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DOCUMENTO DE TRABAJO Nº.10
Estadistica
ASIGNATURA
CÓDIGO PLAN DE ESTUDIO
REQUISITO(S) HORAS SEMANALES
OBLIGATORIA/LECTIVAANUAL/SEMESTRALDIURNA/VESPERTINA
TEÓRICO-PRÁCTICA/PRÁCTICA CARÁCTER
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II. Aprendizajes Esperados:
Defnir Variables aleatorias y su distribución.
1. Identifcar Variables aleatorias y su distribución, Tipos de variables
aleatorias
2. Diseño de unción de probabilidad y de distribución, variable aleatoria
discreta.
3. !lcular e interpretar" la esperan#a, y la varian#a
III. Sn!esis es"#e$%!i&a de Con!enidos
I'. A&!i(idades ) indi(id#a*es o +r#pa*es,
1$ %e observó &ue el '() de los ve*+culos &ue cru#an deterinado puente
son caiones coerciales. uatro ve*+culos van a cru#ar el puente en elsi-uiente inuto.
a$ Deterinar la distribución de probabilidad para el nero de caiones
coerciales entre los cuatro, si los tipos de ve*+culos son independientes entre
s+.
b$ Deterinar las unciones de distribución a /0$ .
c$ epresentar -r!fcaente.
2$ os re-istros de ventas diarias de una epresa abricante de
coputadoras uestran &ue se vender!n (, 1 ó 2 sisteas centrales de
cóputo con sus probabilidades se-n la tabla"
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4ero de ventas" ( 1 2
5robabilidad" (,6 (,2 (,1
a$ Deterinar la distribución de probabilidad del nero de ventas en un
per+odo de 2 d+as, suponiendo &ue las ventas son independientes de un d+a a
otro.
b$ alcular la probabilidad de &ue al enos se oralice una venta en un
per+odo de 2 d+as.
3$ En una ca7a *ay 1( bolitas blancas y 18 a#ules. %e etrae una uestra
eli-iendo al a#ar sucesivaente, sin reposición, 3 bolitas. %ea la variable
aleatoria 9 : cantidad de bolitas blancas en la uestra.
a$ Deterinar el recorrido de la variable 9 y la unción de probabilidad.
b$ alcular la probabilidad de &ue se eli7an a lo suo 2 bolitas blancas.
c$ %i se sabe &ue se eli-ieron a lo suo 2 bolitas blancas, ;cu!l es la
probabilidad de &ue se *aya ele-ido eactaente una blanca<
'$ Dada la si-uiente unción de distribución a i#&uierda, deterinar la
unción de probabilidad puntual.
x2
2x1
1x0
0x
1
0,36
0,04
0
F(X)
<
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Ejercicio 1:
%e lan#an dos dados"
a. ;u!l es la probabilidad de obtener una sua de puntos i-ual a 6<
b. %i la sua de puntos *a sido 6, ;cu!l es la probabilidad de &ue en
al-uno de los dados *aya salido un tres<
Solución
%ean los sucesos A:=la sua de los puntos es 6= y B:=en al-uno de los dados
*a salido un tres=.
a. os casos posibles al lan#ar dos dados son 3> y los casos avorables al
suceso A son los seis si-uientes" 01,>$? 02,8$? 03,'$? 0',3$? 08,2$ y 0>,1$.5or tanto, P( A) = 6/36=1/6
b. En este caso, el suceso B/A es salir en al-n dado 3, si la sua *a sido
6. @bservaos &ue esta situación ocurre en las pare7as 03,'$ y 0',3$. 5or
tanto, P( B/A )=2/6=1/3
Ejercicio 2:
%e consideran dos sucesos, A y B, asociados a un eperiento aleatorio con
P(A)=(.6? P(B)=(.>? P( )=(.8A.
a. ;%on independientes A y B<
b. %i M A, ;cu!l es el valor de P( / )<
Solución
a. 5ara ver si son independientes, coprobareos si P( A B ) = P( A ) · P( B )
P( ) = P[(A B)c ] = 1 B P(A B)
5or tanto, P(A B) : 1 B P( ) : 1 B(.8A : (.'2
5or otro lado, P( A ) · P( B ) : (.6 C (.> : (.'2
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ue-o, A y B son independientes, pues P( A B ) = P( A ) · P( B ) :
(.'2
b. M A . 5or tanto,
Ejercicio 3:
na copañ+a dedicada al transporte pblico eplota tres l+neas de una ciudad,
de ora &ue el >() de los autobuses cubre el servicio de la priero l+nea, el
3() cubre la se-unda y el 1() cubre el servicio de la tercera l+nea. %e sabe
&ue la probabilidad de &ue, diariaente, un autobs se aver+e es del 2), ') y
1), respectivaente, para cada l+nea. Deterina la probabilidad de &ue, en und+a, un autobs sura una aver+a.
Solución
El suceso =surir una aver+a= 0 Av $ puede producirse en las tres l+neas, (L1, L2, L3 ).
%e-n el teorea de la probabilidad total y teniendo en cuenta las
probabilidades del dia-raa de !rbol ad7unto, teneos"
P(Av) = P(L1 ) · P(Av/L1 ) + P(L2 ) · P(Av/L2 ) + P(L3 ) · P(Av/L3 ) =
: (.> C (.(2 (.3 C (.(' (.1 C (.(1 :: (.(12 (.(12 (.((1 : (.(28
Ejercicio 4:
na epresa del rao de la alientación elabora sus productos en cuatro
actor+as" F 1, F 2, F 3 y F 4. El porcenta7e de producción total &ue se abrica en
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cada actor+a es del '(), 3(), 2() y 1(), respectivaente, y ade!s el
porcenta7e de envasado incorrecto en cada actor+a es del 1), 2), 6) y ').
Toaos un producto de la epresa al a#ar. ;u!l es la probabilidad de &ue se
encuentre deectuosaente envasado<
Solución
laando M : =el producto est! deectuosaente envasado=, se tiene &ue este
producto puede proceder de cada una de las cuatro actor+as y, por tanto,
se-n el teorea de la probabilidad total y teniendo en cuenta las
probabilidades del dia-raa de !rbol ad7unto, teneos"
P(M) = P(F 1 ) · P(M/F 1 ) + P(F 2 ) · P(M/F 2 ) + P(F 3 ) · P(M/F 3 ) + P(F 4 ) · P(M/F 4 ) =
: (.' C (.(1 (.3 C (.(2 (.2 C (.(6 (.1 C (.(' :
: (.((' (.((> (.(1' (.((' : (.(2A
Ejercicio 5:
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%e tiene una urna vac+a y se lan#a una oneda al aire. %i sale cara, se
introduce en la urna una bola blanca y si sale cru#, se introduce una bola
ne-ra. El eperiento se repite tres veces y, a continuación, se introduce la
ano en la urna, retirando una bola. ;u!l es la probabilidad de &ue en la urna
&ueden una bola blanca y otra ne-ra<
Solución
laaos B : =obtener bola blanca= y N : =obtener bola ne-ra=. En el
dia-raa de !rbol pueden verse las conf-uraciones posibles de las urna,
despuFs del lan#aiento de las onedas y las urnas fnales, as+ coo las
probabilidades para cada una de ellas. Gtendiendo a la notación epresada en
el dia-raa de !rbol y se-n el teorea de la probabilidad total, se obtiene"
P(BN) = P(BN BBN) + P(BN BNN) = P(BBN) · P(BN/BBN) + P(BNN) ·
P(BN/BBN) =
: 3HA C 2H3 3HA C 2H3 : 1H' 1H' :
Ejercicio 6:
%e lan#an dos onedas al aire. %i salen dos caras, se etrae una bola de una
urna I, &ue contiene 2 bolas blancas y 3 ne-ras. %i sale cara y cru#, se etraeuna bola de una urna II, &ue contiene ' bolas blancas y 1 ne-ra. %i salen dos
cruces, se etrae una bola de una urna III, &ue contiene 3 bolas blancas y 2
ne-ras. ;u!l es la probabilidad de etraer bola blanca despuFs de lan#ar las
onedas y sacar la bola<
Solución
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El dia-raa de !rbol uestra, priero, las probabilidades correspondientes a
la elección de la urna y, despuFs, a la etracción de la bola.
a probabilidad total de sacar bola blanca la calculaos cainando por todas
las raas &ue terinan en sacar bola blanca.
P(B) = P(B/UI ) · P(UI ) + P(B/UII ) · P(UII ) + P(B/UIII ) · P(UIII ) =
: 2H8 C 1H' 'H8 C 2H' 3H8 C 1H' : 13H2(
Ejercicio 7:
Tres !&uinas, A, B y C, producen el '8), 3() y 28), respectivaente, del
total de las pie#as producidas en una !brica. os porcenta7es de produccióndeectuosa de estas !&uinas son del 3), ') y 8).
a. %eleccionaos una pie#a al a#ar? calcula la probabilidad de &ue sea
deectuosa.
b. Toaos, al a#ar, una pie#a y resulta ser deectuosa? calcula la
probabilidad de *aber sido producida por la !&uina B.
c. ;JuF !&uina tiene la ayor probabilidad de *aber producido la citada
pie#a deectuosa<
Solución
%ea D: =la pie#a es deectuosa= y N: =la pie#a no es deectuosa=. a
inoración del problea puede epresarse en el dia-raa de !rbol ad7unto"
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a. 5ara calcular la probabilidad de &ue la pie#a ele-ida sea deectuosa,P(D), por la propiedad de la probabilidad total,
P(D) = P(A) · P(D/A) + P(B) · P(D/B) + P(C) · P(D/C) =
: (.'8 C (.(3 (.3( C (.(' (.28 C (.(8 : (.(3A
b. Debeos calcular P(B/D). 5or el teorea de Kayes,
c. alculaos P(A/D) y P(C/D), copar!ndolas con el valor de P(B/D) yacalculado. Gplicando el teorea de Kayes, obteneos"
a !&uina con ayor probabilidad de *aber producido la pie#a
deectuosa es A
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Ejercicio 8:
Teneos tres urnas" A con 3 bolas ro7as y 8 ne-ras, B con 2 bolas ro7as y 1
ne-ra y C con 2 bolas ro7as y 3 ne-ras. Esco-eos una urna al a#ar y
etraeos una bola. %i la bola *a sido ro7a, ;cu!l es la probabilidad de *aber
sido etra+da de la urna G<
Solución
laaos R: =sacar bola ro7a= y N: =sacar bola ne-ra=. En el dia-raa de
!rbol ad7unto pueden verse las distintas probabilidades de ocurrencia de los
sucesos R o N para cada una de las tres urnas.
a probabilidad pedida es P(A/R). tili#ando el
teorea de Kayes, teneos"
'. E(a*#a&i-n de *a a&!i(idades
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'I. Sn!esis de *os &on!enidos :
VARIABLE ALEATORIA
OBJETIVOS:
TEMAS:
1. Variable aleatoria discreta, /unción de probabilidad, y de distribución deuna variable aleatoria discreta e7eplos.
2. !lculo e interpretación de la Esperan#a, Varian#a, e7eplos
Variables aleatorias.
Introducción
na variable aleatoria es toda ley &ue asocia a cada eleento del
espacio uestral un nero real. Esto perite sustituir los resultado de una
prueba o eperiento por neros y los sucesos por parte de con7unto de
neros reales. na variable aleatoria presenta dos caracter+sticas
iportantes"
Variables aleatorias y su distribución
1$ na colección 0con7unto$ de valores posibles al &ue llaaos ia-en de la
variable aleatoria 0antes lo lla!baos espacio uestral$.
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2$ na probabilidad asociada a los posibles resultados la cual &ueda
epresada ediante una unción de probabilidad.
Tipos de ariables aleatorias
as variables aleatorias &ue tienen un con7unto de posibles valores
discreto, se llaan discretas. Estas variables son el resultado de contar .
5or otra parte, las variables aleatorias cuyos valores posibles se
encuentran en cual&uier parte de un intervalo, se llaan continuas. Estas
variables son el resultado de edir.
Denotaos con letras aysculas a las variables aleatorias y con
insculas a los valores &ue conteplaos para ellas.
Variables aleatorias discretas.
%abes &ue esta variable nace de contar los resultado, es decir es
contable, podeos defnir"
!unción de "robabilidad #$%&: onsidereos una v.a. discreta 9, &ue toa
los valores 1, 2, ..., n. %upon-aos &ue conoceos la probabilidad de &ue la
variable 9 toe dic*os valores, esto es" 509:1$ : p1 , 509:2$ : p2, 509:3$ :
p3, ..., 509:n$ : pn, en -eneral 509:i$ : pi para todo i : 1,2,....,n
a unción de probabilidad 0$ de la v.a. 9 es la unción &ue asi-na a
cada valor i de la variable su correspondiente probabilidad p i.
)()()(
: x X P x f quetal
x f x
IR IR f ==
→
→
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Es decir, si 509 : i $ es una unción de probabilidad, y debe cuplir con"
1. ( L 50 9 : i $ L 1 para todo i : 1, 2, 3, ..., n. 50$ es una probabilidad, y
por lo tanto debe toar valores entre ( y 1.
'.
1)( ==∑ i x X P es decir la sua de probabilidades repartidas entre todos
los valores de la variable debe ser i-ual a 1.
!unción de (istribución !$%&: En uc*as ocasiones no nos interesa tanto
conocer la probabilidad de &ue la v.a. 9 toe eactaente un deterinadovalor i, cuanto la probabilidad de &ue toe valores enores o i-uales &ue un
cierto valor i. En tales casos es necesario acuular los distintos valores de la
unción de probabilidad *asta el valor deseado. %e trata de una nueva
aplicación llaada !nción de distribución.
Sea X !a "a#$a%&e a&ea'#$a $*+#e'a, +* "a&#e* *e *.!e! #e!a* e e!# a
a#0 Se &&aa 1!+$2! e $*'#$%+$2! e &a "a#$a%&e X, *e *$%&$3a .# 4(5), a &a
1!+$2!
)()()(
: x X P x F quetal
x F x
IR IR F ≤=
→
→
es decir, asocia a cada valor de la v.a. discreta la probabilidad acuulada *asta
ese valor 0la probabilidad de &ue la v.a. toe valores enores o i-uales a i$.
"ropiedades
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1. /0$ es una probabilidad por lo tanto
1)(6 ≤≤ x F
2. /0M$ : ( para todo L M
3. /0M$ : 1 para todo N M
Esperan#a, Varian#a.
Esperan#a o edia"
)(7
i
n
i
i x X P x =⋅=∑=
µ
Varian#a"
)()(7
88
i
n
i
i x X P x x =−=∑=
σ
Desviación Est!ndar
∑= =−=n
i
ii x X P x x1
8
)()(σ
Ta!' &a "a#$a!3a + &a e*"$a+$2! '9.$+a *! e$a* e $*.e#*$2!, e 'a&
a!e#a :e +a!' e!#e* *! e*'* * .a#;e'#* ;* a
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1$ %ea el espacio uestral Ω, defnidos por eventos en ora de tripleta
ordenado. Deterine al sacar un suceso de Ω y observar la cantidad de p "
Defnios la v.a. coo 9" cantidad de p, lue-o
5ara deterinar el valor esperado o la edia utili#aos la orular dada
1=>,>18
?=
18
11
18
88
18
@1
18
66)( ==+++===∑ x X xP µ
a$ /unción de probabilidad atravFsde una tabla
b$ 509≤
2$ y la 501L9$ tal &ue
Ω :
),,(),,(),,(
),,(),,(),,(
),,(),,(),,(
),,(),,(),,(
q z p z p z qq p
z p p z z p pq p
q z p pqq z q p
z p z p z z p p p
9 509:$ /0$
( ( (H12 (
1 O OH12 OH12
2 2 2H12 11H12
3 1 1H12 1
n : 12 1
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on la notación 509 : i $ indicaos la probabilidad de &ue la variable aleatoria
9 toe el valor i.
En el e7eplo anterior de las onedas se tiene"
'II. *osario
/ins de in!ers