MAKALAH MATIMATIKA (2)

MAKALAHMATEMATIKA

DISUSUN OLEH:

1.AWIS AL’QARNY 103310017

2.BUDIYONO 103130019

3.CINTYA ARIESTA 103310086

4.ELYANA 103230020

5.JULIANA 103230014

6.MARDANINGSIH 103130033

7.RATIH 103310056

8.SENDY RHEZA JANUAR 103310067

9.SHINTA AFRIMA SAFITRI 103230052

10.YUSTINA SITUMEANG 103130016

DAFTAR ISI

BAB 1 1.TEORI HIMPUNAN.....................................

BAB 2 2.SISTEM BILANGAN REAL...........................

BAB 3 3.MATRIK,RELASI,DAN FUNGSI................

BAB 4 4.DASAR DASAR LOGIKA...........................

BAB.1

TEORI HIMPUNAN

Himpunan ( Set )

Himpunan ( set ) adalah kumpulan objek – objek yang berbeda.Objek didalam himpunan disebut elemen, unsur atau anggota.

A. Cara Penyajian Himpunan1. Enumerasi2. Simbol – simbol Baku3. Notasi pembentuk himpunan4. Diagram Venn

1. Enumerasi Menuliskan semua elemen himpunan yang bersngkutan diantara dua buah kurung

kurawal.a. Contoh :- Himpunan empat bilangan asli pertama A={ 1,2,3,4 }.- Himpunan lima bilangan genap positif pertama B={ 2,4,6,8,10 }.- C ={ kucing,a,amir,10,paku }.- R ={ a,b,{a,b,c},{a,c} }.- C ={ a,{a},{{a}} }.- K = { 0 }.- Himpunan 100 buah bilangan asli pertama : { 1,2,3,...100 }.- Himpunan bilangan bulat ditulis sebagai : { ...,-1,-2,0,1,2,... }.

b. KeanggotaanX ϵ A : X merupakan anggota himpunan A.X A: x merupakan bukan anggota himpunan A.

Contoh Enumerasi :Misal; A ={ 1,2,3,4 }

R = { a,b,{a,b,c},{a,c} }K = {{}}

Maka

2. Simbol – simbol Baku=> Simbol – simbol baku yang biasa digunakan untuk mendefinisikan himpunan.

P = Himpunan bilangan bulat positif ={ 1,2,3,... }N = Himpunan bilangan Alami (natural)={ 1,2,...}Z = Himpunan bilangan bulat ={ ...,-2,-1,0,1,2,... }Q = Himpunan bilangan rasionalR = Himpunan bilangan RiilC = Himpunan bilangan KompleksI = Himpunan bilangan Irasional

- Himpunan universal : semesta disimbolkan dengan U.Contoh :

Misalkan U ={ 1,2,3,4,5 } dan A adalah himpunan bagian dari U,dengan A ={ 1,3.5 }.

3. Notasi Pembentukan Himpunan Dinyatakan dengan menulis syarat yang harus dipenuhi anggota.

Notasi : { X | syarat yang harus dipenuhi oleh X }

Aturan dalam penulisan syarat keanggotaana. Bagian kiri “ | “ melambangkan elemen himpunan.b. Tanda “ | “ dibaca dimana atau sedemikian hingga.c. Bagian kanan “ | “ menunjukkan keanggotaan himpunan.d. Setiap tanda “ , “ didalam syarat keanggotaan dibaca sebagai dan.

Contoh : ( i ) A adalah himpunan bilangan bulat positif yang kecil dari lima A = { X|X adalah bilangan bulat positif lebih kecil dari 5 } Atau A = { X | X ϵ P ,X < 5 } Yang ekivalen dengan A={ 1,2,3,4 }

( ii ) M= { X | X mahasiswa yang mengambil MA 2333 }

4. Diagram Venn Menyajikan himpunan secara grafis. Himpunan semesta ( U ) digambarkan sebagai suatu segi empat sedangkan himpunan

lainnya digambarkan sebagai langkah dalam segi empat tersebut.

Misal :Contoh 1 :

U = { 1,2,3,4,5,6,7,8 }A = { 1,2,3,5 }B = { 2,5,6,8 }

Maka diagram Venn nya

U 7

4

A B

Contoh 2 :Misalkan U = { 1,2,3,4,5,6,7,8 }

A = { 1,2,3,4,5 } B = { 2,5,6,8 }

Diagram Venn nya U 7

A B

B. JENIS – JENIS HIMPUNAN1. Himpunan Kosong

Himpunan yang tidak memiliki satu pun elemen atau himpunan yang kardinal = 0 disebut himpunan kosong ( Null set ).

Notasi : Ø atau { }

Contoh :P = { orang indonesia yang pernah ke bulan }Maka ƞ(p)=0

1 2

3 5

2 6

5 8

1

3 4

2 6

5 8

2. Himpunan Bagian ( Subset ) Himpunan A dikatakan himpunan bagian B jika dan hanya jika setiap elemen A

merupakan elemen dari B.Dalam hal ini B dikatakan superset dari A.

Notasi: A ⊆ B

Diagram Venn nya

U

Contoh 2 :

A= { 1,2,3 }

B = { 1,2,3,4,5 }

Maka A ⊆ B

{ 1,2,3 } ⊆ { 1,2,3,4,5 }

Contoh 1 :(i) { 1, 2, 3} ⊆ {1, 2, 3, 4, 5}(ii) {1, 2, 3} ⊆ {1, 2, 3}(iii) N ⊆ Z ⊆ R ⊆ C(iv) Jika A = { (x, y) | x + y < 4, x ≥, y ≥ 0 } dan

B = { (x, y) | 2x + y < 4, x ≥ 0 dan y ≥ 0 },

Maka A ⊆ B

Himpunan Bagian (Subset)- TEOREMA 1. Untuk sembarang himpunan A berlaku hal – hal sebagai

berikut :(a) A adalah himpunan bagian dari A itu sendiri (yaitu, A ⊆ A).(b) Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari A (∅ ⊆ A).(c) Jika A ⊆ B dan B ⊆ C, maka A ⊆ C- Ø ⊆ A dan A ⊆ A, maka dan A disebuthimpunan bagian tak sebenarnya

(improper subset) dari himpunan A.

Contoh: A = {1, 2, 3}, maka {1, 2, 3} dan Ø adalah improper subset dari A.

- A ⊆ B berbeda dengan A ⊂ B A ⊂ B : A adalah himpunan bagian dari B tetapi A ≠ B.A adalah himpunan bagian sebenarnya (proper subset) d iB dari B.Contoh:

AB

(i) {1} dan {2, 3} adalah proper subset dari {1, 2, 3}(ii) A ⊆ B : digunakan untuk menyatakan bahwa A adalah himpunan bagian (subset) dari B yang memungkinkan A =

- B.

3. Himpunan yang sama Himpunan A dikatakan sama dengan B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan

elemen B dan sebaliknya setiap elemen B merupakan elemen A.

Notasi : A = B ↔ A ⊆ B dan B ⊆ A

Contoh :

(i) Jika A = { 0, 1 } dan B = { x | x (x – 1) = 0 }, maka A = B(ii) Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B = {5, 3, 8 }, maka A = B(iii) Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B = {3, 8}, maka A ≠ B

Untuk tiga buah himpunan, A, B, dan C berlaku aksioma berikut:(a) A = A, B = B, dan C = C(b) jika A = B, maka B = A(c) jika A = B dan B = C, maka A = C

Tiga prinsip yang perlu di ingat dalam memeriksa kesamaan dua buah himpunan :

a. Urutan elemen didalam himpunan tidak penting jadi { 1,2,3 } = { 3,2,1 } = { 1,3,2 }

b. Pengulangan elemen tidak mempengaruhi kesamaan dua buah himpunanJadi { 1,1,1,1 } = { 1,1 } = { 1 }

c. Untuk tiga buah himpunan A,B dan C berlaku Aksioma ( hukum ) sebagai berikut :~ A = A B = B C = C~ jika A = B maka B = A~ jika A = B dan B = C maka A = C.

4. Himpuna yang Ekivalen Himpunan A dikatakan Ekivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika kardinal

( banyaknya anggota ) dari dua himpunan tersebut sama.Notasi : A ~ B ↔ | A | = | B |

Contoh :Misalkan A = { 1, 3, 5, 7 }

B ={ a, b, c, d }, maka A ~ B sebab |A| = |B| = 4.

5. Himpunan Saling Lepas Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas ( disjoint ) jika keduanya tidak memiliki

elemen yang sama.Notasi : A // B

Diagram Venn nya

U

Contoh :Jika A = { x | x ∈ P, x < 8 } dan B = { 10, 20, 30,...}maka A // B.

6. Himpunan Kuasa Himpunan kuasa ( power set ) dari himpunan A adalah suatu himpunan yang elemennya

merupakan semua himpunan kosong dan himpunan A itu sendiri.

Notasi : P ( A ) atau 2 A Jika |A| = m, maka |P(A)| = 2m.

Contoh 1 :Jika A = { 1, 2 }, maka P(A) = { Ø, { 1 }, { 2 }, { 1, 2 }}

Contoh 2 :Himpunan kuasa dari himpunan kosong adalah P(Ø) = {Ø}, dan himpunan kuasa dari himpunan {Ø} adalah P({Ø}) = {Ø, {Ø}}.

C. OPERASI TERHADAP HIMPUNANa. Irisan (intersection)b. Gabungan (union)c. Komplemen (complement)d. Selisih (difference)e. Beda Setangkup (Symmetric Difference)f. Perkalian Kartesian (cartesian product)

a. Irisan ( intersection ) Irisan dari himpunan A dan B adalah himpunan yang setiap elemennya merupakan

elemen dari himpunan A dan himpunan B.Notasi : A ∩ B = { x | x ∈ A dan x ∈ B }

A B

Diagram Venn nya

U

A B A ∩ B

Contoh 1:(i) Jika A = {2, 4, 6, 8, 10} dan B = {4, 10, 14, 18}, maka A ∩ B = {4, 10}(ii) Jika A = { 3, 5, 9 } dan B = { -2, 6 }, maka

A ∩ B = Ø. Artinya: A // B.

Contoh 2 :Jika A = { 2,4,6,8,10 } B = { 4,10,14,18 }

Maka :A ∩ B = { 4,10 }

Diagram Venn nya

U

A B

A ∩ B

b. Gabungan ( Union ) Gabungan ( Union ) dari himpunan A dan B adalah himpunan yang setiap anggotanya

merupakan anggota himpunan A atau himpunan B.

Notasi : A ∪ B = { x | x ∈ A atau x ∈ B }

2 6

8

4 14

10 18

Diagram Venn nya

U

A B A ∪ B

Contoh 1 :(i) Jika A = { 2, 5, 8 } dan B = { 7, 5, 22 }, maka A ∪ B = { 2, 5, 7, 8, 22 }(ii) A ∪ Ø = A

Contoh 2 :

Jika A = { 2,5,8 }

B = { 7,5,22 }

Maka A ∪ B = { 2,5,7,8,22,}.

c. Komplemen ( complement ) Komplemen dari suatu himpunan A terhadap suatu himpunan semesta ( U ) adalah

suatu himpunan yang elemennya merupakan elemen U yang bukan A.

Notasi : = { x | x ∈ U, x ∉ A }

Diagram Venn nya

U

A

Contoh 1 :Misalkan U = { 1, 2, 3, ..., 9 },jika A = {1, 3, 7, 9}, maka = {2, 4, 6, 8}

Jika A = { x | x/2 ∈ P, x < 9 }, maka = { 1, 3, 5, 7, 9 } .

Contoh 2 :Misalkan:A = himpunan semua mobil buatan dalam negeriB = himpunan semua mobil imporC = himpunan semua mobil yang dibuat sebelum tahun 1990D = himpunan semua mobil yang nilai jualnya kurang dari Rp 100 jutaE = himpunan semua mobil milik mahasiswa universitas tertentu“mobil mahasiswa di universitas ini produksi dalam negeri atau diimpor dari luar negeri” → (E ∩ A) ∪ (E ∩ B) atau E ∩ (A ∪ B)“semua mobil produksi dalam negeri yang dibuat sebelum tahun 1990 yang nilai jualnya kurang dari Rp 100 juta” → A ∩ C ∩ D“semua mobil impor buatan setelah tahun 1990 mempunyai nilai jual lebih dari Rp 100 juta” → C ∩ D ∩ B.

d. Selisih ( difference ) Selisih dari himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan

elemen A dan B dapat juga dikatakan sebagai komplemen himpunan B relatif terhadap himpunan.

Notasi : A – B = { x | x ∈ A dan x ∉ B } = A ∩ B

Diagram Venn nya

U

A B

A -B

Contoh 1 : A = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 }

B = { 2,4,6,8,10 }A – B = { 1,3,5,7,9 }B – A = Ø

e. Beda Setangkup ( Symmetric difference ) Beda setangkup dari himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang elemennya ada

pada himpunan A dan B, tetapi tidak pada keduanya.

Notasi: A Ø B = ( A ∪ B ) – ( A ∩ B ) = ( A – B ) ∪ ( B – A )

Diagram Venn nya

U

A B

Contoh 1:

Jika A = { 2, 4, 6 } dan B = { 2, 3, 5 }, maka A ⊕ B

= { 3, 4, 5, 6 }.

Contoh 2 :

MisalkanU = himpunan mahasiswaP = himpunan mahasiswa yang nilai ujian UTS di atas 80Q = himpunan mahasiswa yang nilain ujian UAS di atas 80Seorang mahasiswa mendapat nilai A jika nilai UTS dan nilai UAS keduanya di atas 80, mendapat nilai B jika salah satu ujian di atas 80, dan mendapat nilai C jika kedua ujian di bawah 80.“Semua mahasiswa yang mendapat nilai A” : P ∩ Q“Semua mahasiswa yang mendapat nilai B” : P ⊕ Q“Semua mahasiswa yang mendapat nilai C” : U – (P ∪ Q)

Beda Setangkup (Symmetric Difference)- TEOREMA: Beda setangkup memenuhi sifat-sifat berikut:

(a) A ⊕ B = B ⊕ A (hukum komutatif)(b) (A ⊕ B ) ⊕ C = A ⊕ (B ⊕ C ) (hukum asosiatif)

f. Perkalian Kartesian ( Cartesian Product ) Perkalian kartesian dari himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang elemennya

semua pasangan berurutan yang mungkin terbentuk dengan komponen pertama dari himpunan A dan komponen kedua dari himpunan B.

Notasi: A × B = {( a , b ) ⏐ a ∈ A dan b ∈ B }

Contoh 1 :(i) Misalkan C = { 1, 2, 3 }, dan D = { a, b }, maka C × D = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) }

(ii) Misalkan A = B = himpunan semua bilangan riil, maka A X B=himpunan semua titik di bidang datar.

Contoh 2 :

C = { 1,2,3,}B = { a,b }

Maka perkalian kartesian C dan D adalah : C X D = { (1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b) }

D. SIFAT – SIFAT OPERASI HIMPUNAN1. Hukum Identitas

o A ∪ Ø = Ao A ∩ U = Ao A ⊕ Ø = A

2. Hukum Nullo A ∩ U = Uo A ∩ Ø = Øo A ⊕ A = Ø

3. Hukum Komplemeno A ∪ A’ = Uo A ∩ A’ = Ø

4. Hukum Idempoteno A ∪ A = Ao A ∩ A = A

5. Hukum Involusio ( ) = A

6. Hukum Penyerapano A ∪ (A∩ B) = Ao A ∩ ( A ∪ B ) = A

7. Hukum Komutatifo A ∪ B = B ∪ Ao A ∩ B = B ∩ Ao A ⊕ B = B ⊕ A8. Hukum Asosiatifo

oo A ⊕ ( B ⊕ C ) = ( A o ⊕ B ) ⊕ C

9. Hukum Distributifo A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ (A ∪C )o A ∩ ( B∪ C ) = ( A ∩ B )∪ (A ∩C )

10. Hukum de Morgan

o = ∪

o = ∩11. Hukum 0/1

o Ø = ∪o = Ø

Prinsip Dualitas Prinsip dualitas: dua konsep yang berbeda dapat dipertukarkan namun

tetap memberikan jawaban yang benar.

Contoh: AS → kemudi mobil di kiri depan Indonesia) → kemudi mobil di kanan depanPeraturan:(a) di Amerika Serikat,mobil harus berjalan di bagian kanan jalan,pada jalan yang berlajur banyak, lajur kiri untuk mendahului,bila lampu merah menyala, mobil belok kanan boleh langsung(b) di Inggris,mobil harus berjalan di bagian kiri jalan,pada jalur yang berlajur banyak, lajur kanan untuk mendahului,bila lampu merah menyala, mobil belok kiri boleh langsung

maka :Konsep kiri dan kanan dapat dipertukarkan pada kedua negara tersebut sehingga peraturan yang berlaku di Amerika Serikat menjadi berlaku pula di Indonesia.

.

Prinsip Dualitas pada HimpunanMisalkan S adalah suatu kesamaan (identity) yang melibatkan himpunan dan operasi-operasi seperti ∪, ∩ , dan komplemen. Jika S* diperoleh dari S dengan mengganti ∪ → ∩ , ∩→ ∪ , Ø→ U, U →Ø , sedangkan komplemen dibiarkan seperti semula, maka kesamaan S* juga benar dan disebut dual dari kesamaan S.

BAB 2SISTEM BILANGAN REAL

A. SIFAT – SIFAT BILANGAN REAL ( SIFAT MEDAN )1. Hukum Komutatif

o X + Y = Y + X dan XY = YX2. Hukum Asosiatif

o X + ( Y + Z ) + Z dan X(YZ) = (XY)Z3. Hukum Distributif

o X (Y + Z ) = XY + XZ4. Elemen – elemen Identitas

o Terdapat dua bilangan Real yang berlainan 0 dan 1 yang memenuhiX + O = X dan X.1 = X untuk setiap bilangan Real X.

5. Balikan ( Invers )o Setiap bilangan X mempunyai balikan penambahan ( disebut juga

negatif / -X )yang memenuhi.X + ( - X ) = 0

o Setiap bilangan X kecuali 0 mempunyai balikan perkalian ( disebut juga kebalikan / X-1 yang memenuhi.X . X-1 = 1.

Urutan :Bilangan real tak nol dipisahkan dengan baik menjadi dua himpunan terpisah yaitu ;

bilangan real positif dan bilangan real negatif.

Fakta ini memungkinkan kita untuk memperkenalkan Relasi urutan “ < “(dibaca lebih kecil dari ) dengan X < Y Y – X adalah Positif.

Sifat – sifat Urutan :1. Trikotomi : Jika X dan Y adalah bilangan – bilangan maka pasti salah satu

diantara berikut berlaku X < Y atau X = Y atau X > Y.2. Ketransitifan : X < Y dan Y < Z → X < Z3. Penambahan : X < Y → X + Z < Y + Z4. Perkalian bilangan Z positif : X < Y XZ < YZ

Bilangan Z negatif : X < Y XZ < YZRelasi urutan “ “ ( dibaca kurang dari / sama dengan )Relasi ini didefinisikan sebagai berikut:

X Y Y – X positif atau NolKetidaksamaan ( < ,≤ , > ,≥ )Selang – selang ( interval )

Selang terbukaa < x < b → menggambarkan semua bilangan antara a dan b tidak termasuk titik – titik ujung a dan b.

B. PENYELESAIAN KETIDAKSAMAAN

Kita dapat melaksanakan operasi –operasi tertentu pada suatu ketidaksamaan tanpa mengubah himpunan penyelesaiannya.1. Kita dapat menambahkan bilangan yang sama pada ruas suatu ketidaksamaan.2. Kita dapat mengalihkan kedua ruas suatu ketidaksamaan dengan suatu bilangan

positif.3. Kita dapat mengalihkan kedua ruas dengan suatu bilangan negatif, tetapi

kemudian kita harus mengembalikan arah tanda ketidaksamaan.

Contoh 1 :2X – 7 < 4X – 2

Selesaikan dan gambar grafik himpunan...?? 2X – 7 < 4X – 2 → tambah 7 2X < 4X + 5 →tambah -4X-2X < 5 → kalikan -1/2 X > -5/2

Grafik

-3 -2 -1 0

Contoh 2 :X2 – X < 6 →tambah -6X2 – X -6 < 0 → faktorkan( X-3 )( X + 2 ) < 0X =3 X=-2

Jadi -2 & 3 adalah titik pemecah titik – titik ini membagi garis real menjadi 3 selang ( -∞,-2 ), ( -2,3) dan ( 3,∞ ). Grafik + - +

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Titik – titik uji ( test point ) untuk menentukan tanda + ( positif ) atau – (negatif )

Titik Uji Nilai dari( X -3 ) ( X + 2 )

Tanda

-3 ( -6 ) ( -1 ) +0 ( -3 ) ( 2 ) -5 ( 2 ) ( 7 ) +

C. NILAI MUTLAK,AKAR KUADRAT DAN KUADRAT

Nilai mutlak suatu bilangan real X dinyatakan dengan | X | didefinisikan sebagai,| X | = X jika X ≥ 0| X | = -X jika X <0

Contoh : | 6 | = 6, | 0 | = 0 dan | -5 | = -(-5 ) = 5

a. Sifat – sifat nilai mutlak1. | ab | = |a ||b |

2. | |=

3. |a + b | ≤ | a| + | b |

4. | a-b | ≤ | |a|-|b| |

b. Ketidak samaan yang malibatkan nilai mutlak → suatu cara terbaik untuk membayangkan nilai mutlak adalah

Sebagai jarak (tak searah) khususnya ,|X| adalah antara X dengan Q. ( X – a ) – ( a – X )

a b

- Jika |X | < 3 maka jarak antara X dan titik asal harus lebih kecil dari pada 3 dan lebih besar dari -3 jadi -3 < X < 3.

-3 0 3

| X | < 3- Berlawanan jika | X | > 3 atau X < - 3

-3 0 3 | X | > 3

| X | < a → -a < X < a| X | > a → X < -a atau X > a

Contoh 1 :Selesaikan ketidaksamaan | X – 1 | < 2 dan perlihatkan himpunan penyelesaian pada garis real,perkirakan nilai mutlak sebagai suatu jarak.| X – 4 | < 2 →| X | < a → -a < X < a

| X -4 |< 2 → -2 < X -4 < 2→ tambah 4 2 < X < 6.

Grafik :

1 2 3 4 5 6 7

Contoh 2 :Selesaikan ketidaksamaan| 3X – 5 | ≥ 1| X | > a → X < -a atau X > a3X – 5 ≤ -1 atau 3X – 5 ≥ 13X ≤ 4 3X ≥ 6 X ≤ 4/3 atau X ≥ 2

Himpunan penyelesaian berupa gabungan dua selang ( -∞,4/3 ) U ( 2 , ∞ )

4/3 2

c. Akar Kuadrat

Setiap bilangan positif mempunyai 2 akar kuadrat misal dua akar kuadrat dari 9 adalah -3 dan 3 kadang- kadang kita menyatakan dengan ± 3

-untuk a ≥ o ,lambang √a disebut akar kuadrat utama dari a, yang menyatakan akar kuadrat tak negatif daria, jadi √a=3 tidak benar jika menuliskan √a=-3 ,√a berarti akar kuadrat tak negatif,

√x2 = |x|

Rumus kuadrat persamaan ax2 +bx +c = 0

X=

d = b2-4ac → diskriminan

Contoh; selesaikan x2 - 2x -4 ≤ 0

X1 = X2 =

= =

= =

= - = +

= 1- = 1 +

= 1- = 1 +

≈ - 1,25 ≈ 3,24

Grafik :

-2 -1,25 -1 0 1 2 3 3,24 4

Titik uji Nilai dariX2 – 2X - 4

Tanda

-2 4 + 4 - 4 +

0 -4 -

4 16 – 8 – 4 +

d. Kuadrat

|X |2= X 2

Ini berasal dari sifat |a||b|=|ab|

Selesaikan ketidaksamaan | 3X + 1 | < 2|X – 6 ||3X + 1|< 2|X – 6| |2X + 1| < |2X – 12|

(3X + 1)2 < (2X – 12)2

9X2+6X+1 < 4X2-48+1445X2+54X-143 < 0( X + 13 )(5X – 11 )< 0

Titik pemecah X1=-13 X2=11/5

Selang-selangnya (-∞,-13),(-13,11/5),(11/5,∞)

+ - +

-3 0 11/5

Titik Uji Nilai dari( X + 13 )(5X – 11 )

Tanda

-3 (10)(9) +0 (13)(-11) -

11/5 +

e. Sistem Koordinat Cartesius

Y sumbu koordinat Y

3

2 sumbu koordinat X1 X

-3 -2 -1 0 1 2 3-1

-2 titik asal

-3

| X | < | y | → X2 < Y2

Dua buah garis real satu mendatar dan yang lain tegak sedemikian hingga keduanya berpotongan pada titik nol dari kedua garis tersebut.Dua garis itu dinamakan sumbu koordinat.

- Setiap titik P pada bidang dapat dinyatakan dengan pasangan – pasangan bilangan yang disebut koordinat cartesius-nya.

- Misal P (ab)→(a,b)→disebut pasangan berurutan- Bilangan a adalah koordinat X ( atau absis).- Bilangan b adalah koordinat y (atau ordinat).

Rumus jarak Y a 2 + b2 = c2

c P (a,b) Teorema pytagoras b

X a

Y Q(x2,y2) P(x,y) (y2-y1)

(x1-y2) X

d (P,Q)=√(x2-x1)2+(y2-y1)2

Contoh: Carilah jarak antaraP (-2,3) dan Q(4,-1)

Penyelesaian :

4

P(-2,3) 32

1

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4-1 Q(4,-1-2

-3

-4

d =

=

=

=

=≈ 7,21

Persamaan LingkaranLingkaran →himpunan titik-titik yang terletak pada suatu jarak tetap(jari-jari)dari

suatu titik tetap(pusat). y

(x2,y2)←(x,y)

X (x1,y1)

Misal lingkaran dengan jari-jari 3 berpusat di (-1,2) andaikan (x,y) dinyatakan titik sembarang pada lingkaran ini menurut rumus jarak.

(-1,2)

Atau (r)

d (PQ) =

3 =

9 =Bila kedua ruas dikuadratkan

(x+1)2 + (y-2)2 = 9

Maka Lingkaran berjari – jari r dan pusat (h,k) mempunyai persamaan

(x-h)2 + (y-k)2 = r2 → persamaan baku sebuah lingkaran

Contoh Soal :Carilah persamaan lingkaran berjari – jari 5 dan pusat ( 1,-5).

Carilah juga koordinat y dari dua titik pada lingkaran ini dengan koordinat x =2.

Dik : r = 5(1,-5) h , k

dit : Persamaan Lingkaran(x-h)2 + (y-k)2 = r2

(x-1)2 + (y-(-5))2 = 52

(x-1)2 + (y+5)2 = 25 → persamaan lingkaran

Koordinay yX=2 → (x-1)2 + (y+5)2 = 25

(2-1)2 + (y+5)2 = 25 1 + (y+5)2 = 25

(y+5)2 = 25 -1

Y+5 =

Y = -5 ±

Rumus titik tengahy

Y2 Q(x2-y2)

Y1 P(y1,y2)

XX1 x2

P(X1,Y1) dan Q (X2,Y2) dengan x1 ≤ x2 dari y1 ≤ y2

Jarak x1 dan x2 = (x2-x1) ½ jarak x1 dan x2 = ½ (x2-x1) X1+ ½ (x2 – x1) = x1 + ½ x2 – ½ x1

= x1 – ½ x1 + ½ x2

= ½ x1 + ½ x2

= x1 + x2

2

Dengan cara sama kita dapat memperoleh titik tengah y y1 + ½ ( y2-y2) = y1 + ½ y2 – ½ y1

= y1 – ½ y1 + ½ y2

= ½ y1 + ½ y2

= y1 + y2 2

Rumus titik tengah

X1 + x2 , y1 + y2 2 2

Contoh soal :Carilah persamaan lingkaran yang mempunyai potongan garis tengah dari (1,3) ke (7,11) sebagai garis tengahnya pusar lingkaran berada ditengah –tengah diameternya

Dit : - Persamaan LingkaranPusat ( h,k)Y (x-h)2 + (y-k)2 =r2

X1 +x2 , y1 + y2 2 21 + 7 3 + 11 2 2

Pusat = ( 4,7)

d =

x =

=

=

= =10

r = 1/2 d= 1/2 .10= 5

Pers = ( x- h )2 + ( y-k )2 = r2

( x-4)2 + ( y-7)2 = 25Garis Lurus

Sebuah kurva yang paling sederhana adalah dua titik yang dihubungkan dengan garis lurus.Garis lurus → garis unik yang melalui dua titik.

yB ( 8,4)

A ( 3,2 )

x

Garis kemiringan ( gradien ) Kenaikan ( perubahan vertical ) pada sumbu y Larian ( perubahan horizontal ) pada sumbu x Pada garis diatas A (3,2) → A ( x1,y1)

B (8,4) → B (x2,y2)

Kemiringan (gradien) = kenaikan Larian

M = y2 – y1 X2 – x1

r

d

y

B (X2,Y2) B (X2’,Y2’)

A’(X1’,Y1’) A(X1,Y1)

x

y-y1 = m (x-x1)persamaan garisy-y2 = m( x – x1 ).

Contoh soal :

(8,4) (x,y)

(3,2)

Carilah persamaan garis yang melalui ( 3,2)

= m

= Y – y1= m(x – x1)Y -2 = 2/5 (x-3 )y-2 = 2/5 x – 6/5

dikali 55y – 10 = 2x – 62x – 5y + 4 = 0

MATRIK

Adalah susunan saklar elemen – elemen dalam bentuk baris dan kolom. Matrik A yang berukuran dari m baris dan n kolom (m x n) adalah ;

A11……….A12……….A1n

A=B21……….B22……….B2n

Cm1……..Cm2……..Cmn

Jika m=n matrik tersebut dinamakan matrik bukur sangkar (square matrik). Terkadang kita menuliskan matrik dengan notasi ringkas A=[aij]

Aij = disebut elemen matrik pada baris ke-i dan kolom ke j

Contoh matrik berukuran 3 x4 ;

2 5 0 6

A= 8 7 5 4

3 1 1 8

Beberapa matrik khusus

1. Matrik diagonal→ matrik bujur sangkar dengan aij = 0 untuk i ≠ j Contoh matrik diagonal yang berukuran 3 x 3

1 0 0 2 0 00 2 0 dan 0 0 00 0 3 0 0 -1

2. Matrik identitas (I)→matrik diagonal dengan semua elemen diagonal = 1Contoh matrik (I) = 3 x 3 dan 4 x 41 0 0 1 0 0 00 1 0 0 1 0 00 0 1 0 0 1 0

0 0 0 1

3. Matrik segitiga atas/bawah →matrik jika elemen – elemen diatas atau dibawah diagonal bernilai 0, yaitu aij=0 Jika i < j ( i > j )

Contoh 1 0 0 0 2 6 6 4 5 7 0 0 dan 0 3 7 3 6 0 3 0 0 0 0 2 2 4 2 6 0 0 0 8

4. Matrik transpose→matrik yang diperoleh dengan mempertukarkan baris dengan kolom.Misal A =[aij] berukuran m x n, maka transpose dari matrik A ditulis A’ adalah n x m yang dalam hal ini untuk i = 1, 2……..n dan j = 1, 2……..mContoh ; sebuah matrik A dan transposenya AᵗA= 1 2 3 Aᵗ= 1 4 4 5 6 2 5

3 65. Matrik setangkup (symetri)

A adalah matrik setangkup atau simetri jika dengan kata lain, pada matrik setangkup elemen dibawah diagonal adalah hasil pencerminan dari elemen diatas diagonal terhadap sumbu diagonal matrik.Contoh1 5 6 2 2 6 6 4 5 7 0 4 dan 6 3 7 3 6 0 3 -2 6 7 0 2 2 4 -2 6 -4 3 2 8

6. Matrik 0/1 (zero – one)→adalah matrik yang setiap elemennya hanya bernilai 0 atau 1. Matrik ini banyak digunakan untuk mempersentasikan relasi keterhubungan.Contoh 0 1 1 0

0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1

Operasi Aritmatika Matrik

1. Penjumlahan dua buah matrik ↔ kedua matrik dapat dijumlahkan jika kedua nya sama.↔ misal A = (aij) dan B = (bij), masing –masing berukuran m x n menghasilkan matrik C = (cij) ukuran m xn.[Cij = aij + bij untuk setiap i dan j ]

↔ operasi pengurangan sama dengan operasi penjumlahan, tetapi dengan mengganti operator “+” dengan operator “-“.

Contoh penjumlahan dua matrik

1 2 3 5 6 8 1+5 2+6 3+8 6 8 11

0 5 2 + 7 -3 9 = 0+7 5+(-3) 2+9 = 7 2 11 6 0 3 6 2 1 4+6 7+2 8+1 10 9 9

2. Perkalian dua buah matrikDua buah matrik dapat dikalikan jika jumlah kolom matrik pertama sama dengan jumlah baris matrik kedua.↔ misal A = (aij) adalah m x n dan B = (bij) adalah matrik n x p maka, perkalian dilambangkan dengan AB, menghasilkan matrik C = (cij) yang berukuran m xp.Contoh perkalian matrik1 3 x 2 0 -4 2 -1 x 3 -2 6

(1)*(2)+(3)*(3) (1)*(0)+(3)*(-2) (1)*(-4)+(3)*(6)(2)*(2)+(-1)*(3) (2)*(0)+(-1)*(-2) (2)*(-4)+(-1)+(-6)

= 11 -6 14 1 1 -14

Sifat sifat operasi perkalian matrik Perkalian matrik tidak komutatif yaitu AB ≠ BA Hukum asosiatif berlaku pada operasi matrik (AB)C = A(BC) Hukum distributive berlaku pada operasi matriks

↔ A(B +C) = AB + AC (hukum distributive kiri)↔(B + C)A = BA + CA ( hukum distributive kanan )

Perkalian matrik identitas I tidak mengubah matrik yaitu AΙ = ΙA = A Perpangkatan matrik didefinisikan sebagai berikut A°= AA A adalah matrik otogonal jika AAᵗ = Ι

3. Perkalian matrik dengan saklar

Misal k adalah sebuah seklar, perkalian matrik A dengan saklar adalah mengalikan setiap elemen matrik dengan k

a11……….a12……….a1n

a21……….a22……….a2n

am1……..am2……..amn

K.A = 3A = ka11……….ka12……….ka1n

ka21……….ka22……….ka2n

kam1…….kam2……..kamn

Contoh

A = 2 1 0

3 7 5 x 3

-2 0 4

KA = 3A = 3*2 3*1 3*0

3*3 3*7 3*5

3*(-2) 3*0 3*4

= 6 3 0

9 21 15

-6 0 12

BAB 4

DASAR- DASAR LOGIKA

Proposisi (Proposition)

Kalimat deklartif yang bernilai benar (true) atau salah (false), tetapi tidak dapat sekaligus keduanya kebenaran atau kesalahan dari sebuah kalimat disebut nilai kebenaran nya (truth value).

Contoh:

1. 6 adalah bilangan genap2. 2 + 2 = 43. Ibu kota propinsi Jawaw Barat adalah Semarang4. Jam berapa kereta tiba?5. Serahkan uangmu!6. X + 3 =8

Mengkombinasikan Proposisi

Operator yang digunakan untuk mengkombinasikan proposisi disebut operator logika (dan = and, atau = or, tidak = not).

Dan (and), tidak (or) -> operator biner. Tidak (not) -> uner. Proposisi baru hasil penggabungan oleh operator logika dinamakan proposisis majemuk

(coumpud proposition). Propisisi yang bukan kombinasi disebut proposisi atomik.

Proposisi Majemuk ada 3 macam ;

1. Konjungsi = (konjungsition) → notasi p ^q adalah proposisi p dan q.2. Disjungsi = (disjungtion) →notasi p v q aadalah proposisi p atau q.3. Ingkaran = (negative) →notasi ~p adalah proposisi.

Contoh:

Diketahui proposisi – proposisi sebagai berikut ;

P = Hari ini hujan.

Q = Murid – murid diliburkan dari sekolah.

Maka

P ^ Q = Hari ini hujan dan murid – murid diliburkan dari sekolah .

P V Q = Hari ini hujan atau murid – murid diliburkan dari sekolah.

~P = Tidak benar hari ini hujan.

Tabel Kebenaran

Misal p dan q adalah proposisi

1. Konjungsi = p ^ q bernilai benar jika p dan q keduanya benar, selain itu benar.2. Disjungsi = p v q bernilai salah jika p dan q keduanya salah, selain itu benar.3. Notasi yaitu ~p = bernilai benar jika p salah, seballiknya bernilai benar jika P benar.4. Beda setangkup = bernilai salah jika keduanya sama, selain itu benar.

Tabel kebenaran

Konjungsi

P Q P ^ Q

T T T

T F F

F T F

F F F

Disjungsi

P Q P v Q

T T T

T F T

F T T

F F F

Ingkaran

P ~P

T F

F T

Contoh

Jika p, q dan r adalah proposisi buat tabel kebenaran dari ekspresi ( ~p ^ q ) + ( q ^ r ).

P Q R ~P ~R ( ~P ^ Q )

( Q ^ ~R)

( ~P ^ Q ) + (Q ^ ~R)

T F T F F F F F

T F F F T F T T

T T T F F F F F

T T F F T F F F

F F T T F T F T

F F F T T T T F

F T T T F F F F

F T F T T F F F