Matemática general - 11va magistral 2013

Conferencia Magistral 11

Explicar conceptos intuitivos y definiciones básicas de la geometría plana.

Analizar las relaciones entre puntos, rectas y planos.

Ser consciente de la utilidad de la Geometría para resolver diferentes situaciones relativas al entorno físico.

Conceptos intuitivos: punto, recta, plano.

Definiciones básicas de la geometría plana.

Puntos colineales, coplanares, rectas paralelas, rectas perpendiculares.

Geometría (del griego geo, “tierra”; metrein, “medir”), rama de las matemáticas que se ocupa de las propiedades del espacio. En su forma más elemental, la geometría se preocupa de problemas métricos como el cálculo del área y diámetro de figuras planas y de la superficie y volumen de cuerpos sólidos.

La Geometría fue primeramente descubierta en Egipto, teniendo su origen en la medición de áreas. Era una necesidad para los egipcios, debido a que el Nilo, al desbordarse, barría con las señales que indicaban los límites de los terrenos de cada cual. Las culturas china e india se limitaban al resolución de problemas sobre distancias y semejanzas de cuerpos.

Los griegos introdujeron los problemas de construcción, en los que cierta línea o figura debe ser construida utilizando sólo una regla de borde recto y un compás. En los trabajos geométricos se introdujeron y perfeccionaron los métodos de demostración geométrica. La Geometría euclidiana es aquella que estudia las propiedades del plano y el espacio tridimensional.

Punto: Es el objeto fundamental en geometría, el punto representa solo posición y no tiene dimensión, es decir, largo cero, ancho cero y altura cero. Se representan por letras mayúsculas.

𝐴 𝐵 𝐶

Recta: Un segmento de recta tiene solo longitud, no tiene ancho ni altura ni grosor. Es un conjunto infinito de puntos que se extienden en una dimensión en ambas direcciones. Una recta se puede representar por:

𝐴 𝐵

Plano: Tiene ancho y largo, sin altura ni grosor. Un plano es una superficie en dos dimensiones, se puede pensar como un conjunto de puntos infinitos en dos dimensiones.

Segmento: Si tomamos 2 puntos en una recta (𝑇 y 𝑆), el segmento de recta será el conjunto de puntos comprendidos entre 𝑇 y 𝑆, incluyendo a ambos puntos.

𝑇𝑆

Rayo: La semirrecta o rayo es la línea que parte de un punto definido aunque no tenga un punto final determinado.

Puntos colineales: Son los puntos que se encuentran sobre una misma recta.

Puntos coplanares: Son los puntos que se encuentran en el mismo plano.

Rectas paralelas: Son rectas coplanares que no tienen ningún punto en común.

Rectas perpendiculares: Son las que al cortarse forman cuatro ángulos iguales de 90º.

Ángulo: Se define como la unión de dos rayos que tienen el mismo origen. Este punto común se llama vértice del ángulo. Un ángulo está formado por:

TIPOS DE ÁNGULOS Ángulo recto: su amplitud o medida

es de 90º.

Ángulo llano: su medida o amplitud es de 180º.

Ángulo agudo: su amplitud es mayor que 0º y menor que 90º.

Ángulo obtuso: su amplitud es mayor que 90º y menor que 180º.

Ángulos complementarios: dos ángulos son complementarios cuando la suma de sus medidas es de 90º.

Ángulos suplementarios: dos ángulos son suplementarios cuando la suma de sus amplitudes es de 180º.

Ángulos adyacentes: dos ángulos son adyacentes cuando son consecutivos y suplementarios a la vez.

Ángulos consecutivos: dos ángulos son consecutivos cuando tienen el vértice y un lado común

EJEMPLO 1 Si el complemento del ángulo 𝑥 es 2𝑥, ¿Cuál es el valor de 𝑥en grados?

𝑥 + 2𝑥 = 90 3𝑥 = 90 𝑥 = 30

El ángulo mide 30°

EJEMPLO 2 La suma del suplemento de un ángulo con el doble del complemento de dicho ángulo es igual al doble del ángulo mencionado. Hallar la medida del ángulo. 𝑥:𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎  𝑑𝑒𝑙  á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜

180 − 𝑥 + 2 90 − 𝑥 = 2𝑥

180 − 𝑥 + 180 − 2𝑥 = 2𝑥

−3𝑥 − 2𝑥 = −360

𝑥 = −360−5

𝑥 = 72

El ángulo mide 72°

EJEMPLO 3 El doble de la medida de un ángulo es igual al triple de la medida de su complemento. Hallar la medida del ángulo.

𝑥:𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎  𝑑𝑒𝑙  á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜

2𝑥 = 3(90 − 𝑥) 2𝑥 = 270 − 3𝑥

2𝑥 + 3𝑥 = 270

𝑥 = 2705 𝑥 = 54

El ángulo mide 54°