Matematica corso base a.a.2018/19 · Algebra lineare 2 OBIETTIVO del corso Acquisire strumenti matematici utili per l’analisi e per la soluzione di problemi concreti La matematica

1

Matematica corso base

a.a.2018/19

Elementi di logica

Algebra lineare

2

OBIETTIVO del corso

Acquisire strumenti matematici utili

per l’analisi e per la soluzione di

problemi concreti

La matematica è un linguaggio

rigoroso e non ambiguo che aiuta a

ragionare sui problemi complessi

3

Elementi di logica

Una proposizione è una frase della quale si

può decidere senza ambiguità se è vera o

è falsa.

Esempi: “la lavagna è nera” (vero)

“la lavagna è triangolare” (falso)

“T è un triangolo rettangolo”

(guardo T e rispondo)

4

implicazione logica

Una frase scritta nella forma

Se (proposizione1) allora (proposizione2)

Costituisce una implicazione logica

5

Gli enunciati dei teoremi sono

implicazioni logiche

Se (proposizione1) allora (proposizione2)

ipotesi tesi

condizione condizione

sufficiente necessaria

6

Se si possono scambiare ipotesi e

tesi

Allora si dice che

• Proposizione 1 è condizione necessaria e

sufficiente per Proposizione 2

• Proposizione 2 è condizione necessaria e

sufficiente per Proposizione 1

7

Esempio (Teorema di Pitagora)

• se (T è un triangolo rettangolo)

• allora (la somma delle aree dei quadrati

costruiti sui cateti è uguale all’area del

quadrato costruito sull’ipotenusa)

8

Si possono considerare teoremi più

complessi

Esempio

Se (proposizione1 e proposizione 2 e proposizione 3 …)

allora (proposizione4 e proposizione 5 …)

In questo caso

• Ipotesi =(proposizione1 e proposizione 2 e

proposizione 3 …)

• Tesi=(proposizione4 e proposizione 5 …)

9

Dimostrare un teorema

Dimostrare un teorema vuol dire trovare la

catena di implicazioni logiche che parte

dalle ipotesi e permette di arrivare alla tesi

mediante regole di implicazione logica (per

esempio i sillogismi (Socrate è uomo, ogni

uomo è mortale, Socrate è mortale))

10

I quantificatori universali

• Per ogni Esiste Negazione

Osservazione sulla negazione di “per ogni”

Esempio:

negare la frase “tutte le pecore sono bianche”:

non “tutte le pecore sono bianche”

esiste una pecora non bianca

Quindi basta almeno un elemento che non verifica la proprietà assegnata per dire che la proprietà non è verificata per tutti.

11

Algebra lineare

• Vettori

Un vettore è una n-pla ordinata di numeri reali

Si indica con lettere latine minuscole.

1 2 3, , , ..., na a a a a

Sn= spazio dei vettori di dimensione n

12

• Esempio: n=4

• Quantità di

mele, pere, pomodori, zucchine

1, 2, 1.5, .5a

13

Somma di due vettori (stessa lunghezza)

, ,…, )( ,

1 2 3, , , ..., na a a a a

1 2 3, , , ..., nb b b b b

1 1 2 2 3 3, , , ..., n na b a b a b a b a b

14

1, 2, 1.5, ..., .5a

3, .7, 1., ..., .2b

4, 2.7, 2.5, ..., .7a b

Esempio

15

0 0, 0, 0, ..., 0

0 0a a a

Il vettore nullo

Osservazione:

16

1 2 3, , , ..., na a a a a

3 3*1, 3*2, 3*1.5, ..., 3*.5

3, 6, 4.5, ..., 1.5

a

Scalari= numeri reali

3, .1, 3.1415…Si indicano con lettere greche α, β, γ, …

Prodotto di un vettore per uno scalare

Esempio

17

Combinazione lineare dei vettori a e b con coefficienti α e β

1 2 3

1 2 3

1 1 2 2 3 3

, , , ...,

, , , ...,

, , , ...,

n

n

n n

a b

a a a a

b b b b

a b a b a b a b

18

Esempio

3 2 3, 6, 4.5, 1.5

6, 1.4, 2, .4

9, 7.4, 6.5, 1.9

a b

19

Generalizzazione:

combinazione lineare dei vettori a1, a2, …, am con

coefficienti α1, α2, …, αm

1 21 2 ... mmb a a a

b si dice linearmente dipendente dai vettori a1, a2, …, am

Definizione:

20

Ulteriore esempioDati i due vettori e1=(1,0) ed e2=(0,1)

si osserva che

- Il vettore b=(2,3) si ottiene da 2 e1 +3 e2 , infatti

2* e1 +3* e2 =2*(1,0)+3*(0,1)=(2,0)+(0,3)=(2,3)

- Osservo anche che qualsiasi altro vettore a=(a1,a2) si ottiene

da e1 ed e2 in maniera simile:

a1* e1 +a2* e2 =a1*(1,0)+a2*(0,1)= (a1,0)+(0, a2)=(a1,3)

- Quindi tutti i vettori con due componenti sono linearmente dipendenti da e1 ed e2.

21

Generalizzazione:

combinazione lineare dei vettori a1, a2, …, am con

coefficienti α1, α2, …, αm

1 21 2 ... mmb a a a

b si dice linearmente dipendente dai vettori a1, a2, …, am

Un insieme di vettori a1, a2, …, am si dice linearmente

dipendente se almeno uno di essi è linearmente

dipendente dai rimanenti.

Definizione:

Definizione:

22

Terminologia:

Non dipendenti = indipendenti


dipendente se almeno uno di essi è linearmente



INdipendente se NESSUNO di essi è linearmente


23

Esempio di vettore b indipendente dai vettori

a1 ed a2:

b=(2,3), a1=(0,1), a2=(0,2)

Infatti la seconda componente di b si ottiene

sommando le rispettive II componenti di a1 ed a2, ma

la somma delle prime componenti rimane sempre zero.

Per dire che b, a1 ed a2 costituiscono un insieme di

vettori indipendenti bisogna anche verificare che non

si può scrivere a1 come combinazione lineare di b ed

a2 e che non si può scrivere a2 come combinazione

lineare di b ed a1.

24

(2,3)=a1*(0,1)+a2(0,2)=

(0,a1)+(0,2*a2)=(0,a1+2*a2)

25

Come si caratterizzano dipendenza ed

indipendenza quando b è il vettore nullo e

gli altri vettori a1, a2, … sono vettori

qualsiasi (con lo stesso numero di

componenti)

26

Osservazione: se α1 = α2 = αm=0 allora

1 20 0 ... 0 0mb a a a

Domanda: vale il viceversa? Ovvero

Porre tutti i coefficienti uguali a zero è l’unico

modo per ottenere il vettore nullo?

Esempio: 1*(2,2)-2*(1,1)=(0,0)

Risposta: in alcuni casi si può ottenere il vettore nullo anche con

coefficienti non nulli.

Quindi non è sempre vero che l’unico modo di ottenere il vettore nullo

è di porre i coefficienti uguali a zero.

Quindi il vettore nullo si ottiene ponendo tutti i

coefficienti uguali a zero.

27

Teorema: i vettori a1, a2, …, am sono linearmente

indipendenti se e solo se l’unico modo per ottenere, con

una loro combinazione lineare, il vettore nullo è quello di

prendere tutti i coefficienti uguali a zero.

Il caso in cui l’unico modo di ottenere il vettore nullo è

di porre tutti i coefficienti uguali a zero è strettamente

collegato alla indipendenza.

Non isoliamo più b rispetto ai vettori a1, a2, ma

consideriamolo come uno dei vettori tra a1, a2, …, am.

28

la equivalenza vale anche passando agli

opposti, considerando

contemporaneamente le negazioni di

entrambe le proposizioni.

Proposizione 1 Proposizione 2

Negazione della

Proposizione 1

Negazione della

Proposizione 2

se e solo se

se e solo se

29

Teorema:

i vettori a1, a2, …, am

sono linearmente

indipendenti

negazione

sono linearmente

dipendentialmeno un coefficiente è

diverso da zero.

1 21 2 ... 0mma a a

tutti i coefficienti sono

uguali a zero.se e solo se

se e solo se

30


dipendenti se e solo se esiste una combinazione

lineare degli m vettori con almeno uno dei

coefficienti diverso da zero, che ha come risultato

il vettore nullo.

La dimostrazione del teorema precedente

equivale alla dimostrazione del seguente:

31

Dimostrazione:

Ipotesi: suppongo che almeno uno dei

coefficienti sia diverso da zero.

Suppongo che sia il primo: se non lo è scambio

i nomi. Quindi da

32

1 21 2 0mma a a

1 21 2 mma a a

1 21 2 mma a a

21 2

1 1

mma a a

si ha che

e quindi che

e quindi

33

1a

},,,,{ 321 maaaa

e pertanto verifica la definizione di

è dipendente perché almeno uno di loro è


La tesi è quindi dimostrata.

Quindi l’insieme

dipendenza lineare

34

Per dimostrare l’implicazione inversa ripercorro

i passaggi a ritroso.

35


indipendenti se e solo se l’unico modo per ottenere, con

una loro combinazione lineare, il vettore nullo è quello di

prendere tutti i coefficienti uguali a zero.

36

Definizione: Dato un insieme di vettori a1, a2, …, am

del medesimo spazio Sn il rango è il massimo numero

di vettori indipendenti presenti in tale insieme.

37

Teorema: in uno spazio Sn è sempre possibile trovare n

vettori linearmente indipendenti, ma (n+1) o più vettori

sono sempre linearmente dipendenti

38

1 2 3{ , , , , }ne e e e

1 (1, 0, 0, ,0)e

2 (0,1, 0, ,0)e

Esercizio: dato l’insieme di n vettori

…

(0, 0, 0, ,1)ne

39

1 2 3, , , , n

1 21 2 0mme e e

dimostrare sono indipendenti, cioè che esiste un

unico insieme di scalari

tale che

40

1 21 2

1 1 1 1

2 2 2 2

*1, *0, *0, ..., *0

*0, *1, *0, ..., *0

...

*0, *0, *0, ..., *1

mm

n n n n

e e e

41

1

2

3

, 0, 0, ..., 0

0, , 0, ..., 0

...

0, 0, , ..., 0

0, 0, 0, ..., n

1 2 3, , , ..., 0n

42

MATRICI1.Matrici

Una matrice nxm è una tabella con n righe ed m colonne.

Si indica con lettere latine maiuscole.

I simboli del tipo aij indicano l’elemento sulla riga i, colonna j.

nmnn

m

m

m

aaa

aaa

aaa

aaa

A

21

33231

22221

11211

Se n=m la matrice si dice quadrata e di ordine n.

43

Esempi: Esempi

numerici:

matrice 1x1

matrice 2x2 (p. 51, n.3)

matrice 3x3 (p. 51, n.4)

matrice 2x3

11aA 5A

2221

1211

aa

aaA

45

31A

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

212

101

231

A

232221

131211

aaa

aaaA

262

131A

44

Determinanti

Si indica con il simbolo det(A), oppure |A|.

Si può calcolare solo per matrici quadrate.

45

Esempi: Esempi numerici:

matrice 1x1 →

Attenzione: il calcolo del

determinante NON è il calcolo

del valore assoluto

matrice 2x2

11|| aA

5A 55|| A

2221

1211

aa

aaA

21122211

2221

1211aaaa

aa

aaA

45

31A

11154)5(*)3(4*1

45

31

A

46

matrice 3x3

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

212

101

231

A

47

Regola di Sarrus:si riscrive la matrice.

Accanto si riscrivono le prime due colonne:

3231333231

2221232221

1211131211

aaaaa

aaaaa

aaaaa

12212

01101

31231

48

Si tracciano le diagonali

3231333231

2221232221

1211131211

aaaaa

aaaaa

aaaaa

12212

01101

31231

49

e si iniziano a sommare i prodotti degli elementi

che cadono sotto la stessa diagonale:

322113312312332211 aaaaaaaaa

8260

)1(*1*22*1*)3(2*0*1

50

Si tracciano poi le altre diagonali:

3231333231

2221232221

1211131211

aaaaa

aaaaa

aaaaa

12212

01101

31231

51

e si sottraggono i prodotti degli elementi che

cadono sotto la stessa diagonale:

312213322311332112 aaaaaaaaa

7016

2*0*2)1(*1*12*1*)3(

52

Il determinante di A è

dato da: 178 A

312213322311332112322113312312332211 aaaaaaaaaaaaaaaaaaA

53

Caratteristica di A

Si indica con il simbolo car(A). Si può

calcolare per matrici qualsiasi.

Un minore di A è il determinante di una

sottomatrice ottenuta da A scegliendo gli

elementi in comune a k righe e k colonne.

54

Il numero k prende il nome di ordine del

minore.

La caratteristica di una matrice A è l’ordine

massimo dei suoi minori non nulli. Questo

significa che bisogna trovare i minori di A che

risultano diversi da zero e considerarne uno di

ordine più grande possibile.

55

Esempio 1: Trovare la caratteristica della

seguente matrice:

262

131A

56

A è una matrice con 2 righe e 3 colonne, quindi

posso estrarre sottomatrici quadrate al più di

ordine 2:

57

estraggo i minori di ordine 2

di A:

e li calcolo:

righe:1,2

colonne:1,2

righe:1,2

colonne:1,3

righe:1,2

colonne:2,3

62

311

M

066

)3(*)2(6*1

22

112

M

022

)2(*1)2(*1

26

133

M

066

6*1)2(*)3(

58

Osservazione: (proprietà T2) se una matrice ha

due righe oppure due colonne proporzionali

allora il suo determinante è nullo.

Poiché nessuno dei minori di ordine 2 è diverso

da zero:

59

estraggo i minori di ordine 1

di A:

e li calcolo:

riga: 1

colonna:1

riga: 1

colonna:2

riga: 1

colonna:3

riga: 2

colonna:1

riga: 2

colonna:2

riga: 2

colonna:3

14 M

35 M

16 M

27 M

68 M

29 M

1

3

1

2

6

2

1

60

Esempio 2: Trovare la caratteristica della matrice

242

111

121

A

Estrazione minori:

si possono estrarre minori di ordine 3,2,1, l’ordine

del primo minore non nullo fornisce la

caratteristica.

61

242

111

121

1

M

42242

11111

21121

0244442

)2(*1*14*1*1)2(*1*)2(

4*1*1)2(*1*)2()2(*1*1)det(

A

Si può estrarre un solo minore di ordine 3:

Lo calcolo usando la regola di Sarrus:

62

estraggo i minori di ordine

2 di A:

e li calcolo:

righe:1,2

colonne:1,2

righe:1,2

colonne:1,3

Poiché ho trovato un

minore di ordine 2

non nullo car(A)=2.

Non c’è bisogno di

calcolare gli altri

minori.

righe:1,2

colonne:2,3

11

212

M

11

113 M

11

124

M

03)2(*11*1

63

righe:1,3

colonne:1,2

righe:1,3

colonne:1,3

righe:1,3

colonne:2,3

righe:2,3

colonne:1,2

righe:2,3

colonne:1,3

righe:2,3

colonne:2,3

42

215

M

22

116

M

24

127

M

42

118

M

24

119

M

22

1110

M

64


0242

0111

0121

A

Soluzione:

Estrazione dei minori : tutti quelli estratti

precedentemente ed inoltre tutti quelli che

contengono la colonna

0

0

0

65

242

111

121

1

M

042

011

021

11

M

022

011

011

12

M

024

011

012

13

M

Osservazione: se una colonna ha solo elementi

nulli il determinante è zero.

66

Estrazione minori di ordine 2: so già che esiste un

minore non nullo → car(A)=2

67


4242

2111

2121

A

Soluzione:


precedentemente ed inoltre i seguenti:

68

estraggo i minori di ordine 2 di

A:

e li calcolo:

righe:1,2,3

colonne:1,2,4

righe:1,2,3

colonne:1,3,4

righe:1,2,3

colonne:2,3,4

0

0

0

442

211

221

14

M

422

211

211

15

M

424

211

212

16

M

69

Tutti i minori di ordine 3 sono nulli perché

ciascuno ha due colonne proporzionali.

Estrazione minori di ordine 2: so già che esiste un

minore non nullo → car(A)=2

70

1242

1111

2121

A

142

111

221

17

M

42

11

21

017 M


Soluzione:


precedentemente ed inoltre :

= 1+4+8+2-4+4 = 15 ≠ 0

→ car(A)=3

71


23

21

32

72


723

521

332

73

},,,,{ 321 maaaa

),,,,( 13121111 naaaaa

2 12 22 32 2( , , , , )na a a a a

3 13 23 33 3( , , , , )na a a a a

1 2 3( , , , , )m m m m nma a a a a

RANGO

Insieme di m vettori

…

74

},,,{ 21 maaa

nmnn

m

m

m

aaa

aaa

aaa

aaa

A

21

33231

22221

11211

Matrice delle componenti dei vettori

ciascun vettore è trascritto sulle colonne:

75

},,,{ 21 maaa

nmnn

m

m

m

aaa

aaa

aaa

aaa

A

21

33231

22221

11211

Il rango di

è l’ordine massimo dei minori non nulli di

76

},,,{ 21 maaa

baxaxax mm 2211

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

31 1 32 2 3 3

1 1 2 2

...

...

...

...

m m

m m

m m

n n nm m n

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

Combinazione lineare dei vettori

componente per componente:

sistema di n equazioni lineari in m incognite

77

“sistema”: non una sola equazione

“equazioni”: “=”

“lineari”: sono usate solo somme e prodotti

“incognite”: i valori non sono noti

“Risolvere il sistema”= trovare i valori di

mxxx ,,, 21

che verificano contemporaneamente tutte le

uguaglianze

78

matrice dei coefficienti del sistema

matrice incompleta

nmnn

m

m

m

aaa

aaa

aaa

aaa

A

21

33231

22221

11211

79

matrice completa

nnmnn

m

m

m

baaa

baaa

baaa

baaa

bA

21

333231

222221

111211

|

80

},,,,{ 321 maaaa

},,,,{ 321 maaaa

b

},,,,,{ 321 baaaa m

Esercizio 1:

Insieme di m vettori Ipotesi: dipendenti

Se aggiungo all’insieme

il vettore il nuovo insieme

sarà dipendente o no?

81

},,,,{ 321 maaaa

mm aaa 221

m ,,2

Ricordo che l’insieme

è dipendente se almeno uno di loro è dipendente

dai rimanenti. Suppongo quindi che il primo sia

dipendente dagli altri: se non lo è scambio i nomi:

con almeno uno tra diverso da zero.Posso sempre scrivere

baaa mm 0221

e questo verifica ancora la definizione di

dipendenza.

82

Quindi

se aggiungo un vettore ad un insieme di vettori

dipendenti ottengo ancora un insieme di vettori

dipendenti

83

},,,,{ 321 maaaa

},,,,{ 321 maaaa

);0,1(1 a );1,0(2 a);2,0(3 a

},,{ 321 aaa 3a

},{ 21 aa

Esercizio 2:


Ipotesi: dipendenti

Se tolgo dall’insieme

un vettore a caso il nuovo insieme sarà dipendente o

no?

Esempio:

tolgo dall’insieme il vettore.

L’insieme è un insieme indipendente.

84

);0,1(1 a );1,0(2 a );2,0(3 a

},,{ 321 aaa .1a

},{ 32 aa

Esempio:

tolgo dall’insieme il vettore

L’insieme

Quindi la risposta esatta all’esercizio è: non lo so

è un insieme dipendente.

85

},,,,{ 321 maaaa

},,,,{ 321 maaaa

b },,,,,{ 321 baaaa m

},,,,{ 321 maaaa

Esercizio 3:

Insieme di m vettori Ipotesi: indipendenti

Se aggiungo all’insieme

il vettore il nuovo insieme

Ricordo che se l’insieme

indipendente allora l’unico modo di ottenere il

vettore nullo come risultato di una loro

combinazione lineare è di porre tutti i coefficienti

uguali a zero.

sarà dipendente o no?

è

86

02211 mm axaxax

0,,, 21 m

Quindi:

con

87

},{ 21 aa

);0,0,1(1 a );0,1,0(2 a

);1,0,0(3 a

},,{ 321 aaa

)1,0,0()0,1,0()0,0,1( 321332211 aaa

),,(),0,0()0,,0()0,0( 321321

)0,0,0(),,( 321

0;0;0 321

Esempio: considero l’insieme

sono indipendenti

abbiamo già dimostrato in un esercizio che

è un insieme indipendente.

se e solo se

Aggiungo il vettore

88

},{ 21 aa

);0,0,1(1 a );0,1,0(2 a

);0,2,0(3 a

)0,2,0()0,1,0()0,0,1( 321332211 aaa

)0,2,()0,2,0()0,,0()0,0( 321321

)0,0,0()0,2,( 321

02;0 321 321 2;0

Esempio: considero l’insieme

sono indipendenti

Allora

se

Quindi

ANCHE NON ZERO

Quindi la risposta esatta all’esercizio è: non lo so

Aggiungo il vettore

89

},,,,{ 321 maaaa

},,,,{ 321 maaaa

02211 mm axaxax

0,,, 21 m

Esercizio 4:


Se tolgo dall’insieme

un vettore a caso il nuovo insieme sarà dipendente o

no?

con

Ipotesi: indipendenti

90

0112211 mm axaxax

0,,, 121 m

Tolgo un vettore a caso, per esempio l’ultimo.

con

Sono ancora indipendenti.

se tolgo un vettore da un insieme di vettori

indipendenti ottengo ancora un insieme di

vettori indipendenti

Quindi

91

Dipendenti indipendenti

Dipendenti aggiungo

indipendenti tolgo

92

},,,{ 21 maaa

b },,,{ 21 maaa

mxxx ,,, 21

baxaxax mm 2211

},,,{ 21 maaa

Combinazione lineare dei vettori

Osservazione:

dipendente da

se esistono tali che

se aggiungo adun vettore dipendente allora

il massimo numero di vettori indipendenti non

cambia

93

)|( bAcarcarA

vale anche il viceversa.

},,,,{},,,{ 2121 baaarangoaaarango mm

94

1 2 3{ , , , , }ne e e e

1 (1, 0, 0, ,0)e

2 (0,1, 0, ,0)e

(0, 0, 0, ,1)ne

1 2 3, , , , n

1 21 2 mmx e x e x e b

nb R

Esercizio: dato l’insieme di n vettori

…

dimostrare che esiste un unico insieme di scalari

tale che

comunque scelto

95

b

1 21 2 mme e e b

1 21 2 1 2( , , , )mm me e e

1 2 1 2( , , , ) ( , , , )m mb b b b

1 1 2 2; , , m mb b b

Dimostrazione:“esiste”: già visto che dato basta scegliere

Quindi

Calcoliamo per esteso il lato sinistro. Si ha che

Quindi

Poiché due vettori sono uguali quando le loro

componenti sono ordinatamente uguali si ha

“è unico”: si consideri una possibile altra soluzione

96

nmnmnn

mm

mm

mm

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

...

...

...

...

2211

33232131

22222121

11212111

nmnn

m

m

m

aaa

aaa

aaa

aaa

A

21

33231

22221

11211

nnmnn

m

m

m

baaa

baaa

baaa

baaa

bA

21

333231

222221

111211

|

bA |

Sistemi lineari

1. Conto il numero di equazioni e lo chiamo n

2. Conto il numero di incognite e lo chiamo m

3. Scrivo

e

( con b”)si legge “A ampliato

Risoluzione:

97

Domanda: n=m ?

1. Se sì → calcolo det(A)

Domanda: det(A) ≠ 0 ?

Se sì →

• Uso il teorema di Cramer: c’è un’unica soluzione

• Uso la regola di Cramer e calcolo la soluzione

Se no → vado comunque al punto 2

2. Se no → uso il teorema di Rouché-Capelli:

Calcolo p=car(A) ; calcolo car(A|b)

Domanda: car(A)=car(A|b) ?

• Se no→ non ci sono soluzioni

(il sistema è incompatibile)

• Se sì → ci sono ∞m-p soluzioni ed uso la

procedura (*) per trovarle.

98

Regola di Cramer

Nel caso in cui n=m e det(A) ≠0, pongo Δ=det(A).

Calcolo Si ha che

nmnn

m

m

m

aab

aab

aab

aab

2

3323

2222

1121

1

1

1x

99

… …

nmnn

m

m

m

aba

aba

aba

aba

1

3331

2221

1111

2

2

2x

100

11 12 1

21 22 2

31 32 3

1 2

n

n n n

a a b

a a b

a a b

a a b

n

nx

101

Esercizio (Cramer)

Risolvere il seguente sistema:

1) Matrice incompleta

det(A)=3*(-1)-2*5=-13 0 Regola di Cramer

102

103

Verifica: sostituire i valori trovati per x e y

104

Osservazione sulla caratteristica

1) Matrice incompleta

2) Matrice completa

105

det(A)=3*(-1)-2*5=-13 0 car(A)=2

La caratteristica al più può essere uguale a 2 (=il

minimo tra il numero di righe ed il numero di

colonne). C’è almeno un minore non nullo la

caratteristica è 2

car(A)=car(A|b)

-> il sistema ha 2-2= 0 =1 sola soluzione

106

(*) Calcolo delle soluzioni se

p=car(A)=car(A|b)

•Si considera il minore trovato per la caratteristica.

•I suoi elementi individuano k righe e k colonne.

•Le righe della matrice corrispondono ai

coefficienti di alcune equazioni: tali equazioni si

tengono, le altre si cancellano.

107

•Le colonne della matrice corrispondono ai

coefficienti di alcune incognite: tali incognite

rimangono al loro posto, alle altre si assegnano

lettere greche e si portano dal lato dei termini noti.

•Applico la regola di Cramer al nuovo sistema.

Esempi

108

0262

03

zyx

zyx

262

131A

0

0

262

131| bA

Esempio: Risolvere il seguente sistema :

Risoluzione

Innanzitutto n=2, m = 3

;

109

02

01

06

03

02

01

0 0

Si ha che car( A) = 1 (vedi esempio 1)

Inoltre

car(A|b) = 1

Infatti da A|b si possono estrarre tutti i minori, che si

possono estrarre da A, ed in più i seguenti:

che avendo una colonna di zeri sono tutti nulli.

110

Esempio : Risolvere il seguente sistema

0242

0

02

zyx

zyx

zyx

111

242

111

121

A

0

0

0

242

111

121

| bA

Risoluzione

Innanzitutto n = m = 3

112

pm 23

1

car(A) = 2 (vedi esempio 2)

car(A|b)= 2 perché ho aggiunto una colonna

di elementi nulli e tutti i minori di ordine 3

che la contengono risultano uguali a 0 (vedi

esempio 3).

Quindi p = car(A) = car(A/b) = 2

Il sistema è compatibile ed ammette:

= = soluzioni .

113

11

212M

0242

0

02

zyx

zyx

zyx

Per risolverlo bisogna individuare un minore

non nullo, per esempio

che identifica 2 equazioni e 2 incognite

114

•Le righe della matrice corrispondono ai

coefficienti di alcune equazioni: tali equazioni si

tengono, le altre si cancellano.

• Le colonne della matrice corrispondono ai

coefficienti di alcune incognite: tali incognite

rimangono al loro posto, alle altre si assegnano

lettere greche e si portano dal lato dei termini

noti.

115

Assegno quindi all’incognita z un valore

arbitrario: z = α

Il nuovo sistema è:

yx

yx 2

116

Il nuovo sistema

yx

yx 2

si risolve applicando la regola di Cramer :

117

3

2

11

21

1

2

x

0

11

21

1

1

y

118

Verifica: la verifica si effettua mediante la sostituzione di

tutte le incognite in tutte le equazioni del sistema

originario:

2*0 0

0 0

2( ) 4*0 2 0

119

Esempio: Risolvere il seguente

sistema

4242

2

22

zyx

zyx

zyx

120

242

111

121

A

4

2

2

242

111

121

/ bA

Risoluzione

Innanzitutto si osserva che n = m = 3

121

123 pm

11

212

M


car(A/b) = 2 (vedi esempio

4)

p = car(A/b) = 2

Quindi il sistema è compatibile ed ammette:

.

Per trovare le soluzioni del sistema individuo un

minore non nullo

che contiene i coefficienti di x ed y delle prime due

equazioni.

soluzioni

122

4242

2

22

zyx

zyx

zyx

Assegno valori arbitrari all’ incognita rimanente: z

= α

Il nuovo sistema:

2

22

yx

yx

123

Si risolve con Cramer:

23

242

11

21

12

22

x

03

)2(2

11

21

21

21

y

zyx ,0,2La soluzione del sistema è data da:

124

Verifica:

(2 ) 2*0 2

(2 ) 0 2

2(2 ) 4*0 2 4

125

Esempio: Risolvere il seguente sistema

1242

1

22

zyx

zyx

zyx

126

Risoluzione

Innanzitutto si osserva che n = m = 3

242

111

121

A


127

1

1

2

242

111

121

/ bA


Quindi il sistema è incompatibile (non ci

sono soluzioni).

128

Sistemi lineari dipendenti da parametro

Se nei coefficienti e nei termini noti di un

sistema di equazioni lineari appaiono dei

parametri, cioè delle costanti di cui non viene

specificato il valore, il comportamento del

sistema dipende in generale dai valori che

assumono tali parametri ed è necessario

esaminare tutti i casi possibili servendosi dei

teoremi di Rouchè-Capelli e di Cramer.

129

Esempio : Determinare per quali valori di k

il sistema

kzyx

zyx

zyx

242

1

22

ha soluzioni.

130

242

111

121

A

k

bA 1

2

242

111

121

|

Soluzione :

La matrice dei coefficienti del sistema è data da

La matrice completa è data da:

Devo calcolare car(A/b) .

Procedo con l’estrazione dei minori:


131

estraggo i minori di ordine 3 di

A:

e li calcolo:

righe:1,2,3

colonne:1,2,3

righe:1,2,3

colonne:1,2,4

AM 1

k

M

42

111

221

2

123

24484

k

kk

0

132

righe:1,2,3

colonne:1,3,4

(I e II colonna

uguali)

righe:1,2,3

colonne:2,3,4

0

k

M

22

111

211

3

k

M

24

111

212

4

123

48442

k

kk

133

Osservo che per k = -4 si ha che M1=M2=M3=M4= 0

Bisogna quindi distinguere due casi:

car A|b = 3

2) Invece se k = -4 si ha che car A|b < 3 . Inoltre

A|b continene un minore di ordine 2 non nullo

(lo stesso usato per calcolare car(A)). Quindi

car(A|b)=2 e ci sono soluzioni.

1) Se k ≠ -4 car A

e quindi non ci sono soluzioni

1 pm

134

123123

00

42

31

kMkM

MM

?04321 MMMM

Riassumendo :

Domanda: esiste un valore unico di k tale che

se non lo trovo allora car(A|b)=3 ed il

sistema non ha soluzioni

se lo trovo allora per quel valore di k

car(A|b)<3, ed il sistema ammette soluzioni.

135

Esercizio ulteriore n.1

136

Esercizio:

Risolvere il seguente sistema

3 2

2 2 5

3 3 9 1

x y z

x y z

x y z

Numero di equazioni:3=n Numero di incognite:3=m

137

Matrice incompleta Matrice

completa

1 1 3

2 2 1

3 3 9

A

1 1 3 2

| 2 2 1 5

3 3 9 1

A b

Le righe 1 e 3 di A sono proporzionali, quindi det(A)=0, quindi car(A)<3

Trovo un minore di ordine 2 non nullo

Quindi car(A)=2

Calcolo della caratteristica di A

1 3( 1)*1 2*3 7

2 1

138


completa

1 1 3

2 2 1

3 3 9

A

Calcolo i minori di ordine 3:

Selezionando le colonne 1, 2, 3 ottengo |A|, che è =0

1 1 3 2

| 2 2 1 5

3 3 9 1

A b

Calcolo della caratteristica di A|b

139


completa

1 1 3

2 2 1

3 3 9

A

1 1 3 2

| 2 2 1 5

3 3 9 1

A b


Selezionando le colonne 1, 2, 4 ottengo


1 1 2

2 2 5

3 3 1

140

Calcolo di

con la regola di Sarrus 1 1 2

2 2 5

3 3 1

1 1 2 1 1

2 2 5 2 2

3 3 1 3 3

2-15+12-(12-15+2)=-1+1=0

Bisogna calcolare gli altri minori

Osservo anche che le

colonne 1 e 2 sono

proporzionali, il che

conferma il determinante

nullo.

141

Matrice completa

1 1 3 2

| 2 2 1 5

3 3 9 1

A b


Calcolo della caratteristica di A|b: minori di ordine 3

1 3 2

2 1 5

3 9 1

142

Calcolo di

con la regola di Sarrus

1 3 2 1 3

2 1 5 2 1

3 9 1 3 9

1+45-36-(6+45-6)=-35

La caratteristica di A|b è 3

car(A)car(A|b) Il sistema non ha soluzioni

1 3 2

2 1 5

3 9 1

143

Esercizio ulteriore n.2

144

Esercizio:


3 2

2 2 5

3 3 9 6

x y z

x y z

x y z

Numero di equazioni:3=n Numero di incognite:3=m

145


completa

1 1 3

2 2 1

3 3 9

A

1 1 3 2

| 2 2 1 5

3 3 9 6

A b



Quindi car(A)=2


1 3( 1)*1 2*3 7

2 1

146


completa

1 1 3

2 2 1

3 3 9

A


Selezionando le colonne 1, 2, 3 ottengo |A|, che è =0

1 1 3 2

| 2 2 1 5

3 3 9 6

A b


147


completa

1 1 3

2 2 1

3 3 9

A

1 1 3 2

| 2 2 1 5

3 3 9 6

A b




1 1 2

2 2 5

3 3 6

148

Calcolo di

con la regola di Sarrus 1 1 2

2 2 5

3 3 6

1 1 2 1 1

2 2 5 2 2

3 3 6 3 3

12-15+12-(12-15+12)=0


149

Matrice

completa

1 1 3 2

| 2 2 1 5

3 3 9 6

A b



1 3 2

2 1 5

3 9 6

150

Calcolo di


1 3 2 1 3

2 1 5 2 1

3 9 6 3 9

6+45-36-(6+45-36)=0


1 3 2

2 1 5

3 9 6

151

Matrice

completa

1 1 3 2

| 2 2 1 5

3 3 9 6

A b



1 3 2

2 1 5

3 9 6

152

Calcolo di


1 3 2 1 3

2 1 5 2 1

3 9 6 3 9

-6-45+36-(-6-45+36)=0

Tutti i minori di ordine 3 sono zero, quindi car(A1b)<3

Siccome A|b contiene A e A ha un minore di ordine 2 non

nullo, allora car(A|b)=2.

1 3 2

2 1 5

3 9 6

153

1 1 3

2 2 1

3 3 9

A


completa

1 1 3 2

| 2 2 1 5

3 3 9 6

A b

car(A)=2=car(A|b), quindi il sistema ha 3-2 soluzioni

154

Trovare le soluzioni:

3 2

2 2 5

3 3 9 6

x y z

x y z

x y z

Il minore individua righe e colonne

1 1 3

2 2 1

3 3 9

A

155


3 2

2 2 5

3 3 9 6

x y z

x y z

x y z

Il minore individua righe e colonne: le righe escluse dal minore

vengono cancellate

1 1 3

2 2 1

3 3 9

A

156


3 2

2 52

x

x

y z

y z

Il minore individua righe e colonne: le

colonne escluse dal minore

corrispondono a incognite, cui si

assegnano valori arbitrari (indicati con

lettere greche) e si portano dal lato dei

temini noti

1 1 3

2 2 1

3 3 9

A

x=

157


3 2

2 5 2

y z

y z

x

Il nuovo sistema ha p equazioni, p incognite, e determinante

della sua matrice dei coefficienti diverso da zero.

Quindi si può applicare Cramer al nuovo sistema

158


3 2

2 5 2

y z

y z

x

1 3( 1)*1 2*3 7

2 1

1 13 7 13 7

7 7

2 9 9

7 7

y

z

x

2 31 (2 )*1 3(5 2 ) 13 7

5 2 1

1 22 1*(5 2 ) 2*(2 ) 9

2 5 2

159

Verifica:13 7

7

9

7

y

z

x

3 2

2 2 5

3 3 9 6

x y z

x y z

x y z

7 13 7 27 143 2

7 7

14 26 14

13 7 9

7 7

13 7 9

7 7

9 352 2 5

7 7

21 39 21 81 423 3 9 6

13 7 9

7 7 77

160

Esempio : Determinare il numero delle soluzioni del seguente

sistema al variare di k:

3 2

2 2 5

3 3 9

x y z

x y z

x y z k

Numero di equazioni:3=n

Numero di incognite:3=m



Quindi car(A)=2


161

1 1 3 2

| 2 2 1 5

3 3 9

A b

k

Bisogna calcolare la caratteristica della matrice

completa A|b: Calcolo i minori di ordine 3

1 1 3 2

| 2 2 1 5

3 3 9

A b

k

1 1 3 2

| 2 2 1 5

3 3 9

A b

k

Selezionando le colonne 1, 2, 3 ottengo |A|, che è

=0

1 1 3 2

| 2 2 1 5

3 3 9

A b

k

Le colonne 1 e 2 sono proporzionali, quindi il

determinate del secondo minore è 0, a prescindere

da k

1 3 2

1 2 1 5 45 36 6 6 45 42 7 0 6

3 9

M k k k se k

k

1 3 2

2 2 1 5 45 36 6 6 45 42 7 0 6

3 9

M k k k se k

k

Quindi se k=6 tutti i minori di ordine 3 sono nulli, altrimenti no.

162

se k=6 tutti i minori di ordine 3 sono nulli, altrimenti no.

Quindi se k=6 car(A|b)<3, se k6 allora car(A|b)=3

Se k=6 car(A|b)<3:

Individuo un minore

di ordine 2 non nullo: questo basta per concludere che car(A|b)=2

1 1 3 2

| 2 2 1 5

3 3 9

A b

k

163

Esempio : Determinare il numero delle soluzioni del seguente

sistema al variare di k:

3 2

2 2 5

3 3 9

x y z

x y z

x y z k

Numero di equazioni:3=n

Numero di incognite:3=m

Quindi se k=6 car(A)=2=car(A|b) e quindi ci sono ∞3-2= ∞1 soluzioni

Se k6 car(A)=2 car(A|b)=3 e quindi non ci sono soluzioni

164

Ulteriore esercizio su sistemi dipendenti da parametro

165

2

1

2

x y k

x y

x ky

Esercizio: discutere il numero delle soluzioni del

seguente sistema al variare del parametro k

1 2

| 1 1 1

1 2

k

A b

k

1 2

1 1

1

A

k

n=3

m=2

Matrice incompleta Matrice completa

166

Calcolo della caratteristica di A e di

A|b

1 2

| 1 1 1

1 2

k

A b

k

1 2

1 1

1

A

k

Matrice incompleta A

Matrice completa

A|b

Osservazione: car(A)>=2,

Siccome car(A)<=2, allora car(A)=2

car(A|b)>=2. Può essere 3?

Per rispondere, dato che A|b è

quadrata, devo calcolare det(A|b)

• Applicando la regola di Sarrus, risulta

det(A|b)=k(k-2)

• Quindi, in generale, questo determinante non

è sempre =0 o diverso da 0, ma dipende da k.

• Per k0 e k2, det(A|b)0 , quindi car(A|b)=3

• Per k=0 o per k=2, det(A|b)=0, quindi

car(A|b)<3. Mettendo insieme questa

informazione con il fatto che abbiamo già

trovato un minore di ordine 2 non nullo,

car(A|b)=2.167

• In conclusione:

• Per k0 e k2, car(A)=2car(A|b)=3, quindi

non ci sono soluzioni (il sistema è

incompatibile).

• Per k=0 o per k=2, car(A)=2=car(A|b), quindi

ci sono 2-2= 0=1 unica soluzione.

168

Osservazione

Il sistema di questo esercizio può essere

risolto sostituendo k=0 oppure k=2; oppure

si può lasciare k generico e procedere con i

passaggi formali della risoluzione, avendo

indicato chiaramente che valgono solo per

k=0 oppure k=2

169

170

171

021 nbbb

0)...(

0...

0...)(

0...)(

2211

3232131

2222121

1212111

xnaxaxa

xaxaxa

xaxaxa

xaxaxa

nnnn

nn

nn

nn

Autovalori Data una matrice quadrata A di ordine n

ed il sistema omogeneo (cioè

dipendente dal parametro λ :

)

172

ogni valore di λ tale che risulti uguale a zero

il determinante della matrice del sistema

nnnn

n

n

n

aaa

aaa

aaa

aaa

21

33231

22221

11211

prende il nome di autovalore del sistema

173

103

32

103

32

1112910220

)3(*)3()10(*)2(103

32det

22

Esempio: Calcolare gli autovalori della

matrice:

Risoluzione:

Bisogna calcolare il determinante della matrice

174

02 cbxaxa

acbbx

2

42

2,1

011122 2

11*1*4144122,1

Voglio sapere per quali valori di λ tale determinante è

uguale a zero.

Questo determinante è espresso da un polinomio di

secondo grado in λ e per trovare i valori in cui si

annulla occorre risolvere l’equazione algebrica di

secondo grado in λ. Applico la formula risolutiva per

le equazioni di grado due

ed ottengo le due soluzioni λ1=1 e λ2=11 .

175

Tali soluzioni sono gli autovalori della

matrice iniziale

176

Autovettori

Per ogni autovalore λ trovato si calcolano i

corrispondenti autovettori sostituendo λ nel

sistema e risolvendolo.

Esempio

Ho già calcolato gli autovalori della matrice

103

32

Devo ora calcolare gli autovettori corrispondenti

a ciascuno dei due

che sono λ1=1 e λ2=11.

177

y

x 3

3

Quindi tutti i minori di ordine 2 che posso estrarre sono

nulli.

Tale minore individua la I equazione e l’incognita x.

Cancello la seconda equazione, assegno y=α e lo porto

dall’altra parte. Il nuovo sistema diventa

.

I vettori del tipo

sono gli autovettori di autovalore λ1=1

1Cerco un minore non nullo, per esempio .

178

0

0

)10(3

3)2(

yx

yx

Calcolo degli autovettori corrispondenti a λ1=11:

In maniera analoga.

2 3

3 10

x y x

x y y

lambda

n=2;m=2;

179

1 3

3 9

2 21 3

(1 )*(9 ) ( 3)( 3) 9 9 9 10 03 9

Le soluzioni sono =0 e =10.

Completare l’esercizio trovando gli autovettori

corrispondenti.

180

Norma di un vettore

La norma 2 di un vettore è la radice quadrata della

somma delle componenti al quadrato.

Corrisponde alla distanza euclidea dall’origine.

181

Norma di autovettori

182

Autovettori di norma unitaria

Che è valido per due valori:

Quindi i due autovettori di norma unitaria sono:

183

Nel caso di due autovalori, come

nell’esercizio precedente, il calcolo

degli autovettori di norma unitaria

va effettuato separatamente per gli

autovettori corrispondenti a

ciascuno degli autovalori, per cui

ci saranno 4 autovettori di norma

unitaria.

184

2 21 3

(1 )*(9 ) ( 3)( 3) 9 9 9 10 03 9

Le soluzioni sono =0 e =10.

Completare l’esercizio trovando gli autovettori di

norma unitaria corrispondenti.

Esercizio: trovare autovalori ed autovettori di

norma unitaria di

1 3

3 9

185

186

Il prodotto scalare

p=(p1, p2, …, pn)

q=(q1, q2, …, qn)

< p, q >= p1 q1 +p2 q2 +…+ pn qn

Esempio di utilizzo: prezzi (unitari) per quantità

In questo caso, il prodotto scalare è il totale del

costo.

187

mele, pere, pomodori, zucchine

1, 2, 1.5, .5a

q=(q1, q2, q3, q4)

p=(p1, p2, p3 , p4)Prezzi

unitari

(euro al

kg)

Quantità

(kg)(0.7, 3, 1, 2)

< p, q >= 1*0.7+2*3+1.5*1+0.5*2=0.7+6+1.5+1=

=9.2 euro

188

189

ቐ𝑥 = 4 − 𝑧𝑦 = 23𝑥 + 𝑧 = 10 − 2𝑦

Esercizio


Osservazione: prima di procedere occorre

ordinare le incognite.

ቐ𝑥 + 𝑧 = 4𝑦 = 23𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 10

190

A=1 0 10 1 03 2 1

ቐ𝑥 + 𝑧 = 4𝑦 = 23𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 10

A|b=1 0 1 40 1 0 23 2 1 10

1 0 10 0 13 2 1

1 00 03 2

= det(A)=

det(A)0 car(A)=3car(A|b)=31 sola soluzione

191

Utilizzo la regola di Cramer per trovare la soluzione:

x=

1

=

4 0 12 1 010 2 11 0 10 1 03 2 1

=4+0+4−[10+0+0]

−2=

−2

−2= 1

y=

2

=

1 4 10 2 03 10 11 0 10 1 03 2 1

=2+0+0−[6+0+0]

−2=

−4

−2= 2

y=

3

=

1 0 40 1 23 2 101 0 10 1 03 2 1

=10+0+0−[12+4+0]

−2=

−6

−2= 3

192

Regola di Laplace per il calcolo del

determinante

Questa regola permette di calcolare il

determinante di matrici quadrate di ordine

qualsiasi.

Le regole già viste per il calcolo dei

determinanti di matrici 1x1, 2x2, 3x3 sono casi

particolari di quesra regola.

La regola sviluppa il calcolo secondo una riga (

od una colonna) scelta.

193

194

Esempio

A11= A12= A13=

A=

Vantaggio della regola: se ci sono molti 0

195

Il risultato è identico a quello ottenuto con la regola

di Sarrus

1 0 10 0 13 2 1

1 00 03 2

196

Come ricordarsi l’alternanza dei segni?

197

198

Esercizio per casa:

ricalcolare 1, 2, 3 dell’esercizio precedente con

la regola di Laplace e controllare che il risultato è lo

stesso rispetto al calcolo con la regola di Sarrus.

199

Esercizi

200

Soluzioni

201

Esercizi ulteriori

202

Soluzioni

203

Esercizi: calcolare autovalori, autovettori ed

autovettori di norma unitaria di

204

Soluzione su autovalori ed autovettori.

Calcolare gli autovettori di norma unitaria

Matematica corso base a.a.2018/19 · Algebra lineare 2 OBIETTIVO del corso Acquisire strumenti matematici utili per l’analisi e per la soluzione di problemi concreti La matematica

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