Page 1
RANGKUMAN MATERI, SOAL DAN PEMBAHASAN
BAB X
GESERAN (TRANSLASI)
disusun guna melengkapi tugas mata kuliah Geometri Transformasi
Dosen pengampu Bapak Ishaq Nuriadin, M.Pd
Oleh
Niamatus Saadah 1201125122
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PROF DR.HAMKA
2015
Page 2
BAB X
GESERAN (TRANSLASI)
A. Ketentuan dan Sifat-sifat
Dalam bab setengah putaran, dijelaskan bahwa setengah putaran dapat
ditulis sebagai hasil kali dua pencerminan, yaitu kalau A sebuah titik yang
diketahui dan g dan h dua garis yang tegak lurus di A maka hgA MMS . Dalam
bab ini akan dibahas hasil kali dua pencerminan pada dua garis yang sejajar.
Teorema 10.1
Andaikan g dan h dua garis yang sejajar. Apabila ada dua titik A danB
maka "" BBAA dengan )(" AMMA gh dan )(" BMMB gh
Pembuktian:
Diketahui : g // h, titik A dan titik B dengan A=MhMg(A) dan B"=MβMπ(B).
Buktikan : AA"Μ
Μ
Μ
Μ
Μ
= BB"Μ
Μ
Μ
Μ
Μ
.
Kita tentukan sebuah sistem koordinat dengan g sebagai sumbu-y dan sebuah
garis tegak lurus dengan g sebagai sumbu-x.
B
X
A Aββ Aβ
g
Bββ Bβ
N
h
Y
Page 3
Ambil titik A dan B sebarang dengan Aβ B dan A, B β π A, B β β
Andaikan A=(a1, a2) dan B=(b1, b2)
Akan dibuktikan SN(A)=Bβ dengan N adalah titik tengah BA"Μ
Μ
Μ
Μ
Μ
Jelas g : x=0.
Andaikan persamaan garis h adalah x=n, nβ 0.
Maka, Mg(A)=A' = (βa1, a2) dan
MhMg(A)=A" βΊ Mβ(Aβ²)=A"
βΊ Mβ(βa1, a2)=A"
βΊ ((βa1) + 2(π + a1), a2) = A"
βΊ (2π + a1, a2) = A"
Mg(B)=B' = (βb1, b2) dan
MhMg(B)=B" βΊ Mβ(Bβ²)=B"
βΊ Mβ(βb1, b2)=B"
βΊ ((βb1) + 2(π + b1), b2) = B"
βΊ (2π + b1, b2) = B"
Karena N titik tengah BA",Μ
Μ
Μ
Μ
Μ
Μ
Maka
2,
2
2 2211 babanN
Diperoleh
2,
2
2 2211 babanN dan A=(a1, a2)
sehingga
2
221
11
22,
2
22)( a
baa
banASN
"
21 ,2
B
bbn
Dengan demikian maka AA"Μ
Μ
Μ
Μ
Μ
= BB"Μ
Μ
Μ
Μ
Μ
Jadi setiap ruas berarah, dengan pangkal sebuah titik dan berakhir di titik petanya
oleh MhMg adalah ekivalen dengan setiap garis berarah seperti di atas. Jadi hasil
transformasi MhMg adalah seakan-akan menggeser setiap titik sejauh jarak yang
sama dan searah. Transformasi demikian dinamakan translasi(geseran).
Page 4
Definisi :
Suatu padanan G dinamakan suatu geseran apabila ada ruas garis berarah
ππΜ
Μ
Μ
Μ
sehinga setiap titik P pada bidang menjadi Pβ dengan G(P) = Pβ dan
ππβ²Μ
Μ
Μ
Μ
Μ
=Μ ππ.Μ
Μ
Μ
Μ
Μ
Setiap ruas garis berarah menentukan sebuah translasi. Kalau ABΜ
Μ
Μ
Μ
suatu garis
berarah maka dengan lambang GAB dimaksudkan sebagai sebuah geseran yang
sesuai dengan ABΜ
Μ
Μ
Μ
.
Teorema 10.2
Apabila ππΜ
Μ
Μ
Μ
=Μ ππΜ
Μ
Μ
Μ
maka πππ = πππ
Bukti:
Dipunyai CDAB
Ambil x sebarang
Misalkan 1)( xxGAB dan 2)( xxGCD
Maka ABxx 1 dan CDxx 2
Karena CDAB maka 21 xxxx
Ini berarti bahwa x1 = x 2
Jadi CDAB GG
Teorema 10.3
Andaikan g dan h dua garis yang sejajar dan ππΜ
Μ
Μ
Μ
sebuah garis berarah
tegak lurus pada g dengan π β π dan D β π. Apabila ππΜ
Μ
Μ
Μ
=Μ πππΜ
Μ
Μ
Μ
maka
GAB=MhMg
Bukti:
Ambil titik P sebarang.
Misal Pβ=GAB(P) dan Pβ=MhMg(P)
Page 5
Akan dibuktikan Pβ=Pβ
Menurut definisi geseran PPβ²Μ
Μ
Μ
Μ
=Μ ABΜ
Μ
Μ
Μ
Karena ABΜ
Μ
Μ
Μ
=Μ 2CDΜ
Μ
Μ
Μ
, maka PPβ²Μ
Μ
Μ
Μ
=Μ 2CDΜ
Μ
Μ
Μ
Karena C β π maka MβMπ(C) = Mβ[Mπ(C)] = Mβ(C) = C"
Ini berarti D titik tengah CC"Μ
Μ
Μ
Μ
Μ
, sehingga CC"Μ
Μ
Μ
Μ
Μ
=Μ 2CDΜ
Μ
Μ
Μ
Berdasarkan teorema 10.1 diperoleh CC"Μ
Μ
Μ
Μ
Μ
=Μ PP"Μ
Μ
Μ
Μ
Μ
Jadi CC"Μ
Μ
Μ
Μ
Μ
=Μ 2CDΜ
Μ
Μ
Μ
=Μ PPβ²Μ
Μ
Μ
Μ
=Μ PP"Μ
Μ
Μ
Μ
Μ
akibatnya Pβ=Pβ
Jadi GAB(P)=MhMg(P)
Karena P titik sebarang maka GAB=MhMg
Catatan
1. Dari teorema di atas dapat disimpulkan bahwa setiap geseran GAB dapat ditulis
sebagai hasilkali dua refleksi pada dua garis yang tegak lurus pada AB β‘ dan
berjarak 1
2AB.
2. Jika AB β‘ sebuah garis dan M titik tengah ABΜ
Μ
Μ
Μ
sedangkan g, h dan n tiga garis
masing-masing tegak lurus di A, di M dan di B pada AB β‘ maka
GAB=MhMg=MnMh.
3. Karena setiap geseran sebagai hasilkali dua reflexi sedangkan reflexi adalah
suatu transformasi maka suatu geseran adalah suatu transformasi yang
merupakan isometri. Jadi suatu reflexi adalah suatu isometri. Suatu geseran
adalah suatu isometri langsung sebab setiap reflexi adalah suatu isometri
lawan.
A M
n h g
B
Page 6
Teorema 10.4
Jika GAB sebuah geseran maka (GAB )-1 = GBA
Bukti:
Geseran adalah hasil kali dua refleksi (Teorema 10.3)
Refleksi adalah trasformasi (Teorema 3.1)
Tiap transformasi memiliki balikan (Teorema 6.1)
Maka setiap geseran memiliki balikan
Perhatikan gambar berikut:
Dari uraian diatas
Diperoleh GAB(A)=MhMg(A)
=Mh[Mg(A)]
=Mh(A)
=B
GAB(A)=MnMh(A)
=Mn[Mh(A)]
=Mn(B)
=B
Jadi GAB(A) =MhMg(A)= MnMh(A) atau GAB=MhMg= MnMh
Sedangkan GBA(B)=MhMn(B)
=Mh[Mn(B)]
=Mh(B)
=A
GBA(B)=MgMh(B)
=Mg[Mh(B)]
=Mg(A)
=A
Jadi GBA(B) = MhMn(B) = MgMh(B) atau GBA = MhMn = MgMh
Sehingga (GAB)-1= (MnMh)-1
= Mh-1
Mn-1
= MhMn
=GBA
Jadi (GAB)-1=GBA
n h g
A B C |
|
Page 7
Teorema 10.5
Jika GAB sebuah geseran sedangkan C dan D adalah dua titik sehingga
ππΜ
Μ
Μ
Μ
=Μ πππΜ
Μ
Μ
Μ
maka
GAB = SCSD
Bukti :
Andaikan π = CD β‘ , k g di C, m g di D (gambar 10.5)
Maka CDΜ
Μ
Μ
Μ
ruas garis berarah dari k ke m. Karena ABΜ
Μ
Μ
Μ
=Μ 2CDΜ
Μ
Μ
Μ
maka GAB = MmMk
( Berdasarkan Teorema 10.3) β¦β¦β¦β¦β¦β¦.(*)
sedangkan SD = MmMg
(Menurut Teorema 7.1 βandaikan D sebuah titik serta g dan m dua garis tegak
lurus yang berpotongan di D, maka SD = MmMg )
dan SC = MgMk
(Menurut Teorema 7.1 βandaikan C sebuah titik serta g dan m dua garis tegak
lurus yang berpotongan di C, maka SC = MgMk )
A
B
C
D
g
k
m
Gambar 10.5
D
g
m
Page 8
Jadi :
SCSD = (MmMg)(MgMk)
= Mm (MgMg) Mk (Sifat asosiatif hasil kali transformasi)
= Mm I Mk
= MmMk β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦(**)
Berdasarkan (*) dan (**) diperoleh :
GAB = SCSD
CONTOH:
Jika A = (3,-1), dan B = (1,7) dan C = (4,2) adalah titik-titik yang diketahui
tentukan sebuah titik D sehingga GAB = SCSD.
JAWAB:
sebuah titik sehingga, CEΜ
Μ
Μ
Μ
=Pilih E
C
g
k
(Transformasi identitas)
6
2
0
1
3
4
5
Y
X -1 6 5 4 3 2 1
-4
-3
-2
-1
7
A
B
C
9
8
10
Page 9
ABΜ
Μ
Μ
Μ
maka E = (4 + [1 β 3], 2 + [7 β (β1)]) atau E = (2,10). Apabila D titik
tengah CEΜ
Μ
Μ
Μ
maka D = (3,6) sehingga CEΜ
Μ
Μ
Μ
= 2CDΜ
Μ
Μ
Μ
.
Atau ABΜ
Μ
Μ
Μ
= 2CDΜ
Μ
Μ
Μ
.
Menurut Teorema 10.5 diperoleh GAB = SCSD jadi titik D yang dicari adalah
(3,6).
Teorema 10.6
Komposit suatu geseran dan suatu setengah putaran adalah suatu
setengah putaran.
Bukti:
Andaikan GAB suatu geseran.
Ambil titik C sebarang dan misal ada titik E yang tunggal sehingga CEΜ
Μ
Μ
Μ
=Μ ABΜ
Μ
Μ
Μ
Ambil titik D sehingga D merupakan titik tengah CEΜ
Μ
Μ
Μ
, berarti CEΜ
Μ
Μ
Μ
=Μ 2CDΜ
Μ
Μ
Μ
Menurut teorema 10. 5,
GAB = SDSC
β GABSC = SDSCSC
β GABSC = SD[SCSC]
β GABSC = SDI
β GABSC = SD
Jadi, komposit suatu geseran dan suatu setengah putaran adalah suatu setengah
putaran.
Akibat :
Andaikan ππ, ππ dan ππ masing-masing setengah putaran, maka
ππππππ = ππ dengan D sebuah titik sehingga ππ =Μ ππ.
Bukti :
Diperoleh berturut-turut ππππ = πππ
β ππππππ = πππππ
Ambil titik X sebarang
Misal πππππ = ππ
Page 10
Sehingga diperoleh 2BCΜ
Μ
Μ
Μ
=Μ 2AXΜ
Μ
Μ
Μ
atau BCΜ
Μ
Μ
Μ
=Μ AXΜ
Μ
Μ
Μ
Karena titik X sebarang, Jadi bisa diubah menjadi sebarang titik, kita misalkan
titik D maka diperoleh
πππππ = ππ
β ππππππ = ππ dengan AD = BC.
Jadi, jika SA, SB dan SC masing-masing setengah putaran, maka ππππππ = ππ
dengan D sebuah titik sehingga ADΜ
Μ
Μ
Μ
=Μ BCΜ
Μ
Μ
Μ
.
Teorema 10.7
Hasil kali dua translasi adalah sebuah translasi
Bukti :
Andaikan dua buah geseran yaitu GAB dan GBC
Diperoleh GAB(A) = B dan GBC(B) = C
Jika GBC dikomposisikan dengan GAB melalui A
maka didapat GBCGAB(A) = GBC[GAB(A)]
= GBC(B)
= C
Andaikan titik E sebarang
Diperoleh GAB(E) = Eβ²
Berarti EEβ²Μ
Μ
Μ
Μ
=Μ ABΜ
Μ
Μ
Μ
GBC(Eβ²) = Eβ²β²
Berarti Eβ²Eβ²β²Μ
Μ
Μ
Μ
Μ
Μ
= BCΜ
Μ
Μ
Μ
Jika GBC dikomposisikan dengan GAB melalui titik E, maka diperoleh
GBCGAB(E) = GBC[GAB(E)]
= GBC(Eβ²)
A
B
C E
Eβ
Eββ
Page 11
= E"
Berarti EEβ²β²Μ
Μ
Μ
Μ
Μ
=Μ ACΜ
Μ
Μ
Μ
sehingga diperoleh
GEE"(E) = E" = GAC
Jadi GBCGAB = GAC
Atau
Pembuktian menggunakan teorema 10.5
Ambil titik P, Q sebarang sehingga 2PQΜ
Μ
Μ
Μ
=Μ ABΜ
Μ
Μ
Μ
dan titik R sehingga 2QRΜ
Μ
Μ
Μ
=Μ BCΜ
Μ
Μ
Μ
Diperoleh GAB = SQSP dan GBC = SRSQ
Jika GBC dikomposisikan dengan GAB maka diperoleh
GBCGAB = (SRSQ)(SQSP)
= SR(SQSQ)SP (assosiatif)
= SRISP (Identitas transformasi)
= SRSP (Identitas transformasi)
Karena 2PRΜ
Μ
Μ
Μ
= ACΜ
Μ
Μ
Μ
maka diperoleh SRSP = GAC
Jadi GBCGAB = GAC
Teorema 10. 8
Jika GOA sebuah translasi yang ditentukan oleh titik-titik O(0,0) dan
A(a,b) dan T transformasi yang didefinisikan untuk semua titik P(x,y)
sebagai T(P) = (x + a, y + b) maka π = πππ.
Bukti :
Ambil titik P(x, y) dengan T(P) = (x + a, y + b)
Missal GOA(P) = Pβ², berarti PPβ²Μ
Μ
Μ
Μ
= OAΜ
Μ
Μ
Μ
Pβ² = (x + a β 0, y + b β 0) = (x + a, y + b)
Jadi, T(P) = Pβ² = GOA(P), β P β V
Artinya
Ini berarti π = πππ.
Untuk membuktikan dengan koordinat-koordinat teorema 10. 7
Perhatikan dua buah translasi GEF dan GKH
Page 12
Andaikan A = (a,b) dan B = (c,d) dengan OAΜ
Μ
Μ
Μ
= EFΜ
Μ
Μ
Μ
dan OBΜ
Μ
Μ
Μ
= KHΜ
Μ
Μ
Μ
Ambil titik P(x,y) sebarang sehingga diperoleh
GOA(P) = Pβ= (x+a,y+b) dan GOB(P) = Pβ = (x+c,y+d)
Karena maka GOA(P) = GEF(P) = (x+a,y+b)
Karena maka GOB(P) = Pβ = GKH = (x+c,y+d)
Jika GKH dikomposisikan dengan GEF melalui titik P maka diperoleh
GKHGEF(P) = GKH [GEF(P)]
= GKH(x+a,y+b)
= ((x+a)+c,(y+b)+d)
= (x+(a+c),y+(b+d))
Ini berarti bahwa GKHGEF adalah translasi yang membawa titik O(0,0) ke titik
(a+c,b+d).
Page 13
SOAL TUGAS 1
1. Diketahui titik A, B, C yanng tak segaris.
a. Lukislah
b. Lukislah
c. Lukislah garis β garis g dan h dengan A g dan
d. Lukislah g dan h sehingga C gdan sehingga
2. Diketahui titik β titik A dan B dan garis g sehingga g .Lukislah :
a. Garis h sehingga
b. Garis k sehingga
c. Garis m sehingga mβ
d. Titik C sehingga
3. Diketahui garis β garis g dan h yang sejajar dan sebuah titik A tidak pada garis β garis
trersebut.
a. Lukislah titik B sehingga
b. Lukislah titik C sehingga
4. Diketahui titik A, B, C, D, P dan garis g seperti anda lihat pada gambar
A
B D
P
g
C
Page 14
Lukislah :
a.
b. Garis h sehingga g
c.
d.
5. Nyatakanlah P dengan R dalambentuk yang paling sederhana :
a. R
b. R
c. R
6. Apakah ungkapan β ungkapan di bawah ini benar atau salah :
a. Jika maka
b. Setiap translasi adalah suatu involusi
c. dengan
d. Apabila M titik tengah , maka
e. Apabila gβ (g), maka gβ // g
7. Jika A (2,3) dan B (-4,7) tentukan persamaan garis g dan h sehingga
8. Diketahui titik β titik A = (-1,3), B = (-5,-1) dan C = (2,4)
a. Tentukan Cβ
b. Tentukan persamaan garis β garis g dan h sehingga C g dan sehingga
Page 15
9. Diketahui titik β titik A = (2,1) dan B =(5,-3).G sebuah geseran yang membawa A ke
B.
a. Jika C = (4,2) tentukanlah G(C)
b. Jika P = (x,y) tentukanlah G(P)
10. Jika A = (2,1) dan B = (3,4) sedangkan g = tentukanlah :
a. jika P = (x,y)
b. Titik D sehingga
c. Sebuah persamaan untuk garis h dengan h (g)
Page 16
SOAL TUGAS 2
1. Diketahui ruas garis berarah AB dan titik-titik C dan P
a. Tentukan GABSC(P)
b. Tentukan SCGAB (P)
c. Tentukan semua titik X sehingga GABSC(X) = X
2. Diketahui titik-titik A, B, C yang tak segaris
a. Tentukan D sehingga SDSC = GAB
b. Tentukan E sehingga SASBSC = SE
c. Tentukan F sehingga GABSC = SF
3. Diketahui empat titik, tiap tiga titik tak segaris, A, B, C dan D. Lukislah :
a. Titik E sehingga GCDGAB = GAE
b. Semua titik X sehingga SASBSC(X) = X
4. a. Untuk semua titik P = (x, y), S ditentukan sebagai S(P) = (x+a, y+b).
Tentukan S-1 (P)
b. Jika G1 dan G2 adalah geseran-geseran, selidiki apakah G1G2 = G2G1
5. Apakah himpunan-himpunan berikut tertutup terhadap operasi yang
bersangkutan?
a. Himpunan semua kelipatan tiga terhadap pengurangan
b. Himpunan semua bilangan ganjil terhadap penjumlahan
c. Himpunan semua refleksi terhadap operasi perkalian (komposisi)
d. Himpunan semua transformasi terhadap perkalian (komposisi)
e. Himpunan ( -1, 0, -1) terhadap perkalian dan terhadap penjumlahan
6. G adalah geseran yang ditentukan sebagai berikut :
Page 17
Jika P = (x, y) maka G(P) = (x+2, y+3)
Diketahui C = (1, -7). Tentukan koordinat D sehingga SDSC = G
7. Jika A = (1, 0), B = (2, 5) dan C (-3, 8) titik-titik yang diketahui, tentukan
koordinat- koordinat titik D sehingga GCD = SBSA.
8. Andaikan A = (a1, a2) dan B = (b1, b2). Dengan mengunakan koordinat- koordinat,
buktikan :
a. SBSA adalah suatu translasi
b. Jika P sebuah titik dan Pβ = SBSA(P), maka = 2
9. Buktikan sifat-sifat berikut :
a. Jika GAB suatu geseran, maka GAB tidak memiiki titik-titik tetap
b. Komposit empat setengah putaran adalah suatu translasi
c. Apabila A, B, C titik-titik yang diketahui, maka SASBSC = SCSBSa
10. Diketahui A = (2, 1) dan B =(-3, 5)
a. Jika P = (x, y) tentukan SASB(P)
b. L = . Tentukan persamaan himpunan Lβ = SASB(L)
Page 18
JAWABAN TUGAS 1
1. Diketahui Titik-titik A, B, dan C yang tak segaris
a. Lukislah GAB(A) dan GAB(B)
b. Lukislah GAB(C)
c. Lukislah garis-garis g dan h dengan gA dan GAB=MhMg
d. Lukislah garis-garis g dan h sehingga gC dan sehingga GAB=MhMg
A B
C
A B=GAB(A) Aβ=GAB(B)
A B
C Cβ=GAB(C)
h g
A B
C
GAB(A) =B
MhMg(A)=B } GAB=MhMg
A B
g h
Page 19
A
g k
B
m
A
mβ
B
2. Diketahui : Titik-titik A, B, dan garis g sehingga gAB.
a. Lukislah garis h sehingga MhMg= GAB
b. Lukislah garis k sehingga MgMk= GAB
c. Garis m sehingga mβ = GAB(m)
GAB (m) = B
mβ = B
h g
A B
GAB(A)= B
MhMg = Mh(Mg(A))=Mh(B)=B } MhMg=GAB
GAB(A)= B
MgMk = Mg(Mk(A))=Mg(A)=B } MgMk=GAB
mβ = GAB(m)
Page 20
d. Titik C sehingga GBA(C) = B
GAB(C) = B
3. Diket: Garis-garis g//h dan titik A tidak pada garis-garis tersebut.
a. Lukislah titik B sehingga MhMg= GAB
Jelas GAB(A)= MhMg(A)= Mh(Aβ)=B
b. Lukislah titik C sehingga MgMh= GAC
Jelas GAC(A)= MgMh(A)= Mg(Aβ)=C
g h
A Mg(A)=Aβ B= Mh(Aβ)
g h
C= Mg(Aβ ) A Mh(A)=Aβ
A B C
Page 21
A B
P
C
D
P
Pβ
Pβ
Pβ
Pβ
P
4. Diketahui titik A, B, C, D dan garis g
Lukislah !
a) GCD GAB (P)
GAB (P) = Pβ dimana PPβ = AB
GCD (P) = Pβ dimana PβPβ = CD
b) GCD GBA (P)
GBA (P) = Pβ dimana PPβ = BA
GCD (PP) = Pβ dimana PβPβ = CD
Page 22
hβ = GDC (h)
h
g = GABGDC (h)
P
Pβ
Pβ
Pββ = G3AB (P)
c) Garis h sehingga GAB GCD (h) = g
d) G3AB (P)
5. Nyatakanlah P dengan R dalam bentuk yang paling sederhana:
a. GABGCD(P)=R
b. SAGBC(P)=R
c. (GAB)-1 Mg(P)=R
Penyelesaian:
Page 23
6. Apakah ungkapan-ungkapan di bawah ini benar atau salah:
a. Jika GAB=MgMh maka GAB=MhMg..(Salah)
Bukti:
Dipunyai GAB=MgMh.
Jelas MgMh β MhMg ( hasil kali 2 pencerminan tidak bersufat komutatif).
Jadi GAB β MhMg.
Jadi jika GAB=MgMh maka GAB β MhMg
b. Setiap translasi adalah suatu involusi.(Salah)
Bukti:
Misal: GAB=MhMg.
Maka diperoleh (GAB)-1= (MhMg)-1
= Mg-1Mh
-1
= MgMh
β GAB.
Jadi GAB bukan suatu involusi.
c. GABGAB= GCD dengan (Benar)
Bukti:
Ambil sembarang titik P.
Jika GABGAB(P)=P4 dan GCD(P)=P5, maka akan dibuktikan P4=P5.
Karena GAB(P)=P2 maka
GAB(P2)=P4 maka dan
Page 24
GABGAB(P)=P4 maka
Sehingga , akibatnya .54 PP
Jadi GABGAB(P)= GCD(P).
Karena P sembarang maka GABGAB= GCD.
d. Apabila M titik tengah , maka (Benar)
e. Apabila gβ = (g), maka gβ//g ( Benar)
7. Jika A(2,3) dan B(4,-7) tentukan persamaan garis g dan h sehingga
Jawab :
Jelas g dan h dan jarak antara g dan h
Persamaan garis
Jadi
Misal A β g maka persamaan garis g
Jarak antara g dan h , A β g maka h melalui c sehingga C midpoint
AB
)
)
Page 25
Jadi C(-1,5)
Persamaan garis h AB dan melalui C(-1,5)
Jadi g : y =
h : y =
8. Diket: Titik-titik A(-1,3), B(-5,-1), dan C(2,4).
a. Tentukan ).(' CGC AB
Penyelesaian:
Karena )(' CGC AB maka
Jelas
Sehingga 242 22 xx dan .044 22 yy
Jadi ).0,2()(' CGC AB
b. Tentukan persamaan garis-garis g dan h sehingga gC dan sehingga
MhMg= GAB.
Penyelesaian:
Jelas
.14
4
15
31
12
12
xx
yymAB
Agar MhMg= GAB maka haruslah g//h dan ., ABhABg
222
2
2
2
222
2
2
2
2
12
2
12
2
12
2
12
22
)4()4()4()2(
)31()15()4()2(
)()()()(
'
'
yx
yx
yyxxyyxx
ABCC
ABCC
Page 26
Sehingga diperoleh
Karena g//h maka 1 hg mm .
Misal garis h melalui titik D maka
Sehingga diperoleh
Jadi 042 221
2 xx dan .244 221
2 yy
Jadi titik D(0,2).
Jadi persamaan garis g yang melalui titik C(2,4) dengan 1gm adalah
6
24
)2(14
)( 11
xy
xy
xy
xxmyy
dan persamaan garis h yang melalui titik D(0,2) dengan 1hm adalah
.2
2
)0(12
)( 11
xy
xy
xy
xxmyy
9. Diket A(2,1), B(5,-3)
Ditanyakan
a.
misal maka
sehinggga
dan
.1
11
1
g
g
gAB
m
m
mm
2
212
212
2
2
2
2
412
412
2
2
2
2
12
2
12412
12
2
12
2
412
21
)4()4()4()2(
)31()15()4()2(
])()[()()(
yx
yx
yyxxyyxx
ABCD
ABCD
Page 27
Jadi Cβ(7,-2)
b. dengan
misal
maka sehingga
Page 28
dan
Jadi
10. Diket: Titik-titik A=(2,-1), B=(3,4), dan g={(x,y)\y+2x=4}.
a. Tentukan GAB(P) jika P(x,y).
Jawab:
Jelas BAGAB )(
).4,3()1,2(
)4,3()1,2(
ba
GAB
Sehingga 132 aa dan .541 bb
Jadi ).5,1(),()( yxyxGPG ABAB
b. Tentukan titik D sehingga GAB(D)=(1,3).
Jawab:
Misal titik ),( 11 yxD maka
).3,1()5,1(
)3,1(),(
)3,1()(
11
11
yx
yxG
DG
AB
AB
Sehingga 011 11 xx dan .235 11 yy
Jadi titk D(0,-2).
c. Tentukan sebuah persamaan untuk garis h sehingga ).(gGh AB
Jawab:
.32
4225
4)1(25
)42()(
yx
xy
xy
xyGgGh ABAB
Page 29
JAWABAN TUGAS 2
1. Diketahui ruas garis berarah dan titik-titik C dan P
a) Tentukan GABSC(P)
Penyelesaian :
GABSC(P)=GAB[SC(P)]
=GAB(Pβ) dengan C adalah titik tengah
=Pβ dengan
b) Tentukan SCGAB(P)
Penyelesaian :
SCGAB(P)=SC[GAB(P)]
=SC(Pβ) dengan
=Pβ dengan C titik tengah
c) Tentukan semua titik X sehingga GABSC(X)=X
Penyelesaian :
Menurut teorema 10. 6 diperoleh GABSC=SD
Ambil titik X sebarang
GABSC(X)=SD(X)
Diperoleh SD(X)=X, berartti X=
Ambil titik E dimana dan titik D adalah titik tengah berarti
Diperoleh GABSC(X) = GABSC(D)
= GAB[SC(X)]
=GAB(Dβ) dengan C titik tengah Dβ,
berarti
=D dengan
=X
Jadi titik X adalah titik tengah dimana
Page 30
2. Diketahui titik-titik A, B, C yang tak segaris
a) Tentukan D sehingga SDSC=GAB
Penyelesaian :
Berdasarkan teorema 10. 5 titik C dan titik D terletak pada satu garis
dimana,
2
b) Tentukan E sehingga SASBSC=SE
Penyelesaian :
Berdasarkan akibat dari teorema 10. 6 diperoleh titik E segaris dengan titik
C dimana,
c) Tentukan F sehingga GABSC=SF
Penyelesaian :
Berdasarkan teorema 10. 6 diperoleh titik F adalah titik tengah berarti
dimana,
3. Diketahui empat titik, tiap tiga titik tak segaris, A, B, C dan D. lukislah :
a) Titik E sehingga GCDGAB=GAE
b) Semua titik X sehingga SASBSC(X)=X
4. a) Untuk semua titik P=(x,y), S ditentukan sebagai S(P)=(x+a,y+b).
Tentukan S-1(P).
Penyelesaian :
Menurut teorema 7. 3 S-1(P)=S(P)
Page 31
=(x+a,y+b)
b) Jika G1dan G2 adalah geseran-geseran, selidiki apakah G1G2=G2G1.
Penyelesaian :
Ambil titik P sebarang
Misal G1=GAB dan G2=GCD
G1G2(P)=G1[G2(P)]
=G1(Pβ) dengan
=Pβ dengan
Jadi, β¦β¦β¦(1)
G2G1(P)=G2[G1(P)]
=G2(Pβ) dengan
=Pβ dengan
Jadi, β¦β¦β¦(2)
Berdasarkan (1) dan (2) berlaku GABGCD=GCDGAB
G1G2=G2G1
5. Apakah himpunan-himpunan berikut tertutup terhadap operasi yang
bersangkutan?
a) Himpunan semua kelipatan tiga terhadap pengurangan.
Penyelesaian :
b) Himpunan semua bilangan ganjil tehadap penjumlahan
Penyelesaian :
c) Himpunan semua reflexi terhadap operasi perkalian (komposisi)
Penyelesaian :
d) Himpunan semua transformasi terhadap perkalian (komposisi)
Penyelesaian :
e) Himpunan {-1,0,1} terhadap perkalian; dan terhadap penjumlahan.
Page 32
Penyelesaian :
6. G adalah geseran yang ditentukan sebagai berikut :
Jika P=(x,y) maka G(P)=(x+2,y+3). Diketahui C=(1,-7).
Tentukan koordinat D sehingga SDSC=G
Penyelesaian :
SDSC(P)=G(P)
SD[(2-x,-14-y)]=(x+2,y+3)
Misalkan D(a,b)
[2a-(2-x),2b-(-14-y)]=(x+2,y+3)
2a-(2-x)=x+2
2a=x+2+2-x
2a=4
a=2
2b-(-14-y)=y+3
2b=y+3-14-y
2b=-11
b=-5,5
Jadi titik D(2,-5,5)
7. Jika A=(1,0), B=(2,5) dan C=(-3,8) titik-titik yang diketahui, tentukan
koordinat-koordinat titik D sehingga GCD=SBSA.
Penyelesaian :
Andaikan = maka E=(1+[x+3],0+[y-8])
=(4+x,y-8)
Apabila B titik tengah maka,
Page 33
x=-1
y=18
Jadi koordinat D=(-1,18)
8. Andaikan A=(a1,a2) dan B=(b1,b2). Dengan menggunakan koordinat-
koordinat. Buktikan :
a) SBSA adalah suatu translasi
Penyelesaian :
Ambil titik P(x,y) sebarang
SBSA(P)=SB[SA(P)]
=SB(2a1-x,2a2-y)
=(2b1-2a1+x,2b2-2a2+y)
=[x+2(b1-a1),y+2(b2-a2)]
b) Jika P sebuah titik dan Pβ=SASB(P), maka =
Penyeleesaian :
Ambil titik P(x,y) sebarang
Dari hasil a) diperoleh Pβ=[ x+2(b1-a1),y+2(b2-a2)]
=( b1βa1,b2-a2)
=[ x+2(b1-a1)-x,y+2(b2-a2)-y]
=[ 2(b1-a1),2(b2-a2)]
=2( b1βa1,b2-a2)
=2
Jadi terbukti =
9. Buktikan sifat-sifat berikut :
a) Jika GAB suatu geseran, maka GAB tidak memiliki titik-titik tetap
Penyelesaian :
Page 34
b) Komposit empat setengah putaran adalah suatu translasi
Penyelesaian :
c) Apabila A, B, C titik-titik uyang diketahui, maka SASBSC=SCSBSA
Penyelesaian :
10. Diketahui A=(2,1) dan B=(-3,5)
a) Jika P=(x,y) tentukan SASB(P)
Penyelesaian :
SASB(P)=SA(2.-3-x,2.5-y)
=SA(-6-x,10-y)
=2.2-(-6-x),2.1-(10-y)
=(10+x,-8+y)
Jadi SASB(P) =(10+x,-8+y)
b) L={(x,y)| x2+y2=4}. Tentukan persamaan himpunan Lβ=SASB(L).
Penyelesaian :
L= x2+y2=4 berarti lingkaran dengan pusat (0,0) dengan jari-jari=2
SASB(L)=SA[2.(-3)-0,2.5-0]
=SA(-6,10)
=[2.2-(-6),2.1-10]
=(10,-8)
Jadi Lβ={(x,y)|(x-10)2+(y+8)2=4}