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UNIDAD VII
UNIDADES PARA EL CLCULO DE CIRCUITOS MAGNTICOS
1. UNIDADES PARA EL CLCULO DE CIRCUITOS MAGNTICOS
En el rea del electromagnetismo, es la Ley de Ampere la que nos
concierne, y sta, de hecho, sirve como punto de partida de nuestro
tratamiento. No debe inferirse que ste es el nico punto de partida
en el desarrollo de una teora cuantitativa del circuito magntico.
La ley de la induccin de Faraday es igual mente vlida como punto de
partida, y se le prefiere cuando la meta es el desarrollo de una
teora de las ondas electromagnticas en lugar de una teora que
conduzca al tratamiento de la conversin de la energa
electromecnica. Con base en los resultados obtenidos por Ampere en
1820, a partir de su experimento sobre las fuerzas que existen
entre dos conductores de corriente elctrica, se definen con
facilidad cantidades tales como la densidad del flujo magntico, la
permeabilidad y el flujo magntico. Una vez establecida la base,
nuestra atencin se dirige a la explicacin de las propiedades
magnticas de ciertos materiales tiles en la ingeniera, as como a la
idea del circuito magntico, los cuales ayudan a la simplificacin de
los clculos implcitos en el anlisis de los dispositivos magnticos
utilizados en el control electrnico del Equipo Pesado.
1.1. LEY DE AMPERE: DEFINICIN DE CANTIDADES MAGNTICAS
En la figura 1, aparece una modificacin simplificada del
experimento de Ampere. La configuracin est dada por un conductor 1
muy largo,
portador de una corriente 1I de magnitud constante y de un
elemento
conductor de longitud l que lleva una corriente de magnitud
constante
2I , en direccin opuesta a 1I . Tomando el conductor elemental y
la
corriente 2I , ambos constituyen un elemento de corriente lI 2 .
El
conductor elemental 2 parte de un circuito cerrado en el que
fluye 2I ,
pero por razones de simplicidad y comodidad se omiten los
detalles del circuito, excepto en la longitud l . Ms an, se supone
que los
conductores 1 y 2 se alojan en el mismo plano horizontal y sus
paralelos entre s. De acuerdo con la ley de Ampere se concluye que
en esta configuracin existe una fuerza sobre el conductor
elemental, dirigida hacia la derecha. Adems, se encuentra que la
magnitud de la fuerza es
directamente proporcional a lII ,, 21 y el medio que envuelve a
los
conductores, e inversamente proporcional a la distancia entre
ellos. En trminos de las unidades MKS, la magnitud de esta fuerza,
segn puede demostrarse, es la siguiente:
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lIr
IF 2
1
2
N Ecuacin (7.1)
Donde 1I e 2I estn expresadas en amperes, l y r en metros y
es
una propiedad del medio. Una interesante revelacin adicional de
este experimento es que el conductor elemental 2 se utiliza como
dispositivo de exploracin para encontrar aquellos puntos en el
espacio donde la fuerza tiene magnitud constante y est dirigida
hacia afuera; se determina as un lugar geomtrico que es un crculo
de radio r con centro en el eje del conductor 1. En otras palabras,
es posible identificar un campo de lneas de fuerza constantes. En
relacin con este aspecto, es de utilidad reescribir la ecuacin
(7.1) como sigue:
lBIF 2 Ecuacin (7.2)
Donde:
r
IB
2
1 Ecuacin (7.3)
De la ecuacin (6.2) resulta obvio que la cantidad B definida
tiene como unidades la fuerza sobre corriente-longitud. En las
unidades MKS racionalizadas, lo anterior se expresa como:
metroampere
newtonsB
Ecuacin (7.4)
Donde denota es proporcional a. Un examen ms cuidadoso de esta
relacin revela un aspecto muy til del significado de B .
Recurdese que:
metro
segundosamperesvolts
metro
segundoswatt
longitud
energanewton
Ecuacin (7.5)
Que sustituida en la expresin (7.4) permite otra expresin de B
como:
22 metro
segundosvolts
mampere
amperessegundosvoltsB
Ecuacin (7.6)
Por la ley de Faraday edtd notamos adems que la unidad de
segvolts es equivalente a la de flujo. Por lo tanto, podemos
concluir con toda propiedad que B es de hecho una densidad de flujo
puesto que tiene las unidades de flujo por metro cuadrado. Cuando
el flujo se
expresa en webers , entonces B tiene las unidades de 2/ mwebers
o
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teslas. La ecuacin (7.3) indica los factores que determinan la
magnitud de B y sirve adems como elemento para identificar la forma
en que la
corriente 1I influye en el campo de fuerza alrededor del
elemento de
corriente. Es importante advertir que en tanto que 2I no sea
cero, el
campo de fuerza y el campo magntico tienen las mismas
caractersticas: ambos tienen un lugar geomtrico circular y ambos
son cantidades vectoriales que poseen magnitud y direccin.
Sin embargo, por la forma en que se ha definido a B , el
campo
magntico existe en tanto que 1I sea diferente de cero,
independientemente del valor de 2I .
En nuestro estudio, se tratar al conductor 1 como el devanado de
campo ya que debido a ste se establece el campo magntico de
trabajo, mientras que al circuito total del que forma parte el
conductor elemental se denominar devanado de armadura.
La direccin del campo magntico se determina con facilidad por la
regla de la mano derecha, la cual postula que si el conductor del
devanado de campo (en este caso, el 1) se toma con la mano derecha
con el pulgar apuntando en la direccin del flujo de la corriente,
las lneas del flujo o la densidad del mismo tendrn la direccin de
los dedos alrededor del conductor.
a) PERMEABILIDAD: La observacin de la ecuacin (7.1) permite ver
que todos los factores que contiene son conocidos, excepto el
factor de proporcionalidad , el cual es una caracterstica del
medio. Al repetir el
experimento de la Figura (1) en hierro en lugar de aire, se
encuentra que
la fuerza es muchas veces mayor con los mismos valores de lII ,,
21 y r .
Figura 1
Por lo tanto, se concluye que debe definirse a partir de la
ecuacin (7.1) para los diferentes medios, puesto que es la nica
cantidad incgnita. Adems, debido ala forma como se defini la
densidad del flujo magntico, la ecuacin (7.3) indica que el efecto
del ambiente puede
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describirse en trminos del frado en que crece o decrece la
densidad del
flujo magntico con una corriente especfica 1I . As, cuando el
medio es
el hierro en lugar del espacio libre, puede decirse que el
primero posee una mayor penetracin al campo magntico en una regin
dada, es decir, hay una mayor densidad de flujo. Esta propiedad del
medio que envuelve a los conductores se denomina permeabilidad.
Cuando se supone a los conductores de la Figura (1) colocados en
un
espacio libre y se mide la fuerza con valores especficos de lII
,, 21 y r , la
solucin de la permeabilidad en el espacio libre, obtenida con la
ecuacin (7-1) y expresada en unidades SI, viene a ser:
7
0 104 Ecuacin (7.7)
La unidad de la permeabilidad tambin se deriva de la ecuacin
(7.10). As:
20 ampere
newtons Ecuacin (7.8)
Pero:
segundoamperesvoltsjoulemetronewtons Ecuacin (7.9)
O bien:
metroampere
sengundosvolts
metroamperes
segundosamperesvolts
20
Ecuacin (7.10)
Sin embargo, volts x segundos / ampere es la unidad de la
inductancia expresada en henrys. En consecuencia, la permeabilidad
se expresa en unidades de henrys/metro.
En aquellos casos donde el medio es diferente del espacio libre,
la permeabilidad absoluta se encuentra con facilidad una vez ms a
partir de la ecuacin (7.1).
La comparacin de sta con el resultado obtenido en el espacio
libre,
conduce a una cantidad llamada permeabilidad relativa r .
Expresado matemticamente, tenemos:
0
r Ecuacin (7.11)
La ecuacin (7.8) indica con claridad que la permeabilidad
relativa es simplemente una relacin numrica que expresa el grado en
el que la densidad del flujo magntico crece o decrece en relacin
con la del espacio libre. En algunos materiales, tales como el
Deltamax, el valor de
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r puede exceder de cien mil. Sin embargo, muchos materiales
ferromagnticos tienen valores de r de cientos de miles.
b) FLUJO MAGNTICO : Puesto que B denota la densidad del
flujo
magntico, es razonable esperar que la multiplicacin por el rea
efectiva que B penetra pueda producir el flujo magntico total. Para
ilustrar la Figura (2), representa una bobina de rea ab alojada en
el mismo plano horizontal que contiene el conductor 1.
Figura 2
Ya sabemos que cuando la corriente 1I fluye a travs de este
conductor
se crea un campo magntico en el espacio, descrito especficamente
por la ecuacin (7.3). Para encontrar el flujo total que penetra a
la bobina, basta con efectuar una integracin de B sobre la
superficie del rea implicada. Por supuesto, si B fuera una
constante sobre el rea de nuestro inters, el flujo sera simplemente
el producto de B y el rea ab. Considrese a continuacin que el plano
de la bobina est inclinado con respecto al plano del conductor 1 en
60, como se describe en la Figura (3).
Figura 3
Ahora est claro que el flujo total que penetra a la bobina se
reduce segn un factor de un medio. Si la bobina se orienta en una
posicin a 90 con respecto al plano horizontal, no hay flujo que
pase por la bobina.
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Con base en estas observaciones, el flujo magntico a travs de
cualquier superficie se define con mayor rigor mediante la integral
de superficie de la componente normal del campo magntico vectorial
B . Expresado matemticamente, tenemos:
s ndAB Ecuacin (7.12)
Donde s se refiere a la integral de superficie, A representa el
rea de la
bobina y nB es la componente normal de B sobre el rea de la
bobina.
Por la ecuacin (7.6) sabemos que el flujo magntico debe tener
las dimensiones de volts-segundos de flujo se entiende mejor en
trminos de la ley de la induccin de Faraday.
c) INTENSIDAD DEL CAMPO MAGNTICO H: En los clculos del circuito
magntico, con frecuencia resulta til trabajar con una cantidad que
represente el campo magntico y que sea independiente del medio en
el cual existe el flujo magntico. En especial, esto es vlido en
casos tales como los que se encuentran en las mquinas elctricas
donde un flujo comn penetra varios materiales diferentes, incluso
el aire. La observacin de la ecuacin (7.3) nos muestra que la
divisin de B entre identifica a tal cantidad. En consecuencia, la
intensidad del campo
magntico se define como:
BH Ecuacin (7.13)
Y tiene las unidades de:
metro
amperes
ampere
newtons
metroampere
newtons
2
Ecuacin (7.14)
Por lo tanto, H es dependiente de la corriente que lo produce y
tambin de la geometra de la configuracin pero no del medio. Para el
sistema de la Figura (1) el valor de la intensidad de campo
magntico inmediatamente sigue a partir de la ecuacin (7.3) y se
expresa por:
r
IBH
21 Ecuacin (7.15)
Dado que H es independiente del medio, es frecuente considerar
que la intensidad es la responsable de impulsar la densidad del
flujo a travs del medio.
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En general, las unidades de H son ampere-vueltas/metro en lugar
de amperes/metro. Esto se hace aparente siempre que el devanado de
campo se haga con ms de un solo conductor.
d) LEY DE CIRCUITOS DE AMPERE: Una vez definida la intensidad
del campo magntico y habiendo visto que sus dimensiones son los
ampere-vueltas/metro, desarrollaremos a continuacin una relacin muy
til. Recurdese que H es un vector con la misma direccin del campo
magntico B. Una integracin lineal de H a lo largo de cualquier
trayectoria cerrada demuestra que es interesante. Por supuesto, se
considera la integral de lnea por que H tiene implcita una dimensin
por unidad de longitud. As:
r
Idlr
IHdl
2
01
1
2 Amperes Ecuacin (7.16)
(Tngase presente una vez ms que aqu las unidades seran
ampere-vueltas si en la Figura (1) hubiera ms de un conductor.) La
ecuacin (7.16) expresa que la integral de lnea cerrada de la
intensidad del campo magntico es igual a la corriente encerrada (o
a los ampere-vueltas) que producen las lneas del campo magntico.
Esta relacin se conoce como la ley de circuitos de Ampere y se
escribe de manera ms general como:
Ecuacin (7.17)
Donde denota los amperes-vueltas encerrados por la supuesta
trayectoria cerrada de lneas de flujo. La cantidad tambin se
conoce como fuerza magnetomotriz y con frecuencia se abrevia fmm.
Esta relacin es til en el estudio de los dispositivos
electromagnticos.
e) RELACIONES DERIVADAS: En las pginas precedentes se definieron
las cantidades magnticas fundamentales (densidad de flujo, flujo,
intensidad de campo y permeabilidad), a partir del experimento
bsico de Ampere, al tomar en consideracin dos conductores de
corriente. Se pueden obtener tiles resultados adicionales mediante
la manipulacin apropiada de esas cantidades. La ecuacin (7.13) es
de tipo vectorial y describe la intensidad del campo magntico en
una geometra y con una corriente dada. Si la longitud total de la
trayectoria de una lnea de flujo se supone L, entonces la fuerza
magnetomotriz total asociada con la lnea de flujo especfica es:
Ecuacin (7.18)
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Ahora, en aquellos casos donde B sea constante y penetre un rea
A fija conocida, el flujo magntico correspondiente puede
escribirse, a partir de la ecuacin (7.12), como:
BA Ecuacin (7.19)
Sustituyendo la ecuacin (7.19) en la ecuacin (7.18)
obtenemos:
Ecuacin (7.20)
La cantidad entre parntesis en esta ltima expresin resulta de
inters por su gran semejanza con la definicin de la resistencia en
un circuito elctrico.
A
LR Ecuacin (7.21)
Recurdese que la resistencia en un circuito elctrico representa
una oposicin al flujo de la corriente, bajo la influencia de un
voltaje de excitacin. El examen de la ecuacin (7.20) permite una
interpretacin semejante en el circuito magntico.
Ya nos hemos dado cuenta que es la fuerza magnetomotriz que crea
el flujo , el cual penetra la seccin transversal especfica del rea
A. Sin
embargo, el valor del flujo est limitado por lo que se llama la
reluctancia del circuito magntico, la cual se define como:
Ecuacin (7.22)
No se le asigna un nombre especfico a la dimensin de la
reluctancia, y para referirse a ella se mencionan tantas unidades
de reluctancia.
La ecuacin (7.19) revela lo siguiente: la oposicin que un
circuito magntico presenta par que circule el flujo el cual es
directamente proporcional a la longitud e inversamente proporcional
a la permeabilidad y al rea de la seccin transversal; resultados
por completo consistentes con el razonamiento fsico.
Sustituyendo la ecuacin (7.22) en la ecuacin (7.20) da:
Ecuacin (7.23)
La cual se menciona con frecuencia como la ley de Ohm del
circuito magntico. Sin embargo, es importante tener en cuenta que
estas manipulaciones en la forma mostrada se permiten mientras B y
A sean cantidades fijas.
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f) LEY DE AMPERE PARA DIFERENTES ORIENTACIONES DEL ELEMENTO DE
CORRIENTE: En la Figura (1) se supuso que el elemento de corriente
estaba en paralelo al conductor 1 y alojado en el mismo plano. Dado
que esa orientacin fue suficiente para el propsito propuesto
(definir las cantidades magnticas fundamentales), se adopto por
razones de utilidad. Sin embargo, con el objeto de proporcionar un
panorama ms completo del experimento, considrese ahora el
efecto
sobre la fuerza si se coloca el elemento corriente lI 2 en dos
orientaciones
adicionales diferentes. Considrese primero que el elemento de
corriente ya no es paralelo al conductor 1, pero sigue alojado en
el mismo plano horizontal. Consulte la Figura (4). Los puntos en la
figura indican que el campo magntico est dirigido hacia fuera en el
lado izquierdo del conductor 1 y hacia adentro (con respecto a la
superficie del papel) en el lado derecho, como lo indica la regla
de la mano derecha. Los resultados de este experimento muestran que
la magnitud de la fuerza es la misma que se encontr al usar la
configuracin de la Figura (1). Esta conclusin no es sorprendente
por que el valor de la densidad del flujo magntico,
as como 2I y l , permanecen inalterados, de modo que la ecuacin
(6-2)
sigue siendo vlida para describir la fuerza. El nico cambio est
en la direccin de la misma. Sin embargo, como lo indica la Figura
(4), la fuerza contina normal al elemento de corriente. Es
importante tener presente lo antes dicho. Ahora, describiremos una
regla general para establecer la direccin de la fuerza en todas las
configuraciones.
Figura 4
Consideremos ahora la orientacin del elemento de corriente
paralelo al conductor 1 pero inclinado un ngulo 30 con respecto a
la vertical. En la Figura (5) se describe una vista lateral de la
configuracin. Ntese que el campo magntico est dirigido hacia abajo
a lo largo de la vertical, segn esta vista. Por supuesto, en la
realidad el lugar geomtrico de B es circular, pero en la Figura (5)
vemos justo la pequea porcin del campo B alrededor del plano que
contiene al conductor 1.
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Con esta configuracin la fuerza sobre el elemento de corriente
se observa que tiene la misma direccin pero slo la mitad de la
magnitud que se obtuvo con la orientacin de la Figura (1).
Entonces, se concluye
que el ngulo entre el vector de corriente lI 2 y la densidad del
flujo B
afecta la magnitud de la fuerza. De hecho, con la experimentacin
adicional se demuestra que la expresin general de la fuerza es:
lBsenIF 2 N Ecuacin (7.24)
La ecuacin (7.24) contiene exclusivamente informacin acerca de
la magnitud de la fuerza y no de su direccin; sin embargo, mediante
el empleo de la notacin del anlisis vectorial, es posible
reescribir la ecuacin (7.24) de modo que contenga la informacin
sobre la magnitud y la direccin. Este resultado se obtiene con
facilidad mediante el empleo de la notacin del producto cruz entre
dos vectores, que da un tercer vector con su magnitud y direccin.
As, la ecuacin se expresa en forma ms completa como:
BlIF 2 N Ecuacin (7.25)
Figura 5
Recurdese que le smbolo cruz siempre implica al seno del ngulo
entre
dos vectores B y l (o sea la direccin de 2I que se determina por
la
orientacin de l ). Adems, siempre que se trate del producto
cruz, la
direccin del vector resultante ser normal al plano que contenga
a los
vectores B y l con el sentido determinado por la direccin de
avance de
un tornillo de cuerda derecha que girara del l hacia B por el
menor de
los dos ngulos formados por los vectores. En consecuencia, en la
configuracin de la Figura (5) la direccin de la fuerza se
encuentra
haciendo girar lI 2 hacia B y observando a continuacin que esto
podra
originar el avance de un tornillo de cuerda derecha hacia fuera
de la superficie del papel. Por lo tanto la fuerza se dirige hacia
fuera, lo que coincide con el resultado establecido de manera
experimental.
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Tambin es posible determinar la direccin de la fuerza por medio
de otra regla de la mano derecha, que requiere poner el dedo ndice
en la
direccin de la corriente y el dedo medio en la direccin de B ,
suponindolos alojados en un mismo plano. Entonces el pulgar de la
mano derecha apunta en la direccin de la fuerza cuando se le
orienta perpendicular a los otros dos dedos.
1.2. EL CIRCUITO MAGNTICO: CONCEPTO Y ANALOGAS
En general, los problemas que involucran a los dispositivos
magnticos son bsicamente de campo por que tienen que ver con
cantidades tales como y B , las cuales ocupan espacios
tridimensionales. Sin embargo, por fortuna la mayor parte del
espacio que interesa al ingeniero est ocupado por materiales
ferromagnticos excepto en los pequeos entrehierros presentes, ya
sea porque as se quiere o por necesidad. Por ejemplo, en los
aparatos electromecnicos de conversin de energa. El flujo magntico
debe permear una masa estacionaria as como una masa rotatoria de
materiales ferromagnticos, haciendo as indispensable la existencia
de un entrehierro. Por otra parte, en otros dispositivos se debe
insertar un entrehierro intencionalmente para enmascarar la relacin
no lineal que existe entre B y H . Pero a pesar de la presencia de
los entrehierros sucede que el espacio ocupado por el campo
magntico y el espacio ocupado por el material ferromagntico son
prcticamente uno mismo.
Comnmente, esto es as porque los entrehierros se hacen tan
pequeos como lo permite el claro mecnico entre los miembros
rotatorio y estacionario y tambin porque el hierro en virtud de su
alta permeabilidad confina el flujo dentro de s mismo como el
alambre de cobre confina la corriente elctrica o un tubo restringe
el flujo de agua.
Con base en esto, el problema de un campo tridimensional pasa a
ser un problema de circuito unidimensional y de acuerdo con la
ecuacin (7.23) se llega al concepto del circuito magntico. As,
podemos ver al circuito magntico configurado por trayectorias
predominantemente de hierro, de geometra especfica la cual sirve
para confinar el flujo al hierro y a aquella parte del aire que
constituye los entrehierros. La Figura (6) representa un circuito
magntico tpico que consiste principalmente en hierro.
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Figura 6 Figura 7
Circuito magntico tpico Circuito equivalente unifilar de la De
hierro y aire figura 6
Ntese que la fuerza magnetomotriz de la bobina produce un flujo
que est confinado al hierro y a los entrehierros con la misma rea
de la seccin transversal que el hierro. Ms an, un somero
razonamiento nos revela que este circuito magntico puede ser
reemplazado por un circuito equivalente representado por una lnea
como en la Figura (7). Como lo sugiere las ecuaciones (7.22) y
(7.23) el circuito equivalente consiste en la fuerza magnetomotriz
de excitacin del flujo a travs de dos
reluctancias conectadas en serie ( , la reluctancia del hierro y
, la reluctancia del aire). Esta analoga del circuito magntico con
el circuito elctrico se observa en muchos otros aspectos. Con el
fin de completar la idea, estos detalles se presentan a continuacin
en el caso de un anillo toroidal de cobre de radio medio r con rea
de seccin transversal A.
Figura 8 Figura 9
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a) FUERZA DE EXCITACIN
RESPUESTA
O bien:
Ecuacin (7.26)
b) IMPEDANCIA
La impedancia es un trmino general utilizado para indicar el
impedimento de una fuerza de excitacin para producir una
respuesta.
Ecuacin (7.27) Ecuacin (7.28)
Donde rL 2 es la longitud del crculo del toroide y A es el rea
de la seccin transversal toroidal.
CIRCUITO EQUIVALENTE
Figura 10
Intensidad del campo elctrico
Con la aplicacin del voltaje E alta toroide de cobre homognea,
se produce dentro del material un gradiente de potencial elctrico
dado por:
Intensidad del campo magntico
Cuando se aplica una fuerza magnetomotriz al toroide de hierro
homognea se produce dentro del material un gradiente de potencial
magntico dado por:
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Ecuacin (7.29) Ecuacin (7.30)
Este campo elctrico debe ocurrir en una trayectoria cerrada si
va a ser mantenido. Se concluye que la
integral de lnea cerrada de es
igual al voltaje de la batera . As:
Como ya se seal en la ley de circuitos de Ampere, la integral
de
lnea cerrada de es igual a la fuerza magnetomotriz encerrada.
As:
Ecuacin (7.31) Ecuacin (7.32)
Si se desea encontrar la cada de voltaje entre dos puntos ( a y
b ) del
toroide de cobre, podemos escribir:
Las letras fmm se usan para representar la fuerza magnetomotriz.
La porcin de la fmm total aplicada entre los puntos a y b se
encuentra
de modo semejante:
Es decir:
abab IRV Ecuacin (7.33) Ecuacin (7.34)
Donde abR es la resistencia del
toroide de cobre entre los puntos a y b
Donde es la reluctancia del toroide de hierro entre los puntos a
y b
Densidad de la corriente
Por definicin, la densidad de corrientes es la cantidad de
amperes por unidad de rea. As:
Densidad del flujo
La densidad de flujo se expresa en webers por unidad de rea.
As:
Ecuacin (7.35) Ecuacin (7.36)
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O bien:
Ecuacin (7.37) Ecuacin (7.38)
Esta ltima expresin suele identificarse como la forma
microscpica de la ley de Ohm.
No debe inferirse de lo anterior que los circuitos elctricos y
magnticos anlogos a aquellos que existen en los circuitos
elctricos. Adems, cuando se implanta y mantiene una corriente
directa en un circuito elctrico, debe suministrarse energa en forma
continua. No se da situacin anloga en el caso magntico, donde un
flujo que se establece, se mantiene de manera constante. Los
clculos de los circuitos magnticos se pueden efectuar mediante el
uso de sistemas de unidades diferentes. Estos diferentes sistemas
surgieron inicialmente por que se pens que los fenmenos de la
electricidad y el magnetismo no estaban relacionados entre s (por
lo tanto, esto dio lugar al desarrollo de sistemas de unidades
separados para cada caso), y despus, porque se dese llegar a
valores de unidades prcticas, una vez descubiertas las relaciones.
Hasta ahora, la atencin se ha concentrado en el sistema mks de
unidades como norma para el trabajo cientfico, y ahora se le conoce
como SI (Sistema Internacional) de unidades. Sin embargo, una buena
parte de la literatura del pasado est escrita en trminos del
sistema CGS (centmetro-gramo-segundo). Ms an, mucho de los clculos
en el presente se efectan en trminos del sistema mixto, mediante el
empleo de unidades tales como los ampere-vueltas/in, los
maxwells/in y los ampere-vueltas, debido a las ventajas que ofrecen
al tratar con dimensiones expresadas en pulgadas. Por estas
razones, en la Tabla (6-1) se muestran las unidades de los tres
sistemas.
El weber, que es la unidad de flujo en el sistema SI, es igual
a
810 maxwells (o lneas), donde el maxwell es la unidad de flujo
en el
sistema CGS. El gilbert es la unidad CGS de la fmm y es igual a
4,0
veces el nmero de ampere-vueltas. La unidad CGS de la intensidad
del campo magntico H es el oersted (gilbert/cm) y la unidad CGS de
la
densidad del flujo B es el gauss (o 2/ cmlneas ). Las relaciones
de la
misma cantidad entre los diferentes sistemas de unidades se dan
en la ltima columna de la tabla.
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1.3. CLCULO DE CIRCUITOS MAGNTICOS
Los clculos de los circuitos magnticos que involucran materiales
ferromagnticos se dividen bsicamente en dos categoras. En la
primera se conoce el valor del flujo y se requiere encontrar la
fuerza magnetomotriz que lo produce. Este es un caso tpico en el
diseo de los convertidores de energa electromecnica de ca y cd. Con
base en la escala de voltaje deseado en un generador elctrico o en
la escala de los pares en un motor elctrico, la informacin respecto
al flujo magntico se obtiene con facilidad.
Entonces, con esa informacin y la configuracin del circuito
magntico, la fmm total necesaria para establecer el flujo se
determina en forma directa. En el segundo caso, se debe determinar
el flujo, conociendo la geometra del circuito magntico y de la fmm
aplicada. Una aplicacin de este caso en ingeniera es el
amplificador magntico, donde con frecuencia se necesita encontrar
el flujo magntico resultante debido a uno o ms devanados de
control. En razn de la reluctancia (o permeabilidad) del material
ferromagntico (la cual no es constante), la solucin de este
problema es considerablemente ms compleja que la de la primera
categora, como se ilustra en los ejemplos siguientes:
Figura 11
Toroide compuesto por tres materiales diferentes.
EJEMPLO 1. Un toroide est compuesto por tres materiales
ferromagnticos y equipado con una bobina de 100 vueltas, como se
representa en la Figura 10. El material a es una aleacin de
nquel-hierro
con un arco de longitud media aL de 0,3m. El material b es
silicio acero
y tiene un arco de longitud media bL de 0,2m. El material c es
acero
fundido con un arco de longitud media igual a 0,1m. Los tres
materiales
tienen un rea de la seccin transversal de 0,001 2m .
a) Encuentre la fuerza magnetomotriz necesaria para establecer
un flujo
magntico de LneasWb 60000106 4
b) Qu corriente debe hacerse fluir por la bobina? c) Calcule la
permeabilidad relativa y la reluctancia de cada material
ferromagntico.
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SOLUCIN 1:
a) Para obtener la fmm total de la bobina, todo lo que
necesitamos hacer es aplicar la ley de circuitos de Ampere. As:
Las cantidades incgnitas son cba HHH ,, . Estas pueden
determinarse
con facilidad a partir del conocimiento de la densidad del
flujo, la cual en este caso es la misma para cada seccin ya que el
flujo es comn y las reas de la seccin transversal son iguales. Por
lo tanto:
Ahora aH se encuentra en la curva BH de la aleacin de
nquel-hierro
de la Figura 12, en el punto correspondiente a 6,0aB . Se
produce:
de modo semejante:
En consecuencia, la fmm total requerida es:
Ntese que aunque la longitud de la trayectoria del acero fundido
es la ms corta, eso no es obstculo para que requiera la mayor
porcin de la fmm que fuerza a circular el flujo especificado. Esto
es as a causa de su baja permeabilidad, como se ve en el inciso
(c).
b) En el sistema SI la fmm es igual al nmero de ampere-vueltas.
Por lo
tanto:
c) Por la ecuacin (7.13)
mH
B
H
a
a
a 06,010
6,0
Tambin:
ara 0
-
TECSUP PFR Electrnica del Vehculo
79
746,47104
06,07
0
ara
Adems por la ecuacin (7.20) se encuentra que la reluctancia
es:
Unidades mks racionalizadas de reluctancia
Procediendo de modo semejante con los materiales b y c se llega
a los siguientes resultados:
Consideremos ahora un problema ms difcil: consiste en encontrar
el flujo en un circuito magntico dado, correspondiente a una fmm
especificada. No se puede llegar directamente a la solucin porque,
como resultado de la relacin no lineal entre B y H , se tienen
muchas incgnitas. La manera ms fcil de encontrar la solucin es
emplear un procedimiento de tanteos, guiado por el conocimiento de
las caractersticas de permeabilidad de los materiales tal como
aparecen en sus curvas de magnetizacin. El ejemplo siguiente
ilustra la tcnica referida.
EJEMPLO 2. En el ejemplo del toroide (6-1), representada en la
Figura (8), encuentre el flujo magntico producido por una
fueraza
magnetomotriz aplicada .
SOLUCIN 2:
La solucin no puede determinarse de manera directa por que para
hacerlo necesitamos conocer la reluctancia de cada parte del
circuito magntico, la cual puede conocerse slo si la densidad del
flujo es
conocida, lo que implica que debe ser conocido justo al
principio. Se observa que esto es imposible. Para obtener la
solucin mediante un procedimiento de tanteos, comenzamos primero
todas las fmm aplicadas a travs del material que
tiene la reluctancia ms elevada. Esto produce un valor
aproximado de el cual puede ser refinado en lo subsecuente. La
observacin de la Figura (9) revela que el conductor magntico ms
pobre es el acero fundido. Por lo tanto, suponiendo que la fmm
entera
aparece a travs del material c podemos encontrar H , lo que nos
permite
determinar B , que a su vez permite encontrar . As:
-
Electrnica del Vehculo TECSUP PFR
80
A partir de la Figura 12:
WbABTB
cc
c
00065,0001,065,0
65,0
Este valor representa la primera aproximacin al flujo, segn se
indica con el subndice.
Tambin, puesto que el rea de la seccin transversal es la misma
en los tres materiales, se incluye que:
TBBB cba 65,0 La consulta a la curva de magnetizacin del
nquel-hierro permite ver que
el valor de aH correspondiente a aB es despreciable comparada
con
cH . Por lo tanto, para propsitos prcticos su efecto se puede
despreciar.
Sin embargo, ntese que el silicio acero medio tiene una bH de
valor
cercano a 90 A-v/metro. Esto junto al hecho de que cb LL 2
indica que
el material b toma cerca de la mitad de la fmm que a su vez toma
el
material c para mantener el flujo en actividad. En otras
palabras, en este
punto de nuestro anlisis podemos hacer un refinamiento cerca del
50% de la asignada a c debe asignarse a b . As tenemos que:
(Supuesta) Pero:
(Supuesta) Por lo tanto:
En consecuencia, se puede obtener una segunda aproximacin a la
solucin. Por lo tanto:
mvAH c
2331,0
3,23
La cual a su vez produce:
TBc 4,0
-
TECSUP PFR Electrnica del Vehculo
81
De modo que el nuevo valor del flujo queda:
WbAB cc 0004,02
Para determinar si sta es o no la respuesta correcta, en este
punto debemos calcular las cadas de fmm en cada material y sumarlas
para ver si dan un valor igual a la fmm aplicada. Si no es as, el
procedimiento anterior debe repetirse hasta que se satisfaga la ley
de circuitos de Ampere. Al hacer esta verificacin en la segunda
aproximacin, tenemos:
mvAHb
62 Que corresponde a 4,0aB
Y:
mvAH a
7,5 Con 4,0aB
En consecuencia:
vAHL
HL
LHLHLHHL ccbbaa
4,373,234,127,1
)1,0(233)2,0)(62()3,0)(7,5(
Es obvio que hay un exceso cercano al 7%. Por lo tanto, en un
tercer tanteo se reduce el mayor contribuyente a la fmm segn factor
de 5%. Es decir, supngase ahora que:
Entonces:
mvAH c
220 y 375,0cB
Wb000375,03
En correspondencia a este flujo, encontramos:
59bH y 5aH Por lo tanto:
Atfmm 3,3522)2,0)(59()3,0)(5(
Puesto que esta suma de fuerzas magnetomotrices es consistente
con la fmm aplicada de 35 At, la solucin correcta del flujo es:
LneasWb 37500000375,0
-
Electrnica del Vehculo TECSUP PFR
82
Al hacer clculos de circuitos magnticos de la clase recin
ilustrada, es comn aceptar como vlida cualquier solucin que est
dentro de %5 de la solucin exacta. La razn de esto es que estamos
tratando con curvas de magnetizacin normales empleado en el
circuito especfico en la realidad. Pueden existir desviaciones, y a
menudo existen.
Como ejemplo final para ilustrar los clculos de circuitos
magnticos, resolvamos un problema que incluya trayectorias
magnticas en paralelo, as como la existencia de un entrehierro. Ms
an, consideraremos slo el primer tipo donde se va a determinar la
fmm necesaria para establecer un flujo especfico. Esto se justifica
no slo porque la solucin es directa, sino porque es con mucho la ms
representativa de la clase de problemas de circuitos magnticos que
probablemente enfrente el ingeniero.
EJEMPLO 3. Un circuito magntico con la configuracin y las
dimensiones descritas en la Figura (10) est hecho de acero fundido
y tiene un espesor de 0,05m y un entrehierro de 0,002m de longitud
entre los puntos g y h . El problema consiste en encontrar la fmm
que debe
producir la bobina con el fin de establecer un flujo en el
entrehierro de
Wb4104 (o 40000 lneas).
SOLUCIN:
El mtodo de solucin se puede averiguar con facilidad al
consultar el circuito equivalente de este circuito magntico
representado en la Figura
(6-11). El conocimiento de g , nos capacita para encontrar la
cada de
fmm que aparece entre b y c . A partir de esta informacin se
puede
determinar el flujo en la pierna bc , y una vez sumado a g ,
encontramos
el flujo en la pierna cab . A su vez, la fmm necesaria par
mantener el flujo
total en la pierna cab puede calcularse, y cuando la sumamos a
la cada
de fmm a travs de bc , obtenemos la fmm resultante.
Figura 13
-
TECSUP PFR Electrnica del Vehculo
83
Figura 14
Los clculos implcitos en las diferentes partes del circuito
magntico son los siguientes:
Parte gh . Este es el entrehierro en el cual se ha especificado
el flujo de
Wb4104 . El rea de la seccin transversal del claro es
20025,0)05,0)(05,0( m . Sin embargo, se considera que esta rea
es
ligeramente mayor por la tendencia del flujo a pandearse hacia
fuera desde las orillas del entrehierro (conocida como
desbordamiento). Por razones de simplificacin despreciamos este
efecto. As, se encuentra que la densidad del flujo en el
entrehierro es:
TA
Bg
g
g 16,00025,0
104 4
Puesto que la permeabilidad del aire es prcticamente igual a la
del espacio libre, tenemos:
mvA
BH
g
g
127300
104
16,07
0
Y:
Partes bg y hc . La longitud del material ferromagntico aqu
involucrado es:
mLL
LL
LL
LLLLL
hcbg
hcbg
fk
efdebdhcbg
498,0
002,01,0025,01,0025,02
22
-
Electrnica del Vehculo TECSUP PFR
84
Adems, se encuentra que la intensidad del campo H
correspondiente a una densidad del flujo de 0,16 T en el acero
fundido es de 125 A-vueltas/m. Por lo tanto:
Parte bc . Dado que la trayectoria bfkc est en paralelo con
la
trayectoria bc , la fmm total a travs de la trayectoria bfkc
tambin aparece a travs de la trayectoria bc . Luego entonces:
Tambin:
Y en la Figura 12 se encuentra que la densidad del flujo del
acero fundido correspondiente a ese flujo es:
Por lo tanto:
Parte cab . En consecuencia, el flujo total en la pierna cab
es:
Entonces, el conocimiento de este flujo conduce a la
determinacin de la fmm necesaria para sostenerlo en la pierna cab .
As tenemos:
De donde:
Por lo tanto:
Por lo tanto, la fmm total requerida para producir el flujo
deseado en el entrehierro es:
-
TECSUP PFR Electrnica del Vehculo
85
1.4. PRDIDAS POR HISTRESIS Y CORRIENTES DE EDDY EN MATERIALES
FERROMAGNTICOS
El proceso de magnetizacin y desmagnetizacin de una material
ferromagntico en condicin simtricamente cclica implica el
almacenamiento y la descarga de energa en un proceso que no es por
completo reversible. Cuando el material se magnetiza durante cada
medio ciclo se encuentra que la cantidad de energa almacenada en el
campo magntico excede a la que se descarga durante la
desmagnetizacin. La caracterstica sobresaliente del ciclo de
histresis es el atraso en la reorientacin de los dominios en
respuesta a una fuerza magnetizante con variacin cclica. Un ciclo
de histresis nico se representa en la Figura 15. La direccin de
las flechas en esta curva indica la forma en la cual B cambia al
variar H desde cero hasta un mximo positivo y a travs de cero hasta
un mximo negativo y retorno a cero otra vez, completando as el
ciclo. Para apreciar el significado de las diferentes reas
sombreadas de la Figura 15, revisemos las unidades asociadas al
producto de B por H . As:
Ecuacin (7.39) Pero:
Por lo tanto:
Ecuacin (7.40) Donde se reconoce con facilidad una densidad de
energa. Por lo tanto, al tratar con reas que implican a B y H en su
relacin con un ciclo de histresis, estamos tratando en realidad con
densidades de energa expresadas por ciclo, ya que el ciclo de
histresis se repite en cada variacin cclica de H . La energa
almacenada en el campo magntico durante esa porcin de la variacin
cclica de H cuando sta se incrementa desde cero hasta su valor
mximo positivo (suponiendo que el material ya alcanz un estado
cclico) est dada por:
Ecuacin (7.41) Donde se emplean las unidades mks; es decir, H
debe expresarse en
mvA y B en teslas. Ntese que los ejes de la Figura 15 estn
identificados de esa manera. Adems, durante la porcin de la
variacin cclica cuando H decrece de su valor mximo positivo hasta
cero (al seguir
-
Electrnica del Vehculo TECSUP PFR
86
a lo largo de la curva bc del ciclo de histresis), el campo
magntico est
descargando energa que vuelve a la fuente, y esta cantidad se
puede representar mediante:
Ecuacin (7.42)
En esta ecuacin, puesto que cb BB la cantidad 2w ser negativa,
lo que
indica que la energa esta siendo absorbida por el campo, cuando
H se incrementa en la direccin positiva, se puede representar
mediante el rea
abdca . En forma parecida, la energa descargada por el campo
cuando H
vara desde mxH hasta cero puede representarse por el rea bdcb
.
Figura 15 Ciclo de histeris y relaciones de energa por medio
ciclo.
La diferencia entre estas dos densidades de energa representa a
la cantidad de energa, la cual no vuelve a la fuente sino que es
disipada como calor mientras los dominios se realinean en respuesta
a la intensidad del campo magntico cambiante. Esta disipacin de
energa se conoce como prdidas por histresis. Tngase presente que la
figura (12) describe estas prdidas de densidad de la energa durante
una variacin de H durante medio ciclo. Por lo tanto el rea abca
representa
las prdidas por histresis por medio ciclo. De la simetra de la
curva se concluye que al completarse la variacin en el medio ciclo
negativo de H da lugar a una prdida igual de energa. Por lo tanto,
al variar H durante un ciclo completo, la prdida total de energa
por metro cbico se representa mediante el rea del ciclo de
histresis. Ms especficamente,
-
TECSUP PFR Electrnica del Vehculo
87
esta prdida de energa por ciclo se puede expresar matemticamente
como:
esisloDeHistrAreaDelCicwh ciclom
J
3 Ecuacin (7.43)
Donde se emplean las unidades racionalizadas mks para H y B
.
Con frecuencia se desea expresar las prdidas por histresis de
los materiales ferromagnticos en watts (la unidad de potencia). Un
somero
razonamiento acerca de las unidades de hw en la ecuacin (6-30)
nos
indica cmo obtener esto en forma directa. As:
segundociclosvolt
potencia
ciclosvolt
segundospotencia
ciclosvolt
energawh
Ecuacin (7.44)
Hagamos ahora:
hP = Prdida de potencia en watts
v = Volumen del material ferromagntico f = ciclos/segundos =
frecuencia de variacin de H
Entonces la ecuacin (6-31) queda:
vf
Pw hh Ecuacin (7.45)
O bien:
vfwP hh Ecuacin (7.46)
Donde hw (la prdida en la densidad de la energa) se calcula segn
la ecuacin (7.43).
Para solventar la necesidad de encontrar el rea del ciclo de
histresis con el objeto de calcular las prdidas por histresis en
watts segn la
ecuacin (7.46), Steinmetz obtuvo una frmula emprica de hw basada
en
un gran nmero de mediciones en diferentes materiales
ferromagnticos. El expres las prdidas de potencia por histresis
como:
n
mhh BvfKP Ecuacin (7.47)
Donde mB es el valor mximo de la densidad del flujo y n se
encuentra en la escala 5,25,1 n , dependiendo del material
utilizado. El
-
Electrnica del Vehculo TECSUP PFR
88
parmetro hK tambin depende del material. Algunos valores
tpicos
son: acero fundido 0,025, acero en placa de silicio 0,001 y
permalloy 0,0001.
Adems de las prdidas de potencia por histresis, ocurren otras
prdidas importantes en materiales ferromagnticos sometidos a flujos
magnticos variantes en el tiempo: las prdidas por corrientes de
Eddy. Este trmino se usa para identificar la prdida de potencia
asociada a las corrientes circulantes que se encuentran en
trayectorias cerradas dentro del cuerpo de un material
ferromagntico, causando una prdida por calor indeseable.
Estas corrientes circulantes se crean por las diferencias de
potencial que existen a travs del cuerpo del material sometido a la
accin de un flujo cambiante. Si el circuito magntico est compuesto
por hierro slido o sin mezcla, la prdida de potencia consecuente es
apreciable debido a que las corrientes circulantes encuentran una
resistencia relativamente baja. Para incrementar de manera
significativa la resistencia que encuentran estas corrientes de
Eddy, el circuito magntico se conforma con unas laminaciones muy
delgadas (se usan espesores de 14 a 25 milsimas de pulgada de
espesor) siempre que el dispositivo electromagntico est expuesto a
que un flujo variable lo permee en su operacin normal. Este es el
caso de los transformadores y todos los motores y generadores de
ca. La siguiente es una ecuacin emprica de las prdidas por
corrientes de Eddy:
vBfKP mee222 W Ecuacin (7.48)
Donde:
eK = Una constante que depende del material
f = Frecuencia de variacin del flujo en Hz
mB = Densidad del flujo mximo = Espesor de la laminacin v =
Volumen total del material
La comparacin de esta ecuacin con la ecuacin (6-34) revela que
las prdidas por corrientes de Eddy varan en funcin del cuadrado de
la frecuencia, mientras que las prdidas por histresis varan
directamente con la frecuencia.
Tomadas en conjunto las prdidas por histresis y por corrientes
de Eddy constituyen lo que suele llamarse prdidas en el ncleo de
los dispositivos electromagnticos, cuya operacin involucra flujos
variantes en el tiempo. Se ha consagrado una atencin ms que
superficial a estas prdidas porque, como se ver, las prdidas en el
ncleo tienen gran trascendencia en la elevacin de la temperatura,
la eficiencia y la operacin segn el diseo de los dispositivos
electromagnticos.
-
TECSUP PFR Electrnica del Vehculo
89
1.5. RELEVADORES: UNA APLICACIN DE LA FUERZA MAGNTICA
Un relevador es un dispositivo electromagntico que suele
activarse con una energa relativamente pequea, dando lugar a que
una armadura ferromagntica mvil abra o cierre uno o varios pares de
contactos elctricos localizados en otro circuito de control o en un
circuito principal que maneja grandes volmenes de energa. Los
arrancadores de los motores de ca y cd estn equipados con
relevadores diseados para garantizar la operacin apropiada de los
motores durante las condiciones de arranque y marcha. Estos
dispositivos se encuentran en muchos equipos y en todos los campos
de la ingeniera, especialmente en los casos que implican el control
de algn proceso o alguna mquina. Nuestro objetivo en esta seccin
consiste en describir los principios sobre los que se basa la
operacin de estos dispositivos electromagnticos. Aparte del
conocimiento que brinda, este tratamiento motiva el estudio de la
teora de los campos y los circuitos magnticos.
Figura 16
Curva de magnetizacin lineal de un relevador
Nuestro inters primario consiste en elaborar una ecuacin de la
fuerza magntica que muestre cmo es posible efectuar trabajo mecnico
(moviendo la armadura de un relevador) tomando energa de la que
almacena el campo magntico. Adems, puesto que la justificacin se
encuentra en los principios implcitos, se imponen simplificaciones
como las de ignorar la saturacin y las prdidas; es decir, se har
uso del anlisis lineal. En consecuencia, se supone recta la grfica
de magnetizacin del material ferromagntico, como se ve en la Figura
(13) (a) (slo se muestra la curva que corresponde a los valores
positivos de H ).
-
Electrnica del Vehculo TECSUP PFR
90
Ahora, mediante la modificacin apropiada de los ejes de la
funcin graficada en la Figura 16 (a), acontece algo que es
significativo y til. Recurdese primero que el rea entre el eje B y
la curva de magnetizacin representa la energa de la fuente
absorbida y almacenada en el campo magntico sobre una base por
unidad de volumen. La ecuacin (7.41) expresa este resultado en
forma matemtica. Se repite a continuacin:
Ecuacin (7.49)
En la situacin simplificada de la Figura 7.16 (a), la ecuacin
(7.49) representa simplemente el rea del tringulo OaB . As:
Ecuacin (7.50)
Donde H se supone fija en el valor indicado.
Adems, puesto que fw es una densidad de energa, la energa
total
almacenada en el campo magntico se encuentra multiplicando la
ecuacin (6-28) por el volumen. As:
ALwvwW fff Ecuacin (7.51)
Donde L es la longitud y A el rea de la seccin transversal del
circuito magntico. Sustituyendo la ecuacin (6-37) en la ecuacin
(6-38) da:
Ecuacin (7.52)
Ntese que en esta ecuacin A se combina con B para identificar al
flujo
y H se combina con L para identificar la fuerza magnetomotriz
.
En la Figura 16 (b), aparece una representacin grfica de la
ecuacin (6-39). Puede verse que la Figura 16 (b) proviene de la
Figura 16 (a) al multiplicar el eje de las ordenadas por A y el eje
de las abscisas por L , y
luego graficando contra . Entonces, para una H fija (o ) el
rea
OaB de la Figura 16 (a) da la densidad de la energa, en tanto
que el rea
correspondiente OaB de la Figura 16 (b) da la energa total
almacenada
en el campo magntico.
Para entender cmo se puede hacer trabajo mecnico en la
abstraccin de la energa almacenada en el campo magntico, considere
el conjunto
-
TECSUP PFR Electrnica del Vehculo
91
de circuitos que aparece en la Figura 17, que representa la
composicin bsica de un relevador electromagntico.
Figura 17 Composicin bsica de un relevador electromagntico
Consiste en una bobina de excitacin colocada en un ncleo
ferromagntico fijo equipado con un elemento mvil llamado armadura
del relevador. Al relevador lo energiza una fuente de voltaje
constante a travs de un resistor ajustable R . Para comenzar,
considrese que R
est fijo en aquel valor que hace la fmm de la bobina igual a y
produce el flujo como se ve en la Figura 16 (b). Entonces se ajusta
R
para incrementar la fmm den d y en consecuencia, el flujo en d ,
suponiendo que la armadura del relevador se sostiene para conservar
la reluctancia invariante.
La Figura 16 (b) muestra que de la fuente se absorbe una
cantidad adicional de energa, la que se almacena en el campo
magntico casi igual al representado por el rea del rectngulo abdc .
A continuacin se
reajusta R para hacer d cero, y entonces, conservando fija en la
fmm, se suelta la armadura, permitindole que se mueva en la
direccin que disminuye el entrehierro. La armadura se sostiene otra
vez cuando la reluctancia disminuida causa que el flujo se
incremente en una
cantidad d previamente determinada.
Es importante advertir que despreciando los efectos de segundo
orden, la nueva posicin (de baja reluctancia) de la armadura tambin
es la causa de que la fuente puede suministrar una cantidad
adicional de energa casi igual a la representada por el rea abdc
como antes, pero con una
diferencia significativa. Mientras que la armadura se sostiene
fija, la energa adicional suministrada por la fuente se convierte
por completo en energa magntica almacenada; por otra parte, cuando
a la armadura se le permite moverse hacia la posicin de reluctancia
ms baja, slo se almacena en el campo magntico la mitad de la energa
suministrada adicionalmente. La otra mitad se consume en el
desempeo del trabajo mecnico necesario para mover la armadura del
relevador desde la ms
-
Electrnica del Vehculo TECSUP PFR
92
alta hasta la ms baja posicin de reluctancia. La explicacin de
que sea la mitad de la energa se confirma examinando la Figura 16
(b) si notamos que el rea del tringulo Oac es un medio del rea
del
rectngulo abdc . La pendiente de la curva de magnetizacin es
la
permeabilidad y por lo tanto puede usarse como una medida de la
reluctancia. As, mientras mayor sea la pendiente de la curva de
magnetizacin, mayor ser y menor la reluctancia.
Para que la curva de magnetizacin de la Figura 16 (b) pase de la
posicin Oa a la Oc , se necesita mover la armadura del relevador a
una
posicin correspondiente al menor entrehierro. El trabajo mecnico
desplegado para efectuar lo anterior est representado por el rea
Oac
de la Figura 16 (b)
Las conclusiones de la explicacin anterior se pueden expresar
ahora en forma matemtica. Sin embargo, es importante tener presente
que el intercambio de energa entre el campo magntico y el sistema
mecnico (la armadura del relevador) implica necesariamente un
cambio en la reluctancia. En otras palabras, el cambio en la energa
para hacer
trabajo mecnico, mdW es igual al cambio en la energa del
campo
magntico asociado al cambio en la reluctancia . As, por las
ecuaciones (7.23) y (7.52) tenemos:
Ecuacin (7.53)
Donde el signo negativo destaca que el trabajo mecnico se hace a
costa de un decremento en la reluctancia.
Con facilidad se obtiene una expresin del campo magntico
desarrollando en la armadura del relevador, si se recuerda que:
Ecuacin (7.54)
Don de F es la fuerza en newtons. Sustituyendo esta expresin en
la ecuacin (6-40) da:
Ecuacin (7.55)
Por lo tanto, la magnitud de la fuerza magntica instantnea
depende del valor del flujo tanto como de la razn de cambio de la
reluctancia. Ms an, la direccin de esta fuerza es siempre de
caractersticas tales que dan lugar a un decremento de la
reluctancia, como lo indica su signo menos.
-
TECSUP PFR Electrnica del Vehculo
93
EJEMPLO 4. En el circuito del relevador de la Figura (14),
suponga que el rea de la seccin transversal del ncleo fijo y de la
armadura del relevador es A y que el flujo en el entrehierro es .
Despreciando la
reluctancia del hierro, encuentre la expresin de la fuerza
magntica que existe en la armadura del relevador.
SOLUCIN 4:
Debemos encontrar la razn de cambio de la reluctancia con
respecto a la distancia a lo largo de la superficie deslizante.
As:
Ecuacin (7.53)
Donde g = longitud del entrehierro
Ecuacin (7.56) Pero:
Ecuacin (7.57) Por lo tanto:
Ecuacin (7.58)
Sustituyendo esta ltima expresin en al ecuacin (7.55) da el
resultado buscado:
Ecuacin (7.59)
EJEMPLO 5. En la Figura 18 puede verse la vista en seccin
transversal de un magneto de mbolo buzo cilndrico. El mbolo buzo (o
armadura) tiene libertad para moverse dentro de una gua no
ferromagntica alrededor de la cual la bobina se encuentra rodeada
por una celda de acero de forma cilndrica. El mbolo buzo est
separado de la celda por un entrehierro de longitud g .
a) Obtenga la expresin de la fuerza magntica ejercida sobre el
mbolo
buzo cuando est en la posicin segn la Figura 18. La longitud del
mbolo buzo es cuando menos igual a la de la celda. Adems tiene un
radio de a metros. Desprecie la reluctancia del acero.
b) Encuentre la magnitud de la fuerza cuno la fmm es de 1414 A-v
y las dimensiones del imn del mbolo buzo son:
ma
mx
025,0
025,0
mg
mh
00125,0
05,0
-
Electrnica del Vehculo TECSUP PFR
94
Figura 7.18
SOLUCIN 5:
Antes de proceder con los clculos revisemos el principio que
explica la existencia de la fuerza. Segn la direccin supuesta de la
corriente de la bobina, una trayectoria de flujo tpica es la que se
representa en la Figura 18. Ntese que la trayectoria del flujo debe
cruzar el entrehierro dos veces. En particular, es importante notar
tambin que la reluctancia vista por el flujo cuando atraviesa el
claro inferior es menor que la vista por el mismo flujo al cruzar
el claro de la parte superior del mbolo buzo, dado que el rea de la
seccin transversal del circuito magntico es menor en la parte
superior que en la inferior del mbolo buzo. De hecho, en la parte
inferior del, mbolo buzo el rea de la seccin transversal vista por
el flujo est fija en todas las posiciones del mbolo buzo dentro de
la
escala de hx 0 , y especficamente es igual a ah2 (suponiendo que
g es pequea comparada con a ). En consecuencia, se crea una
fuerza sobre el mbolo buzo dirigida en el sentido que decrementa
la reluctancia. Esto significa que la fuerza magntica acta para
mover al mbolo buzo hacia arriba.
a) La solucin de esta parte se obtiene de la ecuacin (7.55),
pero antes
necesitamos identificar la expresin correcta de la reluctancia
vista por el flujo. La reluctancia del acero es despreciable. Por
lo tanto, la reluctancia asociada al flujo tpico de la Figura (18)
es tan slo la suma de las reluctancias asociadas a cada
entrehierro. As:
Ecuacin (7.61)
-
TECSUP PFR Electrnica del Vehculo
95
Entonces:
Ecuacin (7.62) Tambin:
Ecuacin (7.63)
Sustituyendo las ecuaciones (7.62) y (7.63) en la ecuacin (7.55)
obtenemos:
N Ecuacin (7.64)
b) Sustituyendo las dimensiones especficas en la ecuacin (6-51)
se obtiene la fuerza magntica como:
lbNF 74,1570
-
Electrnica del Vehculo TECSUP PFR
96
ANOTACIONES: