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1. PROBABILIDADES
UNIVERSIDAD NACIONAL DE TUMBESFACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS
ESCUELA ACADMICO PROFESIONAL DE CONTABILIDADRUMBO A LA ACREDITACIN
CICLO IV
CURSO: MATEMTICAS FINANCIERAS Y ACTUARIALES
TRABAJO DE UNIDAD
Presentado por:
FRANKLIN A. GUERRA PERZ
ELLIANA B. RIOFRIO MARTINEZ
LESLI K. VELASQUEZ SILVA
Docente Coordinador:
Apol!"# R$%o Z"p"&".
SEMESTRE '()*+ II
T,-/$ + P/#0
'()*
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La probabilidad y la estadstica son, sin duda, las ramas de las Matemticas
que estn en mayor auge en este siglo, y tienen una tremenda aplicabilidad en
todos los aspectos y ciencias, especialmente en las Ciencias Sociales, puesto que
aquellas variables que influyen en dicas ciencias, econ!micas, demogrficas,suelen tener carcter aleatorio, es decir, no son deterministas, y se fundamentan
en predicciones a partir de datos conocidos" #odo aquello que implique
predicci!n nos lleva al terreno de la probabilidad"
1.1.Experimentos aleatorios
$n todos los aspectos de la vida a veces nos encontramos con acontecimientos
predeterminados, es decir, tales que podemos decir el resultado de dicos
acontecimientos antes de que finalice o incluso de que comience" #al es el caso
de%
&" #irar una piedra desde un edificio 'sabemos que se caer("
)" Calentar un ca*o de agua 'sabemos que la temperatura sube("
+" olpear una pelota 'sabemos que se va a mover, e incluso conociendo
fuer*as que act-an etc", podemos conocer precisamente donde caer("
#ales acontecimientos o e.perimentos de los que podemos predecir el resultado
antes de que se realicen se denominan e.perimentos deterministas"
Sin embargo, analicemos otro tipo de e.perimentos, muco ms interesantes
desde el punto de vista matemtico%
Imaginemos que lan*amos un dado al aire 'normal, de / caras y no trucado("
01odemos predecir el resultado que vamos a obtener2" $videntemente no" $ste
es un e.perimento que no es determinista" 3 este tipo de e.perimentos, en los
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cuales no se puede predecir el resultado antes de reali*ar el e.perimento se les
denomina e.perimentos aleatorios"
Otros e4emplos de e.perimentos aleatorios pueden ser%
#irar una moneda al aire y observar qu5 lado cae acia arriba, rellenar una
quiniela de f-tbol, 4ugar una partida de p!6er y, en general, cualquier 4uego en el
que intervenga el a*ar"
1.2.Definiciones bsicas
La teora de probabilidades se ocupa de asignar un cierto n-mero a cada posible
resultado que pueda ocurrir en un e.perimento aleatorio, con el fin de
cuantificar dicos resultados y saber si un suceso es ms probable que otro o
relaciones parecidas" Con este fin, introduciremos algunas definiciones"
EXPERIMENTO A A!AR
Se dice que un e.perimento aleatorio 'al a*ar( cuando se cumplen las siguientes
condiciones%
a( $l e.perimento se puede repetir indefinidamente ba4o anlogas
condiciones, pudi5ndose obtener resultados distintos en cada prueba"
b( $n cada prueba se obtiene un resultado que pertenece al con4unto de todos
los resultados posibles del e.perimento"
c( 3ntes de reali*ar una nueva prueba del e.perimento no se puede predecir
el resultado que se obtendr"
d( La frecuencia relativa de cada resultado de un e.perimento aleatorio
tiende e.perimentalmente a apro.imarse a un valor fi4o, es decir, aparece
un modelo de regularidad estadstica"
E"emplos:
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Lanzar una moneda al aire.
Abrir un libro al azar y anotar la pgina de la izquierda.
E#PA$IO M%E#TRA
Se llama espacio muestral al con4unto de todos los resultados simples posibles
de un e.perimento aleatorio" $l espacio muestral lo designaremos por E'o bien
por la letra griega 7(" Cada elemento del espacio muestral $ lo llamaremos
punto muestral"
E"emplos&
1.- Lanzar una moneda al aire y anotar los resultados.
E= {cara(c! cruz ("#
$.- Lanzar dos monedas al aire:
E= {cc! c"! "c! ""#
%.- Lanzar dos dados al aire y sumar los n&meros que salen:
E= {$! %! '! ! )! *! +! ,! 1! 11! 1$#
SUCESO ALEATORIO
SUCESO ALEATORIO
$s cualquier subcon4unto del espacio muestral"
E"emplo&
irar un dado un suceso ser/a que saliera par! otro! obtener m<iplo de %! y
otro! sacar .
UN 1ER EJEMPLO COMPLETO
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8na bolsa contiene / bolas, las cuales + son blancas y + negras" Se e.traen
sucesivamente tres bolas" Calcular%
1. $l espacio muestral"$ 9 :'b, b, b(; 'b, b, n(; 'b, n, b(; 'n, b, b(; 'b, n, n(; 'n, b, n(; 'n, n, b(; 'n, n, n( de ellos poseen e.periencia laboral
y ?@ disponen de un ttulo universitario"
0Cul es la probabilidad de que se eli4a a una persona que tenga e.periencia
laboral y un ttulo universitario23 9 e.periencia laboral
= 9 ttulo universitario
3 = 9 &@ 'ya que ?@ A +> 9 B> que sobre pasan en &@ a los /> entrevistados(
1robabilidad '3 =( 9 &@ /> 9 @"&>+D
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1.'. Tambi(n tenemos al)*nas re)las&
1. REGLA GENERAL DE LA ADICIN DE PROBABILIDADES PARA
EVENTOS NO MUTUAMENTE EXCLUYENTES
Si 3 y = son dos eventos no mutuamente e.cluyentes 'eventos intersecantes(, es
decir, de modo que ocurra 3 o bien = o ambos a la ve* 'al mismo tiempo(,
entonces se aplica la siguiente regla para calcular dica probabilidad%
$n donde%
$l conectivo l!gico EoF corresponde a la Euni!nF en la teora de con4untos 'o 9
("
$l conectivo EyF corresponde a la Eintersecci!nF en la teora de con4untos 'y 9
("
$l espacio muestral 'S( corresponde al con4unto universo en la teora de
con4untos"
E"emplo& 0ea Ael suceso de sacar un As de una baraa estndar de $ cartas y
2 sacar una carta con coraz3n roo. 4alcular la probabilidad de sacar un As o
un coraz3n roo o ambos en una sola e"tracci3n.
Soluci!n%
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3 y = son sucesos no mutuamente e.cluyentes porque puede sacarse el as de
cora*!n ro4o" Las probabilidades son%
Geempla*ando los anteriores valores en la regla general de la adici!n de
probabilidades para eventos no mutuamente e.cluyentes se obtiene%
REGLA PARTICULAR O ESPECIAL DE LA ADICIN DE
PROBABILIDADES PARA EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES
Si 3 y = son dos eventos mutuamente e.cluyentes 'eventos no intersecantes(, es
decir, si la ocurrencia de cualquiera de ellos e.cluye la del otro, no pueden
ocurrir a la ve*, o cuando no tienen ning-n punto muestral en com-n 3 = 9 ,
entonces se aplica la siguiente regla para calcular dica probabilidad%
$n donde%
$l conectivo l!gico EoF corresponde a la Euni!nF en la teora de con4untos 'o 9
("
$l espacio muestral 'S( corresponde al con4unto universo en la teora de
con4untos"
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E"emplo: En una urna e"iste 1 bolas numeradas del 1 al 1. 56u7
probabilidad e"iste de sacar en una sola e"tracci3n una bola enumerada con un
n&mero impar o con un n&mero m<iplo de '8
Soluci!n%
$spacio muestral 9 S 9 :&, ), +, ?, >, /, B, D, H, &@
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b( 0Cul es la probabilidad de elegir al a*ar un C1C con doctorado o
diplomado2
c( 0Cul es la probabilidad de elegir al a*ar un C1C con maestra o
doctorado2d( 0Cul es la probabilidad de elegir al a*ar un C1C con alguna de las +
especialidades2
Soluci!n%
3 9 :.. C1C con iplomado
H >H
/@Maestra
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c( =C 9 :.. . = J . C
1'3=C( 9 )>/@ A &D/@ A )D/@ A >/@ K &?/@ K //@ K &@/@
1'3=C( 9 )+)@ 9 @"BB BB
)" $n un grupo de >@ C1C, )@ laboran en el sector p-blico, )> en el sector
privado, &D de manera independiente" 3dems &@ laboran en el sector
p-blico y privado, D laboran en el sector p-blico y de manera
independiente, / laboran en el sector privado y de manera independiente"
) laboran en el sector p-blico, en el sector privado y de manera
independiente"
e( 0Cul es la probabilidad de elegir al a*ar un C1C del sector p-blico o
privado2
f( 0Cul es la probabilidad de elegir al a*ar un C1C del sector p-blico o
labora de manera independiente2
g( 0Cul es la probabilidad de elegir al a*ar un C1C del sector privado o
labora de manera independiente2
( 0Cul es la probabilidad de elegir al a*ar un C1C del sector p-blico,
sector privado y labora de manera independiente2
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Soluci!n%
3 9 :.. C1C del sector p-blico
C 9 :.. C1C independiente>@ A &D>@ K &/>@
1'3C( 9 +B>@ 9 @"B? B?
( 3=C 9 :.. . 3 J . = J . C
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1'3=C( 9 )@>@ A )>>@ A &D>@ A )>@ K &@>@ K D>@ K />@
1'3=C( 9 ?&>@ 9 @"D) D)
+" $n una empresa se presentaron +@ personas para ocupar las vacantes de
empleo disponibles, de las personas &@ son contadores, &) son
economistas, &D son administradores" 3dems > son contadores y
economistas, / son economistas y administradores, / son contadores y
administradores" ? son contadores, economistas y administradores"
i( 0Cul es la probabilidad de elegir al a*ar un contador o economista2
4( 0Cul es la probabilidad de elegir al a*ar un contador o administrador2
6( 0Cul es la probabilidad de elegir al a*ar un economista o administrador2
l( 0Cul es la probabilidad de elegir al a*ar un contador o economista o
administrador2
Soluci!n%
$conomistas% &)Contadores% &@ >+ &
?
) )
&@
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A = {x/x contadores}; n (A) = 10
B = {x/x economistas}; n (B) = 12
C = {x/x administradores}; n (C)= 1
a) AB = {x/x / x A ! x B}; n(AC) = "
#(AC) = 10/$0 % 12/$0 & "/"0#(AC) = 1'/$0 = 0"' "'
*) AC = {x/x / x A ! x C}; n(AC) = +
#(AC) = 10/$0 % 1/$0 & +/$0#(AC) = 11/1" = 0'$ '$
c) BC = {x/x / x B ! x C}; n(AC) = +
#(AC) = 12/$0 % 1/$0 & +/$0#(AC) = ,/" = 0 0
d) ABC = {x/x / x A ! x B ! x C}; n(ABC) = ,
#(ABC) = 10/$0 % 12/$0 % 1/$0 & "/$0 & +/$0 & +/$0 % ,/$0#(ABC) = -/10 = 0-0 -0
3dministradores% &D +@
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2. PROBABILIDAD CONDICIONAL
&" $n una empresa, el )@ de los traba4adores son mayores de ?> aNos, el D
desempeNa alg-n puesto directivo y el / es mayor de ?> aNos y
desempeNa alg-n puesto directivo"
a( 0u5 porcenta4e de traba4adores tiene ms de ?> aNos y no desempeNa
ning-n cargo directivo2
b( 0u5 porcenta4e de traba4adores no es directivo ni mayor de ?> aNos2
c( Si la empresa tiene &>@ traba4adores, 0cuntos son directivos y no tiene ms
de ?> aNos2
Solucin:
Se tienen las siguientes probabilidades%
1 'mayor de ?> aNos( 9 1'A?>( 9 @,)@ 1'P?>( 9 @,D@
1 'ser directivo( 9 1'( 9 @,@D
1 'ser directivo y mayor de ?> aNos( 9 1 'A?>( 9 @,@/ 1'P?>( 9 @,@)
a) Po la !o"a"ili#a# con#iciona#a $% &i%n%:
1 'irectivo en el supuesto de ser mayor de ?> aNos( 9 1 '?>( 9 '1 '?>((1
'?>( 9 @"@/@")@ 9 @"+@
$n consecuencia%
1'no ser directivo en el supuesto de ser mayor de ?> aNos( 9 1'Qo A?>( 9 & P
1'A?>( 9 & P @,+@ 9 @,B@
1or otra parte%
1 'A?>Qo ( 9 1'A?>( R 1'Qo A?>( 9 @,)@ R @,B@ 9 @,&?
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El 14 ' #% lo$ &a"a(a#o%$ #% %$a %!%$a &i%n% *$ #% 4+ a,o$ - no %$
#i%c&io.
") Coo an&%$:1'irectivo en el supuesto de ser menor de ?> aNos( 9 1'P?> 9 '1'P?>(1'P
?>( 9 @"@)@"D@ 9 @"@)>
Luego%
1'Qo ser directivo en el supuesto de ser menor de ?> aNos( 9 1'Qo P?>( 9 & P
@,@)> 9 @,HB>
1or tanto%
1'Qo ?>( 9 1'P?>Qo ( 9 1'P?>( R 1'Qo P?>( 9 @,D@ R @,HB> 9 @,BD
El /0 ' #% lo$ &a"a(a#o%$ #% %$a %!%$a &i%n% %no$ #% 4+ a,o$ - no %$
#i%c&io.
c) Si la %!%$a &i%n% 1+ &a"a(a#o%$ coo PD4+) 5 2 6a"7a
1+ 8 2 5 3 #i%c&io$ con no *$ #% 4+ a,o$.
)" $n el departamento de lcteos de un supermercado se encuentran
me*clados y a la venta &@@ yogures de la marca 3, /@ de la marca = y ?@
de la marca C" La probabilidad de que un yogur est5 caducado es @,@&
para la marca 3; @,@) para la marca = y @,@+ para la marca C" 8n
comprador elige un yogur al a*ar"
a 4alcular la probabilidad de que el yogur est7 caducado.
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b 0abiendo que el yogur elegido est caducado! 5cul es la probabilidad de
que sea de la marca 28
Solucin:Con los datos del problema se puede construir la siguiente tabla"
Marca 3 Marca = Marca C #otal-mero &@@ /@ ?@ )@@
1robabilidad de estar
caducado @ @& @ @) @ @+Q-mero esperado de
R 9 R 9 R 9
Con esto, y como puede leerse directamente en la tabla%
a) 1'un yogur est5 caducado( 9 1'marca 3(1'caducadomarca 3( A
1'marca =(1'caducadomarca =( A 1'marca C(1'caducadomarca C(
1'un yogur est5 caducado( 9 &@@)@@@"@& A /@)@@@"@) A ?@)@@@"@+ 9
+"/)@@ 9 @"@&D
") 1'marca=cadudado( 9 '1'marca=(1'caducadomarca=((1'caducado( 9
'/@)@@@"@)('+"/)@@( 9 &")+"/ 9 &+ 9 @"++
+" $l estudio sobre los cr5ditos concedidos por un banco multinacional el
pasado aNo revela que el ?) de dicos cr5ditos se a concedido a
clientes espaNoles, el ++ a clientes del resto de la 8ni!n $uropea y el )>
a clientes del resto del mundo" e esos cr5ditos, los cr5ditos
ipotecarios suponen, respectivamente, el +@ , el )? y el &? "
$legido un cliente al a*ar que a recibido un cr5dito, 0cul es la
probabilidad de que el cr5dito concedido no sea ipotecario2
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Solucin:
Si se denota por $S, 8$ y GM los sucesos Ecliente espaNolF, Edel resto de la8ni!n $uropeaF
y Edel resto del mundoF, respectivamente; y por T el suceso Eel cr5dito es
ipotecarioF se tiene%
1'$S( 9 @,?); 1'8$( 9 @,++; 1'GM( 9 @,)>
#enemos tambi5n las siguientes probabilidades condicionadas%
1'T$S( 9 @,+@; 1'T8$( 9 @,)?; 1'TGM( 9 @,&?
Con esto%
1'T( 9 1'$S( R 1'T$S( A 1'8$( R 1'T8$( A 1'GM( R 1'TGM( 9 @,?) R @,+@ A
@,++ R @,)? A @,)> R @,&? 9 @,)?@)
$n consecuencia, la probabilidad de que el cr5dito concedido no sea ipotecario
es%
1'Qo T( 9 & P 1'T( 9 & P @,)?@) 9 @,B>HD
Qota% 1uede convenir acer un diagrama de rbol como el siguiente"
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1'no T( 9 @,?) R @,B@ A @,++ R @,B/ A @,)> R @,D/ 9 @,B>HD
3. LEY DE MULTIPILCACION
1. 9n lote contiene $ art/culos de los cuales 1$ son deectuosos y +
no deectuosos son inspeccionados uno por uno. 0i los art/culos
son seleccionados al azar sin reempla+amiento! calcular la
probabilidad de que:
a Los primeros dos art/culos sean deectuosos
b Entre los tres primeros art/culos! dos sean buenos
c El tercer art/culo es deectuoso
d 0i se tiene la siguiente regla: se acepta el lote de $ art/culos si al
obser;ar ' art/culos m"imo uno es deectuoso! calcular la probabilidad
de rec
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c" $l evento de inter5s
es y su probabilidad es
#" Como no se reca*a el lote cuando es.ista defectuoso y defectuoso,
entonces
Luego
Geca*ar 3ceptar
4. PROBABILIDAD TOTAL
&" 8na compaNa de transporte p-blico tiene tres lneas en una ciudad,
de forma que el ?> de los autobuses cubre el servicio de la lnea &, el )>
cubre la lnea ) y el +@ cubre el servicio de la lnea +" Se sabe que la
probabilidad de que, diariamente, un autob-s se avere es del ), + y &
respectivamente, para cada lnea"
a( Calcular la probabilidad de que, en un da, un autob-s sufra una avera
b( Calcular la probabilidad de que, en un da, un autob-s no sufra una avera
c( 0e qu5 lnea de transporte es ms probable que un autob-s sufra una avera2
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Solucin:
a( Calcular la probabilidad de que, en un da, un autob-s sufra una avera
$mpleando la f!rmula de probabilidad total se obtiene%
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b( Calcular la probabilidad de que, en un da, un autob-s no sufra una avera
$mpleando la f!rmula de probabilidad total se obtiene%
c( 0e qu5 lnea de transporte es ms probable que un autob-s sufra una avera2
Se debe calcular las tres probabilidades posteriores empleando el #eorema de
=ayes
La probabilidad de que sea de la lnea &, sabiendo que sufre una avera es%
La probabilidad de que sea de la lnea ), sabiendo que sufre una avera es%
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La probabilidad de que sea de la lnea +, sabiendo que sufre una avera es%
$ntonces, sabiendo que el autob-s sufre una avera, lo ms probable es que sea
de la lnea &, ya que esta probabilidad
$. En un saquito @"
") 9%#%% probabilidad del +@
c) Ro(a% probabilidad del )@"
Seg-n el color de la papeleta elegida, podrs participar en diferentes sorteos"
3s, si la papeleta elegida es%
a) Aailla% participas en un sorteo con una probabilidad de ganar del ?@"
") 9%#%% participas en otro sorteo con una probabilidad de ganar del /@
c) Ro(a% participas en un tercer sorteo con una probabilidad de ganar del D@"
Con esta informaci!n, ;u< !o"a"ili#a# &i%n%$ #% =ana %l $o&%o %n %l ;u%
!a&ici!%$>:
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&"P Las tres papeletas forman un sistema completo% sus probabilidades suman
&@@
)"P 3plicamos la f!rmula%
Luego,
1 '=( 9 '@,>@ @,?@( A '@,+@ @,/@( A '@,)@ @,D@( 9 @,>?
1or tanto, la probabilidad de que ganes el sorteo es del >?"
%. Van a cambiar a tu 4efe y se bara4an diversos candidatos%
a) Calo$, con una probabilidad del /@
") Juan, con una probabilidad del +@
c) Lui$, con una probabilidad del &@
$n funci!n de quien sea tu pr!.imo 4efe, la probabilidad de que te suban el
sueldo es la siguiente%
a) Si $al% Calo$:la probabilidad de que te suban el sueldo es del >"
") Si $al% Juan:la probabilidad de que te suban el sueldo es del )@"
c) Si $al% Lui$:la probabilidad de que te suban el sueldo es del /@"
$n definitiva, cu*l %$ la !o"a"ili#a# #% ;u% &% $u"an %l $u%l#o>%
&"P Los tres candidatos forman un sistema completo
)"P 3plicamos la f!rmula%
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1 '=( 9 '@,/@ @,@>( A '@,+@ @,)@(
A '@,&@ @,/@( 9 @,&>
1or tanto, la probabilidad de que tesuban el sueldo es del &>"
1.4 DISTRIBUCIONES PROBABILSTICASA.DISTRIBUCION BINOMIAL
o 0eg&n el inorme del proesor Augusto 2urneo el % de los alumnos
del 'to ciclo de contabilidad desaprueban su curso despu7s de
ara una muestra aleatoria de 1 alumnos:
54ul es la probabilidad de que ninguno salga desaprobado8
54ul es la probabilidad de que ) salgan desaprobados8
54ul es la probabilidad de que a lo ms sean $ desaprobados8
54ul es la probabilidad de que salgan desaprobados entre 1 y %
(?nclusi;e8
,-rm*las a *tili+ar&
>(@ = CxNP
XQ
NX
Datos
N&n&mero de ensayos
P&probabilidad de aprobados
& desaprobados! complemento = (1-
p
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BCE CxN=
N !
X ! (NX)!
/$*l es la probabili0a0 0e *e nin)*no sal)a 0esaproba0o
> ( = C0150.3
00.7
150
C015=
15 !
0 !(150)!=1
> ( = 110.715=0.0047476 = .'*
-Interpretaci-n&>robabilidad de que ninguno salga desaprobado es del.'*
/$*l es la probabili0a0 0e *e 3 sal)an 0esaproba0os
>(' = C6150.3
60.7
156
C615
=
15 !
6 ! (156)!=
> (' = 50050.360.79= .1'*$ = 1'.*$
- Interpretaci-n& >robabilidad de que ) salgan desaprobado es del
1'.*$
/$*l es la probabili0a0 0e *e a lo ms sean 2 0esaproba0os
Para x45
> ( = C0150.3
00.7
150
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C015=
15 !
0 !(150)!=1
> ( = 110.715=0.0047476 = .'*
Para x41
> (1 = C1150.3
10.7
151
C115=
15!
1 !(151)!=15
> (1 = 150.310.714= .% = %.
Para x42
> ($ = C(215)0.320.7152
C2
15= 15!
2 !(152)!= 1
> ($ = 1050.320.713= .,1 = ,.1
Entonces&>( D >(1 D >($ = .'* D %. D ,.1 = 1$.)* apro".
- Interpretaci-n&>robabilidad de que a lo ms $ salgan desaprobado es
del 1$.)*
/$*l es la probabili0a0 0e *e sal)an 0esaproba0os entre 1 6 2
7Incl*si8e9
a tenemos los datos de > (1! > ($! solo basta sumarlos:
> (1 = 150.31
0.714
= .% = %.
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> ($ = 1050.320.713= .,1 = ,.1
Entonces: > (1 D > ($ = %. D ,.1 = 1$.$
- Interpretaci-n&>robabilidad de que salgan desaprobado entre 1 y $ es
del 1$.$
B.DISTRIBUCION DE POISSON
o La probabilidad de que el seFor Gicardo Hlores gane las elecciones
regionales = %(.% = ,
/$*l es la probabili0a0 0e *e )ane : 8otos al enc*estar '555
personas
H (=e995
5! = .)* = ).*
@ = = ,
> = .%
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- Interpretaci-n&La probabilidad de que gane ;otos al encuestar a %
personas es del ).,*
/$*l es la probabili0a0 0e *e )ane 2 8otos
H ($=e992
2! = .', = .',
- Interpretaci-n&La probabilidad de que gane $ ;otos es del .'*
C.DISTRIBUCION NORMAL
o En el e"amen de 4ontabilidad 0uperior la nota promedio ue 1 y la
;arianza $. (=
54ul es la probabilidad de seleccionar al azar un alumno cuya nota
sea que 118
54ul es la probabilidad de seleccionar al azar un alumno cuya nota sea
que 1%.8
#ol*ci-n&
/$*l es la probabili0a0 0e seleccionar al a+ar *n al*mno c*6a nota
sea que 11
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11
x
P (x 11)=P
P (x 11)=P(Z 11105
)
P (x 11)=P(Z 1110
5)
P (x 11 )=P(Z1
5)
P (x 11 )=P(Z 0.2)
P (x 11 )=0.5793
- Interpretaci-n& la probabilidad de seleccionar al azar un alumno cuya
nota sea que 11 es del *.,%
/$*l es la probabili0a0 0e seleccionar al a+ar *n al*mno c*6a nota
sea *e 15.:
10.5
x
P (x 10.5 )=P
P (x 10.5 )=P(Z10.510
6)
P (x 10.5 )=P(Z10.510
6)
P (x 10.5 )=P(Z0.5
5)
P (x 10.5 )=P(Z0.1)
P (x 10.5 )=0.5398
P (x 10.5 )=1P(Z 0.1)
P (x 10.5 )=10.5398
P (x 10.5 )=0.4602
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- Interpretaci-n& la probabilidad de seleccionar al azar un alumno cuya
nota sea que 1. es del ').$
TA;A# DE MORTAIDAD
Tablas 0e Mortali0a0& Antece0entes
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Los registros de mortalidad a los que tena acceso raunt indicaban la causa de
la muerte y el se.o de los difuntos, pero no su edad" raunt registr! la
proporci!n de personas que moran de enfermedades infantiles, aNadiendo la
mitad de las que moran de enfermedades como sarampi!n o viruela, yconcluyendo que +/ de cada &@@ personas moran antes de los / aNos" $sto
proporciona la segunda fila de su tabla de mortalidad" La ip!tesis de que casi
nadie sobreviva a los B/ aNos lo proporciona su -ltima fila"
raunt no e.plica de donde obtuvo las filas intermedias" 8n gran n-mero de
investigadores de an planteado este problema, y algunos an llegado a la
conclusi!n que invent! los datos" Otros 'Tac6ing, &HH>( aventuran la ip!tesis
de que raunt llevo a cabo una interpolaci!n entre los / y los B/ aNos siguiendo
una ley e.ponencial
$l supuesto de una fuer*a de mortalidad constante fue asumido por otros
famosos cientficos, como Uan de itt y Uan Tudde, quienes construyeron tablas
de mortalidad despu5s de raunt" $ste supuesto tuvo gran importancia en los
comien*os de la Matemtica 3ctuarialF"
ELa primera tabla de mortalidad desarrollada de una manera l!gica, la tabla de
mortalidad de Talley, se public! en &/H+ y estaba basada en los registros de
muerte y nacimiento de la ciudad de =reslau durante los aNos de &/DB a &/H&"
1ara la preparaci!n de esta tabla se asumi! que la poblaci!n de =reslau abapermanecido estable 'por e4emplo, que el n-mero completo de la poblaci!n al
igual que la edad y el g5nero no cambiaban en mucas
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d5cadas( y esta suposici!n no era del todo correcta, por lo tanto, la tabla de
mortalidad resultante era imprecisaF"
ELa primera tabla de mortalidad elaborada cientficamente y considerada correcta se
bas! tanto en la informaci!n de la poblaci!n como en la muerte clasificada por edad
siendo elaborada por Milne y publicada en &D&>" $sta tabla de mortalidad se
sustentaba en la e.periencia de mortalidad de dos parcelas en la ciudad de Calisle,
Inglaterra, durante el perodo de &BBH a &BDB"
E8n gran n-mero de tablas de mortalidad an sido publicadas desde entonces" $n los
primeros aNos la mayora de 5stas pertenecan a pases europeos, en particular los
escandinavos, pero oy en da las tablas de mortalidad estn disponibles para casi
todos los pases del mundo y cada continente es igualmente representadoF
Nat*rale+a 6 %so 0e las Tablas 0e Mortali0a0.
8na tabla de mortalidad est diseNada esencialmente para medir la mortalidad, pero
es empleada por una gran variedad de especialistas de distintas maneras" $s utili*a
por proveedores de la salud, dem!grafos, actuarios y en mucos estudios de
longevidad, fertilidad, migraci!n y crecimiento de la poblaci!n, as como en la
reali*aci!n de proyecciones del tamaNo y caractersticas de la poblaci!n y estudios
de la viude*, orfandad, entre otras"
$l m5todo ms com-nmente utili*ado para la construcci!n de una #abla de
Mortalidad es aquella que es generada a trav5s de las tasas de mortalidad especficas
y los valores resultantes son utili*ados para la medici!n de la mortalidad,
supervivencia y e.pectativa de vida" ico m5todo es el que utili*aremos en el
presente traba4o"
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Las tablas de vida son, en esencia, una forma de combinar las tasas de mortalidad en
una poblaci!n a diferentes edades y son utili*adas principalmente para el medir el
nivel de mortalidad de una determinada poblaci!n" 8na de las venta4as ms
importantes en comparaci!n con otros m5todos para la medici!n de la mortalidad es
que las tablas de vida no refle4an los efectos de la distribuci!n de edad de cierta
poblaci!n y que no requieren la adopci!n de una poblaci!n estndar" Otra venta4a de
estas tablas es que permiten la reali*aci!n de coortes de edad, eliminando la tediosa
tarea de recompilar estadsticas de muerte anuales para las coortes de edad a-n
cuando estas -ltimas son variables"
Tipos 0e Tablas 0e Mortali0a0
Las tablas de mortalidad difieren entre s de acuerdo a su aNo de referencia, la edad y
el n-mero de factores comprendidos en la tabla" Se pueden distinguir dos tipos de
tablas de mortalidad en base al aNo de referencia de la tabla%
&(#abla de Mortalidad 3ctual;
)(#abla de Mortalidad enerada o de Coorte"
$l primer tipo de tabla se basa en la e.periencia sobre un perodo corto de tiempo,
por e4emplo, un aNo, tres aNos o un perodo nter censal, en el cual la mortalidad a
permanecido ms o menos igual" 3 menudo, las estadsticas de muerte utili*adas para
una tabla de mortalidad actual se relacionan con los periodos de uno a tres aNos, y
los datos de poblaci!n utili*ados se relacionan al punto medio de este perodo" $ste
tipo de tabla, por lo tanto, representa la e.periencia de mortalidad de una poblaci!n
en un breve periodo de tiempo y no representa la e.periencia de mortalidad de una
coorte actual" $n cambio, asume una coorte ipot5tico que se somete a las tasas de
muerte relacionadas con la edad que son observadas en este perodo" 1or lo tanto,
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una tabla de mortalidad actual se puede ver como un retrato de la mortalidad
reciente" $sto representa una e.celente descripci!n resumida sobre la mortalidad en
un aNo o en un perodo corto"
$l segundo tipo de tabla de mortalidad, la tabla de mortalidad generada o de coorte,
se basa en las tasas de mortalidad e.perimentadas por una coorte relacionada con el
nacimiento" 1or e4emplo, las personas nacidas en &H@@" e acuerdo a este tipo de
tabla, la e.periencia de mortalidad de las personas en este coorte se observa desde
el momento de en qu5 nacen cada una de las personas de esta coorte asta que cada
miembro del grupo muera" Obviamente, los datos observados en largos perodos de
aNos se necesitan para completar una sola tabla y no es posible construir tablas de
mortalidad generadas a partir de las coortes de nacimientos en este siglo
basndose en los datos actuales"
$ste tipo de tabla es muy -til para las proyecciones de mortalidad, para los estudios
sobre las tendencias de mortalidad, y para la medici!n de fertilidad y reproducci!n"
Las tablas de vida se clasifican de dos maneras de acuerdo al intervalo en el cual los
datos son presentados%
#abla de Vida Completa;
#abla de Vida 3breviada"
8na tabla de vida completa contiene la informaci!n de cada aNo desde la edad de
nacimiento asta el -ltimo aNo de edad aplicable" $n algunas ocasiones, los valores
bsicos de una tabla de mortalidad completa se presentan -nicamente en perodos de
> aNos para poder economi*ar espacio"
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1or otro lado, una tabla abreviada, contiene la informaci!n en intervalos de > o &@
aNos de edad" $stos valores son lo suficientemente precisos para la mayora de los
prop!sitos y, por lo tanto, la tabla abreviada es menos complicada de elaborar"
#ambi5n se puede distinguir una tabla de mortalidad estndar que concierne
e.clusivamente la e.periencia general de mortalidad de una coorte de edad y una
tabla de decrementos m-ltiples, que describe los efectos separados y combinados de
ms de un factor" $stas tablas de decrementos m-ltiples se presentan de varias
formas" $l factor de mortalidad puede aplicarse en t5rminos de las tasas del
componente de muerte, por e4emplo, la causa de muerte, o tambi5n puede
combinarse con cambios de una o ms caractersticas socioecon!micas de la
poblaci!n" se subdivide dentro de las diferentes causas o grupos de causas de
muerteF"
$n 1er- 'al igual que en varios pases de la regi!n(, una aplicaci!n importante de la
tabla de vida se da en los sistemas de pensiones 'tanto p-blicos como privados( y en
el sistema asegurador" 1or e4emplo, las tablas de mortalidad son utili*adas para%
i( estimar las reservas actuariales que garanti*an el pago de las obligaciones
previsionales del Sistema 1-blico de 1ensiones 'L QW &HHH@ y L QW
)@>+@(,
ii( ii( efectuar los clculos del otorgamiento de pensiones y del capital
asegurado que administran los seguros de rentas vitalicias y los seguros de
invalide* y sobrevivencia en el caso del Sistema 1rivado de 1ensiones
'S11( y,
iii( iii( determinar las primas de seguros de vida y la constituci!n de las
reservas t5cnicas en el caso del sistema asegurador"
3ctualmente, sin embargo no e.isten tablas de mortalidad que refle4en el verdadero
comportamiento demogrfico de la poblaci!n peruana que pertenece al sistema
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previsional ni de los asegurados de vida" ebido a ello, la regulaci!n contempla, en
todos los casos, la utili*aci!n de tablas alternativas de otros pases&"
$n el caso del S11, la Superintendencia de =anca Seguros y 3dministradoras
1rivadas de Xondos de 1ensiones 'S=S(, desde &HH+, e.ige la utili*aci!n de las
mismas tablas de mortalidad que son utili*adas para el sistema previsional cileno
como respuesta a la falta de informaci!n propia)" $n el caso del Sistema 1-blico de
1ensiones, la Oficina de Qormali*aci!n 1revisional 'OQ1( tambi5n a venido
traba4ando en base a dicas tablas para desarrollar y actuali*ar las valuaciones
actuariales de los compromisos que tiene el $stado con los pensionistas y personal
activo del Sistema Qacional de 1ensiones SQ1 'L QW &HHH@( y del L QW )@>+@+"
1or su parte, en el caso del mercado asegurador, la regulaci!n posibilita a las
compaNas de seguros de vida determinar sus tarifas y reservas t5cnicas sobre la base
de tablas de mortalidad de otros pases elegidas discrecionalmente por ellas,
reali*ando Pen algunos casosP a4ustes a dicas tablas de acuerdo a lo que ellas
consideran se adecua me4or a la e.periencia de su cartera asegurada"
& $n 3rgentina se utili*a la 3MB& desarrollada sobre la base de e.periencia de
rentistas de $stados 8nidos; en Colombia se utili*a la ISSH@ preparada usando
la informaci!n acumulada por el sistema p-blico de pensiones; finalmente en
M5.ico se utili*a la $MSS3PHB con informaci!n del Instituto Me.icano de
Seguridad Social"
) #ablas de Mortalidad Cilenas GVPD>, MIPD> y =PD> de &HD> aprobadas por la
Superintendencia de =anca y Seguros y 3dministradoras 1rivadas de Xondos de
1ensiones mediante Gesoluci!n S=S QW +@HPH+PS=S del &D de 4unio de &HH+"
Gecientemente, mediante Gesoluci!n S=S QY +>?P)@@/PS=S del )& de mar*o de
)@@/, se a aprobado el uso obligatorio de tablas de mortalidad actuali*adas al
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)@@? de rentistas vitalicios obtenidas con base a las tablas de mortalidad
cilenas GVP)@@?"
Las tablas de mortalidad se clasifican de acuerdo al periodo de tiempo que
comprenden y seg-n el intervalo de edades en la presentaci!n de los datos" Seg-n el
primer criterio, se tendra%
Tablas 0e )eneraciones.
Se observa a una generaci!n a trav5s del tiempo asta la desaparici!n de su -ltimo
miembro, con lo cual se sabe el n-mero e.acto de defunciones que ocurre a cada
edad y as la probabilidad de muerte" 3s, los miembros de la generaci!n estn
e.puestos a las condiciones de mortalidad que ay en cada aNo de sus vidas" Si bien
este tipo de tabla seNala los verdaderos valores de la mortalidad de una generaci!n,
su utili*aci!n es escasa dado que demanda el seguimiento de toda una generaci!n a
trav5s del tiempo, un eco poco prctico"
Tablas 0e contemporneos.
$stas tablas son las ms populares" Se construyen sobre la base de la e.periencia de
mortalidad observada para toda la poblaci!n real durante un aNo o un periodo corto
de aNos, generalmente de dos o tres aNos" $n este sentido, se crea una generaci!n
ipot5tica asumi5ndose que 5sta vive en las condiciones de mortalidad de la
poblaci!n del periodo de estudio" $n una tabla de contemporneos se castiga con una
mayor mortalidad a los miembros de la generaci!n en vista que la tabla se construy!
alrededor del aNo de inicio de la generaci!n y no se pueden incorporar las me4oras en
la mortalidad de los individuos a trav5s del tiempo 'ubln y Spiegelman, &HB@("
e acuerdo al intervalo de edades, las tablas se clasifican en%
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Tablas completas.
Son tablas con informaci!n para cada una de las edades puntuales"
Tablas abre8ia0as.
Muestran los datos s!lo para ciertas edades, por lo general quinquenales aunque
distinguiendo por edades simples durante los primeros > aNos de vida de las
personas, dado que en este periodo se producen cambios importantes en la
mortalidad"
PRIN$IPAE# ,%N$IONE# DE A TA;A DE MORTAIDAD
$ol*mna x E0a0 x
$sta columna contiene las edades desde & asta HH aNos" La edad . se refiere a las
personas nacidas ace . aNos" 3l decir que una persona est viva en su .P5simo
aniversario, esto significa que est viva en el perodo de &) meses, al principio de los
cuales tena .P& aNos"
$ol*mna lx N=mero 0e 8i8os lx
$n esta columna aparece el n-mero de personas que estn viva, al comien*o del aNos
en que cumplan la edad seNalada en la columna" $l subndice del smbolo especifica
la edad" 3s l)B9H++ /H), significa que a la edad de )B aNos estn vivas H++ /H)
personas del &@@@ @@@ que iniciaron la tabla"
$ol*mna 0x N=mero 0e m*ertos 0x
$n esta columna se indica el n-mero de personas que an puerto, entre la edad . y la
edad .A&" 3s d&>9) @/H, indica que ) @/H personas mueren entre &> y &/ aNos"
Obs5rvese que d.9 l. P l.A&
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.x
x1
x
$ol*mna x >Probabili0a0 an*al 0e morir?
$n esta columna se indican los valores de q. que es la probabilidad de que una
persona de edad . muera antes de cumplir la edad .A&" as q+@9@,@@+>/, indica la
probabilidad que tiene una persona de +@ aNos, de morir antes de cumplir +& aNos de
edad"
$ol*mna px >Probabili0a0 an*al 0e 8i8ir?
$n esta columna se indican los valores de p. que es la probabilidad de que una
persona de edad . viva asta la edad .A&" 3s, p+@9@"HH/?? indica la probabilidad
que tiene una persona de +@ aNos de vivir asta cumplir +& aNos" e acuerdo con lo
dico en &>"), p.Aq.9&"
3s, p+@Aq+@9@,HH/??A@,@@+>/9&"
e acuerdo con la definici!n de probabilidad, se tiene%
q =d
x
=lx...l
x+1
lx
lx
EJEMPLO0Cuntas personas entre & @@@ @@@ que tienen & aNo llegarn vivas a la edad de >@
aNos2
>ara e;aluar la respuesta utilizaremos la tabla de mortalidad descrita en el ane"o ?
ubicndonos en la columna n&mero de ;i;os ?" ! interceptndolo con la columna
edad ( solicitada:
l50
x
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=810 900
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nx.
x n
x
PRO?A?ILIDAD DE 9IDA@ MUERTE PARA PERODOS MA@ORES A UN
ABO
1ara e.presar estos valores se utili*an los siguientes smbolos%
np
.
9 1robabilidad de que una persona de edad . viva por lo menos n aNos; o sea, o
que
est5 viva a la edad .An
nq.
n&
q.
9 1robabilidad de que una persona de edad . muera, antes de cumplir .An aNos"
9 1robabilidad de que una persona de edad . muera, entre las edades '.An( y
'.AnA6(
e a por la f!rmula de probabilidad se tiene%
EJEMPLO:
Tallar la probabilidad de que un ombre de >@ aNos viva, por lo menos, >+ aNos%
3p50=
778 981= 0,9060637
810 900
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n/1x
= x%n
x
1robabilidad de que una persona de edad . muera entre las edades .An y .AnA6, por
la definici!n de probabilidad se tiene%
EJEMPLO:
0Cul es la probabilidad de que una persona de ?@ aNos muera, entre los >@ y los >>
aNos2
10/50q0=l50l55
l0
10 / 50
q0 =
810 900 1 75 191=0,06198883 3!
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A3A4CA5 647A7C438A5 9 AC:A84A35