mn )a( = am/ n

♣ n a = a1/n n ≥ 2

♣ a-m/n =1/am/n = 1/am/n = n ma

1 =mn )a(

1

Ejercicios

♣ 3 –2 * 52 = 1/9 *25 =25/9

♣ –22* ¼-1 = -4 *4 * 1/( 64) = -16 * 1/8 =-2

♣ 33 +70 -22 + (-2)3 + (-1/32)1/ 5= 27 +1 –4 + 1/-8 +(1/-32)5 =24 + 1/-8 +5 32/1− = 24 + (-1/8) + (-1/2)= 23.375

♣ [3x2/3- 2x1/3]3 = (3x2/3) + 2(3x2/3)2 (-2x -1/3)3 = 27x2 + 2(9x4/3)(-2x1/3)+2(3x2/3)(4x2/3 )-8x = =27x2 –36x5/3+24x4/3 – 8x

♣ 4 256814 = 4 )16(*814 = 444 2*34 = 24 = 4*6

Radicales Simplificar:

♣ === 4 24324 16148444 16148 y*z*y*x*3*2*x3zyx32x3zyx1296x3 18x3y3z4y1/2

♣ 22 )1x(1x2x −=++ = x+1

♣ mn2nnm2nnnm2nm64 12 66612 6126612 186 ===

♣ a

a3

a3

a33

a3

a33

a3

a3*

a3

13

a3

13

22====

Sumar :

2043

1227453 −+− =

Respuesta : 33

7558

3

3233595*24

3

3235*33 232 −=−+−=−+−

Multiplicar :

11 233 2 ba2b4

1*ba3a2

Respuesta:

10572

10571017712 69344412 32342 ba6bh2

aba6)a(

b2

aba6

b4

a2ba2ba3

b4

a2)ba2)(ba3(

b4

a2 ====

Dividir :

3 222 ba23

2/ab5a

4

1

Respuesta:

ab2

5a

8

3

ba2

ba5a

8

3

)ba2(

)ab5(a

8

32

326 6

442

3332

22

32 ==

Logaritmos

♣ Si a0 = 1 ⇒ loga 1 = 0 ♣ Si a1 = a ⇒ log a a = 1 ♣ Si an = an ⇒ log a a

n = n alog an= n ej 10log10

100=100 Ejercicios

1. 7)49

1( 2/1 =− ⇒ Respuesta: log1 / 49 7 = -1/2

2. 33

11

=

−

⇒ Respuesta: log 1/3 3 = -1

3. 5-3 =125 ⇒ Respuesta: log 1/125 1/125 = -3 4. 81-3/4=1/27 ⇒ Respuesta: log 81 1/27 = -5/4

“A” Expresión exponencial

♣ log10 1000 = 4 ⇒ (10)4=10000

♣ log 1 / 5 25 = -2 ⇒ (1/5)-2 = 25

♣ log(2)1/22 = 2 ⇒ ( ) 22

2=

♣ log101 = 0 ⇒ (10)0=1 Ejercicios Resolver para la cantidad indicada 1. log8 X =2/3 ⇒ (8)2/3 =X r: X=4 2. log16 X=-1/2 ⇒ (16)-1/2 =X r: X=1/4 3. log b 125 =3 ⇒(b)3=125 r:b=5 4. log 27 3= y ⇒(27)y r:y=1/3 5. logb49=2 ⇒b2=49 b=7 6. ylog27=log3 ⇒ y=(log3) / (log27)=1/3

Leyes de Logaritmos

♣ El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores

LOGa (x*y) = LOGa +LOG b y

*DEMOSTRACIÓN ⇒ LOG a X =b ⇒ab= X LOGa y =c ⇒ac= y LOG(ab*ac) ⇒LOGa a

b+c =b+c =LOGaX + LOGa y

♣ El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor.

LOGa (x / y)= LOGaX -LOGa y

*DEMOSTRACIÓN ⇒ LOGa(x/y)=LOGa(ab/ac) = LOGa ab-c =b – c = LOGaX –

Log a y

Álgebra de Funciones Las funciones se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir: SUMA: fg=f1 +f2 ⇒ Df g = Df ∩ Df2 RESTA: fr=f1 – f2 ⇒ Df1 ∩ Df2

MULTIPLICAR: fm=f1 *f 2 ⇒Dfm=Df1 ∩Df2 DIVISION fd=f1/f2 ⇒Dfd=Df1∩Df2 aquellos valores que anulen

al denominador F1(x) = 2x +5 F2(x) =-2x – 5 X F1(x) F2(x) Fg(x) Fr(x) Fp(x) Fc(x) 0 5 -5 0 10 -25 -1 1 7 -7 0 14 -49 -1 -1 3 --3 0 6 -9 -1 2 9 -9 0 18 -81 -1

Fg (x)=2x + 5 + (-2x –5) Fg(x) = 0 y =0 Fg(x) = 2x +5 – (-2x –5) Fg (x) = 4x +10 Fp(x)=(2x+5)(-2x-5) Fp(x)= -4x2- 10x – 10x – 25 Fp(x) =-4x2 –20x –25 Fp(x)=-4x2- 20x –25 Fc(x)= (2x+5)/(-2x-5) = 2x+5 / -1(2x+5) y= -1 excepto en x=5/2

♣ Usabdo las leyes de los logaritmos, descomponer las siguientes expresiones: 1. LOGa(A*B*C) = LOGaA+ LOGaB+ LOGaC 2. LOGaA

3/B4= LOGaA3 - LOGaB

4= 3 LOGaA- 4 LOGaB 3. LOGa[A2B3/C4D]= 2LOGaA+3 LOGaB-[4 LOGaC- LOGaD] 4. LOGa[A

2B/C3] = 8 LOGaA+4 LOGaB- LOGaC

5. LOGaC

BA 32

= 2/4 LOGaA +3/4 LOGaB-1/4 LOGaC

♣ Expresar como logaritmo de un solo número 1. LOGb x +LOGb3 + 2/3 LOG y = LOGb 3x (y2)1/2

2. 1/3 LOGbx – 2/5 LOGb y = LOGb5 2

3

y

x

3. LOG2 (x2+5x+6) – LOG (x+2) = LOG2 [(x

2+5x+6) / (x+2)]=(x+3)+(x+2)/(x+2)

4. (3/2 LOGa 100 – LOGa5)+ 1/3 LOGa27 =LOGa( )

600LOG27*5

100a

3

=

5. Obtener x , x =9 LOGa9=9

X=9 LOGa 27/3 =9LOGa9=9 ♣ Si el logaritmo LOGa7 =0.83 y el LOGa2 =0.12 Obtener: 1. LOGa49 r: LOGa7

2=2(0.83)=.68 2. LOGa14 r: LOGa7*2= LOGa7+ LOGa 2 = 0.83+0.12= 0.95 3. LOGa56 r: LOGa(2

3*7)=3 LOGa2 + LOGa7=0.36+.83=1.19 4. LOGa98 r: LOGa(7

2*2) = 2 LOGa7 + LOGa2= .68+.12=.8 5. LOGa49/4 r: LOGa 7

2722= 2 LOGa7 - 2 LOGa2=1.66-24=1.42 Problemas 1.Un caso especial sobre la ley de Newton sobre la rapidez con que se enfría un cuerpo caliente es 100 = 50e-0.25 r. Encuentra r. Solución: 100/50=e-0.25 r ⇒ loge2 = logee-0.25r ⇒log69=-0.25r ⇒ 0.69/-0.25=r ⇒ r=-2.77 2. El radio se desintegra de acuerdo a la fórmula y= Koe-0.038 donde KO es la cantidad inicial de radio correspondiente a t=0 y “y” es la cantidad que aún queda sin desintegrarse en el tiempo “t” en siglos. Encontrar cuanto tiempo debe pasar para que la cantidad que quede sea la mitad de la original. Este tiempo se conoce como vida media del radio. Solución: y =KO/2 ⇒ KO/2-Koe-0.038 ⇒ ½= e-0.038 t

⇒ LOGee-0.038

⇒ -0.69 =0.038t ⇒ -0.69/-0.038=t=18.15

3.Una ley de cicatrización de la piel dañada por heridas y quemaduras es A Be-n/10, donde A es el área en centímetros cuadrados inicial que no ha sanado al cabo de “n” días. Encontrar el número de días necesarios para que el área que no ha cicatrizado sea solamente 1/8 del área dañada Solución ⇒ A=Bee

-n/10 ⇒ A=B/8 ⇒ B/B8=Be-n/10 ⇒ -0.9030=(-

n/10)(0.4342) ⇒-0.9030/0.4342 = (-n/10) –20796= -n/10 ⇒ (-2.0796)(-10)= n =20796

Trigonometría

Estudia la relación entre las medidas de los lados y los ángulos de un triángulo. Ángulo: Movimiento (abertura) de dos semirectas. Un ángulo está formado o colocado en posición normal con respecto a un sistema de ejes coordenadas si hacemos coincidir su vértice con el origen de las coordenadas y el lado fijo con la dirección positiva del eje de las x. Ángulos Coterminantes. Aquellos que tienen un lado terminal común . Medir un ángulo es compararlo con otra unidad. Tipos de medida: 1.Grados Sexagesimales: el dividir el ángulo completo entre 30. Es el ángulo central de la circunferencia. 2.Grados centesimales: Dividir el ángulo entre 100 3.Radianes: cuando el ángulo central que comprende entre sus lados una longitud de arco igual al radio de la circunferencia. Ejemplo P=2Π radios 360 grados =2Π radianes 360 grados/360 grados =2Π rad/360 grados rad = 180 grados / Π

+ -

a r b

Conversión de grados a radianes

45°= Π/4 rad 150°=5/6Πrad 328°15´16´´=(328+15(60)+16)/3

600=328 + 916/3600=328 30°= Π/6 rad 180°= Π rad Ejemplo: 180° ⇒

Πrad=3.1416 328.254 ⇒ x=5.73rad

60°=Π/3 rad 210°= 7/6Π rad Ejemplo: Π ⇒180° X=?=2Π/3⇒120°

90°=Π/2 rad 240°=4/3Π rad Π ⇒ 180° 326 ⇒ x=?=[180°(3.26rad)]/ Πrad

120°=2/3Π 330°=11/6 rad Ejemplo:186.78842 = 186°47´3´´

Ángulo cuadrantes Aquellos que limitan los cuadrantes (0°,90°,180°,270°,360°) Sea angulo θ colocado en posición normal no cuadrantal y sea P un punto en el lado terminal del ángulo (diferente al origen) Se definenen las funciones trigonometricas del ángulo como: senθ= y/d tanθ=y/x secθ=d/x cosθ=x/d cscθ=d/y cotθ=x/y

d

r2

Funciones reciprocas senθcscθ=1 cosθsec=1 tanθcotθ=1 senθ=1/cscθ cosθ=1/secθ cotθ=1/tanθ Ejercicios de funciones recíprocas Encontar el valor de las siguientes funciones : 1. cot 15°18´37´´=cot 15.3102°=1/tan(15.3102)=1/0.2737=3.651 2. sec 116°12´13´´=sec116.2036°=1/cos116.2036=-2.26 3. cos390°17´54´´=csc390 Encontar los ángulos 4.arcsen 0.8342=56°31´57´´ 5.arccsc3.1720=arcsen*1/3.1720=18°22´35´ 6.arccot 14312=arctan(1/14.312)=4°2´52´´ 7.arcsec –6.27=arccos 1/-6.27=99°10´ Signo de las funciones trigonométricas en los distintos cuadrantes:

I II III IV Sen + + - - Cos + - - + Tan + - + - Csc + + - - Sec + - - + cot + - + -

Valores de las funciones limitantes de los cuadrantes.

0° 90° 180° 270° 360° Sen 0 1 0 -1 0 Cos 1 0 -1 0 1 Tan 0 0 0

(-,+) (+,+) (-,-) (+,-)

Csc ∞ 1 ∞ -1 ∞ Sec 1 ∞ -1 1 cot ∞ 0 ∞ 0 ∞

θ=0° y=0 x=d θ=180° y=0 x=d θ=90° x=0 y=d θ=270° x=0 y=-d

( 0,y) (-x,0) (x,0)

Ángulos notables y sus funciones trigonométricas

0° 30° 45° 60° 90°

2

0 1 2 3 4

4 3 2 1 0

30° 45° 60° Sen 1/2 2 / 2 3 /2 Cos 3 /2 2 /2=1 ½

Tan ( 3 )/3 2 / 2 =1 3 Csc 2 1/ 2 1/ 3 Sec 2/ 3 1/ 2 1

Cot 3 /1 2 / 2 =1 1/ 3

Sen Cos

Círculo trigonométrico y líneas trigonométricas

senθ=y/1 d=1 cosθ=x/1 tanθ=senθ/cosθ cscθ=1/y =1/senθ secθ=1/x=1/cosθ cotθ=x/y=cosθ/senθ

Ejercicios de senos y cosenos P(-3,2) , X=-3, Y=2, D=?

D= ( ) ( ) 1323 22 =+−

senθ=2 13= 2 13 /13 cosθ=-3/ 13

tanθ=2/-3 cscθ= 13 /2

secθ= 13 /-3 cotθ=-3/2

Cofuciones

Funciones trigonométricas del ángulo complementario:

Y2 1 d y2

θ + α = 90° α = 90° - θ

θ α

d

cos

cot

tan

sen

sec

csc

senα d

x= sen(θ) = cos(α)=cos(90°-θ)

cos(θ) = sen(α)=sen (90°-θ)

cosα d

y= tan(θ) = cot(α)=cot (90°-θ)

csc(θ) = sec(α)=sec (90°-θ)

cosα d

y= sec(θ) = csc(α)=csc (90°-θ)

cot(θ) = tan (α)=tan(90°-θ)

α

d

x

y

Funciones trigonométricas del ángulo negativo sen (-θ) = -senθ cos(θ) = cosθ tan(θ) = -tanθ csc(θ)= -cscθ sec(-θ)=secθ cot(θ)=-cotθ

Fórmula general de reducción al 1er cuadrante Función (n 90 + θ) θ= ángulo agudo positivo 1. La misma función si n es par 2. La confución si n es impar El signo de la función va a ser el signo de la función en el cuadrante donde carga. Cos 304° =cos(3+(90))+ 34°)=sen34° Cos304°=cos(4(90)-56°)=cos56° Ejercicios de funciones equivalentes Reducir a funciones equivalentes de ángulos menores de 90° 1. sec 715= sec (8(90°)-5)=sec5°=1/cos5° 2. cos 138°=cos(90 +48)= -sen 48 3. cot246°=cot(3(90)-24)=tan24° 4. csc249°=csc(3(90)-21°)=-sec27° 5. sec246°=sec(14(90)-14°)=sec14

Funciones trigonométricas de ángulos suplementarios Por defecto y por exceso sen (180°-θ)=senθ sen(180°+ θ) =-senθ cos(180-θ)=-cosθ cos(180°+ θ) =-cosθ tan(180°-θ)=-tanθ tan(180+ θ) = tanθ

csc(180°-θ)=cscθ csc(180+θ) =-cscθ sec(180-θ)=cotθ sec(180°+θ) =-secθ cot(180°-θ)=cotθ cot(180°+θ) =-cotθ sen (360°-θ)=-senθ sen(90°+ θ) =cosθ cos(360-θ)=cosθ cos(90°+ θ) =-senθ tan(360°-θ)=-tanθ tan(90+ θ) = -cotθ csc(360°-θ)=-cscθ csc(90+θ) =secθ sec(360-θ)=secθ sec(90°+θ) =-cscθ cot(360°-θ)=-cotθ cot(90°+θ) = -cotθ sen (270°-θ)=-cosθ sen(270°+ θ) =-cosθ cos(270-θ)=-senθ cos(270°+ θ) =senθ tan(270°-θ)=cotθ tan(270+ θ) = -cotθ csc(270°-θ)=-secθ csc(270+ θ) =secθ sec(270-θ)=-cscθ sec(270°+θ) =cscθ cot(270°-θ)=tanθ cot(2700°+θ) = -tanθ Ejercicios: 1.csc(-289°) = -csc(3(90°)+19°)=-sec19 =-0.325 2.cot(-176°)=cot(2(90)-4)=cot4=75.96

Gráficas de funciones trigonométricas.

X° xrad Sen x cosx tanx cscx secx cotx -60 -2π/6 -0.5 0.5 -1.4 -1.4 2 -0.7 -30 -π/6 -0.5 0.7 -0.56 -2 1.15 -1.4 0 0 0 1 0 ∞ 1 -∞ a +∞ 30 π/6 0.5 0.7 0.56 2 1.15 1.4 60 2π/6 0.7 0.5 1.4 1.4 2 0.7 90 3π/6 1 0 -∞ a +∞ 1 ∞ 0 120 4π/6 0.7 -0.5 -1.4 1.4 -2 -0.7 150 5π/6 0.5 -0.7 -0.56 2 -1.15 -1.4 180 6π/6 0 -1 0 ∞ -1 -∞ a +∞ 210 7π/6 -0.5 -0.7 0.56 -2 -1.15 1.4 240 8π/6 -0.7 -0.5 1.4 -1.4 -2 0.7 270 9π/6 -1 0 -∞ a +∞ -1 ∞ 0 300 10π/6 -0.7 0.5 -1.4 -1.4 2 -0.7 330 11π/6 -0.5 0.7 -0.56 -2 1.15 -1.4 360 12π/6 0 1 0 ∞ 1 -∞ a +∞

Cambio de periodo

Gráficas de y = A sen (Bx + C) y=A cos (Bx+C) y=sen (x-π/2) Bx + C= 2π x=2π/B –C/B

Ejemplos:

1. y=2sen(2x-π/2) A=2 p=2π/2=π f=π/2

y=Asen(Bx+C)

2. Y=2sen(2x+π) 2x+π=2π 2x=2π- π x=π/2

3. 2x+π=0 2x=-π x=-π/2 2x+π=π, x=0

2π/B= periodo C/B= cambio de fase

Funciones trigonométricas de la suma y resta de dos ángulos

sen (α+ β) = senα+ cosβ + senα+ cosβ cos (α+ β ) = senα+ cosβ - senα+ cosβ sen (α- β) = senα+ cosβ - senα+ cosβ cos (α- β) = senα+ cosβ + senα+ cosβ

Ejercicios: senα2+cosα2=1 (0.17)2+cos2α=1 0.028+cos2α=1 cos2α=0.9711 cosα=+ 0.98

Funciones trigonométricas del ángulo doble sen 2α = 2 senαcosα cos2α = cos2α-sen2α cos2α = 2cos2α -1 cos2α = 1-2sen2α Ejercicios:

B E C β α

1. cos2α = 1-2sen2α 3. sen2α+cos2α cos2α= 1-2(0.74)2 (0.74)2+cos2α=1 cos2α=1-1.09 0.54+ cos2α=1 cos2α=0.09 cos2α=1-0.54

2. sen2α= 2senαcosα cos2α=0.45 sen2α= 2(0.74)(-0.67) cosα=(0.45)1/2

sen2α= 2(-0.49) cosα=-0.67 sen2α= 0.99

Funciones trigonométricas del ángulo mitad a) Sen(β/2) cos(β/2) tan(β/2) 1.Cos2α=1-2sen2α 2.cos2α=2cos2α-1 sustituyo a) en 1y 2

sen(ββββ/2)=+ 2

cos1 β− cos(ββββ/2)+2

cos1 β+

tan(ββββ/2)=+β+

βcos1

sen

Si el ángulo cae en el primer o el segundo cuadrante el ángulo mitad cae en el primer cuadrante. Si el ángulo cae en el tercero o cuarto cuadrante el ángulo cae en el segundo cuadrante. Ejercicios: 1. Sec α=5 α ésta en l cuarto cuadrante. Solución Cos α= 1/5 cos2α+sen2α=1

sen2α= 1-(-1/5)2 sen2α=1-1/25 sen2α=24/25

senα=+25

24⇒ -

5

24

2.Encontar el ángulo mitad si α/2 existen en el segundo cuadrante.

A) Solución

Sen α/2= +2

cos1 α−

Sen α/2= + 2

5/11−

Sen α/2= +2

5/4

Sen α/2= 5/2

B) cos α/2= -2

2cos1+

cos α/2= - 2

5/11+

cos α/2= -2

5/6

cos α/2= -5

3

C) tan α/2= - 3/63

2 =

Suma y resta de senos y cosenos Transformación de sumas y restas de cosenos y senos en productos: Sen(α+β)=senαcosβ+senβcosα Sen(α - β)=senαcosβ - senβcosα Se quiere obtener: α+β=A α+β=A α -β= B -α+β=B 2α =A+B 2β=A-B α=A+B β=A-B

2 2 senA-senB = 2sen α cos β=2sen[ (A+B)/2] *cos[(A-B)/2]

senA-senB = 2sen α cos β=2sen[ (A-B)/2] *cos[(A+B)/2] cosA+cosB= 2cos α cos β=2cos[ (A+B)/2] *cos[(A-B)/2] cosA-cosB= 2sen α sen β=-2sen[ (A+B)/2] *cos[(A-B)/2] tanA+tanB= senA/cosA+senB/cosB= senAcosB+cosA= sen(A+B) cosAcosB cosAcosB

Identidades trigonométricas

Demostrar que: 1.Tanx sen 2x =2sen2x Sol. senx 2senx cosx =2sen2x cosx 2sen2x=2sen2x 2. sen2x = tanx 1+cos2x Sol. 2senxcosx - tanx 1+cos2x senx =tanx cosx

Funciones trigonométricas inversas

Si una función no es inyectiva , no tiene inversa a menos que se reduzca el dominio para convertirla en inyectiva. En el caso de las funciones trigonométricas se reducen los dominios para convertirlas en inyectivas. Los dominios reducidos se conocen como las ramas principales. y=senx D:[- π/2, π/2] R:[-1,1] f—1(x) Df-1(x)=][-1,1] Rf-1=[-π/2, π/2]

-π/2 0 π/2 π

Ejercicios de entidades trigonométricas inversas

1.sen (arccos (4/5) = 3/5 cosθ=4/5 x=4 senθ=? y=? d=5 Solución: sen2θ+cos2θ=1 sen2θ+(4/5)2=1 sen2θ=1-16/25 sen2θ=(25-16)/25=9/25 senθ=+ 25/9 senθ=+3/5 senθ=3/5 2.sen(arccos – ½) x=-1 y=? d=2 x2+y2=1 (-1)2+y2=22

y2=4-1 y=(3)1/2 3.sen (2arctan(1/2))= 4/5 x=2 y=1

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

d=? x2+y2=d2 sen θ=1/(5)1/2 cosθ=2/(5)1/2

senθ=2senθcosθ=2 [(5)1/2/5][2(5) ½]=4/5

Ecuaciones trigonométricas 1. 3cos2x + sen2x =3 3cos2x+1-cos2x=3 2cos2x = 3-1 cos2x=1 cos2x=+1 si cosx =1 x=arccos1 x=0+2πK k∈Z si cosx=-1 x=arccos-1 x=π+2πk k∈Z 2. tan2x + 3= 2sec2x tan2x+3=2(1+ tan2x) si tanx=1 tan2x+3=2+2 tan2x x =arctan1 tan2x-2 tan2x=2-3 x=π/4+πk tan2x=1 si tanx=-1 tan2x=1 x=arctan - 1 tan2x=+1 x=3π/4 + πk k∈Z 3. 3 senx=3cosx

3 /3=cosx/senx

3 /3=cotx

si cotx= 3 /3 x=arccotπ/6+πk k∈Z

Solución de triángulo y oblicuángulos

Ley de senos

C a b

A B

c

senC

c

senB

b

senA

a ==

Ley de cosenos

bc

acbA

2cos

222 −+= a2= b2+c2-2bc cosA

ac

bcaB

2cos

222 −+= b2=a2+c2-2ac cosB

ab

cbaC

2cos

222 −+= c2=a2+b2-2ab cosC

Ejercicio Encontrar el perímetro y área de un triángulo isósceles cuya base mide 40 cm. Si los ángulos de la base miden 70°. 70°+90°=160° A+B=160° Si A+B+C=180° C=20°

4.5893.0

2.62

70

70

40

40

=⇒=

°=

°

bb

sensen

a=b=c

8.54

)4.58(93.04.58

70

==

=°

h

h

hsen

70°

58.4

h

P=149.6cm

11682

)8.54)(40( ==A

Geometría Analítica Se diferencia porque estudia a los cuerpos y curvas en ecuaciones, las agrupa. Estudia y combina el álgebra con la geometría. Estudia las curvas mediante ecuaciones por las coordenadas de los puntos que forman la figura. Principio fundamental de la geometría analítica Las coordenadas de cada recta deben satisfacer la ecuación de estas y si encontramos una pareja de puntos que satisfagan la ecuación ese punto pertenece a la curva o recta. Una ecuación de primer grado con dos incógnitas es lineal porque representa rectas:

Ax+By+C=0 Una ecuación de segundo grado cuando dos incógnitas representan las rectas.

Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 Proyección de un segmento sobre los ejes coordenados. Segmento : línea recta con principio ( o origen) y un fin (extremo)

BAAB = A(XA,YA) B(XB,YB)

Absisa coordenada de x

''BA =xB-xA

'' AB =xA-xB

"" BA =yB-yA

"" BA =yB-yA

Distancia entre dos puntos del plano A(X A,YA) B(XB,YB)

( ) =2

AB (XB-XA)2 + (YB-YA)2

B´´ B(XB,YB) A´´ A(XA,YA)

AB = + 2AB

2AB )YY()XX( −+−

Coordenadas del punto que divide a un segmento en una razón dada. Ej: A (2,3) dividir el segmento AB en 3 partes B(8,12)

AB = 22 )312()28( −+− =10.8

Ejercicios: 1.- Absisa

3

11 =AB

AP

3

1

''

'' 1 =BA

PA

3

1

28

21 =−−x

3(x1-2)=6 3x1-6=6 3x1=12 x1=4 Ordenada

3

1

""

"" 1 =BA

PA

3

1

312

31 =−−y

3

1

9

31 =−y

A’(2,0) B’(8,0)

A

P1

P2

B

6' =BA

3(y1-3)=9 3y1-9=9 3y1=18 x1=6 P1=(4,6) Ejercicio Por el punto A(-4,0) se traza una paralela a la recta que une los puntos B(0,4) y C(4,0) En la recta que pasa por A hallar los dos puntos que distan de A el doble de la distancia

BC Abscisa de P1 P1A=2BC P1’A’=2B’C’ -4-x1=2(4-0) -4-x1=8 -x1=12 x1=-12 Ordenada de P1

B

C

P1

P2

A

P1”A”=2B”C” 0--y1=2(0-4) -y1=-8 y1=8 P1=(12,8) Abscisa de P2 AP2=2BC x2+4=2(4-0) x2+4=8 x2=4 Ordenada de P2 A”P2”=2B’C’ y2-0=2(0-4) y2=-8 P2=(4, -8) Coordenadas del punto medio de un segmento A(x1,y1) B(x2,y2)

22

2

2

22

2

2

21121121

21121121

yyyyyyyyYM

xxxxxxxxXM

+=

−+=

−+=

+=−+=−+=

B PM A

(0,y2) (0,PM) (0,y1)

(x1,0) (x2,0) (XM,0)

2

12 yy −

−−2

,2

1212 yyxxPM

Inclinación y pendiente de una recta

Inclinación : ángulo que forma la recta con la dirección positiva del eje x medido en sentido contarrio a las manecillas del reloj y de 0° a 180°.

Pendiente de una recta conocidos dos de sus puntos:

tanx=x1-x2

y1-y2

m=x2-x1

y1-y2

x1-x2

y2-y1 =

Ángulo entre dos rectas conocidas las pendientes

0°<x<180°

B B´´(0,Y2) A Y2-Y1 Y2-Y1 A´´(0.Y1) (X1,0) (X2,0)

σ1 σ2

θ

α1 X α2

θ+α1+X=180° α2 +X=180° θ+α1+X=α2+X θ=α2 - α1 tan θ = tan(α2-α1) 1+tanα2tanα1

tanθ = m2-m1 = mf – m1

1+m2m1 1+ mf m1

Ejemplo En el triángulo cuyos vértices son A(2,3) B(6,8) C(4,-4) encontrar la media de los ángulos interiores.

Fórmula para la pendiente=12

12

xx

yy

−−

tanαB=34

19

4

344

19

4

301

4

524

4

561

4

56

==+

−

=

+

−

tanαB=0.5538 αB= arc tan (0.5538) αB= 29°11’51”

C

B

A

m4

5

26

38 =−−=AB

m 62

12

64

84 =−−=

−−−=BC

m2

7

42

43

−=

−+=CA

tanαC=40

19

2

402

19

2

421

2

127

62

71

62

7

=−

−=

−

−−

=

−+

−

tanαC=0.475 αC= arc tan (0.475) αC= 25°24’27”

tanαA=27

38

8

272

19

8

351

4

145

2

7

4

51

2

7

4

5−=

−=

−

+

=

+

+

tanαA=1.4074 αA= arc tan (1.4074) αA= 125°23’41”

Condición de paralelismo de 2 rectas y perpendiculares

A)Paralelismo: Si dos rectas son paralelas los ángulos α1 y α2 son iguales

α1=α2 tanα1=tanα2 m1=m2

B)Perpendicularidad: Si dos rectas son perpendiculares su pendiente es la recíproca del signo contrario.

tan90°=m2-m1 / 1+m2m1 cot 90°= 1 /tan 90°

cot 90°=1+m1m2 /m2m1

θ-1+m2m1/m2m1 m2m1+1=0 m2m1=-1 m2=-1/m m1=-1/m2

Condición para que tres puntos estén alineados Para que tres o más puntos estén alineados, es decir, estén en una misma recta tienen que tener la misma pendiente.

12

13

12

23

12

12

xx

yy

xx

yy

xx

yy

−−

=−−

=−−

X1 X2 α1 α2

Ejercicios Comprobar si están alineados A(1,2), B(0,-3) y C(2,7)

51

5

12

27

52

10

02

37

51

5

10

23

==−−=

==−+=

=−−=

−−−=

AC

Bc

AB

m

m

m

Sí están alineados

Ecuación de una recta Una ecuación que satisface por las coordenadas de todos los puntos que pertenecen a la recta y de la misma manera si las coordenadas de un punto satisfacen la ecuación, ese punto pertenece a la recta.

Si P(x,y) y A(2,1) con 3

1=m

3

1=PAm

Ecuación de la recta

3

1

2

1 =−−

x

y

Si y-1=3

1(x-2)

y-y1=m(x-x1) Ecuación de la recta de la forma Punto Pendiente Forma Pendiente Ordenada al Origen y=mx + b Ejercicios Encontrar la ecuación de ka recta que pasa por A(2,5) y B(-1,-6). Dar la pendiente, la ordenada al origen y tres puntos más.

Pendiente 3

11

21

56 =−−

−=m

Ecuación de la recta )2(3

115 −=− xy

3

73

7

3

113

15

3

22

3

11

=

−=

+−=

b

xy

xy

x

3

7

3

11 −x

-1

-6

0

3

7−

5 16

Ecuación general de la recta Ax+By+C=0 Si c=0 Ax+By=0 Y=-Ax/B Recta paralela al eje y, con pendiente indefinida Si A=0 By+C=0 Y=-C/B Recta que pasa por el origen y tiene una pendiente –A/B Si B=0, C=0, Ax=0, x=0 Ecuación del eje y Si A=0,c=0,By=0, Y=0 Ecuación del eje x Si A≠0, B≠0,C≠0 Ax+By+C=0 M=-A/B b=-C/B Y=-Ax/B+ (-C)=0 Ecuación de la recta en la forma simétrica M=b-0/0-a= -b/a Y=-b/a(x-a) Y=-bx/a+y=b Bx/a+y=b

P2(0,b) b P1(a,0) a

Bx/ab+y/b=b/b xa + yb y = 1 Distancia entre una recta y el origen d = |c|

22 BA + Distancia de un punto a una recta

D=|Ax1+By1+C|

22 BA +

m=B

A−

D=B22

||

+A

C

y-y1=B

A− ( x-x1)

By- By1 =Ax-Ax=0 By- Ax=C

Ax+By+C=0

d a

Ax+By+C=

D(x1,y1)

Ejercicios de rectas

1) Hallar el valor de K para que la recta Kx+(K-1)y-18=0 sea paralela a la recta 4x+3y+7=0

1

18

−+=

K

Kxy

)1(

18

)1( −+

−−=

KK

Ky

)1(3

4

−−=−K

K

)1(3

4

−=

K

K

4x+3y+7=0 y=3

7

3

4 −x

4K-4=3K K=4

2) Determinar el valor de k para que la recta 4x+5y+k=0 forme con los ejer coordenados de un triángulo rectángulo de A=2.5m2

55

4

2

)(

kxy

aBA

−−=

=

)1(

18

)1( −+

−−=

KK

Ky

Con el eje x (y=0) 4x+K=0

4x+5y+k

x=4

K−

Con el eje y (x=0)

B

−5

,0k

01054

01054

10

100

520

554

2

2

=−+=++

±=

=

=

=

−

−

yx

yx

K

K

K

KK

3) Encuentre la distancia entre las rectas paralelas cuyas ecuaciones son

3x-2y-4=0 6x-4y+10=0

3x-2y-4=0 2

4

2

3

−+−= xy

22

3

2

4

2

3

−−=

−+−=

xy

xy

5.24

6

4

10

4

6

+−

=

−−

−=

xy

xy

DPx 49.221.7

18

52

108

1636

|10)2)(4()0(6| ==+=+

+−−+=

Ecuación de la recta en la forma normal Está dada en términos de la distancia con el origen a la recta y el ángulo que esa distancia forma con la dirección positiva del eje de las X. Intersecciones de Ax+By+C=0 con los ejes Con el eje x, y=0

A

Cx

−=

−0,1 A

CP

Con el eje y, x=0

B

Cx

−=

−B

CP ,01

cosα=

A

Cd

− d

A

C

αα

cos=−

senα=

B

Cd

− d

senB

C

αα=−

P1=

−0,

A

C

Ax+By+C=0

α

α

d

P2=

−B

C,0

La ecuación de Ax+By+C=0 en forma simétrica es:

1=−

+−

B

Cy

A

Cx

Sustituyendo

dysenx

d

ysen

d

x

sen

dy

dx

=+

=+

=+

αα

αα

αα

cos

1cos

1

cos

Ax+By+C=0

B

Am

−=

BA

A

A

BA

A

B

A

B

B

A

22

22

22

22

22

2

cos

sec

sec1

tan,tan

+=

=+

=+

=−=

α

α

α

αβ

22

22

22

22

2222

22

2

22

22

1

1cos

cos

BA

Bsen

BA

Bsen

BA

ABAsen

BA

Asen

sen

BA

A

+±=

+=

+−+=

=+±

+

=+

+±=

α

α

α

α

αα

α

Ejercicios de la recta en forma formal 1) Obtener la ecuación de las rectas dados los siguientes datos:

d=6, αααα=30° xcos30°+ysen30°=6

d=3, αααα=0° xcos0°+ysen0°=3

2) Expresar las siguientes ecuaciones en la forma general. x+y-3=0

Si x=0 y=3 Si y=0 x=3 y=-x+3 m=-1 tan α =m => tan α =-1 α = -45°

31

3||22

==+

=BA

cd

xcos45°+ysen45°=3 x(0.7)+y(0.7)=3

3x-4y+5=0

125

5

"11'52364

3arctan

4

3tantan

4

3

4

5

4

3

==

°=

=

=⇒=

=+=

d

m

mxy

α

α

αα

Lugares Geométricos 1.Es un conjunto de puntos del plano que cumplen con una propiedad 2 PBPA =

3. 21

21 )yy()XX( −+−

Ejemplo: Para A(2,-3) B(-8,5)

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

01945

0761620

0)761620(

08913106164

5832

5()8()3()2(

2222

222

222

=+−=+−

=−+−=−+++−−

−+−=−+−

−+−=−+−

yx

yx

yx

yyxx

yxyx

yXyX

Intersecciones con los ejes Con y, x=0

−−=

=

=

0,5

19

5

19

0,

4

19,0

4

19

x

yxCon

y

Pendiente de 5x-4y+19=0

y= x5

4+19

mAB=5

4

10

8

28

35 =−

=−−

+

Ejercicios de lugar geométrico 1)Obtener la ecuación del lugar geométrico que se mueve de forma tal que su distancia al punto A(5,3) siempre es igual a 4 a)P(x,y)

b) 4=PA

c) ( ) 22

2 )4()3(5 =

−− yx

(x+5)2+(y-3)2=16 x2-10x+y2-6y+18=0 y2-by+x2-10x+18=0 y=f(x)

1

9

0)1)(9(

0910

)1)(0910(

2

9103

2

91026

2

)18109(46

2

)1810)(1(4366

2

1

2

2

2

2

2

2

==

≤−−

≤+−

−≥−+−

−−−±

−−−±

−−−±=

+−−±=

x

x

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xxy

La solución es: [1,9] 2) Encontrar la ecuación del lugar geométrico de los puntos cuya distancia al punto fijo

A(0,4) sea igual a 3

4 de su distancia a la recta 4y-9=0

P(x,y)

3

4=PAd d(P,R)

( ) ( )2

22

22

90

|94|

3

44

+−=−+ y

yx

x2+y2-8y+16=

+−

16

817216

9

16 2 yy

9x2+9y2-72y+144=16y2-72y+81 9x2+7y2+63=0 Intersecciones con los ejes Si x=0

y2=7

63

3

97

63

±=

±=±=

y

y

Si y=0

x2=-9

63 No hay intersección con el eje

Dominio y=f(x) 9x2-7y2+63=0

707

639

97

9

7

63

7

9

2

2

2

≤

+

+±=

+±=

x

x

xy

7||

7

7

0639

2

2

2

−≥

−≥

−≥

≥+

x

x

x

x

La solución es todos los reales x y1 y2

3 -4.5 4.5 2 -3.7 3.7 1 -3.2 3.2 0 -3 3 5 -6.4 6.4 6 -1.4 1.4 7 -8.4 8.4

Rectas notables y puntos notables del triángulo 1.Medianas : rectas que van del punto medio de un lado al vértice opuesto. 2.Baricentro: lugar donde concurren las medianas 3.Circuncentro: centro de la circunferencia circunscrita del triángulo. 4.Alturas: Rectas que parten de los vértices y llegan al lado opuesto formando un ángulo recto. 5.Ortocentro: Punto donde se unen las alturas. 6.Bisectrices: Rectas que dividen a los ángulos en dos partes iguales. 7.Incentro:Centro de la circunferencia circunscrita al ángulo. Nota: Por la recta de Euler pasan Baricentro ortocentro, y circuncentro.

Forma general de la ecuación de la circunferencia La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto fijo llamado centro, de coordenadas C(h,k). La distancia al centro se llama radio y se denota r. P(x,y)

rPC =

( ) ( )

( ) ( )

rradio

khC

rkyhx

rkyhx

=

=−+−

=−+−

),(

222

222

Forma ordinaria o estándar Se leen las coordenadas del centro y del radio x2 - 2hx + h2 + y2 - 2ky + k2 = r2

Ax2 - Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 x2 - y2 - 2hx – 2ky + h2 + k2 - r2 = 0 Condiciones para que una ecuación de segundo grado en forma general represente una circunferencia:

B = 0 y A = C Ejercicios de Circunferencia Dada la ecuación de una circunferencia en la forma general representarla en la forma normal. 4x2 + 4y2 – 16x + 24y + 27 = 0

4x2 + 4y2 – 16x + 24y = -27

4(x2 + 4x) + 4(y2 +6y) = -27 4(x2 + 4x + 4) + 4(y2 +6y + 9) = -27 +16 -36

( ) ( )

( ) ( )4

2532

4

25

4

3424

22

22

=++−

=++−

yx

yx

( ) ( )

2

5

)5,3(

222

==

−

=−+−

rradio

C

rkyhx

Dadas las siguientes ecuaciones expresarlas en la forma ordinaria y decir lugar geométrico x2 + y2 – 2y + 3 = 0

( )( ) ( )

2

)1,0(

210

1312022

22

−=

−=−+−

+−=+−+−

r

C

yx

yyx

x2 + y2 – 6x - 2y + 10 = 0

x2 - 6x + y2 - 2y = -10 x2 - 6x +9 + y2 - 2y +1 = -10

( ) ( )( ) ( )

0

)1,3(

613

19101322

22

=

=−+−

++−=−+−

r

C

yx

yx

como el radio es 0 se trata de un punto. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(-2,3), B(4,5) y cuyo centro está sobre el eje x.

33

1

6

2

)4,1(

2

35,

2

24

−=⊥

==

−+

ABm

mAB

PM

PM

donde mAB es la pendiente y m⊥AB es la mediatríz = mAB

1

y-4=-3(x-1) y-4=-3x+3 y-4+3x-3=0 3x+y-7=0 Si y=0 porque el centro está sobre x 3x-7=0

x=3

7

Forma estándar

( ) ryx =−+

− 22

03

7

Sustituyendo A(-2,3) en la ecuación

( )

77.279

250

9

250

99

169

93

13

33

7

7

2

2

2

22

222

=

=

=

+=

+

−=

=+

−−

r

r

r

r

r

r

Elipse Lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos, es igual a una cantidad constante 2a. d1 + d2 = 2a La distancia entre los focos es la distancia focal. El centro de la elipse siempre está en la mitad de los focos. Cualquier recta que pase por el centro es un diámetro. Hay una recta que pasa por los dos focos y es el eje mayor. Los puntos donde la elipse corta al eje se llaman vértices. El diámetro perpendicular al eje mayor es el eje menor. Cualquier recta que una 2 puntos de la elipse se llama cuerda. Hay 2 perpendiculares el eje mayor y que pasan por los focos que se llaman lados rectos. Eje mayor Eje menor Trasladando esas rectas a los planos cartesianos encontramos la ecuación. a a b F F Distancia focal = 2c para que haya elipse a debe ser mayor que c. Para hacer el triángulo, la suma de 2 lados debe ser mayor que el tercero. a2 = b2 + c2 relación entre a, b, c siendo b el eje menor y el eje mayor

Distancia focal

A A’ F F AF + AF’ =2a AA’= 2a AF + AF’ = 2a AF’ =A’F’ AF- + A’F’ = 2a La ecuación de la elipse con centro en el origen C(0,0) y eje focal sobre el eje x: Elementos:

12

2

2

2

=+b

y

a

x Longitud del eje mayor 2a

Longitud de eje menor 2b Distancia focal 2c Intersecciones con el eje x (y=0)

ax

ax

a

x

±==

=

22

2

2

1

Intersecciones con el eje y (x=0)

by

by

b

y

±==

=

22

2

2

1

Coordenadas de los vértices A(a,0) A’(-a,0) B(0,b) B’(0,-b) F(c,0) F’(-c,0) El eje mayor estará donde estén los focos

Ecuaciones de los ejes Eje mayor y=0 Eje menor x=0 Excentricidad de la elipse

e = a

c

A medida que c crezca la elipse se alarga. Si la medida de la c disminuye la elipse se parece más a un círculo. Esto es lo que significa la excentricidad, la cual siempre es positiva y menor a 1. Longitud de los lados rectos F F

( )

a

bLR

a

bPPd

a

b

a

bCCPPd

2

22

21

2222

21

2

2

=

=

++−=

Dominio D:[-a,a] R:[-b,b]

LR LR

Hipérbola Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancia a dos puntos fijos llamados focos es igual a la cantidad constante 2a.

12

2

2

2

=−b

y

a

x

Elementos

Eje focal sobre x 12

2

2

2

=−b

y

a

x

Longitud del eje real 2a Longitud del eje imaginario 2b Distancia focal 2c Coordenadas de los focos F(c,0) F’(-c,0) Coordenadas de los vértices A(a,0) A’(-a,0) Ecuación del eje focal y=0 Ecuación del eje conjugado x=0

Excentricidad a

ce = si c>a

Lados rectos a

bLR

22=

Ecuación de las asíntotas y - k = ± c

b(x-h)

Dominio (-∞, -a][a,∞) Rango (-∞,∞)

Eje focal sobre y 12

2

2

2

=−b

x

a

y

Longitud del eje real 2a Longitud del eje imaginario 2b Distancia focal 2c Coordenadas de los focos F(0, c) F’(0, -c) Coordenadas de los vértices A(0, a) A’(0, -a) Ecuación del eje real x=0 Ecuación del eje imaginario y=0

Excentricidad a

ce =

Lados rectos a

bLR

22=


b(x-h)

Dominio ℜ Rango (-∞, a][a, ∞) Ecuación de una hipérbola con centro en un punto cualquiera del plano y ejes paralelos a los coordenados Longitud del eje real 2a Longitud del eje imaginario 2b Distancia focal 2c Ecuación del eje focal x=h Ecuación del eje conjugado y=k Coordenadas de los focos F(h, k+c) F’(h, k-c) Coordenadas de los vértices A(h, k+a) A’(h, k-a)

Excentricidad a

ce =

Lados rectos a

bLR

22=


b(x-h)

Dominio ℜ Rango (-∞, k-a] ∪ [k+a, ∞)

Cualquier recta que une 2 puntos de la rama de una hipérbola se llama cuerda, si además pasa por el centro se llama diámetro. Condiciones para una ecuación de segundo grado con dos incógnitas represente una hipérbola de ejes paralelos a las coordenadas. Si Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F =0 B=0 A y C pueden ser iguales o diferentes

Hipérbolas equiláteras

Aquellas donde el eje real es igual al conjugado

22

222

22

2

2

2

2

2

2

2

2

)()(

1)()(

1

kyhx

ayx

ba

a

ky

a

hx

a

y

a

x

−−−=−

=

=−−−

=−

Ecuación de una hipérbola equilátera con centro en el origen de coordenadas, referidas sus asíntotas como ejes coordenados. Hipérbola equilátera a = b Ecuaciones de las asíntotas

kxy

ayx

ayx

a

y

a

x

absib

y

a

x

ak

ayxyxdd

xyxy

xyxy

m

a

bm

b

am

=

=

=−

=+

==+

=

=−

=+

−=

=+=−−==

=

==

2''

1

)(1

2

2211

0,0

,

1

2

222

2

2

2

2

2

2

2

2

2

222

2221

Representación gráfica

0:0:444 −ℜ−ℜ=== RDxyy

xx

y

x y 0 ∞ -4 -1 -1 -4 -8 -1/2 1 4 4 1 8 1/2

Asíntotas x=0 y=0

Ejercicios de Hipérbola

Encuentre la hipérbola dados los siguientes datos:

a2=4 b2=9 c2=13

a=2 b=3 c=3.6

2

4

0)4(

04

)4(9

4

)4(9

4

369

4

369

91

4

194

2

2

2

2

2

22

22

22

±=≥

≥−

≥−

−±=

−±=

=−

=−

=−

x

x

x

x

xy

xy

yx

yx

yx

-2 2

Determinar los elementos de la siguiente hipérbola

13625

22

=− xy

2a=2(5)=10 2b=2(6)=12 2c=2(7.8)=15.6

56.15

8.7

4.145

72

==

==

e

LR

Coordenadas de los vértices A(0,5) A’(0, -5) Coordenadas de los focos F(0,7.8) F’(0, -7.8) D:[-6 , 6] R(-∞, -5] ∪ [5, ∞]

Ecuaciones de las asíntotas xy6

5=

Escribir la ecuación de la hipérbola que tiene su centro en el origen, su eje focal sobre el eje x; el eje real mide 6 unidades y el imaginario 4. Escribir la ecuación de su conjugada. 2a=6 2b=4 a=3 b=2

xy

xa

by

a

abLR

xy

yx

3

2

6.23

8

3

)4(2

194

149

2

22

22

=

=

====

=−

=−

Parábola Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a un punto fijo llamado foco es igual a su distancia a una recta fija llamada directriz. Parámetro 2p LR=4p 1)p(x,y) 2)d(PF)=d(Pl)

3)

( ) ( )

( ) ( )( )

)0,0(

4

4

22

1

2

2

22222

222

2

22

V

pxy

ypx

pxpxypxpx

pxpypx

Pxpypx

==−

++=++−

+=−+−

+=−+−

Coordenadas del foco F(p,0) Ecuación de la directriz x+p=0

d1

d2

v f

2p

d2

p

v F(p,0)

D:x>0 R:ℜ Se abre hacia la parte positiva del eje x.

pLR

v

px

xpy

4

0

04

4

=>

>=

0

04

04

4

:

0:

)0,(

4

4

2

2

<<

>−−=

ℜ+ℜ

−=

−=

x

px

px

pxy

R

D

pF

pLR

pxy

v F(-p,0)

0

:

0:

)0,(

42

=−ℜ

+ℜ−

−=

px

R

D

pF

pxy

0

:

0:

)0,(

42

=+ℜ

>

−=

px

R

xD

pF

pxy

0

0:

:

),0(

42

=+−ℜ

ℜ−−=

py

R

D

pF

pyx

0

0:

:

),0(

42

=−+ℜ

ℜ

−=

+

px

R

D

pF

pyx

Ejercicios de parábolas 1)Obtener la ecuación de la parábola que pasa por el punto (5,-8), tiene vértice en el origen y el foco en la parte positiva del eje x.

2.3

)5(48

8.12

8.12

)2.3(4

)8,5(

4

2

2

2

2

==−

===

−=

p

p

LR

xy

xy

P

pxy

h

2) Ecuación de la parábola cuando el vértice es un punto cualquiera del plano y el eje de la parábola es paralelo a los ejes coordenados.

hxx

kyy

hxpky

pxy

khV

−=−=

−=−

=

)(4)(

'4'

),(

2

2

3)

( )),(

)(42

khV

hxpky −=− Parábola que se abre hacia la derecha con eje focal paralelo a x

Ecuación del eje focal y=k Coordenadas del foco F(h+p,k) Ecuación de la directriz x=h-p LR=4p Parámetro 2p D:x≥h R:ℜ 4)

( )),(

)(42

khV

hxpky −−=− Parábola que se abre hacia la izquierda con eje focal paralelo a x

Ecuación del eje focal y=k Coordenadas del foco F(h-p,k) Ecuación de la directriz x=h+p

D:x≥h R:ℜ 5)

( )),(

)(42

khV

hxphx −=− Parábola que se abre hacia arriba con eje focal paralelo a y

Ecuación del eje focal x=h Coordenadas del foco F(h, p+k) Ecuación de la directriz y=k-p R:x≥k D:ℜ 6)

( )),(

)(42

khV

hxphx −−=− Parábola que se abre hacia abajo con eje focal paralelo a y

Ecuación del eje focal x=h Coordenadas del foco F(h, k-p) Ecuación de la directriz y=k+p R:x≤k D:ℜ

Condiciones para que una ecuación de 2do grado con 2 incógnitas represente una parábola de eje paralelo a los coordenados. Ax2+Bxy + Cy2+Dx + Ey+F=0 (y-k)2=4p(x-h) eje paralelo a x (x-h)2=4p(y-k) eje paralelo a y y2-2yk+k2+=4px-4ph y2-4px-2yx+k2+4ph= 0 B=0, A=0 x2-2hx+h2=4py-4pk x2-2hk-4py+h2+4pk=0 B=0, C=0 Ejercicios Expresar en la forma ordinaria y obtener las coordenadas del vértice. Y=ax2+bx+c (x-h)2=4p(y-k) ax2+bx2=y-c a(x2+bx/a+(b/2a)2)=y-c+a(b/2a)2 a(x+b/2a)2=y+(-4ac+b2/4a) (x-h)2=4p(y-k) V( [-b/2a],[4ac-b2/4a] )

Ecuación general de 2° grado con 2 incógnitas Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 Cónicas de ejes paralelos a los coordenados Ax2 +Cy2+Dx+Ey+F=0 Si A=C es una circunferencia Si A ≠ C es una elipse. Si A y C tienen diferente signo es una hipérbola

Si A=0 ó C=0 es una parábola. Ax2+Bxy+Cy2 xy=0, y=0 B2-4AC ⇒ Discriminante. Si B2-4AC=0 es una parábola casos: Real, 2 rectas paralelas que coinciden 2 rectas. Si B2-4AC >0 es una hipérbola casos: Real 2 rectas que se cruzan. Si B2- 4AC < 0 es una elipse casos: Real Punto Imaginaria Ejemplos 2x2-3xy+y2-6x-8=0 a=2, b=-3, c=1 b2-4ac=1 1>0 por lo tanto es una hipérbola.

Hipérbola casos Y = f(x) y2-3xy+4y+2x2-6x-8=0 Y2+y(3x+4)+2x2-6x-8=0 A=1, b=-3x + 4 c=2x2-6x-8

Y= )1(2

)8x6x2)(1(4)4x3(4x3 22 −−−−±−

Y=2

32x24x816x24x94x3 22 ++−+−±−

Y=2

48x4x3 2 +±−

Si b2 – 4ac = 0 son dos rectas que se cruzan Si b2 – 4ac <0 es una hipérbola real. Si b2 - 4ac < 0 es una hipérbola real.

Parábola casos

3x2 –6xy +3y2-2x+5y-4=0 a=3, b=-6, c=3 b2 – 4ac = (-6)2- 4(3)(3)=0 0=0 casos 3y2-6xy+5y+3x2-2x-4=0 3y2+y (– 6x+5) + 3x2-2x-4=0 a=3, b=-6x+5, c=3x2-2x-4

y=6

)4x2x3)(3(4)5x6(5x6 22 −−−+−±−

y=6

73x365x6 +−±−

si a=0, b≠0 es una parábola real si a=0, b=0 c>0 son 2 rectas paralelas si a=0, b=0,c<0 son rectas imaginarias

Elipse casos 4x2 –4xy+3y2-2x+y-3=0 a=4, b=-4, c=3 b2-4ac=(-4)2-4(4)(3)= - 32 -32<0 por lo tanto es elipse. Casos: 3y2-4xy+y+4x2-2x+3=0 3y2+y(-4x+1)+4x2-2x-3=0 a ≠ 3, b-4x+1, c=4x2-2x+3

y=)3(2

)3x2x4)(3(4)x4()1x4( 22 −−−+−±+−−

y=6

36x24x4818x161x4 22 −+−+−±−

y=6

37x16x321x4 2 ++−±−

-32x2+16x+37=0 32x2-16x-37=0 a=32, b=-16, c=-37

x=124

)37)(3(4)16(16 2 −−−±

x1=1.32 x2=-0.9

Recursos para trazar gráficas complicadas Probar si la ecuación es factorizable. Ej: a) 2x3 – x2y=0 b)y=x2-5x+6/(x-3) x2y(2x-1)=0 x2y=0 2x-1=0 x(xy)=0 2x-1=0 x=0, xy=0 x=1/2 y=(x-3)(x-2)/(x-3)= con x≠3, y≠1, no es factorizable. Intersección de los ejes. Con el eje x (y=0) P1(x1 ,0) Con el eje y (x=0) P2(0,Y1) Simetrías Si una curva es simétrica con el eje x para todo punto P(x,y) de be existir p(x, -y) Para probar simetría con el eje x se sustituye en la ecuación original en “y” y se realizan las operaciones. Si la ecuación no se altera la curva es simétrica con x. Ejemplo: 3x2y2-y2+x-3=0 3x2-(y)2 – (-y)2+x-3=0 3x2y2-y2+x-3=0

X,Y X, -Y

b)Si una curva es simétrica con el eje “y” para todo punto P(x,y) debe existir el correspondiente (-x,y) Para probar simetría con el eje y se sustituye en la ecuación original en x en -x y se realizan las operaciones. Si la ecuación no se altera la curva es simétrica con y. Ejemplo: 3x2y2-y2+x-3=0 3(-x)2(y)2 – (-y)2+(-x) - 3=0 3x2y2-y2+x-3=0 Si una curva es simétrica con el origen para todo punto.

Asíntotas horizontales

Si al despejar x de la ecuación de la curva y aparece “y” en el denominador puede ser que aparezcan asíntotas horizontales. Si al valor que se anula el denominador no se anula el numerador ese valor es igualado.

Matemática I

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