MASENA DIFUZIJA.pdf

Prijenos topline i tvari

1

PRIJENOS TOPLINE I TVARI

MASENA DIFUZIJA

Pripremio: Nenad Ferdelji


2

SADRŽAJ

1. UVOD ............................................................................................................................................... 3

2. OSNOVNI POJMOVI ......................................................................................................................... 4

2.1 Zadavanje sastava smjese ............................................................................................................. 4

2.2 Brzine i tokovi ................................................................................................................................ 4

2.3 Prvi Fickov zakon ........................................................................................................................... 6

2.4 Masena difuzivnost vodene pare kroz zrak .................................................................................. 8

3. ZAKON OČUVANJA MASE ................................................................................................................ 9

3.1 Zakon očuvanja mase za smjesu ................................................................................................... 9

3.2 Zakon očuvanja mase za komponentu ........................................................................................ 10

3.3 Drugi Fickov zakon ...................................................................................................................... 11

3.4 Bezdimenzijske značajke ............................................................................................................. 11

4. PRIJENOS MASE UZ MALE BRZINE PRIJENOSA .............................................................................. 13

4.1 Analogija prijenosa topline i mase .............................................................................................. 15

4.2 Motivirajuća (pokretačka) sila prijenosa mase ........................................................................... 19

4.3 Veza Daltonovog i Lewisovog zakona ishlapljivanja ................................................................... 20

5. PRIJENOS MASE PRI VELIKIM BRZINAMA PRIJENOSA ................................................................... 22

5.1 Korigirani koeficijent prijenosa mase .......................................................................................... 22

6. ISTOVREMENI PRIJENOS TOPLINE I MASE .................................................................................... 25

6.1 Male brzine prijenosa mase ........................................................................................................ 25

6.2 Velike brzine prijenosa mase ...................................................................................................... 26

6.3 Računanje svojstava smjese ........................................................................................................ 28

7. PRIMJERI RIJEŠENIH ZADTAKA ...................................................................................................... 30

8. LITERATURA .................................................................................................................................. 41


3

1. UVOD

Masena difuzija

- prijenos mase uzrokovan gibanjem atoma

- javlja se kao posljedica stalnog gibanja atoma, molekula i čestica, koje rezultira

prijenosom tvari iz područja visoke u područja niske koncentracije

Mehanizmi difuzije

Tekućine

- Brownovo gibanje – pretpostavljeno nasumično kretanje suspendiranih čestica u

tekućinama, koje se javlja kao posljedica sudara s molekulama tekućine

Krutine

- kretanje atoma – 2 uvjeta

o mora postojati prazno susjedno mjesto

o atom mora imati dovoljnu energiju za prekidanje veza sa susjednim atomima

i za distorziju rešetke uslijed njegovog kretanja

o aktivacijska energija – energija potrebna za pokretanje 1 mola atoma

procesom difuzije

- samodifuzija (kretanje istih atoma unutar rešetke) i međudifuzija (kretanje različitih

atoma)

- Supstitucijska difuzija – kretanje atoma unutar rešetke uslijed prisutnosti praznina,

zamjena „atom-praznina“

- Međuprostorna difuzija – kretanje (manjih) atoma iz jednog međuprostora u susjedni

bez trajnog pomicanja bilo kojeg atoma u matičnoj rešetci.

Slika 1. Supstitucijska i međuprostorna difuzija


4

2. OSNOVNI POJMOVI

U ovom se poglavlju definiraju osnovni pojmovi vezani uz difuzijski prijenos mase.

Važno je istaknuti da prema pravilima o pisanju fizikalnih veličina, kurzivom pisani indeks

označava promjenjivi indeks, tako da fizikalna veličina Aρ označava gustoću bilo koje

komponente u smjesi, a Aρ gustoću točno određene komponente, označene slovom A.

2.1 Zadavanje sastava smjese

- gustoća komponente (engl. partial density) : ukV

mAA =ρ (1)

- gustoća smjese: uk

uk

V

m

A

A ==∑ρρ (2)

- maseni udio: ukm

mx AA

A ==ρρ

(3)

1=∑A

Ax (4)

- molarna koncentracija: A

AAA

MV

nc

ρ==

uk

(5)

- molarna koncentracija smjese: uk

uk

V

ncc

A

A ==∑ (6)

- molni udio c

cy A

A = (7)

1=∑A

Ay (8)

2.2 Brzine i tokovi

Definicija difuzijskog toka neke komponente u smjesi počiva na relativnoj brzini, koja se

definira u odnosu na osrednjenu brzinu smjese. Razlikujemo po masi i po količini osrednjene

brzine:

Po masi osrednjena brzina (engl. mass average velocity)

ρ

ρ

ρ

ρ ∑∑∑

== A

AA

A

A

A

AA vv

v

rr

r (9)


5

Treba istaknuti da Avr

nije brzina pojedine molekule komponente mješavine, već njene

čestice, tj. skupine molekula unutar malog volumena.

Po količini osrednjena brzina (mole average velocity)

∑∑=

A

A

A

AA

c

vc

v

r

r* (10)

Svaka komponenta može imati različitu brzinu u odnosu na ukupnu osrednjenu brzinu

mješavine.

Relativna brzina komponente u odnosu na osrednjenu brzinu mješavine, a koja je posljedica

molekularnih gibanja naziva se difuzijska brzina, koja određuje gustoću difuzijskog toka.

Razlikujemo gustoću difuzijskog masenog toka (9) i gustoću difuzijskog količinskog (molnog)

toka (10), definirane kao:

( )vvj AAA

rrr−= ρ

(11)

( )** vvcJ AAA

rrr−= (12)

Drugi faktori na desnim stranama gornjih jednadžbi zovu se difuzijske brzine.

S ovako definiranim difuzijskim masenim tokom te korištenjem jed. (3), gustoća masenog

toka komponente A može se zapisati kako slijedi:

( ){

difuzijakonvekcija

AAAAAAA jvxvvvvr

321

rrrrr+=−+= ρρρρ

(13)

Desni član desne strane jednadžbe (11) je, kako je ranije definirano, gustoća difuzijskog

masenog toka, dok se lijevi član desne strane gornje jednadžbe naziva gustoća konvektivnog

masenog toka. To je onaj dio komponente A koji se giba u smjeru osrednjene brzine.

Zbog definicije gustoće difuzijskog masenog toka preko relativne brzine u odnosu na

osrednjenu, suma gustoća difuzijskih masenih tokova svih komponenti mora biti jednaka

nuli.

∑∑∑∑ +=+==A

A

A

A

A

A

A

AA jvjvvvrrrrrr

ρρρρ

0=∑A

Ajr

(14)


6

2.3 Prvi Fickov zakon

Slika 2 prikazuje konstantnu debljinu sloja, δ, tvari B. Neka se s lijeve strane sloja (x < 0)

nalazi tvar A, čija se vrijednost masenog udjela xA0 drži vremenski konstantnom i neka je tvar

A otopiva u tvari B. Maseni je udio komponente A s desne strane sloja (x > δ) također

vremenski konstantna i jednaka nuli. U početnom trenutku, tj. u vremenu t = 0, slika 2a),

maseni udio tvari A u tvari B jednak je nuli na cijeloj debljini sloja. Kako je tvar A otopiva u

tvari B, uslijed molekularnih gibanja, ona polagano penetrira u sloj tvari B te se kroz sloj

počinje mijenjati profil masenog udjela tvari A, xA. Nakon vremena t profil masenog udjela

ima oblik kao na slici 2b).

Uz pretpostavku da se rubni maseni udjeli (na x = 0 i x = δ ) vremenski ne mijenjaju, te ako

vrijeme t teži u beskonačnost, krivulja profila masenog udjela tvari A u sloju tvari B teži

pravcu.

a) b) c)

Slika 2. Stvaranje stacionarnog profila masenog udjela difundirajuće tvari A kroz konstantnu debljinu

sloja tvari B,.

Dakle, u stacionarnom stanju, profil masenog udjela tvari A u sloju B može se opisati

jednadžbom pravca. Na osnovu toga, analogno Fourierovom stavku, definira se Prvi Fickov

zakon, koji kaže da je gustoća difuzijskog masenog toka komponente A proporcionalna

gradijentu masenog udjela komponente A, odnosno da je gustoća difuzijskog količinskog

toka komponente A proporcionalna gradijentu koncentracije komponente A:


7

n

xDj A

ABA rr

∂∂

−= ρ (15)

n

yDcJ A

ABA rr

∂∂

−=*

(16)

Kada se radi o binarnim smjesama, tj. o smjesi dvije komponente A i B, jed. (15) i (16) glase

n

xDj r

r

∂∂

−= AABA ρ

(17a)

n

xDj r

r

∂∂

−= BBAB ρ

(17b)

Dakle, jednadžbe (15) i (16) predstavljaju matematički zapis Prvog Fickovog zakona, koji

vrijedi za bilo koju smjesu čvrstih, kapljevitih ili plinovitih tvari, dokle god je gustoća

difuzijskog masenog toka definirana prema osrednjenoj brzini mješavine.

Ako se promatra jednodimenzijski problem binarne smjese s masenom difuzijom tvari u

smjeru osi y, Prvi Fickov zakon daje:

y

xDj

∂∂

−= AABA ρ

y

xDj

∂∂

−= BBAB ρ

(18a,b)

Fizikalna veličina DAB naziva se difuzivnost tvari A u tvari B i u općem slučaju difuzivnost neke

tvari ovisi o temperaturi, tlaku i koncentracijama tvari u smjesi.

Tipični redovi veličina za difuzivnost plinova:

- u plinovima: ∼ 10-5 m2/s na sobnim temperaturama

- u kapljevinama: ∼ 10-9 m2/s na sobnim temperaturama

- u krutinama: 10-20 m2/s do 10-9 m2/s, ovisno o vrsti tvari i temperaturi.

U slučaju binarnih smjesa, u kojima su komponente A i B, načelno postoje dvije difuzivnosti:

difuzivnost komponente A u komponenti B, DAB i difuzivnost komponente B u komponenti A,

DBA za koje se može pokazati da su međusobno jednake, sljedećim razmatranjem.

Diferencirajući jed. (4) te kombinirajući s jed. (18 b) može se pokazati da vrijedi,

y

x

y

x

∂∂−=

∂∂ BA


8

BB

BAB

ABA

ABA jy

xD

y

xD

y

xDj −=

∂∂

=∂∂

=∂∂

−= ρρρ

Tada iz gornjeg izraza i jed. (14) slijedi

BAAB DD =

(19)

2.4 Masena difuzivnost vodene pare kroz zrak

U inženjerskoj praksi, vrlo česti su procesi ishlapljivanja pa je veoma korisno poznavati

relaciju za izračun difuzivnosti vodene pare kroz zrak, čija empirijska korelacija glasi:

⋅×= −

p

TD

072,210

zrakH2O, 1087,1

K450K282 ≤≤ T (20 a)

⋅×= −

p

TD

632,19

zrakH2O, 1075,2

K1070K450 << T (20 b)

iz koje se difuzivnost izračunava u m2/s ako se temperatura uvrsti u Kelvinima, a tlak u

atmosferama uz 10%-no rasipanje oko dostupnih podataka u literaturi

Za temperature manje od 282 K može se koristiti stariji izraz za izračunavanje masene

difuzivnosti vodene pare kroz zrak,

685,1

0

05

zrakH2O, 1097,1

⋅×= −

T

T

p

pD

K373K273 ≤≤ T (20 c)

iz koje se uz p0 = 1 atm, a T0 = 256 K, masena difuzivnost izračunava u m2/s.

Unutar temperaturnog intervala K330K290 << T jed. (20 a) i (20 c) razlikuju se za manje

od 2,5 %.


9

3. ZAKON OČUVANJA MASE

Opći zakon očuvanja iskazuje da je vremenska promjena neke fizikalne veličine u

materijalnom volumenu, Φ, jednaka sumi izvora te veličine po materijalnom volumenu.

Odnosno,

( ) ( )VSVΦ

ttV

Φ

tV

ddD

D

mm

∫∫ =

(21)

gdje je,

Vm – materijalni volumen

Φ – volumenska fizikalna veličina (fizikalna veličina izražena po volumenu)

SΦ– izvor ili ponor fizikalne veličine po volumenu, (može biti i po materijalnoj površini)

Kako će za sljedeća razmatranja biti potrebno razmatrati zakon očuvanja mase za kontrolni

volumen pojedine smjese, potrebno je opći zakon očuvanja mase, koji je definiran za

materijalni volumen, izraziti preko integrala po kontrolnom volumenu. To je moguće

korištenjem Reynoldsovog transportnog teorema:

( )SnvΦV

t

ΦSnvΦVΦ

tVΦ

tjjjj

tV

ddddd

dd

D

D

KPKVKPKVm

∫∫∫∫∫ +∂∂

=+=

(22)

uz oznake: KV - Kontrolni volumen, KP - Kontrolna površina

3.1 Zakon očuvanja mase za smjesu

Zakon očuvanja mase za ukupnu masu smjese, jed. (23) dobije se kada se jed. (21) prevede

na integral po kontrolnom volumenu i uvrste sljedeći identiteti:

ρ=Φ , 0=ΦS , jj vv =

( )0ddd

D

D

KPKVm

=+∂∂

= ∫∫∫ SnvVt

Vt

jj

tV

ρρ

ρ

(23)


10

3.2 Zakon očuvanja mase za komponentu

Zakon očuvanja mase za komponentu A u smjesi, jed. (24) dobije se kada se jed. (21)

prevede na integral po kontrolnom volumenu (kod integrala izvorske funkcije mase, moguće

je materijalni volumen poistovjetiti s kontrolnim volumenom) i uvrste sljedeći identiteti:

AΦ ρ= , AΦ SS = , jAj vv =

( )VSSnvV

tV

tAjjAA

A

tV

A ddddD

D

KVKPKVm

∫∫∫∫ =+∂∂

= ρρ

ρ

(24)

Primjenom teorema Gauss Ostrogradskog na jednadžbu (24), dobiva se jednadžba (25).

( )VSV

x

vV

tA

j

jAAA dddKVKVKV

∫∫∫ =∂

∂+

∂∂ ρρ

(25)

Uvrštavanjem jed. (11) u jed. (25), dobiva se zakon o očuvanju mase komponente A u

sljedećem integralnom obliku.

( )VSV

x

jvV

tA

j

jAjAA dddKVKVKV

∫∫∫ =∂

+∂+

∂∂ ρρ

(26)

Jednadžba (26) u diferencijalnom obliku glasi,

( )A

j

jA

j

jAA Sx

j

x

v

t+

∂

∂−

∂

∂−=

∂∂ ρρ

(27)

Ukoliko se pri procesu difuzije gustoća ukupne mješavine, ρ, ne mijenja znatno, može se

pretpostaviti da ukupna gustoća ostaje konstantna pa uz jed. (3) i jed. (15) jed. (27) poprima

sljedeći oblik:

( )ρ

A

j

AAB

jj

jAA S

x

xD

xx

vx

t

x+

∂∂

∂∂

+∂

∂−=

∂∂

(28)

Vrlo lako se može pokazati da suma svih izvora mase komponenti mora biti jednaka nuli, ako

se provede sumacija jed. (27) po svim komponentama u smjesi.

.

( )∑∑∑∑ +

∂

∂−

∂

∂−=

∂∂

A

A

A j

jA

A j

jA

A

A Sx

j

x

v

t

ρρ

tj.


11

( )∑+−∂

∂−=

∂∂

A

A

j

jS

x

v

t0

ρρ

( )0==

∂

∂+

∂∂ ∑

A

A

j

jS

x

v

t

ρρ (29)

3.3 Drugi Fickov zakon

Jednadžba (27) predstavlja zakon o očuvanju mase za pojedinu komponentu. Ako se ona

primjeni na slučaj u kojem jedna komponenta miruje, pri čemu se ukupna gustoća smjese

bitno ne mijenja puno uz pretpostavku konstantne difuzivnosti, dobiva se Drugi Fickov

zakon, čiji je diferencijalni oblik:

jj

ABA

xx

xD

t ∂∂∂

=∂∂ A

2ρ

(30)

Ako se jed. (30) umjesto preko masenih udjela zapiše pomoću koncentracija, dobiva se njen

novi oblik:

jj

AAB

A

xx

cD

t

c

∂∂∂

=∂∂ 2

(31)

Drugi se Fickov zakon koristi za masenu difuziju u krutinama ili stacionarnim kapljevinama i

za ekvimolarnu protudifuziju u plinovima. Ekvimolarna protudifuzija je takav prijenos

količine tvari da je neto molarni tok u odnosu na mirujući koordinatni sustav jednak nuli. To

znači da za svaki mol tvari A, koji se kreće u smjeru pozitivne koordinatne osi postoji mol

tvari B, koji se kreće u smjeru negativne osi.

3.4 Bezdimenzijske značajke

U problemima prijenosa topline i tvari, vrlo važnu ulogu imaju pripadajuća svojstva tvari,

odnosno bezdimenzijske značajke, koje se iz tih svojstava formiraju. U inženjerskoj primjeni

egzistiraju tri vrlo bitna prijenosa, koja u naravi imaju difuzijski karakter. To su: prijenos

količine gibanja (momenta, impulsa), prijenos topline i prijenos tvari (mase). Svaki od ovih

prijenosa karakteriziran je svojstvom tvari, koje se naziva difuzivnost, a ima mjernu jedinicu

m2/s. Za prijenos navedenih veličina definiraju se sljedeća svojstva.


12

pcaρλ

= toplinska difuzivnost (32)

ρµ

ν = difuzivnost momenta (33)

DAB masena difuzivnost (34)

Pomoću ove tri difuzivnosti formiraju se ukupno tri bezdimenzijske značajke, od kojih svaka

egzistira u pripadajućim jednadžbama prijenosa, te svaka ima svoje fizikalno značenje. Te

značajke nose ime po istaknutim ličnostima, koje su dale značajan doprinos u dotičnom

području:

aPr

ν= Prandtlova značajka (35)

ABDSc

ν= Schmidtova značajka (36)

Pr

Sc

D

aLe

AB

== Lewisova značajka (37)

Svaki difuzijski proces prijenosa neke fizikalne veličine za posljedicu ima formiranje

pripadajućeg graničnog sloja. Na taj se način definiraju tri granična sloja, hidrodinamički

granični sloj, karakteriziran s difuzivnošću momenta, zatim temperaturni granični sloj,

karakteriziran s toplinskom difzivnošću te maseni (koncentracijski) granični sloj,

karkateriziran s masenom difuzivnošću.

Difuzijski prijenos momenta, topline i tvari, pod određenim su pretpostavkama slični

procesi, što znači da su opisani sličnim diferencijalnim jednadžbama, odnosno

diferencijalnim jednadžbama koje imaju isti oblik, samo što se u svakoj od njih pojavljuje

pripadajuća difuzivnost kao relevantno svojstvo tvari u procesu prijenosa.

Na taj se način mogu postaviti fizikalna objašnjenja bezdimenzijskih značajki danim u jed.

(35) – (37) kao omjer debljina onih graničnih slojeva, koji su karakterizirani pripadajućim

difuzivnostima. Tako npr. Prandtlova značajka, definirana kao omjer difuzivnosti momenta i

temperaturne difuzivnosti, predstavlja omjer debljina hidrodinamičkog graničnog sloja i

temperatunog graničnog sloja u istovremenom procesu prijenosa količine gibanja i topline.


13

4. PRIJENOS MASE UZ MALE BRZINE PRIJENOSA

- kada su brzine prijenosa mase male, brzine komponenti uslijed difuzijskog procesa su

zanemarive. Drugim riječima, polje brzine smjese će ostati nepromijenjeno, tj.

mirujući fluid će ostati mirujući, a kod protoka fluida, polje brzine će ostati kao da

nema difuzijskog procesa.

- općenito, kada je difundirajuća komponenta rijetka, njen ukupni maseni tok se

izmjenjuje isključivo procesom difuzije.

Kako je ranije navedeno, uz pretpostavku malih brzina prijenosa mase zakon očuvanja mase

za komponentu A u diferencijalnom obliku opisan je jed. (28).

( )ρ

A

j

AAB

jj

j S

x

xD

xx

vx

t

x+

∂∂

∂∂

+∂

∂−=

∂∂ AA (28)

Uz pretpostavku stacionarnog prijenosa mase bez kemijskih reakcija i konstantnih svojstava,

jed. (28) prelazi u oblik, koji se vrlo često koristi za stacionarne probleme ishlapljivanja, kao

npr. u procesima eksperimentalnog određivanja masene difuzivnosti, DAB:

0=

∂∂

−∂∂

j

AABjA

j x

xDvx

x (38)

Primjer 1: Masena difuzija plina kroz porozni materijal ili materijal u kojem se plin otapa

Kao skica, uz ovaj primjer, može poslužiti slika 2 c. Neka je plin označen kao komponenta A,

a porozni materijal kao komponenta B. Ako sa svake strane komponente B, vladaju

konstantne koncentracije plina , potrebno je izračunati:

a) gustoću difuzijskog masenog toka plina A kroz materijal B ako je koncentracija plina

A u materijalu B mala.

b) omjer ukupne gustoća masenog toka plina A, u odnosu na slučaj a), ako se izostavi

pretpostavka o maloj koncentraciji plina.

Rješenje:

a) Raspodjela masenog udjela plina kroz materijal B može se izračunati iz jed. (38)

{0A

AB

0

A =

∂∂

−∂∂

≈x

xDvx

x

Prvi član lijeve strane gornjeg izraza jednak je nuli zbog pretpostavke male koncentracije

plina A u materijalu B. Tada gornji izraz poprima sljedeći oblik:


14

02

A

2

=∂∂

x

x

Integrirajući gornji izraz dva puta, s rubnim uvjetima prve vrste, dobiva se izraz za maseni

udio plina A u materijalu B na određenoj koordinati x.

( ) ( ) ( ) ( )[ ]

−+=δ

δ AAAAA 00

xxxxxx

Sada se može izračunati gustoća difuzijskog masenog toka iz jed. (13) i jed. (18 a):

( ) ( )[ ]0AAAB

AA

AB

0

A xxD

jx

xDvx −−==

∂∂

−≈

δδρ

ρρ321

b) Kako koncentracija komponente A nije zanemariva, postoji difuzijska brzina materijala B.

To znači da mora postojati brzina smjese u suprotnom smjeru, v, koja se naziva

protudifuzijska brzina, kako bi smjesa ostala u stanju mirovanja.

Iz gustoće masenog toka komponente B slijedi protudifuzijska brzina v:

0BB =+ jvρ

B

A

B

B

ρρjj

v =−=

Uvrštavanjem veličine v u izraz za gustoću masenog toka plina A, dobije se traženi omjer:

−=

+=

+=+

A

A

B

AA

B

AAAA

1

111

xj

x

xjjjv

ρρ

ρ

Iz ovog se primjera može vidjeti da, ako je brzina jedne komponente jednaka nuli, od

ukupne gustoće masenog toka komponente A, (1-xA) otpada na difuziju, dok je ostatak

konvektivni prijenos mase, kako je to ilustrirano na slici 3,

Slika 3. Rastavljanje masenog toka komponente na konvektivni i difuzijski maseni tok

Kako će u sljedećem odlomku biti pokazano, difuzijski prijenos mase je analogan difuziji

toplinskog toka, ako se pri tome zanemari konvektivni prijenos mase.


15

4.1 Analogija prijenosa topline i mase

Konvektivni prijenos mase je analogan konvektivnom prijenosu toplinu kada vrijedi:

1) Maseni tok, okomit na površinu mora biti jednak difuzijskom masenom toku s

površine. Općenito, je to ispunjeno ako su koncentracije difundirajuće tvari niske,

odnosno za rijetke otopine

2) Difuzijski maseni tok mora biti dovoljno mali da ne utječe na formirano polje brzina.

Prvi uvjet osigurava da je maseni tok s površine u naravi difuzijski, kao što je to slučaj i kod

konvektivnog prijelaza topline. Drugi uvjet osigurava da će polje strujanja biti identično kao i

u slučaju konvektivnog prijelaza topline.

Primjer je ishlapljivanje s površine vode u rezervoarima , padajući vodeni film u rashladnim

tornjevima, ovlaživači vode, itd.

Koeficijent prijenosa mase

Probleme prijenosa topline, između ostalih opisuju Fourireov zakon i Newtonov stavak,

prema jednadžbama,

∂∂

−=∂∂

−=j

p

pj

jx

Tc

cx

Tq ρ

ρλ

λ (39)

( ) ( )0s0ss TTcc

TTq p

p

−

=−= ρρα

α (40)

Iz dosadašnjih se razmatranja može vidjeti kako Fickov zakon, jed. (15), ima isti oblik kao i

Fourierov zakon, jed. (39). Analogno tome se u problemima prijenosa tvari definira stavak

načelno istog oblika kao i Newtonov stavak. Taj stavak kaže da je gustoća difuzijskog

masenog toka proporcionalna razlici masenih udjela i zapisuje se jednadžbom,

( ) ( ),0s,

m,

,0s,m,s, AA

A

AAAA xxg

xxgj −

=−= ρρ

(41)

Koeficijent proporcionalnosti u jed. (41), Agm, , se, analogno koeficijentu prijelaza topline,

naziva koeficijent prijenosa mase i ima mjernu jedinicu kg/(m2 s).


16

Zakon o očuvanju energije

Zakon o očuvanju energije, općenito kaže da je vremenska promjena kinetičke i unutarnje

energije materijalnog volumena jednaka snazi vanjskih sila koje djeluju na materijalni

volumen i toplinskom toku koji taj materijalni volumen izmjenjuje sa svojim okolišem. U

diferencijalnom obliku, zakon očuvanje energije, s uvrštenom konstitutivnom jednadžbom

Fourierovog zakona, glasi:

( ) ( )[ ] ( )vΦ

x

T

xx

vvf

x

pev

t

e

jjj

iji

ii

j

j +

∂∂

−∂∂

−∂

Σ∂++

∂

+∂−=

∂∂

λρρρ

(42)

Kako bi se pojednostavila gornja jednadžba, uvode se sljedeće razumne pretpostavke,:

1. Fluid je nestlačiv. To znači da je gustoća čestice fluida jednaka po cijelom njenom volumenu. Dapače, pretpostavka je da sve čestice fluida imaju istu gustoću, bez obzira na promjenu temperature. Ova je pretpostavka razumna za sva strujanja čija brzina ne prelazi trećinu brzine zvuka.

2. Promjene potencijalne i kinetičke energije mogu se zanemariti u odnosu na promjene ostalih oblika energija.

3. Promjene tlaka nisu tolike da bi značajno utjecale na termodinamička svojstva fluida.

4. Promjene temperatura nisu dovoljne da bi utjecale na toplinsku provodnost, λ

5. Viskozne sile ne rasipaju dovoljno energije da bi utjecale na temperaturu fluida. To znači da se njihov utjecaj može zanemariti.

6. Nema toplinskog izvora ni ponora

Uz ove pretpostavke te konstitutivnu jednadžbu Tch p dd = , jed. (42) prelazi u sljedeći oblik;

jjj

jpxx

T

x

Tv

t

Tc

∂∂∂

=

∂∂

+∂∂ 2

λρ (43)

Izraz u zagradi na lijevoj strani jed. (43) predstavlja materijalnu derivaciju temperature, koja se sastoji od lokalne i konvektivne promjene.

Desna strana jed. (43) predstavlja izmijenjeni toplinski tok s okolišem.

Analogija prijenosa topline i mase

Analogija prijenosa topline i mase izvodi se usporedbom osnovnih diferencijalnih jednadžbi.

Pri tome je vrlo važno imati na umu pretpostavke pomoću kojih se došlo do takvih oblika

diferencijalnih jednadžbi, iz kojih se konačno i zaključuje o međusobnoj analogiji prijenosa

topline i mase.


17

Za nestlačivo strujanje, uz uvjet da nema toplinskog izvora i ponora, diferencijalne

jednadžbe prijenosa mase i topline su,

j

jA

j

Aj

A

x

j

x

xv

t

x

∂

∂−=

∂∂

+∂∂

ρ

(44)

j

j

j

jpx

q

x

Tv

t

Tc

∂

∂−=

∂∂

+∂∂

ρ (45)

Također, vrijede Fickov i Fourierov zakon, prema jednadžbama

∂∂

−=∂∂

−=j

AAB

j

AABjA

x

xD

x

xDj ρρ (46)

∂∂

−=∂∂

−=j

p

pj

jx

Tc

cx

Tq ρ

ρλ

λ (47)

Konačno, vrijede Newtonov stavak i analogni stavak za prijenos mase,

( ) ( ),0s,

m,

,0s,m,s, AA

A

AAAA xxg

xxgj −

=−= ρρ

(48)

( ) ( )0s0ss TTcc

TTq p

p

−

=−= ρρα

α (49)

Iz gornjih se šest jednadžbi izvodi analogija prijenosa topline i mase, dana tablicom 1.

Tablica 1. Analogija prijenosa topline i mase

(44) i (45)

Axdρ Tc p dρ (50)

Aj q

(51)

(46), (47), (50) i (51) ABD a

cp

=ρλ

(52)

(52) ABD

Scν

= a

Prν= (53)

(48), (49), (50) i (51)

Agm, pc

α (54)

(52), (53) i (54)

( )Re, ScD

lgNu

AB

Af

0m,

m ==ρ

( )( ) ( )Re, Pr

c

lclNu

p

pf

00 ===ρλρ

α

λα

(55)


18

U tablici 1. drugi stupac sadrži veličine u problemu prijenosa mase analogne veličinama u

problemima prijenosa topline, koje su dane u trećem stupcu. Prvi stupac daje jednadžbe iz

kojih se pojedina analogija izvodi, dok je zadnji stupac predstavlja numeraciju jednadžbe.

U jed. (55) javlja se veličina Num, odnosno Nusseltova značajka za prijenos mase, koja se u

literaturi još naziva Sherwoodova značajka i označava se Sh. Sherwoodova značajka

definirana je,

AB

A

D

lgNuSh

ρ0m,

m == (56)


19

4.2 Motivirajuća (pokretačka) sila prijenosa mase

Slika 4. Uz izvod motivirajuće sile prijenosa mase

Slika 4. prikazuje stijenku „s“ kroz koju postoje maseni tokovi komponenti u smjesi, u smjeru

normale na samu stijenku.

Gustoća masenog toka komponente A na stijenci je prema jed. (13) i jed. (41) jednaka

( ) ( ) ( ),0s,m,ss,s AAAAAA xxgvxv −+= ρρ (57)

Iz gornje jednadžbe je moguće izraziti ukupnu gustoću masenog toka na stijenci na sljedeći

način:

( ) ( )( )( )

AAAA

A

AA

A Bg

v

vx

xxgv m,m,

s

ss,

,0s,

m,s=

−

−−=

ρρ

ρ (58)

Iz jed. (58) vidi se definicija motivirajuće sile prijenosa mase za komponentu A, kao omjer

ukupnog masenog toka kroz stijenku i koeficijenta prijenosa mase komponente A. Također iz

gornje jednadžbe slijedi izraz za određivanje motivirajuće sile prijenosa mase za

komponentu A.

( )( )

s

ss,

s,,0

m,

v

vx

xxB

AA

A

AA

A

ρρ

−

−= (59)

Za prijenos mase samo jedne komponente, odnosno za slučaj polupropusne membrane,

gornji izraz poprima sljedeći oblik:

1sA,

sA,A,0

Am, −

−=

x

xxB (60)


20

Kako je ranije istaknuto, analogija vrijedi u slučaju malih brzina prijenosa mase. Navadeni

zahtjeva, koja bi trebala vrijediti za slučaj malih brzina prijenosa mase, mogu se izraziti

jedinstvenim uvjetom, a to je da je motivirajuća (pokretačka) sila prijenosa mase za

komponentu A, ABm, , manja od 0,2, odnosno, 2,0m, ≤AB

Fizikalna interpretacija tog kriterija bit će pojašnjena u sljedećem poglavlju.

4.3 Veza Daltonovog i Lewisovog zakona ishlapljivanja

Dosadašnjim su se izlaganjem definirali osnovni pojmovi u prijenosu mase difuzijskim

procesima, koji se vrlo lako mogu povezati s ostalim zakonima u području ishlapljivanja

vodene pare, koji se tradicionalno primjenjuju u dugogodišnjoj inženjerskoj praksi.

U ovom su poglavlju dani izrazi koji povezuju koeficijent ishlapljivanja i Lewisov koeficijent b

preko koeficijenta prijenosa mase. Valja samo naglasiti da se u ovom poglavlju oznaka x

koristi za fizikalnu veličinu sadržaja vlage, tradicionalno definirane kao omjer vlage i mase

suhog zraka s jedinicom kgd/kgsz, dok se oznaka ξ koristi za pravi maseni udio, definiran

prema jednadžbi (3). Oznaka „d“ u indeksu fizikalne veličine odnosi se na paru u vlažnom

zraku.

Daltonov zakon ishlapljivanja:

( )0d,sd,d

dm,

d

dppbj

A

q−== (61)

Lewisov zakon ishlapljivanja:

( )0d,sd,d

dm,

d

dxxj

A

q−== σ (62)

Lewisov zakon ishlapljivanja – koeficijent ishlapljivanja

Jednostavnim rapisivanjem jed. (41) i njenom usporedbom s jed. (62) dolazi se do veze

između koeficijenta prijenosa mase i koficijenta ishlapljivanja,

x

g

+=1

dm,σ (63)

Nazivnik jed. (63) predstavlja masu vlažnog zraka, sadržaja vlage x. S obzirom da kod procesa

ishlapljivanja, kao rubni uvjeti, postoje zasićeni vlažni zrak uz samu stijenku te nezasićeni

vlažni zrak podalje od stijenke, potrebno je definirati na koju masu vlažnog zraka se svodi

koeficijent prijenosa mase, dm,g , u jed. (63 ).


21

U literaturi se može naći definicija, koja jasno kaže da je koeficijent ishlapljivanja sveden na

masu nezasićenog vlažnog zraka, koji dođe u doticaj s vlažnom površinom i pri tome se

zasiti. Stoga, uzimajući navedeno u obzir, slijedi konačni oblik jed. (63),

d,0

dm,

1 x

g

+=σ (64)

Daltonov zakon ishlapljivanja

Za dobivanje veze između koeficijenta b iz Daltonovog zakona ishlapljivanja i koeficijenta

ishlapljivanja, σ , potrebno je prvo povezati koeficijent b s koeficijentom prijenosa mase,

dm,g , da bi se preko identiteta (64) dobio konačni izraz.

Iz jednadžbe (41) se dobije,

( ) ( ) ( )d,0sd,

vz

ddm,

d,0sd,

vz

ddm,d,0sd,dm,d pp

M

M

p

gyy

M

Mggj −=−=−= ξξ (65)

Usporedbom jed. (65) i jed. (61) dobiva se,

vz

ddm,

M

M

p

gb = (66)

Korištenjem jed. (64), može se jed. (66) svesti na sljedeći oblik:,

( )sz

d

sz,0sz,0sz

dd,0

vz

d

vz

ddm, 11

M

M

pyM

M

px

M

M

pM

M

p

gb

σσσ==+==

Uvrštavanjem u gornji izraz definiciju sadržaja pare, koja se može naći u literaturi, dobiva se

tražena veza,

d,0

d,0

p

xb σ= (67)


22

5. PRIJENOS MASE PRI VELIKIM BRZINAMA PRIJENOSA

Kada nisu ispunjene pretpostavke o malim brzinama prijenosa mase, odnosno kada prijenos

mase utječe na polje brzine, koeficijent prijenosa mase se razlikuje od onog kojeg bi dala

analogija prijenosa topline i mase.

Razlika može biti znatna, pozitivna, negativna, iznosa nekoliko postotaka ili nekoliko redova

veličine, ovisno o koncentracijama difundirajuće komponente.

Stoga je, u slučajevima velikih brzina prijenosa mase, potrebno korigirati koeficijent

prijenosa mase, kao i koeficijent prijelaza topline.

5.1 Korigirani koeficijent prijenosa mase

Izvest će se model konvektivnog prijenosa mase za smjesu, koja ne mora nužno biti rijetka.

Metoda se naslanja na koeficijent prijenosa mase, izračunatog pomoću analogije prijenosa

topline i mase, uz uvođenje korekcije zbog primjetne brzine prijenosa mase

Neka se uz stijenku formira mirujući maseni granični sloj, odnosno stacionarni sloj fluida bez

horizontalnih gradijenata, lokalne efektivne debljinecδ .

U koncentracijskom (masenom) graničnom sloju, što je fluid bliže stijenci ima sve manje i

manje brzine. Važno je naglasiti da, kako postoji konačna brzina prijenosa mase, postoji i

protudifuzija.

U stacionarnom problemu ukupni protok mase obiju komponenti u sustavu ostaje

nepromijenjen i jednak je, prema jed. (13) i jed. (15)

( ) ( )y

xDxvv A

ABAAA ∂∂

−= ρρρss

(68)

odnosno,

( ) ( )ss AAA

AAB vxv

y

xD ρρρ −=

∂∂

(69)

Diferencijalna jednadžba (69) se može riješiti jer su vρ , AA vρ konstantni, a uz konstantan

tlak i temperaturu, i ABDρ je konstantan.

( ) ( ) ( )[ ]ss

s ln AAA

AB

vxvyD

vρρ

ρρ

−= (70)


23

Uz rubne uvjete:

y = 0 → xA = xA,s

y = cδ → xA = xA,0

slijedi izraz za ukupnu gustoću masenog toka na stijenci:

( ) ( )( )

−

−+=

s

ss,

s,,0

c

s1ln

v

vx

xxDv

AAA

AAAB

ρρδ

ρρ (71)

Gornja jednadžba se pomoću (59), može zapisati, kao

( ) ( ) AAAAB BgB

Dv m,m,m,

c

s1ln =+=

δρ

ρ (72)

Iz (72) slijedi izraz za koeficijent prijenosa mase pri velikim brzinama prijenosa,

( )

+=

A

AABA

B

BDg

m,

m,

c

m,

1ln

δρ

(73)

Kada bi ukupna gustoća masenog toka težila nuli, dobijemo slučaj prijenosa mase

zanemarivih brzina prijenosa, odnosno koeficijent prijenosa mase je jednak onom koji bi

dobili iz analogije prijenosa topline i mase i označit će se sa, *

Am,g . Gornja se tvrdnja može

matematički zapisati u obliku

c

*

m,m,0m,

limδρ AB

AAB

Dgg

A

==→

(74)

Uvrštavajući jed. (73) u jed. (74), dobiva se izraz za korigirani koeficijent prijenosa mase:

( )

+=

A

A

AAB

Bgg

m,

m,*

m,m,

1ln (75)

Drugi faktor desne strane jed. (75) naziva se faktor puhanja, koji pokazuje da velike brzine

prijenosa mase utječu na polje brzine tako da se smanjuje ukupna difuzijska gustoća

masenog toka.

U slučaju da je motivirajuća sila Bm,A > 0, postoji protok mase od stijenke (puhanje). Tada je

faktor puhanja pozitivan i manji od jedinice, što znači da puhanje smanjuje koeficijent

prijenosa mase.


24

U suprotnom slučaju, kada je Bm,A < 0, postoji prijenos mase prema stijenci (usisavanje),

faktor puhanja je pozitivan broj veći od jedinice, što znači da usisavanje povećava koeficijent

prijenosa mase.

To se dešava zato jer usisavanje miče spori fluid uz stijenku, čime se stanjuje granični sloj,

što znači manji otpor za prijenos mase. U suprotnom slučaju, puhanje podebljava granični

sloj, što povećava otpor prijenosu mase.

Model mirujućeg graničnog sloja fokusira se na masene bilance kroz sloj, ne ulazeći u detalje

strujanja kroz njega. Pristup jednako vrijedi i u slučajevima laminarnog i turbulentnog

strujanja.

U ranijem se izlaganju naveo kriterij da se radi o malim brzinama prijenosa mase ako je

motivirajuća sila prijenosa mase, Bm,A , manja od 0,2, odnosno Bm,A < 0,2. Razlog zašto je to

kriterij slijedi izravno iz jed. (75). Ako se za motivirajuću silu prijenosa mase, Bm,A u jed. (75)

uvrsti 0,2 može se izračunati omjer *

m,

m,

A

A

g

g

( )912,0

2,0

2,01ln*

m,

m, =

+=

A

A

g

g

Iz gornje se jednadžbe vidi da ako je motivirajuća sila prijenosa mase, Bm,A , manja od 0,2

korigirani će se koeficijent prijenosa mase razlikovati od onog dobivenog iz analogije

prijenosa topline i mase za manje od 9 %.

Primjer 2: Izračun faktora puhanja za slučaj ishlapljivanja vode temperature 50 °C u struju

suhog zraka.

( )( ) ( )[ ] ( ) kg

kg0804,0

96,2835,12310001835,123

1835,123

C50C50

C50

zrakzasH2Ozas

H2OzassA, =

⋅−+⋅⋅

=°−+°

°=

MppMp

Mpx

08743,00804,01

0804,0

1sA,

sA,A,0

Am, =−

=−

−=

x

xxB

( ) ( )959,0

08743,0

08743,01ln1ln

m,

m, =+

=+

A

A

B

B


25

6. ISTOVREMENI PRIJENOS TOPLINE I MASE

6.1 Male brzine prijenosa mase

U slučaju malih brzina prijenosa mase, prijenos mase vrlo malo utječe na polje brzina tako

da se prijenos topline može računati neovisno o prijenosu mase, odnosno, kao da nema

prijenosa mase.

Često se u inženjerskim problemima za prijenos topline kod prisilne konvekcije Nusseltova

značajka računa prema izrazu

ba PrReCNu = (75)

Analogijom prijenosa topline i mase, Nusseltova značajka za prijenos mase (Sherwoodova

značajka) ima oblik:

ba ScReCShNu ==m (76)

Međusobnim dijeljenjem dolazimo do relacije

b

pp Sc

Pr

Sc

Pr

cga

D

cgNu

Nu

=⋅=⋅=m

AB

mm

αα (77)

u kojoj se omjer Schmidtove i Prandtlove značajke naziva Lewisova značajka. Ako se za b

uzme vrlo česta vrijednost 1/3, jednadžba (76) prelazi u

321

m

LeLe ≅= −b

pcg

α (78)

Lewisovo promatranje odnosilo se na sustave voda-zrak, za koje je on pretpostavio da

Sc = Pr, tj. da vrijedi Lewisova relacija.

1m

≈pcg

α (79)

S obzirom da je Lewisov broj za sustave voda-zrak jednak 0,847 i da je specifični toplinski

kapacitet vodene pare generalno mali pa se za cp u gornjoj jednadžbi može uzeti cp_zrak,

aproksimacija nije generalno loša, tj.

8952,0847,032

m

=≈pcg

α (80)


26

6.2 Velike brzine prijenosa mase

U ovom se poglavlju izvodi korigirani koeficijent prijelaza topline. Pristup će biti isti kao i kod

velikih brzina prijenosa mase gdje se promatrao stacionarni (mirujući) maseni granični sloj,

dok se u ovom razmatranju promatra mirujući temperaturni granični sloj, lokalne efektivne

debljinetδ .

Slika 5. Uz izvod koeficijenta prijelaza topline

Slika 5. prikazuje stijenku „s“ i mirujući temperaturni granični sloj debljine tδ neke općenite

smjese s više komponenti. Na samoj stijenci postoji istovremeni prijenos topline i mase.

Za navedene pretpostavke, jednadžba očuvanja mase za komponentu A glasi, kao i ranije

( )0=

∂

∂=

∂∂

−∂∂

j

jAA

j

AABjA

j x

v

x

xDvx

x

ρ (81)

iz koje se vidi da je gustoća masenog toka konstantna

Također, u promatranom slučaju energijska jed. (45) glasi,

( ) 0=

+∂∂

−∂∂

Tcvx

T

xApAAρλ (82)

Nakon uvođenja supstitucije x

Tm

d

d= opće rješenje gornje jednadžbe glasi,

( )( ) 21 exp C

cvx

cvCT

ApAA

ApAA +

=

ρλ

λ

ρ (84)

Rješenje gornje jednadžbe se pregledno prikazuje u bezdimenzijskom obliku nakon uvođenja

bezdimenzijskog profila nadtemperatura),


27

s0

s

TT

TTΘ

−−

= (85)

te uvrštenja rubnih uvjeta,

( ) 00 ==xΘ

( ) 1t == δxΘ

nakon čega poprima relativno jednostavan oblik

( )

( )1exp

1exp

t

s0

s

−

−

=−−

=

δλ

ρλ

ρ

ApAA

ApAA

cv

xcv

TT

TTΘ (86)

Iz poznate temperaturne raspodjele kroz granični sloj, jed. (86), primjenom Newtonovog i

Fourierovog stavka, jed. (49) i jed. (47), moguće je naći koeficijent prijelaza topline

( )( )

1exp

d

d

t

0s

s

−

=

−

−=

δλ

ρρ

λα

ApAA

ApAA

cv

cv

TT

x

T

(87)

Analogno pristupu kod izračuna korigiranog koeficijenta prijenosa mase, definira se

koeficijent prijelaza topline za slučaj da nema prijenosa mase

( )t

0

*

s

limδλ

ααρ

==→AA v

(88)

Uvrštavanjem jed. (88) u jed. (87), dobiva se konačni izraz za korigirani koeficijent prijenosa

topline

( )( )

1exp*

−

=

α

ρρ

αApAA

ApAA

cv

cv (89)

Slično kao i s prijenosom mase, u slučaju puhanja, (gustoća masenog toka je pozitivna i

velika), smanjuje se koeficijent prijelaza topline, dok se u suprotnom slučaju on povećava.

Uvjet za primjenu aproksimacije malih brzina prijenosa mase može se izvući iz gornje

jednadžbe ako se, kao varijabla uzme ( )

*α

ρ ApAA cv.


28

Ako je spomenuta varijabla jednaka 0,2, omjer *αα

je jednak 0,9, što znači pogrešku od

otprilike 10 %. Za plinove općenito vrijedi da, kada je motivirajuća sila, Bm,A mala, tad je i

omjer ( )

*α

ρ ApAA cv

relativno mali.

6.3 Računanje svojstava smjese

Koeficijent prijenosa mase računao se sa sastavom i temperaturom mirujućeg graničnog

sloja, tj. sa srednjim koncentracijama i temperaturama između stijenke i slobodne struje.

Isti se pristup može primijeniti i na koeficijent prijelaza topline i u slučajevima istovremenog

prijenosa topline i mase.

Gustoća

Iako su mogući drugačiji načini, gustoća se, kao veličina stanja, najlakše računa iz jednadžbe

stanja idealnog plina.

TR

Myp

TR

Mp

TR

p A

AA

mm

∑===ρ (90)

Dinamička viskoznost

Aproksimativni izraz za dinamičku viskoznost smjese nepolarnih plinova izveo je Wilke , čija

je točnost unutar 2 %

∑∑==

=n

in

j

ijj

ii

y

y

1

1

φ

µµ

(91)

gdje je,

j

i

i

j

j

i

ij

M

M

M

M

+⋅

⋅+

=

122

1

2

4

µµ

φ (92)

ij

j

i

i

j

jiM

Mφ

µ

µφ = (93)


29

Toplinska provodnost

Toplinska provodnost računa se za smjesu nepolarnih plinova analogno dinamičkoj

viskoznosti. Ovu su aproksimativnu formulu izveli Mason i Saxena, čija je točnost unutar 4 %.

∑∑==

=n

in

j

ijj

ii

y

y

1

1

φ

λλ (94)

gdje je,

j

i

i

j

j

i

ij

M

M

M

M

+⋅

⋅+

=

122

1

2

4

λλ

φ (95)

ij

j

i

i

j

jiM

Mφ

λ

λφ = (96)


30

7. PRIMJERI RIJEŠENIH ZADTAKA

Zadatak 1 : Stefanova cjevčica.

Sustav prikazan na slici naziva se Stefanova cijev. Sastoji se od stupca kapljevine na dnu

cijevi, podržavanog na istoj visini. Iznad cijevi struji plin. Između kapljevine i struje plina,

nalazi se mirujući sloj plina. Kapljevina ishlapljuje u mirujući sloj plina i prenosi se kroz njega

do vrha cijevi, gdje biva odnošena strujom plina.

Ovakav se postav često koristi za mjerenje masene difuzivnosti pare kapljevine kroz mirujući

sloj plina. Tipične Stefanove cjevčice su promjera od 5 do 10 mm i dugačke 10 do 20 cm.

Ako se u Stefanovoj cjevčici visine 15 cm, promjera 10 mm, nalazi kapljevita voda

(komponenta A) visine 5 cm, a iznad nje struji suhi zrak (komponenta B) te ako je cijeli

sustav na konstantnoj temperaturi 85 °C i normalnom okolišnjem tlaku, potrebno je

izračunati stacionarnu gustoću količinskog toka ishlapljene vode u struju zraka, maseni tok,

kao i raspodjelu molnih udjela vodene pare po visini cjevčice.

Pretpostaviti da ne postoji apsorpcija zraka u vodi i da promjene gustoće u cjevčici ne

izazivaju slobodnu konvekciju.

svježa voda

struja zraka

z

v*

cAvA

jBL


31

Rješenje:

Ishlapljena vodena para difundira kroz mirujući sloj zraka i biva odnošena strujom zraka na

kraju cijevi. Ako strujanje plina iznad cijevi nije preintenzivno i nema slobodne konvekcije,

strujanje vodene pare bit će jednodimenzijsko od kapljevine prema struji zraka.

Očito je da postoji varijacija sastava smjese mirujućeg zraka i vodene pare unutar cjevčice,

zbog čega postoji i varijacija gustoće smjese. Ipak, ako su temperatura i tlak kroz cjevčicu

konstantni, koncentracija smjese ne mijenja se duž cjevčice, te se stoga jednadžbe difuzije

zapisuju preko molarnih veličina.

Kako postoji gradijent koncentracije vodene pare unutar cjevčice, a ukupna koncentracija

smjese je konstantna, mora postojati gradijent koncentracije mirujućeg zraka zbog čega se

javlja difuzija zraka kroz cjevčicu. Kako je zrak u cjevčici mirujući, mora postojati konvektivna

brzina zraka u suprotnom smjeru od difuzije, koja se naziva protudifuzijska brzina – u

odnosu na koju zrak difundira.

gustoća masenog toka zraka (komponente B):

0BBBB =+= jvv ρρ B

A

B

B

ρρjj

v =−=

Za stacionarni problem, promjena gustoće ukupnog količinskog toka vodene pare jednaka je

nuli, odnosno,

( ) ( ) 0AAB

*

AAA =

∂∂

−∂∂

=∂∂

z

yDcvcy

zvc

z

kako nema apsorpcije zraka u vodi znamo da je

( ) konstsAAAABBAA

* ===+= vcvcvcvcvc

Nadalje

( )z

yDcvcyvc A

d

d AABAAAA −=

( )A

AABAA1

dd

y

yDczvc

−−=

( ) ( )sA,

A,0AB

sAAAA1

1ln

y

y

L

Dcvcvc

−

−==


32

Koncentracija vlažnog zraka u cjevčici:

3

m m

kmol03403,0

3588314

101325=

⋅==

TR

pc

Masena difuzivnost :

s

m106632,3

1

15,3581087,11087,1

25

072,210

072,210

AB

−−− ×=

⋅×=

⋅×=

p

TD

Molni udjeli vodene pare:

0A,0 =y

( )kmol

kmol5711,0

01325,1

57867,0C85ssA, ==

°=

p

py

( )sm

kmol10553,10

5711,01

01ln

1,0

106632,303403,0

1

1ln

2

65

sA,

A,0ABsAA

−−

×=−−×⋅

=−

−=

y

y

L

Dcvc

( ) ( )h

g0537,0

s

kg10919,1410553,1018

4

01,0

44

962

sAAH2O

2

sAA

2

H2Om, =×=×⋅=== −−ππρ

πvcM

dv

dq

Raspodjela molnih udjela vodene pare po visini cjevčice:

( ) ∫∫ −−=

A

sA,A

AAB

0

AA1

dd

y

y

z

y

yDczvc

L

z

y

y

y

y

−

−=

−−

sA,

A,0

sA,

A

1

1

1

1

( )L

z

y

yyy

−

−−−=

sA,

A,0

sA,A1

111


33

Gornji dijagram pokazuje raspodjelu koncentracija vodene pare za dva slučaja.

Prvi slučaj je raspodjela molnih udjela vodene pare (plavo) i zraka (crveno) kada se cijeli

sustav podržava na temperaturi od 85 °C.

Drugi slučaj prikazuje raspodjelu molnih udjela vodene pare (zeleno) i zraka (ljubičasto) kada

se cijeli sustav podržava na temperaturi od 20 °C.

Razlika između ova dva slučaja je evidentna, s obzirom da je ishlapljivanje vode pri 85 °C

znatno intenzivnije nego u slučaju temperature od 20 °C.


34

Zadatak 2

Pretpostavite da se iz prošlog zadatka visina stupca ne održava konstantnom, već se

smanjuje uslijed ishlapljivanja. Izračunajte kada će ishlapiti cijela voda iz cjevčice.

Pretpostaviti polagano spuštanje razine stupca vode.

struja zraka

z

v*

cAvA

jB

z

L

Rješenje:

Kako se visina stupca vode smanjuje polagano, moguće je postaviti kvazistacionarnu

pretpostavku. To znači da se pretpostavlja da se uspostavlja stacionarno stanje prije nego se

visina stupca vode značajno promijeni.

Dakle, ishlapljena gustoća količinskog toka smanjuje količinu vode u stupcu, što se može

zapisati na sljedeći način (svedeno na jedinicu površine):

sA,

A,0AB

sA

A

1

1ln

d

d

sA,

y

y

zL

Dc

t

z

M

c

−

−

+=

43421

ρ

( ) ty

y

y

Dt

y

y

c

DczzL d

1

1lnd

1

1lnd

sA,

A,0

sA,

AB

sA,

A,0

sA,

AB

−

−=

−

−=+


35

( ) ∫∫∫ =−

−=+

∆ ttl

tCty

y

y

DzzL

0

*

0

*

sA,

A,0

sA,

AB

0

dd1

1lnd

0222 =−∆+∆ tClLl

LLtCl −+=∆ 2

( )C

LLlt

22 −+∆=

s

m1043,5

5711,01

01ln

5711,0

106632,3

1

1ln

25

5

sA,

A,0

sA,

AB −−

×=−−×

=−

−=

y

y

y

DC

Sada se izračunava konačno vrijeme:

( ) ( )s2,230

1043,5

1,01,005,05

2222

=×−+

=−+∆

= −C

LLlt


36

Zadatak 3

Posuda, kvadratnog presjeka 20x20 cm napunjena je vrućom vodom temperature 75 °C i

stavljena je u struju zraka, temperature 25 °C relativne vlažnosti 60 %. Tlak okoliša je

normalan.

Ako zrak struji brzinom od 5 m/s, izračunajte:

a) maseni tok ishlapljivanja

b) koeficijent ishlapljivanja.

c) koeficijent prijelaza topline

d) toplinski tok koji treba dovoditi vodi da bude ispunjeno stacionarno stanje

Pretpostaviti da struja zraka ne radi valove na površini vode.

Rješenje:

a)

Rješenje se oslanja na analogiju prijenosa topline i mase. Stoga valja izračunati najprije

koeficijent prijenosa mase, uz pretpostavku rijetkih smjesa. Kako je geometrijski model

ravna ploča, potrebno je odrediti Reynoldsovu značajku, kako bi se vidjelo je li strujanje

laminarno ili turbulentno:

Za odrediti Reynoldsovu značajku, potrebno je izračunati gustoću i dinamičku viskoznost

graničnog sloja. Svojstva graničnog sloja očitavaju se za srednju temperaturu i srednji

maseni udio:

Srednja temperatura: C502

2575

2

0s °=+

=+

=TT

T

SASTAV GRANIČNOG SLOJA

Maseni udjeli:

( ) bar01902,00317,06,0C25sd,d =⋅=°= pp ϕ

kg

kg0119,0

01902,001325,1

01902,0622,0622,0

d

d0d, =

−=

−=

pp

px

kg

kg01176,0

0199,01

0119,0

1 d,0

d,0

d,0 =+

=+

=x

xξ

( )( ) kg

kg3827,0

38595,001325,1

38595,0622,0

C75

C75622,0

sd,

sd,

sd, =−

⋅=°−

°=

pp

px


37

kg

kg2768,0

3827,01

3827,0

1 sd,

sd,

sd, =+

=+

=x

xξ

Srednji maseni udio:

kg

kg14428,0

2

01176,02768,0

2

0d,sd,

md, =+

=+

=ξξ

ξ

Molni udio: kmol

kmol2134,0

96,28

14428,01

18

14428,018

14428,0

1

z

md,

d

md,

d

md,

md, =−

+=

−+

=

MM

My

ξξ

ξ

Molarna masa graničnog sloja:

( ) ( )kmol

kg621,2696,282134,01182134,01 zddd =⋅−+⋅=−+= MyMyM

SVOJSTVA GRANIČNOG SLOJA

Gustoća graničnog sloja

3

m m

kg004,1

15,3238314

621,26101325=

⋅⋅

===TR

Mp

TR

pρ

Dinamička žilavost graničnog sloja

( ) sPa1062,10C50 6

d

−×=°µ ( ) sPa10607,19C50 6

z

−×=°µ

92866,0

96,28

18122

18

96,28

607,19

62,101

122

1

2

4

2

1

2

4

1

2

2

1

12 =

+⋅

⋅+

=

+⋅

⋅+

=

M

M

M

M

µµ

φ

0657,1

18

96,28122

96,28

18

62,10

607,191

122

1

2

4

1

2

2

4

2

1

1

2

21 =

+⋅

⋅+

=

+⋅

⋅+

=

M

M

M

M

µµ

φ


38

( )( )( )

( )( )

( )sPa10611,17102105,1510401,2

1012134,010657,12134,0

607,192134,0110

92866,02134,0112134,0

62,102134,0

11

1

11

666

66

d21d

zd

12dd

dd

1

1

−−−

−−

=

=

×=×+×=

=×⋅−+⋅

⋅−+×

−+⋅⋅

=

=⋅−+⋅

−+

−+⋅==∑

∑ yy

y

yy

y

y

yn

in

j

ijj

ii

φµ

φµ

φ

µµ

KOEFICIJENT PRIJENOSA MASE

Reynoldsov broj 6,5700910611,17

2,05004,1Re

6=

×⋅⋅

== −µρ lw

Kako je Reynoldsova značajka manja od 100 000, strujanje je laminarno te vrijedi relacija:

3121 PrRe664,0Nu =

Ako se primijeni analogija, izraz za koeficijent prijenosa mase postaje:

3121

m ScRe664,0ShNu ==

Masena difuzivnost:

s

m109602,2

1

15,3231087,11087,1

25

072,210

072,210

AB

−−− ×=

⋅×=

⋅×=

p

TD

5925,0109602,2004,1

10611,17Sc

5

6

=×⋅

×=== −

−

ABAB DD ρµν

Sherwoodova značajka:

163,1335925,06,57009664,0ScRe664,0ShNu 31213121

m =⋅⋅===

Koeficijent prijenosa mase

⇒=AB

A

D

lg

ρm,

mNu

sm

kg019789,0

2,0

109602,2004,1163,133Nu2

5

mm, =

×⋅⋅==

−

l

Dg AB

d

ρ


39

KORIGIRANI KOEFICIJENT PRIJENOSA MASE

Sada treba vidjeti je li ispunjena pretpostavka o malim brzinama prijenosa mase

2,036643,012768,0

2768,001176,0

1s

s0dm, >=

−−

=−−

=ξξξ

B Pretpostavka nije ispunjena

Faktor puhanja ( ) ( )

852,036643,0

36643,01ln1ln

dm,

dm, =+

=+

B

B odstupanje 15 %

( ) ( )sm

kg01686,0

36643,0

36643,01ln019945,0

1ln2

dm,

dm,*

dm,dm, =+

⋅=

+=

B

Bgg

Maseni tok ishlapljivanja

h

kg89,0

s

kg10471,236643,001686,02,0 42

dm,dm,

2

H2Om, =×=⋅⋅=⋅⋅= −Bglq

b)

Koeficijent ishlapljivanja

sm

kg016662,0

0119,01

01686,0

1 2

d,0

dm, =+

=+

=x

gσ

c)

KOEFICIJENT PRIJELAZA TOPLINE

Kako nije ispunjena pretpostavka o malim brzinama prijenosa mase, potrebno je izvršiti

korekciju koeficijenta prijelaza topline, prema izrazu:

( )( )

1exp*

−

=

α

ρρ

αApAA

ApAA

cv

cv

odnosno, uz definiciju motivirajuće sile gornji izraz prelazi u

1exp*

d,dm,dm,

d,dm,dm,

−

=

α

αp

p

cBg

cBg


40

Koeficijent prijelaza topline uz pretpostavku malih brzina prijenosa mase

3121 PrRe664,0Nu =

6,57009105847,17

2,050028,1Re

6=

×⋅⋅

== −µρ lw

λ

µ pc=Pr

Vidimo da je za prijelaz topline potrebno izračunati toplinski kapacitet i toplinsku

provodnost graničnog sloja

Toplinski kapacitet

( )Kkg

kJ9482,1C50d, =°pc ( )

Kkg

kJ0081,1C50z, =°pc

( ) ( )Kkg

kJ1437,10081,114428,019482,114428,01 z,md,d,md,, =⋅−+⋅=−+==∑ ppipip cccc ξξξ

Toplinska provodnost

( )Km

W02036,0C50d =°λ ( )

Km

W027745,0C50z =°λ

07181,1

96,28

18122

18

96,28

027745,0

02036,01

122

1

2

4

2

1

2

4

1

2

2

1

12 =

+⋅

⋅+

=

+⋅

⋅+

=

M

M

M

M

λλ

φ

90782,0

18

96,28122

96,28

18

02036,0

027745,01

122

1

2

4

1

2

2

4

2

1

1

2

21 =

+⋅

⋅+

=

+⋅

⋅+

=

M

M

M

M

µµ

φ


41

( )( )( )

( )( )

( ) Km

W026375,002226,0004112,0

12134,0190782,02134,0

027745,02134,01

07181,12134,0112134,0

02036,02134,0

11

1

11 d21d

zd

12dd

dd

1

1

=+=⋅−+⋅

⋅−+

−+⋅⋅

=

=⋅−+⋅

−+

−+⋅==∑

∑==

yy

y

yy

y

y

yn

in

j

ijj

ii

φλ

φλ

φ

λλ

Prandtlova značajka 7637,0026375,0

7,114310611,17Pr

6

=⋅×

==−

λ

µ pc

Nusseltova značajka 915,1447637,06,57009664,0PrRe664,0Nu 31213121 =⋅⋅==

Koeficijent prijelaza topline pri malim brzinama prijenosa mase

Km

W111,19

2,0

026375,0915,144Nu2

* =⋅

==l

λα

Korigirani koeficijent prijelaza topline

Km

W7202,13

1111,19

2,194836643,001686,0exp

2,194836643,001686,0

1exp

2

*

d,dm,dm,

d,dm,dm, =−

⋅⋅⋅⋅

=

−

=

α

αp

p

cBg

cBg

d)

Prvi glavni stavak postavljen na vodu:

( )C25d

dizlm, °−= rqΦ

t

um

( ) ( ) ( )

W83,174439,171744,27

1054,254610744,625757202,132,0C25d

d 342

iH2Om,0s

2

−=−−=

=×⋅×−−⋅⋅−=°−−−= −rqTTlt

um α

8. LITERATURA

1. A HEAT TRANSFER BOOK, John H. Lienhard IV, John H. Lienhard V

2. TRANSPORT PHENOMENA, R. Byron Bird, Warren E. Stewart, Edwin N. Lightfoot

3. TERMODINAMIKA II, Antun Galović

MASENA DIFUZIJA.pdf

Documents