Matemática Aplicada I Jesús Valenzuela http://personal.us.es/ jesusv Envolvente convexa: Aplicaciones (anchura y diámetro) Tema 1 Envolvente Envolvente convexa convexa Parte 2: Parte 2: Aplicaciones Aplicaciones (anchura y diámetro) (anchura y diámetro)
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Matemática Aplicada I Jesús Valenzuela Envolvente convexa: Aplicaciones (anchura y diámetro) Tema 1 Envolvente convexa Parte.
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Matemática Aplicada I
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Tema 1Tema 1
Envolvente Envolvente convexaconvexa
Parte 2: Aplicaciones Parte 2: Aplicaciones (anchura y diámetro)(anchura y diámetro)
Envolvente Envolvente convexaconvexa
Parte 2: Aplicaciones Parte 2: Aplicaciones (anchura y diámetro)(anchura y diámetro)
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Tema 1Tema 1
Anchura: La distancia más corta entre paralelas que contienen el conjunto.Diámetro: La mayor distancia entre dos puntos del conjunto.
Aplicaciones de la Aplicaciones de la envolvente convexaenvolvente convexa
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Tema 1Tema 1
La distancia más corta entre paralelas que contienen a toda la nube en su interior se llama anchura.
Lema: La anchura equivale al cálculo de la recta centro.
Recta centro (que minimiza la distancia a los puntos de la
nube)
Anchura de un conjuntoAnchura de un conjunto
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Tema 1Tema 1
Lema: La anchura de una nube de puntos la determina un par antipodal arista-punto de su envolvente convexa.
Anchura de un conjuntoAnchura de un conjuntoLa distancia más corta entre paralelas que contienen a toda la nube en su interior se llama anchura.
Usaremos el método de rotación de un calibre (rotating calliper).
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Tema 1Tema 1
Anchura de un conjuntoAnchura de un conjunto
Empezamos en los vértices norte y sur de la envolvente.
Trazamos dos rectas horizontales (calibre).
En cada paso:
• Mido los ángulos entre cada recta y la siguiente arista de la envolvente.
• Roto ambas rectas hasta llegar al siguiente más pequeño.
• Almaceno los nuevos pares antipodales.
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Tema 1Tema 1
Anchura de un conjuntoAnchura de un conjunto
Empezamos en los vértices norte y sur de la envolvente.
Trazamos dos rectas horizontales (calibre).
En cada paso:
• Mido los ángulos entre cada recta y la siguiente arista de la envolvente.
• Roto ambas rectas hasta llegar al siguiente más pequeño.
• Almaceno los nuevos pares antipodales.
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Anchura de un conjuntoAnchura de un conjunto
Empezamos en los vértices norte y sur de la envolvente.
Trazamos dos rectas horizontales (calibre).
En cada paso:
• Mido los ángulos entre cada recta y la siguiente arista de la envolvente.
• Roto ambas rectas hasta llegar al siguiente más pequeño.
• Almaceno los nuevos pares antipodales.
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Anchura de un conjuntoAnchura de un conjunto
Empezamos en los vértices norte y sur de la envolvente.
Trazamos dos rectas horizontales (calibre).
En cada paso:
• Mido los ángulos entre cada recta y la siguiente arista de la envolvente.
• Roto ambas rectas hasta llegar al siguiente más pequeño.
• Almaceno los nuevos pares antipodales.
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Anchura de un conjuntoAnchura de un conjunto
Empezamos en los vértices norte y sur de la envolvente.
Trazamos dos rectas horizontales (calibre).
En cada paso:
• Mido los ángulos entre cada recta y la siguiente arista de la envolvente.
• Roto ambas rectas hasta llegar al siguiente más pequeño.
• Almaceno los nuevos pares antipodales.
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Anchura de un conjuntoAnchura de un conjunto
Empezamos en los vértices norte y sur de la envolvente.
Trazamos dos rectas horizontales (calibre).
En cada paso:
• Mido los ángulos entre cada recta y la siguiente arista de la envolvente.
• Roto ambas rectas hasta llegar al siguiente más pequeño.
• Almaceno los nuevos pares antipodales.
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Anchura de un conjuntoAnchura de un conjunto
Empezamos en los vértices norte y sur de la envolvente.
Trazamos dos rectas horizontales (calibre).
En cada paso:
• Mido los ángulos entre cada recta y la siguiente arista de la envolvente.
• Roto ambas rectas hasta llegar al siguiente más pequeño.
• Almaceno los nuevos pares antipodales.
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Anchura de un conjuntoAnchura de un conjunto
Empezamos en los vértices norte y sur de la envolvente.
Trazamos dos rectas horizontales (calibre).
En cada paso:
• Mido los ángulos entre cada recta y la siguiente arista de la envolvente.
• Roto ambas rectas hasta llegar al siguiente más pequeño.
• Almaceno los nuevos pares antipodales.
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Anchura de un conjuntoAnchura de un conjunto
Empezamos en los vértices norte y sur de la envolvente.
Trazamos dos rectas horizontales (calibre).
En cada paso:
• Mido los ángulos entre cada recta y la siguiente arista de la envolvente.
• Roto ambas rectas hasta llegar al siguiente más pequeño.
• Almaceno los nuevos pares antipodales.
Algunos vértices no son antipodales de ninguna arista.
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Anchura de un conjuntoAnchura de un conjunto
Empezamos en los vértices norte y sur de la envolvente.
Trazamos dos rectas horizontales (calibre).
En cada paso:
• Mido los ángulos entre cada recta y la siguiente arista de la envolvente.
• Roto ambas rectas hasta llegar al siguiente más pequeño.
• Almaceno los nuevos pares antipodales.
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Tema 1Tema 1
Anchura de un conjuntoAnchura de un conjunto
Empezamos en los vértices norte y sur de la envolvente.
Trazamos dos rectas horizontales (calibre).
En cada paso:
• Mido los ángulos entre cada recta y la siguiente arista de la envolvente.
• Roto ambas rectas hasta llegar al siguiente más pequeño.
• Almaceno los nuevos pares antipodales.
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Tema 1Tema 1
Anchura de un conjuntoAnchura de un conjunto
Empezamos en los vértices norte y sur de la envolvente.
Trazamos dos rectas horizontales (calibre).
En cada paso:
• Mido los ángulos entre cada recta y la siguiente arista de la envolvente.
• Roto ambas rectas hasta llegar al siguiente más pequeño.
• Almaceno los nuevos pares antipodales.
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Tema 1Tema 1
Anchura de un conjuntoAnchura de un conjunto
Empezamos en los vértices norte y sur de la envolvente.
Trazamos dos rectas horizontales (calibre).
En cada paso:
• Mido los ángulos entre cada recta y la siguiente arista de la envolvente.
• Roto ambas rectas hasta llegar al siguiente más pequeño.
• Almaceno los nuevos pares antipodales.
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Tema 1Tema 1
Anchura de un conjuntoAnchura de un conjuntoLema: La anchura de una nube de puntos la determina un par antipodal arista-punto de su envolvente convexa.Lema: Es posible determinar todos los pares antipodales arista-punto de un polígono convexo en tiempo lineal.
Teorema: Es posible determinar la anchura de un conjunto en tiempo lineal a partir de su envolvente convexa.
Entre muchos puntos en el plano encontrar los dos más alejados
El par más alejado
Lema: El diámetro de una nube de puntos coincide con el diámetro de sus puntos extremos.
Diámetro de un conjuntoDiámetro de un conjunto
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Tema 1Tema 1
Diámetro de un conjuntoDiámetro de un conjunto
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Tema 1Tema 1
Puntos antipodales
Un par de puntos se llaman antipodales si por ellos pasan paralelas que contienen a toda la nube en su interior
Diámetro de un conjuntoDiámetro de un conjunto
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Tema 1Tema 1Un par de puntos se llaman antipodales si por ellos pasan paralelas que contienen a toda la nube en su interior
Diámetro de un conjuntoDiámetro de un conjunto
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Tema 1Tema 1Un par de puntos se llaman antipodales si por ellos pasan paralelas que contienen a toda la nube en su interior
Diámetro de un conjuntoDiámetro de un conjunto
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Tema 1Tema 1Un par de puntos se llaman antipodales si por ellos pasan paralelas que contienen a toda la nube en su interior
Diámetro de un conjuntoDiámetro de un conjunto
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Tema 1Tema 1Lema: El diámetro de una nube de puntos coincide con la distancia entre su par antipodal punto-punto más lejano.
Diámetro de un conjuntoDiámetro de un conjunto
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Tema 1Tema 1
Los vértices antipodales a un vértice v dado son todos aquellos comprendidos entre los vértices antipodales a las dos aristas incidentes en v
Diámetro de un conjuntoDiámetro de un conjunto
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Tema 1Tema 1
Los vértices antipodales a un vértice v dado son todos aquellos comprendidos entre los vértices antipodales a las dos aristas incidentes en v
Diámetro de un conjuntoDiámetro de un conjunto
Corolario 5.1: Todos los pares antipodales vértice-vértice pueden ser calculados en tiempo lineal una vez conocida la envolvente convexa.
Teorema: El diámetro de un conjunto pueden ser calculados en tiempo lineal una vez conocida la envolvente convexa.
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Tema 1Tema 1
1.- Probar que dado un conjunto de puntos en el plano, se puede encontrar en tiempo O(n log n) un polígono que tenga a dicho conjunto como sus vértices.
2.- Sea P un polígono monótono (existe una recta tal que toda perpendicular a dicha recta a lo más corta en dos puntos al polígono). Diseñar un algoritmo que calcule su envolvente convexa en tiempo lineal.
3.- Dado un conjunto con n puntos rojos y n puntos azules en el plano, dar un algoritmo que una cada punto rojo con un azul mediante segmentos que no se corten entre sí (emparejamiento geométrico perfecto).
1.- Probar que dado un conjunto de puntos en el plano, se puede encontrar en tiempo O(n log n) un polígono que tenga a dicho conjunto como sus vértices.
2.- Sea P un polígono monótono (existe una recta tal que toda perpendicular a dicha recta a lo más corta en dos puntos al polígono). Diseñar un algoritmo que calcule su envolvente convexa en tiempo lineal.
3.- Dado un conjunto con n puntos rojos y n puntos azules en el plano, dar un algoritmo que una cada punto rojo con un azul mediante segmentos que no se corten entre sí (emparejamiento geométrico perfecto).