-
Anton NEGRILAMaria NEcRILA
Solu[iile testelor de autoevaluarepot fi consultate la
adresa:
http://www.edituraparalela45. roldown
load/solutii_teste_de_autoevaluare
_consolidare_clasa8_p1 _201 8. pdf
alUGIriluG0mctliG
clasa n UIIFA[anGa Ieditia a Vl-a
Imlc 2000-Gffi0lldele
-
Cuprins
RECAPTTULARE $r EVALUARE rnrlrAr,Al. Teste cu exercifii gi
probleme recapitulative pentru pregdtireatestlrii inifiale
.............52. Modele de teste pentru evaluarea initial[.........
...................14
ALGEBRA
Capitolul I. Numere realel. Mullimi de numere. Forme de scriere
a unui numIr......... ......................1gTest de autoevaluare
.......................252. Recapitulare gi sistematizare prin
teste ............ ...................273. Reprezentarea pe ax6.
ordonarea numerelor reale. valoarea absolutI.Aproximarea numerelor
rea1e............ ..................2gTest de autoevaluqre
.......................354. Intervale de numere rea1e............
....................3i
4.1. Intervale in lR.. Definilie, reprezentare pe ax6.........
.........................374.2. Operalii cu intervale
.............40
Test de autoevaluare .......................455. Recapitulare gi
sistematizare prin teste............ ...................476.
Operafii cu mrmere rea1e........... ......................4gTest de
autoevaluare .......................597. Recapitulare gi
sistematizarepinteste............ ...................618. Probleme
de matematici aplicat6 in via{a cotidian6..... .......63
Capitolul II. Calcule cu numere reale reprezentate prin litereA.
Opera{ii cu numere reale reprezentate prin litere... ......64L
Adunarea gi sc[derea.. .................642. Inmullirea.
Impdrfirea. Ridicarea la putere...... ....................663.
Ordinea efectulrii operafiilor algebrice..... ......69Test de
autoevaluare .......................714. Formule de calcul
prescurtat .......73
4.1. Pdtratul sumei (diferenlei) a doi termeni
......................734.2. Produsul sumei cu diferen,ta.
.....................754.3. Pdtratul sumei a trei termeni.
....................77
5. Descompunerea in factori..........
......................7g5.1. Metoda factorului comun.........
.................7gS.2.Utilizarea formulelor de calcul prescurtat
....................g15.3. Gruparea termenilor ..............g35.4.
Metode combinate ................g55.5. Maxime gi minime.
Inegaliti{i algebrice ......................g6
Test de autoevaluare .......................g96. Recapitulare gi
sistematizare printeste ............ ...................91B.
Rapoarte de numere reale reprezentate prin litere .......g31.
Amplificarea. Simplificarea............. ...............93Test de
autoevaluare .......................g72. Operalii cu rapoarte..
...................99
-
2.1. Adunarea qi sciderea "'"""""992.2-inmullirea. imp64irea.
Ridicarea laputere...... """""'l0l2.3. Ordinea efectu[rii
operaliilor qi folosirea parantezelor ...................103
Test de autoevaluare """"""""""'1093. Recapitulare gi
sistematizare prin teste """"' 1114. Probleme de matematic[
apliiat5 in viala cotidian6""' ""'ll2
GEOMETRIE
Capitolul I. Rela{ii intre puncte, drepte qi plane1'. Puncte,
dreptl, plane.beterminaria dreptei.-................. """""""""""'
1132. Determinarea pianului """""""'1163. Piramida: descriere qi
reprezentare. Tetraedrul. """""""" 1 184. Prisma: descriere gi
reprizentare. Paralelipipedul dreptunghic. Cubul......."""""""
120
Test de autoevaluare .................. """""""""""'1235.
Poziliile relative a dou6 drepte in spa,tiu; relaliade paralelismin
spa!iu...............--..125
6. Unghiuri cu laturile respectiv paralele; unghiul a dou6
drepte in spaliu;
dreptJperpendiculare """"""""""126Z. noriliite relative ale unei
drepte fa!6 de un plan...'.... """" 128Test de autoevaluare
""""""""""'1318. Dreapta perpendicularS pe un plan. Distanla de la
un punct la un plan...'............'....133
Test de'auioeialuare """"""""""'1379. poziliile relative a doud
plane. Plane paralele. Distanla dintre doud plane paralele
.....139
10. inai.timeaprismei........ """"""'143I l. Secliuni paralele
ctbazair{ corpurile studiate. Trunchiul de
piramida...................1MTest de autoivaluare
""""""""""'14'712. Probleme de matematicd aplicatl in viala
cotidiand..... """""""""""'14913. Recapitulare qi sistematizate
prin teste'..'. """""""""""' 150
Capitolul II. Proiec(ii ortogonale pe un planl-. Proieclii de
puncte, de segmente de dreapta qi de drepte pe un
plan.....'...................153
2. Unghiul dinte o dreaptS gi un plan. Lungimea proiecliei unui
segment....'.'.'.......'..156Test de autoevaluare """"""""""'1593.
Teorema celor trei perpendiculare. Calculul distanfei de la un
punct la o dreapt6'
Calculul distanlei de la un punct la un plan. Calculul distanfei
dintre doui drepteparalele.................... """"""""""" 161Test
de autoevaluare """"""""""'1654. Recapitulare qi sistematizare prin
teste -.-.--...... """"""""'1675. Ung[i diedru. Unghi plan
corespunzEtor diedrului. Unghiul dintre dou6 plane.......' 1686.
Plane perpendiculare.................. """""""""'171Test de
iutoevaluare """"""""""'1757. Probleme de matematicd aplicati in
viala cotidian6'.... ""'1778. Recapitulare qi sistematizate
pinteste ............ """"""""' 178
Modele de teze semestriale .............180Probleme pentru
pregtrtirea olimpiadei qi a concursurilor qcolare
........185Indica{ii qi rispunsuri ..................
.......................189
-
Algebri
Gapitolul INumere reale
@ 1. Mullimi de numere. Forme de scriere a unui numir
oI
HHl{
oo14(,L)rciotroEq).Fo€
18
Obcervatii:
a) Mul,timea notati cu N* este N. : { t; 2;3; ... n: . ..} Ci N.
c N.b) Avem, pentm orice x,y e N, c6:
i) x +y e N, r - y e N, gi consecin(ele: x * y : 0 inseamnd x :
y : 0, iar x . y : Iinseamnix:I:1.
11) x - y e N numai dacix >y, iar x : y e N numai dacl existi
z e N astfel incdty . z : x. Dacd acest lucru nu are loc, se
folosegte teorema impirfirii cu restx:YZ I t,cul e N,0
-
Observalii:a)V*:Z\{O\;inplus,sedefinesc: Z-: {...;-n;...;1;1;-l}
qiZ*: {1;2;...;n;...},
ct n e N*. Avem cdZ* cZ qi,inPlus, N c Z.Z:Z w {0\ wZ-
b) Avem, pentru x, !, Z, t e Z, cd:
i) x+yeZ,x-Y€Z,x'YaZ-ii) DacL x2 + f : O,atunci x : Y : 0.iii)x
: y e Z, y* 0 dac[ 9i numai dacd existii ; e V.cu ir : y' r. in caz
contrar,
x : yz * l, unde t e Z qiO < 14 < LYl.Mulfimea numerelor
rafionale, notat6 cu Q, este:
rlA : ], I existi y, z eZ, z + O.asLfelincflt -r = i it' z)
Observalii:a) Avem cd Z c. Q, iar mullimea Q \ Z se numeqte
mullimea numerelor ralionale
neintregi. De asemenea, Q- : Q \ {0}.
b) un num5r rafional este reprezentat de o fraciie de forma 1,
., x e z si 1' e z-.)'
Vom numi fracfie o pereche de numere intregi x, y, ctJ y * O,
scrisd sub forma I. DouEv
fraclii I gi 1,cu x,!,z,teZ,y.t*O,senumescfracfiiechivalente
dacdxt:y.Datlyt
o fraclie 1, se oblin frac{ii echivalente cu ea prin:v
') * x"ti) amplificare: ;:;,ctrx,Y,
t e V-,Y' t *0;
*{' x:tii) simptificare'. L =;r,crtx,y,t e Z,y't+0;tlxqitly.
O frac{ie L,*,y aZ,y+ 0, se numeqte frac{ie ireductibill
dacd(x,y): l.v
Unnumlrra{ionalcare arecareprezentanto fracfie L,*,y e Z,y+0, Se
scrie subv
formd zecimali imp6(ind numirdtorul x la numitoruly.
in func1ie de factorii in care se descompune numitorul b al
fiacliei ireductibil" 1,vfrac\ia zecimald poate fi :
i) fracfie zecimall finit[, dac6 numitorul conline in
descompunerea sa numai factoride 2 sau/qi numai factori de 5;
t9
oI
l{HH
o(,vto\)lciU.FoEq){-o€
-
ii) frac{ie zecimali periodictr simpll, dacl descompunerea
numitorului in produs defactori primi conline al{i factori decdt 2
gi 5;
iii) fracfie zecimali periodici mixtI, daci descompunerea
numitorului in produs defactori primi conline factori de 2 sau/gi
numai factori de 5, cdt qi un alt factor prim.
Reciproc: Dacd un numdr ralional este reprezentat printr-o
fracfie zecimali, el poatefi transformat sub form[ de fracfie
ordinartr folosind reguli de transformare pentrufiecare tip de
fraclie zecimal5;.
i) fraclie zecimali finitr: ,,44br-4=r%4,
ii) fractie zecimall periodici simplii: "lbrbrbrL)=, n4,iii)
fracfie zecimalii periodicl mixti: a,\br..bo(crcr,.ct)= a
c) Pentru orice x, y c Q, avem cE x * y e Q, x -y e Q, x . y
eeQ,x+0,peZ.
Mulfimea numerelor irafionale, notatii cu IR. \ Q, este mul1imea
numerelor care sescriu zecimal cu o infinitate de zecimale care nu
se repettr periodic.
Mul{imea numerelor reale, notatd IR, este mullimea formatii din
reuniunea mullimii
numerelor ralionale cu mullimea numerelor iralionale. in mod
asemdnitor, IR.- : R \ {0}.Avem qirul de incluziuni N c Z c Q c
R..
Exerci[ii rezolvate:
?){. Se dd num[ru] "-.15
a) Scrieli numirul sub formd zecimald.b) Stabilili care este
a23-a zecimald a fractiei.c) Comparafi cifra miimilor cu cifra
zecimilor.
Solulie:?)
a) 1=2,1(3).l5b) a23-azecimald este 3.c) I
-
-zJ1; *, :\,r n (R - a) : {*, t},{r,1,z;!;t:r\, o-"= {i[-re, Q\,
n-R: zt 3)
lnQ:
r-Q:
tr{. stabilifi valoarea de adev6r a propoziliilor:
O O O octivit6ti de ?nv6fore O O O
a)NcZ; b)NcQ; c)NGiR\Q; d)NcN; e)NclR.\Z;
0ZgN; e)ZeZ\Q; h)Q*z: i)Q-R\Q; j)Q\zcQ'k)RelR\Q; l)lR.\QcR.;
m)ZcQ; flAGZ\N-; o)NcN*.
2. a) Ardtali cd,:
O Jr; (ii) J5;sunt numere iralionale.
liii) s+r6; Ql 3Ji; (v) s * tt,.,6
b) Stabilili valoarea de adevir a urmdtoarelor propozilii:(i)
Produsul oricS.ror dou[ numere iralionale este un numdr
ira{ional.(ii) Suma oriciror doud numere iralionale este un numdr
ira{ional'(iii) Suma dintre un numdr ralional qi un numdr
ira,tional este un numdr iralional.(iv) Produsul dintre orice numdr
iralional gi orice numdr ralional nenul este
iralional.(v) Pdtratul oricdrui numlr iralional este numbr
ralional.(vi) Orice num[r ira]ional ridicat la puterea zero este
numbr natural.
3. Amplificali fracliile: *t*, 1,1,* astfel inc6t sd aib[
acelaqi num6ritor.70'2s'3',5 13
4. Se considerd fracliile: +,+,3 Ci *, unde a * 0. Determinali
cea mai micd valoarel0 12', 15 30natural[ a numarului a, pentru
care fracfiile reprezintS simultan numere naturale.
5. Amplificali fracliile: 1,1,1,1,] astret inc6t sd aibd acelaqi
numitor, care sd fiet5'3- 6-10' 5egal cu c.m.m.m.c. al numitorilor
lor'
16912127303036. a) Care dintre fracfiil"' ;; fr; 15, ;t i,
O,;,;
sunt echivalente cu frac[ia : ?
b) Amplificali cu 4 fracfiil", l' 1' :' * 8' s
2' 4' 6' 99' 13' ll'srs10202530
c) Simplificalicu 5 fracliile:
^; T; 175; 45; 110; 85
.
d) Determinali din qirul urmdtor de fraclii:1 61 2 55 4 3 8 14
85 35 19 4'3'5 -- --,-.pe cele:,'i' 6' ll33' 2l' g' 15' 2.7' 15'
56' 72' 60
(i) ireductibile; (ii) subunitare; (iii) supraunitare; (iv)
echiunitare.
(,I
HHH
oov,(,()rci.9+-oEq)+o€
?t
-
7. Determinali valorile lui x, numdr natural, pentru care:
a) (i) 8 e N: (ii) J= . Z, (iii) --11- € N; (iv) a e N;" x-3b)
mullimile A: {4x;6x + 2) $i B : {2x - l;2x + l;3x + 2) au un singur
element
comun;c) mullimile A : {2x - 3; 3x - l } 9i B : {4x - 7 ; x + 31
sunt egale.
8. Scrielisubforma zecimald: !, lr 9, {, !, L, 4, 9, Y,
?1.-""-'-'5' 3'15' g' 8' 16' 15' 25' 6' 18'9. Scriefi sub formd
fracfionari: 4,15; 2,(18); 03(5a); 0,35(4); 0,91(6); 1,8(6);
5,02(7);0,4(9); 0,41 (l 6); 0, I 1(36); 1,0025; 0,008.{O. A.
Preciza\i valoarea de adev6r a propoziliilon
a)8eN; b)8eZ; c)8eQ; d)8eR; e)4eZ;
0 -6 e N; g) -1 . Q; h) -8,3 e lR; i)-j,9 e Z; j) 4,(5) e
Q;3
k) J8 e IR; l) "/E..lR-Q; -1 ps-1-:19 = x; n) t{-3)+(+)f .2.B.
Stabil{i valoarea de adevdr a propozifiilor:
, lri e Q; p) J01T. R-Q, q),[V 4' ez; r) 0,(3)+.6(a) e
R\Q;r--.--------l---- "s) Jt3 + 23 +33 + 43 e N; q ,12' .fz a3ffi a
v' u) {0} e R;
v) 0 e IR.; x) {0} c IR; y)2eQ\{-2,2}.{'1. Determinafi
mulfimile:
A: {* e N | 13
-
{ 6. Determinali elementele mullimilor:
A:{xeN.l x+3136}: A={.reli"' 2.r'1145};
C: {xeNl x
-
24, Determinali valoarea de adevlr a propozifiilor:a)xelR.;
b)xeQ; c)xeR.\Q;
[email protected]. Determinali mullimile:
d)x eZ,
b) A : {..r|"[to -ffi . $s;i$ . G- 6fr .zl.'tl2x+t)lll-l-
"),4: ] *.ul,lts-eJo +'ltt-zJto +'l+t+tzJs .ul.
| --l 2x-t l
26. Determinali numerele naturale ab, gtiind ci indeplinesc
condiliile:
-cu5qi lab+ba eQ.
ab este divizibil
27. a)Aritali cd q=.tg".2"*' -4'.32'e Qpentruoricaren e N*.b)
Determinali n e N astfel incdt a:216.
28. Determinali cifrax,inbaza 10, astfel incdt:
,)F.a; b)F.a; "tp-.u, d) F.n,*.trE29. a) Determinali cdte numere
naturale x * l, .r < 100 existi pentru care fractia
x-2= este ireductibilE.
3x2 +2x -5b) Determinafi numerele naturale x, x 1130, pentru
care fracfia =]| - ""t"' 2x'+4x-7
reductibild.
c) Gbsi{i forma generald a numerelor x e N*, pentru care fracfia
=
se poate' 3x+5simplifica.3O. Fienumirulralionalr € Q.Dac61lr eZ
gi 13r e Z,demonstralicdr eZ.
oIl{HH(,ougGrci.9+oEq){-o€
24