1 I PEMROGRAMAN LINIER Sejak diperkenalkan di akhir dasawarsa 1960 pemrograman linier merupakan salah satu alat pengambil keputusan yang paling efektif. Keberhasilannya berakar dari keluwesannya dalam menjabarkan di mana kalangan pemakai teknik optimasi ini sukses dalam menggunakan hasil optimasi linier sebagai sebuah alat pengambil keputusan situasi kehidupan nyata di bidang-bidang berikut : militer, industri, pertanian, transportasi, ekonomi, kesehatan, keteknikan bahkan ilmu sosial dan perilaku (Taha,1996). Di samping itu, tersedianya program komputer yang sangat efisien untuk memecahkan masalah-masalah Linier Programing yang sangat luas, merupakan faktor penting dalam penyebaran penggunaan teknik optimasi ini (Lasdon,1998). Pemrograman linier adalah sebuah alat deterministik, yang berarti bahwa semua parameter model diasumsikan diketahui dengan pasti. Tetapi dalam kehidupan nyata jarang seseorang menghadapi masalah di mana terjadi kepastian yang sesungguhnya. Teknik LP mengkompensasikan “kekurangan” ini dengan memberikan analisis pasca optimum yang sistematis untuk memungkinkan pengambil keputusan yang bersangkutan menguji perubahan dalam berbagai parameter dari model tersebut. Pada intinya, teknik tambahan ini memberikan dimensi dinamis (Fauzi, 2002).
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
1
I PEMROGRAMAN LINIERSejak diperkenalkan di akhir dasawarsa 1960 pemrograman linier merupakansalah satu alat pengambil keputusan yang paling efektif. Keberhasilannyaberakar dari keluwesannya dalam menjabarkan di mana kalangan pemakaiteknik optimasi ini sukses dalam menggunakan hasil optimasi linier sebagaisebuah alat pengambil keputusan situasi kehidupan nyata di bidang-bidangberikut : militer, industri, pertanian, transportasi, ekonomi, kesehatan,keteknikan bahkan ilmu sosial dan perilaku (Taha,1996). Di samping itu,tersedianya program komputer yang sangat efisien untuk memecahkanmasalah-masalah Linier Programing yang sangat luas, merupakan faktorpenting dalam penyebaran penggunaan teknik optimasi ini (Lasdon,1998).Pemrograman linier adalah sebuah alat deterministik, yang berarti bahwa semuaparameter model diasumsikan diketahui dengan pasti. Tetapi dalam kehidupannyata jarang seseorang menghadapi masalah di mana terjadi kepastian yangsesungguhnya. Teknik LP mengkompensasikan “kekurangan” ini denganmemberikan analisis pasca optimum yang sistematis untuk memungkinkanpengambil keputusan yang bersangkutan menguji perubahan dalam berbagaiparameter dari model tersebut. Pada intinya, teknik tambahan ini memberikandimensi dinamis (Fauzi, 2002).
2
Pengembangan model matematis dapat dimulai denganmenjawab ketiga pertanyaan berikut ini :Apakah yang diusahakan untuk ditentukan oleh modeltersebut? Dengan kata lain, apakah variabel (yang tidakdiketahui) dari masalah tersebut?Apakah batasan (kendala) yang harus dikenakan atasvariabel untuk memenuhi batasan sistem modeltersebut?Apakah tujuan (sasaran) yang harus dicapai untukmenentukan pemecahanoptimum (terbaik) dari semua nilai yang layak darivariabel tersebut?Cara yang efektif untuk menjawab pertanyaan-pertanyaan ini adalah memberikan ringkasan untukmasalah yang bersangkutan. Dapat diaplikasikan padacontoh Pabrik Cat berikut
3
Linear Programing dengan Model Dua Variabel danPemecahannya
Contoh : Reddy Mikks company memiliki sebuah pabrik yangmenghasilkan cat, baik untuk eksterior maupun interior untukdidistribusikan kepada para grosir. Harga jual cat eksterior 3 unitharga, cat interior 2 unit harga. Permintaan cat interior max 1 tonlebih dari cat eksterior, produksi cat interior max 2 ton/hari.
Data :
Ton Bahan Mentah perTon Cat
Ketersediaan
Maksimum
(Ton)Eksterior Interior
BahanMentah A
1 2 6
BahanMentah B
2 1 8
4
Pengembangan Model Matematis
1 Variabel : Xe = jumlah ton cat eksterior yang diproduksi setiap hari
Xi = jumlah ton cat interior yang diproduksi setiap hari
2. Fungsi Tujuan (Objective Function) : Max Z = 3 Xe + 2 Xi
3. Batasan (Constraint) :
Xe + 2 Xi ≤ 6 (bahan mentah A)
2 Xe + Xi ≤ 8 (bahan mentah B)
Xi - Xe ≤ 1 (perbedaan max cat interior & eksterior)
Xi ≤ 2 (max cat interior)
5
1
2
3
4
5
61 2 3 4 50 6
1
2
3
4
5
7
6
8
A
F
B
C
DE
GH K
J
x I
xE
Ruangpemecahan
2xE + xI 8-xE + xI 1
xI 2xE 0
xI 0
xE + 2xI 6 1
2
3
4
5
6
Penyelesaian secara grafis
6
Membuat persamaan bentuk standard untuk penyelesaian secarasimplek
Max : Z = 3 Xe + 2 Xi +0 S1+ 0 S2 + 0 S3 + 0 S4
Dengan batasan : Xe + 2 Xi + S1 = 6
2 Xe + Xi + S2 = 8
- Xe + Xi + S3 = 1
Xi + S4 = 2
Xe, Xi, S1, S2, S3, S4 ≥ 0
7
Penyelesaian dengan cara simplek
Dasar Z Xe Xi S1 S2 S3 S4 Solution
Z 1 -3 -2 0 0 0 0 0 Persamaan Z
S1 0 1 2 1 0 0 0 6 Persamaan S1
S20
2 1 0 1 0 0 8 Persamaan S2
S3 0 -1 1 0 0 1 0 1 Persamaan S3
S4 0 0 1 0 0 0 1 2 Persamaan S4
8
Penyelesaian dengan cara simplek
Iterasi I ↓IN
Dasar Z Xe Xi S1 S2 S3 S4 Solution
Titik potong(Ratio)
Z 1 -3 -2 0 0 0 0 0 0/-3= 0
S1 0 1 2 1 0 0 0 6 6/1 = 6
←Out
S2 02( titikpivot)
1 0 1 0 0 88/2 = 4(terkecil)
S3 0 -1 1 0 0 1 0 1- 1 (tidakboleh negatif)
S4 0 0 1 0 0 0 1 2tidak boleh
dibagi 0
9
Dasar Z Xe Xi S1 S2 S3 S4 Solution Ratio
0/2 2/2 1/2 0/2 1/2 0/2 0/2 8/2
Pers.Pivot Xe 0 1 1/2 0 1/2 0 0 4 8/2 =4
10
Operasi Gauss-Jordan berikut menghasilkan tabel baru:
1. Persamaan pivot Xe baru = persamaan S2 lama : 2
2. Persamaan Z baru = persamaan Z lama - (-3) x pers pivot baru
3. Persamaan S1 baru= persamaan S1 lama - (1) x pers pivot baru
4. Persamaan S3 baru= persamaan S3 lama - (-1) x pers pivot baru
5. Persamaan S4 baru= persamaan S4 lama - (0) x pers pivot baru
11
Persamaan Z lama 1 -3 -2 0 0 0 0 0
-(-3) x Pers pivot baru 0 3 3/2 0 3/2 0 0 12
Persamaan Z baru 1 0 -1/2 0 3/2 0 0 12
Persamaan S1 lama 0 1 2 1 0 0 0 6
-1 x Pers pivot baru 0 -1 -1/2 0 -1/2 0 0 -4
Persamaan S1 baru 0 0 3/2 1 -1/2 0 0 2
Persamaan S3 lama 0 -1 1 0 0 1 0 1
-(-1) x Pers pivot baru 0 1 1/2 0 1/2 0 0 4
Persamaan S3 baru 0 0 3/2 0 1/2 1 0 5
Operasi Gauss-Jordan
12
13
I PEMROGRAMAN LINIERSejak diperkenalkan di akhir dasawarsa 1960 pemrograman linier merupakansalah satu alat pengambil keputusan yang paling efektif. Keberhasilannyaberakar dari keluwesannya dalam menjabarkan di mana kalangan pemakaiteknik optimasi ini sukses dalam menggunakan hasil optimasi linier sebagaisebuah alat pengambil keputusan situasi kehidupan nyata di bidang-bidangberikut : militer, industri, pertanian, transportasi, ekonomi, kesehatan,keteknikan bahkan ilmu sosial dan perilaku (Taha,1996). Di samping itu,tersedianya program komputer yang sangat efisien untuk memecahkanmasalah-masalah Linier Programing yang sangat luas, merupakan faktorpenting dalam penyebaran penggunaan teknik optimasi ini (Lasdon,1998).Pemrograman linier adalah sebuah alat deterministik, yang berarti bahwa semuaparameter model diasumsikan diketahui dengan pasti. Tetapi dalam kehidupannyata jarang seseorang menghadapi masalah di mana terjadi kepastian yangsesungguhnya. Teknik LP mengkompensasikan “kekurangan” ini denganmemberikan analisis pasca optimum yang sistematis untuk memungkinkanpengambil keputusan yang bersangkutan menguji perubahan dalam berbagaiparameter dari model tersebut. Pada intinya, teknik tambahan ini memberikandimensi dinamis (Fauzi, 2002).
14
Pengembangan model matematis dapat dimulai denganmenjawab ketiga pertanyaan berikut ini :Apakah yang diusahakan untuk ditentukan oleh modeltersebut? Dengan kata lain, apakah variabel (yang tidakdiketahui) dari masalah tersebut?Apakah batasan (kendala) yang harus dikenakan atasvariabel untuk memenuhi batasan sistem modeltersebut?Apakah tujuan (sasaran) yang harus dicapai untukmenentukan pemecahanoptimum (terbaik) dari semua nilai yang layak darivariabel tersebut?Cara yang efektif untuk menjawab pertanyaan-pertanyaan ini adalah memberikan ringkasan untukmasalah yang bersangkutan. Dapat diaplikasikan padacontoh Pabrik Cat berikut
15
Linear Programing dengan Model Dua Variabel danPemecahannya
Contoh : Reddy Mikks company memiliki sebuah pabrik yangmenghasilkan cat, baik untuk eksterior maupun interior untukdidistribusikan kepada para grosir. Harga jual cat eksterior 3 unitharga, cat interior 2 unit harga. Permintaan cat interior max 1 tonlebih dari cat eksterior, produksi cat interior max 2 ton/hari.
Data :
Ton Bahan Mentah perTon Cat
Ketersediaan
Maksimum
(Ton)Eksterior Interior
BahanMentah A
1 2 6
BahanMentah B
2 1 8
16
Pengembangan Model Matematis
1 Variabel : Xe = jumlah ton cat eksterior yang diproduksi setiap hari
Xi = jumlah ton cat interior yang diproduksi setiap hari
2. Fungsi Tujuan (Objective Function) : Max Z = 3 Xe + 2 Xi
3. Batasan (Constraint) :
Xe + 2 Xi ≤ 6 (bahan mentah A)
2 Xe + Xi ≤ 8 (bahan mentah B)
Xi - Xe ≤ 1 (perbedaan max cat interior & eksterior)
Xi ≤ 2 (max cat interior)
17
1
2
3
4
5
61 2 3 4 50 6
1
2
3
4
5
7
6
8
A
F
B
C
DE
GH K
J
x I
xE
Ruangpemecahan
2xE + xI 8-xE + xI 1
xI 2xE 0
xI 0
xE + 2xI 6 1
2
3
4
5
6
Penyelesaian secara grafis
18
Membuat persamaan bentuk standard untuk penyelesaian secarasimplek
Max : Z = 3 Xe + 2 Xi +0 S1+ 0 S2 + 0 S3 + 0 S4
Dengan batasan : Xe + 2 Xi + S1 = 6
2 Xe + Xi + S2 = 8
- Xe + Xi + S3 = 1
Xi + S4 = 2
Xe, Xi, S1, S2, S3, S4 ≥ 0
19
Penyelesaian dengan cara simplek
Dasar Z Xe Xi S1 S2 S3 S4 Solution
Z 1 -3 -2 0 0 0 0 0 Persamaan Z
S1 0 1 2 1 0 0 0 6 Persamaan S1
S20
2 1 0 1 0 0 8 Persamaan S2
S3 0 -1 1 0 0 1 0 1 Persamaan S3
S4 0 0 1 0 0 0 1 2 Persamaan S4
20
Penyelesaian dengan cara simplek
Iterasi I ↓IN
Dasar Z Xe Xi S1 S2 S3 S4 Solution
Titik potong(Ratio)
Z 1 -3 -2 0 0 0 0 0 0/-3= 0
S1 0 1 2 1 0 0 0 6 6/1 = 6
←Out
S2 02( titikpivot)
1 0 1 0 0 88/2 = 4(terkecil)
S3 0 -1 1 0 0 1 0 1- 1 (tidakboleh negatif)
S4 0 0 1 0 0 0 1 2tidak boleh
dibagi 0
21
Dasar Z Xe Xi S1 S2 S3 S4 Solution Ratio
0/2 2/2 1/2 0/2 1/2 0/2 0/2 8/2
Pers.Pivot Xe 0 1 1/2 0 1/2 0 0 4 8/2 =4
22
Operasi Gauss-Jordan berikut menghasilkan tabel baru:
1. Persamaan pivot Xe baru = persamaan S2 lama : 2
2. Persamaan Z baru = persamaan Z lama - (-3) x pers pivot baru
3. Persamaan S1 baru= persamaan S1 lama - (1) x pers pivot baru
4. Persamaan S3 baru= persamaan S3 lama - (-1) x pers pivot baru
5. Persamaan S4 baru= persamaan S4 lama - (0) x pers pivot baru
23
Persamaan Z lama 1 -3 -2 0 0 0 0 0
-(-3) x Pers pivot baru 0 3 3/2 0 3/2 0 0 12
Persamaan Z baru 1 0 -1/2 0 3/2 0 0 12
Persamaan S1 lama 0 1 2 1 0 0 0 6
-1 x Pers pivot baru 0 -1 -1/2 0 -1/2 0 0 -4
Persamaan S1 baru 0 0 3/2 1 -1/2 0 0 2
Persamaan S3 lama 0 -1 1 0 0 1 0 1
-(-1) x Pers pivot baru 0 1 1/2 0 1/2 0 0 4
Persamaan S3 baru 0 0 3/2 0 1/2 1 0 5
Operasi Gauss-Jordan
24
Penyelesaian dengan cara simplek
Iterasi 2↓IN
Dasar Z Xe Xi S1 S2 S3 S4 Solution Ratio
Z 1 0 -1/2 0 3/2 0 0 12
←Out S1 0 0 3/2 1 -1/2 0 0 2 2/3/2=4/3
Xe 0 1 1/2 0 1/2 0 0 4 4/(1/2)=8
S3 0 0 3/2 0 1/2 1 0 5 5/3/2=10/3
S4 0 0 1 0 0 0 1 2 2/1=2
25
Operasi Gauss-Jordan berikut menghasilkan tabel baru:
1. Persamaan pivot S1(Xi) baru = persamaan S1 lama : 3/2
2. Persamaan Z baru = persamaan Z lama - (-1/2) x pers pivot baru
3. Persamaan Xe baru= persamaan Xe lama - (1/2) x pers pivot baru
4. Persamaan S3 baru= persamaan S3 lama - (3/2) x pers pivot baru
5. Persamaan S4 baru= persamaan S4 lama - (1) x pers pivot baru
26
Iterasi 3
Dasar Z Xe Xi S1 S2 S3 S4 Solution
Z 1 0 0 1/3 4/3 0 0 12 ⅔
Xi 0 0 1 2/3 -1/3 0 0 4/3
Xe 0 1 0 -1/3 2/3 0 0 10/3
S3 0 0 0 -1 1 1 0 3
S4 0 0 0 - 2/3 1/3 0 1 2/3
Pemecahan ini optimal karena tidak ada kofisien negatif pada persamaan Z, dengan
besaran Xi = 4/3, Xe = 10/3 dan Z = 12 ⅔
27
Dalam model Reddy Mikks, semua batasan adalah berjenis . Sifat ini,
bersamaan dengan fakta bahwa sisi kanan dari semua batasan adalah non-
negatif, memberikan kita pemecahan dasar awal yang layak yang terdiri dari
semua variabel slack. Kondisi seperti ini tidak dipenuhi oleh semua model LP,
sehingga menimbulkan kebutuhan untuk merancang sebuah prosedur
perhitungan otomatis untuk memulai iterasi simpleks. Kita melakukan ini
dengan menambahkan variabel buatan (artificial variable) atau variabel
tambahan yang diperlukan untuk memainkan peran variabel slack. Tetapi,
karena variabel buatan seperti itu tidak memiliki makna fisik dalam model
semula (sehingga diberi nama “buatan”),
PEMECAHAN AWAL BUATAN UNTUK METODE SIMPLEKS PRIMAL
28
ketentuan harus dibuat untuk membuatnya menjadi nol di iterasi
optimum. Dengan kata lain, kita menggunakan variabel buatan
untuk memulai pemecahan, dan lalu meninggalkan mereka setelah
misi mereka terpenuhi. Kita mencapai hal ini dengan menggunakan
umpan balik informasi, yang akan membuat variabel ini tidak
menarik dari sudut pandang optimisasi. Satu cara yang logis untuk
mencapai tujuan ini adalah dengan mengenakan penalti pada
variabel buatan dalam fungsi tujuan. Dua metode (yang berkaitan
erat) yang didasari oleh penggunaan penalti tersedia untuk maksud
ini (1) metode M atau metode penalti dan (2) metode dua tahap.
Perincian tentang kedua prosedur ini diberikan berikut ini.
29
Teknik M (Metode Penalti)
Kita menjabarkan metode ini dengan menggunakan contoh numerikberikut ini:
Minimumkan z = 4x1 + x2Dengan batasan3x1 + x2 = 34x1 + 3x2 6x1 + 2x2 4x1, x2 0Bentuk standar dari model ini menjadiMinimumkan z = 4x1 + x23x1 + x2 = 34x1 + 3x2 – x3 = 6x1 + 2x2 + x4 = 4x1, x2, x3, x4 0
30
Persamaan pertama dan kedua tidak memiliki variabelyang memainkan peran sebagai variabel slack. Jadi kitamenambahkan dua variabel buatan R1 dan R2 dalamkedua persamaan ini sebagai berikut:
3x1 + x2 + R1 = 3
4x1 + 3x2 – x3 + R2 = 6
Kita dapat mengenakan penalti pada R1 dan R2 dalamfungsi tujuan dengan memberikan koefisien positif yangsangat besar dalam fungsi tujuan. Anggaplah M > 0merupakan sebuah konstanta yang sangat besar, jadiLP dengan variabel buatan ini menjadi
31
Minimumkan z = 4x1 + x2 + MR1 + MR2
Dengan batasan
3x1 + x2 + R1 = 3
4x1 + 3x2 – x3 + R2 = 6
x1 + 2x2 + x4 = 4
x1, x2, x3,R1, R2, x4 0
Perhatikan alasan di balik penggunaan variabel buatan. Kita memilikitiga persamaan dan enam variabel yang tidak diketahui. Jadipemecahan dasar awal harus mencakup 6 – 3 = 3 variabel nol. Jikakita menempatkan x1, x2, dan x3 di tingkat nol, kita dengan segeramemperoleh pemecahan R1 = 3, R2 = 6 dan x4 = 4, yang merupakanpemecahan awal yang layak, yang diperlukan.
32
Sekarang, amati bagaimana model “baru” ini secara otomatis memaksa R1
dan R2 untuk menjadi nol. Karena kita melakukan minimasi, dengan
memberikan M dan R1 dan R2 dalam fungsi tujuan, proses optimasi yang
mengusahakan nilai minimum dari z pada akhirnya akan memberikan nilai
nol pada R1 dan R2 dalam pemecahan optimum. Perhatikan bahwa iterasi-
iterasi sebelum iterasi optimum adalah tidak penting bagi kita. Akibatnya,
tidak menjadi masalah apakah iterasi tersebut mencakup variabel buatan di
tingkat positif. Bagaimana teknik M berubah jika kita melakukan maksimasi
dan bukan minimasi? Dengan menggunakan logika yang sama dengan
mengenakan penalti pada variabel buatan, kita harus memberikan koefisien
–M dalam fungsi tujuan (M > 0), sehingga membuatnya tidak menarik untuk
mempertahankan variabel buatan di tingkat positif dalam pemecahan
optimum.
33
Setelah mengembangkan pemecahan awalyang layak, kita harus “mengkondisikan”masalah tersebut sehingga ketikamenempatkannya dalam bentuk tabel, kolomsisi kanan akan memberikan pemecahan awalsecara langsung. Ini dilakukan denganmenggunakan persamaan batasan untukmensubstitusi keluar R1 dan R2 dalam fungsitujuan. Jadi
dan persamaan z tersebut sekarang terlihat dalam tabelseperti
z = (4-7M)x1 - (1- 4M)x2 – Mx3 + 9M
Sekarang anda melihat bahwa di pemecahan awal, dengandiketahui
x1 = x2 = x3 = 0, nilai z adalah 9M, seperti seharusnyaketika R1 = 3 dan R2 = 6.
Urutan tabel yang mengarah pada pemecahan optimumdiperlihatkan dalam tabel 1. Amati bahwa ini adalahmasalah minimisasi sehingga variabel masuk harusmemiliki koefisien yang paling positif dalam persamaan z.
35
Pemecahan optimum dicapai ketika semuavariabel nondasar memiliki koefisien z yangnonpositif. (Ingat bahwa M adalah konstantapositif yang sangat besar).
Pemecahan optimum adalah x1 = 2/5, x2 = 9/5,dan z = 17/5. Karena pemecahan ini tidakmemiliki variabel buatan di tingkat positif,pemecahan ini layak dalam kaitannya denganmasalah semula sebelum variabel buatanditambahkan. (Jika masalah ini tidak memilikipemecahan yang layak, setidaknya satu variabelbuatan akan positif dalam pemecahan yangoptimum. Kasus ini dibahas dalam bagianberikutnya).
36
Iterasi Dasar x1 x2 x3 R1 R2 x4 Pemecahan
z - 4 + 7M - 1 + 4M - M 0 0 0 9M0(awal)
x1 masukR1 keluar
R1
R2
R3
341
132
0-10
100
010
001
364
z 0 1 + 5M3
- M 4 - 7M3
0 0 4 + 2M1
x2 masukR2 keluar
x1
R2
x4
100
1/35/35/3
0-10
1/3- 4/3- 1/3
010
001
123
z 0 0 1/5 8/5 - M -1/5 - M 0 18/52
x3 masukx4 keluar
x1
x2
x4
100
010
1/5-3/5
1
3/5-4/5
1
-1/53/5-1
001
3/56/51
z 0 0 0 7/5 - M - M -1/5 17/53
(optimum)x1
x2
x3
100
010
001
2/5-1/5
1
00-1
-1/53/51
2/59/51
Tabel 1
Kolom z telah dihapus untuk memudahkan, karena kolom tidak pernah berubah. Kitaakan mengikuti konvensi diseluruh teori ini.
37
Latihan 1
a) Tuliskan persamaan z untuk contoh di atas sebagaimana tampil dalam tabelketika masing-masing dari perubahan ini terjadi secara independen.
1)Batasan ketiga pada awalnya berjenis .
[Jawab. z + (-4 + 8M) x1 + (-1 + 6 M) x2 – Mx3 – Mx4 = 13M.Gunakan variabel buatan dalam ketiga persamaan.]
2)Batasan kedua pada awalnya berjenis
[Jawab. z + (-4 + 3M) x1 + (-1 + M) x2 = 3M. Gunakan variabelbuatan hanya dalam persamaan pertama.]
3)Fungsi tujuan adalah memaksimumkan z = 4 x1 + x2
[Jawab. z + (-4 - 7M) x1 + (-1 - 4M) x2 + M x3 = 3M. Gunakanvariabel buatan hanya dalam persamaan pertama dan kedua.]
b) Dalam masing-masing kasus di bawah ini, tunjukkan apakah sepenuhnyadiperlukan untuk menggunakan variabel buatan untuk memperolehpemecahan awal. Asumsikan bahwa semua variabel adalah nonnegatif.
(1) Maksimumkan z = x1 + x2
dengan batasan
38
7x1 + 2x2 6
3x1 + 3x2 = 5
[Jawab. Ya, gunakan R1 dalam persamaan pertama danvariabel slack dalam persamaan kedua.]
(2) Minimumkan z = x1 + x2 + x3 + x4Kendala
2 x1 + x2+ x3 = 7
4 x3 + 3x2 + x4 = 8
[Jawab. Tidak, gunakan x3 dan x4; tetapi, pertama-tamasubstitusikan keduanya keluar dalam fungsi z denganmenggunakan x3 = 7 - 2x1 – x2 dan x4 = 8 - 4 x1 - R2.]
39
Latihan KomputerRancangan metode M didasari oleh persyaratan bahwa
nilai M harus cukup besar. Secara teoritis, M cenderungtak terhingga. Tetapi, dari sudut pandang perhitungan,pilihan M yang spesifik dapat memiliki pengaruhdramatis terhadap hasil, karena kesalahan pembulatanoleh komputer. Untuk mengilustrasikan hal ini,pertimbangkan masalah berikut ini:maksimumkan z = 0,2 x1 + 0,5 x2
dengan batasan3 x1 +2 x2 6x1 + 2 x2 4x1, x2 0
40
Dengan menggunakan prosedur "user-guided" dari SOLVER, terapkan
metode simpleks primal dengan menggunakan M = 10 dan lalu ulangi
metode tersebut dengan menggunakan M = 999.999. M pertama
menghasilkan pemecahan yang tepat z = 0,95, x1 = 1, x2 = 1,5,
sementara M kedua memberikan pemecahan yang tidak tepat z = 1,18,
x1 = 4, x2 = 0 (perhatikan inkonsistensi dalam nilai z yang dihasilkan).
Sekarang, kalikan koefisien dalam fungsi tujuan dengan 100 sehingga
menjadi z = 200 x1 + 500 x2 dan pecahkan masalah ini dengan
menggunakan M = 10 dan M = 999.999 serta amati bahwa nilai kedua
adalah nilai yang menghasilkan pemecahan yang tepat. Latihan ini
memperlihatkan bahwa nilai M harus dipilih secara relatif terhadap