Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Pengantar Kalkulus Pertemuan - 1 Mata Kuliah : Kalkulus Kode : CIV-101 SKS : 3 SKS
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Pengantar Kalkulus
Pertemuan - 1
Mata Kuliah : Kalkulus
Kode : CIV-101
SKS : 3 SKS
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
• Kemampuan Akhir yang Diharapkan : Mahasiswa mampu menjelaskan sistem bilangan real
Mahasiswa mampu menyelesaikan pertaksamaan
Mahasiswa mampu membuat grafik persamaan
Mahasiswa mampu menjelaskan arti fungsi
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
• Bahan Ajar :
Sistem Bilangan Real
Sistem Koordinat dan Grafik Persamaan
Fungsi
• Text Book :
Varberg, D., Purcell, E., & Rigdon S. (2007). Calculus. 9th edition. Pearson. ISBN : 9780131293311
Thomas, G.B., Ross L. Finney (1996). Calculus and Analytic Geometry. 9th edition. Addison-Wesley Publishing Company.
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
N : Bilangan Asli
Z : Bilangan Bulat
Q : Bilangan Rasional
R : Bilangan Real
N : 1,2,3,…….
Z : ….., -2, -1, 0, 1, 2, …..
Q :
0,,, bZbab
aq
IrasionalQR :
Contoh bilangan irasional : √2, √3, 3√5, p
Sistem Bilangan Real
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Sistem Bilangan Real
Sifat – Sifat Bilangan Real
1. Trichotomy. Jika x dan y adalah bilangan, maka berlaku salah satu dari hubungan : x < y, x > y atau x = y
2. Transitivity. Jika x < y dan y < z, maka x < z
3. Addition. Jika x < y, maka x + z < y + z
4. Multiplication. Jika z > 0, x < y, maka xz < yz. Dan bila z < 0, x < y, maka xz > yz
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Pertaksamaan
• Pertaksamaan a < x < b, yang berasal dari dua pertaksamaan a < x dan x < b, mendeskripsikan suatu interval terbuka yang terdiri dari semua bilangan antara a dan b, namun tidak termasuk titik akhir a dan b. Interval ini dinotasikan (a,b)
• Pertaksamaan a < x < b, mendeskripsikan interval tertutup, yang dapat dinotasikan [a,b]
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Pertaksamaan
Selesaikan pertaksamaan berikut ini dan gambarkan Himpunan Penyelesaiannya dalam suatu garis bilangan
• 2x – 7 < 4x – 2
• − 5 < 2x + 6 < 4
• x2 – x < 6
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Pertaksamaan
Nilai absolut dinotasikan dengan │x│, didefinisikan sebagai :
│x│ = x jika x > 0
│x│ = - x jika x < 0
Sifat – sifat nilai absolut :
1. │ab│= │a│ │b│
2. │a+b│< │a│+│b│
3. │a-b│> ││a│-│b││
4. │a/b│ = │a│/│b│
5. │x│< a ↔ -a < x < a
6. │x│> a ↔ x < - a atau x > a
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Pertaksamaan
Selesaikan pertaksamaan berikut ini dan gambarkan Himpunan Penyelesaiannya dalam suatu garis bilangan
1. │x - 4│ < 2
2. │3x - 5│> 1
3. Untuk e (epsilon) bilangan positif, tunjukkan bahwa : │x-2│< e/5 ↔ │5x-10│< e
4. Misalkan e adalah bilangan positif. Temukan sebuah bilangan positif d sehingga :
│x-3│<d →│6x-18│<e
Problem Set 0.2
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Sistem Koordinat Persegi Panjang
• Sistem koordinat persegi panjang terdiri dari dua sumbu, yaitu sumbu horizontal x, dan sumbu vertikal y, yang berpotongan di suatu titik asal O.
• Sumbu x dan y membagi bidang menjadi 4 kuadran (I, II, III dan IV)
• Tiap titik P dalam sistem koordinat dapat dinyatakan sebagai sepasang angka (a,b) yang disebut dengan koordinat Cartesian
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Sistem Koordinat Persegi Panjang
• Jarak antara titik P(x1,y1) dan titik Q (x2,y2) dapat dihitung dengan formula jarak :
Contoh :
Hitung jarak antara titik P dan Q berikut ini :
• P(-2,3) dan Q(4,-1)
2
12
2
12),( yyxxQPd
Q(x2,y2)
P(x1,y1) R(x2,y1)
x
y
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Sistem Koordinat Persegi Panjang
• Sekumpulan titik-titik yang terletak pada jarak yang sama terhadap suatu titik tetap, dinamakan dengan lingkaran.
• Secara umum persamaan lingkaran yang berpusat di (h,k) dan memiliki radius r, dapat dinyatakan dalam bentuk :
222rkyhx
Contoh : • Tuliskan persamaan lingkaran yang berpusat di
(1,-5) dan memiliki radius 5
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Sistem Koordinat Persegi Panjang
• Titik tengah antara dua titik P(x1,y1) dan Q(x2,y2) dapat dicari menggunakan formula titik tengah :
• Tentukan persamaan lingkaran yang diameternya melalui titik (1,3) dan
(7,11)
• Garis lurus melalui titik A(x1,y1) dan B(x2,y2), memiliki kemiringan/slope, m yang besarnya :
2,
2
2121 yyxx
12
12
xx
yym
B(x2,y2)
A(x1,y1)
x
y
m
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Sistem Koordinat Persegi Panjang
• Garis lurus yang melalui (x1,y1) dan memiliki slope m, dapat dituliskan persamaannya menjadi :
• Bentuk lain persamaan garis :
• Dua buah garis memiliki kemiringan m1 dan m2, maka dua buah garis tersebut akan :
• Sejajar, apabila m1 = m2
• Tegak lurus bila m1.m2 = -1
11 xxmyy
kx
ky
bmxy
0 CByAx
(0,b)
x
y
m
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Sistem Koordinat Persegi Panjang
• Tentukan persamaan garis yang melalui (-4,2) dan (6,-1)
• Tentukan persamaan garis yang melalui (6,8) dan sejajar dengan garis 3x – 5y = 11
• Tentukan persamaan garis yang melalui titik potong antara 3x+4y = 8 dan 6x – 10y = 7, dan tegak lurus garis yang pertama
Problem Set 0.3
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Grafik Persamaan
• Grafik dari sebuah persamaan dalam x dan y, terdiri dari titik-titik dalam bidang yang koordinatnya (x,y) memenuhi persamaan tersebut
• Langkah dalam mebuat grafik persamaan :
• Temukan beberapa titik yang memenuhi persamaan
• Plot titik-titik tersebut dalam sistem koordinat
• Hubungkan titik-titik tersebut dengan menggunakan suatu kurva mulus
• Gambarkan grafik dari y = x2 – 3
• Gambarkan grafik dari y = x3
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Grafik Persamaan
• Titik di mana grafik persamaan memotong kedua sumbu koordinat, memiliki beberapa peranan penting
• Sebagai contoh, persamaan y = x3-2x2-5x+6 =(x+2)(x-1)(x-3)
• Nilai y akan sama dengan nol pada saat x = -2,1,3. Titik (-2,0), (1,0) dan (3,0) dikatakan sebagai titik potong grafik dengan sumbu x.
• Dengan cara sama, y = 6 ketika x = 0, maka titik (0,6) merupakan titik potong grafik dengan sumbu y.
• Tentukan semua titik potong grafik y2 – x + y – 6 = 0
• Tentukan titik potong garis y= -2x+2 dengan parabola
y=2x2-4x-2, gambarkan sketsa grafiknya.
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Grafik Persamaan
Problem Set 0.4
y = x2 y = −x2
y = x3 y = −x3
x = y2 y = √x
y = ax2 +bx + c a > 0
y = ax2 +bx + c a < 0
y = ax3 +bx2 + cx + d a > 0
y = ax3 +bx2 + cx + d a < 0
x = y3
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Fungsi Trigonometri
Sebuah fungsi f dikatakan periodik bila ada suatu bilang positif p, sedemikian hingga : f(x + p) = f(x) Untuk semua bilangan real x dalam domain f. Bilangan positif terkecil, p disebut sebagai periode fungsi. Fungsi sinus dan cosinus memiliki periode 2p.
180o = p radians ≈ 3,1415927 radians
x
ytan
r
xcos
r
ysin
y
xcot
x
rsec
y
rcsc
r
x
y
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Fungsi Trigonometri
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Fungsi Trigonometri