- Módlulo15 OBJETIVOSESPECIFiCaS " Al terminar, de'estudiar este mÓdulo, el alumno: " 1. Identificará ~os e(emehtos pe un triángulo. 2.' Deducirá el "teorema de los senos". 3.' 'ResqlveráuQ triángulo rectán!~ulodado utilizando Ié.!s expresiones tri- gonom~tricas qu~ relacionar:' a dos de los eJe'mentos con~)Cidos y a . uno de los,descónocldos., EsaUEMJ~ - RESUMEN ~, 255. . , []3mentos . de un \ . triángulo. y' - Resolución r 'leorema de :.. Funciones ....... do los F triángu.los F circulares. SEnos. rectángLi los. .. - \
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- Módlulo15
OBJETIVOSESPECIFiCaS"
Al terminar, de'estudiar este mÓdulo, el alumno: "
1. Identificará ~ose(emehtos pe un triángulo.2.' Deducirá el "teorema de los senos".3.' 'ResqlveráuQ triángulo rectán!~ulodado utilizando Ié.!sexpresiones tri-
gonom~tricas qu~ relacionar:' a dos de los eJe'mentos con~)Cidos y a. uno de los,descónocldos.,
EsaUEMJ~- RESUMEN
~,
255.
. ,
[]3mentos. de un\
. triángulo.
y'-
Resoluciónr'leorema de:..Funciones .......do los F
triángu.losF
circulares.SEnos.
rectángLi los.. . -\
15.' APLlCACION DE LAS' FUNCIONESCIRCULARESÁ LARESOLUCIONDE TRIANGULOS.
Elemento$deun triánglilo~
Ahora veremos cómo las funciones circulare~ puedenaplicarse a la resolución de triángulos. 'Es convenienterecordar que un triángulo tiene 6 elementos: tres lados.ytres ángulos, y que resolver un .triángulo consiste en cal-cular tres' de los elementos cuando. se conocen los otrostres, siempre que' por lo menos uno de ell,os sea un lado:
Consideraremó~ algunos teoremas utilizados en la re-solución de triángulos y aceptaremos que un triángulopuede resolverse cuando se conocen:
1)2)3)4)
Dos ángulos y un lado.Dos lados y 'el ángulo comprendido.Los tres, lados. . ' .Dos lados y el ángulo opuesto' a unq de ellos (eneste caso. pueden existir hasta dos soluciones).
15.1TEOREMADELOSSENOS. ,
Está cpnvenido representar los áng~los de un trián-gülo ABC cualquiera, por a, {J,'1," respectivamente alos lados opuestos a, b, y c. (Figura 1).
B C
Dibujemos un triángulo en un sistéma de coordena-das rectangul"ares, de manera que el ángulo a esté enposición normal (Ver Fjgura 2). Como ya sabe las c;;oor-denadas de. B son (c "C05a, c sen a).
256
A' , , "'C B.b , c
Figura 1I
v
B ..~, 1"
IIl.II
h'lI ,II
'.
e
t.
En este caso, ,'Ia altura h d~1 triángulo es csen a;o sea h =.C sena y el. área' del triángulo está dada por
A =¡, (base}-(altura),y sustituyendo se tiene que
A . - b
(Figura 2)
(1)
x
o sea que el área.de un triángulo es igual a .Iamitad Baseporladel producto de dos lados por el seno del ángulo que alturasobredos.
, forman. Asimismo, en términos de a, e y el ángulo queforma (JJ).
1A =' '2 a e sen~
y en términos d~ a, b y el ángulo que forma (1).
1A = '2 a b sen')'
Si igualamos las expresiones I (1r y (2) se tiene que:
1 1'2 . be sena = 2" ac sen(3
b sena = asen {3
\
..(2)
(3)
. 257
Triángulorectánguloesel que tiQne .
unánQulorecto.
258.
de do!) dea
sen~ =b
se~ (4)
De la misma manera, si igualamos las expresiQnes(2) Y (3 ).
, , ,
11'
2" ac sen(3 = 2" ab sen-y ;, b e
()aSl que ~. = -- 5sen fJ sen 'Y
Las ecuaciones obtenidas en (4~ y (5) se les llama elteorema de los senos.
,1, -da = ~ = ~ I
. ' 15..2 RE~O(UCION'DE TRIANGULpS'REf;TANGULOS.
1y
.B
A
a
b , e
(Figura 3)
De la. Figura 3' ten~mos q~~:
si 'Y = 90°, entoncE:s (6), se reduce a: .
a b esen~ = sen(3 = ., de dORde
asen ~ ==e; sen(3= ~e
(6)
I
, ,rX
(7)
l.
e o' oomo a, + {3 + 'r = 180 Y.'Y= 9~ entonces
'Y+ (3= 90° ó a = 90° -f3así que'
cosa = (900'-{3)= cos 90° cos(3-+ .sen ,90° sen{3
, = sen{3cosa = sentJ '
Dadoque cosoa = sen (j ~ cosoabc
, . sen a,c a "
de (7) V (8) se obtiene tgcX= ---;;; = -b= -
b ' cosa =r..0(9)COS\A ' .c
De acuerdo con (7), (8), (9) Y Figura ~, podemos, afirmar que en todo tr:iángÜlo rectángulo ACB, con° .
'Y= 90, que
cateto opuesto á asen a = hipotenusa
cateto adyacente á acos a = hip-otenusa,
cateto opuesto á ,atg a = cateto adyacente á a
cateto adyacente á acot a = . cateto opuest,o á a
hipotenusasec a = cateto' adyacente á a
h ipo'tenu saese a = cateto opuesto á a
I
. Estas expresiones sqlo' son válidas cuando el triángu-lo es rectángulo., Al resolver un triángul() rectángulo, esconvéniente hacer un dibujo d,el mismo, de preferencia aescala, encerrar en círculos los elementos dados, escribir.las expresiones trigonométricas que relacionan 'a 2 de los
\ ~Iementos conocidos y a 1 'de los' desconocidos, V resol-ver para el elemento no conocido.' Este procedimientd seilustra .con 'loS'.siQuienteseJemplos.
Ejemplo 1:
Resuelva el triángulo, rectángulo ACB,si e = 8,'Q =50°
Solución:
Debemosdibujareltriángulo.
. rectángulo.
~..
259
Tracemos el triángulo rectángulo ACB (Figura 4) yencerremos/os datos en círculos:
8'
a
A {lc.b
(Figura4)
Puesto que. O::+ " = 900, entqnces {3= ~Oo
. '. Una función trigonométrica que relaciona los Idos \
elementos conosidos O::y e con el elemento no conocidoa, es
..
8
sen a =, ;;-
De donde a = e S8na
: y 'la f~nción ,trigon9métrica que. relaciona a, e y b, es
COIa = ,~e
De donde ¡ b = e cos a
/ .
Sustituyendo valores numéricos en (10) y (11), setiene que
a = 8 sen 50° = 8 (0.7660)' = 6.128'b = 8 cos 50° =. 8 (Ó.6428) = 5.1424
260
De esta manera hemos resuelto el triángulo rectángulo,luego~
, ' oa = 6.128 Y b = 5.1424 Y f3= 40
En el ejemplo 2 ilustraremos ahora la re$olución deun triángulo ~ectáhgulo, usando las,Tablas de Logaritmos(Tabla 1) y (Tabla IV).;
Ejemplo 2: '-
Resolver el triángulo rectángulo ACB, dadosa = 51, b = 26. '
Solución:
Tracemos el .tri§ngulo ACB (Figura 5) y encerremoslos datos en círculos.
A
B
0.
Figura5
En este caso, da lo mismo cuál de, los dos ángulos' sedetermine primero, así que' > '
{3:;:;.900 - 630 = 270 Y e, a, a, pueden relacionarse con'
,senta.= ~ de donde-e
e = se~a ; sustituyendo valores numéricbs, se tieneque:
. - 51e, = se" 63'" Y tomando logaritmos
log ~ ::;: log 51 - log sen 63°
(Tabla II)
.= 1.7571
e = 51.2400¡
Por tanto,a = 63°, {3= 21° Y e = 51.2400
Ejemplo 3: ,
, .
Un camino tiene una pendiente de 10\ ¿cuántoasciende el camino por c'ada kilómetro?' (figura 6). .
~
F~~. 6
Así se tiene que o xsen 10 = ---:¡ooo
De donde:
x = 1000 sen 10°
= ~OOO -(0.1736)
= 173.6
Respuesta~, 1~3.6metro~ por kilómetro.
REACTIVOSDE AUTOEVALUACION
En los problemas del 1 al 7, determinar los angulos y lados n'o cono-cidos pa'ra los cuales se tiene en cada caso r = 90°. ' '
8. Una escalera de 15 metros esta apoyada en una 'casa de manera queforma un angula de 70° con la hd.rizQntal. ¿A qué altura esta elextremo ,superior de la escalerá? '
9. Un parque rectangular mide 30 por 270 metros. Determinar la ,longi-tud de ladiagonal y el angula que ésta forma con el lado -mayor.
10. Una antena de televisión está sosten'ida por tres tirantes de acerosujetos, a anclas situadas a 70 metro~ de !a base e igualmente espacia-das alrededor de ella. Encuentre el angula que Torma cada ,tirante conel piso y léJlongitud del mismo, si sus anclas están respectivamente a70,100 y 125 metros de al1ur'dsobre el',suelo.
263
1. ' a = 48.620; b/ = 37.640
2. e = 84.725; = 41°42'
3. a = 240;, ex= '35° 20'
4. e = 5.430 (j = 25° 17'
5. b = 3572; e = 4846
6. a , 32 ex= 17°
,7. a = 37.9; b = 57.3
11. Sabiendo que el ángulo de elevación o el ángulo de depresiÓn de unobjeto desde el punto de vista de un observador, es -el ángulo en elplano vertical del objeto que forman la horizontal y la visual al obje-to, encuentre la altura de un' árbol si un observador está a 25 metrosde su ~ase y ~I ángulo de elevación es de 30°. (Figura 7).
Horizontal
ángulo depresión
'"
Figura 7
264
Mó~ulo' 16
o ~JETIVOS ESPECI FI COS
Al terminar de estudiar este módúlo, el alumno: -
1. Deducirá el "teorema de los cosenos".2. Resolverá un triángulo oblicuángulo dado aplicando los teoremas de
los senos V de los cosenos.3. Deduc.irá el "primer teore.ma de las tangentes".4. . Aplicará el primer teorema de las tangentes a la resolución de un
triángulo cualquiera.
. ESQUEMA. - RESUMEN
265
Funcionescirculares.
Elementos de .un triángulo.(Módulo 15).
Teorema delos senos(Módulo 15).
,¡. ,,, ,
I Teorema .delos cosenos.
J.
Pri me r teorema Resolución dede. las un triángulo-ro
tangen teso cualqu ¡era.
Si conocemosdoslados-de un
triánguloy elángulocomprendido
I entreellos,entonces.. .
Aquíaplicamos.,ladistanciae~tredospunto~.
266
16.1 TEOREMADE LOSCOSENOS.
Cuando se conocen dos lados de un triángulo y elángulo c'omp!endido, el triángulo no puede resolverse por'el Teorema de los senos.
Supongamos que se conocen b, e, ya, si colocamosel triángulo .ABC e.n un sistema de coordenadas cartesia-nas de manera que el ángulo a esté 'en 'posición normal y,AC coincida con el sentido positivo del eje X, 'entonces.las coordenadas de B son' (e cosa; e sena) (Figura 1).
y
B (e cos a,e sen a)(
C (b,o) X'b
F¡gura 1
Usando la fórmu la de la distancia entre dos puntosencontramos BC, luego:
. _2 'a2 =. BC = (e eosa bp + (e sena '- O)2
= b2 + e2 (sen2a -+. eos2 a) - 2be cosa,
I a2 = b2 + e2 - 2 ~ e cosa I
Esta última éxpres'ión se conoce con el nGmbre de.Teoremade los Cosenos.
Cuando se conocen a, e, y {3, se puede escribir elTeorema de los eosenos como :'
I b2 = ~2 +.e2 -' 2 ae eos{3 '\/.
y si conocemos a, b y "Y , como:
I e2 ~ a2 +. b2 - 2 a b ,cos"Y .,
16.1.1 SOLUCIONDE"TRIANGUlOS OBLlCUANGUtOS.
Triángulo oblicuángulo es aquél que no tiene ningún"ángulo recto. Enuri triángulo oblicuángulo los 3 ángulosspn menores de 900, o uno de ellos es mayor de 90° ymenor de 1800. Resolver~mos algunos triángulos aplican'-do los Teoremas de,los 'Senos y de I,osCoseno~=,'
Ejemplo '1 : ,
Resolver. el' triángulo ASC dados
a: = 25?I {3 = 500,,' e = 57
Conocido r I podemos apl¡cal' el. TBorema de los$en<?s para encontrar a, b.
Ahora utilizaremos el \ Teorema de ',los.Senos para.encontrar a :
~I!!e sen'Ya e
°, - a sen 'Y' - - 130 S8n 28
sena - f; - 121.64
sen a = 0..50175
, así que {3= 1800- (~ + 'Y)= 180° - 58° 7'
(3 = 1210 53'
1
Para facilitar el cálculo con lógaritmos cuando se Tambiénesdan dos lados y el éngulo comprendido, 'podemos utilizar útil emplearel Primer T~orema de las Tangentes, ya que el uso del otro teorema.Teo\rema de los Cosenos es más 'laborioso.
16.2PRIMERTEOR~MADElAS TANGENTES.I
Del Teorema de los senos, para un triángulo cual-quiera tenemos que:
a b
~enex = sen/3
entonces
, sen a asen{j = b
Sumando 1 a ambos miembros de (2) se tiene:
1 + sen a - asen{3 - b + 1
sen a:+sen (3sen {3
= a +bb
Restaodo 1 a ambos miembros de (2), t~nemos:
sen a - 1 '= ~. - 1 .sen {3.. b
sena - 5en(3 a - bsen(3 =---¡;-
Dividiendo (4) entre (3) ,
sen a - sen (3 _. a - b, sena + sen íJ - a:J=""'b
(1)
(2)
. (3)
(4)
Usando las expresionés para la conversi~n de sumasa producto, tenemos:
crliJ 0:-/32 COI 2 sen 2 a-b
odi;- .!!:iL = a +b2 sen -COI2 2
269
270
a+(3 'a-(3 a - bcot ~ tg ~ :=--aTb
a+(3 1 '.y como. '(:ot~ ,= a+R tenémos finalmente.tg-
2
tg! (a. - (3).2
tg ~ (a + In
. a - b'a +b
Teorema de
las Tangentes
Observe 'que ex(ste en est~ expresiÓn l,ma rélación ,entreIOSváng.ulosy sus rados opuestos, así:
1tg "2 h - a),
1tg 2" h + a)
e - a;+;
Las restafJtes rel~ciones las puede obtener de; la mis- '
. ma manera, en caso necesarro.
16.3 RESOLUCIONDE TRIANGULOS CUALESQUIERA
Ejemplo 3:
ResGlver e'l. triángu¡'o ABC si a = 16; b = 26, e ~ 34.
.Solución:
Este' ejemplo se r.esuelve apl¡cando ei Teorema deI
los Cosenos, como sigue:
a2 =.( 16)2 = 256'. b2 = (26)2 = 676
e2. = (34)2 = 1156
2 ab = 8322 ae == 1088
. 2 be = 1768
cosa == b2 + e2 - .a22 be . 0.8914 => a = 27°
cos{J= ~e2 - b2 = 0.2353 => (3 = 47° 26'
= -02692 => 'Y = 105° 37'
"
a + (3 + "Y == 1800 3'
Ejempl O ~:
Resolver el triángulo ASC dados:
.~a = 66, ~ = .28, "Y = 47°
Solución:
Utilizamos, el 'Primer Teorema deflas Tangentes.
Tenemos que a + (3 = 1800'- 470 '= 1330
como
1tu 2" (a - (3)
1 =, ~tg 2. (a+(3~' a + b entonces
1tg 2" '(a -, (3) . a -:-'b tg ~' (a + (3)
=
Tomand.o I.ogaritmos
1log tg '2, (a - (3)
. . . 1=I~ (a-b) - log (a+ b) + log tg '2 (a + (3)
= (lag 38 -Io~ 94) + log tg 660 30'
= 1.5798 - 1.9731 + 0.3617
= 0.0315
= 1.968~
1 I o''2 ,a - (3) = 42 55'
resolvemos el sistema ,para a y (3, obten ¡endo
a = 109° 25' Y (3= 230 35'
Para.encontrar e,..utilizamos el TeQrema de los Senos,
eI sen"Y I
a
sena
l.
271
272
asen 'Ye = sena:
- 66 sen 47°-:- o-
sen 109 45'
;romando logaritmos' se tiene:
) ,
= 1.8195 + 1.8641 - 1.9737
, o o109 e = 109 66 + 109 sen, 47 - log sen l09 ',2!?'
.= ,1.7099
e = 51.27
Ejemplo '5:
Determinar los dos triángulos que se forman dados
a ==60, b:;:: 75, a: :;:: 440
Solución:
En este ejemplo existe la posibil ¡dad de dos solucio-nes puesto que sen (1800~) = senIJ. ;' es d¡ecir, que -alapliearlel Teorema de los Se!10sy .resolverrespecto a IJI
quedan determinados dos valores, y- para cada uno deellos-existen valores correspondientes de. 'Y Y c. ,De esta'manera, hay dos. soluciones distintas como se, muestra enlas Figuras 2 y3. ' ,
A
Figura.2
e
B
e
A
\
Figur'.. 3
Se enc~entra(J
sen~ - sena~~-;-
de 'c!arde sen 13 =b sen Q
a.
log sen (3 '=-,log b + log sen tY ~. log' a
== log 75 + log sen 44.:) - log 60
=='1.8751 + 1.8418 + (1.7782)
= -0.613
:::- 1.9,387
{3 = 600 16' Ó P '-=:119044'1 2
Así que: 'Y' :=:: 1800 - (ex + (3 ) :=:: 1800 - (440 + 60° 16') .1 1
'Y "" 75° 44'1 .
273
Ahora' encontraremos c1 'y C2 usando el Teorema de losSen os.
e = 11 len 11, 1 sena
Tomando Jogaritmos
lag e = 101 a + 109 sen 1 - lag sen a1 1
= 101 60 + 101'sen 75° 44' - 101 sen 44°- -
= 1.7782,+ 1.9864 - 1.8418 .
= 1.9228
e = 83~71 .1 ' '
Asimismo e . = a .en 122 len a
,
= 101 60 + Iog sen 16° 16' - lag sen 44°
= 1.7782 + i4473 - 1.8418
= 1.3837
e = 24.192
Este caso recibe el nombre d~ "ambiguo", en virtudde. que puede haber 2 soluciones, una o 'ninguna.
Veamos las posibil idades que se presentan cuando seconocen a, b, ya, siendo a< 90°. Para ello, nos auxilia-mos de jas 3 figuras 4a, 4b y 4c, mostradas en la siguien-te página
Estas figuras se han trazado en la forma que seindica:
274
1), Se traza una línea horizontat, en donde quedará ellado c.
, '
2) A 'partir de la línea horizontal, se mide el ángulo ay sobre el lado terminal del ángulo a 'se mide el,lado b. -
I 3) Haciendo centro en c, y con radio igual a la longi-',tud ,del lado a, el radio a cortará o no cortará I~línea 'horizontal para definir el triángulo, de acuerdoco,! Losvalores'numéricos de a, b, a.~ '
En este análisis -se presentan los casos siguientes:
1) a < b, sen a no -hay soluciÓn,. (Figu ra 4a).11)a = b sen a," se forma un triángulo rectángulQ.(Figura4b).
1-11)b sena < a-< b hay dos soluciones. (Figu-ra 4c)., IV) a ~ b ha'y una solución. ,(Figura, 5).
e e e
l
á
A A '- Aa b
Figura 4 '
e,
AAa=b a > b
Por otra parte, cuando se conocen a, b, y o: siendo0:> 90°, 'se presentan 2 casos:
Si a 1; b no hay solLJción. (Figura 6).
a < b
A
a =b
A
. /Figu~a 6
Si b <: a hay. una solución (Figura 7).
b
A
Figura 7
REACTIVOS DE AUTOEVAlUACION-
1. 'En '"ospr-oblemas de la a) a la j) resuelva los triángulos ASC dados:
, a) a = 140
. 'Y = 560 40'; , e = 45
e) 'Y = 1200 10';' ,b = 87.17
276
2. Deter';rÜndf" leS iorig, ,Vi{'~,de ,os ¡?dos de un paralelogramo si .la día-',\ ganal may'or mide'74 n1etrosy for:-1l3con los lados, ángulos,de 16° y
28 o respect.ivamente.
3,, . '
Se va a cOn'struir un túnel a través de IJna monté,3ñadesde A hasta B.Un punto e que es visi'ble desde A y B se encuentra a 390 metros deA y 5$0 metros de B. ¿Cuál es la longitud del tÚllel si el ángulo ACBes de,35~? '
4. Un poste que se aparta 10° de la vertical hacia la región donde está el5'01,proyecta una sombra de 30 metros de longitud, cuando el ángulode elevación del sol es de 40°. Encuentre ra longitu.d del poste.
..
\ '.
277
d) {1 = 15°; 'Y = 52° 50'; b = 8.5
e) a = 6; b':::- 9; 'Y = 45°
f) b = 2-5; e = 18; a 60°
g) {1= 38°: b =19; a = 22-
h) a = 63; b = 90; = 32°
i) a = 3 b = 4; e = 6.1
¡ 1.} a J " \ b :;::: 5; e = 7.45
,-o
,. .Bibliografía paraconsulta
.Trigonome.tría.Fred W..Sparks.
. . Paúl K~ Rees.. .Editoria:1 Heverté ,Mexicana, S. A~