Matem´ aticas Avanzadas para Ingenier´ ıa: N´ umeros Complejos Departamento de Matem´ aticas Introducci´ on Igualdad Suma y resta Multiplicaci´ on Notaci´ on Bin´ omica Inversos Propiedades 1 Potencias de i Costo |z | y z Propiedades 2 El plano C N. Matricial Comentario Matem´ aticas Avanzadas para Ingenier´ ıa: N´ umeros Complejos Departamento de Matem´ aticas MA3002
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Matem aticas Avanzadas para Ingenier a: Numer os Complejoscb.mty.itesm.mx/ma3002/materiales/ma3002-numeros... · 2019. 1. 16. · Diremos que z 1 es igual a z 2, representado como
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Numeros ComplejosLos numeros complejos, simbolizados por C, son unageneralizacion de los numeros reales. Una generalizacionalgebraica muy interesante: Toda ecuacion polinomial
cn zn + cn−1 z
n−1 + · · ·+ c1 z + c0 = 0
con coeficientes complejos (aquı z representa la incognita adespejar (zahl significa numero en aleman), los coficientes cirepresentan numeros, posiblemente complejos, n es el grado dela ecuacion y cn 6= 0) tiene todas sus raıces en los numeroscomplejos. Apesar de que los numeros complejos se les llamaimaginarios (termino acunado por Descartes en el siglo XVII) sepueden utilizar con conveniencia para representar situacionesmuy reales en el area de la Ingenierıa; inclusive en el diseno yen la generacion de imagenes fractales. El campo (terminoproveniente de Algebra Moderna) de los numeros complejossirve de manera muy efectiva para calcular.
• numeros en el sentido que tienen una aritmetica: suma,resta, multiplicacion, division, potencias, raıces, etc
• sirven para contar, o en un sentido mas ingenierilcuantificar, cosas:
• Los numeros naturales N = {1, 2, 3, 4, . . .} sirven paracontar cosas indivisibles (personas, mesas, sillas, libros etc)
• Los numeros enteros Z = N ∪ {0,−1,−2, . . .} sirven paracontar cosas indivisibles pero donde ademas de anadirtambien hay que quitar.
• Los numeros racionales Q = Z∪ fraccionarios, sirven paracontar/cuantificar cosas donde los objetos se pueden partiren ciertos numero de partes iguales
• Los numeros reales R = Q∪ numeros trascedentes, sirvenpara cuantificar magnitudes fısicas continuas como latemperatura, presion, voltaje, masa, volumen, peso etc
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¿Contar con numeros complejos?
¿Que cantidades fısicas se pueden cuantificar con los numeroscomplejos? Aquellas que se describen mediante un par denumeros; usualmente una amplitud y un angulo dedefasamiento.Imagınese que usted tiene un generador electrico, de esos queusan una cascada para producir corriente electrica; digamosque su generador esta controlado y produce una senal devoltaje de 60 volts con una frecuencia de 60 ciclos por segundo.Pero tambien imagine que una segunda persona tiene ungenerador de voltaje de 70 volts tambien con una frecuencia de60 ciclos por segundo, pero que no esta sincronizado con elsuyo de manera que esta adelantada 30 grados respecto a lasuya. ¿Que pasara cuando usted y esa persona se conecten aun mismo cableado electrico? ¿La senal resultante como sera?¿Que amplitud tendra? ¿Como estara de defasada respecto a lasuya? Los numeros complejos sirven para cuantificar esto.
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Visiones alternativas
Veremos a los numeros complejos desde dos puntos de vista:• Desde el punto de vista algebraico:
• Como parejas ordenadas: notacion cartesiana• Como un binomio
• Desde el punto de vista geometrico
Se suponen conocidas las propiedades de los numeros reales
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Vision algebraica
Los numeros complejos se pueden definir como paresordenados de numeros reales z = (a, b). A esta notacion depar ordenado se le conoce como la notacion Cartesiana delnumero complejo z .
• Los numeros (a, 0) se suelen identificar como los numerosreales.
• Los numeros (0, b) se suelen llamar como imaginariospuros.
• Se dice que a (la primera componente del par ordenado)es la parte real de z , y b (la segunda componente) es laparte imaginaria de z . Los nombres de las funcionesmatematicas para ello son:
a = Re(z) b = Im(z)
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Igualdad entre numeroscomplejos
Sean z1 = (a1, b1) y z2 = (a2, b2) dos numeros complejos.Diremos que z1 es igual a z2, representado como z1 = z2, si ysolo si a1 = a2 y b1 = b2. Es decir, dos complejos son iguales siy solo si sus partes reales e imaginarias son iguales.
Ejemplo Determine los valores de a y de b para quez1 = (2 a + b, b − 1) sea igual a z2 = (a + 3 b + 1, a + 3 b).De la definicion se requiere que
2 a + b = a + 3 b + 1b − 1 = a + 3 b
de allı que
{a = 0b = −1/2
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Sean z1 = (a1, b1) y z2 = (a2, b2) dos numeros complejos.
• La suma de z1 y z2, z1 + z2, es el numero complejo
z1 + z2 = (a1 + a2, b2 + b2)
Es decir, la suma se obtiene sumando por separado suspartes reales e imaginarias.Ejemplo: Si z1 = (3, 4) y z2 = (−2, 5), entonces
z1 + z2 = (3− 2, 4 + 5) = (1, 9)
• La resta de z2 a z1, z1 − z2 es el numero complejo
z1 − z2 = (a1 − a2, b2 − b2)
Ejemplo: Si z1 = (3, 4) y z2 = (−2, 5), entonces
z1 − z2 = (3− (−2), 4− (5)) = (5,−1)
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Sean z1 = (a1, b1) y z2 = (a2, b2) dos numeros complejos. Lamutiplicacion de z1 con z2 es el numero complejo
Los complejos como una extension de losnumeros realesDe la definicion de las operaciones observamos que:
• (x , 0) + (y , 0) = (x + y , 0)
• (x , 0) · (y , 0) = (x · y , 0)
• (1, 0) · (x , y) = (x , y)
Ası, el sistema de los numeros complejos es una extensionnatural de los numeros reales si pensamos que el numero (x , 0)es el numero real x . Donde el numero (1, 0) se comporta comola identidad multiplicativa.
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Como (y , 0) · (0, 1) = (0, y), entonces:
(x , y) = (x , 0) + (y , 0) · (0, 1)
Si denotamos a (0, 1) como el sımbolo i y a los numeros de laforma (a, 0) como simplemente a, entonces podemos reescribiral numero complejo z = (x , y) en la forma
z = (x , y) = x + y i
A esta notacion se le conoce como notacion Binomica oAlgebraica. Con ello tenemos la relacion mas importante sobrelos complejos:
Para potencias negativas el truco es que 1 = −i2 = (−i) · i. Portanto, i−1 = −i. Es decir, el inverso multiplicativo de i es -i.
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Si usted conoce la funcion mod (El residuo de la divisionentera): Entonces
in = ir donde r = nmod 4
a) Como 13 mod 4 = 1, q = (13− 1)/4 = 3, ası
i13 = i4·3+1 = i4·3 · i1 =(i4)3 · i = 1 · i = i
b) Como 20 mod 4 = 0, q = (20− 0)/4 = 5, ası
i20 =(i4)5 · i0 = 1
c) Como 23 mod 4 = 3, q = (23− 3)/4 = 5, ası
i23 =(i4)5 · i3 = −i
d) Como −7 mod 4 = 1, q = (−7− 1)/4 = −2, ası
i−7 =(i4)−2 · i1 = i
e) Como −17 mod 4 = 3, q = (−17− 3)/4 = −5, ası
i−17 =(i4)−5 · i3 = −i
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Note que
• para hacer
(x + y i) · (a + b i) = (x · a− y · b) + (x · b + y · a) i
se requieren 4 multiplicaciones y 2 sumas/restas: es decir,6 operaciones para un producto.
• para obtener
(x + y i)−1 =x
x2 + y2− y
x2 + y2i
se requieren 2 multiplicaciones, 1 suma y 2 divisiones: esdecir, 5 operaciones para un inverso multiplicativo.
• para calcular
a + b i
x + y i=
a · x + b · yx2 + y2
+b · x − a · yx2 + y2
i
se requieren 6 productos, 3 sumas/restas y 2 divisiones; esdecir, 11 operaciones aritmeticas para una division.
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Considere el numero complejo z = x + y i. Se define el modulode z como:
|z | =√
x2 + y2
En terminos geometricos, el modulo de z es la distancia desdeel punto z = (x , y) al origen. El conjugado de z es el numerocomplejo:
z = x − y i
Ejemplo:Dado z = 2− 3 i obtenga su conjugado z , su modulo |z | y elmodulo de su conjugado.
z = Re(z)− Im(z) i = (2)− (−3) i = 2 + 3 i
|z | =√
(2)2 + (−3)2 =√
4 + 9 =√
13
|z | =√
(2)2 + (3)2 =√
4 + 9 =√
13
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Propiedades del modulo y del conjugado de un numerocomplejo:
• El conjugado de una suma (o resta) es la suma (o resta)de los conjugados: z1 ± z2 = z1 ± z2• El conjugado de un producto es el producto de los
conjugados: z1 · z2 = z1 · z2• El conjugado de una division es la division de los
conjugados:(z1z2
)= z1
z2
• El modulo de un producto es el producto de los modulos:|z1 · z2| = |z1| · |z2|• El modulo de una division es la division de los modulos∣∣∣ z1z2 ∣∣∣ = |z1|
|z2|
• z · z = |z |2
• |z1 ± z2| ≤ |z1|+ |z2|• |z1 ± z2| ≥ ||z1| − |z2||• Re z = z+z
2 y Im z = z−z2 i
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El plano complejo
Es comun representar a los numeros complejos graficamente enun plano llamado el plano complejo o tambien conocido comoPlano de Gauss. Esto es identico a una representacioncartesiana tradicional cuya diferencia es que al eje y se le llamael eje imaginario y al eje x se le llama el eje real:
z = x + y i
xO
y
−y
|z |Eje real
Eje imaginario
z = x − y i
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EjemploRelacione los siguientes numeros complejos con suscorrespondientes representaciones el el plano complejo:
(a) 2 + 1 i (b) −2− i(c) −2 + i (d) 2 i(e) −2
A
B
C
D
E
F
H
I
K L
M
N
o
Cuadrante 1
Cuadrante 4
Cuadrante 2
Cuadrante 3
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EjemploRelacione los siguientes numeros complejos con suscorrespondientes representaciones el el plano complejo:
(a) 2 + 1 i→ H (b) −2− i→ A(c) −2 + i→ C (d) 2 i→ N(e) −2→ K
A
B
C
D
E
F
H
I
K L
M
N
o
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Cuadrante 4
Cuadrante 2
Cuadrante 3
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Suma como vectores
Si los numeros complejos se piensan como vectores, la suma denumeros complejos coincide con la suma de vectores que seobtiene por la regla del paralelogramo.
8 + 6 i
5 + 2 i
3 + 4 i
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Para hacer la suma z = z1 + z2 + z3 + z4 se trasladan losvectores a las puntas de los resultados: z2 a la punta de z1; z3a la punta de z1 + z2; y z4 a la punta de (z1 + z2) + z3
O
z1
z2
z3
z4
O
z1
z2z3
z4
z
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Cuidado con la propiedad del modulo de una suma! El modulode la suma no rebasa la suma de los modulos.
|z1 + z2| ≤ |z1|+ |z2|
O
|z1|
|z2|
|z1 + z2|
|z1| + |z2|
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Notacion matricial para un numero complejoPara a y b reales, el conjunto C de todas las matrices de laforma:
za,b =
[a b−b a
]= a ·
[1 00 1
]+ b ·
[0 1−1 0
]Cumplen las propiedades de los numeros complejos:• za1,b1 + za2,b2 ∈ C , za1,b1 · za2,b2 ∈ C
za1,b1 · (za2,b2 · za3,b3) = (za1,b1 · za2,b2) · za3,b3• z0,0 es el cero: z0,0 + za,b = za,b
z1,0 es el uno: z1,0 · za,b = za,b• Los reales son de la forma za,0; los complejos puros son de
la forma z0,b• z0,1 es i: z0,1 · z0,1 = z−1,0
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¿Que se puede obtener conel producto de numeros
complejos?
Considere dos vectores con tres componentes pero el plano xy :u =< a, b, 0 > y v =< c , d , 0 >. Suponga que u se convierteen el complejo z1 = a + b i y que v se convierte en z2 = c + d i.Si hacemos z1 · z2 obtenemos:
z1 · z2 = (a · c + b · d) + (a · d − b · c) i
Por otro lado
u • v = a · c + b · d y u× v =< 0, 0, a · d − b · c >
Es decir, que el producto adecuado de dos complejos dasimultaneamente un producto punto y un producto cruz de dosvectores.