Matematika TerapanMatriks dan Vektor, Integral Garis, dan
Fourier Transform
DISUSUN OLEH :Maulana Rakhman3334120710Aviyanuvasari3334121135RE
Dinar Rahmawati3334121138Gatra Bagus Prakoso3334120040Edwin
Abraham3334121550Rendi Mulyadi3334120038Agata Kasyahanda Rizky
P3334121524
Jurusan Teknik Metalurgi Fakultas TeknikUniversitas Sultan Ageng
Tirtayasa2013DAFTAR ISIHalamanHALAMAN JUDUL.. iDAFTAR ISI ...iiBAB
I MATRIKS DAN VEKTOR1.1 Definisi Matriks dan Vektor..11.2
Pengoperasian Matriks dan Vektor21.2.1 Penjumlahan dan Pengurangan
Matriks.21.2.2 Perkalian Antar Matriks.21.2.3 Perkalian Matriks
dengan Vektor...21.3 Bentuk Bentuk Matriks...31.4 Determinan
Matriks...41.5 Penggunaan Matriks dan Vektor pada Matlab...41.5.1
Manipulasi Vektor..7BAB II INTEGRAL GARIS2.1 Pengertian Integral
Garis...102.2 Teorema Green...112.2.1 Bentuk Vektor Untuk Teorema
Green...112.3 Teorema Stokes..122.4 Teorema Divergensi...14BAB III
FOURIER TRANSFORM3.1 Pengertian Fourier Transform173.2 Fourier
Transform dengan Matlab.18DAFTAR PUSTAKA
BAB IMATRIKS DAN VEKTOR
1.1 Definisi Matriks dan VektorMatriks ialah kumpulan bilangan
yang disajikan secara teratur dalam baris dan kolom yang membentuk
suatu persegi panjang, serta termuat diantara sepasang tanda
kurung. Secara umum, suatu matriks dituliskan sebagai :A =
Sedangkan vektor ialah bentuk matriks khusus yang hanya mempunyai
satu baris atau satu kolom. Vektor baris adalah matriks sebaris
atau matriks berbaris tunggal. Vektor kolom adalah matriks sekolom
atau matriks berkolom tunggal.Contoh vector baris :A = Contoh
vector kolom :B =
1.2 Pengoperasian Matriks dan Vektor1.2.1 Penjumlahan dan
Pengurangan MatriksDalam penjumlahan antar matriks berlaku kaidah
komutatif dan kaidak asosiatif.Kaidah komutatif :A + B = B +
AKaidah asosiatif :A + (B + C) = (A + B) + C = A + B + C
1.2.2 Perkalian Antar MatriksDua buah matriks hanya dapat
dikalikan apabila jumlah kolom dari matriksyang dikalikan sama
dengan jumlah baris dari matriks pengalinya. Hasil kali dua buah
matriks adalah sebuah matriks baru, yang unsur-unsurnya merupakan
perkalian silang unsur-unsur baru matriks A dengan unsur-unsur
matriks B.
1.2.3 Perkalian Matriks dengan VektorSebuah matriks yang buka
berbentuk vektor hanya dapat dikalikan dengan sebuah vektor kolom,
dengan catatan jumlah kolom matriks sama dengan dimensi vektor
kolom yang bersangkutan, hasilnya adalah berupa sebuah vektor kolom
baru.
1.3 Bentuk Bentuk Matriks Matriks satuan
Matriks diagonalMatriks diagonal adalah matriks bujursangkar
yang semua unsurnya nol kecuali pada diagonal.
Matriks nolMatriks nol adalah matriks yang semua unsurnya
nol.
Matriks Transpose Matriks simetrikMatriks simetrik adalah
matriks bujursangkar yang sama dengan negatif ubahannya
(transposenya).Matriks A dikatakan simetrik apabila A = A. Matriks
simetrik miringMatriks simetrik miring adalah matriks bujursangkar
yang sama dengan negatif ubahannya (transposenya). Matriks A
dikatakan simetrik miring (skew symmetric) apabila A = -A atau A =
-A. Matriks balikanMatriks balikan (invers matriks) adalah matriks
yang apabila dikalikan dengan suatu matriks bujursangkar
menghasilkan sebuah matriks satuan. Jika A merupakan sebuah matriks
bujursangkar, maka balikannya dituliskan dengan notasi A-1 dan AA-1
= I
1.4 Determinan MatriksDeterminan dari sebuah matriks ialah
penulisan unsur-unsur sebuah matriks bujursangkar dalam bentuk
determinan, yaitu diantara sepasang garis tegak. Pencarian nilai
numerik dari suatu determinan dapat dilakukan dengan cara
mengalikan unsur-unsurnya secara diagonal.Det =
1.5 Penggunaan Matriks dan Vektor pada MatlabSalah satu fitur
yang dimiliki oleh Matlab adalah penggunaan vector sebagai objek.
Vektor adalah sebuah larik satu-dimensi dari bilangan-bilangan yang
tersusun dalam baris atau kolom. Vektor kolom dapat dibuat dengan
cara menyusun bilangan-bilangan dalam sebuah kurung kotak yang mana
setiap elemen dibatasi titik koma.>> A=[1;2;3]A =123Sedangkan
untuk membuat vektor yang berbentuk baris adalah dengan menyusun
bilangan-bilangan yang dibatasi dalam kurung kotak dan setiap
elemen dipisahkan oleh spasi atau tanda titik koma.>>
A=[1,2,3,4]A =1 2 3 4Untuk menyatakan vektor baris dengan
elemen-elemen dengan pola tertentu juga dapat dibuat>> x=1:5x
=1 2 3 4 5Vektor tersebut juga dapat dituliskan dengan carax=[1 2 3
4 5]Sekarang cobalah dengan pernyataan Matlab berikut ini>>
y=0:2:10y =0 2 4 6 8 10Dengan demikian vektor yang berurutan dengan
pola tertentu dapat dinyatakan secara umum sebagainama_vektor=
bawah : panjang_langkah : atasUntuk mengakses elemen pada vektor x
maka kita dapat melakukannya dengan
caranama_vektor(indeks_elemen)Contoh:>>y(2)ans =2>>
4*y(3)ans =16Cara lain yang dapat digunakan untuk menyatakan vektor
berurutan dengan pola tertentu adalah dengan perintah
linspace.>> z=linspace(0,10,5)z =0 2.5000 5.0000 7.5000
10.0000Secara umum dapat dituliskan
sebagainama_vektor=linspace(bawah,atas,jmlh_elemen)
1.5.1 Manipulasi VektorDi pasal ini akan dibahas perhitungan
sederhana yang melibatkan vektor, dengan mengenalkan operasi dot
(.). Lihat contoh berikut.>> v=[1,2,3,4,5];>> 2*vans
=246810Contoh di atas menjelaskan bahwa untuk mengalikan 2 pada
setiap elemen vektor dapat dilakukan dengan cara seperti di
atas.>> v=[1,2,3,4,5];>> w=[2,3,4,5,6];>> v.*wans
=26122030Hasil di atas dapat dinyatakan secara umum sebagai[v1w1 ,v
2w2 , v3w3 ,v 4w4 ,v5w5 ]Selanjutnya jika v dan w dilakukan operasi
pembagian pada setiap elemen seletak, maka digunakan operasi
v./w.>> v=[1,2,3,4,5];>> w=[2,3,4,5,6];>> y=v./wy
=0.50000.66670.75000.80000.8333atau dapat dinyatakan sebagai
Contoh Dapatkan nilai fungsi dari untuk domain dengan panjang
langkah
0.2.Penyelesaianx=0:0.2:2;f=x.^3;g=x.^2+1;y=f./g;disp([y'])Hasilnya
adalah00.00770.05520.15880.31220.50000.70820.92701.15061.37551.6000Vektor
yang telah kita bahas di atas semuanya berbentuk baris. Untuk
membuat vektor yang berbentuk kolom, dapat dibuat dengan memberikan
tanda titik koma (semicolon) pada elemen-elemennya.>>
v=[1;2;3;4;5]v =12345
BAB IIINTEGRAL GARIS
2.1 Pengertian Integral GarisIntegral Garis adalah Integrasi
yang dilakukan sepanjang garis tertentu. Untuk suatu fungsi skalar
, yang diintegralkan sepanjang suatu kurva "mulus C , yang memiliki
potongan infitesimal kurva sepanjang ds, Integral garis
didefinisikan:
dimana,
Dan adalah persamaan parametrisasi kurva C , yang memiliki titik
awal di a, dan titik akhir di b.Jika a=b (titik awal dan akhir
sama), maka integral ini disebut integral kurva tertutup (closed
line integral), penulisannya jadi:
Jika adalah fungsi yang berbentuk vektor, maka definisi
dimodifikasi sedikit. Integral garis fungsi vector pada kurva C ,
yang dinyatakan oleh parametrisasi kurva didefinisikan:
Jika kurva tertutup, jadi:
Terdapat beberapa Teorema yang umum digunakan untuk integral
garis,yaitu Teorema Green, Teorema Stokes, dan Teorema Gauss.
2.2 Teorema GreenTeorema Dasar Kalkulus mengatakan bahwa
Di sini, terdapat hubungan antara integral di ruas kiri dan
"integral" dari batasnya. Teorema Green di bidang memberi hubungan
antara integral lipat dua dan integral garis pada batasnya. Misal D
daerah di bidang dan C lengkungan tertutup `sederhana' (yang tidak
memotong dirinya sendiri) dan mulus bagian demi bagian di D. Misal
P(x; y) dan Q(x; y) dua fungsi yang didenisikan pada D dan
mempunyai turunan parsial kontinu. Maka :
dengan R menyatakan daerah tertutup yang dilingkupi oleh C.
2.2.1 Bentuk Vektor Untuk Teorema GreenBentuk vector untuk
teorema green, Jika F = (M;N) menyatakan medan vektor, maka :
Suku terakhir di ruas kanan, yakni , sering dinotasikan sebagai
div F (baca:divergensi dari F). Teorema Green menyatakan bahwa:
Integral di ruas kanan dapat dinyatakan sebagai integral
terhadap panjang lengkungan.
Dengan menyatakan vektor satuan pada lengkungan C. ( Disini ).
Jadi, dalam bentuk vektor, Teorema Green berbunyi :
2.3 Teorema StokesTangensial komponen dari suatu vektor A di
sekeliling lengkung tertutup C sama dengan integral luas dari
komponen normal dari rotasi A jika dikenakan pada permukaan S yang
dibatasi oleh C
Contoh :A=(2x-y)i yz2j y2zkS adalah setengah permukaan bolax2 +
y2 + z2 = 1
Keliling C adalah lingkaran pada bidang xy berjari-jari 1(satu)
dan berpusat dititik (0,0). Lintasan C ditulis dalam koordinat
polarMaka :
Teorema stokes
Maka :
= (-2yz + 2yz)i + (0-0)j + (0+1)k= k
Terbukti Teorema Stokes
2.4 Teorema DivergensiTeorema divergensi yang dikenal juga
dengan teorema Gauss. Integral Luas dari komponen normal suatu
vektor A meliputi suatu luas tertutup, sama dengan integral dari
divergensi A terhadap volume yang ditutupi oleh luas tersebut.
Andaikan S suatu benda pejal tertutup dan terbatas dalam ruang
dimensi-3, yang secara lengkap dicakup oleh suatu permukaan mulus
sepotong-sepotong .
Gambar 2.1 Teorema DivergensiTeorema GaussAndaikan F = Mi + Nj +
Pk suatu medan vektor demikian sehingga M, N, dan P mempunyai
turunan parsial pertama yang kontinu pada S dan batasnya S. Jika n
menyatakan normal satuan terluar terhadap , maka :
BuktiPertama tinjau kasus dimana S adalah x sederhana, y
sederhana,dan z sederhana. Cukup menunjukan bahwa :
Cukup membuktikan yang ketiga, karena yang lain serupa. Karena S
adalah z sederhana, maka S dapat dijelaskan oleh . Seperti pada
gambar 2.2.
Gambar 2.2 Penjelasan Teorema GaussS terdiri dari 3 bagian; S1
yang berpadanan dengan ; S2 yang berpadanan dengan ; dan permukaan
S3 samping yang boleh kosong; pada S3, , sehingga dapat
diabaikan.
Jadi,
BAB IIIFOURIER TRANSFORM
3.1 Pengertian Fourier TransformFourier transform merupakan
operasi matematika yang bertujuan untuk dekomposisi dari suatu
sinyal (umumnya bentuk time-domain) ke unsur pokok berdasarkan
frekuensi yang terkandung. Secara umum sinyal berbasis waktu atau
ditulis f(t) dapat diformula dalam bentuk periodic waveform sebagai
berikut:
Sebagai ilustrasi, misalkan kita mempunyai sinyal sebagai
berikut
Selanjutnya kita melakukan transformasi fourier dan hasilnya
menjadi sebagai berikut
3.2 Fourier Transform Dengan MatlabUntuk menggunakan fourier
transform kita membutuhkan Symbolic Math Toolbox dan kita dapat
memanfaatkan fungsi fourier untuk mengeksekusi fourier transform.
Sebagai contoh kita mempunyai fungsi yaitu selanjutnya kalau kita
melakukan transformasi fourier maka hasilnya menjadi
Berikut ini kode program nya dengan menggunakan Matlab :syms t v
w x;
f = exp(-x^2);
fw=fourier(f)
Selanjutnya dieksekusi melalui Matlab command. Hasilnya seperti
dibawah ini
Supaya hasilnya lebih baik, tambahkan dengan fungsi pretty(fw)
dan hasilnya menjadi seperti dibawah ini.Selanjutnya dengan fungsi
unit step yaitu dan kalau digambarkan akan menghasilkan seperti
dibawah ini
Kalau fungsi unit step ini dilakukan transformasi fourier akan
menghasilkan fungsi sebagai berikut
dan gambarnya fungsinya menjadi
Fungsi unit step dapat memanfaatkan fungsi heaviside(x) sehingga
transformasi dari fungsi unit step akan menjadi sebagai berikutsyms
t w f;
u0 = heaviside(t);
fw = fourier(u0)
Maka hasilnya akan seperti dibawah ini
Kalau kita perhatikan di atas, disana tertulis dirac(w) . Ini
menunjukan fungsi .Kalau kita panggil fungsi pretty(fw) maka akan
menghasilkan simbolik matematika yang bagus sebagai berikut
Mari kita lebih komplek lagi. Misalkan kita mempunyai fungsi
sebagai berikut
Kalau kita lakukan perhitungan transformasi fourier akan
menghasilkan fungsi sebagai berikut
Sedangkan implementasi dengan menggunakan Matlab sebagai
berikutsyms t w;
x = -exp(-t)*heaviside(t)+3*dirac(t);
fw = fourier(x)
Hasil eksekusinya sebagai berikut
Disini variabel i menunjukkan nilai imaginer atau j.Kalau kita
panggil pretty(fw) maka hasilnya menjadi
DAFTAR PUSTAKA
Benoit Boulet, Fundamental of Signals and Systems, Charles River
Media, 2006 Horn RA, Johnson CR. 1985. Matrix Analysis. New York:
Cambridge University Press.Matlab Help documentationPurcell. 1999.
Kalkulus dan Geometri Analisis Jilid 2. Jakarta: ErlanggaZhang F.
1999. Matrix Theory: Basic Results and Techniques. New York:
Springer-Verlag