Master - Automatique - Chap. VI : 1 Chapitre VI :Description interne des systèmes linéaires invariants (SLI) - Représentation d’état VI-1 Introduction VI-2 Représentation d’état VI-3 Obtention des équations d’états VI-7 Commandabilité et Observabilité d’un SLI VI-4 Solution générale des équations d'états VI-6 Représentation d'état d'un système échantillonné VI-5 Expression de la transmittance en fonction de la représentation d'état ( Matrice de transfert)
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Master - Automatique - Chap. VI : 1 Chapitre VI :Description interne des systèmes linéaires invariants (SLI) - Représentation détat VI-1 Introduction VI-2.
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Master - Automatique - Chap. VI : 1
Chapitre VI :Description interne des systèmes linéaires invariants (SLI) - Représentation d’état
VI-1 Introduction
VI-2 Représentation d’état
VI-3 Obtention des équations d’états
VI-7 Commandabilité et Observabilité d’un SLI
VI-4 Solution générale des équations d'états
VI-6 Représentation d'état d'un système échantillonné
VI-5 Expression de la transmittance en fonction de la représentation d'état ( Matrice de transfert)
Master - Automatique - Chap. VI : 2
VI-1 Introduction
Nous allons dans les chapitres VI et VII introduire un nouvel outil pour l’étude des systèmes : LA REPRESENTTION D’ETAT
Cet outil utilise l’algèbre linéaire (calcul matriciel) dont les principaux avantages sont :
Un même formalisme pour les systèmes analogiques ou échantillonnés.
Un même formalisme pour les systèmes mono- ou multi-variable.
Une analyse interne des systèmes.
L’utilisation généralisée de l’ordinateur.
VI-2 Représentation d’état
Equation d’état BeAxdtdx
DeCxs Equation d’observation
Prenons par exemple un système d’ordre n :
e séquation différentielle d’ordre n n équations du 1er ordre
+s=f(e,x)
Master - Automatique - Chap. VI : 3
A : matrice de dynamique ou matrice d’état
B : matrice de commande
C : matrice d’observation
D : matrice de transfert direct
avec : n
n
n
q
q
p
n
pD sera nulle pour un système
physique réel
A, B, C et D constitue la représentation d’état
Exemple 11er Ordre
C
Rse
v
variable d’état : v (tension aux bornes du condensateur)
vx équation d’observation :
1D
1C
evves
équation d’observation :
RC1
B
RC1
A
RCev
RCs
dtdv
Rs
i
Ci
dtdQ
C1
dtdv
p : entrées
q : sorties
Master - Automatique - Chap. VI : 4
2ème Ordre
K Amortissement (f)
y
M
e(t)
teyFKyym
M1
0Bet
MF
MK
10A
eM
1
0
v
y
MF
MK
10
v
y
Mte
dtdy
MF
yMK
dtdv
dtyd
vdtdy
: étatd' équation
2
2
vy
yx : état
t y: sortie
te : entrée
Equation du mouvement :
Prenons les variables suivantes :
ODet01C
v
y01y : nobservatiod' équation
On prend pour variables celles qui définissent les CI
Pour un système le vecteur d'état n'est pas unique : il existe
une infinité de représentation pour un
même système.
Exemple 2 :
Master - Automatique - Chap. VI : 5
Exemple 3 :
d1
h1
h2
d2
S1S2
q1
q2
2
1
2
21
2
1
1
1
1
1
2
2
2
2221
2
12
1
121
1
11
22221122
211111
S10
0S1
Bet
Skk
Sk
Sk
Sk
A
Sd
Shk
hhSk
h
Sd
hhSk
h
dt.ddt.hkdt.hhkdh.S
dt.hhkdt.ddh.S : étatd' équation
2
1
2
1
2
1
h
hx : étatd' vecteur
q
qs : sortie
d
de : entrée
0Detk0
kkC
0h
h
k0
kk
q
q
.hkq
hh.kq: nobservatiod' équation
2
11
2
1
2
11
2
1
222
2111
Master - Automatique - Chap. VI : 6
VI-3 Obtention des équations d’états
a. directement (voir exemples précédent)
b. A partir de la transmittance
Principe : Transmittance schéma bloc
• variables d'états = sortie des intégrateurs• réécrire n équations différentielles du 1er ordre
On part de la forme normalisée :
1ère Réalisation Compagne (Matrice de commandabilité)