O Telecurso 2000Telecurso 2000 uma proposta de educao a distncia
para dar atendimento, prioritariamente prioritariamente, a jovens e
adultos que desejam fazer o curso ou complementar sua escolaridade
at o nvel de 2 Grau, bem como adquirir competncias bsicas para o
exerccio de uma profisso. No Telecurso 2000, o participante tem a
oportunidade de adquirir conhecimentos gerais correspondentes ao
ensino de 3 8 sries do 1 Grau, s trs sries do 2 Grau e, ainda,
conhecimentos especficos relativos aos Cursos Profissionalizantes.
Constitui-se, tambm, numa possibilidade de reciclagem para os
professores e num reforo aprendizagem dos participantes de modo
geral, dentro da perspectiva de um processo permanente de
educao.
O
Quais so as disciplinasNo Telecurso 2000, as disciplinas
curriculares apresentam esta estrutura:1 FASE 2 FASE 3 FASE 1 FASE
2 FASE 3 FASE 1 FASE 2 FASE 3 FASE 1GRAU
-
LNGUA PORTUGUESA, MATEMTICA E HISTRIA LNGUA PORTUGUESA,
MATEMTICA E CINCIAS INGLS, MATEMTICA, CINCIAS E GEOGRAFIA
2
GRAU
LNGUA PORTUGUESA, MATEMTICA, FSICA E BIOLOGIA LNGUA PORTUGUESA,
MATEMTICA, FSICA E QUMICA QUMICA, HISTRIA, INGLS E GEOGRAFIA CURSOS
PROFISSIONALIZANTES UNIVERSO MECNICO, ORGANIZAO DO TRABALHO,
NORMALIZAO, MATERIAIS, LEITURA E INTERPRETAO DE DESENHO MECNICO,
ELEMENTOS DE MQUINAS, CLCULO TCNICO LEITURA E INTERPRETAO DE
DESENHO MECNICO, METROLOGIA, HIGIENE E SEGURANA DO TRABALHO,
QUALIDADE, PROCESSOS DE FABRICAO, ENSAIOS DE MATERIAIS QUALIDADE
AMBIENTAL, TRATAMENTO TRMICO, MANUTENO, PROCESSOS DE FABRICAO,
TRATAMENTO DE SUPERFCIES, AUTOMATIZAO/ AUTOMAO
Cada fase tem a durao mdia de seis meses. O participante pode
iniciar seus estudos na fase que for melhor para sua realidade,
para seus interesses e para suas necessidades.
Recursos de aprendizagemO Telecurso 2000 combina o uso de
programas de TV (teleaulas) com materiais impressos prprios,
referentes a cada disciplina, permitindo - alm da aprendizagem dos
contedos - a construo de novos conhecimentos e sua aplicao. - Cada
aula na TV tem durao de 15 minutos. - Nos livros do Telecurso, o
participante estuda, pesquisa e realiza exerccios. - importante o
uso de dicionrios e de diferentes materiais de leitura: jornais,
revistas, livros, entre outros, que enriqueam a aprendizagem.
Como participarO Telecurso 2000 aberto a todos os interessados,
e o participante pode trabalhar de vrias formas, escolhendo a
alternativa que lhe seja mais adequada e que se ajuste sua
possibilidade de participao. Alternativa 1 Freqentando a telessala
instalada numa instituio privada ou pblica. Neste caso, o
participante: q faz sua inscrio; q freqenta o curso no local e nos
horrios estipulados pela instituio. Trata-se da recepo organizada
organizada, na qual os alunos se renem com a presena do Orientador
de Aprendizagem e realizam atividades individuais ou em grupo.
Alternativa 2 Assistindo s teleaulas, sozinho ou em pequenos
grupos, em qualquer lugar em que haja um aparelho de TV disponvel:
em casa, na casa de um amigo, no sindicato, na igreja, no clube e
at no trabalho, sem necessitar da presena do Orientador de
Aprendizagem durante a veiculao dos programas. Essa alternativa
atende aos que tm dificuldade de freqentar diariamente uma sala de
aula. Neste caso, o participante: q faz sua inscrio num centro
controlador; q freqenta o curso pelo menos uma vez por semana.
Trata-se da recepo controlada controlada, com a presena do
Orientador de Aprendizagem para tirar dvidas, orientar, analisar
exerccios, trocar idias, fornecer leituras suplementares e avaliar
o desempenho do aluno. Alternativa 3 Assistindo s teleaulas em
qualquer lugar, sem nenhuma orientao anterior ou posterior e,
portanto, sem freqentar a telessala ou o centro controlador.
Trata-se da recepo livre ou isolada isolada, destinada aos
participantes que tenham total impossibilidade de freqentar uma
telessala ou centro controlador.
Como obter certificado de conclusoO participante poder prestar
os exames supletivos oficiais, oferecidos pelas Estado. Secretarias
de Educao de cada Estado Os procedimentos so os seguintes: q
informar-se sobre datas de inscrio, local e documentos necessrios;
q inscrever-se; q prestar os exames das matrias que desejar, no
necessitando aguardar a concluso de todo o telecurso; q pedir, no
local em que realizou as provas, o atestado da matria em que foi
aprovado - quem aprovado em determinada matria no precisa mais
prestar exame dessa disciplina; q solicitar Secretaria de Educao o
certificado de concluso concluso, quando tiver sido aprovado em
todas as matrias do currculo do Telecurso 2000.
A A UA U L LA
1 1
Recordando operaesV
Introduo
amos iniciar nosso curso de matemtica do 2 grau recordando as
quatro operaes:l
adio subtrao multiplicao diviso
l
l
l
Vamos lembrar como essas operaes so feitas e, principalmente,
quando devemos utiliz-las na soluo de um problema. Muita gente
pensa que quem faz contas com rapidez bom em matemtica. engano!
Fazer contas rapidamente uma habilidade que se adquire com a
prtica. Muito mais importante que fazer contas com rapidez
descobrir quais so as operaes que devemos usar para resolver um
problema. Portanto, em matemtica, o mais importante o raciocnio .
Para comear, leia os quatro problemas abaixo e tente descobrir
quais so as contas que devem ser feitas.l
Um motorista de txi andou 180 km em certo dia e 162 km no dia
seguinte. No total, quanto ele andou nesses dois dias?
l
Uma mercadoria que custa R$37,00 foi paga com uma nota de
R$50,00. De quanto foi o troco?
l
Uma caixa de leite tipo longa vida possui 16 litros de leite.
Quantos litros existem em 12 caixas?
l
Devo repartir 24 balas igualmente entre meus trs filhos. Quantas
balas deve receber cada um?
Em todos os exemplos desta aula, usaremos apenas nmeros
inteiros. Eles so os nossos conhecidos 0, 1, 2, 3, ... e tambm os
negativos - 1, - 2, - 3, ... .
Nossa A U L aula A
A adioPodemos pensar na operao de adio quando queremos juntar as
coisas que esto separadas. EXEMPLO 1 Em uma pequena escola, existem
3 turmas: uma com 27 alunos, outra com 31 alunos e outra com 18
alunos. Quantos alunos existem ao todo nessa escola? Para reunir os
alunos das 3 turmas, devemos somar a quantidade de alunos de cada
turma. A operao que devemos fazer : 27 + 31 + 18 = 76 Existem,
portanto, 76 alunos nessa escola. Cada um dos nmeros de uma soma
chama-se parcela . Na operao de adio, podemos somar as parcelas em
qualquer ordem. Por isso, temos certeza de que 18 + 27 + 31 tambm d
76 76. Devemos ainda lembrar que nmeros negativos tambm podem ser
soma17. Para escrever essa operao dos. Por exemplo, a soma de - 12
com - 5 d - 17 fazemos assim: - 12 + (- 5) = - 17 Observe que
colocamos - 5 entre parnteses para evitar que os sinais de + e de -
fiquem juntos. Mas existe outra maneira, mais simples, de escrever
a mesma operao. Veja: - 12 - 5 = - 17
1
A subtraoPodemos pensar na operao de subtrao quando queremos
tirar uma quantidade de uma outra para ver quanto sobra. Veja o
exemplo. EXEMPLO 2 Uma secretria recebeu a tarefa de preparar 90
envelopes de correspondncia. At a hora do almoo, ela j tinha feito
52. Quantos ela ainda tem de fazer? Temos aqui um exemplo claro de
operao de subtrao. A operao que devemos fazer : 90 - 52 = 38
Assim, depois do almoo, a secretria dever preparar ainda 38
envelopes envelopes.
A U L A
1
Observe agora que, em uma subtrao, quando o segundo nmero maior
que o primeiro, o resultado negativo. Veja: 9 -5 = 4 5-9 =-4 Para
visualizar as operaes de adio e subtrao, representamos os nmeros
inteiros como pontos de uma reta.-5 +5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Na operao 9 + 5 = 14 14, partimos do nmero 9, andamos 5 unidades
para a direita e chegamos ao nmero 14. Na operao 9 - 5 = 4 4,
partimos do nmero 9, andamos 5 unidades para a esquerda e chegamos
ao nmero 4.-9 +9
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Na operao 5 + 9 = 14 14, partimos do nmero 5, andamos 9 unidades
para a direita e chegamos ao nmero 14. Na operao 5 - 9 = - 4 4,
partimos do nmero 5, andamos 9 unidades para a esquerda e chegamos
ao nmero - 4.
Para resumir, as regras so as seguintes:l l
Escrever 5 ou + 5 a mesma coisa. Quando sinais de nmeros e
sinais de operaes aparecerem juntos, ento: (+) (+) = (+) (+) (-) =
(-) (-) (+) = (-) (-) (-) = (+)
Por exemplo: 5 + (+ 3) = 5 + 3 = 8 5 + (- 3) = 5 - 3 = 2 5 + (+
3) = 5 - 3 = 2 5 - (- 3) = 5 + 3 = 8
Veja, a seguir, como devemos proceder numa situao em que h soma
e subtrao de diversos nmeros.
EXEMPLO 3 Joo abriu uma conta bancria. Depois de algum tempo,
essa conta apresentou o seguinte movimento:DIA SALDO INICIAL
DEPSITO RETIRADA
A U L A
1
10 10 12 15 18 21
00,00 53,00 25,00 65,00 30,00 18,00
Qual ser o saldo de Joo aps essas operaes? Vamos representar os
depsitos por nmeros positivos e as retiradas por nmeros negativos.
Devemos ento fazer a seguinte conta: 53 - 25 + 65 - 30 - 18 O
resultado dessa operao ser a quantia que Joo ainda tem no banco. A
melhor forma de fazer esse clculo somar os nmeros positivos (os
depsitos), somar os nmeros negativos (as retiradas) e depois
subtrair o segundo resultado do primeiro. Assim: 0 53 - 25 + 65 -
30 - 18 = = (53 + 65) - (25 + 30 + 18) = = 118 - 73 = = 45
Portanto, Joo ainda tem R$ 45,00 em sua conta bancria.
A multiplicaoA multiplicao nada mais que uma soma com parcelas
iguais. Por exemplo: 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 5 7 = 35 O nmero 7
apareceu 5 vezes. Ento, 7 vezes 5 d 35. Da mesma forma: 5 + 5 + 5 +
5 + 5 + 5 + 5 = 7 5 = 35 Agora, o nmero 5 apareceu 7 vezes. Ento 5
vezes 7 d 35. Voc j sabe que, em uma multiplicao cada nmero
chama-se fator. Vamos, agora, recordar algumas propriedades da
multiplicao.
A U L A
1
1. Na multiplicao, a ordem dos fatores no altera o resultado.
Por isso: 57=7 5 2. Quando temos vrias multiplicaes seguidas,
qualquer uma delas pode ser feita primeiro. Por exemplo: 2 3 5 = (2
3) 5 = 6 5 = 30 2 3 5 = 2 (3 5) = 2 15 = 30 2 3 5 = (2 5) 3 = 10 3
= 30 3. Quando um nmero multiplica uma soma, ele multiplica cada
parcela dessa soma. Por exemplo: 2 (3 + 4 + 5) = 2 12 = 24 Ou,
ainda: 2 (3 + 4 + 5) = 2 3 + 2 4 + 2 5 = 6 + 8 + 10 = 24 Falta
apenas recordar o que ocorre quando temos multiplicaes com nmeros
negativos. As regras so as seguintes: (+) ( -) = ( -) ( -) (+) = (
-) ( -) ( -) = (+) Vamos ver alguns exemplos para entender bem
essas regras.l
Para calcular 4 (- 3) podemos fazer uma soma com 4 parcelas
iguais a - 3. Da: 4 (- 3) = (- 3) + (- 3) + (- 3) + (-3) 4 (- 3) =
- 3 - 3 - 3 - 3 4 (- 3) = - 12 Para entender que o produto de dois
nmeros negativos positivo vamos lembrar que o produto de qualquer
nmero por zero d zero. Portanto: (- 3) 0 = 0 Vamos ento escrever
essa igualdade assim: (- 3) (- 2 + 2) = 0
l
a mesma coisa. A igualdade continua certa. Mas, utilizando uma
das propriedades da multiplicao, podemos escrever a mesma coisa de
forma ainda diferente. Veja: ( - 3) ( - 2) + (- 3) 2 = 0
Ora, sabemos que (- 3) 2 d - 6. Logo, devemos ter (- 3) (- 2) =
6 para que a soma seja zero.
{ {? -6
A divisoPodemos pensar na diviso quando queremos dividir um
total de partes iguais ou quando queremos saber quantas vezes um
nmero cabe no outro.
A U L A
1
EXEMPLO 4 Desejamos colocar 80 lpis em 5 caixas, de maneira que
todas as caixas tenham o mesmo nmero de lpis. Quantos lpis devemos
pr em cada caixa? A resposta fcil. Basta dividir 80 por 5. 80 5 =
16 Logo, cada caixa deve conter 16 lpis. No exemplo que acabamos de
ver, a diviso foi exata ou seja, conseguimos colocar a mesma
quantidade de lpis em cada caixa sem que sobrasse nenhum. O que
aconteceria, entretanto, se tivssemos 82 lpis para pr nas 5 caixas?
resposta fcil. Cada caixa continuaria com 16 lpis, mas sobrariam 2.
Veja a operao:
dividendo
082 5 -5 16 032 0-30 02
divisor quociente
resto
Na operao acima, 82 o dividendo , 5 o divisor , 16 o quociente e
2 o resto . Esses quatro nmeros se relacionam da seguinte forma: 82
= 5 16 + 2 (dividendo) = (divisor) (quociente) + (resto)
Ateno! O resto sempre positivo e menor que o divisor.
Ao fazer uma diviso, estaremos sempre encontrando dois novos
nmeros: o quociente e o resto. Vamos ver mais um exemplo do uso
dessa operao em um problema.
A U L A
EXEMPLO 5 Certo elevador pode transportar no mximo 6 pessoas. Se
existem 46 pessoas na fila, quantas viagens o elevador dever fazer
para transportar todas essas pessoas? Devemos dividir 46 por 6.
Observe a operao: _ 46 - 42 0_.4 6 7
1
O quociente igual a 7 indica que o elevador far 7 viagens com
lotao completa. Mas o resto igual a 4 indica que sobraro ainda 4
pessoas para serem transportadas. Logo, o elevador dever fazer uma
viagem a mais para transportar as 4 pessoas restantes. Portanto, o
elevador far 8 viagens para transportar todas as pessoas.
Exerccios
Exerccio 1 Efetue as operaes indicadas: a) 37 + 43 = b) 55 - 18
= c) 18 - 55 = d) 12 + (- 7) = e) 12 - (- 7) = f) - 9 - 6 = g) - 9
+ (- 6) = h) - 9 - (- 6 ) = i) 13 7 = j) (- 8) 9 = l) (7 - 3) 4 =
m) (3 - 8) (- 4) = Exerccio 2 Efetue as operaes indicadas. Lembre
que, se vrias operaes aparecem em uma mesma expresso, as
multiplicaes e divises so feitas primeiro e depois as somas e
subtraes. a) 4 + 2 3 = b) 20 - 3 + 12 - 30 6 = c) 13 112 - 11 10 =
Exerccio 3 Um revendedor entrou numa confeco e fez a seguinte
compra.MERCADORIA QUANTIDADE PREO UNITRIO
(R$)
camisetas camisas bermudas calas
30 15 25 20
06 12 09 18
Quanto ele pagou por essa compra?
Exerccio 4 Um trabalhador recebe R$12 por dia de trabalho, mais
uma gratificao de R$8 por semana. Sabendo que cada semana tem 6
dias de trabalho, quanto esse trabalhador dever ter recebido aps 4
semanas?
A U L A
1
Exerccio 5 Descubra que nmeros esto faltando nas operaes abaixo:
a) 12 ........ =180 b) ........ 8 5 26 c) 148 = 6 ........ + 4
Exerccio 6 Certo automvel faz, na estrada, 12 km por litro de
gasolina. Para fazer uma viagem de 340 km, o proprietrio colocou no
tanque 30 litros de gasolina. Esse combustvel ser suficiente?
Exerccio 7 Em uma festa, as mesas do salo so quadradas e
acomodam, no mximo, 4 pessoas. Para que 150 pessoas possam se
sentar, quantas mesas sero necessrias?
Exerccio 8 Uma escola tem 4 salas e cada sala tem 30 carteiras.
Na primeira sala existem 26 alunos, na segunda 24, na terceira, 23
e na quarta, 19. Quantos alunos ainda podem ser matriculados?
Exerccio 9 Joo tem um terreno retangular de 20m de frente por
30m de fundo, e deseja cerc-lo com uma cerca de arame com 5
fios.
Quantos metros de arame ele dever comprar?
A A UA U L LA
2 2
Fraes e nmeros decimaisnicialmente, as fraes so apresentadas
como 2 partes de um todo. Por exemplo, teremos 5 de um bolo se
dividirmos esse bolo em cinco partes iguais e tomarmos duas dessas
partes. Entretanto, se substituir2 mos o bolo por uma unidade
qualquer, a frao 5 um nmero e, como tal, possui seu lugar na reta
numrica. Para fazer a marcao na reta numrica, dividimos a unidade
em 5 partes e tomamos duas0 2 5 1 2
Introduo
I
Por outro lado, a frao tambm o resultado da diviso de dois
nmeros; 2 por exemplo, a frao 5 , que o resultado da diviso de 2
por 5. Observe o desenho a seguir:2 5 2 5 2 52
2 5
2 5
Duas unidades foram divididas em 5 partes iguais.
Nossa aula
Nesta aula vamos estudar as fraes, suas propriedades e a forma
de represent-las por nmeros decimais.
A diviso prolongadaImagine que R$25,00 devam ser divididos
igualmente entre 4 pessoas. Quanto cada uma dever receber? Sabemos
que 25 no mltiplo de 4, e portanto, a quantia que cada um deve
receber no ser um nmero inteiro. Para isso existem os centavos.
Vamos ento lembrar como fazemos a diviso de 25 por 4. // 25 4 //25
- 24 6 0. l 0.l
At agora, nossa conta indica que cada pessoa receber 6 reais;
mas existe ainda um resto de 1 real. Para continuar, acrescente um
zero ao resto e uma vrgula ao quociente. 25 4 -.25 - 24 6,25 - 10 -
-8 --20 -- 20 --0 O resultado da diviso de 25 por 4 6,25 ou seja,
cada pessoa receber 6 reais e 25 centavos. Utilizando uma frao para
indicar a diviso, podemos representar a operao que fizemos da
seguinte forma: 25 = 6,25 4 Todas as fraes podem ser representadas
por nmeros decimais. Basta dividir o numerador pelo dominador
prolongando a operao. A mquina de calcular faz muito bem esse
trabalho. Observe os exemplos.
A U L A
2
25 4
2
5
4
=
126 15
1
2
6
1
5
=
2 3
2
3
=
O que aconteceu no ltimo exemplo? 2 A representao decimal da
frao 3 tem infinitas casas decimais, ou seja, a quantidade de
algarismos no acaba nunca. Esses nmeros decimais que possuem
algarismos (ou grupos de algarismos) que se repetem eternamente so
as dzimas peridicas . As dzimas peridicas so incmodas. Com elas, em
geral no conseguimos fazer contas de somar, subtrair, multiplicar
ou dividir. Por isso, preferimos representar esses nmeros na forma
de fraes. Vamos ento recordar as operaes com fraes.
A U L A
Fraes iguais:Sabemos que a frao 2 igual ao nmero decimal 0,5.
Entretanto, as 2 3 4 fraes 4 , 6 , 8 , ... so tambm iguais a 0,5.
Temos aqui um primeiro exemplo de fraes iguais:1
2
1 2 3 4 = = = = ... 2 4 6 8Como fazemos para obter fraes iguais?
A propriedade que enunciamos a seguir responde a essa pergunta.
Uma frao no se altera quando multiplicamos ou dividimos o
numerado e o denominador pelo mesmo nmero.Observe os exemplos:
1 17 7 = = 2 2 7 14 2 23 6 = = 5 5 3 15 12 12 4 3 = = 32 32 4 8
50 50 10 5 = = 60 60 + 10 6Os dois ltimos exemplos so importantes
porque mostram como simplifi12 car fraes. Se em algum problema
aparece a frao 32 , podemos, em seu lu3 gar, usar a frao 8 , que
representa o mesmo nmero e mais simples. A propriedade que vimos
fundamental para as operaes de adio e subtrao de fraes.
Operaes com fraesSabemos que muito fcil somar ou subtrair fraes
que tenham o mesmo denominador. Neste caso, basta somar ou subtrair
os numeradores. Assim:
3 4 3+4 7 + = = 10 10 10 10Observe outro exemplo e a simplificao
do resultado.
3 7 3 + 7 10 5 + = = = 8 8 8 8 4
Como faremos, ento, para somar ou subtrair fraes com
denominadores diferentes? No difcil. Vamos tentar representar as
fraes dadas por outras, iguais s que temos, mas com denominadores
iguais. o que veremos a seguir. Adio e subtrao de fraes Tomemos
como exemplo, a soma 4 + 6 . Os denominadores so diferentes. Ento,
buscamos um nmero que seja mltiplo de ambos. Encontramos 12, que
mltiplo de 4 e tambm de 6. Vamos ento representar as duas fraes
dadas com esse mesmo denominador. Observe:1 1
A U L A
2
1 13 3 = = 4 4 3 12 1 12 2 = = 6 6 2 12Ento,
1 1 3 2 3+2 5 + = + = = 4 6 12 12 12 12Acabamos de somar duas
fraes com denominadores diferentes. A subtrao feita da mesma forma.
Devemos tambm igualar os denominadores. 4 3 Consideremos ento a
diferena 5 - 8 . Qual ser o novo denominador que devemos escolher?
Pense um pouco e observe a soluo.
4 4 8 32 = = 5 5 8 40 3 3 5 15 = = 8 8 5 40Ento,
4 3 32 15 17 - = = 5 8 40 40 40Multiplicao de fraes Se na soluo
de algum problema devemos calcular, por exemplo a tera parte de
dois quintos , estamos frente a uma situao em que devemos
multiplicar duas fraes. A regra a seguinte:
Para multiplicar duas fraes, multiplique os numeradores e os
denominadoresAssim:
1 2 12 2 = = 3 5 3 5 15
A U L A
O inverso de um nmero O inverso de um nmero um outro que,
multiplicado pelo primeiro, d 1. Por exemplo: o inverso de o
inverso de 23 5 1 2 5 3
2
porque porque
23 5
1 2 5 3
= =
2 2
=1 =1
15 15
O zero o nico nmero que no possui inverso . Observe agora a
igualdade abaixo:2 3
=2
1 3
Ela est correta, claro. Mas, o que est mostrando? Que, do lado
esquerdo, estamos dividindo 2 por 3 e, do lado direito, estamos
multiplicando 2 pelo inverso de 3. Isso vale para qualquer nmero. A
regra a seguinte.
Dividir um nmero por outro o mesmo que multiplicar esse nmero
pelo inverso do outro.Por exemplo, quanto d a soluo.4 5
divididos por 3 ? Pense um pouco e acompanhe
2
4 2 4 3 12 6 = = = 5 3 5 2 10 5As porcentagens Uma porcentagem
uma frao de denominador 100. Por exemplo, 32% 32 igual frao 100 que
tambm igual ao nmero decimal 0,32 0,32. Quando queremos calcular
uma porcentagem de algum valor, multiplicamos a frao por esse
valor. Veja: 32% de 650 laranjas = 0,32 650 = 208 laranjas 08% de
R$140,00 = 0,08 140 = R$11,20 O que fazer para transformar uma frao
qualquer em uma porcentagem? Se o denominador s possui mltiplos de
2 e de 5, fcil encontrar uma frao equivalente com denominador 100.
Por exemplo:
2 2 20 40 = = = 40% 5 5 20 100Mas como faramos com a frao 7 ? O
mais prtico, em qualquer caso, usar a mquina para dividir o
numerador pelo denominador e depois deslocar a vrgula duas casas
para a direita. Observe os exemplos:4
8 25 5 8 4 7
= 8 25 = 0,32 = 32% = 5 8 = 0,625 = 62,5% = 4 7 @ 0,5714 =
57,14%
A U L A
2
Repare que nesse ltimo exemplo fizemos uma aproximao. Na prtica,
usamos duas ou, no mximo, trs casas decimais em nossas
aproximaes.
Exerccio 1 Simplifique as fraes abaixo. Exemplo:
18 18 2 9 93 3 = = = = 42 42 2 21 21 3 7a)
20 32 24 36
c)
320 400 10 100
b)
d)
Exerccio 2 Complete os espaos abaixo com os sinais de <
(menor), > (maior) ou = (igual). Exemplo: 2 .... 5 3 8
Soluo:
Exerccios
2 2 8 16 = = 3 3 8 24 5 5 3 15 = = 8 8 3 24a)
}c) d)
16 15 2 5 > > 24 24 3 8
5 .... 3 8 5 2 .... 5 3 9
5 .... 23 6 24 8 .... 20 10 25
b)
Exerccio 3 Efetue: a)
3 1 + 8 6 3 4 10 15
c)
1 1 4 6 1 1 1 + + 2 3 5
b)
d)
A U L A
2
Exerccio 4 Efetue: a)
2 3 5 7 2 3 5 3 4 3
c)
2 3 5 7
b)
1+ d)
2 7 4 2
Exerccio 5 Calcule as porcentagens: a) 10% de 120 b) 24% de 500
c) 5% de 60 d) 12,5% de 72 Exerccio 6 Transforme as fraes em nmeros
decimais aproximados. D as respostas com duas decimais. Entretanto,
observe a terceira casa decimal. Se ela for menor que 5, mantenha o
valor da segunda casa. Se ela for maior ou igual a 5, aumente de
uma unidade a segunda casa. Exemplo:
1 = 0,142... @ 0,14 7 26 = 1,368... @ 1,36 19a)
2 3 3 7
c)
4 11 29 13
b)
d)
Exerccio 7 Escreva as fraes abaixo como porcentagens. No d
respostas com mais de duas decimais. Aproxime se necessrio: a)
1 8 5 6 7 40
b)
c)
A L AL AUU
3 3
A
amos falar um pouco sobre a aritmtica , a geometria ... e a
lgebra . Elas so reas importantes da matemtica. Cada uma delas
inventa seus objetos de estudo e mtodos de resolver problemas, e
todas tm aplicaes significativas em nosso cotidiano. Como voc deve
se lembrar, de seus estudos no curso do 1 grau, a aritmtica estuda
os nmeros - especialmente os nmeros inteiros e os fracionrios.
Quanto geometria, seus objetos de estudo so as figuras geomtricas -
como o tringulo, o quadrado, o crculo, a esfera etc. Os
conhecimentos de aritmtica e de geometria surgiram possivelmente h
mais de quatro milnios. Pelo que est registrado nos achados da
arqueologia a cincia que estuda o nosso passado - devemos muitos
aos babilnios e aos egpcios e, finalmente, aos gregos. Estes ltimos
foram os responsveis pelo surgimento do pensamento cientfico e nos
deixaram os trabalhos de Tales, de Pitgoras e, mais tarde, de
Euclides. (Euclides, por volta de 300 a.C., formalizou praticamente
todo o conhecimento matemtico de seu tempo em sua obra Os
Elementos.)
V
Introduo
E a lgebra?A lgebra j bem mais recente. Considera-se que tenha
surgido na ndia, nos primeiros sculos deste milnio. De l passou aos
rabes. Nosso Sistema de numerao chamado indo-arbico devido a esses
povos. E com os rabes, que lhe deram o nome, a lgebra penetrou na
Europa, onde desenvolveu-se extraordinariamente a partir do sculo
XVI. Da Europa, esta rea da matemtica que continua crescendo,
chegou s Amricas e at ns, neste Brasil do limiar do terceiro
milnio. A matemtica deve o que no apenas genialidade de homens e
mulheres como Tales, Pitgoras, Hiptia (uma matemtica grega),
Newton, Gauss etc., mas tambm aos talentos incgnitos que em
instantes magnficos criaram e continuaro criando a matemtica. Quem
teria inventado o zero? E as noes de ponto e de reta? E os nossos
algarismos? Jamais saberemos responder. S sabemos que o
conhecimento se espalha, como comum na natureza: cada nova planta
que brota traz esperana de muitas outras plantas que brotaro. Sendo
assim, aqui vo nossas sementes algbricas! E que voc as multiplique
- o nosso desejo.
Nossa A U aula L A
3
Para comear esta aula, pense no seguinte problema: uma mulher de
25 anos casada com um homem 7 anos mais velho que ela. Qual a soma
das idades desse casal? Pense e responda. No difcil responder. O
marido tem: 25 + 7 = 32 anos Portanto, a soma das idades do casal :
25 + 32 = 57 anos
Agora vamos ver outro problema semelhante: o marido de certa
mulher 7 anos mais velho que ela. Quando nasce a primeira criana do
casal, as idades dos dois somam 70 anos. Qual a idade da mulher?
Podemos perceber que essa resposta no vir to facilmente quanto a do
problema anterior. interessante, por isso, que voc pegue papel e
lpis, e tente responder pergunta. Ser isso o que tambm faremos na
prxima aula, quando mostraremos que alguns problemas tanto podem
ser resolvidos pelo raciocnio aritmtico quanto pelo algbrico.
Agora, queremos mostrar-lhe como resolver este problema pela
lgebra, pois cremos que voc saber reconhecer o valor dessa nova
forma de raciocnio.
O nascimento do xPara resolver esse problema, poderamos pensar
assim: j que no sabemos a idade da mulher, ns escrevemos ? em seu
lugar. Com isso, podemos escrever o que sabemos do problema: que a
soma das idades da mulher e de seu marido 79. Assim: ? idade da
mulher Continuando, encontraremos: ? + ? + 7 2? ? ? = = = = 79 72
72 2 36 + ( ? + 7 ) = 79 idade do marido
{
Portanto, a idade da mulher 36 anos. Para conferir, basta ver
qual a idade do marido e qual a soma das idades. No fcil? Pois esta
a essncia do chamado raciocnio algbrico - e daqui a pouco ns o
recordaremos para voc. Por enquanto, repare que o raciocnio
exatamente igual ao de uma outra pessoa que, no lugar de ? , usasse
um outro smbolo qualquer para representar um nmero.
{
Por exemplo, algum poderia pensar assim: Como no sei a idade
procurada, deixo um espao para ela dentro deste quadradinho, e ento
escrevo o que sei. Ficaria assim: + ( + 7 ) = 79
A U L A
3
Resolvendo esta equao (que como chamamos em lgebra o
procedimento de encontrar o nmero procurado), chegamos a:
= 36 36, como antes.
Ou seja, o smbolo que cada pessoa escolhe para ajud-la a
resolver o problema no importante. Observe que o raciocnio o mesmo.
Sendo assim, podemos usar qualquer smbolo (lembre-se disso, pois s
vezes os smbolos escolhidos podem ajudar bastante na resoluo de
problemas que encontramos na vida - e at nos motivar mais a
enfrentar esses problemas). x para designar o nmero que comum, em
Matemtica, usarmos a letra x estamos procurando - a incgnita , como
se diz. Tambm em outras cincias e x tem sido usada para designar
algo desconhecido na literatura em geral a letra x ou misterioso.
raio x Como exemplos, temos: o raio x, que assim foi chamado porque
descofaculdade x nhecia-se o que ele era; uma certa faculdade x,
relacionada com o desenvolvimento da conscincia do homem (segundo o
escritor britnico Colin Wilson); x, personagem misterioso de algum
romance ou novela etc. o cavalheiro x No caso do problema anterior,
ento, sua equao fica assim, usando x : x + ( x + 7) = 79 Compare
com as outras duas formas de escrev-la. No a mesma coisa? E
resolvendo a equao, obtemos x = 36 para a idade da mulher, como
antes. Seguindo a tradio matemtica, tambm adotaremos o x quando o
smbolo for indiferente.
Resumindo o raciocnio algbrico: outro problemaJoo avalia que, de
sua caixa dgua de 1000 litros, restavam apenas uns 100 litros. Para
ench-la de novo precisou fazer 45 viagens carregando uma lata cheia
dgua. Qual a capacidade aproximada da lata? E quanto pesava a gua
na lata? As etapas importante do nosso raciocnio acima so as
seguintes. Procure compreender a idia geral do raciocnio: como
vimos, ele fruto do bom senso. ETAPA 1 - Dando nome aos bois O que
precisamos saber para resolver o problema: isto ser x . Neste
exemplo, x = capacidade da lata. Em seguida, usamos x para escrever
o que sabemos; quer dizer, montamos a equao do problema.
A U L A
ETAPA 2 - Montando a equao Basta interpretar o que est escrito
na nossa linguagem comum em termos matemticos. Ou seja, escrever a
equao. Reveja como fazemos: Capacidade da lata = x Capacidade de 45
latas = 45x O que sabemos: 45x + 100 = 1000 (litros)
3
ETAPA 3 - Resolvendo a equao Esta etapa mais automtica: so as
regras do clculo. Aqui: 45x + 100 = 1000 45x = 900 x = 900 45 x =
20 (litros) E a lata pesa 20 kg, pois 1 litro de gua pesa 1 kg. No
estamos considerando o peso da lata vazia, neste problema.
ETAPA 4 - Conferindo o resultado Tudo isso?, algum poderia
perguntar, espantado com o peso carregado por Joo em tantas
viagens. Para no termos dvida de que chegamos ao resultado certo,
checamos se o nmero encontrado satisfaz de fato o que sabemos dos
dados do problema. Quer dizer, se x for mesmo igual a 20, ento
deveremos ter 45x + 100 = 1000. Vejamos: 45 (20) + 100 = 900 + 100
= 1000 (Confere !) x
So s estas etapas? No. preciso ter o cuidado final de verificar
se j respondemos pergunta do problema.
ETAPA 5 - Respondendo o que foi perguntado Por exemplo, poderia
ter sido perguntado no quanto era a capacidade da lata, mas sim
qual o seu peso em gua. (A resposta no seria, claro, 20 litros!) Ou
seja: para completar a soluo, voc tem de responder exatamente o que
o problema pede.
Foi uma boa aula. Concorda? O raciocnio algbrico mesmo muito
til, poderoso e at mesmo muito atual em termos de pensamento
matemtico. Useo nos prximos exerccios, no esquecendo de que o
importante a compreenso do que estamos estudando.
A U L A
3Exerccios
Exerccio 1 Para cercar todo o permetro de seu terreno quadrado e
ainda gastar 26 m no caminho que leva estrada, Procpio precisou
comprar 94 m de cerca. Qual a rea de seu terreno?
Exerccio 2 Quando seu primognito nasceu, Gustavo tinha 24 anos.
Depois de quantos anos ele ter exatamente o dobro da idade de seu
filho? E o triplo?
Exerccio 3 a) Qual o nmero cuja metade igual sexta parte de seu
triplo? b) Qual o nmero cuja metade igual sexta parte de 21? c)
Qual o nmero cuja metade igual sexta parte de 42?
Exerccio 4 Quinze anos depois do nascimento das trigmeas Lia,
Lina e Liana, quantos anos tem cada uma delas?
Exerccio 5 Quanto devo pedir por determinada mercadoria que
pretendo vender para que, descontados 10%, eu fique ainda com
R$100,00? (Verifique!)
Exerccio 6 Relacione cada nmero esquerda com aquela expresso
direita que se torna verdadeira quando x substitudo pelo
nmero:VALORES DE
x
EXPRESSES
-2 -0 -3 -3 -1
a) 5x = 6 - x2 b) c)
18 +5=2+x x x +x=0
d) x3 + 2x = 12 e) x + 2x - 9 = 0
A A UA U L LA
4
4
O mtodo aritmtico e o mtodo algbricoe voc esteve bem atento na
aula passada, na qual conhecemos os problemas com x, deve ter
percebido que aquele problema das idades do casal poderia ter sido
resolvido sem que fosse preciso usar x. Vejamos como. O problema
dizia:
Introduo
S
Certa mulher casada com um homem 7 anos mais velho que ela.
Quando a primeira criana do casal nasceu, a soma das duas idades
era 79. Qual era a idade da mulher?Podemos raciocinar da seguinte
maneira. Se o homem e a mulher tivessem a mesma idade, a idade dela
(ou dele) seria, claro, metade da soma; e a soma seria o dobro da
idade da mulher. Como o marido 7 anos mais velho, o dobro da idade
da mulher foi aumentado de 7 anos, somando 79 anos. Logo, o dobro
da idade da mulher : 79 - 7 = 72
E a idade da mulher : 72 2 = 36
C.Q.D.! Isto , Como queramos demonstrar , pois foi este o
resultado que encontramos na outra aula.A aula de hoje traz outros
problemas, que podem ser resolvidos tanto pelo mtodo aritmtico
(como fizemos agora), como pelo mtodo algbrico, ou mtodo do x .
Qual o melhor para cada problema? A matemtica no decide isso por
ns: ela apenas enriquece nosso conhecimento com vrios mtodos para
resolver problemas, e deixa a escolha para ns. Pois cabe a cada
pessoa escolher por si mesma, j que a Matemtica tambm parte da
vida. Sendo assim, papel e lpis! Porque tambm no existe matemtica
de cabea, e vamos aula de hoje!
Vamos ver como resolver um mesmo problema por mtodos diferentes.
No exemplo seguinte, temos mais uma questo sobre idades. Compare a
soluo pelo mtodo aritmtico e a soluo pelo mtodo algbrico. Voc ver
que chegaremos ao mesmo resultado. Sou cinqento, afirmou Paulo
(querendo dizer que tinha cinqenta e poucos anos). E hoje um dia
cabalstico (isto , mgico). Pois no apenas a idade da minha mulher,
Jurema, mais jovem do que eu, se escreve ao contrrio da minha, como
a diferena entre as nossas idades igual idade que nossa filha
comemora hoje: 9 anos! Quantos anos tem Paulo? Uma tal data
cabalstica como essa se repetir algum dia? Tente descobrir a idade
de Paulo, raciocinando apenas com nmeros, sem utilizar x , ou seja,
raciocinando aritmeticamente. Resolvendo pelo mtodo aritmtico O
caminho mais simples para resolver o problema pelo mtodo aritmtico,
neste caso, parece ser pelo raciocnio das tentativas. Assim, vamos
fazer diretamente as contas em cada uma das possibilidades para a
idade de Paulo cinqenta e poucos anos:IDADE DE PAULO IDADE DE
JUREMA DIFERENA
Nossa A U L aula A
4
(= 9?)
51 52 53 54 55
15 25 35 45 55
36 27 18 09 00
(no) (no) (no) (sim) (j no serve: Jurema mais jovem)
Portanto, Paulo tem 54 anos, e sua mulher, 45. Quanto segunda
pergunta, fica para voc responder. Continue usando o mtodo das
tentativas. No prximo ano, Paulo ter 55 anos, e Jurema, 46 (cujo
contrrio 64, e no 55 - o que Paulo no consideraria cabalstico), e
assim por diante. Procure! Resolvendo pelo mtodo algbrico A
pergunta : qual a idade de Paulo cinqento? Vamo chamar a idade de
Paulo de: 5 x , isto , (50 50 + x) anos dezenas unidades
E a idade de Jurema de: 10x + 5 x5 , isto , (10x 5) anos dezenas
unidades
A U L A
Sabemos que a diferena entre as idades de 9 anos. Logo, (50 + x)
- (10x +5) 50 + x - 10x - 5 - 9x + 45 - 9x x = = = = = 9 9 9 9 -
45
4
-36 =4 -9
A idade de Paulo, ento, 54 anos (como encontramos antes).
Que mtodo mais fcil? E mais rpido?No exemplo relativo idade de
Paulo, talvez voc ache mais fcil aplicar o mtodo aritmtico. Basta
organizar um pouco o raciocnio, fazendo uma tabela, e procurar o
par de nmeros contrrios que satisfaa o que se pede. J o mtodo
algbrico mais rpido, e tambm mais geral: adapta-se imediatamente a
vrios problemas. (Veja os exerccios, depois.) Mas isso foi nesse
exemplo. Em outros problemas, pode ser diferente. isso que bom,
pois a prpria escolha inicial do mtodo a ser empregado j desenvolve
nosso raciocnio e nossa criatividade. Veremos agora um problema que
pode ser resolvido por, pelo menos, trs mtodos: um aritmtico, um
algbrico e um grfico. Deixamos para voc opinar, neste caso, sobre
qual deles o mais fcil, ou o mais rpido, ou o mais geral etc.
Outro problema... e trs mtodos de resoluoEstou com uns amigos
numa mesa de bar. Tenho na carteira R$15,70. Quanto posso deixar
minha despesa alcanar, se tambm pretendo deixar como gorjeta para o
garom 10% sobre essa despesa?Resolvendo pelo mtodo aritmtico
Fazendo algumas tentativas com o valor da despesa, observo que,
para cada 10 reais de despesa, deixarei mais 1 real para o garom,
totalizando esse gasto 11 reais, ou R$11,00. Para cada 1 real de
despesa, deixarei 10 centavos, gastando assim R$1,10. Vamos, ento,
acrescentando novos gastos como esses, at a soma se aproximar do
que tenho (R$15,70). Veja a tabela, com valores em R$:DESPESA
GORJETA GASTO REAL SOMA
10 01 01 01 01 00,10 00,10 00,10
1 0,10 0,10 0,10 0,10 0,01 0,01 0,01
11 01,10 01,10 01,10 01,10 00,11 00,11 00,11
11 12,10 13,20 14,30 15,40 15,51 15,62 15,73
(mais do que tenho)
Observe que, aps a quinta linha de despesa, no valeria a pena
continuar somando 1 real, pois isso levaria o total do gasto a mais
de 16 reais - quantia de que no disponho. Por isso, continuamos com
valores simples menores, de R$0,10 de despesa. Sendo assim, a
tabela mostra que, nesse caso, posso deixar minha despesa alcanar
apenas o que consta da ltima linha. Ou seja: 10 + 4 + 0,20 = 14,20
reais
A U L A
4Exerccios
Resolvendo pelo mtodo algbrico Vamos dar nomes (ou smbolos) aos
componentes do problema:l l l
x - para o valor que a despesa pode alcanar 0,1x - para a
gorjeta = 10% de x = (10/100) x 1,1x - para o gasto = x + 0,1x
Ento, eu quero saber qual o valor de x para que o meu gasto no
bar no ultrapasse R$15,70. 1,1x = 15,70 (ou menor que isso) x =
14,27 - um pouco mais que 14,20. Como antes. De fato, se a minha
despesa for R$14,20, a gorjeta ser de R$1,42 ao todo, e terei gasto
R$14,20 + R$1,42 = R$15,62 R$15,62, como encontramos na soluo
aritmtica.
Resolvendo pelo mtodo grfico Podemos tambm nos assegurar dessa
resposta visualizando o problema num grfico. Por exemplo, marca-se
no eixo horizontal a despesa e, no vertical, a despesa aumentada de
10%, quer dizer, o gasto real. E marcando neste grfico alguns
valores conhecidos, como aqueles da tabela do item Resolvendo pelo
mtodo aritmtico aritmtico.Gasto real (y) 11DESPESA GASTO REAL
10 01 04
11,00 11,10 04,40 4,40 4.40
1,10 1.10
1
4
10
Despesa (x)
A U L A
4
fcil notar que esses trs pontos do tipo (x,y) = (despesa, gasto)
que encontramos na tabela, bem como quaisquer outros que
calculemos, formam uma reta que passa pela origem dos eixos. De
fato, isso acontece porque o gasto proporcional despesa: ou seja,
se a despesa for, por exemplo, 10 vezes maior, o gasto tambm ser 10
vezes maior. Realmente, vimos que, de fato, um deles mltiplo do
outro: gasto = (1,1) despesa. Aqui bom fazer uma pequena pausa para
tratarmos de sinais matemticos. que, em lgebra, convm trocar o
sinal de vezes () pelo ), para no confundir com a letra x . ponto (
Tradicionalmente, a matemtica utiliza os seguintes sinais: e para a
multiplicao e e : para a diviso. Por isso, se voc encontrar: gasto
= (1,1) despesa a mesma coisa que gasto = (1,1) despesa Algumas
vezes, voc tambm v uma multiplicao na qual o sinal no aparece.
Podemos escrever, por exemplo, o produto de a por b de trs formas:
ab b, a b ou simplesmente ab Assim, para sabermos que a despesa
corresponde ao gasto de, no mximo, R$15,70, marcamos este nmero no
eixo vertical e procuramos pela despesa no eixo horizontal:Gasto
real (y) 15,70 15.70 y=1,1x
11
4,4 4.4
4
10
14,20 Despesa (x) 14.20 Despesa (x)
Fazendo isto com cuidado, vimos que a despesa pode ser de at
R$14,20, ou um pouco mais alta - como conclumos pelos outros dois
mtodos. Aqui esto alguns exerccios para voc praticar. A lio mais
importante desta aula, entretanto, no foi dita at aqui. esta:
Resolver um mesmo problema por dois mtodos diferentes pode lhe
dar uma grande segurana quanto s respostas. Se elas forem iguais,
bem possvel que suas respostas estejam certas. E se forem
diferentes?, voc perguntaria. Neste caso, claro que uma das
respostas est errada! Saber que estamos errados tambm uma forma de
acertar. Concorda? O grande cientista Einstein teria dito, certa
vez, que no se importava quando algum apontava um erro em suas
teorias; na verdade, at gostava. Por qu? Ele dizia que, tendo sido
encontrado esse equvoco, isso o colocava mais perto da verdade,
pois j no estava se enganando. Grande Einstein! So palavras que nos
fazem pensar, no mesmo?
A U L A
4
Exerccio 1 Use o grfico do ltimo problema desta aula para
encontrar que despesa posso fazer para no ultrapassar os gastos
abaixo, deixando ainda 10% para o garom: a) R$ 8,80 b) R$ 9,02 c)
R$ 19,80
Exerccios
Exerccio 2 Resolva o Exerccio 1 aritmeticamente, completando a
tabela dada na aula. Compare com as respostas encontradas naquele
exerccio.
Exerccio 3 Resolva o exerccio 1 algebricamente, usando a equao
que relaciona despesa e gasto no problema de gorjeta de 10%.
Compare com as respostas dos exerccios anteriores.
Exerccio 4 Se eu decidisse deixar 20% de gorgeta para o garom ,
em vez de 10%, quanto poderia ter de despesa? a) Soluo aritmtica:
b) Soluo algbrica: c) Soluo grfica:
A A UA U L LA
5
5
Equacionando os problemasossa aula comear com um quebra- cabea
de mesa de bar - para voc tentar resolver agora. Observe esta
figura feita com palitos de fsforo. Mova de lugar exatamente 2
palitos, de modo a transform-la em 4 quadrados iguais, sem sobrar
nenhum palito. Voc pode fazer isso com palitos ou no desenho.
Introduo
N
Nossa Aula
Conseguiu resolver o quebra-cabeas? No? Ento, vamos resolv-lo
juntos, pelo caminho da matemtica. Certos problemas no nos parecem,
de incio, problemas de matemtica - mas, de repente, vemos que
existe uma soluo para eles que pode ser chamada de soluo matemtica.
(Na realidade, o que existe na vida prtica no so problemas de
matemtica - mas solues matemticas, criadas pelas pessoas para
resolver problemas prticos). O quebra-cabea um exemplo. A princpio,
pode no estar bem claro qual matemtica usar. Geometria? Aritmtica?
De fato, o quebra-cabea envolve tanto figuras geomtricas quanto
nmeros. Se voc ainda no conseguir resolv-lo, talvez seja porque no
tenha percebido que o quebra-cabea tem dois aspectos: o geomtrico e
o numrico . Talvez tambm tenha lhe faltado equacionar o problema.
Isto : escolher quem ser a incgnita - geralmente chamada de x - e
escrever a equao satisfeita por essa incgnita. A partir da - sempre
deixando claro qual a pergunta do problema -, basta resolver a
equao: quer dizer, encontrar o x do problema, como se costuma
dizer. Quando conseguimos equacionar um problema, vemos claramente
o que conhecido (pela equao) e o que se procura (a incgnita).
Assim, o caminho da soluo, que leva de uma coisa outra, muitas
vezes salta aos olhos nesse equacionamento. Vejamos no
quebra-cabea.
Equacionando o quebra-cabeaO que vemos na figura dada? Vemos 5
quadrados iguais. Eles esto unidos e so feitos com palitos de
fsforo. O problema pede que os 5 quadrados se transformem em 4
quadrados iguais, s com o movimento de 2 palitos. Que figura
formaro, ento, os 4 quadrados? Se soubermos isso, ser bem mais fcil
formar a tal figura... e o problema estar resolvido. Dois quadrados
juntos podem ser formados de um dos seguintes modos: a) os
quadrados no tm lado (palito) comum; ou b) os quadrados tm um lado
comum. Qual a diferena importante no caso de querermos formar uma
ou outra destas figuras? Pense.
A U L A
5
2 quadrados c o m lado comum
2 quadrados s e m
l ado comum
A diferena numrica: em a) a), precisamos de 8 palitos; j em b)
b), precisamos de apenas 7 - pois economizamos um palito quando os
quadrados so vizinhos, tendo um lado comum. E no nosso caso?
Queremos formar 4 quadrados, sem que sobrem palitos. Qual a
pergunta crucial aqui? Pense. Isso mesmo! A pergunta : Quantos
palitos temos? s contar: temos 16 palitos. Se cada quadrado possui
4 palitos e queremos formar uma figura com 4 quadrados - desde que
no permitamos que dois quadrados sejam vizinhos (de parede, isto ,
de lado comum) - usaremos: 4 4 = 16 palitos. Exatamente o que
temos! Algumas tentativas iro lhe mostrar que, desenhando ou
fazendo 4 quadrados com 16 palitos, o desenho que devemos procurar
formar este:
A U L A
5
Est resolvido. No lhe parece mais fcil, agora? Pois ento. Tudo
teve uma seqncia muito natural, desde o momento em que equacionamos
o problema, contando o nmero de palitos e tentando visualizar
claramente o que havia sido pedido - neste caso, a forma da figura
dos 4 quadrados.
Equacionando um problema algbricoRigorosamente falando,
equacionar um problema envolve escrever a equao (ou as equaes) de
modo que ela expresse em linguagem matemtica o que foi dado no
problema em linguagem comum. Vejamos, ento, como fazer isso com
problemas algbricos, ou melhor, com problemas que admitem soluo
algbrica. EXEMPLO 1 Qual o nmero cujo dobro, mais 5, igual a 17?
Equacione o problema, chamando o nmero desconhecido de x . Vimos
que no importa a letra que usamos para designar a incgnita, isto ,
o nmero procurado - mas universal o uso do x . O fato importante
que: 2x + 5 = 17 A partir da, acharamos x . (Voc pode tentar, se
quiser). S que nesta aula estamos mais interessados no
equacionamento dos problemas - que a primeira etapa. Geralmente,
essa a etapa mais importante na resoluo desses problemas. Vamos
relembrar os momentos fundamentais desse equacionamento.l
Quando encaramos o tal nmero procurado como a incgnita do
problema, e o chamamos de x ; Quando traduzimos em matematiqus o
que est dado em portugus, ou seja, quando escrevemos a equao
matemtica que satisfeita por essa incgnita. Neste exemplo, faramos
assim: x = nmero O que sabemos: 2x + 5 = 17 Para reconhecer x , s
resolver a equao. Encontra-se x = 6 6. Verifique.
l
Vamos ver outros exemplos de equacionamento de problemas.
interessante que voc, em cada caso, experimente responder a estas
duas perguntas do equacionamento, antes de continuar a leitura: a)
O que x , neste caso? (Qual a incgnita?) b) O que sabemos sobre x ?
(Qual a equao?)
EXEMPLO 2 Quanto deve medir de lado (em km) um terreno quadrado,
para que o nmero que vai expressar seu permetro (em km) seja o
mesmo que o nmero que expressa sua rea (em km)? Procure a soluo! Em
primeiro lugar, vamos responder s duas perguntas principais do
equacionamento: a) x = lado b) O que sabemos: 4x = x permetro
rea
A U L A
5
Aqui, vamos lembrar que um nmero (ou incgnita) ao quadrado esse
nmero (ou incgnita) multiplicado por ele mesmo. Ento: 4x = xx E,
logo, adivinhamos um nmero x que satisfaz esta equao. Qual ? Ora at
visualmente fica claro que a expresso 4x = x, acima, verdadeira
quando substitumos x por 4, pois temos: 44=44 Portanto, se o lado
do terreno quadrado for 4 quilmetros, satisfar o que pedido. Uma
observao importante: a equao 4 x = x uma equao de 2 grau. Por isso,
(como recordaremos) deve ter outra raiz, ou seja, outro nmero para
substituir o x . A outra raiz zero, pois zero vezes qualquer nmero
zero. Mas, neste caso, o terreno teria lado nulo, quer dizer, no
existiria. (Dizemos que, neste caso, x = 0 uma soluo degenerada ).
EXEMPLO 3l l
Qual o nmero cuja metade a sexta parte de 42? E de 21? E qual o
nmero cuja metade a sexta parte de seu triplo? A primeira pergunta
equacionada assim:
x = nmero 7 O que sabemos:
x 42 = 2 6
1
A partir da fica fcil: multiplicando os dois lados por 2,
teremos x = 14.
A U L A
A segunda pergunta equacionada assim:
5
x = nmero 7 O que sabemos:
x 21 = 2 6
2
Logo, multiplicando os dois lados por 2, temos x = 7. J a
terceira pergunta bem diferente: x = nmero O que sabemos:
x 3x = 2 6
isto , x = x
Voc pode dar exemplo de um nmero que pode substituir x e fazer a
sentena ser verdadeira? Pense. Claro: qualquer nmero serve! Pois x
= x verdadeiro para todo x , j que todo nmero igual a si mesmo.
Assim, x = x no propriamente uma equao. Dizemos que uma identidade
, pois verdadeira para todo x . EXEMPLO 4 O marcador de gasolina do
meu automvel apresenta um erro e desejo conhec-lo. Assim, poderei
compens-lo nas prximas leituras do marcador. H pouco ele marcava
3/4 do tanque, e precisei de 10 litros para ench-lo completamente.
A capacidade do tanque de 50 litros. Qual o erro percentual que o
marcador apresenta? Para mais ou para menos? Qual deve ser a
incgnita nesse problema: voc diria que o erro percentual procurado
(quer dizer, quantos por cento do tanque)? O primeiro cuidado do
equacionamento a escolha da incgnita, do x . S preciso bom-senso
para se fazer essa escolha: por exemplo, x deve ser tal que
saibamos logo us-lo para escrever a equao do problema. Assim, mais
razovel fazer da seguinte maneira: x = Volume que havia no tanque
(litros) O que sabemos: x + 10 = 50 Logo, x = 40. O que queremos
saber:l
erro = ? erro percentual = ?%
l
Mas o volume que o tanque marcava era:
A U L A
Assim:
3 50 = 37,5 4erro = 40 - 37,5 = 2,5 (em 40 litros)
5
Finalmente, em termos de erro percentual, precisamos fazer uma
regra de trs , procurando o erro no em 40, mas em 100 litros. 2,5 y
40 100
Da,
2,5 40 = y 100Ento, multiplicando os dois lados por 100 y,
temos: (2,5) (100) = 40 y Logo, dividindo por 40 e trocando os
lados, temos que
y=
250 = 6, 25 (em 100 litros) 40
Conclumos que o erro percentual apresentado pelo marcador de
6,25 litros em 100 litros, ou seja, 6, 25% para menos, pois ele
marca menos do que devia. Nesta pgina e nas seguintes esto alguns
problemas para voc equacionar, sem necessariamente resolv-los.
Lembre-se dos dois pontos importantes do equacionamento! Quais?!
hora de reviso da aula...
Exerccio 1 Considere o seguinte problema: Subtraindo-se 4 de
certo nmero e dividindo-se esse resultado por 2 e, depois,
somando-se este novo resultado ao 4 triplo daquele nmero, sabemos
que o resultado igual a 5 do nmero mais 7. Qual o nmero? a) Qual a
incgnita? b) Que equao ela satisfaz? c) O que o problema pede?
(Ateno: O exerccio no pede para resolver o problema. Faa-o se
quiser.)
Exerccios
A U L A
5
Exerccio 2 a) Faa o mesmo com este problema, parecido com o
Exemplo 2 2, visto na aula. Quanto deve medir a aresta (em m) de um
cubo, para que o nmero que expressa a rea (em m) da superfcie
lateral total do cubo (formada pelos 6 quadrados que o limitam)
seja um nmero igual ao de seu volume (em m)?
arestas
cubo
superfcie lateral do cubo
b) Olhando para sua equao, que palpite voc arriscaria para o
tamanho da aresta procurada?
Exerccio 3 a) Equacione o seguinte problema. A idade de um pai o
triplo da idade de seu filho e, ao mesmo tempo, o filho 22 anos
mais jovem que o pai. Quais as idades deles? Cuidado: h duas
incgnitas! (Chame-as de x e y ). E h tambm duas equaes. b)
Observando atentamente as suas duas equaes, voc consegue descobrir
x e y ? (Pense na diferena entre as idades, vendo-a de dois
modos.)
Exerccio 4 a) Resolva o item a) do exerccio anterior chamando as
incgnitas de p e f . Compare as equaes com aquelas equaes
anteriores: o que poderamos dizer dos valores dessas incgnitas? b)
Que letras voc prefere para as incgnitas, neste problema? Por
qu?
Exerccio 5 Equacione este problema, que trata do famoso retngulo
ureo . O lado menor de um retngulo mede 1 m, e o lado maior
desconhecido. Queremos que esse lado maior seja tal que, quando
retirarmos um quadrado de lado 1 m do retngulo, sobre uma retngulo
semelhante ao retngulo grande - isto , do mesmo formato que o
retngulo grande, com os lados respectivamente proporcionais aos
dele.?
A U L A
5O retngulo ureo igual a um quadrado unido a outro retngulo ureo
menor ( importante na natureza, nas artes e na matemtica).
1
{{1
Sugesto: Chame de x a maior - ou a menor - das duas medidas
desconhecidas, na figura. Agora interprete a proporcionalidade
entre os lados do retngulo grande e do pequeno em termos de uma
equao em x . Ateno Ateno: A equao de 2 grau. Deixe a resoluo para o
momento em que estiver relembrado esse assunto, em aulas
futuras.
{?
{
A A UA U LLA
6
6
Resolvendo equaes
Introduo
medida que os problemas se tornam mais complicados, o mtodo
algbrico vai se impondo naturalmente ao mtodo aritmtico. Resolver
equaes far parte das nossas atividades dirias. Mas, o que significa
resolver uma equao? Tomemos como exemplo esta equao:
x+4 = 2 x - 3 -1 2No importa de que problema ela tenha vindo.
Desejamos, antes de mais nada, responder pergunta que fizemos.
Resolver uma equao significa encontrar um nmero tal que, se for
colocado no lugar da letra x , torna a igualdade correta. Veja o
que acontece se substitumos x por 2.
x+4 = 2 2 - 3 -1 23 = - 3 > errado!
Logo, x = 2 no soluo da nossa equao. Veja agora o que acontece
se substitumos x por 6.
6+4 = 2 6 - 3 -1 25 = 5 > certo! Portanto, x = 6 soluo da
nossa equao. Dizemos tambm que x = 6 raiz da equao dada. importante
saber que x = 6 a nica soluo da equao do nosso exemplo. Voc pode
tentar substituir x por outros nmeros; mas fique certo de que
jamais encontrar outras igualdades corretas.
As equaes que aprenderemos a resolver nesta aula so chamadas de
equaes do primeiro grau , ou seja, so equaes em que a letra x no
aparece elevada a nenhum expoente. Um fato importante relativo s
equaes de 1 grau que:
A U L A
6Nossa aula
Toda equao de 1 grau possui uma soluo.Inicialmente, vamos
aprender a resolver equaes do 1 grau. No nos importar, portanto, de
quais problemas elas vieram.
EXEMPLO 1 Resolva a equao 2x + 3 (x - 2) = 7x - 34. Neste
primeiro exemplo, no h denominadores. Ento, a primeira coisa a
fazer eliminar os parnteses. Observe que na multiplicao 3 (x - 2),
o nmero 3 multiplica todos os termos que esto dentro do parnteses,
ou seja: 3 (x- 2) = 3x - 3 2 Voltemos, ento, equao dada. 2x + 3 (x
- 2) = 7x - 34 2x + 3x - 3 2 = 7x - 34 2x + 3x - 6 = 7x - 34 Agora,
todos os termos que contm a letra x devem ser transportados para o
lado esquerdo. Observe, ento, a mudana do sinal dos termos que
trocaram de lado. 2x + 3x - 7x = 6 - 34 Continuamos fazendo as
contas: 2+3-7 6 - 34 Temos ento: - 2x = - 28 conveniente trocar os
sinais dos dois lados: 2x = 28 e dividir os dois membros por 2 para
obter o valor de x . = - 2 do lado esquerdo e = 28 do lado
direito.
2x 28 = 2 2x = 14 Est resolvida, assim, a nossa equao. Se
quisermos conferir se a soluo realmente a que encontramos, devemos
substituir x por 14 na equao dada.
A U L A
6
2 14 + 3 (14 - 2) = 7 14 - 34 28 + 36 = 98 - 34 64 = 64 Est
certo. A raiz da equao dada realmente x = 14 14.
EXEMPLO 2 Como resolver a equao abaixo?
x-4 4x + 3x = +7 2 5Neste exemplo, a equao possui denominadores
. Portanto, a primeira coisa a fazer, neste caso, eliminar esses
denominadores. Para isso, buscamos um nmero que seja mltiplo de
todos os denominadores e multiplicamos todos os termos da equao por
esse nmero. No nosso caso, os denominadores so 2 e 5 . Como 10
mltiplo de 2 e de 5, vamos multiplicar por 10 todos os termos dessa
equao.
10
(x - 4) 4x + 10 3x = 10 + 10 7 2 5
Fazemos agora as simplificaes: 5
10
2 4x (x - 4) + 10 3x = 10 + 10 7 21 5 1 5 (x - 4) + 30x = 8x +
70
Agora no h mais denominadores. Logo, podemos resolver essa equao
do mesmo modo que fizemos no primeiro exemplo. 5x - 20 + 30x 5x +
30x - 8x 27x = = = 8x + 70 70 + 20 90
27x 90 = 27 27 10 9 x= 39 x= 10 310 3
Portanto, a soluo da equao dada x =
Vamos agora resolver alguns problemas com o auxlio da lgebra. Em
cada um deles vamos tentar, a partir do enunciado, obter uma equao
e, em seguida, resolv-la.
EXEMPLO 3
A U L A
Um feirante levou 60 mames para vender na feira. Comeou vendendo
cada um por 50 centavos. Depois, como a venda estava fraca, baixou
o preo para 30 centavos e vendeu todos os outros. Sabendo que ele
arrecadou R$ 22,80, quantos mames ele vendeu pelo preo mais caro?
Digamos que seja x o nmero de mames que ele vendeu pelo preo mais
caro. Como cada uma dessas frutas foi vendida por R$ 0,50 ento, na
primeira parte da venda ele arrecadou 0,50 x x. Quantos mames
sobraram? Se ele tinha inicialmente 60 mames e vendeu x mames, ento
sobraram 60 - x mames mames. Como cada um deles foi vendido por R$
0,30, ento, na segunda parte da venda o feirante arrecadou 0,30 (60
- x) x). Se ele arrecadou no total R$ 22,80, nossa equao : 0,50 x +
0,30 (60 - x) = 22,80 Vamos agora resolver essa equao. Observe
inicialmente que, na parte decimal de um nmero, o zero colocado
direita pode ser dispensado. Ficamos ento com: 0,5 x + 0,3 (60 - x)
= 22,8 Para evitar trabalhar com decimais, multiplicamos todos os
termos da equao por 10. 5x + 3 (60 - x) = 228 Agora fica fcil: 5x +
3 60 - 3x 5x + 180 - 3 x 5x - 3x = 228 2x = = = = 228 228 180
48
6
2x 48 = 2 2x = 24 Portanto, o feirante vendeu 24 mames pelo preo
mais caro.
EXEMPLO 4 Uma caixa com 30 lpis custa R$ 4,80. Quanto dever
custar uma outra com 40 lpis? Este um problema de regra de trs.
Problemas como esse so muito freqentes em nossa vida. Observe como
organizamos os dados no quadro montado abaixo. preo > 4,80 x
quantidade
>
0, 30 0,30
40
A U L A
Para resolver o problema, montamos a equao
6
4,80 x = 30 40Por que fazemos isso? simples. Vamos pensar no
significado de cada frao. Repare que, dividindo o preo da caixa
pela quantidade de lpis, estamos calculando quanto custa cada lpis.
Se o preo de um lpis o mesmo nas duas caixas, as duas fraes devem
ser iguais . Resolver essa equao fcil. Basta multiplicar por 40 os
dois lados.
40 Da,
4,80 x = 40 30 40
x=
40 4, 80 = 6, 4 30
Logo, a caixa maior dever custar R$ 6,40 6,40. Comentrio:
freqentemente, encontramos no mercado um mesmo produto em
embalagens diferentes e com preos diferentes. Nesse caso, preciso
saber qual das embalagens mais econmica. Por exemplo, se uma caixa
com 30 lpis custa R$ 4,80 e outra com 40 lpis custa R$ 6,10, o
problema que acabamos de resolver nos mostra que devemos preferir a
segunda. Na caixa maior, o preo de cada lpis certamente menor.
EXEMPLO 5
Joo recebeu seu salrio e verificou que:l l l
a quarta parte do dinheiro ele gastou com aluguel e pagamento
das contas; a tera parte gastou no supermercado; restaram-lhe R$
100,00 para todas as outras despesas. Qual o salrio de Joo?
Vamos chamar de x o salrio de Joo. Agora, vamos somar o que ele
pode gastar com outras despesas. Essa soma o salrio de Joo.
Ento:
x x + + 100 = x 4 3Para resolver essa equao, vamos eliminar os
denominadores, multiplicando todos os termos por 12.
12
x x + 12 + 12 100 = 12 x 4 3
Simplificando, temos: 3x + 4x + 1200 = 12x Passando todos os
termos que contm x para um mesmo lado, ficamos com: 1200 1200 1200
5x = = = = 12x - 3x - 4x 12x - 7x 5x 1200
A U L A
6
5x 1200 = 5 5x = 240 Conclumos que o salrio de Joo de R$ 240,00
240,00. Observe agora o prximo exemplo para aprender algo diferente
sobre as equaes.
EXEMPLO 6 Antnio, Bruno e Carlos so irmos. Sabe-se que Bruno
dois anos mais velho que Antonio e que Carlos trs anos mais velho
que Bruno. Se a soma das idades de Antonio e Carlos o dobro da
idade de Bruno, calcule as idades dos 3 irmos. Vamos chamar de x a
idade de Antnio. Como Bruno 2 anos mais velho, a sua idade ser x +
2 2. E j que Carlos trs anos mais velho que Bruno, a idade de
Carlos ser x + 2 + 3 = x + 5 5. Resumindo: Antnio 0000000000 Bruno
0000000000 Carlos Antnio0000000000 Bruno0000000000
0000000000Carlos
x
x+2
x+5
Como a soma das idades de Antnio e Carlos o dobro da idade de
Bruno, temos a seguinte equao: x + x + 5 = 2 (x + 2) Vamos resolver
como j aprendemos x+x+5 5 - 4 1 = = = 2x + 4 2x - x - x 0
Mas isto um absurdo! Certamente que 1 no igual a zero. Qual o
significado do que aconteceu? Vamos explicar. Chegamos equao: 5 - 4
= 2x - x - x que equivalente a 1 = (2 - 1 - 1) x ou, ainda,
1=0x
A U L A
6Exerccios
Essa uma equao impossvel , uma vez que no existe nenhum valor
para x que torne a igualdade verdadeira. Isso quer dizer que o
problema proposto impossvel, ou seja, nunca a soma das idades de
Antnio e Carlos ser o dobro da idade de Bruno.
importante saber que muitos problemas no possuem soluo. Dizemos
ento que so problemas impossveis, isto , que a situao apresentada
por eles nunca ocorrer.Exerccio 1 Resolva as equaes abaixo: a) 3x +
4 = 25 b) 5 (x- 1) - 19 = 3 (x -2) c) d)
2x x - 2 + =8 3 6 x x + =1 2 5
Exerccio 2 A soma de um nmero com o dobro do consecutivo dele d
74. Qual esse nmero? Exerccio 3 Antnio, Bruno e Carlos so irmos.
Sabe-se que Bruno 2 anos mais velho que Antnio e que Carlos 3 anos
mais velho que Bruno. Se a soma das idades dos trs irmos 55,
calcule as idades de cada um deles. Exerccio 4 Em certo mercado,
uma caixa com uma dzia de ovos custa R$ 2,80 e uma outra com 18
ovos custa R$ 4,00. Qual das duas embalagens mais econmica?
Exerccio 5 Cada banco de um nibus possui dois lugares. Entraram 50
passageiros nesse nibus, mas 14 tiveram de viajar em p. Quantos
bancos tem o nibus? Exerccio 6 Pai e filho tm 31 e 8 anos. Daqui a
quantos anos o pai ter o dobro da idade do filho? Exerccio 7 Uma
escola tem apenas turmas de 5, 6 e 7 sries. A metade dos alunos est
na 5 srie. A tera parte dos alunos est na 6 srie e 32 alunos esto
na 7 srie. Quantos alunos tem a escola? Exerccio 8 Maria saiu de
casa com algum dinheiro. Comprou uma camiseta por R$ 6,00 e gastou
a quarta parte do restante num lanche. Se Maria voltou para casa
com metade do dinheiro que tinha, calcule que quantia ela levava
quando saiu de casa.
A L AL AUU
7
A lgebra nas profissesesta aula, voc vai perceber que, em
diversas profisses e atividades, surgem problemas que podem ser
resolvidos com o auxlio da lgebra. Alguns problemas so to freqentes
que existem frmulas prontas para sua rpida resoluo. Outros, por no
serem to freqentes, vo necessitar de maior raciocnio e
criatividade. Mas, em todos eles, voc poder perceber a fora dessa
nova ferramenta que a lgebra .
7
A
N
Introduo
A lgebra na medicinaNa medicina, os mdicos utilizam muitas
frmulas matemticas. Principalmente para calcular as quantidades
certas de remdios que devem ser dados aos doentes e para outros
clculos. So frmulas que no podemos entender porque no somos mdicos.
Mas existem algumas que so simples e teis para todos, como esta que
vamos mostrar agora.
Nossa aula
EXEMPLO 1
Como calcular a altura de uma criana? A altura de uma criana
depende de sua idade e de muitos outros fatores. Entretanto, os
mdicos examinaram uma quantidade muito grande de crianas
brasileiras e tiraram uma mdia (no exerccio 1 vamos lembrar o que
isso). Essa pesquisa deu origem a uma frmula que voc mesmo pode
usar para verificar o desenvolvimento dos seus filhos. A frmula -
que vale para crianas de 4 a 13 anos - a seguinte:
y = 5,7 x + 81,5
Nessa frmula:l l
x a idade da criana (em anos) y a altura da criana (em
centmetros)
A U L A
7
Por exemplo, se uma criana tem 5 anos podemos calcular sua
altura, substituindo o x da frmula por 5. Veja: y = 5,7 5 + 81,5 y
= 28,5 + 81,5 y = 110 cm O resultado indica que, em geral, as
crianas de 5 anos devem estar medindo por volta de 110 cm de
altura. Em geral, como o desenvolvimento da criana depende de
outros fatores, como a altura dos pais, a alimentao etc., so
consideradas crianas normais as que tiverem altura at 10 cm a mais
ou a menos que o valor dado pela frmula.
Para voc saber maisCada criana tem seu jeito de crescer. Em
geral, as meninas crescem de forma muito prxima aos valores dados
pela frmula. J os meninos crescem um pouco menos dos 10 aos 12 anos
e passam a crescer mais depois dos 12 anos. Com a frmula que
apresentamos, voc pode fazer previses Suponha que uma menina tenha
115 cm de altura aos 5 anos. Essa criana tem, portanto, 5 cm a mais
que o valor dado pela frmula. Se tudo correr normalmente, essa
diferena deve se manter (ou at aumentar um pouco) ao longo dos
anos. Assim, se voc quiser saber que altura ela ter aos 10 anos,
aplique a frmula e acrescente esses 5 centmetros.
A lgebra em uma pequena empresaMesmo em pequenas empresas surgem
freqentemente problemas relacionados com a produo, com os custos,
com os investimentos, com a diviso dos lucros etc. Vamos mostrar um
deles e sua soluo, com o auxlio da lgebra.
EXEMPLO 2
Como fazer uma diviso proporcional? Em uma confeco trabalham 16
costureiras, 2 supervisoras e 1 diretora. Cada supervisora ganha
25% a mais que uma costureira, e a diretora ganha 50% a mais que
uma costureira. Todos os meses, uma pequena parte do faturamento
colocada numa poupana para ser distribuda no fim do ano. a caixinha
do Natal. Pois bem, no fim do ano, essa poupana tinha R$ 1.440,00.
Como deveremos fazer a distribuio dessa caixinha mantendo-se a
mesma proporo dos salrios? Temos aqui uma excelente oportunidade
para usarmos a lgebra. Como j vimos nas aulas anteriores, preciso
escolher o significado da nossa incgnita . Vamos ento representar
com a letra x a quantia que cada costureira dever receber. Cada
supervisora ganha 25% a mais que uma costureira. Portanto, cada uma
receber:
x + 25 % de x = x + = x + 0,25 x = (1 + 0,25) x = 1,25 x
25 x 100
A U L A
7
A diretora ganha 50 % a mais que uma costureira. Portanto, ela
receber: x + 50 % de x = x + = x + 0,5 x = (1 + 0,5) x = 1,5 x
Veja, ento, o resumo no quadro abaixo.
50 x 100
16 costureiras
16 x 2 1,25 x 1,5 x
02 supervisoras 0 1 diretora
Vamos somar tudo e igualar o resultado ao total da poupana: 16 x
+ 2 1,25 x + 1,5x = 1440 Para encontrar o valor de x basta, ento,
resolver essa equao. Observe: 16x + 2,5x + 1,5x = 1440 (16 + 2,5
+1,5) x = 1440 20x = 1440
(x x em evidncia)
20x 1440 = 20 20x = 72
(dividindo por 20)
Portanto, cada costureira dever receber R$ 72,00. O resto fcil.
1,25 x = 1,25 72 = 90 1, 5 x = 1,5 72 = 108 Assim, cada supervisora
dever receber R$ 90,00 e a diretora, R$ 108,00. Foi feita ento a
diviso proporcional da caixinha do Natal.
A lgebra na carpintariaSer que a lgebra tem vez em uma simples
carpintaria? Tem sim. Existem problemas que o marceneiro pode
resolver de forma muito eficiente com auxlio da lgebra. Vamos ver
um deles.
A U L A
EXEMPLO 3
7
O corte est no lugar certo? Certo dia, um marceneiro recebeu a
seguinte tarefa: cortar os cantos de uma mesa quadrada, que tinha
120 cm de lado, para transform-la em uma outra com 8 lados iguais .
Observe, nas figuras abaixo, o problema do marceneiro.
mesa antiga
nova mesa
120 cm
?
Repare que o problema de transformar a mesa quadrada em outra,
com 8 lados iguais, no um problema fcil. Os cortes precisam ser
feitos em lugares certos. Se no, o marceneiro corre o risco de
estragar a mesa. Como fazer, ento, os cortes perfeitos? Acompanhe o
raciocnio do marceneiro e, mais uma vez, a utilidade da lgebra. As
partes que sero eliminadas da mesa quadrada so tringulos retngulos
com dois lados iguais. Eles se chamam catetos . O lado maior, onde
ser feito o corte, chama-se hipotenusa .hipotenusa
Catetos (iguais)
Para observar direito esse tringulo, ele fez um desenho grande
de um tringulo desse tipo, com catetos de 1 m de comprimento, e
mediu a hipotenusa.
1m
1.41 m
1m
O valor que ele encontrou para a hipotenusa foi 1 metro e 41
centmetros (este valor no exato, porm bem aproximado). O marceneiro
sabia que, para aumentar ou diminuir o tamanho de uma figura,
mantendo sua forma, basta multiplicar todos os comprimentos dessa
figura por um mesmo nmero. Por exemplo, um tringulo 10 vezes maior
que o da figura que o marceneiro fez ter lados de 10 m, 10 m e 14,1
m. Ele, ento, raciocinou corretamente colocando a letra x como a
medida dos catetos dos tringulos que sero retirados. Assim, a
medida da hipotenusa desses tringulos ser 1,41x 1,41x. Veja como
ficou o projeto da nova mesa.
A U L A
7
Na mesa de 8 lados, todos eles devem ser iguais. Portanto, a
medida de cada um deles ser 1,41x. Agora, basta somar os
comprimentos sobre um lado do quadrado antigo. x + 1,41x + x = 120
Agora, vamos envolver essa equao. 2x + 1,41x = 120 3,41x = 120
3, 41x 120 = 3, 41 3, 41x = 35,19 Conclumos, ento, que cada
cateto dos tringulos que sero retirados mede, aproximadamente, 35,2
cm. O problema est resolvido. A partir de cada canto da mesa, o
marceneiro vai medir comprimentos de 35,2 cm, e passar a serra nas
hipotenusas dos tringulos formados. A mesa ficar com 8 lados
iguais. E qual ser a medida de cada lado da nova mesa? Cada lado da
nova mesa mede 1,41x, ou seja, 1,41 35,2, o que d 49,6 cm. Quase 50
cm de lado.
Como voc percebeu, a lgebra foi utilizada para resolver
problemas muito diferentes. Mas no se esquea: ela apenas uma
ferramenta. O mais importante sempre o raciocnio. A habilidade de
resolver problemas se desenvolve aos poucos. Com a prtica. Com
persistncia.
Exerccios A U L A
7
Tente resolver os exerccios desta aula. Se voc no conseguir,
deixe passar alguns dias e tente de novo. Exercitar o pensamento
desenvolve a nossa mente e faz com que os problemas, com o passar
do tempo, paream mais fceis.
Exerccio 1 Um pediatra anotou as alturas das meninas de 8 anos
que foram ao seu consultrio em determinada semana: 125 cm, 128 cm,
130 cm, 123 cm, 132 cm e 126 cm a) Qual a altura mdia dessas
crianas? b) Qual o valor fornecido pela frmula das alturas das
crianas?
Observao : A mdia de vrios nmeros igual soma desses nmeros
dividida pela quantidade de nmeros dados.Exerccio 2 Uma construtora
encomendou tbuas de pinho a 4 fornecedores diferentes. O primeiro
entregou tbuas com 225 cm de comprimento; o segundo com 236 cm, o
terceiro com 230 cm e o quarto com ..... cm. O mestre de obras
calculou que a mdia dos comprimentos das tbuas era de 231 cm. Qual
foi o comprimento das tbuas entregues pelo quarto fornecedor?
Sugesto Sugesto: Represente por x o comprimento das tbuas do quarto
fornecedor e calcule a mdia dos quatro comprimentos. Exerccio 3 Voc
certamente j reparou que os calados so medidos por nmeros: 35, 36 e
37 para as mulheres e 39, 40 e 41 para a maioria dos homens. Mas,
existem, claro, ps maiores. O nmero do sapato depende do
comprimento do p, e a frmula para calcular o nmero do calado a
seguinte:
N=
onde: N o nmero do sapato c o comprimento do p, em centmetros a)
Que nmero cala uma pessoa cujo p mede 24 cm? b) Qual o comprimento
do p de um jogador de basquete que cala 45? Exerccio 4 Na Europa,
existem empresas em que o salrio mais alto , no mximo, 4 vezes o
salrio mais baixo. Vamos imaginar uma empresa dessas e considerar
que ela seja formada por operrios, tcnicos, engenheiros e
diretores. Cada tcnico ganha o dobro de um operrio. Cada engenheiro
ganha o triplo de um operrio e cada diretor ganha o qudruplo de um
operrio. Sabe-se que nessa empresa trabalham 80 operrios, 20
tcnicos, 4 engenheiros e 2 diretores. Se a folha de pagamento dos
salrios de R$ 74.200,00, pergunta-se:
5c + 28 4
a) Quanto ganha cada operrio? b) Quanto ganha cada diretor?
Sugesto Sugesto: Represente o salrio de cada operrio por x e
complete o quadro abaixo: 1 operrio ganha x 1 tcnico ganha
.......... 1 engenheiro ganha .......... 1 diretor ganha ..........
80 20 04 02 operrios ganham .......... tcnicos ganham ..........
engenheiros ganham .......... diretores ganham ..........
A U L A
7
Tente descobrir a equao que resolve o problema.
Exerccio 5 A cantina de uma escola fez um refresco para as
crianas, diluindo 1 litro de suco concentrado de laranja em 9
litros de gua. Foram produzidos 10 litros de refresco, no qual 10 %
do total de suco concentrado e 90 % de gua. Como o refresco no
ficou bom, resolveu-se acrescentar mais suco concentrado at que o
total ficasse com 20 % de suco concentrado. Pergunta-se: Que
quantidade de suco concentrado deve ser adicionada ao refresco?
Sugesto Sugesto: Observe o quadro abaixo.LITROS DE SUCO CONCENTRADO
LITROS DE GUA
TOTAL DE REFRESCO
1 REFRESCO 2 REFRESCO
1 1+x
9 9
10 10 + x
Agora escreva uma equao que represente o seguinte:
Suco concentrado = 20% do total do refresco
A A UA U L LA
8
8
Coordenadas
Introduo
subttulo da aula de hoje poderia ser este: Visualizando relaes
entre nmeros. E esse assunto nos faz lembrar o matemtico francs Ren
Descartes (1596-1650). Foi Descartes quem inventou um jeito de
visualizar nmeros e relaes entre nmeros, que ficou conhecido como
plano cartesiano - um sistema de eixos coordenados. Os exemplos que
aparecem nesta aula mostraro como os grficos no plano cartesiano so
simples e naturais e, no entanto, profundos e esclarecedores. Por
enquanto, basta que voc se lembre dos grficos de barras - como
aquele que mostra a populao do pas a cada ano, o seu salrio a cada
ms, a temperatura de um local a cada hora etc. O plano cartesiano
igualmente fcil, e ainda mais claro visualmente. Vamos a ele! Para
comear, vamos rever uma conhecida nossa do 1 grau - a reta numrica.
Eis aqui a reta numrica, com alguns nmeros representados nela.
Observe as distncias iguais entre nmeros inteiros consecutivos,
como: - 2, - 1, 0, 1, 2, 3 etc.-6 -6 -5,1 -5.1 -2,5 -2.5 -1/2 -1/2
0 0
O
Nossa aula
~ @1,41 2 2~1.41 1 2
~ p @ 3,14 4 ~3.14 3 4
28/5 = 5,6 28/5=5.6
(-)
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
5
6
(+)
A reta numrica completa : cada um dos seus infinitos pontos
representa exatamente um nmero real, e todos os infinitos nmeros
reais tm lugar nela. Ela se estende indefinidamente (ou
ilimitadamente) nos dois sentidos da horizontal. E um eixo
orientado: quanto mais direita, maior o nmero (ex: 10, 100, 1.000,
10.000 etc.); quanto mais esquerda, menor (ex: - 10, - 100, - 1000,
- 10.000 etc.). Assim, por exemplo: -100 menor do que -10.
Escrevemos: - 100 < - 10 Ento, - 100 fica esquerda de - 10.
Pode-se dizer tambm que - 10 maior do que - 100 e escrever: - 10
> - 100
Um exemplo de reta numrica: a linha do tempoA reta numrica tem
aplicaes prticas muito importantes. Exemplo disso so as linhas do
tempo utilizadas em Histria. Essa reta tambm pode ser interessante
do ponto de vista de nossa prpria vida, de nossa histria pessoal.
Aqui est um trecho dela, dividido em milnios e subdividido em
sculos, com exemplos do ano em que nasceram alguns homens e
mulheres que ficaram conhecidos, como lderes, cientistas e
artistas, entre outros. A linha do tempo nos ajuda a compreender
melhor h quanto tempo cada um deles nasceu. Veja:1412 - Joana d'Arc
1416 - S. Francisco de Assis 1515 - S. T ereza d'Avila 1642 - Isaac
Newton 1748 - Tiradentes 1803 - Alan Kardek 1819 - Anita Garibaldi
1839 - Machado de Assis 1877 - G.I. Gurdjieff 1887 - Villa-Lobos
1903 - Portinari
A U L A
8
563a.C.? - Buda 558a.C.? - Pitgoras 470a.C.? - Scrates
0 - Jesus Cristo
Nossos bisavs nasceram no sculo XIX1945 - Fim da II Guerra
Mundial
sculo I a.C. sculo II a.C.
Nascemos no sculo XX
Vamos agora fazer um zoom, como se diz em linguagem de
computador (ou um close, em linguagem de fotografia), na reta
numrica. Assim podemos visualizar mais de perto (close , em ingls)
o nosso prprio sculo XX subdividido em dcadas e anos (e seus sculos
vizinhos, ) com alguns acontecimentos:1889 - Proclamao da Repblica
1906 - Vo de Santos Dumont 1918 - Fim da I Guerra Mundial 1888 -
Abolio da Escravatura 1989 - Retorno s eleies presidenciais no
Brasil
1905 - T eoria da Relatividade
1930 - Revoluo de 30
1880 1890 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000
2010 2020 Em que ano estamos?
1969 - Homen na Lua
Nossos bisnetos nascero no sculo XXI
700a.C. 600a.C. 500a.C. 400a.C. 300a.C. 200a.C. 100a.C. 0
100d.C. 200d.C. 300d.C. 400d.C. 500d.C. 600d.C. 700d.C. 800d.C.
900d.C. 1000d.C. 1100d.C. 1200d.C. 1300d.C. 1400d.C. 1500d.C.
1600d.C. 1700d.C. 1800d.C. 1900d.C. 2000d.C. 2100d.C.
569? - Maom
? - Hiptia
A U L A
8
Voc tambm pode marcar nesta linha do tempo o ano do seu prprio
nascimento, e riscar ao longo dela o segmento que corresponde sua
vida at hoje. Por falar nisso: quantos anos voc tem? Visualize sua
idade nesse segmento. Use outras cores para traar os segmentos de
vida de seus familiares. No fica tudo mais claro com a reta
numrica?
Relembrando os grficos de barrasVamos relembrar, com o problema
que ser proposto, o que um grfico de barras. Jlio um profissional
autnomo. Para controlar de perto as finanas familiares, Jlio anota
todo ms quanto ganhou e quanto gastou (em reais). Agora ele est
analisando a tabela que montou com as anotaes de ganhos. Responda:
a) Em que ms Jlio ganhou mais? b) Em que ms seu ganho deu maior
salto para cima? c) E para baixo?MS/ 1994 G A N H O (R$)
jan fev mar abr mai jun jul ago set out nov dez
300 410 540 380 320 500 490 570 380 430 420 400
A pergunta do item a) fcil de responder: basta procurar pelo
nmero maior da tabela. (O ms foi agosto: R$ 570,00). J os itens b)
e c) no esto com as respostas to claras. Uma boa sugesto seria
ampliar a tabela para incluir tambm uma coluna com Diferena em
relao ao ms anterior. Ela comearia com os seguintes dados: fev, 10;
mar, 130; abr, - 160 etc. Continue, e responda b) e c) c). A idia
fazer um grfico de barras para que, nele, voc visualize as
respostas:ganho (R$) 600 500 400 300 200 100 jan fev mar abr mai
jun jul ago set out nov dez ms/1994 maior salto p/ cima: junho
maior salto p/ baixo: setembro
Fcil; no ? por isso que um grfico tem tanto valor, pois, sem
ele, as relaes entre os nmeros ficariam bem mais abstratas. Da a
importncia da inveno de Descartes, o plano cartesiano. A idia igual
de um grfico de barras, com pequenas mas importantes diferenas: no
plano cartesiano, os dois eixos orientados perpendiculares so duas
retas numricas com os dois pontos 0 (zero) superpostos, formando a
origem do plano.
A U L A
8
O plano cartesianoAqui est um exemplo de plano cartesiano, com
alguns pontos assinalados. x, y Cada ponto tem duas coordenadas - x
e y - e simbolizado por (x, y); dizemos que x a abscissa do ponto,
e y a ordenada . Se um dos nmeros representados por x ou y tiver
vrgula, podemos separar as duas letras com ponto e vrgula. Exemplo:
(2; 1,5).y (-12, 8) 8 7 6 5 (0, 5) 4 (-6, 13/5) (-3, 2)(-9,5;
(-9.5; 0) 0)
(51/10; (51/10; 6.2) 6,2) (10.5; 4) (10,5; 4) (3, 2) (11, 0) 1 2
3 4 (3, -2) (7, -) 5 6 7 8 9 10 11 12 x
3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 (0, -5)
-12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 (-3, -2)(-7; -4.21) 4,21)
(-7;
Para voc se certificar de que compreendeu bem como funciona o
plano cartesiano, marque nele estes outros pontos : 00. (7, 3)
00.(7, 00. (7, 0) 00.(7, 00. (7, -3) 00.(7, 0( - 7, -3) (- 11, - 3
) 3) Escreva suas coordenadas junto do ponto (como est na
ilustrao). O plano cartesiano fcil e lgico, no acha? E o melhor est
por vir. Quando x e y no so dois nmeros quaisquer, mas esto
relacionados por alguma frmula, ou alguma regra, ento acontece uma
coisa espantosa! Vejamos logo alguns exemplos. E voc tambm
concordar conosco que esse invento mesmo um auxlio e tanto para
entender relaes entre nmeros.
A U L A
Dois exemplos de grficos de relaes entre nmerosx , y ) no plano
cartesiano, de maneira que x e Vamos marcar alguns pontos (x y
satisfaam uma relao dada. Para isso, primeiro faremos uma tabela de
valores de x e y , a partir de alguns exemplos. A primeira relao
esta: a) y = 2x + 100 x 00x 00 1 001 00 2 002 3 00 003 00 0 000 -1
- 2,5 y = 2x + 1 00 3 003 00 5 005 00 7 007 00 1 001 -1 -4y 7 6 (2,
5) 5 4 3 2 1 -3 -2 -1 grfico de y=2x+1 (reta) (3, 7)
8
(1, 3) (0, 1) x
(-2.5; -4)
-11 2 3 -2 -3 -4
Lembrete: em matemtica, quando queremos escrever uma igualdade
usamos o sinal de igual (=); quando queremos mostrar uma diferena,
usamos o sinal de diferente ().
Quanto mais pontos assinalarmos, maior ser nossa certeza: se
marcssemos todos os pontos (x, y) = (x, 2x + 1) para todos os
valores de x , ento teramos desenhado uma reta. Ela o grfico da
relao y = 2x + 1, e formada por todos os pontos (x, y) do plano,
tais que y = 2x + 1. Por exemplo: o ponto (2, 5) est nesta reta,
pois 5 = 2 (2) + 1; j (2, 6) no est, pois 6 1 (2) + 1. Verifique.
Outro exemplo: como ser o grfico dos pontos (x, y), tais que y seja
o nmero que mede a rea de um terreno quadrado de lado x , ou seja,
tais que y = x2? b) y = x200 x 00x 00 2 002 00 1 001 00 0 000 -1 -2
00 3 003 -3 00 4 004 00 2,5 002,5 y = x2 00 4 004 00 1 001 00 0 000
00 1 001 0 04 00 9 009 00 9 009 016 00 6,25 006,25y grfico de y=x 2
(parbola)
16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -3 -2 -1 (0,0) 1 2 3 4 5
x
O grfico da relao y = x2 uma curva importante na geometria e na
fsica: uma parbola . A parbola , por exemplo, a curva descrita no
ar por uma bola chutada, ou qualquer objeto arremessado. Voc tambm
j deve ter ouvido falar em antena parablica: sua forma derivada da
parbola. Calcule e marque outros pontos da parbola y = x2. Que tal
usar nmeros fracionrios?
A U L A
8
ConclusoEsses exemplos so suficientes para nos convencer da
importncia do plano cartesiano: tanto na soluo de problemas da vida
prtica (rea de terrenos, salrios, gastos etc), quanto no prprio
desenvolvimento da matemtica. Com o plano cartesiano, Descartes
criou a ferramenta visual para o que veio logo depois: o clculo
diferencial e integral . Esse clculo foi uma verdadeira revoluo na
matemtica, do mesmo modo que foram revolucionrias as suas aplicaes
em outras cincias, a exemplo da fsica, da biologia e da astromonia,
e tambm em vrias reas, como em economia e at em psicologia. Para
ns, o plano cartesiano tambm ser de grande auxlio. Vamos nos
exercitar nele? Exerccio 1 A figura mostra um joguinho muito
popular: a Batalha Naval. Consiste em um tabuleiro quadriculado, no
qual a posio de cada quadradinho dada pelo eixo horizontal, com
letras (A, B, C, ...) e, pelo eixo vertical, com nmeros (1, 2, 3,
...). Aqui esto algumas das peas da Batalha Naval, dadas por seus
quadradinhos. Preencha os quadradinhos no quadro esquerda e veja
como so essas peas: l submarino: E7 l destroyer: G4, G5 l
hidroavio: L4, M3, N4 l cruzador: B11, C11, D11, E11 l couraado:
L9, L10, L11, L12, L13 Diga que quadradinhos do quadro direita esto
formando estas peas: l submarino: l destroyer: l hidroavio: l
cruzador: l couraado:
Exerccios
A B C D E F G H I J K L M N O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
15 A B C D E F G H I J K L M N O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
15
A B C D E F G H I J K L M N O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
15 A B C D E F G H I J K L M N O
No Exerccio A U L A2, o grfico outra curva importante de
geometria: uma hiprbole. Por exemplo, a trajetria que um corpo
momentaneamente atrado pela Terra descreve no espao pode ser uma
hiprbole, ou mesmo uma parbola. J a trajetria da Terra em volta do
Sol uma elipse, como descobriu Johannes Kepler (1571-1630).
8
Exerccio 2 Use o plano cartesiano para comparar o tamanho e a
forma de todos os terrenos retangulares que tm a mesma rea -
digamos, de 12 km2. Ou seja, use o grfico de todos os pontos (x, y)
tais que, se x e y forem lados de um desses retngulo, ento x y = 12
12. Ou, dividindo tudo por x (que no pode 12 ser zero), ento y = X
. Faa como nos exemplos vistos: tabela e grfico em papel
quadriculado.
Exerccio 3 1? Por qu? Quais destes pontos devem pertencer ao
grfico de y = 2x + 1 a) (5, 11) b) (4, 11) c) (- 11, - 20) d) (p,
2p + 1)
1 e) ( - ; 0,1) 2f) (200, 401)
Exerccio 4 Quais destes pontos se encontram sobre a parbola y =
x2? Por qu? a) (- 4, 16) b) (10, 102) c) (10, 100) d) ( 2 , 2) e)
(7, - 49) f) (- 7, - 49)
A L AL AUU
9
O grfico que uma retagora que j conhecemos melhor o plano
cartesiano e o grfico de algumas relaes entre x e y , voltemos ao
exemplo da aula 8, onde y = 2x + 1 e cujo grfico uma reta. Queremos
saber mais sobre como essa ligao que existe entre a frmula y = 2x +
1 e a figura geomtrica da reta. Queremos saber, por exemplo, se
outras frmulas tambm tm como grfico uma reta. Caso haja, o que
essas frmulas de retas tm em comum; de que modo se parecem? isso
que estudaremos hoje. Como voc ver, so muitas as situaes na vida
cotidiana - especialmente nas nossas diversas profisses - em que a
relao entre duas grandezas expressa graficamente por um reta.
Veremos isso num exemplo com um automvel em movimento, na relao
entre a distncia percorrida e o tempo de percurso. E deixaremos
para voc aplicar as mesmas idias na sua prpria rea de trabalho: na
construo civil, na indstria, no comrcio, no trabalho em casa etc. A
concluso da aula que a Matemtica tem uma maneira de visualizar toda
uma srie de problemas, facilitando imensamente sua resoluo.
9
A
A
Introduo
Um exemplo tirado do futebolTalvez voc j tenha visto um
comentarista de futebol dizer o seguinte, analisando um determinado
chute a gol: A velocidade da bola era de aproximadamente 90 km/h,
quando foi espalmada pelo goleiro. O que significa isso? Como se
faz essa estimativa de velocidade? Se um automvel estivesse a 90
km/h, isso quer dizer que ele percorreria 90 quilmetros de distncia
no tempo de 1 hora. Possivelmente, a estimativa do comentarista
deve ter sido calculada por computador da seguinte maneira: pelo
vdeo do chute, anotado o instante em que o p do jogador toca a bola
e a posio em que ele est no campo; anotado tambm o instante em que
o goleiro espalma a bola e a posio do goleiro. Assim, obtm-se a
distncia que a bola percorreu e o tempo que levou para isso. O que
a velocidade da bola, ento? Se, para simplificar, considerarmos que
a velocidade da bola constante ao longo de toda sua trajetria,
ento, por definio:
Nossa aula
Velocidade a distncia percorrida dividida pelo tempo de
percurso.
A U L A
9
Rigorosamente falando, isso no verdade, pois o atrito do ar
diminui a velocidade da bola o tempo todo. Estamos simplificando as
coisas.) Em linguagem matemtica: espao tempo e = t
velocidade =
ou v
No caso desse chute, a velocidade equivale a 90 km/h. Em metros
por segundo (pois as medidas do campo de futebol so em metros e
cada chute se d em fraes de segundo), ela de:
v = 90 km/h =
90km 90 1000m = = 25 m/s 1h 3600s40
Ou seja, a bola percorre um espao de 25 metros a cada segundo .
Ou 50 metros a cada 2 segundos, ou 100 metros a cada 4 segundos, ou
150 metros a cada 6 segundos, e assim por diante. e ) percorrido
com o fcil visualizar de uma s vez a relao do espao (e t ) de
percurso - que neste exemplo : tempo (t
e = 25 25, ou e = 25 t tPara isso, basta construir uma tabela e
um grfico que mostre a maneira como o espao se relaciona com o
tempo:00 t 00t 00 0 000 00 1 001 00 2 002 00 4 004 6 00 006 e = 25t
00 0 000 025 050 100 150e (m) e 150 125 100 75 50 25 e=25t
0
1
2
3
4
5
6
t (s)
Como vemos, neste caso, temos uma reta que passa pela origem do
plano cartesiano. Observe que, nesse exemplo, os eixos do plano
cartesiano representam e (espao) e t (tempo), que so grandezas
diferentes: uma medida em metros e outra, em segundos,
respectivamente. Dessa forma, a marcao dos pontos sobre os eixos
pode ser feita tambm com unidades diferentes. No eixo vertical,
cada unidade equivale a 25 metros; enquanto no eixo horizontal cada
unidade corresponde a 1 segundo.
O grfico de y = ax: retas pela origemObserve os exemplos a
seguir: a) y = x00 x 00x 00 0 000 00 1 001 00 2 002 00 y 0 1 2 x 0
1 2
A U L A
b) y = 3xy 0 3 6y 6 5
9Exerccios
y
2
4 3
1
2 1
1
2
x
1
2
x
c) y = - 2xx 0 1 2 y -0 -2 -4y
1 d) y = - x 2x 0 1 2 y -0-
1 2
-1y
1 -1
2
x- 1/2 -1
1
2
x
-2
-3
-4
A U L A
y 2 q.
9
1 q.
x
3 q.
4 q.
Como voc mesmo deve ter notado, o grfico de y = ax (no qual a
uma constante) sempre uma reta. Quando a positivo, a reta est no 1
e no 3 quadrantes do plano cartesiano; quando a negativo, a reta
est no 2 e no 4 quadrantes. Veja nos exemplos abaixo:
00
OS
4
QUADRANTES
DO PLANO CARTESIANO
y 3 2 1 1/2 1
y=3x (a=3)
y
y=x (a=1)1 1 y= x a= y=1/2 2 2 (a=1/2)
( )
1 -1/3 -1 -2 x y=-1/3x (a=-1/3) 1 1 x a =y= 3 3 y=-x (a=-1)
y=-2x (a=-2)
(
)
x
Voltando ao exemplo da velocidadeO grfi