Approccio modellistico Applicazioni economico gestionali Programmazione Matematica IL problema di assegnamento Management Sanitario per il corso di Laurea Magistrale SCIENZE RIABILITATIVE DELLE PROFESSIONI SANITARIE Modulo di Ricerca Operativa 2 a lezione: un problema di assegnamento Prof. Laura Palagi http://www.dis.uniroma1.it/∼palagi Dipartimento di Ingegneria informatica automatica e gestionale A. Ruberti Sapienza Universit ` a di Roma Via Ariosto 25 2 a lezione modulo RO L. Palagi
49
Embed
Management Sanitario per il corso di Laurea Magistrale ...palagi/didattica/sites/default/files/slide_2a... · Approccio modellisticoApplicazioni economico gestionali Programmazione
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Approccio modellistico Applicazioni economico gestionali Programmazione Matematica IL problema di assegnamento
Management Sanitarioper il corso di Laurea Magistrale SCIENZE RIABILITATIVE DELLE PROFESSIONI SANITARIE
Modulo di Ricerca Operativa2a lezione: un problema di assegnamento
Prof. Laura Palagihttp://www.dis.uniroma1.it/∼palagi
Dipartimento di Ingegneria informatica automatica e gestionale A. RubertiSapienza Universita di Roma
Via Ariosto 25
2a lezione modulo RO L. Palagi
Approccio modellistico Applicazioni economico gestionali Programmazione Matematica IL problema di assegnamento
Cosa e un modello
Il termine modello e usato per definire ”una rappresentazione diun oggetto o di un fenomeno, che corrisponde alla cosamodellata per il fatto di riprodurne alcune caratteristiche ocomportamenti fondamentali” (wikipedia), di solito usato perevidenziare proprieta specifiche di oggetti reali.
I modelli concreti: ad esempio i prototipi (di aerei oautomobili),
I modelli matematici costruiti usando il linguaggio e glistrumenti della matematica.
2a lezione modulo RO L. Palagi
Approccio modellistico Applicazioni economico gestionali Programmazione Matematica IL problema di assegnamento
Cosa e un modello
Il termine modello e usato per definire ”una rappresentazione diun oggetto o di un fenomeno, che corrisponde alla cosamodellata per il fatto di riprodurne alcune caratteristiche ocomportamenti fondamentali” (wikipedia), di solito usato perevidenziare proprieta specifiche di oggetti reali.
I modelli concreti: ad esempio i prototipi (di aerei oautomobili),
I modelli matematici costruiti usando il linguaggio e glistrumenti della matematica.
2a lezione modulo RO L. Palagi
Approccio modellistico Applicazioni economico gestionali Programmazione Matematica IL problema di assegnamento
In alcuni casi le situazioni in esame sono talmente complesse ele dimensioni talmente elevate da rendere difficile o troppocostoso l’uso di modelli analitici.
I modello di simulazione utilizzo di un calcolatore percostruire un modello che permetta di replicare lecaratteristiche del problema reale in esame.
Questi modelli hanno la differenza fondamentale rispetto aimodelli analitici di utilizzare il calcolatore non solo comestrumento di calcolo, ma anche come strumento perrappresentare le realta.
Non li tratteremo in questo corso.
2a lezione modulo RO L. Palagi
Approccio modellistico Applicazioni economico gestionali Programmazione Matematica IL problema di assegnamento
I modelli matematiciRappresentano la realta attraverso variabili e relazioni logico -matematiche e descrivono in modo semplificato, ma rigoroso, ifenomeni del mondo reale che si vogliono considerare.
Perche un modello matematico ?
I obbligo ad un analisi per cogliere gli aspetti essenziali esignificativi di un problema
I possibilita effettuare un’analisi di tipo What if...? e quindi divalutare fuori linea leffetto delle scelte
I possibilita di individuare la miglior soluzione anche quandole possibili scelte sono molte
2a lezione modulo RO L. Palagi
Approccio modellistico Applicazioni economico gestionali Programmazione Matematica IL problema di assegnamento
Alcuni esempi applicativi economico gestionaliI pianificazione della produzione: determinare i livelli di
produzione e/o lutilizzazione di risorse; ad es. allocazioneottima di risorse = distribuzione di risorse limitate traalternative concorrenti in modo da minimizzare il costo omassimizzare il guadagno
1. allocazione di ”letti” ai reparti per specializzazione
I gestione ottima delle scorte: decidere quando e quanto,durante un processo produttivo, si devono immagazzinareprodotti in modo da rispettare le consegne minimizzando icosti.
1. gestione dell’acquisizione di farmaci ospedalieriI project planning: decidere come gestire le risorse e come
sequenziare le molteplici attivita di un progetto.1. programmazione delle sale chirurgiche
2a lezione modulo RO L. Palagi
Approccio modellistico Applicazioni economico gestionali Programmazione Matematica IL problema di assegnamento
Alcuni esempi applicativi economico gestionaliI pianificazione della produzione: determinare i livelli di
produzione e/o lutilizzazione di risorse; ad es. allocazioneottima di risorse = distribuzione di risorse limitate traalternative concorrenti in modo da minimizzare il costo omassimizzare il guadagno
1. allocazione di ”letti” ai reparti per specializzazioneI gestione ottima delle scorte: decidere quando e quanto,
durante un processo produttivo, si devono immagazzinareprodotti in modo da rispettare le consegne minimizzando icosti.
1. gestione dell’acquisizione di farmaci ospedalieri
I project planning: decidere come gestire le risorse e comesequenziare le molteplici attivita di un progetto.
1. programmazione delle sale chirurgiche
2a lezione modulo RO L. Palagi
Approccio modellistico Applicazioni economico gestionali Programmazione Matematica IL problema di assegnamento
Alcuni esempi applicativi economico gestionaliI pianificazione della produzione: determinare i livelli di
produzione e/o lutilizzazione di risorse; ad es. allocazioneottima di risorse = distribuzione di risorse limitate traalternative concorrenti in modo da minimizzare il costo omassimizzare il guadagno
1. allocazione di ”letti” ai reparti per specializzazioneI gestione ottima delle scorte: decidere quando e quanto,
durante un processo produttivo, si devono immagazzinareprodotti in modo da rispettare le consegne minimizzando icosti.
1. gestione dell’acquisizione di farmaci ospedalieriI project planning: decidere come gestire le risorse e come
sequenziare le molteplici attivita di un progetto.1. programmazione delle sale chirurgiche
2a lezione modulo RO L. Palagi
Approccio modellistico Applicazioni economico gestionali Programmazione Matematica IL problema di assegnamento
I progettazione di reti e loro gestione: definire i collegamentie dimensionare le capacita di una rete stradale, ditelecomunicazione, di trasmissione dati, di circuiti, in mododa garantire il traffico tra le varie origini e destinazioni eminimizzare il costo complessivo;
1. Nurse path
I determinazione dei turni del personale: coprire una seriedi servizi rispettando i vincoli di contratto aziendale eminimizzando i costi
I manutenzione di beni: decidere quando e se effettuare lamanutenzione di alcuni oggetti soggetti ad usura, in mododa minimizzare il costo complessivo.
2a lezione modulo RO L. Palagi
Approccio modellistico Applicazioni economico gestionali Programmazione Matematica IL problema di assegnamento
I progettazione di reti e loro gestione: definire i collegamentie dimensionare le capacita di una rete stradale, ditelecomunicazione, di trasmissione dati, di circuiti, in mododa garantire il traffico tra le varie origini e destinazioni eminimizzare il costo complessivo;
1. Nurse pathI determinazione dei turni del personale: coprire una serie
di servizi rispettando i vincoli di contratto aziendale eminimizzando i costi
I manutenzione di beni: decidere quando e se effettuare lamanutenzione di alcuni oggetti soggetti ad usura, in mododa minimizzare il costo complessivo.
2a lezione modulo RO L. Palagi
Approccio modellistico Applicazioni economico gestionali Programmazione Matematica IL problema di assegnamento
I progettazione di reti e loro gestione: definire i collegamentie dimensionare le capacita di una rete stradale, ditelecomunicazione, di trasmissione dati, di circuiti, in mododa garantire il traffico tra le varie origini e destinazioni eminimizzare il costo complessivo;
1. Nurse pathI determinazione dei turni del personale: coprire una serie
di servizi rispettando i vincoli di contratto aziendale eminimizzando i costi
I manutenzione di beni: decidere quando e se effettuare lamanutenzione di alcuni oggetti soggetti ad usura, in mododa minimizzare il costo complessivo.
2a lezione modulo RO L. Palagi
Approccio modellistico Applicazioni economico gestionali Programmazione Matematica IL problema di assegnamento
I instradamento di veicoli: decidere quali percorsi devonoseguire i veicoli di un flotta (ad esempio di automezziadibiti alla raccolta dei rifiuti o alla distribuzioni di prodottiad una rete di negozi) in modo da minimizzare la distanzacomplessiva percorsa;
1. trasporti sanitari: la definizione dei percorsi degli automezziche prelevano i pazienti che devono subire dei trattamentimedici
I Misura di efficienza di unita operative:1. Reparti ospedalieri
I localizzazione e dimensionamento di impianti: decideredove installare impianti di produzione in modo da rifornirein modo ottimale aree distribuite su un territorio
2a lezione modulo RO L. Palagi
Approccio modellistico Applicazioni economico gestionali Programmazione Matematica IL problema di assegnamento
I instradamento di veicoli: decidere quali percorsi devonoseguire i veicoli di un flotta (ad esempio di automezziadibiti alla raccolta dei rifiuti o alla distribuzioni di prodottiad una rete di negozi) in modo da minimizzare la distanzacomplessiva percorsa;
1. trasporti sanitari: la definizione dei percorsi degli automezziche prelevano i pazienti che devono subire dei trattamentimedici
I Misura di efficienza di unita operative:1. Reparti ospedalieri
I localizzazione e dimensionamento di impianti: decideredove installare impianti di produzione in modo da rifornirein modo ottimale aree distribuite su un territorio
2a lezione modulo RO L. Palagi
Approccio modellistico Applicazioni economico gestionali Programmazione Matematica IL problema di assegnamento
I instradamento di veicoli: decidere quali percorsi devonoseguire i veicoli di un flotta (ad esempio di automezziadibiti alla raccolta dei rifiuti o alla distribuzioni di prodottiad una rete di negozi) in modo da minimizzare la distanzacomplessiva percorsa;
1. trasporti sanitari: la definizione dei percorsi degli automezziche prelevano i pazienti che devono subire dei trattamentimedici
I Misura di efficienza di unita operative:1. Reparti ospedalieri
I localizzazione e dimensionamento di impianti: decideredove installare impianti di produzione in modo da rifornirein modo ottimale aree distribuite su un territorio
2a lezione modulo RO L. Palagi
Approccio modellistico Applicazioni economico gestionali Programmazione Matematica IL problema di assegnamento
I Problemi di economia e finanza scelta di investimenti:scegliere fra un vasto numero di possibilita di investimentorispettando i vincoli imposti da un budget finanziario emassimizzando il guadagno;
I composizione di un portafoglio: decidere quali titoli e conquali quote investire capitali in modo da massimizzare ilricavo o minimizzare il rischio;
I Problemi di revenue management (lett. ”Gestione delritorno economico”)
1. in una azienda caratterizzata da varieta di servizi e diprezzi, domanda variabile nel tempo, stabilire quanti e qualiservizi vendere avendo incertezza sulla domanda futura,allo scopo di massimizzare il profitto globale.
2. compagnie di trasporto aereo, ferroviario, marittimo, catenealberghiere e di noleggio auto.
2a lezione modulo RO L. Palagi
Approccio modellistico Applicazioni economico gestionali Programmazione Matematica IL problema di assegnamento
I Problemi di economia e finanza scelta di investimenti:scegliere fra un vasto numero di possibilita di investimentorispettando i vincoli imposti da un budget finanziario emassimizzando il guadagno;
I composizione di un portafoglio: decidere quali titoli e conquali quote investire capitali in modo da massimizzare ilricavo o minimizzare il rischio;
I Problemi di revenue management (lett. ”Gestione delritorno economico”)
1. in una azienda caratterizzata da varieta di servizi e diprezzi, domanda variabile nel tempo, stabilire quanti e qualiservizi vendere avendo incertezza sulla domanda futura,allo scopo di massimizzare il profitto globale.
2. compagnie di trasporto aereo, ferroviario, marittimo, catenealberghiere e di noleggio auto.
2a lezione modulo RO L. Palagi
Approccio modellistico Applicazioni economico gestionali Programmazione Matematica IL problema di assegnamento
I Problemi di economia e finanza scelta di investimenti:scegliere fra un vasto numero di possibilita di investimentorispettando i vincoli imposti da un budget finanziario emassimizzando il guadagno;
I composizione di un portafoglio: decidere quali titoli e conquali quote investire capitali in modo da massimizzare ilricavo o minimizzare il rischio;
I Problemi di revenue management (lett. ”Gestione delritorno economico”)
1. in una azienda caratterizzata da varieta di servizi e diprezzi, domanda variabile nel tempo, stabilire quanti e qualiservizi vendere avendo incertezza sulla domanda futura,allo scopo di massimizzare il profitto globale.
2. compagnie di trasporto aereo, ferroviario, marittimo, catenealberghiere e di noleggio auto.
2a lezione modulo RO L. Palagi
Approccio modellistico Applicazioni economico gestionali Programmazione Matematica IL problema di assegnamento
Programmazione MatematicaIn questo corso tratteremo problemi di ProgrammazioneMatematica.
In questo contesto il termine “programmazione” non deveessere inteso nel senso di di costruzione di programmi per ilcalcolatore, seppur il calcolatore elettronico sia uno strumentoindispensabile per risolvere problemi di ProgrammazioneMatematica.I problemi di Programmazione Matematica rappresentanoproblemi decisionali con
I un solo decisore,I un solo obiettivo che rappresenta il criterio di scelta tra le
diverse alternativeI deterministici, ovvero i dati si considerano ”cert” non affetti
da stocasticit.
2a lezione modulo RO L. Palagi
Approccio modellistico Applicazioni economico gestionali Programmazione Matematica IL problema di assegnamento
Programmazione MatematicaIn questo corso tratteremo problemi di ProgrammazioneMatematica.
In questo contesto il termine “programmazione” non deveessere inteso nel senso di di costruzione di programmi per ilcalcolatore, seppur il calcolatore elettronico sia uno strumentoindispensabile per risolvere problemi di ProgrammazioneMatematica.
I problemi di Programmazione Matematica rappresentanoproblemi decisionali con
I un solo decisore,I un solo obiettivo che rappresenta il criterio di scelta tra le
diverse alternativeI deterministici, ovvero i dati si considerano ”cert” non affetti
da stocasticit.
2a lezione modulo RO L. Palagi
Approccio modellistico Applicazioni economico gestionali Programmazione Matematica IL problema di assegnamento
Programmazione MatematicaIn questo corso tratteremo problemi di ProgrammazioneMatematica.
In questo contesto il termine “programmazione” non deveessere inteso nel senso di di costruzione di programmi per ilcalcolatore, seppur il calcolatore elettronico sia uno strumentoindispensabile per risolvere problemi di ProgrammazioneMatematica.I problemi di Programmazione Matematica rappresentanoproblemi decisionali con
I un solo decisore,I un solo obiettivo che rappresenta il criterio di scelta tra le
diverse alternativeI deterministici, ovvero i dati si considerano ”cert” non affetti
da stocasticit.2a lezione modulo RO L. Palagi
Approccio modellistico Applicazioni economico gestionali Programmazione Matematica IL problema di assegnamento
Altre classi di problemi
Si tratta ovviamente di ipotesi siemplficative, ma checonsentono di modellare molte situazioni di interesse incontesto di management sanitario. Possibili estensioni sono:
I i problemi con piu decisori (in ”competizione”) che sonooggetto di studio nella Teoria dei Giochi;
I Problemi con piu obiettivi (in conflitto) che rientrano nell’Ottimizzazione a molti obiettivi;
I i problemi di ottimo in cui i dati sono soggetti da incertezzecaratterizzabili in modo probabilistico che rientrano nellaProgrammazione Stocastica.
2a lezione modulo RO L. Palagi
Approccio modellistico Applicazioni economico gestionali Programmazione Matematica IL problema di assegnamento
Programmazione matematicaSono modelli con una struttura di questo tipo
in cui obiettivo rappresenta il crierio di scelta individuato erestrizione-1, ....,restrizione-m rappresentano lelimitazioni alle scelte. Si tratta di relazioni matematiche chelegano i parametri del problema con le possibili sceltedecisionali.La parola Ottimizza sta a indicare che si vuole individuare lascelta che consente di ottenere il miglior valore dell’obiettivo.
2a lezione modulo RO L. Palagi
Approccio modellistico Applicazioni economico gestionali Programmazione Matematica IL problema di assegnamento
Programmazione matematicaPer introdurre una simbologia matematica, le possibili scelte,leve decisionali sono spesso indicate con la lettera x el’obiettivo e le restrizioni sono funzioni matematiche chedipendono da x . La funzione obiettivo e spesso indicata con f(o f (x) per indicare la dipendenza dalle variabili decisionali).Inoltre la parola ottimizzare puo essere declinata comemassimizzare, se il criterio di scelta rappresenta un ”vantaggio”(ed es. profitto) oppure minimizzare, se il criterio rappresentauno ”svantaggio” (ad es. un costo). Le restrizioni sonoespresse in forma di uguaglianza o disuguaglianze.
Una volta ottenuto un modello matematico, la RO si dedica alladefinizione di metodi matematici efficienti (algoritmi disoluzione) per determinare una soluzione.
2a lezione modulo RO L. Palagi
Approccio modellistico Applicazioni economico gestionali Programmazione Matematica IL problema di assegnamento
Ma algoritmo che vuol dire ?
Un insieme di istruzioni elementari che eseguite (sucalcolatore) consentono di determinare la soluzione di unproblema in un tempo finito
La scelta dell’algortimo da utilizzare dipende dal tipo diproblema che necessario risolvere.
Il piu famoso nella RO e il metodo del simplesso che consentedi determinare la soluzione ottima di una classe particolare diproblemi di programmazione matematica (problema diprogrammazione lineare).
2a lezione modulo RO L. Palagi
Approccio modellistico Applicazioni economico gestionali Programmazione Matematica IL problema di assegnamento
Approccio modellistico ai problemi di decisioneI Descrizione e Analisi del problema
I individuare i parametri di controllo, i legami logico-funzionali e gli obiettivi
I Costruzione del modello
I descrizione formalizzata del problema: individuazione di una corrispondenza tra relazioni del
mondo reale (relazioni tecnologiche, leggi fisiche, vincoli di mercato, etc.) e relazioni matematiche
I ciascun dipendente deve essere assegnato ad un solaattivita ;
I ciascuna attivita deve essere svolta esattamente da undipendente.
Supponiamo che l’azienda voglia massimizzare il”soddisfacimento” medio.
2a lezione modulo RO L. Palagi
Approccio modellistico Applicazioni economico gestionali Programmazione Matematica IL problema di assegnamento
Assegnamento: definizione del problemaUn’azienda deve decidere come assegnare i suoi 3 dipendentia 3 differenti attivita da svolgere.Ciascun dipendente puo esprimere una preferenza
I ciascun dipendente deve essere assegnato ad un solaattivita ;
I ciascuna attivita deve essere svolta esattamente da undipendente.
Supponiamo che l’azienda voglia massimizzare il”soddisfacimento” medio.
2a lezione modulo RO L. Palagi
Approccio modellistico Applicazioni economico gestionali Programmazione Matematica IL problema di assegnamento
Costruzione del modello
Si tratta di individuare le leve decisionali o variabili di decisioneche rappresentano le grandezze che e possibile scegliere, sucui si ha potere decisionale.
Nel caso del problema di assegnamento la scelta chedobbiamo individuare e se assegnare un certo dipendente]i adun’attivita ]j per ogni possibile coppia i , j .Si tratta di scelte dicotomiche che possono essere espresse
Approccio modellistico Applicazioni economico gestionali Programmazione Matematica IL problema di assegnamento
Le leve decisionali
Valori diversi indicano scelte decisionali diversi. Nel caso diproblema di assegnamento la scelta e come assegnaredipendente]i all’attivita]j per ogni coppia i , j .Formalizzando con un linguaggio matematicoLe scelte decisionali=variabili di decisione
Per semplificare la scrittura indichiamo le variabili di decisionecome xij (ma si tratta di un nome !) che puo assumere solo duevalori {0,1} e sono n2 = 9
Approccio modellistico Applicazioni economico gestionali Programmazione Matematica IL problema di assegnamento
La funzione obiettivo
L’ottimizzazione consiste nell’individuare il valore massimo o ilvalore minimo dell’obiettivo ottenuto in corrispondenza a diversivalori delle scelte.Spesso l’insieme delle leve decisionali si rappresenta ”inblocco” x = (x11 x12 x13 x21 x22 x23 x31 x32 x33)L’obiettivo e una funzione matematica che lega i parametridel problema con le possibili scelte decisionali.
dipendenti att]1 att]2 att]3dip]1 x11 x12 x13
dip]2 x21 x22 x23
dip]3 x31 x32 x33
dipendenti att]1 att]2 att]3dip]1 V11 V12 V13
dip]2 V21 V22 V23
dip]3 V31 V32 V33
2a lezione modulo RO L. Palagi
Approccio modellistico Applicazioni economico gestionali Programmazione Matematica IL problema di assegnamento
Ad esempioLa scelta decisionale {(1,1), (2,2), (3,3)} si rappresenta come
Spesso la funzione obiettivo si indica con f e dipende dallascelta x :
f (x) =n∑
i=1
n∑j=1
Vijxij
Ottimizza significa individuare la particolare scelta x∗ chedefinisce il valore massimo o minimo dell’obiettivo f ∗ = f (x∗).Nel nostro caso abbiamo visto che f ∗ = 2,6.
2a lezione modulo RO L. Palagi
Approccio modellistico Applicazioni economico gestionali Programmazione Matematica IL problema di assegnamento
Le restrizioniI vincoli sono funzioni matematiche che esprimono le restrizioniche devono rispettare le scelte decisionali.
I ciascun dipendente deve essere assegnato ad un solaattivita ;
I ciascuna attivita deve essere svolta esattamente da undipendente.
dipendenti att]1 att]2 att]3
→
dip]1 1 0 0
→
dip]2 0 1 0
x21 + x22 + x23 = 1→
dip]3 0 0 1
↑ ↑ ↑x12 + x22 + x32 = 1
2a lezione modulo RO L. Palagi
Approccio modellistico Applicazioni economico gestionali Programmazione Matematica IL problema di assegnamento
Le restrizioniI vincoli sono funzioni matematiche che esprimono le restrizioniche devono rispettare le scelte decisionali.
I ciascun dipendente deve essere assegnato ad un solaattivita ;
I ciascuna attivita deve essere svolta esattamente da undipendente.
Una scelta x che soddisfa tutti i vincoli si dice ammissibile.L’insieme di tutte le soluzioni ammissibili si dice insiemeammissibile.
2a lezione modulo RO L. Palagi
Approccio modellistico Applicazioni economico gestionali Programmazione Matematica IL problema di assegnamento
Un modello di programmazione matematica
maxn∑
i=1
n∑j=1
Vijxij
n∑i=1
xij = 1 per ogni j = 1, . . . ,n
n∑j=1
xij = 1 per ogni i = 1, . . . ,n
xij ∈ {0,1} i = 1, . . . ,n j = 1, . . . ,n
2a lezione modulo RO L. Palagi
Approccio modellistico Applicazioni economico gestionali Programmazione Matematica IL problema di assegnamento
Un modello di programmazione matematica
Determinare il valore x∗ delle variabili di decisione che siaammissibile e massimizzi il valore dell’obiettivo Tale soluzionex∗ si chiama soluzione ottimaNel nostro caso la soluzione ottima x∗ e
o anche x∗ = (0 1 0 0 0 1 1 0 0) e vale f ∗ = 2,6.
2a lezione modulo RO L. Palagi
Approccio modellistico Applicazioni economico gestionali Programmazione Matematica IL problema di assegnamento
Un modello di programmazione matematica
ATTENZIONE: le variabili di decisione non possono assumeretutti i valori nel rispetto dei vincoli ma devono {0,1}. Non sitratta di un aspetto secondarioAd esempio il valore delle variabili
dipendenti att]1 att]2 att]3dip]1 1
212 0
dip]2 12
12 0
dip]3 0 0 1
soddisfa tutti i vincoli fi (la somma sulle righe e sulle colonne epari a 1) MA NON e una scelta valida !
2a lezione modulo RO L. Palagi
Approccio modellistico Applicazioni economico gestionali Programmazione Matematica IL problema di assegnamento
Le fuzioni che descrivono l’obiettivo e i vincoli sono linearirispetto alle variabili x .
fi = a1x1 + a2x2 + . . . =N∑
i=1
aixi
Si tratta di un problema di
Programmazione Lineare intera
max f (x)fk (x) = bk k = 1, . . . ,2nxij ∈ {0,1}n
2
In generale xij ∈ {0,1} e un VINCOLO (restrizione)IMPORTANTE. In alcuni casi e possibile ”trascurarlo”garantendo la qualita della soluzione.
2a lezione modulo RO L. Palagi
Approccio modellistico Applicazioni economico gestionali Programmazione Matematica IL problema di assegnamento
Un modello di programmazione matematicaIn particolare, per questa categoria di problemi grazie allaparticolare struttura delle funzioni di vincolo, puo esseresostituito
maxn∑
i=1
n∑j=1
Vijxij
n∑i=1
xij = 1 per ogni j = 1, . . . ,n
n∑j=1
xij = 1 per ogni i = 1, . . . ,n
xij ≥ 0 i = 1, . . . ,n j = 1, . . . ,n
2a lezione modulo RO L. Palagi
Approccio modellistico Applicazioni economico gestionali Programmazione Matematica IL problema di assegnamento
Le fuzioni che descrivono l’obiettivo e i vincoli sono linearirispetto alle variabili x .
fi = a1x1 + a2x2 + . . . =N∑
i=1
aixi
Le variabili possono assumere valori continui nel rispetto deivincoli.Si tratta di un problema di Programmazione Lineare.
max f (x)fk (x) = bk k = 1, . . . ,2nxij ≥ 0 ∀ i , j