Marcos G. Degenhardt Movimento Retilíneo Uniformemente Variado Prof. Marcos Germano Degenhardt.

Mar

cos

G. D

egen

har

dt

Mar

cos

G. D

egen

har

dt

Movimento Retilíneo Movimento Retilíneo Uniformemente VariadoUniformemente Variado

Movimento Retilíneo Movimento Retilíneo Uniformemente VariadoUniformemente Variado

Prof.

Marcos Germano Degenhardt

Mar

cos

G. D

egen

har

dt

Mar

cos

G. D

egen

har

dt

DefiniçãoDefiniçãoDefiniçãoDefinição

Movimento que ocorre em uma trajetória retilínea

Sua velocidade varia progressivamente

Mar

cos

G. D

egen

har

dt

Mar

cos

G. D

egen

har

dt

AceleraçãoAceleraçãoAceleraçãoAceleração

Informa quanto a velocidade aumenta ou diminui num intervalo de tempo.

0

0

tt

vva

t

va

Sendo v (velocidade) em m/s

t ( tempo) em s

a (aceleração) em m/s2

Mar

cos

G. D

egen

har

dt

Mar

cos

G. D

egen

har

dt

ExemploExemploExemploExemploUm automóvel aumenta sua velocidade a partir do repouso até 108 km/h em 20 segundos. Qual sua aceleração?Dados: v0 = 0 m/s

t0 = 0 s

v = 108 km/h => 30 m/s

t = 20 s

Solução 25,120

30

020

030

0

0sm

tt

vva

Mar

cos

G. D

egen

har

dt

Mar

cos

G. D

egen

har

dt

Classificação quanto a Classificação quanto a aceleraçãoaceleração

Classificação quanto a Classificação quanto a aceleraçãoaceleração

Movimentos são classificados de acordo com o que acontece com sua velocidade em

Mar

cos

G. D

egen

har

dt

Mar

cos

G. D

egen

har

dt

Movimentos AceleradosMovimentos AceleradosMovimentos AceleradosMovimentos Acelerados

• A velocidade do móvel aumenta a medida em que o tempo passa.

Como a velocidade aumenta, da fórmula da aceleração, a variação da velocidade será positiva e a aceleração também. Assim:

V > 0 => + <=> a>0 => a = +

Mar

cos

G. D

egen

har

dt

Mar

cos

G. D

egen

har

dt

Movimentos Movimentos DesaceleradosDesaceleradosMovimentos Movimentos

DesaceleradosDesacelerados•Também conhecidos por retardados

•O móvel reduz sua velocidade enquanto o tempo passa:

Como a velocidade aumenta, da fórmula da aceleração, a variação da velocidade será negativa e a aceleração também. Assim:

V < 0 => – <=> a <0 => a = –

Mar

cos

G. D

egen

har

dt

Mar

cos

G. D

egen

har

dt

Propriedade FundamentalPropriedade FundamentalPropriedade FundamentalPropriedade Fundamental

Como a velocidade aumenta progressivamente, assim pode-se calcular a velocidade média

20 vv

vm

Onde:– v é a velocidade final

– v0 é a velocidade inicial

– vm é a velocidade média

Mar

cos

G. D

egen

har

dt

Mar

cos

G. D

egen

har

dt

Propriedade Fundamental Propriedade Fundamental IIII

Propriedade Fundamental Propriedade Fundamental IIII

Como decorrência da velocidade média, tem-se que a distância percorrida pode ser calculada por

tvv

x

tvx m

.2

.

0

Mar

cos

G. D

egen

har

dt

Mar

cos

G. D

egen

har

dt

ExemploExemploExemploExemploUma esfera aumenta sua velocidade de 2 m/s para 6 m/s em 5 s.

(a) qual sua velocidade média?

(b) qual a distância percorrida?

Dados: v0 = 2 m/s v = 6 m/s t = 5 s

Solução

(a) sm

m

vvv 4

2

62

20

mtvx m 205.4. (b)

Mar

cos

G. D

egen

har

dt

Mar

cos

G. D

egen

har

dt

Equação da VelocidadeEquação da VelocidadeEquação da VelocidadeEquação da Velocidade

Informa a velocidade que um móvel possui num instante específico de tempo

atvv 0

Onde:– v é a velocidade final procurada

– v0 é a velocidade inicial

– a é a aceleração

– t é o instante de tempo

Mar

cos

G. D

egen

har

dt

Mar

cos

G. D

egen

har

dt

Exemplo - 1Exemplo - 1Exemplo - 1Exemplo - 1

Uma esfera desloca-se sobre uma rampa inclinada, com velocidade inicial de 3 m/s, com aceleração de 2 m/s2. Se a duração do movimento é de 2 s, qual a velocidade com que a esfera chega a base da rampa?Dados: a = 2 m/s2 v0 = 3 m/s t = 2 s

Solução:

smvv

atvv

/72.230

Mar

cos

G. D

egen

har

dt

Mar

cos

G. D

egen

har

dt

Exemplo - 2Exemplo - 2Exemplo - 2Exemplo - 2Uma esfera em repouso, passa a deslocar-se sobre uma rampa inclinada, com aceleração de 1,5 m/s2. Qual sua velocidade após 10 s de movimento?

Dados: v0 = 0 m/s v = ? m/s

t = 10 s a = 1,5 m/s2

Solução

smv

v

tavv

15

10.5,10

.0

Mar

cos

G. D

egen

har

dt

Mar

cos

G. D

egen

har

dt

Equação da PosiçãoEquação da PosiçãoEquação da PosiçãoEquação da Posição

Informa a posição que um móvel ocupa num determinado instante de tempo

221

00 . attvxx Onde:

– x é a posição final procurada

– x0 é a posição inicial

– v0 é a velocidade inicial

– a é a aceleração

– t é o instante de tempo

Mar

cos

G. D

egen

har

dt

Mar

cos

G. D

egen

har

dt

ExemploExemploExemploExemplo

Um móvel, num instante de tempo t0= 0s, tem velocidade de 2 m/s. No instante de tempo t1= 2 s sua velocidade é de 6 m/s. Sendo de 2 m a posição inicial em relação ao referencial, determinar:

(a) sua aceleração;

(b) a posição ocupada no instante t = 2 s

Dados: v0 = 2 m/s t0 = 0 s

v = 6 m/s t = 2 s

Mar

cos

G. D

egen

har

dt

Mar

cos

G. D

egen

har

dt

Solução - 1Solução - 1Solução - 1Solução - 1

• cálculo da aceleração

2sm

0

2a 2

4 24

2.26

aa

a

atvv

Mar

cos

G. D

egen

har

dt

Mar

cos

G. D

egen

har

dt

Solução - 2Solução - 2Solução - 2Solução - 2

• Cálculo da posição

mx

x

x

attvxx

10

442

2.2.2.22

.2

21

221

00

Mar

cos

G. D

egen

har

dt

Mar

cos

G. D

egen

har

dt

Equação de TorricelliEquação de TorricelliEquação de TorricelliEquação de Torricelli

É a equação que relaciona a distância percorrida por um móvel com o respectivo aumento de velocidade

xavv 220

2

Onde:– v é a velocidade final procurada

– v0 é a velocidade inicial

– a é a aceleração

– x é a distância percorrida

Mar

cos

G. D

egen

har

dt

Mar

cos

G. D

egen

har

dt

ExemploExemploExemploExemploUm veículo está parado num sinaleiro. Quando o mesmo abre, o motorista imprime ao carro aceleração de 2 m/s2. Que distância terá sido percorrida quando o velocímetro indicar 72 km/h?

Dados: v0 = 0 (repouso) v = 72 km/h => 20 m/s

a = 2 m/s2

Solução

mx

x

xavv

1004

400x 4400

.2.2020

222

20

2

Mar

cos

G. D

egen

har

dt

Mar

cos

G. D

egen

har

dt

AplicaçõesAplicaçõesAplicaçõesAplicações

Duas são as aplicações para o MRUV

Mar

cos

G. D

egen

har

dt

Mar

cos

G. D

egen

har

dt

Queda LivreQueda LivreQueda LivreQueda Livre

Ocorre quando um corpo cai de certa altura com velocidade inicial nula

Mar

cos

G. D

egen

har

dt

Mar

cos

G. D

egen

har

dt

CaracterísticasCaracterísticasCaracterísticasCaracterísticas

Sua características são – velocidade inicial é nula– aceleração igual a da gravidade– altura da queda igual a altura em que o objeto

se encontra

Mar

cos

G. D

egen

har

dt

Mar

cos

G. D

egen

har

dt

EquaçõesEquaçõesEquaçõesEquaçõesEquação da VelocidadeEquação da VelocidadeEquação da VelocidadeEquação da Velocidade

gtv

v é a velocidade

g é a aceleração da gravidade

t é o tempo de queda

Mar

cos

G. D

egen

har

dt

Mar

cos

G. D

egen

har

dt

EquaçõesEquaçõesEquaçõesEquações

Equação da PosiçãoEquação da PosiçãoEquação da PosiçãoEquação da Posição

2

2

1gty

y é a altura da queda

g é a aceleração da gravidade

t é o tempo de queda

Mar

cos

G. D

egen

har

dt

Mar

cos

G. D

egen

har

dt

ExemploExemploExemploExemplo

Uma pedra cai do alto de um precipício de 320 m de altura.

(a) qual o tempo da queda?

(b) qual a velocidade da pedra ao atingir o solo?

Dados: h = 320 m g = 10 m/s2

Mar

cos

G. D

egen

har

dt

Mar

cos

G. D

egen

har

dt

Solução - aSolução - aSolução - aSolução - a

(a) Cálculo do tempo de queda

st

t

t

gty

864

6410

2.320

.10.320

2

221

221

Mar

cos

G. D

egen

har

dt

Mar

cos

G. D

egen

har

dt

Solução - bSolução - bSolução - bSolução - b

(b) Cálculo da velocidade ao atingir o solo

smv

v

gtv

/80

8.10

Mar

cos

G. D

egen

har

dt

Mar

cos

G. D

egen

har

dt

Arremesso VerticalArremesso VerticalArremesso VerticalArremesso Vertical

Quando o corpo é jogado ou para cima, ou para baixo, na vertical.

No exemplo ao lado, será jogado para cima.

Observar:

Mar

cos

G. D

egen

har

dt

Mar

cos

G. D

egen

har

dt

CaracterísticasCaracterísticasCaracterísticasCaracterísticas

Sua características são – velocidade inicial não é nula– aceleração igual a da gravidade:

• negativa, se arremessado para cima

• positiva, se arremessado para baixo

– altura máxima corresponde ao instante em que a velocidade é nula

Mar

cos

G. D

egen

har

dt

Mar

cos

G. D

egen

har

dt

EquaçõesEquaçõesEquaçõesEquaçõesEquação da VelocidadeEquação da VelocidadeEquação da VelocidadeEquação da Velocidade

gtvv 0

v é a velocidade

v0 é a velocidade inicialg é a aceleração da gravidadet é o tempo de queda

Mar

cos

G. D

egen

har

dt

Mar

cos

G. D

egen

har

dt

Equação da PosiçãoEquação da PosiçãoEquação da PosiçãoEquação da Posição

2

2

1. gttvy o

y é a altura da queda

v0 é a velocidade inicialg é a aceleração da gravidadet é o tempo de queda

EquaçõesEquaçõesEquaçõesEquações

Mar

cos

G. D

egen

har

dt

Mar

cos

G. D

egen

har

dt

EquaçõesEquaçõesEquaçõesEquaçõesEquação da TorricelliEquação da TorricelliEquação da TorricelliEquação da Torricelli

ygvv ..220

2

v é a velocidade

v0 é a velocidade inicial

g é a aceleração da gravidade

y é a altura considerada

Mar

cos

G. D

egen

har

dt

Mar

cos

G. D

egen

har

dt

ExemploExemploExemploExemplo

Um objeto é lançado para cima com velocidade de 15 m/s. Quanto tempo ele permanecerá no ar?Dados: v0 = 15 m/s v = 0 g = 10 m/s2

Solução:Inicialmente se calcula quanto tempo ele terá para a subida

st

t

t

gtvv

5,110

15

1015

101500

Mar

cos

G. D

egen

har

dt

Mar

cos

G. D

egen

har

dt

SoluçãoSoluçãoSoluçãoSolução

O tempo total do movimento será o dobro do tempo de subida:

s 3

5,1.2

2

t

t

tttt sds

Mar

cos

G. D

egen

har

dt

Mar

cos

G. D

egen

har

dt

Exemplo Exemplo Exemplo Exemplo

Uma pedra é arremessada para cima com velocidade de 20 m/s. Que altura ela atinge?

Dados: v0 = 20 m/s v = 0 m/s

g = 10 m/s2 h = ? m

Solução:

m 2020

400

20400

.10.2200

..222

20

2

y

y

y

ygvv