Matematica aplicată în studiul fenomenelor. Mișcarea corpurilor în 2D/3D Marin Vlada – Universitatea din Bucureşti, e-mail: vlada[at]fmi.unibuc.ro Abstract În studiul fenomenelor, diversitatea din lumea reală necesită utilizarea mai multor sisteme de coordonate, cu facilităti de conversie între ele. Articolul descrie: Modelarea vitezei și a accelerației-conceptul de derivată a unei funcții; Modelul 3D (spațiul tridimensional R3, reperul OXYZ în spațiu); Traiectoria și mișcarea corpurilor (mobil/punct material);Modelul 2D (spațiul bidimensional R2, reperul OXY în plan); Mișcarea pe o traiectorie curbilinie oarecare; Modelul mișcării uniform variate. 1. Introducere Mediul înconjurător și natura, societățile omenești – tot ce se află pe planeta Terra, inclusiv în spațiul macrocosmos/microcosmos, se schimbă, se transformă și se dezvoltă ca urmare a multiplelor fenomene ce apar, se desfășoară și dispar în conformitate cu diverse legi pe baza cărora își exercită efectele, și ca urmare a stării optime a unor parametri ce definesc aceste fenomene. Fenomenele se desfășoară de la un moment inițial, își exercită efectele pe o perioada de timp finită/infinită, și se încheie la un moment final, în cazul în care nu are o evoluție infinită. Toate acestea există, atât în spațiul macrocosmic, cât și în spațiul microcosmic (spațiul organic sau spațiul anorganic). „Noi suntem făcuţi din materie stelară”: „Azotul din ADN-ul nostru, calciul din dinţii noştri, fierul din sângele nostru, carbonul din plăcintele noastre cu mere, au fost produse în interiorul stelelor aflate în colaps gravitaţional. Noi suntem făcuţi din materie stelară.” Carl Edward Sagan (1934-1996), american astronomer, cosmologist, astrophysicist, astrobiologist. Pe de altă parte, „Geometria euclidiană, geometria sferică, geometria eliptică, geometria hiperbolică şi geometria proiectivă sunt instrumente matematice pentru a exprima proprietăţi ale lumii reale.” Frans Marcelis - Frans Marcelis, http://members.home.nl/fg.marcelis/. Definiție. Un fenomen (fr. phénomène, it. fenomeno, cf. gr. phainomenon – ceea ce apare și se desfășoară) reprezintă un aspect sau mai multe aspecte din mediul înconjurător, natură, din societățile omenești, inclusiv din spațiul macrocosmic și din spațiul microcosmic (spațiul organic - organisme vii sau spațiul anorganic-compuși anorganici), și care se generează la un moment iniț ial, se desfășoară pe o perioadă de timp, își exercită efectele, și se încheie la un moment final. Un fenomen se caracterizează prin legi pe baza cărora se desfășoară și prin parametri ce definesc starea fenomenului, și astfel se desfășoară în timp prin intermediul unor procese și evenimente pe care le generează. Definiție. Un proces (lat. processus - mers înainte, d. procédere - a înainta; fr. procès) repezintă desfășurare în timp a unui eveniment sau a unui fenomen, și anume evoluția, dezvoltarea și desfășurarea pentru un fenomen sau un eveniment. Un proces se caracterizează prin succesiuni de acțiuni/operații, transformări succesive și progresive ce se finalizează cu producerea de lucruri,
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Matematica aplicată în studiul fenomenelor.
Mișcarea corpurilor în 2D/3D
Marin Vlada – Universitatea din Bucureşti, e-mail: vlada[at]fmi.unibuc.ro
Abstract
În studiul fenomenelor, diversitatea din lumea reală necesită utilizarea mai multor sisteme de
coordonate, cu facilităti de conversie între ele. Articolul descrie: Modelarea vitezei și a
accelerației-conceptul de derivată a unei funcții; Modelul 3D (spațiul tridimensional R3, reperul
OXYZ în spațiu); Traiectoria și mișcarea corpurilor (mobil/punct material);Modelul 2D (spațiul
bidimensional R2, reperul OXY în plan); Mișcarea pe o traiectorie curbilinie oarecare; Modelul
mișcării uniform variate.
1. Introducere
Mediul înconjurător și natura, societățile omenești – tot ce se află pe planeta Terra, inclusiv
în spațiul macrocosmos/microcosmos, se schimbă, se transformă și se dezvoltă ca urmare a
multiplelor fenomene ce apar, se desfășoară și dispar în conformitate cu diverse legi pe baza cărora
își exercită efectele, și ca urmare a stării optime a unor parametri ce definesc aceste fenomene.
Fenomenele se desfășoară de la un moment inițial, își exercită efectele pe o perioada de timp
finită/infinită, și se încheie la un moment final, în cazul în care nu are o evoluție infinită. Toate
acestea există, atât în spațiul macrocosmic, cât și în spațiul microcosmic (spațiul organic sau
spațiul anorganic).
„Noi suntem făcuţi din materie stelară”: „Azotul din ADN-ul nostru, calciul din dinţii noştri,
fierul din sângele nostru, carbonul din plăcintele noastre cu mere, au fost produse în interiorul
stelelor aflate în colaps gravitaţional. Noi suntem făcuţi din materie stelară.” Carl Edward Sagan
(1934-1996), american astronomer, cosmologist, astrophysicist, astrobiologist. Pe de altă parte,
„Geometria euclidiană, geometria sferică, geometria eliptică, geometria hiperbolică şi geometria
proiectivă sunt instrumente matematice pentru a exprima proprietăţi ale lumii reale.” Frans
Marcelis - Frans Marcelis, http://members.home.nl/fg.marcelis/.
Definiție. Un fenomen (fr. phénomène, it. fenomeno, cf. gr. phainomenon – ceea ce apare și se
desfășoară) reprezintă un aspect sau mai multe aspecte din mediul înconjurător, natură, din
societățile omenești, inclusiv din spațiul macrocosmic și din spațiul microcosmic (spațiul organic-
organisme vii sau spațiul anorganic-compuși anorganici), și care se generează la un moment inițial,
se desfășoară pe o perioadă de timp, își exercită efectele, și se încheie la un moment final. Un
fenomen se caracterizează prin legi pe baza cărora se desfășoară și prin parametri ce definesc
starea fenomenului, și astfel se desfășoară în timp prin intermediul unor procese și evenimente pe
care le generează.
Definiție. Un proces (lat. processus - mers înainte, d. procédere - a înainta; fr. procès) repezintă
desfășurare în timp a unui eveniment sau a unui fenomen, și anume evoluția, dezvoltarea și
desfășurarea pentru un fenomen sau un eveniment. Un proces se caracterizează prin succesiuni de
acțiuni/operații, transformări succesive și progresive ce se finalizează cu producerea de lucruri,
Conferinţa Naţională de Învăţământ Virtual, ediţia a XV-a, 2017
37
lucrări, obiecte, efecte etc., în mediul înconjurător, în natură, în societatea omenească, în spațiul
cosmic etc.
Un fenomen poate să se desfășoare prin intermediul mai multor procese (exemplu: procese în
timpul execuției unui program de calculator). Uneori fenomen = proces.
2. Fenomenul mișcării corpurilor în 2D / 3D
Cinematica (Kinemat=mișcare) este ramura Mecanicii clasice ce s-a dezvoltat ca ramură a
Fizicii. Cinematica studiază mişcarea sistemelor materiale (punct material, sistem de puncte
materiale, solid rigid, sisteme de corpuri rigide) fără a ţine seama de mase şi forţe. Fizica a fost
fundamentată ca știintă de către Galileo Galilei și Isaac Newton în sec. XVII, prin formularea unui
set de principii ale dinamicii corpurilor. Dinamica este o ramură a mecanicii clasice care se ocupă
cu studiul mișcării corpurilor, în special cu efectul forțelor asupra mișcării corpurilor respective.
Legile fundamentale ale dinamicii au fost formulate inițial de către Isaac Newton. În mecanica
cuantică, dinamica se ocupă cu studiul cuantificării forțelor, cum este în cazul electrodinamicii
cuantice și cromodinamicii cuantice.
Se pot formula următoarele constatări:
Principiile sunt adevăruri unanim recunoscute, verificabile prin consecințe într-o
multitudine de situații din viața reală. Împreună cu observația și experimentul, acestea
servesc la formularea legilor fizice, care reprezintă legături cantitative de tip cauză-efect,
între mărimile relevante într-un proces fizic. Structura matematică a mecanicii clasice a
fost dezvoltată ulterior prin lucrările lui Lagrange, în secolul al XVIII-le și Hamilton în
secolul al XIX-lea.
Evoluția și dezvoltarea Mecanicii clasice și Fizicii-precum și a multor științe, se datorează
teoriilor și metodelor oferite și de Matematică: geometrie, algebra, calculul diferențial și
integral, statistica matematică etc. Astfel, a fost posibilă apariția de noi discipline ale
Fizicii: Mecanica analitică, Teoria relativității, Mecanica cuantică etc., ce servesc la
înțelegerea lumii înconjurătoare, fiind instrumente necesare pentru rezolvarea a
nenumărate probleme din viața reală.
În ultimele decenii Mecanica clasică a revenit în atentia fizicienilor după ce Matematica
și Informatica au oferit noi instrumente și abordări pentru analiza dinamicii sistemelor a
căror evoluție este descrisă de ecuații neliniare și rezolvate prin utilizarea calculatoarelor
tot mai performante. Deși, Fizica clasică folosește Modele liniare, lumea fizică
înconjurătoare este în mod preponderent neliniară. În acest sens, au apărut tehnici de
abordare modernă a evoluției unor sisteme mecanice descrise de dinamici neliniare, așa
cum apar ele în Teoria haosului: atractori, analiza în spatiul fazelor, bifurcații, coeficienți
Lyapunov, teoria fractală etc. Aceste instrumente descriu comportarea haotică a
sistemelor fizice guvernate de legi deterministe, pentru care ecuațiile de mișcare și
condițiile inițiale permit determinarea evoluției sistemului la orice moment de timp.
Modelarea vitezei și a accelerației-conceptul de derivată a unei funcții
Studiul mişcării implică alegerea unui sistem de referinţă. În Cinematică, trei probleme sunt
esenţiale: problema traiectoriilor, problema vitezelor, problema acceleraţiilor. Conceptele și
reprezentările oferite de Matematică sunt aspecte virtuale/abstracte care modelează într-un spațiu