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UNIVERSIDAD AUTONOMA DE BAJA CALIFORNIA
CENTRO DE INGENIERIA Y TECNOLOGIA (CITEC)
Unidad Valle de las Palmas
TÓPICOS SELECTOS DE MATEMÁTICAS
ELABORADO POR:
Alberto Hernández Maldonado
Edgar Armando Chávez Moreno
Eduardo Antonio Murillo Bracamontes
Luis Ramón Siero González
TIJUANA, B. C. CICLO 2011-1
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TÓPICOS SELECTOS DE MATEMÁTICAS
Contenido General: Elementos básicos de Algebra, Trigonometría y Geometría
Analítica.
Objetivo: Reafirmar los conocimientos matemáticos básicos de los estudiantes de
nuevo ingreso en el CITEC, para facilitar su introducción a los cursos de nivel superior
que requieran Matemáticas.
Misión del curso: Aumentar el número de estudiantes de nuevo ingreso que cuentan
con habilidades matemáticas básicas, las cuales fundamentaran el trabajo académico
durante su formación profesional, propiciando una mejor asimilación de la información
proporcionada en los contenidos de las materias cursadas y en actividades académicas
colaterales.
Visión del curso: Influir positivamente en la elevación de porcentaje de permanencia en
la carrera y el índice de egreso de las carreras que ofrecen el CITEC, así como
incrementar la calidad académica de sus egresados.
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I N T R O D U C C I Ó N
IMPORTANCIA DE ESTE CURSO
Nuestra institución ofrece carreras que están muy vinculadas al desarrollo económico
de la localidad. De modo que están estrechamente relacionadas con la Ciencia y la
Tecnología, tanto por el lado de la aplicación, implementación, diseño e innovación
de equipo y procesos industriales.
Todas las Ingenierías que se ofrecen en el CITEC implican la formación de
profesionistas que requieren habilidades para el manejo y aplicación de las
matemáticas, de acuerdo a cada especialidad. Así pues, dada la orientación de cada
carrera, el estudio de las Matemáticas para todos los estudiantes del CITEC resulta
necesario, importante e ineludible.
En particular, las carreras de Ingeniería se sustentan principalmente en tres pilares
que corresponden a las llamadas Ciencias Básicas: por un lado, las Matemáticas
como materia común a todas; por el otro, la Física y la Química en diferentes
contribuciones de acuerdo a la especialización de cada Ingeniería. Pero
invariablemente las tres siempre están presentes. Esto se debe a que estas tres
asignaturas describen los procesos naturales a cuya aplicación e innovación
tecnológica se dedicarán los futuros ingenieros.
La Física y la Química nos describen procesos inmediatos y vitales relacionados con
la materia y la energía, los únicos dos componentes que conforman el universo.
Hasta donde se conoce, en el espacio en que vivimos no existe nada que no pueda
catalogarse en lo uno o lo otro o ambos.
Por lo tanto, un buen ingeniero debe comprender las leyes de la naturaleza, que se
cumplen invariablemente, para conocer el rango de operación, manipulación y
limitaciones naturales de sus proyectos, evaluar requerimientos materiales y
energéticos, así como para ser capaz de prever resultados posibles.
En todo ello, las Matemáticas, ciencia que estudia las cantidades, sus relaciones y
sus propiedades, resultan ineludibles: un buen ingeniero no sólo debe conocer las
leyes naturales que aplicará, sino también debe saber medir y calcular correctamente.
De hacerlo mal, sea cual sea su especialización, resulta un mal ingeniero y en tal caso
no se alcanza el objetivo del proceso educativo tecnológico. Lo que es peor, un
ingeniero deficientemente formado es un fracaso social, cultural y económico, no
sólo para él sino para toda la sociedad. Pero en primera instancia para él mismo.
Se justifica entonces que en el CITEC todas las carreras de Ingeniería contemplen en
su retícula Matemáticas, todas con el mismo plan de estudios para todas las
Ingenierías, además de otros cursos de Matemáticas, como Probabilidad y
Estadística, y otras asignaturas de cada Ingeniería en particular que también requieren
el uso de las Matemáticas.
El énfasis especial es en las materias de Física y Química, los otros dos pilares de las
Ingenierías. Una mala preparación en Matemáticas inhabilita a los estudiantes a
captar más allá de los conceptos básicos y prácticamente los hace incapaces de
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3
dominar las leyes fundamentales que rigen los procesos naturales, en los que se
involucran los elementos de trabajo de un ingeniero: materia y energía.
Puede comprenderse, por tanto, que los estudiantes que optan por carreras de
Ingeniería deben tener habilidades matemáticas. Si no es el caso, deben estar
dispuestos a colaborar en el desarrollo de dichas habilidades.
Si el estudiante entiende esto, comprenderán que tienen en sus propias manos, en su
ánimo y en su buena disposición para aprender, no sólo su éxito académico sino
también su futuro profesional y económico... y de paso, por sus posibles futuras
contribuciones a la tecnología mexicana.
La experiencia docente a nivel superior ha mostrado que los primeros semestres
resultan cruciales en el buen desempeño y desarrollo académico de los estudiantes
durante toda su carrera. En particular, y por la importancia que tiene para las
Ingenierías, el dominio de las Matemáticas es muy decisivo para el aprovechamiento
y éxito escolar.
Por otro lado, el conocimiento de un ingeniero se va dando estructuralmente. No se
aprenden disciplinas separadas, aunque por cuestiones de implementación práctica
así se presentan, sino que los contenidos de todas las materias se van entrelazando
entre sí para formar una sola estructura de conocimiento. Es en la mente del
estudiante donde se entrecruzan los conocimientos adquiridos durante su formación.
La madurez intelectual hace que se asimile el conocimiento como uno sólo. No se da
en una clase, en un día. Ni en un semestre. Se da a lo largo de toda la carrera
profesional. En todo ese proceso, las Matemáticas persisten. Y continúan presentes
en el desempeño de un Ingeniero.
Es importante tomar este curso en serio, de principio a fin. Es una buena oportunidad
de reafirmar grupalmente lo que se supone que debías saber y probablemente no lo
sabes, o lo que probablemente ya conocías y lo has olvidado. Y no es cualquier cosa:
es Matemáticas, la materia que incluyen por igual todas las Ingenierías. La habilidad
que debe desarrollar cualquier futuro ingeniero.
En este manual se pretende aclarar las dudas matemáticas que generalmente se
presentan en las materias básicas de los primeros semestres.
Finalmente, una observaciones importantes para tu desarrollo académico Haz las
cosas por ti mismo ¡te darás cuenta que no es lo mismo que verlas hacer! Sólo así
aprenderás.
¡BIENVENIDOS AL CITEC!
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Índice
Tabla de contenido.
I N T R O D U C C I Ó N ................................................................................................. 2 1 ARITMÉTICA ......................................................................................................... 6
1.1 Simplificación de fracciones. ............................................................................. 6
1.2 Multiplicación de fracciones. ............................................................................. 7
1.3 División de fracciones. ...................................................................................... 8
1.4 Suma y resta de fracciones ................................................................................. 9
1.5 Mínimo común denominador (MCD) ................................................................ 9
2 ALGEBRA ............................................................................................................. 11
2.1 Nomenclatura. .................................................................................................. 11
2.2 Suma Algebraica. ............................................................................................. 13
2.3 Resta Algebraica. ............................................................................................ 14
2.4 Leyes de los Exponentes. ................................................................................. 15
2.5 Multiplicación Algebraica. .............................................................................. 17
2.6 Multiplicación de polinomio por polinomio. ................................................... 19
2.7 División Algebraica. ........................................................................................ 21
2.8 División de polinomio entre polinomio. .......................................................... 22
2.9 Despeje y sustitución algebraica. ..................................................................... 23
2.10 Productos Notables. ......................................................................................... 25
2.10.1 Producto de binomios conjugados. ........................................................... 27
2.11 Factorización. ................................................................................................... 28
2.11.1 Factor común. ........................................................................................... 28
2.11.2 Trinomio cuadrado perfecto (T. C. P.). .................................................... 29 2.11.3 Diferencia de cuadrados. .......................................................................... 30
2.11.4 Trinomio de segundo grado. ..................................................................... 31
2.12 Mínimo común múltiplo (M.C.M). .................................................................. 32
2.13 Suma de fracciones. ......................................................................................... 33
2.14 División y multiplicación de fracciones. ......................................................... 34
2.15 Radicales. ......................................................................................................... 35
2.16 Formula General .............................................................................................. 37
2.17 Funciones ......................................................................................................... 38
2.18 La función lineal .............................................................................................. 38
2.19 Ecuación lineal o de primer grado con dos incógnitas. ................................... 39
2.20 Fracciones parciales. ........................................................................................ 41
2.20.1 Caso I. Factores lineales distintos. ........................................................... 41 2.20.2 Caso II. Factores lineales repetidos .......................................................... 42 2.20.3 Caso III. Factores cuadráticos distintos .................................................... 43 2.20.4 Caso IV. Factores cuadráticos repetidos................................................... 44
2.21 Conversión de unidades ................................................................................... 46
3 TRIGONOMETRÍA ............................................................................................... 48
3.1 Teorema de Pitágoras ....................................................................................... 48
3.1.1 Distancia entre dos puntos del plano cartesiano. ...................................... 50
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5
3.1.2 Funciones trigonométricas. ....................................................................... 51
3.2 Trigonometría .................................................................................................. 52
3.3 Formulas Trigonométricas ............................................................................... 58
3.4 El Alfabeto Griego ........................................................................................... 59
4 BIBLIOGRAFÍA .................................................................................................... 60 5 RESPUESTAS DE LOS PROBLEMAS IMPARES ............................................. 60
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6
1 ARITMÉTICA
1.1 Simplificación de fracciones.
Procedimiento.
Algunas ocasiones los números fraccionarios pueden simplificarse. Consideremos los
siguientes ejemplos,
2
1
)2)(2(
)2)(1(
4
2
El denominador y numerador tienen como factor común a 2, por lo tanto se puede
factorizar. Es importante aclarar que no se eliminan, más bien se utiliza la idea de
formar un 1 = 2/2, el cual es elemento neutro de la multiplicación.
11
6
1111
2311
1111
233
121
66
I) Simplifique las siguientes fracciones.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
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7
1.2 Multiplicación de fracciones.
Procedimiento.
Contrario a lo que podríamos esperar es un poco más fácil las operaciones de
multiplicación y división.
Consideremos dos números fraccionarios aleatorios, por ejemplo, y ,
Ejemplo 1
De la misma manera para productos de 3 o más fracciones,
Ejemplo 2
I) Resuelva las siguientes multiplicaciones con fracciones y simplifique el
resultado.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
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8
1.3 División de fracciones.
Procedimiento.
La forma más sencilla de realizar división de fracciones es hacer una multiplicación
cruzada, es decir, el numerador de la fracción resultante se encuentra multiplicando el
numerador del primer racional por el denominador del segundo término.
El denominador resultante es el producto del primer denominador por el segundo
numerador.
Ejemplo:
I) Resuelva las siguientes divisiones de fracciones y simplifique el
resultado.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
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9
1.4 Suma y resta de fracciones
Procedimiento.
Ahora consideremos lo que sabemos de suma y resta y hagamos la siguiente operación,
Ejemplo:
Este sencillo procedimiento es útil para la suma y/o resta de dos fracciones, sin
embargo, es impráctica para la suma y/o resta de 3 o más fracciones, y a la larga
ineficiente. Para ello se obtiene el mínimo común denominador (MDM).
1.5 Mínimo común denominador (MCD)
Definición.
El mínimo común denominador (MCD) es aquel número divisible entre cada uno de los
denominadores, y además, entre todos los posibles denominadores es aquel de valor
más pequeño y además simplificara las operaciones.
Ejemplo.
Aquí el MCD es 20, ya que, es divisible entre 2, 5 y 10
El paso intermedio consiste en multiplicar el mínimo común denominar por cada uno de
las fracciones y sumar cada uno de los resultados.
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10
I) Resuelva las siguientes sumas y restas de fracciones y simplifique el
resultado.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
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11
2 ALGEBRA
2.1 Nomenclatura.
Termino
332 cba
Coeficientes Base
Términos
Factores
Numerador
2
12a
a Fracción
Denominador
Potencia
)105)(42( ba
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12
I. En los siguientes ejercicios, indicar :
1. El numero de factores
2. Los coeficientes
3. La potencia mayor de a y b
1. 01453 23 aba
2. )3(453 24
21 baaba
3. )3)(2()5)(12( 2532 babba
II. En los siguientes ejercicios, indicar:
1.El numero de factores
2.El numero de términos
3.Denominadores y numeradores
1. 53
)8)(15(32
2
a
bababa
2. 2
22
2
22 25
))()(( aba
babababa
3. acba
bacbaba 94)1)()()(5)(3( 22
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13
2.2 Suma Algebraica.
Procedimiento.
Se suman únicamente los términos semejantes entre si (x con x, y con y, x2 con
x2, a
2b con a
2b, etc.), considerando los signos de cada termino y sus coeficientes.
- x es igual a (-1)x
Si no aparece otro semejante a algún termino, se le suma 0 y queda inalterado en
el resultado de la suma.
zyxzxzyx 23)2()432(
I) Resuelve las siguientes sumas algebraicas.
1. bababa 810)52()38(
2. )836()574( cbacba
3. )535()472( cbacba
4. )520()1318( baba
5. )654()236( cbacba
6. )278()85119( dcbadcba
7. )527()514( cbaba
8. )5()324()532( cbacbacba
9. )236()52()253( cbacbacba
10. )256()4273()254( dcbadcbacba
11. )423()272()345()538( cbacbacbacba
12. )322()3284()6829()2536( dcbadcbadcbadcba
13. )235()345()32()254( cbadcbdcadba
14. )267()536( 22 aaaa
15. )293()259()378( 222 aaaaaa
16. )24()42()353()232( 2222 aaaaaaaa
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14
2.3 Resta Algebraica.
Procedimiento.
Se cambian los signos de la expresión algebraica que se va a restar.
cbacbacbacbacba 82324532)324()532(
I) Resuelve las siguientes operaciones.
1. )2524()536( dcbadba
2. )322()534( zyxzyx
3. )523()4523( pnmpnm
4. )623()2475( dcbadcba
5. )524()432( cbacba
6. )532()253( cbacba
7. )257()543( cbacba
8. )572()9116( cbacba
9. )2358()3579( dcbadcba
10. )5237()23211( dcbadcba
11. )532()854( cbacba
12. )323()254( cbacba
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15
2.4 Leyes de los Exponentes.
1. Cuando se multiplican dos potencias de las misma base, los
exponentes se sumas.
nmnm xxx
2. Cuando se dividen dos potencias de la misma base, los
exponentes se restan. nm
n
m
xx
x
3. Cuando una potencia se eleva a otra potencia, los
exponentes se multiplican.
mnnm xx
4. El producto de dos a más factores elevados a una misma
potencia es igual al producto de los factores elevados, cada
uno, al exponente del producto.
nnn
yxxy
5. El cociente elevado a una potencia es igual a dividir el
numerador elevado a la potencia entre el denominador
elevado a la misma potencia. n
nn
y
x
y
x
I) Realiza las operaciones indicadas aplicando las leyes de los exponentes.
1. 532 ))(( xxx
2. ))()(( 243 aaa
3. )2)(2( 53 aa
4. )2)(3( 63 bb
5. )3)(2( 32 xx
6. 632 )( aa
7. 24 )(b
8. 35)(c
9. 43)2( a
10. 2)3( a
11. 6
42
3
2
b
a
b
a
12.
3
3
4
y
x
13.
4
5
3
d
c
14.
2
5
2
b
a
15.
5
2
32
c
ba
Page 17
16
16. 3
5
8
cc
c
17. 2
5
a
a
18. b
b
2
4 2
19. 4
7
4
12
a
a
20. 3
5
2
10
x
x
21. 64232 )( baba
22. 332 )4( ba
23. 21
222 )2( cba
24. 553 )( zyx
25. 434 )3( ba
26.
4
3
22
z
yx
27. 2
321
29 zyx
28. 432
465
zyx
zyx
29.
2
2
324
9
5
ywx
wyx
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17
2.5 Multiplicación Algebraica.
Monomio por monomio y monomio por polinomio.
1. Se multiplica el monomio por cada término en el polinomio, siguiendo la regla de
los signos para la multiplicación y las leyes de los exponentes.
ababaa 820)25)(4( 32
2. Los exponentes con igual base se suman y los coeficientes se multiplican. 3212 20)5)(4()5)(4( aaaa
3. Regla de los signos para la multiplicación:
)())((
)())((
)())((
)())((
Ej. 22 1616)4)(4( aaaa
216)4)(4( aaa
I. Resuelva las siguientes multiplicaciones de monomios por monomios
1. 26)3)(2( aaa
2. )3)(5( xx
3. )5)(2( 32 xx
4. )3)(6( 22 abba
5. )2)(3)(7( 32 aaa
6. )3)(4( 223 xaxa
7. )2)(6( 2 abcab
8. 2
6
5
3
2aa
9. 22
4
3)2( abba
10. 22
4
3)2( abba
11. baa 23
9
4
5
3
12. )2)(6( 332 abba
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II. Resuelve las siguientes multiplicaciones de monomio por polinomio
1. aaaaaa 232 32)132(
2. )325(2 cbaa
3. )12( abab
4. )524(3 2 aaab
5. )32(5 a
6. zxyx
xyz 342
3
7. )10523(5
4 23 xxxx
8. )236(2 22323 abbababa
9. )234(8 cbaa
10. )342(7 2aaab
11. 2
121
321
3
2
27
3
2
3
3
2
w
yx
w
yxy
z
x=
12. xyzz
yx
z
yx
z
yx3
231
3
231
3
221
9
2
5
2
2
5
=
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19
2.6 Multiplicación de polinomio por polinomio.
Procedimiento.
1. Se multiplica cada término del primer polinomio por cada término del segundo
polinomio, siguiendo la regla de los signos de multiplicación y las leyes de los
exponentes.
2. Se suman los términos semejantes
Horizontalmente:
)5)(3()4)(3()5)(2()4)(2()54)(32( bbabbaaababa
= 22 1512108 bababa
= 22 15228 baba
NOTA: Es posible multiplicar de derecha a izquierda, como en aritmética, o de
izquierda a derecha para mantener el orden de los términos
I. Encuentra los productos indicados.
1. )72)(35( baba
2. )23)(56( baba
3. )234)(523( cbacba
4. )5732)(3( 23 aaaa
5. )857)(236( 22 aaaa
6. )32)(74( baba
7. )43)(58( baba
8. )25)(527( 22 bababa
9. )53)(978( 22 bababa
10. )56)(234( 2 aaa
Page 21
20
11. )734)(253( 2222 babababa
12. )87)(10311( 2222 babababa
13. )23)(5739( 3223 bababbaa
14. )632)(8764( 223223 babababbaa
15. )2)(13( 222/1 babaa
16. xyzxyxyzyx 392232
1 22
17. 2
2
22
310523
yxzy
zx
y
z
y
zx
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21
2.7 División Algebraica.
Procedimiento.
Para realizar las divisiones algebraicas, es necesario tomar en cuenta que:
1. Los coeficientes se dividen.
2. los exponentes se restan; el exponente resultante se anota en donde este el exponente
mayor.
3. Regla de los signos:
)()/()(
)()/()(
)()/()(
)()/()(
I) Efectúa las divisiones indicadas.
1. aaa
a2
3
6
3
6 122
2. ab
ba
5
10 2
3. 22
3
4
16
ba
ba
4. ab
ba
10
5 2
5. ba
ba2
34
12
4
6. ba
ab3
2
7
5
7. zyx
zyxzyx25
23344
16
328
8. zyx
xyzyx23
23
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22
2.8 División de polinomio entre polinomio.
Procedimiento.
1. Se ordena el dividendo y el divisor, según las potencias descendentes de una
misma literal.
2. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, y el
resultado es el primer término del cociente. Se multiplica todo el divisor por este
término y se resta el producto obtenido del dividendo.
3. El residuo obtenido en el paso 2 se toma como nuevo dividendo y se repite el
proceso del paso 2 para obtener el segundo término del cociente.
4. Se repite este proceso hasta que se obtenga un residuo nulo o de grado inferior
que el del divisor.
22
4322
4322
3223
3223
2234
43223422
32
0
63300
63300
4220
720
2
672
yxyx
yxyyx
yxyyx
xyyxyx
xyyxyx
yxyxx
yxyyxyxxyxyx
I) Efectuar la división indicada.
1. )1()743( 223 aaaaa
2. )2()53( 23 xxxx
3. )2()432( 223 xxxxx
R
Nomenclatura
A=Dividiendo
B=Divisor
Q=Cociente
R=Residuo
Page 24
23
2.9 Despeje y sustitución algebraica.
Procedimiento.
Para determinar números
o variables que están
sumando.
5
51055
105
x
x
x
Para eliminar números o
variables que están
dividiendo
50
)10(55
5
105
x
x
x
Para eliminar números o
variables que están
restando.
15
51055
105
x
x
x
Para eliminar
exponentes
3
9
9
2
2
x
x
x
Para eliminar números o
variables que están
multiplicando
2
5
10
5
5
105
x
x
x
Para eliminar radicales
9
3
3
22
x
x
x
I) Despeja las literales que se indican en cada una de las siguientes formulas.
1. aP 4 ,despejar a
2. bhA ,despejar b y h
3. 2
bhA , despejar b y h
4. t
sV , despejar t y s
Page 25
24
5. 2_ rA , despejar r
6. atVV f 0 , despejar V0, a y t
7. asVV f 22
0
2, despejar Vf, V0, a y s
8. 2
21
r
qqkF , despejar, r y
1q
9. senwwamam1221
, despejar a y sen
10. 2
21 atVy , despejar a y V
11. amamamT3213
, despejar a
12. 21
2 TmasenT , despejar 1
T , 2
T y a
Page 26
25
2.10 Productos Notables.
Procedimiento.
Cuadrado de un binomio (o “binomio al cuadrado)
Es la expresión algebraica de dos términos separados por un signo de suma o resta,
dentro de un paréntesis elevado al exponente dos: 2)( ba
El binomio al cuadrado también puede expresarse como: 2)())(( bababa
El binomio al cuadrado es igual al cuadrado del primer termino, mas el doble
producto del primer termino por el segundo termino, mas el cuadrado del segundo
termino (o sea, un “Trinomio cuadrado perfecto”) 222 2)( bababa 222 2)( bababa
222 9124)32( bababa
I) Desarrolla los siguientes binomios al cuadrado.
1. 2)35( ba
2. 2)52( ba
3. 2)37( a
4. 2)79( ba
5. 2)54( ba
6. 2)75( a
7. 2)511( ba
8. 2)813( xa
9. 2)95( yx
10. 2)23( yx
11. 2)56( ba
12. 2)8( ba
13. 2)912( ba
14. 2)117( yx
15. 2)23( cab
16. 2)65( a
17. 2)8(a
T.C.P
Page 27
26
18. 22 )4( ba
19. 222 )27( ba
20. 2
2
3
4
2
3 ba
21. 222 )2
13( yxxy
22. 2
32
5
2
2
1yx
23. 2
421
3
2xyx =
Page 28
27
2.10.1 Producto de binomios conjugados.
Producto de binomios conjugados.
Los “binomios conjugados” son dos binomios que se multiplican entre si, cuyos
términos son iguales pero con diferente signo en la unión de términos de cada binomio:
))(( baba
El producto de dos binomios conjugados es igual al cuadrado del primer termino
de cada paréntesis menos el cuadrado del segundo termino de cada paréntesis (o
sea, una “Diferencia de cuadrados”) 22))(( bababa 22))(( bababa
I) Obtener los siguientes productos:
1. )32)(32( baba
2. )54)(54( baba
3. )52)(52( baba
4. )511)(511( baba
5. )95)(95( yxyx
6. )56)(56( baba
7. )912)(912( baba
8. )23)(23( cabcab
9. )8)(8( aa
10. )27)(27( 2222 baba
Page 29
28
2.11 Factorización.
2.11.1 Factor común.
Factor común.
Es el proceso de identificar el factor con su mínima potencia en los diferentes
términos y escribirlo como factor de dichos términos. Es el proceso para buscar los
factores que originaron el producto.
Factorizar
1. )1( 223 abaaabaa
2. 232 ))(1(1))(1()()1())(1( yxxyxxyxxyxx
I. Factorizar las siguientes expresiones
1. 223 23 ababba
2. 3322 936 baabba
3. )1(24)1(8)1(2 2234 xyxyyx
4. )1)(()1()( 2324 yyxzyyxz
Page 30
29
2.11.2 Trinomio cuadrado perfecto (T. C. P.).
Trinomio cuadrado perfecto
(T.C.P.)
Es la expresión algebraica de tres términos cuyos extremos tienen raíz cuadrada exacta.
Se factoriza en un “binomio al cuadrado”. 22 2 baba
Comprobación para saber si un trinomio es un T.C.P.: El doble producto de la raíz
del primer término por la raíz del tercer término debe ser igual al segundo término.
Para factorizar un T.C.P., se saca la raíz cuadrada al primer y tercer términos y se
pone entre ellos el signo del segundo termino; luego se eleva todo al cuadrado: 222 )(2 bababa 222 )(2 bababa
I) Factorizar los siguientes trinomios.
1. 22 254016 baba
2. 962 aa
3. 22 81549 yxyx
4. 22 169260100 yxyx
5. 22 497025 baba
Page 31
30
2.11.3 Diferencia de cuadrados.
Diferencia de cuadrados.
Es la resta algebraica de dos términos que tienen raíz cuadrada exacta: 22 ba
Para factorizar una diferencia de cuadrados, se saca raíz cuadrada al primer termino
menos la raíz cuadrada del segundo termino, todo dentro de un paréntesis multiplicado
por otro con las mismos términos, pero positivos los dos:
))((22 bababa
I) Factoriza las siguientes diferencias de cuadrados.
1. 22 254 ba
2. 22 ba
3. 22 81yx
4. 2121100 y
5. ba 16916
Page 32
31
2.11.4 Trinomio de segundo grado.
Trinomio de segundo grado.
Es una expresión algebraica de tres términos que no necesariamente es un trinomio
cuadrado perfecto. En general, el trinomio de segundo grado tiene la forma:
cbxax2 , donde a, b y c son los coeficientes
El trinomio de segundo grado es el resultado de la multiplicación de binomios con
términos semejantes.
Para factorizar un trinomio de segundo grado en el caso especial donde a=1, se
busca una pareja de números cuyo producto sea igual al tercer termino y cuya
suma o diferencia sea igual al segundo termino. Se acomodan en dos paréntesis
con las variables del primer y tercer término.
)10)(5(5015
)3)(4(127
22
2
babababa
xxxx
I) Factoriza los siguientes trinomios.
1. 1072 aa
2. 1582 aa
3. 22 2110 yxyx
4. 22 9821 yxyx
5. 22 149 baba
Page 33
32
2.12 Mínimo común múltiplo (M.C.M).
Procedimiento.
Hallar el M.C.M de .,2, 332222 yxyxyxyx
Primero se escribe cada polinomio en forma factorizada:
))((
)(2
))((
2233
222
22
yxyxyxyx
yxyxyx
yxyxyx
Los factores diferentes son 22,, yxyxyxyx . El mayor exponente de yx es
2 y el de los otros factores es 1. Por lo tanto,
M.C.M = ))(()( 222 yxyxyxyx
I) Hallar el M.C.M de las siguientes expresiones.
1) yxxyx 322 12,3,6
2) 276,232 22 xxxx
3) 6,34,2 222 xxxxxx
Page 34
33
2.13 Suma de fracciones.
Procedimiento.
Considere la siguiente suma algebraica:
1
3
1
3
)1( 22 xx
x
x
x
El menor denominador común es
)1()1( 2 xx
Que es el M.C.M de los denominadores
)1()1(
3
)1()1(
)1(3)1)(3()1(
1
3
)1)(1(
3
)1( 2
2
2
2
2 xx
xx
xx
xxxxx
xxx
x
x
x
I) Efectuar la suma algebraica indicada.
1) 1
1
1
11
xxx.
2) 1
2
11 2mm
m
m
m.
3) 4
3
2
1
2
12x
x
x
x
x
x.
Page 35
34
2.14 División y multiplicación de fracciones.
Procedimiento.
Considere la siguiente división de fracciones:
)2)(1(
3
)2)(2)(1)(1(
)1)(2)(3(
)2)(1(
)1)(6(
4
1
1
6
1
4
1
62
2
22
22
2
2
xx
x
xxxx
xxx
xx
xxx
x
x
x
xx
x
x
x
xx
I) Efectuar la operación indicada y simplificar el resultado.
1) 2
2
2
2
10
9
3
5
xy
ab
ab
yx.
2) 22
2
3
2
4
)2(
ba
x
x
ba.
3) yx
yx
yx
yx 329422
22
.
4) baa
ba
112
Page 36
35
2.15 Radicales.
Radicales. qq aa /1
mmm abba
mm
m
b
a
b
a
Ejemplos:
Simplificar
1. 3 23 23 333 2333 5 2228 aaaaaaa
2. 62
3
2
2
2
33
2
33
2
33
2
27
2
27 2
3.
25252122624
2252163292245032318224
4. 52
10
2
10
5. 2
14
2
2
2
7
2
7
I) Simplificar.
1. 38a
2. 3 527b
3. 2
75 3a
4. 3545 xa
Page 37
36
5. 643494
6. 33 27282
7. 327
8. b
aab
9. 33 24
10. 8
218
11. 818
2
12. ab
ba 3
13. 3 16
8
Page 38
37
2.16 Formula General
Solución de ecuaciones de segundo grado utilizando la formula general.
PROCEDIMIENTO:
1. Se escribe la ecuación cuadrática de la forma general:
02 cbxax , donde a,b y c son los coeficientes
2. Se identifican y se escriben los valores de los coeficientes a,b y c.
3. Se sustituyen los valores a,b y c en la formula general:
a
acbbx
2
42
4. Se resuelve la variable para 1x y 2x , usando los signos + y – del radical en la
formula general, respectivamente.
5. Las dos soluciones a la ecuación cuadrática 02 cbxax son 1x y 2x .
I) Encuentre las soluciones para las siguientes ecuaciones de segundo grado,
utilizando la formula general.
1. 0322 xx 2. 423 2xx
Page 39
38
2.17 Funciones
Definición de función.
Si dos variables x y y están relacionadas de tal modo que para cada valor de x, le
corresponde uno o más valores de y, se dice que y es una función de x.
Notación de función.
52)( xxfy
En donde f(x) se lee “función f de x” o simplemente “f de x”
.,35)1(2)1(
55)0(2)0(
52)(
etcf
f
aaf
Si )1()2(1
)1()2(,
1)(
1
1)(
Ff
Ffhallar
x
xxFy
x
xxf
2.18 La función lineal
Definición de función lineal.
La ecuación lineal con una incógnita
0,0 abax
Tiene la solución única a
bx
Resolver la ecuación .,22 babxabax
Solución.
bax
baxba
babxax
22
22
)(
I) Resolver la ecuación dada.
1. xx 2323
2. 2
6
5
3
2
xxx
Page 40
39
3. xxaax 3)2()2(2
4. a
ba
b
x
a
x
5. 1
32
1
2
xx
x
2.19 Ecuación lineal o de primer grado con dos incógnitas.
Procedimiento.
Resolver el sistema 1832,123 yxyx
Solución.
Multiplicamos la primera por 3 y la segunda por 2, y obtenemos respectivamente las
ecuaciones equivalentes,
3664
369
yx
yx
Sumando las dos ecuaciones se obtiene
13x = 39, de donde x = 3.
Sustituyendo x en la primera ecuación y resolver para y se obtiene,
9 – 2y = 1, de donde y = 4.
I) Resolver el sistema dado.
1. 532,23 yxyx
Page 41
40
2. 543,932 yxyx
3. 1152,023 yxyx
Page 42
41
2.20 Fracciones parciales.
2.20.1 Caso I. Factores lineales distintos.
Procedimiento.
Descomponer )2)(1)(1(
15
xxx
x en fracciones parciales simples.
211)2)(1)(1(
15
x
C
x
B
x
A
xxx
x
La identidad es válida para todos los valores de x exceptuando 1, -1 y -2, pues para cada
uno de estos valores el denominador se anula. Quitando denominadores la identidad es
)1)(1()2)(1()2)(1(15 xxCxxBxxAx
Sustituimos en la identidad anterior los valores de x que fueron excluidos. Así para x = 1
se tiene
)21)(11(15 A , de donde A = 1.
Para x = -1
)21)(11(15 B , de donde B = 2.
Finalmente, para x = -2
)12)(12(110 C , de donde C = -3
Por lo tanto
2
3
1
2
1
1
)2)(1)(1(
15
xxxxxx
x
Page 43
42
2.20.2 Caso II. Factores lineales repetidos
Procedimiento.
Descomponer 2
2
)3)(4(
245
xx
xx en fracciones parciales simples.
22
2
)3(34)3)(4(
245
x
C
x
B
x
A
xx
xx
)4()3)(4()3(245 22 xCxxBxAxx
Sustituyendo x = 4 en la identidad anterior resulta
2)34(21680 A , de donde A = 2
Para x = -3 se tiene
)43(21245 C , de donde C = -5
Si sustituimos A = 2, C =-5 y algún valor sencillo de x, digamos x = 0, podemos obtener
fácilmente B
3
3612
,2012182
),4)(5()3)(4()3(22 2
B
B
B
B
Por lo tanto, la descomposición en fracciones parciales es:
22
2
)3(
5
3
3
4
2
)3)(4(
245
xxxxx
xx
Page 44
43
2.20.3 Caso III. Factores cuadráticos distintos
Procedimiento.
Descomponer )1)(1(
4322
22
xxx
xxx en sus fracciones parciales simples
)1)(()1)((43
11)1)(1(
43
2222
2222
22
xDCxxxBAxxxx
xx
DCx
x
BAx
xxx
xxx
Sustituimos x por cuatro valores sencillos diferentes, Así:
2851036
),5)(2()3)(2(8424,2
.82233
),2)(()3)((8,1
.622
),2)(()1)((6,1
.0,0
DCBAseao
DCBAxPara
DCBAseao
DCBAxPara
DCBAseao
DCBAxPara
DBxPara
Se deja como ejercicio resolver este sistema de ecuaciones y ver que la solución es
A = 1, B = -1, C = 2, D = 1. Por lo tanto la descomposición en fracciones parciales es
1
12
1
1
)1)(1(
432222
22
xx
x
x
x
xxx
xxx
Page 45
44
2.20.4 Caso IV. Factores cuadráticos repetidos
Procedimiento.
Descomponer 22
24
)2)(1(
144134
xx
xxx en sus fracciones parciales
.)2(21)2)(1(
14413422222
24
x
EDx
x
CBx
x
A
xx
xxx
Quitando denominadores resulta
).1)(()2)(1)(()2(144134 22224 xEDxxxCBxxAxxx
Para x = 1 se tiene 27 = 9A, de donde A = 3.
Para las constantes restantes sustituimos a x por valores sencillos en la identidad. Así
tenemos:
.30361836
),3)(2()6)(3)(2()6(31485264
,3,2
.142612
),1)(2()6)(1)(2()6(31485264
,3,2
.82_266
),2)((_)3)(2)(()3(335
,3.1
.22
),1()2)(1()4(314,3,0
2
2
2
EDCBseao
EDCB
AxPara
EDCBseao
EDCB
AxPara
FDCBseao
EDCB
AxPara
ECseao
ECAxpara
La solución de este sistema de ecuaciones es B = 1, C = 1, D = 0, E = -4. Por tanto, la
descomposición en fracciones parciales es
22222
24
)2(
4
2
1
1
3
)2)(1(
144134
xx
x
xxx
xxx
Page 46
45
I) Descomponer en fracciones parciales.
1. )4)(2(
63
xx
x
2. 2)1(
13
x
x
3. )1)(1(
5432
2
xx
xx
4. 22
23
)1(
32
xx
xxx
Page 47
46
2.21 Conversión de unidades
Procedimiento.
Toda cantidad puede multiplicarse por uno sin que cambie su valor.
s60min1
)60)(1(min)1)(1( s
min
601
s ó 1
60
min1
s
Es igual poner min1
60s que
s60
min1
Lo anterior es valido para cualquier magnitud física
m
km
1000
1 Es igual a
km
m
1
1000
Algunas equivalencias
1 km = 1000m
1 milla (mi) = 1609m
1 m = 100cm
1 pulgada (in) = 2.54cm
1 pie (ft) = 12 in
1 m = 3.14 ft
Ejemplo. Convertir 55 mi/h a m/s
smshmimhmi /25)60min/1min)(60/1)(/1609)(/55(
I. Resuelve las siguientes conversiones
1. hmi /20 a skm/
2. ft34 a cm
3. hmi /80 a hkm /
Page 48
47
4. hft /85 a sm/
5. Transcribamos en seguida la velocidad máxima de varios animales, pero en
distintas unidades. Convierta estos datos en m/s y luego clasifique los animales
por orden de rapidez máxima creciente: ardilla 19 km/h; conejo, 30 nudos;
caracol, 0.30 mi/h; araña, 1.8 ft/s; leopardo, 1.9 km/min; ser humano, 1000
cm/s; zorro, 1100 m/min, león, 1900 km/día.
6. Convertir 4 años luz a km.
7. Convertir 8 min luz a km
Page 49
48
3 TRIGONOMETRÍA
3.1 Teorema de Pitágoras
Definición.
“En todo triangulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los
cuadrados de los catetos”. 222 bac , donde c es la hipotenusa; a y b son los catetos.
Hipotenusa(c): Lado que se opone al ángulo recto. (Es el lado mas largo en un triangulo
rectángulo).
Catetos ( a y b ): Lados que forman el ángulo recto. (Siempre son menores que la
hipotenusa)
Obtención de un lado de un triangulo rectángulo, a partir de los otros dos lados.
Del Teorema de Pitágoras se obtiene:
222 bac 22 bac
222 cba 22 bca
222 cba 22 acb
I) Resuelve los siguientes triángulos rectángulos, encontrando el lado que
falta.
1. 5
4
b
a
2. 25.5
4.3
b
a
3. 12
5
c
a
4. 1
1
b
a
5. 4
7
b
a
6. 2
2
b
a
7. 5
4
c
a
8. 2
1
c
b
9. 8
10
b
a
10. 4
3
c
b
ac
b
Page 50
49
11. 6
5.3
c
b
12. 2
1
b
a
II). Resuelve los siguientes problemas.
1. Se instala un poste para cables de energía que mide 8 metros de altura.
¿Que longitud tiene el cable de acero que se instalo para reforzarlo si el
gancho para sujetarlo esta a 4 metros del poste?
2. Tres ciudades están unidas por carreteras como se muestra en el
diagrama. Si se desea construir una carretera que se comunique
directamente a la cuidad A con la cuidad C, ¿Qué longitud tendrá?
x
4m
mm
180km
mm x
80 km
B
A
C
Page 51
50
3.1.1 Distancia entre dos puntos del plano cartesiano.
Distancia entre dos puntos del plano cartesiano.
Para calcular la distancia entre los puntos cuyas coordenadas ),( 111 YXP y ),,( 222 YXP se
usa el teorema de Pitágoras:
I) Encuentra la distancia entre las parejas de puntos que se indican a continuación y
grafica los puntos.
1. )3,2(1P
)5,5(2P
2. )3,2(1P
)1,4(2P
3. )2,1(1P
)3,4(2P
4. )2,1(1P
)7,5(2P
Donde:
Es la distancia recorrida en la dirección horizontal.
Es la distancia recorrida en la dirección vertical.
Page 52
51
3.1.2 Funciones trigonométricas.
Definiciones básicas.
Hipotenusa
c cateto opuesto
b al ángulo Ө Ө
a
Cateto adyacente
(Junto) al ángulo
Funciones Trigonometricas:
Seno del ángulo Ө sen Ө = c
b
hipotenusa
opuesto
Coseno del ángulo Ө cos Ө = c
a
hipotenusa
adyacente
Tangente del ángulo Ө tan Ө = a
b
adyacente
opuestosen
cos
Cosecante del ángulo Ө csc Ө = b
c
opuesto
hipotenusa
sen
1
Secante del ángulo Ө sec Ө = a
c
adyacente
hipotenusa
cos
1
Cotangente del ángulo Ө cot Ө = b
a
opuesto
adyavente
sen
cos
tan
1
NOTAS:
Los valores de las funciones trigonometricas son números sin unidades.
Seno y coseno de Ө son las dos funciones trigonometricas básicas.
Tangente de Ө es muy usual. (Se sugiere memorizar estas tres).
Page 53
52
3.2 Trigonometría
Obtención del valor del ángulo Ө.
Hipotenusa
c cateto opuesto
Ө b al ángulo Ө a Cateto adyacente
(Junto) al ángulo
Despejando de cada función trigonometría, se tiene:
Ө = sen-1
(b / c) = arc sen (b / c) arco seno
Ө = cos-1
(a / c) = arc cos (a / c) arco coseno
Ө = tan-1
(b / a) = arc tan (b / a) arco tangente
Ө = csc-1
(c / b) = arc csc (c / b) arco cosecante
Ө = sec-1
(c / a) = arc sec (c / a) arco secante
Ө = cot-1
(b / c) = arc cot (b / c) arco cotangente
NOTAS:
Es muy común utilizar el arco tangente para obtener al ángulo Ө. Pero como se
ve, cualquier función trigonometría sirve para despejar Ө. ¿Cuál usar? Dependerá
de los lados del triangulo rectángulo que se conozcan en el problema que se
quiera resolver.
Los valores de Ө que se obtienen pueden estar en grados o en radianes (según la
función Deg o Rad. que se utilice en la calculadora para obtener Ө).
El valor del otro ángulo ( α ) puede obtenerse así:
α = 90° - Ө (con Ө y α en grados)
α = 2
- Ө (con Ө y α en radianes)
Page 54
53
Calculo del seno y coseno de 0°, 90°, 180°, 270° y 360° a partir de sus gráficas:
Calculo del seno y coseno de 30°, 45° y 60° sin usar calculadora (valor exacto)
Sen 45°
Cos 45°
45°
45°
1
1
Page 55
54
Sen 30°
Sen 60°
Cos 30°
Cos 60°
Nota: Recordar que 30° = , 60° = y 45° =
I. Calcular el lado que falta, las seis funciones trigonometricas y los ángulos interiores
de los siguientes triángulos.
1.
2.
3.
4.
60°
30°
1 2
Page 56
55
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
30°
10
32°
5
53°
20°
40° 30°
10
60°
30
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II. Calcular el lado que falta, las seis funciones trigonometricas y los ángulos interiores
de los siguientes triángulos.
13.
14.
15.
16.
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III. Resolver los siguientes problemas.
1. Si un monte tiene una altura de 400 metros y una ladera con 60º de inclinación con
respecto a un eje horizontal, ¿Cuántos metros caminara una persona para llegar a la
cima?
2. Si una casa va a construirse con el techo inclinado a 15º con respecto a la
horizontal, ¿Qué tan alto debe estar una pared con respecto a la otra? La distancia
entre paredes es de 4 metros.
3. En un juego de geometría, el lado de una escuadra esta opuesto al ángulo de 60º y
mide 3cm. ¿Cuánto miden los otros dos lados de la escuadra?
4. A un poste de 12 metros de altura se le va a reforzar con un cable de acero. Si el
gancho para sujetarlo se coloca 5 metros del poste, ¿Cuánto mide el cable de
acero? ¿Qué inclinación tiene en grados con respecto a la horizontal?
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3.3 Formulas Trigonométricas
Identidades Trigonométricas Fundamentales.
1cos22sen
1tansec 22
1cotcsc 22
Formulas de reduccion.
cos)90(sen sen)90cos( cot)90tan(
sensen )180( cos)180cos( tan)180tan(
cos)270(sen sen)270cos( cot)270tan(
sensen )360( cos)360cos( tan)360tan(
Formulas para suma y resta de ângulos.
xsenyysenxyxsen coscos)(
senxsenyyxyx coscos)cos(
yx
yxyx
tantan1
tantan)tan(
Formulas para el ángulo doble.
xsenxxsen cos2)2(
1cos221cos)2cos( 2222 xxsenxsenxx
x
xx
2tan1
tan2)2tan(
Formulas para la mitad del ángulo.
2
)cos1(
2
xxsen
2
)cos1(
2cos
xx
senx
x
x
senx
x
xx cos1
cos1)cos1(
)cos1(
2tan
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3.4 El Alfabeto Griego
(Mayúsculas y minúsculas)
Α α alpha
Β β beta
Γ γ gamma
Γ δ delta
Δ ε epsilon
Ε δ zeta
Ζ ε eta
Θ ζ theta
Η η iota
Κ θ kappa
Λ ι lambda
Μ κ my o mu
Ν λ ny o nu
Ξ μ xi
Ο ν omicrón
Π π pi
Ρ ξ rho
ζ sigma
Σ η tau
Τ υ ipsilon
Φ θ fi o phi
Υ χ ji o chi
Φ ψ psi
Χ ω omega
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4 BIBLIOGRAFÍA
1. ÁLGEBRA
Charles H. Lehmann.
Ed. Limusa.
5 RESPUESTAS DE LOS PROBLEMAS IMPARES