Metode Regula-FalsiAtau Metode Posisi Palsu
Disusun untuk memenuhi tugas mata kuliah Metode NumerikDosen
Pengampu : Dr. Rochmad, M.SiRombel : 2
Oleh:
1. Cahyo Budi Santoso(4101410046)2. Richa Laila
Mawaddah(4101410068)3. Dianih Mahesti(4101410029)4. Krisna
Adesya(4101410099)5. Karunia Putri Permatasari(4101410089)6. Dian
Pramudita W. (4101411186)
JURUSAN MATEMATIKAFAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN
ALAMUNIVERSITAS NEGERI SEMARANG2013BAB IPENDAHULUAN
Dalam bidang sains dan rekayasa, para ahli ilmu alam dan
rekayasawan sering berhadapan dengan persoalan mencari solusi
persamaan lazim disebut akar persamaan (root of equation) atau
nilai-nilai nol yang berbentuk f(x) = 0. Beberapa persamaan
sederhana mudah ditemukan akarnya. misalnya 5x - 10 = 0.
Pemecahannya adalah dengan menambahkan 3 pada kedua ruas sehingga
menjadi 5x = 10, dengan demikian solusi akarnya adalah. Begitu juga
persamaan kuadratik seperti x 2 - 4x - 5 = 0, akar-akarnya mudah
ditentukan dengan cara pemfaktoran menjadi (x - 5) (x + 1) = 0,
sehingga diperoleh x = 5 dan x = -1Bentuk persamaan yang rumit atau
kompleks yang tidak dapat dipecahkan secara analitik. Jika metode
analitik tidak dapat menyelesaikan persamaan, maka kita masih bisa
mencari solusinya dengan menggunakan metode numeric. Dalam metode
numerik, persamaan akar f(x) = 0 dilakukan secara lelaran
(iteratif). Saat ini sudah banyak ditemukan metode pencarian akar.
Secara umum semua metode pencarian akar tersebut dapat
dikelompokkan menjadi dua golongan.
Metode Tertutup atau Metode Pengurung (Bracketing Method)Metode
yang termasuk ke dalam golongan ini mencari akar di dalam selang
[a, b]. Selang [a, b] sudah dipastikan berisi minimal satu buah
akar. Karena itu, metode jenis ini selalu berhasil menemukan akar.
Dengan kata lain, lelarannya selalu konvergen (menuju) ke akar.
Kadang-kadang metode tertutup dinamakan juga metode konvergen.
Metode TerbukaMetode terbuka tidak memerlukan selang [a, b] yang
mengandung akar. Yang diperlukan adalah tebakan awal akar, lalu
dengan menggunakan prosedur lelaran kira menghitung hampiran akar
yang baru. Pada tiap kali lelaran, hampiran akar yang lama dipakai
untuk menghitung hampiran akar yang baru. Mungkin saja hampiran
akar yang baru mendekati akar sejati (konvergen), atau mungkin juga
menjauhinya (divergen). Karena itu, metode terbuka tidak selalu
berhasil menemukan akar.
BAB IIPEMBAHASANA. METODE POSISI PALSUDalam metode bagidua nilai
fungsi belum digunakan untuk menghitung hampiran akar. Perbandingan
antara nilai f(a) dan f(b) yang nilainya lebih dekat ke nol akan
menentukan posisi akar apakah lebih dekat ke ujung kiri a atau ke
ujung kanan b.Metode posisi palsu memanfaatkan wawasan grafis ini
dengan cara menetapkan hampiran akar sebagai perpotongan antara
garis yang melalui titik-titik (a,f(a)) dan (b,f(b)) dengan sumbu
X. Andaikan titik potong tersebut adalah c, maka akar akan terletak
pada selang (a,c) atau (c,b). Selanjutnya penentuan selang mana
yang mengandung akar menggunakan cara yang sama seperti pada metode
bagi dua. Secara geometri metode ini diilustrasikan pada Gambar 2.1
dan Gambar 2.2 di bawah.
Gambar 2.1 Metode posisi palsu
acbf(a) = Af(b) = Bf(c) = CYX
Gambar 2.2 Metode posisi palsu
Perhatikan pada Gambar 2.1 segitiga BbC dan segitiga AaC.Dari
hubungan segitiga sebangun maka diperoleh hubungan:
Titik potong dengan sumbu X adalah
Untuk menghentikan iterasi ketentuan bahwa lebar selang yang
ditinjau sudah cukup kecil ternyata tidak dapat digunakan lagi.
Iterasi akan dihentikan bilamana dua hampiran akar yang beruntun
sudah hampir sama nilainya.
B. ALGORITMAAlgoritma program untuk metode posisi palsu adalah
sebagai berikut:1. Tentukan a, b, toleransi atau epsilon ( ), dan
jumlah iterasi maksimum2. Periksa apakah f(a). f(b) > 0; jika
ya, keluar dari program karena pada selang yang diberikan tidak
terdapat akar persamaan. Jika tidak, maka lanjutkan program.3.
Hitung nilai c dengan rumus berikut:
4. Jika ABS f(c) < toleransi, tuliskan c sebagai hasil
perhitungan dan akhiri program; jika tidak, lanjutkan ke langkah
berikutnya.5. Jika jumlah iterasi > iterasi maksimum, akhiri
program.6. Jika f(a). f(c) < 0, maka b = c: jika tidak, a = c.7.
Kembali ke langkah 3.
C. FLOWCHART
MulaiDefinisikan fungsiBaca a,b, tol, iter_maxIter = 0Fa =
f(a)Fb = f(b)Fa*Fb>0Iter = Iter + 1Fc = f(c)ABS f(c)
Iter_maxFa*Fc 0; jika ya, keluar dari program karena pada selang
yang diberikan tidak terdapat akar persamaan. a = 0, f(a) = e0 4.0
= 1> 0 b = 1, f(b) = e1 4.1 = -1,28172 < 0 Algoritma 3:Hitung
nilai c dengan rumus berikut:
Algoritma 4:Jika |f(c)| < toleransi, tuliskan c sebagai hasil
perhitungan dan akhiri program; jika tidak, lanjutkan ke langkah
berikutnya.Jelas |f(c)| = 0,561734 > 10-5 .Algoritma 5:Jika
jumlah itersai > iterasi maksimum, akhiri program.Iterasi : 1
< 30, lanjutkan perhitungan.Algoritma 6:Jika f(a). f(c) < 0,
maka b = c; jika tidak, a = c.Jelas f(a). f(c) = 1 x e 0,438266 4 .
0,438266 = -0,2030474 0) thenbeginwriteln;writeln('Hampiran salah
satu akar tidak terdapat pada selang tersebut');writeln('Silakan,
Cari Selang yang lain ^_^');writeln;writeln('Tentukan selang (a,b)
');write('Tentukan Batas bawah (a) =');read(a);write('Tentukan
Batas atas (b) =');read(b);write('Tentukan Toleransi
=');read(tol);write('Jumlah iterasi maksimum
=');read(max_iter);F_a:=f(a);F_b:=f(b);
repeatwriteln;writeln('Hampiran salah satu akar tidak terdapat
pada selang tersebut');writeln('Silakan, Cari Selang yang lain
^_^');writeln;writeln('Tentukan selang (a,b) ');write('Tentukan
Batas bawah (a) =');read(a);write('Tentukan Batas atas (b)
=');read(b);write('Tentukan Toleransi =');read(tol);write('Jumlah
iterasi maksimum
=');read(max_iter);iter:=0;F_a:=f(a);F_b:=f(b);until F_a*F_b