Universidade Estadual Paulista “JULIO DE MESQUITA FILHO” INSTITUTO DE GEOCIÊNCIAS E CIÊNCIAS EXATAS Curso de Extensão: “Tecnologias da Informação e Comunicação na formação continuada de professores que ensinam Cálculo Diferencial e Integral I” GeoGebra Responsáveis Rosana Giaretta Sguerra Miskulin Miriam Godoy Penteado Marco Antonio Escher Adriana Richit Fabiane Mondini Edinei Leandro dos Reis Andriceli Richit Maio/09
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Curso de Extensão: “Tecnologias da Informação e Comunicação na formação continuada de professores que ensinam
Cálculo Diferencial e Integral I”
GeoGebra Responsáveis
Rosana Giaretta Sguerra Miskulin
Miriam Godoy Penteado
Marco Antonio Escher
Adriana Richit
Fabiane Mondini
Edinei Leandro dos Reis
Andriceli Richit
Maio/09
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Curso de Extensão: “Tecnologias da Informação e Comunicação na formação continuada de professores que ensinam
Cálculo Diferencial e Integral I”
Conteúdo
Breve apresentação do Software.................................................................................................3
Conceitos de Cálculo Diferencial e Integral I a ser trabalhados com o Software .......................4
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Cálculo Diferencial e Integral I”
GeoGebra – SOFTWARE DE MATEMÁTICA DINÂMICA QUE REÚNE GEOMETRIA,
ÁLGEBRA E CÁLCULO.
BREVE APRESENTAÇÃO DO SOFTWARE
� GeoGebra é um software de matemática dinâmica para utilizar em um ambiente de sala de aula,
que reúne GEOmetria, álGEBRA e cálculo.
Figura 1 - tela principal do software GeoGebra
� Site para download: http://www.geogebra.org/cms, versão 4.2.
� O software GeoGebra é um software livre de geometria dinâmica criado por Markus Hohenwarter
em 2002 para ser utilizado em ambiente de sala de aula. O programa reúne recursos de geometria,
álgebra e cálculo. O GeoGebra possui todas as ferramentas tradicionais de um programa de geometria
dinâmica: pontos, segmentos, retas e seções cônicas além da possibilidade de se trabalhar com
equações e coordenadas, que podem ser inseridas diretamente. Assim tem a vantagem didática de
apresentar, ao mesmo tempo, duas representações diferentes de um mesmo objeto que interagem entre
si: sua representação geométrica (ou gráfica) e sua representação algébrica. Se ocultarmos sua janela
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algébrica (parte esquerda da tela) o GeoGebra funciona semelhante a outros softwares como o Cabri
Géometrè II ou o Geometer's Sketchpad.
� O usuário do software poderá visualizar funções matemáticas. Por um lado, o GeoGebra é um
sistema de geometria dinâmica. Permite construir vários objetos: pontos, vetores, segmentos, retas,
secções cônicas, gráficos representativos de funções e curvas parametrizadas, os quais podem depois
ser modificados dinamicamente. Por outro lado, equações e coordenadas podem ser introduzidas
diretamente com o teclado no campo de entrada do software. O GeoGebra tem a vantagem de
trabalhar com variáveis vinculadas a números, vetores e pontos. Permite determinar derivadas e
integrais de funções e oferece um conjunto de comandos próprios da análise matemática, para
identificar pontos singulares de uma função, como as raízes ou extremos. Além disso, é possível
introduzir funções que dependam de parâmetros, e fazer variar estes parâmetros e visualizar esta
variação na janela geométrica (ou algébrica) bem como na janela gráfica. Estas duas perspectivas
caracterizam o GeoGebra: a uma expressão na janela algébrica corresponde um objeto na janela de
desenho (janela geométrica) e vice-versa.
CONCEITOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I A SEREM TRABALHADOS
COM O SOFTWARE GEOGEBRA
� Função:
� O conceito de uma função é uma generalização da noção comum de "fórmula matemática".
Funções descrevem relações matemáticas especiais entre dois objetos, x e y=f(x). O objeto x é
chamado o argumento ou domínio da função f e o objeto y que depende de x é chamado imagem de x
pela f. Intuitivamente, uma função é uma maneira de associar a cada valor do argumento x um único
valor da função f(x). Isto pode ser feito especificando através de uma fórmula, um relacionamento
gráfico entre diagramas representando os dois conjuntos, e/ou uma regra de associação ou mesmo uma
tabela de correspondência pode ser construída; entre conjuntos numéricos é comum representarmos
funções por seus gráficos, cada par de elementos relacionados pela função determina um ponto nesta
representação, a restrição de unicidade da imagem implica um único ponto da função em cada linha de
chamada do valor independente x. Este conceito é determinístico, sempre produz o mesmo resultado a
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partir de uma dada entrada (a generalização aos valores aleatórios é chamada de função estocástica).
Uma função pode ser vista como uma "máquina" ou "caixa preta" que converte entradas válidas em
saídas de forma unívoca, por isso alguns autores chamam as funções de relações unívocas. O tipo de
função mais comum é aquele onde o argumento e o valor da função são ambos numéricos, o
relacionamento entre os dois é expresso por uma fórmula e o valor da função é obtido através da
substituição direta dos argumentos.
� Os livros de Cálculo Diferencial e Integral trazem várias definições sobre função.
� Limite de Função:
� O conceito de limite é apresentado por Guidorizzi (2001, p.72), o qual define limite como:
“Sejam f uma função e p um ponto do domínio de f ou extremidade de um dos intervalos que
compõem o domínio de f. Dizemos que f tem limite L, em p, se, para todo ε > 0 dado, existir um δ > 0
tal que, para todo x ∈Df,
0 < px − < δ Lxf −⇒ )( < ε .
Tal número L, que quando existe é único, será indicado por ).(lim xfpx→
Assim
{ 0,0)(lim >∃∈≥∀⇔=→
δLxfpx
tal que, para todo x ∈Df,
0 < px − < δ Lxf −⇒ )( < ε ”.
� Os livros de Cálculo Diferencial e Integral trazem definições e modos de calcular o limite de uma
função.
� Derivada de uma Função:
� O conceito de derivada é apresentado por Guidorizzi (2001, p. 137), que define derivada como:
“Sejam f uma função e p um ponto de seu domínio. O limite
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px
pfxf
px −
−
→
)()(lim
Quando existe é único e é finito, denomina-se derivada de f em p e indica-se por f’(p) (leia f linha de
p). Assim
.)()(
lim)('px
pfxfpf
px −
−=
→
Se f admite derivada em p, então diremos que f é derivável ou diferenciável em p”.
� Os livros de Cálculo Diferencial e Integral trazem definições e modos de calcular a derivada de
uma função.
� Integral de Função:
� O conceito de integral é apresentado a seguir e definido como:
“Se f é uma função contínua em [a,b] e tal que 0)( ≥xf , para todo [ ]bax ,∈ , então a área da região
compreendida entre o eixo x e o gráfico de f, para x variando em [a,b], é dada por:
i
b
a
n
i
in
xxfdxxfA ∆== ∫ ∑=
∞→.)(lim)(
1
.”
� Os livros de Cálculo Diferencial e Integral trazem definições e modos de calcular a integral de
uma função.
TUTORIAL
No site http://www.geogebra.org/cms/index.php?lang=pt encontram-se orientações iniciais
sobre o software GeoGebra que são apresentadas no início dessa sessão. Entretanto, apresento aqui
algumas informações complementares quanto a utilização do GeoGebra.
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� Recursos
� Visualização interativa entre janela algébrica (geométrica) e gráfica.
� Construções dinâmicas que permitem ao usuário interagir com o objeto de estudo.
� Criação de Applets.
� Possíveis Utilizações
� Pode ser utilizado por todos os interessados em representações de equações matemáticas em 2D.
� Não requer quaisquer competências específicas pelos usuários.
� É um programa desenvolvido para ser utilizado no âmbito da sala de aula de Matemática, em
quaisquer níveis de ensino, quer seja, fundamental, médio ou superior.
� Possibilita ao usuário inserir no campo de entrada qualquer tipo de função dependente de
parâmetros e permite a este visualizar resultados gerados ao variar os parâmetros para melhor
compreender o comportamento de funções matemáticas.
� Funções definidas no GeoGebra
Comando Efeito
* multiplicação
^ potenciação
sin( ) seno
cos( ) cosseno
tan( ) tangente
abs( ) módulo
exp(x) calcule e elevado a x
pi utiliza o valor númerico de PI
! fatorial
log(b,x) logaritmo de x na base b
sqrt( ) raiz quadrada
ln(x) logaritmo de x na base e
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� Instalação
� Acesse o site: http://www.geogebra.org/cms
� Faça o download do GeoGebra, de acordo com o sistema operacional presente no computador,
salvando o arquivo Geogebra.
� Execute o arquivo GeoGebra e siga as instruções de instalação.
� Iniciando
� No menu iniciar/todos os programas escolha a pasta GeoGebra.
� Clique em GeoGebra e o software será iniciado.
� Como utilizar os comandos do GeoGebra
Ao iniciar o software, o usuário depara-se com um visual tal como está representado pela
figura 2.
Figura 2 - tela inicial ou interface do GeoGebra
Para entender melhor os recursos do GeoGebra, apresentarei e explicarei as funcionalidades de
cada elemento representado pela figura 3.
Figura 3 - Barra de Ferramentas
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A figura 3 representa a barra de ferramentas do GeoGebra, com funcionalidades: • Arquivo: contém as opções Nova Janela, Novo, Abrir, Gravar, Gravar como,
Visualização da Impressão, Exportar e Fechar. Veja a figura 4.
Figura 4 – Opções referentes ao menu Arquivo
• Editar: contém as opções Desfazer, Refazer, Apagar, Selecionar tudo e Propriedade. Observe a figura 5.
Figura 5 – Opções referentes ao menu Editar
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• Exibir: habilita as opções de Eixo, Malha, Janela de álgebra, Objetos auxiliares,
Divisão horizontal, Campo de entrada, Lista de comandos, Protocolo de construção, Barra de
navegação para passos da construção e Atualizar Janelas. Veja a figura 6.
Figura 6 – Opções referentes ao menu Exibir
• Opções: habilita as opções Pontos sobre a malha, Unidades de ângulo, Casas
decimais, Continuidade, Estilo do Ponto, Estilo de ângulo reto, Coordenadas, Rotular, Tamanho
da fonte, Idioma, Janela de visualização, Salvar configurações e Restaurar a configuração
padrão. Observe a figura 7.
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Figura 7 – Opções referentes ao menu Opções
• Ferramentas: habilita as opções Criar uma nova ferramenta, Ferramentas de
controle e Configurar a caixa de ferramenta. Observe a figura 8.
Figura 8 – Opções referentes ao menu Ferramentas
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• Janela: contém a opção Nova Janela que permite ao usuário abrir uma nova janela.
Veja a figura 9.
Figura 9 – Opções referentes ao menu Janela
• Ajuda: disponibiliza endereços de páginas web para consulta ao tutorial e fóruns de
discussão de usuários do software. Contém as opções Ajuda, www.geogebra.org, GeoGebra Fórum,
GeoGebrawiki e Sobre/Licença. Observe a figura 10.
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Figura 10 – Opções referentes ao menu Ajuda
Além da barra de ferramentas, o GeoGebra dispõe de mais alguns menus. Veja a figura 11.
Figura 11 – Outros menus do GeoGebra
Esses menus têm funcionalidades:
• : Contém as opções Mover e Girar em torno de um ponto. Permite ao
usuário deslocar os eixos, bem como mover figuras e gráficos.
• : Contém as opções Novo Ponto, Intersecção de dois objetos, Ponto médio
ou centro. Permite ao usuário inserir novos pontos no plano cartesiano, determinar a intersecção entre
dois objetos e calcular o ponto médio entre outros.
• : Contém as opções Reta definida por dois pontos, Segmento definido por
dois pontos, Segmento com dado comprimento a partir de um ponto, Semi-reta definida por dois
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pontos, Vetor definido por dois pontos e Vetor a partir de um ponto. Permite ao usuário traçar