Ioan Balica Paula Balica Marius Perianu Citilin Stinici Daniela Stinici Matematicd caiet pentru vacanta de vara Clasa a VI-a
Ioan Balica
Paula Balica
Marius Perianu Citilin StiniciDaniela Stinici
Matematicdcaiet pentru vacanta de vara
Clasa a VI-a
Muttimi
I.1 Relalia dintre un element gi o mutime. Retaliiintre mutlimi
L2 Mu[imi finite. Muttimi infinite
I.3 Operalii cu mutlimi
Divizibititatea numere[or naturaleIL1 Criterii de divizibititaie. Descompunerea numerelor naturale
in produs de puteri de numere prime
II.2 C.m.m.d.c. gi c.m.m.m.c.
III Rapoarte gi proporlii. Procente
IILL Rapoarte
IIL2 Procente
III.3 Propor!ii
5
9
74
II
79
25
33
42
50
IV
III.4 Mdrimi direct propo4ionale. Mdrimi invers proporlionale ...... 58
Mu[!imea numerelor intregiIV.1 Numere intregi. ModutuI unui numirintreg.
Compararea 9i ordonarea numerelor intregi . 72
IV.2 Operalii cu numereintregi . .......... 80
IV.3 Ecualii gi inecualiiin muttimea numerelor intregi .......... 97
IV.4 Probteme carese rezotvi cu ajutorut ecualiilor gi at inecualiitor ,,,... tO4
Mu[!imea numere[or ralionaleV.1 Numere rafionale. ModutuI unui numir ralionat.
Compararea 9i ordonarea numerelor ralionale ... 109
V.2 Operalii cu numere ralionate .... .... . 118
V.3 Ecualiiin muLlimea numeretor ralionate , ,,,,... t34V.4 Probleme care se rezolvd cu ajutorulecualiilor ........... 140
No!iuni geometrice f undamenta[e
VL1 Unghiuri adiacente. Unghiuri suplementare, unghiuri complementare.Unghiuri opuse [a vArf. Unghiuri in juru[ unui punct ........ t44
VI.2 Paratelism 9i perpendicularitate ..... .. ........ L55
VI.3 Cercul ... !62
VI
VII TriunShiut ...... ....L66
VIII
xProprietdlitetriunghiurilor .... 180
Teste pentru inceputul clasei a VII-aTestutl . ........... 1gBTestul 2 . .......... 191Testut3... ....... 193Testut4 . ..... rg5Testuls . ....... rg7
30
88
9L
93
95
97I.1. Relalia dintre un element ti o mullime. Relalii intre mu$imi
r lntrei coguri q,Crgi Ca avem bile numerotate cain figura urmetoare:
Cog nr. 1 Cog nr. 2 Cos nr. 3
numiru[ 3?
numirul6?
Scrieli toate numerele naturate care:
a sunt cel mult egale cu 6
b sunt cel pulin egale cu 23 gi cel mutt egale cu 31
c au doud cifre, iar suma cifrelor este egalii cu 5.
5
a Cdror coguri te aparline bitacu numirul 2?
Ciror coguri le aparline bita cu
Ciror coguri [e apa(ine bila cu
Scrie!i:
a multimea resturitor posibite ale impirfirii unui numdr naturat ta 7;
b mu4imea resturitor posibile ate impa4irii unui numar natural la 3;
c mullimea resturitor posibite impirlirii unui numir natural [a 1"g;
d mu$imea cifretor din sistemulcu baza 2;
e mu$imea cifretor din sistemul zecimat;
t mu$mile literelor care formeaze fiecare dintre urmetoarele cuvinte: ,,matematice,,; ,,iucerie,.;.ebctricitate'; .marmeladd";
23 567i I34364;50 230 203.mul!imea cifretor din care sunt {ormate numerele:
Sedau muqimite: A=12;3t4t 5h B={1;3;5}; C={3;4;5;6;7}.Pentru fiecare dintre elementete: 1; 2; 5; 6;7, scrieli cirei mutlimiii apa4in gi cereia nu ii apa4in.Hxemplu: 7eB;7eA;7eC.
5
-l
rn.
L
l
5 Urmerind diagramele de mai irs, Fecizali elementele mullimitor A, B gi C:
Enumerali elementele f iecirei mu$imi:
a A = {xlx este numer natural, x < 8};
b 8={xlxeste numar naturat, 2<x<!Ol;
C= {xlx este numer natural, t<x<61;
d D = {xlx este numir natural nenuL,x<2O2OI;
e E = {xlx este numar natural par,x<33};
f F= {xlx este numdr natural, 203 < x < 2O4]i
g G = {xlx este numer natural, 44 < x < 45}.
Scrie!i urmetoarete mut!imi, punand in evidenle proprietelile caracteristice ale elementelor [or:
a A ={0; t;2;3;4i 5i 6Ii
7
--,
b B={0;2;4;6:B}:
c C={1;3i5i7igli
d O=i1;2:4:8ir6i32\i
e E={5; 70; t5; 2Ot 25t 3OI.
Fie A={x e Zl-3 <x < 2}. Scrieli elementele urmatoarelor muqimi:
8 =.{x e 4lx < 0};
f,={xeAlx>O}
D = {x € A lx este numar par};
E=lxeAlx=a+b,a,beAI;
P={xeAlx>1}.
I
l
*--
--l
--:
_"-l
l
-l
I
I
-1
I.2. Mu\imi finite. Mu$imi irffi1 Scrieli, dac6 existd, c6te cinci elenente ale mutlimilor:
aN;Rezolvare:
bzi c Z-; dz; e N\2.
Enumerali etementele mutimitor:
" 1={x e V,lt2 i xliA={......, ..'...,......}
u 8={x e xlxlreh
d D={x eZlxi 29i-r8<x<21;
" 5={xezl-slx9i l2x-11 <19};
t r={".zlS.x},
9
c ={x e zllx - rl < 3lilx- 1l <3 <+-3 <x- 1<3 <>
e e={r.zl2'-!.z\tL lx+5 )
|t g={x e Nlx, +x= 2 . (! + 2 + 3 +... + 2O2A)}.
Af la!i cardinatut urmitoarelor mutlimi:
a A=l-!iO;ti2i3:41
c C = {n € Nln 124}
d D={n e xln=2k, k e N, n<15}
e E={n € Nl(3.4)2+3n<29j.}
U 8={neN'ln<2L}
10
lI
I1
.
-_l
---tIl
l__]
---l
-!l
I
l---1
-,.1I
--t--l
I
ll
ll
c in tabetut de mai jos se gesesc informalii privind etevii ctasei a VI-a A dintr-o gcoali, careau participat in acest an gcolar la olimpiade:
Numele elevului Varsta inlltimea
Ratuca L2 ani 1,rtg m
l2ani !,49 m
L2ani 1,50 m
11ani 1,48 m
12 ani t,48 m
L1- ani L,40 m
!2ani 1,48 m
Determina!i elementete urmetoaretor muIimi:A = Mullimea tuturor elevilorB = Mullimea fetelorC = Mut!imea biie!itorD = Mu[imea elevitor care au 12 aniE = lYullimea etevilor care au participat ta doui otimpiadeF= Mullimea etevilor care au initlimea de 1,48 mG = Multimea elevilor btonziH = Mu[imea etevitor care au participat la cel pulin doui otimpiade
Rezolvare:
Cutoarea pirutui olimpiada la care a participat
Brunete Matematice, Fizica
Blond Fizica, Limba engLeze
gaten Limba romane, Limba engteze
gatena Matematice, Biotogie
Btond Fizice, Biologie, Geografie
Brunet Limbaromane,Retigie,Istorie
Btonda Limba romana
Fie muttimea 4 =J z, -+:E:!: -I!, rzt2 t *2L\.^-l- - 5'3' 1L""4'' 3JScrieli 3 submutlimi ale mutlimii A ale ceror elemente sunt numere intregi.
Rezolvare:
11
Se dau mutlimite: A ={n e N'ln<3}9iB = {n e N.12, < 8}.Stabitili dacd mutlimile A gi B sunt egate.
Rezolvare:
Fie mutlimite: A = lx e Zl-3 < x + 5 <3] 9i B={x eDeterminali valoarea de adever a propoziliitor:
a -5 eA;Rezolvare:
b Ac8;
Fie mutlimite: A=l-2;-ri3;5;81; 8={-1;3;5}; C={-2}; D={3; S;8};Completali spa.tiite punctate cu unuI dintre simboturitei ,,c,,i ,,=,'i ,,c,,.a A......8; b 8......4i c C.....,E;
Aflali x e N gtiind ce 12; 3t x; 9l = {2i 3; 7 i 91.
Rezolvare:
Determinali valorile lui{-3; -2; -t; O; t;2;31.Rezolvare:
& pentiu care mullimea l-2; -!; x] este o submutlime a mutlimii
Scrieli toate submutlimite mutlimiiA ={x e Nl 2 <x<4}.Rezolvare:
2l-6 <x < -2\.
c AcB; d {-1;0; UcA.
E ={-21.
d 8......D.
t2
l
A.
lI
lnii
Aratali caA c 8, unde:
1,{ ={x e Nl 10 <x< 15}9i B={x e Nl7<x<14};Rezolvare:
6 4=[x e Nlxdivizor propriu at tui 18 9i A={x € Nl 54 :x};Rezolvare:
c A=l2oi 2r;2,;231Fi B =lx e NlxlS];Rezolvare:
d A ={x € zllx+ 3l <5I ri B = lx e.Zllxl <71;
Rezolvare:
e A = {x € Nl4x + 11> 67} 9i I = {x e N | 7x - 5 > 72};
Rezolvare:
1 / ={x e Nl (x'z- 3)1221 9i B ={x e zllxl<51.Rezolvare;
13
Aftali x astfel incat A = B, daci:
^ A ={2;3i 4; 5} 9i B = {x; 5; 3;4}Rezolvare:
b A={x+1; 3x- 2}9i 8={8; 19};
Rezolvare:
c A = I3'i 24t 43:. 7,\ 9i B = l!6i 2Tt 49: 641.
Rezolvarer
1.3. Operalli cu multlmi
1 Fie mu[imite A, B, C, reprezentate prin diagrama Venn-Euler din figuraaleturati. Scrieli elementele mutlimitor: A, B, C, A u Bt A
^ Bt A\ B;
B\A;AuBwC;A^B^C.Rezolvare:
t4