Mat Algebra Xii

5/17/2018 Mat Algebra Xii

1/62

- - ~M IN fS T ER U L r NV A yA M IN T UL U I $ 1 $ TlIN J EILei 26'" , _J.,

~ION O. IONA . P . G H I O C A 'N . I. N E D I T A

,ISBN 973-;i3O-1226-2 =;

).1-

,_ , , J

J "

1-

;.

,I, ,, " . . . . . . .,

" ', .

,'. L .' . ' X I I ,AlgebrAManual pentru clasa a XII-a

.. . , ... ~.. .

. . , . . . . . . . _ - c _ .., , " .I\

. . . . ),~

- . . ,1'1" ,. . ". '" . J

,..~

. .!" ~

" r , -E PIT UR A D ID AC TIC A $ 1 P ED AG OG IC l - B U C U J iE $ T I , 1991


2/62

M IN IS TE RU L IN VA TA MIN TU LU I ~ I ~ TIIN TE I

I ' I

ION D.IO~A. P. GHIOCA N. I . NEDITA

M anual pen tru clasa a X II-a

mnURA DIDACTICA ~I PEDAGOGICA, BIJCURESTI-1991


3/62

-11anualul ;1 fils 1 el aburat In 1979 sl revizuit tn -1980 ~i in 1982 pe baza progrumel 9COi.lI' l

apro ha.Ir- de Minis l eru l Inva\f\minLlllui ' i i t ? t. i in l c i

Rcferensi: Prof. uruv. Gh. Galbul'RProf. umv. O . S ta n a~ il aProf. Florina SaonProf. Maria 'I'utuianProf. I . V. l \' laf tei

Prezenta editie a manualuluide al gebri: \ psntru clasa a XII-a es te rezult atulunai substantlale revizii a celni aparut In anul 1979. S-a redus incal'cat ura teoreticaa manualulul, consecin~a si a l'estl'll ctul'ari i problema tici i programai :;;colare. Asporit numjiru l exernplelor s t exercit ii lm-, introduclndu-se ~i mode le de r ezolvan-pentru tipur ile mai eer rmif icative. lotI'-un capitol intrcductiv s-a realizat recapi -tularea unor terne dospre multiml, functti, matrtce ~i nurnnrc, cu. iutentia de ainstala pe citito tn lumea ohieotclor rnatematice care slnt .apoi sist ematic invocatepeu tru i lust rar ua teoriei at ruetur ilor a lgebrice ,ell statut de lectura fuoul lativa stnt prezentate clteva aplioatli ale strue-turilor algehrice.

Exerci tiilc en aatcrisc de la sflr~itlll ficcr,rui capitol se adreseuza eleviloren \LI1 interes spurit pentru matematica, rezolvarea lor nefiind nccesara pentruparcurgerca inanuulului .

Autnrii multurnesc pe aceasta cale rererantilor peritru sugeatiile facute,profesori lor de matemntica di n mnnicipiul Hucuresti, din judejole Bl'a$DV, Brliila,Prahova .~lVrancea care au initiat ~i realizat un fructuos dialog asupra rnanual ul ui .

ISBN973-30-1226-2

Redactor; Prot. {!atMin-.l'etru NleolcseuT'ehnoredactor: llinlla, PresanCoperta: N. Sirbu

-

Capitolul 1 PRELIMINARII

J. NillIIERE

Peste tot in acest manual vorn noba eu N multimea numerelor naturale,N = {O, 1 , 2 , .. " n, ,..},

Ref 'eritor la adunarea ~l inrnultirea uumerelor naturale aoceptarn pro-prietiiti1e:

1} (x -I- y) -I- Z =J: : -I- (y -I- z),2) -I- x =x -I- =x,. ' 3 ) x -I- y = Y -I- x,4) ( :ry);] =x(yz),! ' : I ) 1 x=x' 1=1 7 ,6) x;(y - I- ; ;) =Ty -I- x . : ; ,7) xy = yx

orreare ar f' i z, y, zEN,De asemenea, vom nota eu Z, rnultimea numerelor intregi,

Z={...,-n, ... , -2, -1, 0, 1, 2, .... , n, ... }.Accept.am ca adevarate pentru ad unarca ~i tmnultirea numerelur intregipropriotatile 1) -7) precum i pro prieta tea:

8) .X -I- (-:l;) =(-or) + x =0, 'r/ x E Z.Vom nota cu Q rnultimea numerelor rationale, Q ={alb I a, b E Z,

b # O}. Pentru x E Q , x "" 0, x =alb, notarn eL L X-I numarul rational b I a,Avern :

orir.are fir fi ,T E Q, 1; 1 = O.Cu R va fi notll. ti'i multimea numernlor reale, iar cu C multimca numorolor

corn ple xe, C=a -I- ib I a, b E RJ. Pontru udunaro Ii i inm ultirea numerelorrenle (GQ}llj llexe) aoceptam ell adevnrate pl'opl ' ie ta ti 1) -- 9),Ave rn : I

Nc ZcQcRc C.Literele Iolosite mai sus pentru nol.area multirnilor de nurnere munt in-

nate apar In h'xtul manualului culese aldin (gras). Pentru scrierea lor ellII,I

1


4/62

i

mlna (pe hirtie sau la tabla ... ) 'Ia literele de tipar uzuale se adauga 0 liniesuplimentara, Aceste conventii de not.atii stnt eonsaerate In literatura mate-matica actuul ii .

Se st.ie oa V2 nu este numar rationaL Sa reamintiro demonst.ratia. DaeaV2 E Q , atunei V2 = lb , cu a, b E Z, b i" O. Putem presupune ca fract.iaa I b Bate ireductihil a, adica a ~i b nu admit nici un divizor cornun c E Zastfel inc it 1 c 1 >L Cum a2 =2b 2 resulta ea a2 este par, deei a este par,de unde a = 2a ll eu a1E Z. Avem 4ai =2h2, deci 2a ~ = b2. Rezulta casi b este par, deei a ~i b admit ca divizor comun pe 2. Contradictie.

1.1. Definiie. Spunem eil un uumar tntreg d dilerlt de 0 ~i 1 este lib"rde patrate dae:\ nu se divid6 prln piitratul uiei unui numjir prim.

Ast.Ielnumerele 6,2, -15, -1, -3 sint liber e de pstrate. Numerele 108~i -40 nu sint lib e re de patl'ate eaci 108=33 22, -40 = (-5) . 23 .

Daea d ;. 0 atunei prin Vd notam radiealul aritrnetio al lui d adicaunieul nurnar r eal oc;' 0 astfel incit C(2 =. Daca d 1. Dacii Vd E Q atunciUT = lb ,

a >0, b > unde ix / b este 0 fractie ireductihila. Avem db 2 =a2 ~i dacaa = 1, atunci b2d =1, deci d =1. Contradictie. Deei a > 1 i atunci aadmits un divisor prim p. Asadar a =c, ou c E Z, de unde b2d = p 2C2Cum fract ia a I b este irerluct.ihila, p nu divide pe b, dec i din egalitateab 2d = p2c rezultii ea p2 divide pe d. Contradiotie.

Numsrele de forma a + bV d , eu a, b E Q ~i d intreg libel' de piitrutese numese nlwwre patriaice. Astfel:

1+ Vi, .-1 + 1 1 - = 32 -1+iV'32 4+3VS,2-3is int numere patratice, unde i2 =-1.

Daea a + b Vci ~i a' + b' V d sint dona numere patratice, atunci:a + b Vd = a' + b' Vd =a=a'. ~i b =',

In adevar, daca a + b Vii =' + b' Vd ~i b # b' , atunei- a - a'Vd=--. E Q .b - b '

Contradictie. Dec i b = b' ~i atunci a = a' .Daca d cste un intreg liber de piitrate, atunei not.sm eu Q(Vd) mul-

timea tuturor numerulor patratioe de forma a + b Vd, eu a, b E Q ~i euZ[Vd] rnultimea tuturor numerelor patrat.ice de forma a + bVd eu a, bEZ.4

-:=-

Q ( V e l ) do( {a + b V e t I a, b E Q}Z[Vcl] ~ {a + b Vd 1 a, i Z}.

EvidentZ cZ[Vd] cQ(Vd) C C ,

iar eind d >0, avem chiar Q ( lid) cR.Astfel:

Q(l/2) =a + b V : 2 1 a, b E Q } cR~l

Z[i ] =fa + bi i a, b E Z} c c.Dacs z =a + b lid este un numar patratic, atunoi numarul patratic

~*= - b Vd se numest.e conjugatul lui 'z . 2. lUUvfr"lI ~I FUNCTU [rccapttulare}

Fie E a multims. Vom nota eu 'E(E) multimea tuturor partilor (sub-mul tirni lor) lui E. Daca X, Y E ~(E), at.unci cu XU Y ~i X n Y vom notareuniunea, respectiv interseciia lui X eu Y,

XU Y (lef {x EE l x E Xsau x E Y}respectiv

X n Y , .Ie! {x EE l X E X ~i x E Y}.A~nl;im urrn atuarele proprietiiti ale reuniunii ~i intersectici:1) (X U Y) UZ=X U (Y U Z ), (X n Y) n Z = X n (Y n Z );2) 0 u X =XU 0 = X, En X = X n E = X;3) X U Y = Y UX, X n Y =Y n X;4) X U (Y n Z)=(X U Y) n (X UZ),X n (Y UZ) =(X n Y) U (X n Z)

oljeHl'e ar Ii X, Y,Z E t(E), unde 0 este suhmultirnea vida a lui E.Fie E ~iF doua multirni. Pentru 0 Iunctie f : E -+ F vom preciza uneori

~i actiunea lui f asupra elernentelor x E E prin not.at.iaIf : E --+ F, X --+ ((x)

uncle f ' (x) este imaginea lui x prin [,5


5/62

----- -Fie E I) multirrie. Vorn not a GU &I'(E) r uu lt i me e t.ut urur Iunct.i i lo:

f: R .-} E. naci'i T. !J E i i f(E), al.unc! Iunctia

i

h : E _,. E, , 1 : _ , . h(x) (lei {(g(x)) ~"8 noteazii en t= s ~i se numaste compuse Iunctiei fell fUlletiag (v. f ig . 1.1).

Functia IE : E _,. E, 1[:;(7;)=x, '< / x E E, Sf!numeste aplicaiia identicii a multimii E.2 .1 . Teo r e m rt . CompuTI ( l I 'e a f \ l nc t i i1o r ate pro-prietfLtiIe:ig. T . 1 .

1 ) ( f og) oh=f 'o ( goh )2) 1z ;; 0 f = 0 IE =

v 1' , s. h E fi(E),v ( E !(F:)tscmonstratie. Pentru orice : . I : E R avern :

( ( f o g ) 0 h) (x ) =(0 g ) (h{:!.')) =(g(lI(x)))~I

(fo (g 0 h)) (x) =((g 0 II) ( , 1 : ) ) =(g(h(:r)))dt~ unde

( f o g ) 0 h == (g o h) .De asemenea, pentru oriee x E E avem:

(1 B 0 n (z) =etf(x)) = 1'(x) = fUelx)) = f 0 1d (z'),deci

IE 0 ' =o 1 [ 0 ; =ro functie f . E _,. F 58 numeste in.jectira dad! 1 ' ( . 1 :1) o f 1'(x2) oricre at fi

Xl' X2 ;:_ E, Xl # x2, eeea oe revine la :

Spuncm ca Iunctia f' : E _,. F estc surjectio daca:V y E F , 3 :c E E astfel inclt y ='(4

o Iunotie f : E _,. F se numest.e bijectiod dacil . ests injectivf ~i surjective.L2. T \' I) r IJ m [t. Fie f: 0 .nultlme ~i [; g E (E). Daca / ~i g slut

YIIIlI'pi i n , i! ' ei i '. ' li ( " i lt I 'j nc t .h-c , lJijel'.tin) atuuri (0 g c~t(l fUM. tie injeciinl (res-IWl'l.h :


6/62

4) A + B =B + - A,5) (AB)C =A(BC),6) EA = AE =A,7) A(B + C) =AB + AC; (B + C)A =BA + CA

oricare ar fi A, B, C E M2(R ) , Dupa cum se stie din clasa a XI-a demon-strarea lor se face invoclnd proprieta~i simil~re ale operatiilor cu numerereale. Astfel:

=all + (~all)aZ1+ (~a21)

~i analog, (-A) + A = ,.Vorn nota eu M 2(Z), M z(Q ), M 2(C ) multimea matrieelor patratice deordin 2 eu cocficionti in Z, Q , C, respeetiv, In gene ral, pentru n >1, not am

eu Mn(Z), M ,,(Q ), , .. multirnea matricelor patratice de ordin n cu coeficientii11 Z, Q , "", rospeetiv. '

Daca A E M2(R), A =(0.;), Yom nota eu det (A) determinantul rna-tricei A (adleR valoaraa asociata rnatrieei A),de t(A)=lau a l z i+ a =a lla23 - a2Ia 12 E R.a21 22

3,1. Teo rem fi.. Oricaro ar Ii A, BE M2(R), A = (a;J), B =bil)avem:det (AB) =det (A) det (B).

Demonstraiie. Avern:all.b 12+ a12b22).a21b12 + az2b22

1' 1 Pe de alta parte, se observa oa avem ident it atea:(allb ll + a12b21) (a21b12 + a22bd - (o .21bU + a22b21) (aUb!2 + a12b22) =

=ana22 - a21a12) (b ub 22 - b 21b 12),de unde

det (AB) =det (A) det (B).ExempJu.Daci i A EM 2(RJ , A =(~~),atunci

det (An) =(-1)" oricare ar fi n =1,2, .. ..8

,-- -"-In adevar, det (A ) = 2 X 2 - 5 X 1=-1 i deci afirm atia este ade-

varata pentru n=1. Presupunem ea n >1 ~i ca det (An-I) =_1)1L-1,Atunei;

det (An) = det (A n-l ,A ) = det (A 'H) det (A ) = (-lr-l'(-1) =-1)". I.. NU)I!lRE UELATIY I'ln'm~ (rt'rl1pltlllllrp)

Fie a ~i b doua numere intregi. Un numiir d E Z ,d ;;, 0, se numesl,oeel mai mare dioizor comu,n (c.m.m.d.c.) al lui a ~i b daca:

(1}dla~idlb;(2) cia ~i c 1 b ~ c 1 d.Daca d' E Z, d' ~ 0, sa tisfaoe, de asemenea, (1) ~i (2), atunci avem

d' 1 d i.d 1 d' de unde d' =. Asada r, c.m.m.d. c. al numerelor a ~ib, III cazcil exista, este unie determinat. Pentru c.m.rn.d.c. al lui a ~i b folosimnot.atia d =a, b ),----;;1, 'f cor e m a. Fie a, b E Z. Atunci e.m .m.d.e, al lui a ~i b exist!.

,\Iai mult, daca d =a, b) , atunci existfi . h , k : E Z asHe] incitd = ah + bk .Demonstraiie. :Oaca a =b =0, atunei d =0 ~i 0=Oh + Ok, unde h,

k pot fi luati chiar arbitrar din Z in acest caz.Presupunem ca a p sau b 1= 0, Fie d =ah + bk eel mai mio numiir

strict pozitiv printre numerele de forma:ax + by x, y E Z

(ara.tati ca printre ele se gas e sc numere strict pozit.ive I),Daca ci a ~i c 1 b, atunci c divide ~i pe ah + bk =, deei d sati sface (2)

din detinitia c.m.m.d.c, Ramlne sa mai aratam ea d 1 a ~i d 1 b .Daca d nu divide pe a, exist-a g, I' E Z astfel incit

a=q + r, o < r < d,Atunei

o (a, b e) =1;2) Daea (a , b ) =1 ~i a 1 b e= - ale;:1) Bnea ( 1 1 , b) =1. II 1 c ~i b Ie=- ab 1 c.

9


7/62

-Ii'

Demonstraiic. I ) Fie h, k, u, v E Z ast.Iel incit 1 =ak + - b k: ~J1=au + cv. Atunei:1 = ah + - bk(al l + - cv ) =a( h + Men) + bcik), de undo (a , he) = 1.2) Fie It, k E Z astf'el inclt ah + - bk := 1. Atunci c = a(hc) + bc k. .

Cum a I a ~i a I be rezulta cil a divide numsrul a(hc) + - be ' k:=.3) Fie h, k E Z astfeJ tnoit ah -I - bk = 1. Atunci c =c ' h . + - be . k .

Cum a I c ~ib Ie rezult.a e n ab I ae ~i ab I be , deci ab divide nurnarul ac - h + -+ - be ' k = .E;:(lnl[!hl1. Daea p >0 este un numar prim, ul.unni :

(a, p) =1 Va E Z , 1 :s ; a

0 sint do u ii numere prime distincte, atunci:t p'", q") =1 V In, n E N.

111 adevar, s a presupunern eEl p < q . Atunei conform eli rezultatul de JaExp. 1 avern (p, q) =1. Presupunem cil (p , q"-l ) = 1. Folosirid Teorema'1.2, pet .. 1) din (p , q ) = 1 ~i (p , q "-") =1 rezult il (p, q ") = 1. Acurn sefixeazii n 9 1 se demonstreaaa pr1l1 induc~ie asupra lui m. c a (pm, q " ' l =1.

:>c'-rll:ii rczolvateI R - 1 1 Fie E 0 multirne I] i t; g E &(E). Avem :1) Dac fi f a g este Iunct. ie injectiva (aurjccbivn) atnnci g este Iunct io

in ject iva (resp . f este funct ie sur jectiva);2) Daca f D g = '1 p;, atunci g este Iunct ie in ject ivu ~i f ost. e Iunctie sur-jentivu;3) Daca fo g = a f = lE, atunei f ~i g smt Iunet iibijective.Soiiu;. 1) Prcsupunem cit (0 If est, fUllctie inject ivti si l'ie ' ''" x., E E astful incltg(:r,) = (.'I:.). Atune!

Cum (0 g este Iunctie injeclivi'l, dcducem x, =" dcci g ()sle f lmct ie ijccl.iva.Fie Z E E. Da~[L (0 g es te Iunc ti s su rjcc ti v si , utunc; pxist il x E E astful )IIC1t

Z =((0 g) (x) =( g ( : l : ) ) .Rezultn til z ='(y}, unde y =g(x) EE, deci f este funetie aur jectfva.

2) H0Z11ILtt din I) obscrvind ",1. Ie est" fnnctie in,ieetivil .~i sur-jectiva,~,) R .~Z IIltii din 2 )

10

_ _ _ -

~ - 2 1 Fir E=Z X Z ~i A.= (_~ _~). Definim Iunctia:f'.4 : E -: E , f.,dx) =2''(:1 + 3 : C 2 ' -:l:] - 2 X 2 ) V x =(Xl' xz);::: E .

AI'Ut.flti ca:1) f,l 0 fA =1B2) rl cste Iunctie bijectiv.i.SQlu!ic. I) Pentru orioe "' E ,,"', .1=, (X " .,',1 ,I "e"l

__JfA 0 rd ( . ' 1 : ) = f-df,dx)) =lill(h,+ 3.",,- X - 2x,) ) ==(2,(2.T, + Hx,) + 3( - X , - 2 .1 :2 ), - (2 "14 - 3.1 ',) - 2 (-x , - 2." , ,) ) =x" ,,,,) =x,d.: nude f _ . \ 0 f,l=It

2) [{'"'zulU:\. din E.,. H .-l, p e t. 2 ).I R - 3 1 . Fie U, A E A 'I2(Z),

u =( 3 i )5 2.'1) G.),sil l 0 iuutrice X E llf2(Z) astfel inoit UX =E;2 ) Arat,ati e a ecuatia AX =E admite 0 solu t iB X E Jl1 2(Z)daca ~Iet (A) =1 ~; in acest caz avem :')i XA =E. daca ~l _,nurnai8011.l /ie. I) Fio X = 0 ( : : !). Cnm

u x= (~ ~ )(: ~ ) = G : : ~ ~ 2 : By + IV )5y + 2'w(3." + z5:z;+ 22 3y + W ) = ( 1 1..)5y + 2w 0

ceca ca revinc la :{

3,1; + Z =18) ~ic CI'" + 2z = i { 3,'..L 'W =()b) .,'5 ; _ ; -l- 2w =L

llt'r.olvind sisl.emrl de mui SIIS g',isitn :r = 2. Y =- 5, 11 = -1 ~i w =3, deci(

9:x = . -,-51-. )E111.(Z) .:J

2) Fie X E ,11,(Z) astfd intit . I1X = F .1 = dct (E) =ML (AX) =det (A ) del (X)

~i cum d"t. (A ) ( 'i del ' (X) stnt numere lntrcgi, r-ezu l tri e'l del. (A ) =1 .Hec:ipl'oG, clac,! det (A ) = I, atunci urrntud calea de rezulvaro de Ia pet. 1) se

(dx=I -~ - b ) E M,(Z) doll.!i ad - CO=rr

b) EM,(Z) dud! ad - cb = -I.-(I

11


8/62

--

I!

I R - 4/ Fie ml i mz. doi intregi positivi relativ prirni, m = m1mz ~l&tm = {O, 1,2, , .. , m - 1}, & itm, = {O, 1, '" , ml-i}, & it m , = {O, 1, " .". , m2 - 1}.Daca a, nEZ, n > 0, atunei not i'im cu a mod n restul impi'irtirii lui aprin n,

1) Aratati ca. funotia{ : & itm ..... & tm , x & i t " " , { {a} = (a mod mIl a mod m2 ) '< I a E . l R . n, este hijec-

tiva. 2) Enumcrati valorile functiei ( cind ml = 4 ~i Tnz = 3,Soluiie, J) Mulj.irnca t", al'e In elernen te si mul pmea tn., x .lit"" are In,In. =nclemente.Este deci suf'icicnt sa aratam oil iunctia f este injectiva. Fie a, b


9/62

I) (A -I - B)T =AT + s",2 ) (AB)T=BTAT3) (AT)r =A

oriear ell' fi .1, BE MAR).4) Fuuctia f: .M.(R) --+ Jl1.(R).,f(A) =A7', A E1l1dR) es to b ij ec tiva .

J..- 11. Fie H ={A EM,(R) I A = (~ ~ ) , a, bER, a * o } .AI'ii!ati:

1) Dar;ii A, BE 1 - 1 , atun


10/62

Capitolul II LEGI DE COMPO.ZITIE

I , NO, !, IUNEA DE LEGE DE CO~IPOZI' J' IE. EXEl 't IPL I":

1 '1~a l.rccern mai Intli in revist.a citevu exemple cunoscute care permit

degajarea conceptului de lege de compoz itie.Pentru moment s a ne fixam atentia asupra multirn ii N={O, 1, 2, ... ,

n, ... } a numerelor naturale .. Oporatia de adunare a numerelor naturale nepermite sa def'inirn aplicatia

'P : N x N --> N, ~ x , y) ~ c p ( x , y)prin care facem sa corespunda la orice pereche ordouat.a (x , y) de numeren~turale un numar natural unic determinat rp(x, y) ~ x + y, numit sumalUI x ell y. Astfel, c p ( 3 , 7) = 3 + 7 = '10, qJ(5, 4) = 5 + 4 = 9 etc,

Analog, Iolosinrl inmuliirea uumerelor naturale, pntem def'ini aplicatia~ : N x N -+ N , (x , y) -+ ~(x, y)

pi-in care la orice pereche or.lonatii (x, y) de numere naturale asociem unnumar natural unie deterrninat ~(x, y) = x v , numit produsul lui :r Gil y.Astfel ~(3, 7) = 3 X 7 = 21, ~(5, 4) = 5 X 4 =20 etc.

Schimh~n(~ eadrul, obser.vatii similare pot fi facute pe multirnea I T ( E )a tuturor parplor X ale unei multimi date E. Putem eefini aplioatiile :

'jl : ~(E) X ~(E) -> ~(E), (X , Y) --> rp(X, Y) =X U Y~I

< .j J : ' ! 3 : ( E ) x ~ ( E ) --> ' i t ( E ) , ( X , Y ) -> < .j J (X , Y ) =Xll Y .In viziunea aceas ta , 'jl poarta numele de operatic de reuniune, iar rp (X, Y) == ~ U Y s~ n~me~te reuniunea lui X eu Y; ~ poarta numele de operatiede interseciie, iar ~(X, Y) =xn Y se nurneste interseciia lui X cu Y.

Pentru a surpr-inds lntr-o schema genernlii situatii ea cele enumeratemai sus, yam considers a multime nevida M ~i 0 ~plicatie

'P : M X M _,.M, (x , y) -+ c p ( x , y),ignor, lnd natura elementelor mul timii M, precum ~i regula ef'ectiva prin carela once pereche ordonata (x , y ) de elemente din M se asociaz a un elementu.nic rp(x , y) ~ M. Se obtine astfel notiunea de l eg e d e c cm po zi ii e pe mul-tlmea M. Mal precis:

1.L D~fini;ie. Fie M 0 multime nevida. 0 aplicatie rp definitl l pe pro-dusul eaetesisn M X M ell valorl in M,rp : M X M ... M, (x, y) -> ('j l(x, y)

s o n um e st e lege de com pozv ie pe M .16

, . . .Element ul unic determinat c p ( x , y) E M care corespunde perechii ordo-

nate ( z, y) E M x M prin aplicatia tp se numeste G otnpnsullui x eu y prinlegea de eom poa itio

(p (f , g) = f o g ,numit a opera{ in de conipunere a fllnC~iiloT'.

3. Adunarea $;' lnmuuirea modulo n. Fie Z ruultimea numerelor intregi ~in >0 un numiir lllt.reg Iix a t. Este ~tiut ca pcntru or-ice a E Z exista 'lt: E Z unic deLermina\.i astfel lncit

a = q + r, 0 ,; ;; r < n.17

2 - Matematica-algebr a, 01.xn-a


11/62

Nurnarul r de mai sus, cunoscut sub nurnele de restul impal"~irii lui a prinva fi notat cu a mod n (se citeste "a modulo nil) ~i se nurnesta incamodulo n al mumarului 1ntreg a. Astfel, dad. n = 5, atunci 13 mod 5 = a(-8) mod 5=2, !~mod 5 = 4. . 1

Daca a, b E Z atunci definim suma modulo n a lui a cu b, notatii ca E B b, ~iprodusul modulo n . al lui a ell b, notat cu a b, prin:

a E i3 b ~ (a + b ) mod n,respectiv

a b der (ab) mod n.Avem astfel pe Z, alii.turi de adunarea ~i tnrnul tirea uzuala

Z X Z -t Z, (a , b ) -> a -I- b ~i Z X Z --l- Z, (a , b ) -+ ab ,urrnatoarele douu legi de ocmpozrtie:

< p: Z X . z - . . . Z , (a , b ) -+ !f I(a, b ) = E B b~ : Z X Z -> Z , (a, h ) _ , . ~(a, b ) = b

numite adunal'ea modulo n, respectiv inmul iirea modulo n.Aslfel, clacii 11 . = 6, atnnci "' E E l 9 = 4, (~3) 5 = 3 caei ? E 9 9 = (7 + 9) mod 6==16 mod 6=1,,1-2) 5=(~3) X . 5) mod (;=1~15 ) mod 6=3.

s ~ nHT.E ST.\ lUL. \. LEGE lJiC t'O:\lPOZITIE INDIIS.\I

:U. j);-linJ!,:r. Fie M Q muljhne 1)(\earn este (lata 0 lege de eemposljte ({J'o suhmultlrue 11 a lui ;][ (~U pro(Jl ' i1l1.aten:' r I ; t , ? J E 11 ~ c p ( . l ' , y) E H

se numeste par te stah i / l i , a lui ,11 ill rallort ell legea de compoziiie cp oDaca H este 0 parte stabila a lui M in rap art eu legea de cornpozitiecp : 1Ii X M _,. M , atunci pe II put em defini legea de oompozitie ,p' : H X H _,.

_,.H, punindc p' (; c, y ) eM 'f'(x , y) E H V X, Y E H.

Vom spune eil. 'fl' este legea de compozuic inr lusa pe H de cat re c r

1. Multimea 22:={2 k I Ie E Z} a numerelor tntregi pa re este 0 parte stabiHia lui Z in mport eli operatia de adunare a numerelor intregi psntru c asurna a dous numere pare este un numar pal'.

18

In adevsr, dacs x, y E 2Z, ,x = 2h , Y = 2k , atunei x + ? J =2h ++ 2 k = 2 (h + k) E 2Z.Multimea 2Z + 1=2k + 1 lie c : Z} a numerelor intregi imp are estoo parte stabila a lui Z in rapor t oufnmult irea ~i nu oste parte stabile alui Z in raport cu adunarea. In adevar, daca x, y E 2Z + 1, atuncix =2h + 1, y =k + 1, deoi

xy = (2ft -I- 1) (2 k + 1)= ( 2hk + h + It) + 1 E 2Z + 1x + y =1 1 + 1 + 2" + 1 = 2 ( 1 1 + k + 1) I ; ; ! : 2Z + 1.

2. Fie n un numsr natural mai mare ca 0 ~i5 1 t " ={O, 1, 2, ... , n - 1} c Z.

Multimoa dil" este 0 parte stabila. a lui Z aUt in raport cu adunareamodulo n. cit ~iin raport cu mmultirea modulo n: tn adevar, oricare ar fix, y E Z avem x ff i y E Nt " ~i z y E Nt " ~i in particular

'r I x, Y E J J Ln => x (B y E l"., x y E &InDadi n >1, atunci c'll.n nu este stabila In raport cu adunarea numerelormtregi, iar daea n >2, atune! J f L " nu este stabila in raport cu tnrnultireauzual1i a numerelor lntregi.3. Fie E ={I, 2, 3} ~i H = {f E ! i J (E) 1[(3)=3}.Atunci 1I este 0 parte stabila a lui 8i '(E) in raport cu oporatia de cornpu-nere. in adevsr, daca f, g E H, atunei f(3) =3, g(3) =3, deci

(f 0 g) (3) = f(g(3)) =(3 ) =3,de unde fog E H.

~ H. 'I'A!lJ,,\ UN! L]W 1>E (,O)IPOzrrIE

Fie M 0 multir ne Iinit.a, 111= {al, a2, . , . , an} in acest caz 0 lege decompoziFe c p pe 1Ii, (p : M X M -+ M, poate fi da til. pr in ceea ee este cunoseutsub numele de tabla operatiei 'P I care consta d intr-un tabel eu n linii ~i ncolcane afectate ce lor n elemente ale lui M. Tabla legi i de compozrti e 'P con-tine la intersectia liniei lui ai eu ooloana lui a.j elementul r p( a; , a j) .

' f ' 1 Pl a~ ... aj . . . ai,a I1~2

an1 9


12/62

Tabla unei operatii este utila in perfeetarea calculelor algebrice ~i, aacum se va vedea rnai tirziu, in testarea unor proprietati ale operatiei.

Tahlele operatiilor induse pe Jl\.s= {O, 1, 2, 3, 4},de adunarea ~i tnmu l -tirea modulo 5 slnt urrnatoarele :

E B I 0 i 2 3 4 e ;: 0 1 2 3 40 0 1 2 3 4 0 0 0 0 0 01 1 2 3 4 0 1 0 1 2 3 42 2 3 4 0 1 2 0 2 4 1 33 3 4 0 1 2 3 0 3 1 4 24 4 0 i 2 3 4 0 4 3 2 1Tabla adunarii modulo 5. Tabla inmultirii modulo 5.

Fie acurn E = {1 , 2, .. ,)n} . 0 f 'unct ie f:E --+ Ese da uneori ClI a jut.or-ulunui tabel ell doua linii, numita p erm utarea m uliim ii E :

f ~ ( i 2 n )f(i) f ( 2 ) f ( n )

In prima linie se tree' in ordine numerele i, 2, ... , n jar in a doua linie setree imaginile acestora prin f, anume f(i), f ( 2 ) , . . , , f ( n ) . Astfel, dacaE ={1, 2}, atunci elementele lui fJ-(E) slnl.:f = G ~ ) .Tabla operatisi de compunere a functiilor din a F ( E ) este urruatoarea:

0 1 e f g he e f g hf f e It gg g g g gIt h h h k

Astfel, f 0h = g. In adevar(f 0 h)(i),= f (h(i )) =2) = 1= g(1)

~l

(f o h ) (2 ) = f (h(2)) = (2) = 1=(2 )de unde f 0 h = g. Hezulba oil: Ia intersectia liniei lui f cu coloana lui h dintabla operatiei de compunere a functiilor din ~(E) se pune funotia g.

Direct din tabla operatiei de compunere a Iunotiilor din 91(E) se deduceca submultimea H = {e , f} a lui ~(E) este stabilil. in raport ell operatia .decompunere a funct iilor-20

I

4" A;:;OCIATIU)'ATE

Not.iunea de lege do corripozi ~ie prexintti un mare grad de generalitate.I n definitia unei legi de compoxitic


13/62

I :II III III III I

1. Adunarea ~l mmurtirea nume-slor reale slnt legi de compoaitie asociat.ivpentru eli

(x + y) + z =; x + (y + z) , (xy);!. = x(yz), V x, y, z E ]_~.2. Adunarea ~i tnmulf .irca matr icekn- din ..Il!2(R) sint legi de compoz itie asciative, caci(A + B) + C = A + (B + C)., (AB)C =A(BC), 'V A, B, C E .l ltlz(R

3. Heuniunea ~i intorsectia piirtilor unei mnltimi E stnt legi de compozitiasociative , cilci

(X U Y) U Z =X U (Y U Z), (xn Y)nz = xn (YnZ)oricaro ar fj X, Y, Z E ~(E).

4. Compunerea Iunctiilor unei multimi E in ea insii~i este 0 lege de compozi1,ie asnciativfi, caci

(f 0 g) 0 h=o (g 0 h), V {, g, h E ~(E),5. Pe multimea Z a numerelor intregi definim legea de cnmpoxitiez X Z -> Z, ( ; 1 ; , y) -+ x - y.

Cum (3 - 7) - 1=-5 o k - : ) =3 -- (7 - 1), rezultf ail accasta legde ccmpozitie nu esl.e asociativa.

* : ' . ('(mer' \.Tl\Tr.\TEProprietatea de asociativitate lill'ge?f,e mult aria poaibilitatilor in per

fectarea calcu lului algebric. 0 altii sursa in acest sons este data de leg-i llde oompozit.ie pentru care compusul a douii elements oarecare este indepsndent de ordinea in care se face cornpunerea acestorn. Mai precis:

S.l. [)(,(ini:ie. 0 ll!go do cOlllpozijie ill X M --> ill, ( . h , y) -, x, . y S1l1lTIl('~tl' coru.ut atic, U ; I ( ' : " :

. r ' " .1 / =J 'I' , 1 " , V ,I', . I I : = - J 1 1 .Adunarea 9i tnmultirca numere lor reale, reuniunea ~i in terssetia par tilo

unei multirni slut legi de compozitie cornutative.Remorc. Comnta tivi tat ea une i l eg ; de compozi ti e data pe 0 multime f init il M peat

Ii ver lri ca ta pe tab la ope ra ti ei : o le rnen tu l xy de la interseotia liniei lui x Cll coloana lui ,:t r cbul SI n~ e ; ; ~ 1 ell l ' l~ment l l l 1 / . > ; de la intersecj.ia lin ie i lu i y e ll c n lo an a lui :r., or'car22

III

, . . . .IM fi z , Y EM . Aceasta revine la proprh-tateacJ. tabla opcl'Htiei 8ste simetdca jll raport cudiagona!ll pt-inuipa lti (fig. H.I).

tn 3 au Iost date tableIo adunur!i si i 1 1 m 1 1 1 -iil'ii mudulo 5 pe '"".= a, 1,2,3,4). Cum atx steLable s tnt s imctrrce In raport I'll diagona l" prin-cipalil; rezulli1 til l eg il e de compcsi tio mcntlonntusine r .o rnutat ivc. To t l a louul it a t a Iost daU\ tablac :o m pu ll et 'i i f Url cl ,i ilo l' d in Si(E), unr le E ={I, 2).Pe tabla aocstei legi d e c or np oa it ic Be ( ,OTlsLatr tC[l ho g = "# g =g 0 h, deci acea~ti i olh~I 'ape nileste comutn lvji .

yIIIIIIIX ------- I---------/. .. ,Ixy

I .'I /I /I /I /I /I /1/Y ._.Yyx

Numeroase legi de cornpoz itie se deliMSC cu ajutorul altors deja cunoscut.e. Fig. 111Asemenea operatii pot prelua uncle pro-prietati de la cele de plecare prin "mecanisrnul" dat ohiar de delinitia lor.AstIel comutativitatea adunarii matricelor din iV i2(R) este 0 consecinta apropriotiitii de cornutativit.ate a adunarii numerelor reale. In adevar, dacaA, B E Iv lz (R .) , A =(au) , B = (biJl, atune!

S a observarn c a inmultiroa matricelor din .lltl~(R) nu este cornutativa,cu toate cil inmultirca nuruerelor reule este comul.ativii. Aceasta rezulta dinexem plul urmii tm:

( - ~ 1 ) ( . 11 --10 ) = ( 02 1 ~ ).Deci rladiA,8E 1112(R) atunci A,Bi=BA

,I R - 1 I Pe multirnea Z a numerelor intregi definim legea de compo---~- zit ie

Z X Z -> Z, ( , h , y) -> X 0 Y ~ ! x + y - :ry,nurnitji compunerea circulard. Si i se arate ca legea de oompoaitie ,,0" esteHsociativa ~j comutntiva.

S o . L L t J i e . naC[l .c, Yl Z E.ZI ut unri :(a : 0 V) 0 z =x + y ~ xV) I) Z= .z + y - '''Y + z ~ (x + y - :ty ) z ==r: + V + Z - :tV - yz - zrc + . " ,yz,,,0 Iy 0 7) ,= x o Iv + ,- . 1 / ~ l =:r 1 - y + z ._. yz - :try + z ~ yt)"

o:-_ ,1' - 1 - . Y -+- i. ._ . l: Y ~ - y~ ~ :'.T ...L ."yz.23


14/62

de unde(x o Y ) 0 Z = 0 (y 0 a).

De asemenea , pen tru x, y EZ avem:x 0 y =x + y - xy = + x - yx =Y 0 x.

I R - 2 1 Fie M ~iN doua multirni, " > to " 0 lege de cornpositie pe M, , , 0 "o lege de cornpozitie pe N ~i f : M ....N 0 functie surjectivaastfel incit ..I i! f(x * ' y) = f(x) 0 fry), V x, y E M. lE 0 f = 0 1E =, V f E gF(E).

atunci D e asemenea, pentru orice matrice A E Ms(R) avem:) Daoa legea de compozitie ,,*" -es te asociativa (comutntiva)legea de compozitie , ,0" esteeaooiativa (resp, comutativa],

2). Functia f: Z-+ Z, f(x) =1 - x are proprietateaf(xy) =(~ ) o tty), V x, y E Z

undo xy este produsul uzual in Z; iar "D" este cnmpn.nerea circulara (Y . Ex.R-1).

3) Dati 0 noua solutie pentru Ex. R-1.Soluiie. 1) Fie u, u, wEN. Cum f este functio sur jectiva, ' exist ii x, y, .> ' EM astrel

incit 1"=( x ) , v =( y ) , w =( z ) .Avem :

u 0 v = ((x) 0 t(y) =(x * u) = f(y * x l =t{y) 0 f(x) =II0 u~i

(n 0") 0 w =( ( x ) 0 ((ull 0 ( ( z ) = f( x * y) 0 f ( z ) =((x * y) * z] ==! r(x * (y * z) ) =(x ) 0 t(y * z) =(x) 0 (({.II) 0 f ( z ) ) =U 0 (v 0 W I.

2) Oricare ar fi .1;, Y EZ avem:({x) 0 ( ( V ) =(x ) + (( y) - f(x)f(y) =1 - x + 1 - y - (1 - x )(1 - y) =

=1 - xy = (xy ) .8) FlHlctia teste surjectlva iar tnmultlroa uzuala a numerelor tn.tregi eate aso-

ci ativa 9i cornutat iva. Putem aplica 1).5 .2 . H e ma rc ii , Fie 'P : M x 11 1 -+ M 0 lege de compoai tie pe M, H 0 parte stahlla

a Iui M In rapor t ell

E este aplicajia identica a lui Eatunci

a + A=0 0 ) + ( a l lo 0 aZISl analog A + = A

6.1. De{inilie. Un element e E M se numcste element neutra pentru 0lege de compozifie M x M --> M, (x , y) --> x * y, daca

e '" x =x * e=x, V :/: E M.6.2. Teo rem ii.. Daca 0 lego de eemposijle are element noutru, a tunci

'~esta este unie.Demonstraiie. Fie e si e' doua elemente neutre pentru 0 lege de compo-

zitie M X M ->M , (x, y) .... x * y. Avem e", e' = e' caci e este element neutru.De asernenea, e '" e' = e cad ~i e' este element neutru, de unde e = e'.

. Asadar. elementul neutru, in caz ca exist a . , este unie deterrninat ,In not.atie aditiva elementul neutru se noteaza de regula cu i se nu-

meste elementul zero, ia r tn not.atia multiplica tiva elementul neutru se noteaz iieu 1 sau chiar eu e ~i poartil. numele de elementul unitaie. Avem:

o + x = x + = x, V x E M,respectiv

1 . x = x . 1=, V x E M.E x cmp l e

1. Numarul real 0 este elementul neutru al adunarii numerelor reale, numii-rul real 1 este elernentul neutru al tnrnultit-ii numerelor reale.

2 . Apl icat ia ident ica 1E a multimii E este elementul neutru al operatiei decompunere a functiilor din &f(E).

3. Fie E 0 multime, Cum 0 U X = X U 0 = X ~i En X =X nE=Xoricare ar fi X E ~(E) rezuI ti i e il. 0 este elementul neutru al operatiei"U", iar E este elementul neutru al operatiei "n".

25


15/62

Vnrn ] Jl'esupune in plus c 1 ' i aceast.a lege de compozitie e ste asocia tiva SIdi admit.e element neutru, fie acesta e. ' 4. Cousulttnd tabla data In . 3 pentru cornpunerea functiilur din i J F ( E ) , uncleE={i, 2i' se.obsc:rvii cil eo e = ~i f 0f =e, deci funcf ii le e ~i f stn tairnetriaahile (inversabile) si e-1=, f-.1 = f.7.2. 'I ' ( lo r e m li. Dar[t .1', l/ E M ~llltclemente slmu tr izuh i ln III r:If'..rt

en o lege de composijte ilI x M -> Jl. (r, . 1 / ) -+ ;t ,~y (asociatim ~i cu ",",-nent nentnr) atunel , 'I : " Y ~i x' H i l l t simelrlzahih'. IUai mult:

Dacii x E M este simetrizabil, atune! uniou! element , 1 : ' E M ell pn)- (y' " : 1 " ) * (x " y} = y' * (:r' * (x", V)) = y' * ( (x ' * x) * , 1 / ) =prietatea x' * x = x", z' = e sa numoste simetricul lui x (in raport cu ope- = y' * (e * y) =' * y = eratia .,*").. ',I1' notatia mult.iplicat. i vd simetr icul lui ~ C , in caz ea exist.a, se noteaza~i an,al,~g, (x " y) '" (y' " x! ) =.e. H.ezul~a cil. . 1: ' " "! f este simetrizuhil ~i (X " y)' =de regula ell x-1 ~ise numeste in(Jetsul lu i x; In notati arlit.iva se ncteaz a ell=Y -" x .. A y ~oua ~fH'm~~Je este imediatri.-x ~I Be numeste opusul lui x. Asadar, . P.roprJeta~ile 1) ~l 2) din enuntul teoremei precetlente se transcriu multi-, ilicativ astf'el :

4. Mult.imea 2N =2k I k ; = : : N} a numerelor naturale pare este 0 partestabila a lui N 1. 0 rnport eu tnmulti rea ~i legea de eurupoz itie indusa deci'itre aceust.a pe 2N nu adrnite element neutru.

: 1 ' . ELIDU:Nl'E SDIE'fHlZAJJlLI';

Ca ~ipina anum, M ests 0 multime nevida inzestraU\ cu 0 lege de com-pozitie

11 1 x .M -> , ' l t I , (x, y) -+ x '" y.

7.1. D C J " t n i J i e . Un clement :lJ E ilf so numeste simetrizabil JI l rupert !'11.k!! ," I \l \do enmpozt t ie (asoclativii ~i eu element neutru) iII >( M -., .M, C '< !J)- , .r ,~ , l/, (~ ar .i l n x i. ,t i i : c " ; : : M a RtIe l In cH

Sa observam cu daci'i 1;"E ]1>1aat isf 'acc ca ~l Xi coriditiilez ' * x = * . 1 ; 1 1 =,

at.unci x; ' =1 : : " . In adcvar

respectiv(-.r) + x =x + (-:I;) =O .

1. Cum e * e =, rezult. a ea elementul neutru este aime t. rizahil ~i simetricullui e Bate tot e. In not.atje multiplicativa avcm 1-1 =1, iar in notatioaditiva -0 =O.

2. Matrices A E 1 V l 2 ( Z ) , A = (: ~) eu ad - cb =1, este simetr izahil s(invcraabila) in rnport cu operatia de lnmultire din M2(Z) ~i

Il r adevar.

I) ) (1-cb + ad =O 0 ) = E1~l analog

(!l b ) f dc d l - c3. Orice numar lntl'eg oste simeteizabil ill rapurt eu adunareaintregi; numerele intregi simetriznhilo rata de inmultire .;;int1-1=1, (-itl =-1. "

numerolor1 \I i -1,

1) (x" V )' =y' * :v!,2) (xT =x.Demonstraiic. Avem:

'UP in not.a tia aditiva-(x + y)=-y) + (-.x), -(-x) = z.

Se face urmjitoureu conven ~ie de not.atie :

I (I"r (~_~Y=x+ -V)Exerc irii re zo t vo t e

lB - _ 1 1 Sii se arute e a Jegea de cornpoziti eZ :x Z _,. z , (x, y) -> x 0 y = + y - xy

27


16/62

a re element neir tru ~i sa se de termine elernentele simnt.rixnbile. Aceeas] problsmatica pentru legea de cornpoz itie

Q X Q _ , Q , (.t, y) -> .r; 0 y =x + y - xy .Solu{I,'e. f)ar.a r. E Z csto l'I~~L11l'ntlL'uLj'U pcnl n. kg!!!,! rl 1'.oJllpozitic n O ~ " t rehu]

s;] avum.1' = 0 .1' ~ e + x - r.c, \f.r E Z

e=e:!\ .r EZ~i tn part.iculur e = e : (]=O. l'e de alLi!. p.u+o S8 wriril"1l c:l a 0 x =1'0 [l =x, V X E 2dec; nunui ru l () e ste e lemun tu; neuuu ul 1"gi:1de 1OI1111[107.i\i" ,,0"F'ie a E Z. Pcutrn en n : - ; ; i f ie sil lwhizHIJ jI LJ' Irnport ('II h~g{1rt du cOlnpbzi t io 110~tJ'chll;e 8,1 existe "' EZ asl.fd inci L

Il=(~.r .= n + ,I - (1.1\de L i nde '~'Ia- 1) = a.Se o hs el 'v fL c a a ce as U'i ccuutie adrni!e 0 S()hlPt' .l: EZ uadl . ~i numui darf l (I=a saa=2. Elementcle simet .r izab .i le sinl. 0 .~i 2, D' = n ~i 2' =.

Clod Z sn i l l loeLl ie . ;;Le Gil Q . elemvntclc ~ il 1w lr iz H bi l, ' s ll ll toa te munerelo l 'Elponala # I.

1 R -- 2 1 Fie d un nurnar !ntreg l iber de pii.tl'at.e ~l

I;lstfel tnclt XA =AX =E. Avem :

(~ ~) =E = AX = (~ d b ) (Xa y dY) =ax +dhy d.(bX + ay))X btc + ay ax + db yceea ce este echivalent cu si stornul I in iar :

(U) { a x -I - dby =1,b x -I - ay =O.

Determinantul sisternulul (**) este a' - db' " # 0 ~i uniea solutio esle X =a I( ae - db2),V =-b/(a~ - db') .

Cum a " # 0 sau b " # 0, rezuWI x.# 0 sau y # G. Asadar :-db )a' - db' ER.a

. ( a , ~ db'X= -b

a" - db' a' - db'Se ver ifi cl i ~i ogal it at ea XA =E, deci A-' exista ~i A-' =X EH.

~ a. PItOPRIETITI ALEUHJN.\ .HlU 1)1 1~c\IlI"l'mli ;\IODULO "In capitolul I, 1, au fos t enumerate proprietatile adunarii ~iinmultirii

numerelor tntregi,Anume, eu terminologia adopt.atii in eapitolul de faFi, adunarea nurnerelorintregi,

'Iz X Z . .. .. ..Z, (x , y) . .. .. .. + y

operatia indusa.1) H este 0 parte stabile. a lui l V / 2 ( Q ) in raport cu rnmultirea matr icelor este asooiativa, oomutativa, adrnitn pe 0 ca element neutru 1 ; > 1 or-ice numar2) Orice matrice A E II este inversubila (sirnetrizubila) in raport c tntreg ad mite opus.

(fl'Ti= u ' d ~ ' ) .aSoluiie. 1) Fie A,BEfI, (ct. b e l )~4= ,b a

Avcm :AB = ( a r t ' + dbb' dlba' + (lb')) = ( I " d~")bit' + all (((C -+ - dbb' 1/' ((.

undo a" =a.a' + dbb' E(I, 1/'= n' + ob' Eq. I' eu tr u 1\ uvea AB EH "81c auf iciens ii a r8 ti hn ell a" " # 0 s a u IJ " 1" O . I),i(fi a" = (1 ~i b" = [)< 1 1 . 1 1 1 1 < " ;X = (I' ~i Y = b' este Isnlutio nohana .ld a sia tcmului OJ1\I)gell:

(*) { ( f . .o + . db y =0,' . h~. ,: =0.

Detorrninantul m a trice i aces tui s is L e. H I p sl " ~gHI en a2 - db'. Cum d. e s t e libel' dpatra te si a 1" 0 sa u b"# 0, rezull E t L:i 'l a' - til;.; l'[),ki allf~l Vd EQ , CnntradictieD ar d ill a' - db " oj. 0 l'ewli.ii. eil.singura solu tic a sistomului 1 *) este x = "! I =o. H am inadcvarat eii. a" # - 0 sau b" 1- 0 , dcc i AB Efl.

2) SO]observa Crt rnu l ri cea uni t ate E E 11 ~i tie A E If. Sa ari'ilammatrice X EO H.

De asemenea, iumult.irea numerelor intregiZ X Z . .. .. ..Z, (x, y) -+ xy,

este usociutivii, cornutal.iva ili adrrrite pe 1 ca element neutru ..In fine, inmultirea numorelor lntregi este distributira. fata de adunara :

x(y + z) =xy + xz, V x, y, z E Z.Fie n >0 un numar intreg. Dacii a, b EZ am defin it suma modulo na lui a eu b, notata eu a ffi b ~i produsul modulo n al lui a eu b, notat eu

a b ca fiind restul impartirii prin n al nurnarului a + b, respectiv ab :a ffi b def (a + b) modn, a .b def (ab) mod' n.

S-au ohtinut astfeI dona legi de, compozitie pe Z,Z X Z . . . . . . .Z , . (a , b ) . .. .. ..a E E l b ~i Z X Z -> Z , (a , b) -> a b

cll eXlsta II numite adunarea modulo n, respectiv inmuliirea modulo n.Ne pl'opunem in continuare sa studiem proprietatile acestora.

tat util pentru acest studiu este urmatorul:YJ.r ,.T, 11 E Q, .x"# 0 sal! 11 i'0

28

~.

Un rezul-

29


17/62

8,L J, e m ii. Fie a, b E Z. Atul1ci oriearil ar it h, lc E Z avem:(a + nh ) 'ffi (b + nk ) = a 'if) b(0 + - nh ) (b + nk ) = a b .

Demonsiraiie. Pantru orico h ~i Ie E Z avcm :(a + - nh ) + - (b + nk ) =a + b ) + - nth + - k)(a + nit) (b + - nk ) =ab + - niok + - b li + n hk ) ..

Rezulta ca numerele (a + - nit) + - (b + - nk ) ~i a + - b dau acelasi rest printrnpa rt. ir ea cu n, deci

(a + nh ) E & (b + - nk ) = E E l b~i, de asemenea, numerele (a + - nh ) (b + - nk ) ~i ab dan acelasi rest prin impar-tirea cu n, deci

(a + - nil) ( b -I- nk ) =a b .8.2. Teo rem ii.. Operafiile {Ie adunare l inmuI~i:re monuto n . all pro-

Tll'iet:ltile:1) (a E E l !J ) E B C =. E l1 (b ff i e),2 ) a t"B b =-: b E B tt ~3) (a @ II ) C =a G _ , ; ) (b @ c) ,t,) a @ I) =., l) (I,',) ,7 ( ': ;J ( /) 8 , ; , r. ) =, a @ b E E l tt @ C

Demonstratie. 1). Cum a E8 b eate restul lmpartirii lui a + - b prin n ,exista q E Z astfel incit

a -I- b = q + - (a E 8 b ).Din lema precedenta rezulta:

(a E E l b ) E 8 e =a + - 0 ) E B c =a + - b ) + - c) mod n.Daasemenca :a ffi (b E B e) =a E B (b + - c) = (a + - (b + - e)) m o d n,

D a r (a + - b ) + - c= + - (b + - e), de unde (a E B b ) ffi C = a E B (v ffi c).4) Avem:

a b =ab ) mod n = (ba) m o d n = b a.5) Aplicind lema 8.1. avem:

a (b $) = a (b + c) =a( b + e)) mod n =ob + - ae ) mod n ==b EE l at ' = a (8) b E tJ a (8) c.

30

Proprietatea 2) sa demonstreaz.a ca 4), iar 3) ca 1).Sa observam c a adunarea modulo n nu adm ite element neutru. I n ada

v al', s a presupunem el i (j E Z este a sU e] lne l] , (j ffi a =E E l 6 =I, \:f a. E Z.Daca a e: J R . " = O , 1 ,2 , . . . . , n. - 1 }, atunci () E B a = F a psntru cii () E B aE&', , , .C o n lradicyie.

Analog 88 arat a c a lnrnultirea modulo n n u admito element nsutr-u.Asa cum s-s m ai observat, averu:

"I a, b E c l l l . n , =:> a E B b E &til' a . @ b E & ' c " .Putsru deci considera o p e J ' a t i i l e induse pe 1." d e catro operat iile dead ur.are ~i l nmu I tire modulo n,

J A' I! X \~n ~ d R ' l l i (a, b ) --+ a E B b

c\J l" X J)l,n -+ &t", (a, b) -+ a b.Aceste operatii au evident. proprietiit-ile 1)-5) din enuntul Teoremei 8.2

(v . Remarca 5.2). Cum:o ffi a=a Ef) 0 =a, 1 a =a 1=a,

1'8zulta ca numerele 0 ~j 1sint clemente neutre pentru cperatiilo incuso pH~n. de catre adunarea modulo n, respectiv inmult.irea m o d u l o n.In fine, sa mai obset'vamca

a ffi (n - a) =n - a) E B a = 0 ,li cum n- aE


18/62

2 ) Con su ttt nd t ab le !" I nmu ltt r] ] ~i ad'unarii modulo 5 pe 3 1 . , = [o, 1, 2, 3" 4} (v, 3) seco'nslatli ci'itoatn elernentele b E iR , stnt simetrizabile In raport ell adunarea modulo 5 81 ciiLoa to elernentele a E /. " a ;; 0, stnt s irnetrizabtle in raport cu Inmultlrea modulo 5. A~~datl nmu i etapcle de rezolvaru de Ia pet , 1) pot Iiparcurso ~i pe cazul general a :r liB b =, a # < 0,pentr rleci ecuatia a x EB b = are eel puun 0 solufie In 3/.,.

Fie :r " :r', E3 1 . , astret tnctt a x, liB b =0 ~i a :r, liB b =0, At unci aver n :fJ . 1 : . ffi b =a x, b.

Adunind opusul lui b II I fieca1"e t.er rnen al egalit!i~ii prece dent" oh tmem"a:,=ax"

ca d o < . t J 0 =0, 1 ffi 5 =0, 2 EEl4 lcatuias cii tabla op era tiei induse., ,Aratat! cii ol'ice submultirne II,...0 a Iui R este stabil~ til rapo i-t eu ([e 'care din legilc'de compozttie

3.

def. ,Ie[0'. .1~=nax { o: , ~ }; 0'. T ~=min { o: . ~ }, II (t, ~ER.

Alditui~i tabl e!e opera tt ilor induse pe II=Ct , 1 3 , y}, undey =V 3 + ('2,

4.' Fie II =a'E N I (f I 12), Arata~i ell ]{ este 0 pahestabilii a lui N in raport ell fiecaredin legile de compozitta : , de f . ( 1 " ra l_1'=c,ITl,Ill,d,c,{a, b), (l T /'=e,01 ..1l.m,C..a, b) , 'tj a, bEN,

Alciitlliti tabtc!e opcl'a~ii,lor inrluse,~ellLrtL care valort ale po rnrnetrulut real A itervnlu l (2; (0) estc 0 parte s[a!)illl a lui 'nIII ~rapol'~ ell Jegeu de compoz i ti e

I

3.

(leE.T'''!! =~I - 2~' - 2i/ + A, \f ,'I', YEn,Ii, [iie E =r- , {-.,/'3/3, . ;a/a} ~i t., E ,-> H, ,1 '" i"", defi ni te astfel : ,

I',(:Il) =t:, r,(;l'),~ (0: + ~ /3 )/ (I . - x V 3 i , (,,(x) =x - (3)/(1 + , 4 3 ) , II x E E.AI'iitafi cil II ,= { f, ; { " t : , J cs t e stalJilil in raport ell operattu de cornpuncre a ftmc~iilol'~i alclillli\i t ab la opera ti el induse,

7, ,Pe Il delrnlm Iegoa de cnrnpoxitte R x R_, H, (x, 1 /) _ , x'i/. unde "'*Y dOfx + if + :Pij.L Arata]! cu aceasta lege de eornpoxl tte este asoclattva, curnutattva ~i en eleme nt neutru,I nte rv alu l 1 -1 , 00) este I) parte ,(abila' a lui R in raport ell Ie gea rle 'eompozipe ".",

\Aratatt di !e.gll"' de compozf ti de la ex, 3 s int asoclattvs ~i cotnutattve, StudiaFe"is~l c. nl a e icment .u ll ii nel l.Lt '"P\ ti nt ru opera tiie i ndus . pc, i nt en 'a l' el e [(I, b] , [ l l b), (a , bJ. (a , b)undc a, ()ER. a < b. . ..

' \M-al.erllatlc~-,algebra. ci, a XIT-a 33


19/62

!l . Ar1i tat i e li .legile de compozttie definite pe 1\ 1 la ex, 4 slntdia 't i exis tenta e le rnentu.l ui II. ll lTU pent ru aceste Iegi de .cnmpoaltic ~iinduse pe H-= {a E, N I a I 12}.

1U. Fie M =N x N. Pe multimna l l /} i utrorlueeru l egile de uornpozttle :de.f .(x, y) T (e, w)= (x + z; y + 1l i),

(x , y)(z, w)dCf (' !'z + yw, XIV + Y Z )or lcare ar f:i perechlle (x, y ) ~i ( z, ~ ) din M. Aratat! c~ ac este legi de cornpozttle slut a50-'ciative , cornutatlve s l cu element neutru ,

11, Fie M =Z x Z, unde Z* =Z,\{O}. Pe mult tmea M Introducem urmatoarele legi decompozif ie :

(x, yj + (z , w)d.. r (xw + y z, Y In ),dc C(x, y)(z, ,);}=(xz, yw )

or icare ar it perechi le ( . 1 : , y) s i (z, iii) din M. Aratati cil aceste Ieg i de eompo~i ti~ s tntciative, comutative si cu element neutru ,Pie a, b, C E Z, b '" O Pe Z detinim legea de compuzlfie ". ".

X * 1 1 < 1 0 1 ax!} + b(x + u) + c, V x,y E Z.1) Ariita~i eii nO" este Iege, de compozltle asoctatlva dac(i. ~i nurna t daca

, J . i'LV&2 .

b ~ b~ ac = .2) Clnd b ~ b ~ 'oc' =0 legea de, compozrtie ,,' ,i are element neutru daca ~i

nurnai daca b Ie.\ '/13.v Pe multtmea j\f' a 'nurnerelormatur'al e deJinim Iegea de compozrt te N (m, 1 1 ) , _ m'm=m".

1) Cerc etati propri etattle acestet l egt de compozitie,2) Determlnati trIplete]e (m, n, p) de numere naturale diferite de 0 asttel Inclt

"* .

(mm).p =m.(n.p).Pe II se detlneste Iegea de compozttie ".",.

delII X; II - n, (x, y) -4 x.y=xy + 2ax + by.DeJ,enninllp a si b astCel Ined lege"" de co,?,pozltie " ." s a fie comutatlvll $i asociativ!l.Pe II se'deflneste Iegea de compozrtie ... ",

. del(, II X R _, R (x, y) -> x.y=xlj - z - Y + 2.15.

Admit. element neutru opera tla indusa pe M de lnmultirea matricelor ?Pe Il~ ={I l E ItI a >O} delinim legite de compoaitle :

u o l a + bfl__b=--2. (media ari tmetica)

de f V-p. T b._ aba '/ }. b del 2ab

a + bV ~, b E~ + .

Aratati, c a aceste leg; de compozttle stnt eomutative ~i nu slnt asoctatlve, Admit element

(media geometrical(media arrnoniea)

neutru?' ) ' 1 1 1 . Pe M,(R) se defineste l egea de compoz lt lo

A.Bdof AB 'f BA,, ",,'VA, B EM,(R).

Studlatt daca Ieg ea de cernpozi t lementneun-u ?Determtnatt pa~tile stabile finite ale lui tin raport cu lnmumrea. Eote R'-.. Q parte sta-bUli a lui it In raport cu a dunarea ~i [Inmultireaj ?Fie. H lTIultimea numerelor reale -de forma a + b V 2 , ' a, b E Q Co satisfae corrdltla u'--2b' =1."Ariitati di. H este 0 parte stabil-a a lui 'II in rapor t cu tnmuttlron ~i eil toate

",* est e asoctativa (comutat tva). Adrn ite ele-

v \ 1 . numerele din H stnt s lmetrtzab lle ' in raport cu opera tia Indusa,Fie M mul tlmea matrlcetor A EM,(R),A= : } G b, c ER.

1/22.)23.

1) Daca A, B EM, at unci AB EM.2) Care stnt e lerneut e le s i rnet rtza .b i l e a le lui M in raport ell operatia Indusa>

Determi nati elernentele sl metrlzabll e in raport eu t nmulttrea modulo 1: .Jd in 3{".Exarninlnd tabla Inmultu-ll modulo 8, d.educeti ca pentru ecuatla a 0.x (B b=, enC/, b E?., a # 0, slnt pos lhlle numal cazurfl c :

1) nu are nlcl 0 . solut te in 3{ , ;2) are 0 sJ .Qgura solutle 111 5 < f J ;3) ate doua solutl] In (R,;4) are patru solu ti] in 3{,.

Dati c'ite un exernplu de astfel de ecuatle peri tru Iieeare tip.Giisi"\i tcate solutiile din $t" ale ststernulul de ecuatttIiniare

3 0 x E S ' 4 Y =11,4 0 x E i " l 90 IJ =10.

16. Fie M multimea rnatricelor A EM,(Il),CercCtati exlstenta elernentutui neutru, *

25. Fi e, n >0 un numar tntreg ~i * *

AtatiIti:'1 ) A, B E, If " '" AB EM;12) Nu exists U EM asHel lnclt UA =A, VA EM j~) Existil 0 Intinitate de matrice VEM ast te l tnc tt AV=A, VA EM.

34

M = {ta, h) [., bE Z, (a, 1/) =}.1) Dacd (a, b), (c, d) EM"". (ac, ad + be) EM;2) Legea de compozttle ".," deflnlta prin M prin :

(a, b).(e" d) ~ (lie, ad + be)este comutatlva ~i asociativa.

3) Deter rniua tl elementul n eutru ~i elementele simetrlzahlle.

35


20/62

26'. Pe 0 multime ] \ I [ ae d u 0 lege de cornpoz i ti e ,a.oeiativUM x]\I[-+ M, (x, y)-+xy.

Presupunem ca 3a E11 1 asttel Juett y EaM a = a;w I x EM}, 'II/ EM.AriHati eil o asemenea lege de compozl tir. admite element nautru,- t J 2~. Fie "T


21/62

. ~

I. Adu'narea numere lor este asociativa, comuta tiva : ; ; i admite pe 0 ca. ele,-ment neutru. Hezulta e a (N. +) este monoid comuta tiv, nutnit monoidul : ; ; iaditiv al numerelor naturale. De as ernenea , (N, . ) este moi' lOid comutativ.nu mit monoidul muiti plicaiiu : , I I nnmerclor naturale.

2. Fie E 0 mul time '~i !!(E) multimea tuturor piir tif or lui E.Cum:

(X U Y) UZ = X U (Y U Z),o UX =XU0 =X,-x U y =y UX,

'V X, Y. Z E~(E)'1 K EO ~(E)'if X, Y. Z E 'i!:(E).

rezulta c a (!!(E), U) este monoid comuta tiv ..Analog, (~(E), n ) este monoid c.omutativ.

3. Fie E 0 mult ime /? i WeE) multlrnea tuturor Iu n ct.iilor [: E - E. Cum({"g)oh ='0 (.(gah) .lEo{ =o l l ! . " = . 'r/ f. g. It E (if(E)'r/ f EreE) .rezulta ca 8f(E) Iormeazii monoid in raport .Cll operut ia de eompunere.

Daeu E are e~l patln doua clemente, atunci (B i '(E ) , 0) nu este monoideornutativ (v. tabla operatie ilui :!feE) e!nd E ={l. 2}; C~p . II, 3).

Sa ' observant cii Intr-un monoid M sinbadevarate +oate rezultateleobtinut'e in Cap. II in legatura eU elementele simetrizabile.

Daca a E M definirn induct iv p ulerile lui a ell exponent i numerenaturale astfel :

aO =e, a1=G, a' =aa. a' =a'a, an ='h--la, ....sau mai condensat prin

{ e daca 11 =0,a" ~: a,,-J"Q daca n >O.

Demonslralie. Este suf icienn s a aratam ca pentru rn. Iixat., af'irmatiiledin enu n t sin t a devarate orlcare ar Ii n EON . Gil rn

af'irmat iile din enu nt si nt adevarate p entru n =O.38

Presupu nern ea n >0 ~ _ i ell. afirmathle din enu nt slut a devarate pentrun. - 1. Atunei : ,

a'ma tl = 111 '(a tJ -1.u ) =a-m,/un-1)a =a1JJ+~~la=m+n,

Analog. daca legea de comp oz it ie a ~onoidului M este data a ditrv, definimmultiplii na ai lui a, ell n E N, astfel :daca n =()dad! n >O

Hezultatul din teorerna precedenta se transcrie aditiv asttel :I rna. + na =m + n)a, n(ma) =(nm)a '1m, n EN

" ,I R - 1 I Fie M ' multi mea tuturor matricelor A EM~ ( Z ) de forma :

A = a C ) , a ; b, c e: Z.o b '1) Sa se arate e l i M ~ste 0 parte stahlla a lui Ma (Z ) in raport cu inrnul-

tirea matricelor ~i c.a formeaza monoid in raport eu operatla indusa.2) Deterrninati elernentele simetrizabile ale monoidului M,

\')alu/ie.l) Fie A. B EM,(Z).

Averh :.( aAB= 0 aU) + C i l ) eM.bo

Rezultii. ea M este 0 parte stallilii a lui M,{Z) in rap.ort eu lnmulttrea matrlcelur,c~ .E'=(~.~)..M

rezultll c3. ope rn t ia ind~sa pc M admite element neutru, anume pe E,. Opera ti a iudu.a e ste~i asoclattva cact lnmul'[lrea matricelor este asoclatlva. Rezulti\ ca (Y, .) este monoid.

2) Pr esupunem c li . A eU{M). At.unci el


22/62

e= G r 2 :) . a =(~3 ) a = C :. l ~) r 2 ' : J )/1 = c = 1.2 3 ' 1t = .22 :J ," a~.;( : .. 2 ,~ )" ~ = r 2 3 ) y = G 2 3 ) a = C 2 ~), ~=(~ 2:1 3 2 t " 1 :1 ' 1 3 ~

,\sa < \ ' 1 1 " U(/"f f{f i:) = {c , a, ' 1 " 0 " , ~, ~, y}. deci$={e, cr. I t ' . , Ct! ~ . y f4 9

Cum u, bE Z rczulta cil a,b =1 daci i Il = I, , , = 1 sau a = -1, h = -1 ~!QU=-1 daeii" = -1, b = 1 sau (j = 1, /J = ~1. Asadar , dae; ; A EU(M) atune; A est e egaI" cu una diumatricele : '

, ,Heciprnc , rna tr lcele ,d in l is ta preccdent .t s ln t c lemente lnversabf l e a le monoidului JIll, inverselelor fiind. respsctiv matricele : ,

, C J , C E Z-tqupii cum usor so ponte verlf'lca,

1 R - 2 1 Fie E 0 m~ltlme nevida .~i r Ei!f(E). Urrnatoarele afirmatiislnt echivalente :

a) t este element almetrlzabrl al monoidului ( &' (E ) , 0) ib) r este funct ie Jnjectiva.Enumerati e lernentele s fmet rixahlle ale monoidulu i ( il F( E) , 0 ), u nde

E =p, 2, 3}.SOlll l le. n) _ b). Cum r est. element-strnetrlznbl.I, e",isti i g EO 81 ' (E) asUet lnclt :

fog =o/, =~1i'Rezultil c a f este fllnc~ie bijectivil. (v. Ex. Il- t, Cap. 1)., b) ~ a). Cum [: E-+ E este runct le bl jec tlva , pent ru -orlce 1/ EIi exist:\ x EE unicdcterminr it ast re l tnc tt II =(x). Detlnirn g: E -< ,F prin:

,l.rg(lI)=..... P(:t) =Y. If II EE,Avem :

((O,gl(y) =(g(y =tc') = =1,,(1/), V y E E({l0n(:t) "'" g( f(x =Y(II)=:=E(O:), If x E E.

de underog =of =1",

deci r este elejnant slrnetrlzabtl at rnonoldulut (!.f(E), 0) .Presupunam ell E~. {t, 2, 3} ~; f Eg'(E). Cu conventta de In 3, cap. II, Iunetln r sepoate da p rln :

(1f-, . f(1) 2{(2)

.c:.! J:;f'I'-ilTIA (inliPlll , J1-;" r,;"ll'U'

Notiunea de grup. ocupa II,I! IDe centra l. printre structurile algebrtce,Teoria grupurilor are in esenta 0 sursa u nicii : siudiul, in report ell opera!inde compunere , al [unctiilor bijec ii De ale un ei mul/imi in ea tn8(1$i.

Def initia notiu nil de grup se dii imedia t ell ajutorul celei de monoid:un monoid G cu proprietatca c 1 i . orice element x EG este simetrlzab il (tilrap ort eu op e raffa acestuia) se 'numest e [J,mp. Ma ipr-ec is';

Evident, g(E) are 3' x 13 " 3=27 elernente, f fiilrd strnetrlzabll (i::; bljec ttv) dael i ~i numaidac.i vatorlte sale 1'(1), ((2), ((3) reproduc, illtr-o nrdine a r bltra r ", numere le 1, .2, 3. Ave rn de~i:1 ! =6 elements stmet rtzablte,' anume :

_ 1 "'fllnlll' I n r-upfu U ; .} form :o. ~. 10 tn u I " , I,( , ,~OIllIIOJ;IIiI' p i (;

(, (;. (" j r II 1 1/

nUlII',II' '1m/I, d.ua '~iut ~;J.t i~~i il 'l Il t III' I,Huun'I.,. 101111'.

., ",,_(, ~r' (; , "t V I

Elementul e E G, 11 caru iexistenta este. asigurntn de axioma G., esteunic determinat (v, Teorema 6.2, Cap, II) sise numeste elemenlul Ilellitllal grupului G: Elementul x' a caru iexist,enp este asigurata de -axioma etapent ru or ic .e x EG, este u n ic dcterrninat (v. 7, Cap. 11) l1i se nu meste sirne-tricul lui x i in notatia mulbiplica tiva punem x' =x-I. iar in nctatia apitivlipunemx' =~x. numit inrlerul, resp ect.iv opusul lui x.

Ansa mblul de condit iiG1, G. ~i G3 p oarta nu m ele de {(xiomelc grupului.Daca in plus este satisfiicuta : ; ; i axioma

II x, 11 EG, ~atunci cuplul (G, "'r S8 numeste grup abelian sau grup comutatio

L tJ I1. Grupul pennlltcl.rilor de 3 obiecte. F,ie E ={1, 2, 3} .

Sa nolam ou @is mult.imea tuturor funot.iilcr bijective de la E la E,Folos ind r -oo ven t . ia d~ 1a 3, Cap , II, acestea pot' Ii descrise astf'el :

~ ~).3 ) .1 ,

C 2 , 3 )7t= 3 1 .2y = c 2 ~)'4 1

l


23/62

~Cum cornpusa a doua funct.ii bijective este 0 Iunct ie b ijeot tva(v, T'eorema 2.2, Cap. 1) rezulta c a 63 este 0 parte stahila a lui iJf(E)in r aport cu compunetea funct.iilor.Sa alcatu im tabla operatlel Induse pe 63 ,de catr e cornpu nereatunctnlor, opera tie numita e ompun e re a p e rmu ii ir il o r de trei obtecte,

e. a 1t '(1 ~ ye e a TC IX ~ Ya a TC Ii Y IX ~7t 7t e a ~ y ~IX (1 ~ y e 'a 7t.~ ~ y, (1 7t I *i E={l, 2, ,."n} atunei multimea 6. a Iunc -tiilor bijective de la E la E Iormeaz a grup in raport eu operatia de com-

puncre a Iuncttilor , (5D , 0) se numeste qrupu! permu(iirilor de n ohlectesau grupul simdl'ic de grad n. '

2. Gmpul lli i Klein. Fie E =n X n si ~ =iE' U, (I;, w} , u nde u, [l ~i IVsint urmatoarele Iunct ii dela E la E (v, fig. 111.1):

II : E --+ E, u(;r:) =Xl' , ~X2 ) 'II:,E_E, [leX) =-XI' XII).

, w(x) =(-Xl. -x~),V: E --+ E,oricare ar fi ,r =(Xl' :1 :2) E E ~ n X R.42

/\

I

. ,

Fig, 1II.1

Data compunem doua Iunctit din ~ se obtine tot 0 functie din ~.De exemplu, avem UO[ l ~ w. In adevar, pentru or ice x E E, X =(xl xz).avem:

de u nde iloll =w . Sa alcatu im tabla operatiei indusa pe ~ de catr e com-punerea fu n et iilor din & '(E) ._:I IE ' U II IV. . IE IE IVIJ,[! U 1 1 1 ' IV IJ -,11 II IV IE UW IV IJ U I ETabla grupulu iKlein.

Cumcompunerea Iuncfiilor este asociativi . ; ; i IE Eg)[, rezulta cil. ( ~ , 0 ) este monoid. Se observa pe tabla operatiei lui ~ cll or ice elementdin 8J r este simetrizab il , anu me :

Asa dar ( g ) [ , 0) este grup , numit grupul lui Klein. Din tabla op e ra tiei,se deduce c a grupul lui Klein este 'eorqutativ. S a observam eli element.elegrupului g)[ slnt fu nctil bijective. Aceasta se poate verifica direct sauobservind e a lIOU =1 E, Voll =1E," W ol V , ;" ,E ~i aplie lnd apoi rezultatul :de la Ex. R -1, Cap. L

,3. Grupul (~, .. , E t l ) al resiur ilor modulo n. Fie n =4 . ! ? i & 1. 4 = D , 1. 2. 3}.Se stie cil. tR 4 este 0 parte 'stabila a lui Z in raport cu adu narea .modulo 4.'43


24/62

S a alcatu iri tabla operatiei lnduse._2 0 2 30 0 1 2 31 1 2 3 0

" 2 2 3 0 I3 3 0 1 2Tabla grupului ( * ' " @).

Opera tia indusa pe ~4 de catr e adunarea moduld'4 este asociat iv a(v. 8, Cap. II). Din tabla acestei operatii rezulta eli admite pc 0 ea ele-ment neutru, ell.este comutativa l l ' i cii or ic e element din .R 4 estc sirne-trfzabtl in raport ell opesatia indu/lil :

-0' =0, -1 =3. '-2 =2. -3 =1.

. .Asadar, (clil4 EEl) este grup abelian. Analog se arata eil (~~, EEl) este

grup abelian, u n de R, ={O, 1. 2, .... n -I} iar "EEl" este op eratia in-dusa pe d lt n de catr e adunarca modulo II. nilmit grupul resl~rilbr modulo n .

40 Din propriita tiie aduna r ii~j Inrnultirii numerclor, mentionate in Cap. 1, 1. rezulta c a

(Z. + ) . (Q. - 1 - ) . (n. +) .?i (C. +),sir it grupuri aheliene , numit e respectiv grupul adi tio al numerelor intregt ,, rationale, reale, eomplexe.

De asemenea, not. indQ* =Q", { O} , n * =n" ,-{O} si C* =C","{O},

atunct(0* , .) , (R*, .) 9i (C * . )

(sint gwpuri abeliene, nu mite resp ect iv gfUplll mllli iplicaliv al numerelorrationale, reale, complcxe diferite de zero.

. RMiULI DE CALCUL INTR-UN GRUP

CUIll orice gr.up este II1QDQid, calculul algebric eu 'elementele unui .gmpIreneficiaz a de toate r egulile valabile pentru legile de cempoz itie asociativesi eu element neutru (v. 1).

Pe de alta parte, p errtru grupuri avem 0 serie de reguli care nu slnt in-totdeau na 'apHcabile In cazul monoizilor. In esentji, aceste regul! se Iu n da-menteazi.i pe prnprietatea e a oric e element al u nu igrup este s imet rizabilin rap art ell operatia ncestuia.44

J.I. T 0 r.~ m ii. Intr-un glup {, dDt ade varute n'!l1I II d xrm J ,. 'linIII "tInga ~i In dre8pta.:

u.b a - = : - . " I I---Demonstraiie. Presupu nem ci pentru a, b, c e; G avem a.b,= a.c ~i

fie a' slmetricul e lementului a ._ Avem :b ,:""e*b = (a'.a).b =a'.(a*b) =a'.(ae) =a'a)*c =.c =c,

dec] b =, de unde rezulta caeste adevarat.a regula de aimplfficare Ia st:inga.Analog se demonstreazji regula de simplificare la dreapta.

Inflflll Orl.,urr. ur II I, b - I j..'~lla.lill\':,) 2 1'1i ' 0 m a I~i" (G ,Ii

u < ; 0 1 1 1 1 1 1 unl-e in (i nnume I.ul hu '(Demonstrat ie , Daca Xl ~i ita 'slnt .solut iidinG ale 'ecuatrei a. x =i, atune;

deci aU=ll'xa i} i Iolosind . regula de simplificare la st. inga ohtinem Xl =XaAsadar, ecuatia a*x =b are eel mult 0 solutie in G.'

Fie x =i ' " , . II, unde a' este simetricul lui u.Averil :

au =a*(a' .b ) = (a*al)",b =nib = b,de unde rezulta ca x =a'*b esbe solut ie (din G) a ecuatiei a.x =b, unicaconform primei parti a demonstratiei, Analog se arata ca ecuatia y.a =Iiadmite solutie u n icii , Y =Ii a ', .

Daca grupul G este -dat in nota tja aqitiva(multiplicativa) atunci rezul-\atele din teorernele preeedente se transcriu astfel ]a +'b =a + c sau b + a = C -I - a, => b =c,a + x =I => x =-a) + b,y + a = II => y = b -I - (-a) = b - .a,

III

I

I

ab =ac sau ba = ca => b = c.ax =b => x =1-1/)"

4 5


25/62

Cum opera tia unui grup este asoclatlva o $ i eu element neutru, toate rezul-tatele din 1 sint adevarate i in cazul grupur ilor. Astfe l, dad G este grupmult.iplica tiv, a E G ~i n E N, atunci punind

an = { e daea'n =0'a"-11l daca n >0

a vem :

Pentru elementele unui grup putem defini si puteriale acestora cu expo-nenti numere Intregl negativ_e, dupa cum urmeaza.

Daca a E G . '}i nEZ, n 0, deci aresens iI-n preeum~i inversul acestuia, anurne (a~n)-1- . Punem deci:

'tJ Ii EZ, 0


26/62

r~ Fie (G , .) un grup cu n elernerrte si e- elemental neutru al-lui G.I) Demo nstra ti in cazul e in d G este r.omutativ c a

an,= e, Va E G .2) Veritioat! aceasta pr oprieta t e in cuzul grupului 63,Solulie, 1) Fie a" u" ', . a" elernentelr, grupulul G si f ie a un element arbitral' din G.

Conform cu Ex. H-~.elementelaaa 1 au :!, . , aalJ

coluc ld, mal p_utin ordlnea, e ll ai ' Q:!, ~ , _'a,i ! ; i i Cum G estc cumutatlv avern :

e(ah'UlI:,'" .t,un) '= all(aH"a:!I ... , 'ulI)~i prln airnpl if lcare se obtine "= a" .

2) Grupul e, are 6 elemente, deci !l= .. . P astr ind nota tif le f .olosite la, 2, pentru e le rnente le grupului 6, si folo.lhld tabla ope-

ra tiei grupulul 6, se obtine cr' = t,lt = e, IX' =,~ ' =.y" = e.' Astre]' din tabla opera tteigrupulul 6, deducem : 'Avem :

aD = :JX2 = ( ] ' ~ t=2 = ; ~G =2X~ =~2)3 =c:l = e e tc .Remarcii. Se peate. del1J~nstl'a c a rezultntu! de la pet .. 1) este a devarat si pentru grnpnr]

necomutatlve, asa cum de aUfel s-a verificat pentru grupul 6,. 4.SUBGRUPo EXEMPUF

Fiz ionomia unu igrup G se descrie' in esentji eu ajut orul subgruptmlorsale; sub multlmi nevide H ale lu.i G cjirora ope;atia lui G leconfera, de ase-menea , 0 structura de grup.

.Maiprecis:Ue{irri (ie. Fie (G , *) un grup. 0 submuljlme llevidii 11 a luiubqrup at IuiG daciJ; sint satisilleu'le urmatearnle l'ondHiI :LI I) E' H = - x*y E H;.1' EH = > x' EH,t~ ~imetdeul lui .1: (in raport en opcrntja lui G).

Dad grupul G este dat in notatia aditiva atunci conditlile 1) ~j 2)din definitia subgrupulu lxs transcrill' a stf'el : '.I) If z, if EH =:> x ., p y EH;2) '< I x EH =:> .-:1 EH.

48

I II ) U ll 9rnl)' r ol emeu tn l 11"1111'11 III lui G ~i 1 II4.2.IIIl ~u!lrllp al lui 0,1) e EH,2) H cste grl1p rayort eu operat in i I~dll .~ iipl ' } ; I II ' ('IIIF(' uperat ia !lrupll~

1 ;

lui G.Demonstrati e. 1) Cum H " f 0 put.e m a lege un element .r EH. Din 2)

rez ultji ell. six' EH .~i aeum diu 1) r e zulth eli e =cr',':t EH.2 ) Sa notarn cu < p. op eratia grupului G, 'I' : G x G ~ G. Din 1) rezultaca 11 este 0 parte stabila a lui Gin raport cu op eratia < p. Fie 'P' legea de com-

poz itie indu sf p e 'H de. 'P.c p ' : H X H ~ H, (x , y) -4 < pi (x { y ) de! 'P (x , ~).

Evident < p' est.e asociativa (caci 'P estc asoclattva) ~i adrnite ca elementnentru pe e EH, Dad :1 : EH , atunci simetricul sau ;t in raport cu 'P segiSe1i~e in H. deei este simetric al lui x ~i in -raport eu < p ' . Hezulta ca (H, '1/)este grup .

. ,

ExcmpleI. Fie (G, *) un grup, e elementul sihl neutru ~i E ={e}. Atunei E este sub-grup al lui G , nurnit s ub gr up ui u nita le .. In adevar, 'dad x, y E~:-atunci

x =I =e. deci '

x' =e' =e eE..Dad G este dat in nota tie a ditiva, atunci 0 ={OJ este subgrup

al lu i G , nu mit su bq ru pu l z er o.2. Fie 63 grupul permutarllor de trei obiecte, 68 =e, < 1, 'It, IX, (3 . . y},

Urmatcarele submulttml ale lui 63: IE = {e}, H, = {e . a, r r ] , H3 =[e , (It}, H3 = {e. ~}, Il~ =[e , y},slnt suhgrupuri ale lui 6~. Sa facem verificate pentru 'fll Din tabla ope...ratiei grupului 63 se deduce e a elementele lui H1 se cnmpu n conformtablei urmatoare

Q I e (f 'It~ I e (f 'It(J 7t e11 : e {J'Se ohserva pe ac easta tabUi e n ,Hl este 0 parle stabila a luil63 in rap ort

. e LL co ru p u n er e a precul1l si el l opera t ia de trccereIn iavers. dee iHI est esuhgrup al lu i 63.[1 - Matematlca-3'l.getJrA, ct. a ~ 11-; .- 4 9


27/62

3. Fie 11 :;.0 un nu rnar tntreg ~i nZ multimea tutuior multip~ilor lui n,nZ der {Ill! II! E Z}.

Atunei flZ este subgrup al grupului (Z', +) . In a d evar, daca z, 1/ EO nZ.exista h, k - = Z astf'el inc it x =nh, .'1 =nk. Hezulta G ii

x' + y = nli + nk ~ n(ll + k) enZ,-x =-(nh) =n(-h) EO liZ,

dec inZ est e subgrup al Iui(Z, .-l-).Det lnclie, Fif ' (G, .) lUI I< I ' l l , . II ~ ,; S I II

dr ortlin n III gnqlLllu'j (,' dw'a a" (. ~l ,J1 ;I ~).~I uu IIII 1. {/ -

hercifii rezo/vote

I n - = t l Sa se determine ordinul p entru fiecare element al grupului Ss., ,.

Salulie, Pentru elementele IIII 6. pdstriim nolattile de In 3. Folosand tabla operaticlgrupului 6, avem :dect ( este element de ordin 3. Analog se arabi d"este element de 01IUn3. Cum oc t =~,,,' = "01> = e, re~ulU e ll '" este element de ordin 2. Analog se arata ell ~ ~i Ystnt elemente deordln 2. In line, sa observam cii.Intr-un grup G'elementul neutru este 'singuru] element deordin 1.

1 R -: 2 1 fie a un element de or dill ,n al unui grup (G, .).1) Arlitat i ea Hader [e, a, a", ... , IlX-'}este subgrup cu n elements al(-lui G;

) ' 2 1 1 : . . 2 '1 1 : t .)' I d d' I2) Daca .,.=os -" + 1rn-, a unc i '" e st e e.ement e or III n a11 n

-.

grupului (C *, .);3) Dadi U" =[z Eel z"=}, atunci Un este suhgrup eu n elemente

II I lui (C , .), numit grupul ri1 dlk in ilo r d e ordin n ale l l l l i t l1/ i i ;4) Repreaentati geometric elementele grupului U3 (resp. U4 , U,,). 'Soluiie, 1) Fie .'t, 11eII, x =a', 11=",nnde 0 E; i, j j. ])~tllicem ea elernentele lui Fl" "m distifide. .

2) Fie hEN, 0 E; h


28/62

I "

!"ig. III.S.Cu alti termeni, grupul (G , *) est e izomorf eu grupul fI ', 0) daca exisl1i

o apl icat ie bijcct iva f: G -+ r astfel Inc it oricare ar Ii 'X, Y EG imaginea((x*y) a cornpuaului x*y prin f este egala GU cornpusul f ( x ) o f ( y ) a! imaginilorpr in r ale lui :I; ) ; ; 1 y (Y . fig. IlL3) ; pe scurt : imaginea compusulul esie, egaUictl comp usul irnaqinilor :

Daca G siT' sint gnlpuri finite cu cite n clemente, G={a" a., .,.. , an},r={b " b " . . . , b , , } , iar 1' : G--> r este ap lica tia b ijectiva def in i ti i prin{(a,), = b., 1 , , ; ; i : ; naturie' i (este iz ornorf' is ru daca ~i numa idaca p ent ru price i!iij, 1 ,,;;~,j ,,;;n,imaglnea prin fa elementului a;*aj de la intersectia l iniei lui a, eu coloanalui OJ din tabla op e ratiei lui G coincide eu elementul biob; de la intersect ialiniei lui hi =f ( a l ) cu coloa na lui hi = . f ( a J ) din tabla op erat iei lui r(v, fig. UI.4).

Spu nem Tn acest caz e a tablele op e rutrilor celor doua grupuri 'sint La[e ! s t ruc tu ra le ( rela t. iv la f).

!'l.2. Teo r e III i'I, 1'i(' (rr:,,) ~i (I . .,) aOila Hff!,,1.1. !Jat';! /: (; - I'estr izmuurfism. anrnvi ~i r 1 : T ' - . r; f~t(' lzomoritsrn.

Demonstrat ie . Fie u, U E,r. Cum r este apltcatte-btiee tiva ex ist a z, y EGunic deterrniuatl ast fel incit ((x) =u si f ( g ) =v. Conform definit iei aplica-tiei /-1 avern f - l ( l l ) = ; ;i ( -1 (1 1 ) =y.

Dar ,[loll =(x)of(y) =(x*y) ,

_ . a , . .O J - . an~1 : , i. _--------~I - -~'----Q;'~-(Jj

> b~ . " r n

Fi~. lIlA.

52

f i t ' IIIHe/ " - ' ( 1 1 0 1 ) =ny = t: '(u)*r-'(y)

~i cu m {-I e s t e a p l i c a l i c b i j e c t . i v .a , rezul ta eli. r - . l e s te i z o mo rf i s m .Exe mpln

". (It + ) . . . . , ( ll ,, _, . ). Grupu! aditio (It, +) al n umerelor reate csle iZOlllorfell qrupul multipl icatio ( n + . , .) al n nmerelar r ea te s tr ic t' p oz it io e.In a devar , fie 1I '"' R, a> 0, a * 1 ;;1 f: R -+ R+,

f"(x) =u",Cum ( est.e ap l icajle b ijeclivfi 9i,

If x ER.

/"(x + y) =(I"+Y =a"a Y =(1:) f"(y), If .1', y E R,rezultft eli. r este izomorfism.

Sii ob se rvam in ac est caz cli inver sul izomor f'isrnulu i(estc nphcn t ia1 " - 1 ~ U *+ --> n,

.~i a vern :(-1(:I:Y) = logixy) =lo g .1: + log, 11=r\t) + (-l(y)" \j .1:, YE Rj_ .Iuue doua grupuri pot ex lsta ma imulte izomorfi~rne, in cazul {[e 'fa ti ic h ia r 0 i n l t n i t a t e ( I n o r i c e a> 0, a * 1 , c o r e s p n . n r l e u n i z o m o r f i s m } .

2. (Q, +)


29/62

Avern 'I*,u =b. III adevar, 1II1 pu tern avea (1,1>(1 = = a did a s-ur repeta

In linia isa. De a semeriea , ~u pu Lem avea ~Hl =e cad atu nci, ca sa evita ml'epetarea lui a '5i e in Iinia lu i a, a m fi ohliga ti s a pu nem aeb =b, ceea c eproduce 0 repetare a lui b in celoa na acestu ia .

Cum a*(l = b , pentru a evita rep e tarea elementelor lui G , in liniile ~ic oloa nele tablei op e rat iei acestu ia, tr ehu ie sil avern q . *b =e, be u =e,b b =a. Analog, se com pleteaza tabla op eratiei lui r.

* I e b o I f) u II': I ab /1 ~ Ibe(I o ItV6 IItluII11Definind [: G ~ I'prin {(e) =e, { (a) =II ~i {(b) =J, r ezulta e a f este

i z o r n o r f is rn d e g ru p u r i ciici f - e s t e a p l i c a ( i e b i j c c t . i v a ~i t a b l e l e o p e r a t i i l o r celordoua grupuri s int Ia Iel structurate (relativ la t').

Reuu nt ind ] 1 c onditia de bljectivitate din def init ia iz omorfismuln l seohtine notiunea mai geElerala de mortism (omomorfism) de grupuri, anurne :) d . . . . !l IIU I. I .

1(, ~4 de la grupuL (Z, +) )a grupul (514, E E l ) ,

f(a) =a mod 4, 'r/ a EZeste un morIisrn de grupur i. In a devar. daca a, b EZ, fie a1 = (I mod 4,bi=b mod. 4. Exists h , k EZ a stfel inc it :

a '= 4h + Ci t , b =4k + b1IIi conform Lemei 8.1 Cap. IIavern :

: a if) l.i =(II G;l bI:Rezulta ea .r(a + b) =(a + b) mod 4 =a E E l Ii = a, E 9 h, =(Ii) ffi (b), V a, Ii EO ' Z,deci f este morfism de grupu rl. Se ohserva ca f est.e morfism sur jectiv darnu est.e injeotiv, 'Astfel :

(7) =7 mod 4 =3 =19 mod 1'= (19).: - J . I. T I' II I' r III II. I'II' ((I 1 ':' I, (I

n~llirl'n e lui (; ~i l' I''''p''''lh_ IIIH:~atuue i:

Ipl t !'.i I 1110111 II

I) / ' 1 " )2) I(.r'l

{J ;(j't.r))' V ,I' (, ,

uud .1" esu- ~1I1l1ll'il'l Il lu i1 iar (/(.1')) ',. ,in' Illul In J .)54

Demonslraiie, 1) Avem:f l o f ( e ) =fee) =(e~e) =(e ) of (e )

~i prln simplificare ell fee) se ohFne 6 = f(e),2) Pentru orice z EG avern :

6 =f(e) =((xu') =(x)of(x ')deci e =(x)o{(x ') !? i analog f(;r;')af(x) =6, de unde ( f(x , =(x'),

Fir ( r 1111 'gcup. Un i ZO m ll rL ls ll I ( rn or f ism) [': G ~ G se numestc Qllf,IPlor-.{I~IIIH';"jJ. cnrlrl l1wr{ism) : . 11 g 'mpul u i 0,

Exercit i l rezofvcteI R - I ' I Fie (G, *)ungrupcupatru'elementeastfelincitx'=e, IIX'EG,

u ode e este elemental neu tru.1) Aratat! ca G ~ ~ C " unde C , este grupul lui Klein (v. 3).2) Aratati eli grupul (G, . .. IIu este izomorf eu grupul (~4' B ) ,Solutie, 1) Fie G={e, a, b, c}, Table! e operattttor grupurtlor G ~j C slnt (v, ~ $iE .x . B-3, 4):

I e a b o I 18 U II W~ I a b c i8118 u I' wa it 11 1" w "e a v w 1B U'" b, a !V v u 1"4-plica~ia r : G __, ; ; J C defi'nitil. prln fee)=1". f(a)=n, (b ) =v, ftc)= III este Izumortlsm caeitab le le operatulor cetor douii grupuri slnt Ia tel de structurats (relativ Ia f).

2) In adevar, sa presupunem eli exis tii un izornorfisrn f: G -+ 3 /" s t f ie x EG astrel !licltf(x) =3. Atunct :o =ee )=(x.x) =Ix) 6:l f Ix) =3 6:l 3=2,

Contradtctt.

r R.:._2 ) Arata t! eli aplieatia f: Z -+ C*,2h '1t ., 2h rr:'Wl) =C08-, +SU-" lib EZn n

este un morfism de la grupul (Z, +) la grupul (C*" .).Determinati numereIe x EZ astfel Incit f(x) =.Solulie, Pentru orice h, k EZavem :

2(Ir + k)7 t .. 2(/1 + k)rr ; (' 2 11,. .. 2 1 m )(I!+k)=cCiS '. +8'11 = COs--+isin~.n n . n n..'(cos 2k,. + i sin 2krc J =(l.)(k)

n n .~i deci f estc morlfsm de la grupul (Z, +) la grupul (C*, -). ~

\ 55


30/62

Se ObSCTVii cil pentru x EO Z avem ( ( X ) = dnca ,inumai daca2x 'Tt 2xn:cos -- + isin -- =1n n

Ceca co cste posibil dadi sl numai dad!2X11: =1t/c, k.; Z,n

Rezultii eli {(x) = 1 daca ~f numal daca x =nk, lc ' " Z, deci (x) =1 dacii "i nurnaidacil nix.B"Pentru orice aER, definim ta o l R --+ R, l"(l:)"~ x -: P a, I V x ER.Ari i .La\ i c a :. 1) Mul tirnea Sf(R) ={ ta I' a E.R} est e grul? In raport ell cornpunerea

functfilor.2) Grupul (R, +) este izomorf ell gnipu! (Sf(.R), 0) .So1r~l ie. 1) Pentru a, b EO R, nvern 1.01, = ia+ ,. In adevar, oricare ar fi x EO H avem :

( t,ot ,)(x) = 1.(1(x = t.(x -I - b) = x -I - b -I - a=aH(x),de unde 1;0(" =. + " , deei cnmpnnsr ea Iunetiitor indfIce 0 lege de-cornpozitle pe 8I'(R) evidentasociat iva .~i cu element neutru, egal eu 1n= I~ESf(R).

Cum .' ,taoL"I =a + c _ a} =J = ic_a)+a =~aot(f ! V a ER,

rezulta ea 1-;;'= C., 'rI a E R, deci (gF(R), 0) este grup.2) Fuuctia f: n _.8J(R), {(a) =a, este bijectivil si

. r (a -I - b) =o+ > = t,ol, =(u)oJ (b) . 'rI a, bEn.

Exercit i i

1. Fie M =Z[i]={a +bi I a, b EZ}.1) ATa~ati ea .Meste 0 parte sbahlla a lui C In raport cu. Inmultlrea ~i dl Iorrneazhmonoid comutativ in raport cu operatla lndusa,1 2) Determlna ti elementele simetrizabile ale monoidului (M, '. ).. dcfAril.tati cil' corespondenta (x, y ) - ;- ' x*I1_(x + 11)1(1 + xU) este 0 lege de cempoaltre

pe tntarvalul G=~1, 1) sl eii (G , .) este grup abelian .Fie. =-1/2 + i V 3 , i 2 si G={l, 0, e'jC C~

1) Ariltati eli G este 0 par te stabtla a lui C in raport ell Inmulttrea si alcdtuiP tablaoperatlel induse,

2) Deduceti eil (G, .) este grup abelian.Fie E =R" {O} 1 i f,: E'.....E, 1 '" .; ~ 4,

,~ 2.

1 3.1;/

f,(x) =. x, 1{,(x) =-, (,(x) =- x, f.(x) =x 1 , 'rI x E E.x1) Arata ~i eil rrrulttmea G= f" f" f" f.} cste stabilil in raport eu cnmpunerea

Iunctl llor s l a leatuit t tabl a oper a ti ei induse,2) Deduceti eil (G, 0) este, grup abelian,

56

J Y 5 . FieE=R"{O,l}sif.:E .....E t~i ,~6,1 x ~ 1 1f,ex) =, f ,( x) =-.--, r,(x) =--, f.(x~,(x) =1 - x,1-x s: ~ xf o { x ) =_x__., V X ea B.,x ~ 1

1) A~atati cil rnulttmea G={f" f" f" f.. t; f,} este ~tabila In raport cu cornpu-nerea tunctiilor ~i alcatuttl tabla opcrattei Induse, '. 2) Deducetl c1l (G, 0) este grup necomu\ativ.

Fle G= (0, (0)"{1}. Aratati cii corespondenta

\t 7.

,let(t, y),-+ :coy-_" x'",este 0 l@ge de compozttte pe G ~i ca (G, .) este grup comutattv,Fie G=[-1, 00), T' =-1, 00) iii urrnatoarea lege de ccmpozttlape li"

8.

rlcf i(x, y) _"x.y =00+ y + xy.1) Arii ta ti ai lG'ii I' stnt parti stabile ale lui li, in rapurfcn Iegea de compozitie

. 2) Daca ..T ", ~i "j_" sint Iegtle de cornpoertle indus" pc G respectlv 1, deat unci (G , T) ~i (I', j_) stnt monoizi comutatlvt,

3) Care dintre monolzit (G, T) .5i (I', j_) estc grup ?Pe Z sa de tmesteJegea /' tle compozl tie

Z X Z .....Z, (:c, 11 ) --> xj_ ~ x -I - y - 1.IAratatt eil.(Z, j_) este grup abelian.Fie (G, .) un grnp comutativ ~i a EG. Fe G se detinestc legea de cumpoaltle

G x G -+ G, (x, y) ... .. x .L yde! x'V.a., '/ ; 9 ..1- 10 . Ari it aF ci l (G, j_) ~ste grl1P.F ie (G , .) un grup el l proprl ata tea ;

(xYJ' =, x'V', 'rI x,' Y EG.A~atati rca G est.e grup abelian,Fie (G, .) un grup en pmprletatea :~ r JUArata \l cil G este grup abelian.';2. , .Fie (G, j_) s i (G, T) doua structurt de grup definite pe aceeasl multlrne, Daca legile de.compozitie "l.. II si ,.T II au acelasi element neutru .~i i' " r' X r t 1f

X .L Y _ = ('l' T x) T (x TIl), 'rI, x, U EG I1) x j_ y =1: T y,2) x .L y = .L x,

'rI x, !J EG'rI x, Y EG.

23

2 3 ) .3Sii se gaseascii ~E6, asttel lncit Oo~=y.

iY 7. .


31/62

1 < 1 . Fie a, reE6.,


32/62

32., He G 0 rnultlme "i G X G:-, G, (x; y) _, xg 0 lege de compoxitle aseclatrva. Urmitt~~J,rel~atirrnal iisint echlvalente :

1) (G, :) este grup :2) V a, b EG exista x, y EG as tt el tnc tt ax = b ~i ! / 1 ! = b.

33~. Fie H II submuljirne nevida a lui Z. Urmatoarele ~finl1a}ii slut echivalente :1) H este subgrup al lui Z ;2) 3 n ~ 0 asttel IncJt H= nZ.

Fie z '" C. Aratati c a exist .. 11 !> 0 asttel Incit z" =1 [laca ~i num;, daea z =os 2rn: ++ is in 2r1t, Cl,J r, E Q. \Fie R un subgrup ell n ele~cn te a l g rupu lu i (C" .J. Ariitat-i cit II =u; unde U .,5legrupu l radi icini lo r de or drn r t ale nnltatit.35*~

3&', Deterrniuati ~utomol'fismele grupului (Z, +).

,INEI,E $I CORPUB1

1 DEl":INITIA INELU1.U .._ I !:XE:MPLEVom studia in continuare 0 -noua S'tructura algebrlca stmctU"ra de

ind. Not iunea 'de inel s-a degajat initial in ca drul teoriei nu rnerelot, u ndea aparut sub numele de inel de numere, prntotlpul Iiind Z luat Impreunaeu operatiile de a du nar e : ; ; i Inmult ire a nurner e lor intr egi,)respeetiv Z X Z ---> Z, (z, y ) - . x + y,z X Z --> Z, (x, y) -> xy.

Ulterior, not. iunea de inel a .avut numeroase aplicatii in diferite domen iiale Algebrei (inele de polinoame , inele de rnatr ice) , in Analiza matematica(inela ri P lunot.ii},in Logica matemntica (inele booleene) etc.

1.1. ])('f,il1i /i f. 0 mul tlme nell:t1i! A, lnat'! w!JrclI!lii en lIouo J l ' f J idl'{'flJlll'o'l.itil' (In{I/Tlar,'" ,~i lnrnuliirea]

.1 X 1 1 . .. ,' Ii, (C, y) ~ X + U

I II

'I' 1I11J1l('!~h' iie ! d ,I (:; 1 :G) (.i, I) rsh; g l' lIl ' ablllhn,H) (A .. ) extn monoid,fJ) inr mlti fl.'H -ste fn~trj~!!th~ S(,,~::,j!Je a du nare , u nu ru e :

,11Ii 1 .) = l'Y -I- x= (! l -:- :) .c =x + = : : ; . It ,0, II, 2 E A.Afirrna tia ca (A, +) este grup abelian rev ineIa faptul c a adunarea inelulu isat isfacc axiomele :

'G1) (x +y) +z =X +(Y -pz) II x, y, Z E:.4,G~) 3 EA a s tf 'e l In c it -I'x =X +O.=x II x EA,Ga) \f X EA, 3 x' =A astfel Inc it x' +x =X +x' =0,G 4) :t + y = + x \f x, yEA.Afirma~ia ca (A, .) este moncidrevine' la Iaptul c a Inmul tlrea inelulu isatisface axiornele :

I

M1) (xy)z =x( !Jz) I I z . y, Z EA.M. 3 1EA astfel Inclt lx =x.l =x IIx EA.Vom spu ne ca (A, +) este grupul aditiv al inelu lu iA. Ansa mblul de

conditi] G, -G4, M" M 2 ~ _ i 'D poarta numele de axiomele inelului, Elernen-61

It


33/62

tele 0 !iii 1 slnt unie determinate l? i se nurnesc elemeniul zero, resp ectiv ele-menlul unUaie al inelului k Inelul A se numest e {inii daca A are doar unnumar Iinit de elemente. Elementele x E; A slmetrizab ile in rap ort cu lnmul-ttrea lui ,A se nu mesc elemenie inuersabile san unitilti ale inelu.lni A.Daca Inmulttr ea inelulu isatisface inca si axioma :M 4) xy=xy 'V x, Y E; A

spunqm eli. A este inel. comutaliu,(Jillnilit. Spunem di .Ii est-a rn~i f a r a .divizori .ai lui 7.C'I'O dn,u

f i'();\ i Y # 0 ~ :cy # O.I'll uiel cornuta tiv eli eel puttn douji elernente ~i ':5.ra diviaor! a ilui U'O:>0n:m est e !latneniLI de inleil"fi[a!e.

Jhl'mpll'1. lnelul Z al iVlregila! ra/ionall . Din proprretattle a d unar ii l ; \ i Inmultirft

numerelor Intregi, enumerate in Cap. I, 1; rezulta ca (Z, +, .) esteinel comutatjv, numit inelul i:nlregilor ratioiwli.

2. Inelul Z[i) al iniregilor lui Gauss. Fie Z[iJ multimea tuturor uumerelorcomplexc d '! , forma a + bi, eu a, b E; Z,. numite infr.egi ai lui Gauss. Dacaa + bi ~i c + di sint. din ZIij, atunei

(a + bi) + (c + di) =a + c) + (b + d)i E; Z[il~i(a + bi)(c + di) =(ae - bd) + (ad + be)i E; ~[i].

Rezulta el i Z[i J este 0 parte stahila a lui C in raport cu adunareasi inmultirea numerelor complexe. Evident, operatiile induse verifica.~xiomel~' G il G 41 Mll Mg ~i D. ,Cum .u =0 +Oj o}i1=1 + 0-i, rezulta c a aeeste operatii ver ifica- ! i i iaxlornele 62 : ; ; i M2 In fine, pentru orice Z E Z[i]. z = + fb, avern-z=(-a) -jl (-b)i EZ[iJ, deci este verificata si axioma G 2 A~adarZ[iJ este inel comutativ In raport cu oper~tiile induse pe ZIij de a.dunarea~i Inmultrrea nurnerelor eomplexe , nu mit inelul intre'gilor lui Gauss. ..

3. Inelul ( & ? n , $, (8) al resiurilor modulo n. Fie n un numar intreg poz.itiv~i ! R . " = {O; I, 2, ... , n - I} C Z. Op e ratiile induse pe . ! i I . " de adunarea:; ;i inmulf irea modulo n satisfae axiomeJe inelului eomutativ (v, B,Cap. II). Asa dar, & ? " este inel eomutativ in raport en adunarea : ; ; i lnmul-[irea modulo n, numit inelu! resiurilor modulo n.

Un interes .aparte, prin aplicatiile pe care Ie are in diferite domeniiaie tehnlcri'{arrtrnetica calculatoa relor , reorfa eodurilor).il pr ez inta ine lul( ! R . z , (B, (8 )

62

E e l 0 1 ( 8 ) 1 0 1010 1 0 1 0 01 1 0 1 0 1.

Tablele oper~ inelului ~2 =D, I}.

" -,

. )InInelul 3I.~ avem 2 03 =0,4 03 =0, dcci(! Ro , E e , 0) este inelcu diviz ort ailu i zero.

4. ( q , -r , '\ (R, ~- r , . .) ~i (C: - 1 - , . ) stnt inele comutattva (v. Cap. I, 1).Sa observ.am ca pentr~ o;f1ce x # 0 din Q, R sau C exista y # 0 din Q ,R resp~ctJv C:. astfel. Inc it : 1 ; 1 1 =1. Inelele cu aceasta proprietate suplj-meutara VOl' II studiats mal tirz iu.5. !nelul md. lri~elor patraii ce . Fie A un inei. Inelul A poate fi orieare dinll~elele.Z, Z[J], ~':' Q etc. Notamcu M2(A) multirnea, tuturor matrieelor Upatrahce de or din 2 cu coeffr ient] din A,

Dadi D, V EM2(A ) ;U =a l l al2)., V = ( b u b12.a 21 (j izz b 21 022

definim matrlcele U + V si UV prin

Matrieele 6, E ~i -U din _M2(A) ,. 0 = ( 0 O ) " E = ( l 0 ) , _ u = ( - a l.1o 0 0] -un - a n )-a2se numesc resp ectrv . tnairic ea ze ro, malricea unitoie, opusa matricei U.. Am a mint.it ~ aerie de proprietati ale adunart, ~i'nmultirii matricelordill M2(~):. D.e~onstr~t~~le mult ora dintre ele se fac invocind propr ia ta ttale adunarii !?l Inmult.iri] numerelor reale, care slnt de asernenea a devarat epentru adu.~area ~i. inmulttrea oricarui inel A. Din acest motiv, a se rneneademonstratu pot fl reproduse 9i p entru rnatr lcele din M2(A). Peaceasti:ieale se poate demonstra : .

G1) (U + V) + w=U + (V +W ),G2) 0 + U = V +0 = V,G3). u + (- U) T= (- U) + U = .G4) V + V =V + U,Mj) (VV)W =U(VW),M2) EU = VE = = V,D) U(V + W) =UV + UW: (V + W)U =VU + WU

oricare ar fi U, V, W EM2(A).63


34/62

Rezulta c a a dunarea ~i Inmul tirea mutr ioelor cOuferi i lui M2(A ) 0 struc-tura de inel. .

La fel se organiz eaza ca inel multirnea Mn(A) a matr iee lor patraticede ondin n ell coeticient! din A., Clnd n > 1. inelu l M..(A) nu este comutativ ~iare divizori ailu izero.

Astfel, daca V, V EM 2 ( 3 { 6 ) '

u = G : ) , ' v ~ G ~ )atunci1 O ( ) 32) =0 00)3OEB32 033)(3 3 ,. 0 ) ' =1 '0 3ff i3 32 3 03 ff i3 3

deei inelul M2( 5 { a ) ' are diviz ori ailui zero. 2. REGULI DE CAiLCUL lNTH-UN INEL

Calculul algebric eu elernentele unui inel henoficiazji de toate reguliledate pentru grupuri l ji monoizl daea Slut impl ieat e separat adunarea , respectlvInmultirea inelulu i, In afara de acestea, iutr-un inel avem 0 serie de regulide calc~l specilioe, care se re fera la ansamblul celor douji ope ratii ale inelului,1. P enlru orice x E ,'A ullein~ xO =0:11=0. In a devar, fie y =.to. Cum

xO = x( O + 0) = xO +~O, avem y = y + y. Atunci :o =y +(-y ) = y + y) + (-y ) = + (y + ( - y = + 0 = Y =.tosianalog, O x =9.

2. lnit-un inel A cu ' ee l p u ti n doui'i elemenle avem 1 '# o .In adevar, dac'a 1 =0, atuncl x =Ix =O~'=, de uncle A ={OJ,Contradletie !

3. (r egula sernnelor) . O rico re a r fi x, yE A auem : (-:t)y =( -.II)=-x'Yj si (-x) (-y) =xy. ,In adevar , 0 = .11= -x) + x)y =(-x)y + xy =xy + (-x)y, de

unde rezulta ca (-x)y este opusul lui xy, dee i(-x)y =-xy. Analog,x( -.II) =-xy. In" fine. (-x) (-.II) =- (xC - . 1 1 =-( -xy) ~ xy.

4. (distributivitatea Inmultirll fata de scadere). O rica re o r r i' x . IJ , z EA.,.auem : x(y - z) =xy -xz '~i' . I I - z)x =yx' - zx.

Reamint.im ell y + (-z) se noteazji cu y - s. Av em :x (y - z) =(y + (-z =xy + x( -z) =p - xz

~j analog ( . I I - z) x =v yx - , z x.64

5. lntr-un inel A (lira diuizori ai lui zero, din xy =z sau yx =X , cu x "f i 0,~ezulii1. .I I =. .

In adevar, dac a xy =XZ, atuncix(y - z) =xy - Xt =y - xy =

sl cum x 0 rezul ta ea y - z = 0, deci y. = z. Analog, din yx = zrezul ta y =.

E xe rc if ii r ez o/ va te

1 R - 1 I Ar iitati ell. lntr-un' inel comuta tiv A avem:Va. b E'A) (a + b) (a - b) =a2 - b ,

2) (a +b)2 =a2 + 2a b + b ,unde 2a b =ab . + ab (v, Cap; III! 1).

Sol1,!/ie. Folosind dlstrlbuttvltatea inmulttrtl f~lil. de adtrnare si apoi fata de scaderej avem;' '\ .

va, .b EA,

(a + b)(a ~ b) = a(a ~ b) + b(a - b) = ail - ab + ba - bb==a~.~ < f i t + ilb - /;~=a' - b'.

2) Conform d.finitiei putertlor UUlIl element st dlstrlbuttvttatl! Inmulttrn tatil. de adu,narc, avern :(a + b)1 = (a + o)(a + b) = (a + b)a + (a + b)b =a' + ba + ab + b'=

=a' + ab + ab + h' =a' + 2ab +" b'.I R -- 2 1 Fie A un inel eomutativ cu proprietatea :(ex), v EA.1) ArUati e a (a + b? =a" + b", Ita, b EA ;2) Aratat] ea inelele 3{ i1 i M2(~3) au proprietatea (ex).Soil l / ie. 1) S a aril.tilm III.-Inceput el l lutr-un inel comutatlv este adevdrata lonnula

(a -I - b)' =a' + 3a'o + 3ab' + b', \fa, b eo . . - I .In adevar , lolosind rezultatul de Ill. exercitiul precedent, avem :

(il + 0)' =a + o)'(a + b) = (a' + 2ab + b')(a + b)== C a' + 2ab + b')a + ,(Ii' + 2ab + b')b = a' + 2a'b + o'a + a'b + 2ab' + bl=

~ aO + 3a'b + 3ab' +b'.Oar

3a'b= alb + a'b + a'l>=.~ianalog :tab' =O de unde (a + fI)' =' + b'.5 -' MllematlcA-aigebd .cl. a XU-a 65

I

-- - -~


35/62

2) fn i ne1ul 3 1 . , avem :0$0E90 =(0Ej10}$O= 0E90=,lEIHE91= (1$1)E91 =$1 =0,2$2E92 = (2$2)$2 = lE92=,

de unde a$a$a =0, V ae3 1 . , .Fie U E 1 \ 1 , ( 3 1 . , ) , U =(: ; J cu a, b, c, d G3 1 . , .

In Inelul 1 \ 1 , ( 3 1 . , ) avem ;b$l>E9bJ=(O O J =.d$d$d. o 0

3, INELUL CLASELOH DE KESTUHI MODULO 11

. Fie n > 0 ~n. nurnar intreg. Conform teoremei impartirii ell res t, pentruonce a EZ exista q, I' EZ unic determina t l ast fe l Inctta =nq + 1', 0 ~ r 0 sint posihile res-turtle :

0., 1, "" r , ... , n - 1.. Prill Impartirea lui a la n se ohtine restul r -daca ~i numai daca' a este

de forma nh + r , eu II EZ. Multimile de numereCr, ... , Cn-l'

u ndeCo =a EZ I a mod n =O} ={nll I 11 EZ} =nZC1 := {a e Z I a mod n ~ I} = {nh + 1 I h EZ} = nZ + 1

:= {a EZ I a mod n =} ={flh + r', h EZ} =nZ + rCn_l = {a EZ I a mod n =n - I} = {nh' + n -1 I h EZ} =

=nZ +n,-lse nurnesc clase de restur i modulo n.

Asadar, un nurnar intreg d apart ine c1asei C, diica . : ; i numai daca a Im-par~it la n dii restul r,a EC, "* a mod It =.

in particular r F_ C,. pentru r E {O, 1 r 1} Cl' d turi C-, . . ., ~-'. as a e res UTI ','se not eaza de regula cu ;, Asa dar".r =C r =nZ +r, rE {O . 1 , .. .. . n .--if.6 6

Sa notjim eu Z" multimea claselor de resturi modulo II,. . . . " " , I t , ~Z" ={O, 1, 2 ." . , n-I},

Dacfi ~, b EZ., definim Sllnl(l d + b si p rodusul ~ b prin :" " ..,/"--...a + b dol a E !1 b,

Se defiuesc astfel pe Z", 'doua legi de compozttie :A A ..... Az. X Z" ~ Z., (a, b) -+ a + b

Z" x Z" -+ Z., (~, b ) - , ~ h .numite adunarea, respectiv innHlllirea claselor de restur i modulo n.

Astfel.. pentru n =6 avem Z G =D, 1 . 2 . 3 , 4 . 5 } Iii tablele aduniirii.si Inmul tirii claselor de resturi modulo 6 s lnt e

+ 1 " A " /'0 " " I " .. . " " A A0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5A A A " A A " " A " " " " A0 0 1 2 3 4 5 0 0 0 0 (I 0 0A " " " . . . . A . . . . A A A A " " A1 1 2 3 4 5 0 1 0 I 2 3 4 5A A A A A A ' .. . " . . . . A A A A A2 2 3 4 5 0 1 2 0 2 4 0 2 4,

A . . . . " A A " "A . . . . A A A A A3 3 4 5 0 1 2 3 0 3 o 3 0 3" A " A A A A A A A A A " "4 4 5 0 1 2 3 ,4 0 4 2 0 4 2A " . . . . A A ." A " A A A " A A5 5 0 I 2 3 4 5 0 5 4 - 3 2 1

3.3. Teo rem a. Adunarea ~i inmulfirea nlaselor de resturi modu.lu ncunfera multimii Z,. 0 struetura d~ inel comutativ, numit inelul c laselor derestur i modulo ' n . .

Demonstr tuie . S a ' verif icam -axiome!e inelu lu i comutaUv. In esen~ii de-monstratia se fundamenteazji pe faptul ca & t i l = D , 1, 2 .... , n - I} areo structura de inel comutativ in raport ell operatiile iriduse pe $.n de adu-. narea si inmultrrea modulo n (v. ex. 3, 1). De exemplu, axiorna D severifica astfel :

" " : A


36/62

CumA " ~ I\ .... A ~ 1\o + II =0 E E l q =a, 1 Q . = a = a, va EZn'

rezulta cii ~i ,a xiomeie Gz i M2 slnt verificate.In fine, avem

A""...______ "11 + n - a=1 E E l (n - u) = , 'Va EZ~, eu a o f. 0

deci oriee clasf a EZn este slrnetrizabila in rap ort eu a dunarea claselor der esturl modulo n

A _ ,.... .,_ "-a '=n - a, vo EZn' a o f. 0 ~i ~ L 'o-0 =O.A A3.4. Remcihil. Clasele de resturl modulo n all fost notate cu 0,1, ... , n - 1, Numerele" "J 1 . ,. , . . J J: . - 1 se numesc r eprezentantii CQfWIilCi ai claselor de resturt 0 , 1 , .. I, n - 1 respecttv,I n 'a'pllcatii este adesea pre fe rahl l s~ desc rie rn c lase le de resturi ~i cu alte numere care" 'x clasa de restu ripartin aenstora. In acest, sens, pentru once x 'E Z, se notea:1.a ,cu" ~en 0 ~ r


37/62

"sadar, adunln d pe 2y 13r tccare termon a l ccunue t~ . - II doua so obtlnc" "'0 (=2y

de undo, prt n inmultlre eu (5)-1= deducem..... ...... A A5 (5et) = (2y)

decl

, "~I In dcfinitiv 0:=y. InJocuind in prima ecuatlo pc Ct . ell 4 y accasta devine" "y = 1

d' A. A,., A "eel y = 5 ~I a tune ! O! =4y = ,1.5=2.Analog se rczo] va sl

Mat Algebra Xii

Documents

n e d i t

b b contradictie

b unde

g h i o c

b e rj

yxorreare ar f i z

pentru x e q

r x e z