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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA
CENTRO DE CIÊNCIAS FÍSICAS E MATEMÁTICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
LOG RITMOS
TR B LHO DE CONCLUSÃO DE CURSO
M NOEL M RINO M RTINS
FLORIANÓPOLIS GOSTO DE
2000
cc
C
66
SCFM
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UNIVERSID DE FEDER L DE S NT C T RIN
ENTRO DE CIÊNCI S FÍSIC S E M TEMÁTIC S
DEP RT MENTO DE M TEMÁTIC
ogaritmos
Trabalho D e
Conclusão De Curso
cadêmico
Manoel Marino Martins
Orientado por
Prof
Nereu Estanislau urin
Florianópolis gosto De
2000
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Esta Monografia foi julgada adequada como
TR B LHO DE CONCLUSÃO
DE CURSO
no Curso de Matemática — Habilitação Licenciatura
e
aprovada em
sua forma final pela anca Examinadora designada pela Portaria
n° 07 /SCG/00.
Proff Carmem Suzane Comitre Gimenez
Professora da disciplina
Banca Examinadora:
ac
NereuiEstanislau
Burin
Nilo Kuelkamp
À0P
R v
In
Joana Benedita de Oliveira Quandt
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GR DECIMENTOS
As
irmãs lara D Avila e
Silvia
D Avila
Fernandez pelos prestativo
e
simpáticos
atendimentos fornecidos na
coordenadoria
durante o
curso
Ao José
Alcino
Furtado que sempre esteve disposto a ajudar no que se
refere ao
laboratório de informática.
A acadêmica
e
professora de Português Tatiana de Oliveira pela
orientações ortográficas e semânticas.
Ao professor
Nereu Estanislau
Burin pela
orientação, estimulo
e
confiança
em minha pessoa.
Aos professores Antônio
Vladimir Martins
e Méricles Thadeu
oretti
pelos materiais cedidos.
Aos professores Rubens Starke
Carmem Suzane Comitre Gimenez,
Joana Benedita de Oliveira
Quandt
e
Jane de Oliveira
crippa,
que mostraram-me a
importância
de bons profissionais na educação e
que hoje servem de espelho para
minha vida
profissional.
Diretora Shirley Nobre Scharf do Colégio Estadual Governador Ivo
Silveira pelo apoio e confiança
no meu trabalho.
A minha
mãe e
meus
irmãos
por todo apoio
e valorização
durante o
período
de curso.
Em especial
agradeço
aos contribuintes que financiaram esse curso
bem como a minha esposa
e a meu
filho, pois o
apoio e
a credibilidade dentro do
lar num momento
tão
árduo e difícil,
teve
importância
primordial nesta
conclusão
de
curso,
que foi impulsionada pela
preocupação
com os seus futuros
o
que
acabou levando-me à Universidade.
A Deus por mais essa
vitória.
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SUM RIO
1
INTRODUÇÃO
1.1.
Justificativa e
problemas de pesquisa
1.2. Objetivos
1 2 1 0bjetivo Geral
1.2.2.
Objetivo Especifico
1.2.3.
Metodologia Utilizada
2 HISTORIA
2.1.
JOHN NAPIER
2.2.
JOST BORGI
1
2 3 CONSTRUÇÃO DA PRIMEIRA TABELA DE LOGARITMOS DECIMAIS 12
3
FUNÇÕES LOGARiTMICAS
8
4 LOGARITMOS NATURAIS
4
5 NÚMERO
1
6 APLICAÇÕES
5
6.1. Juros Continuos
5
6 2 Desintegração
radioativa
7
6 3 0 método do carbono 14
8
6.4. Acústica e
logaritmo
9
6.5
Logaritmos
e
terremotos
0
7
CONCLUSÃO
4
8
BIBLIOGRAFIA
5
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LOGARITMOS
1 INTRODUÇÃO
Este trabalho tem como suporte maior os conhecimentos adquiridos no
curso de
graduação
em
Matemática, habilitação
licenciatura, bem como a
experiência obtida como professor de
matemática
durante
9
nove) anos em
escolas públicas.
Nesse
período,
foi
possível
perceber que
o
assunto logaritmo
muitas vezes
é
mal trabalhado, principalmente em
rel ção
a sua
historia
motivação
Portanto, procurou-se expor
o
assunto para que aquele que
o ler
continue, ou passe a dar ao assunto
logaritmos
a sua devida
e merecida
importância.
1.1.
JUSTIFICATIVA
E
PROBLEMA DE
PESQUISA
Por ser uma ferramenta
matemática
de grande
aplicação
em diversas
ciências,
tornou-se atraente escrever sobre logaritmos. Os logaritmos exercem um
certo
fascínio
por conta de suas
aplicações
e
beleza operacional,
o
que
proporciona uma certa
gratificação
ao fazer um trabalho de esclarecimento sobre
o
assunto e
uma
percepção
de que se aprende muito com a pesquisa.
material de pesquisa para
elaboração
do trabalho exigiu uma leitura
refinada e
cuidadosa para obtermos um bom entendimento do tema proposto
e
podermos assim elaborar uma boa
exposição
do assunto, principalmente no que
se refere à
definição.
Como uma das vantagens que os logaritmos ofereciam era
facilitar os
cálculos
de potência, surgiu
então
a curiosidade de saber como teriam
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2
conseguido elaborar a tabela de logaritmos de base
10,
se para a sua
construção
seria
necessário
operar com potência
e
que, na maioria das vezes,
não eram
naturais. Tal
questionamento
acabou por levar a
compreensão
de que a
responsabilidade pela obra de logaritmos
não
fora apenas de Napier.
Embora a pesquisa tenha sido, de certa forma, trabalhosa,
principalmente na
construção
dos gráficos,
ela foi de muito valor compreensivo
e
deixou
transparecer
de
maneira
significativa a beleza das
funções logarítmicas.
Ademais, a
compreensão
leva ao belo dos logaritmos,
o
que influenciou
fortemente este trabalho de
conclusão
de curso
1.2. OBJETIVOS
1.2.1.
Objetivo Geral
Mostrar a
importância
dos logaritmos como ferramenta
matemática
1.2.2.
Objetivos
Específicos
a Dar
valorização
ao contexto
histórico
dos logaritmos;
b
Apresentar a
importância
da leitura
gráfica
dos logaritmos;
c
Mostrar exemplos de
aplicação
dos
logaritmos.
1.3.
METODOLOGIA
UTILIZADA
Utilizou-se como
referência bibliográfica
livros de
Matemática e
alguns
específicos
em logaritmos, que abordavam
o
assunto, bem como Boletins de
Matemática.
Convém ressaltar que também foram muito dais as
informações
obtidas em conversas com professores de escolas
públicas,
privadas e
professores
universitários ,
da mesma forma que com acadêmicos de
Matemática,
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sendo que alguns esclarecidos explanaram melhor
o
assunto e os outros com
suas dificuldades apontaram rumos importantes que deveriam ser pesquisados
fato que acabou
servindo
e inspiração e
fonte instigadora
da pesquisa.
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2 HISTÓRIA
No fim do século XVI o
desenvolvimento da Astronomia
e da
Navegação
exigia longos
e
laboriosos
cálculos
aritméticos. Um auxilio precioso
fora obtido com a invenção
das
frações
decimais, embora ainda
não
suficientemente difundida. Praticamente no fim do século XVI estavam
aparecendo identidades trigonométricas de
vários
tipos em todas as partes da
Europa. Entre essas identidades trigonométricas havia um grupo de
fórmulas
conhecidas como regra de
prostaférese
que transformavam um produto de
funções
numa soma ou
diferença
dai o nome
prosthaphaeresis,
palavra grega
que significa adição e subtração ). Então
naquela
época,
por exemplo a
identidade
cos a cos b =
cos
a
+ b ) +
cos
a
— b ) ,
ou seja :
cos
a
b )+ cos
a
-
b
cos a
cos
b —
2
dados dois
números a e para multiplicar, mudavam seus sinais
e a
posição
das
virgulas, podendo supor que A
e B estão compreendidos entre
0 e 1 .
Por meio
da tábua
de funções trigonométricas que existe desde o tempo de
Ptolomeu),
achavam números A
e
B
tais que cos a
= A e cos b =
B. Calculavam a
soma
a b
ea
diferença a
—
b . Novamente
a tábua lhes fornecia cos a
+ b )
e
cos
a
— b ). 0
produto AB procurado seria simplesmente a metade da soma
cos
a
+ b + cos
a —
b)
Por exemplo: para efetuar a multiplicação de
234187
por 578206.
A
= 0,234187 e
B = 0,578206
cos a =A cos
b = B
em
Graus) cos
0
a = 76,45629593701
0,234187
b = 54,67553908725
0,578206
4
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5
0
coso
a
+ b = 131,131835
-0,6577938433876
a
— b = 21,78075685
0,928610500749
cos a
= 0,234187
os
b = 0,578206
a=76,45629593701
=
54,67553908725
0,234187 x 0,578206 =
cos
76,45629593701+
54,67553908725) cos
76,45629593701—
54,67553908725)
_
2
cos
131, 131835 ) +
cos
21, 78075 685 )
2
—
- 0
6577938437065 + 0,9286105007506
— 0,135408328522
2
portanto
: 0,234187 x 0,578206 = 0,135408328522.
Com o
resultado obtido deslocavam a virgula para direita
o
mesmo
número
de
casas que deslocaram para a esquerda.
Assim descobriam
que
234187 x 578206. =
135408328522
Nota
—
se que o
produto é
encontrado sem que qualquer
multiplicação
tenha
sido efetuada. Em nosso
exemplo
de
multiplicação
por
prostaférese não
houve grande economia de tempo
e energia,
mas
quando
lembramos que naquela
época não
eram raras as
tábuas
trigonométricas com ate doze ou quinze
algarismos
significativos,
as possibilidades da
prostaférese
como meio de
economizar
esforço
se
tornam
mais atraentes.
artificio era usado nos principais
observatórios astronômicos,
inclusive no do
astrônomo
Tycho
Brahe
1546-
1601)
na
Dinamarca
Uma das desvantagens do método da
prostaférese
é
a dificuldade em
aplica — lo
para produtos de mais de três fatores.
Isso
sem falar na sua inutilidade
para
cálculos
de potências
e raizes.
Achar um método que permitisse efetuar com presteza
multiplicação, divisão,
potenciação
e extração
de raiz quadrada era, nos anos
próximos
a
1600, um
problema fundamental. Tal problema mobilizou muitos
matemáticos
do século XVI
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6
e
a
solução foi descoberta simultaneamente por Jost
Bürgi 1552 — 1632),
suíço,
fabricante de instrumentos
astronômicos, matemático e
inventor e John Napier
(1550 — 1617),
um nobre
escocês, teólogo
e matemático cada um deles
desconhecia inteiramente o
outro publicaram as primeiras tábuas
de logaritmos.
Em 1 61 4
John Napier publicou seu Miricifi Logarithmorum Canonis Descriptio
( Uma Descrição
da Admirável
Tábua
de
Logaritmos ), Bürgi
publicou suas
tábuas em
1620.
1.1.JOHN
NAPIER
A Napier que também inventou a
virgula
decimal devemos uma
invenção tão
importante para a matemática quanto os
números arábicos: o
conceito
e
zero
e o principio da notação de posição.
Sem eles a matemática não
teria avançado
além do
estágio
que atingira
2000 anos antes. Sem os logaritmos
os
cálculos
realizados diariamente com facilidade por qualquer
matemático
bisonho esgotariam as energias dos maiores
matemáticos.
A influência de Napier no desenvolvimento dos logaritmos foi muito
maior que a de Bürgi
devido as suas
publicações e
seu relacionamento com
professores
universitários. Napier trabalhou na sua invenção
de logaritmos
durante vinte anos para s6
depois publicar seus resultados em 1 61 4 com origem
de suas idéias em
1594
aproximadamente. Ele pensou nas
seqüências de
potências sucessivas de um dado
número — como na rithmética Integra de
Stifel
cinqüenta
anos antes assim como nas obras de
Arquimedes.
Nessas
seqüências
era evidente que as somas e as diferenças
dos expoentes das potências
correspondiam
a produtos
e
quocientes das
próprias
potências: mas uma
seqüência de potências inteiras de uma base tal como dois
não podia ser usada
para
computações,
porque as grandes lacunas entre termos sucessivos tornavam
a
interpolação
demasiado imprecisa. Enquanto Napier refletia sobre
o assunto o
Dr. John Craig médico de James VI da Escócia,
falou-lhe no uso da
prostaférese
na Dinamarca. Presumivelmente Craig fez parte do grupo que em
1590
viajara
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para Dinamarca com James
VI,
para este encontrar sua noiva Anne, da
Dinamarca. 0
grupo acabou desembarcando
não
longe do
observatório
do
astrônomo
Tycho
Brahe,
onde conversaram com
o astrônomo. Superficialmente
foi mencionado o
maravilhoso artificio da
prostaférese,
muito usado em
computações
o
observatório;
o
que encorajou John Napier a redobrar seus
esforços e
seus estudos para
finalmente publicá-los
em
1614
no
Miricifi
Logarithmorum Canonis Descriptio.
A obra de John Napier pode ser
explicada
de maneira simples. Para
conservar
próximo
os termos numa
progressão
geométrica de potências inteiras
de um
número dado, é necessário
tomar
o número
dado muito próximo
de um.
Napier por isso escolheu como seu
número dado
1 — 10
7
ou 0
9999999 ).
Assim
os termos na
progressão
de potências crescentes ficam realmente
próximos. Para
chegar a um
equilíbrio e
evitar decimais Napier multiplicou cada
potência por 10
isso
6 N = 10
1 — 10
7
ntãoL é
o
logaritmo de Napier do
número
N
Assim
seu logaritmo de 10
7 é
zero
),
seu logaritmo de
9999999
é 1
um
) ,
e
assim
por diante. Dividindo seus
números
e
logaritmos por
10
7
teríamos
virtualmente um
sistema de logaritmos de base
—
pois
e
7
n
=
_
e
fica
perto de
i i
m
1 — —
n
o7
Deve-se lembrar, no
entanto,
que Napier
não
tinha
o
conceito de base de um
sistema de logaritmos, pois sua
definição
era diferente da nossa. Construiu suas
tabelas numericamente em vez de geometricamente como a palavra logaritmo ,
que ele fabricou, implica. Logaritmo
é
uma composição
de duas palavras gregas,
Logos ou razão)
e arithmos
ou número).
Napier
não
pensou numa base para seu sistema, mas suas tabelas eram
compiladas por
multiplicações
repetidas, equivalentes a potências de
0,9999999.
Evidentemente a potência
ou
número) decresce a medida que
o
expoente
ou
logaritmo) cresce. Isso
era de se esperar, pois ele usava essencialmente a
base
-
1
que
é
menor que
1.
Uma
diferença
mais importante entre seus logaritmos
e
e os atuais
esta
em que seu logaritmo de
um
produto ou
quociente)
não era igual
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soma (ou diferença) dos logaritmos. Se Li
= Log Ni
e
L2 = Log
N2, então
z 10 7
(1-10 7 1 1 e
N2 = 1 7 0 iII
2
de modo que a sorna dos logaritmos de
N 2
Napier será
o
logaritmo
não
de
N.I.N2
mas de
N 1
odificações
semelhantes
107
valem, naturalmente, para logaritmos de quocientes, potências
e
raizes. Se
= Log
N, por exemplo, então nL
1 In
r
.
Essas
diferenças
não são
muito
10
-
signifi
cativas, pois envolvem apenas um deslocamento da virgule decimal.
Sendo
necessários cálculos
assombrosos para construir as
tábuas
trigonométricas para
Navegação
e
Astronomia, Napier se
propôs
inventar algum
artificio
que facilitasse tais
cálculos.
Embora seus
contemporâneos
com,
Vieta
e
Ceulen,
rivalizassem nas
dificeis
tarefa aritimética,
eram trabalhos de amor, muito
sacrifício e
penosa
dedicação,
e
que muitas vezes perdido por causa de um
pequeno descuido. Napier conseguiu atingir seu objetivo, abreviando as
operações
de
multiplicação
e
divisão, operações
"tão
fundamentals em sua
própria
natureza que parece
impossível
simplificá-las".
Contudo, por meio dos logaritmos,
qualquer problema de
multiplicação
e
divisão,
por mais complicado que seja, se
reduz a outro, relativamente simples, de
adição e
subtração.
Tal como muitas das profundas
e fecundas
invenções
em
Matemática,
a idéia
básica
era
tão
simples que nos admiramos de
não
haver sido pensada
antes. Cajori
conta que Henry Briggs
(1556-1631),
professor de Geometria em
Oxford, 'ficou
tão cheio de
admiração
pelo livro de Napier que largou seus
estudos
em Londres para ir prestar homenagem ao
filósofo escocês.
Briggs se atrasou na
viagem
e
Napier queixou-se a um amigo comum, Ah, John,
o
Sr. Briggs
não
virá ".
Neste exato momento bateram à porta,
e
Briggs entrou. Levaram quase
um quarto de hora se abraçando, sem dizer uma palavra. Por fim, Briggs
começou:
Senhor, fiz esta longa viagem exclusivamente para vir
conhece-lo
pessoalmente
e
saber por que
razões
de talento ou engenhosidade
o
senhor foi o
primeiro a pensar nestes excelentes auxiliares da Astronomia, os logaritmos; mas,
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9
meu caro, tendo sido descobertos pelo senhor, eu me admiro como ninguém
o fez,
antes, agora que sabemos que seria tão
fácil .
A concepção
de Napier dos logaritmos era baseada em uma engenhosa
e
bem conhecida idéia: uma
comparação
entre 2
pontos em movimento, um dos
quais gera uma
progressão
aritmética
e o
outro, uma progressão
geométrica.
As duas
progressões:
Aritmética:
1 2 3 4
Geométrica:
1 2 4 8 16 32 64 128 256
guardam, entre si, esta
relação
interessante: se os termos da
progressão
aritmética são considerados como expoentes de
2
os termos correspondentes na
progressão geométrica representam as quantidades resultantes da
operação
indicada. Assim,
2 ° = 1, 2
1 = 2, 2
2 =, 4, 23
= 8, 24 = 16, 2°
= 32,
etc. Além disso,
para determinar o
valor do produto
2 2 x 23
basta somar os expoentes, obtendo
2 2 3 = 2
°
= 32,
que é o
produto procurado. Chamando-se
2 de
base cada termo
da
progressão
aritmética o
LOGARITMO
do termo correspondente na
progressão geometrica
Napier explicou esta
noção
geometricamente da seguinte maneira: um
ponto
S
move-se ao longo de uma linha reta, AB, com uma velocidade, em cada
ponto Si,
proporcional
à
distancia
restante
S 1 1 3 .
Outro ponto
R
move-se ao longo
de uma linha sem fim, CD, com uma velocidade uniforme,
igual
à velocidade inicial
de
S. Se os dois pontos partem
de A e
ao mesmo tempo,
o logaritmo do
número
medido pela
distância 518
é medido pela
distancia
A
1
C
1
Por este método, à
proporção
que
S
i a
diminui, seu logaritmo
CRi
aumenta, conforme já visto isso ocorre porque Napier usava a base
1/e
que
menor que
1.
Mas logo se tornou evidente que seria vantajoso de
fi
nir o
logaritmo
de
(um) como zero
e fazer
o
logaritmo crescer com
o número.
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10
Em 1 6 1 5 Henry Briggs visitou Napier em sua casa na
Escócia e la eles
discutiram
possíveis
modificações
no método dos logaritmos. Briggs
prop6s o uso
de potências de dez, e Napier disse que tinha pensado nisso
e concordava.
Napier uma vez tinha proposto uma tabela usando
log1 = 0 e log10 = 1
(para evitar
frações).
Os dois homens finalmente concordaram em que o
logaritmo de um deveria ser zero
e que
o
logaritmo de dez
deveria ser um Mas
Napier já não
tinha a energia
su
ciente para por em pr tic essas idéias
e
morreu
em
1617. 0 segundo de seus
lássi os
tratados sobre logaritmos,
o
Mirifici
logarithmorum canonis constructio
em que dava uma
exposição
completa dos
métodos que usava para construir suas tabelas, apareceu postumamente em
1619.
Por isso recaiu sobre Briggs a tarefa de construir a primeira tabela de
logaritmos comuns, ou
Briggsianos.
Em vez de tomar as potências
de um número
proximo de um, como fizera Napier, Briggs começou
com log10 =1 e depois achou
outros logaritmos tomando
raizes sucessivas. Calculando que-ITC. 3,162277,
Briggs tinha que log
3,162277 = 0,5,
3
ou seja 10
5 = 3,162277
e
de 10
= 31,62277 = 5,623413 Unha
que
log
5,623413 = 0,75. Continuando desse modo, ele calculou outros logaritmos
comuns. No ano da morte de Napier,
1 6 1 7
Briggs publicou seu Logarithmorum
Chi/ias Prima sto 6 os logaritmos dos números
de
1
a
1 0 0 0 cada um calculado
com quatorze casas. Em 1624 em Arithmetica logarithmica Briggs ampliou a
tabela incluindo logaritmos comuns dos
números
de
1 a
20000
e
de
90000
a
1 0 0 0 0 0
novamente com quatorze casas.
trabalho com logaritmos podia a partir
dai
ser realizado exatamente como hoje, pois para as tabelas de Briggs todas as
leis usais sobre logaritmos se aplicavam.
Incidentalmente
a do livro de Briggs de
1624
que provêm
nossas palavras mantissa e característica . Enquanto Briggs
estava computando suas tabelas de logaritmos comuns, um
contemporâneo,
John
Speideli, calculou os logaritmos naturais das
funções trigonométricas,
publicando-os em seu
New
Logarithmes
de
1619. Alguns logaritmos naturais
tinham já
aparcido
antes, em 1 6 1 6
numa tradução
para o
inglês feita por Edward
Wright (1559 - 1615)
da primeira obra de Napier sobre logaritmos. Poucas vezes
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uma descoberta nova pegou tão depressa quanto a invenção dos logaritmos,
e o
resultado foi
o
aparecimento imediato de tabelas de logaritmos que eram mais que
adequadas para a
época.
1.2.JOST
BURG
Napier foi de fato
o
primeiro a publicar uma obra sobre logaritmos, mas
idéias muito semelhantes foram desenvolvidas independentemente na Suiga por
Jobst Bürgi mais ou menos ao mesmo tempo. Na verdade,
é possível que a idéia
de logaritmo tenha ocorrido a Bürgi em 1588,
o
que seria 6 anos antes de Napier
começar
a trabalhar na mesma direção. Porém Bürgi s6 publicou seus resultados
em 1620, meia dúzia de anos depois de Napier publicar sua
Descriptio.
A obra de
Bürgi apareceu em Praga num livro intitulado
Arithmetische und geometrische
Progress-Tabuien
isso indica que as influências que guiaram seu trabalho foram
semelhantes as que operaram no caso de Napier. Os dois partiram das
propriedades das seqüências aritméticas
e
geométricas, estimulados,
provavelmente, pelo método de prostaférese. As
diferenças
entre as obras dos
dois homens estão principalmente na terminologia
e
nos valores numéricos que
usavam: os
princípios
fundamentals eram os mesmos. Em vez de partir de um
número um pouco menor que um ((como Napier que usava (1 —10
-7 )), Bürgi
escolheu um numero um
pouco maior
que um
o número 1+10
4
; e
em vez de
multiplicar as potências desse número por 10
7
, Bürgi multiplicava por 10
. Havia
ainda outra pequena diferença:
em sua tabulação Bürgi multiplicava todos os seus
expoente de potência por dez. Isto 6, se N=10 5
(1 +10 4 )
, Bürgi chamava 10L o
número
vermelho correspondente ao número preto N. Se nesse esquema
dividirmos todos os números pretos por 10
8 e todos os vermelhos por 10
5 , teremos
virtualmente um sistema de logaritmos naturais. Por exemplo, Bürgi dava para
o
número preto 1000000000
o número vermelho 230270,022,
o
que, deslocando a
virgule, eqüivale a dizer que In10 = 2,30270022. Isso não
é uma má aproximação
do valor moderno, especialmente quando lembramos que ( 1+10
4
)
não
é bem
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a mesma coisa que u m (1+1/n) , embora os valores coincidam até quatro casas
n - c i o
significativas. Em suas tabelas Bürgi colocava seus números vermelhos do lado
da página
e
os pretos no corpo da tabela, portanto tinha
o
que
chamaríamos uma
tabela de antilogaritmos; mas isso
é
um pequeno detalhe. A essência do principio
dos logaritmos está 16, e Bürgi
deve ser considerado um descobridor
independente, que não teve crédito pela
invenção,
principalmente pelo fato de
Napier ter publicado primeiro seu
Miricifi Logarithmorum Canonis Descriptio.
Num
ponto seus logaritmos se aproximam mais dos nossos que os de Napier, pois
quando os números pretos de Bürgi crescem também os vermelhos crescem; mas
os dois sistemas partilham da desvantagem de
o
logaritmo de um produto ou
quociente não ser a soma ou
diferença
dos logaritmos.
1.3.CONSTRLOO
DA PRIMEIRA TABELA DE LOGARITMO S DECIMAIS
Briggs, partiu da idéia que, tendo os números primos escritos como
potência de base 10 poderia escrever os números como potência de base 10. Por
exemplo, sabendo que 2 = 10 03
e que 3 = 10 4 7 7 , poderia escrever o número
6
como uma potência de base 10. No entanto para descobrir que 2 = 10
0 . 3 0 1
e que
3 = 10 Briggs usou a noção de média geométrica.
Dados dois números a e
b
positivos
chamamos de média geométrica
de a
b
ao número :ra7
Por exemplo :
-
a média geométrica de 4 a 9
é igual a 6, pois 4x9 =6
-
a media geométrica de 2 a 8
é igu l a 4, pois 2 x 8 =4
-
a média geométrica de 7 a 7
é
igual a 7, pois -‘,/ 7 x 7 =7.
Dados dois números positivos a e b,
corn a b a
média
geométrica
deles
é
sempre um número situado entre a e b .
Então
na construção da primeira tabela de logaritmos decimais (base 10)
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publicada em 1617 para obter por exemplo
o número 3
na forma de potência de
base 10 Henry Briggs começou encontrando uma potência de 10 que
é
inferior a
3, e outra que
é
superior a 3. No caso temos 10
= 1 e 10 1 = 10.
Observe o esquema abaixo:
0
1 0
o
6
Nesse esquema abaixo de cada número considerado encontramos
o
seu valor escrito na forma de potência de base 10.
A seguir Briggs obteve a média geométrica dos números que estão
representados nas extremidades do esquema calculando essa média geométrica
de dois modos diferentes: primeiro obteve
o
valor da média geométrica depois
obteve essa média escrita como uma potência de base 10. Observe:
x
0
=VIC=
3 1623
1 1 o
° o l
0
1o
=1 2=1o
Se partimos de expressões iguais os resultados também são iguais
isto 6 3 1623 = 10
°5
Podemos então fazer o seguinte esquema:
3
1623
1 0
° 0 9 0
05
Agora repetindo
o
processo: Henry Briggs obteve a média geométrica
dos números que estão nas extremidades do esquema. Isso sett feito de dois
modos: primeiro com os números que estão nas extremidades mas acima da reta
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do esquema; depois, com os que estão abaixo. Não
esqueça,
porém, que abaixo
de cada número esta
o
seu próprio valor, mas escrito como uma potência de
base 10.
11x3,1623 —1
-
3,1623 =1,7783
0 5
10
0 x1005 –I
10°±Q 5
41
=10 2
=10025
Logo 1,7783 = 10
02 5
Podemos, então, fazer o
seguinte esquema:
1.7783
,1623
100 2 5
0?
0
Ao fazer esse esquema, utilizando, dentre os números que já se tem
como potência de base 10,
o
que esta mais próximo de 3, mas
é
menor que 3; e o
que esta mais próximo de 3, mas
é
maior que 3.
Repete
o processo:
V 1,7783 x 3,1623 -= 3,1623
=2,3714
0,75
110
025 x10 5
=
025 0,5 =
10075
=10
2
=1
375
o
esquema fica assim:
2,3714
1623
1 7 5
0 9
0
Repetindo esse processo mais três vezes,
o
esquema fica assim:
A
f 2,3714 x 3,1623 -= /7,4990 = 2,7384
0 1375
A l
10
°
375
X10
0
5
=110
375 05
4
0
0 875
=1
2
=1
04
375
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15
2,7384
,1623
1004375
02
0
0 5
V 2,7384 x 3,1623
=18,6596 =2,9427
0,9375
00,4375
x 00,5 =
1 0 0,4375 0,5 =
° 937 5 =10
=10046875
2 9427 3
,1623
100,46875 1 0?
0
05
2,9427 x 3,1623 = -
‘1 9 3057
=3,0502
0,96875
i
0
0,46875
x 10
0,5
00,46875 0,5 = ji 0 0,96875 = 1
0
100,4844
2 9427 3
,0502
1 0 0 4 6 8 7 5 1 0?
0 0 4 5 4 4
Com mais
três
repetições
fica
V 2,9427 x 3,0502 = V 8,9758 -= 2,996
0,95315
=10
100.4765
-1
100.46875
X 10
0,4844 = 10
0,46875
0,4844
= 1/ 10
0
95 31 5
2 9960 3
,0502
1
0
0 4 7 6 5
0 ?
0 4 8 4 4
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1 6
V 2,9960 x 3,0502
,1384
=3 023
0,9609
10
0
4765 x 1 0
0 4844
=
1 100,4765 0,4844 = 10 0,9609 =10
2
0
0 4804
2,9960
023
1 0 0 4 7 6 5
0 ?
00 4804
V 2,9960 x 3,023 = V 9,057 =3,009
0 9569
1
100 4765
x
00,4804 =
100 4765
0,4804 =
100 9569
= 1 2 1 00 4784
2,9960 3
,009
1004765
0 9
0 4784
No último
esquema, os dois expoentes
são 0,4765
e 0,4784 e
as duas
primeiras casas
são
iguais. Portanto, se quisermos apresentar
o expoente com
duas casas decimais, podemos interromper
o processo de
cálculo
de médias
geométricas. Nesse caso teremos
3 = 10 0 4 7
No entanto, se quisermos apresentar
o
expoente com três casas
decimais, devemos retomar
o
processo até que, nos dois expoentes as três
primeiras
casas sejam iguais. Teremos
então : 3 = 10 0 477
E
se quiséssemos valores ainda mais precisos,
deveríamos
ter feito os
cálculos
das raizes
quadradas com maior
número
de casas decimais.
Para escrever
o número 7 como uma
potência de base
1 0 Briggs adotou
o
mesmo processo utilizado para
o número 3,
mas selecionando as potências
mais
próximas
de
7
em vez de as mais próximas de
3.
Para números
que
não são
primos
o cálculo é
feito por outro caminho,
bem mais simples, que consiste em decompor
o número em seu fatores primos.
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Em sua tabela e
1617 Briggs apresentou os logaritmos com 14 casas
decimais. Todo esse trabalho realça a importância que os logaritmos assumiram
naquela
época
permitindo que se efetuassem cálculos trabalhosos que
emperravam
o
desenvolvimento do comércio da astronomia
e
de inúmeras outras
atividades.
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1 8
3.
FUNÇÕES LOG RÍTMIC S
Uma
função
real
L :F e L — >
R, cujo domínio é o
conjunto R
chama-se
uma função log rítmic quando tem as seguintes propriedades:
A
L um
função
crescente se sua base
é maior que 1 , isto 6,
x
<y
L x) < L y)
A 1
L um
função
decrescente se sua base é
menor que
1 , isto
6,
x < y L x) > L y)
B L xy) = L x)+L y) p r qu isquer x, y
Esboçaremos
abaixo os
gráficos de duas funções, uma crescente
e
outra decrescente
Função crescente
y = log2 x, observe que a base
é maior que
1
x
y = log 2
x
1/8 -3
1 /4 -2
1/2
-1
1
0
2
1
4 2
8 3
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Fun* decrescente y = logla x,
observe que a base
é
menor que 1 .
19
x
y --- logi/2 x
1/8
3
1/4
2
1/2
0
2
-1
4
-2
8
-3
Listaremos outras propriedades da
função logarítmica
que são
conseqüências
de A
e
B. Mostraremos as propriedades para a função
crescente
que também
são válidas para as
função
decrescente.
ropriedade
1.
Uma
função logarítmica
L: R* ,— > Ré
sempre injetiva.
Sejam
x,
R*,
com x y
10) Se
x < y,
pela propriedade A temos que
L x) < L y).
2° ) e
x
y, pela propriedade A temos que
L x) > L y).
Portanto em qualquer
hipótese, x y
concluímos
que
L(x) L(y).
ropriedade
2.
logaritmo de
é zero.
Pela propriedade
B
temos que:
L 1) = L 1.1) = L 1) + L 1),
logo
L 1) =
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20
ropriedade
3.
Os
números
maiores do que
têm logaritmos positivos
e os
números
menores do que
1 têm
logaritmos negativos.
Como Ló crescente para 0<
x < l< y
temos
L x) < L 1)< L y)
mas temos que
L 1) = 0 logo L x)
co < L y).
ropriedade 4.
Para todo x> 0 ,
tem-se
L 1 /x) = - L x)
Desde que
x. 1/x) -= 1,
pela propriedade
temos:
L x) + L 1/x) = L x. — = L 1) =
O. Portanto L 1/x) = - L x)
x
ropriedade
5. Para quaisquer
x y
e
R
vale L
= L x) — L y).
De fato,
xj =
Y
L x. 1) B= L x)
Y
1 \
= L x) — L y).
ropriedade
6.
Para qualquer
XE
R
±
e
todo número
racional r = —
tem-se
L x r
) = r.L x).
A
demonstração
da propriedade 6
faremos por etapas.
Em primeiro lugar, observa-se que a propriedade
L xy) = L x)+L y)
se
estende para um
número qualquer e
fatores.
Por exemplo:
L x.y.z) = L x.y).z)= L x.y) + L z) = L x) + L y) + L z),
e
analogamente L x 1 x
= L x1) +
L x2)+...+L xn)
1° caso: nE N
L x
° )= L x x
) = L x) + L x) + ...+ L x) = n - L x)
A propriedade também vale para
n = 0,
pois para todo x>
temos que
x
° = 1, logo
L x
°) = L 1) = O
= 01 x)
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21
2° caso: n é
um
inteiro negativo:
Para todo
x> O temos x -
x°
= 1
Logo L(f) +
L
(x
= L(x) = L(x
°
) -= L(1)=0 e
portanto L(x ) = - L(x) = - n-L(x)
Finalmente, o caso geral, em que r = p/q onde p
Zeq
e N. Para
todo x
R,
temos:
(x o
= (xpicip = xP.
Logo
q,L(x r
) = L[(x
r
)] = L(x) = p.L(x), em virtude
do
que
já foi
provado.
a
igualdade q .L(x = p.L(x) resulta que L(x
) =
(p/q).L(x), ou seja, que
L(x
) =
r.L x).
Isto termina a demonstração
da Propriedade
6,
A
restrição de que
o
expoente
r seja
racional
provém do fato de
sabermos apenas definir potências com expoente
racional.
Na verdade, a teoria
dos logaritmos fornece a melhor maneira de definir
x
r
quando r
é
um
número
irracional.
Convém enfatizar que as Propriedades de
1
a
5,
bem como as demais a serem
estabelecidas
neste
capitulo,
valem para todas as
funções
logarítmicas,
isto 6,
resultam apenas das propriedades A
e B,
e
não
da maneira particular como os
logaritmos venham a ser
definidos.
ropriedade
7 Uma
função logarítmica L:
> IR
é ilimitada
superior e
inferiormente.
Suponhamos que nos seja dado um
número
real
3
e
que sejamos
desafiados a achar um
número x
E
R
I
;
tal que L(x) >1 3. Procederemos da seguinte
maneira: tomamos um
número
natural
tão
grande que n>
j3/ L(2).
Como
L(2)
é
positivo Propriedade
3 )
temos
n.L(2) > 13.
Usando a propriedade
5
vemos que
n.L(2) = L(2 ).
Portanto,
L(2 ) > 13.
Agora
é
só escolher
x = 2
e
temos
L(x) > p .
Isto mostra que
L é
ilimitada superiormente.
Para provar que
L
também é
ilimitada inferiormente, basta lembrar que
L(14x) = - L(x).
Dado qualquer
número
real a, como vimos acima, podemos achar
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X E
R
tal que L(x) > -
a.
Então, pondo y = 14x, teremos L
y) =
- L (x) <
a.
Observação.
Uma função
logarítmica
L não
poderia estar definida para x = O.
Com
efeito, se tal fosse o
caso, para todo x eríamos:
L(0) = L(x - 0) = L(x) + L(0), donde L(x) = O. Assim, L seria identicamente nula,
contrariando a propriedade A. Também não
é possível estender satisfatoriamente
o domínio
de uma função
logarítmica
de modo que L(x) seja um
número real,
definido para todo x < O.
Evidentemente, se L:
R:
R
é
uma função
logarítmica e c é constante
positiva arbitrária, então a função M:
R:
R, definida por M(x) = c.L(x),
é
também
uma função
logarítmica. eorema abaixo mostra que esta
é
a única maneira de
obter funções
logarítmicas uma vez que se
conheça
uma delas.
Em outras palavras, depois de provado
o teorema abaixo ficaremos
sabendo que, para estudar logaritmos, basta obter uma
função
L: R*,— > R tal que
L(xy) = L (x) + L (y).
Todas as demais funções
ogarítmicas (ou sistemas de
logaritmos) resultarão de L pela multiplicação por uma constante conveniente.
Assim, temos a liberdade de escolher a definição da função L da maneira que nos
pareça mais natural, mais intuitiva
e
que nos permita dar as demonstrações mais
simples.
eorema
1 Dadas as
funções logarítmicas
M,L: p:-4
R, existe urna constante c>
0 tal que M x) = c.L x) para todo x> O.
Demonstração:
Suponhamos inicialmente que exista um número a > 1
tal que L(a) = M(a). Provaremos, neste caso, que L(x) = M(x) para todo x > O.
sendo L(a) M(a), então L(a
) = M(a
) para todo r racional.
Com efeito, Va
t
) = r.L(a) = r. M(a) = M(a
).
Suponhamos, por absurdo, que existe algum b> 0 tal que L(b) # M(b),
Seja L(b) < M(b) e
natural tão grande que n.[M(b) - L(b)] > L(a).
Então Va
) = L(a)/n < M(b) - L(b).
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23
Escrevamos c -= L(a l
l ).
Os números c 2c, 3c,... dividem
R
ntervalos
justapostos de mesmo comprimento c.
Como c < M (b) - L (b), pelo menos um desses números,
digamos
m.c
pertence
ao interior do intervalo
(L (b), M (b)), ou seja L (b) < m.c < M (b). Ora
m.c = m. L(a
l in r- en .
= M(a
m in
). Então
L(b) < L(a m i ) = M(
a
m) < M(b)
Como L
é
crescente a primeira das desigualdades acima implica que
b <
a
Por outro lado como M também é
crescente a segunda desigualdade implica que
a
m n
< b
Logo
b < am
m
e
< b,
que
é
uma
contradição.
Portanto não existe
L(b)* M(b)
e M(x) = L(x)
para todo x> O.
0
caso geral reduz-se ao caso particular acima. Dadas L
e
M, funções
logarítmicas
arbitrárias,
temos L 2) > 0
e
M 2) > 0 porque 2 > 1. Seja
c
M(2)/L(2) e
seja a
função logarítmica
N: —>
R definida por
N (x) = c.L (x).
Como
N (2) = c.L (2) = [ M (2) / L (2)
I.
L(2) = M(2), segue-se do que se provou
acima que
N(x) = M(x)
para todo x>
0, ou seja que
M(x) = c.L(x) para todo
x > 0,
como
queríamos
demonstrar.
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4
LOG RITMOS N TUR IS
Para falarmos de logaritmos naturais, primeiro faremos uma
exposição
a respeito da
área de uma
faixa
de hipérbole para depois
então
definirmos os
logaritmos naturais. A concepção
geométrica de uma
função
logarítmica é
uma
idéia antiga, com mais de
3 séculos
e meio de
existência.
Além de antiga ela
é
natural, intuitiva
e
instrutiva porque constitui uma excelente
introdução
ao
Cálculo
Integral.
Seja
H o
ramo positivo do
gráfico
da
função y = 1/x, isto 6,
H é
gráfico
da função
que associa a cada
número
real positivo
x o
número y = 1/x;
H é o
subconjunto do plano
constituído
pelos pontos da forma
( x, 1/x )
onde x> O. Em
simbolos:
H
= { (x, y );
x
0, y =1/x } .Geometricamente,
H é o
ramo da hipérbole
xy = 1
que
está
contido no primeiro quadrante, isto
6 um ponto
(x, y)
do plano pertence a
conjunto
H
se e
somente se,
x > 0
e
xy = 1.
)
Uma faixa
e hipérbole
é
obtida quando
fixamos dois
números
reais positivos
a e
com a
< b
e
tomamos a
região
do plano
limitada
pelas duas retas verticais
x a
e
x= b,
pelo eixo das abscissas
e pela
hipérbole
H b
24
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25
Portanto, a faixa H 2 é
formada pelos pontos x, y ) cujas coordenadas cumprem
simultaneamente as condições: a x 13
e Osy 1/x
Para calcular a área de uma faixa H decompomos
o intervalo
a, IA
num número finito de intervalos justapostos, por meio de pontos intermediários.
Com
base em cada um dos intervalos ti] da
decomposição, onde t
1-1 < ti)
consideramos
o retângulo
de altura igual a 1/ ti. 0 vértice superior direito desse
retângulo toca a hipérbole
H o que chamaremos um retângulo inscrito na faixa
11. A reunião desses
retângulos
inscritos constitui
o
que chamaremos um
polígono retangular inscrito na faixa A soma das áreas desses retângulos
A
) fornece um valor aproximado por falta para a área de HILL Assim, I AR
A H) como podemos ver na figura abaixo :
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6
Se em vez do
retângulo
inscrito com base [ti_1, t
], consideramos
o
trapézio secante, o
qual tem a mesma base, os dois lados verticais tendo
comprimento t1_1
e t,
respectivamente, de modo que dois dos seus vértices
toquem a hipérbole
H e
como a curva y =1/x tem a concavidade voltada para cima,
esse trapézio contém a faixa
l
em seu interior. A reunião dos trapézios
assim obtidos forma um
polígono
trapezoidal secante a faixa H t
a
e
a soma das
areas desse trapézios A
) da uma
aproximação
por excesso da area de I-1g .
Assim, podemos escrever: A I-1
) <
EA
T
Portanto :
EA
R
< A I-1
< E
T
Convém observar que, como os lados inclinados desses trapézios se
aproximam mais da hipérbole
H
do que as bases superiores dos
retângulos
inscritos, as aproximações obtidas deste modo são melhores do que as
encontradas através dos retângulos.
Exemplo: Seja a faixa KT . Se tomarmos a decomposição do intervalo [1,3] através
dos pontos intermediários 1, 3/2, 2, 5/2, 3, obteremos um polígono retangular cuja
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27
area é
igual à soma das areas dos quatro retângulos
abaixo
hachurados, ou seja:
E A R = )
2 rl x 1V1 x 21
1 1 = 1
1
1 + 1 = 57
=
0,95 < A H).
2 3
) )
3 4 5 6 60
0,95
é
uma primeira aproximação por falta para a area de
K T
Agora calcularemos
a area usando trapézios para obtermos uma
aproximação
por excesso
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8
1AT. i
2)
+
1
2 _4)
4 .
1 /1 ± 2)
+
1
r2
+
4
) 4 0 2) 4
) 4 ,5 3)
= ±x 1+++
1-H -1-+++
1\ 1,117 >A Hn.
4
3 2 2 5 5 3 60
Portanto: 0,95<
A H) <
1,1,117
Vale lembrar que com uma
divisão
mais fina do
intervalo
1
1, 3],
teremos uma
melhor aproximação para
A Fln.
Aproveitaremos
o
estudo do calculo
da area de uma faixa de uma
hipérbole
para darmos a
definição
de logaritmos naturais:
Seja
x
um
número
real positivo. Definiremos
o
logaritmo natural de
x como a area
da faixa .
Assim, por
definição:
Quando x>
1,
escrevendo In
x
para indicar
o logaritmo natural de
x
temos: In
x = Area Fe
i
>
0
Quando
0 < x < 1
temos: In
x = Area H)) <
Na figura abaixo, a area
hachurada
é
igual a In
x.
Em
particular,
quando x = 1, H
0 reduz-se a um segmento de reta, portanto tem
area igual a zero. Podemos
então
escrever
In 1= 0; n x > 0
se
x >1;
n
x < 0 .
se 0 < x <1.
Não esta
definido In
x quando x < 0.
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1 5 4 614
7 4 2 9 4 10 4 11 4 3
4 5\
4 6
4 7
2
4 9
4 10
4 H
3
9
Exemplo: Calculemos urn valor aproximado para In
2.
Subdividamos
o
intervalo
[1, 2]
em dez partes iguais
por meio dos pontos de
subdivisào.
1 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 2.
Os valores de
1/x quando x
assume os onze valores acima
são:
1 0,909 0,833 0,769 0,714 0,666 0,625 0,588 0,555 0,526 0,500.
Uma
aproximação
inferior para In
2 será
fornecida pela
área do
polígono
retangular inscrito na faixa
H?),
formado por
10 retângulos cujas
bases
medem
0 1
e cujas
alturas
são os dez
últimos
valores de 1/x
na lista acima.
A área
desse polígono
retangular
será
portanto igual a
0 6685.
Obtemos assim
0,6685
como um valor aproximado por falta) de In
2.
Para ter uma
aproximação
por excesso do valor In
2
consideraremos os
10
trapézios
circunscritos à faixa
H?) determinados pela mesma
subdivisão.
A soma
das dez áreas desses
trapézios será
igual a
0 6935.
Podemos
então afirmar que
In2
é
um
número
compreendido entre
0,6685
e 0,6935.
Ou seja:
0,6685 <
In
2 <0,6935
Exemplo:
Calculemos um valor aproximado para In
3 .Subdividamos o intervalo
[1 3]
em oito partes iguais, por meio dos pontos de
subdivisão.
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30
Uma aproximação inferior para o valor In
3
sera fornecida pela area do
poligono retangular inscrito na faixa
H?), formado por 8 retângulo. Para ter uma
aproximação
por excesso para
o
valor de In
3 ,
calcularemos a area do
polígono
trapezoidal formado pelos
8 trapézios que circunscreve a faixa H?)
determinados pela mesma
subdivisão.
EAR
= rixAVFÍAx4-)+Í-lxin+Íl
x±r\
L4 5) L4 6) L4 7) L4 8,
= 1 + + + + + 1 + 1 + 1 =
84.813
_ 1,0198
5 6 7 8 9 10 11 12 83.160
=
8
1
5 6 6 7 7 8 8 9 9 1 1 11 11 3
= 1 +0,8 + 0,8 + 0,666 + 0,666+ 0,571+ 0,571 + 0,5 + 0,5 + 0,444 + 0,444 + 0,4+
+ 0 , 3 6 3 + 0 , 3 6 3 + 0 , 3 3 3 ) =
= -1
x
0,5 + 0,8 + 0,666 + 0,571 + 0,5 + 0,444 + 0,4+ 0,363 + 0,166 )=
4
= 4,410
-1,1025.
4
Podemos
então
afirmar que In
3 é um número entre 1,0198 e 1,1025.
Em outros termos:
1,0198 <
In 3<
1 ,10 25
Comprovando que as
aproximações trapezoidais são
melhores do que as
retangulares pois
o valor de In
2, com algarismos decimais exatos
é
0,6931 e o
valor de In 3 ,
com
4
algarismos decimais exatos é
1,0986.
Abaixo apresentamos
o
gráfico da
função
y = n
x, 0,1 x 10
3
2
0
3
4
6
6 lb
1
-2
-3
± x cr +
l x
4141
x
4)
+
Li
x
,4 9, L4 10) L4 11) L4 3)
EAT =
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3
5.
0 NCIMERO e
Existe um
único número
real positivo cujo logaritmo natural é
igual a
1 .
Tal
número
(chamado constante de Euler) recebeu de Euler
o símbolo
e e foi
calculado por Euler com
23
casas decimais
Ele é
a base do sistema de
logaritmos naturais. Portanto, as
afirmações
In
x = 1 e x =
e são
equivalentes. Em simbolos,
temos: In
x =1 <=> x = e .
Geometricamente
temos :
A faixa (HT) tem
área
menor do que
1 ,
enquanto que (HO
tem área
maior do que
1 .
Ou seja In 2<
1
<In
3.
Concluímos dai que 2< e
<3,
ou seja,
que o número
está
compreendido entre
2
e 3.
Entre os sistemas de logaritmos,
o
de base
é
predominante.
0 número é
transcendental, na verdade mais que um
número a
começar
pela beleza de sua
definição tradicional
e =
um
n
Mais que um
número, já
que
não poderá ser jamais
expresso precisamente por:
E
um
número
finito de algarismos;
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32
LI como a raiz de uma
equação algébrica com coe
cientes inteiros;
El como uma dizima periódica.
Ele só
pode ser expresso, com
precisão,
como o limite de uma série
infinita
convergente ou de uma fração continua.
A mais simples
mais familiar das séries infinitas que
dão o
valor de 6:
e
1
3 4 5
9 10
Desta forma, seu valor
poderá
ser tão
aproximado quanto se queira,
adicionando-se outros termos da série. Até a décima casa decimal,
e
2,71828182845.
Uma olhada na tabela abaixo
mostrará
como uma série
convergente infinita se comporta, à
proporção
que são adicionados mais
mais
termos
1
1
1+-
1
1+-
+-+-
1
1+—+-+-
+—
1
.±+
1
1+—+-+-
+-
1
1+-
1
1+-+-+-+-
1 2 3 4
1+—
+—+-
1
5
5
5
+-
5
+-
5
+—
6
6
+-
6
+-
6
7
+-
7
+-
7
+-
8
+-
8
+—
9
=
2
= 2,5
=
2,6666666..
= 2,7083334...
= 2,7166666...
= 2,7180555...
= 2,7182539...
= 2,7182787...
= 2,7182818... , depois de mais alguns
termos,
e
aparece assim:
2,7182818284590452353602874...
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Além de servir de base para os logaritmos naturais,
é
um número
muito ON em toda a Matemática
e
nas ciências aplicadas. Nenhuma outra
constante matemática, nem mesmo Tr,
é
mais intimamente ligado aos problemas
humanos. Em Economia,
Estatística,
na Teoria das Probabilidades
e na função
exponencial,
tem auxiliado a fazer alguma coisa
e fazê-lo
melhor que qualquer
outro número descoberto até agora. Tem desempenhado um papel saliente em
auxiliar os matemáticos a descrever
e
greyer
o
que, para
o homem,
é o
mais
importante de todos os fenômenos naturais,
o
do crescimento. A
função
exponencial, y = e x
é o
instrumento usado, de uma ou outra forma, para
descrever
o
comportamento de tudo
o
que cresce. Para isso,
é singularmente
apropriada: é
única função
de
x
com uma taxa de
variação em
relação x
igual à
própria função
Devemos lembrar que uma
função
exceto a função
constante) é
uma tabela que dá a relação entre duas variáveis, onde uma variação
em uma delas corresponde a alguma variação na outra. 0 custo de uma
quantidade de carne
é uma
função
de seu peso; a velocidade de um trem
é
uma
função
da quantidade de carvão consumida; a quantidade da transpiração
é uma
função
da temperatura. Em cada uma dessas ilustrações, uma
mudança
na
segunda variável peso, carvão consumido, temperatura)
é correlacionada
com
uma alteração da primeira variável custo, velocidade, volume de transpiração).
simbolismo da Matemática permite que relações funcionais sejam simples
e
concisamente expressas. Assim, y = x, y = x
, y = sen x, y = cos x, y = ex
são exemplos de
funções.
Uma função não
é
apenas adequada para descrever
o
comportamento
de um projétil em sua trajetória, de um volume de gás sob
variações
de pressão,
de uma corrente elétrica em um fio, mas também de outros processos que
admitem variação, tais como
o crescimento de população,
o
crescimento de uma
árvore
o
desenvolvimento de uma ameba ou o
aumento de capital e
juros. 0 que
é
peculiar a cada processo orgânico é
que a razão de crescimento
é proporcional
ao estado de crescimento. Em condições ideais, quanto maior for a população de
um pais, tanto mais rapidamente crescerá. A variação de velocidade de muitas
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reações químicas
em geral, é
proporcional
à
concentração de substâncias
reagentes que estiverem presentes. A quantidade de calor transmitida por um
corpo aquecido ao meio ambiente é proporcional
a sua temperatura. A velocidade
com que a quantidade total de uma
substancia radioativa diminui a cada instante,
devido as
emanações, é proporcional à quantidade total existente no instante
considerado. Todos estes
fenômenos, que
são,
ou parecem ser processos
orgânicos,
podem ser precisamente descritos por uma forma de função
exponencial
das quais a mais simples
é
y =
e x .
Um universo em que faltassem
e e
T C
não seria inconcebível.
Dificilmente se pode imaginer que
o
sol deixasse de nascer ou as marés de fluir se
faltassem e e
T C Mas sem estes dois artefatos
matemáticos, o
que sabemos do
sol
e
das marés, na verdade toda a nossa capacidade de descrever todos os
fenômenos
naturais físicos,
biológicos, químicos
ou
estatísticos,
seria reduzido a
dimensões
primitivas.
Pelo fato de termos omitido no capitulo de funções,
apresentaremos
agora o
gráfico
das funções:
y =
e
y =
e x para
2 x 2
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35
6 APLICAÇÕES
Daremos aqui uma breve amostra de como os logaritmos,
especialmente os logaritmos naturais e
a
função e
surgem espontaneamente
em certas questões onde o
aumento ou a diminuição de uma grandeza se faz
proporcionalmente ao valor da grandeza num dado instante.
6.1.
Juros Continuos
Um capital c, empregado a uma taxa de
por cento ao ano,
apresentara no fim de um ano
o
montante
M =
c + ck,
fazendo
a
temos:
100
00
M =
c +
Ca
=C 1+
a)
Passados dois anos,
o
novo montante M =
c 1 +
a
empregado A mesma taxa,
será:
M2 =
o 14 a) +
C 1+ a)a=
= 1+a)X C+Ca) =
= 1+a)XC 1+
a) =
=C 1+ a
) 2
Assim passados 3 anos teremos um montante de :
M3 = C 1+
a )
2
+
C 1+
a
) 2
a=
= 1+a)
2
X C+
Ca ) =
= 1 + a)
2
X C 1+ a)
0 1+
a
)
3
Assim para
m
anos teremos M
= c 1+ a r.
Se tomarmos uma fração 1/n de ano,
o
capital c
empregado A mesma
taxa de juros, deverá render ac/n de juros, de modo que, decorrida a
fração 1/n
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de ano,
o
capital
transforma-se
em:
c
+ ca/n = c
(1 + a/n).
Empregando este novo capital
c/ e
esperando mais
1/n
de ano, temos
cl(1+a/n),
ou seja,
c (1 + a/n)2 .
Prosseguindo assim, vemos que, se dividirmos
o
ano em
n
partes iguais e, depois
de decorrido cada um desses
períodos
e
1/n
de ano, capitalizarmos os juros
rendidos, reinvestindo sucessivamente à mesma taxa,
quando
chegar o
fim do
ano, em vez de
c(1 +
a ,
obteremos um capital maior, ou seja, possuiremos
Um investidor exigente
desejará
que seus juros sejam capitalizados a
cada instante. Se isto ocorrer, no fim do ano ele
recebera,
em troca do
investimento
c o
total de Um
c 1+
mas:
n
4
lirrl C 1 ± =
n Ke
\ l
= lim c 1+ —
rice
a
\
a
lim c
n — >
.4
,
cea
Por exemplo,
o capital de R
1,00
empregado a juros continuos de
100%
ao ano, no final de um ano sera transformado em
e reais.
Se a taxa de juros
é
referida a anos
(k%
ao ano, a
= k/100), então
um capital
empregado a essa taxa
será
transformado, depois de
t
anos, em
n
at
hm c
1+ — =
e at
nco
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Exemplo: Empregando-se um capital
c
a juros continuos de
40
ao ano, em
quanto tempo este capital
será
triplicado?
temos:
40/100 = 0,4.
Devemos achar
t
para que:
ce
0 4 t
= 3c
ou seja
em
t = 3
dai 0,4t = In3, portanto: t =
—
n 3
1,0986/0,4 2,75
anos.
0,4
6.2. Desintegração
radioativa
Os
átomos de uma
substância
radioativa tendem a se desintegrarem
naturalmente emitindo
partículas e
transformando-se em outra
substancia não-
radioativa.
Com
o
passar do tempo, a quantidade de
substância
original diminui
e
a massa da nova
substância
aumenta. Isto é
feito de tal maneira que, num
determinado instante, a
quantidade
de matéria que se desintegra de um corpo
radioativo é proporcional
à massa da
substância
original presente no corpo
naquele instante. A constante de proporcionalidade
é
determinada
experimentalmente. Cada
substância radioativa
tem sua constante de
desintegração
a
Seja um corpo de massa
Mo,
desintegrando instantaneamente. Assim
no fim de cada segundo, sendo
M o a massa no tempo
t = 0,
decorrido
o
tempo
t = 1 segundo, haveria uma perda de
a M o
unidades de massa, restando apenas a
massa
M = M o - aM
o
= M 3 1 - a .
Decorridos 2 segundos, a massa restante seria
M 2 =M1 1
a
=M
0
- a )
2
Assim, decorridos s
segundos, restaria a massa M = M
0
1 -
Como a desintegração
se processa continuamente devemos encontrar
uma
aproximação
melhor para
o fenômeno. Então
fixemos um inteiro
n > 0 e
imaginemos que a
desintegração se dá
em cada intervalo de
1/n
de segundo.
Depois da primeira
fração 1/n
de segundo a massa do corpo a reduziria a
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Mo - —
j
kilo
M0
1 1-
2
Ui
)
Assim decorrido
1 segundo
teriam
ocorrido
n
desintegrações instantâneas
e
fetuadas as
reduções,
restaria do corpo a massa
M o
1- —
Dividindo o
n
intervalo
[0, 1]
em um
número
n
cada vez maior de partes iguais chegaremos a
conclusão
de que ao final de
segundo a massa do corpo
ficará
reduzida a
um
o — —
o t
= M0
e
n — > Q 0
Para calcular a massa ao fim de
t
segundos dividimos
o
intervalo
[0, t
em
partes iguais
Em cada intervalo parcial a perda de massa sera
Mo .at/n.
Repetindo
o
argumento acima chegaremos à
expressão M(t) = Mo e
a
l
a qual nos
fornecerá
a massa do corpo depois de decorridos
t segundos.
6.3.
método do carbono
14
0 carbono
14,
indicado por C
1 4 ,
é
um
isótopo
radioativo do carbono
que os seres vivos absorvem
e
perdem mas a taxa de
C 1 4 se
mantém
constante.
orém
quando
o
ser morre a
absorção
cessa mas
o C
1 4
nele existente continua a
desintegrar-se. Este fato pode ser usado para determinar a idade de um
fóssil ou
de um objeto muito antigo feito de madeira.
Para isto precisamos saber que a meia-vida do
C
6
de
5570
anos.
Se sabemos que um certo elemento radioativo tem meia-vida igual a to unidades
de tempo isto
signi
fica
que uma unidade de massa desse elemento se reduz
metade no tempo to. Assim
1/2 = e
-at °
Aplicando logaritmos temos:
In(1/2) = -at o
assim
-In 2 = -
ato, então
a
= 1n2/t0
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39
Isto nos mostra como calcular a taxa de desintegração a quando se conhece a
meia-vida to. Assim como, tem-se to
= In 2/a, o que permite determinar a meia-vida
to
em
função
da taxa -a.
Assim se a
meia-vida
do
C 1 4 6
de
5570
anos, sua taxa de
desintegração 6:
a -
1n2 0,6931 _
0,0001244.
5570 5570
Exemplo
Num castelo
inglês existe uma velha mesa redonda de madeira que
muitos afirmavam ser a famosa Távola Redonda do Rei Artur, soberano que viveu
no século V. Por meio de um contador Geiger instrumento que mede
radioatividade) constatou-se que a massa M = M(t)
de
C
4 hoje existente na mesa
é 0,894
vezes a massa
M o de
C 1 4 que existe num pedaço de madeira viva com o
mesmo peso da mesa. M o
é
também a massa de C
4
que existia na mesa quando
ela foi feita,
há t anos.
Sabemos que M =
M o e a t
donde M /M o = a r
a t
Isto significa que
0 894 = =e-
0 0001244t.
Portanto temos:
In (0,894)
1121
t=
901,12 anos
0,0001244 0,0001244
Se a mesa fosse mesmo a Távola Redonda, ela deveria ter mais de
1500
anos.
6.4.
Acústica
logaritmo
Dentre as
ciências a
acústica
é
mais uma beneficiada pelo advento do
logaritmo.
0
som apresenta
características
como: altura, intensidade
e
timbre.
Na
intensidade
que
é potência
de uma onda sonora por unidade de area
=
w
encontramos detalhes interessantes como a limitação
auditiva.
É necessário
que uma onda sonora tenha no
mínimo
uma intensidade de
= 12 limiar de audibilidade) e no
máximo
de w limiar da dor) para
m2
2
que
o tímpano
humano a perceba.
m
2
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40
O
nível sonoro
N)
representa a
comparação
entre a intensidade sonora
I) e o
limiar da audibilidade lo).
A sua unidade mais
prática é o decibel dB)
A grandeza
nível sonoro N)
obedece a uma escala
logarítmica, sendo
definida
por N = 1 log
I
6.5.
ogaritmos
e terremotos
A
força
de um terremoto
é
determinada por uma
função
logarítmica
que relaciona a amplitude das
ondas
sismológicas
com o
tempo.
Tal
função constitui
o
que hoje se conhece como escala Richter. A escala Richter
foi desenvolvida por Charles
F
Richter, em
1935, no
Instituto de Tecnologia da
California USA para comparar dados
e
efeitos de terremotos.
Ondas
sísmicas
são vibr ções provocadas por terremotos que
acontecem na Terra.
Sismógrafos são
aparelhos que gravam tais
vibrações
usando taws em ziguezague que mostram a
variação de amplitude dos
terremotos. A
duração, a
localização e a magnitude de cada terremoto podem ser
determinadas por estes aparelhos instalados em
estações sismológicas em todo o
mundo. A magnitude de um terremoto
é
determinada por uma
função logarítmica
da amplitude das ondas
sismológicas
gravadas em um
sismógrafo. Ajustes são
feitos para incluir dados como a
distância
entre a estação sismológica e o
epicentro do terremoto
ponto
d
superfície da erra localizado diretamente sobre
o
foco do terremoto
e o
intervalo entre duas ondas.
Richter usou a formula abaixo para determinar uma escala para medição
da
força
dos terremotos:
M = logio. A mm) + 3.
log
o [8 .At s)] -2,92
em que
M é
a magnitude do terremoto
o
que originou a tabela Richter).
A mm)
é
a amplitude
em milimetros)
do terremoto medida em um sismógrafo e
At é o
intervalo em
segundos) entre as ondas
S superficial) e
P
pressão máxima),
também medidas no
sismógrafo.
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AMPL ITUDE 3 nun
1 2
4 1
Abaixo temos a escala original de Richter para os dados de uma
estação sismográfica do sul da Califórnia.
Na escala temos:
At = 24s
A = 23 mm.
Usando a fórmula para determinar a magnitude:
M = logio 23
+3. logio 8 .24) -2,92 =
= 1,36 + 3.2,28 -2,92 = 5,28
A tabela abaixo relaciona a magnitude dos terremotos
e
seu efeito:
Magnitude Richter feitos
Menor que 3,5
Geralmente não sentido, mas gravado.
Entre 3,5 e 5 4
As vezes sentido, mas raramente causa danos.
N o
áximo
ausa
equenos
anos rédios
e m
Entre 5,5 e 6,0
construidos, mas pode danificar seriamente casas mal
construídas em
regiões próximas.
Entre 6 1 e 6,9
Pode ser destrutivo em areas em torno de até
00
quilômetros
do epicentro.
Entre 7,0 e 7,9
Grande terremoto, pode causar sérios danos numa grande
faixa de area.
8,0 ou mais
Enorme terremoto, pode causar grandes danos em muitas
areas mesmo que estejam a centenas de quilômetros.
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LIMA
Elon
Lages
Logaritmos
Rio de Janeiro
SBM 1991
BARRETO FILHO Benigno
SILVA Claudio Xavier da
Matemática
Aula por
Aula
São
Paulo
FTD 2000.
SANTOS Carlos Alberto
Marcondes
dos GENTIL Nelson GRECO
Sérgio
Emilio
Matemática
novo ensino médio Sao Paulo
Ática
2000
KASNER
Edward
NEWMAN James.
Matemática e Imaginação
São
Paulo
Zahar 1976.
MORETTI
Méricles Thadeu
Boletim de
Educação
Matemática
N° 3
Florianópolis
UFSC 1998.
BOYER Carl B História
da Matemática
Sao Paulo
Edgradd Blücher 1974
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erremoto mata mais de
mil na urquia
Um dos mais fortes terremotos das últimas décadas
atingiu a Turquia na madrugada de ontem causando a
morte de pelo menos 2 mil pessoas
e
ferindo
outras 10 mil,
segundo cálculos Milhares estão soterrados, que Ala nos
proteja disse
o primeiro-ministro, Bu
lent Ecevit, indicando
que
o número
de modes poderá aumentar. 0 tremor 7 8
graus na escala Richter, de acordo com
o
registro nos EUA,
foi sentido em várias cidades, entre elas Istambul, onde 20
edifícios
desabaram
e 150
pessoas morreram. Em pânico,
a população da capital turca, de 7,7 milhões de pessoas, foi
para as ruas. Cerca de 250 pequenos abalos se seguiram
ao primeiro e
mais intenso, que durou 45 segundos,
Numa base naval morreram cerca de 300 ma-
rinheiros Centenas de feridos aguardavam atendimento
nas
ruas. Pontes ruiram
e
fendas no asfalto dificultavam a
chegada de socorro. Boa parte do pais
cou sem agua
e
energia. Também
as comunicações foram cortadas. A
ONU, EUA, Alemanha, Franga
e
Italia ofereceram ajuda
Turquia.
Tremor atingiu 7,8 graus
da
escala Richter, milhares de
pessoas continuam soterradas
o
socorro
é
lento.
Extraido
de: 0
Estado de S.
Pau/o, 18 de agosto de 1999.
propósito
mostramos texto acima primeiro sem informações
matemáticas
para que fique aqui registrado um exemplo simples, mas que prova a
veracidade da frase
A matemática está no dia-a-dia de todos .
Fica então aqui
registrado que, além de ferramenta para outras ciências, jamais conseguiríamos
nos informar com precisão se não fosse essa maravilhosa ciência chamada
Matemática
43
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44
7 CONCLUSÃO
Este trabalho evidenciou parte da grande
importância
dos logaritmos
para os seres humanos bem como parte do seu valor em toda a
Matemática.
Portanto devemos procurar ser
responsáveis
ao ensinar tal
conteúdo
para que
seja bem entendido
e
seu valor percebido.
Ao pensarmos ou falarmos sobre
Matemática
devemos lembrar que o
assunto vai muito além de
números
e operações. Basta assistirmos aos jornais
que
não
falam de logaritmos mas quase a totalidade de suas reportagens
abrangem de maneira
explicita
o
uso efetivo das
informações matemáticas.
Pelo contexto
histórico dos logaritmos onde sua vantagem era
facilitar
simples operações fica claro a
evolução
dessa descoberta uma vez que sua
aplicação primeira hoje
é perfeitamente
substituida
pelas calculadoras mas as
vantagens que os logaritmos apresentam para as outras ciências jamais
serão
substituidas
por qualquer advento
eletrônico
de
cálculo.
A
experiência
adquirida nesse trabalho trouxe a satisfação
de ter
compreendido melhor os logaritmos e despertou o desejo de conhecer cada vez
mais a
relação d
Matemática com as outras ciências e em especial aquelas
relacionadas aos
logaritmos