caderno do PROFESSOR MATEMÁTICA ensino médio volume 1 - 2009 1 a - SÉRIE
caderno doPROFESSOR
mat
Emát
ica
ensino médio
volume 1 - 20091a- SÉRiE
São Paulo (Estado) Secretaria da Educação. Caderno do professor: matemática, ensino médio - 1a série, volume 1 / Secretaria da Educação; coordenação geral, Maria Inês Fini; equipe, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Nílson José Machado, Roberto Perides Moisés, Ruy César Pietropaolo, Walter Spinelli.– São Paulo : SEE, 2009.
ISBN 978-85-7849-186-4
1. Matemática 2. Ensino Médio 3. Estudo e ensino I. Fini, Maria Inês. II. Granja, Carlos Eduardo de Souza Campos. III. Mello, José Luiz Pastore. IV. Machado, Nílson José. V. Moisés, Roberto Perides. VI. Pietropaolo, Ruy César. VII. Spinelli, Walter. VIII. Título.
CDU: 373.5:51
S239c
GovernadorJosé Serra
Vice-GovernadorAlberto Goldman
Secretária da EducaçãoMaria Helena Guimarães de Castro
Secretária-AdjuntaIara Gloria Areias Prado
Chefe de GabineteFernando Padula
Coordenadora de Estudos e NormasPedagógicasValéria de Souza
Coordenador de Ensino da RegiãoMetropolitana da Grande São PauloJosé Benedito de Oliveira
Coordenadora de Ensino do InteriorAparecida Edna de Matos
Presidente da Fundação para oDesenvolvimento da Educação – FDEFábio Bonini Simões de Lima
Coordenação do Desenvolvimento dos Conteúdos Programáticos e dos Cadernos dos ProfessoresGhisleine Trigo Silveira
AUTORES
Ciências Humanas e suas Tecnologias
Filosofia: Paulo Miceli, Luiza Christov, Adilton Luís Martins e Renê José Trentin Silveira
Geografia: Angela Corrêa da Silva, Jaime Tadeu Oliva, Raul Borges Guimarães, Regina Araujo, Regina Célia Bega dos Santos e Sérgio Adas
História: Paulo Miceli, Diego López Silva, Glaydson José da Silva, Mônica Lungov Bugelli e Raquel dos Santos Funari
Sociologia: Heloisa Helena Teixeira de Souza Martins, Marcelo Santos Masset Lacombe, Melissa de Mattos Pimenta e Stella Christina Schrijnemaekers
Ciências da Natureza e suas Tecnologias
Biologia: Ghisleine Trigo Silveira, Fabíola Bovo Mendonça, Felipe Bandoni de Oliveira, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Olga Aguilar Santana, Paulo Roberto da Cunha, Rodrigo Venturoso Mendes da Silveira e Solange Soares de Camargo
Ciências: Ghisleine Trigo Silveira, Cristina Leite, João Carlos Miguel Tomaz Micheletti Neto, Julio Cézar Foschini Lisbôa, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maíra Batistoni e Silva, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Paulo Rogério Miranda Correia, Renata Alves Ribeiro, Ricardo Rechi Aguiar, Rosana dos Santos Jordão, Simone Jaconetti Ydi e Yassuko Hosoume
Física: Luis Carlos de Menezes, Sonia Salem, Estevam Rouxinol, Guilherme Brockington, Ivã Gurgel, Luís Paulo de Carvalho Piassi, Marcelo de Carvalho Bonetti, Maurício Pietrocola Pinto de Oliveira, Maxwell Roger da Purificação Siqueira e Yassuko Hosoume
Química: Denilse Morais Zambom, Fabio Luiz de Souza, Hebe Ribeiro da Cruz Peixoto, Isis Valença de Sousa Santos, Luciane Hiromi Akahoshi, Maria Eunice Ribeiro Marcondes, Maria Fernanda Penteado Lamas e Yvone Mussa Esperidião
Linguagens, Códigos e suas Tecnologias
Arte: Geraldo de Oliveira Suzigan, Gisa Picosque, Jéssica Mami Makino, Mirian Celeste Martins e Sayonara Pereira
Educação Física: Adalberto dos Santos Souza, Jocimar Daolio, Luciana Venâncio, Luiz Sanches Neto, Mauro Betti e Sérgio Roberto Silveira
LEM – Inglês: Adriana Ranelli Weigel Borges, Alzira da Silva Shimoura, Lívia de Araújo Donnini Rodrigues, Priscila Mayumi Hayama e Sueli Salles Fidalgo
Língua Portuguesa: Alice Vieira, Débora Mallet Pezarim de Angelo, Eliane Aparecida de Aguiar, José Luís Marques López Landeira e João Henrique Nogueira Mateos
Matemática
Matemática: Nílson José Machado, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Roberto Perides Moisés, Rogério Ferreira da Fonseca, Ruy César Pietropaolo e Walter Spinelli
Caderno do GestorLino de Macedo, Maria Eliza Fini e Zuleika de Felice Murrie
Equipe de Produção
Coordenação Executiva: Beatriz Scavazza
Assessores: Alex Barros, Antonio Carlos Carvalho, Beatriz Blay, Carla de Meira Leite, Eliane Yambanis, Heloisa Amaral Dias de Oliveira, José Carlos Augusto, Luiza Christov, Maria Eloisa Pires Tavares, Paulo Eduardo Mendes, Paulo Roberto da Cunha, Pepita Prata, Renata Elsa Stark, Solange Wagner Locatelli e Vanessa Dias Moretti
Equipe Editorial
Coordenação Executiva: Angela Sprenger
Assessores: Denise Blanes e Luís Márcio Barbosa
Projeto Editorial: Zuleika de Felice Murrie
Edição e Produção Editorial: Conexão Editorial, Edições Jogos de Amarelinha, Jairo Souza Design Gráfico e Occy Design (projeto gráfico)
APOIOFDE – Fundação para o Desenvolvimento da Educação
CTP, Impressão e AcabamentoImprensa Oficial do Estado de São Paulo
EXECUÇÃO
Coordenação GeralMaria Inês Fini
ConcepçãoGuiomar Namo de MelloLino de MacedoLuis Carlos de MenezesMaria Inês FiniRuy Berger
GESTÃO
Fundação Carlos Alberto Vanzolini
Presidente do Conselho Curador:Antonio Rafael Namur Muscat
Presidente da Diretoria Executiva:Mauro Zilbovicius
Diretor de Gestão de Tecnologias aplicadas à Educação:Guilherme Ary Plonski
Coordenadoras Executivas de Projetos:Beatriz Scavazza e Angela Sprenger
COORDENAÇÃO TéCNICA
CENP – Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas
A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo autoriza a reprodução do conteúdo do material de sua titularidade pelas demais secretarias de educação do país, desde que mantida a integridade da obra e dos créditos, ressaltando que direitos autorais protegidos* deverão ser diretamente negociados com seus próprios titulares, sob pena de infração aos artigos da Lei nº 9.610/98.
* Constituem “direitos autorais protegidos” todas e quaisquer obras de terceiros reproduzidas no material da SEE-SP que não estejam em domínio público nos termos do artigo 41 da Lei de Direitos Autorais.
Catalogação na Fonte: Centro de Referência em Educação Mario Covas
Prezado(a) professor(a),
Dando continuidade ao trabalho iniciado em 2008 para atender a uma das
prioridades da área de Educação neste governo – o ensino de qualidade –, enca-
minhamos a você o material preparado para o ano letivo de 2009.
As orientações aqui contidas incorporaram as sugestões e ajustes sugeridos
pelos professores, advindos da experiência e da implementação da nova pro-
posta em sala de aula no ano passado.
Reafirmamos a importância de seu trabalho. O alcance desta meta é concre-
tizado essencialmente na sala de aula, pelo professor e pelos alunos.
O Caderno do Professor foi elaborado por competentes especialistas na área
de Educação. Com o conteúdo organizado por disciplina, oferece orientação
para o desenvolvimento das Situações de Aprendizagem propostas.
Esperamos que você aproveite e implemente as orientações didático-peda-
gógicas aqui contidas. Estaremos atentos e prontos para esclarecer dúvidas ou
dificuldades, assim como para promover ajustes ou adaptações que aumentem
a eficácia deste trabalho.
Aqui está nosso novo desafio. Com determinação e competência, certamen-
te iremos vencê-lo!
Contamos com você.
Maria Helena Guimarães de CastroSecretária da Educação do Estado de São Paulo
SuMário
São Paulo faz escola – uma Proposta Curricular para o Estado 5
Ficha do Caderno 7
orientação geral sobre os Cadernos 8
Situações de Aprendizagem 11
Situação de Aprendizagem 1 – Conjuntos numéricos – Regularidades numéricas e/ ou geométricas 11
Situação de Aprendizagem 2 – Progressões aritméticas ou progressões geométricas 22
Situação de Aprendizagem 3 – Soma dos termos de uma PA ou de uma PG finita – aplicações à Matemática Financeira 36
Situação de Aprendizagem 4 – Limite da soma dos infinitos termos de uma PG infinita 51
Orientações para Recuperação 58
Recursos para ampliar a perspectiva do professor e do aluno para a compreensão do tema 59
Considerações finais 60
Conteúdos de Matemática por série/bimestre do Ensino Médio 61
5
São PAulo FAz ESColA – uMA ProPoStA CurriCulAr PArA o EStAdo
Prezado(a) professor(a),
É com muita satisfação que apresento a todos a versão revista dos Cadernos do
Professor, parte integrante da Proposta Curricular de 5a a 8a séries do Ensino Fun-
damental – Ciclo II e do Ensino Médio do Estado de São Paulo. Esta nova versão
também tem a sua autoria, uma vez que inclui suas sugestões e críticas, apresentadas
durante a primeira fase de implantação da proposta.
Os Cadernos foram lidos, analisados e aplicados, e a nova versão tem agora a medida
das práticas de nossas salas de aula. Sabemos que o material causou excelente impacto
na Rede Estadual de Ensino como um todo. Não houve discriminação. Críticas e suges-
tões surgiram, mas em nenhum momento se considerou que os Cadernos não deveriam
ser produzidos. Ao contrário, as indicações vieram no sentido de aperfeiçoá-los.
A Proposta Curricular não foi comunicada como dogma ou aceite sem restrição.
Foi vivida nos Cadernos do Professor e compreendida como um texto repleto de sig-
nificados, mas em construção. Isso provocou ajustes que incorporaram as práticas e
consideraram os problemas da implantação, por meio de um intenso diálogo sobre o
que estava sendo proposto.
Os Cadernos dialogaram com seu público-alvo e geraram indicações preciosas
para o processo de ensino-aprendizagem nas escolas e para a Secretaria, que geren-
cia esse processo.
Esta nova versão considera o “tempo de discussão”, fundamental à implantação
da Proposta Curricular. Esse “tempo” foi compreendido como um momento único,
gerador de novos significados e de mudanças de ideias e atitudes.
Os ajustes nos Cadernos levaram em conta o apoio a movimentos inovadores, no
contexto das escolas, apostando na possibilidade de desenvolvimento da autonomia
escolar, com indicações permanentes sobre a avaliação dos critérios de qualidade da
aprendizagem e de seus resultados.
6
Sempre é oportuno relembrar que os Cadernos espelharam-se, de forma objetiva,
na Proposta Curricular, referência comum a todas as escolas da Rede Estadual, reve-
lando uma maneira inédita de relacionar teoria e prática e integrando as disciplinas
e as séries em um projeto interdisciplinar por meio de um enfoque filosófico de Edu-
cação que definiu conteúdos, competências e habilidades, metodologias, avaliação e
recursos didáticos.
Esta nova versão dá continuidade ao projeto político-educacional do Governo de
São Paulo, para cumprir as 10 metas do Plano Estadual de Educação, e faz parte das
ações propostas para a construção de uma escola melhor.
O uso dos Cadernos em sala de aula foi um sucesso! Estão de parabéns todos os que
acreditaram na possibilidade de mudar os rumos da escola pública, transformando-a
em um espaço, por excelência, de aprendizagem. O objetivo dos Cadernos sempre será
apoiar os professores em suas práticas de sala de aula. Posso dizer que esse objetivo foi
alcançado, porque os docentes da Rede Pública do Estado de São Paulo fizeram dos
Cadernos um instrumento pedagógico com vida e resultados.
Conto mais uma vez com o entusiasmo e a dedicação de todos os professores, para
que possamos marcar a História da Educação do Estado de São Paulo como sendo
este um período em que buscamos e conseguimos, com sucesso, reverter o estigma que
pesou sobre a escola pública nos últimos anos e oferecer educação básica de qualidade
a todas as crianças e jovens de nossa Rede. Para nós, da Secretaria, já é possível antever
esse sucesso, que também é de vocês.
Bom ano letivo de trabalho a todos!
Maria inês FiniCoordenadora Geral
Projeto São Paulo Faz Escola
7
Ficha do caderno
Sequências numéricas
nome da disciplina: Matemática
Área: Matemática
etapa da educação básica: Ensino Médio
Série: 1a
Período letivo: 1o bimestre de 2009
Temas e conteúdos: Conjuntos numéricos: regularidades numéricas
e/ou geométricas
Progressões aritméticas e progressões geométricas
Soma dos termos de uma PA ou de uma
PG finita: aplicações à Matemática Financeira
LimitedasomadostermosdeumaPGinfinita
8
outras. Insistimos, no entanto, no fato de
que somente o professor, em sua circuns-
tância particular, e levando em considera-
ção seu interesse e o dos alunos pelos temas
apresentados, pode determinar adequada-
mente quanto tempo dedicar a cada uma
das unidades.
Ao longo dos Cadernos são apresentadas,
além de uma visão panorâmica do conteúdo
do bimestre, quatro Situações de Aprendiza-
gem (1, 2, 3 e 4) que pretendem ilustrar a for-
ma de abordagem sugerida, instrumentando
o professor para sua ação na sala de aula. As
atividades são independentes e podem ser ex-
ploradas pelos professores com mais ou me-
nos intensidade, segundo seu interesse e de
sua classe. Naturalmente, em razão das limi-
tações no espaço dos Cadernos, nem todas as
unidades foram contempladas com Situações
de Aprendizagem, mas a expectativa é de que
a forma de abordagem dos temas seja explici-
tada nas atividades oferecidas.
São apresentados, também, em cada Ca-
derno, sempre que possível, materiais disponí-
veis (textos, softwares, sites e vídeos, entre ou-
tros) em sintonia com a forma de abordagem
proposta, que podem ser utilizados pelo pro-
fessor para o enriquecimento de suas aulas.
Compõem o Caderno, ainda, algumas con-
siderações sobre a avaliação a ser realizada,
bem como o conteúdo considerado indispen-
sável ao desenvolvimento das competências
esperadas no presente bimestre.
Os temas escolhidos para compor o conteú-
do disciplinar de cada bimestre não se afas-
tam, de maneira geral, do que é usualmente
ensinado nas escolas ou do que é apresentado
pelos livros didáticos. As inovações preten-
didas referem-se à forma de abordagem dos
mesmos, sugerida ao longo dos Cadernos de
cada um dos bimestres. Em tal abordagem,
busca-se evidenciar os princípios norteadores
do presente currículo, destacando-se a contex-
tualização dos conteúdos e as competências
pessoais envolvidas, especialmente as relacio-
nadas com a leitura e a escrita matemática,
bem como os elementos culturais internos e
externos à Matemática.
Em todos os Cadernos, os conteúdos estão
organizados em oito unidades de extensões
aproximadamente iguais, que podem cor-
responder a oito semanas de trabalho letivo.
De acordo com o número de aulas disponíveis
por semana, o professor explorará cada as-
sunto com mais ou menos aprofundamento,
ou seja, escolherá uma escala adequada para
o tratamento de cada um deles. A critério do
professor, em cada situação específica, o tema
correspondente a uma das unidades pode ser
estendido para mais de uma semana, enquan-
to o de outra unidade pode ser tratado de
modo mais simplificado.
É desejável que o professor tente contem-
plar todas as oito unidades, uma vez que,
juntas, compõem um panorama do conteúdo
do bimestre, e, muitas vezes, uma das uni-
dades contribui para a compreensão das
orienTação geral Sobre oS cadernoS
9
Matemática – 1ª- série, 1o bimestre
Conteúdos básicos do bimestre
A abordagem dos conceitos deste 1o bimes-
tre da 1a série, relativos ao bloco Números
e Sequências, priorizará aspectos conside-
rados fundamentais para a compreensão de
alguns dos diferentes significados dos con-
ceitos envolvidos.
O primeiro aspecto do qual pretendemos
ressaltar a importância para este estudo re-
fere-se ao reconhecimento da regularidade
envolvida na construção de sequências nu-
méricas ou de sequências geométricas. Para
tanto, propomos que o início do trabalho se
dê com a retomada das características dos
conjuntos numéricos, a fim de que os alu-
nos percebam, por um lado, a regularidade
do conjunto dos números naturais e dos
números inteiros e, por outro, a questão da
densidade dos números reais. Partindo do
conhecimento desses conjuntos, esperamos
que os alunos possam relacionar a regula-
ridade dos números naturais à de outras se-
quências numéricas e também geométricas,
identificando essa regularidade, sempre que
possível, por intermédio de uma equação
matemática. Para tanto, apresentamos, na
Situação de Aprendizagem 1 – Conjuntos numéricos; regularidades numéricas e/ou geométricas, uma série de situações-problema
exemplares, para que o professor possa op-
tar pela utilização total ou parcial no início
de seu trabalho.
Partindo do princípio de que os alunos
devem reconhecer a regularidade de sequên-
cias numéricas de qualquer natureza e es-
crever equações matemáticas que reflitam
a regularidade observada, julgamos impor-
tante que não sejam tratadas de maneiras
completamente distintas as sequências arit-
méticas e as sequências geométricas, como
se costuma observar nos livros didáticos.
Essa proposta de abordagem simultânea
dos dois tipos mais comuns de sequências,
as PAs e as PGs está contemplada na Situação de Aprendizagem 2 – Progressões aritméticas ou progressões geométricas e permite,
ao nosso ver, que o foco do tratamento
conceitual se desloque do formalismo algé-
brico para a construção do significado real
e importante das características da regula-
ridade de cada sequência.
Progressões aritméticas ou geométricas
estão presentes em várias situações contex-
tualizadas, conforme alguns modelos apre-
sentados na Situação de Aprendizagem 2, e
não costumam trazer dificuldades adicio-
nais de compreensão para os alunos. Den-
tre as inúmeras aplicações desse conteúdo,
destacamos especialmente uma, na Situação de Aprendizagem 3 – Soma dos termos de uma PA ou de uma PG finita; aplicações à Matemática Financeira, quando propo-
mos que problemas clássicos de cálculos
de juros e de montantes envolvidos em
processos de capitalização ou amortiza-
ção componham o contexto possível para
o tratamento da soma de um número fini-
to de termos de uma PA ou de uma PG.
Para o desenvolvimento das atividades que
compõem essa Situação de Aprendizagem,
conforme justificaremos adiante, julgamos
fundamental que os alunos possam dispor
de calculadoras.
10
O conceito de infinito, de suma impor-
tância em Matemática, costuma ser bastante
motivador para o estudo de alguns concei-
tos, desde as séries iniciais, quando os alunos
tomam contato com a ideia do “mais 1”, que
conduz à construção do campo numérico
dos naturais. A ideia da quantidade infini-
ta de números existente entre dois números
reais, como 1 e 2, por exemplo, é algo que
parece inicialmente estranho para nossos
alunos, mas pode, pouco a pouco, firmar-se
como um conceito fundamental da Matemática,
dependendo das diferentes abordagens que
destinamos ao conceito durante toda a es-
colaridade. Nessa perspectiva, isto é, com
o objetivo de que os estudantes construam,
gradual e lentamente, o conceito de limite
de uma função, não devemos perder opor-
tunidades que surjam durante nossas aulas
para, de maneira apropriada ao momento,
abordar a ideia de limite. É nesse contexto
que propomos a realização da sequência
de atividades que compõem a Situação de Aprendizagem 4 – limite da soma dos infinitos termos de uma PG infinita, durante a
qual o foco estará sempre colocado sobre o
conceito de limite, em detrimento de dificul-
dades de natureza algébrica.
A organização do trabalho do bimestre,
com base nas considerações anteriores, pode
ser feita nas oito unidades seguintes, referen-
tes, aproximadamente, a oito semanas.
Quadro geral de conteúdos do 1o bimestre da 1a série do Ensino Médio
unidade 1 – Sequências numéricas e/ou geométricas; identificação e registro da regularidade.
unidade 2 – Progressões aritméticas e progressões geométricas – termo geral e aplicações.
unidade 3 – Progressões aritméticas e progressões geométricas – termo geral e aplicações.
unidade 4 – Soma dos termos de uma PA ou de uma PG finita.
unidade 5 – Soma dos termos de uma PA ou de uma PG finita – aplicações à Matemática Financeira.
unidade 6 – Soma dos termos de uma PA ou de uma PG finita – aplicações à Matemática Financeira.
unidade 7 – Limite da soma dos termos de uma PG infinita.
unidade 8 – Limite da soma dos termos de uma PG infinita.
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Matemática – 1ª- série, 1o bimestre
SItuAçãO DE APRENDIzAGEM 1CONjuNtOS NuMÉRICOS; REGuLARIDADES NuMÉRICAS
E/Ou GEOMÉtRICAS
roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 1
Na 1a série do Ensino Médio, é bem pro-
vável que os alunos conheçam os conjuntos
numéricos, Naturais, Inteiros, Racionais
e Reais, e é provável, também, que tragam
construída a ideia preliminar da relação en-
tre dois subconjuntos desses conjuntos, co-
nhecimento este que é a base do conceito de
função. Se a premissa é verdadeira, cabe ao
professor relembrar aos alunos algumas ca-
racterísticas desses conjuntos, com o objetivo
de construir a base para a apresentação, pos-
terior, das leis de formação das sequências
numéricas. Caso a premissa não seja verda-
deira, isto é, se os alunos não conhecem com
qualidade os conjuntos numéricos, convém
que o professor apresente a eles, formalmen-
te, cada conjunto (N, z, Q e R), antes de ini-ciar a aplicação da Etapa 1.
Conhecidos os conjuntos numéricos, os alu-
nos poderão reconhecer que, na maioria das
vezes, uma sequência ordenada de números
pode ser identificada por intermédio de uma
sentença matemática que relaciona um nú-
mero natural a um número real. Essa ideia é
fundamental para o estudo das relações de
dependência entre um par de grandezas, ou,
em outros termos, para o estudo das funções.
Nesta Situação de Aprendizagem, explora-
remos, inicialmente, na Etapa 1, a construção
dos conjuntos numéricos e algumas de suas
propriedades. Em seguida, apresentaremos
algumas sequências, em que será possível a
identificação de determinados padrões de re-
gularidades, e pediremos que os alunos descre-
vam, em língua materna, a regularidade que
identificam. Isso feito, o próximo passo será pe-
dir que os alunos encontrem termos sucessivos
dessas sequências, caso elas mantenham a regu-
laridade observada. Completando a primeira
tempo previsto: 1 semana.
Conteúdos e temas: conjuntos numéricos; sequências numéricas e/ou geométricas; termo geral de sequên-cias numéricas.
Competências e habilidades: obter sequências numéricas a partir do conhecimento de seu termo geral; obter o termo geral de uma sequência numérica a partir da identificação da regularidade existente; reconhecer a existência ou não de padrões de regularidades em sequências numéricas ou geométricas; utilizar a linguagem matemática para expressar a regularidade dos padrões de sequências numéricas ou geométricas.
Estratégias: resolução de exercícios exemplares.
SituAçõES dE APrEndizAGEM
12
etapa, os alunos serão convidados a exprimir
a regularidade observada, por intermédio de
uma sentença matemática.
Realizada a etapa inicial, proporemos, na
Etapa 2, que os alunos obtenham sequências
numéricas a partir de condições dadas em lín-
gua materna ou em linguagem matemática e,
ainda, que obtenham termos determinados de
algumas dessas sequências.
Etapa 1 – observando padrões e regularidades
Inicialmente, recomendamos que o pro-
fessor liste o conjunto dos números naturais
e dos números inteiros para, em seguida, pedir
que identifiquem alguns subconjuntos descri-
tos por informações comunicadas em língua
materna, como, por exemplo:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... }
z = { ... –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}
Quais são os elementos do conjunto numé-
rico assim formado:
a) números naturais menores do que 7.
b) números naturais maiores ou iguais a 8.
c) números inteiros menores do que 7 e maiores do que –2.
d) números inteiros cujo valor absoluto é menor do que 4.
Em seguida, após a exposição desses e
de outros exemplos que o professor julgar
apropriados, poderá ser pedido que os alunos
transcrevam as informações comunicadas em
língua materna para a linguagem matemática.
No caso dos exemplos anteriores, teríamos:
a) {x ∈ N / x < 7} = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}.
b) {x ∈ N / x ≥ 8} = {8, 9, 10, 11, 12, ...}.
c) {x ∈ z / – 2 < x < 7} = {–1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}.
d) {x ∈ z / |x| < 4} = {–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3}.
Discutidos alguns casos, como exemplifica-
do, recomendamos que os alunos se envolvam
na resolução dos seguintes problemas:
Problema 1
Dados os conjuntos seguintes, descritos em
linguagem cotidiana, encontre, em cada caso,
seus elementos e traduza a descrição dada
para a linguagem matemática.
a) O conjunto A é formado por números naturais maiores do que 4 e menores ou iguais a 11.
{5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}.
b) O conjunto B é formado por números naturais menores ou iguais a 6.
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}.
c) O conjunto C é formado por números inteiros maiores ou iguais a –3 e menores do que 5.
{–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4}.
13
Matemática – 1ª- série, 1o bimestre
d) O conjunto D é formado por números inteiros maiores ou iguais a –2.
{–2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}.
Problema 2
Quais são os cinco menores números que
pertencem a cada um dos seguintes conjuntos?
a) E é o conjunto dos números naturais que são divisíveis por 4.
E = {0, 4, 8, 12, 16}.
b) F é o conjunto dos números naturais ímpares maiores do que 7.
F = {9, 11, 13, 15, 17}.
c) G é o conjunto dos números inteiros que, elevados ao quadrado, resultam em um número menor do que 10.
G = { –3, –2, –1, 0, 1}.
d) H é o conjunto dos números naturais que, quando dobrados e somados a 1, resul-tam em um número maior do que 7.
H = {4, 5, 6, 7, 8}.
Após a resolução desses e de outros proble-
mas de mesma natureza, convém questionar
os alunos sobre como descrever, em linguagem
matemática, os conjuntos E, F, G e H do Pro-
blema 2. O desafio pode ser lançado aos alu-
nos a fim de que seja verificada a compreensão
que podem ou não ter conseguido da atividade.
Embora possam ser aceitas diferentes respostas,
caberá ao professor avaliar aquelas que apre-
sentam maior grau de correção, valorizando-
as. De qualquer maneira, apresentamos, a
seguir, possíveis respostas corretas.
E = {4n, sendo n ∈ N, e n < 5}.
F = {2n + 1, sendo n ∈ N, e 4 ≤ n ≤ 8}.
G = {x ∈ Z / –4 < x < 2}.
H = {2n + 1 > 7, sendo n ∈ N, e n < 9}.
A resolução e a discussão desses problemas iniciais permitirão, ao nosso ver, introduzir a notação apropriada para a designação de termos de uma sequência numérica. Todavia, antes que isso seja implementado (o que será feito na Etapa 2), consideramos importante que os alunos se detenham um pouco mais na identificação das regularidades de algu-mas sequências.
A sequência dos números naturais é construída, como sabemos, pelo acréscimo de uma unidade a um termo já conhecido. A fim de proporcionar aos alunos a oportu-nidade de observar regularidades e perceber que, muitas vezes, é possível construir uma “receita” ou uma sentença que indique como
a sequência deve continuar, o professor pode
apresentar tipos diferentes de sequências
para que os alunos observem as proprieda-
des de seus elementos e descubram a lei de
formação, ou seja, o padrão utilizado para a
construção da sequência. Oriente-os a cons-
truir uma sentença algébrica que permita
calcular um termo qualquer, em função de
sua posição na sequência (sequências, sob o
ponto de vista funcional).
14
Assim, uma possível abordagem desse tema
pode iniciar-se com a proposição de questões
que envolvam sequências repetitivas ou não,
solicitando do estudante que observe o padrão
de cada uma, escreva os próximos termos e
determine, por exemplo, o centésimo termo
da sequência.
1, 1, 1, 1, 1, ..., ..., ... f
1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, ... f
5, 4, 8, 1, 3, 5, 4, 8, 1, 3, 5, 4, 8, 1, 3, 5, 4, ... f
É importante que o professor auxilie os alu-nos na observação de que, nessas sequências, os motivos (períodos) são repetidos igualmen-te – um elemento ou um grupo de elementos se repete periodicamente –, levando-os a per-ceber que essa característica deve ser levada em conta, na organização dos dados, para a identificação do termo solicitado.
As sequências figurais também podem en-riquecer o trabalho com a observação de re-gularidades e generalização de padrões. No caso da sequência abaixo, o professor pode, por exemplo, solicitar que o aluno indique a figura que deve ocupar a 152a posição.
1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 3 4 5 6 7 8
Para tanto, o aluno deverá perceber que a
sétima figura é igual à primeira, a oitava figura
é igual à segunda e assim por diante. Ou seja,
cada período é formado por seis figuras; por-
tanto, a 152a figura será igual à segunda, pois
tanto o número 2 (que indica a posição da se-
gunda figura) quanto o número 152 (que indica
a posição da 152a figura), quando divididos por
6, deixam resto 2.
Assim, o professor poderá auxiliar os alu-
nos na conclusão de que as Figuras 1, 7, 13,
19, etc. são todas iguais à primeira figura, pois
os números 1, 7, 13, 19, etc., quando dividi-
dos por 6, deixam resto 1. Do mesmo modo,
as Figuras 3, 9, 15, 21, etc. são todas iguais
à Figura 3, pois os números 3, 9, 15, 21, etc.,
quando divididos por 6, deixam resto 3 e as-
sim sucessivamente.
A exploração de sequências repetitivas, nu-
méricas ou não, favorece a discussão sobre al-
gumas noções trabalhadas nas séries anteriores,
como múltiplos, divisores e regras de divisibili-
dade, e permite uma aproximação da noção de
congruência, uma vez que trabalha com núme-
ros que, divididos por um determinado número
inteiro, apresentam o mesmo resto.
Realizada a discussão do exemplo propos-
to e de outros que o professor julgar apro-
priados, propomos que os alunos resolvam os
seguintes problemas:
Problema 3
Observe a sequência de figuras:
1 2 3 4 5 6 7...
15
Matemática – 1ª- série, 1o bimestre
Supondo que a lei de formação continue a
mesma, desenhe as figuras que deverão ocu-
par as posições 38a e 149a, nessa sequência.
Justifique sua resposta.
A figura que ocupa a posição 38 será a
mesma figura da posição 2, pois a divisão
de 38 por 4 deixa resto 2, e a que ocupa a
posição 149 será a mesma da posição 1, visto
que a divisão de 149 por 4 deixa resto 1.
Problema 4
Observe a sequência (1, 1, 2, 3, 3, 1, 1, 2, 3,
3, 1, 1, 2, 3, 3, 1, 1...). Supondo que permaneça
a lei de formação dessa sequência, determine
o 38o e o 149o termos dessa sequência.
O período é de cinco números. Assim, o
38o termo é 2, pois a divisão de 38 por 5 deixa
resto 3, e o terceiro termo da sequência é o
número 2; o 149o termo é igual a 3, pois a
divisão de 149 por 5 deixa resto 4, e o quarto
termo da sequência é o número 3.
Problema 5
Hoje é quarta-feira. Devo pagar uma dívi-
da exatamente daqui a 90 dias. Em que dia da
semana cairá o 90o dia?
O período é de sete dias. A divisão de 90
por 7 deixa resto 6; portanto o 90o dia será
o sexto elemento da sequência dos dias da
semana iniciada na quinta-feira. Logo, o
90o dia será terça-feira.
Problema 6
Um processo de reflorestamento previa
a plantação de um número x de mudas de
árvores. No primeiro dia, foram plantadas
120 árvores, e planejou-se que, nos próximos
dias, seriam plantadas, a cada dia, dez árvores
a mais do que teria sido plantado no dia ante-
rior. Isso sendo feito,
a) quantas árvores serão plantadas no séti-mo dia?
6 . 10 + 120 = 180 árvores.
b) qual é o número x, se, no final do déci-mo dia, havia-se plantado a metade do total previsto inicialmente?
No décimo dia = 9 . 10 + 120 = 210 ⇒S = 120 + 130 + 140 + ... + 190 + 200 + 210
S = (120 + 210) . 5 = 1 650 (Metade do total)
Total de árvores = 1 650 . 2
x = 3300
Problema 7
Observe os seis primeiros termos de
uma sequência.
1 2 3 4ABCD
(I)
1 2 3 4ABCD
(II)
1 2 3 4ABCD
(III)
1 2 3 4ABCD
(IV)
1 2 3 4ABCD
(VI)
1 2 3 4ABCD
(V)
16
Supondo que a regularidade observada na
formação desses termos seja mantida para a
formação dos demais, isto é, que o termo (I)
seja igual ao termo (VII), que o termo (II) seja
igual ao termo (VIII) e assim por diante,
a) quais quadrículas estarão pintadas no termo (XXX)?
O período da sequência é de seis termos. A
divisão de 30 por 6 resulta resto zero. Assim,
o termo (XXX) é igual ao termo (VI), e
nele estarão pintadas as quadrículas C2, C3,
D3 e D4.
b) quantas vezes a quadrícula B2 terá sido pintada, desde o termo (I) até o termo (XIX)?
A quadrícula B2 é pintada três vezes a cada
período, nos termos (I), (III) e (IV). Até o
termo (XIX), incluindo-o, serão três períodos
e mais um termo. Portanto, a quadrícula B2
será pintada 3 . 3 + 1 = 10 vezes.
Professor, uma prática que costuma mo-tivar os alunos e aproveitar, de forma mais intensa, seus conhecimentos anteriores é solicitar-lhes que, com base nas condições desse problema, criem diversas questões, para que sejam trocadas e resolvidas por eles mesmos, sob sua supervisão. Além dis-so, esse tipo de atividade é um consistente instrumento no estímulo à metacognição, isto é, estimula cada aluno a refletir sobre como elabora e mobiliza suas estratégias de raciocínio durante uma etapa de resolução de problemas.
Etapa 2 – Sequências definidas por sentenças matemáticas
Nesta etapa, os alunos serão convidados a
obter sequências numéricas a partir de condi-
ções definidas, inicialmente, na língua materna
e, posteriormente, na linguagem matemática.
Além disso, desenhando um percurso inverso
ao anterior, uma série de problemas será pro-
posta para que os alunos obtenham a expres-
são do termo geral de determinada sequência
numérica. Propomos que o exemplo seguinte
seja apresentado e discutido com os alunos
antes que eles se envolvam com a resolução
dos problemas propriamente dita.
Em uma sequência numérica, o primeiro
termo é uma fração de numerador 1 e deno-
minador 4. Os termos seguintes ao primeiro
podem ser obtidos adicionando sempre uma
unidade ao numerador e ao denominador da
fração do termo imediatamente anterior.
a) Quais são os cinco primeiros termos dessa sequência?
1
4, 2
5, 3
6, 4
7, 5
8..
b) Chamando o primeiro termo de a1, o segundo termo de a2, o terceiro de a3 e assim por diante, quanto é a9?
9
12..
c) Quanto é a54?
54
57..
17
Matemática – 1ª- série, 1o bimestre
d) Como se pode determinar um termo an qualquer?
Um termo qualquer an é uma fração em que
o numerador é igual a n e o denominador é 3
unidades a mais do que n, isto é, é igual a
n + 3. Assim, an = nn + 3
.
Chamamos a atenção do professor para
o fato de que o conjunto de problemas desta
etapa envolve sequências numéricas de várias
naturezas, e não apenas as aritméticas e as geo-
métricas, e também para a necessidade de os
alunos escreverem em língua materna a regu-
laridade expressa na linguagem matemática.
Problema 1
Em uma sequência numérica, o primeiro
termo é igual a 2, e os seguintes são obtidos
a partir do acréscimo de 3 unidades ao termo
imediatamente anterior. Nessa sequência:
a) quais são os cinco primeiros termos?
(2, 5, 8, 11, 14).
b) qual é o a10?
(29).
c) qual é o a20?
(59).
d) como se pode determinar um termo an qualquer?
Somando o termo inicial, 2, a um certo
número de termos sempre iguais a 3. Para
obter um termo n qualquer, devemos somar o
primeiro termo, 2, com n – 1 termos iguais a
3. Assim, an = 2 + 3 . (n – 1) = 3 . n – 1.
Outro raciocínio possível é o seguinte: como
o salto de um termo a outro é constante e
igual a 3, podemos supor que uma expressão
geral deva conter o termo 3 . n. Para que
a1 = 2, é preciso que seja subtraído 1 de 3 . n.
Assim, an = 3 . n – 1.
Problema 2
Para obter os termos de uma sequência nu-
mérica, é necessário fazer o seguinte:
1. Elevar a posição do termo ao quadrado,
isto é, calcular 12 para o primeiro termo,
22 para o segundo termo, 32 para o terceiro
termo e assim por diante.
2. Adicionar duas unidades ao resultado ob-
tido após elevar ao quadrado a posição
do termo.
Para essa sequência numérica:
a) quais são os cinco primeiros termos?
(3, 6, 11, 18, 27).
b) qual é o oitavo termo?
a8 = 82 + 2 = 66.
c) qual é o a20?
a20 = 202 + 2 = 402.
d) como se pode determinar um termo an qualquer?
an = n2 + 2.
18
Problema 3
Observe os cinco primeiros termos da se-
guinte sequência numérica:
3, 2,53
,32
,75
.
Verifique que é possível determinar os ter-
mos dessa sequência a partir da expressão
an = n 2
n,
+ atribuindo a n valores naturais
maiores do que zero.
Para n = 1 ⇒ a1 = 1 + 2
1 = 3;
Para n = 2 ⇒ a2 = 2 + 2
2 = 2;
Para n = 3 ⇒ a3 = 3 + 2
3 =
53
.
Problema 4
A expressão an = n 1
n 1
–+ é a expressão do
termo geral de uma sequência numérica, isto é,
os termos da sequência podem ser obtidos, se
forem atribuídos a n valores naturais maiores
do que zero. Para essa sequência, encontre:
a) a1
a1 = 1 – 11 + 1 = 0.
b) a5
a5 = 5 – 15 + 1
=46
=23
.
c) o oitavo termo
a8 = 8 – 1
8 + 1=
7
9.
d) a posição do termo que é igual a 911
.
O termo 9
11 pode ser escrito como
10 – 1
10 + 1.
Portanto, ele é o décimo termo.
Problema 5
uma determinada sequência numérica tem
a1 = 9, a2 = 3, a3 = 1 e a4 = 13
. Nessa sequência,
qual é:
a) o quinto termo?
Cada termo da sequência, a partir do
segundo, é obtido pela divisão do anterior
por 3. Assim, o quinto termo será igual a
1
3÷ 3 =
1
9.
b) o a6?
a6 = a5 ÷ 3 = 1
9÷ 3 =
1
27.
c) a posição do termo que é igual a 181
?
Como 27 é igual a 81 ÷ 3, e 1
27 é o sexto
termo, 1
81 é o sétimo termo.
Problema 6
Qual das duas expressões listadas a seguir
é a expressão do termo geral da sequência do
exercício anterior? (Lembre-se que n é o nú-
mero que dá a posição do termo na sequência,
19
Matemática – 1ª- série, 1o bimestre
isto é, se n = 2, temos o segundo termo; se n = 5,
temos o quinto termo e assim por diante.)
an = 93n an = 33 – n
O termo geral da sequência é an = 33 – n, que
poderá ser verificado a partir da substituição
de n por números naturais maiores do
que zero.
Problema 7
A sequência dos números pares positivos é
esta: 0, 2, 4, 6, 8, 10, ...
Nessa sequência:
a) qual é o décimo termo?
O décimo termo é 18.
b) qual é o 15o termo?
O 15o termo é 28.
c) qual é o a35?
a35 = 68.
d) qual é o a101?
a101 = 200.
e) qual é a posição do termo que é igual a 420?
420 é o 211o termo.
f) como se pode determinar um termo an qualquer?
Fazendo (n – 1) . 2, sendo n um número
natural maior do que zero.
Problema 8
Escreva os cinco primeiros termos da sequên-
cia dos números ímpares positivos.
1, 3, 5, 7, 9...
Nessa sequência:
a) qual é o décimo termo?
a10 = 19.
b) qual é o a13?
a13 = 25.
c) qual é o a25?
a25 = 49.
d) como se pode determinar um termo an
qualquer?
Fazendo 2 . n – 1, em que n é um número
natural maior do que zero.
Problema 9
Observe a sequência numérica 1, 4, 9, 16,
25, ... Nessa sequência, qual é:
a) o sexto termo?
O sexto termo é 62 = 36.
b) o a7?
a7 = 72 = 49.
c) a expressão de seu termo geral?
an = n2.
20
Problema 10
uma sequência numérica é dada pelo se-
guinte termo geral:
an = n + 1
Para essa sequência, determine:
a) os cinco primeiros termos.
2 3 2 5 6, , , , .
b) os cinco primeiros termos que sejam nú-meros inteiros.
Os cinco primeiros termos representados
por números inteiros serão aqueles em que o
radicando é um quadrado perfeito.
a3 = 2 a8 = 3 a15 = 4 a24 = 5 a35 = 6
Problema 11
Observe a sequência de figuras.
Responda:
a) Quantos quadrinhos brancos deverá ter a sexta figura dessa sequência?
30 quadrinhos brancos, pois 6 . 6 – 6 = 30.
b) Escreva uma fórmula que permita cal-cular a quantidade de quadrinhos bran-cos, em função da posição n da figura na sequência. (Sugestão: você pode or-ganizar os dados em uma tabela como a que segue.)
c) Quantos quadrinhos brancos deverá ter a 39a figura dessa sequência?
39² – 39 = 1 482 = 39 . 38.
Problema 12
A seguir, estão os primeiros elementos de
uma sequência de figuras que representam os
chamados números quadrangulares. Analise-
os e responda às questões propostas.
1 2 3 4 5
a) Quantos quadrinhos deverá ter o sexto elemento dessa sequência? E o décimo termo?
36; 100.
b) Escreva a expressão do termo geral des-sa sequência.
n².
Posição da figura na sequência
número de quadrinhos
pretos
número de quadrinhos brancos
1 1 0
2 2 2² – 2
3 3 3² – 3
4 4 4² – 4
n n n² – n = n . (n – 1)
21
Matemática – 1ª- série, 1o bimestre
Problema 13
Observe a figura:
1 3 5 7 9
Nessa representação, os números escritos
logo abaixo da figura indicam a quantidade
de quadrinhos de cada um desses conjuntos.
Sendo assim, responda:
a) qual é a soma dos números escritos abaixo da quinta figura?
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25.
b) que relação pode ser estabelecida entre esse resultado e a figura analisada?
A soma dos números escritos abaixo da figura
é igual ao total de quadrinhos que formam a
figura. Os números escritos abaixo da figura
são os cinco primeiros naturais ímpares. Sua
soma é 25. O total de quadrinhos da figura
é 5² = 25.
c) utilize os resultados de suas observações para determinar, sem efetuar a adição, o resultado de 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15.
8² = 64.
Problema 14
Observe as linhas completas da tabela e
complete as que estiverem em branco.
Adição descrição
1 + 3 = 4 = 2²
A soma dos dois primeiros números ímpares é igual ao quadrado de 2.
1 + 3 + 5 = 9 = 3²
A soma dos três primeiros números ímpares é igual ao quadrado de 3.
1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4²
A soma dos quatro primeiros números ímpares é igual ao quadrado de 4.
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 5²
A soma dos cinco primeiros números ímpares é igual ao quadrado de 5.
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ...+ 2 . n – 1 +...= n²
A soma dos n primeiros números ímpares é igual a n2.
Considerações sobre a avaliação
A Situação de Aprendizagem 1 abordou a
regularidade numérica, e também geométrica,
observada em algumas sequências. Além dis-
so, introduziu a ideia de que é possível obter
uma sequência numérica a partir de uma re-
lação matemática estabelecida entre um con-
junto discreto (naturais) e um conjunto de
qualquer natureza. São esses, pois, os elemen-
tos importantes a serem avaliados. Para tanto,
sugerimos que o professor elabore momentos
de avaliação que contemplem:
22
a obtenção de termos de maiores ordens de f
uma sequência, a partir do conhecimento
dos primeiros termos;
a determinação do termo geral de sequên- f
cias numéricas, desde que esses termos ge-
rais se baseiem em expressões conhecidas
pelos alunos, como, por exemplo, expres-
sões do tipo a . x + b ou a . x2 + b.
Salientamos, também, a importância de
que as avaliações não se restrinjam a situações
individuais. Em alguns momentos, pode-se
contemplar a possibilidade de que os alunos
consultem seu material de aula e, em outros,
seus colegas de grupo. Destacamos, por fim,
o fato de que um trabalho com caracterís-
ticas essencialmente indutivas, como é o
caso dos temas desenvolvidos neste Cader-
no, estimula sobremaneira a discussão e a
tomada de decisões, justificando, dessa for-
ma, a inclusão de instrumentos de avaliação
não individuais.
SItuAçãO DE APRENDIzAGEM 2 PROGRESSÕES ARItMÉtICAS Ou PROGRESSÕES
GEOMÉtRICAS
tempo previsto: 2 semanas.
Conteúdos e temas: progressões aritméticas e progressões geométricas; expressão do termo geral da PA e da PG.
Competências e habilidades: reconhecer o padrão de regularidade de uma sequência aritmética ou de uma sequência geométrica; utilizar a linguagem matemática para expressar a regularidade dos padrões de sequências numéricas.
Estratégias: resolução de exercícios exemplares.
roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 2
As sequências aritméticas ou geométricas
são bastante estudadas, no Ensino Médio,
por vários motivos, sendo um deles a pouca
exigência algébrica, e outro motivo a facili-
dade de padronizar os conceitos por inter-
médio de fórmulas matemáticas.
A baixa exigência algébrica envolvida, es-
pecialmente no estudo das PAs, deve ser, de
fato, valorizada, em detrimento de exercícios
sem qualquer contexto, que exijam a escrita
de equações complexas. Enfatizamos, portan-
to, que se priorizem o desenvolvimento dos
conteúdos e a apresentação de situações-pro-
blema, sob o prisma do reconhecimento da
regularidade da sequência e da generalização
23
Matemática – 1ª- série, 1o bimestre
intuitiva do termo geral, colocando em se-
gundo plano, portanto, a simples substitui-
ção de valores em fórmulas decoradas.
Outro aspecto que merece comentário é o
fato de que, em geral, as PAs e as PGs são
tratadas de modo independente, uma a cada
tempo, e, em primeiro lugar, sempre vêm as
PAs e, depois, as PGs.
No entanto, vale destacar o fato de que
o raciocínio principal envolvido em um
ou em outro tipo de sequência é o mesmo,
ou seja, um valor constante é o passo que
permite obter um termo a partir do ante-
rior. O fato de que, em um caso, esse passo
é adicionado, enquanto, no outro, é mul-
tiplicado é algo que compõe o raciocínio
secundário do estudo, cujo reconhecimen-
to não costuma trazer qualquer dificuldade
adicional aos alunos.
Dessa forma, apresentaremos, a seguir,
uma série de problemas exemplares, com-
postos, em alguns casos, por PA, em ou-
tros, por PG e, em outras situações, pelos
dois tipos de sequências. Sugerimos que
sejam propostos aos alunos na ordem em
que aparecem.
O Problema 1 pode ter a resolução solicita-
da sem nenhum comentário prévio. Durante
os comentários da correção, o professor pode-
rá valorizar as diversas maneiras de resolução
que eventualmente surgirem. um tipo de re-
solução importante, que poderá ser levantado
pelo professor, caso não surja dos alunos, é
aquele que considera o passo de cada sequência
como parcela ou fator constante no momento
da escrita da expressão do termo geral da
sequência. Por exemplo, no caso da sequên-
cia (5, 9, 13, 17, 21, ...), o passo constante
é 4, que, adicionado a cada termo, permite que
se obtenha o seguinte. Nesse caso, a expressão
do termo geral deverá conter, necessariamen-
te, um termo do tipo 4 . n. Compreendido isso,
pode-se pensar da seguinte maneira:
Esse mesmo tipo de raciocínio pode ser
aplicado na determinação do termo geral de
uma PG. Na sequência (2, 6, 18, 54, ...), por
exemplo, o passo constante é 3, que, quando
multiplicado a algum termo, resulta no termo
imediatamente seguinte. Assim, se sempre se
multiplica por 3, o termo geral da sequência
Para n = 1, o resultado deve ser igual
a 5, que é o primeiro termo da sequên-
cia. No entanto, ao fazer 4 . n ou 4 . 1, o
resultado obtido é 4. Sendo assim, ainda
falta uma unidade para ser obtido o pri-
meiro termo. Logo, o termo geral pode
ser este:
an = 4 . n + 1
testando essa expressão para outros
termos, verificamos que ela é válida, pois:
a2 = 4 . 2 + 1 = 9
a3 = 4 . 3 + 1 = 13
Logo, o termo geral da sequência é
mesmo an = 4 . n + 1.
24
deve conter 3n. A partir do entendimento des-
sa regularidade, pode-se pensar que:
Para n = 1, o resultado deve ser igual
a 2, que é o primeiro termo da sequência.
No entanto, ao fazer 3n ou 31, obtemos 3,
e não 2. Logo, deve haver mais um fator
na expressão, a fim de que o resultado
esperado seja obtido. Esse fator é 2
3,
pois 3 . 2
3 = 2. Então, o termo geral da
sequência deve ser este:
an = 2
3 . 3n
testando essa expressão para outros
termos, verificamos que ela é válida, pois:
a2 = 2
3 . 32 =
18
3 = 6
a3 = 2
3 . 33 =
54
3 = 18
Logo, o termo geral da sequência
é mesmo an 2
3 . 3n, que, simplificando,
pode ser escrito an = 2 . 3n – 1.
outro tipo de raciocínio, nem mesmo esse que
descrevemos há pouco. Caberá a cada aluno
escolher o raciocínio que considera mais ade-
quado, e caberá ao professor discutir todos os
raciocínios que surgirem, apresentando prós
e contras de cada um, no sentido de fornecer
elementos para que os alunos possam refinar
suas estratégias iniciais.
Problema 1
Considere as sequências de (I) a (VI) para
responder às questões propostas.
(i) (0, 3, 6, 9, 12, ...)
(ii) (1, 4, 7, 10, 13, ...)
(iii) (2, 5, 8, 11, 14, ...)
(iV) (–2, 4, –8, 16, –32, ...)
(V) (0,2; 0,4; 0,6; 0,8; ...)
(Vi) (1, 4, 16, 64, 256, ...)
a) Escreva os três termos seguintes de cada uma dessas sequências.
(I) 15, 18, 21.
(II) 16, 19, 22.
(III) 17, 20, 23.
(IV) 64, –128, 256.
(V) 1,0; 1,2; 1,4.
(VI) 1 024, 4 096, 16 384.
b) É verdade que o algarismo 8 não apa-rece em nenhum número da sequência (II)? justifique.
Não, pois o algarismo 8 aparece no termo
28, que é o décimo termo da sequência.
É esperado, nessa Situação, que alguns
alunos adotem procedimento semelhante ao
adotado para a PA, isto é, fazer 3n e, em segui-
da, subtrair uma unidade, a fim de que 31 – 1
coincida com o primeiro termo da sequência.
Nesse caso, caberá ao professor pedir que os
alunos apliquem a “fórmula” obtida para os
demais termos da sequência, quando, então,
perceberão o equívoco do raciocínio adotado.
Salientamos, novamente, que não é con-
veniente formalizar a adoção de um ou
25
Matemática – 1ª- série, 1o bimestre
c) É possível que um mesmo número natu-ral apareça em duas das três primeiras sequências? Justifique.
Não, pois a sequência (I) é formada
apenas por números que, divididos por
3, deixam resto zero; a sequência (II) é
formada apenas por números que, divididos
por 3, deixam resto 1; a sequência (III) é
formada apenas por números que, divididos
por 3, deixam resto 2. Como a divisão
por um número natural diferente de zero
(divisão euclidiana) não pode apresentar
dois restos distintos, não é possível que
um mesmo número apareça em duas
dessas sequências.
d) O número 1 087 é um termo de qual(is) sequência(s)?
O número 1 087 é um termo da sequência
(II), pois a divisão de 1 087 por 3 deixa
resto 1, e é também elemento da sequência
(V), uma vez que é múltiplo de 0,2.
e) Mostre que o número 137 não pertence à sequência (II).
A sequência (II) é formada apenas por
números que, divididos por 3, deixam resto
1. Logo, o 137 não é termo da sequência
(II), pois a divisão de 137 por 3 deixa
resto 2.
f) Escreva o termo geral da sequência (I).
an = 3 .(n – 1), n ∈ N*.
g) Escreva o termo geral da sequência (II).
an = 3 . n – 2, n ∈ N*.
h) Escreva o termo geral da sequência (III).
an = 3 . n – 1, n ∈ N*.
i) Escreva o termo geral da sequência (IV).
an = (– 2)n, n ∈ N*.
j) Escreva o termo geral da sequência (V).
an = 0,2 . n, n ∈ N*.
k) Escreva o termo geral da sequência (VI).
an = 4n ÷ 4, n ∈ N*.
l) Escolha um critério, justificando-o, e se-pare as seis sequências em dois grupos.
Espera-se, neste item, que os alunos percebam
que há, entre as sequências apresentadas,
algumas em que o passo constante é somado
a cada termo e outras em que o passo
constante é multiplicado a cada termo.
Todavia, poderão aparecer outros critérios, e
o professor deverá estar atento para valorizar
os critérios surgidos, mas, também, enfatizar
a importância do reconhecimento do passo
constante das sequências, seja ele somado ou
multiplicado.
26
Problema 2
Sabe-se que as Olimpíadas, a Copa do
Mundo e os jogos Pan-americanos ocorrem de
quatro em quatro anos. Se essas competições
ocorreram nos anos de 2004, 2006 e 2007, res-
pectivamente, e considerando que continuem
a acontecer, segundo essa regra, por muito
tempo, responda:
a) Qual competição ocorrerá em 2118? E em 2079 e 2017?
As Olimpíadas acontecem em anos em
que sua divisão por 4 deixa resto zero, a
Copa acontece em anos em que sua
divisão por 4 deixa resto 2, e os Jogos
Pan-americanos acontecem em anos em
que sua divisão por 4 deixa resto 3.
Assim, em 2118 aconteceria a Copa do
Mundo (resto 2), em 2079 aconteceriam
os Jogos Pan-americanos (resto 3), e em
2017 não aconteceria nenhuma dessas três
competições (resto 1).
b) Haverá algum ano em que ocorrerá mais de uma dessas três competições? Explique.
Não é possível, pois qualquer número dividido
por 4 deixa um, e apenas um, desses restos:
zero, 1, 2 ou 3.
Problema 3
uma determinada sequência numérica
respeita a seguinte condição: a diferença en-
tre dois termos consecutivos é sempre a mes-
ma e igual a 6. Se o primeiro termo dessa
sequência é –8,
a) quais são os cinco primeiros termos?
(–8, –2, 4, 10, 16...).
b) qual é o a9?
40.
c) qual é o 15o termo?
76.
d) qual é o 20o termo?
106.
e) quanto é a diferença entre a12 e a5?
42.
f) qual é a expressão de seu termo geral, isto é, qual é a formula matemática que relaciona um termo qualquer (an) à po-sição do termo (n)?
an = 6 . n – 14.
Problema 4
O primeiro termo de uma sequência numé-
rica é 0,02, e, para obter os termos seguintes,
basta multiplicar o termo imediatamente an-
terior por 5. Dessa forma, qual é:
a) o segundo termo?
0,1.
27
Matemática – 1ª- série, 1o bimestre
b) o a3?
0,5.
c) o a4?
2,5.
d) o resultado da divisão entre a6 e a4?
25.
e) o termo geral da sequência, isto é, qual é a formula matemática que relaciona um termo qualquer (an) à posição do termo (n)?
an = 0,02 . 5n – 1.
A resolução dos exercícios anteriores foi,
de certa forma, preparatória para a caracte-
rização das PAs e das PGs. Finalizada essa
etapa, o professor poderá definir progressão
aritmética e progressão geométrica a partir de
uma discussão com seus alunos, identificando,
dentre as sequências já estudadas, aquelas que
atendem a cada definição dada.
Compreendido o significado de uma pro-
gressão aritmética, o aluno será capaz de
concluir que, partindo do primeiro termo,
para avançar um termo na sequência, deverá
adicionar o “passo”, ou razão “r”, uma vez,
isto é, a2 = a1 + r; da mesma forma, para
avançar dois termos, deverá adicionar 2 . r ao
primeiro termo, obtendo a3 = a1 + 2 . r. Por
esse processo, espera-se que o aluno reco-
nheça que, para obter o 20o elemento, deverá
adicionar 19 . r ao primeiro termo e escreverá:
a20 = a1 + 19 . r, e assim sucessivamente. Esse
raciocínio favorecerá a construção, por parte
do aluno, da fórmula do termo geral da PA,
que é dada por an = a1 + (n – 1) . r.
Além disso, essa compreensão permiti-
rá que o aluno note que, para “passar” de a4
para a11, deverá avançar sete termos, ou seja,
para obter o termo a11 a partir do termo a4,
deverá adicionar 7 . r ao termo a4 e escreverá:
a11 = a4 + 7 . r. Da mesma forma, poderá es-
crever a4 = a11 – 7 . r, pois, para “passar” de a11
para a4, deve “retroceder” sete termos.
De forma análoga, as progressões geométri-
cas têm a si associado o significado de que, co-
nhecidos o primeiro termo e o passo, ou razão
“q”, é possível determinar qualquer termo da
sequência a partir da multiplicação do primei-
ro termo pela razão um determinado número
de vezes. Assim, se o aluno compreender que
a2 = a1 . q, que a3 = a1 . q2, e assim por dian-
te, compreenderá, também, que an = a1 . qn – 1
e, generalizando, que an = ak . qn – k.
Destacamos, novamente, a importância
de valorizar o raciocínio dos alunos na ob-
tenção do termo geral de uma PA ou de uma
PG, em detrimento de amarrar a resolução
dos problemas à utilização das fórmulas ob-
tidas. O professor deverá estar atento para
a observação das estratégias de resoluções
dos alunos, a fim de distinguir aqueles que
utilizam fórmulas prontas como um mero
atalho para a aplicação do conceito que
já dominam, e, portanto,podem ser esti-
mulados nessa postura, ainda dos alunos
que, sem terem atingido a compreensão de-
sejada, buscam adaptar as condições dos
28
problemas às fórmulas, como se pergun-
tassem a si próprios, todo o tempo: “Qual
fórmula eu uso agora?”. Casos dessa natu-
reza certamente merecerão maior atenção
do professor.
É importante que o professor também ex-plore o seguinte fato: cada termo de uma PG, a partir do segundo, é a média geométrica en-tre seu antecessor e seu sucessor. O exemplo a seguir serve como ilustração:
Após a discussão dos problemas ante-riores e das expressões do termo geral das PAs e das PGs, o professor poderá pedir que os alunos resolvam alguns problemas exemplares.
Problema 5
Considere que uma progressão aritmética é uma sequência (a1, a2, a3, ... an, ...) de números an, em que a diferença entre cada termo an + 1 e seu antecedente an é uma constante. Essa diferença constante é chamada razão da pro-gressão aritmética e é representada por r. Assim, em uma progressão aritmética de ra-zão r, temos: an + 1 – an = r, para todo n na-tural, n ≥ 1. De acordo com essa definição, indique quais das sequências que se seguem são progressões aritméticas. Em caso afirma-tivo, determine a razão.
a) (2, 5, 8, 11, ...).
b) (2, 3, 5, 8, ...).
Na PG (4, 8, 16, 32, 64 ...), 16 é média
geométrica de 8 e 32, pois 16 8 32= . .
c) (7, 3, –1, –5, ...).
d)
14
3
143
2
3,
2
3,
2
3,
2
3 , ... .
e) –3
2, –1, –
1
2, 0, ...
14
3
143 .
f) 6, 2, 2
3,
2
9, ...
14
3
143 .
São PAs as seguintes sequências: a) (razão: 3);
c) (razão –4); d) (razão: 0); e) (razão: 12
).
Problema 6
Considere as sequências dadas por seus
termos gerais:
I) an = 4 . n + 1, com n ∈ N, n ≥ 1;
II) an = 4 . n2 + 1, com n ∈ N, n ≥ 1;
III) a1 = 2 e an = an – 1 . 3, com n ∈ N, n ≥ 2;
IV) a1 = 2 e an = an – 1 + 3, com n ∈ N, n ≥ 2.
Obtenha os cinco primeiros termos de cada
uma dessas sequências e destaque a razão da-
quelas que forem progressões aritméticas.
I) 5, 9, 13, 17, 21. II) 3, 15, 35, 63, 99.
III) 2, 6, 18, 54, 162. IV) 2, 5, 8, 11, 14.
São PAs as seguintes sequências: (I), com
razão = 4, e (IV), com razão = 3.
Problema 7
Considere que uma progressão geométrica
é uma sequência (a1, a2, a3,... an, ...), em que
cada termo an, a partir do segundo, é obtido
29
Matemática – 1ª- série, 1o bimestre
pela multiplicação de seu antecedente an – 1 por
uma constante diferente de zero.
De acordo com essa definição, quais das
sequências abaixo são progressões geométri-
cas? Justifique sua resposta.
I) (1, 3, 9, 27, ...); II) (1, 2, 6, 24, ...);
III)
14
3
14336, 12, 4,
4
3, ... ; IV) (1, –2, 4, –8 ...);
V)
14
3
1433,
8
3,
7
3, 2, ... ; IV) ( , , , , ...)2 2 2 2 4
São PGs: (I), de razão 3; (III), de razão 1
3;
(IV), de razão –2; (VI), de razão 2 .
Problema 8
Considere as sequências:
I) an = 3 . n + 1, com n ∈ N, n ≥ 1;
II) an = 3 . n2 – 1, com n ∈ N, n ≥ 1;
III) an = 3 . n, com n ∈ N, n ≥ 1;
IV) a1 = 3 e an = an – 1 . 2, com n ∈ N, n ≥ 2;
V) a1 = 3 e an = an – 1 + 2, com n ∈ N, n ≥ 2;
Determine os cinco primeiros termos de
cada sequência e destaque a razão daquelas
que forem progressões geométricas ou pro-
gressões aritméticas.
I) 4, 7, 10, 13, 16.
II) 2, 11, 26, 47, 74.
III) 3, 6, 9, 12, 15.
IV) 3, 6, 12, 24, 48.
V) 3, 5, 7, 9, 11.
(IV) é PG de razão 2. São PAs: (I), de razão
3; (III), de razão 3; e (V), de razão 2.
Problema 9
Observe a sequência de figuras e responda
às questões propostas.
a) Quantos quadradinhos comporão a quinta figura dessa sequência? E a sex-ta figura?
Quinta figura: 48 quadradinhos e sexta
figura: 96 quadradinhos.
b) Associe a essa sequência outra que in-dique o número de quadradinhos de cada figura. Essa sequência é uma PG? Justifique.
(3, 6, 12, 24, ...) é PG, pois cada termo an é obtido a partir da multiplicação do termo
anterior an – 1 por 2.
c) Construa uma fórmula que possa ser utilizada para determinar um termo qualquer dessa sequência.
Podemos escrever a fórmula desta maneira:
an = 3 . 2n – 1.
Este problema poderá favorecer uma dis-
cussão sobre a obtenção da fórmula do termo
geral de uma PG.
1 32 4
30
Posição de um
termo na sequência
CálculoQuantidade de quadradinhos
1 3 3
2 3 . 2 = 3 . 21 6
36 . 2 = 3 . 2 . 2 =
3 . 22 12
412 . 2 = 3 . 2 . 2 . 2 = 3 . 23 24
... ... an-1
n(an-1) . 2 =
3 . 2n n-1
an = (an-1) . 2 =
3 . 2n-1
Para o desenvolvimento desta atividade, a
tabela a seguir organiza os dados, a fim de que
as regularidades sejam mais facilmente obser-
vadas. uma possível solução é a seguinte:
Neste caso, o aluno pode obter uma fór-
mula de recorrência: an = (an – 1) . 2 e a fórmula
do termo geral: an = 3 . 2n – 1.
Problema 10
Na figura, cada quadradinho é formado
por quatro palitos de comprimentos iguais.
1 2 3 4 5
...
a) A sequência formada pelas quantidades de palitos necessários para a construção das figuras forma uma PA? justifique sua resposta.
A sequência formada pelas quantidades de
palitos é, sim, uma PA, pois cada figura tem
seis palitos a mais que a precedente: 4, 10,
16, 22, 28, ...
b) Quantos palitos serão necessários para a construção da sexta figura? E da sétima?
28 + 6 = 34 e 34 + 6 = 40.
c) Quantos palitos serão necessários para construir a 78a figura?
4 + 77 . 6 = 466.
d) Escreva uma fórmula que expresse a quantidade de palitos da figura que ocupa a posição n nessa sequência.
an = 4 + (n – 1) . 6 = 6 . n – 2.
Problema 11
Sabe-se que o nono termo de uma PA de
razão 4 é 29. Qual é o 20o termo dessa PA?
a20 = 73. Para determinar o 20o termo de
uma PA é suficiente adicionar ao 9o termo
uma parcela que é igual ao produto 11 . 4,
pois, para “passar” do 9o ao 20o, é necessário
“avançar” 11 termos, ou seja, a20 = a9 + 11 . r.
Não é necessário, portanto, encontrar antes
o primeiro termo para se obter o vigésimo.
Problema 12
Sabe-se que a sequência (8, x, –4, y) é uma
progressão aritmética. Determine os valores
de x e y.
Em toda PA, temos a3 – a2 = a2 – a1 ⇒
–4 – x = x – 8 ⇒ x = 2. Com o mesmo
raciocínio, escrevemos y – (–4) = –4 – x ⇒
y + 4 = –4 –2 ⇒ y = –10. Nesse caso, temos:
(8, 2, –4, –10).
31
Matemática – 1ª- série, 1o bimestre
Problema 13
Invente uma progressão aritmética. Separe
apenas os termos cuja posição (n) é indicada
por um número múltiplo de 6 e forme outra
sequência de números. Essa nova sequência
também é uma progressão aritmética? Em
caso de resposta afirmativa, determine a razão
da PA. Justifique sua resposta.
A nova sequência será uma PA, cuja razão é
igual ao produto do número 6 pela razão da
PA inventada.
Problema 14
Determine o oitavo termo de cada uma das
progressões geométricas:
I) (1, 3, 9, 27, ...) II) 1
43
1438, 4, 2, 1,
1
2, …
a8 = 2 187 a8 = 1
16
Problema 15
Determinar o 12o termo de uma PG de ra-
zão 2, sabendo-se que o quinto termo dessa
sequência é 4.
a12 = 512.
Problema 16
Uma bola é lançada de uma altura de 18
metros, e seu impacto no solo provoca saltos
sucessivos, de tal forma que, em cada salto, a
altura que ela atinge é igual a 80% da altura
alcançada no salto anterior. Que altura será al-
cançada pela bola quando ocorrer o quinto sal-
to? E o décimo salto? (Use uma calculadora.)
A altura atingida no quinto salto corresponde
ao sexto termo de uma PG em que o primeiro
termo é igual a 80% de 18 e a razão é 0,8.
Assim, a6 = 18 . 0,85 ≅ 5,898 m. A altura do
décimo salto, obedecendo a essa lógica, será:
a11 = 18 . 0,810 ≅ 1,933 m.
Problema 17
Dada a PG
14
3
143
1
2, x, 32, y determine os va-
lores de x e y.
Em toda PG, cada termo, a partir do segundo,
é a média geométrica do antecessor e do
sucessor. Neste caso, x = =12
32 4 . Por ou-
tro lado, pela definição de PG, y
32 =
32
x ⇒
y
32 =
32
4 ⇒ y = 256. Nesse caso, temos:
14
3
143
1
2, 4, 32, 256
Problema 18
Suponha que a população de uma cidade
tenha uma taxa de crescimento constante e
igual a 20% ao ano. No fim do ano de 2007, a
população era de 50 000 habitantes.
a) Calcule a população da cidade ao fim de cada um dos próximos quatro anos e escreva os resultados obtidos em forma de sequência.
32
Sugere-se que o professor estabeleça com
seus alunos uma linguagem como:
P0 : a população inicial; P1 : a população um
ano depois; P2 : a população dois anos depois
e assim por diante.
P1= 50 000 + 20% de 50 000 =
50 000 + 0,2 . 50 000 = 60 000.
P2 = 60 000 + 20% de 60 000 =
60 000 + 0,2 . 60 000 = 72 000.
Fazendo-se os demais cálculos, obtêm-se
as populações P3 e P4 : 86 400 e 103 680,
respectivamente.
b) A sequência obtida é uma PG? Em caso afirmativo, qual é a razão?
A sequência (50 000, 60 000, 72 000, 86 400,
103 680, ...) é uma PG de razão 1,2, pois :
60 000
50 000 =
72 000
60 000 =
86 400
72 000 =
103 680
86 400 = 1,2.
Assim, para se obter o termo sucessor de
um termo conhecido, basta multiplicar este
último por 1,2, ou seja, Pn + 1= 1,2 . Pn.
c) Encontre uma fórmula que permita cal-cular a população dessa cidade daqui a n anos, contados a partir de 2007.
P1 = 50 000 . 1,21
P2 = 50 000 . 1,21 . 1,2 = 50 000 . 1,22
P3 = 50 000 . 1,22 . 1,2 = 50 000 . 1,23
Assim, Pn= 50 000 . 1,2n.
Essa fórmula pode ser generalizada para
Pn = P0 . (1 + i)n, sendo i a taxa de crescimento.
Problema 19
Suponha que o valor de um automóvel di-
minua a uma taxa constante de 10% ao ano.
Hoje, o valor desse automóvel é R$ 20 mil.
a) Calcule o valor desse automóvel daqui a quatro anos.
R$ 13 122,00.
b) Encontre uma fórmula que permita cal-cular o preço desse automóvel daqui a n anos.
Pn = 20 000 . 0,9n.
Convém ressaltar com a classe que a taxa, nesse problema, é negativa. Se há uma depre-ciação de 10% ao ano, o valor do carro passa a ser de 90% sobre o valor anterior. utilizan-do os resultados da atividade anterior, discuta com os alunos que, para calcular o preço do carro daqui a um ano, é suficiente multiplicar o valor inicial do carro por 0,9, pois
P1 = P0 .(1 – 0,1) = P0 . 0,9.
tratamento das progressões sob o ponto de vista funcional
Ao obter os termos de uma progressão arit-
mética por meio da lei de formação, utilizando
a fórmula do termo geral ou de recorrência, o
aluno trabalha, intuitivamente, com a noção
de função, pois associa cada índice ao termo
correspondente. Ou seja, todo número natural
(n) que é índice na sequência está associado a
33
Matemática – 1ª- série, 1o bimestre
um único número real. A fórmula relativa à
lei de formação da PA é a expressão algébri-
ca que representa a função. Nesse caso, temos
uma função f: S → IR, sendo S ⊂ N*.
Assim, o domínio dessa função é forma-
do pelos índices dos termos da PA, isto é,
D(f) = S = {1, 2, 3, 4, ...}. O contradomínio dessa função é IR, e o conjunto imagem
é formado pelos termos da PA, ou seja,
Im(f) = {a1, a2, a3, ..., an ...}.
A representação gráfica da função que cor-
responde a uma PA é um conjunto de pontos
que pertencem a uma reta. todavia, o gráfico
não é a reta que contém esses pontos. toman-
do como exemplo a PA (1, 4, 7, 10, 13, ...),
na qual a1 = 1, a2 = 4, a3 = 7, a4 = 10, e assim
sucessivamente, sua representação gráfica é a
figura a seguir.
Nesse caso, temos: D(f) = {1, 2, 3, 4, 5, ...}
Im(f) = {1, 4, 7, 10, 13, ...} e an = 3 . n – 2
Essa terminologia somente deverá ser des-
tacada para o aluno quando esse assunto for
retomado, posteriormente, nesta série, no
momento do estudo da função polinomial do
1o grau.
Ao aplicar a fórmula do termo geral ou de
recorrência para a determinação dos elemen-
tos de uma PG, de modo análogo ao que se
faz para uma PA, os estudantes também uti-
lizam, intuitivamente, a ideia de função, pois
associam cada índice ao termo corresponden-
te. Ou seja, todo número natural (n) que é ín-
dice na sequência está associado a um único
número real.
A fórmula que indica a lei de formação da
PG corresponde à expressão algébrica que
representa a função. Nesse caso, temos uma
função f: t → IR, sendo t ⊂ N*.
A expressão do termo geral de uma PG,
an = a1 . qn – 1, reflete o crescimento exponen-
cial de an em função de q. Se o tratamento
funcional das PAs estará associado ao estu-
do das funções afim, esse tipo de tratamento
para as PGs será feito quando do estudo das
funções exponenciais. Portanto, não se tra-
ta de, neste momento, apresentar aos alunos
toda a terminologia adotada no estudo das
funções, mas apenas apontar relações que
serão exploradas mais adiante, no 2o e no 3o
bimestres. Os problemas seguintes são exem-
plos de como a apresentação inicial desse
tratamento pode ser realizada.
a4 = 10
a3 = 7
a2 = 4
a1 = 1
1 2 3 4
34
Problema 20
um conjunto A é formado apenas pelos
seguintes elementos: 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Assim,
podemos escrever:
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
um conjunto B é formado por elementos
numéricos obtidos a partir dos elementos do
conjunto A, da seguinte forma: cada ele-
mento de B é 4 unidades a mais do que o
triplo de um elemento de A. Dito de ou-
tra forma, se chamarmos cada elemento do
conjunto A de n e cada elemento do conjun-
to B de p, temos:
p = 4 + 3 . n
a) Quais são os elementos do conjunto B?
B = {7, 10, 13, 16, 19, 22}.
b) Qual é o tipo de sequência numérica for-mada pelos elementos do conjunto A?
Uma PA de razão 1.
c) Qual é o tipo de sequência numérica for-mada pelos elementos do conjunto B?
Uma PA de razão 3.
Problema 21
Cada elemento de um conjunto D será ob-
tido a partir de um elemento correspondente
do conjunto C = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, da seguinte
forma: d = –5 . c + 15, onde c representa um
elemento do conjunto C e d representa um ele-
mento do conjunto D.
a) Quais são os elementos do conjunto D?
D = {10, 5, 0, –5, –10, –15}.
b) Qual é o tipo de sequência numérica for-mada pelos elementos do conjunto D?
Uma PA de razão –5.
Problema 22
uma determinada regra matemática
“transforma” cada elemento do conjunto
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} em outro número, con-
forme mostra a seguinte representação:
a) Qual é o resultado associado ao núme-ro 6?
(37).
b) Qual é o resultado associado ao núme-ro 10?
(61).
71 R
132 E
193G
254R
315 A
35
Matemática – 1ª- série, 1o bimestre
c) Se cada elemento do conjunto E for iden-tificado pela letra n, e cada resultado for identificado pela letra p, qual é a equa-ção matemática que relaciona p e n?
6 . n + 1 = p
d) Ordenando os resultados obtidos, qual ocupará a nona posição?
(55).
e) Qual é o tipo de sequência numérica formada pelos elementos do conjunto dos resultados?
Uma PA de razão 6 e primeiro termo 7.
Considerações sobre a avaliação
O desenvolvimento apresentado nesta
Situação de Aprendizagem para o tratamento
das progressões priorizou dois aspectos:
a abordagem comum das progressões arit- f
méticas e das progressões geométricas;
a determinação dos termos gerais das PAs f
ou das PGs a partir da regularidade obser-
vada nas sequências, em detrimento do uso
das conhecidas fórmulas que, em geral, os
alunos decoram e usam mecanicamente.
Em relação ao primeiro aspecto, relativo ao
tratamento comum dos dois tipos de sequên-
cias, julgamos importante que o professor
leve-o, de fato, em consideração, no momento
da elaboração de avaliações, propondo, por
exemplo, questões semelhantes aos problemas
9 e 10.
É comum os alunos utilizarem as fórmulas
dos termos gerais da PA e da PG na resolução
de problemas. Não há porque evitar tal con-
duta, mas sim propor situações em que o sim-
ples uso da fórmula não conduz diretamente
ao resultado procurado. Nesse sentido, apre-
sentamos, nesta Situação de Aprendizagem,
alguns modelos, como é o caso, por exemplo,
do Problema 3.
Por fim, salientamos, novamente, a neces-
sidade da existência de momentos de avalia-
ção em que os alunos possam trocar ideias
com outros colegas de grupo e mesmo con-
sultar suas anotações. Além disso, o professor
poderá pedir que os alunos demonstrem seu
conhecimento sobre o assunto criando pro-
blemas e/ou contextos em que os conceitos
possam, claramente, serem aplicados.
36
SItuAçãO DE APRENDIzAGEM 3 SOMA DOS tERMOS DE uMA PA Ou DE uMA PG FINItA;
APLICAçÕES À MAtEMÁtICA FINANCEIRA
tempo previsto: 3 semanas.
Conteúdos e temas: progressões aritméticas e progressões geométricas: termos gerais e soma dos termos; juros compostos, processos simples de capitalização e de amortização.
Competências e habilidades: utilizar a linguagem matemática para expressar a regularidade dos padrões de sequências numéricas ou geométricas; aplicar conhecimentos matemáticos em situações do cotidiano financeiro; generalizar procedimentos de cálculo com base em expressões matemáticas associadas ao estudo das progressões numéricas.
Estratégias: resolução de exercícios exemplares.
roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 3
Esta Situação de Aprendizagem é dividida
em duas etapas. A primeira etapa é composta
por problemas exemplares para a construção
de significados da soma dos elementos de uma
sequência, e a segunda etapa é toda dirigida
para a aplicação da soma de elementos de
uma PA ou de uma PG, em alguns casos típi-
cos da Matemática Financeira.
O cálculo da soma dos termos de uma
PA ou de uma PG é um bom momento para
retomar e aprofundar com os alunos a no-
ção de algoritmo em Matemática. Isso por-
que podemos entender o cálculo da soma de
qualquer desses dois tipos de sequência como
realizado a partir de certa ordenação de pro-
cedimentos que conduzem, com eficiência,
ao resultado procurado.
No caso de uma PA do tipo (a1, a2, a3, ...,an – 3,
an – 2, an – 1, an), o professor pode explorar a
propriedade da equidistância dos extremos,
isto é, a1 + an = a2 + an – 1 = a3 + an – 2 = ..., a
fim de desenvolver estratégias para o cálculo
da soma de seus termos, em um trabalho que
antecede à construção e utilização da fórmula
da soma dos termos de uma PA.
Por exemplo, para o cálculo da soma dos
200 primeiros números naturais, indicada por:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... + 197 +198 +
199 + 200,
o aluno pode ser auxiliado no sentido de ob-
servar que
1 + 200 = 2 + 199 = 3 + 198 = 4 + 197 =
... = 201.
Nesse caso, obterá cem somas iguais a 201
e, finalmente, concluirá que S200 = 100 . 201 =
20 100. Podemos, também, dizer que a soma
dos 200 números naturais é igual ao produto
de 200 por 201
2, ou seja, o produto de 200
37
Matemática – 1ª- série, 1o bimestre
pela média aritmética dos termos equidistan-
tes dos extremos.
No caso de sequências que apresentam nú-
mero ímpar de termos, como (1, 4, 7, 10, 13,
16, 19), de sete termos, o aluno poderá utilizar
a seguinte estratégia:
1 + 19 = 4 + 16 = 7 + 13 = 20.
Assim, são obtidas três somas iguais a 20.
Como o número 10, que é o termo central (me-
diana), não foi adicionado, a soma dos termos
dessa PA será representada da seguinte forma:
S7 = 3 . 20 + 10 = 60 + 10 = 70.
Nesse exemplo, é importante destacar que
a soma dos sete termos dessa progressão arit-
mética 1 + 4 + 7 + 10 + 13 + 16 + 19 é igual a
7 . 10, sendo 10 a média aritmética dos termos
equidistantes dos extremos.
Essa sequência de passos para se ob-
ter a soma dos termos de uma PA pode ser
vista como um algoritmo que permite rapi-
dez e precisão no cálculo e, por isso mesmo,
pode e deve ser bem compreendida e utilizada
sempre que possível. No momento que julgar
oportuno, o professor poderá pedir que os
próprios alunos generalizem a estratégia que
adotam particularmente, em uma ou outra se-
quência, para uma sequência aritmética qual-
quer, obtendo-se, então, a expressão
Sn =+( ) .a a nn1
2.
No caso de ser necessário obter a soma dos
termos de uma PG, o professor poderá lançar
mão, novamente, da ideia de um algoritmo
que permita agilizar o cálculo, mostrando aos
alunos como fazê-lo em alguns casos específi-
cos, como neste exemplo:
S = 2 + 6 + 18 + 54 + 162.
Os termos dessa série formam uma PG de
razão 3. A primeira providência para se obter
o resultado sem efetuar a adição termo a ter-
mo é multiplicar toda a expressão pelo valor
da razão.
3 . (S = 2 + 6 + 18 + 54 + 162) ⇒
3 . S = 6 + 18 + 54 + 162 + 486.
Isso feito, teremos duas expressões e sub-
trairemos uma da outra, de forma que os vá-
rios pares de termos iguais sejam cancelados.
S = 2 + 6 + 18 + 54 + 162
3 . S = 6 + 18 + 54 + 162 + 486
–2 . S = 2 – 486
–2 . S = – 484 ⇒ S = 242
Essa sequência de passos, ou esse algorit-
mo, permite a obtenção da soma dos termos
de uma PG de modo mais rápido e eficaz do
que o cálculo da soma termo a termo. Co-
mentando o fato com seus alunos, o professor
poderá pedir que algumas somas sejam obti-
das dessa maneira e, analogamente ao que foi
realizado para a PA, pedir que generalizem o
algoritmo em uma fórmula que possa ser apli-
cada a qualquer tipo de PG. Nessa tarefa, os
alunos percorrerão as seguintes etapas:
PG: (a1, a2, a3,...., an–3, an–2, an–1, an)
Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an–1 + an (I)
38
Multiplica-se toda a soma pela razão q:
q . Sn = a1 . q + a2 . q + a3 . q + ... + an–1 . q + an . q (II)
Subtrai-se (II) de (I), eliminando-se os pa-
res de termos iguais:
Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an–1 + an (I)
q . Sn = a1 . q + a2 . q + a3 . q + ... + an–1 . q + an . q (II)
Sn – q . Sn = a1 – an . q
Isso feito, “sobram” apenas o último termo
de (II) e o primeiro termo de (I).
Isola-se Sn:
Sn – q . Sn = a1 – an . q
Sn . (1 – q) = a1 – an . q ⇒ Sn = a1 – an . q
1 – q ou
Sn = an . q – a1
q – 1.
A expressão da soma dos termos de uma
PG, escrita da forma apresentada acima, em
função da razão (q) e do último termo (an),
tem mais significado para os alunos do que
escrita em função apenas da razão (q) e do
número de termos (n). Por isso, convém o
professor trabalhar alguns problemas, antes
de mostrar aos alunos a segunda maneira de
escrever a mesma expressão.
Sn – q . Sn = a1 – an . q
Sn – q . Sn = a1 – a1 . qn–1 . q
⇒ Sn – q . Sn = a1 – a1 . qn ⇒ Sn . (1 – q) =
a1 – a1 . qn . Sn . (1 – q) = a1 . (1 – q) ⇒
S aqqn
n
= 1
11
.( – )
– ⇒ S a
qqn
n
= 1
11
.( – )
–
Etapa 1 – Soma dos termos de uma PA ou de uma PG finita
Problema 1
Calcule a soma dos termos da progressão
(10, 16, 22, ..., 70).
440.
Problema 2
Calcule a soma dos termos da progressão
(13, 20, 27, ...), desde o 21o termo até o 51o,
inclusive.
7 998.
Problema 3
Calcule a soma dos números inteiros, divi-
síveis por 23, existentes entre 103 e 850.
Os números inteiros, divisíveis por 23, entre
103 e 850, formam a PA de razão 23: (115,
138,..., 828). Utilizando a fórmula do
termo geral, obtemos n = 32, e aplicando a
fórmula da soma dos termos da PA, obtemos
o resultado 15 088.
Problema 4
A figura abaixo apresenta os primeiros
elementos de uma sequência de números cha-
mados números triangulares.
39
Matemática – 1ª- série, 1o bimestre
a) Escreva a sequência numérica corres-pondente a essa figura, considerando o número de bolinhas que formam cada triângulo:
1, 3,........,.........,.........,.........,........,.......
b) Que regularidade você observou na cons-trução desses números triangulares?
c) Escreva uma fórmula que permita calcu-lar um termo qualquer dessa sequência, utilizando a recorrência, ou seja, definin-do um termo a partir de seu precedente.
d) Construa uma fórmula que calcule um termo qualquer dessa sequência, sem ne-cessariamente recorrer ao termo anterior.
Durante a resolução desse problema, os
alunos podem perceber que um termo qual-
quer da sequência de números triangulares
pode ser expresso por uma fórmula de recor-
rência, incluindo duas informações:
a1 = 1 e an = an–1 + n.
Podem, também, organizar os dados em
uma tabela como a que segue. Essa estraté-
gia os levará à fórmula t do termo geral, que
pode ser obtida pela aplicação da fórmula da
soma dos termos da PA de n termos, com a1 = 1
e razão 1:
t = (1 + n) . n
2 =
n2 + n
2 .
Posição do termo na sequência Processo de contagem das bolinhas Quantidade de bolinhas
em cada termo
1 1 1
2 1 + 2 3
3 1 + 2 + 3 6
4 1 + 2 + 3 + 4 10
... ... ...
n1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + (n −1) + n an =
n . (n + 1)
2
Após a discussão sobre as questões dessa ativi-
dade, o professor pode, ainda, explorar os números
triangulares, incentivando seus alunos a descobrir
outras propriedades interessantes. Por exemplo,
propondo questões como as que seguem:
Observe que 61 = 55 + 6 (61 é um nú-
mero natural qualquer; 55 e 6 são números
triangulares). Experimente, agora, representar
40
o número 84 em forma de adição de, no máxi-
mo, três números triangulares.
Pode ser escrito como a soma: 45 + 36 + 3.
Adicione dois números triangulares con-
secutivos. Que característica você percebe
nessa soma?
A soma de dois números triangulares consecuti-
vos é igual a um número quadrado perfeito:
1 + 3 = 4; 3 + 6 = 9;
6 + 10 = 16; 10 + 15 = 25.
Problema 5
A seguir, estão os primeiros elementos de
uma sequência de figuras que representam os
chamados números pentagonais.
Caso o aluno encontre dificuldades, du-
rante a resolução deste problema, o professor
pode propor questões que o ajudem a perceber
que, a partir da segunda figura, cada termo an
da sequência pode ser obtido pelo acréscimo
de três fileiras de n bolinhas à figura anterior
(an – 1), devendo ser subtraídas 2 unidades, que
correspondem às duas bolinhas que se sobre-
põem em dois vértices do pentágono. No en-
tanto, a fórmula obtida é por recorrência, e a
obtenção da fórmula geral é um pouco mais
difícil, pois cada termo é obtido por meio de
1 2 3 4 5
a) Quantas bolinhas deve ter a sexta figura dessa sequência? E a sétima?
51 e 70.
b) Observe as regularidades que existem no processo de construção da Figura 2 a partir da Figura 1; no processo de cons-trução da Figura 3 a partir da Figura 2; e assim por diante. Organize os dados na tabela abaixo e, em seguida, procu-re construir uma fórmula que permita
Posição da figura na sequência
Cálculonúmero de boli
nhas
1 1 1
21 + 4a1 + 4
5
35 + 3 . 3 – 2a2 +3 . 3 – 2
12
412 + 3 . 4 – 2a3 + 3 . 4 – 2
22
522 + 3 . 5 – 2a4 + 3 . 5 – 2
35
... ... ...
n – 1
n an – 1 + 3 . n – 2 an = an – 1 +3 . n – 2
determinar a quantidade de bolinhas da figura n nessa sequência.
Em relação aos números pentagonais, rei-
teramos que a construção de uma tabela como
a que segue favorece a obtenção de uma fór-
mula de generalização:
41
Matemática – 1ª- série, 1o bimestre
A expressão do termo geral dessa soma
pode ser obtida fazendo a1 = 1 e an = 3 . n + 2
na expressão geral da soma da PA, da seguinte
forma:
t = 1 + 4 + 7 + 10 + 13+...+ 3 . n – 2 =
(a1 + an) . n
2 =
(1 + 3n – 2) . n
2 =
(3n – 1) . n
2 =
3 . n2 – n
2.
Assim, o polinômio 3 . n2
2 –
n
2, sendo n um
número natural diferente de zero, permite a
determinação de um número pentagonal que
ocupa a posição n na sequência. Por exemplo,
o sétimo número pentagonal da sequência é:
t7 = 3 . 72
2 –
7
2 =
3 . 49
2 –
7
2 =
140
2 = 70
Posição da figura na sequência
Cálculo
1 1
2 1 + 4
3 1 + 4 +7
4 1 + 4 + 7 + 10
5 1 + 4 + 7 + 10 + 13
... ...
n 1 + 4 + 7 + 10 + 13 + ...+ 3 . n – 2
seu antecessor, adicionando a este 3n – 2 bo-
linhas. Os números que são adicionados estão
na sequência 4, 7, 10, 13, 16, ...
Problema 6
Considere a PG (1, 2, 4, 8, ...). Calcule a
soma dos 20 primeiros termos dessa PG, dei-
xando indicada a potência.
S20 = 1 . (220 – 1)
2 – 1 ⇒ S20 = 220 – 1
Problema 7
Resolva a equação 2 + 4 + 8 + ... + x = 510,
sabendo que as parcelas do primeiro membro
da equação estão em PG.
A razão da PG é 2.
Portanto, 2 . (2n – 1)
2 – 1 = 510 ⇒
2n – 1 = 510 ÷ 2 ⇒ 2n = 256 ⇒ 2n = 28 ⇒
n = 8.
Logo, x = a8 = 2 . 28–1 ⇒ x = 256.
Problema 8
(Vunesp) Várias tábuas iguais estão em uma
madeireira. A espessura de cada tábua é 0,5 cm.
Forma-se uma pilha de tábuas colocando-se
uma tábua na primeira vez e, em cada uma das
vezes seguintes, tantas tábuas quantas tiverem
sido colocadas anteriormente.
Pilha na 1a vez
Pilha na 2a vez
Pilha na 3a vez
42
Determine, ao final de nove operações:
a) Quantas tábuas terá a pilha.
A sequência da quantidade de tábuas
colocadas é:
1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128,...
Para obter o total de tábuas, ao final de nove
operações, será necessário calcular a soma
dos termos da progressão geométrica 1, 2, 4,
8, 16, 32, 64, 128 e, em seguida, acrescentar
uma unidade.
S = an . q – a1
q – 1 =
128 . 2 – 1
2 – 1 = 255.
Portanto, a pilha terá 256 tábuas.
b) A altura, em metros, da pilha.
A altura da pilha será igual a 256 . 0,5 =
128 cm = 1,28 m.
Problema 9
uma pessoa compra uma televisão para
ser paga em 12 prestações mensais. A primeira
prestação é de R$ 50,00 e, a cada mês, o valor
da prestação é acrescido em 5% da primeira
prestação. Quando acabar de pagar, quanto a
pessoa terá pago pela televisão?
Trata-se de calcular a soma 50,00 + 52,50
+ 55,00 + 57,50 +...... + 77,50, que resulta
R$ 765,00.
Problema 10
A primeira parcela de um financiamento
de seis meses é de R$ 200,00, e as demais são de-
crescentes em 5%. Assim, a segunda parcela é 5%
menor do que a primeira, a terceira parcela é
5% menor do que a segunda e assim por diante.
Adotando 0,955 = 0,77 e 0,956 = 0,73, calcule:
a) Qual é o valor da última parcela?
Temos uma PG de razão (1 – 0,05) = 0,95 e
queremos determinar o sexto termo.
a6 = 200 . 0,955 = 154,00.
b) Quanto terá sido pago, quando a dívida for totalmente quitada?
Devemos calcular a soma dos termos da PG.
S = an . q – a1
q – 1 =
200 . 0,955 – 200
0,95 – 1 =
200 . (0,956 – 1)
–0,05 = –4 000 . (0,956 – 1) =
R$ 1 080,00.
Problema 11
Dada a progressão aritmética (–4, 1, 6,
11, ...), obtenha:
a) o termo geral da sequência.
an = 5 . n – 9.
b) a soma dos 12 primeiros termos.
282.
c) uma expressão para o cálculo da soma dos n primeiros termos.
S = (a1 + an) . n
2 =
(–4 + 5 . n – 9) . n
2 =
1
2 . (5 . n2 –13 . n).
43
Matemática – 1ª- série, 1o bimestre
Problema 12
A soma de n termos de uma progressão
aritmética pode ser calculada pela expres-
são Sn = 3 . n2 – 5 . n. Para essa sequência,
determine:
a) a soma dos seis primeiros termos.
S6 = 3 . 62 – 5 . 6 = 78.
b) a soma dos sete primeiros termos.
S7 = 3 . 72 – 5 . 7 = 112.
c) o sétimo termo.
O sétimo termo é a diferença entre S7 e S6.
Portanto, a7 = 112 – 78 = 34.
d) os cinco primeiros termos.
a1 = S1 = –2
a2 = S2 – a1 = 2 – (–2) = 4
A PA tem razão 6, e os primeiros termos são
–2, 4, 10, 16, 22, 28, 34.
Problema 13
um atleta fora de forma, desejando recu-
perar o tempo perdido, planeja correr, dia-
riamente, uma determinada distância, de
maneira que, a cada dia, a distância corrida
aumenta 20% em relação ao que foi corrido
no dia anterior. Começando a correr 10 km,
no primeiro dia,
a) quanto estará correndo, no quarto dia?
a4 = 10 . 1,23 = 17,28 km.
b) quantos quilômetros terá corrido, em 10 dias? (Dado: 1,210 ≈ 6,2.)
Trata-se de calcular a soma dos dez termos
de uma PG em que a1 = 10 e a10 = 10 . 1,29.
S = an . q – a1
q – 1 =
10 . 1,29 . 1,2 – 10
1,2 – 1 =
10 . (1,210 – 1)
0,2 =
50 . (1,210 – 1) = 50 . (6,2 – 1) = 260 km.
Etapa 2 – Aplicações na Matemática Financeira
O crescimento de um capital, a uma taxa
constante de juros simples, caracteriza-se por
envolver uma série de termos que formam
uma progressão aritmética. Por outro lado,
no cálculo do crescimento de um capital a
uma taxa constante de juros compostos, apa-
rece uma progressão geométrica. No exem-
plo abaixo, podemos comparar a evolução de
um capital inicial, quando submetido a juros
simples e a juros compostos:
Capital = C taxa de juros = 5% ao mês
Evolução do capital a juros
simples
Evolução do capital a juros
compostosInicial C C
Depois de um mês
1,05 . C 1,05 . C
Depois de dois meses
1,10 . C 1,052 . C
Depois de três meses
1,15 . C 1,053 . C
Depois de quatro meses
1,20 . C 1,054 . C
44
adicionando-se 0,05 . C, no caso de juros sim-
ples, e multiplicando-se por 1,05 . C, no caso
de juros compostos.
juros simples, como sabemos, não são
praticados no mercado financeiro, mas po-
dem servir de contexto inicial para a determi-
nação de valores totais capitalizados em cer-
to período. Vamos supor, por exemplo, que
um cidadão aplique, mensalmente, e durante
oito meses, uma quantia fixa de R$ 200,00, a
juros simples de 5%. Ao final, depois dos oito
meses de aplicação, quanto terá acumulado
essa pessoa?
Propondo um problema dessa natureza aos
seus alunos, o professor poderá comentar que
ele é de fácil resolução por envolver juros sim-
ples, mas que, no caso real, de um capital apli-
cado a juros compostos, será necessário um
método organizado de resolução. justifica-se,
dessa maneira, o processo representado na ta-
bela seguinte:
tabela de capitalização
Os valores dessa tabela foram obtidos le-
vando-se em conta que um capital inicial (C),
acrescido de 5%, resulta no capital inicial mul-
tiplicado por 1,05, isto é, resulta em 1,05 . C.
Caso incidam 5%, novamente, sobre o capital
já acrescido de 5%, o resultado será igual a
1,10 . C, se os juros forem simples, e 1,052 . C,
se os juros forem compostos, conforme repre-
sentado nas operações seguintes:
Capital Inicial: C.
Acréscimo de 5% sobre C:
C + 5
100 . C = C + 0,05 . C = 1,05 . C.
Acréscimo de 5% de juros simples: 1,05 . C
+ 0,05 . C = 1,10 . C.
Acréscimo de 5% de juros compostos:
1,05 . C + 5% . 1,05 . C = 1,05 . C . (1 + 5%) =
1,05 . C . 1,05 = 1,052 . C.
O valor do capital, nos próximos meses
de aplicação, segue a mesma lógica, isto é,
Mês 1o 2o 3o 4o 5o 6o 7o 8o Final
Cap
ital
200 210 220 230 240 250 260 270 280
200 210 220 230 240 250 260 270
200 210 220 230 240 250 260
200 210 220 230 240 250
200 210 220 230 240
200 210 220 230
200 210 220
200 210
45
Matemática – 1ª- série, 1o bimestre
Os R$ 200,00 depositados no primei-
ro mês tornam-se R$ 210,00, no segundo
mês, R$ 220,00, no terceiro mês, e assim por
diante, tornando-se, ao final, R$ 280,00.
Os R$ 200,00 depositados no segundo mês, de
modo análogo, convertem-se em R$ 270,00,
ao final de sete meses de aplicação. Seguindo
o raciocínio, o saldo final da aplicação será
o resultado da adição dos valores da última
coluna da tabela, que são os termos de uma
progressão aritmética:
Saldo final = 210 + 220 + 230 + 240 + 250 +
260 + 270 + 280
Saldo final = (210 + 280) . 8
2 = 1 960
Portanto, o saldo final da aplicação será
igual a R$ 1 960,00.
No caso real, de uma capitalização a juros
compostos, o esquema de resolução será simi-
lar ao apresentado, variando apenas a forma de
crescimento das parcelas aplicadas. Em relação
ao problema anterior, alterando apenas a forma
de incidência da taxa de juros, de simples para
compostos, pode ser escrita a seguinte tabela:
Mês 1o 2o 3o 4o 5o 6o 7o 8o Final
Cap
ital
200 200 . 1,05 200 . 1,052 200 . 1,053 200 . 1,054 200 . 1,055 200 . 1,056 200 . 1,057 200 . 1,058
200 200 . 1,05 200 . 1,052 200 . 1,053 200 . 1,054 200 . 1,055 200 . 1,056 200 . 1,057
200 200 . 1,05 200 . 1,052 200 . 1,053 200 . 1,054 200 . 1,055 200 . 1,056
200 200 . 1,05 200 . 1,052 200 . 1,053 200 . 1,054 200 . 1,055
200 200 . 1,05 200 . 1,052 200 . 1,053 200 . 1,054
200 200 . 1,05 200 . 1,052 200 . 1,053
200 200 . 1,05 200 . 1,052
200 200 . 1,05
A soma dos valores da última coluna da
tabela fornece o total capitalizado. trata-se
da soma dos termos de uma progressão geo-
métrica de razão 1,05.
S = 200 . (1,05 + 1,052 + 1,053 + 1,054 + 1,055 +
1,056 + 1,057 + 1,058)
S = 200 . an . q – a1
q – 1 =
200 . 1,058 . 1,05 – 1,05
1,05 – 1
O cálculo dessa soma é trabalhoso, se reali-
zado manualmente. Por isso, propomos que os
alunos possam utilizar calculadoras para agi-
lizar a obtenção do resultado, sem qualquer
perda de significado para o conceito. O impor-
tante, aqui, não é saber calcular uma potência,
coisa que os alunos já devem saber, mas sim a
obter da expressão numérica que conduz ao
resultado desejado. todavia, mesmo usando
calculadoras, será interessante simplificar ini-
cialmente a expressão, como nesse caso:
tabela de capitalização
46
S = 200 . 1,058 . 1,05 – 1,05
1,05 – 1 (Colocando
1,05 em evidência.)
S = 200 . 1,05 . (1,058 – 1)
0,05 (Dividindo
1,05 por 0,05.)
S = 200 . 21 . (1,058 – 1)
Caso o professor opte por não permitir o
uso de calculadoras, o que não aconselhamos,
poderá fornecer aos alunos, previamente, o va-
lor da potência. No caso, 1,058 ≈ 1,48. De um
jeito ou de outro, o resultado da soma será:
S = 200 . 21 . (1,48 – 1) = 2 016.
Comparando os dois resultados do proces-
so de capitalização, fica claro que o processo
a juros compostos conduz a um maior valor
final (R$ 1 960,00, em um caso, e R$ 2 016,00,
no outro).
Outra aplicação importante das somas das progressões diz respeito ao cálculo da parce-la fixa de um financiamento a taxa constan-te de juros. De fato, trata-se de um problema inverso ao que foi analisado há pouco, isto é, conhece-se o montante final e deseja-se calcu-lar a parcela mensal do investimento. Vamos analisar, como exemplo, o caso do financia-mento da compra de um automóvel, que custa R$ 10 000,00 e será pago em 24 parcelas fixas e mensais, com juros de 5% ao mês. Em pri-meiro lugar, vamos representar o cálculo da parcela de financiamento, no caso de os juros serem simples, isto é, incidirem sempre sobre o valor inicial.
1o) Com taxa de juros simples
Os R$ 10 000,00 financiados deverão ser
corrigidos e devolvidos pelo comprador do
bem, ao final dos 24 meses. Assim, o primeiro
passo é calcular o juro total da aplicação em
juros simples, ou seja, 24 . 5% = 120%. O va-
lor de R$ 10 000,00 deverá ser devolvido cor-
rigido em 120%, isto é, deverão ser devolvidos
R$ 22 000,00. Ocorre que o comprador não
devolve esse valor de uma única vez, mas sim
em parcelas mensais. Assim, o próximo passo
é calcular o valor da parcela, e aí é necessário
se lembrar do exemplo anterior, da capitaliza-
ção a juros simples.
Supomos, então, que certa parcela P é
capitalizada mensalmente, durante 24 me-
ses, a juros simples de 5%. Nessa condição,
ao final dos 24 meses, terá sido capitali-
zado um valor total igual ao resultado da
seguinte soma:
S = P . (1,05 + 1,10 + 1,15 + .... + 2,15 + 2,20).
Os porcentuais, nesse caso, formam uma
progressão aritmética. Calculemos a soma
desses porcentuais.
S = P . (a1 + an) . n
2 = P .
(1,05 + 2,20) . 24
2
= P . 39
Como a soma S deve coincidir com o va-
lor corrigido do final do financiamento, isto é,
S = 22 000, a parcela mensal P pode ser assim
obtida:
22 000 = P . 39 ⇒ P = 564,10
47
Matemática – 1ª- série, 1o bimestre
Portanto, a juros simples, o valor da parce-
la mensal é igual a R$ 564,10.
Perceba que, apesar de as prestações serem
todas iguais a R$ 564,10, a simples multipli-
cação desse valor pelo número de prestações,
que, neste caso, é 24, não tem como resultado o
valor corrigido da dívida (R$ 22 000,00). Essa
diferença acontece porque a primeira parcela
de R$ 564,10 tem, hoje, um valor que não será
o mesmo daqui a 24 meses. Essa consideração
vale para todas as parcelas.
2o) Com taxa de juros compostos Da mesma forma que no caso dos juros
simples, discutido anteriormente, o valor fi-
nanciado deve ser corrigido para compor o pa-
gamento final. Nesse caso, trata-se de corrigir
R$ 10 000,00, em 24 meses, a juros compostos
de 5%, o que implica multiplicarmos 10 000
por 1,0524. Isso feito, teremos R$ 32 251,00.
Mas esse valor não é devolvido de uma única
vez, ao final do financiamento, e sim em par-
celas mensais. Para o cálculo do valor dessa
parcela, devemos imaginar alguém que depo-
site, mensalmente, um valor P, a juros com-
postos de 5%, durante 24 meses. Nesse caso, o
valor total depositado será igual ao resultado
da seguinte adição:
S = P(1,05+ 1,052 + 1,053 + ..... + 1,0524).
O valor de S, como vimos há pouco, é
R$ 32 251,00. Para o cálculo da parcela P, será
preciso calcular a soma da progressão geométri-
ca formada pelos termos dentro dos parênteses.
32 251 = P .an . q – a1
q – 1 = P .
1,0524 . 1,05 – 1,05
1,05 – 1
32 251 = P .1,05 . (1,05 24 – 1)
1,05 – 1 =
P . 21 . (1,0524 – 1)
Dado que 1,0524 ≈ 3,225, fazemos:
32 251 = P . 21 . (3,225 – 1)
32 251 = P . 46,725 ⇒ P = 690,23
Portanto, a juros compostos, a parcela de
financiamento deverá ser igual a R$ 690,23.
Os cálculos envolvendo processos de ca-
pitalização e de amortização são comumente
vistos em situações do cotidiano, muito em-
bora nem sempre de forma transparente. Por
isso, é comum que surjam dúvidas por parte
dos alunos, as quais caberá ao professor es-
clarecer. No caso que analisamos há pouco,
do financiamento de R$ 10 000,00, é preciso
destacar com muita ênfase dois aspectos ge-
radores de dúvidas. O primeiro deles refere-se
à necessidade de corrigir o valor financiado,
isto é, multiplicar 10 000 por 1,0524. Os alu-
nos precisam entender que o bem financiado
será considerado quitado apenas quando a
última parcela for paga, e que, por isso mes-
mo, é preciso considerar a correção do valor
financiado. A segunda dúvida que costuma
ocorrer nesse caso refere-se à necessidade de
calcular o valor futuro de cada parcela que vai
sendo paga, o que conduz ao cálculo da soma
da PG. É comum os alunos fazerem, equivo-
cadamente, a simples divisão do resultado do
produto 10 000 . 1,0524 por 24 para determinar
o valor de cada parcela. O professor deve cha-
mar a atenção dos alunos para o fato de que
as parcelas não são todas pagas ao final do
48
financiamento, mas sim em tempos diferentes,
e que, por isso mesmo, o valor futuro de uma
parcela não é igual ao da outra.
julgamos importante que o professor discu-
ta alguns exemplos de cálculos de montantes
e de parcelas de amortização, mas não deixe
de retomar o assunto no 3o bimestre, quando
abordar o crescimento exponencial.
Após discutir alguns exemplos com seus alu-
nos, o professor poderá propor a resolução da
seguinte sequência de problemas exemplares.
Problema 1
uma financeira remunera os valores in-
vestidos à base de 4% de juros simples. Quan-
to conseguirá resgatar, nesse investimento,
uma pessoa que depositar, mensalmente,
R$ 500,00, durante 10 meses?
Trata-se de calcular a soma S = 520 + 540 +
560 + 580 + .... + 700.
S = (520 + 700) . 10
2 = 1 220 . 5 = 6 100
O resgate será de R$ 6 100,00.
Problema 2
Laura aderiu a um plano de capitaliza-
ção de um banco, depositando, mensalmente,
R$ 1 000,00, durante 12 meses. Se o banco
promete remunerar o dinheiro aplicado à taxa
de 2% de juros compostos ao mês, calcule
quanto Laura resgatará ao final do período.
(Dado: 1,0212 = 1,27.)
Trata-se de calcular a soma de termos em PG:
S = 1 000 . 1,02 + 1 000 . 1,022 + 1 000 .
10,23 + ..... + 1 000 . 1,0212
S = 1 000 (1,02 + 1,022 + 1,023 + ... +
1,0212)
S = 1 000 . an . q – a1
q – 1 =
1 000 . 1,0212 . 1,02 – 1,02
1,02 – 1 =
1000 . 1,02 . (1,0212 – 1)
0,02
S = 1 000 . 51 . (1,0212 – 1) = 51 000 . 0,27
= 13 770
Portanto, o resgate será de R$ 13 770,00.
Problema 3
Carlos deseja comprar um automóvel que custará, daqui a dez meses, R$ 15 500,00. Para conseguir seu objetivo, Carlos resolveu depo-sitar uma quantia x em um investimento que promete remunerar o dinheiro aplicado à razão de 10% de juros simples ao mês. Qual deve ser o valor mínimo de x para que Carlos consiga comprar o automóvel, ao final dos dez meses?
Sendo o cálculo do montante à base de juros
simples, temos a soma de termos em PA, da
seguinte maneira:
S = 1,1 . x + 1,2 . x + 1,3 . x + ...... + 2,0 . x
15 500 = x . (1,1 + 1,2 + 1,3 + ..... + 2,0)
15 500 = x . (a1 + an) . n
2 ⇒
49
Matemática – 1ª- série, 1o bimestre
15 500 = x . (1,1 + 2,0) . 10
2 ⇒
15 500 = x . 15,5 ⇒ x = 1 000
Portanto, a parcela mínima a ser depositada
é igual a R$ 1 000,00.
Problema 4
uma geladeira cujo preço à vista é de
R$ 1 500,00 será financiada em seis parcelas
mensais fixas. Se os juros compostos cobra-
dos no financiamento dessa geladeira são de
3% ao mês, qual é o valor da parcela mensal?
(Dado: 1,036 = 1,19.)
O valor futuro da geladeira, em seis meses,
será igual 1 500 . 1,036 = 1 500 . 1,19 =
1 785.
A soma das parcelas fixas, a 3% de juros
compostos ao mês, recai em: S = P . (1,03
+ 1,032 + .... + 1,036),onde P é o valor da
parcela fixa mensal. Como S = 1 785, tem-
se: 1 785 =
P . 1,036 . 1,03 – 1,03
1,03 – 1 = P .
1,03(1,036 – 1)
0,03
P . 34,33 . (1,036 – 1) =
P . 34,33 . 0,19 =
1 785 = P . 6,5227 ⇒ P = 273,65
Portanto, a parcela mensal deverá ser igual
a R$ 273,65.
Problema 5
julia guardou, mensalmente, R$ 200,00 em
um banco que remunerou seu dinheiro à base
de 4% ao mês de juros compostos. Ao final de
oito meses de aplicação, julia usou o dinheiro
que havia guardado para dar de entrada em
um pacote de viagem, que custava, à vista,
R$ 5 000,00. O saldo devedor julia pretende
financiar em cinco vezes, em parcelas iguais
e fixas, à taxa de 2% ao mês. (Dados 1,048 ≈
1,37; 1,025 ≈ 1,10.)
a) Quanto julia deu de entrada no pacote de viagem?
O valor total capitalizado exige o cálculo de
uma soma de termos em PG.
S = 200(1,04 + 1,042 + 1,043 + ....... +
1,048)
S = 200 . 1,048 . 1,04 – 1,04
1,04 – 1 =
200 . 1,04(1,048 – 1)
0,04 = 200 . 26 . (1,37 – 1)
= 1 924
Portanto, foram dados de entrada R$ 1 924,00.
b) Qual o valor da parcela mensal fixa do finan-
ciamento do saldo do pacote de viagem?
O valor financiado foi igual à diferença
entre R$ 5 000,00 e R$ 1 924,00, ou seja,
R$ 3 076,00. Esse valor, em cinco meses, a 2%
ao mês, torna-se 3 076 . 1,025 = 3 383,60.
Uma parcela fixa P, paga todo mês e corrigida
à base de 2% ao mês, deve, ao final, gerar
montante equivalente a R$ 3 383,60.
3 383,60 = P(1,02 + 1,022 + 1,023 + 1,024
+ 1,025)
3 383,60 = P . 1,025 . 1,02 – 1,02
1,02 – 1 =
50
P . 1,02(1,025 – 1)
0,02 = P . 51 . 0,10 = P . 5,1
3 383,60 = P . 5,1 ⇒ P = 663,45
Portanto, a parcela fixa será igual a R$ 663,45.
Considerações sobre a avaliação
Nesta Situação de Aprendizagem, de for-
ma semelhante ao realizado na anterior, foi
proposto que as somas das progressões aritmé-
ticas e progressões geométricas fossem estuda-
das paralelamente. Insistimos nessa prática,
pois entendemos que ela valoriza a existência
de regularidades numéricas possíveis de serem
traduzidas por equações matemáticas, em de-
trimento da aplicação imediata de fórmulas na
resolução de exercícios descontextualizados.
A apresentação das expressões de cálculo
para as somas das sequências foi feita a partir
da ideia de que cálculos que se repetem devi-
do a algum tipo de regularidade podem ser
traduzidos por intermédio de um algoritmo,
isto é, por uma sequência ordenada de passos
que, quando realizada corretamente, conduz
ao resultado desejado de forma mais rápida.
Consideramos importante que os alunos com-
preendam essa ideia e que, após a exercitarem
durante a resolução de alguns problemas,
possam, autonomamente, generalizar em uma
expressão o raciocínio envolvido no algoritmo.
Os instrumentos preparados para a avalia-ção dos conceitos aqui tratados deverão levar em conta, de acordo com as considerações an-teriores, a possibilidade de que sejam propos-tos problemas que envolvam tanto progressões aritméticas, como progressões geométricas, desenvolvidos sobre contextos diferentes dos problemas apresentados e discutidos durante as aulas, com base no contexto da Matemática Financeira e nos cálculos de montantes e de parcelas em processos de capitalização.
Gostaríamos, ainda, de ressaltar o fato de
que a obtenção de soma de termos de uma
PG exige, via de regra, o cálculo de uma po-
tência na qual, muitas vezes, a base não é um
número inteiro. As aplicações das progressões
à Matemática Financeira são exemplos clássi-
cos dessas situações. Nesses casos, visando a
que o aspecto da compreensão conceitual não
seja sobrepujado pela dificuldade aritmética,
sugerimos ao professor que permita o uso de
calculadoras, inclusive científicas, até mesmo
nas avaliações individuais. uma segunda su-
gestão segue o que foi feito na apresentação
no Problema 5 da Etapa 2, ou seja, pode-se
fornecer ao aluno o resultado aproximado da
potência necessária para a resolução do pro-
blema proposto.
51
Matemática – 1ª- série, 1o bimestre
SItuAçãO DE APRENDIzAGEM 4 LIMItE DA SOMA DOS INFINItOS tERMOS DE uMA PG INFINItA
tempo previsto: 2 semanas.
Conteúdos e temas: soma dos termos de uma PG; limite da soma dos termos de uma PG infinita.
Competências e habilidades: utilizar a linguagem matemática para expressar a regularidade dos padrões de sequências numéricas ou geométricas; compreender a noção intuitiva de limite de uma função; con-siderar a pertinência da noção de infinito no cálculo de quantidades determinadas.
Estratégias: resolução de exercícios exemplares.
roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 4
Nesta Situação de Aprendizagem, são pro-
postos problemas algébricos e geométricos, com
o objetivo de se investigar a soma dos termos de
uma progressão geométrica infinita, com razão
real entre –1 e 1. Nesse percurso, são aborda-
das, intuitivamente, duas noções extremamen-
te importantes na Matemática. trata-se das
noções de continuidade e de infinito. Embora
costumem causar nos alunos certa estranheza
e alguma dificuldade de compreensão, são con-
ceitos que estimulam sobremaneira a curiosida-
de e a intuição e, por consequência, também o
interesse dos alunos pela Matemática.
Quando uma progressão geométrica tem
por razão um número real entre –1 e 1, dife-
rente de zero, a sequência “tende” para zero.
Com isso, queremos dizer que, à medida que
aumentamos a quantidade de termos da se-
quência, mais o último termo se aproxima de
zero, muito embora nunca seja igual a zero.
A progressão geométrica 4, 2, 1, 1
2,
1
4, ...,
por exemplo, tende a zero, assim como a
progressão –3, 1, –1
3,
1
9, –
1
27, ... Nesses dois
casos, em que a razão é um número real en-
tre –1 e 1, é possível determinar o termo que
desejarmos, mas ele poderá ser tão pequeno
que, dependendo das exigências, poderá ser
considerado nulo. O centésimo termo da pri-
meira sequência, por exemplo, é igual a um
número que tem 30 zeros após a vírgula, antes
de aparecer o primeiro algarismo não nulo.
É um número pequeno, se for comparado à
espessura de um fio de cabelo, mas não é pe-
queno, se comparado às dimensões atômicas.
Aumentando ainda mais o número de termos,
além dos cem, chegará um momento em que o
resultado será pequeno mesmo quando com-
parado com a medida de raios atômicos. Mas
o termo ainda não será nulo e ainda poderá
ser diminuído. Nesse raciocínio estão contidas
as ideias da continuidade e do limite.
Conjuntos numéricos infinitos e discretos,
como os Naturais e os Inteiros, já foram es-
tudados, em séries anteriores, e retomados
agora, no Ensino Médio. O fato de esses
conjuntos possuírem quantidade inumerável
52
de elementos está, normalmente, bem as-
similada pelos alunos, nesta etapa de ensino,
uma vez que a ideia do “mais 1”, no caso dos
Naturais, ou do “menos 1”, no caso dos In-
teiros, características dos conjuntos discre-
tos, vem sendo apresentada a eles desde que
começaram sua escolaridade. A dificuldade
surge na passagem do discreto para o contí-
nuo, quando a noção de infinito ganha uma
nova dimensão. Como explicar, por exemplo,
que um segmento AB, de determinado com-
primento, pode ser dividido em tantas partes
quantas se desejar, não havendo medida li-
mite para o comprimento de cada uma das
partes que surgem?
Na Grécia antiga, a contraposição entre
discreto e contínuo trazia, já, alguns proble-
mas de interpretação. Para os pitagóricos, o número era a referência de toda dúvida e
toda dificuldade. Segundo eles, se não fosse
pelo número e por sua natureza, nada do que
existe poderia ser compreendido por alguém,
nem em si mesmo, nem com relação a outras
coisas. Os números constituíam o verdadeiro
elemento de que era feito o mundo. Chama-
vam um ao ponto, dois à linha, três à superfí-
cie e quatro ao sólido. A partir de um, dois, três
e quatro, podiam construir um mundo.
A concepção geométrica dos gregos do
século V a.C., influenciada pela visão dos pi-
tagóricos, entendia que o número de pontos
de uma linha determinada seria finito, muito
embora não fosse possível quantificá-lo. Em
outras palavras, a noção do contínuo não fa-
zia parte das ideias geométricas de então. Essa
concepção de uma série de pontos justapostos,
como uma grande fila, de maneira que qual-
quer segmento poderia ser quantificado como
uma determinada quantidade de pontos, ou,
em outras palavras, que todo segmento po-
deria ser mensurável, caiu por terra a partir
da descoberta da incomensurabilidade simul-
tânea da diagonal e do lado do quadrado: se
um é perfeitamente mensurável, o outro não
poderá ser.
O professor poderá comentar com seus
alunos alguns dos aspectos históricos que
localizam a crise da escola pitagórica em re-
lação à incomensurabilidade de 2 e à des-
coberta dos irracionais. uma boa “entrada”
para a questão é a apresentação dos para-
doxos de zenão, especialmente o paradoxo
da corrida entre Aquiles e a tartaruga, que
discutiremos mais adiante. Parece-nos, por-
tanto, que o contexto das progressões geo-
métricas tendendo a zero pode ser uma boa
porta de entrada para a introdução da noção
de infinito associada à de continuidade dos
números reais.
Para introduzir o limite da soma dos in-
finitos termos de uma PG, sugerimos que
o professor recorra, prioritariamente, à
intuição dos alunos, postergando a neces-
sária formalização para mais tarde, quando
o conceito estiver razoavelmente construído.
Nesse sentido, o professor pode partir do
cálculo da soma de termos de uma PG com
as características desejadas, aumentando,
pouco a pouco, o número de termos, a fim
de intuir a ideia de que haverá um limite para
a soma, como no problema seguinte, que co-
mentamos em detalhes.
53
Matemática – 1ª- série, 1o bimestre
Antecedendo a resolução, o professor pode
propor aos alunos as seguintes questões:
a) Quanto mede o lado PQ do triângulo PQR? E os lados PR e RQ?
b) Qual é o perímetro dos triângulos ABC, PQR e STU?
c) Escreva uma sequência numérica cujos termos são os perímetros dos triângulos ABC, PQR, STU e mais outros dois triân- gulos construídos segundo o critério.
Para essas questões, é importante que o professor discuta, inicialmente, que, dado um triângulo ABC, se P e Q são pontos médios
A
PB
C
QR U
TS
O triângulo ABC da figura é equilátero de lado 1. Unindo os pontos médios dos lados desse triângulo, obtemos o segundo triângulo PQR. Unindo os pontos médios dos lados do triângulo PQR, obtemos o terceiro triângulo STU, e assim sucessivamente. Determine a soma dos perímetros dos infinitos triângulos construídos por esse processo.
dos lados AB e BC, respectivamente, então PQ é paralelo a AC, e sua medida é igual à metade de AC. O mesmo vale para os demais lados do triângulo PQR, visto que o triângulo ABC é equilátero.
Dessa forma, os perímetros dos triângulos
da figura são 3, 3
2 e
3
4.
A sequência de triângulos assim construí-
dos terá perímetros respectivamente iguais a:
3, 3
2,
3
4,
3
8,
3
16, ....
Após esse trabalho inicial, sugere-se que os alunos calculem as somas dos perímetros: dos dois primeiros, dos três primeiros e assim por diante.
Assim, os alunos obteriam as somas:
S1 = 3
S2 = 3 + 3
2 =
9
2 = 4,5
S3 = 3 + 3
2 +
3
4 =
21
4 = 5,25
S4 = 3 + 3
2 +
3
4 +
3
8 =
45
8 = 5,625
S5 = 3 + 3
2 +
3
4 +
3
8 +
3
16 =
93
16 = 5,8125
S6 = 3 + 3
2 +
3
4 +
3
8 +
3
16 +
3
32 =
189
16 = 5,90625
S7 = 3 + 3
2 +
3
4 +
3
8 +
3
16 +
3
32 +
3
64 =
381
64 = 5,953125
54
Após esses cálculos, o professor poderia
solicitar que os alunos fizessem suas conjec-
turas a respeito deles, procurando responder à
questão: O que acontece à soma, se as parcelas
forem aumentando com os perímetros de outros
triângulos da sequência?
É importante discutir com a classe que as
somas aumentariam, com o acréscimo de novas
parcelas, mas esse crescimento é cada vez menor.
O uso da fórmula da soma dos termos de
uma PG pode ampliar essa discussão:
S = an . q – a1
q – 1 =
an .
14
3
143
1
2 –3
1
2 –1
=
an
2 – 3
– 1
2A soma assim obtida está em função de an,
aqui considerado o último termo. O questiona-
mento seguinte aos alunos é sobre o que ocorre
com an, à medida que n cresce muito. As respos-
tas dos alunos tendem a caminhar no sentido
da intuição de que o último termo da sequên-
cia, supondo grande número de termos, será
praticamente zero ou, como o professor pode-
rá comentar, “tenderá a zero”. Assim, por meio
da ideia de limite, pode-se perguntar aos alunos
como fica a expressão da soma, uma vez que an
é praticamente nulo. O correto será, nesse mo-
mento, trocar “S” por “lim Sn
”
lim Sn
=
an
2 – 3
– 1
2
= 0 – 3
– 1
2
= 6
Esse resultado nos diz que, quanto mais
acrescentarmos termos à soma em questão,
∞
∞
mais nos aproximaremos do valor limite, 6,
sem jamais alcançá-lo.
Assim, podemos escrever que a série infini-
ta 3 + 3
2 +
3
4 +
3
8 +
3
16 + ... = 6, ou seja, o
limite da soma quando n tende ao infinito é 6.
Reproduzindo esse raciocínio na expressão
do cálculo da soma da PG, obtém-se a expres-
são do limite da soma dos infinitos termos de
uma PG com razão no intervalo –1 < q < 1,
que é esta:
lim Sn
= a1
1 – q
A partir dessa discussão, será possível pro-
por aos alunos a resolução das seguintes situa-
ções-problema exemplares.
Problema 1
Por mais que aumentemos o número de
termos na adição
S = 2 + 1
2 +
1
8 +
1
32 + ...,
existirá um valor limite, isto é, um valor do
qual a soma se aproxima cada vez mais, po-
rém nunca o atingindo? Qual é esse valor?
O valor procurado corresponde ao limite da
soma de uma PG de razão 1
4 para o número
de termos tendendo a infinito. Podemos fazer:
lim Sn
= a1
1 – q =
1 – 1
4
2 =
8
3
Portanto, por mais que aumentemos a
quantidade de parcelas da soma, nunca
ultrapassaremos o valor 8
3, embora cada
vez mais nos aproximemos dele.
∞
∞
55
Matemática – 1ª- série, 1o bimestre
Problema 2
Calcule o resultado limite das seguintes somas:
a) S = –10 + 1 – 0,1 + 0,01 – 0,001 + 0,0001 – ....
–100
11
b) S = 2
5 +
1
5 +
1
10 +
1
20 +
1
40 + ....
4
5
Problema 3
uma bola de borracha cai da altura de 6 m,
bate no solo e sobe até a terça parte da altu-
ra inicial. Em seguida, a bola cai novamente,
bate no solo, inverte o sentido de movimento
e sobe até atingir a terça parte da altura an-
terior. Continuando seu movimento segundo
essas condições, isto é, atingindo, após cada
batida, a terça parte da altura que atingiu
após a batida imediatamente anterior, qual
será a distância vertical total percorrida pela
bola até parar?
6 m
Temos a seguinte soma para as distâncias
percorridas pela bola, durante as descidas:
Sdescida = 6 + 2 + 2
3 +
2
9 + ....
Temos a seguinte soma para as distâncias
percorridas pela bola, durante as subidas:
Ssubida = 2 + 2
3 +
2
9 + ....
Sdescida = lim Sn ∞
= a1
1 – q =
1 – 1
3
2 = 3
Ssubida = 6 + 3 = 9
Portanto, a distância vertical total percorrida
pela bola é igual a Sdescida + Ssubida = 12 m.
Problema 4
Resolva a equação em que o primeiro termo
da igualdade é o limite da soma dos termos
de uma PG infi nita: x
2 +
x
8 +
x
32 + ... = 18
1 – 1
4
x
2 = 18 ⇒ x = 27
Problema 5
(Adaptado do Paradoxo de zenão) uma
corrida será disputada entre Aquiles, grande
atleta grego, e uma tartaruga. Como Aquiles é
10 vezes mais rápido do que a tartaruga, esta
partirá 10 metros à frente de Aquiles, confor-
me representado no esquema abaixo.
10 m
56
c) Calcule a soma das infi nitas distâncias percorridas por Aquiles até chegar ao ponto em que se encontrava a tartaruga a cada vez.
lim Sn
= a1
1 – q =
10
1 – 0,1 =
10
0,9 =
100
9 m.
d) Quantos metros percorrerá Aquiles até alcançar a tartaruga? Ou você acredita que ele não a alcança?
Aquiles alcançará a tartaruga após percorrer
100
9 m.
Problema 6
Qual é o resultado da raiz
2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 ...... ?
A expressão pode ser re-escrita da seguinte
forma:
2 . 2 . 2 . 2 . ... = 212
14
18
116
12
+14
+188
+1
16+ ...
Trata-se de calcular o limite da soma da PG
de primeiro termo igual a 1
2 e razão igual a
1
2, cujo resultado é 1. Assim, o resultado da
raiz é igual a 21 = 2.
Problema 7
uma dívida foi paga, mensalmente, da se-
guinte maneira:
1o mês: metade do valor inicial da dívida;
2o mês: metade do valor restante após o pa-
gamento da parcela anterior;
Quando Aquiles chegou ao ponto em que
a tartaruga estava inicialmente, depois de per-
correr 10 m, a tartaruga, 10 vezes mais lenta,
estava 1 m à frente.
Aquiles, então, correu 1 m, até o ponto em
que a tartaruga estava, mas ela já não estava
mais lá: estava 10 cm à frente, pois correu, no
mesmo intervalo de tempo, 10 vezes menos
que Aquiles, e a décima parte de 1 metro é
10 cm.
Repetindo esse raciocínio para os inter-
valos de tempo seguintes, parece que Aquiles
nunca alcançará a tartaruga, pois ela sempre
terá percorrido 1
10 do que Aquiles percorrer.
Será mesmo verdade que ele nunca alcançará
a tartaruga?
a) Escreva a sequência das distâncias que Aquiles percorre até chegar ao ponto em que a tartaruga estava a cada vez.
10 + 1 + 0,1 + 0,01 + ....
b) A sequência das distâncias é uma PG. Qual é a razão dessa PG?
0,1.
∞
1 m
10 cm
57
Matemática – 1ª- série, 1o bimestre
3o mês: metade do valor restante após o
pagamento da parcela anterior;
4o mês: metade do valor restante após o
pagamento da parcela anterior;
e assim sucessivamente, até a quitação
total da dívida.
Verifique que a soma das parcelas pagas
corresponde ao valor total da dívida.
Levando-se ao pé da letra a descrição
fornecida no enunciado, a dívida jamais
seria paga, pois sempre restaria um resíduo,
por menor que fosse. Podemos, no entanto,
calcular o limite da soma da PG formada
pelas parcelas, pois esse será o valor limite
da dívida. Chamando de x o valor total
da dívida,
S = x
2 +
x
4 +
x
8 +
x
16 + ... =
a1
1 – q =
1 – 1
2
x
2 =
1
2
x
2= x
Problema 8
Determine a geratriz da dízima 1,777...
O aluno deve ser convidado a decompor a
dízima em uma soma:
1,777... = 1 + 0,777.... = 1 + 0,7 + 0,07 +
0,007 + .....
Depois, sugira que escreva essa soma utili-
zando frações para representar os números
envolvidos. Assim,
1,777... = 1 + 0,777.... = 1 + 0,7 + 0,07 +
0,007 + .....= 1 + 7
10 +
7
100 +
7
1000 + ....
Desse modo, os alunos concluirão que as
parcelas 7
10, 7
100, 7
1000, .... formam uma
PG infinita de razão q = 1
10 e primeiro termo
a1 = 7
10.
Assim, aplicando a fórmula do limite da
soma lim Sn = a1
1 – q, obtém-se:
lim Sn = a1
1 – q =
1 – 1
10
7
10 =
9
10
7
10 =
7
9 .
Desse modo, a geratriz de 1,777... será
1 + 7
9 = 16
9.
58
Considerações sobre a avaliação
Nesta Situação de Aprendizagem, aborda-
mos dois conceitos matemáticos bem abran-
gentes, que foram os conceitos de continuidade
e de infinito. Isso se deu a partir do trabalho
com situações-problema, cujas resoluções im-
plicavam a soma dos termos de uma PG infi-
nita, com razão real entre –1 e 1. Não existe,
de forma alguma, a pretensão de que esses
conceitos sejam perfeitamente compreendi-
dos nesta etapa de escolarização, na 1a série
Na 1a série do Ensino Médio, os alunos, iniciando seu último ciclo de escolaridade bá-sica, começam a tomar contato com aspectos da Matemática que exigem maior elaboração algébrica e também a mobilização de estra-tégias de raciocínio mais elaboradas. Mesmo que os conteúdos matemáticos apresentados a eles neste momento sejam ainda de pouca di-ficuldade conceitual, o professor deverá estar atento para a presença de alunos que, eventual-mente, não tenham conseguido completar a construção conceitual da maneira projetada. Se processos de recuperação são importantes em qualquer etapa de escolaridade, o são ain-da mais agora, ao iniciar-se o Ensino Médio.
Para os alunos que necessitarem de recupe-
ração, sugerimos, em primeiro lugar, que o tipo
de construção dos conceitos proposto neste
Caderno não seja alterado, sobretudo no que
diz respeito à identificação da regularidade da
sequência e à possibilidade de traduzi-la por
intermédio de uma equação matemática. Se não
se altera a concepção, altera-se, por outro lado,
a forma com que devem ser abordados os con-
ceitos. Assim, sugerimos que o professor:
prepare e aplique listas de problemas com ca- f
racterísticas mais pontuais, que explorem de
forma mais lenta e gradual cada conceito;
recorra ao livro didático adotado e tam- f
bém a outros, selecionando problemas e
agrupando-os de modo a formar listas de
atividades em concordância com a propos-
ta de construção conceitual desenvolvida
neste Caderno;
forme grupos de alunos para a realização f
conjunta das sequências didáticas que ela-
borou e, se possível, convoque alunos com
maior desenvoltura nos conceitos estudados
para auxiliarem os grupos em recuperação.
ORIENtAçÕES PARA RECuPERAçãO
do Ensino Médio. Existe, sim, a intenção de
que possam ter sido apontadas relações que
serão exploradas na 3a série, quando os alunos
estiverem estudando o conjunto de todas as
funções e as taxas de variação.
Com relação aos instrumentos pensados
para a avaliação dos conceitos trabalhados no
período, valem, aqui, as considerações feitas
na Situação de Aprendizagem anterior, a res-
peito da permissão ao uso de calculadoras ou
à informação sobre o resultado das potências
de expoentes elevados.
59
Matemática – 1ª- série, 1o bimestre
RECuRSOS PARA AMPLIAR A PERSPECtIVA DO PROFESSOR E DO ALuNO PARA A COMPREENSãO DO tEMA
Caso o professor julgue necessário apro-
fundar o estudo de alguns dos temas apre-
sentados neste Caderno, sugerimos a leitura,
dentre outros, dos seguintes artigos da Revista
do Professor de Matemática (RPM), da Socie-
dade Brasileira de Matemática:
ÁVILA, G. “As séries infinitas”. Revista do
Professor de Matemática, n. 30.
CARVALHO, P. C. P. “um problema domés-
tico”. Revista do Professor de Matemática, n. 32.
LIMA, E. L. “uma construção geométrica
e a progressão geométrica”. Revista do Pro-
fessor de Matemática, n. 14.
VALADARES, E. e WAGNER, E. “usando
geometria para somar”. Revista do Professor
de Matemática, n. 39.
60
conSideraçÕeS FinaiS
Neste Caderno, foram apresentadas diver-
sas situações-problema envolvendo as princi-
pais noções de sequências e de progressões
aritméticas e geométricas. Foram sugeridas
atividades que propiciam experiências educa-
tivas diversificadas e que entendemos como
essenciais para o desenvolvimento de compe-
tências relativas a esse tema.
Convém ressaltar que as expectativas de
aprendizagem para o 1o bimestre da 1a série do
Ensino Médio não expressam todos os conteú-
dos referentes ao tema do bimestre, mas apenas
os aspectos considerados fundamentais, isto é,
aqueles que possibilitam ao aluno continuar
aprendendo, nos bimestres seguintes, sem que
seu aproveitamento seja comprometido.
Assim, espera-se que o aluno, ao final do
bimestre, obtenha os termos de uma sequência
a partir da expressão de seu termo geral e de-
termine essa expressão a partir de seus termos.
Além disso, o aluno deverá classificar uma
progressão (aritmética ou geométrica), obter
a expressão do termo geral e calcular a soma
dos termos de uma progressão em situações
diversas. Em relação às progressões geométri-
cas, espera-se, também, que o aluno calcule o
limite da soma de uma PG infinita.
Ressalte-se que a avaliação deve fornecer
informações ao estudante sobre seu desen-
volvimento, a respeito de suas capacidades
em utilizar as noções aprendidas em situa-
ções-problema. Por outro lado, a avaliação
deve fornecer ao professor dados sobre a
aprendizagem de seus alunos, para a ade-
quação das situações apresentadas e a pro-
posição de novas.
O professor deve ter clareza sobre os
critérios da avaliação e as limitações e pos-
sibilidades dos instrumentos que serão uti-
lizados. Os instrumentos de avaliação de-
vem, também, contemplar as explicações,
justificativas e argumentações orais, uma
vez que estas revelam aspectos do raciocínio
que, muitas vezes, não ficam explícitos nas
avaliações escritas.
Para que se tenha uma ideia mais nítida
das múltiplas inter-relações entre os diver-
sos conteúdos aqui tratados, apresentamos,
a seguir, a grade curricular com os conteúdos
de Matemática de todas as séries do Ensino
Médio, destacando-se com um sombreado os
conteúdos de outras séries e de outros bimes-
tres diretamente relacionados com os conteú-
dos apresentados neste Caderno.
61
Matemática – 1ª- série, 1o bimestre
conTeÚdoS de MaTeMÁTica Por SÉrie/biMeSTre do enSino MÉdio
1a série 2a série 3a série
1o Bim
estr
e
NÚMEROS E SEQuÊNCIAS- Conjuntos numéricos.- Regularidades numéricas: sequências.- Progressões aritméticas, pro-gressões geométricas; ocorrências em diferentes contextos; noções de Matemática Financeira.
tRIGONOMEtRIA- Arcos e ângulos; graus e radia-nos.- Circunferência trigonométrica: seno, cosseno, tangente.- Funções trigonométricas e fenômenos periódicos.- Equações e inequações trigono-métricas.- Adição de arcos.
GEOMEtRIA ANALÍtICA- Pontos: distância, ponto médio e alinhamento de três pontos.- Reta: equação e estudo dos coeficientes, retas paralelas e per-pendiculares, distância de ponto a reta; problemas lineares.- Circunferências e cônicas: pro-priedades, equações, aplicações em diferentes contextos.
2o Bim
estr
e
FuNçÕES- Relação entre duas grandezas.- Proporcionalidades: direta, inversa, direta com o quadrado.- Função do 1o grau, função do 2o grau; significado e ocorrência em diferentes contextos.
MAtRIzES, DEtERMINAN-tES E SIStEMAS LINEARES- Matrizes: significado como ta-belas, características e operações.- A noção de determinante de uma matriz quadrada.- Resolução e discussão de siste-mas lineares: escalonamento.
EQuAçÕES ALGÉBRICAS, POLINÔMIOS, COMPLEXOS- Equações polinomiais: história, das fórmulas à análise qualitativa.- Relações entre coeficientes e ra-ízes de uma equação polinomial.- Polinômios: identidade, divisão por x - k e redução no grau de uma equação.- Números complexos: significa-do geométrico das operações.
3o Bim
estr
e
FuNçÕES EXPONENCIAL E LOGARÍtMICA- Crescimento exponencial.- Função exponencial: equações e inequações.- Logaritmos: definição, proprie-dades, significado em diferentes contextos.- Função logarítmica: equações e inequações simples.
ANÁLISE COMBINAtÓRIA E PROBABILIDADE- Raciocínio combinatório: prin-cípios multiplicativo e aditivo.- Probabilidade simples.- Arranjos, combinações e per-mutações.- Probabilidades; probabilidade condicional.- triângulo de Pascal e Binômio de Newton.
EStuDO DAS FuNçÕES- Panorama das funções já estu-dadas: principais propriedades.- Gráficos: funções trigonométri-cas, exponenciais, logarítmicas e polinomiais.- Gráficos: análise de sinal, cres-cimento, decrescimento, taxas de variação.- Composição: translações, refle-xões, inversões.
4o Bim
estr
e
GEOMEtRIA-tRIGONOME-tRIA- Razões trigonométricas nos triângulos retângulos.- Polígonos regulares: inscrição, circunscrição; pavimentação superfícies. - Resolução de triângulos não retângulos: lei dos senos e lei dos co-senos.
GEOMEtRIA MÉtRICA ESPACIAL- Organização do conhecimento geométrico: conceitos primitivos, definições, postulados, teoremas.- Prismas e cilindros: proprieda-des, relações métricas.- Pirâmides e cones: proprieda-des, relações métricas.- A esfera e suas partes; relações métricas; a esfera terrestre.
EStAtÍStICA- Cálculo e interpretação de índices estatísticos.- Medidas de tendência central: média, mediana e moda.- Medidas de dispersão: desvio médio e desvio padrão.- Elementos de amostragem.
O sombreado assinala os conteúdos relacionados aos trabalhados neste bimestre.