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ndiceCaptulo 1: Nmeros y ProporcionalidadI. Conjuntos numricos1.
Nmeros naturales
1.1 Pares e impares1.2 Primos1.3 Mltiplos y divisores1.4 Mnimo
comn mltiplo y mximo comn divisor1.5 Operaciones en los nmeros
naturales
2. Nmeros cardinales2.1 Operaciones en los nmeros cardinales
3. Nmeros enteros3.1 Operaciones en los nmeros enteros3.2
Prioridad de las operaciones
4.Nmeros racionales 4.1 Propiedades de las fracciones4.2
Operaciones en los nmeros racionales4.3 Transformaciones4.4
Comparacin de fracciones
5. Nmeros irracionales6. Nmeros reales
6.1 Anlisis de la significacin de las cifras en la resolucin de
problemas6.1.1 Anlisis de cifras significativas6.1.2 Normas para el
uso de cifras significativas
6.2 Desafos y problemas numricos6.2.1 Cuadrados mgicos6.2.2
Regularidades numricas
7. Nmeros imaginarios8. Nmeros complejosII. Razones,
proporciones, porcentajes e inters1. Razones y proporciones
1.1 Razn1.2 Proporcin
1.2.1 Teorema fundamental de las proporciones1.2.2 Propiedades
de las proporciones1.2.3 Clasificacin de las proporciones1.2.4
Serie de razones o proporciones
2. Proporcionalidad2.1 Directa2.2 Inversa2.3 Compuesta
3. Porcentaje3.1 Relacin en porcentajes3.2 Variacin porcentual
(%)3.3 Porcentaje de ganancia (%G) y porcentaje de prdida (%P)3.4
Inters
3.4.1 Inters simple3.4.2 Inters compuesto
Captulo 2: lgebra y FuncionesI. Potencias y races1.
Potencias
1.1 Signos de una potencia1.2 Propiedades
1.2.1 Multiplicacin de potencias1.2.2 Divisin de potencias1.2.3
Potencia de una potencia1.2.4 Potencias de exponente negativo1.2.5
Potencias de exponente cero
1.3 Potencias de base 102. Races
2.1 Propiedades2.1.1 Relacin de la raz y la potencia2.1.2
Multiplicacin de races de igual ndice2.1.3 Divisin de races de
igual ndice2.1.4 Composicin o descomposicin de races2.1.5 Raz de
una raz
2.2 RacionalizacinII. lgebra1. Conceptos importantes
1.1 Trmino algebraico1.2 Expresin algebraica
-
1.2.1 Clasificacin1.2.2 Grado
1.3 Trminos semejantes2. Operaciones algebraicas
2.1 Adicin y sustraccin2.2 Multiplicacin
2.2.1 Productos notables2.3 Factorizacin2.4 Mnimo comn mltiplo
(m.c.m.)2.5 Mximo comn divisor (M.C.D.)
3. Operatoria con fracciones algebraicas3.1 Adicin y
sustraccin3.2 Multiplicacin3.3 Divisin
III. Ecuaciones y sistemas de ecuaciones1. Ecuaciones
lineales
1.1 Ecuaciones de primer grado con coeficientes enteros 1.2
Ecuaciones de primer grado con coeficientes fraccionarios1.3
Ecuaciones fraccionarias de primer grado1.4 Ecuaciones literales de
primer grado
2. Metalenguaje y problemas de planteo3. Sistemas de ecuaciones
lineales
3.1 Mtodos de resolucin3.2 Representacin grfica
IV. Inecuaciones lineales1. Desigualdades
1.1 Propiedades1.2 Intervalos
2. Inecuaciones lineales3. Sistemas de inecuaciones lineales con
una incgnitaV. Relaciones y funciones1. Nociones de conjuntos2.
Relaciones
2.1 Producto cartesiano2.2 Concepto de relacin
3. Funciones3.1 Concepto de funcin3.2 Representacin grfica3.3
Clasificacin de funciones
VI. Funciones de variable real1. Funcin afn2. Funcin parte
entera3. Funcin valor absoluto
3.1 Propiedades del valor absoluto4. Funcin raz cuadrada5.
Funcin cuadrtica
5.1 Grfica5.1.1 Concavidad5.1.2 Eje de simetra y vrtice5.1.3
Interseccin con los ejes
5.2 Ecuacin de segundo grado5.2.1 Propiedades de las races o
soluciones
6. Funcin exponencial6.1 Leyes de crecimiento y decrecimiento
exponencial.
7. Funcin logartmica7.1 Logaritmos
7.1.1 Tipos de logaritmos7.1.2 Propiedades
7.2 Ecuaciones logartmicas y exponenciales7.2.1 Exponencial7.2.2
Logartmica
7.3 AplicacionesCAPTULO 3: GEOMETRAI. ngulos y polgonos1.
ngulos
1.1 Sistemas de medida1.1.1 Unidades de los sistemas1.1.2
Transformacin de un sistema en otro
1.2 Clasificacin de ngulos1.3 Relaciones angulares
-
1.4 ngulos entre paralelas2. Polgonos
2.1 Elementos de un polgono2.2 Clasificacin de polgonos2.3
Generalidades en un polgono convexo de n lados
2.3.1 Nmero de diagonales desde un vrtice2.3.2 Nmero total de
diagonales2.3.3 Suma de los ngulos interiores de un polgono2.3.4
Suma de los ngulos exteriores de un polgono convexo
II. Tringulos1. Elementos primarios2. Teoremas fundamentales3.
Elementos secundarios
3.1 Altura3.2 Bisectriz3.3 Simetral3.4 Mediana3.5 Transversal de
gravedad
4. Generalidades4.1 rea4.2 Permetro
5. Clasificacin de tringulos5.1 Segn sus ngulos
5.1.1 Teoremas en el tringulo rectngulo5.1.2 Relaciones mtricas
en el tringulo rectngulo
5.2 Segn sus lados5.2.1 Propiedades del tringulo equiltero5.2.2
Propiedades del tringulo issceles
III. Trigonometra en el tringulo rectngulo1. Razones
trigonomtricas2. Identidades trigonomtricas3. Aplicaciones
3.1 ngulos de elevacin y de depresin3.2 Valores de las funciones
trigonomtricas para ngulos ms utilizados
IV. Cuadrilteros1. Elementos primarios2. Teoremas
fundamentales3. Clasificacin de los cuadrilteros segn el
paralelismo de sus lados
3.1 Paralelgramos3.2 Trapecios3.3 Trapezoides
V. Circunferencia y crculo1. Elementos2. Generalidades
2.1 Permetros2.1.1 Permetro de la circunferencia2.1.2 Permetro
del sector circular
2.2 reas2.2.1 rea del crculo2.2.2 rea del sector circular
3. ngulos en la circunferencia3.1 ngulo del centro3.2 ngulo
inscrito
3.2.1 ngulo inscrito en una semicircunferencia3.2.2 Cuadriltero
inscrito en una circunferencia
3.3 ngulo semi-inscrito3.4 ngulo interior3.5 ngulo exterior
4. Proporcionalidad en la circunferencia4.1 Teorema de las
cuerdas4.2 Teorema de las secantes4.3 Teorema de la tangente y la
secante4.4 Igualdad de tangentes
VI. Geometra de proporcin1. Congruencia
1.1 Elementos correspondientes en los tringulos1.2 Criterios de
congruencia en tringulos
2. Equivalencia3. Semejanza
3.1 Criterios de semejanza en tringulos
-
3.2 Propiedades de los tringulos semejantes3.3 Teorema de
Thales
3.3.1 Casos particulares del teorema de Thales3.4 Teorema de la
bisectriz
4. Divisin de un segmento4.1 Divisin interior
4.1.1 Seccin urea o divina4.2 Divisin exterior4.3 Divisin
armnica
VII. Cuerpos geomtricos1. Poliedros
1.1 Elementos1.2 Clasificacin
1.2.1 Poliedros regulares1.2.2 Poliedros irregulares
1.3 rea y volumen de algunos poliedros1.3.1 Cubo o hexaedro1.3.2
Paraleleppedo
2. Cuerpos redondos2.1 Cilindro2.2 Cono2.3 Esfera
VIII. Geometra analtica y Transformaciones isomtricas1. Plano
cartesiano
1.1 Definicin1.2 Coordenadas de un punto1.3 Cuadrantes1.4
Distancia y punto medio entre dos puntos
2. La recta2.1 Pendiente2.2 Ecuacin de la recta
2.2.1 Ecuacin general2.2.2 Ecuacin principal
2.3 Posicin relativa entre rectas2.3.1 Rectas coincidentes2.3.2
Rectas paralelas2.3.3 Rectas perpendiculares
3. Transformaciones isomtricas3.1 Traslacin
3.1.1 Propiedades3.2 Rotacin
3.2.1 Propiedades3.3 Simetra
3.3.1 Central3.3.2 Axial3.3.3 Propiedades de las simetras
4. Teselaciones4.1 Teselaciones regulares
5. Homotecia6. Geometra tridimensional
6.1 Plano tridimensional6.2 ngulos diedros6.3 Posicin relativa
de planos y rectas
Captulo 4: Probabilidad y EstadsticaI. Probabilidad1.
Combinatoria
1.1 Principio multiplicativo1.2 Permutaciones
1.2.1 Sin repeticin1.2.2 Con repeticin
1.3 Variaciones1.3.1 Sin repeticin1.3.2 Con repeticin
1.4 Combinaciones1.4.1 Sin repeticin1.4.2 Con repeticin
2. Probabilidades2.1 Definiciones
2.1.1 Experimento aleatorio2.1.2 Espacio muestral (E)2.1.3
Evento o suceso
2.2 Ley de los Grandes Nmeros2.3 Probabilidad clsica o a
priori
-
2.3.1 Diagrama de rbol2.3.2 Tipos de sucesos
2.4 Probabilidad total2.5 Probabilidad condicionada2.6
Probabilidad compuesta
II. Estadstica1. Conceptos bsicos2. Tipos de grficos
2.1 Grficos de barras2.2 Histogramas2.3 Polgonos de
frecuencias2.4 Grficos circulares2.5 Pictogramas
3. Distribucin de frecuencias3.1 Tablas de datos NO agrupados3.2
Tablas de datos agrupados
4. Medidas de tendencia central4.1 Media aritmtica o promedio4.2
Mediana4.3 Moda
5. Medidas de dispersin5.1 Varianza5.2 Desviacin tpica o
estndar
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Captulo 1: Nmeros y ProporcionalidadAprendizajes Esperados
Diferenciar entre nmeros enteros, racionales e irracionales y
aplicar sus propiedades determinando sus caractersticas. Resolver
problemas que involucren operaciones con nmeros enteros, decimales
y fracciones, describiendo y analizando sus procedimientos de
resolucin. Estimar y analizar los resultados en la realizacin de
clculos y ajustarlos a las caractersticas que necesita el problema.
Establecer relaciones de orden y posicin de distintos tipos de
nmeros, utilizando la recta numrica y la inclusin en los
conjuntos.
En la ilustracin se muestra un fragmento de la pintura mural que
adorna la tumba de un prncipe en Tebas, que vivi en tiempos del rey
Tutmosis IV de laXVII dinasta (siglo XV a.C). Seis escribas
contables controlan a cuatro obreros que cuentan el grano pasndolo
de un montn a otro.
I. Conjuntos numricos
1. Nmeros naturales
El conjunto de los nmeros naturales, que designaremos por la
letra IN, corresponde a:
IN = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,...}
Este conjunto tiene algunas caractersticas:
Todo nmero natural tiene un sucesor. El sucesor de un nmero
natural es el nmero aumentado en una unidad. El antecesor de un
nmero naturales el nmero disminuido en una unidad. Por ejemplo: el
sucesor de 27 es 28, el de 501 es 502, etc.
Todo nmero natural, exceptuando el 1, tiene un antecesor. Por
ejemplo: el antecesor de 10 es 9, el de 912 es 911, etc.
El conjunto de los Nmeros naturales es infinito, es decir, no
existe un ltimo nmero natural.
1.1 Pares e impares
Este conjunto se puede separar en dos subconjuntos: los pares y
los impares, y ningn nmero pertenece a ambos.
Los pares son: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18... y los impares
son: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19...
Los conceptos de sucesor y antecesor se pueden tambin
generalizar para los nmeros pares e impares, obteniendo de esta
forma los conceptos de parsucesor, par antecesor, impar sucesor e
impar antecesor. Por ejemplo, el impar sucesor de 37 es 39 y el par
antecesor de 48 es 46.
1.2 Primos
Son aquellos que se pueden descomponer en exactamente dos
factores distintos: el uno y el mismo nmero, es decir, dichos
nmeros se pueden dividirpor uno y por s mismos. Por ejemplo, el 23
es un nmero primo, pues sus factores son exactamente dos, el 1 y el
23. Los primeros nmeros primos son: 2,3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,
29,...
-
Primos relativos o primos entre s son aquellos que, no siendo
primos necesariamente, no tienen factores primos comunes.
Ejemplo:
1) 21 y 25: 21 posee como factores primos el 3 y el 7, 25 posee
al 5.2) 32 y 15: 15 posee como factores primos el 3 y el 5, 32
posee al 2.
Los nmeros primos tienen gran importancia, porque cualquier
nmero natural mayor que uno es primo o se puede expresar como
producto de nmerosprimos. Por ejemplo, el nmero 150 se puede
expresar como 2 3 5 5 o escrito en potencias: 2 3 52.
Esta descomposicin se llama factorizacin prima y tiene
importancia para el estudio de las propiedades de los nmeros; entre
ellas, los divisores de unnmero, el clculo del mximo comn divisor
(M.C.D.) y del mnimo comn mltiplo (m.c.m.).
Para descomponer un nmero en factores primos, procederemos
dividiendo el nmero sucesivamente por los nmeros primos hasta
llegar al ltimo factorprimo, tal como se puede apreciar en el
siguiente ejemplo:
Descomponer el nmero 700 en factores primos:
Por lo tanto, la descomposicin de 700 en factores primos
corresponde a: 2 2 5 5 7, el cual se puede escribir en notacin de
potencias de la siguienteforma: 22 52 7.
1.3 Mltiplos y divisores
En la radio FM Retro, cada 30 minutos se anuncia la hora
mediante una grabacin automtica. Las horas son anunciadas a los 30,
60, 90, 120 minutos,etc., despus de la primera vez. Estos nmeros
corresponden a los mltiplos de 30 y son la multiplicacin de 30 por
los nmeros naturales 1, 2, 3, 4,..., etc.
Un ejemplo de mltiplos de un nmero cualquiera podran ser los
mltiplos del nmero 14, los que se designan con el smbolo M(14) y
corresponde alconjunto: {14, 28, 42, 56, 70,...}
Supongamos que queremos saber si el nmero 168 est o no en este
conjunto. Para ello, deberamos saber si 14 divide exactamente a 168
o no.
Efectivamente, 168 = 14 12; por lo tanto, 168 es mltiplo de 14 y
tambin podemos decir que 168 es divisible por 14. Entonces, los
conceptos de mltiploy divisor estn fuertemente relacionados: si a
es divisor de b, entonces b es mltiplo de a, y viceversa.
Para determinar en forma rpida si un nmero es divisible o no por
otro, existen las llamadas reglas de divisibilidad, algunas de las
cuales se presentana continuacin:
Un nmero es divisible por dos si su ltima cifra es un nmero par
o cero. Ejemplo: 58, ya que 8 es nmero par.
Un nmero es divisible por tres si la suma de sus cifras es
mltiplo de tres. Ejemplo: 42, ya que 4 + 2 = 6 y este es mltiplo de
tres.
Un nmero es divisible por cuatro si las dos ltimas cifras forman
un nmero mltiplo de cuatro o ambos son ceros. Ejemplo: 708, ya que
8 es mltiplo de cuatro.
Un nmero es divisible por cinco si su ltima cifra es cero o
cinco. Ejemplos: 85 y 50.
Un nmero es divisible por seis si es divisible por dos y tres a
la vez. Ejemplo: 42.
Un nmero es divisible por nueve si la suma de sus cifras es un
mltiplo de nueve. Ejemplo: 3.699, ya que 3 + 6 + 9 + 9 = 27 y este
es mltiplo de nueve.
Un nmero es divisible por diez si su ltima cifra es cero.
Ejemplo: 3.840
Los divisores de un nmero los puedes determinar si ocupas las
reglas anteriores o bien si efectas la descomposicin en factores
primos. Por ejemplo,para hallar los divisores de 60, podemos
encontrar su descomposicin en factores primos:
-
Entonces 60 = 3 5 22.
Los nmeros que dividen a 60 son el 1, cada uno de sus factores
primos y todos los productos posibles entre ellos.
El conjunto de los divisores de 60 se puede escribir:D(60) = {1,
2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}
1.4 Mnimo comn mltiplo y mximo comn divisor
El mnimo comn mltiplo (m.c.m.) se puede calcular desarrollando
la descomposicin prima de todos los nmeros y multiplicando todos
los factoresdistintos que aparezcan, elevados cada uno al mayor
exponente que tenga en las descomposiciones.
El mximo comn divisor (M.C.D.) se puede calcular desarrollando
la descomposicin prima y multiplicando posteriormente los factores
comuneselevados cada uno al menor exponente que tenga en las
descomposiciones.A continuacin, te presentamos dos situaciones de
la vida diaria donde se aplica el clculo del mnimo comn mltiplo y
del mximo comn divisor:
Juan compr un vehculo y se dio cuenta de que el cambio de aceite
deba hacerse cada 6.000 km; el cambio de filtro de aceite cada
10.000 km; y larevisin de frenos, cada 12.000 km. Luego se pregunt:
si tuviera que hacer las tres cosas a la vez, en cuntos kilmetros
ms las tendr que realizar?
Al contar determin lo siguiente:
Y luego surgi la respuesta: el nmero corresponde al menor de los
mltiplos comunes, es decir, al m.c.m. (mnimo comn mltiplo).
El clculo del m.c.m. se puede realizar utilizando la
descomposicin en factores primos de los nmeros, es decir:
Ahora, para hallar el m.c.m. se deben multiplicar todos los
factores distintos que aparecen en las descomposiciones, elevados
al mayor exponente queaparezca en cada base.
El primer elemento de este conjunto, es decir, el 1, por
definicin, NO es primo.
Fanny est a cargo del festival del instituto donde estudia y
debe empapelar una parte de una pared con cuadrados de cartulina de
diversos colores.
El pliego de cartulina de color tiene un tamao de 84 por 108 cm
y quiere hacer la menor cantidad de cortes posibles para que no
sobre material en cadapliego. Cunto debe medir el lado de cada
cuadrado para que cumpla con lo anterior?
Para resolver esto, Fanny debera calcular el mximo comn divisor
(M.C.D.) entre 84 y 108.
El clculo del M.C.D. se obtiene al igual que en los ejemplos
anteriores a travs de la descomposicin en factores primos:
Se puede observar que el mayor nmero que divide simultneamente
ambos nmeros es 12, el cual corresponde al M.C.D. Finalmente, Fanny
debercortar trozos de cartulina de 12 por 12 cm para que no le
sobre ningn pedazo y as optimizar la cartulina.
Un nmero se puede escribir de una nica manera como un producto
de nmeros primos.
Ejemplo:
-
1.5 Operaciones en los nmeros naturales
Las operaciones aritmticas que se definen en este conjunto son
las siguientes:
a. Adicin
Sean dos nmeros naturales a y b, la adicin de nmeros naturales
se expresa por: a + b
Propiedades
Nota: No existe elemento neutro para la adicin.
b. Sustraccin
Sean dos nmeros naturales a y b, la sustraccin o diferencia de
nmeros naturales se expresa por a b, con:
c. Multiplicacin
Sean dos nmeros naturales a y b, la multiplicacin o producto de
nmeros naturales se expresa por: a b.
Propiedades
La multiplicacin es distributiva con respecto a la suma, es
decir:
-
d. Divisin
Sean dos nmeros naturales a y b, la divisin de nmeros naturales
se expresa por (a : b), con:
Ejemplo:
Ser divisible significa que el resto es cero y el cuociente
(divisin) no tiene decimales.
2. Nmeros cardinales
Este conjunto se define por:
2.1 Operaciones en los nmeros cardinales
Las operaciones aritmticas que se definen en este conjunto, al
igual que en el conjunto anterior, son las siguientes:
a. Adicin Sean dos nmeros cardinales a y b, la adicin de nmeros
cardinales se expresa por: a + b.
Propiedades:
b. Sustraccin
Sean dos nmeros cardinales a y b, la sustraccin o diferencia de
nmeros cardinales se expresa por (a b), con:
c. Multiplicacin
Sean dos nmeros cardinales a y b, la multiplicacin de nmeros
cardinales se expresa por: a b.
Propiedades:
d. Divisin
Sean dos nmeros cardinales a y b, la divisin de nmeros
cardinales se expresa por (a : b). La divisin por cero no est
definida en este conjunto,luego:
-
3. Nmeros enteros
Los nmeros enteros conforman el conjunto:Z = {..., 3, 2, 1, 0,
1, 2, 3,...}
En el conjunto de los nmeros enteros, los nmeros naturales
corresponden a los nmeros enteros positivos.
En los nmeros naturales y cardinales ya se han descrito las
operaciones aritmticas bsicas, las cuales podemos extender a todo
el conjunto de losnmeros enteros.
Al sumar, restar o multiplicar nmeros enteros, el resultado es
siempre un nmero entero. En cambio, en la divisin no siempre es
as.
3.1 Operaciones en los nmeros enteros
a. Adicin
Sean dos nmeros enteros a y b, la adicin de nmeros enteros se
expresa por: a + b.
La adicin de dos nmeros enteros de igual signo se obtiene
sumando los valores absolutos de cada nmero entero y manteniendo el
signo de lossumandos.
El valor absoluto de un nmero se puede interpretar en la recta
numricacomo la distancia del nmero al cero. Por lo tanto, siempre
es positivo o cero. Larepresentacin del valor absoluto de un nmero
entero se puede establecer a travs de la siguiente regla.
-
La suma de un nmero positivo con uno negativo se obtiene
restando los valores absolutos de cada nmero y colocando el signo
del mayor valorabsoluto.
b. Sustraccin
Sean dos nmeros enteros a y b, la sustraccin o diferencia de
nmeros enteros se expresa por (a b), con:
La anterior definicin determina que en este conjunto siempre
existe un elemento que representa la diferencia entre dos elementos
cualesquiera, es decir,a partir del conjunto de los nmeros enteros
se puede realizar cualquier sustraccin.
Ejemplo:
7 4 = 38 19 = 11
La diferencia entre dos nmeros enteros no es conmutativa, por lo
que tampoco es asociativa.
Ejemplo:
7 4 = 34 7 = 3
c. Multiplicacin
Sean dos nmeros enteros a y b, la multiplicacin de nmeros
enteros se expresa por: a b. Se deben mencionar los siguientes
casos:
El producto de dos nmeros enteros de igual signo se obtiene
multiplicando los nmeros y anteponiendo el signo positivo, es
decir, lamultiplicacin de nmeros enteros de igual signo es siempre
positiva.
El producto de dos nmeros enteros de distinto signo se obtiene
multiplicando los valores absolutos de los nmeros y anteponiendo el
signonegativo, es decir, la multiplicacin de nmeros enteros de
distinto signo siempre es negativa.
Ejemplo:
3(120.000) = 360.000(3)(120.000) = 360.000
Propiedades: Se cumplen las mismas que en IN0
-
d. Divisin
Sean dos nmeros enteros a y b, la divisin de nmeros enteros se
expresa por (a : b).
La divisin, al igual que en los Nmeros Naturales, es la operacin
inversa de la multiplicacin. Es decir, dividir 14 : 2 corresponde a
determinar qunmero multiplicado por 2 da como resultado 14.
Luego, para dividir nmeros enteros se deben dividir los valores
absolutos de los nmeros y asignarles signo de la misma forma que al
multiplicar:
Si se dividen dos nmeros de igual signo, el resultado es
positivo.
Si se dividen dos nmeros de distinto signo, el resultado es
negativo.
En el ejemplo anterior 14 : 2 = 7.
En resumen, se puede establecer una regla de signos para la
multiplicacin y divisin de nmeros enteros, la cual se resume en la
siguiente tabla:
Propiedades: Se cumplen las mismas que en IN0 .
3.2 Prioridad de las operaciones
Al igual que en la operatoria con nmeros naturales y cardinales,
en los nmeros enteros hay algunas operaciones que tienen prioridad
sobre otras. De locontrario, en clculos como 20 : 5 + 7, no se
sabra si calcular primero la divisin o la suma.
En clculos con expresiones que tengan parntesis y operaciones
combinadas, el orden para ejecutar las operaciones es el
siguiente:
1 Las operaciones que estn entre parntesis, partiendo de los
interiores a los exteriores.
2 Potencias.
3 Multiplicaciones y divisiones, de izquierda a derecha.
4 Adiciones y sustracciones, de izquierda a derecha.
4.Nmeros racionales
Son aquellos que se pueden escribir de la forma y pertenecen al
conjunto:
a : numerador (dividendo)b : denominador (divisor)
stos estn formados por todos los nmeros que se pueden escribir
como una fraccin, cuyos numerador y denominador son nmeros enteros,
pero eldenominador es diferente de cero.
Ejemplo:
-
4.1 Propiedades de las fracciones
Amplificar y simplificar fracciones son procedimientos que no
cambian el valor de una fraccin.
Ejemplo:
Simplificar una fraccin es el proceso inverso de amplificar, o
sea, se dividen el numerador y el denominador por un mismo
nmero.
Ejemplo:
El inverso multiplicativo o recproco del nmero
siempre que a y b sean distintos de cero.
La prioridad de operaciones tambin se aplica a la operatoria con
fracciones.
4.2 Operaciones en los nmeros racionales
Sean a, b, c, d diferentes de cero.
No es lo mismo
porque el primero es un producto de un nmero entero por una
fraccin y el segundo un nmero mixto.
4.3 Transformaciones
a. De fraccin a decimal
Para esto basta dividir el numerador por el denominador.
-
b. De decimal finito a fraccin comn
La fraccin que resulta tiene por numerador un nmero sin la coma
y como denominador una potencia de 10, cuyo exponente ser el nmero
total dedecimales.
c. De decimal peridico a fraccin comn
La fraccin resultante tiene como numerador el perodo y como
denominador tantos nueves como cifras tenga el perodo.
Ejemplo:
d. De decimal semiperidico a fraccin comn
La fraccin tiene como numerador un nmero formado por el nmero
sin la coma menos lo que est antes del perodo, y como denominador
un nmerocon tantos nueves como cifras tiene el perodo seguido de
tantos ceros como cifras tenga el anteperodo.
4.4 Comparacin de fracciones
Comparar fracciones significa ordenarlas en forma creciente o
decreciente dos o ms fracciones. Los mtodos ms comunes son:
Multiplicacin cruzada: Este mtodo es conveniente si son pocas
fracciones a comparar.
Ejemplo:
Al comparar
Igualar denominadores: Este mtodo es conveniente utilizar cuando
son varias fracciones a comparar. Se calcula el m.c.m. de los
denominadores ycada fraccin es amplificada para que tenga el mismo
denominador, luego se comparan los numeradores.
Transformar a decimal: Se transforma de fraccin a decimal y
despus se compara decimal a decimal.
Ejemplo:
-
Al comparar decimales el primero es igual para los tres, en el
segundo el 8 es el mayor entonces, es la fraccin mayor y en el
tercer decimal 7 > 0
5. Nmeros irracionales
Las transformaciones anteriores permiten determinar que los
elementos del conjunto de los nmeros racionales se clasifican en
nmeros decimalesfinitos, infinitos peridicos y semiperidicos, los
cuales se pueden tambin representar a travs de una fraccin.
Adems de los nmeros mencionados anteriormente, existen nmeros
decimales que tienen infinitas cifras decimales, sin perodo, los
cuales no sepueden escribir como una fraccin con numerador y
denominador enteros. Estos elementos se llaman nmeros
irracionales.
En resumen, los nmeros Irracionales son todos aquellos que no se
pueden escribir de la forma, con
Propiedades
Una secta matemtica
Nacido en la isla de Samos, Pitgoras habra sido discpulo de
Thales, que enseaba en Mileto, la ciudad vecina. Viaj mucho a
Egipto y a Babilonia,antes de instalarse en una colonia griega del
sur de Italia, Crotona. Fund una secta a la vez cientfica,
religiosa y poltica. Los pitagricos estudiabanmatemtica y msica.
Buscaban la armona universal, explicando el mundo con los nmeros
(enteros), atribuyendo un nombre a cada cosa. Predicabanuna vida
austera; compartan sus bienes y sus descubrimientos cientficos.La
escuela pitagrica, que existi hasta aproximadamente el ao 400 a.C.,
dio origen a la aritmtica. Los pitagricos se consagran
exclusivamente alestudio de los nmeros enteros, que asimilaban a
las figuras geomtricas. El descubrimiento de los irracionales
... que volva imposible esta correspondencia, provoc una gran
crisis entre los pitagricos, el primer drama de la historia de la
matemtica.
6. Nmeros reales
La unin entre los conjuntos de nmeros racionales e irracionales
forma el conjunto de los nmeros reales. La recta numrica nos
permite representareste conjunto, sta est formada por infinitos
puntos. A cada punto sobre la recta le corresponde un nmero real
nico, que se denomina coordenada deese punto. Por esta razn se dice
que existe una correspondencia entre puntos de la recta y los
nmeros reales. Dicha recta se llama recta decoordenadas o recta de
nmeros reales. Finalmente, existe la libertad de tratar los nmeros
reales como puntos sobre dicha recta y viceversa.
6.1 Anlisis de la significacin de las cifras en la resolucin de
problemas
6.1.1 Anlisis de cifras significativas
-
Excepto cuando todos los nmeros de una operacin son enteros
(como, por ejemplo, al contar las aves de un corral), a menudo es
imposible obtener elvalor exacto de la cantidad que se
investiga.
Por este motivo, es importante indicar el margen de error en las
mediciones indicando claramente el nmero de cifras significativas:
dgitosrepresentativos de una magnitud medida o calculada. Cuando se
cuentan las cifras significativas se sobreentiende que el ltimo
dgito es incierto.
Como ejemplo, si una probeta est graduada en mililitros y se
encuentra que el volumen de un lquido es de 6 ml, el volumen real
estar en el intervalo de5 a 7 ml. El volumen del lquido se presenta
como (6 1) ml. En este caso solo hay una cifra significativa, el
nmero 6, que tiene incertidumbre de ms omenos 1. Para mejorar la
medicin se podra utilizar una probeta con divisiones ms finas, de
tal manera que la incertidumbre fuera de solo 0,1 ml si seencuentra
que el volumen del lquido es de 6,0 ml, la cantidad se puede
expresar como (6 0,1) ml, y el valor correcto estar entre 5,9 y 6,1
ml. Se puedecontinuar mejorando las mediciones mediante el empleo
de otros dispositivos y obtener ms cifras significativas. En todo
caso, el ltimo dgito es siempreincierto; el valor de esta
incertidumbre depender del instrumento de medicin.
6.1.2 Normas para el uso de cifras significativasEl anlisis
previo demuestra que en el trabajo cientfico siempre se debe tener
cuidado de anotar el nmero adecuado de cifras significativas. En
general,es bastante fcil determinar cuntas cifras significativas
hay en un nmero si se siguen las siguientes reglas:
a. Cualquier dgito diferente de cero es significativo. As, 845
tiene tres cifras significativas; 1,234 kg tiene cuatro cifras
significativas, etctera.
b. Los ceros ubicados entre dgitos distintos de cero son
significativos. As, 606 m tiene tres cifras significativas; 40.501
tienen cinco cifrassignificativas, etctera.
c. Los ceros a la izquierda del primer dgito diferente de cero
no son significativos. Estos ceros se usan para indicar el lugar
del punto decimal. As,0,08 L tiene una cifra significativa; la
medida 0,0000349 cm tiene tres cifras significativas, etctera.
d. Si un nmero es mayor de 1, todos los ceros escritos a la
derecha del punto decimal cuentan como cifras significativas. As
2,0 mg tiene dos cifrassignificativas; 40,062 ml tiene cinco cifras
significativas; 3,040 tiene cuatro cifras significativas. Si el
nmero es menor de 1, solamente los ceros que estnal final del nmero
o entre dgitos diferentes de cero son significativos. As, la cifra
0,090 kg tiene dos cifras significativas; 0,3005 m/s tiene cuatro
cifrassignificativas y, como ltimo ejemplo, 0,00420 min tiene tres
cifras significativas.
e. Para nmeros sin punto decimal los ceros que estn despus del
ltimo dgito de cero pueden ser o no significativos. As, 400 cm
puede tener unacifra significativa (el dgito 4), dos (40) o tres
(400). No es posible saber cul es la cantidad correcta de cifras
significativas si no se cuenta con mayorinformacin. Sin embargo,
empleando notacin cientfica se puede evitar esta ambigedad. En este
caso particular, el nmero 400 puede expresarsecomo 4 x 102 para una
cifra significativa, 4,0 x 102 para dos y 4,00 x 102 para tres.
El siguiente paso consiste en explicar cmo se manejan las cifras
significativas en los clculos. Es posible formular las siguientes
normas:
1. En la adicin y la sustraccin el nmero de cifras
significativas a la derecha del punto decimal en la cantidad
resultante est determinado por elnmero mnimo de cifras
significativas a la derecha del punto decimal en cualquiera de los
nmeros originales. Por ejemplo:
El procedimiento para redondear es el siguiente: si se desea
redondear un nmero hasta cierto punto, simplemente se eliminan los
dgitos que no deseanconservarse, si el primero, de izquierda a
derecha, de los que se eliminan es menor de cinco (5). As 8,724 se
redondea a 8,72 si solo se quieren doscifras significativas despus
del punto decimal. Si el primer dgito que sigue al ltimo nmero que
se desea conservar es igual o mayor de cinco (5), dichonmero se
incrementa en una unidad. As 8,727 se redondea a 8,73 y 0,425 se
redondea a 0,43.
2. En el caso de la multiplicacin y la divisin, el nmero de
cifras significativas del producto o el del cuociente es igual al
menor nmero de cifrassignificativas en las cantidades
originales.
Por ejemplo:
2,8 4,5039 = 12,61092 se redondea a 13; 6,85 : 112,04 =
0,0611388789 se redondea a 0,0611.
3. Debe tenerse presente que los nmeros exactos obtenidos por
definicin o al contar un nmero de objetos pueden considerarse
constituidos poruna cantidad infinita de cifras significativas. Si
un objeto tiene 0,2786 gramos, entonces la masa de 8 de tales
objetos ser: 0,2786 8 = 2,229 gramos. Eneste caso el producto no se
redondea a una cifra significativa porque el nmero 8 es en realidad
8,0000000.., por definicin. En forma parecida, paracalcular el
promedio de dos longitudes dadas de medidas 6,64 cm y 6,68 cm se
escribe:
porque el nmero 2 es en realidad 2,00000, por definicin.
6.2 Desafos y problemas numricos
6.2.1 Cuadrados mgicosSon cuadrculas de 3 x 3; 4 x 4 de 5 x 5 o,
en general, de n x n.
-
La magia de un cuadrado mgico consiste en que todas las sumas de
los nmeros que all aparecen, ya sea esta suma en forma horizontal,
vertical odiagonal, tienen el mismo resultado, al cual se le llama
constante mgica K.
etc.
El jugar con cuadrados mgicos es muy divertido, pero adems
permite desarrollar los siguientes conceptos y habilidades:
El concepto de orden en los nmeros Naturales. Practicar las
operaciones aritmticas bsicas. Establecer relaciones numricas.
Determinar y crear patrones. Desarrollar estrategias para la
resolucin de problemas. Generalizar. Entender, desarrollar y
aplicar distintos procesos de razonamiento.
6.2.2 Regularidades numricasCorresponden a secuencias numricas
que cumplen patrones
Ejemplos:
En este caso el numerador y el denominador aumentan en una
unidad, por lo tanto, el trmino n-simo o trmino de orden n ser
Esta notacin nos permite calcular el trmino que deseemos, por
ejemplo, ell duodcimo trmino de la secuencia es:
ii) 2, 4, 8, 16, 32...En este caso el n-simo trmino es (2)n
pus(2)1 = 2, (2)2 = 4, (2)3 = 8, (2)4=16, (2)5= 32,por lo tanto, el
dcimo trmino es (2)10 =1.024
En este caso, el n-simo trmino es ms complicado, 3-n si n es
impar y 3n si n es par.
7. Nmeros imaginarios
Los nmeros reales permiten representar infinitos nmeros, pero no
pueden representar las soluciones de ciertas ecuaciones, como, por
ejemplo, lassoluciones de las ecuaciones:
A estos nmeros se les asigna otro conjunto, llamado nmeros
imaginarios, ya que no pueden representarse a travs de nmeros
reales.
Estos nmeros poseen como unidad la solucin de la ecuacinla que
determina la siguiente expresin:
que da origen a la unidad imaginaria
Finalmente, la solucin de la ecuacin es
El conjunto de los nmeros imaginarios se puede representar
por:
donde (0, b) es un par ordenado, que representa el nmero
imaginario bi.
Ejemplos:
-
8. Nmeros complejos
C=IR x II; C: (a,b) = a + bi
Dondea: parte realb: parte imaginariai: unidad imaginaria(a,b):
complejo escrito en forma de par ordenadoa + bi: complejo escrito
en forma binomial
Ejemplo: (3, 4) = 3 + 4i
(a,0): nmero real puro. Ejemplo (2,0)=2 (0,b): nmero imaginario
puro. Ejemplo (0,3)=3i
-
II. Razones, proporciones, porcentajes e inters
1. Razones y proporciones
1.1 Razn
Es la comparacin entre dos cantidades a y b, distintas de cero,
se anota: , o bien a:b, y se lee a es ab.
Es una razn, el numerador (a) es el antecedente y el denominador
(b) es el consecuente.
Ejemplo:
-
La razn entre 36 y 12 es:
Dadas las cantidades a y b, se pueden establecer dos razones a:b
y b:a, generalmente distintas. Por ello, es importante aclarar el
orden en una razn.
1.2 Proporcin
Es una igualdad entre dos razones.
Ejemplo:
La igualdad de fracciones , es una proporcin.
En una proporcin, los trminos a y b se denominan extremos, b y c
son medios.
Tambin se escribe a : b = c : d y se lee: a es a b como c es a
d
1.2.1 Teorema fundamental de las proporcionesLa propiedad
fundamental de las proporciones establece que el producto de los
medios es igual al producto de los extremos; es decir:
a : b = c : d si y solo si a d = b c si y solo si a d = b c
Ejemplo:
Es la expresin 15:18=20:24 una proporcin?
Efectivamente se verifica lo anterior, estableciendo que:15 24 =
18 20 360 = 360
1.2.2 Propiedades de las proporciones
Si entonces se cumple:
Alternando extremos
Invirtiendo
Permutando
Componiendo
Descomponiendo
Componiendo y descomponiendo a la vez
1.2.3 Clasificacin de las proporciones
a. Proporcin discontinua
Es aquella que tiene todos sus trminos desiguales.
-
Se denomina cuarta proporcional a cada uno de los trminos de una
proporcin discontinua.
b. Proporcin continua
Es la que tiene los medios o los extremos iguales:
Se denomina tercera proporcional geomtrica a cada trmino no
repetido de una proporcin continua. 4 es una tercera proporcional
entre 6 y 9.
9 es una tercera proporcional entre 6 y 4.
Se denomina media proporcional geomtrica al trmino que se repite
en una proporcin continua.
6 es la media proporcional entre 4 y 9.
1.2.4 Serie de razones o proporciones
Si tenemos:
podemos escribir:
Esta igualdad de dos o ms razones se llama serie de razones o
serie de proporciones. Se puede escribir tambin como:
Teorema: En una serie de razones iguales, la suma de los
antecedentes es a la suma de los consecuentes como un antecedente
cualquiera es a suconsecuente.
De esto se tiene:
Sumando obtenemos
-
a + c + e = k (b + d + f)
entonces:
2. Proporcionalidad
2.1 Directa
X es directamente proporcional a Y si al aumentar (disminuir) Y,
X aumenta (disminuye) en la misma proporcin.
Esto se escribe:
, con k constante
Ejemplo: Una motocicleta posee un rendimiento de 18,5
km/L.Cuntos litros de bencina consumir en 370 kilmetros?
La relacin de 18,5 km/L indica que por cada 18,5 km consumir un
litro de bencina. El cuociente entre estas cantidades permanece
constante e igual a18,5 (el cual no posee unidad de medida). Por lo
tanto, se trata de una proporcionalidad directa entre las variables
kilmetros y litros:
Por ser sta una proporcin, utilizamos la propiedad
fundamental:
Si dos variables poseen una proporcionalidad directa, la grfica
es un conjunto de puntos que estn en una lnea recta como lo indica
la figura, sin incluirel (0, 0).
En resumen, cuando dos variables estn en proporcionalidad
directa, el cuociente entre sus respectivos valores es constante.
Este cuociente se llamaconstante de la proporcionalidad
directa.
2.2 Inversa
X es inversamente proporcional a Y si al aumentar (disminuir) Y,
X disminuye (aumenta) en la misma proporcin.
Esto se escribe:
, con k constante
Ejemplo: 36 jvenes scouts tienen alimento para 15 das. Si faltan
seis, para cuntos das ms alcanzar el alimento si consumen
diariamente la mismaracin?
El nmero de scouts y la cantidad de das estn en proporcionalidad
inversa y tienen la caracterstica de que una de ellas disminuye y
la otra aumenta conrespecto a la cantidad de alimento disponible,
de modo que el producto entre los valores respectivos de ambas
variables permanece constante. Luego,sea x el nmero de das:
Entonces, alcanzar para 3 das ms.
-
Cuando dos variables estn en proporcionalidad inversa, la grfica
es un conjunto de puntos que estn en una curva denominada
hiprbola.
En resumen, cuando dos variables estn en proporcionalidad
inversa, el producto de sus respectivos valores es constante. Este
producto se denominaconstante de la proporcionalidad inversa.
2.3 CompuestaEn este tipo de proporcionalidad estn los dos tipos
antes mencionados, pero en vez de dos variables hay tres.
Para determinar la constante de proporcionalidad, se comparan
las variables de dos en dos. De esta manera, la tercera queda como
constante. Se hacevariar una de ella y se observa qu pasa con la
otra (con respecto a la proporcionalidad). Si A y B son
directamente proporcionales y A con C soninversamente
proporcionales, entonces la constante de proporcionalidad es
Ejemplo:
5 pasteleros fabrican en 8 horas 10 tortas de matrimonio. Cuntos
pasteleros se necesitan para fabricar 3 tortas de matrimonio en 6
horas?
Sean P: Nmero de pasteleros H: Nmero de horas T: Cantidad de
tortas de matrimonio
Al comparar P con H: Si aumentan los pasteleros, disminuye el
nmero de horas al fabricar la misma cantidad de tortas
(inversa).
Al comparar P con T: Si aumentan los pasteleros, aumenta la
cantidad de tortas que se fabricar en la misma cantidad de horas
(directa).
Se necesitan 2 pasteleros.
3. Porcentaje
Es comn en los fines de temporada encontrar grandes letreros
publicitando liquidaciones en las tiendas comerciales.
Qu significa la informacin presente en este letrero?
-
En este caso el total se divide en 100 partes de las cuales se
rebajarn 40 de estas partes. Si un artculo costaba $ 10.000, al
dividirlo en 100 partes cadauno vale
Luego se descontarn 40 de estas partes o se cancelar el resto de
ellas, es decir, las 60 partes restantes.
El porcentaje es un tipo de proporcionalidad directa, pues el a%
significa dividir la cantidad en 100 partes y se toman a de
ellas.
a%: se lee el a por ciento, 25% se lee el 25 por ciento
Ejemplo:
Resumiendo, sacar un tanto por ciento de una cantidad se llama
sacar porcentaje
3.1 Relacin en porcentajes
Con esta igualdad se puede obtener:
Porcentaje de un nmero: Cul es el a% de N?
Ejemplo: Calcular el 20% de $ 3.600
Un nmero, conocido un porcentaje de l: De qu nmero p es el
q%?
Ejemplo: Calcular la edad de la mam de Jaime que tiene 4 aos,
cuya edad es el 12,5% de la edad de su mam.
La mam de Jaime tiene 32 aos.
Relacin porcentual: Qu porcentaje es a de b?
Ejemplo: En una tienda comercial todas las poleras estaban
rebajadas. Si una polera me cost $ 12.750 y costaba $ 15.000, cul
fue el porcentaje dedescuento?
-
La polera fue rebajada en un 15%.
Porcentajes sucesivos
Se calculan porcentajes de porcentajes
Cul es el a% del b% del c% del... de N?
Ejemplos:
Calcular el 25% del 50% del 75% de 8.000
En una universidad, el 40% de los alumnos son mujeres y de ellas
el 30% son alumnas de primer ao. Si las alumnas que no estn en
primer ao son560, cuntos alumnos (hombres y mujeres) tiene la
universidad?
x: total de alumnos
La universidad tiene 2.000 alumnos.
3.2 Variacin porcentual (%)
con:
Ci = Cantidad InicialCf = Cantidad Final
Ejemplo:
Al comienzo del verano, una empresa de buses interprovinciales
sube los pasajes a una cierta ciudad de $ 1.800 a $ 2.250. Cul es
la variacinporcentual?
La variacin es de un 25%.
3.3 Porcentaje de ganancia (%G) y porcentaje de prdida (%P)
-
Sea Pc: Precio de compra y Pv: Precio de venta, donde Pv = Pc +
G
Pv Pc : Indicar ganancia si es mayor que cero y ser prdida si es
menor que cero
3.4 Inters
Inters es una forma de pago por el uso del dinero segn tiempo.
Cuando pedimos dinero prestado, comnmente debemos pagar algn
dinero, o inters,por el uso de l. Cuando ahorramos dinero en el
banco, este nos paga un inters.
El dinero es un medio de intercambio entre personas, entre
instituciones y entre personas e instituciones; por lo tanto, el
dinero es un bien y un producto y,como tal, se posee, se adquiere,
se presta y se invierte.
Los bancos e instituciones financieras ofrecen guardar y/o
prestar dinero. Una de sus principales funciones es prestar dinero
a las personas y empresas,en otras palabras, otorgar crditos. Es
decir, facilitar dinero para comprar y/o invertir, haciendo
adquirir una deuda que deber ser cancelada dentro de uncierto
plazo, bajo condiciones de pago de las instituciones.
El crdito conlleva aplicar una tasa de inters a las operaciones
de prstamo de dinero.
El inters simple y el inters compuesto son los ms usados en
estas operaciones. El monto solicitado ms el inters es la suma
total del dinero quese adeuda. Esta suma se divide en los periodos
en que se cancelar. Este cuociente es el valor de la cuota que se
debe cancelar en los periodosacordados.
3.4.1 Inters simple
Inters simple es el que se obtiene cuando los intereses
producidos se deben nicamente al capital inicial.
con:
K: capital inicialn: perodosC: capital acumulador: tasa de
inters simple
Ejemplo: Calcular el capital acumulado al cabo de tres meses a
una tasa de inters simple mensual (r) del 10% sobre un capital
inicial (K) de $ 5.000.
Aplicando la frmula:
Finalmente, el capital acumulado al cabo de tres meses
corresponde a $ 6.500.
3.4.2 Inters compuestoEs el que se obtiene cuando al capital se
le suman peridicamente los intereses producidos. As, al final de
cada perodo, el capital que se tiene es elcapital anterior ms los
intereses producidos en dicho perodo.
con:
K:capital iniciali: tasa de inters compueston: perodosC: capital
acumulado
Ejemplo: Calcular el capital acumulado al cabo de 3 meses a una
tasa de inters compuesto (i) 10% sobre un capital inicial (K) de $
5.000.
-
Capital acumulado al primer mes:C1 = 5.000 + 5.000 0,1 = $
5.500
Capital acumulado al segundo mes:C2 = 5.500 + 5.500 0,1 = $
6.050
Capital acumulado al tercer mes:C3 = 6.050 + 6.050 0,1 = $
6.655
o bien por frmula:
Finalmente, el capital acumulado al cabo de tres meses
corresponde a $ 6.655.
-
Captulo 2: lgebra y FuncionesAprendizajes Esperados Expresar en
forma algebraica categoras de nmeros, valorando el nivel de
generalizacin que permite el lenguaje algebraico y su poder de
sntesis. Explicar y expresar algebraicamente relaciones
cuantitativas incluidas en problemas y desafos.
-
Resolver problemas de planteo, analizando posteriormente la
pertinencia de las soluciones. Analizar frmulas e interpretar las
variaciones que se producen por cambios en las variables.
Representar informacin en forma cuantitativa a travs de grficos y
esquemas; analizar invariantes relativas a desplazamientos y
cambios de
ubicacin. Aplicar y ajustar modelos matemticos para la resolucin
de problemas y el anlisis de situaciones concretas. Reconocer y
utilizar conceptos matemticos asociados al estudio de la ecuacin de
la recta y de las funciones cuadrtica, entera, valor absoluto,
exponencial y logartmica. Analizar comportamiento grfico y
analtico de las funciones.
Matemtico, astrnomo y gegrafo musulmn, Abu Abdal Mohamed Ben
Musa Al Juarism (Abu Yafar), vivi aproximadamente entre 780 y
850.Debemos a su nombre y al de su obra principal, Hisab al yabr ua
al muqabala, nuestras palabras lgebra, guarismo y algoritmo. De
hecho, esconsiderado como el padre del lgebra y como el introductor
de nuestro sistema de numeracin.
I. Potencias y races
1. Potencias
Una potencia corresponde a una multiplicacin reiterada de
trminos o nmeros iguales. El trmino o nmero que se va multiplicando
se llama base y lacantidad de veces que se multiplica dicha base se
llama exponente. La definicin anterior se puede expresar en forma
general por:
En el ejemplo anterior, la base es 2 y la cantidad de veces en
que se multiplica la base es 3, es decir, 3 es el exponente.
En resumen, una potencia se puede escribir como una
multiplicacin iterada.
1.1 Signos de una potencia
Si el exponente es par
Si el exponente es par, entonces el resultado es siempre
positivo (siempre que la base no sea cero):
Si el exponente es impar
Si el exponente es impar, entonces el resultado mantiene el
signo de la base:
Si el exponente es negativo
-
1.2 Propiedades
1.2.1 Multiplicacin de potencias
a. De igual base
Se conserva la base y se suman los exponentes.
b. De igual exponente
Se multiplican las bases y el resultado se eleva al
exponente.
Ejemplo:
En el ejercicio: 85 42 22, el 4 y el 2 tienen igual exponente,
entonces 42 22 = (4 2)2 = 82
Por lo tanto:
85 42 22 = 85 82 (Multiplicacin de potencias de igual base) = 85
+ 2 = 87
1.2.2 Divisin de potencias
a. De igual base
Se conserva la base y se restan los exponentes.
Como fraccin
Ejemplo:
b. De igual exponente
Se dividen las bases y el resultado se eleva al exponente.
Como fraccin
-
Ejemplo:
, por divisin de potencias de igual exponente:
, entonces:
, por divisin de potencias de igual base:
Por lo tanto,
1.2.3 Potencia de una potenciaSe deben multiplicar los
exponentes.
Ejemplo:
(82)4 26, se tiene que:
26 = 23 2 = (23)2 = 82, y tambin (82)4 = 82 4 = 88 entonces:
(82)4 26 = 88 82 = 88 + 2 = 810
El resultado de 810 tambin se puede presentar como potencia de
base 2, ya que 8 = 23, entonces
810 = (23)10 = 23 10 = 230.
1.2.4 Potencias de exponente negativoEn forma general,
corresponde al recproco de la base (inverso multiplicativo) y se
cambia el signo del exponente.
Con base entera
Con base fraccionaria
Ejemplo:
, por potencia de exponente negativo, se tiene
entonces
por multiplicacin de potencias de igual exponente:
-
1.2.5 Potencias de exponente ceroEl resultado es uno, siempre
que la base no sea cero:
La potencia de exponente cero se aplica por la divisin ante dos
cantidades iguales:
1.3 Potencias de base 10
a. Exponente positivo
Entonces:
Se toma la cantidad significativa del nmero y se multiplica por
10n siendo n el nmero de ceros que se dejan de anotar.
Ejemplo:
b. Exponente negativo
Entonces:
-
Se toma la cantidad significativa y se multiplica por 10-n,
siendo n el nmero de decimales que tiene la cifra. Ejemplo:
-
2. Races
Una raz corresponde a un nmero que, al multiplicarse por s mismo
la cantidad de veces que indique el ndice, se obtiene la cantidad
subradical.
-
x es la raz ensima de c, donden: ndicec: cantidad subradical
Ejemplo:
4 es la raz cbica de 64
2.1 Propiedades
2.1.1 Relacin de la raz y la potenciaUna raz siempre se puede
escribir como potencia de la siguiente manera:
Ejemplo:
De esta propiedad se pueden extraer ciertas conclusiones:
El ndice y el exponente del subradical son simplificables entre
s:
El ndice y el exponente del subradical son amplificables entre
s:
2.1.2 Multiplicacin de races de igual ndiceSe conserva el ndice
y se multiplican los subradicales:
Ejemplo:
como no tienen igual ndice, entonces se puede amplificar para
igualarlos.
2.1.3 Divisin de races de igual ndice
Se conserva el ndice y se dividen los subradicales:
2.1.4 Composicin o descomposicin de racesa. Composicin
Un factor puede ingresar a una raz si lo elevo al ndice de ella
(ingresa como factor del subradical).
Ejemplo:
-
b. DescomposicinUn factor puede salir de una raz si dicho factor
tiene raz exacta.
Ejemplos:
2.1.5 Raz de una razSe deben multiplicar los ndices.
Ejemplo:
2.2 Racionalizacin
Consiste en dejar el denominador de una fraccin en forma
racional, es decir, sin races. Al racionalizar el valor de la
expresin no vara pues se multiplicapor un uno especial.
Caso 1: Raz cuadrada: Se debe amplificar por la misma raz.
Ejemplo:
Caso 2: Raz no cuadrada: Se debe amplificar por una raz de igual
ndice, preocupndose de igualar el exponente del subradical con el
ndice dela raz.
Ejemplo:
Caso 3: Racionalizar un binomio con races cuadradas: Se debe
amplificar por el conjugado del binomio.
Ejemplo:
-
II. lgebra
-
La rama de la matemtica que permite modelar situaciones a travs
de generalidades literales, se conoce con el nombre de lgebra. El
lenguaje queocupa el lgebra permite realizar representaciones a
travs de factores literales, coeficientes numricos y relaciones
matemticas de la Aritmtica.
El lenguaje algebraico es el lenguaje del lgebra, el cual
permite representar cantidades por medio de letras y, de esta
forma, generalizar variadassituaciones, como por ejemplo los
problemas de enunciado matemtico.
1. Las calificaciones de un estudiante son 6,4 y 6,2. Qu nota
debe sacarse en un tercer control para que su promedio sea de
6,5?
2. Una tienda est liquidando su mercadera y anuncia que todos
sus precios fueron rebajados un 20%. Si el precio de un artculo es
$ 28.000, cul erasu precio antes de la liquidacin?
3. A la presentacin de una pelcula asistieron 600 personas. El
valor de boletos para adultos fue de $ 5.000 mientras que los nios
pagaron solo $ 2.000.Si los ingresos de boletera fueron de $
2.400.000, cuntos nios asistieron a la premiere?
4. Si se espera que la poblacin P de una ciudad crezca de
acuerdo a , en donde t est en minutos, hallar cundo se espera que
lapoblacin alcance 20.000 personas.
1. Conceptos importantes
1.1 Trmino algebraico
Es una relacin entre nmeros y letras donde intervienen
operaciones como multiplicacin, divisin, potencias y/o races (no se
incluyen sumas nirestas). Consta de un factor numrico denominado
coeficiente y un factor literal.
Ejemplos:
1.2 Expresin algebraica
Combinacin de nmeros y letras relacionados entre s mediante
operaciones aritmticas como sumas y/o restas.
Ejemplos:
1.2.1 Clasificacina. MonomioExpresin algebraica constituida por
el producto de un nmero (coeficiente) y/o variables representadas
por letras, que consta de un solo trmino.
Ejemplos: x2, 6a, 7xy.
Si un monomio no tiene escrito su coeficiente numrico, entonces
su valor es 1.
Ejemplos: a2 = 1a2, m3x2y = 1m3x2y1
b. Polinomio
Expresin algebraica construida por una suma de varios monomios.
Cuando se dice suma de monomios, est incluido el caso de las
diferencias entreellos, que consta de dos o ms trminos.
Binomio: Expresin algebraica obtenida por la suma de dos
monomios. Ejemplos:
-
Trinomio: Expresin algebraica obtenida por la suma de tres
monomios.
Ejemplos:
1.2.2 Gradoa. De un trmino algebraico
Este puede ser relativo o absoluto:
Relativo: Est dado por el exponente de la variable considerada.
Absoluto: Est dado por la suma de los exponentes de las
variables.
Ejemplo: 5x2y3es de 2 grado con respecto a la variable x.es de
3er grado con respecto a la variable y.es de 5 grado absoluto con
respecto a la variable x e y.
El exponente 1 no se escribe. Debe tenerlo presente cuando
calcule el grado de un polinomio.
Ejemplos: y = y1, x2ym = x2y1m1
b. De un Polinomio
Relativo: Est dado por el mayor exponente de una variable
considerada. Absoluto: Est dado por el mayor grado absoluto de sus
trminos o por la suma de los exponentes de las variables.
Ejemplo: 17x2y 3x3 + 5y4 2x2y3
es de grado 3 con respecto a x es de grado 4 con respecto a y es
de 5 grado absoluto.
1.3 Trminos semejantes
Son aquellos trminos o monomios que tienen los mismos factores
literales e igual exponente.
Ejemplo: Los trminos 8a3b2 y 5a3b2, son semejantes. Los trminos
2x2 y 5x3, no son semejantes. Los trminos x2, 3x2 y 0,5x2, son
semejantes.
Los trminos semejantes siempre se pueden reducir a un solo
trmino y para ello se suman o restan los coeficientes numricos,
segn corresponda, y seconserva la parte literal. Los trminos que no
son semejantes no se pueden reducir a un solo trmino.
2. Operaciones algebraicas
2.1 Adicin y sustraccinSolo pueden ser sumados o restados los
trminos semejantes, o sea, aquellos que tienen igual parte no
numrica, llamada tambin literal.Ejemplo: xy2 + 2xy2 = 3xy2
Sumar dos polinomios (sumandos) significa obtener un nuevo
polinomio (suma), escribiendo un polinomio a continuacin del otro,
conectados con unsigno ms, y reduciendo sus trminos semejantes,
cuando existan.
Ejemplos:
El inverso aditivo de un polinomio se obtiene cambiando los
signos de sus trminos.
Ejemplo: El inverso aditivo de
-
Recuerda que la resta de enteros est definida por
De la misma forma se define la resta de polinomios, lo que
significa que para restar se escribe el polinomio minuendo con sus
propios signos y se suma elpolinomio sustraendo con los signos
cambiados, reduciendo los trminos semejantes, si los hay.
Ejemplo:
2.2 Multiplicacin
a. Multiplicacin de monomios
Para multiplicar monomios por monomios se multiplican los
coeficientes numricos y las partes literales entre s.
Ejemplos:
b. Multiplicacin de monomios por polinomios
La multiplicacin de un monomio por un polinomio es una
consecuencia directa de la propiedad distributiva de la
multiplicacin con respecto a la suma,es decir, para multiplicar un
monomio por un polinomio se multiplica el monomio por cada uno de
los trminos del polinomio.
Ejemplos:
c. Multiplicacin de polinomios por polinomios
Para multiplicar un polinomio por otro polinomio se multiplica
cada uno de los trminos del primer polinomio por cada uno de los
trminos del segundopolinomio.
Ejemplo:
Se sugiere recordar los productos notables para agilizar la
resolucin de problemas algebraicos.
2.2.1 Productos notablesSon aquellos cuyos factores cumplen
ciertas caractersticas que permiten que su resultado pueda ser
escrito sin realizar todos los pasos de lamultiplicacin.Los
productos notables son:
Algunos productos notables se pueden determinar
utilizandogeometra.
Ejemplo: El cuadrado de un binomio se puede representar por el
rea formada por un cuadrado cuyo lado es el binomio.
-
2.3 Factorizacin
Factorizar una expresin algebraica (o suma de trminos
algebraicos) consiste en escribirla en forma de multiplicacin. Las
formas ms comunes defactorizacin son:
a. Factor comn monomio
Se factoriza por un trmino comn entre los factores de la
expresin.
Ejemplo:
b. Factor comn polinomio
No todos los trminos de una expresin algebraica contienen
factores comunes, pero realizando una adecuada agrupacin de ellos,
se puede encontrarfactores comunes de cada grupo.
Ejemplo:
c. Resultado de productos notables
Diferencia de cuadrados: El producto de una suma de dos trminos
por su diferencia es igual a la diferencia de los cuadrados de
ambos trminos.
Ejemplos:
Trinomios ordenados: Un trinomio ordenado (segn el grado) es una
expresin de la forma ax2 + bx + c, donde a, b y c representan
nmeros reales.
Los trinomios ordenados ms utilizados son de la forma (x2 + bx +
c) cuya factorizacin ser de la forma
x2 + bx + c = (x + m)(x + n) tal que m + n = b y m n = c
Los siguientes ejemplos ayudan a entender este tipo de
factorizacin.
Dos nmeros que multiplicados den 6 y sumados den 5
Dos nmeros que multiplicados den 24 y sumados den 14
-
Dos nmeros que multiplicados den 20 y sumados den 8
Dos nmeros que multiplicados den 21 y sumados den 4
Sumas o diferencias de cubos:
Los factores de una diferencia de cubos son:
Los factores de una suma de cubos son:
Ejemplo:
2.4 Mnimo comn mltiplo (m.c.m.)
a. Entre monomios
Se determina el m.c.m. entre los coeficientes numricos y luego
el de los literales. Para este caso, ser el literal con mayor
exponente.
b. Entre polinomios Para este caso es conveniente factorizar
previamente, como se hace a continuacin.
Deben estar presente en el m.c.m. cada una de las expresiones
resultantes en la factorizacin y si estn repetidas, la de exponente
mayor.
2.5 Mximo comn divisor (M.C.D.)
a. Entre monomios
-
Se determina el M.C.D. entre los coeficientes numricos y luego
el de los literales.
b. Entre polinomios Al igual que en el m.c.m., tambin es
conveniente factorizar:
Corresponde a la o las expresiones algebraicas repetidas en
ambos polinomios, pero la de exponente menor.
3. Operatoria con fracciones algebraicas
Sumar, restar, multiplicar o dividir fracciones algebraicas se
realiza de la misma manera que con nmeros fraccionarios.
3.1 Adicin y sustraccin
Si los denominadores son iguales:
Ejemplo:
Si los denominadores son diferentes, primero debe calcularse el
m.c.m. de los denominadores.
Ejemplo:
En algunos casos, es conveniente observar los denominadores y
factorizarlos para buscar el m.c.m.
Ejemplo:
3.2 MultiplicacinAntes de multiplicar las fracciones
algebraicas, conviene factorizar sus numeradores y denominadores,
pues generalmente se simplifican algunasexpresiones. Una vez hechas
las simplificaciones (si es que las hubo) se multiplican las
expresiones en forma horizontal.
Ejemplos:
-
3.3 Divisin
La divisin de expresiones algebraicas fraccionarias se efecta
igual que con fracciones numricas, ocupando adems las
factorizaciones anteriores.
Ahora bien, el caso ms general es una divisin de polinomios,
como la que se muestra a continuacin.
Ejemplo:
-
III. Ecuaciones y sistemas de ecuaciones
1. Ecuaciones lineales
-
Una ecuacin es una igualdad que contiene una o ms cantidades
desconocidas llamadas incgnitas o variables.
Resolver una ecuacin significa encontrar el valor de la incgnita
(variable) que hace verdad la igualdad que la contiene, es decir,
se busca el valor de laincgnita que convierta la ecuacin en una
identidad. Dicho valor se dice que es solucin de la ecuacin.
En la resolucin de una ecuacin, se deben considerar las
siguientes propiedades:
Al sumar o restar una misma cantidad a ambos lados de una
igualdad, sta se mantiene. Al multiplicar o dividir ambos lados por
una misma cantidad (distinta de cero), la igualdad se mantiene.
En general, para resolver una ecuacin se tiene que despejar la
incgnita. Para ello deben efectuarse operaciones que permitan
eliminar trminos ocoeficientes hasta lograr despejarla.
Ejemplos:
Restar 3x, a ambos lados, para agrupar la incgnita.
Restar 9, a ambos lados, para despejar 4x.
Dividir por 4, a ambos lados, para despejar x.
Eliminar parntesis.
Reducir trminos semejantes.
Restar 2x a ambos lados.
Dividir por 8 ambos lados.
Simplificar la fraccin.
La solucin es .
Hay ecuaciones tales como: 4 (x + 5) = 9x (5x 7), que al
resolverlas conducen a un resultado falso, 20 = 7. En este caso, no
existe un valor que lassatisfaga, es decir, no tiene solucin.
Hay ecuaciones tales como: 2 (3x 8) = 10x (4x + 16), que al
resolverlas conducen a un resultado siempre cierto, 16 = 16. En
este caso, todo valorque se asigna a x satisface la ecuacin, por lo
tanto, tiene infinitas soluciones.
En la mayora de los casos, el nmero de incgnitas determina el
nmero de ecuaciones que se deben utilizar para determinar el valor
de stas.Adems, el exponente que posea la incgnita determina la
cantidad de soluciones posibles que se pueden encontrar para dicha
incgnita, es decir, si laincgnita est al cuadrado se buscan dos
posibles valores para ella, si posee exponente tres, se buscan tres
posibles soluciones y as sucesivamente.
1.1 Ecuaciones de primer grado con coeficientes enteros
Ejemplos:
Resolver la ecuacin 5x + 3 = 12Debemos despejar x, para ello
restamos 3 en ambos miembros:
Dividimos ambos miembros por 5
Efectuamos las operaciones, entonces:
Verificamos:
-
Resolver la ecuacin 9 2x = 9x 13Despejamos x. Para ello sumamos
13 y sumamos 2x en ambos miembros.9 2x + 2x + 13 = 9x 13 + 13 +
2x
Efectuamos las operaciones:
9 + 13 = 9x + 2x22 = 11x
2 = x
1.2 Ecuaciones de primer grado con coeficientes
fraccionarios
Ejemplo: Resolver la ecuacin
El mtodo ms conveniente para resolver este tipo de ecuaciones es
multiplicar ambos miembros de la ecuacin por el m.c.m. De esta
forma, se obtieneuna ecuacin equivalente con coeficientes
enteros.
El m.c.m. entre 4, 20, 5 y 16 es 80. Luego:
Simplificando se obtiene:
Resolviendo se obtiene:
1.3 Ecuaciones fraccionarias de primer grado
Ejemplo:
, x debe ser distinto de 1 y de 1,
ya que para estos valores las fracciones se indeterminan. Estos
valores no pueden considerarse como solucin de la ecuacin.
El m.c.m. entre:
Luego, multiplicando por (x + 1)(x 1) cada uno de los trminos y
simplificando se obtiene la ecuacin equivalente:
Resolviendo esta ecuacin se tiene:
Luego, 10 s es solucin, ya que es distinto de 1 y de 1.
1.4 Ecuaciones literales de primer grado
Ejemplo:
x + m(mx + 1) = (1 + m) m(2x 1)
Resolvemos los parntesis y reducimos trminos semejantes.
-
x + m2x + m = 1 + m 2mx + mx + m2x + m = 1 + 2m 2mx
Agrupando los trminos que contienen x en el primer miembro y los
que no la contienen en el segundo.
x + m2x + 2mx = 1 + 2m m
Factorizamos ambos miembros:
x(1 + 2m + m2) = 1 + mx(1 + m)2 = 1 + m
Dividimos ambos miembros por (1 + m)2:
2. Metalenguaje y problemas de planteo
Si x representa un nmero, entonces:
El doble de x: 2x
La tercera parte de x:
Los cinco cuartos de x:
El triple de x: 3x
El cudruple de x: 4x
El cuadrado de x: x2
El consecutivo o sucesor de x:
El anterior o el antecesor de x:
Tres nmeros consecutivos: (n 1), n, (n + 1)
Tres pares consecutivos: (2n 2), 2n, (2n + 2) o x 2, x, x +
2
Tres impares consecutivos: (2n 1), (2n + 1), (2n + 3) o x 2, x ,
x + 2
Cmo debe empezar a trabajar con un problema verbal?
1 Lea todo el problema para ver de qu tipo es y de qu se
trata.
2 Busque la pregunta al final del problema. A menudo esto aclara
qu es lo que se est resolviendo, y en qu ocasiones son dos o tres
cosas.
3 Empiece el problema diciendo sea x = algo (generalmente la
incgnita se representa con x); x es lo que se intenta encontrar, y
suele expresarse enla pregunta que se plantea al final del
problema. Es preciso indicar y etiquetar qu representa x en cada
problema para que la(s) ecuacin(es) tenga(n)significado.
4 Relea el problema y detngase en cada dato o informacin. Los
problemas sencillos generalmente contienen dos enunciados. Uno de
ellos ayuda adeterminar las incgnitas; el otro proporciona datos
y/o vnculos para expresar lo escrito en forma de ecuaciones y/o
smbolos (metalenguaje). Debetraducir el problema de datos a smbolos
dato por dato, es decir, plantear el problema.
5 Cuando sea preciso hallar ms de una cantidad o incgnita,
intente determinar la incgnita que sea ms fcil de despejar.
Ejemplos:
-
Hallar tres nmeros consecutivos que al sumarlos den 102.Si
llamamos x al primer nmero, el siguiente es (x + 1) y el que sigue
es (x + 2).
Como los tres nmeros suman 102, podemos decir que:
Si x = 33, entonces:
Respuesta: Los nmeros pedidos son 33, 34 y 35.
Como alternativa de solucin se puede utilizar el concepto de que
si la cantidad de nmeros es impar, la suma dividida por el nmero de
elementos dacomo resultado el trmino central, y si hay una cantidad
par de nmeros, la misma operacin entrega el nmero que est entre los
dos centrales.Utilizando el mismo ejemplo.
102 : 3 = 34, como es el trmino central, entonces los nmeros
buscados son 33, 34 y 35.
En una granja, hay 5 conejos ms que patos y 3 gansos ms que
conejos. Si en total hay 55 animales, cuntos conejos, patos y
gansos hay?
Sea x el nmero de patos, entonces:(x + 5) ser el nmero de
conejos y(x + 5 + 3) ser el nmero de gansos
Como en total hay 55 animales, podemos decir que:
Respuesta: Hay 14 patos, 19 conejos y 22 gansos.
Si el cuadrado del antecesor de un nmero excede en 8 al cuadrado
del nmero menos 5 unidades, cul es el nmero?
El problema plantea que (x 1)2 excede en 8 a (x 5)2, es
decir:
(x 1)2 = (x 5)2 + 8:
Resolviendo esta ecuacin se tiene:
Respuesta: El nmero pedido es 4.
3. Sistemas de ecuaciones lineales
Dos o ms ecuaciones forman un sistema de ecuaciones
lineales.
Todo sistema de ecuaciones lineales con dos incgnitas puede
escribirse de la forma:
Donde x e y son las incgnitas, y a, b, c, d, e y f son
coeficientes reales. La solucin de un sistema compatible es el par
ordenado (x, y) de nmerosreales que satisface ambas ecuaciones.
3.1 Mtodos de resolucin
a. Sustitucin
Consiste en despejar una incgnita de una de las ecuaciones y
sustituirla en la otra ecuacin
Ejemplo:
-
Solucin
Reemplazando en (2):
Reemplazando en
b. Reduccin
Consiste en igualar los coeficientes de una misma incgnita en
ambas ecuaciones y, enseguida, sumar o restar las ecuaciones, de
modo que se eliminenlos trminos cuyos coeficientes se igualaron.
Ejemplo:
Solucin
Sumando
Reemplazando en (2)
c. Igualacin
Consiste en despejar la misma variable de ambas ecuaciones del
sistema. Una vez despejada, se igualan los resultados, despejando
la nica variableque queda. El resultado obtenido se reemplaza en
cualquiera de las ecuaciones originales del sistema o en alguno de
los despejes realizados.
Ejemplo:
-
Solucin
Despejando x de ambas ecuaciones, se tiene:
Igualando las ecuaciones:
Reemplazando en (1):
d. Algoritmo de Crmer
En el sistema general de dos ecuaciones con dos incgnitas:
los valores de x e y se pueden calcular aplicando las siguientes
frmulas:
Este mtodo es conveniente utilizar si nos preguntan por el tipo
de solucin del sistema, el que se puede detallar como:
1. Si El sistema tiene una solucin.2. Si El sistema no tiene
solucin o tiene infinitas soluciones.
a) No tiene solucin: si
b) Infinitas soluciones: si
Ejemplo:
En este sistema
Calculando
Para determinar si son infinitas o no tiene solucin, se
calcula
-
luego el sistema no tiene solucin.
e. Incgnita auxiliar
Otra forma de resolver los sistemas de ecuaciones es a travs de
incgnitas auxiliares, si el sistema no posee coeficientes enteros o
racionales, es decir,si las variables se encuentran escritas de una
forma tal que no se parezcan al sistema analizado
anteriormente.
Ejemplo: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
Para simplificar este sistema, asignaremos las incgnitas
auxiliares:
Reemplazando estas incgnitas obtenemos un nuevo sistema:
Al resolver el nuevo sistema, se obtienen los valores de las
incgnitas auxiliares:
Reemplazando en obtenemos:
por lo cual
Del mismo modo, reemplazamos en y obtenemos:
por lo cual
3.2 Representacin grfica
Para el ejemplo:
encontramos que su solucin viene dada por un punto que
corresponde a la interseccin de dos rectas representadas por las
ecuaciones del sistema.
Ahora bien, cada ecuacin del sistema representa en el plano XY
una recta o funcin de 1er grado (y = mx + n)
-
Si las graficamos
Nota: Estos grficos no estn a escala
Por lo tanto, la solucin de un sistema de ecuaciones de 1er
grado nos entrega el punto de interseccin de las dos rectas
asociadas.
-
IV. Inecuaciones lineales
1. Desigualdades
Una desigualdad es una relacin entre dos nmeros o expresiones,
tal que:
x es menor que y si: (x y) es negativo x es mayor que y si: (x
y) es positivo
Para trabajar esta unidad se utilizar la siguiente
simbologa:
< Menor que> Mayor que Menor o igual que Mayor o igual
que
Ejemplo:
Al construir un tringulo se debe tener en cuenta que la suma de
dos lados es siempre mayor que el tercero y la resta es menor.
Entonces, determine quvalor(es) se le puede(n) dar al tercer lado
de un tringulo si los otros dos miden 3 cm y 7 cm.
El menor valor del tercer lado ser mayor que 7 3 = 4
El mayor valor del tercer lado ser menor que la suma de los
lados conocidos 7 + 3 = 10
Por lo tanto, si al tercer lado lo llamamos x, la respuesta ser:
4 < x < 10
1.1 Propiedades
Si se suma o resta una misma cantidad a los miembros de una
desigualdad, resulta otra desigualdad en el mismo sentido que la
dada.
Ejemplo:
Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen
por una cantidad positiva, resulta otra desigualdad del mismo
sentido que la dada.
Ejemplo:
Si los miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por
una misma cantidad negativa, resulta otra desigualdad de distinto
sentido que ladada.
Ejemplo:
Si se elevan ambos miembros de la desigualdad a un exponente
impar positivo, resulta otra desigualdad en el mismo sentido que la
dada.
Ejemplo:
Si se tiene una desigualdad de trminos positivos y se elevan
ambos miembros a un exponente par positivo, se obtiene una
desigualdad en elmismo sentido que la dada.
Ejemplos:
Si se tiene una desigualdad de trminos negativos y se elevan
ambos miembros a un exponente par positivo, resulta otra igualdad
en sentido
opuesto a la dada.
-
Ejemplos:
Si se tiene una desigualdad en que ambos miembros sean positivos
o ambos negativos y se genera el inverso multiplicativo, resulta
otradesigualdad en sentido opuesto a la dada.
Ejemplos
El sentido de una desigualdad queda indeterminado si ambos
tienen signos contrarios y se elevan a un exponente par.
1.2 Intervalos
Un intervalo es un subconjunto de los nmeros reales.
Intervalo cerrado
Intervalo abierto
Intervalo semiabierto o semicerrado
Intervalos indeterminados
Para trabajar con intervalos, se definirn las operaciones de
conjunto unin e interseccin como: Es el conjunto formado por todos
loselementos que estn en A o que estn en B.
A B: Es el conjunto formado por todos los elementos que estn
presentes en el conjunto A y tambin en B.
Ejemplos:
-
2. Inecuaciones lineales
Corresponde a una desigualdad condicionada, es decir, se busca
el conjunto de valores que al reemplazar en una variable cumpla con
la desigualdad.
Ejemplos:
Es decir, se cumple para todo valor de x mayor o igual que 1.
Entonces x [ 1, + [
3. Sistemas de inecuaciones lineales con una incgnita
Ejemplo: Cul es la solucin del sistema?
Solucin
En este caso tenemos dos inecuaciones, por lo cual cada una se
resolver por separado y la solucin del sistema quedar dada por la
interseccin de losintervalos solucin de cada una.
-
c) Entonces, la solucin final ser es decir:
Grficamente, la solucin est representada por el doble
achuramiento.
-
V. Relaciones y funciones
1. Nociones de conjuntos
-
El concepto de conjunto est referido al hecho de reunir o
agrupar objetos o cosas para estudiar o analizar las relaciones que
se pueden dar en o entredichos grupos.
La escritura o notacin significa que el objeto a es un elemento
del conjunto M.
La notacin significa que a NO es un elemento de M.
As, si escribimos
Un conjunto puede definirse por comprensin cuando se da una
propiedad que la cumplen todos los elementos del conjunto o por
extensin cuandose especifican grficamente todos los elementos del
conjunto.
A = {x/x es una vocal} se define por comprensin.A = {a, e, i, o,
u} se define por extensin.
Si un conjunto no tiene elementos se denomina conjunto vaco y se
designa por As, por ejemplo,
El conjunto A es subconjunto del conjunto B si todo elemento en
A es tambin elemento de B. Esto se escribe
Si hay cuando menos un elemento en B que no est tambin en A,
entonces A se llama subconjunto propio de B. Segn lo anterior es
subconjuntode cualquier conjunto.
Ejemplo: Si M = {a, b, c, d}; N = {c, d}; P = {d, b, a, c},
entonces, (ntese que
Dos conjuntos M y N son iguales si, y solamente si, contienen
los mismos elementos. En este caso escribimos M = N.
Esto es equivalente a escribir: si A y B son conjuntos,
entonces:
Si A es conjunto con n elementos diferentes, se dice que su
cardinalidad es n (nmero de elementos del conjunto) y se puede
demostrar que posee 2nsubconjuntos.
Ocasionalmente, nos interesan solo aquellos conjuntos que estn
contenidos en un conjunto fijo dado, llamado conjunto universal o
universo (tambinllamado conjunto universo relativo).
Operaciones con conjuntos
Si A y B son subconjuntos de un conjunto universo U, entonces se
define:
Unin Definicin: Sean A y B conjuntos
Ejemplo: Sean los conjuntos
(ntese que el elemento comn a los dos conjuntos se cuenta una
sola vez)
Interseccin ():
Definicin: Sean A y B conjuntos
Del ejemplo anterior se observa que
Diferencia (): Definicin: Sean A y B conjuntos
Ejemplos:
-
Complemento (C):
Definicin: Sean A y B conjuntos tales que, simultneamente,
entonces A es complemento de B y B es complemento deA con respecto
al universo U.
Por tanto, si U designa el universo y C el complemento de un
conjunto dado C, tenemos:
C = U C
El complemento de C se define como el conjunto de los elementos
del universo que no estn en C.
Ejemplo:
Sean U = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k} C = {a, b, c, e, g,
i, k}Luego, C = {d, f, h, j}
Los conjuntos formados por uniones, intersecciones y diferencias
pueden representarse pictricamente por medio de diagramas llamados
Diagramas deVenn.
Complemento (A)
Otros ejemplos:
-
2. Relaciones
2.1 Producto cartesiano
Dados dos conjuntos M y N, se define una operacin entre los
elementos de ellos tal que originan elementos especiales llamados
pares ordenados.
Si M tiene m elementos y N tiene n elementos, entonces por
distributividad, M x N tendr (m n) elementos. De igual forma, el
nmero de subconjuntos deM x N es 2m n.
Notemos que el conjunto A x B presenta como elementos a entes
matemticos llamados pares ordenados (a, b).
Ejemplo:
Sean
Una vez conocido el conjunto A x B podemos asociar los
componentes de los pares ordenados de alguna manera; por ejemplo,
busquemos odeterminemos el conjunto formado por los pares ordenados
en los cuales se verifiquen que la segunda componente es mltiplo de
la primeracomponente. Observando tenemos:
S = {(1, 6), (1, 4), (2, 6), (2, 4)}
Podemos notar que
2.2 Concepto de relacin
Todo subconjunto R de A x B se dice relacin entre los conjuntos
A y B
As, podemos escribir de nuestro ejemplo anterior.
Se dice que:
a es la preimagen de b, bajo la relacin R. b es la imagen de a,
bajo la relacin R.
-
B es el conjunto de llegada o codominio. El conjunto A se llama
conjunto de partida. El subconjunto de A que est formado por todos
los elementos que tienen imgenes en B bajo la
relacin R se llamar conjunto de preimgenes o dominio.
3. Funciones
3.1 Concepto de funcin
Si tenemos una relacin f entre 2 conjuntos A y B, f se dir
funcin si a cada valor del conjunto de partida A le corresponde uno
y solo un valor en elconjunto de llegada B.
La variable x corresponde a la variable independiente y la
variable cuyo valor viene determinado por el que toma x, se llama
variable dependiente. Sedesigna generalmente por y o f(x) [se lee f
de x].Decir que y es funcin de x equivale a decir que y depende de
x.
Se dir: f : A B b B es la imagen de a A bajo la funcin f y se
denota por b = f(a)
Diremos que f es una funcin de A en B, si y solo si se
verifican:
Toda funcin es relacin,pero no toda relacin es funcin.
El recorrido o rango de una funcin es aquel subconjunto del
conjunto de llegada en el cual todos sus elementos son imagen de
alguna preimagen deldominio o conjunto de partida. Se denota por
Rec f.
Veamos el siguiente ejemplo:
Se puede ver que para cada elemento de A, existe una sola imagen
en B.
Luego, para la funcin f denotada:
Los elementos {5, 6} no son imagen de ninguna preimagen en A,
luego no pertenecen al Rango de f.
3.2 Representacin grfica
Una forma de representar una funcin es mediante un sistema de
coordenadas rectangulares o ejes cartesianos.
Entonces, la funcin
y = f(x) corresponde al conjunto de todos los puntos (x, y) que
satisfacen la ecuacin y = f(x).
-
Ejemplo:
Indica cul de los siguientes grficos representa una funcin de x
en y.
Analizando cada caso:
A) Es funcin, ya que a cada valor de x le corresponde un nico
valor en y.
B) NO es funcin, ya que a un mismo valor de x le corresponden
dos imgenes en y.
C) NO es funcin por las mismas causas del ejemplo anterior. Cabe
destacar que si se toma cada curva por separado, cada una de ellas
s es unafuncin.
D) S es funcin.
3.3 Clasificacin de funciones
a. Funcin inyectivaUna inyeccin de A en B es toda funcin f de A
en B, de modo que a elementos distintos del dominio A le
corresponden imgenes distintas en el
codominio B. Cada elemento de A tiene una nica imagen en B (y
solo una), de tal forma que se verifica que # A # B.
b. Funcin Epiyectiva o SobreyectivaUna epiyeccin o sobreyeccin
de A en B es toda funcin f de A en B, de modo que todo elemento del
codominio B es imagen de, al menos, un
elemento del dominio A. Cada elemento de B es imagen de por lo
menos un elemento de A. Se verifica que #A #B. Es decir, que en
este caso elcodominio es igual al recorrido.
-
c. Funcin BiyectivaUna funcin f es biyectiva de A en B si y solo
si la funcin f es tanto inyectiva como epiyectiva. Si cumple que
sea Inyectiva y Epiyectiva a la vez, por
lo que se verifica que #A = #B y que a cada elemento de A le
corresponde una nica imagen en B y que cada imagen de B le
corresponde una nicapreimagen en A.
-
VI. Funciones de variable real
1. Funcin afn
Es de la forma f(x) = mx + n, con n 0, m 0
-
conm : Pendienten : Ordenada del punto de interseccin entre la
recta y el eje Y (coeficiente de posicin)
Ejemplo:La funcin f(x) = 5x 3, tiene pendiente 5 e intersecta al
eje Y en la ordenada 3.
Anlisis de la pendiente
Para saber con qu tipo de funcin se est trabajando, se debe
analizar el signo de la pendiente.
Si m < 0, entonces la funcin es decreciente. Si m = 0,
entonces la funcin es constante. Si m > 0, entonces la funcin es
creciente
Relaciones grficas para la pendiente y el coeficiente de
posicin
Tipos de funciones especiales
a) La funcin de la forma f(x) = x, se conoce como funcin
identidad y su grfica es:
b) La funcin de la forma f(x) = c, con c: Constante real, se
conoce como funcin constante y su grfica es:
c) La funcin de la forma f(x) = mx, m 0 se conoce como funcin
lineal y su grfica es una lnea recta que pasa por el origen.
Evaluacin de una funcin
Dada la funcin f(x) = mx + n, si se busca el valor de la funcin
para un valor cualquiera de x, basta reemplazar dicho valor, as
como tambin si se buscael valor de x conociendo el valor de la
funcin.
Ejemplo:
La funcin que representa el valor a pagar en un taxi, despus de
recorridos x metros es:
f(x) = 0,8[x] + 250 con x: cantidad de metros recorridos f(x):
costo en pesos
-
3 km = 3.000 m
Entonces, el valor a pagar por un recorrido de 3 kilmetros es
:
f(3.000) = 0,8 [3.000] + 250 = 2.650
Por tres kilmetros se pagan $ 2.650
Construccin de una funcin con comportamiento lineal conocidos
valores de ella
Se deben conocer dos relaciones distintas entre el valor de la
variable y el valor de la funcin, es decir:
(x1, f(x1)) y (x2, f(x2))
O bien si a f(x) le llamamos y, entonces los pares quedan:
(x1, y1) y (x2, y2)
Donde la funcin buscada ser:
Ejemplo: Si se sabe que el agua se congela a 32 F 0 C y hierve a
212 F 100 C, cmo se puede expresar los F en funcin de los C, si
existe uncomportamiento lineal?
Solucin:
Se tiene la siguiente informacin:
C : variable independiente (x)
F : Variable dependiente (y)
Reemplazando en:
Se tiene:
Donde la funcin que representa los F respecto de C es:f(x) =
1,8x + 32
Se le llama crecimiento aritmtico a la progresin cuyos trminos
aumentan en una misma cantidadconstante llamada diferencia. Este
crecimiento aritmtico grficamente est representado por unarecta con
pendiente positiva. Si la pendiente es negativa se habla de un
decrecimiento aritmtico.
Ejemplo:
-
Grficamente
2. Funcin parte entera
sta se escribe:
El valor de [x] es el menor de los dos nmeros enteros entre los
cuales est comprendido x, o si x es un nmero entero, [x] = x, es
decir:
Ejemplo:
Obsrvese que esta funcin es constante en los intervalos
semiabiertos (semicerrados) de la forma [n, n + 1[,con n Z. Por
tanto, los segmentoshorizontales contienen sus extremos izquierdos,
pero no los derechos.
3. Funcin valor absoluto
Es frecuente en el clculo al tener que operar con desigualdades.
Son de particular importancia las que se relacionan con la nocin de
valor absoluto.
Si el x IR valor absoluto de x es un nmero real no negativo que
se define:
Ejemplo:
| 3| = 3 |12| = 12 | 18| = 18 | 5,3| = 5,3
Si los nmeros reales estn representados geomtricamente en el eje
real, el nmero |x| se llama distancia de x al origen.
-
3.1 Propiedades del valor absoluto
Si |x| a, entonces a x a; con a 0 Si |x| a, entonces x a x a
|xy|= |x| |y| |x + y| |x| + |y| (Desigualdad Triangular)
Esta ltima propiedad se llama desigualdad triangular, pues,
cuando se generaliza a vectores, indica que la longitud de cada
lado de un tringulo esmenor que la suma de las longitudes de los
otros dos.
Ejemplos:
|x 3| 2
Aplicando la primera propiedad:
|3x 4| 5
Aplicando la segunda propiedad:
4. Funcin raz cuadrada
5. Funcin cuadrtica
-
Es de la forma:
5.1 Grfica
Siempre es una parbola, dependiendo, su forma y ubicacin, de los
coeficientes a, b y c.
5.1.1 Concavidad
El coeficiente a de la funcin cuadrtica indica si la parbola es
abierta hacia arriba o hacia abajo.
5.1.2 Eje de simetra y vrtice
El eje de simetra es aquella recta paralela al eje Y y que pasa
por el vrtice de la parbola.
El vrtice est dado por:
5.1.3 Interseccin con los ejes
a. Interseccin con el eje Y
El coeficiente c nos da la ordenada del punto en el cual la
parbola corta al eje Y.Sus coordenadas son (0, c)
b. Interseccin con el eje X
Para determinar si la parbola corta o no al eje X, es necesario
conocer el valor del discriminante () de la funcin cuadrtica.
Se define el discriminante como:
Si = 0, la parbola corta en un punto al eje X
-
Si > 0 la parbola corta en dos puntos al eje X
Si < 0 la parbola no corta al eje X
5.2 Ecuacin de segundo grado
Si f(x) = 0, tendremos que ax2 + bx + c = 0, llamada Ecuacin de
2 grado en su forma general.
Toda ecuacin de 2 grado posee dos soluciones, pudiendo ser
reales o imaginarias, las que vienen dadas por la expresin:
Estas soluciones, races o ceros de la ecuacin corresponden
grficamente a las abscisas de los puntos donde la funcin f(x) = ax2
+ bx + c corta al ejeX. Estos puntos tienen como coordenadas (x1,
0) y (x2, 0).
5.2.1 Propiedades de las races o soluciones
A partir de las soluciones x1,y x2 , se puede obtener la
ecuacin, aplicando las propiedades anteriormente mencionadas. As se
tiene que:
-
O de otra forma
Ejemplos:
1. Sea la ecuacin de 2 grado: x2 + 2x 15 = 0. Cules son las
soluciones a esta ecuacin?
Solucin Sabemos que las soluciones de una ecuacin de 2 grado
vienen dadas por
En nuestro caso: a = 1 b = 2 c = 15
Luego,
Luego,
2. Dada la ecuacin x2 + px + qx 3p = 0, determinar los valores
que deben tener p y q para que 2 y 3 sean races de esta
ecuacin.
Solucin
Si 2 y 3 son races de la ecuacin, al aplicar las propiedades
deber cump