MARTIN-LUTHER-UNIVERSITÄT HALLE-WITTENBERG Mathematisch-Naturwissenschaftlich-Technische Fakultät Fachbereich Ingenieurwissenschaften Institut Umwelttechnik Numerische Untersuchung des Schwingungsverhaltens von reibungsbehafteten Flüssigkeitssäulen mit freien Oberflächen Studienarbeit Inhalt 1 Bedeutung von Schwingungen 2 Grundlagen zu Schwingungen 3 Beschreibung des Schwingsystems 4 Berechnung der Eigenfrequenz 5 Numerische Simulation mit PHOENICS 6 Ergebnisse von: Thomas Reichardt
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Numerische Untersuchung des Schwingungsverhaltens von reibungsbehafteten Flüssigkeitssäulen mit freien Oberflächen
Studienarbeit
Inhalt
1 Bedeutung von Schwingungen
2 Grundlagen zu Schwingungen
3 Beschreibung des Schwingsystems
4 Berechnung der Eigenfrequenz
5 Numerische Simulation mit PHOENICS
6 Ergebnisse
von: Thomas Reichardt
Seite Studienarbeit 21 Bedeutung von Schwingungen
• in vielen Bereichen des täglichen Lebens
z.B. Ebbe und Flut, Tag und Nacht
• in der Physik
z.B. Uhrenpendel, Atom- und Gitterschwingungen, Superstringtheorie
• in der Raumfahrt
z.B. Resonanzschwingungen von Flüssigkeiten können zum Torkeln des Raumflugkörpers führen
• in der Medizin
z.B. Pulsschlag
• In der Verfahrenstechnik
z.B. zur Intensivierung des Stoffaustausches (in Extraktoren, Blasensäulen und Ionenaustauscherapparten)
Seite Studienarbeit 32 Grundlagen zu Schwingungen
• Definition von Schwingungsvorgängen– zeitlich-periodische Änderung einer physikalischen Größe um
einen Mittelwert– Energie wird hin- und herbewegt
• Systeme die zu einen Energieaustausch in der Lage sind werden Oszillatoren genannt.
• Die Periodizität des Energieaustausches wird durch die Frequenz, d.h. die Anzahl der Zyklen je Zeiteinheit beschrieben.
• Wird die Bewegung der Schwingung durch eine Cosinus- bzw. Sinus-Funktion beschrieben, liegt eine harmonische Schwingung vor.
Seite Studienarbeit 42 Grundlagen zu Schwingungen
• Einmalige Energiezufuhr → freie Schwingung, System schwingt mit einer konstanten Eigenfrequenz– keine Energie wird entzogen → freie ungedämpfte Schwingung
• Auslenkung schwankt zwischen zwei konstanten Maximalwerten (Amplituden)
– Reibung oder Energieverluste→ freie gedämpfte Schwingung• abnehmende Amplitude• Die Frequenz ist kleiner als die Eigenfrequenz der ungedämpften
Schwingung
• Wird dem Oszillator eine periodische Erregung mit einer Erregerfrequenz aufgezwungen, dann nennt man ihn Resonator, der dann eine erzwungene Schwingung ausführt.– wenn die Erregerfrequenz gleich der Eigenfrequenz
(Resonanzfrequenz) des Schwingsystems ist, tritt Resonanz ein• Im ungedämpften Fall → Amplitude wächst unendlich an
(Resonanzkatastrophe)• Im gedämpften Fall → Amplitude steigt auf einen Maximalwert an
Seite Studienarbeit 52 Grundlagen zu Schwingungen
• Allgemeine Schwingungsdifferenzialgleichung:
• Differentialgleichung der freien ungedämpften Schwingung:
mit der Lösung:
• Differentialgleichung der freien gedämpften Schwingung:
mit der Lösung:
202 cos( )y y y a t
20 0y y
202 0y y y Freie gedämpfte Schwingung
-0,15-0,1
-0,050
0,050,1
0,150,2
0,25
0 2 4 6 8 10
Zeit A
usl
enku
ng
Freie ungedämpfte Schwingung
-0,3
-0,2
-0,1
0
0,1
0,2
0,3
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Zeit
Aus
lenk
ung
)cos(ˆ)( 00 tyty
)cos(ˆ)( 0 teyty dt
Seite Studienarbeit 63 Beschreibung des Schwingsystems
• Für die durchgeführten Untersuchungen wurde ein schwingungsfähiges System in einer offenen „Rohr-in-Rohr“-Ausführung, ähnlich einem beidseitig offenem U-Rohr zugrungegelegt.
pb pb pb pb
σ
10
00
L2
100
dM
L2
L1
A1 A2
L 1
L = L1+L2
y
y
Seite Studienarbeit 73 Beschreibung des Schwingsystems
• Versuchsplanung– Variation der Ringspaltweite bei gleichen durchströmten Flächen
im Mantel- und Zentralrohr – Variation der durchströmten Flächen
– Vergleich der Eigenfrequenzen mit den Resonanzfrequenzen
Seite Studienarbeit 83 Beschreibung des Schwingsystems
• 3d-Modelle
AM halbiert AM=AZ AM verdoppelt
Seite Studienarbeit 94 Berechnung der Eigenfrequenz
• Eigenfrequenz bei durchströmten Flächen gleicher Größe– Herleitung über den Energieerhaltungssatz für instationäre,
• Drücke heben sich heraus, da gleich dem Umgebungsdruck
• Differenz des Flüssigkeitsniveaus wird ersetzt durch
• Da gleiche Flächen ergibt sich für das Integral die Länge des Flüssigkeitsfadens L
• Änderung der Spiegelhöhe mit der Zeit , bzw.
dLA
A
dt
dvzgpvzgpv 22
222
2112
1 22
0)( 1222 zzgdL
A
A
dt
dv
21 AA bppp 21
yzz 212
dt
dyv 2 2
22
dt
yd
dt
dv
Seite Studienarbeit 104 Berechnung der Eigenfrequenz
• die Differenzialgleichung lautet dann
oder
• für die Eigenfrequenz der freien ungedämpften Schwingung gilt:
02
2
2
L
yg
dt
yd
02
yL
gy
L
gf
2
2
1
20
0
Seite Studienarbeit 114 Berechnung der Eigenfrequenz
• Eigenfrequenz bei durchströmten Flächen unterschiedlicher Größe
L
2
y2
L
1
y1
A1 A2
Seite Studienarbeit 124 Berechnung der Eigenfrequenz
– Herleitung über den Energieerhaltungssatz
• und
• Kontinuitätsbedingung eingesetzt in die
die Energiebilanz führt nach Umstellen zu folgendem Ausdruck:
• für die Differenz des Flüssigkeitsniveaus kann
geschrieben werden
• und mit folgt
dLA
A
dt
dvzgpvzgpv 22
222
2112
1 22
12 1
2
Av v
A
t
yv
2
112 A
Ayy
21 AA 21 vv
2
2 11 2
2 1 1 12 1 0
2 2
Av
A v dv Ag z z dL
dt A
2112 yyzz
Seite Studienarbeit 134 Berechnung der Eigenfrequenz
• Auflösen des Integrals
• mit und
• ergibt sich die Differentialgleichung
• Vernachlässigung des quadratischen Gliedes führt zu
dt
dyv 1
1 2
12
1
dt
yd
dt
dv
2 2
1 1 12
2 2112
1 11 2 1 2
2 2
1 1
0
2
A dy AgA dt Ad y
ydt A A
L L L LA A
0
1
1
2
121
2
1
y
A
ALL
A
Ag
y
Seite Studienarbeit 144 Berechnung der Eigenfrequenz
• Somit gilt
und für die Eigenfrequenz
2
121
2
1
20
1
A
ALL
A
Ag
2
121
2
1
00
1
2
1
2
A
ALL
A
Ag
f
Seite Studienarbeit 155 Numerische Simulation mit PHOENICS
• PHOENICS ist ein CFD-Softwarepaket mit dem folgende Strömungsvorgänge simuliert werden können:– stationäre und instationäre Strömungen– laminare und turbulente Strömungen– Strömungen kompressibler und inkompressibler Medien– Einphasensysteme oder Mehrphasensysteme– Berechnung von Partikelbahnen– Berechnung mit oder ohne chemische Reaktionen– Strömungsvorgänge durch Schüttschichten
Seite Studienarbeit 165 Numerische Simulation mit PHOENICS
• Erhaltungsgleichungen– Grundlage der Berechnung bilden partielle Differential-
gleichungen für die Erhaltung der Masse, Energie und Impuls– Lösung erfolgt numerisch– Differentialgleichungen werden durch ein System von
algebraischen Gleichungen ersetzt (Diskretisierung)– In Phoenics erfolgt die Lösung mit der Finite-Volumen-Methode
• Finite-Volumen-Methode– Netz wird über das Berechnungsgebiet gelegt– es ergeben sich für jede Zelle (jedes Kontrollvolumen) sechs
Oberflächenintegrale– nach der Integration entstehen Bilanzgleichungen die eine
Lösung ermöglichen
Seite Studienarbeit 175 Numerische Simulation mit PHOENICS
• Verfahren zur Bestimmung der Höhe von Flüssigkeiten bei freien Oberflächen (HOL-Verfahren)– zur Simulation von bewegten Schnittstellen (Flüssigkeit-Gas) – ist in PHOENICS im Unterprogramm GXHOL integriert– Position der Schnittstelle wird über die Markierungsvariable
VFOL ermittelt
VFOL : Volumenbruch der FlüssigkeitTMOL : gesamte Masse der Zellen in einer SpalteLMOL : Masse der Flüssigkeit vor der SchnittstellenzelleRHOL : FlüssigkeitsdichteCVOL : Zellvolumen
– VFOL kann Werte von 0 bis 1 annehmen 0 → Gas 1 → Wasser
CVOLRHOLLMOLTMOLVFOL /
Seite Studienarbeit 185 Numerische Simulation mit PHOENICS
• Gitterausschnitt
PHOTON
Y
Z
Y
Z
Seite Studienarbeit 195 Numerische Simulation mit PHOENICS
• Ermittlung der Resonanzfrequenz– Einlesen der PHI-Dateien der einzelnen Varianten in Autoplot– Diagramm für die Variable VFOL erzeugt und Erfassung des
mittleren Wertes der Variable VFOL
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
VFOL
Z
Seite Studienarbeit 205 Numerische Simulation mit PHOENICS
– Messwerte wurden in Excel aufgenommen
– Bestimmung der Schwingungsdauer und des Abklingkoeffizienten für die jeweilige Variante
– Berechnung der Resonanzfrequenzen
– Nachbildung der Schwingungsfunktionen
Gleiche durchströmte Flächen bei der Ringspaltweite 0,025m
-0,25
-0,2
-0,15
-0,1
-0,05
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4
Zeit [s]
Au
slen
ku
ng
[m]
Messwerte im Mantelrohr bei Auslenkung im ZentralrohrMesswerte im Zentralrohr bei Auslenkung im Zentralrohrnachgebildete Schwingungsfunktionobere Hüllfunktionuntere Hüllfunktion
Seite Studienarbeit 216 Ergebnisse
• Variation der Ringspaltweite – mit 0,005m; 0,015m; 0,025m; 0,035m und 0,05m– Grenzringspaltweite bei 0,025m, hier ist die durchströmte Fläche
im Ringspalt gleich der durchströmten Fläche im Zentralrohr– Auslenkung im Mantelrohr
-0,2
-0,15
-0,1
-0,05
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0 1 2 3 4
Zeit [s]
Au
slen
ku
ng
[m]
Ringspaltweite 0,015 mRingspaltweite 0,025 mRingspaltweite 0,035 mRingspaltweite 0,05 m