MAKALAH KELOMPOK 6

INVERS DARI FUNGSI, FUNGSI INVERS, KELAS

BERINDEKS DARI HIMPUNAN, DAN

KARDINALITAS

OLEH:

KELOMPOK 6

1. D. Trisnayani S. Lumbanraja (NIM. 4143311007)

2. Dian Septiarsa Sebayang (NIM. 4143311009)

3. Esterida Sinaga (NIM. 4143311010)

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS NEGERI MEDAN

2015

KATA PENGANTAR

Puji syukur kita haturkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Kuasa karena berkat dan

rahmat-Nya kami dapat menyelesaikan makalah ini dengan baik. Bahan-bahan makalah ini

diambil dari media cetak dengan berbagai judul. Makalah ini kami buat dengan tampilan

yang semenarik mungkin agar para pembaca menjadi terkesan.

Dalam makalah ini kami akan membahas “Invers dari Fungsi, Fungsi Invers, Kelas

Berindeks dari Himpunan, dan Kardinalitas”. Makalah ini berisi data tentang fungsi yang

banyak dicari pada kalangan mahasiswa. Semoga saja dengan makalah ini kita dapat lebih

mengetahui informasi-informasi tentang fungsi.

Kami mengucapkan terima kasih kepada Bapak Budi Halomoan Siregar, S.Pd., M.Sc

atas bimbingan dan arahan sebagai dosen pembimbing Himpunan dan Logika dan juga kami

berterimakasih kepada semua pihak yang telah membantu kami dalam menyelesaikan

makalah ini. Akan tetapi, kami juga menyadari bahwa masih terdapat kekurangan dalam

makalah ini. Untuk itu, dengan senang hati kami senantiasa menerima kritik maupun saran

yang akan membangun dari para pembaca. Akhir kata, semoga makalah ini bermanfaat bagi

para pembaca semua.

Medan, 12 Oktober 2015

Pemakalah

2

DAFTAR ISI

Halaman

KATA PENGANTAR...............................................................................................2

DAFTAR ISI..............................................................................................................3

BAB I PENDAHULUAN..........................................................................................4

BAB II BAHASAN MATERI...................................................................................5

2.1 Invers dari Fungsi.................................................................................5

2.2 Fungsi Invers.........................................................................................6

2.3 Kelas Berindeks dari Himpunan.........................................................8

2.4 Kardinalitas...........................................................................................9

BAB III KESIMPULAN..........................................................................................14

DAFTAR PUSTAKA................................................................................................15

3

BAB I

PENDAHULUAN

Fungsi dalam matematika adalah suatu relasi yang menghubungkan setiap anggota x

dalam suatu himpunan yang disebut daerah asal (Domain) dengan suatu nilai tunggal f(x) dari

suatu himpunan kedua yang disebut daerah kawan (Kodomain). Himpunan nilai yang

diperoleh dari relasi tersebut disebut daerah hasil ( Range). Begitu penting untuk kita

memahami pelajaran mengenai fungsi.

Namun demikian apabila kita lihat pembelajaran di kampus, tidak sedikit mahasiswa

yang menemui kesulitan dalam pembelajaran konsep-konsep tentang fungsi, sehingga kami

ditugaskan membuat makalah yang diberikan oleh Bapak Budi Halomoan Siregar, S.Pd.,

M.Sc kepada kelompok kami yaitu pembelajaran tentang fungsi dengan materi: Invers dari

fungsi, Fungsi Invers, Kelas Berindeks dari Himpunan, dan Kardinalitas.

4

BAB II

BAHASAN MATERI

A. INVERS DARI FUNGSI

Ditentukan f adalah fungsi dari A ke B, dan bB. Invers dari f yang dinyatakan dengan

f-1(b) terdiri dari anggota-anggota A yang dipasangkan ke b oleh f (yaitu anggota a yang

mempunyai image b).

Jelasnya: Jika f: A→B maka f-1(b) = {x|xA, f(x)=b}

Contoh:

1. Misalkan fungsi f: A→B didefenisikan oleh diagram:

Carilah invers dari f-1(x), f-1(y) dan f-1(z)

Penyelesaian:

Maka f-1 (x) = {b,c}, karena baik b maupun c keduanya memiliki x sebagai titik

bayangan mereka.

f-1(y)={a}, karena hanya a yang dipetakan kepada y

Dan invers dari z, f-1(z), adalah himpunan nol (), karena tidak ada elemen A yang

dipetakan kepada z.

Sekarang kita akan memperluas fungsi invers. Misal f: A→B dan ditentukan

himpunan D sebagai subset B (D B). Maka bayangan invers dari D oleh f dinyatakan

sebagai f-1(D) merupakan himpunan dari anggota A yang dipasangkan ke anggota D.

Jelasnya: f-1(D)={x|x A, f(x) D}.

5

Contoh:

1. Misalkan fungsi f: A→B didefenisikan oleh diagram:

Maka f-1{{r,s}) dan f-1({r,t}) adalah

Penyelesaian:

Maka f-1{{r,s}) = {y}, karena hanya y yang dipetakan kepada r atau s.

Dan f-1({r,t}) = {x,y,z}= A, karena tiap-tiap elemen dalam A memiliki r atau t sebagai

inversnya.

B. FUNGSI INVERS

Misalkan f suatu fungsi dari A ke dalam B. Pada umumnya, f-1(b) dapat terdiri dari lebih

dari satu elemen atau mungkin adalah himpunan kosong. Jika ditentukanf: A→B merupakan

fungsi satu-satu dan juga merupakan fungsi onto, maka untuk setiap b B, invers dari b,

yaitu f-1(b) merupakan himpunan yang terdiri dari hanya satu anggota A, sebab setiap anggota

B mempunyai kawan f-1(b) yang tunggal di A. Karena itu f-1 merupakan fungsi dari B ke A,

yang ditulis f-1:B A, dan f-1 merupakan fungsi invers dari f.

Jadi f-1: B → A merupakan fungsi invers f jika dan hanya jika f: A→B merupakan fungsi

satu-satu dan onto.

Contoh :

1. Misalkan fungsi f: A→B didefensikan oleh diagram:

Carilah fungsi inversnya!

6

Penyelesaian:

Perhatikan bahwa f adalah fungsi satu-satu dan pada. Dengan demikian f-1, yaitu

invers, ada. Kita menggambarkan f-1:B→A dengan diagram

Perhatikan selanjutnya bahwa jika kita arahkan anak-panah-anak panah dalam yang

terbalik dari diagram f maka kita pada dasarnya memperoleh diagram dari f-1.

2. Misalkan fungsi f: A→B didefenisikan oleh diagram :

Carilah fungsi inversnya!

Penyelesaian:

Karena f(a)=y dan f(c)=y, maka fungsi f tidak fungsi satu-satu. Dengan demikian

invers f-1 tidak ada. Jika f-1(y) = {a,c} maka kita tidak dapat menetapkan kedua-

duanya elemen yB

3. Jika f: P→Q didefenisikan oleh diagram panah. Apakah f mempunyai fungsi invers

f

P Q

Jaw

P Q

Karena f(a) = q dan f(c) = q maka f bukan fungsi satu-satu, walaupun merupakan

fungsi onto maka f tidak mempunyai fungsi invers

7

a•

b•

c•

•p

•q

4. Ditentukan f: A → B didefenisikan oleh diagram panah

f

A B

Apakah f mempunyai fungsi invers? Buat diagram panahnya.

Jawab:

Karena f merupakan fungsi satu-satu dan onto maka f mempunyai fungsi invers, yang

diagramnya:

f

B A

Kita dapat juga menggambarkan f’ dengan cara mengubah arah panah diagram

semula.

C. KELAS BERINDEKS DAN HIMPUNAN

Akan kita didefenisikan suatu jenis fungsi yang khusus, disebut dengan fungsi indeks.

Misal I sembarang himpunan yang tidak kosong dan misal S adalah kelas dari himpunan.

Fungsi indeks dari I ke S adalah fungsi f:”I→S. Untuk sembarang i I, kita notasikan image

f(i) dengan Ai. Jadi fungsi indeks f biasanya dinotasikan dengan [Ai : i I] atau [Ai]i K

atau disederhanakan dengan Himpunan I dikatakan himpunan berindeks dan elemen dari I

dikatakan INDICES. Jika f adalah fungsi satu-satu, maka S dikatakan diberi indeks oleh I.

Kita dapat mendefenisikan konsep gabungan dan irisan pada kelas berindeks dari himpunan

dengan:

8

a•

b•

c•

•p

•q

•r

p•

q•

r•

•a

•b

•c

i I Ai = [x : x Ai untuk beberapa i I

dan

i I Ai = [x : x Ai untuk semua i I

Dalam hal I himpunan berhingga defenisi di atas masih berlaku. Jika I adalah N, kita dapat

menyatakan gabungan dan irisan dengan

A1 A2 . . . dan A1 A2 . . .

Contoh:

Misal I adalah himpunan bilangan bulat Z. Untuk setiap bilangan bulat n dihubungkan

dengan sub himpunan dari R

An = [x : x n]

Dengan perkalian lain, An adalah interval tak hingga (-, nj]. Untuk sembarang bilangan riil

a, terdapat bilangan bulat n1 dan n2 sedemikian sehingga n1 a < n2 ;

Jadi,

a n An tetapi a n An

oleh karena itu

n An = R tetapi n An =

D. KARDINALITAS

1.Himpunan berhingga (Finit) dan Himpunan Tak Berhingga (Infinit)

Defenisi: Himpunan A dikatakan ekuivalen dengan himpunan B (ditulis AB) jika

dan hanya jika ada fungsi f: A→B yang satu-satu dan onto.

Fungsi f kemudian dikatakan mendefenisikan suatu korespondensi satu-satu antara

himpunan A dan B.

9

Defenisi di atas dikemukakan oleh Georg Cantor seorang matematikawan Jerman (1845-

1918) dan mempunyai pengaruh yang besar terhadap perkembangan teori himpunan.

Contoh:

1. Misalkan M = [0,1] dan N = [3,5] serta f: M→N adalah fungsi yang didefenisikan

sebagai f(x) = 2x + 3

Apakah M ekuivalen N?

Jawab:

y

5

4

3

2

1 x

0

1

Setiap x (yang berbeda) M dikawankan dengan y (yang berbeda) N, dan

setiap y N habis menjadi kawan x M, sehingga f merupakan fungsi satu-

satu dan onto. Jadi M N.

2. Jika A = {1, 2, 3, ... } dan B = {2,4,6, ...}, apakah himpunan A ekuivalen b?

Jawab:

Dari himpunan A dapat dibuat fungsi f ke B yang didefenisikan sebagai f(x) = 2x.

Karena setiap anggota yang berbeda dari A dipasangkan dengan anggota yang

berbeda dari B, dan semua anggota B akan menjadi pasangan anggota A, maka A

B.

10

Relasi “” pada keluarga himpunan merupakan relasi ekuivalen, yaitu:

1. A A untuk setiap himpunan A,

2. Jika A B maka B A,

3. Jika A B dan B C maka A C.

Defenisi: Suatu himpunan dikatakan infinit jika himpunan itu ekuivalen dengan

himpunan bagian sejatinya. Jika tidak demikian, berarti himpunan itu

finit.

Secara intuitif, suatu himpunan dikatakan finit jika himpunan itu mempunyai anggota-

anggota yang berbeda yang banyaknya tertentu, yaitu jika kita membilang anggota-anggota

itu, maka proses membilang itu akan berakhir. Jika tidak demikian berarti himpunan itu

infinit.

2.Himpunan Denumerabel dan Nondenumerabel

Defenisi: Jika suatu himpunan ekuivalen dengan himpunan bilangan asli A maka

himpunan itu dikatakan denumerabel. Himpunan yang tidak memenuhi

syarat di atas disebut himpunan nondenumerabel.

Contoh:

1. Ditentukan K = {1, ½, 1/3, ... , 1/n, ...}

M = {1, -2, 3, -4, ... , (-1)n-1n, ...}

N = {(1,1), (4,8), (9, 27), ... , (n2, n3), ... }

Periksalah mana yang merupakan himpunan denumerabel?

Jawab:

Pada K atau M atau N dapat dibuat fungsi f(n) = an yang domainnya adalah

himpunan bilangan asli, sehingga menjadi barisan infinit a1, a2, a3, ... Jika an

merupakan fungsi satu-satu dan onto.

Jadi K, M, dan N merupakan himpunan denumerabel.

11

2. Apakah perkalian himpunan AxA merupakan himpunan denumerabel?

Jawab:

Kita dapat menuliskan perkalian himpunan AxA sebagai berikut ini:

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) . . .

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) . . .

(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) . . .

(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

Karena perkalian himpunan AxA dapat ditulis sebagai barisan infinit dari elemen-elemen

yang berbeda seperti {(1,1),(2,1),(1,2),(1,3),(2,2), ...}, maka AxA merupakan himpunan

denumerabel. Bilangan kardinal dari A = {bilangan asli}, dan interval satuan [0,1] dapat

dinyatakan dengan #(A) = C, dan #([0,1]) = 0. Simbol 0 (baca: alephnol) juga digunakan

untuk menyatakan kardinalitas dari himpunan denumerabel, yaitu #() karena simbol ini

yang asalnya digunakan oleh Cantor.

3. Himpunan Countabel (Terbilang) dan Himpunan Uncountabel (Tidak Terbilang)

Defenisi: Suatu himpunan disebut countabel (terbilang) jika himpunan itu

merupakan himpunan finit atau denumerabel. Suatu himpunan disebut

uncountabel jika infinit dan nondenumerabel.

12

BAB III KESIMPULAN

Berdasarkan uraian yang telah dijelaskan dalam makalah ini tentang Invers dari Fungsi,

Fungsi Invers, Kelas Berindeks dari Himpunan, dan Kardinalitas maka dapat disimpulkan

sebagai berikut:

1. Jika f: A→ B maka invers dari b yang dinyatakan sebagai f(b) terdiri dari anggota-

anggota A yang dipasangkan ke b oleh f (yaitu anggota a yang mempunyai pasangan

b) atau

f(b) = {x|xA, f(x) = b}.

2. f: B→A merupakan fungsi invers jika dan hanya jika f: A→B merupakan fungsi satu-

satu dan onto.

3. Himpunan A ekuivalen dengan himpunan B (ditulis AB) jika dan hanya jika ada

fungsi f: A→B yang satu-satu dan onto.

4. Suatu himpunan dikatakan infinit jika himpunan itu ekuivalen dengan himpunan

bagian sejati dari dirinya sendiri. Jika tidak demikian, berarti himpunan itu finit.

5. Jika suatu himpunan ekuivalen dengan himpunan bilangan asli A maka himpunan itu

dikatakan denumerabel. Himpunan yang tidak memenuhi syarat di atas disebut

himpunan nondenumerabel.

6. Suatu himpunan disebut countabel (terbilang) jika himpunan itu merupakan himpunan

finit atau denumerabel. Suatu himpunan disebut uncountabel jika infinit dan

nondenumerabel.

13

DAFTAR PUSTAKA

Lipschutz, Seymour. 1995. Teori Himpunan (Set Theory). Jakarta: Penerbit Erlangga

M. H. Tirta Seputro, Theresia. 1992. Pengantar Dasar Matematika Logika dan Teori

Himpunan. Jakarta: Penerbit Erlangga

Munir, Rinalti.2003. Matimatika Diskrit. Bandung: Informatika Bandung

Soedjadi, R. 1998. Logika Matematika. Jakarta: Direktorat Jendral Pendidikan Tinggi

14