Valentin Nicula Vasile Dilimo!-Ni15 Petre Simion Victor Nicolae Anca Silvia Negulescu r Prof.univ,dr.ing.mat. Augustin Semenescu r Carmen Axon Angela Simona BAltac r Viorel Bindil5 r Clarisa Cavachi . George Cihodariu Veronica Cojanu o Maria Dan o Gheorghe lonescu o loan Ghiti o Romanta Ghiti Alexandru Mihai o Monica Marilena Moldovan o Silvia Mugitoiu Paula Nica o ton Otirdseanu o Valentin Pitr6gcoiu o Lenuta Pirlog Emitia Claudia Preda o luliana Mariana Stoica r Carmen Taflaru Sorina-Mihaela Toader o Iuliana Tragci o Mircea Trifu o lonel Tudor Monica Topani o Oana Udrea o Marian Voinea MATEMATICA clasa a Xll-a BREVIAR TEORETIC. EXERCITII $l PROBLEME PROPUSE.SI REZOLVATE. TESTE DE EVALUARE r filiera teoretici r profilul real r specializarea matematici-informatici Consultant: Prol. u niv.d r. mqt. e m. OCTAVTAN StAfrtAy ta NICUtESCU
9
Embed
Matematica - Clasa 12 - Breviar teoretic (filiera ... 12 Breviar... · Alexandru Mihai o Monica Marilena Moldovan o Silvia Mugitoiu ... Teste de evaluare ... Valentin Nicula, Vasile
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Valentin NiculaVasile Dilimo!-Ni15
Petre SimionVictor Nicolae
Anca Silvia Negulescu r Prof.univ,dr.ing.mat. Augustin Semenescu r Carmen Axon
Angela Simona BAltac r Viorel Bindil5 r Clarisa Cavachi . George Cihodariu
Veronica Cojanu o Maria Dan o Gheorghe lonescu o loan Ghiti o Romanta GhitiAlexandru Mihai o Monica Marilena Moldovan o Silvia MugitoiuPaula Nica o ton Otirdseanu o Valentin Pitr6gcoiu o Lenuta Pirlog
Emitia Claudia Preda o luliana Mariana Stoica r Carmen Taflaru
Sorina-Mihaela Toader o Iuliana Tragci o Mircea Trifu o lonel Tudor
Monica Topani o Oana Udrea o Marian Voinea
MATEMATICAclasa a Xll-a
BREVIAR TEORETIC. EXERCITII $l PROBLEME
PROPUSE.SI REZOLVATE. TESTE DE EVALUARE
r filiera teoretici r profilul realr specializarea matematici-informatici
Consultant:Prol. u niv.d r. mqt. e m. OCTAVTAN StAfrtAy ta
NICUtESCU
CUPRINS
AIgebrI
Capitolul I. Grupuri...... .........................8
1. Legi de compo2ifie................. ........................8
2. Proprietifile legilor de compozifie. Structuri algebrice pregrupale... 14
Capitolul II. Integrale definite ..... l l0l. Diviziuni ale unui interval. Sume Riemann.
Nojiunea de funcfie integrabili.. ............... 1102. Integrabilitatea funcfiilor continue.
Formula lui Leibniz-Newton .......,........... .................... 115
3. Propriet[fi ale integralei definite... .............1204.Integrareafuncfiilorcontinue.Teoremadeihedie....5. Metoda integririi prin p[rf.... .................:..12g6. Metoda schimbirii de variabil[ ...............j.....................131T.Integrarea funcf;ilor rafionale ....................1358. Aplicafii ale integralei definite ..................140Teste de evaluare....- ...................146
Definifia IFiind dat[ o mullime nevid[ M, o funclie g: M xM -+ M se numegte lege
de compozifie (sau operafie algebricl interni) pe mulfimea M.
Pentru simplificarea scrierii, se noteazl opera,tia cu un simbol special, de
exemplu, t o, l- +, X ., (D, @ etc. astfel: dac[ (r,y)e MxM, notem 9(x,y)=x* y.
Notafia q(r,y) =x|! se nume$te notafie aditiv6, iar notalia q(r,y)=x'!,uneori, mai simplu, g(r,y) - r1l se nume$te notafie multiplicativ[.
Exemple:
a) * :1LxZl, -+72, x* y = x+ y - ry este o lege de compozifie pe 71.
Definilia 2
Perechea (M,*), format[ din mulfimea nevidd M gi legea de compozifie
x:M xM -> M se nume$te grupoid.
Defini{ia 3
DacL (U ,x) este un grupoid, iar H c M , H + A, atlnci Il se numegte parte
stabili (inchisi) alui M in raport cu * dacl V("r,y)e HxH = xx le 11. in
acest cM, legea de compozilie *lr*rtHxH -+Ilse nume$te lege de
compozifie indusi, iar (I1,*) se nume$te subgrupoid a lui (lZ,x).
Daci mulfimea M este finitd, M =1x,x,x3,...,x,),n€ IN*, legea de compo-
zifie poate fi exprimatd printr-o tabll Cayley (numit[ pi tabla operafiei), astfel:
Leqi de compozitie I
Exemple remarcabile de legi de compozi{ie pe mullimi finite:
1. Adunarea gi inmulfirea modulo z
Fie ne IN- gi ae Z. Numlr-ul r obf;nut ca rest al impl(irii lui a la z poate fiun numir natural de la 0la n-l care se nume$te restul modulo z al numdrului
a gi se noteazl r=amodn. Se consideri mulfimea q,={0,1,2,...,n-1} a res-
turilormodulo n.l*glle decompozifie @:KnxAun+R, il O:(xq -+\,,definite prin: .r@ y=(x+y)modn, respectiv xOy=(x'y)modn se numesc
adunarea modulo z, respectiv inmul,tirea modulo n.
De exemplu, pentru n=5, 3@ 4=7mod5= 2, sau 2O3=6mod5=1.
Pentru Vne lN.fixat, (&,O) ;i (&,O) sunt grupoizi.
2. Adunarea gi inmullirea claselor de resturi modulo z
Fie ne IN. qi ae Z.Dacd r=amodn,notdm )=lnk+rlte Z) 9i o numim
clasa de resturi a lui a modulo r. Se poate constata cL i=i. ttloltirn"u
Z, =16,i),...,A1 se nume$te multimea claselor de resturi modulo n.l-egile
respectiv i'j=fi, se numesc adunarea, respectiv inmul{irea claselor de
resturi modulo n gi se poate constata cd nu depind de reprezentanlii alegi x 9i y ai
claselor.
.De exemplu,in 7lo tabla adundrii este:
012
23^;300ti)
Pentru Vne IN* fixat, (72,,+) Si (22,,.) sunr grupoizi.
Exercifii 9i probleme pentru fixarea cunogtintelor
l,Fie M =72 $i H =22-lztctkeT,|cM. Ardtagcd,H esteparre stabild aluiMin raport cu operatia de adunare a numerelor intregi, adicd (H,+) este subgrupoid
al lui (,ur,+).
2. Fie M =71 gi ry' ={0,1,2,3,4) c M. pe M introducem operafla *, prin rela,tia
x* ! = max(.r,y). Ardtafi ce (U ,*) este subgrupoid al lui (M ,*).
3. Pe muliimea M =lR se definegte operafia x* ! =(*-q)(y -4)+4. Ardtafl cd
l't =14,*) este parte stabill alui M in raport cu legea de compozilie *.
4. Dacd (lR,x) este un grupoid in care x*!=ry-x-y*Z, iar g =(1,2),ardtap, cd (U ,x) este un subgrupoid al lui (lR,x).
5. Pe mulfimea numerelor reale IR se defineqte operafia x* ! =7 xy -7 x -7 y +g.Aritaf, cd H =(1,oo) este parte stabilr a lui IR in raport cu legea de compozifle x.
6. Dacb (lR,t) este un grupoid in care x* ! =-ry - x- y -2, iar H - (*,-I),ardtafi ce (ll,*) este un subgrupoid al lui (IR,x).
7. Fie M =R' qi legea de compozi [ie x * y - ry + 3x + 3y + 6. Arltaf, cd F1 = [-3,o")este parte stabilS alui M in raport cu operalia x.
8. Pe mulfimea IR a numerelor reale, definim legea de compozifie * prin:x* ! = ry + 5x + 5y+ 20, Vx,ye IR.
a) Aritafi cd xxy = (x+5)(f +5)-5, Vx,ye IR;
b) Ardta{i cd, M =f-S,oo) este triarte stabili a lui IR in raport cu operafia *;
Legi de compozitie
c) Calculafi f * r1... * d, r€ IR, ne IN.;de n ori
lrt o ,\l Ill'u^,lll8. Aritati ci mul{imea o=ll -, t -i llr. *f "r,"
p*" stabilr a lui fl,(tR)
ll o o i ll I[\" 4 )in raport cu operafia de inmulfire a matricelor.
9. Arehfi c[ mulfimea G=(0,.")\{1} este parte stabile a lui IR* in raporr cu
operafia * definiti prin xr. y = 162b9tt,Vr, ye IRi.
10. Pe mul,timea numerelor naturale nenule se consideri operafla * care asociaz[perechii ( r, y ) . IN* x IN* cel mai mare divizor comun al celor doui numere.
a) Aratafi ca (w.,*) este grupoid;
b) Stabili{i dacd, M ={1,2,3,4,5,6} este parte stabild a lui IN. in raport cu
legea *; prin completarea tabelei Cayley corespunz[toare mulflmii M.
Leoi de compozitie 13
I (t-* o ,\l I
Il.Fie u=le19=l o o, ll,."|1. [, or--)l ]
a) Arltafl cd M este parte stabill a lui %(R) in raport cu operafia de
inmulflre a matricelor;
b) Rezolvaf, in IR ecuaf a: A(x)'A(1) = A("r+ 2025);
c) Calculaii [a(r)]', re IR.
Exercilii gi probleme pentru performanfi
1. Arrtali cr prin corespondent, (r, y)+*-r=*#,ke(0,oo), se
obfine o lege de compozilie pe mulfimea M =(-t-t,t+f ).
2. Pe mulfimea (Ei a numerelor raf,onale strict pozitive se definegte operalia x
astfel incAt sI fie indeplinite simultan urmdtoarele condilii:
a) (x* fl(z* t\ = (xz)* (yr), Vx, y, z,re @l;
b) .x*x=1,V;e (ol;
c) x*l=x,Vre (El.
Calculati 2*a .'253. Fie ne IN,n) 2"si A={.re ltl(n,x)+1}. (Aici amfolositnotafia (c,b) pentru
cel mai mare divizor comun natural al numerelor a Si b.) Aritafi c[ mulfimea A este
parte stabila a ld 7Z in raport cu operafia de adunare a numerelor intregi dacd 9i