BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Hampir dalam tiap bidang baik pemerintahan, pendidikan,
perekonomian, perindustrian, atau lainnya akan menghadapi persoalan
yang diantaranya dinyatakan dengan angka-angka. Kumpulan
angka-angka ini biasanya disusun dalam tabel atau daftar disertai
diagram atau grafik. Kumpulan angka-angka mengenai suatu masalah
yang dapat memberi gambaran mengenai masalah tersebut dinamakan
statistik, seperti statistik penduduk, statistik kelahiran,
statistik pendidikan dan lain-lain. Statistik juga diartikan
sebagai ukuran yang dihitung dari sekumpulan data dan merupakan
wakil dari data itu.
Statistika sering disebut studi tentang variasi karena membahas
dan menyediakan cara-cara untuk menyelidiki variasi gejala alam
sosial serta membuat kesimpulan tentang hal-hal yang melatar
belakangi terjadinya variasi (Ferguson & Takane, 1989). Para
ahli statistika telah mengusulkan sejumlah ukuran yang dapat
membantu memahami variasi suatu perangkat data. Ukuran penyimpangan
atau ukuran dispersi adalah suatu ukuran yang menunjukkan tinggi
rendahnya perbedaan data yang diperoleh dari rata-ratanya. Dengan
ukuran penyimpangan bisa diketahui derajat perbedaan data yang satu
dengan data yang lainnya. Adapun yang akan kami sajikan dalam
makalah ini adalah: simpangan baku, distribusi normal dan skor
baku.BAB IIPEMBAHASAN
A. Simpangan Baku
1. Pengertian Simpangan Baku
Simpangan baku atau juga yang sering kita kenal dengan nama
deviasi standard (standard deviation) adalah ukuran persebaran
data. Istilah simpangan baku sendiri pertama kali dikeluarkan oleh
Karl Pearson pada tahun 1984. Ia merupakan pendiri institute of
Statistika University College London. Simpangan ini bisa diartikan
jarak rata-rata penyimpangan antara nilai hasil pengukuran dengan
nilai rata-rata . Simpangan baku juga dapat diartikan sebagai
satuan ukuran penyebaran frekuensi dari tendensi sentralnya. Setiap
frekuensi mempunyai deviasi dari tendensi sentralnya, dan juga
merupakan ukuran penyebaran bagi variabel kontinum, bukan variabel
diskrit. Kegunaan Simpangan baku adalah memberikan ukuran
variabelitas dan homogenitas dari serangkain data. Semakin besar
nilai simpangan suatu data semakin tinggi pula variabelitas dan
semakin kurang homogenitas dari data tersebut. Sebaliknya, bila
simpangan baku kecil, maka data tersebut semakin dekat kepada sifat
homogenitasnya. 2. Rumus Simpangan Baku untuk Data TunggalJika kita
mempunyai sekumpulan data kuantitatif tunggal (tidak berkelompok)
yang dinyatakan oleh x1,x2,x3,.,xn maka dapat dicari simpangan
bakunya dengan rumus
untuk data sample menggunakan rumus
untuk data populasi menggunkan rumus
Dengan :
S2 = ragam atau varians
n = banyaknya data
xi = data ke-I
x= rataan hitungcontoh soal 1:Selama 10 kali ulangan semester
ini Andi mendapat nilai 91, 79, 86, 80, 75, 100, 87, 93, 90,dan 88.
Berapa simpangan baku dari nilai ulangan Andi?
JawabSoal di atas menanyakan simpangan baku dari data populasi
jadi menggunakan rumus simpangan baku untuk populasi.Kita cari dulu
rata ratanyarata-rata = (91+79+86+80+75+100+87+93+90+88)/10 =
869/10 = 85,9
Kita masukkan ke rumus
=
Jika dalam soal menyebutkan sample (bukan populasi) misalnya
dari 500 penduduk diambil 150 sample untuk diukur berat badannya
dst, maka menggunakan rumus untuk sample (n-1)
3. Rumus Simpangan Baku Untuk Data KelompokMisal data kelompok
yang dinyatakan dengan x1,x2,x3,,xn dan masing-masing mempunyai
frekuensi fi,f2,f3,,fn maka simpangan bakunya dapat dicari dengan
rumus untuk sample menggunakan rumus
untuk populasi menggunakan rumus
denga:
: data ke-i
( : rata-rata populasi
: rata-rata sampel
( : simpangan baku populasi s :simpangan baku sampel
N : ukuran populasi
n :ukuran sampel
Jika data kelompok tersebut terdiri dari kelas-kelas maka kita
harus mencari nilai tengah dari masing-masing kelas untuk kemudian
dicari rata-ratanya dengan cara mecari rata-rata data berkelompok.
Untuk lebih jelasnya mari simak contoh di bawah ini
Contoh SoalDiketahui data tinggi badan 50 siswa samapta kelas c
adalah sebagai berikut:
hitunglah berapa simpangan bakunya
1. Kita cari dulu rata-rata data kelompok tersebut
2. Setelah ketemu rata-rata dari data kelompok tersebut kita
bikin tabel untuk memasukkannya ke rumus simpangan baku
B. DISTRIBUSI NORMAL
1. Pengertian Distribusi Normal
Pada distribusi frekuensi, data yang dikelompokkan dapat membuat
histogram, poligon, ogif dan menentukan keofisien kemiringan suatu
data sehingga dari poligon kita dapat melukis kurva yang halus dan
kontinu dan menentukan kemiringan dari suatu distribusi data.
Gambar dibawah menunjukkan perbandingan letak modus, median &
rata-rata dalam tiga macam bentuk distribusi:a. Data yang
distribusinya simetris
Mo= Me= X
b. data yang distribusinya juling ke negatif
X < Me < Mo
c. data yang distribusinya juling ke positif
Mo< Me < X
Gambar 2.1
Pada gambar 2.1 yang bagian a, nilai rata-rata sama atau
mendekati nilai median dan modus, kurva simetri dengan puncak
distribusi ada dibagian tengah. Distribusi data sepertti ini
disebut distribusi normal. Distribusi normal sering disebut
distribusi Gauss, sesuai nama pengembangnya,yaitu Karl Gauss pada
abad ke- 18, seorang ahli matematika dan astronomi.
Boediono, (2008:345) Distribusi normal adalah mendefinisikan
frekuensi relatif skor x tertentu pada suatu distribusi bergantung
kepada dua parameter ( dan ) dan dua konstanta ( =3,1416) dan
bilangan dasar sistem logaritma asli , e = 2,7183) . Distribusi
normal dirumuskan sebagai berikut:
2. Karakteristik Distribusi Normal Distribusi normal berbentuk
sebuah lonceng (bell-shape) oleh karena itu distribusi normal
sering disebut sebagai bell shape distribution. Sebagai model
teoritik distribusi normal memiliki empat karakteristik yang
bersifat komulatif yaitu unimodal, simetrik, identik dan
asimtotik.
Gambar 2.2
a. Unimodal, terdiri dari dua kata yaitu Uni = satu dan modal =
modus, distribusi normal memiliki hanya satu modus.
b. Simetrik, yaitu jika data dibagi menjadi dua pada bagian
median, maka distribusi frekuensi skor yang berada di atas median
sama dengan distribusi frekuensi skor di bawah median.
c. Identik, yaitu nilai modus, median dan rata-rata pada
distribusi normal adalah sama. ( modus = median = rata rata)
e. Asimtotik, yaitu kurva distribusi normal tidak akan pernah
menyentuh absisnya, yaitu distribusi normal terbentuk dari
perangkat dari skor yang bersifat kontinu dari mulai data yang tak
hingga sampai dengan nilai yang tak hingga pula. Model Distribusi
normal dapat berbeda-beda, hal tersebut tergantung pada nilai
simpangan baku dan rata-rata data.
3. Bentuk Kurva Normal
Ada tiga bentuk kurva distribusi normal yaitu:
Mesokurtic,Playcurtic dan leptokurtic.
C. Angka Baku (Standard Score)
1. Pengertian Angka Baku
Angka baku biasa dikatakan pula sebagai standar skor atau nilai
standar, dan disimbolkan dengan huruf z. Oleh karena diberi simbol
z maka banyak pula yang menyebut z score atau z skor atau angka z.
Angka baku (z skor) adalah suatu nilai atau suatu angka yang
menunjukkan seberapa jauh atau seberapa banyak suatu angka atau
nilai yang dimiliki individu menyimpang dari nilai rata-ratanya,
dengan satuan simpangan bakunya.
Seandainya terdapat dua orang yaitu si Abu dan si Bento dari
kelas yang berbeda mendapat nilai Matematika 65 dan 70, maka kurang
bijaksanalah apabila segera diambil kesimpulan bahwa nilai Bento
lebih baik daripada nilai Abu, tanpa melihat nilai rata-rata dan
simpangan baku dari masing-masing kelasnya. Seandainya nilai
rata-rata kelas adalah sama, yaitu 55, itupun belum dapat
disimpulkan nilai si Bento lebih baik daripada si Abu tanpa melihat
simpangan bakunya. Hal tersebut dapat terjadi karena simpangan baku
menentukan seberapa lebar sebaran nilai dari masing-masing kelas.
Apabila simpangan baku dari kelas Abu adalah 5, sedangkan simpangan
baku dari kelas Bento adalah 15, maka tampaklah bahwa Abu lebih
baik daripada Bento, karena Untuk mendapatkan distribusi normal
baku maka perlu untuk mengubah skor X ke dalam skor baku z.
Persamaan untuk mengubah adalah :
Dimana:
Z = skor baku
Xi = data ke i
= rata-rata
= simpangan baku
sehingga nilai Abu dan Bento masing-masing menyimpang dari nilai
ratarata dengan ukuran simpangan baku sebesar :
Dari hasil perhitungan tersebut di atas dapat diyakinkan bahwa
nilai Abu lebih baik daripada nilai Bento ketika dibandingkan
dengan masing-masing kelompoknya. Kelompok Bento lebih besar
variasinya dari pada kelompok Abu, karena kelompok Bento memiliki
simpangan baku sebesar 15. Jika dilihat dalam presentase, maka Abu
menyimpang dari nilai rataratanya sejauh 2 s atau 47,72 % sedangkan
Bento 1 s atau 34,13%.
Adapun transformasi nilai x ke z adalah:
Gambar 3.2. Transformasi nilai X ke Z2. Cara mencari luas
distribusi normal bakuCara mencari luas distribusi normal bakua.
Hitung z hingga dua desimal
b. Gambarkan kurvanya
c. Letakkan harga z pada sumbu datar. Lalu tarik garis vertikal
hingga memotong kurva
d. Luas yang tertera dalam daftar adalah luas daerah antara
garis dengan garis tegak titik nol
e. Dalam daftar normal standar, cari tempat harga z pada kolom
paling kiri hanya hingga satu desimal dan desimal keduanya dicari
pada baris paling atas
f. Bilangan yang didapat merupakan luas yang dicari dan harus
ditulis dalam 4 desimal.3. Daerah di Bawah Kurva Normal Distribusi
normal dimanfaatkan sebagai rujukan dalam menafsirkan data apabila
distribusi data itu dapat dihampiri oleh model distribusi normal.
Daerah di bawah kurva normal, luasan daerah itu menunjukan peluang
munculnya nilai perubah acak yang memiliki distribusi normal baku
pada interval 0 sampai dengan z untuk z = 0,0; 0,01; 0,02.....009
dst. Oleh karena distribusi normal bersifat simetrik terhadap
rata-ratanya, maka kita tidak perlu menghitung luas daerah dari 0
ke skor z yang bertanda negatif.
Luas daerah dibawah kurva normal dai 0 s/d z dapat diperoleh
dengan mengintegrasikan persamaan 0 ke z pada persamaan 3.1.
Distribusi normal baku mempunyai rata-rata = 0 dan simpangan baku =
1, maka persamaan menjadi :
Luas daerah dibawah kurva normal dai 0 s/d z dapat diketahui
dengan menggunakan tabel z (terlampir), tabel luas dibawah
lengkungan normal standar dari 0 ke z, bilangan dalam daftar
menyatakan desimal. Untuk menentukan luas daerah di bawah kurva
normal standar, telah dibuat daftar distribusi normal standar,yaitu
tabel luas kurva normal standar dengan nilai-nilai Z tertentu.
Dengan daftar tersebut, bagian-bagian luas dari distribusi normal
standar dapat dicari.
Karena seluruh luas kurva adalah1dan kurva simetris terhadap =0
maka luas dari garis tegakpada titik nol ke kiriat aupun ke kanan
adalah 0,5 dan diartikan: P(Z>0)=0,5. Luas daerah dibawah kurva
normal pada interval tertentu dapat dituliskan:P(0