St Valentin 2006 Cours de graphes 1 - Intranet 1 • Marc Gengler • [email protected] mrs.fr Cours de graphes Alexandra Bac - Sébastien Fournier 12h de cours 12h de TD des devoirs … et un examen
Feb 24, 2016
St Valentin 2006 Cours de graphes 1 - Intranet 1
• Marc Gengler• [email protected]
Cours de graphes
Alexandra Bac - Sébastien Fournier12h de cours
12h de TDdes devoirs
… et un examen
St Valentin 2006 Cours de graphes 1 - Intranet 2
Bibliographie•Tout ce qui contient
- graphes, graphs.•Internet- souvent, c’est trop simplifié ou trop dense,- et pas toujours correct.•Mes choix- Introduction to Algorithms, Leiserson et al.- Algorithms, Sedgewick.- Fundamental Algorithms, Knuth.- Graphes, Berge.
St Valentin 2006 Cours de graphes 1 - Intranet 3
Les grandes lignes du cours•Définitions de base•Connexité•Les plus courts chemins•Dijkstra et Bellmann-Ford•Arbres•Arbres de recouvrement minimaux •Problèmes de flots•Coloriage de graphes•Couplage•Chemins d’Euler et de Hamilton•Problèmes NP-complets
St Valentin 2006 Cours de graphes 1 - Intranet 4
Définitions de base-----------------------------------------------------------------
• Il y a des sommets ! (vertex, vertices)• Il y a des arêtes ! (edge)• Il y a des arcs ! (arc)
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Définitions de base-----------------------------------------------------------------
• Formellement :• Il y a l’ensemble « V » des sommets.
– Il y en a « n », c’est-à-dire | V | .– La complexité est fonction du nombre de sommets.
• Il y a l’ensemble « E » des arcs et arêtes.– C’est une partie du produit cartésien V x V .– « E » peut être réflexif, irréflexif ou ni l’un, ni l’autre.
Tous des couples ( a , a ) ! Aucun couple ( a , a ) !
St Valentin 2006 Cours de graphes 1 - Intranet 6
Définitions de base-----------------------------------------------------------------
( a , b ) ssi ( b , a ) !Si ( a , b ) avec a = b alors pas ( b , a ) !/
• Formellement :• Il y a l’ensemble « V » des sommets.
– Il y en a « n », c’est-à-dire | V | .– La complexité est fonction du nombre de sommets.
• Il y a l’ensemble « E » des arcs et arêtes.– C’est une partie du produit cartésien V x V .– « E » peut être réflexif, irréflexif ou ni l’un, ni l’autre.– « E » peut être symétrique, anti-symétrique ou ni - ni.
St Valentin 2006 Cours de graphes 1 - Intranet 7
Définitions de base-----------------------------------------------------------------
• Formellement :• Il y a l’ensemble « V » des sommets.
– Il y en a « n », c’est-à-dire | V | .– La complexité est fonction du nombre de sommets.
• Il y a l’ensemble « E » des arcs et arêtes.– C’est une partie du produit cartésien V x V .– « E » peut être réflexif, irréflexif ou ni l’un, ni l’autre.– « E » peut être symétrique, anti-symétrique ou ni - ni.
Graphe non orienté ! Graphe orienté !
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Définitions de base-----------------------------------------------------------------
Si ( a , b ) et ( b , c ) alors (a , c ) !
• Formellement :• Il y a l’ensemble « V » des sommets.
– Il y en a « n », c’est-à-dire | V | .– La complexité est fonction du nombre de sommets.
• Il y a l’ensemble « E » des arcs et arêtes.– C’est une partie du produit cartésien V x V .– « E » peut être réflexif, irréflexif ou ni l’un, ni l’autre.– « E » peut être symétrique, anti-symétrique ou ni - ni.– « E » peut être transitive, ou non-transitive.
St Valentin 2006 Cours de graphes 1 - Intranet 9
Définitions de base-----------------------------------------------------------------
• Formellement :– G = ( V , E )– Un graphe est donné par les ensembles « V » et « E ».
• Il y a des multi-graphes qui sont correspondent au cas où « E » est un multi-ensemble (plusieurs arêtes et/ou arcs entre deux sommets).
• Il y a des graphes pondérés qui correspondent au fait l’on attache des poids aux arcs ou arêtes (entiers par exemple).
12
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St Valentin 2006 Cours de graphes 1 - Intranet 10
Définitions de base-----------------------------------------------------------------
• Sous-graphe G’ d’un graphe G :– Le graphe G’ = ( V’ , E’ ) est un sous-graphe du graphe
G = ( V , E ) , si :
• V’ V les sommets de G’ sont parmi ceux de G
• E’ E V’ x V’ les arcs et arêtes de G’ sont parmi ceux et celles de G et se limitent aux sommets de G’.
UU
v
St Valentin 2006 Cours de graphes 1 - Intranet 11
Définitions de base-----------------------------------------------------------------
• Représentation des données :• Nous indexons (numérotons) les sommets.• Nous représentons les arcs et les arêtes.• Nous obtenons une matrice « M » de taille n x n
qui comporte des valeurs binaires.• M( a , b ) est vrai si et seulement si l’arc ( a , b )
existe !
St Valentin 2006 Cours de graphes 1 - Intranet 12
Définitions de base-----------------------------------------------------------------
1
2
4
35
6
123456
1 2 3 4 5 6
L’existence ou nonde l’arc ( 2 , 5 ) ! ! !
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Définitions de base-----------------------------------------------------------------
1
2
4
35
6
123456
1 2 3 4 5 6
VF
FF
FF
V
VV
VLes arêtes ( 2 , 4 ) et ( 3 , 5 )sont symétriques !
V
V
Les arcs ( 1 , 4 ) et ( 4 , 1 )donnent aussi une symétrie !
V
V
Les arcs ( 4 , 3 ) et ( 6 , 3 ) n’ontpas leur pendant symétrique ! ! !
Il faut n^2 bits !
F FF F F
F F
F F
F FF FF F
F F
F F
FFF
La diagonale parle des couples ( u , u ) !
St Valentin 2006 Cours de graphes 1 - Intranet 14
Définitions de base-----------------------------------------------------------------
1
2
4
35
6
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1 2 3 4 5 6
VF
FF
FF
Pour des multi-graphes, nousremplaçons les booléens pardes multiplicités !V
VV
VV
V
Pour des graphes pondérés,nous remplaçons les booléenspar des poids !
V
V
F FF F F
F F
F F
F FF FF F
F F
F F
FFF
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Définitions de base-----------------------------------------------------------------
123456
1 2 3 4 5 6
VF
FF
FF
V
VV
VV
V
V
V
F FF F F
F F
F F
F FF FF F
F F
F F
FFF
445
1 2 33
3 6
Il faut( | V | + | E | ) * log( | V | )bits !
Parfois, le graphe est peu dense !
Nous mémorisons juste les indicesdes colonnes différentes de Faux !
St Valentin 2006 Cours de graphes 1 - Intranet 16
Définitions de base-----------------------------------------------------------------
123456
1 2 3 4 5 6
VF
FF
FF
Les voisins d’un sommet « u » :
Les voisins sortants : V+ ( u )
Les voisins entrants : V- ( u )V
VV
VV
V
V+ ( u ) = { v V | ( u , v ) E }
V- ( u ) = { v V | ( v , u ) E }
V
V
F FF F F
F F
F F
F FF FF F
F F
F F
FFF
Si le graphe est symétrique :
V ( u ) = V+ ( u ) = V- ( u )
V- ( 3 ) = { 4 , 5 , 6 }
V+ ( 4 ) = { 1 , 2 , 3 }
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Définitions de base-----------------------------------------------------------------
123456
1 2 3 4 5 6
VF
FF
FF
Le degré d’un sommet « u » :
Le degré sortant : D+ ( u )
Le degré entrant : D- ( u )V
VV
VV
V
D+ ( u ) = | V+ ( u ) |
D- ( u ) = | V- ( u ) |
V
V
F FF F F
F F
F F
F FF FF F
F F
F F
FFF
Si le graphe est symétrique :
D ( u ) = D+ ( u ) = D- ( u )
Le degré d’un graphe G = ( V , E ) :
D( G ) = max { D ( u ) }u V
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Définitions de base-----------------------------------------------------------------
123456
1 2 3 4 5 6
VF
FF
FF
Le degré d’un sommet « u » :
Le degré sortant : D+ ( u )
Le degré entrant : D- ( u )V
VV
VV
V
D+ ( u ) = | V+ ( u ) |
D- ( u ) = | V- ( u ) |
V
V
F FF F F
F F
F F
F FF FF F
F F
F F
FFF
Si le graphe est symétrique :
D ( u ) = D+ ( u ) = D- ( u )
Le degré d’un graphe G = ( V , E ) :
D( G ) = max { D ( u ) }u V
St Valentin 2006 Cours de graphes 1 - Intranet 19
Définitions de base-----------------------------------------------------------------
• Les chemins :• Un chemin, de longueur « n », du sommet « u » au
sommet « v » est :
( w , . . . , w )
• telle que– u = w et v = w
– ( w , w ) est une arête ou un arc du graphe.
• Le chemin est orienté s’il comporte des arcs, non orienté s’il est fait d’arêtes uniquement.
1 n+1
i i+1
1 n+1
St Valentin 2006 Cours de graphes 1 - Intranet 20
Définitions de base-----------------------------------------------------------------
• Notations et propriétés sur les chemins :• Nous noterons ( c’est non standard ) :
– ( u , v ) l’arête ou l’arc, c’est-à-dire le chemin de longueur 1 .
– ( u ; v ) le chemin de longueur quelconque.
• Pour tout chemin non orienté ( u ; v ) du graphe G, nous pouvons construire le chemin ( v ; u ) dans G.
• Dans un graphe G, l’existence du chemin orienté ( u ; v ) n’implique pas l’existence d’un chemin de retour ( v ; u ) .
St Valentin 2006 Cours de graphes 1 - Intranet 21
Définitions de base-----------------------------------------------------------------
• Cycles et circuits :• Un chemin non orienté ( u ; v ) pour lequel « u » coïncide
avec « v » est un cycle.• Un chemin orienté ( w ; t ) pour lequel « w » coïncide avec
« t » est un circuit.
u = v
w = t
St Valentin 2006 Cours de graphes 1 - Intranet 22
Définitions de base-----------------------------------------------------------------
• Chemins simples :• Un chemin ( u ; v ) , où « u » est différent de « v », est
simple si et seulement si aucun sommet n’est répété dans la séquence :
( u , . . . , v )
u
t
Chemin simple ( u ; v )
v
w
Chemin nonsimple ( w ; t )
St Valentin 2006 Cours de graphes 1 - Intranet 23
Définitions de base-----------------------------------------------------------------
• Lemme de König :• De tout chemin non simple ( u ; v ) , nous pouvons
extraire un chemin de « u » vers « v » qui est simple et plus court que le chemin initial.
( u , . . . , w , . . . , w , t , . . . , v )
u
vw
tDe tout cycle oucircuit nouspouvonsextraire uncycle ou circuitélémentaire !
St Valentin 2006 Cours de graphes 1 - Intranet 24
Définitions de base-----------------------------------------------------------------
• Lemme de König :• De tout chemin non simple ( u ; v ) , nous pouvons
extraire un chemin de « u » vers « v » qui est simple et plus court que le chemin initial.
( u , . . . , w , . . . , w , t , . . . , v )
u
vw
tDe tout cycle oucircuit nouspouvonsextraire uncycle ou circuitélémentaire !
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Définitions de base-----------------------------------------------------------------
1
2
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1 2 3 4 5 6
VF
FF
FF
V
VV
VV
V
V
V
F FF F F
F F
F F
F FF FF F
F F
F F
FFF
La composante connexe de « u » :
La composante sortante : C+ ( u )
La composante entrante : C- ( u )
C+ ( u ) = { v V | ( u ; v ) existe }
C- ( u ) = { v V | ( v ; u ) existe }
Si G est symétrique : C ( u ) = C+ ( u ) = C- ( u )
C+ ( 4 ) = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 }C- ( 4 ) = { 1 , 2 , 4 }
St Valentin 2006 Cours de graphes 1 - Intranet 26
Définitions de base-----------------------------------------------------------------
• Pour un graphe non orienté :• La composante connexe de « u » est :
– réflexive, vous pouvez rester où vous êtes !
– symétrique, les chemins de retour existent !
– transitive, vous pouvez concaténer des chemins !
• Une composante connexe est une classe d’équivalence !• Un graphe non orienté est partitionné en ses classes
d’équivalence !
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Définitions de base-----------------------------------------------------------------
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VF
FF
FF
V
VV
VV
VF FF F F
F F
F F
F FF FF F
F F
F F
FFF
F
F
Nous partons d’unerelation symétrique !
Nous fermons réflexivement !
La fermeture réflexive d’unerelation « R » est la plus petiterelation réflexive qui contienne « R ».
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Définitions de base-----------------------------------------------------------------
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V
V
VV
VV
VF FF F F
F F
F F
F FF FF F
F F
F F
FFF
F
F
Nous partons d’unerelation symétrique !
Nous fermons réflexivement !
La fermeture réflexive d’unerelation « R » est la plus petiterelation réflexive qui contienne « R ».
VV
VV
V
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Définitions de base-----------------------------------------------------------------
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V
V
VV
VV
VF FF F F
F F
F F
F FF FF F
F F
F F
FFF
F
F
Nous partons d’unerelation symétrique !
Nous fermons réflexivement !
La fermeture transitive d’unerelation « R » est la plus petiterelation transitive qui contienne « R ».
VV
VV
V
Nous fermons transitivement !
St Valentin 2006 Cours de graphes 1 - Intranet 30
Définitions de base-----------------------------------------------------------------
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V
V
VV
VV
VFF F F
F F
F F
F FF FF F
F F
F F
FFF
F
Nous partons d’unerelation symétrique !
Nous fermons réflexivement !
La fermeture transitive d’unerelation « R » est la plus petiterelation transitive qui contienne « R ».
VV
VV
V
Nous fermons transitivement !
VV
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Définitions de base-----------------------------------------------------------------
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V
V
VV
VV
VFF F F
F F
F F
F FF FF F
F F
F F
FFF
F
Nous partons d’unerelation symétrique !
Nous fermons réflexivement !
VV
VV
V
Nous fermons transitivement !
VV
{ 1 , 2 , 4 } est une composante connexe !
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Définitions de base-----------------------------------------------------------------
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V
V
VV
VV
VFF F F
F F
F F
F FF FF F
F F
F F
FFF
F
Nous partons d’unerelation symétrique !
Nous fermons réflexivement !
VV
VV
V
Nous fermons transitivement !
VV
{ 3 , 5 } est une composante connexe !
St Valentin 2006 Cours de graphes 1 - Intranet 33
Définitions de base-----------------------------------------------------------------
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V
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VV
VV
VFF F F
F F
F F
F FF FF F
F F
F F
FFF
F
Nous partons d’unerelation symétrique !
Nous fermons réflexivement !
VV
VV
V
Nous fermons transitivement !
VV
{ 6 } est une composante connexe !
St Valentin 2006 Cours de graphes 1 - Intranet 34
Définitions de base-----------------------------------------------------------------
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V
VV
VV
V
V FF F F
F F
FF
F FF FF FF F
F F
FFF
F
Nous partons d’unerelation symétrique !
Nous fermons réflexivement !
VV
VV
V
Nous fermons transitivement !
VV
Si nous renumérotons !
St Valentin 2006 Cours de graphes 1 - Intranet 35
Définitions de base-----------------------------------------------------------------
• Principe de décomposition :• Souvent, le traitement appliqué à un graphe non connexe consiste à appliquer ce même traitement indépendamment sur chacune des composantes connexes !
• Dans ce cas, on ne perd rien à supposer G connexe ! ! !
St Valentin 2006 Cours de graphes 1 - Intranet 36
Définitions de base-----------------------------------------------------------------
• Pour un graphe orienté :• Un sous-ensemble « X » des sommets d’un graphe orienté
est fortement connexe si nous pouvons aller de n’importe quel sommet vers n’importe quel autre sommet.
• Proposition :– Une composante est fortement connexe si et seulement si chaque sommet se trouve sur un circuit.
• Preuve :– => : Si ( u ; v ) existe, alors ( v ; u ) existe et donc ( u ; v ; u )
.– <= : Soit ( u ; v ) de la forme ( u ; w ; v ). Pour « w » bien choisi, le circuit ( w ; v ; w ) existe ! Nous recommençons le raisonnement pour ( u ; w ) .
u vw
St Valentin 2006 Cours de graphes 1 - Intranet 37
Définitions de base-----------------------------------------------------------------
• Pour un graphe orienté :• Un graphe orienté est quasi-fortement connexe s’il existe
un sommet depuis lequel nous pouvons atteindre tous les autres sommets. Un tel sommet sera appelé « racine ».
St Valentin 2006 Cours de graphes 1 - Intranet 38
Définitions de base-----------------------------------------------------------------
• Distances et diamètre :• La distance « d ( u , v ) » entre un sommet « u » et un
sommet « v » est :– la longueur du plus court chemin (forcément simple) de « u »
vers « v », si celui-ci existe,
– infini, sinon.
• Le diamètre d’un graphe connexe est la distance entre ses sommets les plus éloignés :
( G ) = max { d ( u , v ) }u , v V
St Valentin 2006 Cours de graphes 1 - Intranet 39
Définitions de base-----------------------------------------------------------------
uv
Chemin simple de longueur 4 !Le plus court chemin est de longueur 3 : d ( u , v ) = 3
( G ) = 4
St Valentin 2006 Cours de graphes 1 - Intranet 40
Définitions de base-----------------------------------------------------------------
• Ecarts, centre et diamètre :• L’écart « e ( u ) » d’un sommet « u » d’un graphe connexe est :
– la distance vers le sommet « v » le plus loin de « u » :
e ( u ) = max { d ( u , v ) }
• Un sommet « u » est au centre de G si
e ( u ) = min { e ( v ) }
• ( G ) = max { e ( v ) }
v V
v V
v V
St Valentin 2006 Cours de graphes 1 - Intranet 41
Définitions de base-----------------------------------------------------------------
u
e ( u ) = 3
v
« v » est au centre car e ( v ) = 2 est minimal !
( G ) = e ( w ) = 4
w
St Valentin 2006 Cours de graphes 1 - Intranet 42
Définitions de base-----------------------------------------------------------------
• Lemme des plus courts chemins (De la Palisse) :• Si le plus court chemin de « u » vers « v » passe par « w », alors la partie préfixe de « u » vers « w » est aussi le plus court chemin de « u » vers « w ».
u vw
Le plus court chemin de « u » à « v » !
Le plus court chemin de « u » à « w » !
St Valentin 2006 Cours de graphes 1 - Intranet 43
Définitions de base-----------------------------------------------------------------
• Poids d’un chemin :• Dans un graphe pondéré, le poids d’un chemin est la somme
des poids de ses arcs et arêtes.• Nous pouvons alors, de manière évidente, définir le chemin le
plus léger de « u » vers « v ».• Le chemin le plus léger (poids) ne coïncide pas forcément avec
le chemin le plus court (nombre d’arcs et arêtes). • Les poids ne vérifient pas forcément l’inégalité triangulaire !
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10 12
St Valentin 2006 Cours de graphes 1 - Intranet 44
Définitions de base-----------------------------------------------------------------
• Poids d’un chemin :• Dans un graphe pondéré, le poids d’un chemin est la somme
des poids de ses arcs et arêtes.• Nous pouvons alors, de manière évidente, définir le chemin le
plus léger de « u » vers « v ».• Le chemin le plus léger (poids) ne coïncide pas forcément avec
le chemin le plus court (nombre d’arcs et arêtes). • Les poids ne vérifient pas forcément l’inégalité triangulaire !
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St Valentin 2006 Cours de graphes 1 - Intranet 45
Connexité – plus courts chemins-----------------------------------------------------------------
• Sur un graphe non orienté, nous allons calculer :– les composantes connexes !
• Sur une composante connexe, nous allons calculer :– les plus courts chemins !
• Nous rajoutons une pondération strictement positive et nous allons calculer :– les chemins les plus légers !
St Valentin 2006 Cours de graphes 1 - Intranet 46
Connexité – plus courts chemins-----------------------------------------------------------------
• Nous utilisons trois algorithmes :
– un algorithme par « vague », c’est un parcours en largeur,
– un algorithme par « multiplication de matrices »,
– l’algorithme de programmation dynamique « Floyd-Warshall » !
• Pour chacun d’entre eux, il s’agit de savoir si :
– il arrive à résoudre le problème en question,
– quelle est la complexité du calcul ?
St Valentin 2006 Cours de graphes 1 - Intranet 47
Connexité – plus courts chemins-----------------------------------------------------------------
Connexité
Plus courts
Plus légers
La vague Multiplication Floyd-Warshall
St Valentin 2006 Cours de graphes 1 - Intranet 48
Connexité – plus courts chemins-----------------------------------------------------------------
• L’algorithme par vague :– Nous choisissons un sommet sec et le mouillons, – nous mouillons ses voisins,– nous mouillons les voisins des voisins , . . .
• Attention, dans un graphe il peut y avoir des cycles ! ! !– Il faut éviter de tourner en rond !– Ici, nous ne faisons rien pour un sommet déjà mouillé !
• Complexité : ( | E | ) = O( | V |^2 ) = O ( n^2 )
– Chaque arête est visitée une et une seule fois !
St Valentin 2006 Cours de graphes 1 - Intranet 49
Connexité – plus courts chemins-----------------------------------------------------------------
Connexité
Plus courts
Plus légers
La vague Multiplication Floyd-Warshall
( | E | ) = O ( | V |^2 )
St Valentin 2006 Cours de graphes 1 - Intranet 50
Connexité – plus courts chemins-----------------------------------------------------------------
• La multiplication de matrices :– Nous prenons une matrice avec des « 0 » et des « 1 »,– nous la fermons réflexivement (des « 1 » sur la diagonale),– nous effectuons le calcul suivant :
M * M’ ( i , j ) = max M ( i , k ) * M’ ( k , j )
• Nous calculons : M -> M^2 -> M^4 -> . . . • Propriété : M^( 2 * i ) = M^i * M^i contient tous les
chemins de longueur au plus 2 * i .• Il suffit de calculer M^k avec k >= | V |-1 = n-1 (le plus
long chemin possible; et donc tous les chemins) !• Il suffit de O ( log( | V | ) ) élévations au carré !
k
St Valentin 2006 Cours de graphes 1 - Intranet 51
Connexité – plus courts chemins-----------------------------------------------------------------
• Preuve de la propriété :– La matrice M fermée réflexivement contient tous les
chemins de longueur 0 ou 1.– Hypothèse d’induction : M^i contient tous les chemins
de longueur au plus i .
M^( 2 * i ) ( u , v ) = 1 max_k M^i ( u , k ) * M^i ( k , v ) = 1 w tel que M^i ( u , w ) * M^i ( w , v ) = 1 M^i ( u , w ) = 1 et M^i ( w , v ) = 1 ( u ; w ) et ( w ; v ) sont de longueur au plus i ( u ; w ; v ) est de longueur au plus 2 * i .• On obtient bien-sûr tous les chemins !
St Valentin 2006 Cours de graphes 1 - Intranet 52
Connexité – plus courts chemins-----------------------------------------------------------------
Connexité
Plus courts
Plus légers
La vague Multiplication Floyd-Warshall
( | E | ) = O ( | V |^2 )
( | V |^3 * log( | V | ) )
St Valentin 2006 Cours de graphes 1 - Intranet 53
Connexité – plus courts chemins-----------------------------------------------------------------
• Floyd-Warshall :– La multiplication recalcule de façon répétée les chemins
courts. Si M^i ( u , v ) = 1 :
M^( 2 * i ) ( u , v ) = max_k M^i ( u , k ) * M^i ( k , v ) = M^i ( u , u ) * M^i ( u , v ) = M^i ( u , v ) = 1
• La DP numérote les sommets de « 1 » à « n » et :
– à l’étape (1), ne calcule que les chemins dont les intermédiaires sont dans l’ensemble { 1 },
– à l’étape (2), ne calcule que les chemins dont les intermédiaires sont dans l’ensemble { 1 , 2 }, . . .
St Valentin 2006 Cours de graphes 1 - Intranet 54
Connexité – plus courts chemins-----------------------------------------------------------------
12
3
Initialement : M(0)
Etape 1 : M(1)
Nous n’avons pas dessiné les boucles de la fermeture réflexive !
Etape 2 : M(2)
Etape 3 : M(3)
Petit à petit, les uns . . .
St Valentin 2006 Cours de graphes 1 - Intranet 55
Connexité – plus courts chemins-----------------------------------------------------------------
12
3
Initialement : M(0)
Etape 1 : M(1)
Nous n’avons pas dessiné les boucles de la fermeture réflexive !
Etape 2 : M(2)
Etape 3 : M(3)
Petit à petit, les autres . . .
St Valentin 2006 Cours de graphes 1 - Intranet 56
Connexité – plus courts chemins-----------------------------------------------------------------
12
3
Initialement : M(0)
Etape 1 : M(1)
Nous n’avons pas dessiné les boucles de la fermeture réflexive !
Etape 2 : M(2)
Etape 3 : M(3)
Petit à petit, finalement . . .
St Valentin 2006 Cours de graphes 1 - Intranet 57
Connexité – plus courts chemins-----------------------------------------------------------------
M ( u , v ) = M ( u , v )(k) (k-1)
(k-1)
(k)
• M est donnée, elle comporte tous les chemins avec des intermédiaires parmi { 1 , . . . , k-1 } .
• M ( u , v ) est un chemin de « u » vers « v » avec des intermédiaires parmi { 1 , . . . , k } .
• Soit le sommet « k » figure dans ce chemin, soit il ne le fait pas.
u - . . . - k - . . . - v
M ( u , k ) M ( k , v )
/ k / k
(k-1) (k-1)
} }
St Valentin 2006 Cours de graphes 1 - Intranet 58
Connexité – plus courts chemins-----------------------------------------------------------------
• M est la matrice d’adjacence, fermée réflexivement. Elle comporte des « 0 » et des « 1 ».
M ( u , v ) = max ( , )• M est la matrice recherchée !
(0)
M ( u , k ) * M ( k , v )(k-1)M ( u , v )(k-1)
(k-1)
(n)
(k)
Pour k de 1 a | V | Pour u de 1 a | V | Pour v de 1 a | V | M_k ( u , v ) <- . . .
St Valentin 2006 Cours de graphes 1 - Intranet 59
Connexité – plus courts chemins-----------------------------------------------------------------
Connexité
Plus courts
Plus légers
La vague Multiplication Floyd-Warshall
( | E | ) = O ( | V |^2 )
( | V |^3 * log( | V | ) ) ( | V |^3 )
St Valentin 2006 Cours de graphes 1 - Intranet 60
Synthèse-----------------------------------------------------------------
• Définitions de base
• Connexité :
– à l’aide de la vague,
– à l’aide de la multiplication,
– à l’aide de Floyd-Warshall.