Page 1
1
RANGKUMAN MATERI, SOAL DAN PEMBAHASAN
BAB VII
SETENGAH PUTARAN
disusun guna melengkapi tugas mata kuliah Geometri Transformasi
Dosen pengampu Bapak Ishaq Nuriadin, M.Pd
Oleh
Niamatus Saadah 1201125122
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PROF DR.HAMKA
2015
Page 2
2
BAB VII
SETENGAH PUTARAN
Setengah Putaran mengelilingi sebuah titik adalah suatu involusi. Suatu
setengah putaran mencerminkan setiap titik bidang pada sebuah titik tertentu
sehingga disebut juga pencerminan pada suatu titik.
Definisi
Sebuah setengah putaran pada suatu titik ๐ด adalah suatu padanan ๐๐ด yang
didefinisikan untuk setiap titik pada bidang sebagai berikut :
1. Apabila ๐ โ ๐ด maka ๐1(๐) = ๐โฒ sehingga ๐ด titik tengah ruas garis ๐๐โฒฬ
ฬ
ฬ
ฬ
ฬ
.
2. ๐๐ด = ๐ด
Setengah putaran adalah suatu transformasi
Bukti:
Akan dibuktikan ๐๐ด Bijektif.
Untuk membuktikan ๐๐ด Bijektif maka harus dibuktikan terlebih dahulu ๐๐ด
Surjektif dan Injektif.
(1) Akan dibuktikan ๐๐ด Surjektif
Untuk menunjukkan ๐๐ด Surjektif, akan ditunjukkan โ๐โฒ โ ๐ โ ๐๐ด(๐) = ๐โฒ
Ambil sebarang ๐โฒ โ ๐
๐โฒ โ ๐ โ ๐โฒ = ๐๐ด(๐)
๐๐๐๐ ๐ = ๐ด, ๐๐๐๐ ๐๐ด(๐ด) = ๐ดโฒ = ๐ด
Jadi, โ ๐โฒ โ ๐ โ ๐โฒ = ๐ = ๐๐ด(๐)
Jika ๐ โ ๐ด maka A menjadi sumbu ruas garis โฒ , berarti ๐๐ด(๐) = ๐โฒ
Jadi, ๐๐ด Surjektif
(2) Akan dibuktikan ๐๐ด Injektif
Missal ๐ต1 โ ๐ต2
Kasus I
๐ต1 = ๐ต2 = ๐ด
Untuk ๐ต1 = ๐ด maka ๐๐ด(๐ต1) = ๐ต1 = ๐ต1โฒโฆโฆโฆโฆโฆโฆ..1*)
Page 3
3
Untuk ๐ต2 = ๐ด maka ๐๐ด(๐ต2) = ๐ต2 = ๐ต2โฒโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ2*)
Dari 1*) dan 2*) maka diperoleh ๐๐ด(๐ต1) โ ๐๐ด(๐ต2)
Kasus II
๐ต1 โ ๐ต2 โ ๐ด
Ambil sebarang ๐ต1, ๐ต2 โ ๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐ต1 โ ๐ต2
๐ต1 โ ๐ด, ๐ต2 โ ๐ด, ๐ต2, ๐ต2, ๐ด ๐ก๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐
Sehingga ๐๐ด(๐ต1) = ๐ต1โฒ dan ๐๐ด(๐ต2) = ๐ต2โฒ
Andaikan ๐๐ด(๐ต1) = ๐๐ด(๐ต2)
Karena ๐๐ด(๐ต1) = ๐๐ด(๐ต2)
Maka ๐ต1โฒ = ๐๐ด(๐ต1) = ๐๐ด(๐ต2) = ๐ต2โฒ
Sehingga diperoleh ๐ต1โฒ = ๐ต2โฒ dan แ1 = ๐ต2
Menurut teorama, โMelalui dua titik hanya dapat dibuat satu garisโ
Ini kontradiksi dengan pernyataan bahwa ๐ต1 โ ๐ต2
Pengandaian ๐ต1 โ ๐ต2 ๐๐๐๐ ๐๐ด(๐ต1) = ๐๐ด(๐ต2) harus dibatalkan.
Jadi, ๐๐ด(๐ต1) โ ๐๐ด(๐ต2)
Jadi ๐๐ด Injektif
Dari (1) dan (2) maka diperoleh ๐๐ด Surjektif dan ๐๐ด Injektif
Karena ๐๐ด Surjektif dan ๐๐ด Injektif, maka ๐๐ด Bijektif
Karena ๐๐ด Bijektif, maka ๐๐ดadalah suatu transformasi.
Jadi, terbukti bahwa suatu setengah putaran adalah transformasi.
Teorema 7.1
Andaikan ๐จ sebuah titik, ๐ dan ๐ dua garis tegak lurus yang berpotongan di
๐จ. Maka ๐บ๐จ = ๐ด๐๐ด๐.
Bukti :
Diketahui ๐ด sebuah titik, ๐ dan โ dua garis tegak lurus yang berpotongan di ๐ด.
a) Kasus I : ๐ โ ๐ด
Karena ๐ โฅ โ maka dapat dibentuk sebuah sistem sumbu orthogonal dengan ๐
sebagai sumbu X dan โ sebagai sumbu Y. ๐ด sebagai titik asal.
Ambil titik ๐ โ ๐
Perhatikan Gambar 7.2
Page 4
4
Ditunjukkan bahwa untuk setiap ๐ berlaku ๐๐ด(๐) = ๐๐๐โ(๐)
Andaikan ๐(๐ฅ, ๐ฆ) โ ๐ด dan ๐๐ด(๐) = ๐โฒโฒ(๐ฅ1, ๐ฆ1)
Karena ๐๐ด(๐) = ๐โฒโฒ maka ๐ด titik tengah ๐๐โฒ sehingga
(0,0) = (๐ฅ1 + ๐ฅ
2,๐ฆ1 + ๐ฆ
2)
Diperoleh ๐ฅ1 + ๐ฅ = 0 โบ ๐ฅ1 = โ๐ฅ dan ใฑ1 + ๐ฆ = 0 โบ ๐ฆ1 = โ๐ฆ
Artinya ใฑ๐ด(๐) = (โ๐ฅ, โ๐ฆ) โฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ(1)
Komposisi pencerminan
๐๐๐โ(๐) = ๐๐[๐โ(๐)]
= ๐๐(โ๐ฅ, ๐ฆ)
= (โ๐ฅ, โ๐ฆ)
Artinya ๐๐๐โ(๐) = (โ๐ฅ, โ๐ฆ) โฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ(2)
Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh _๐ด(๐) = ๐๐๐โ(๐).
Jadi, ๐๐ด = ๐๐๐โ
b) Kasus II : ๐ = ๐ด
Menurut Definisi, ๐๐ด(๐ด) = ๐ด โฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ(1*)
๐๐๐โ(๐ด) = ๐๐(๐ด) = ๐ด โฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ.(2*)
Dari persamaan (1*) dan (2*) diperoleh ๐๐ด(๐ด) = ๐๐๐โ(๐ด).
Jadi, ๐๐ด = ๐๐๐โ.
Teorema 7.2
Jika ๐ dan ๐ dua garis yang tegak lurus maka ๐ด๐๐ด๐ = ๐ด๐๐ด๐
Bukti
๐ด
๐โฒโฒ(โ๐ฅ, โ๐ฆ)
๐โฒ(โ๐ฅ, ๐ฆ) P(x,y)
โ
๐ ๐
Page 5
5
a) Kasus I : ๐ โ ๐ด
Karena ๐ โ ๐ด, maka ๐๐๐โ(๐) = ๐๐ด(๐).
๐โ๐๐(๐) = ๐โ (๐๐(๐)) = แโ((๐ฅ, โ๐ฆ)) = (โ๐ท, โ๐ฆ) =ใฐ๐ด(๐).
diperoleh ๐๐๐โ(๐) = ๐๐ด(๐) = ๐โ๐๐(๐)
Jadi, ๐๐๐โ = ๐โ๐๐
b) Kasus II : ๐ = ๐ด
Karena ๐ = ๐ด, maka ๐๐๐โ(๐ด) = ๐๐(๐ด) = ๐ด
๐โ๐๐(๐ด) = ๐โ(๐ด) = ๐ด
Sehingga diperoleh ๐๐๐โ(๐ด) = ๐โ๐๐(๐ด).
Jadi, ๐๐๐โ = ๐โ๐๐.
Teorema 7.3
Jika ๐บ๐จ setengah putaran, maka ๐บโ๐๐จ = ๐บ๐จ.
Bukti
Andaikan ๐ dan โ dua garis yang tegak lurus maka ๐๐๐โ = ๐๐ด dengan ๐ด
titik potong antara ๐ dan โ.
(๐๐๐โ)โ1 = ๐โ1โ๐โ1
๐ = ๐โ1๐ด.
Karena ๐โ1โ = ๐โ dan ๐โ1
๐ = ๐๐ maka ๐โ๐๐ = ๐โ1๐ด.
Karena ๐ โฅ โ, maka menurut teorema 7.2, ๐๐๐โ = ๐โ๐๐.
Sedangkan menurut teorema 7.1, ๐๐ด =ใฆ๐๐โ.
Sehingga diperoleh ๐โ1๐ด = ๐โ๐๐ = ๐๐๐โ = ๐๐ด.
Jadi, ๐โ1๐ด = ๐๐ด.
Teorema 7.4
Jika ๐จ = (๐, ๐) dan ๐ท = (๐, ๐) maka ๐บ๐จ(๐ท) = (๐๐ โ ๐, ๐๐ โ ๐).
Bukti
a) Kasus I : ๐ โ ๐ด
Misalkan ๐" = (๐ฅ1, ๐ฆ1) dan ๐๐ด(๐) = ๐" maka ๐ด titik tengah ๐๐" sehingga
diperoleh
(๐, ๐) = ((๐ฅ1+๐ฅ
2) , (
๐ฆ1+๐ฆ
2))
Page 6
6
Maka ๐ฅ1+๐ฅ
2= ๐ dan
๐ฆ1+๐ฆ
2= ๐ sehingga diperoleh
๐ฅ1+๐ฅ
2= ๐ โบ ๐ฅ1 + ๐ฅ = 2๐ โบ ๐ฅ1 = 2๐ โ ๐ฅ โฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ..(1*)
๐ฆ1+๐ฆ
2= ๐ โบ ๐ฆ1 + ๐ฆ = 2๐ โบ ๐ฆ1 = 2๐ โ ๐ฆ โฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ(2*)
Dari persamaan (1*) dan (2*) maka (๐ฅ1, ๐ฆ1) = ( 2๐ โ ๐ฅ), (2๐ โ ๐ฆ)
Karena ๐๐ด(๐) = ๐", maka ๐๐ด(๐) = (๐ฅ1, ๐ฆ1) = ( 2๐ โ ๐ฅ), (2๐ โ ๐ฆ)
Jadi, ๐๐ด(๐) = (2๐ โ ๐ฅ, 2๐ โ ๐ฆ).
b) Kasus II : ๐ = ๐ด
Karena ๐ = ๐ด, maka (๐ฅ, ๐ฆ) = (๐, ๐) artinya ๐ = ๐ฅ dan ๐ = ๐ฆ.
โ๐ด(๐) = ๐๐ด(๐ด) = ๐ด = (๐, ๐)
(๐, ๐) = ((2๐ โ ๐), (2๐ โ ๐))
= ((2๐ โ ๐ฅ), (2๐ โ ๐ฆ))
Jadi, ๐๐ด(๐) = (2๐ โ ๐ฅ, 2๐ โ ๐ฆ).
7.2 Lanjutan Setengah Putaran
Kita ingat kembali tentang refleksi atau pencerminan.
Definisi refleksi atau pencerminan ialah
1. gAAAM g ,
2. 'PPM g , yang bersifat g adalah sumbu ruas garis 'PP
Jelas bahwa gA yang dicerminkan terhadap garis g maka A berimpit dengan
petanya. Titik yang demikian dinamakan titik tetap (invariant) refleksi.
Definisi
A dinamakan titik tetap (invariant) transformasi T apabila berlaku T(A) = A
Dari definisi tersebut, kita dapat memperoleh fakta bahwa sebuah refleksi garis g
memiliki tak hingga banyaknya titik tetap yaitu semua titik pada sumbu refleksi g
itu sendiri. Sedangkan pada sebuah setengah putaran di P (Sp), maka satu-satunya
titik varian adalah P, sebab Sp(P) = P dan Sp(X) = Xโ dengan PX dan P titik
tengah ruas garis 'XX .
Page 7
7
Definisi
Sebuah transformasi T yang bersifat bahwa sebuah garis petanya juga garis
dinamakan kolineasi
Karena setiap isometric adalah suatu kolineasi maka refleksi dan setengah putaran
adalah suatu kolineasi. Diantara kolineasi tersebut ada yang disebut dilatasi
Definisi
Suatu kolineasi dinamakan suatu dilatasi jika untuk setiap garis g berlaku
sifat โ(๐)//๐.
Teorema 7.5
Andaikan SA suatu setengah putaran, dan g sebuah garis. Apabila ๐จ โ
๐, ๐๐๐๐ ๐๐ด(๐)//๐
Diketahui : SA sebuah garis g, gA
Buktikan bahwa ๐๐ด(๐)//๐
Bukti :
Misal ๐ โ ๐, ๐๐๐ ๐ โ ๐
karena P โ g maka A titik tengah PPโฒ dengan Pโฒ = SA(P)
karena Q โ g maka A titik tengah QQโฒ dengan Qโฒ = SA(Q)
Perhatikan โAPQโฒ dan โAQPโฒ
Untuk membuktikan bahwa gโฒ โโ g maka harus ditunjukkan
โAPQโฒ dan โAQPโฒ adalah kongruen.
m(< ๐๐ดQโฒ) = m(< ๐๐ดPโฒ) (sudut bertolak belakang)
PA = APโฒ ( karena A titik tengah PPโฒ )
P Q
๐๐ด(๐) = ๐โฒ
๐โฒ = ๐๐ด(๐)
A
๐๐ด(๐) = ๐โฒ
๐
Page 8
8
QA = AQ ( karena A titik tengah QQโฒ )
Menurut definisi kekongruenan (S Sd S)
sehingga โAPQโฒ โ
โAQPโฒ
Karena โAPQโฒ โ
โAQPโฒ maka PQโฒ = QPโฒ
Karena PQโฒ = QPโฒ maka gโฒ โโ g
Jadi, ๐๐ด(๐)//๐
Contoh
Diketahui dua garis g dan h tidak sejajar. A sebuah titik yang tidak terletak pada g
atau h. Tentukan semua titik X pada g dan semua titik Y pada h sehingga A titik
tengah ruas garis XY .
Dipunyai : garis g dan h tidak sejajar
hAgA ,
Ditanya : tentukan semua XYgah titik ten, AhYgX
Jawab :
Ambil gP
Jika PSP A' maka gSg A' melalui Pโ dan PA=APโ, gโ//g
Jika gโ memotong h di Y
Tarik YA memotong g di X
Maka X dan Y pasangan titik yang dicari
Ilustrasi :
Dari contoh di atas, buktikan bahwa X dan Y satu-satunya pasangan yang
memenuhi persyaratan, dan jika tidak menggunakan gSg A' tapi hSh A''
apakah akan memperoleh pasangan lain lalu jelaskan hal tersebut
A
gโ
g P
Pโ Y
X
h
Page 9
9
Dipunyai : garis g dan h tidak sejajar
hAgA , ,
Ditanya : Adb X dan Y satu-satunya pasangan yang memenuhi persyaratan.
Bukti :
Ambil ๐ ๐ก๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐ โ, ๐ ๐ก๐๐๐๐ ๐ก๐๐๐๐ ๐๐ข๐๐ข๐ โ, ๐๐๐ ๐ด โ โ
Karena ๐ด โ โ, ๐๐๐๐ ๐๐ด(โ) = โโฒ โโ โ
โโฒ akan memotong ๐ di titik ๐, sehingga ๐ โ โโฒ
karena ๐๐ด(โ) = โโฒ โโ โ, maka ๐๐ด(๐) = ๐ โ โ
Karena titik potong dari dua garis atau lebih akan hanya ada satu titik potong,
Maka ๐ dan ๐ satu-satunya pasangan .
sehingga ๐ โ โโฒ, ๐ โ ๐, ๐ โ ๐๐, ๐๐๐ ๐ โ โ, ๐ โ ๐โฒ, ๐ โ ๐๐
jadi, ๐ dan ๐ satu-satunya pasangan.
Dipunyai : garis g dan h tidak sejajar
hAgA , , hSh A''
Ditanya : Apakah ada pasangan lain yang memenuhi persyaratan selain X
dan Y.
Bukti :
Teorema 7.6
Hasil kali dua setengah putaran dengan pusat yang berbeda, tidak memiliki
titik tetap
Bukti :
Misal BAVBA ,,
โ โโฒ
๐โฒ
๐ ๐ด
๐
๐
Page 10
10
Akan dibuktikan BASS tidak memiliki titik tetap
Misal g = AB
h AB di A, k AB di B
Akan ditunjukkan BASS = khMM
Karena hgA MMS , kgB MMS
Maka BASS = kghg MMMM
kh
kh
kggh
kggh
kghg
kghg
MM
MIM
MMMM
MMMM
MMMM
MMMM
Akan ditunjukkan BASS tidak memiliki titik tetap
Misal X titik varian BASS
Jadi BASS (X) = X sehingga XXMM kh
Jadi
2... )(
1 ... )(
XMXMMM
XMXMMM
hkhh
hkhh
Dari (1) dan (2) diperoleh
XMXMXIMXM khkh
Misal 1XXMk
(i) Kasus 1 ( 1XX )
Misal khXX 1
Karena h dan k adalah sumbu ruas garis XX1 dan ruas garis hanya
memiliki satu sumbu maka h=k
Hal ini tidak mungkin sebab BA
(ii) Kasus 2 ( 1XX )
Misal 1XX
Maka Mh(X)=X dan Mk(X)=X
Jadi XhXkX din berpotongak h, ,
Page 11
11
Hal ini tidak mungkin sebab h//k
Jadi, tidak mungkin ada sebuah titik X sehingga
XXSSXMXM BAkh atau .
Jadi, BASS tidak memiliki titik tetap.
Ilustrasi teorema 7.6
Teorema 7.7
Jika BA adalah dua titik maka hanya ada satu setengah putaran yang
memetakan A pada B
Bukti :
Dipunyai BA
Akan dibuktikan BAST dengan T titik tengah ruas garis AB
Misal ada dua setengah putaran SD dan SE sehingga BABASD ESdan
Jadi AASD ES
Maka ASASS DDD E
11 S
Karena S-1D=SD maka ASA D ES
Jadi jika ED , maka berarti bahwa A adalah titik tetap dari EDSS
Hal ini tidak mungkin ada lebih dari satu setengah putaran yang memetakan A
pada B. Satu-satunya setengah putaran adalah ST(A) = B dengan T titik tengah
ruas garis AB
Teorema 7.8
Suatu setengah putaran adalah suatu dilatasi yang bersifat involutorik
Dipunyai titik VP
g
h k
A B
Page 12
12
Akan dibuktikan
(1) g sebuah garis ggSP //
(2) ISS PP dengan I transformasi identitas
Bukti :
(1) Jelas SP(g) = gโ suatu garis.
Misal gBgA ,
Maka ',' gBgA dan PA = PAโ, PB = PBโ
Karena PA = PAโ, PB = PBโ, dan ''PBAmAPBm sehingga
BPAPAB ' (s sd s)
Jelas BAPmPABm ''
Jadi g//SP(g) dan SP sebuah dilatasi
(2) Karena AASASS ppp ' , maka gIgSSgA PP
Jadi, ISS PP .
Hal ini berarti SP bersifat involuntorik
Dari pernyataan (1) dan (2) diperoleh fakta bahwa SP sebuah dilatasi bersifat
involuntorik. Atau dengan kata lain suatu setengah putaran adalah suatu
dilatasi yang bersifat involutorik.
Ilustrasi :
Teorema 7.9
Apabila T suatu transformasi. H himpunan titik-titik dan A sebuah titik,
maka HATHTA 1
Bukti :
B
A
Bโ
Aโ
P
SP(g)=gโ
g
Page 13
13
Dipunyai T transformasi, H himpunan titik-titik, A sebuah titik
Akan dibuktikan HATHTA 1
Ambil HTA
Jadi XTAHX
maka XXIXTTXTTAT 111
Jadi, HAT 1
Ambil HAT 1
Hal ini berarti HTAatau 1 HTATT
Contoh :
Dipunyai : 164, 22 yxyxE
Misal A = (4,-3) dan C = (3,1)
g adalah sumbu X
Ditanya : Selidiki apakah ESMA cg
Jawab :
Jelas gcgccg MSMSSM 111
Ambil P = (x,y)
Jelas yxPMyxP g ,,
Jelas yxyxPSc 2,61.2,3.2
Jadi yxyxSPMSPSM cgccg
2,6,1
Sehingga 1,232,463,411
cgcg SMASM
Karena EASM cg
1,21
maka berarti bahwa ESMA cg
Jadi, ESMA cg
Dengan cara serupa, kita dpat menentukan persamaan peta suatu himpunan
apabila persamaan himpunan tela diketahui.
Page 14
14
Menurut teorema 7.9, HATHTA 1. Jika transformasi T adalah
ESM cg dengan 164, 22 yxyxE , maka
EPSMESMP cgcg 1
. Berdasarkan perhitungan yang telah dilakukan
sebelumnya, jika yxP , maka yxPSM cg
2,61
Jadi, 164,2,6 221
yxyxyxEPSM cg
Jadi haruslah 1624622 yx
Hal ini berarti bahwa 03616124, 22 yxyxyxPESMP cg
Sehingga diperoleh fakta bahwa 03616124 22 yxyx adalah persamaan
peta E oleh transformasi cgSM .
Latihan Soal halaman 68
1. Diket : titik A, B, P tak segaris dan berbeda.
Lukis :
a. ๐๐ด(๐)
b. ๐
โ ๐๐ต(๐
) = ๐
c. ๐๐ด๐๐ต(๐)
d. ๐๐ต๐๐ด(๐ท)
e. ๐๐ด2(๐)
Lukisan :
a. ๐แ(๐)
b. ๐
โ ๐๐ต(๐
) = ๐
๐๐ด(๐)
B
P
A
Page 15
15
c. ๐๐ด๐๐ต(๐)
d. ๐๐ต๐๐ด(๐)
e. ๐๐ด2(๐)
2. Diket : garis ๐ dan titik ๐ด, ๐ด โ ๐
Ditanya :
a) Lukisan garis ๐1 = ๐๐ด(๐) dan mengapa ๐ sebuah garis?
b) Buktikan bahwa ๐โฒ//๐.
Jawab :
== ๐๐ด2(๐)
๐๐ต๐๐ด(๐)
B
P
A
R
B
P
A
R
๐๐ด๐๐ต(๐)
B
P
A
๐๐ด(๐)
B
P
A
๐๐ด(๐)
Page 16
16
a. ๐โฒ = ๐๐ด(๐)
Karena ๐ sebuah garis, maka ๐๐ด(๐) juga merupakan sebuah garis
(isometri).
b. ๐โฒ โโ ๐
Bukti :
๐ โ ๐, ๐ โ ๐
karena ๐ โ ๐ maka A titik tengah ๐๐โฒ dengan ๐โฒ = ๐๐ด(๐)
karena ๐ โ ๐ maka A titik tengah ๐๐โฒ dengan ๐โฒ = ๐๐ด(๐)
Perhatikan โ๐ด๐๐โฒ ๐๐๐ โ๐ด๐๐โฒ
Untuk membuktikan bahwa ๐โฒ โโ ๐ maka harus ditunjukkan
โ๐ด๐๐โฒ ๐๐๐ โ๐ด๐๐โฒ adalah kongruen.
๐(< ๐๐ด๐โฒ) = ๐(< ๐๐ด๐โฒ) (sudut bertolak belakang)
๐๐ด = ๐ด๐โฒ ( karena A titik tengah ๐๐โฒ )
๐โฒ๐ด = ๐ด๐ ( karena A titik tengah ๐๐โฒ )
Menurut definisi kekongruenan (S Sd S)
sehingga โ๐ด๐๐โฒ โ
โ๐ด๐๐โฒ
Karena โ๐ด๐๐โฒ โ
โ๐ด๐๐โฒ maka ๐๐โฒ = ๐๐โฒ
Karena ๐๐โฒ = ๐๐โฒ maka ๐โฒ โโ ๐
3. Diket : โ๐ด๐ต๐ถ dan jajargenjang ๐๐๐๐, K terletak diluar daerah โ๐ด๐ต๐ถ
dan diluar jajargenjang ๐๐๐๐.
Ditanya :
a) Lukisan ๐๐พ(โ๐ด๐ต๐ถ)
b) Titik J โ ๐๐ฝ(๐๐๐๐) = ๐๐๐๐
Jawab :
a) Lukisan ๐๐พ(โ๐ด๐ต๐ถ)
P Q
๐๐ด(๐) = ๐โฒ
๐โฒ = ๐๐ด(๐)
A
๐๐ด(๐) = ๐โฒ
๐
Page 17
17
b) ๐ (๐๐๐๐) = ๐๐๐๐
4. Diket : titik-titik A, B, C tak segaris
Lukis :
a) Garis ๐ dan โ sehingga ๐๐(๐ต) = ๐ต dan ๐๐ด = ๐๐๐โ
b) Garis ๐ dan ๐ sehingga ๐โ1๐(๐ถ) = ๐ถ dan ๐๐ด = ๐๐๐๐
Lukisan :
a) ๐๐(๐ต) = ๐ต dan ๐๐ด =ใฆ๐๐โ
b) ๐โ1๐(๐ถ) = ๐ถ dan ๐@ = ๐๐๐๐
5. Diket : A = (2,3)
Ditanya:
a. SA( C ) apabila C = (2,3)
b. SA( D ) apabila D = (-2,7)
c. SA( E ) apabila E= (4,-1)
d. SA( P ) apabila P = (x,y)
Jawab:
W X
Y Z
Cโ Aโ
Bโ
K
B
C A
๐
๐ด โ
๐ต
Page 18
18
a. C = (2,3)
SA( C ) = (2.2 - 2, 2.3 - 3)
= (2,3)
b. D = (-2,7)
SA( D ) = (2.2-(-2), 2.3-7)
= (6,-1)
c. E= (4,-1)
SA( E ) = (2.2-4, 2.3-(-1))
= (0,7)
d. P = (x,y)
SA( P ) = (2.2-x, 2.3-y)
= (4-x, 6-y)
6. Diket : B = (1, -3)
Tentukan :
a. SB(D) apabila D (-3, 4)
b. E apabila SB(E) = (-2, 5)
c. SB(P) apabila P = (x, y)
Jawab :
a. D (-3, 4)
SB(D) = (2.1-(-3), 2.(-3)-4)
= (5, -10)
b. SB(E) = (-2, 5)
Misal E = (x, y)
Maka, 2.1 - x = -2 2.(-3) - y = 5
โ2 โ x = -2 โ -6 - y = 5
โ x = 4 โ y = -11
jadi, E = (4, -11)
c. P= (x, y)
SB(P) = (2.1- x, 2.(-3) - y)
= (2 - x, - 6 - y)
7. Diket : D = (0, -3) dan B = (2, 6)
a. SB(B) = (2.2 - 2, 2.6 - 6)
Page 19
19
= (2, 6)
SDSB(B) = SD(2,6)
= (2.0 - 2, 2.(-3) โ 6)
= (-2, -12)
b. K = (1, -4)
SB(K) = (2.2-1, 2.6 - (-4)
= (3, 16)
SDSB(K) = SD(3,16)
= (2.0 - 3, 2.(-3) - 16)
= (-3, -22)
c. SD(K) = (2.0 - 1, 2.(-3) - (-4))
= (-1, -2)
SBSD(K) =SB(-1, -2)
= (2.2 - (-1), 2.6 - (-2))
= (5, 14)
d. Menurut teorema 7.3
jika SA setengah putaran, maka S-1A = SA
maka, SD-1 (K) = SD(K) = (-1,-2)
Dan, SB-1(K) = SB(K)
Sehingga, (SDSB)-1 (K) = SB-1SD
-1 (K)
= SB-1(-1, -2)
= SB(-1, -2)
= (2.2 - (-1), 2.6 - (-2))
= (5, 14)
e. P = (x, y)
SB(P) = (2.2 โ x, 2.6 โ y)
= (4 โ x, 12 โ y)
SDSB(P) = SD(4 โ x, 12 โ y)
= (2.0 โ (4 โ x), 2.(-3) โ (12 โ y))
= ( - 4 + x, - 6 โ 12 + y)
=(x - 4, y - 18)
8. Diket : C = (โ4,3)
Page 20
20
๐ = {(๐ฅ, ๐ฆ)|๐ฆ = โ๐ฅ}
Tentukan :
a. ๐๐๐๐(2, โ1)
b. ๐๐๐๐ถ(๐) jika ๐(๐ฅ, ๐ฆ)
c. (๐๐๐๐ถ)โ1(๐), apakah ๐๐๐๐ = ๐๐ = แ๐๐๐?
Jawab :
a. ๐๐๐๐(2, โ1) = ๐๐(2. (โ4) โ 2,2.3โ 1)
= ๐๐(โ10,7)
= (โ7,10)
b. ๐(๐ฅ, ๐ฆ)
๐๐๐๐ถ(๐) = ๐๐(2. (โ4) โ ๐ฅ, 2.3 โ ๐ฆ)
= ๐๐(โ8 โ ๐ฅ, 6 โ ๐ฆ)
= (๐ฆ โ 6, ๐ฅ + 8)
c. (๐๐๐๐ถ)โ1(๐) = (๐๐ถโ1๐๐
โ1)(๐)
Berdasarkan teorema 7.3 dan 6.3 diperoleh ๐๐ดโ1 = ๐๐ด dan
๐๐โ1 = ๐๐, sehingga diperoleh
(๐๐๐๐ถ)โ1(๐) = (๐๐ถโ1๐๐
โ1)(๐)
= (๐๐ถ๐๐)(๐)
= ๐๐ถ๐๐บ(้จด, ๐)
= ๐๐ถ(โ๐ฆ, โ๐ฅ)
= (2. (โ4)โ ๐ฆ), 2.3โ ๐ฅ
= (๐ฆ โ 8, 6 + ๐ฅ)
9. a. SA(K) = SA(J)
Misal K = (x, y), A = (a, b), J = (u, v)
SA(K) = (2a โ x, 2b โ y)
SA(K) = (2a โ u, 2b โ v)
Karena SA(K) = SA(J) sehingga
2a โ x = 2a โ u
โ โx = โu
Page 21
21
โ x = u
dan
2b โ y = 2b โ v
โ โy = โv
โ y = v
Sehingga K(x, y) = J(u, v)
Jadi K = J
b. SA(D) = SB(D)
Misal ๐ด = (๐, ๐)
๐ต = (๐, ๐)
๐ท = (๐ฅ, ๐ฆ)
Karena SA(D) = SB(D)
maka (2๐ โ ๐ฅ, 2๐ โ ๐ฆ) = (2๐ โ ๐ฅ, 2๐ โ ๐ฆ)
diperoleh 2๐ โ ๐ฅ = 2๐ โ ๐ฅ
โ 2๐ = 2๐
โ ๐ = ๐
dan 2๐ โ ๐ฆ = 2๐ โ ๐ฆ
โบ 2๐ = 2๐
โบ ๐ = ๐
Karena ๐ = ๐ dan ๐ = ๐
Maka (๐, ๐) = (๐,ๆก) sehingga ๐ด = ๐ต
Jadi dapat ditarik suatu akibat yaitu ๐ด = ๐ต
c. SA(E) = E โน Misal A(a, b), E(x, y)
SA(E) = (2a โ x, 2b โ y)
Karena SA(E) = E maka
(2a โ x, 2b โ y) = (x, y)
diperoleh
2a โ x = x
โบ 2a = 2x
โบ a = x
dan
2b โ y = y
Page 22
22
โบ 2b = 2y
โบ b = y
Sehingga A(a, b) = E(x, y)
Jadi A = E
10. a) Dipunyai : ABBA SSSSBA ,
Ditanya : selidiki apakah pernyataan tersebut benar
Jawab :
Ambil ),(,,,, yxPVdcBVbaA
1... 22,22
22,22
2,2
ydbxca
ydbxca
ydxcSA
2... 22,22
22,22
22,22
2,2
ydbxca
ybdxac
ybdxac
ybxaSB
Dari (1) dan (2) diperoleh fakta bahwa
ABBA SSSS
ydbxcaydbxca
22,2222,22
Jadi, ABBA SSSSBA , merupakan pernyataan yang salah
b) Dipunyai : setiap setengah putaran adalah suatu isometric langsung
Ditanya : selidiki apakah pernyataan tersebut benar
Jawab :
Menurut definisi suatu transformasi isometric langsung apabila
transformasi itu mengawetkan orientasi.
Ambil tiga titik tak segaris feCdcBbaA ,,,,, dan tiga titik tersebut
membentuk segitiga ABC
Akan ditunjukan ABC orientasinya sama dengan AโBโCโ dengan
Aโ=T(A),Bโ=T(B), Cโ=T(C)
Misal P(x,y) titik pusat setengah putaran
PSS BA
PSS AB
Page 23
23
c) Dipunyai : hSSgSShg BABA
Ditanya : selidiki apakah pernyataan tersebut benar
Jawab :
d) Dipunyai : ABBABSBASA AB 2, 1111
Ditanya : selidiki apakah pernyataan tersebut benar
Jawab :
Ambil 2211 ,,, yxByxA
221
2
21 yyxxAB
2121221
1212111
2,2,
2,2,
yyxxyxSBSB
yyxxyxSASA
AA
BB
AB 3
3
99
3333
2222
2222
2
12
2
12
2
12
2
12
2
12
2
12
2
2112
2
2112
2
2112
2
211211
yyxx
yyxx
yyxx
yyyyxxxx
yyyyxxxxBA
Jadi, ABBABSBASA AB 3, 1111
Jadi, ABBABSBASA AB 2, 1111 merupakan pernyataan salah
e) Dipunyai : PPSggSPAgPgA AA ,,,
Ditanya : selidiki apakah pernyataan tersebut benar
Jawab :
Jelas gAP
Ambil A(a,b), P(x,y)
Akan ditunjukan bahwa PPSggS AA ,
yxPPS
gPybxaPS
A
A
, Jadi,
'2,2
Karena gA , maka ggSgPPSgAAS AAA ',
Page 24
24
Jadi, PPSggSPAgPgA AA ,,, merupakan pernyataan
salah.
11. Diket: A = (โ1,0)
Ditanya: Tentukan persamaan garis-garis ๐ dan โ sehingga
๐ต(3,4) โ ๐ dan ๐๐ด = ๐๐๐โ
Jawab:
๐๐ด = ๐๐๐โ โ ๐ โฅ โ โ ๐๐. ๐โ = โ1 โบ ๐๐ =1
๐โ
misal ๐ โน ๐ฆ = ๐๐๐ฅ + ๐ถ
โ โน ๐ฆ = ๐โ๐ฅ + ๐ถ
titik potong g dan h ada di A(โ1,0)
A titik potong g dan h
B(3,4) โ g
Sehingga A dan B โ g
Persamaaan garis g melalui A(โ1,0) dan B(3,4)
g:y โ y1
y2 โ y1=
x โ x1
x2 โ x1
โy โ 4
0 โ 4=
x โ 3
โ1 โ 3
โy โ 4
โ4=
x โ 3
โ4
โบ y โ 4 = x โ 3
โบ y = x + 1 โน mg = 1
Karena mg. mh = โ1 dan mg = 1 maka mh = โ1
h melalui (โ1,0) dan bergradien -1
y โ y1 = m(x โ x1)
y โ 0 = โ1(x + 1)
y = โx โ 1
Jadi g: y = x + 1
h: y = โx โ 1
13. Diketahui : titik VBA , , garis g
Page 25
25
Titik R,S,T berbeda dan tak segaris sehingga ganda (R,S,T)
memiliki orientasi positif
Ditanya : Apakah dapat dikatakan tentang peta ganda tersebut oleh
transformasi :
a. SA
b. SA SB
c. MgSA
d. SAMgSB
e. S-1A
f. (MgSB)-1
Selesaian :
14. Diketahui:tiga titik A, B, C
Buktikan:(๐๐ด๐๐ต)โ1 = ๐๐ต๐๐ด
Bukti:
Adb (๐๐ด๐๐ต)โ1 = ๐๐ต๐๐ด
(๐๐ด๐๐ต)โ1 = ๐๐ตโ1๐๐ด
โ1
Menurut teorema 7.3 โ๐๐๐๐ ๐๐ด ๐ ๐๐ก๐๐๐๐โ ๐๐ข๐ก๐๐๐๐, ๐๐๐๐ ๐๐ดโ1 = ๐๐ดโ
Jadi SBโ1 = SB dan SA
โ1 = SA
Karena ๐๐ตโ1 = ๐ใฑ ๐๐๐ ๐๐ด
โ1 = ๐๐ด
Maka (๐๐ด๐๐ต)โ1 = ๐๐ตโ1๐๐ด
โ1 = ๐๐ต๐๐ด
Jadi, terbukti bahwa (SASB)โ1 = SBSA
15. Diketahui : MgSA, MgSAMh, SAMh,SB, T-1SA dengan T suatu transformasi
sebarang
Ditanya : tentukan dan sederhanakan balikannya
Selesaian :
a) hhgghgAgAAg MIMMMMMSMSSM
11111
b) ISSSSSSSMMMSM AAAAAAAhghAg 111111
c) AhBAhBhABBhABhA SMSSMSMSSSMSSMS11111111
Page 26
26
gBghhBAhB MSMMMSSMS 11
Jadi, gBBhA MSSMS 1
TSTSST AAA 11111
16. a. Apabila A=(0,0), B=(-4,1), tentukanlah K sehinga ๐๐ด๐๐ต(๐พ) = (6,2)
b. Apabila ๐๐๐๐ด(๐) = ๐
, nyatakan kootdinat P dengan koordinat-
koordinat R
Penyelesaian:
a. Diket : A=(0,0), B=(-4,1)
Ditanya : tentukanlah K sehinga ๐๐ด๐๐ต(๐พ) = (6,2)
Jawab :
Misal ๐พ = (๐ฅ, ๐ฆ)
๐๐ด๐๐ต(๐พ) = (6,2)
โ ๐๐ด๐๐ต(๐ฅ, ๐ฆ) = (6,2)
โ ๐๐ด(2. (โ4) โ ๐ฅ, 2.1 โ ๐ฆ) = (6,2)
โ ๐๐ด(โ8 โ ๐ฅ, 2 โ ๐ฆ) = (6,2)
โ (2.0 โ (โ8 โ ๐ฅ), 2.0 โ (2 โ ๐ฆ) = (6,2)
โ (8 + ๐ฅ, ๐ฆ โ 2) = (6,2) โ 8 + ๐ฅ = 6 โ ๐ฅ = โ2
๐ฆ โ 2 = 2 โ ๐ฆ = 4
Jadi, ๐พ(โ2,4)
b. Diket : ๐๐๐๐ด(๐) = ๐
Ditanya : nyatakan kootdinat P dengan koordinat-koordinat R
Jawab :
17. Diket: Titik ๐ด(โ1,4)
Garis ๐ = {(๐ฅ, ๐ฆ)|๐ฆ = 2๐ฅ โ 1}
Garis โ = {(๐ฅ, ๐ฆ)|๐ฆ = โ4๐ฅ}
Ditanya:
a. Persamaan ๐๐ด(๐) = ๐โฒ?
Page 27
27
b. Persamaan ๐๐ด(โ) = โโฒ?
c. Persamaan ๐๐ด(๐ ๐ข๐๐๐ข ๐ฅ)?
d. Apakah titik (โ5,6) terletak pada ๐๐ด(๐) ? jelaskan !
Jawab:
a. Ambil titik ๐บ(1,1) โ ๐
ๆฏ๐ด(๐) =ๆนโฒ, ๐บ โ ๐, ๐๐๐ ๐๐ด(๐บ) = ๐บโฒ
Maka ๐บโฒ โ ๐โฒ
๐๐ด(๐บ) = (2. (โ1) โ 1, 2.4 โ 1)
= (โ3, 7) = ๐บโฒ โ ๐โฒ
Menurut teorema 7.5 maka ๐โฒ โ/๐
sehingga ๐๐โฒ = ๐๐ = 2
jadi, persamaan ๐โฒ melalui ๐บโฒ(โ3, 7) dengan ๐=2
๐ฆ โ ๐ฆ1 = ๐(๐ฅ โ ๐ฅ1)
๐ฆ โ 7 = 2(๐ฅโ 3)
้จดโ 7 = 2๐ฅ + 6
๐ฆ = 2ใฐ + 13
Jadi, ๐โฒ = {(๐ฅ, ๐ฆ)| ๐ฆ = 2๐ฅ + 13}
b. Kasus I
Ambil titik ๐ป = ๐ด
๐ป(โ1,4) โ โ
SA(h) = hโฒ, H โ h, dan SA(H) = Hโฒ
Maka Hโฒ โ hโฒ
SA(H) = (2. (โ1) โ (โ1), 2.4 โ 4)
= (โ1, 4) = Hโฒ โ hโฒ
Menurut teorema 7.5 maka hโฒ โ/h
sehingga mhโฒ = mh = โ4
jadi, persamaan hโฒ melalui Gโฒ(โ1, 4) dengan m = โ4
y โ y1 = m(x โ x1)
y โ 4 = โ4(x โ (โ1))
y โ 4 = โ4x โ 4
y = โ4x
Jadi, hโฒ = {(x, y)|y = โ4}
Page 28
28
Kasus II
Ambil titik ๐ป โ ๐ด
๐ป(1, โ4) โ โ
SA(h) = hโฒ, H โ h, dan SA(H) = Hโฒ
Maka Hโฒ โ hโฒ
SA(H) = (2. (โ1) โ 1, 2.4 โ (โ4))
= (โ3, 12) = Hโฒ โ hโฒ
Menurut teorema 7.5 maka hโฒ โ/h
sehingga mhโฒ = mh = โ4
jadi, persamaan hโฒ melalui Gโฒ(โ3, 12) dengan m = โ4
y โ y1 = m(x โ x1)
y โ 12 = โ4(x โ (โ3))
y โ 12 = โ4x โ 12
y = โ4x
Jadi, hโฒ = {(x, y)|y = โ4}
c. Sumbu ๐ฅ โ ๐ฆ = 0 โ ๐๐๐๐๐ ๐
Ambil titik ๐บ(1,0) โ ๐ dan SA(๐) = ๐โฒ
Maka SA(๐บ) = ๐บโฒ = (2. (โ1) โ 1, 2.4 โ 0) = (โ3,8)
Sehingga ๐บโฒ โ gโฒ
Karena ๐//๐โฒ โ ๐๐ = ๐๐โฒ = 0
Persamaan himpunan melalui (โ3,8) dengan ๐ = 0
๐ฆ โ ๐ฆ1 = ๐(๐ฅ โ ๐ฅ1)
โ๐ฆ โ 8 = 0(๐ฅ + 3)
โ ๐ฆ = 8
Jadi, persamaan himpunan ๐๐ด(๐ ๐ข๐๐๐ข ๐ฅ) adalah ๐ฆ = 8
d. ๐๐ด(๐) = ๐โฒ = {(๐ฅ, แ)|@ = 2๐ฅ + 13}
๐๐๐๐ ๐ฅ = โ5 ๐๐๐๐ ๐ฆ = 2. (โ5) + 13 = 3 โ 6
Jadi (โ5,6) tidak terletak pada ๐๐ด(๐)
18. Diket: C = {(x, y)|x2 + (y โ 3)2 = 4
๐ = {(๐ฅ, ๐ฆ)|๐ฆ = ๐ฅ}
๐ด(3,2)
Page 29
29
Ditanya: Apakah ๐ท(2,5) โ ๐๐๐๐ด(๐ถ)?
Jawab:
๐ถ = {(๐ฅ, ๐ฆ)|๐ฅ2 + (๐ฆ โ 3)2 = 4 dengan pusat ๐(0,3) dan berjari-jari 2
๐ด(3,2)
๐๐ด(๐) = ๐โฒ = (2.3 โ 0,2.2 โ 3) = (6,1)
๐๐ด(๐ถ) = ๐ถโฒ
๐ถโฒ adalah lingkaran dengan pusat Mโฒ(6,1), jari-jari 2
Sehingga ๐ถโฒ = {(๐ฅ, ๐ฆ)|(๐ฅ โ 6)2 + (๐ฆ โ 1)2 = 4}
๐๐(๐ถโฒ) = ๐ถโฒโฒ
โบ ๐๐(6,1) = (1,6)
Jadi Mโฒโฒ(1,6) adalah pusat lingkaran Cโฒโฒ
๐ถโฒโฒ = (๐ฅ โ 1)2 + (๐ฆ โ 6)2 = 4
Jadi, MgSA(C) = Cโฒโฒ = (x โ 1)2 + (y โ 6)2 = 4
Jika x = 2, dan y = 5
Maka (2 โ 1)2 + (5 โ 6)2 = (1)2 + (โ1)2 = 1 + 1 = 2 โ 4
Jadi, D(2,5) โ MgSA(C)
20. Diket : ๐ = {(๐ฅ, ๐ฆ)|๐ฆ = 5๐ฅ + 7}
๐ = (โ3,2)
Ditanya : ๐๐(๐) = ๐โฒ?
Jawab:
Ambil sebarang titik ๐ด(๐ฅ, ๐ฆ) โ ๐
๐ฅ = โ1 โ ๐ฆ = โ5 + 7 = 2
Misal ๐ด(โ1,2), ๐ด โ ๐
๐๐(๐ด) = (2. (โ3)โ 1,2.2 โ 2)
= (โ6 + 1,4 โ 2)
= (โ5,2) = ๐ดโฒ โน ๐ดโฒ โ ๐โฒ
๐//๐โฒ โน ๐๐ = ๐๐โฒ = 5
ไฟโ ๐ฆ1 = ๐(๐ฅ โ ๐ฅ1)
โ ๐ฆ โ 2 = 5(๐ฅ + 5)
โ ๐ฆ โ 2 = 5๐ฅ โ 25
โ ๐ฆ = 5๐ฅ + 27
Page 30
30
Jadi, ๐๐(๐) = ๐โฒ = {(๐ฅ, ๐ฆ)|๐ฆ = 5๐ฅ + 27)
Tugas halaman 74
1. Diketahui : titik A dan B, garis ๐ โ ๐ด โ ๐, ๐ต โ ๐
Lukis :
a. ๐โฒ = ๐๐ด๐๐ต(๐)
b. Garis ๐ โ์ญ๐ด๐๐ต(๐) = ๐
c. Garis โ โ ๐๐ด๐๐ต(โ) = โ
Lukisan :
a. ๐โฒ = ๐๐ด๐๐ต(้)
b. Garis ๐ โ ๐๐ด๐๐ต(๐) = ๐
๐ = ๐๐ด๐๐ต(๐)
๐๐ต(๐)
๐ด ๐
๐โฒ = ๐๐ดใน๐ต(๐)
๐ ๐๐ต(๐)
๐ต ๐ด
ๆฃจ
Page 31
31
c. Garis โ โ ๐๐ด๐๐ต(โ) = โ
2. Diketahui : garis g dan h berpotongan. Titik A dan B tidak terletak pada garis
g dan h.
Lukis :
a. ๐๐๐๐ด๐๐ต(โ)
b. ๆฐ โ ๐๐ด๐๐ต๐โ(โ) = ๐
Lukisan :
a. ๐๐๐๐ด๐๐ต(โ)
b. ๐ โ ๐๐ด๐๐ต๐โ(โ) = ๐
3. Diketahui : ๐ = {(๐ฅ, ๐ฆ)โ2๐ฅ โ 5๐ฆ = 4} dan ๐ด = (1,4)
Ditanya :
a. apakah ๐ถ(โ1,6) โ ๐โฒ = ๐๐ด(๐)
b. persamaan ๐โฒ
Jawab :
a. ๐ โถ 2๐ฅ โ 5๐ฆ = 4
Karena ๐โฒ = ๐๐ด(๐) dan ๐ด = (1,4) โ ๐ maka menurut teorema 7.5, ๐//๐โฒ.
๐
โ
๐ต ๐ด
Page 32
32
Untuk mengetahui apakah ๐ถ(โ1,6) โ ๐โฒ = ๐๐ด(๐) maka harus dicari
๐๐ด(๐ถ) = (๐ฅ, ๐ฆ) lalu diselidiki apakah (๐ฅ, ๐ฆ) โ ๐
Menurut teorema 7.4 maka
๐๐ด(๐ถ) = (2.1โ 1,2.4 โ 6)
โ (๐ฅ, ๐ฆ) = (2 โ 1,8 โ 6)
โ (๐ฅ, ๐ฆ) = (1,2)
Maka diperoleh ๐ฅ = 1, ๐ฆ = 2
Substitusikan nilai ๐ฅ dan ๐ฆ ke persamaan ๐
Diperoleh 2.1 โ 5.2 = 2 โ 10 = โ8
Karena (๐ฅ, ๐ฆ) tidak memenuhi persamaan ๐ maka (๐ฅ, ๐ฆ) = ๐๐ด(๐ถ) โ ๐
maka ๐ถ โ ๐โฒ = ๐๐ด(๐)
b. Untuk menentukan persamaan ๐โฒ maka dihitung gradien ๐โฒ dan diambil
salah satu titik ๐ โ ๐, misalnya ๐ = (7,2)
Maka ๐๐ด(๐) = (2.1 โ 7,2.4 โ 2)
โ ๐๐ด(๐) = (2 โ 7,8 โ 2)
โ ๐๐ด(๐) = (โ5,6)
Karena ๐ โ ๐ dan ๐โฒ = ๐๐ด(๐) maka ๐๐ด(๐) โ ๐โฒ.
๐ โถ 2๐ฅ โ 5๐ฆ = 4 maka gradient ๐ adalah 2
5
๐โฒ = ๐๐ด(๐) sehingga ๐//๐โฒ maka gradien ๐ = gradien ๐โฒ =2
5
๐ฆ โ 7 =2
5(๐ฅ โ 2)
โ ๐ฆ = 7 +2
5๐ฅ โ
2
5. 2
โ ๐ฆ = 7 +2
5๐ฅ โ
4
5
โ ๐ฆ =2
5๐ฅ +
31
5
โ 5๐ฆ = 2๐ฅ + 31
โ โ2๐ฅ + 5๐ฆ = 31
Jadi, persamaan garis ๐โฒ adalah โ2๐ฅ + 5๐ฆ = 31.
4. Diketahui :๐ = {(๐ฅ, ๐ฆ)โ3๐ฅ + 2๐ฆ = 4} dan ๐ด = (โ2,1)
Page 33
33
Ditanya :
a. ๐ โ ๐ท = (3, ๐) โ ๐โฒ = ๐๐ด(๐)
b. Persamaan ๐โฒ
c. Persamaan โ โ ๐๐ด(โ) = ๐
Jawab :
a. Untuk menentukan ๐ maka diambil titik ๐ = (๐ฅ, ๐ฆ) โ ๐ sehingga
2. โ2 โ ๐ฅ = 3
โ โ4 โ ๐ฅ = 3
โ ๐ฅ = โ7
Substitusikan ๐ฅ = โ70 pada persamaan ๐ maka 3๐ฅ + 2๐ฆ = 4
โ 3. โ7 + 2๐ฆ = 4
โ โ21 + 2๐ฆ = 4
โ 2๐ฆ = 25
โ ๐ฆ =25
2
Maka ๐ = (๐ฅ, ๐ฆ) = (โ7,25
2)
Karena ๐ = (โ7,25
2) dan ๐ด = (โ2,1) maka menurut teorema 7.4 maka
๐๐ด(๐) = (2. โ2โ 7), 2.1 โ25
2
โ (3, ๐) = (โ4 + 7,2 โ25
2)
โ (3, ๐) = (3, โ21
5)
Sehingga diperoleh ๐ = โ21
5
b. Untuk menentukan persamaan ๐โฒ maka harus ditentukan gradien ๐โฒ
Karena ๐โฒ = ๐๐ด(๐) maka menurut teorema 7.5 ๐//๐โฒ sehingga gradien
๐ = gradien ๐โฒ
๐ โถ 3๐ฅ + 2๐ฆ = 4 maka gradien ๐ adalah โ3
2 sehingga gradien ใฑ
โฒ= โ
3
2
Berdasarkan jawaban soal a, maka ๐ท = (3, โ21
5) โ ๐โฒ
Sehingga persamaan แโฒ adalah
๐ฆ โ 3 = โ3
2(๐ฅโ
21
5)
Page 34
34
โ ๐ฆ = โ3
2(๐ฅ +
21
5) + 3
โ ๐ฆ = โ3
2๐ฅ โ
3
2.21
5
โ ๐ฆ = โ3
2๐ฅ โ
63
10
โ 10๐ฆ = โ15ใ โ 63
โ 15๐ฅ + 10๐ฆ = 63
Jadi, persamaan ๐โฒ adalah 15๐ฅ + 10๐ฆ = 63.
c. ๐_(โ) = ๐ maka ๐โ1๐ด(๐) = โ
Menurut teorema 7.3 แโ1๐ด = ๐๐ด sehingga ๐โ1
๐ด(๐) = ๐๐ด(๐) = โ
Dari jawaban soal b, ๐โฒ = ๐๐ด(๐) artinya ๐โฒ = ๐๐ด(๐) = โ sehingga
diperoleh ๐โฒ = โ
maka persamaan โ = persamaan ๐โฒ yaitu 15๐ฅ + 10๐ฆ = 63
Jadi, persamaan โ adalah 15๐ฅ + 10๐ฆ = 63.
5. Diketahui : kurva ๐ = {(๐ฅ, ๐ฆ)โ@ = ๐ฅ2} dan titik ๐ด = (3,1)
Ditanya :
a. Apakah ๐ต = (3, โ7) โ ๐โฒ = ๐๐ด(๐)
b. Persamaan kurva ๐โฒ
Jawab :
a. Untuk menyelidiki apakah ๐ต = (3, โ7) โ ๐โฒ = ๐๐ด(๐) maka harus dihitung
๐๐ด(๐ต)
Misalkan ๐๐ด(๐ต) = (๐ฅโฒ, ๐ฆโฒ) sehingga menurut teorema 7.4 diperoleh
๐๐ด(๐ต) = (2.3 โ 3,2.1โ 7)
โ (๐ฅโฒ, ๐ฆโฒ) = (6 โ 3,2 + 7)
โ (๐ฅโฒ, ๐ฆโฒ) = (3,9)
Maka ๐ฅโฒ = 3, ๐ฆโฒ = 9
Substitusikan (๐ฅโฒ, ๐ฆโฒ) = (3,9) ke persamaan ๐
diperoleh 9 = 32 memenuhi persamaan ๐ maka (๐ฅโฒ, ๐ฆโฒ) โ ๐
Karena ๐๐ด(๐ต) = (๐ฅโฒ, ๐ฆโฒ) โ ๐ dan ๐โฒ = ๐๐ด(๐) maka ๐ต โ ๐โฒ
Jadi, ๐ต = (3, โ7) โ ๐โฒ = ๐๐ด(๐)
Page 35
35
b. Untuk menentukan persamaan ๐โฒ maka harus ditentukan koordinat titik
puncak kurva ๐โฒ
Karena ๐ = {(๐ฅ, ๐ฆ)โ๐ฆ = ๐ฅ2} maka titik puncak ๐ adalah (0,0) dan titik
fokus kurva ๐ adalah (0,1
4)
Misalkan titik puncak ๐ adalah titik ๐ maka ๐ = (0,0) sehingga menurut
teorema 7.4,
๐๐ด(๐) = (2.3 โ 0,2.1 โ 0) = (6,2)
Karena ๐ โ ๐ dan ๐โฒ = ๐๐ด(๐) maka ๐๐ด(๐) โ ๐โฒ dan karena ๐ adalah
titik puncak ๅฐ maka ๐๐ด(๐) = (6,2) titik puncak ๐โฒ.
Misalkan titik fokus ๐ adalah ๐ maka ๐ = (0,1
4) sehingga menurut
teorema 7.4,
๐๐ด(๐) = (2.3 โ 0,2.1 โ1
4) = (6,
7
4)
Karena ๐ โ ๐ dan ๐โฒ = ๐๐ด(๐) maka ๐๐ด(๐) โ ๐โฒ dan karena ๐ adalah titik
fokus ๐ maka _๐ด(๐) = (6,7
4) titik fokus ๐โฒ
Sehingga diperoleh titik puncak ๐โฒ adalah (6,2) dan titik puncak ๐โฒ adalah
(6,7
4) maka kurva ๐โฒ menghadap ke bawah sehingga persamaan kurva ๐โฒ
adalah
(๐ฅ โ 6)2 = โ4. โ1
4(๐ฆ โ 2)
โ ๐ฅ2 โ 12๐ฅ + 36 = ๐ฆ โ 2
โ ๐ฆ = ๐ฅ2 โ 12ใ + 38
Jadi, persamaan kurva ๐โฒ = ๐๐ด(๐) adalah ๐ฆ = ๐ฅ2 โ 12๐ฅ + 38.
6. Diketahui : kSMkxCyyxgAyyxk Agx ',6,,0,,0,2,, 1
Ditanya : a) nilai x sehingga 'kC ; b) persamaan 'k
Selesaian :
a) Ambil P(m,n)
nmnmMnmMnmSMPSM ggAgAg ,4,4,22,
Hal ini berarti bahwa
Page 36
36
xx
xxM
xxM
xxSMkSM ggAgAg
1,4
1,4
1,22
1,
Maka 6
16
1 x
xyc ,
6
23
6
14 cx
Jadi, nilai x sehingga 'kC adalah 6
23
b) Misal 'kD
Untuk nilai x = 1, maka '1,31
1,14 kD
Maka untuk mencari persaman 'k dapat diperoleh dari dua titik yaitu
1,3dan 6,623 DC
176
2366
5
236
5
6
6
23186
236
5
6
6
233
6
23
61
6
12
1
12
1
xy
xy
xy
x
y
xy
xx
xx
yy
yy
7. Diketahui : Q titik tengah PR
Ditanya : Buktikan bahwa QRPQ SSSS
Bukti :
Ambil A(x,y), P(a,b), R(c,d), Q(e,f)
Karena Q titik tengah PR , maka dbfcae 21
21 ,
ybdbxacaybxaSyxSSASS QPQPQ 22,222,2,21
21
ydbxca ,
Page 37
37
a. ydbdxcacydbxcaSyxSSASS RQRQR 2,22,2,21
21
ydbxca 3,3 Nilai ๐ฅ โ ๐ถ = (๐ฅ, 6) โ ๐โฒ = ๐๐๐๐ด(๐)
b. Persamaan ๐โฒ
Jawab :
a. Untuk menyelidiki apakah ๐ฅ โ ๐ถ = (๐ฅ, 6) โ ๐โฒ = ๐๐๐๐ด(๐) maka harus
diambil
b. Untuk mencari persamaan ๐โฒ maka
8. Diketahui : ๐ถ = (2, โ1), ๐ = {(๐ฅ, ๐ฆ)โ๐ฆ = ๐ฅ}, โ = {(๐ฅ, ๐ฆ)โ๐ฆ = 3๐ฅ โ 2}
Ditanya : persamaan garis ๐ = ๐๐ถ๐๐(โ)
Jawab :
Ambil titik ๐ด (2,4) โ โ
Maka ๐๐(๐ด) = ๐๐(2,4) = (4,2) = ๐ดโฒ
Karena ๐๐(โ) = โโฒ,้จด โ โ, ๐๐๐ ๐๐(๐ด) = ๐ดโฒ
Maka ๐ดโฒ โ โโฒ
Mencari titik potong garis ๐ dan garis โ
โ: ๐ฆ1 = 3๐ฅ โ 2
๐: ๐ฆ2 = ๐ฅ
Titik potong garis _ dan garis โ adalah
๐ฆ1 = ๐ฆ2
3๐ฅ โ 2 = ๐ฅ
2๐ฅ = 2
๐ฅ = 1
Maka, ๐ฆ = 1
Jadi, titik potong garis ๐ dan garis โ adalah di (1,1)
Karena ๐๐(โ) = โโฒ
Maka (1,1) โ โโฒ
Sehingga garis โโฒ melalui titik (4,2) dan titik (1,1)
๐ฆ2 โ ๐ฆ1
๐ฆ โ ๐ฆ1=
๐ฅ2 โ ๐ฅ1
๐ฅ โ ๐ฅ1
1 โ 2
๐ฆ โ 2=
1 โ 4
๐ฅ โ 4
Page 38
38
โ1
๐ฆ โ 2=
โ3
๐ฅ โ 4
โ3๐ฆ + 6 = โ๐ฅ + 4
โ3๐ฆ + ๐ฅ = โ2
๐ฅ โ 3๐ฆ + 2 = 0
Jadi persamaan โโฒ: ๐ฅ โ 3๐ฆ + 2 = 0
Ambil titik ๐ต = (7,3) โ โโฒ
Maka ๐๐ถ(๐ต) = ๐๐ถ(7,3)
= (2.2 โ 7,2. (โ1) โ 3)
= (โ3, โ5) = ๐ตโฒ
Karena ๐ = ๐๐ถ๐๐โ
Atau ๐ = ๐๐ถ(โโฒ), ๐ต โ โโฒ dan ๐๐ถ(๐ต) = ๐ตโฒ
Maka ๐ตโฒ โ ๐
Sehingga ๐ melalui ๐ตโฒ = (โ3, โ5) dan ๐//โโฒ dengan ๐ =1
3
โ ๐ฆ1 = ๐(๐ฅ โ ๐ฅ1)
๐ฆ + 5 =1
3(๐ฅ + 3)
๐ฆ + 5 =1
3๐ฅ + 1
แ =1
3๐ฅ โ 4
3๐ฆ = ๐ฅ โ 12
Jadi persamaan garis ๐ = ๐๐ถ๐๐(โ) adalah 3๐ฆ = ๐ฅ โ 12.
9.a)Diketahui : garis g dan h
Ditanya : buktikan jika g//h maka transformasi MgMh tidak memiliki titik
tetap
Bukti :
Misal AA ''
Jelas ''' AAMAMM ghg
Karena g//h maka AA '' sehingga 'AAMM hg
Hal ini sebuah kontradiksi
Page 39
39
Maka pengandaian harus dibatalkan.
Karena menurut definisi A dinamakan titik tetap transformasi T apabila
berlaku T(A)=A dan sebuah setengah putar SA hanya memiliki satu titik tetap
yaitu A, sedangkan jika g//h diperoleh fakta bahwa 'AAMM hg dan
Ahg SAMM maka transformasi MgMh tidak memiliki titik tetap.
Jadi, jika g//h maka transformasi MgMh tidak memiliki titik tetap.
9.b)Diketahui : garis g, titik gA
Ditanya : buktikan SAMg tidak memiliki titik tetap
Bukti :
10. Diketahui : โ๐ด๐ต๐ถ, garis ๐ dan sebuah titik ๐พ โ ๐, ๐พ diluar daerah โ๐ด๐ต๐ถ.
Tentukan semua pasangan titik ๐ dan ๐ dengan ๐ โ ๐, ๐ โ โ๐ด๐ต๐ถ sehingga
๐พ titik tengah ๐๐ฬ
ฬ
ฬ
ฬ
?
Jawab:
11. Diketahui : lingkaran ๐ฟ1 dan ๐ฟ2. Salah satu titik potongnya adalah ๐ด.
๐ถ โ ๐ฟ1 dan ๐ท โ ๐ฟ2
Ditanya : Lukisan ruas garis ๐ถ๐ทฬ
ฬ
ฬ
ฬ
sehingga A titik tengah ruas garis ๐ถ๐ทฬ
ฬ
ฬ
ฬ
?
Jelaskan lukisan tersebut?
Jawab :
A titik tengah ๐ถ๐ทฬ
ฬ
ฬ
ฬ
, berarti ๐ด๐ถ = ๐ด๐ท
Jadi, ๐ฟ1 = ๐ฟ2 atau lingkaran pertama sama dengan lingkaran kedua.
๐ ๐ต
๐พ
๐ถ
๐ด
๐
๐
๐ถ ๐ท ๐ท
๐ฟ2 ๐ฟ1
Page 40
40
12. Diketahui: titik ๐ด dan garis ๐, ๐ด โ ๐
Ditanya :
a. Buktikan bahwa transformasi ๐๐ด๐ท๐ adalah sebuah refleksi pada suatu garis
dan garis mana yang menjadi sumbu refleksi ini?
b. Jika ๐ tegak lurus โ di titik ๐ด dan ๐ tegak lurus ๐ di titik B, buktikan
bahwa ๐๐ด๐๐ = ๐โ๐๐ต?
Jawab :
a. Ambil sebarang titik ๐ โ ๐
Diperoleh ร๐ด๐๐(๐) = ๐โฒ
Tarik garis โ โฅ ๐ yang melalui A
Tarik garis ๐๐โฒโฒ yang memotong garis โ dititik B,
sehingga ๐ถ๐ด = ๐๐ต ๐๐๐ ๐๐ถ = ๐ต๐ด
Lihat โ๐ถ๐ด๐โฒ ๐๐๐ โ๐ถ๐ด๐
๐ถ๐ด = ๐ถ๐ด (berhimpit)
๐ถ๐ = ๐ถ๐โฒ (Refleksi)
< ๐๐ถ๐ด =<ใฑโฒ๐ถ๐ด (Siku-Siku)
Berdasarkan teorema kekongruenan (S, Sd, S)
Sehingga dapat disimpulkan โ๐ถ๐ด๐โฒ โ
โ๐ถ๐ด๐
Salah satu akibatnya ๐ด๐โฒ = ๐ด๐
Lihat โ๐ด๐๐ต ๐๐๐ โ๐ด๐โฒโฒ๐ต
๐ดใฐ = ๐ด๐ต (berhimpit)
๐ด๐โฒ = ๐ด๐โฒโฒ (setengah putaran)
๐ ๐โ๐๐๐๐๐ ๐ด๐ =ใฐ๐โฒ = ๐ด๐โฒโฒ
๐๐ต2 = ๐ด๐2 โ ๐ด๐ต2 = ๐ด๐โฒโฒ2 โ ๐ด๐ต2 = ๐โฒโฒ๐ต2
Karena ๐ด๐ = ๐ด๐โฒ = ๐ด๐โฒโฒ, maka ๐๐ต = ๐โฒโฒ๐ต
Berdasarkan teorema kekongruenan (S, S, S)
Maka dapat disimpulkan โ๐ด๐๐ต โ
โ๐ด๐โฒโฒ๐ต
๐โฒโฒ
๐ต
๐ ๐ด
๐โฒ
๐
๐ถ
โ
๐
Page 41
41
Akibatnya ๐๐ต = ๐โฒโฒ๐ต
Karena O merupakan titik tengah ๐๐โฒโฒ, maka ๐๐ด๐๐(๐) = ๐โฒโฒ merupakan
refleksi dari P dengan sumbu refleksi adalah garis yang melalui titik ๐ต โฅ ๐.
Jadi, ๐๐ด๐๐ merupakan sebuah refleksi pada suatu garis, dan garis itu adalah
garis yang melalui A tegak lurus dengan ๐.
b. Ambil garis ๐ tegak lurus โ di titik ๐ด dan ๐ tegak lurus ๐ di titik ๐ต.
Adb ๐๐ด๐๐ = ๐โ๐๐ต
Menurut teorema 7.1 : โandaikan A sebuah titik, dan ๐ ๐๐๐ โ dua garis tegak
lurus yang berpotongan di A, maka ๐๐ด =็ญฝ๐๐โโ
Maka ๐๐ด = ๐๐๐โ dan ๐๐ต = ๐๐๐๐
Sehingga ๐๐ด๐๐ = (๐๐๐โ)๐๐
Karena ๐๐๐โ = ๐โ๐๐, maka diperoleh:
(๐๐๐โ)๐๐ = (๐โ๐๐)๐๐ = ๐โ๐๐๐๐
Sehingga
๐๐ด๐แ = (๐๐๐โ)๐๐ = (๐โ๐๐)๐๐ = ๐โ๐๐๐๐ = ๐โ(๐๐๐๐) = ๐โ๐๐ต
Jadi terbukti bahwa ๐๐ด๐๐ = ๐โ๐๐ต
13. Diketahui : ๐ด, ๐ต, ๐ถ tak segaris
Ditanya:
a. Pilih sebuah titik ๐ dan lukislah titik ๐โฒ = ๐๐ด ๐ต๐๐ถ(๐) !
b. Jika ๐ titik tengah ๐๐โฒฬ
ฬ
ฬ
ฬ
ฬ
, lukislah ๐โฒ = ๐๐ด๐๐ต๐๐ถ(๐) !
c. Perhatikan hubungan antara ๐ dan ๐โฒ. Apakah dugaan kita mengenai
jenis transformasi ๐๐ด๐๐ต๐๐ถ ?
Jawab:
๐
๐ด
h
๐ต
๐
Page 42
42
a.
b.
c. Karena ๐ = ๐๐ด๐๐ต๐๐ถ = ๐โ1 maka transformasi ๐๐ด๐๐ต๐๐ถ merupakan
transformasi identitas.
14. Diketahui : โ๐ด๐ต๐ถ, โ ๐ต = 90ยฐ
15. Diketahui : ๐ด = (0,0), ๐ต = (3, โ1)
Ditanya :
a) ๐ถโฒ = ๐๐ด๐๐ต(๐ถ) jika ๐ถ = (โ2,4)
b) ๐โฒ = ๐๐ต๐ ๐ด(๐ถ) jika ๐ = (๐ฅ, แ)
c) Apa yang dapat kami katakan tentang ๐ถ๐ถโฒ, ๐๐โฒ, ๐ด๐ต
Jawab :
a) Menurut teorema 7.4 maka
๐๐ด๐๐ต(๐ถ) = ๐๐ด(๐๐ฉ(๐ถ))
โ ๐๐ด๐ ๐ต(๐ถ) = ๐๐ด(2.3โ 2), 2. (โ1) โ 4
โ ๐๐ด๐ ๐ต(๐ถ) = ๐๐ด(6 + 2, โ2 โ 4)
โ ๐๐ด๐ ๐ต(๐ถ) = ๐๐ด(8, โ6)
โ ๐๐ด๐ ๐ต(๐ถ) = (2.0 โ 8,2.0โ 6)
โ ๐๐ด๐ ๐ต(๐ถ) = (0 โ 8,0 + 6)
โ ๐๐ด๐ ๐ต(๐ถ) = (โ8,6)
Jadi, ๐ถโฒ = ๐ใฑ๐๐ต(๐ถ) = (โ8,6)
b) Menurut teorema 7.4 maka
๐๐ต๐๐ด(๐) = ๐๐ต (ใฑ๐จ(๐))
โ ๐๐ต๐๐ด(๐) = ๐๐ต(2.0 โ ๐ฅ, 2.0 โ ๐ฆ)
โ ๐๐ต๐๐ด(๐) = ๐๐ต(0 โ ๐ฅ, 0 โ ๐ฆ)
โ ๐๐ต๐๐ด(๐) = ๐๐ต(โ๐ฅ, โ๐ฆ)
โ ๐๐ต๐๐ด(๐) = (2.3 โ (โ๐ฅ), 2. (โ1)โ (โ๐ฆ))
A
B
C P 'P
''P''P
M
'M
''M
Page 43
43
โ ๐๐ต๐๐ด(๐) = (6 + ๐ฅ, โ2 + ๐ฆ)
โ ๐๐ต๐๐ด(๐) = (๐ฅ + 6, ๐ฆ โ 2)
Jadi, ๐โฒ = ๐๐ต๐๐ด(๐) = (๐ฅ + 6, ๐ฆ โ 2)
c) Karena ๐ถ = (โ2,4) dan ๐ถโฒ = (โ8,6)
Maka persamaan ๐ถ๐ถโฒ :
๐ฅ โใฑ1
๐ฅ2 โ ๐ฅ1=
๐ฆ โ ๐ฆ1
๐ฆ2 โ ๐ฆ1โ
๐ฅ + 2
โ8 + 2=
๐ฆ โ 4
6 โ 4โ
๐ฅ + 2
โ6=
๐ฆ โ 4
2
โ โ6๐ฆ = 2๐ฅ + 4 โ 24 โ ๐ฆ = โ1
3๐ฅ +
10
3
Karena ๐ = (๐ฅ,ใฑ) dan ๐โฒ = (๐ฅ + 6, ๐ฆ โ 2)
Untuk tidak membuat rancu,
dimisalkan titik ๐ = (๐, ๐) dan ๐โฒ = (๐ + 6, ๐ โ 2)
Maka persamaan ๐๐โฒ:
๐ฅ โ ๐ฅ1
๐ฅ2 โ ๐ฅ1=
๐ฆ โ ๐ฆ1
๐ฆ2 โ ๐ฆ1โ
๐ฅ โ ๐
๐ + 6 โ ๐=
๐ฆ โ ๐
๐ โ 2 โ ๐โ
๐ฅ โ ๐
6=
๐ฆ โ ๐
โ2
โ 6๐ฆ = โ2๐ฅ + 2๐ + 6๐ โ ๐ฆ = โ1
3๐ฅ +
1
3๐ + ๐
Karena ๐ด = (0,0) ๐๐๐ ๐ต = (3, โ1)
Maka persamaan ๐ด๐ต:
๐ฅ โ ๐ฅ1
๐ฅ2 โ ๐ฅ1=
๐ฆ โ ๐ฆ1
๐ฆ2 ู
ูโ1
โ๐ฅ โ 0
3 โ 0=
๐ฆ โ 0
โ1 โ 0โ
๐ฅ
3=
๐ฆ
โ1
โ 3๐ฆ = โ๐ฅ โ ๐ฆ = โ1
3๐ฅ
Dari persamaanโpersamaan di atas, dapat dikatakan bahwa persamaan
๐ถ๐ถโฒ, ๐๐โฒ, dan ๐ด๐ต mempunyai gradien yang sama, yaitu โ1
3
16. Buktikan :
17. Diketahui : โ๐ด๐ต๐ถ dan sebuah titik ๐ ๐ถฬ
ฬ
ู
ุฎุชโ ฬ
ฬ
ฬ
ฬ
Lukis : di dalam โ๐ด๐ต๐ถ, sebuah โ๐๐0 yang kelilingnya paling pendek